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TEMA IV

ARMÓNICOS

4.1.-Introducción.

4.2.-Forma trigonométrica de la Serie de Fourier.

4.3.-Desarrollo en Serie de Fourier de una función.4.3.1.-Condiciones de convergencia.4.3.2.-Determinación de los coeficientes.4.3.3.-Simetría de las Formas de Onda.

4.4.-Espectro de una Onda.

4.5.-Valor Eficaz y Potencia.

4.6.-Factor de Armónicos y Factor de Onda Fundamental.

4.7.-Armónicos en las Redes Eléctricas.4.7.1.-Origen de los Armónicos.4.7.2.-Efectos producidos por los Armónicos.4.7.3.-Filtrado de Armónicos.

-96-

aa x b senx a x b sen x0

1 1 2 222 2+ + + + +cos cos ... (1)

( ) ( )( )aa nx b sen nxn n

n

0

12+ +

=

∞

∑ cos (2)

( ) ( ) ( ) ( )i a c nx ii a c sen nxn nn

n nn

; 12

120

10

1+ − + −

=

∞

=

∞

∑ ∑cos q f (3)

IV.1.-INTRODUCCIÓN

Algunas formas de onda periódicas, como por ejemplo el diente de sierra de laFig. 1, solamente pueden describirse mediante funciones sencillas localmente. Talesexpresiones describen la forma de onda satisfactoriamente, pero no permitendeterminar la respuesta del circuito. Ahora bien, si una función periódica puedeexpresarse como la suma de un número finito o infinito de funciones senoidales, lasrespuestas de los circuitos lineales a excitaciones no senoidales pueden obtenerseaplicando el teorema de superposición. Con el método de Fourier pueden resolverseeste tipo de problemas.

En este capítulo se analizan diferentes herramientas y condiciones para laaplicación del método de Fourier. Las ondas periódicas se expresan como series deFourier, mientras que las no periódicas se expresan por sus correspondientestransformadas de Fourier. Sin embargo, una parte de una onda no periódicaespecificada en un periodo de tiempo finito puede expresarse mediante una serie deFourier válida para dicho periodo de tiempo. Este conjunto de posibilidades hace queel análisis de las series de Fourier sea el principal objetivo de este capítulo.

IV.2.-FORMA TRIGONOMÉTRICA DE LA SERIE DE FOURIER

La serie de funciones de la forma

o, de forma más compacta, la serie de la forma

se llama serie trigonométrica. Los números constantes a0, an y bn (con n = 1, 2, ...)Se llaman coeficientes de la serie trigonométrica.

Puede demostrarse que si dicha serie converge, entonces su suma es unafunción periódica, de periodo 2B, puesto que sen(nx) y cos(nx) son funcionesperiódicas de periodo 2B.

También puede probarse que podemos poner esa misma serie de cualquierade las dos formas siguientes, combinando en un término simple de seno o coseno conun defasaje:

donde

-97-

c a b tgba

tgabn n n n

n

nn

n

n= + =

=

− −2 2 1 1 ; ; q f (4)

( ) ( ) ( )( )f ta

a n t b sen n tn nn

= + +=

∞

∑0

12cos w w (5)

En ambas ecuaciones, cn es la amplitud del armónico, mientras que 2n y Nnson los ángulos de fase del armónico.

También existe otra forma equivalente a estas series que son las llamadasseries exponenciales de Fourier (recuérdese que las funciones seno y coseno puedenponerse como exponenciales imaginarias, según las fórmulas de Moivre), no obstante,no nos ocuparemos aquí de este otro tipo de serie.

IV.3.-DESARROLLO EN SERIE DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN

IV.3.1.-CONDICIONES DE CONVERGENCIA

El problema respecto de estas series es su convergencia. No existe ningúnteorema que nos de condiciones necesarias y suficientes para garantizar laconvergencia de esta serie. Afortunadamente sí que disponemos de condicionessuficientes que debe cumplir una determinada función f(t) para que exista una serietrigonométrica que converja a ella: las condiciones de Dirichlet, que se expresan dela siguiente forma.

“Cualquier onda periódica, es decir, que cumpla f(t) = f(t+T), podrá expresarseen una serie de Fourier siempre que:

1) siendo discontinua, tenga un número finito de discontinuidades en el periodoT;2)tenga un valor medio finito en el periodo T;3)incluya un número finito de máximos positivos y negativos en el periodo T.”

Cuando se cumplan esas condiciones de Dirichlet diremos que la serie deFourier que converge a dicha función existe:

IV.3.2.-DETERMINACIÓN DE LOS COEFICIENTES

Es obvio que, ya de por sí, las condiciones anteriores son interesantes, perosería imprescindible, no solamente saber que la serie converge, sino también sabercual es exactamente esta serie, es decir, como calcular los coeficientes de la misma.

Afortunadamente, también esto puede hacerse de forma fácil, aunque noentraremos aquí en su demostración.

Puede verse que los coeficientes de la serie de Fourier pueden obtenerse de lasiguiente forma:

-98-

( ) ( ) ( )a f t n t dtT

f tnt

dtn

T= =

∫ ∫

wp

wpw

pw cos cos

0

2

0

2 2(6)

( ) ( ) ( )b f t sen n t dtT

f t sennt

dtn

T= =

∫ ∫

wp

wpw

pw

0

2

0

2 2(7)

( ) ( )a F n dn = ∫1

0

2

py y y

pcos (8)

( ) ( )b F sen n dn = ∫1

0

2

py y y

p(9)

Figura 1

Un método alternativo para realizar las integrales consiste en utilizar la variableR=Tt, siendo el correspondiente periodo 2B:

donde F(R) = f(R/T). Las integrales pueden realizarse desde -T/2 a T/2, -B a +B osobre cualquier otro periodo completo que pueda simplificar los cálculos. La constantea0 se obtiene de las ecuaciones anteriores, con n=0; sin embargo, como a0/2 es el valormedio de la función, es frecuente que dicha constante pueda determinarse medianteun análisis de la forma de onda.

