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Tema 2 Análisis y representación de las señales
1. Representación de las señales Desde el momento que nos planteamos la necesidad de comprender el
funcionamiento de los sistemas de transmisión de datos, estamos planteando indirectamente la necesidad de disponer de herramientas que nos permitan representar las señales. Estas herramientas tendrán carácter matemático. No se puede hablar de la mejor o peor representación, dependerá del tipo de señal que se esté considerando. Las señales pueden representarse de muy diversas maneras. Además de distinguir entre señales analógicas, digitales y analógicas muestreadas, pueden hacerse otras clasificaciones.
1.1. Definición
Una señal es un fenómeno físico en el cual una o varias de sus características pueden variar para representar información.
Las señales se pueden representar de formas muy diversas. La más habitual es la representación matemática mediante funciones de una o más variables independientes. Por ejemplo, la voz podemos representarla como una función del tiempo, lo mismo que la música o los datos que se transmiten entre ordenadores. Es bastante común suponer que la variable independiente es el tiempo, aunque haya ocasiones en las que esto no sea del todo cierto.
1.2. Clasificación de las señales 1.2.1. Señal analógica, analógica digitalizada, muestreada a) Señal analógica
Se denominan señales analógicas a aquéllas que están representadas por funciones que pueden tomar un número infinito de valores en cualquier intervalo de tiempo.
Otro problema diferente es el que plantea la precisión de los aparatos de medida: puede no ser posible detectar todos los valores. Por ejemplo, un voltímetro puede que sólo sea capaz de detectar cambios de milésimas de voltio, pero para pasar de 0,001v. A 0,002v. hay infinitos valores que no leemos.
16
Un ejemplo típico de señal analógica es la voz humana. Otro ejemplo se muestra en la Figura 1.
Figura 1: Señal analógica
b) Señal analógica digitalizada o analógica muestreada Cuando una señal analógica está definida sólo en determinados instantes de
tiempo se habla de señales analógicas muestreadas. Por ejemplo, el voltaje es una señal analógica, pero si sólo se envían valores al
voltímetro cada microsegundo lo que pasamos a tener es una función que sólo es conocida en determinados instantes. Una señal analógica es una función continua en el tiempo y una señal analógica muestreada podría ser representada por una sucesión.
Gráficamente:
s(t)
t
Analógica muestreada
Analógica
Figura 2: Señal analógica muestreada
c) Señal digital
Son aquellas señales que están representadas por funciones que pueden tomar un número finito de valores en cualquier intervalo de tiempo.
17
Es un tipo de señal muestreada o discreta, pero en la que los valores permitidos pertenecen a un cierto conjunto finito. En el ejemplo de la figura este conjunto finito es: 0, 2.5, 5, 7.5, 10 y -5.
Figura 3: Señal digital
Es muy habitual representar estas señales mediante secuencias:
[ ]{ } ∞<<∞−= nnxx
Por ejemplo una secuencia finita de 6 elementos: [ ] { }5.0,0.3,.5,2,6.0,1 −−=nx
y si nos queremos referir a un elemento: [ ] 6.02 =x
Normalmente se trabajará con secuencias de longitud infinita. Un ejemplo de este tipo de secuencia lo obtenemos al digitalizar una señal analógica-muestreada.
1.2.2. Señales periódicas y no periódicas Una señal periódica g(t) es una función del tiempo que cumple:
g t g t T( ) ( )= + donde:
t es el tiempo T es una constante llamada período. Indica cada cuánto tiempo se repite la señal,
es decir, define la duración de un ciclo completo de la señal. Se mide en segundos. El inverso del período es la frecuencia, se define como el número de ciclos completos que tienen lugar en una unidad de tiempo (generalmente se toma como unidad el segundo) y sus unidades son:
Hertzioseg
seg= = −1 1
Una señal que no cumpla la anterior definición es una señal no periódica. Veamos unos ejemplos:
18
t
Periodo
t
Periodo
t
Señales periódicas
Señal no periódica
Figura 4
1.2.3. Señales deterministas y aleatorias
Una señal determinista es aquella sobre la que es posible conocer cualquier valor, tanto del pasado, en el presente o en el futuro. Es decir, son aquellas señales que se pueden definir como una función del tiempo totalmente especificada. Una señal aleatoria o no determinista es aquella señal sobre la que no conocemos todos los valores antes de que ocurran. Ejemplos: • , es una señal determinista f t t( ) = +3 10• Veamos los siguientes gráficos:
t
t
Figura 5
La primera señal de la Figura 5 es determinista (además es periódica) y la segunda es no determinista y no periódica.
19
Comentarios:
• Una señal periódica es una señal determinista • Una señal no periódica es una señal que puede ser determinista o no • Una señal aleatoria es una señal no determinista
1.2.4. Señales de energía y de potencia
La definición de las mismas se verá más adelante en el tema.
2. Propiedades de las señales y el ruido
Tal y como hemos visto en el primer tema, el esquema básico de la comunicación es:
EmisorCanal
Receptor
Figura 6
Además debe tenerse en cuenta que toda transmisión se ve afectada por fenómenos de ruido y distorsión. Por eso, la información que el emisor pone en la línea no es la misma que el receptor recibe. En todo sistema de transmisión de información (de datos) la forma de onda recibida en el receptor puede considerarse formada por dos componentes, la señal propiamente dicha y el ruido y la distorsión introducidas en el canal.
Veámoslo en un ejemplo, supongamos que al receptor llega la primera de las formas de onda (señales) que aparecen en la figura. Esta señal es la suma de la señal que el emisor quería enviar junto con el ruido introducido en la transmisión.
La ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. muestra el diagrama en VisSim para realizar el ejemplo de la señal con y sin ruido.
A lo largo de este tema lo que vamos a ver son técnicas para representar y estudiar la forma de onda de las señales y del ruido. En general el tipo de formas de onda que nos van a interesar serán las que provenientes de un voltaje o de una corriente.
20
Durante todo el estudio que vamos a realizar sólo vamos a interesarnos por aquellas señales (formas de onda) que cumplan unas determinadas propiedades y en especial a aquellas que son físicamente realizables, es decir, son reproducibles en un laboratorio.
Plot
Time (sec)0 2 4 6 8 10
-1
0
1
Plot
Time (sec)0 2 4 6 8 10
0
.5
++
Plot
Time (sec)0 2 4 6 8 10
-2
0
2
Figura 7: Señal, ruido y señal más el ruido
2.1. Señales físicamente realizables Tal y como se ha expuesto en el apartado anterior vamos a centrar nuestro estudio en las señales que son físicamente realizables porque son las únicas que se pueden transmitir. Las señales para que puedan ser calificadas de físicamente realizables deben cumplir una serie de propiedades: 1. La señal debe tomar valores distintos de cero en un intervalo finito de tiempo.
Esta condición es necesaria porque la transmisión de datos y por lo tanto las señales con las que se trabaja para transmitir la información entre un emisor y un receptor sólo tienen lugar en periodos finitos de tiempo (una transmisión no dura un tiempo infinito, los sistemas se apagan cada cierto tiempo).
