Tema 3 Teoria de Colas 2015-II 2 (1)

Tema 3 Teoría de Colas

Investigación de Operaciones - 2

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Tema 3

Teoría de Colas


1. Introducción 2. Estructura de un modelo de colas 3. El proceso de Poisson 4. El proceso básico de entrada y salida 5. Distribución de probabilidad de los estados 6. Solución para el caso estable

• Estado: número de clientes en el sistema en un instante dado • 𝐸𝑛: estado del sistema en el que hay n clientes. • s: número de servidores o canales de servicio del sistema.

Si n > s, el tamaño de la cola será: n – s. • 𝑃𝑛(𝑡): probabilidad de que en el instante t haya exactamente n clientes en el

sistema. Probabilidad de que el estado en 𝑡 sea 𝐸𝑛. • 𝜆𝑛: tasa o razón media de llegada, o número medio de llegadas por unidad de

tiempo, cuando ya hay n clientes en el sistema. • 𝜇𝑛: tasa o razón media de salida, o número medio de salidas por unidad de

tiempo, cuando ya hay n clientes en el sistema.

2. Estructura de un modelo de colas Terminología

• 𝑃𝑛: probabilidad de que haya exactamente n clientes en el sistema, independientemente de t.

• 𝐿: número medio de clientes en el sistema. • 𝐿𝑞: tamaño medio de la cola o número esperado de clientes en la cola. • 𝑊: tiempo medio que un cliente pasa en el sistema. • 𝑊𝑞: tiempo medio de espera en la cola.

Terminología para el Estado Estable, o Estacionario

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4. Proceso básico de entrada y salida

Los procesos estocásticos de entrada y salida pueden ser, en general, muy complejos. Vamos a limitarnos al estudio de procesos en los que se cumplen los siguientes postulados (conocidos también como procesos de nacimiento-muerte)

• Se denomina entrada (nacimiento) a la llegada de un cliente al sistema. • Se denomina salida (muerte) a la salida de un cliente que ya ha sido

atendido.

Si el sistema se encuentra en el estado 𝐸𝑛 en el instante 𝑡, la probabilidad de que ocurra una entrada en el intervalo (𝑡, 𝑡 + Δ𝑡) es:

Postulado de entrada:

𝜆𝑛Δ𝑡 + 𝑜(Δ𝑡)

donde 𝑜(Δ𝑡) representa una cantidad de un orden de magnitud inferior a Δ𝑡 y, por tanto, insignificante si se encuentra en una expresión donde esté Δ𝑡 (se lee ‘o pequeña’. Una notación alternativa de similar interpretación es 0(Δ𝑡)). Más concretamente, se define como

limΔ𝑡→0

𝑜(Δ𝑡)Δ𝑡

= 0

Se pasaría entonces del estado 𝐸𝑛 a 𝐸𝑛+1


4. Proceso básico de entrada y salida Si el sistema se encuentra en el estado 𝐸𝑛 en el instante 𝑡, la probabilidad de que ocurra una entrada en el intervalo (𝑡, 𝑡 + Δ𝑡) es:

1- Postulado de entrada:

𝜆𝑛Δ𝑡 + 𝑜(Δ𝑡)

𝑃 𝑇 < (𝑡 − 𝑡∗) + Δ𝑡 𝑇 > (𝑡 − 𝑡∗) ≈ 𝜆𝑛Δ𝑡

Este postulado implica que, despreciando los términos de menor orden, estas probabilidades siguen una distribución exponencial 𝑇 ∼ Exp(𝜆𝑛). En este caso se tiene que, por la propiedad de falta de memoria de la exponencial

𝑃 𝑇 < (𝑡 − 𝑡∗) + Δ𝑡 𝑇 > (𝑡 − 𝑡∗) = 𝑃(𝑇 < Δ𝑡) = 1 − 𝑒−𝜆𝑛Δ𝑡

Haciendo una expansión de Taylor de 𝑒−𝜆𝑛Δ𝑡 cuando Δ𝑡 → 0

Por tanto, si 𝑇 ∼ Exp(𝜆𝑛):

𝑃 𝑇 < 𝑡 + Δ𝑡 𝑇 > 𝑡 = 1 − 𝑒−𝜆𝑛Δ𝑡 = 𝜆𝑛Δ𝑡 + 𝑜(Δ𝑡)

𝑒−𝜆𝑛Δ𝑡 = 1 − 𝜆𝑛Δ 𝑡 + 𝑜 Δ𝑡 ≈ 1 − 𝜆𝑛Δ𝑡 + 𝑜(Δ𝑡)