La serie de Fourier con los coeficientes obtenidos de las integrales anterioresconverge de modo uniforme al valor de la función en todos los puntos donde la funciónes continua, y converge al valor medio en los puntos en los que la función esdiscontinua.

EJEMPLO. Determinar la serie de Fourier de la onda de la Fig. 1

La onda es periódica, con periodo 2B/T para t ó 2B para Tt. Es continua para0<Tt<2B y de la forma f(t) = (10/2B)Tt, con discontinuidades para Tt=n2B , donden=0,1,2, .... Se verifican las condiciones de Dirichlet. El valor medio de la función,analizando la forma de la onda, es 5 , por lo que a0/2 = 5. Para n>0 tendremos:

-99-

( ) ( )a t n t d tn =

⋅ =∫

1 1020

2

p pw w w

pcos

( ) ( )( )= − =10

22 0 02 2pp

nncos cos

( ) ( )= +

=

102

12 2

0

2

pw

w wpt

nsen n t

nn tcos

( ) ( )b t sen n t d tn =

⋅ =∫

1 1020

2

p pw w w

p

( ) ( )= − +

= −

102

1 102 2

0

2

pw

w wp

ptn

n tn

sen n tn

cos

( ) ( ) ( ) ( )f t sen t sen t

sen n tnn

= − − − = −=

∞

∑510 10

22 5

101p

wp

wp

w�

Por tanto, la serie no contiene términos en coseno. Para los otros coeficientes:

Utilizando estos coeficientes de los términos en seno y el término del valormedio, la serie es:

IV.3.3.-SIMETRÍA DE LAS FORMAS DE ONDA

La serie obtenida en el ejemplo anterior solamente contiene un términoconstante, además de los términos en seno. Otras formas de onda sólo contendrán lostérminos en coseno y, en ocasiones, solamente aparecen en la serie armónicosantisimétricos, aunque las series contengan términos en seno, coseno o ambosconjuntamente. Todo esto es el resultado de algunos tipos de simetría mostrados porlas ondas. El conocimiento de tales simetrías se traduce en una reducción de loscálculos a la hora de determinar la serie de Fourier. Por este motivo son importanteslas siguientes definiciones:

1º)Una función f(x) se dice que es par si f(x) = f(-x).La función f(x) = 2 + x2 + x4 es un ejemplo de una función par, ya que los valores

que toma la función para x y para -x son iguales. En general, todas las funcionespolinómicas que no contengan potencias impares constituirán una función par.

La función coseno es una función par, ya que puede expresarse mediente una

-100-

( )cos ! ! ! !xx x x x

= − + − + −12 4 6 8

2 4 6 8

�

(16)

Figura 2

( )sen x xx x x x

= − + − + −3 5 7 9

3 5 7 9! ! ! ! �

(17)

suma de términos de potencias pares (desarrollo de Taylor):

La suma o el producto de dos o más funciones pares es una función par. Lasuma de una constante a una función par no altera su naturaleza par (recuérdese queel número cero se considera par).

En la siguiente figura se muestran algunos ejemplos de funciones pares de x,las cuales son (obligatoriamente) simétricas respecto al eje vertical.

2º)Se dice que una función f(x) es impar si f(x) = -f(-x).

La función f(x) = x + x3 + x5 es un ejemplo de una función impar, ya que losvalores de la función para x y para -x son de signos contrarios. La función seno es unafunción impar, ya que puede expresarse mediante una suma de términos con potenciasimpares (obligatorio para una función impar):

La suma de dos o más funciones impares es una función impar, pero la sumade una constante elimina la naturaleza impar de la función. El producto (o cociente) dedos funciones impares es una función simétrica par. El producto (o cociente) de unafunción par, por una función impar es otra función impar.

Las formas de onda de la siguiente figura representan funciones impares de x.Son simétricas respecto al origen de coordenadas.

-101-

Figura 4

Figura 3

3º)Se dice que una función periódica f(x) es inversa de medio ciclo si f(x) = -f(x+T/2),donde T es el período. En la siguiente figura se muestran dos ondas inversas de mediociclo.

Al establecer el tipo de simetría de una onda pueden obtenerse algunasconclusiones. Si la forma de onda es par, los términos de sus series de Fourier sontérminos en coseno, incluyendo una constante si el valor medio de la forma de ondaes distinto de cero. Por tanto, no es necesario realizar las integrales para obtener bn porno estar presente ningún término en seno. La onda puede ser impar únicamentedespués de restarle su valor medio, en cuyo caso, su serie de Fourier contendrá esaconstante y una serie de términos en seno. Si la onda es inversa de medio ciclo, en laserie solamente aparecen los armónicos impares. Esta serie contendrá términos enseno y en coseno, a menos que la función sea (a la vez) par o impar. En cualquiercaso, an y bn son cero para n=2, 4, 6, ..., para cualquier forma de onda inversa demedio ciclo. Esta última sólo puede darse tras restar el valor medio.

