Departamento de Artes Plsticasy Dibujo

DIBUJO TCNICO BACHILLERATO

TEMA 2. TRANSFORMACIONESGEOMTRICAS

TEMA 2. TRANSFORMACIONESGEOMTRICAS

- Homotecia. Proporcionalidado Proporcionalidad o Teorema de tales. Escalas grficas y volantes.o Aplicaciones grficas de las escalas y la proporcionalidad.

- Comparacin de formaso Igualdad o Mtodo de coordenadaso Mtodo de la cuadrculao Homotecias y Semejanzas

- Transformaciones geomtricaso Definicino Simetra axial, central y radial.o Traslacin, rotacin y giros.

? 2 BACHILLERATO

Semejanza. Homotecias.Escalas.Equivalencia entre polgonos. Relacin de reas.Duplicidad de reas.Construccin de figuras directa o inversamente semejantes a otra.Construccin y aplicacin de escalas.Construccin de tringulos equivalentes.Equivalencia entre polgonos.Hallar diferentes polgonos con superficies y reas iguales o proporcionales a otros dados.

EJERCICIOS PROPUESTOS BACH.

1.- Dibujar el segmento n , siendo n un segmento dado y considerando como unidad el centmetro.

2 n

Trazar una paralela a s que diste 25 mm de la recta dada.

A B

C D

a

c

Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

Nota

Departamento deArtes Plsticas

Dados los segmentos AB y BC, hallar su producto (ABxCD).

A B

C D

a

c

Dados los segmentos AB y BC, hallar su divisin (AB/CD).

A B

Hallar la raiz cuadrada del segmento dado AB

A B Ca b

Obtener el segmento media proporcional a otros dos dados:a.b=c2

B A B

C

a

b

Obtener el segmento media proporcional a otros dos dados:a.b=c2

B

OPERACIONES CON SEGMENTOS. PROPORCIONALIDAD DIRECTA 1

s

JULI

N

GA

RC

A IR

AO

LA. P

rofe

sor D

ibuj

o T

cnic

o IE

S N

ou D

erra

mad

or. I

bi

Trazar una paralela a s que diste 25 mm de la recta dada.

A B

C D

a

c

Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

Nota

Departamento deArtes Plsticas

s

Dados los segmentos AB y BC, hallar su producto (ABxCD).

A B

C D

a

c

Dados los segmentos AB y BC, hallar su divisin (AB/CD).

A B

Hallar la raiz cuadrada del segmento dado AB

A B Ca b

Obtener el segmento media proporcional a otros dos dados:a.b=c2

B A B

C

a

b

Obtener el segmento media proporcional a otros dos dados:a.b=c2

B

OPERACIONES CON SEGMENTOS. PROPORCIONALIDAD DIRECTA 1

a

1 cm C Dcb

d

A

B

Ea

1 cmb cd= ac = db

b =ac = d1

ac = dAB =CD dx

a

1 cmC Dcb

d

A

B

abcd

=

AB =CD d

a1cd

=ac

d=

A Ca bB

c

abcc

= ab =cc ab =c2 Cab

B

c

abcc

= ab =cc ab =c2a b+ab -

nn

A B1cm.

b

c

bc =

c c = b2 c = bn

n n

c = 1n

c = n

JULI

N

GA

RC

A IR

AO

LA. P

rofe

sor D

ibuj

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cnic

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S N

ou D

erra

mad

or. I

bi

a b

Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

NotaOPERACIONES CON SEGMENTOS. PROPORCIONALIDAD DIRECTA 2

Departamento deArtes Plsticas

Obtener el segmento tercera proporcional a los segmentosdados a y b. a/b=b/x

A B

Hallar grficamente el segmento ureo de AB dado

Obtener el segmento cuarta proporcional a los segmentosdados a y b. a/b=c/x a

b

c

Obtener grficamente la siguiente expresin. 1 + 34Tomar como unidad 10 mm.

Dibujar el rectngulo ureo del cuadrado de lado bb

Hallar dos segmentos conocida la suma de los mismos y su media proporcional.