Estamos en el instante 𝑡, y el último cliente llegó en 𝑡∗ < 𝑡. Llamemos T al tiempo entre clientes. En este caso sabemos que 𝑇 > (𝑡 − 𝑡∗) y queremos calcular la probabilidad de que 𝑇 < 𝑡 − 𝑡∗ + Δ𝑡. El postulado dice


Si el sistema se encuentra en el estado 𝐸𝑛 en el instante 𝑡, la probabilidad de que ocurra una salida en el intervalo (𝑡, 𝑡 + Δ𝑡) es:

2- Postulado de salida:

𝜇𝑛Δ𝑡 + 𝑜(Δ𝑡)

Se pasaría entonces del estado 𝐸𝑛 a 𝐸𝑛−1

Se puede hacer un razonamiento similar al anterior. Estamos en el instante 𝑡 y a un cliente le están ya prestando el servicio desde el instante 𝑡∗. Sea 𝐷 la duración del servicio. Entonces se tiene que 𝐷 > (𝑡 − 𝑡∗). ¿Cuál es la probabilidad de que el servicio finalice antes de 𝑡 − 𝑡∗ + Δ𝑡?

El ‘postulado de salida’ dice que

𝑃 𝐷 < (𝑡 − 𝑡∗) + Δ𝑡 𝐷 > (𝑡 − 𝑡∗) ≈ 𝜇𝑛Δ𝑡

Este postulado implica que, despreciando los términos de menor orden, las probabilidades siguen una distribución exponencial D ∼ Exp(𝜇𝑛). Por la propiedad de falta de memoria

𝑃 𝐷 < (𝑡 − 𝑡∗) + Δ𝑡 𝐷 > (𝑡 − 𝑡∗) = 𝑃 𝐷 < Δ𝑡 = 1 − 𝑒−𝜇𝑛Δ𝑡

Haciendo una expansión de Taylor de 𝑒−𝜇𝑛Δ𝑡 cuando Δ𝑡 → 0

𝑒−𝜇𝑛Δ𝑡 = 1 − 𝜇𝑛Δ𝑡 + 𝑜 Δ𝑡 ≈ 1 − 𝜇𝑛Δ𝑡

Por tanto:

𝑃 𝐷 < 𝑡 + Δ𝑡 𝐷 > 𝑡 = 1 − 𝑒−𝜇𝑛Δ𝑡 ≈ 𝜇𝑛Δ𝑡


4. Proceso básico de entrada y salida

Las llegadas y las salidas son independientes entre si 3- Postulado de independencia

Los Postulados 1 a 3 permiten demostrar que la probabilidad de que haya más de un evento (más de una entrada, o más de una salida, o una entrada y una salida, etc) en (𝑡, 𝑡 + Δ𝑡) es 𝑜 Δ𝑡 . Por tanto, si el sistema se encuentra en el estado 𝐸𝑛 en el instante 𝑡, la probabilidad de que no se produzca ni entrada ni salida en (𝑡, 𝑡 + Δ𝑡) será

𝑃 𝑇 > (𝑡 − 𝑡∗) + Δ𝑡 𝑇 > (𝑡 − 𝑡∗) ∩ 𝐷 > (𝑡 − 𝑡∗) + Δ𝑡 𝐷 > (𝑡 − 𝑡∗) = 𝑃 𝑇 > Δ𝑡 𝑃 𝐷 > Δ𝑡 = 𝑒−𝜆𝑛Δ𝑡𝑒−𝜇𝑛Δ𝑡 =

[1 − 𝜆𝑛Δ𝑡 + 𝑜 Δ𝑡 ] 1 − 𝜇𝑛Δ𝑡 + 𝑜 Δ𝑡 = 𝟏 − 𝝀𝒏𝜟𝜟 −𝝁𝒏𝜟𝜟 + 𝒐(𝜟𝜟)

donde se ha aplicado que Δ𝑡 2 = 𝑜(Δ𝑡)

Corolario

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5. Distribución de probabilidad de los estados

El estado en el que se encuentra un sistema es una variable aleatoria discreta. Puede ser n=0,1,2,3,…, con probabilidades 𝑃0 𝑡 ,𝑃1 𝑡 ,𝑃2 𝑡 , etc. Para modelizar las propiedades estadísticas del sistema (básico) de colas, debemos obtener las probabilidades de estar en cada estado, es decir, la función de probabilidad de 𝐸𝑛. A estas probabilidades las denominaremos

Probabilidades del Proceso Básico de Entrada-Salida

Lo que nos interesa son estas probabilidades cuando el sistema está en estado estable o estacionario. En ese caso, reciben el nombre de Probabilidades de Estado Estable del Proceso Básico de Entrada-Salida


• Supongamos que estamos en el instante 𝑡. Queremos calcular la probabilidad de alcanzar el estado 𝐸𝑛 en el instante 𝑡 + Δ𝑡.