Algunas formas de onda, según la ubicación del eje vertical, pueden ser pareso impares. La onda cuadrada de la Fig. 5(a) reúne las condiciones de una función par,es decir, f(x) = f(-x). Un desplazamiento del eje vertical a la posición mostrada en la Fig.5(b) produce una función impar, es decir, f(-x) = -f(x). Si el eje vertical se coloca en unpunto distinto a los mostrados, la onda cuadrada no será ni par ni impar, por lo que siserie contendrá términos en seno y en coseno. Así, en el análisis de una funciónperiódica el eje vertical deberá elegirse cuidadosamente para obtener una función par

-102-

Figura 5

Figura 6

o impar, siempre que la forma de onda lo permita.

La variación de la posición del eje horizontal puede simplificar la representaciónde la serie de la función. Como ejemplo, la onda de la Fig. 6(a) no reúne los requisitosde una función impar a menos que se le reste el valor medio, tal y como se muestra enla Fig. 6(b). Por ello su serie contendrá únicamente un término constante y lostérminos en seno.

IV.4.-ESPECTRO DE UNA ONDA

El diagrama donde se representan las amplitudes de cada uno de los armónicosque constituyen una onda se denomina espectro de la onda. La amplitud de losarmónicos decrece (no necesariamente de forma monótona) rápidamente para ondascon series que convergen rápidamente. Las ondas con discontinuidades, como eldiente de sierra o la onda cuadrada, tienen un espectro cuyas amplitudes decrecenlentamente, ya que sus desarrollos en serie tienen armónicos de elevada amplitud. Losarmónicos décimos tendrán, a menudo, amplitudes de valor significativo comparadoscon el fundamental. En contraste, los desarrollos en serie para ondas sindiscontinuidades, y con una apariencia generalmente suave, convergen rápidamente,por lo que para generar la onda se requieren muy pocos términos del desarrollo enserie. Tal convergencia rápida se hace evidente en el espectro de la onda, donde lasamplitudes de los armónicos decrece rápidamente, de forma que por encima del quintoo del sexto son insignificantes.

El contenido en armónicos y el espectro de la onda son parte propia de lanaturaleza de dicha onda y nunca cambian, sea cual sea el método de análisis.

-103-

c a c a bn n n0 02 21

2= = + ≥ y (n 1) (18)

Figura 7

( )f t a a t a t b sen t b sen t= + + + + + +12

2 20 1 2 1 2cos cosw w w w� �(19)

F a a a b brms =

+ + + + + + =

12

12

12

12

120

2

12

22

12

22

� �

(20)

= + + + +c c c c02

12

22

321

212

12

�

(21)

Modificar el origen da a los armónicos desarrollos trigonométricos una aparienciacompletamente distinta, lo que también es aplicable a los desarrollos en serie. Sinembargo, los mismos armónicos siempre aparecen en los desarrollos, y sus amplitudespermanecen fijas.

Por último, comentar que cuando la función no es periódica, con lo que no sepuede obtener una serie trigonométrica a la que converja, ya comentamos que, en esecaso, deberíamos (si se puede) utilizar no un desarrollo en serie sino la transformadade Fourier. Esto conlleva que, en este caso, el espectro no está formado por una seriede armónicos, esto es, un espectro discreto, sino que se tiene ahora un espectrocontinuo, conteniendo todas las frecuencias reales (no solo las múltiplos entero de T).

IV.5.-VALOR EFICAZ Y POTENCIA

El valor eficaz (rms) de la función

es

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( ) ( )v V V sen n t i I I sen n tn n n n= + + = + +∑ ∑0 0w f w y e (22)

V V V V I I I Irms rms= + + + = + + +02

12

22

02

12

221

212

12

12

� � e (23)

( )[ ] ( )[ ]p vi V V sen n t I I sen n tn n n n= = + + + +∑ ∑0 0w f w y (24)

( )[ ] ( )[ ]PT

V V sen n t I I sen n t dtn n n n

T= + + + +∑ ∑∫

10 00

w f w y (25)

P V I V I V I V I= + + + +0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 312

12

12

cos cos cosq q q �(26)

Partiendo de un circuito lineal con una tensión aplicada periódica, deberíaesperarse que la intensidad resultante contuviera los mismos términos armónicos quela tensión, aunque con amplitudes de diferente magnitud relativa, ya que la impedanciavaría con nT. Es posible que algunos armónicos no aparezcan en la intensidad; porejemplo, en un circuito paralelo LC puro, una de las frecuencias de los armónicospuede coincidir con la frecuencia de resonancia, haciendo que la impedancia para esafrecuencia sea infinita. En general puede escribirse:

con los correspondientes valores eficaces:

La potencia media P se obtiene de la integración de la potencia instantánea, lacual se obtiene del producto de v e i:

Como v e i tienen un período T, su producto debe tener un número entero deperíodos en T (recuérdese que para una onda seno simple de tensión aplicada, elproducto vi tiene un período mitad que el correspondiente a la onda de tensión). Elvalor medio puede calcularse sobre un período de la onda de tensión:

El análisis de los posibles términos resultantes del producto de dos seriesinfinitas nuestra que dichos términos pueden ser de los siguientes tipos: el producto dedos constantes, el producto de una constante y una función seno, el producto de dosfunciones seno de diferentes frecuencias, y funciones seno al cuadrado. Después dela integración, el producto de dos constantes sigue siendo V0AI0 y las funciones seno alcuadrado con los límites aplicados son (VnIn/2)cos(Nn - Rn); la integración en el períodoT de todos los demás productos es cero. Por tanto, la potencia media es

donde 2n = Nn - Rn es el ángulo de la impedancia equivalente del circuito para lafrecuencia nT, y Vn e In son los valores máximos de sus funciones senoidalesrespectivas (si esos valores individuales fueran eficaces, no aparecerías los términos1/2).