21
2. El espectro de la señal tiene valores significativos en un intervalo finito de frecuencias. Esta característica es consecuencia de que los medios físicos a través de los que se realiza la transmisión, tales como fibras ópticas o cables coaxiales, tienen un ancho de banda limitado (margen de frecuencias en el que tiene lugar la transmisión).
3. La señal es una función continua el tiempo. Esta propiedad es consecuencia de
la anterior y cuando estudiemos el espectro de una señal quedará clara. No obstante en ocasiones trabajamos con funciones que no son continuas en el sentido estricto matemático (una sucesión de pulsos cuadrados es una función que es discontinua en todos aquellos puntos donde cambia de valor).
4. El máximo o mínimo de la señal es un valor finito. Es una condición totalmente
necesaria porque el voltaje (diferencia de potencial) o la intensidad de los circuitos sólo puede tomar valores finitos.
5. La señal toma sólo valores reales. Las señales del mundo real sólo toman valores
reales, pero cuando se hace el estudio en frecuencia aparecen valores complejos. Algunas de estas condiciones pueden no cumplirse según el modelo matemático que se escoja para representar la señal, a pesar de ello se pueden seguir haciendo los estudios que vamos a ver.
Figura 8
2.2. Valor DC, valor de continua o valor medio de la señal
El valor de continua o valor Dc se define como la media temporal de la señal w(t):
∫−∞→= 2
T
2T
dt)t(wT1limW
Tdc
en el caso de las señales físicamente realizables sólo estamos interesados en calcular el valor medio en un intervalo temporal:
22
∫−2
1
t
t12
dt)t(wtt
1
(este cálculo es equivalente a calcular la media aritmética de un conjunto de valores. Como tenemos una señal continua en el tiempo aparece la integral - suma infinita -)
Por ejemplo, calculemos el valor medio de una señal en forma de onda cuadrada (Figura 8).
( ) 23
321dt3dt2dt31tg
31 6
5
7
6
5
4
7
4
=++
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⋅+= ∫ ∫∫∫
Si la señal es periódica, el valor DC se puede calcular como:
∫+
+−=
a
a0
dc20T
20T dt)t(w
T1W
donde a es una constante real que sólo sirve para indicarnos que el valor medio de una señal se calcula en uno de los periodos de repetición de la misma. Normalmente se suele tomar a=0.
in
[rs]Mean 0
Plot
Time (sec)0 2.5 5 7.5 10
0
1
2F:\vissim\practicas\tri.vsm
4 desplazamiento
2 amplitud
4 0T
t
Plot
Time (sec)0 2.5 5 7.5 10
0
1
2Se muestra la media en cada instante.
Figura 9: Cálculo de una media en VisSim
23
2.3. Potencia de una señal
En los sistemas de transmisión la potencia de la señal nos va a indicar si es posible recuperar la señal en el receptor o no. Si la potencia es muy pequeña no es posible recuperarla.
Más detalladamente: en los sistemas de datos, si la potencia media de la señal recibida es suficientemente grande comparada con la potencia media del ruido, entonces la información (datos) puede ser recuperada.
Voltaje
0 2 4 6 8 10-2
-1
0
1
2
Intensidad
0 2 4 6 8 10-2
-1
0
1
2
Potencia instantánea
0 2 4 6 8 10-2
-1
0
1
2
Figura 10: Potencia instantánea de una señal
Normalmente se define la potencia como el producto del flujo por el esfuerzo. Así definimos la potencia instantánea como el producto del voltaje por la
intensidad: p(t)=v(t)i(t)
La Figura 10 muestra un ejemplo de potencia instantánea, en esta caso se ha supuesto que tanto el voltaje como la intensidad son funciones cosenoidales con igual periodo de repetición.
La potencia media se define como:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=⋅== ∫
−∞→
2
2
)()(1)()()(T
TTdttitv
TtitvtpP lim
Si tenemos en cuenta la ley de Ohm:
24
V(t)=i(t)R
R)t(v
P
R)t(iR)t(i)t(i)t(v)t(pP2
22
=
⋅=⋅=⋅==
2.4. RMS, Potencia normalizada y Energía Normalizada DEF. RMS (Root Mean Square: Raíz Media Cuadrática) El valor RMS de una señal w(t) se define como:
( )twW 2RMS =
es decir, la raíz cuadrada del valor medio de la señal. En base a la definición anterior, se redefine la potencia media como:
RMSRMS2RMS
2RMS IVRIR
VP =⋅==
Se habla de potencia normalizada cuando el valor de R se sustituye por 1 ohmio:
2RMS
2RMS VIP ==
La potencia media normalizada está dada por:
( ) ∫−∞→== 2
T
2T
dt)t(wT1limtwP 2
T
2
La energía total normalizada será:
∫−∞→= 2
T
2T
dt)t(wlimE 2
T
2.5. Señales de energía y señales de potencia
Algunos autores hablan de ondas de energía y de potencia. DEF: Señal de potencia Se dice que una señal es de potencia si y sólo si su potencia media normalizada
es finita y diferente de cero: 0<P<∞
DEF: Señal de energía Se dice que una señal es de energía si y sólo si su energía total normalizada es
finita y diferente de cero: 0<E<∞
25
Comentarios: 1. Una señal no puede ser a la vez de energía y de potencia 2. Una señal de energía tiene potencia media cero 3. Una señal de potencia tiene energía infinita 4. Las señales periódicas NO son señales de energía:
Energía en un periodo de repetición: ( )∫+
= 01
11
Tt
t
2x dttxE
Energía en n periodos de repetición: ( )∫+
⋅= 01
1n
Tt
t
2x dttxnE
Potencia media de una señal periódica: ( )∫+
= 01
1
Tt
t
2
0x dttx
T1P
5. Las señales aleatorias NO son de energía 6. Hay señales que no son ni de energía ni de potencia:
a) E=∞, P=0: g(t)=t-0.1 si t≥1 b) E=∞, P=∞: g(t)=t si t≥0
7. Las señales físicamente realizables son señales de energía, pero en
ocasiones se modelan (se usa una función) del tipo de potencia
2.6. Decibelio El decibelio es una medida logarítmica de una relación de potencias:
entrada
salida
PPlog10dB ⋅=
también se puede utilizar:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=
entrada
aargc
RMS
RMS
aargc
entrada
RMS
RMS
RR
log10II
log20
RRlog10
VV
log20dB
entrada
salida
entrada
salida
Se obtiene el mismo valor para los decibelios independientemente de trabajar con potencia, voltaje o intensidades.
Si se utiliza potencia normalizada:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=
entrada
salida
entrada
salida
RMS
RMS
RMS
RMS
II
log20VV
log20dB
Si se conoce el valor de los dBs entonces: 10
dB
entrada
salida 10PP
=
La relación señal ruido se define como:
26
( )ruido
señal
RMS
RMS
ruido
señal
dB VV
log20PPlog10N
S ⋅=⋅=
Los decibelios también pueden utilizarse como una medida absoluta de los
niveles de potencia con respecto a un nivel de referencia. Por ejemplo, con respecto a un miliwatio:
310)watios(Potencialog10dBm −⋅=
3. Análisis en el dominio del tiempo y de la frecuencia
La mayoría de las señales, se miden en el dominio temporal. Es decir, lo que medimos es una función del tiempo. Lo que normalmente representamos es la amplitud de una señal a lo largo del tiempo. Pero, esto puede que no sea la mejor representación que podemos dar de la información contenida en esa señal. Hay determinadas propiedades que no podemos observar en el dominio temporal y que sí se pueden ver en el de la frecuencia.