AB + BC mpA

JULI

N

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RC

A IR

AO

LA. P

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S N

ou D

erra

mad

or. I

bi

a b

Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

NotaOPERACIONES CON SEGMENTOS. PROPORCIONALIDAD DIRECTA 2

Departamento deArtes Plsticas

Obtener el segmento tercera proporcional a los segmentosdados a y b. a/b=b/x

A B

Hallar grficamente el segmento ureo de AB dado

Obtener el segmento cuarta proporcional a los segmentosdados a y b. a/b=c/x a

b

c

Obtener grficamente la siguiente expresin. 1 + 34Tomar como unidad 10 mm.

Dibujar el rectngulo ureo del cuadrado de lado bb

Hallar dos segmentos conocida la suma de los mismos y su media proporcional.

AB + BC mpA

a

b

b

x

a

b x

c

A Bcb

a

a

abc

=b

=f= 1,61803..

La parte pequea (c) es a la grande (b) como la grandelo es al todo (a)

b AB + BC

mpA

AB BC

3

3 1

13

1 + 341 + 3

4a + b

c

1

25

a b

a c

c=b

c2 = a b

b

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Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

NotaTRANSFORMACIONES GEOMETRICAS. IGUALDAD.

Departamento deArtes Plsticas

Entre dos o ms figura geomtricas puede existir una serie de relaciones geomtricas que une de alguna manera a las figuras, bien atendiendo a su forma, a su tamao o a su disposicin en el plano.

IGUALDAD.Dos o ms figuras geomtricas son iguales cuando sus lados y sus ngulos son iguales y adems estn en el mismo orden (lados y ngulos).

MTODOS.Existen diferentes mtodos para construir figuras iguales a otras o para trasladar de un lugar del plano a otro un figura geomtrica. Aqu expon-dremos algunas de ellas, siendo el alumno el que investigue otras formas o mtodos.

Por triangulacin.

Se trata de descomponer en tringulos la figura geomtrica, empezando por uno desus vrtices y dibujando diagonales al restode vrtices. Se dibujan los tringulos uno auno en el mismo orden.

B

A

C D

E

F1

23

4 B

A

C D

E

F1

23

4

Por coordenadas.

Se trata de dibujar una recta cualquiera r yproyectar todos los vrtices sobre ella. Sobre otra recta r se toman los puntos 1, 2, 3,...a la mismas distancias que en la recta r ypor ellos se trazan perpendiculares llevandolas alturas correspondientes. Es igual que enlas coordenadas cartesianas: distancias entrex e y y a los dos ejes..

B

A

C

D

Ey

1x

2 3 5 4

B

A

C

D

Ey

1

x

2 3 5 4

Por copia de ngulos..

Se empieza por copiar cualquier ngulo delpolgono original y se le van sumandongulos consecutivamente. Este proce-dimiento ese inexacto puesto que se puedenir acumulando errores en cada operacin..

B

A

C

D

E

B

A

C

D

E

Por radiacin.Se toma un punto P dentro o fuera del pol-gono y se une el punto P con los vrtices delpolgono. As se triangula o se forman trin-gulos que pueden ser reproducidos en otrolugar. Tambin se puede dibujar una circunfe-rencia cualquiera. Con el mismo radio se di-buja la circunferncia en otro lugar y se repro-cuden los ngulos de las misma y las distan-cias

B

A

C

D

E

B

A

C

D

E

P

B

A

C

D

E

OPCIN A OPCIN B

P

51

3

42 P

Por traslacin.Se trazan por los vrtices rectas paralelas.por unos de sus vrtices se traza una para-lela a cualquier lado del polgono, por ejemplo AB. Por A y por B se trazan para-lelas BC, AE, respectivamente a BC y AE, hasta completar el polgono.

B

A

CD

E

B A

C

D

E

Este procedimiento seaplicar cuando veamossemejanza

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Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

Nota

Departamento deArtes Plsticas

1.- Construccin de un polgono IGUAL a otro por

COORDENADAS

TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS. IGUALDAD.

A

B

C

D

E

2.- Construccin de un polgono IGUAL a otro por

TRIANGULACIN.A

B

C

D

E

3.- Dada siguiente figura y los puntos O y P, se pide que construya otra figura IGUAL y que utilice el punto Oconocido donde debe estar situada

la figura. El punto P es el centro de la circunferencia que pasa por los puntos C y D.

A

B

C D

E

P

FG

H

O O

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Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

NotaTRANSFORMACIONES GEOMETRICAS. IGUALDAD.