En el caso especial de una tensión senoidal de una única frecuencia, V0 = V2 =V3 = ... =0, y la anterior expresión se reduce a la ya conocida

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P V I V Ief ef= =12 1 1 1cos cosq q (27)

P V I vi= =0 0 (28)

P P P P P= + + + +0 1 2 3 � (29)

IVR

A00 100

520= = =

( ) ( )iV

Zsen t sen t A1

1

11 448 634= − = −,max , , º ( )w q w

( ) ( )iV

Zsen t sen t A3

3

333 0823 3 8054= − = −,max , , º ( )w q w

( ) ( )i sen t sen t= + − + −20 448 634 0823 3 8054, , º . , ºw w

I Aef = + + = =20448

20823

24106 20252

2 2, ,, ,

También, para una tensión DC, V1 = V2 = V3 = ... = 0, y la potencia pasa a ser

Por lo tanto, la expresión anterior encontrada es bastante general. Nótese queen el segundo miembro no hay término que implique un producto de tensión eintensidad de diferentes frecuencias. Por tanto, en lo que a potencia se refiere, cadaarmónico actúa de forma independiente y

EJEMPLO. A un circuito RL serie, con R= 5S y L = 20mH se aplica la tensión v(t) =100 + 50sen(Tt) + 25sen(3Tt) (v), con T = 500 rad/s. Determinar la intensidad cedidapor el generador, así como la potencia media suministrada.

Em primer lugar habrá que calcular la impedancia equivalente del circuito paralas distintas frecuencias de tensión, para luego obtener la intensidad correspondiente.

Para T = 0, Z0 = R = 5S, de donde:

Para T = 500rad/s, Z1 = 5 + j(500)(20A10-3) = 5 + j10 = 11,15|63,4º S y, así,

Para 3 T = 1500rad/s, Z3 = 5 + 30j = 30,4|80,45º S, e

La suma de los armónicos de intensidad es la respuesta total requerida; es unaserie de Fourier del tipo visto:

Esta intensidad tiene un valor eficaz de

la cual da una potencia en la resistencia de 5S de

-106-

P I Ref= = ⋅ =2 4106 5 2053, W

VRef= + + = =100

12

22412

411 10259 10132 2 2, , , V

PV

Rf= = =Re

2 102595

2052 W

( )[ ]

( )FF

YY

Ty t dt

Ty t dt

ef

med

T

T= =

∫

∫

1

1

2

0

0

(38)

Y ac c c

ef = +

+

+

+0

2 12

22

32

2 2 2�

(39)

Como verificación se suma la potencia media total calculando primero lapotencia que suministra cada armónico y sumando los resultados:Para T=0; P0 = V0I0 = 100A20 = 2000 WPara T=500rad/s; P1 = (1/2)V1I1Acos21 = (1/2)A50A4,48Acos(63,4º) = 50,1 WPara 3 T=1500rad/s; P3 = (1/2)V3I3Acos23 = (1/2)A25A0,823Acos(80,54º) = 1,69 W

Entonces: P = 2000 + 50,1 + 1,69 = 2052 W

Otro método sería encontrar el desarrollo en serie de Fourier para la tensiónentre los extremos de la resistencia:

vR = RAAAAi = 100 + 22,4sen(TTTTt-63,4º) + 4,11sen(3 TTTTt-80,54º) (V)de donde

Entonces, la potencia suministrada por la fuente es

El llamado Factor de Forma, que se define como se indica a continuación

se utiliza para conocer el valor eficaz de una magnitud senoidal a partir del valor mediode la misma en un semiperíodo. Hay instrumentos de medida que se basan en que eldesplazamiento de la aguja es proporcional al valor medido y, sin más que cambiar lagraduación de la escala (multiplicando por 1.11, que es el valor de FF para la ondasenoidal), se puede tener la lectura directa del valor eficaz de la magnitud.

Esto puede dar lugar a lecturas falsas, cuando la señal tiene alto contenidoarmónico, ya que en este caso, la expresión del valor eficaz es

Cuando un instrumento de medida está preparado para medir el valor eficaz deuna onda utilizando esta última expresión, se dice que mide el verdadero valor eficaz

-107-

Dc c

c

Y

Y

nn

n

=+ +

= =

=∞

∑22

32

1

2

2

1

� (40)

DY

Y

nn

n

nn

n= =

=∞

=

=∞

∑

∑

2

2

2

1

(41)

IV.6.-FACTOR DE ARMÓNICOS. FACTOR DE ONDA FUNDAMENTAL

Cuando una onda no sinusoidal tiene muchos armónicos con valores eficacesdel orden del principal, se dice que está muy distorsionada, o que tiene grancontenido de armónicos, y su forma estará muy alejada de la forma sinusoidal. Paradefinir el grado de distorsión se utiliza el coeficiente de distorsión armónica (D),definido por la expresión:

Para una onda sinusoidal pura, D es igual a cero, ya que c2 = c3 = ... = 0. Parauna onda con muchos armónicos el numerador representa el valor eficaz de todos losarmónicos excepto el del fundamental y, por tanto, el coeficiente de distorsión armónicade una onda indica la proporción de armónicos de orden superior a uno respecto alfundamental. Para valores de D < 0.05 (5%) la distorsión se puede considerardespreciable y el primer armónico es suficiente como aproximación de la onda nosinusoidal.

