1

Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Pružnost a plasticita II., 3.ročník bakalářského studia, přednášky Janas 2010, 2011

Téma 3 Metody řešení stěn, metoda sítí.

• Metody řešení nosných stěn• Metoda sítí• Diferenční vztahy • Vyjádření Airyho funkce a napětí dif. vztahy• Okrajové podmínky• Sestavení rovnic, výpočet Airyho funkce a napětí

2

Řešení stěn metodou sítí, metoda sítí (diferenční metoda)

024

4

22

4

4

4

yyxxŘešení stěnové rovnice touto metodou spočívá v nahrazení parciálních derivací diferencemi a v převedení řešení diferenciální rovnice na řešení lineárních rovnic při splnění okrajových podmínek.

Výsledkem řešení lineárních rovnic jsou hodnoty Airyho funkce v konečném počtu bodů sítě. Následně lze vypočíst složky napětí případně hlavní napětí, jejich směry atd.

Zvolená síť může být pravoúhlá (čtvercová nebo obdélníková), trojúhelníková, nebo i radiální.

Při řešení stěn zpravidla využíváme síť pravoúhlou.

3

Řešení desek metodou sítí, vytvoření sítě

x,i

y,j

x,i

y,j

ii-1 i+1 n-1 n1 2

2

j

j-1

j+1

m-1

m

i,j

i-1, j-1

i,j+1

1ii-1 i+1 n-1 n1 2

2

j

j-1

j+1

m-1

m

i,j

i-1, j-1

i,j+1

1

dy

dx

4

Řešení stěn metodou sítí, diferenční vztahy

22

1,1,11,11,,1,1,1,11,1

2

,

2

2

2

22

,

4

1,11,11,11,11,1,,,

2

4

1,1,,1,2,

4

,

4

4

,2,1,,1,2

2

´´

,1

´´

,

´´

,1

2

,

2

2

2

4

,

4

3

,2,1,1,2

´´

,1

´´

,1

2

,

2

3

,

3

2

1,,1,

2

,

2

2

,1,,1

2

,

2

1,1,,,1,1,

2222

42

464

4642

2

22

2

2

2

2

2

yxyxyx

yxyxyxyx

yy

xxxxx

xxxxx

yyxx

yyxx

jijijijijijijijijijiji

jijijijijijijiji

jijijijijiji

jijijijijijijijijiji

jijijijijijijiji

jijijijijijijiji

jijijijijiji

5

Řešení stěn metodou sítí, stěnová rovnice po dosazení diferenčních vztahů

02

8-20

:jey x pro

x

y

y

x kde

0

2

11114

668

02

2-ji,2ji,j2,-ij2,i1-j1,-i1j1,-i1-j1,-i1j1,i

1-ji,1ji,j1,-ij1,iji,

2

2

2

,2,2

2

2,2,

2

1,11,11,11,1

2

1,

2

1,

2

,1

2

,1

22

,

4

4

22

4

4

4

jijijiji

jijijiji

jijijiji

ji

yyxx

6

Řešení stěn metodou sítí, diferenční schéma (součinitele stěnové rovnice po nahrazení derivací Airyho funkce diferenčními vztahy)

2

2

2

2

x

y

y

x

yx Pro

i-2 i-1 i i+1 i+2j+2 0 0 2

0 0

j+1 0 2 4(-1-2) 2 0

j 24(-1-2) 8+6a2+62 4(-1-2) 2

j-1 0 2 4(-1-2) 2 0j-2 0 0 2

0 0

i-2 i-1 i i+1 i+2j+2 0 0j+1 0 2 -8 2 0

jj-1 0 2 -8 2 0j-2 0 0

7

Řešení stěn metodou sítí, diferenční schéma(součinitele stěnové rovnice po nahrazení derivací Airyho funkce diferenčními vztahy)

1

yx Pro22

i-2 i-1 i i+1 i+2j+2 0 0

j+1 0 2

j

j-1 0 2j-2 0 0

i-2 i-1 i i+1 i+2j+2 0 0 1 0 0j+1 0 2 -8 2 0

j 1 -8 20 -8 1

j-1 0 2 -8 2 0j-2 0 0 1 0 0

8

Výpočet napětí

Známe-li hodnoty Airyho funkce v bodech sítě i,j, pak lze z diferenčních vztahů vypočíst také napětí:

yxyx

xx

yy

jijijijiji

jixy

jijijiji

jiy

jijijiji

jix

4

2

2

1,11,11,11,1,2

,

2

,1,,1

2

,2

,

2

1,,1,

2

,2

,

Fi,j+1

Fi,j

Fi,j-1

y

yx)i,j

Fi,j+1

Fi,j

Fi,j-1

y

yx)i,j

y)i,j

x x

Fi,jFi-1,j Fi+1,j

y)i,j

x x

Fi,jFi-1,j Fi+1,j

Fi,j

Fi-1,j+1 Fi+1,j+1

Fi-1,j-1 Fi+1,j-1

x x

y

y

Fi,j

Fi-1,j+1 Fi+1,j+1

Fi-1,j-1 Fi+1,j-1

x x

y

y

9

Okrajové podmínkyV libovolném bodě na okraji stěny musí být splněny dvě okrajové podmínky

S

Sxx

S

Syy

y

x

yxyy

yxxx

Qdspy

Qdspx

xds

d

ds

dx

yxds

dx

xp

yds

d

ds

dx

yxds

dy

yp

ds

dxαs

ds

dyαp

p

00

in cos protože sincos

sincos

2

2

2

2

2

2

Integrál označený Qy představuje součet y-ových složek povrchového zatížení v úseku SoS okraje stěny, obdobně je tomu u Qx

S

Sy

o

dsp

10

Okrajové podmínky, L´Hermiteova

analogie S využitím odvozeného lze formulovat L´Hermiteovu analogii (dva

body):1. Derivace funkce napětí ve směru vnější normály k hranici

stěny je rovna normálové síle na fiktivním rámu, jehož střednice má stejný tvar a přenáší stejné zatížení jako hranice. Kladná normálová síla je tahem.