Departamento deArtes Plsticas

TRASLACIN.La traslacin es una transformacin geomtrica en el plano que cumple que:- La recta que une dos punto homlogos A y Aes paralela a una direccin concreta de Traslacin d.- Dos rectas homlogas r y rson paralelas: todos los puntos de estas rectas son homlogos, tienen la misma direccin de traslacin y lamisma distancia entre ellos.

d

A

A

r

r

A

B

C D

E

B

C D

EA

d

GIRO.El giro es una transformacin geomtrica en el plano en la que a un elemento A le corresponde un elemento A de modo que secumplen la siguientes reglas:- La distancia de ambos puntos A y A a un punto fijo llamado centro de giro O, es constante (OA=OA).- El ngulo que se forma al unir los dos puntos con el centro de

giro O y su sentido, es igual a un lado dado, llamado ngulo de giro a.- El centro de giro O es el punto de interseccin de las mediatrices de los segmentos que unen puntos homlogos AA, BB, etc. A

BC

a

A

aC

B

SIMETRA.La simetra es una transformacin que tiene mucho que ver con la proyectividad: la homotecia y la homologa que estudiaremos ms adelante,as como de giros en la simetra radial.

Cuando tres puntos (O, A y A) estn alineados en una misma direccin se dice que A es una proyectividad de A con respecto a O. A es el HOMLOGO de A. Si A y Aestn orientados en la misma direccin, la homologa ser positiva y si estn orientados en distinta posicincon respecto a O, la homologa ser negativa. La SIMETRA es un homologa negativa y con valor - 1.

A A O

AA O

+

-

AA OSimetra

A

BC

D

D

C

A

B

O

SIMETRA AXIAL.La simetra axial es respecto a un eje de simetra.Los puntos simtricos estn alineados perpendi-cularmente con respecto al eje. La distancia de Aal eje y de su homlogo A al eje es la misma.

A

BC

Deje de simetrae

CB

AD

SIMETRA CENTRAL es cuando A y Aestn alineadoscon un punto central O y hay la misma distancia de AO y deAO

SIMETRA RADIAL. Es un caso especial de simetra central.Se d cuando la misma figura gira alrededor de un puntocentral O y existe simetra entre ellas.Los rosetones de lascatedrales o los radios dela rueda de una bicicletamantienen una relacinde simetra radial.

A

B

D

D

A1A2

A3

A4A5

O

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N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

NotaTRANSFORMACIONES GEOMETRICAS. SEMEJANZA.

Departamento deArtes Plsticas

SEMEJANZA.Dos figuras son semejantes cuando sus NGULOS son IGUALES y sus LADOS son PROPORCIONALES.El cociente entre las magnitudes homlogas (la proporcionalidad entre sus lados), se denomina razn de semejanza.De forma grfica se representa la semejanza como una proyectividad con un punto de origen propio o en el plano, unos rayos proyectantesque parten de dicho punto y de puntos homlogos. Si los puntos homlogos estn en la misma orientacin la homologa ser positiva. Si esal contrario ser negativa.

A ArO

A AO

B

B

nn

A

A

O

B

B

n

n

homologa +

homologa -semejanza de un punto A

semejanza de una recta n

semejanza de una recta n

semejanza de una figura F

O

A

A

BB

C

C

FF

OAOA

= kk = razn de semajanza

=OBOB

Construccin de una figura semejante aotra dada la razn de semejanza k = 2/3.

Dado el polgono ABCDE, se toma un puntoarbitrario O y se une con todos los vrticesdel polgono dado.Uno de los segmento hallados, por ejemploOA, se divide en tantas partes como el de-nominador de la razn (en este caso 3) ya partir de O se toman tantas partes comoindique el el numerador (en este caso 2).De este modo obtenemos el punto A quees el homlogo de A.Por el punto A se traza la paralela a la recta AB hasta cortar a la recta OB o suprolongacin, en el punto B y as con todoslos puntos de la figura.

B

C

DA

O

1

2

3

B

A

C

D

Se dibuja el lado AB que mida 28 mm. auna distancia arbitraria pero paralelo aAB. Se une A y A y B y B hasta hallarel centro de semejanza O. Se resuelvecomo una semejanza positiva.

Construccin de una figura proporcionala la dada y cuyo lado AB mida 18 mm.

A

B

C

A

C

B

OAB= 28 mm.

