TEMA 4. CALCULO DE DEFLEXIONES.docx

EAPIC

CATEDRATICO : BEJARANO DOLORIER JORGE

ASIGNATURA : ANALISIS ESTRUCTURAL

ALUMNO : LAZO ESPINOZA IRVIN

TEMA : CALCULO DE DEFLEXION

CICLO : SEPTIMO

2015

CALCULO DE DEFLEXIONES LAZO ESPINOZA IRVIN

U N I V E R S I D A D A L A S P E R U A N A S

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

EAPIC

DEDICATORIA

Dedico este trabajo a

Toda mi familia.

Por apoyarme en toda.

Las cosas positivas, que deseo


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INTRODUCCION

En este capítulo se presentan los principales métodos tradicionales utilizados en el cálculo de deflexiones de estructuras. Algunos de ellos fueron vistos en los cursos de Mecánica de sólidos, aplicados a estructuras determinadas, y se repasan aquí para facilitar su empleo en la solución de estructuras indeterminadas. Existen métodos para calcular la deformación en cada punto de la longitud de la viga, debida a flexión. Aquí en este trabajo te damos a conocer diferentes métodos como el método real, que parte de la conservación de la energía, el método de teorema de castigliano que nos ayuda a calcular estructuras determinadas e indeterminadas, el método del trabajo virtual, método del área de momentos que sirve para calculo de pendientes y deflexiones, y por ultimo daremos a conocer el método de la viga conjugada este método consiste en cambiar el problema en este trabajo hay diversos ejercicios y la resolución respectiva de cada método como se aplica en la vida real en estructuras como puentes, casas etc. El estudio de las deformaciones de una pieza elástica, es de capital importancia en la Resistencia de Materiales, ya que todos los métodos de resolución de estructuras determinadas e indeterminadas, de manera más o menos inmediata, se fundan en la determinación de aquellas.Concretamente el hallazgo de las reacciones o incógnitas en estructuras, se hace en muchos casos siguiendo el procedimiento que indicamos a continuación;1. Se convierte, provisionalmente, la estructura en isostática, liberándola de las ecuaciones superabundantes, y sustituyéndolas por fuerzas exteriores que produzcan los mismos efectos, eligiendo, para ello, adecuadamente su punto de aplicación y dirección, según se aclara en los ejemplos que siguen.2. Se expresa que la estructura isostática base, así establecida, sometida a las fuerzas exteriores dadas, y a las de módulo desconocido, que sustituyen a las coacciones superabundantes; se deforman idénticamente que la estructura hiperestática real.Las ecuaciones que expresan esta condición, son las necesarias para la determinación de las incógnitas hiperestáticas.


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ContenidoTITULO:...............................................................................................................................................4

OBJETIVOS:........................................................................................................................................4

.MARCO TEÓRICO:..........................................................................................................................4

ANÁLISIS:.........................................................................................................................................33

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES:...............................................................................33

BIBLIOGRAFIA:...............................................................................................................................33

ANEXOS:............................................................................................................................................34

TITULO:CALCULO DE DEFLEXIONES

OBJETIVOS:

La aplicación de los diversos métodos en el cálculo de deflexiones que sufren las

estructuras determinadas e indeterminadas.

Reconocer cada método y su aplicación

Identificar el tipo de estructura.

La ejecución del método en la estructura correspondiente.

.MARCO TEÓRICO:

CALCULO DE DEFLEXIONES

Las cargas de flexión aplicadas a una viga hacen que se flexione en una dirección perpendicular a su eje. Una viga recta en su origen se deformara y su forma será ligeramente curva. En la mayor parte de los casos, el factor crítico es la deflexión máxima de la viga, o su deflexión en determinados lugares.

1. MÉTODO DEL TRABAJO REALEl método del trabajo real utiliza el principio de conservación de la energía, en virtud del cual el trabajo externo realizado por las cargas debe ser igual al trabajo interno de deformación producido por los esfuerzos causados por las cargas. Al plantear el trabajo externo es preciso cuidar que las cargas sean compatibles con las deflexiones, de tal manera que para componentes lineales de deflexión se tenga.