Intuitivamente todos sabemos que la frecuencia está relacionada con la velocidad de cambio: si 'algo' cambia rápidamente, decimos que tiene una frecuencia alta y si cambia lentamente decimos que su frecuencia es baja, y si no cambia, diremos que su frecuencia es cero. Por ejemplo, la frecuencia de un periódico (publicación diaria: frecuencia diaria) es mayor de que la de una revista (publicación semanal: frecuencia semanal).
La frecuencia se mide en ciclos por segundo que es lo que se llama Hertzios:
Hzsegundo
1f ==
El espectro de frecuencia de una señal consiste en la representación de las componentes de frecuencia de la misma. Esta representación nos mostrará las frecuencias que existen en la señal.
¿Por qué necesitamos la información contenida en la frecuencia? Básicamente porque con la representación temporal, parte de la información
contenida en la señal no es evidente. Supongamos las señales de la Figura 11. A simple vista lo que podemos ver es que se trata de dos señales con forma de onda cuadrada y que la segunda cambia más veces de valor. Pero lo que no podemos saber es si podemos enviar las dos a la vez por la misma línea. Para poder averiguar esto, lo que se hace es un estudio en el dominio de la frecuencia. Este estudio nos permite saber cuáles son las componentes en frecuencia de las señales y a partir de ahí estudiarlas.
27
Señal 1
Señal 2 Figura 11: Señales con diferente periodo de repetición
Otra posible aplicación del estudio en el dominio de la frecuencia es el estudio de las causas de las distorsiones de las señales durante una transmisión. El método más utilizado para el estudio en el dominio de la frecuencia de las señales es el "Análisis de Fourier", se basa en la descomposición de una señal en componentes sinusoidales. Es el método más utilizado como consecuencia de que cuando se aplica a un sistema una entrada sinusoidal (en general, una entrada periódica) el sistema responde dando como salida otra señal sinusoidal (de diferente fase y amplitud).
Hay varios métodos de análisis de Fourier. La elección de uno u otro vendrá determinada por el tipo de señal que se quiera estudiar. Para señales periódicas, se utilizan las series de Fourier (ondas sinusoidales relacionadas armónicamente). En el caso de señales no periódicas (señales de energía) se trabaja con la transformada de Fourier. La serie de Fourier o la transformada nos permiten obtener la descripción en el dominio de la frecuencia o espectro de la señal, que nos va a dar un tipo de información que de otra forma sería muy difícil obtener.
La transmisión en los sistemas de comunicaciones, ya sean analógicos o digitales se ven afectados fundamentalmente por dos factores: • ancho de banda del canal • ruido
28
Para poder entender totalmente la interacción entre los datos y la velocidad de transmisión, el tipo de modulación, la forma de las señales y el ancho de banda ... es necesario tener unas pequeñas nociones de lo que sucede en el dominio de la frecuencia.
Se trata de cambiar la representación de las cosas, en vez de verlas en la forma tradicional o convencional vamos a ser innovadores y estudiar qué sucede en el dominio de la frecuencia.
Cuando se trabaja con Fourier no es posible 'ver' simultáneamente el dominio temporal y el dominio de la frecuencia. No obstante en la figura de la izquierda lo que se trata de mostrar es como señales con periodos de repetición pequeños tienen una componente de frecuencia más grande y las de periodos de repetición mayores, su frecuencia es más pequeña.
La figura muestra la comparación entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia. En la primera parte vemos la forma habitual de representar una secuencia de pulsos rectangulares. En la segunda parte se muestra como se representa la señal en el dominio de la frecuencia
4. Análisis de Fourier
29
Mediante la transformada de Fourier vamos a estudiar las señales deterministas no periódicas en el dominio de la frecuencia. Más adelante veremos como estudiar mediante las series de Fourier las señales deterministas1 periódicas. 4.1. Definición En los problemas de transmisión de datos que vamos a considerar, las señales con las que trabajamos vamos a denotarlas de forma genérica como w(t). Esta señal es una función del tiempo, como consecuencia, va a haber unas frecuencias o rango de frecuencias que serán las que deberemos estudiar. En teoría, para saber las frecuencias que están presentes, deberíamos estudiar la señal en todo el rango temporal, es decir -∞< t < ∞, de esta manera se aseguraría que no estamos despreciando ninguna componente en frecuencia importante. El nivel relativo de una frecuencia con respecto a otra viene dado por el espectro de la señal y se calcula mediante la transformada de Fourier. DEF. Transformada de Fourier La transformada de Fourier (TF) de una señal w(t) se define como:
=)( fW F [ ] ∫∞
∞−
⋅−= dtetwtw tfj π2)()(
donde f es la frecuencia medida en Hz. También se conoce con el nombre de espectro doble de w(t), porque con la expresión anterior se obtienen las componentes de frecuencia positivas y negativas. Dada la transformada de Fourier W(f) es posible recuperar la señal original aplicando la fórmula de la transformada inversa de Fourier:
[ ] ∫∞
∞−
− ⋅== dfefWfWFtw ftj π21 )()()(
Se llama par de la transformada de Fourier a las funciones w(t) y W(f), y se suele denotar por
w t W f( ) ( )↔ . 4.2. Condiciones de Dirichlet Para que la transformada de Fourier de una señal w(t) exista es suficiente, pero no necesario que se cumplan las condiciones siguientes: 1) La función w(t) es univaluada y tiene un número finito de máximos y mínimos en cualquier intervalo finito de tiempo. 2) La función w(t) tiene un número finito de discontinuidades en cualquier intervalo de tiempo finito. 1En todo momento hablamos de señales deterministas porque son las que vamos a poder representar mediante estas
técnicas
30
3) La función w(t) es absolutamente integrable, es decir:
∫∞
∞−∞<dttw )(
En la práctica se suele utilizar otra condición para saber si existe o no la transformada de Fourier: siempre que la energía de la señal sea finita, se puede calcular la transformada de Fourier. Este es el caso que sucede con todas las señales físicamente realizables. NOTACIÓN: en ocasiones se suele utilizar como operador para trabajar con la transformada de Fourier la frecuencia angular ω en lugar de la frecuencia f, ambas expresiones están relacionadas mediante la expresión ω = 2πf , cuyas unidades son radianes por segundo. No obstante, en el tratamiento de señal resulta más intuitivo trabajar con la definición que nosotros hemos utilizado. NOTAS: 1) Debe quedar claro que el espectro de una señal se obtiene mediante cálculos matemáticos y que físicamente no forma parte del circuito real de forma física. 2) f es sólo un parámetro que denominamos frecuencia que determina el punto de la función espectral que se va a calcular. Por ejemplo, la frecuencia f=10Hz aparece en la señal w(t) si y sólo si W( )10 0≠ .