La razn de semejanza es negativa por lotanto los puntos homlogos estarn ensentido contrario con respecto a O. LasPartes para hallar k se realiza como en elcaso anterior pero las partes del denomina-dor en sentido contrario.

Construccin de una figura semejantea la dada con razn de semejanza k= - 3

A

B

C

A

C

B

O

k = - 3 = -3/1

k = 2/3

1

B1

2

3

(Figura inversamente semejante)

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bi

1.- Trasladar el polgono dado 37 mm., en la direccin dada d.

Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

Nota

2 BACHILLERATO

IGUALDAD, TRASLACIN, GIROS

B

C

D

2.- Trasladar el polgono dado 40 mm con ladireccin dada.

B

A

C

D

d

3.- Dada la recta r con 30 sobre la horizontal, grala 90 segn el centro de giro O dado.

r

0

B

A

C

D

dB

A

C

D

d

r

0

0

A B

4.-

90.

Dado siguiente tringulo: a=13, b=28 y c=35, se pide:a. Realizar un giro de 60 CR. segn el centro O dado.b. Con el tringulo obtenido, Hallar el simtrico con el eje de simetra paralelo al lado b y a una distancia de 15 mm.

5.- Dados los cuadrados ABCD y ABCD, igualesy girados, halla el centro de giro.

A

B

D

C

D C

AB

6.- Dadas dos rectas paralelas r y s, y otra recta t no paralelaa las anteriores: se pide que construyas el tringulo de ladosAB, BC y AC dados, de manera que tenga un vrtice en cadarecta respectivamente.A B

CB

A C

r

s

t

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bi

1.- Trasladar el polgono dado 37 mm., en la direccin dada d.

Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

Nota

2 BACHILLERATO

IGUALDAD, TRASLACIN, GIROS

B

C

D

2.- Trasladar el polgono dado 40 mm con ladireccin dada.

B

A

C

D

d

3.- Dada la recta r con 30 sobre la horizontal, grala 90 segn el centro de giro O dado.

r

0

B

A

C

D

B

A

C

D

dB

A

C

D

B

A

C

d

D

r

r

A

B

A

B

900

0

A B

C

A

B

C

A

B

C

eje simetra

15mm

4.-

90.

Dado siguiente tringulo: c=13, b=28 y a=35, se pide:a. Realizar un giro de 60 CR. segn el centro O dado.b. Con el tringulo obtenido, Hallar el simtrico con el eje de simetra paralelo al lado b y a una distancia de 15 mm.

5.- Dados los cuadrados ABCD y ABCD, igualesy girados, halla el centro de giro.

A

B

D

C

D C

AB

a

6.- Dadas dos rectas paralelas r y s, y otra recta t no paralelaa las anteriores: se pide que construyas el tringulo de ladosAB, BC y AC dados, de manera que tenga un vrtice en cadarecta respectivamente.A B

CB

A C

r

s

t

A

B

C C

A

B

c

b

a

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or. I

bi

1.- Trace dos figuras simtricas de la ABCD, sabiendo que EE es el eje de simetra de una de ellas y O elcentro de simetra de la otra.

Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

Nota

2 BACHILLERATO

SIMETRIAS

E

E

B

A

D

C

2.- Trace la figura semtrica de la ABCD, sabiendo que EE es el eje de simetra.

D

A

B

C

E

E

O

JULI

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bi

1.- Trace dos figuras simtricas de la ABCD, sabiendo que EE es el eje de simetra de una de ellas y O elcentro de simetra de la otra.

Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

Nota

2 BACHILLERATO

SIMETRIAS

E

E

B

A

D

O

B

CC D

A

B

A

D

C

2.- Trace la figura semtrica de la ABCD, sabiendo que EE es el eje de simetra.

D

A

B

C

A

B

C

D

E

E

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bi

Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

NotaSEMEJANZA

2 BACHILLERATO

1.-Dado el polgono irregular de 5 lados ABCDE y el punto 0, se pide:Hallar la figura directamente SEMEJANTE con razn R = 5:3 con el punto 0 como origen.

A

B

C

D

F

O

B

AA E

2.- Dado un pentgono regular de lado 27 mm., se pide: Hallar el polgono semejante de razn = 2/3. El punto A es un vrtice del pentgono y el origen de semejanza.

3.-Dibujar el heptgono regular una de cuyas diagonales mide 37 mm.