NQQyxn

yQ

xQ

xy

xy

sincossincos

je a Protože

11

Okrajové podmínky, L´Hermiteova analogie, pokračování

2. Funkce napětí v hraničním bodě stěny je rovna ohybovému momentu v průřezu fiktivního rámu. Kladný ohybový moment způsobuje tah ve vnitřních vláknech rámu.

Ohybový moment v bodě se souřadnicemi [x,y] je:

ddd dosazení po

dsd Protože

. , kde

d)()(d)()(

0

S

S

S

S

S

Syx

S

Syx

oo

S

Syxx

S

Syx

o

oo

oo

M

ds

dQ

ds

dQ-Qx(s)Qy(s)sξpηp

)x(sx(s))y(sy(s)

sppsxQsysxpypM

12

Okrajové podmínky, L´Hermiteova analogie, pokračování

Podle L´Hermiteovy analogie se statické okrajové podmínky redukují na určení funkce napětí a její derivace ve směru vnější normály k hranici stěny. Výpočet normálových sil a ohybových momentů na fiktivním rámu je úlohou staticky neurčitou. Vytvoříme-li z rámu konstrukci staticky určitou se zavedenými staticky neurčitými silami Mo,No a Qo, pak jejich přírůstek k funkci napětí bude lineární funkcí proměnných x,y:

yNxQM oooo Složky napětí jsou dány druhými parciálními derivacemi o podle x a y. Ty budou nulové a jejich příspěvek k napjatosti stěny bude nulový.

Fiktivní rám můžeme považovat za konstrukci staticky určitou.

13

Aplikace L´Hermiteovy analogie Zatížení stěny odpovídá fiktivnímu rámu na obr.

Ve sloupech fiktivního rámu jsou normálové síly.

Derivace funkce napětí ve směru vnější normály k hranici stěny je rovna normálové síle na fiktivním rámu.

V našem případě platí:

xNNxx

Nxn

jijijiji

2

2 ,1,1,1,1

Pozor na směr normály k fiktivnímu rámu !

14

Aplikace L´Hermiteovy analogie,

pokračování Zatížení stěny odpovídá fiktivnímu rámu na obr.

V příčlích fiktivního rámu nejsou normálové síly.

Derivace funkce napětí ve směru vnější normály k hranici stěny je rovna normálové síle na fiktivním rámu.

V tomto případě platí:

1,1,

1,1, 02

0

jiji

jiji

xx

yn

15

Aplikace L´Hermiteovy analogie,

pokračování Zatížení stěny odpovídá fiktivnímu rámu na obr.

Zatížení vyvolává ohybový moment v příčlí rámu

Funkce napětí v hraničním bodě stěny je rovna

ohybovému momentu v průřezu fiktivního rámu. V tomto případě platí: MΦ V těch hraničních bodech, kde je M=0, je také =0

16

Postup výpočty stěny metodou sítí

1. Nakreslí se výpočetní model stěny.2. Určí se dle l´Hermiteovy analogie funkce napětí na

obryse stěny, M=3 Určí se normálová síly ve fiktivním rámu stěny, který je

derivací funkce napětí ve směru vnější normály k hranici stěny a hodnotu funkce napětí vně obrysu stěny.

4. Sestaví se matice pro výpočet hodnot napětí v jednotlivých bodech sítě.

5. Řeší se soustavu lineárních rovnic. Jejich počet odpovídá počtu uzlů sítě. Výsledkem jsou hodnoty funkce napětí v uzlech sítě.

17

Postup výpočty stěny metodou sítí

6. Hodnoty napětí v jednotlivých bodech sítě jsou podkladem pro výpočet složek napětí. Pokud se při výpočtu M a N počítalo s jednotkovou tloušťkou stěny a ta je jiná, zahrne se toto do výpočtu napětí.

7. Provede se kontrola vypočtených složek napětí, zejména na okrajích stěny.

8. Vypočtou se hodnoty hlavních napětí.9. Vypočtou se směry hlavních napětí.10. Vypočtou se maximální smyková napětí.

18

Program č.1, zadání Nosná obdélníková stěna o délce l=6 m, výšce b=(6-0,15n)m a šířce t=0,4 m je zatížená spojitým zatížením f=2kN/m působícím svisle na horním okraji stěny. Stěna je podepřena posuvným a neposuvným pevným kloubem, které jsou umístěny na koncích spodního okraje stěny.Vypočtěte metodou sítí složky napětí v nosné stěně včetně hlavních napětí a jejich směry. V ose nosné stěny vykreslete průběh hlavních napětí 1 a 2.

19

Schéma rozdělení stěny

20

Použitá literatura

[1] Šejnoha, J., Bittnarová, J., Pružnost a pevnost 20, České vysoké učení technické v Praze, Vydavatelství ČVUT, 1998