La desventaja del método radica en su limitación, pues sólo permite la existencia de una incógnita, y si se aplica más de una fuerza o momento se tendrá más de un desplazamiento o rotación.


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La única excepción a .lo anterior es el caso de simetría con dos fuerzas o dos momentos, ya que entonces las deflexiones lineales o rotacionales bajo cada una de las cargas son iguales.Ejemplo.Averigüe la deflexión producida en el punto D de la armadura mostrada por una carga P de 500 kN aplicada en el mismo. Supóngase que para todas las barras L/ A= 1 mm·1 y que el material es acero estructural con E = 200000 N/mm2.

Solución:Aplicando el método del trabajo real a armaduras se obtiene:

Por consiguiente, para resolver el problema hay que empezar por evaluar las fuerzas en las barras. En este caso es muy sencillo hacerlo por el método de los nudos, teniendo en cuenta la simetría de la estructura y de la carga. Los resultados están dados entre paréntesis en la misma figura y sirven para elaborar el cuadro siguiente:

Y llevando este valor a la ecuación (a):

2. APLICACIÓN DEL TEOREMA DE CASTIGLIANO


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Los teoremas de Castigliano de resistencia de materiales se deben al ingeniero italiano Carlo Alberto Castigliano (1847-1884), que elaboró nuevos métodos de análisis para sistemas elásticos. Los dos teoremas que llevan actualmente su nombre, enunciados en 1873 y 1875 respectivamente son sus contribuciones más importantes. Como ya se dijo, el Teorema de Castigliano y su corolario resultan muy útiles en el cálculo de deflexiones de estructuras determinadas y de reacciones redundantes en las indeterminadas, también se dice que: El teorema de Castigliano, establece que cuando actúan fuerzas sobre sistemas elásticos, el desplazamiento correspondiente a cualquier fuerza, puede encontrarse obteniendo la derivada parcial de la energía de deformación respecto a esta fuerza. Los términos “Fuerza” y “Desplazamiento” han de interpretarse con amplitud, ya que se aplican igualmente a momentos y a los desplazamientos angulares. El teorema de Castigliano es una herramienta grandiosa para la determinación de deformaciones de estructuras complejas.

Se ha visto que la energía de deformación es

Si sustituimos en esta ecuación la ecuación resulta

(Ec. 2.21) Derivando esta expresión respecto a F

Como se puede ver esta derivada es idéntica a la deformación.También se sabe que la energía de deformación de la torsión es:

(Ec. 2.22) La derivada de esta ecuación respecto a T es:

Que es la ecuación del desplazamiento angular bajo una carga de torsiónLa energía de formación para una viga en voladizo con una carga concentrada en su extremo, es

(Ec. 2.23)

Y la derivada respecto a F es que es la deformación de la viga.

El teorema de Castigliano puede establecerse matemáticamente , δn = desplazamiento del punto de aplicación de Fn en la dirección Fn.Puede aplicarse una fuerza imaginaria Q, si no existe realmente ninguna fuerza en este punto. Después que se haya obtenido la expresión de δn, la fuerza Q se hace igual a cero; la expresión resultante es el desplazamiento en el punto de aplicación de la fuerza imaginaria Q y en la dirección en la que se imaginó que actuaba Q.Aquí te mostramos un ejemplo del teorema de castigliano.

Ejemplo.Calcular la máxima deformación de una viga simplemente apoyada con una carga


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uniformemente distribuidaSe ha colocado una carga imaginaria Q en el centro de la viga, que es el punto de máxima deformación. Considerando sólo la parte izquierda, el momento es:

Ec. 2.24La energía de deformación para la viga entera es el doble de la correspondiente a la mitad de la viga.

La deformación en el centro es

Ec. 2.25

Puesto que Q es imaginaria podemos ahora igualarla a cero.