3) Para conocer el valor exacto de la función espectral debería ser necesario conocer la señal en todo el dominio del tiempo, como esto no es posible, se puede utilizar un analizador de espectro para obtener una aproximación (integral en tiempo finito) para la magnitud de la transformada de Fourier. Podemos simplificar diciendo que cualquier señal que sea físicamente realizable tiene transformada de Fourier. 4) Una señal queda totalmente definida por su representación temporal o por la representación mediante la transformada de Fourier. 4.3. Espectro continuo La transformada de Fourier nos proporciona una herramienta para la descomposición de una señal w(t) dada en sus componentes complejas ocupando todo el rango de frecuencias (−∞ < < ∞f ). En particular, la transformada de Fourier W(f) de la señal, define la representación en el dominio de la frecuencia de la señal en la que se especifica las amplitudes relativas de las componentes en frecuencia de la señal. Esto es equivalente a definir la función w(t) en cada instante de tiempo t. Tal y como ya se ha explicado anteriormente, la señal queda unívocamente definida por cualquiera de las representaciones.
31
En general W(f) será una función compleja de la frecuencia, ya que e j f t− ⋅2π es una función compleja. Según esto W(f) puede descomponerse como suma de dos funciones reales:
W(f)=X(f)+jY(f) Esta formulación es equivalente a la que se utiliza para escribir los números complejos como pares de números reales, de ahí que se la conozca como forma de cuadratura o forma Cartesiana. También se puede utilizar la notación polar, donde tendremos que el par de funciones reales nos va a denotar la magnitud y la fase:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
+=
=
−
)f(X)f(Ytan)f(
)f(Y)f(X)f(W
donde,e)f(W)f(W
1
22
)f(j
θ
θ
Esta es la representación magnitud-fase o forma polar (en cierta forma esto está relacionado con el diagrama de Bode). En ocasiones se conoce como espectro a la magnitud de la transformada de Fourier ya que para comprobar si ciertas frecuencias están presentes se debe acudir a la magnitud de la función transformada de Fourier2. No obstante en general a la magnitud de la transformada de Fourier se la conoce como espectro continuo de amplitud y a la fase como espectro continuo de fase. Hablamos de espectro continuo porque tanto la amplitud como la fase de W(f) están definidas para todas las frecuencias. El espectro que más se utiliza es el de magnitud, por eso en ocasiones al referirse al espectro de frecuencias de una señal, en forma implícita nos referimos al de magnitud, el de fase es mucho menos utilizado.
Espectro de señales w(t) reales El tipo de señales con el que trabajamos son señales que sólo toman valores reales. Por lo que hay unas ciertas propiedades que podemos aplicar: 1) El operador conjugado (*) de la transformada de Fourier cumple:
W f W f( ) (*− = ) 2) Como consecuencia de la primera propiedad se va a cumplir que el espectro de amplitud de f y -f es igual:
W f W f( ) ( )= − es decir, que es una función simétrica respecto al eje vertical (función par).
2 Por ejemplo, la frecuencia f=10Hz aparece en la señal w(t) si y sólo si W( )10 0≠
32
3) El espectro de fase es una función impar, o lo que es lo mismo, antisimétrica con respecto al eje vertical:
)()( ff θθ −=−
Estas propiedades suelen resumirse diciendo que el espectro de una señal real es simétrico conjugado. 4.4. EJEMPLOS EJEMPLO 1. Pulso rectangular Sea un pulso rectangular de duración T y amplitud A, su representación aparece en la página siguiente junto con su transformada de Fourier. La definición matemática de un pulso de amplitud 1, centrado en el origen y de duración T es:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≤=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
2Tt,02Tt,1
Ttrect
en nuestro caso queremos un pulso rectangular de amplitud A, así que la función será:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≤=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=
2Tt,02Tt,A
TtrectA)t(g
calculando la transformada de Fourier de esta señal obtenemos:
[ ] ( )ffTsinA
f2Tf2sin
Af2jeeAdteAdte)t(g)t(gF)f(G
2Tft2j
2Tf2j
ft2jft2j 2T
2T π
ππ
π
π
ππ
ππ =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=−
=⋅=⋅==−
−
−∞
∞−
− ∫∫
Con el cálculo de la transformada de Fourier hemos obtenido una de las funciones que más aparecen en el análisis de teoría de señales, es la función sinc. Vamos a ver su definición:
( )πλ
πλλ sinA)(sinc =
para que el valor de G(f) se adapte a esta forma tenemos que hacer unos pequeños cálculos:
[ ] ( ) )(22
2)()(
22
22
fTATsincfT
fTsinAfT
TfsinAT
fjeeAtgFfG
Tftj
Tfj
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=−
==−
ππ
π
π
π
ππ
33
-10 100
1
t
y(t)
-0.75 -0.25 0.25 0.750
2.5
5
7.5
10
f
|Y(f)|
-0.75 -0.25 0.25 0.75-20
-10
0
10
20
f
arg(Y(f))
Figura 12: Pulso rectangular, y representación en la frecuencia
La muestra como podemos generar un pulso rectangular en VisSim. t
T 04
T
abs+-
merge
btf
t<
lr
0
amplitud1.5
amplitud
Plot
Time (sec)0 2 4 6 8 10
0
1
2
desplazamiento2
/lr
2
desplazamiento
Figura 13: Pulso rectangular
34
Magnitud de la FFT(-Fs/2 to Fs/2) (-/+ 50 Hz)
Frecuencia (Hz)-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Input Data Stream
Time (sec)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
FFT
rec.vsm
0.5 desplazamiento
1 amplitud
1 0T
t
Figura 14: Pulso rectangular y espectro de magnitud
EJEMPLO 2. Transformada de Fourier de un pulso triangular. Sea un pulso triangular de duración T y amplitud A, su representación aparece en la página siguiente junto con su transformada de Fourier.
La definición matemática de un pulso de amplitud 1, centrado en el origen y de
duración T es: ⎪⎩
⎪⎨⎧
>
≤−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛Λ
Tt,0
Tt,Tt
1Tttri
Tt
en nuestro caso queremos un pulso rectangular de amplitud A, así que la función será:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛Λ⋅=
Tt,0
Tt,Tt
1ATttriA
TtA)t(g
La transformada de Fourier: [ ] )fT(ATsincdte)t(g)t(gF)f(G 2ft2j∫∞
∞−
− =⋅== π
35
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
1
t
y(t)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
1
f
|Y(f)|
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1
0
1
f
arg(Y(f))
Figura 15: Ejemplo de transformada de un pulso triangular
Magnitud de la FFT(-Fs/2 to Fs/2) (-/+ 50 Hz)
Frecuencia (Hz)-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -.5 0 .5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
.2
.4
.6
.8
1.0
Input Data Stream
Time (sec)0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-1
0
1
Figura 16: Transformada de un pulso triangular usando Vissim
4.5. Propiedades de la Transformada de Fourier Las propiedades de las transformadas nos permiten relacionar una función (señal temporal) con su transformada en el dominio de la frecuencia, vamos a poder saber cómo influyen ciertos cambios en el dominio temporal al pasar al dominio de la frecuencia.