• Si se cumplen los postulados anteriores, por los que no puede ocurrir más de

una llegada o salida en un instante Δ𝑡 cuando Δ𝑡 → 0, los únicos estados relevantes para 𝑡 son 𝐸𝑛−1,𝐸𝑛 o 𝐸𝑛+1 . Cualquier otro estado tiene una probabilidad de suceder de 𝑜(Δ𝑡).

Derivación de las probabilidades de estado para el proceso básico de entrada-salida.

𝑡 𝑡 + Δ𝑡

𝑬𝒏

𝐸𝑛−1

𝐸𝑛+1

𝐸𝑛

Otros

Caso I

Caso II

Caso III

Caso IV



𝑡 𝑡 + Δ𝑡

𝐸𝑛 𝐸𝑛−1

¿Cuál es la probabilidad de esta secuencia de eventos, es decir, de tener 𝐸𝑛−1 en 𝑡 y 𝐸𝑛 en 𝑡 + Δ𝑡?

Veamos caso a caso.

Caso I

𝑃 (𝐸𝑛 𝑒𝑛 𝑡 + Δ𝑡 ∩ 𝐸𝑛−1 𝑒𝑛 𝑡 )= 𝑃 𝐸𝑛 𝑒𝑛 𝑡 + Δ𝑡|𝐸𝑛−1 𝑒𝑛 𝑡 𝑃 𝐸𝑛−1 𝑒𝑛 𝑡

una llegada

= [𝜆𝑛−1Δ𝑡 + 𝑜(Δ𝑡)] × 𝑃𝑛−1(𝑡)

Postulado de entrada

𝑃 𝐴 𝐵 =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)𝑃(𝐵)

⇒ 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝐵 𝑃(𝐵)

Recordatorio



𝑡 𝑡 + Δ𝑡

𝐸𝑛 𝐸𝑛+1

¿Cuál es la probabilidad de esta secuencia de eventos, es decir, de tener 𝐸𝑛+1 en 𝑡 y 𝐸𝑛 en 𝑡 + Δ𝑡?

Análogamente…

Caso II

𝑃 (𝐸𝑛 𝑒𝑛 𝑡 + Δ𝑡 ∩ 𝐸𝑛+1 𝑒𝑛 𝑡= 𝑃 𝐸𝑛 𝑒𝑛 𝑡 + Δ𝑡|𝐸𝑛+1 𝑒𝑛 𝑡 𝑃 𝐸𝑛+1 𝑒𝑛 𝑡

una salida

= [𝜇𝑛+1Δ𝑡 + 𝑜(Δ𝑡)] × 𝑃𝑛+1(𝑡)

Postulado de salida



𝑡 𝑡 + Δ𝑡

𝐸𝑛 𝐸𝑛

¿Cuál es la probabilidad de esta secuencia de eventos, es decir, de tener 𝐸𝑛 en 𝑡 y 𝐸𝑛 en 𝑡 + Δ𝑡?

Análogamente…

Caso III

𝑃 (𝐸𝑛 𝑒𝑛 𝑡 + Δ𝑡 ∩ 𝐸𝑛 𝑒𝑛 𝑡= 𝑃 𝐸𝑛 𝑒𝑛 𝑡 + Δ𝑡|𝐸𝑛 𝑒𝑛 𝑡 𝑃 𝐸𝑛 𝑒𝑛 𝑡

ni entrada ni salida

= [1 − 𝜆𝑛𝛥𝑡 − 𝜇𝑛𝛥𝑡] × 𝑃𝑛(𝑡)

Corolario (pag 9)



𝑡 𝑡 + Δ𝑡

𝐸𝑛 otros

¿Cuál es la probabilidad de esta secuencia de eventos, es decir, de tener 𝐸𝑛 en 𝑡 + Δ𝑡 y otro estado diferente a los casos anteriores en 𝑡?