La anterior definición de coeficiente de distorsión armónica es la recomendadapor el CIGRE (Conferencia Internacional de Grandes Redes Eléctricas). Existe otradefinición dada por la CEI (Comisión Electrotécnica Internacional), en la que en eldenominador, en lugar de tomar el valor eficaz del primer armónico se toma el valoreficaz de toda la onda:

(Nótese que en este caso 0 # D <1, mientras que para la definición anterior,solamente se tiene D $ 0)

Salvo indicaciones en contra, nosotros utilizaremos la definición según la CIGREque corresponde a la relación entre la carga armónica y la corriente no deformada afrecuencia industrial.

El factor o tasa individual da una medida de la importancia de cada armónicoen relación a la fundamental. La tasa individual es la relación entre el valor eficaz dela amplitud del armónico de rango n y el de la fundamental. Suele darse en %, y elespectro suele darse en relación a estos valores relativos.

-108-

nffn=1

(42)

Se define el orden o rango del armónico como la relación que hay entre sufrecuencia fn y la frecuencia de la fundamental (generalmente la industrial, 50 ó 60Hz):

Por principio, la fundamental f1 tiene rango 1.

IV.7.-ARMÓNICOS EN LAS REDES ELÉCTRICAS

La energía eléctrica se distribuye generalmente en forma de tres tensiones queconstituyen un sistema trifásico sinusoidal. Uno de los parámetros del sistema es laforma de onda, que debe ser lo más parecida posible a una sinusoide.

Es necesario corregir esta forma de onda, si ésta sobrepasa ciertos límites, quea menudo podemos encontrar en las redes que contienen fuentes de corrientes y detensiones armónicas tales como hornos de arco, convertidores estáticos de potencia,alumbrado, ...

IV.7.1.-ORIGEN DE LOS ARMÓNICOS

Diremos que una carga es lineal cuando si es excitada por una tensiónsenoidal, la corriente que circula por ella también es senoidal de la misma frecuencia(aunque puede variar su amplitud o fase). Así, las cargas típicas (R, L y C) secomportan de forma lineal. Obviamente, una carga es no lineal si no cumple loanterior. De acuerdo con eso, las cargas no lineales son las responsables de laaparición de armónicos.

Los generadores de magnitudes eléctricas armónicas o fuentes perturbadoras,en el ámbito industrial son los convertidores estáticos, los hornos de arco, elalumbrado, las inductancias saturables y otras tales como las ranuras de las máquinasrotativas (armónicos a menudo despreciables).

Los puentes rectificadores y en general los convertidores estáticos (diodosy tiristores) son generadores de corrientes armónicas.

Las componentes armónicas características de las crestas de la corriente dealimentación de los rectificadores tienen rango n (son de orden n), con n = (kAp)±1,donde k = 1, 2, 3, 4, 5, ... y p = nº de ramas del rectificador (por ejemplo, p=6 para elpuente de Graetz o puente hexafásico), de este modo, para los rectificadores citados,los armónicos presentes serán de orden 5, 7, 13, 17, 19, 23, 25 con p=6, y de orden11, 13, 23, 25 con p=12.

Es fácil constatar que los armónicos I5 e I7 tienen amplitudes bastante grandes,y que pueden suprimirse utilizando un puente dodecafásico (p=12).

-109-

En la práctica los espectros de corriente son sensiblemente diferentes. Seproducen nuevas componentes armónicas pares e impares denominadas nocaracterísticas, de débil amplitud, y las amplitudes de los armónicos característicos seven modificadas por múltiples factores tales como: disimetría de construcción,imprecisión de constante de apertura de los tiristores, tiempo de conmutación, filtrajeimperfecto, ...

Se puede observar, en el caso de puentes de tiristores, un desfase de losarmónicos en función del ángulo de retardo del cebado.

Los puentes mixtos diodos-tiristores son generadores de armónicos de ordenpar. Su empleo se limita a pequeñas potencias ya que el armónico de orden 2 es muymolesto y difícil de eliminar.

Los otros convertidores de potencia (reguladores, cicloconvertidores, ...) Tienenespectros variables y más ricos en armónicos que los rectificadores. Notar que (cadavez más) poco a poco son reemplazados por los convertidores de técnica PWM (PowerWave Modulation) que trabajan con una frecuencia de corte de 20 a 50KHz., sonnormalmente concebidos para generar un débil nivel de armónicos.

El horno de arco utilizado en siderurgia puede ser de corriente alterna o decorriente continua. El de alterna es no lineal, asimétrico e inestable. Induce espectrosque contienen bandas impares, pares y una componente continua (ruidos de fondo afrecuencias cualesquiera). El nivel espectral es función del tipo de horno, de supotencia, del período de funcionamiento considerado: fusión, afinado, ... Solamente lasmedidas pueden determinar el espectro de manera precisa.

En cuanto al de corriente continua, el arco se alimenta en este caso por mediode un rectificador y es más estable que el de alterna. La corriente absorbida sedescompone en un espectro parecido al de un rectificador más un espectro continuode nivel inferior al de un horno de corriente alterna.

El alumbrado por lámparas de descarga y tubos fluorescentes es generador decorrientes armónicas. Un factor individual del 25% del tercer armónico puede serelevado en algún caso, por lo que se ha de prestar una atención particular a ladeterminación de la sección y de la protección del conductor neutro que transporta lasuma de las corrientes armónicas de las tres fases, con riesgo de calentamientoelevado.

Las inductancias saturables tienen su impedancia en función de la amplitudde la corriente que por ellas circula, y de hecho, ellas provocan deformaciones notablesde esta corriente. Este es el caso, en cierta medida, de los transformadores, en vacío,sometidos a una sobretensión permanente.