36
Propiedad 1. Linealidad o Principio de superposición Sean los pares señal/transformada g t G f1 1( ) ( )↔ y g t , entonces para cualesquiera constantes c y c , se cumple que:
G f2 2( ) ( )↔1 2
c g t c g t c G f c G f1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )+ ↔ + IMPORTANTE: la propiedad se aplica a la transformada, NO a la magnitud ni a la fase por separado, lo que se cumplirá en el caso del módulo es:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) (( ))
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ))(Im)(Im)(Re)(Re2
)(Im)(Re)(Im)(Re
)(Im)(Im2)(Re)(Re2
)(Im)(Re)(Im)(Re
)(Im)(Im)(Re)(Re
)(Im)(Re)(Im)(Re
)()()()()()(
212121
22
22
22
21
21
21
22112211
22
22
22
22
21
21
21
21
22211
22211
22221111
221122112211
fGfGfGfGcc
fGfGcfGfGc
fGcfGcfGcfGc
fGcfGcfGcfGc
fGcfGcfGcfGc
fGcfGcfGcfGc
fGcfGcfGcfGcfGcfGc
+
++++=
+
++++=
+++=
+++=
+⋅+=+
esta es una de las posibles formas de expresar el resultado, podéis utilizar otras sin más que trabajar con los módulos de las funciones, en vez de con la parte real e imaginaria. Ejemplo: Supongamos un pulso rectangular y otro triangular a los que vamos a aplicar esta propiedad.
Input Data Stre
0 1 2 3 4 50
.5
1.0
Input Data Stre
0 1 2 3 4 50
1
2
Figura 17: Señales originales
Input Data Stream
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
Figura 18: Señales originales
37
Magnitud de la FFT(-Fs/2 to Fs/2) (-/+ 50 Hz)
Frecuencia (Hz)-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Figura 19: Espectro de magnitud de la suma
Los módulos en VisSim que se han definido para realizar la operación en la fórmula vista anteriormente son:
*
$timeStep
im_trire_tri
im_recre_rec
pow
pow+++++
pow
pow
*2
++
*
*
pow
Figura 20: Trascripción de la fórmula a VisSim
Si ahora repetimos el mismo ejemplo, pero considerando que el pulso rectangular está desplazado dos segundos en vez de uno:
Input Data Stream
0 .5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Figura 21: Suma de pulso triangular desplazado 1 seg. y pulso rectangular desplazado 2
seg.
38
Magnitud de la FFT(-Fs/2 to Fs/2) (-/+ 50 Hz)
Frecuencia (Hz)-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -.5 0 .5 1 1.5 2 2.5 3
0
.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Figura 22: Espectro de magnitud
En la Figura 22 se muestran dos espectros de magnitud, la línea malva (la exterior) corresponde a sumar directamente los espectros de magnitud del pulso rectangular y del pulso triangular, la línea interior (la roja) es el espectro de magnitud calculado correctamente. Lo interesante es que en ambos casos los puntos de corte con el eje horizontal cuando trabajamos con señales rectangulares y triangulares son los mismos, pero si queremos realizar un análisis adecuado debemos realizar el dibujo con las fórmulas adecuadas.
Es totalmente lógico que aplicando las fórmulas correctas el dibujo quede por dentro del ‘incorrecto’ porque siempre se cumple que el módulo de una suma es menor que la suma de los módulos. Propiedad 2. Escalado en el tiempo
Sea g t , entonces G f( ) ( )↔ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛↔⋅
afG
a1)ta(g
G f( ) ( )
Nota: en el caso especial de a=-1, g t − ↔ −
Esta propiedad lo que nos dice es que si comprimimos una señal en el tiempo, en la frecuencia se expande con el mismo factor. Análogamente, si expandimos una señal en el tiempo, entonces se comprime en la frecuencia con el mismo factor.
Desde un punto de vista matemático lo que hacemos en la definición de la función es cambiar todos los sitios donde aparece t por at y en la frecuencia todos los sitios donde aparece f por f/a. Ejemplo: En la Figura 23 se muestran dos señales en el dominio del tiempo y sus correspondientes espectros de magnitud. La línea roja corresponde a un pulso rectangular con T=1. La línea malva es el mismo pulso rectangular, pero sustituyendo t por 10t. Así que en el tiempo hemos ‘comprimido’ la señal. En la frecuencia la línea roja representa el espectro de magnitud del pulso original, que corta a los ejes en 1, 2, 3, 4, .. y –1, -2, -3, -4, ... La línea malva es el espectro de
39
magnitud del nuevo pulso, está expandido, y ahora corta al eje horizontal en 10, 20, ... y en –10, -20, ...
Input Data Stream
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
Magnitud de la FFT(-Fs/2 to Fs/2) (-/+ 50 Hz)
Frecuencia (Hz)-15 -12.5 -10 -7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5 10 12.5 150
.5
1.0
1.5
2.0
Figura 23: Propiedad 2
Propiedad 3. Teorema de dualidad
Si g t , entonces G t
G f( ) ( )↔g f G t
g f( ) ( )( ) ( )− ↔
↔ −
¿Cuál es el significado de esta propiedad?. Lo que nos quiere decir, independientemente del valor de las constantes es que hay una relación dual entre el dominio de la frecuencia y el del tiempo, así si en el tiempo tenemos una función rec, en la frecuencia vamos a tener una función sinc y si en el tiempo tenemos una función sinc, en la frecuencia vamos a tener un pulso rectangular. Lo mismo se aplica a cualquier otro tipo de señal. La formulación matemática de esta propiedad nos ayuda a calcular los cambios que se producen en las constantes. Ejemplo: • Vamos a considerar que g t A sinc Tt( ) ( )= ⋅ 2
( )fG)Tt2(sincA)t(g ↔⋅= Consideramos:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) )f(recfrec
tsincfrecft
fsinctrec1A,1T
fTsincTAtrecA
−=⋅↔−
−=⋅↔
==⋅⋅↔⋅
40
( ) ( )
( )
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛↔⋅
⋅↔⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⋅↔
T2frec
T2ATt2sincA
A:linealidad
Tt2sincT2frec
T21
T2a:escaladotsincfrec
Propiedad 4. Teorema de desplazamiento en el tiempo Si g t , entonces g tG f( ) ( )↔ t G f e j ft( ) ( )− ↔ ⋅ −
02 0π
Esta propiedad significa que se desplazamos en dirección positiva una función, el efecto en la transformada es equivalente a multiplicarla por e j ft− 2 0π . Esto quiere decir que la amplitud de la transformada no se ve afectada, pero en cambio la fase se multiplica por un factor lineal de −2 0πft . Esta propiedad lo que nos quiere decir es que da lo mismo que transmitamos una señal ahora o dentro de una hora, que las necesidades de ancho de banda y características más relevantes de la transmisión serán las mismas. Ejemplos: Las figuras muestran dos pulsos triangulares desplazados en el eje horizontal un determinado valor, se ve que independientemente del desplazamiento en el tiempo, el espectro de magnitud es el mismo.