Análogamente…

Caso IV

𝑃 (𝐸𝑛 𝑒𝑛 𝑡 + Δ𝑡 ∩ Otro en 𝑡= 𝑃 𝐸𝑛 𝑒𝑛 𝑡 + Δ𝑡|Otro en 𝑡 𝑃 Otro en 𝑡

= 𝑜(Δ𝑡) 𝑃 Otro en 𝑡 = 𝑜(Δ𝑡)



Estado en el instante t

Suceso en el intervalo (t, t + ∆t)

Probabilidad de alcanzar En en el instante t + ∆t

En-1 Una llegada [𝜆𝑛−1Δ𝑡 + 𝑜(Δ𝑡)] × 𝑃𝑛−1(𝑡)

En+1 Una salida [𝜇𝑛+1Δ𝑡 + 𝑜(Δ𝑡)] × 𝑃𝑛+1(𝑡)

En Ningún suceso [1 − 𝜆𝑛𝛥𝑡 − 𝜇𝑛𝛥𝑡] × 𝑃𝑛(𝑡)

Cualquier otro

Más de un suceso 𝑜(Δ𝑡)

Resumen de las Probabilidades de cambio de estado



4. Proceso básico de entrada y salida Por tanto, la probabilidad de alcanzar el estado 𝐸𝑛 en el instante 𝑡 + Δ𝑡 :

𝑃𝑛 𝑡 + Δ𝑡 = 𝑃 Caso I ∪ Caso II ∪ Caso III ∪ Caso IV

= 𝑃(Caso I)+𝑃(Caso II)+𝑃(Caso III)+𝑃(Caso IV)

=[λn−1Δ𝑡 + 𝑜(Δ𝑡)] × 𝑃𝑛−1(𝑡)

+[𝜇𝑛+1Δ𝑡 + 𝑜(Δ𝑡)] × 𝑃𝑛+1(𝑡)

+ 1 − 𝜆𝑛𝛥𝑡 − 𝜇𝑛𝛥𝑡 × 𝑃𝑛 𝑡

+𝑜(Δ𝑡)

Simplificando: 𝑃𝑛 𝑡 + Δ𝑡 = 𝑃𝑛−1(𝑡) 𝜆𝑛−1Δ𝑡 + 𝑃𝑛+1 𝑡 𝜇𝑛+1Δ𝑡

+𝑃𝑛 𝑡 − 𝑃𝑛 𝑡 𝜆𝑛𝛥𝑡 − 𝑃𝑛 𝑡 𝜇𝑛𝛥𝑡 + 𝑜(Δ𝑡)

Y puede entonces escribirse:

𝑃𝑛 𝑡 + Δ𝑡 − 𝑃𝑛 𝑡Δ𝑡 = 𝑃𝑛−1(𝑡) 𝜆𝑛−1 + 𝑃𝑛+1 𝑡 𝜇𝑛+1 −𝑃𝑛 𝑡 𝜆𝑛 − 𝑃𝑛 𝑡 𝜇𝑛 +

𝑜 Δ𝑡Δ𝑡


4. Proceso básico de entrada y salida Para un ‘instante’ (cuando Δ𝑡 → 0) se tiene que

limΔ𝑡→0

𝑃𝑛 𝑡 + Δ𝑡 − 𝑃𝑛 𝑡

Δ𝑡 =𝑑𝑃𝑛(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑃𝑛′(𝑡)

𝑃𝑛′ 𝑡 = 𝜆𝑛−1𝑃𝑛−1 𝑡 + 𝜇𝑛+1𝑃𝑛+1 𝑡 − 𝜆𝑛 + 𝜇𝑛 𝑃𝑛 𝑡

pues limΔ𝑡→0

𝑜(Δ𝑡)Δ𝑡

= 0

y entonces se obtiene

Si no hay clientes, es decir, 𝑛 = 0, no habrá servicio, por lo que 𝜇𝑜 = 0. Asimismo, no podrá haber un número negativo de clientes, por lo que el estado 𝐸−1 es imposible y, por tanto, 𝑃−1 𝑡 = 0.

Para 𝑛 = 0:

𝑃0′ 𝑡 = 𝜇1𝑃1 𝑡 − 𝜆0𝑃0 𝑡

Se tiene entonces

(2)

(1)


𝑃0′ 𝑡 = 𝜇1𝑃1 𝑡 − 𝜆0𝑃0 𝑡

Estas dos ecuaciones forman un sistema de (infinitas) ecuaciones diferenciales, de las que tenemos que despejar las 𝑃𝑛 𝑡 . No hay una solución general. Las resolveremos para casos particulares. Empezaremos resolviéndola para el caso estable, y luego la iremos particularizando para situaciones más específicas.