Las máquinas rotativas dan armónicos de ranura de rango elevado y deamplitudes a menudo despreciables.. Las pequeñas máquinas síncronas son, sinembargo, generadoras de tensiones armónicas de 3er orden que pueden tener unaincidencia sobre:

-el calentamiento permanente (bajo defecto) de las resistencias de puesta atierra del neutro de los alternadores;

-110-

-el funcionamiento de los relés amperimétricos de protección contra los defectosde aislamiento.

IV.7.2.-EFECTOS PRODUCIDOS POR LOS ARMÓNICOS

Podemos clasificar los armónicos de la siguiente forma:

Nombre Fundamental 2º 3º 4º 5º 6º 7ºFrecuencia 50 100 150 200 250 300 350 (Hz)Secuencia + - 0 + - 0 +

Normalmente, las ondas que circulan por la red tienen las mismas componentespositivas que negativas, con lo cual no suelen aparecer armónicos de orden par(incluyendo el de orden 0 o componente DC), así, lo habitual es encontrarse con

Nombre F 3º 5º 7º 9º 11º 13ºFrecuencia 50 150 250 350 450 550 650Secuencia + 0 - + 0 - +

La secuencia indica el sentido de rotación de su vector corriente (fasor). Indicael sentido en que giraría el rotor de un motor, al ser excitado por esa seña. Secuenciadirecta (+) indica que el sentido de giro es el horario. Secuencia inversa (-) indica unsentido de giro antihorario). Secuencia homopolar (0) indica que no gira. Esosarmónicos (llamados normalmente triplens) se suman al neutro de la red (si ésta esde 4 hilos) y son los causantes de sobrecalentamientos que pueden llegar a producirseros problemas en la red.

Los armónicos de secuencia negativa son peligrosos porque pueden quemar losmotores de inducción trifásicos (ya que unas componentes tienden a que el motor gireen sentido horario y éstos tienden a hacerlo girar en el otro sentido).

Dado que la amplitud de los armónicos suele decrecer bastante con el orden,está claro que (salvo el problema de los motores que acabamos de comentar) el másimportante es el tercero (triplens).

Las tensiones y corrientes armónicas superpuestas a la onda fundamentalconjugan sus efectos sobre los aparatos y equipos utilizados.

Las magnitudes armónicas provocan diferentes efectos según los receptoresencontrados:

-bien sean efectos instantáneos,-bien sean efectos a largo plazo debido a los calentamientos.

EFECTOS INSTANTÁNEOS:

Para los sistemas electrónicos, las tensiones armónicas pueden perturbar losdispositivos de regulación. Ellas pueden influenciar las condiciones de conmutación delos tiristores cuando desplazan el paso de cero de la tensión.

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Los contadores de energía a inducción presentan algunos erroressuplementarios en presencia de armónicos.

Los receptores de telemando centralizados a una frecuencia musical utilizadapor los distribuidores de energía pueden ser perturbados por las tensiones armónicasde frecuencia próxima a la utilizada por el sistema.

Según los esfuerzos electrodinámicos, proporcionales a las corrientesinstantáneas en presencia, las corrientes armónicas generarán vibraciones y ruidosacústicos, sobretodo en aparatos electromagnéticos (transformadores, inductancias,...). Los pares mecánicos pulsatorios, debidos a los campos giratorios armónicos, daránlugar a las vibraciones en las máquinas rotativas.

También se producen perturbaciones sobre las líneas de corrientes débiles(teléfono, telemando) cuando éstas transcurren a lo largo de una canalización dedistribución eléctrica con corrientes y tensiones deformadas.

EFECTOS RETARDADOS:

Excepto la fatiga mecánica de los materiales debida a las vibraciones, el efectoa largo plazo es el calentamiento, que puede darse en diversas situaciones:a)Calentamiento de los condensadores. Las pérdidas, causas de los calentamientos,son debidas a dos fenómenos: conducción e histéresis en el dieléctrico. Ellas son, enuna primera aproximación, proporcionales al cuadrado de la tensión aplicada, y a lafrecuencia para la histéresis.

Los condensadores son pues sensibles a las sobrecargas, bien sean debidasa una tensión fundamental demasiado elevada o a la presencia de las tensionesarmónicas. Estos calentamientos pueden conducir a la perforación del dieléctrico.

b)Calentamiento debido a las pérdidas suplementarias de las máquinas y lostransformadores.

Se tienen pérdidas suplementarias en las máquinas, en su estátor yprincipalmente en sus circuitos rotóricos (jaulas, amortiguadores, circuitos magnéticos).

También se tienen pérdidas suplementarias en los transformadores, debido alefecto corona (aumento de la resistencia del cobre con la frecuencia), a la histéresisy a las corrientes de Foucault (en el circuito magnético).

c)Calentamiento de los cables y de los equipos. Las pérdidas de los cablesatravesados por las corrientes armónicas son superiores, por lo que se produce unaumento de la temperatura. Entre las causas de pérdidas suplementarias se puedencitar:

-El aumento de la resistencia aparente del alma del cable con la frecuencia,fenómeno debido al efecto corona.-El aumento de las pérdidas dieléctricas en el aislante con la frecuencia.-Los fenómenos de proximidad, pantallas metálicas puestas a tierra por ambosextremos.

De una forma general, todos los equipos (cuadros eléctricos) sometidos atensiones o atravesador por corrientes armónicas, tienen pérdidas acentuadas ydeberán ser objeto de una eventual desclasificación.