Ejemplo.Encuentre la deflexión horizontal del punto A, producida por el sistema de cargas mostrado. Las dimensiones son tales que para las diagonales LIA = 10 mm-1 y para las otras barras L/ A= 5 mm-1• EL material es acero estructural. E= 200 kN/mm2

Solución:


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Como. Hay varias fuerzas aplicadas, el problema no se podría resolver por el método del trabajo real. En cambio el Teorema de Castigliano resulta muy útil, y como ya hay una fuerza aplicada en el punto y dirección del desplazamiento buscado, bastará con llamarla P.Entonces:

Para mayor claridad se puede separar en dos el sistema de cargas:

En el extremo derecho se ha ilustrado la solución de la segunda parte. Los resultados de ambas se resumen en el siguiente cuadro:


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3. MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUALYa se había mencionado que el método del trabajo virtual es, entre los tradicionales, el procedimiento más versátil para evaluar deflexiones elásticas de estructuras producidas incluso por causas diferentes de la aplicación de cargas, como errores de fabricación o cambios de temperatura. La única restricción es que en su fona finita sólo es aplicable a Aquellos casos en los que es válido el Principio de superposición.Se recordará que, en resumen, el Principio del trabajo virtual decía que si una estructura deformable, en equilibrio bajo un sistema de cargas, era sometida a una deformación virtual como resultado de una acción adicional, el trabajo virtual externo hecho por el sistema de cargas es igual al trabajo virtual interno efectuado por las fuerzas internas causadas por él. Su aplicación se reduce entonces a evaluar ambas expresiones e igualarlas.

3.1. Deflexiones resultantes de deformaciones axialesSuponiendo que se quiere averiguar la deflexión vertical del punto A de la armadura mostrada, producida por las cargas P1, P2 y P3, se empieza por remover dichas cargas para aplicar luego una carga ficticia unitaria en el punto y dirección de la deflexión buscada.

La estructura queda en equilibrio bajo la acción de esta fuerza ficticia, que puede considerarse como el sistema de cargas dado en el Principio del trabajo virtual. Ahora la armadura se considera sometida a desplazamientos virtuales idénticos a las deflexiones resultantes del sistema real de cargas, o sea que el punto A se deforma virtualmente una cantidad . En consecuencia, la fuerza unitaria ficticia realizará un trabajo:

Por otra parte, si U representa la fuerza interna en la barra i inducida por la carga ficticia, al darle a la estructura los desplazamientos producidos por las cargas reales, dicha fuerza tendrá que recorrer la deformación elástica debida a tales cargas y al hacerlo efectuará un trabajo. El trabajo interno de toda la estructura será la suma de los trabajos realizados en las barras, o sea:

Donde S representa como antes la fuerza en el miembro producida por las cargas reales.Aplicando ahora el Principio del trabajo virtual:


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De nuevo, si el signo es negativo, quiere decir que la deflexión es en sentido opuesto al de la carga unitaria aplicada. La tensión se considera positiva porque a ella corresponde un alargamiento.Si se quiere averiguar la rotación de una barra, basta colocar un momento unitario. "La ecuación (4.6) se convierte entonces en:

Arriba se ilustra el procedimiento para encontrar la rotación de la barra AB.Finalmente, comparando las ecuaciones (3.22) y (4.6) se observa que el valor de U no es otro que el (ds/dp) del Teorema de Castigliano. La única diferencia está en el modo de hallarlo y en el fondo los dos métodos son idénticos.Usualmente, el alumno preferirá uno u otro según se incline por los problemas físicos o por los matemáticos.

3.2. Deflexiones debidas a flexiónLas expresiones del trabajo externo continúan siendo 1 x para deflexiones lineales y 1 X para rotaciones. Para evaluar el trabajo interno debido a flexión, se sigue un Proceso similar al anterior:

Con referencia a la figura, si se desea averiguar la deflexión vertical en A se coloca allí una carga virtual unitaria que producirá en una sección a una distancia x del apoyo un momento virtual mx. Considerando que éste es el sistema de cargas, y aplicándole a la viga los desplazamientos producidos por las cargas aplicadas, se realizará en la sección un trabajo interno de magnitud:

En donde x representa la rotación debida al momento M, producido por las cargas reales.De Mecánica de sólidos se sabe que a una distancia y del eje neutro el esfuerzo o y está dado por:


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Y, por consiguiente, el cambio en longitud de una fibra a esa distancia es:

Como la rotación es pequeña, el ángulo 13, se puede remplazar por su tangente. De ahí que

Y remplazando en la ecuación• (4.8)

El trabajo total se obtendrá integrando la expresión anterior a lo largo de la viga.