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Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

NotaSEMEJANZA

2 BACHILLERATO

1.-Dado el polgono irregular de 5 lados ABCDE y el punto 0, se pide: Hallar la figura directamente SEMEJANTE con razn R = 5:3 con el punto 0 como origen.

1

A

B

C

D

F

O

1

2

3

5

R=5:3 ampliacin

A

B

CD

F

K = 2/3AA=

B

B

E E

D

DC

C

2.- Dado un pentgono regular de lado 27 mm., se pide: Hallar el polgono semejante de razn = 2/3. El punto A es un vrtice del pentgono y el origen de semejanza.

3.-Dibujar el heptgono regular una de cuyas diagonales mide 37 mm.

d = 37

A=A

B

B

C

C

D

D

E

E

F

F

GG

MN = CD AN = AB + CD Realizar un tringulocon los dos lados d1 y d2 = AC y BD

JULI

N

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o IE

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Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

NotaSEMEJANZA

2 BACHILLERATO

1.-Trazar la figura homottica de la dada siendo O elcentro de homotecia y el valor de k=2,5 / 3,5.

o

2.- Dibuja la figura homottica a la dada de razn -2,con centro en O

o

3.- Dibujar el segmento n , siendo n un segmento dadoy considerando el centmetro como unidad. Aplica lamedia proporcional.

2

n

JULI

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Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

NotaESCALAS.

2 BACHILLERATO

escala =medidas en el dibujo

medidas en la realidad

1.- Resuelve t mismo: Tenemos un campo de ftbol de 1.400 mm.en la realidad y se quiere representar en el dibujo en 70 mm.Aplicar la frmula y decir a qu escala estar representado:

frmula E =

escala E =

2.- Dibujar la escala grfica E = 1:40

3.-Dibujar una regla para medir planos a escala E = 1:75.000

4.- Dibujar la escala volante E = 7:5

0

5.- Dibujar la escala volante E = 1/175

0

6.- Dibujar la escala volante E = 1/37.500

0

7.- Dibuja la escala grfica 8/1

JULI

N

GA

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A IR

AO

LA. P

rofe

sor D

ibuj

o T

cnic

o IE

S N

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or. I

bi

Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

NotaESCALAS.

2 BACHILLERATO

escala =medidas en el dibujo

medidas en la realidad

1.- Resuelve t mismo: Tenemos un campo de ftbol de 1.400 mm.en la realidad y se quiere representar en el dibujo en 70 mm.Aplicar la frmula y decir a qu escala estar representado:

frmula E =

escala E = 1 / 20

2.- Dibujar la escala grfica E = 1:40

3.-Dibujar una regla para medir planos a escala E = 1:75.000 En este caso, 1 km real ser 1/75.000 en el dibujo,es decir = 0.000013 km = 1.3 cm. Como 1.3 es difcil de representar con exactitud, dibujaremos grficamentepor teorema de tales la expresin 4/3 que es el mismo resultado.

4.- Dibujar la escala volante E = 7:5

0

5.- Dibujar la escala volante E = 1/175 = 1 metro/175 = 100 cm / 175 = 4/7

0

6.- Dibujar la escala volante E = 1/37.500 = 2.666 = 8/3

0

7.- Dibuja la escala grfica 8/1 = 8 unidades del dibujo corresponden a una en la realidad. Si aplicamos mm. sera8 mm = 1 mm en la realidad.

70 mm

1.400 mm=

1

20

En este caso conviene utilizar metros para realizar la escala, pues como1 unidad del dibujo representa 40 unidades reales, 1 metro estar repre-sentado por 1/40 metros. 1/40 m = 0.025 m = 2.5 cm.Cada metro estar representado por 2.5 cm.

1 0 1m 2m 3m 4m 5m

10/7.5 = 20/15 = 4/3

4 cm. 01 1km 2km 3km 4km

11 2 3 4 5 6

1,4 cm

4 cm

12

7

1 1 2 3 4 5 6 7

01 1 2 3 4 5

1 1 km 2 3 4 5km km kmkm

JULI

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A IR

AO

LA. P

rofe

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cnic

o IE

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Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

NotaESCALAS.

2 BACHILLERATO

1.- Calcular la altura sealada en el tringulo ABC si AB = 10 cm. en magnitud real.