Magnitud de la FFT(-Fs/2 to Fs/2) (-/+ 50 Hz)
Frecuencia (Hz)-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0
.2
.4
.6
.8
1.0
Input Data Stream
Time (sec)0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-1
0
1
Figura 24: Propiedad 4
41
Magnitud de la FFT(-Fs/2 to Fs/2) (-/+ 50 Hz)
Frecuencia (Hz)-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0
.2
.4
.6
.8
1.0
Input Data Stream
Time (sec)0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-1
0
1
Figura 25: Propiedad 4
Propiedad 5. Teorema del desplazamiento en frecuencia Si g t , entonces e gG f( ) ( )↔ t G f fj ff
cc2π ⋅ ↔ −( ) ( ), donde f es una constante
real. c
Esto es, la multiplicación de la función g(t) por el factor e equivalente a desplazar su transformada de Fourier en dirección positiva en una cantidad fc . Esta propiedad también se denomina teorema de modulación porque se logra un desplazamiento en el rango de frecuencias mediante una modulación de la función de la que se calcula la transformada de Fourier. La señal portadora es e . Esta propiedad y la anterior son duales.
j ffc2π
j ffc2π
Lo que se cumple ahora es que si se calcula el módulo de la señal en el tiempo, tanto el que corresponde a la señal desplazada como a la no desplazada en la frecuencia van a ser el mismo. Propiedad 6. Area bajo g(t) Si g t , entonces . Es decir, el área de g(t) es igual al valor de su transformada de Fourier en f=0.
G f( ) ( )↔ ∫∞
∞−= )0(Gdt)t(g
Propiedad 7. Area bajo G(f) Si g t , entonces . Es decir, el área de G(f) es igual al valor de g(t) en 0.
G f( ) ( )↔ ∫∞
∞−= df)f(G)0(g
Propiedad 8. Diferenciación en el dominio del tiempo Si g t , y suponiendo que la primera derivada de g t existe, entonces
G f( ) ( )↔ ( )
42
)f(fG2j)t(gdtd π↔
Podemos generalizar la expresión anterior:
( ) )f(Gf2j)t(gdtd n
n
n
π↔
Propiedad 9. Teorema de integración en el dominio del tiempo
Si g t . Suponiendo que G(0)=0, entonces G f( ) ( )↔ ∫ ∞−↔
t)f(G
f2j1d)(gπ
ττ . Es
decir, la integral en el dominio del tiempo de g(t), divide su transformada de Fourier G(f) por el factor , supuesto que G(0) es cero. j f2π Ejemplo: • Cálculo de la transformada de Fourier de un pulso triangular. Propiedad 10. Funciones conjugadas Si g t , entonces g t G f( ) ( )↔ G f* *( ) ( )↔ Propiedad 11. Convolución en el dominio temporal. Teorema de convolución Sean g t y g tG f1 1( ) ( )↔ G f2 2( ) ( )↔ , entonces
)f(G)f(Gd)t(g)(g 2121 ↔−∫∞
∞−λλλ
La convolución de dos señales en el dominio temporal se transforma en la multiplicación de sus transformadas de Fourier en el dominio de la frecuencia. Explicación de la importancia de esta propiedad. Aunque a priori pueda parecer difícil su interpretación y su relación con la asignatura de transmisión de datos, es una de las propiedades más importantes. Nuestro objetivo es conseguir que una señal enviada por un emisor pueda ser recibida por un receptor e interpretada correctamente. Bueno, pues si consideramos el esquema básico:
EmisorCanal
ReceptorSeñal a la entrada Señal a la salida
La señal en el receptor se obtiene como una convolución en el dominio del tiempo de la señal a la entrada (emisor) con la línea por la que se transmite. Por eso sería conveniente entender el significado de esta operación y de realizarla. En el caso de la convolución resulta mucho más sencillo la multiplicación en el dominio de la frecuencia de las señales que la realización de la convolución en el dominio del tiempo. Propiedad 12. Multiplicación en el dominio del tiempo. Teorema de la multiplicación Sean g t y g tG f1 1( ) ( )↔ G f2 2( ) ( )↔ , entonces
43
∫∞
∞−−↔ λλλ d)f(G)(G)t(g)t(g 2121
Esta integral se conoce como integral de convolución. La multiplicación de dos señales en el dominio temporal se traduce en la convolución de sus transformadas de Fourier en el dominio de la frecuencia. Explicación: podemos ver esta propiedad como una generalización del teorema de desplazamiento en la frecuencia. La forma de calcular la transformada de Fourier cuando se multiplican dos señales en el dominio del tiempo, es mediante la convolución de las mismas en el dominio de la frecuencia. La principal aplicación se produce en la modulación de señales: enviar una señal por una línea mediante una portadora. En el dominio del tiempo se está multiplicando las señales, pero en el de la frecuencia lo que se hace es una convolución. 4.6. Señales especiales 4.6.1. Función delta de Dirac La función delta de Dirac o impulso unitario, se define como:
⎩⎨⎧
=∞≠
=0t,0t,0
)t(δ , tal que ∫∞
∞−=1dt)t(δ
tal y como se presenta esta definición más que una función, la delta de Dirac entra dentro de la categoría de distribuciones. Podemos considerar que se obtiene a partir de un pulso rectangular de área unitaria a medida que se le disminuye el intervalo de duración del mismo.
Presenta unas propiedades muy características que la hacen muy interesante para el estudio de los sistemas lineales: 1) La convolución de cualquier señal con la delta de Dirac es la propia señal:
∫ ∫∞
∞−
∞
∞−=−=− )t(gdt)t(g)t(dt)t(g)t( τδτδ
2) Su transformada de Fourier es:
( ) 1dte)t()t( jft2 =⋅=ℑ −∞
∞−∫ πδδ
o lo que es lo mismo: δ( )t ↔ 1
gráficamente:
g(t) G(f)
1
t f Propiedades de la delta de Dirac:
44
1. ( ) (tAtA )δδ =−
2. ( ) AdttA =∫∞
∞−δ
3. ( ) 0=tAδ siempre que t sea distinto de 0 ( )tAδ
4. ( ) ( ) ( ) ( )000 ttBAttBttA −+=−+− δδδ 5. ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )000 tttAyttAty −=− δδ Aplicaciones de la función delta de Dirac: 1) Por ser la una función par, se cumple:
δ( )t ↔ 1 y entonces 1 ↔ δ( )f 2) Si a 1 le aplicamos la propiedad de desplazamiento en frecuencia: ↔ δ( )f
e fjf tc
c f− ↔ −2π δ( ) Es decir, que la función exponencial e jf tc−2π se transforma en el dominio de la
frecuencia en una función delta que ocurre en f fc= . 3) Cálculo de la transformada de Fourier de una señal sinusoide cos . ( )2πf tc
Aplicando la fórmula de Euler podemos escribir:
cos( ) ( )2 12
2 2π π πf t e ecj f t j f tc c= + −
Si aplicamos la propiedad de linealidad y la consecuencia del apartado 2:
cos( ) ( ( ) ( )2 12
π δ δf t f f f fc c↔ − + + c
Es decir, el espectro de la señal coseno, se compone de dos pulsos de Dirac para frecuencias ± . fc
De forma análoga se puede realizar el cálculo para una señal sinusoidal:
sin f tj
e ecj f t j f tc c( ) (2 1
22 2π π π= − − )
y el par transformada señal será:
))()((21)2sin( ccc ffffj
tf +−−↔ δδπ
4) Teorema de integración
La generalización del teorema de integración se hace a través de la función delta de Dirac. La expresión quedará como: Si g t , entonces: G f( ) ( )↔
)f()0(G21)f(G
jf21d)(g
tδ
πττ +↔∫ ∞−
es decir, el hecho de que el valor de G(0) no sea cero se subsana mediante la función impulso unitario. 4.6.2. Función salto unitario
45
La función salto unitario se define como3:
⎪⎩
⎪⎨⎧
<
>=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
=
>
=0,0
0,1)(
0,0
0,21
0,1
)(t
ttuo
t
t
t
tu
Esta función está relacionada con la función impulso unitario de la siguiente forma:
)t(dt
)t(duf2j
1)f(21d)()t(u
t
δ
πδλλδ
=
+↔= ∫ ∞−
Gráficamente:
g(t)
t0
1
0 (representamos el espectro de magnitud) 4.6.3. Aplicación del teorema de integración
A partir del salto unitario podemos obtener otras señales interesantes como la parábola o curvas de orden superior.