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Hay que tener especial precaución con el neutro (para una instalación típica de4 hilos). Como sabemos, en un sistema trifásico equilibrado, la suma de corrientes seanula, por lo que por el neutro no debería circular corriente alguna. Si por la redtrifásica, aun estando equilibrada, circulan armónicos debidos a cargas no lineales (porejemplo, un edificio de oficinas con muchos ordenadores o máquinas electrónicas -incluyendo aquí reguladores de luminosidad -), la frecuencia fundamental no circularápor el neutro, pero la frecuencia correspondiente al tercer armónico (150Hz)correspondiente al llamado triplens principal, al ser de secuencia cero, no se cancelacon las contribuciones de las tres fases, sino que se suman, llegando, en ocasiones,a alcanzarse corrientes de hasta el 130% de la que circula por cualquiera de las fases.Esto hace que el neutro (que normalmente suele estar subdimensionado, debido a que,teóricamente no debería circular por él corriente alguna) pueda sobrecalentarsegravemente. Esto se ve agravado porque el neutro no suele tener limitador deintensidad (por diversas causas, que no vienen al caso), por lo que este aumento decorriente puede pasar fácilmente inadvertido y llegar a producir graves problemas. Unaforma simple de observar si este efecto se produce (una vez observado, con unmedidor de verdadero valor eficaz, que por el neutro circula una corriente eficazelevada) es medir la frecuencia de la señal que por él circula. Si este valor es de150Hz, queda claro que son los triplens los causantes de este defecto. Este hechotambién puede provocar caídas de tensión entre el neutro y tierra superiores a lashabituales (por encima de 2 voltios).

Otro problema que se presenta con la anterior causa es que, normalmente,suele tenerse un transformador triángulo/estrella que “alimenta” a la instalación.Cuando estos triplens llegan a través del neutro al secundario del transformador, éstosse reflejan sobre el devanado triángulo del primario, pudiendo provocar unsobrecalentamiento que puede llevar a la destrucción del transformador.

Otra consideración a tener en cuenta ocurre cuando la instalación tiene (cosabastante habitual) alguna batería de condensadores, para la corrección del factor depotencia. En este caso, y dado el carácter inductivo que suele tener toda red, si existenarmónicos en ella, éstos pueden ser potenciados si se alcanza la situación deresonancia paralela, que consiste en que la frecuencia de resonancia del circuito LCequivalente de la red resuene a alguna frecuencia próxima a la de algún armónicoexistente, lo cual puede ser muy peligroso (se pueden producir picos desobreintensidad para esos armónicos, ya que la situación de resonancia hace que lared presente una impedancia muy baja para esa frecuencia determinada).

IV.7.3.-FILTRADO DE ARMÓNICOS

Habrá que realizar alguna actuación sobre la red cuando el nivel de armónicosen la misma supere unos determinados rangos.

VALORES INDICATIVOS:

-Máquina síncrona: distorsión de corriente estatórica admisible: 1,3 a 1,4%-Máquina asíncrona: distorsión en corriente estatórica admisible: 1,5 a 3,5%

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Rango del armónico

Valor base (%)

Valor alto (%)

2 1 1,5

3 1,5 2,5

4 0,5 1

5 5 6

6 0,2 0,5

7 4 5

8 <0,2

9 0,8 1,5

10 <0,2

11 2,5 3,5

12 <0,2

13 2 3

14 <0,2

15 <0,3

16 <0,2

17 1 2

18 <0,2

19 0,8 1,5

20 <0,2

21 <0,2

22 <0,2

23 0,5 1

-Cables: distorsión en tensión conductor-pantalla: 10%-Condensadores de potencia: distorsión en corriente: 83%, que provoca unasobrecarga del 30% (1,3AInominal). Entonces la sobrecarga en tensión puedealcanzar el 10%.-Electrónica sensible: distorsión de tensión 5%, factor individual 3%, según elmaterial.

Límites utilizados para las redes de distribución.

Se estima que la distorsiónde tensión no sobrepasará un 5%el nivel en bornes del consumo si,cada cliente considerado él solo,no produce:

-una distorsión en tensión superiora 1,6%

-un factor individual superior a *0,6% para las tensionesarmónicas de orden par*1% para las tensionesarmónicas de orden impar.

Los valores individuales detensión habitualmente medidos enredes de distribución de altatensión se presentan en la tablaadjunta.

Límites utilizados para las redesindustriales.

Se admite que una redindustrial que no contenga materialelectrónico sensible, tal comoreguladores, autómatas, etc.admite una distorsión en tensióndel 5%. Los valores admisibles dedistorsión y el factor individual detensiones armónicas pueden serlimitados por las exigencias de losmateriales sensibles.

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THDF =⋅2 I

Ieficaz

cresta

(43)

Cuando la situación lo requiera (dada la complejidad de la corrección dearmónicos, este estudio debe realizarlo siempre personal cualificado ya que, comohemos comentado anteriormente, la resonancia paralelo que puede aparecer, puedetener consecuencias nefastas sobre la red) deberá actuarse para evitar problemasdebidos a los armónicos. Estas actuaciones pueden ser de dos tipos:

a)Pasiva, en la cual no se procede a eliminar las causas (esto es, los armónicos) sinoa adecuar los conductores, cuadros y transformadores, de forma que la presencia delos armónicos no produzca ninguna alteración en el correcto funcionamiento de éstos.En este sentido va la llamada desclasificación de los transformadores. A título deejemplo, vamos a ver una de las actuaciones que entrar dentro de este caso, aplicadasolamente a una instalación que solamente posee cargas monofásicas (ejemplo de unedificio de oficinas).