Se tienen, por tanto, estas dos ecuaciones (diferenciales)

(1)

(2)

𝑃𝑛′ 𝑡 = 𝜆𝑛−1𝑃𝑛−1 𝑡 + 𝜇𝑛+1𝑃𝑛+1 𝑡 − 𝜆𝑛 + 𝜇𝑛 𝑃𝑛 𝑡


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Para el estado estable las probabilidades son independientes de t: 𝑃𝑛 𝑡 ≡ 𝑃𝑛. Por tanto

𝑃𝑛′ 𝑡 = 𝑃𝑛′ =𝑑𝑃𝑛𝑑𝑡 = 0

Las ecuaciones (1) y (2) para derivar las probabilidades de estado estable quedan entonces así:

(3)

(4)

𝜆𝑛−1𝑃𝑛−1 + 𝜇𝑛+1𝑃𝑛+1 − 𝜆𝑛 + 𝜇𝑛 𝑃𝑛 = 0

𝜇1𝑃1 − 𝜆0𝑃0 = 0

Suelen denominarse: ECUACIONES DE BALANCE

6. Solución para el caso estable


El estado estable o estacionario, de existir, puede venir a continuación de un estado transitorio. En ese caso puede interpretarse que las probabilidades de estado estable son

lim𝑡→∞

𝑃𝑛(𝑡) = 𝑃𝑛

No debemos confundir 𝑛 = 0 y 𝑡 = 0. • Con 𝑛 = 0 queremos decir que no hay clientes en el sistema (𝐸𝑜) y

eso ocurrirá con una determinada probabilidad 𝑃𝑜(𝑡) en cualquier instante (si es estacionario 𝑃𝑜 𝑡 = 𝑃0 = 𝑐𝑡𝑒). Es decir, en un instante dado el sistema se ha vaciado de clientes. En la siguiente unidad de tiempo puede de nuevo haber clientes.

• Con 𝑡 = 0 nos referimos al momento inicial en el que comienzan los clientes a llegar. Es habitual asumir que en 𝑡 = 0, 𝑛 = 0. Si nuestro interés es el sistema estacionario, este momento no nos interesa.

Algunas consideraciones…


Solución de las ecuaciones de balance para el estado estable (cont.)

𝜆0𝑃0 − 𝜇1𝑃1 + 𝜇2𝑃2 − 𝜆1𝑃1 = 0⇒ 𝜇2𝑃2 = 𝜆1𝑃1

𝜇1𝑃1 = 𝜆0𝑃0 𝑛 = 0

𝑛 = 1

𝑃1 =𝜆0𝜇1𝑃0

𝑃2 =𝜆1𝜇2𝑃1 =

𝜆1𝜆0𝜇2𝜇1

𝑃0

𝜆1𝑃1 − 𝜇2𝑃2 + 𝜇3𝑃3 − 𝜆2𝑃2 = 0⇒ 𝜇3𝑃3 = 𝜆2𝑃2

𝑛 = 2 𝑃3 =

𝜆2𝜇3𝑃2 =

𝜆2𝜆1𝜆0𝜇3𝜇2𝜇1

𝑃0

𝜇𝑛𝑃𝑛 = 𝜆𝑛−1𝑃𝑛−1 𝑛 𝑃𝑛 =∏ 𝜆𝑖𝑛−1𝑖=0

∏ 𝜇𝑖 𝑛𝑖=1

𝑃0



Solución para el estado estable (cont.)

𝑃𝑛 = 𝑐𝑛𝑃0; 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑛 =∏ 𝜆𝑖𝑛−1𝑖=0


Como en cualquier tiempo dado debemos estar en algún estado, se cumplirá que

�𝑃𝑛

∞

𝑛=0

= 1

⇒ 𝑃0 + �𝑃𝑛

∞

𝑛=1

= 1

⇒ 𝑃0 + �𝑐𝑛𝑃0

∞

𝑛=1

= 1 ⇒

𝑃0 =1

1 + ∑ 𝑐𝑛∞𝑛=1



Por tanto, una vez que están definidos los proceso de entrada y salida, a través de los 𝜆𝑖 y los 𝜇𝑖,ya podemos calcular las probabilidades de estar en cada estado

𝑃𝑛 = 𝑐𝑛𝑃0; 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑛 =∏ 𝜆𝑖𝑛−1𝑖=0


𝑃0 =1

1 + ∑ 𝑐𝑛∞𝑛=1

Podemos así calcular, por ejemplo, la longitud media de línea (número de personas en el sistema)

𝐿 = �𝑛𝑃𝑛

∞

𝑛=0

Si hay 𝑠 servidores, 𝑛 − 𝑠 clientes estarán en la cola. La longitud media de la cola será

𝐿𝑞 = � (𝑛 − 𝑠)𝑃𝑛

∞

𝑛=𝑠+1


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