Tema 3: Estadística Descriptiva - matematicas.unex.esmatematicas.unex.es/~mota/ciencias_ambientales/tema3.pdf · Tabulación de datos Tablas de frecuencias: Variables cuantitativas

Tema 3: Estadística DescriptivaEstadística. 4o Curso.

Licenciatura en Ciencias Ambientales

Licenciatura en Ciencias Ambientales (4o Curso) Tema 3: Estadística Descriptiva Curso 2008-2009 1 / 27

Índice

1 Introducción.

2 Tabulación de datos

3 Representación gráfica

4 Medidas de síntesis de la información


1 Introducción.

Experimentos estadísticosUna vez seleccionada la muestra de la población, medimos en lasn unidadesexperimentales la variable o variables que pretendemos estudiar.Si X es una de estas variables obtendremos quex1, . . . , xn son los valores que toma lavariableX en los individuos 1, 2, . . . ,n, respectivamente. Se denomina a su vezmuestra de la variable X.

Ejemplo de tabla de datos

X Y Z W . . .1 x1 y1 z1 w1 . . .2 x2 y2 z2 w2 . . .3 x3 y3 z3 w3 . . .4 x4 y4 z4 w4 . . ....

......

......

n xn yn zn wn . . .


2. Tabulación de datos

Tablas de frecuencias: Variables cualitativasn (tamaño de la muestra) frecuencia total.M1, . . . , Mk modalidades distintas de la variable sobre la muestra.

ni ≡ frecuencia absolutadeMi ; es el número de veces que se repite la modalidadMi (n1 + · · ·+ nk = n )

fi ≡ frecuencia relativade la modalidadMi ; fi =ni

n(f1 + · · ·+ fk = 1)

Mod. ni fiM1 n1 f1M2 n2 f2...

......

Mk nk fkn 1



Ejemplo 1En una zona contaminada se tomaron una serie de muestras de aire y se midieron losniveles de CO (alto, medio, bajo), obteniéndose los siguientes resultados:

dato 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10CO A A M B A M B B A M

dato 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20CO B A A M A A B M M B

Mod. ni fiAlto 8 0.4

Medio 6 0.3Bajo 6 0.3

20 1



Tablas de frecuencias: Variables cuantitativas discretasn (tamaño de la muestra) frecuencia total.x1, . . . , xk valores distintos de la variable sobre la muestra. (x1 < · · · < xn)

ni ≡ frecuencia absolutay fi ≡ frecuencia relativa; se definen del mismomodo que para las variables cualitativas.

Ni ≡ frecuencia absoluta acumuladadexi ; Ni = n1 + · · ·+ ni (Nk = n)

Fi ≡ frecuencia relativa acumuladadexi ; Fi = f1 + · · ·+ fi (Fk = n)

valor ni fi Ni Fi

x1 n1 f1 N1 F1

x2 n2 f2 N2 F2

......

......

...xk nk fk Nk = n Fk = 1

n 1



Ejemplo 2Se desea saber el riesgo de extinción de la cigüeña en una cierta región. Se eligen endicha región 25 nidos mediante un MAS, contando los huevos que hay en cada nido.Resulta que 2 de los nidos no tenían huevos, 3 tenían un huevo, 4 tenían 2 huevos, 8tenían 3 huevos, 5 tenían 4 huevos y el resto 5 huevos.

valor ni fi Ni Fi

0 2 0.08 2 0.081 3 0.12 5 0.22 4 0.16 9 0.363 8 0.32 17 0.684 5 0.2 22 0.885 3 0.12 25 1

25 1



Tablas de frecuencias: Variables cuantitativas continuasAntes de construir la tabla de frecuencias hay que agrupar los datos de estas variablesen intervalos. La forma de hacerlo es la siguiente:

Determinar valores máximo (Vmax) y mínimo (Vmin) de los datos.

Determinar el número (k) de intervalos a construir, que deben ser todos de lamisma amplitud.

Determinar la amplitud de los intervalos:a≈ Vmax− Vmin

k

A veces conviene redondear esta amplitud pero NUNCA DEBEMOS PERDERNINGÚN DATO EN EL PROCESO.

¿Cómo determinar el número de intervalos?Categorías prefijadas en estudios anteriores.

A criterio del investigador.

Mediante la Fórmula de Sturges (k ≈ 1 + 3.322 log10 n) u otra similar.