Igualando esta expresión a las que dan el trabajo externo, se obtiene entonces:Para deflexiones lineales:

En donde el subíndice a indica que los momentos virtuales son debidos a la aplicación de un par unitario en A.Comparando la ecuación (4.1 O) con la (3.23), se vuelve a encontrar total equivalencia con el método de Castigliano, en el que el m de ahora es el mismo (oM 1 oP) de aquél.

3.3. Deflexiones por corte y torsiónSiguiendo un procedimiento completamente análogo se pueden averiguar los trabajos Internos debidos a corte y a torsión. Éstos están dados por:Para. Corte:

En donde para una sección x, v es la fuerza de corte resultante de la carga unitaria ficticia(Equivalente al dV/dP de Castigliano), V es el corte producido por las cargas reales y K el factor de forma definido antes.


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En donde t es la torsión ficticia en una sección x debida a la carga virtual unitaria (equivalente al dt/dP visto anteriormente), T la torsión producida en la misma sección por las cargas reales y J el momento polar de inercia para elementos de sección circular o su equivalente para secciones rectangulares (cuadro 3.1 ).Las expresiones de trabajo externo en ambos casos siguen siendo iguales: 1 x y 1 x para desplazamientos lineales y rotaciones, respectivamente. Varias veces se ha dicho que las deflexiones por corte en la mayoría de las vigas comúnmente encontradas en la práctica, son insignificantes si se las compara con las debidas a flexión.El cuadro 4.1 presenta para una viga W 12 x 27 de acero estructural, la relación entre las dos deflexiones para diferentes luces y dos hipótesis de carga: concentrada en el centro de la luz y uniformemente repartida.

Cuadro 4.1Relación entre las deflexiones en el centro de la luz debidas a corte y a flexión en una viga

W 12 x 27 de acero estructural

Como era de esperarse, el primer caso produce deflexiones de corte relativamente mayores, puesto que su diagrama de corte tiene un área mucho mayor que la del segundo, mientras que en las áreas de los diagramas de momento respectivos pasa lo contrario.

Ejemplo.La cercha mostrada se quiere utilizar para cubrir un audito9o con luz de 9:75 m Y. va apoyada sobre columnas que están espaciadas cada 7.50 m. La teja es de asbesto cemento y la carga viva de diseño especificada es de 500 N/m2 de proyección horizontal.Se pide encontrar la deflexión en el centro el-: la luz, causada por el peso propio y la sobrecarga anterior.


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Áreas:Cordón superior: 1500 mm2Cordón inferior: 1000 mm2Diagonales y montantes: 1200 mm2SoluciónSe empieza por determinar las cargas:Teja ondulada de asbesto cemento No. 6 y accesorios 0.16 kN/m2Cielo raso 0.72 kN/m2Peso propio estimado, incluyendo correas y arriostramiento 0.10 kN/m2

qm = 0.98 kN/m2Carga viva qv = 0.50 kN/m2

Carga total q1 = qm + qv = 1.48 kN/m2Carga por nudo en una cercha interior:p = 1.48 X 1.625 X 7.50 = 18.0 kN

En el análisis rutinario se hace la simplificación de considerar que tanto el peso del cielo raso como el peso propio se hallan aplicados en los nudos superiores.De acuerdo con el método de los nudos y aprovechando la simetría se elabora el cuadro siguiente para los dos sistemas de cargas indicados a continuación:

La pendiente mínima recomendada para teja ondulada Etermit es de 27% (15.1 °). Aquí se adopta 30% (16. 7°), que resulta en correas espaciadas cada 1.694 m, que es aproximadamente la longitud de una teja No. 6.


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Por el Teorema del trabajo virtual:

Nótese la substracción del valor correspondiente a la barra DJ para evitar duplicarla al considerar la cercha total.

4. MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓNEs el mas general para determinar deflexiones. Se puede usar para resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas.Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la pendiente y deflexión de una viga por medio del cálculo integral.El método de doble integración produce ecuaciones para laPendiente la deflexión en toda la viga y permite la determinación directa del punto de máxima deflexión.