Input Data Stream
Time (sec)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
2
4
6
8
10
1/S
1/S
Figura 26: Generación de curvas de orden superior por la integración de las de orden inferior
4.7. Teorema de Parseval/Rayleigh y Densidad Espectral de Energía Tradicionalmente la energía de una señal se define en el dominio temporal. No
obstante es posible hacerlo mediante la transformada de Fourier y dependiendo de la
situación puede resultar más sencillo.
Hemos visto que la energía total de una señal w(t) se puede calcular como:
3 En t=0, la función presenta una discontinuidad, por eso en este caso se define el valor de la función como el punto
medio entre los dos valores que toma la función
46
∫∫∞
∞−−∞→== dt)t(wdt)t(wlimE 22
T
2T
2T
El teorema de Parseval lo que nos dice es:
Dadas w1(t) y w2(t), entonces:
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞
∞−
∞
∞−⋅=⋅ dffWfWdttwtw *
1*
1 22
si w1(t)=w2(t), entonces:
( ) ( )∫∫∞
∞−
∞
∞−== dffWdttwE 22
De esta forma el cálculo de la energía, se puede simplificar.
De este apartado sólo me interesa que recordéis lo que viene a continuación.
Ahora definiremos la densidad espectral de energía para señales de energía. Si
tenemos el par señal transformada w(t)↔W(f), entonces la densidad espectral de
energía será:
ESD(f)=E(f)=|W(f)|2
Basándose en la definición anterior se podrá calcular la energía como:
∫∞
∞−⋅= dfESD(f)E
y si lo que nos interesa es la ESD sólo en un determinado intervalo de
frecuencias:
∫∫ ⋅+⋅=−
−
2
1
1
221
f
f
f
fff dfESD(f)dfESD(f)E
4.8. Densidad de Potencia Espectral Dado el par señal transformada w(t)↔W(f). La densidad de potencia espectral
o densidad espectral de potencia (PSD: Power Sprectral Density) se calcula como:
PSD(f)=P(f)=|( )
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛∞→ T
fWlim
2
T
las unidades son watios/hertzio
La PSD es siempre una función real no negativa de la frecuencia. Además no
depende del espectro de fase de la señal.
47
A partir de la PSD se puede redefinir el cálculo de la potencia media normalizada
de una señal w(t) como:
( ) ( )∫∞
∞−== dffPSDtwP 2
Si lo que se quiere es calcular la potencia media normalizada en un intervalo de
frecuencias [f1,f2]:
∫∫ ⋅+⋅=−
−
2
1
1
221
f
f
f
fff dfPSD(f)dfPSD(f)P
Comentario: ¿Por qué es interesante poder calcular la energía total o la
potencia media de una señal mediante estas fórmulas?. Bueno, porque (como ya
hemos comentado varias veces ☺) cuando en un dominio los cálculos son
complicados, en el otro son mucho más sencillos, de esta forma se elegirá una u otra
fórmula según la señal que haya que estudiar.
4.8.1. Cálculo de la PSD en VisSim
Para calcular la PSD de una señal en VisSim en el módulo que calcula la FFT
elegimos la opción Spectral Density. Nos la da expresada en dBm/Hz.
4.8.2. Función de autocorrelación La función de autocorrelación nos va a permitir calcular la PSD de una señal. Se
define como:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫−∞→+=+= 2
T
2TTw dttwtw
T1limtwtwR τττ
se puede demostrar que la autocorrelación y la PSD de una señal definen un par de
Fourier:
( ) ( )( ) ( )fPSDRR www =ℑ↔ ττ
Esta nueva formulación nos permite calcular la potencia media normalizada de
una señal como:
( ) ( ) ( )0RdffPSDtwP w2 === ∫
∞
∞−
Lo único que debéis saber de la autocorrelación es que nos permite calcular la
PSD y que el valor de la autocorrelación en el origen es la potencia media de la señal.
4.8.2.1. Ejemplos de correlación
48
La dirección donde podéis usar el software con el que he generado los ejemplos es: http://heliso.tripod.com/ eligiendo la opción “DSP classroom”.
La correlación nos da una idea de los ‘parecidas’ o ‘diferentes’ que son dos señales. El parecido máximo lo tendremos cuando hagamos la correlación de una señal con si misma: autocorrelación.
Una de las principales aplicaciones de la correlación es para conocer la
influencia del ruido sobre una señal y eliminarlo.
49
4.9. Series de Fourier 4.9.1. Definición de las series de Fourier Las series de Fourier son la herramienta matemática que vamos a utilizar para calcular la representación en el dominio de la frecuencia de las señales periódicas utilizadas en la transmisiónde datos.
La transformada de Fourier y las series de Fourier forman parte de una misma
teoría y es posible pasar de una a la otra. Algunos autores presentan la definición de la transformada a partir de la de las series, como el caso límite en el que el periodo de repetición de la señal tiende a infinito. Otros, por el contrario definen la transformada y después obtienen la serie de Fourier como un caso particular de la transformada.
Las dos metodologías son igualmente válidas. Lo que tiene que quedar claro es que las series de Fourier sólo pueden utilizarse para señales periódicas, y que las transformadas pueden utilizarse en ambos casos. El desarrollo en serie de Fourier permite representar cualquier función en un intervalo de tiempo dado. En el caso de las señales periódicas, la representación mediante las series es válida en todo el dominio temporal4, si se toma una f que sea la inversa del periodo de repetición de la señal.
0
Sólo vamos a considerar las series de Fourier en el formato exponencial:
4Estrictamente hablando, una señal periódica puede escribirse mediante una serie de Fourier si y sólo si cumple las
condiciones de Dirichlet. No obstante, la inmensa mayoría de las señales que nos encontramos en la transmisión de
datos verifican estas propiedades y desde nuestro punto de vista no nos vamos a preocupar por el resto de las
señales.
50
( )
,...3,2,1,0n,dte)t(gT1c
donde,ec)t(g
tfjn22T
2T Tn
n
tfjn2nT
0
0
0
0
±±±==
⋅=
−
−
∞
−∞=
∫
∑π
π
Esta expresión se conoce como la serie de Fourier exponencial compleja5. Los son los coeficientes de Fourier complejos. Es importante señalar que dada una señal es posible construir su serie de Fourier y dados los coeficientes de la serie de Fourier es posible reconstruir la señal de la que se partía.
cn
Según esta expresión, una señal periódica contiene todas las frecuencias (positivas y negativas) que están relacionadas armónicamente con la principal.