Ejemplo 3En la siguiente tabla se muestran los niveles de colinesterasa de 34 agricultoresexpuestos a insecticidas agrícolas:

10.6 12.2 11.8 12.5 10.8 12.7 11.1 16.5 11.4 9.2 15.0 9.311.5 10.3 8.6 9.9 12.4 8.5 11.9 9.1 10.1 11.6 7.8 12.414.9 11.3 11.1 12.5 12.3 10.2 12.5 9.7 12.3 12.0

Vmin = 7.8 , Vmax = 16.5 , k ≈ 1 + 3.322 log10 34 = 6.08≈ 6

a≈ 16.5− 7.86

= 1.45(≈ 1.5)

Sin redondear:[7.8, 9.25], (9.25, 10.7], (10.7, 12.15], (12.15, 13.6], (13.6, 15.05], (15.05, 16.5]Redondeando:[7.5, 9], (9, 10.5], (10.5, 12], (12, 13.5], (13.5, 15], (15, 16.5]



Tablas de frecuencias: variables cuantitativas continuasI1 = [a0, a1], I2 = (a1, a2], . . . , Ik = (ak−1, ak] intervalos en los que se han agrupadolos datos.

ni ≡ frecuencia absolutadel intervaloI i ; es el número de valores que pertenecenal intervaloI i .

fi ≡ frecuencia relativadel intervaloI i ; fi =ni

nNi ≡ frecuencia absoluta acumuladadel intervaloI i ; Ni = n1 + · · ·+ ni

Fi ≡ frecuencia relativa acumuladadel intervaloI i ; Fi = f1 + · · ·+ fi

intervalo ni fi Ni Fi

I1 n1 f1 N1 F1

I2 n2 f2 N2 F2

......

......

...Ik nk fk Nk = n Fk = 1

n 1



Ejemplo 3 (continuación)Tabla de frecuencias para los datos de los niveles de colinesterasa de 34 agricultoresexpuestos a insecticidas agrícolas:


[7.5, 9] 3 0.088 3 0.088

(9, 10.5] 8 0.235 11 0.323

(10.5, 12] 11 0.324 22 0.647

(12, 13.5] 9 0.265 31 0.911

(13.5, 15] 2 0.059 33 0.971

(15, 16.5] 1 0.029 34 134 1


3. Representación gráfica

Variables cualitativas: diagrama de sectoresSe calculan frecuencias relativas (fi).

A la modalidadMi se le asigna un ángulo defi · 360o.

No es conveniente que haya un número excesivo de modalidades.

Ejemplo 1 (continuación)

Mod. ni fi gradosAlto 8 0.4 144

Medio 6 0.3 108Bajo 6 0.3 108

20 1

Alto

Bajo

Medio



Variables cualitativas: diagrama de barrasEsta representación consiste en construir tantos rectángulos o barras comomodalidades presente el carácter bajo estudio. La altura que alcanza cada barra puedeser igual a la frecuencia absoluta o bien a la frecuencia relativa de la modalidad a laque corresponde dicha barra.


Mod. ni fiAlto 8 0.4

Medio 6 0.3Bajo 6 0.3

20 1Alto Bajo Medio

02

46

8

Alto Bajo Medio

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4



Variables cuantitativas discretas: polígono de frecuenciasSe colocan los valores ordenados de menor a mayor en el eje horizontal. A cada valorde la variable se le asocia un punto con la altura correspondiente a su frecuenciaabsoluta o bien a su frecuencia relativa. Los puntos se conectan mediante segmentos.Este polígono puede representarse de forma superpuesta a un diagrama de barras.


valor ni fi0 2 0.081 3 0.122 4 0.163 8 0.324 5 0.25 3 0.12

25 1 0 1 2 3 4 5

02

46

8



Variables cuantitativas continuas: histogramaPara construir el histograma partimos de la tabla de frecuencias de los datos.Dividimos el eje horizontal en los intervalos en que hemos agrupado los datos.Sobre cada intervalo construiremos un rectángulo. Para la altura de estos rectángulostenemos tres opciones:

Las frecuencias absolutas.

Las frecuencias relativas.

Se construyen rectángulos cuyas áreas sean las frecuencias relativas. Sihi es laaltura del rectángulo que hay sobre el intervaloI i y a es la amplitud de todos losintervalos

fi = hi · a ⇒ hi =fia





[7.5, 9] 3 0.088 3 0.088

(9, 10.5] 8 0.235 11 0.323

(10.5, 12] 11 0.324 22 0.647

(12, 13.5] 9 0.265 31 0.911

(13.5, 15] 2 0.059 33 0.971

(15, 16.5] 1 0.029 34 134 1 8 10 12 14 16

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20


4. Medidas de síntesis de la información

¡¡¡Advertencia!!!

SÓLO PARA VARIABLES CUANTITATIVAS DISCRETAS Y CONTINUAS SINAGRUPAR

Medidas de centralización: moda y mediaLa modaes el dato más repetido. Puede haber más de una.