4.1. Fundamentos

En el segundo curso de Mecánica de sólidos se vio que la curvatura de una viga sometida a flexión pura está dada por:

En donde p es el radio de curvatura, M el momento aplicado, E el módulo de elasticidad del material e l el momento de inercia de la sección transversal, con respecto a un eje normal al plano de las cargas.


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Definiendo como línea elástica la curva que forma el eje neutro de la viga, se dijo también que por los principios del cálculo la relación entre la curvatura y la pendiente de la curva se puede expresar como:

En las vigas que se presentan normalmente en la Ingeniería civil, se requiere que las deflexiones sean inferiores a 11360 de la luz, lo cual obliga a que las pendientes sean muy pequeñas. De ahí que la ecuación anterior se puede aproximar por la siguiente:

Igualando las ecuaciones (4.14) y (4.16), se obtiene entonces:

Que es la ecuación diferencial de la línea elástica de una viga en flexión pura. La mayoría de las vigas, sin embargo, están sometidas a corte y la ecuación (4.17) sólo serviría para evaluar la parte correspondiente a flexión. Pero también en la mayoría de ellas, como ya se dijo, las deflexiones por corte son relativamente pequeñas y pueden despreciarse.Una primera integración de la ecuación ( 4.1 7) da la pendiente de la elástica en cualquier punto, y al integrar por segunda vez se obtiene la ecuación de la elástica misma. Las constantes de integración se obtienen a partir de las condiciones en los apoyos o de continuidad de la viga, como se recordará con los siguientes ejemplos.

En el caso de vigas simplemente apoyadas y vigas empotradas en un extremo, por ejemplo, tenemos las siguientes condiciones:

Del apoyo en ‘A’ puede establecerse:x = LA → y = 0Y, debido al apoyo en B


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x = LB → y = 0

Debido al empotramiento ‘A’x = LA → y = 0x = LA → q = 0Ejemplo.Encuentre la pendiente en el apoyo y la flecha (deflexión máxima) de una viga simplemente apoyada sometida a carga uniforme:

SoluciónDel diagrama de cuerpo libre:

Integrando:

Por simetría, la pendiente es cero en el centro de la luz.


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Remplazando este valor en (a)

En el apoyo A, x = O

Integrando ahora la ecuación (b):

y la ecuación de la elástica queda:

Debido a la simetría, la flecha o deflexión máxima se presenta en el centro de la luz.

Método alternoSe puede observarse que el método anterior conlleva la solución de cuatro ecuaciones para encontrar las cuatro constantes de integración. Esto se debe ·a que por cada diagrama distinto de cuerpo libre se presentan dos constantes, así que mientras mayor sea el número de aquellos más engorrosa será la solución. Sin embargo, observando las ecuaciones (a) y (d), se ve que éstas sólo difieren en el segundo término y la solución se puede simplificar mediante el uso de funciones de singularidad que se indican con paréntesis angulares, conviniendo que no existen para valores de x que vuelvan negativo el valor del paréntesis. En este caso particular basta escribir la ecuación (d) en la forma:

4.2. Cálculo directo de la ecuación de la elástica de vigas indeterminadas.El método de la doble integración puede emplearse también para resolver vigas indeterminadas, según se ilustra en los ejemplos siguientes.

5. METODO DE AREA DE MOMENTOS.El método de área-momento proporciona un procedimiento semigrafico para encontrar la pendiente y el desplazamiento en puntos específicos sobre la curva elástica de la viga.