NOTA: la presencia de frecuencias negativas y de funciones complejas no tiene significado físico, pero es necesario para dar una formulación robusta y adecuada al tratamiento teórico y práctico de las señales periódicas.
4.9.2. Propiedades de las series de Fourier Dada una señal real w(t), se cumple que: 1. , (*: conjugado) *
nn cc −=2. Si w(t) es real y par (w(t)=w(-t)), entonces la parte imaginaria de cn es cero. 3. Si w(t) es real e impar, entonces la parte real de cn es cero.
4. El teorema de Parseval se reduce a: ( ) ∑∫∞
−∞=
+=
n
2n
Ta
a
2
0
cdttwT1 0
5. La potencia media normalizada será: ∑∞
−∞=
=n
2nw cP
La densidad de potencia espectral será: ( ) ( )∑∞
−∞=
⋅−⋅=n
02
nw fnfcfPSD δ
4.9.3. Espectro de Fourier complejo También se conoce como espectro de línea, o espectro discreto. La señal ( )tg
0T existe en todo el dominio del tiempo, pero en el dominio de la frecuencia queda perfectamente descrita, es decir, sólo presenta componentes en las frecuencias 0 2 . Esto es lo que se conoce como espectro. 30 0 0, , , ,...± ± ±f f f
5
( ) ( )
( ) ( ) ( )tnf2jtnf2jtnf2jtnf2j0
tnf2jtnf2j0
0000
00
ee2jee
j21tnf2sin
ee21tnf2cos
ππππ
ππ
π
π
−−
−
−=−=
+=
51
En el caso de señales periódicas el espectro es discreto. Sólo se considerna las
componentes de frecuencia que están armónicamente relacionadas con la frecuencia
fundamental (inversa del periodo de repetición de la señal).
Esto no quiere decir que se tenga un número finito de elementos. La representación de una señal periódica mediante la serie de Fourier, es equivalente a la resolución de la señal en sus componentes armónicas principales. Una señal periódica , con periodo T tiene componentes en las frecuencias
con
( )tg0T 0
0 2 30 0 0, , , ,...± ± ±f f f fT0
0
1= (frecuencia fundamental).
La descripción en el dominio del tiempo y la representación en el dominio de la frecuencia están relacionadas mediante la teoría de Fourier. En general los coeficientes c son números complejos, así que los podremos expresar en la forma módulo-argumento de un número complejo, o representación polar
n
6: ( )ncargj
nn ecc ⋅= donde: cn define la amplitud del armónico n-ésimo o componente armónica e-nésima arg(c ) es el argumento de c n n Por lo tanto el espectro de magnitud discreto lo obtendremos al representar respecto a la frecuencia cn y el espectro discreto de fase lo obtendremos a partir de la representación respecto a la frecuencia del argumento de c , es decir, arg(c ) n n Al igual que en el caso de la transformada de Fourier de una señal, cuando trabajamos con señales periódicas en el dominio del tiempo que sólo toman valores reales hay ciertas propiedades que podemos aplicar. TEOREMA Dada una señal periódica g(t) en el dominio del tiempo, con periodo de repetición
, el espectro de la señal va a venir dado por: T0
( ) ( )∑∞
−∞=
−=n
0n nffcfG δ
donde fT0
0
1= y c son los coeficientes de la serie de Fourier de la señal g(t). n
Este teorema nos dice que una señal periódica siempre tiene un espectro de línea (dado por la función delta de Dirac), con las líneas comenzando en f y con pesos dados por los coeficientes c . A partir de esta expresión podemos deducir la forma del espectro discreto de magnitud y el de fase.
nf= 0
n
6Al igual que hicimos para el caso de la transformada de Fourier y el cálculo del espectro de magnitud y el de fase.
52
Vamos ahora a ver un teorema que nos relaciona el cálculo de los coeficientes de la serie de Fourier con la transformada de Fourier. TEOREMA Si g(t) es una señal periódica con periodo de repetición T , y la representamos por:
0
g t h t nT c en
n
nj nf t
n
n
( ) ( )= − ==−∞
=∞
=−∞
=∞
∑ ∑02 0π
donde
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
<=
2Tt,02
Tt),t(g)t(h
0
0
7
entonces, los coeficientes de Fourier que nos definen la serie de Fourier de g(t) vienen dados por:
( )00n nfHfc = donde
fT
H f h t
00
1=
= ℑ( ) ( ( )) 4.9.4. Espectro de un único pulso
Hasta este momento hemos trabajado con las series de Fourier o con la transformada. En este apartado se trata de dar una visión intuitiva de cómo calcular la representación en la frecuencia de un único pulso, en vez de una secuencia periódica.
7Esta función se define como la función g(t), pero sólo durante un periodo de repetición
53
A medida que el periodo de repetición (o periodo fundamental) de la señal temporal aumenta, disminuye la frecuencia fundamental de la serie de Fourier, hacienco que los diferentes armónicos estén más próximos los unos a los otros. El caso límite lo presenta la señal compuesta por un único pulso (tercer gráfico de la figura), en el que la cantidad de armónicos sería infinita y obtendríamos la función sinc … No obstante, para ser totalmente rigurosos, la evaluación correcta de esta señal se hace mediante la transformada de Fourier como ya hemos visto en apartados anteriores. 4.9.6. Aproximación de señales por sus armónicos principales
En este apartado se verá como una señal se puede aproximar por sus armónicos principales y como esta aproximación es tanto mejor con cuantos más armónicos se consideren.
EJEMPLO 1: Aproximación de dos pulsos rectangulares por los cinco primeros armónicos
54
EJEMPLO 2: Aproximación de dos pulsos rectangulares por los 10 primeros armónicos
EJEMPLO 3:
Aproximación de un pulso rectangular peródico de duración medio segundo y periodo de repetición de 1 segundo con 7 armónicos
El primer dibujo corresponde a la señal a aproximar. Debajo de él se van dibujando los armónicos: el primero, segundo, tercero, ....
55
La segunda columna representa la comparación de la señal original con los armónicos que se consideran. Se aprecia como la mejor aproximación corresponde al último caso, aquí se consideran 7 armónicos.
0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.51
0.5 1 1.5 2 2.5 3-1
0
1
0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.51
0.5 1 1.5 2 2.5 3-1
0
1
0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.51
0.5 1 1.5 2 2.5 3-1
0
1
0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.51
0.5 1 1.5 2 2.5 3-1
0
1
0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.51
0.5 1 1.5 2 2.5 3-1
0
1
0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.51
0.5 1 1.5 2 2.5 3-1
0
1
0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.51
0.5 1 1.5 2 2.5 3-1
0
1
0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.51
56
Ejemplo2: Aproximación de un pulso rectangular periódico de duración un 0.2 segundos y periodo de repetición de 1 segundo con 7 armónicos
0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.51
0.5 1 1.5 2 2.5 3-1
0
1
0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.51
0.5 1 1.5 2 2.5 3-1
0
1
0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.51
0.5 1 1.5 2 2.5 3-1
0
1
0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.51
0.5 1 1.5 2 2.5 3-1
0
1
0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.51
0.5 1 1.5 2 2.5 3-1
0
1
0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.51
0.5 1 1.5 2 2.5 3-1
0
1
0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.51
0.5 1 1.5 2 2.5 3-1
0
1
0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.51
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