La media (x̄) es el valor central en el sentido aritmético. Viene a ser el “centro degravedad” de los datos.

x̄ =x1 + · · ·+ xn

n

Si la variable es discreta y los datos están agrupados en una tabla de frecuencias

x̄ =x1n1 + · · ·+ xknk

n= x1f1 + · · ·+ xkfk



Medidas de centralización: medianaLa mediana(x̃) es un valor que deja la mitad de los datos a su izquierda y la otramitad a su derecha. Ocupa la posición central en el sentido del orden.Para calcularla hay que ordenar los datos de menor a mayor y entonces:

Si n impar,x̃≡ dato que ocupa la posiciónn + 1

2

Si n par,x̃≡ punto medio de los datos que ocupan las posicionesn2

yn2

+ 1



Ejemplo 2 (continuación)Si en una variable discreta nos dan los datos agrupados en una tabla de frecuencias,para calcular la mediana se utilizan las frecuencias absolutas acumuladas:

valor ni fi Ni Fi

0 2 0.08 2 0.081 3 0.12 5 0.22 4 0.16 9 0.363 8 0.32 17 0.684 5 0.2 22 0.885 3 0.12 25 1

x̄ = 2.8 , x̃ = 2




8 10 12 14 16

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

x̄ = 11.35294 , x̃ = 11.45



Medidas de posición: cuartilesPrimer cuartil (Q1) es el valor que deja a su izquierda la cuarta parte de los

datos. Para calcularlo se ordenan los datos de menor a mayor y se toman + 1

2redondeado por defecto. A este número lo llamamosq.

Si q es impar,Q1 es el dato que ocupa la posiciónq + 1

2.

Si q es par,Q1 es el punto medio de los datos que ocupan las posicionesq2

yq2

+ 1.

Segundo cuartil(Q2) Es el valor que deja a la izquierda dos cuartas partes de losdatos. Por tanto se trata de la mediana,Q2 = x̃.

Tercer cuartil (Q3) Es el valor que deja a la izquierda las tres cuartas partes delos datos. Su posición es simétrica a la deQ1.

Otras medidas de posiciónDeciles:El decil i-ésimo dejai/10 de los datos a la izquierda.

Percentiles:El percentilp deja el 100p% de los datos a la izquierda.




7.80 8.50 8.60 9.10 9.20 9.30 9.709.90 10.10 10.20 10.30 10.60 10.80 11.10

11.10 11.30 11.40 11.50 11.60 11.80 11.9012.00 12.20 12.30 12.30 12.40 12.40 12.5012.50 12.50 12.70 14.90 15.00 16.50

Q1 = 10.10 , Q2 = x̃ = 11.45 , Q3 = 12.40



Medidas de dispersiónRango (R):diferencia entre el máximo y el mínimo.

Varianza muestral (s2):Mide la variabilidad de los datos respecto de la media muestralx̄.

s2 =1

n− 1

n∑i=1

(xi − x̄)2 =1

n− 1

(n∑

i=1

x2i − nx̄2

)

Desviación típica (s):Se define comos =

√s2. La raíz cuadrada compensa el hecho de haber elevado

los datos al cuadrado. Por tanto se mide en las mismas unidades que los datos.



Medidas de dispersiónRango intercuartílico (RI ): Distancia entreQ1 y Q3, RI = Q3−Q1. En estadistancia se concentran el 50% de los datos, concretamente los que ocupanposiciones centrales.

Coeficiente de variación (C.V.): Mide la dispersión de los datos en relación asu orden de magnitud. Se utiliza para comparar la dispersión de distintos gruposde datos.

C.V. =sx̄· 100


R = 8.7 , s2 = 3.514082 , s = 1.874588

RI = 2.30 , C.V. = 16.51%



Diagramas de cajaSe trata de una representación gráfica ligada a los cuartiles. Con los datos del Ejemplo3 podemos dibujar el siguiente:

●

810

1214

16

Q1

Q3

x~

h1

h3

h1 es el dato más próximo aQ1− 1.5RI mayor que este valor.

h3 es el dato más próximo aQ3 + 1.5RI menor que este valor.

Los valores menores queh1 ó mayores queh3 son valores atípicos que pueden serdatos influyentes o simplemente mal tomados.



Medidas de forma: coeficiente de asimetríaEl coeficiente de asimetría(g1) se define como:

g1 =

1n

∑n

i=1(xi − x̄)3

s3

Conforme más próximo estég1 a 0 más simetría presentan los datos. Sig1 > 0 hayuna desviación hacia valores altos y sig1 < 0 hacia valores bajos.

g1=0

1 2 3 4 5 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

g1>0

0 2 4 6 8 10 12

0.00

0.05

0.10

0.15

g1<0

0 2 4 6 8 10 120.

000.

050.

100.

150.

20



Medidas de forma: coeficiente de curtosisEl coeficiente de aplastamiento o de curtosis(g2) Se define como:

g2 =

1n

∑n

i=1(xi − x̄)4

s4− 3

Si g2 = 0 el grado de aplastamiento de los datos será similar al de una campana deGauss. Sig2 > 0 los datos presentan un menor aplastamiento que la campana deGauss y sig2 < 0, los datos aparecen más aplastados que la campana de Gauss.


g1 = 0.4899285 , g2 = 0.3731027


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