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La aplicación de este método requiere el cálculo de áreas asociadas con el diagrama de momento flector de la viga; si el diagrama consta de formas geométricas sencillas, el método resulta muy fácil de usar. Normalmente este es el caso cuando la viga esta cargada con fuerzas y momentos concentrados.El método es bastante rápido y simple, pero en general se usa para calcular la deflexión de solo uno a unos cuantos puntos de la viga. Su uso requiere un elevado nivel de comprensión del principio de momentos y de las técnicas para preparar diagramas de momento flector además nos muestra dos teoremas en este método.Los dos teoremas que constituyen la base de este método fueron enunciados en la Universidad de Michigan en 1873 y resultan muy útiles para el cálculo de pendientes y deflexiones de vigas y pórticos, especialmente cuando se analiza su respuesta a cargas concentradas. Los teoremas citados son:

Teorema 1:Si se tienen dos puntos A y B de la curva elástica de un elemento sometido a flexión, la diferencia en pendiente de las tangentes a la curva en esos dos puntos es igual al área del diagrama M/EI entre ellos. Pendientes pequeñas:DemostraciónYa se vio que para pendientes pequeñas

:


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El área bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elástica.

Se puede usar para vigas con EI variable.

: Ángulo tangente en B medido desde la tangente en A.Se mide en radianes.Áreas positivas indican que la pendiente crece.


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Teorema 2:La distancia medida verticalmente de un punto B, sobre la curva elástica de una viga a la tangente trazada en otro punto A de la misma, es igual al momento estático con respecto a B del área del diagrama M/EI entre dichos puntos.

DemostraciónConsiderando la viga en voladizo de la figura, y suponiendo que es rígida excepto en un tramo diferencial de longitud dx, se observa que bajo la acción del momento en B la viga se deflactará de la manera indicada. Por la ecuación (4.18):

La deflexión total de B al considerar toda la viga flexible es obviamente la integral de la expresión anterior a lo largo de la viga, o sea:

Es decir, el· momento del área del diagrama (M/EI) entre A y B con respecto a B. La expresión anterior se puede generalizar cuando el momento no es constante; en cuyo caso sólo sirve para evaluar la parte de la deflexión que corresponde a flexión. Además, debe tenerse en cuenta que el valor obtenido no da la deflexión absoluta, sino simplemente la distancia vertical a la tangente trazada en A, que no siempre es horizontal. Se necesitará, entonces, acudir a la geometría del conjunto para hallar la deflexión verdadera, como se explica más adelante. La expresión general queda:


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Es evidente que para aplicar exitosamente el método es imprescindible calcular correctamente los diagramas de momento, por lo cual se sugiere al estudiante repasar la parte pertinente de sus cursos de Mecánica de sólido

Por teoría de los ángulos pequeños tenemos:

, si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la desviación vertical entre las tangentes en A y B.

Momento de primer orden con respecto a A del área bajo la curva

de entre A Y B.El teorema es: “La desviación de la tangente en un punto A sobre la curva elástica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B, es igual al momento del área bajo la

curva entre los puntos Ay B con respecto a un eje A.Se cumple siempre cuando en la curva no haya discontinuidades por articulaciones.Esta desviación siempre es perpendicular a la posición original de la viga y se denomina flecha.


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Ejemplo.Encuentre la pendiente en el apoyo y la deflexión máxima de la viga indicada.

SoluciónDebajo de la viga se ha dibujado el diagrama M/EI correspondiente.Por simetría Se = O; aplicando el primer teorema entre A y C:

Aplicando ahora el segundo teorema entre A y C, con la tangente trazada en C:

En que el signo positivo indica que el punto A está por encima de la tangente trazada en C.


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6. METODO DE LA VIGA CONJUGADAEs una viga ficticia de longitud igual a la de la viga real y cuya carga es el diagrama de momento flector reducido aplicado del lado de la compresión. La viga conjugada es siempre una viga estáticamente determinada.El método de la viga conjugada consiste en hallar el momento en la viga real y cargarlo a la viga conjugada. Luego dando corte y aislando unas de las parte de mejor conveniencia, se obtiene el cortarte que será el giro de la viga real y el momento en la viga conjugada será el desplazamiento en la misma. Este método consiste en cambiar el problema de encontrar las pendientes y deflexiones causadas en una viga por un sistema de cargas aplicadas, por otro problema en que se averiguan las fuerzas de corte y momentos de una viga especial, llamada viga conjugada, que está cargada con el diagrama M/EI de la viga original.En relación con el método de Área de momentos, tiene la ventaja de que no necesita conocer previamente un punto de tangente cero y, por consiguiente, en todos los casos se puede averiguar directamente la pendiente y deflexión de cualquier punto de la elástica.Por otra parte muchos ingenieros de estructuras prefieren trabajar con fuerzas de corte y momentos en lugar de integrales.En la figura de abajo se presenta una viga sometida una carga de intensidad variable, la cual produce el diagrama M/EI indicado. En la deducción de los teoremas de Área de momentos se llegó a la ecuación:

y también:

Si se integra esta última expresión:


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Recordando ahora que en un elemento de viga de longitud dx la carga, fuerza de corte y momento están relacionados por las expresiones.