Se trata de obtener el llamada factor de desclasificación del transformador(THDF) (Transformer Harmonic Derating Factor); cantidad que está entre 0 y 1 (unvalor THDF=1 indica no presencia de armónicos) y que se define de la forma:

Esas intensidades se obtienen de medidas realizadas con aparatos deverdadero valor eficaz, a plena carga (valor medio de las tres fases).

La potencia efectiva del transformador deberá ser la obtenida de multiplicar laque viene en su placa de características por este factor de desclasificación (quesiempre será inferior). Con ello se impedirá el que dicho transformador pueda tenerproblemas de sobrecalentamiento (obviamente, respetando, en el diseño, este nuevovalor de su potencia en KVA).

En cuanto a los conductores, deberá repetirse el cálculo de su secciónadecuada, teniendo en cuenta estos valores eficaces verdaderos y, sobretodo,teniendo en cuenta este efecto sobre el conductor neutro.

También habrá que sobredimensionar los cuadros o utilizar los expresamenteconstruidos para redes con armónicos.

b)Activa. En este caso sí que se actuará sobre la red (principalmente sobre losdispositivos) para disminuir la presencia de armónicos en la misma, lo que se realizaráintroduciendo en la red dos tipos de montajes:

-Inductancia antiarmónica (resonancia serie fuera de las rayas del espectro).-Filtro (resonancia serie sobre una raya del espectro).

Vamos a comentar brevemente cada una de estas posibilidades.

La inductancia antiarmónica permite proteger una batería de condensadorescontra sobrecargas armónicas. No elimina los armónicos de la red, pero sí que circulenpor la batería de condensadores. No vamos a entrar en su descripción, solamenteindicaremos que:

-suprime el riesgo de fuertes corrientes armónicas en los condensadores,-suprime correlativamente las fuertes distorsiones de tensión en la red, sin

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fL Cr =

⋅1

2p(44)

llevar, de todas maneras, los niveles a un valor bajo especificado.Sin embargo hay que tomar precauciones:-no puede haber otras baterías de condensadores que puedan dar porantiresonancia, un carácter capacitivo a la red, inicial en la gama de frecuenciasdel espectro armónico,-se ha de vigilar no colocar la antiresonancia a una frecuencia próxima a la detelemando del distribuidor (compañía eléctrica).-a causa del espectro continuo, la inductancia antiarmónica no se puede utilizaren el caso de hornos de arco más que en casos particulares y con ciertasprecauciones.

La limitación de las tensiones armónicas de la red a valores bajos específicosse consigue con el empleo de filtros. Existen dos clases de filtros que permiten reducirlas tensiones armónicas:

-el shunt resonante,-los filtros amortiguadores.

El shunt resonante está constituido por una rama L-C (figura 8a) cuyafrecuencia de resonancia debe ser:

y cuyo valor debe ser superior al de la frecuencia de la tensión armónica que se deseaeliminar. Esta finalidad difiere fundamentalmente de la de la inductancia antiarmónica.El shunt resonante presenta a la frecuencia fr una impedancia mínima que se reduceal valor de la resistencia r de la inductancia. Deriva hacia él casi la totalidad de lascorrientes armónicas de frecuencia fr inyectadas, con un nivel de tensión armónica defrecuencia fr débil y proporcional al producto de la resistencia r por la corriente quecircula por el shunt.

En principio, hay tantos shunts resonantes como armónicos a tratar, conectadosen el juego de barras donde se especifica la tensión armónica admisible. El conjuntoconstituye una batería.

Los filtros amortiguadores típicos son de segundo orden, y se suelen usar conhornos de arco y cuando no se desea una batería de shunts resonantes (por cuestiónmeramente económica) sino mejor la utilización de un filtro de amplio espectro queposea las siguientes propiedades:

-amortiguar las antirresonancias,-reducir las tensiones armónicas de frecuencias iguales o superiores a la desintonía cuya función genera el nombre de “filtro amortiguador pasa salto”,-amortiguar rápidamente el régimen transitorio debido a la puesta en tensión delfiltro.

El filtro amortiguador de segundo orden está constituido por un shunt resonantesobre el que se conecta, en bornes de la inductancia, una resistencia de amortiguación

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Figura 8

fL C

=⋅

12p

(45)

( )f

Q q

q Q L Cr =

+ ⋅

⋅ − ⋅

12 12p

(46)

XLC0 = (47)

qXr

= 0 (48)

QXR

= 0 (49)

que llamaremos R (figura 8b).

El filtro amortiguador de segundo orden presenta una reactancia nula ante lafrecuencia fr, mayor que la frecuencia f con

y

siendo la impedancia característica:

el factor de calidad de la inductancia:

y el factor de calidad del filtro:

(r es la resistencia de la inducción L).

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Existen otros filtros amortiguadores más raramente utilizados y derivados delfiltro de segundo orden, como son el filtro amortiguador de tercer orden (se utiliza encasos de potencias de compensación elevadas), el filtro amortiguador tipo C que tieneunas pérdidas semejantes a las del de tercer orden, el filtro db amortiguador (formadopor dos shunts resonantes conectados por una resistencia R) y el shunt resonante debaja q (que se comporta como un filtro amortiguador de banda alta).

Todos estos filtros y shunts deben protegerse contra los defectos de aislamiento(mediante relé amperimétrico diferencial residual) y contra cortocircuitos (por reléamperimétrico de máxima corriente).