Se puede suponer que si se tiene una viga ficticia llamada viga conjugada, de longitud. Igual a la de la viga real, y sometida a una carga denominada carga elástica de intensidad w = Miel, las expresiones del cambio en fuerza de corte y en momento para dicha viga Serán:

Comparando estas ecuaciones con las (4.19) y (4.21), se ve que los lados derechos son iguales; de ahí que los izquierdos también deban serlo. Por consiguiente:

y si se prescriben condiciones de apoyo adecuadas se puede lograr que en cada caso .los puntos de referencia sean cero, pudiendo escribirse entonces:

Que en palabras se pueden expresar así:


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Proposición 1La pendiente de la elástica en cualquier sección de la viga real () !!_S igual a la fuerza de corte en la misma sección de la viga conjugada correspondiente (V).Proposición 2La deflexión de cualquier punto de la liga real (y) es igual al- momento en la sección correspondiente de su viga conjugada (M),Utilizando estas proposiciones se 'pueden establecer las condiciones de apoyo que debe tener la viga conjugada para que se produzca la equivalencia. Los resultados se resumen en el cuadro 4.2.El cuadro de equivalencias se puede explicar como sigue: si el apoyo es simple habrá rotación pero no deflexión, lo cual implica que en la viga conjugada debe haber corte pero. no momento, o sea las condiciones que ofrece el mismo apoyo simple. En el caso de empotramiento, en cambio, no hay ni giro ni deflexión, de tal manera que en la viga conjugada no puede haber ni corte ni momento, lo cual sólo se logra dejando dicho extremo libre. Por el contrario, si el extremo de la viga real está libre por ser un voladizo, tendrá rotación y deflexión, obligando a empotrado en la viga conjugada para que allí se presenten corte y momento.

Cuadro 4.2Equivalencia entre los apoyos de la viga real y los de la viga conjugada correspondiente

En los apoyos interiores de la viga real no hay deflexión, pero la pendiente debe ser la misma a lado y lado de cada uno de ellos; por consiguiente, este tipo de apoyo se debe remplazar, en la viga conjugada, por una articulación que brinda momento nulo e igual fuerza de corte a uno y otros lados. Cuando se presenta una articulación en la viga real, el raciocinio inverso es completamente válido, de ahí que deba remplazarse por un apoyo interior en la viga conjugada. Los siguientes ejemplos ilustran la aplicación de las reglas establecidas en el cuadro citado.


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Se observa que, a diferencia de la viga real, la viga conjugada puede ser inestable en sí misma (casos b y e). Una vez cargada con el diagrama M/EI, se mantendrá en equilibrio inestable bajo su acción. También conviene anotar que en todos los casos la viga conjugada debe ser determinada, pues una viga conjugada indeterminada requeriría una viga real inestable.Si la viga conjugada se carga con el diagrama (M/EI) del lado de compresión de la viga real, a un momento positivo en aquélla corresponde una deflexión hacia abajo (negativa) de ésta, y a un corte positivo en la viga conjugada un giro en sentido horario (pendiente negativa) de la viga real. Es importante recordar esto para evitar confusiones, especialmente cuando se trata de establecer ecuaciones de compatibilidad de deformaciones en la solución de vigas indeterminadas.La extensión del método de la viga conjugada a la solución de pórticos simples recibe el nombre de Método de la estructura conjugada.

Relaciones entre la viga real y la viga conjugada.

a.- La longitud de la viga real y de la conjugada es la misma.b.- La carga en la viga conjugada es el diagrama de momentos de la viga real.c.- La fuerza cortante en un punto de la viga conjugada es la pendiente en elmismo punto de la viga real.d.-El momento flexionante en un punto de la viga conjugada es la flecha en elmismo punto de la viga real.e.-Un apoyo simple real equivale a un apoyo simple en la viga conjugada.f.- Un apoyo empotrado real equivale a un extremo libre o voladizo de la vigaconjugada.g.- Un extremo libre (voladizo) real equivale a un empotramiento conjugado.h.- Un apoyo interior en una viga continua equivale a un pasador o articulaciónen la viga conjugada.


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Relaciones entre los apoyos

Este método al igual que el del eje elástico y área de momentos nos permite calcular los giros y flechas de los elementos horizontales denominados vigas o de los verticales llamados columnas.En este capítulo estudiaremos este importante método aplicándolo tanto a vigas como pórticos.En cuanto a las características de la viga conjugada, dado que al cargarse ésta con las cargas elásticas su diagrama de momentos flectores debe representar exactamente la elástica de la viga real, sus vínculos deben elegirse de manera tal que se respeten estas premisas.

Analogías de Mohr


http://bp3.blogger.com/_TnHt8bxvs7o/SGWJfW7vUKI/AAAAAAAAAME/5S_eNi4heOk/s1600-h/relacion+entre.jpg

http://bp1.blogger.com/_TnHt8bxvs7o/SGWJf5cnkzI/AAAAAAAAAMM/G0VAUQH7N0I/s1600-h/analogia+de+mohR.png

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http://bp1.blogger.com/_TnHt8bxvs7o/SGWJf8-PAOI/AAAAAAAAAMU/0ecfqQ5Qghg/s1600-h/analogia+de+mohR+2.png

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http://bp2.blogger.com/_TnHt8bxvs7o/SGWJgUUiXwI/AAAAAAAAAMc/ug0jEFMdmhU/s1600-h/mohR3.png

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Ejemplo. Calcular el giro en B y la flecha en D de la siguiente viga:


http://bp1.blogger.com/_TnHt8bxvs7o/SGWMEOgef3I/AAAAAAAAANU/XcUa2ClNP54/s1600-h/ejer4.png

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Ejemplo.Mediante el método de la viga conjugada, encuentre la deflexión en el punto C del voladizo Mostrado, suponiendo El constante.


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ANÁLISIS:

Es necesario calcular las deflexiones de miembros estructurales bajo cargas y condiciones ambientales conocidas.El calculo de deflexiones ha sido estudiado solo en forma determinístico.Las armaduras son estructuras compuestas por miembros de dos fuerzas, usualmente rectos. Constan generalmente de subelementos triangulares y están apoyadas de manera que se impida todo movimiento. En esta práctica se analizarán los métodos de resolución de estructuras determinada e indeterminadas, vigas. Como se halla con cada uno de estos métodos algunos de estos métodos utiliza derivadas, el método del trabajo real es el más utilizado en la práctica cuando nosotros vamos a aplicar en el campo por ejemplo en puentes calcular la flexión máxima que puede soportar.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES:

Los diferentes métodos usados para el cálculo de deflexión utilizados aquí nos dan a conocer la resolución de las estructuras determinadas e indeterminadas y saber la aplicación de cada método en que tipo de estructura es mas fácil su aplicación los elementos estructurales se calculan para saber la carga de servicio mas pesadas que va a soportar, se recomienda la aplicación del método real que es mas aplicable ya que también muchos ingenieros de estructuras prefieren trabajar con fuerzas de corte y momento en lugar de integrales. Además para poder controlar este problema se debe aplicar el diseño de los métodos apropiados para el control de este problema.

BIBLIOGRAFIA:

Análisis EstructuralGENARO DELGADO CONTRERAS

Mecánica de MaterialesFERDINAND P. BEER, E. RUSSEL JOHNSTON, JR.

Resistencia de Materiales I – IIARTEAGA N., P. IBERICO C., P. IBERICO C., C. GONZALES, A. MEGO C.

Análisis estructural JAIRO URIBE ESCAMILLA


EAPIC

ANEXOS:

G


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TEMA 4. CALCULO DE DEFLEXIONES.docx