A

h

B

C

3.- Determinar a qu escala estn dibujadas las siguientes figuras:

54 mm70 mm

4.- Dada la figura representada a escala 2:3, dibjala a escala E = 5/2

2.- Dado el segmento BC= 39 mm, representado a escala 7/9, determinar numrica y grficamente su verdaderamagnitud.

B C

JULI

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AO

LA. P

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o IE

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bi

Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

NotaESCALAS.

2 BACHILLERATO

1.- Calcular la altura sealada en el tringulo ABC si AB = 10 cm. en magnitud real.

A

h

B

C

2.- Dado el segmento BC= 39 mm, representado a escala 7/9, determinar numrica y grficamente su verdaderamagnitud.

B C

3.- Determinar a qu escala estn dibujadas las siguientes figuras:

54 mm70 mm

4.- Dada la figura representada a escala 2:3, dibjala a escala E = 5/2

AB = 4 cm en el dibujo y 10 cm en la realidad.

h = 23 mm = 2,3 cm = 2,3X5/2 = 5.75 en la realidad.

escala =medidas en el dibujo

medidas en la realidadescala =

4 cm

10 cm =

2

5

Grficamente

2 cm h

h real

h real

escala 1/1

escala 5/2

JULI

N

GA

RC

A IR

AO

LA. P

rofe

sor D

ibuj

o T

cnic

o IE

S N

ou D

erra

mad

or. I

bi

Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

Nota

2 BACHILLERATO

3 EQUIVALENCIA

EQUIVALENCIA.Reciben el nombre de figuras equivalentes las que tienen la misma superficie pero diferente forma. La solucin de problemas de equivalenciaes ms bien geomtrico que de aplicacin en dibujo.

2.- Construccin de un polgono equivalente a otro pero que tenga un lado menos.

A

BC

D

E F

3.- Construye un tringulo equivalente al polgono dado.

A

BC

D

E

1.- Dado un tringulo, dibujar otro equivalente.

A

BC

4.- Dado un cuadrado, dibujar un tringulo equivalente.

B

CD

A

5.- Cuadratura del crculo. Dada la circunferencia O,Hallar el cuadrado equivalente.

O

D C

A B

6.- Dibujar un cuadrado que tenga por rea el dobleque otro dado ABCD..

JULI

N

GA

RC

A IR

AO

LA. P

rofe

sor D

ibuj

o T

cnic

o IE

S N

ou D

erra

mad

or. I

bi

Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

Nota

2 BACHILLERATO

3 EQUIVALENCIA

EQUIVALENCIA.Reciben el nombre de figuras equivalentes las que tienen la misma superficie pero diferente forma. La solucin de problemas de equivalenciaes ms bien geomtrico que de aplicacin en dibujo.

2.- Construccin de un polgono equivalente a otro pero que tenga un lado menos.

A

BC

D

E F

G

3.- Construye un tringulo equivalente al polgono dado.

A

BC

D

E

BC

E

1.- Dado un tringulo, dibujar otro equivalente.

A

BC

D

4.- Dado un cuadrado, dibujar un tringulo equivalente.

El rea de un tringulo = base X altura, por lo tanto cualquier tringuloque tenga la misma base y la misma altura tendr el mismo rea.

Base

h

Se triangula por uno de sus vrtices. Se halla el tringulo equivalente.= ABF tringulo de base FB y altura BG, luego FBG misma base y altura

Igual que ejercicio anterior pero con todos los tringulos del polgono

B

CD

F

H

I

A G

r

Bxh LxL= L= 2 = el rea del cuadrado (L) es la media proporcionalentre la base (FA) y la mitad de la altura del tringulo buscado (AG = AH)2

h/2

h/2

med

ia p

ropo

rcio

nal

L

2

El ejercicio podra ser a la inversa

5.- Cuadratura del crculo. Dada la circunferencia O,Hallar el cuadrado equivalente.

O

Q

R

A N

r

M

med

ia p

ropo

rcio

nal

B

DC

pr.r = L2 el lado del cuadrado ser la media proporcional entrela mitad del rea del crculo y el radio del mismo.

pr r

r

LD C

A B

E

J

6.- Dibujar un cuadrado que tenga por rea el dobleque otro dado ABCD..

JULI

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AO

LA. P

rofe

sor D

ibuj

o T

cnic

o IE

S N

ou D

erra

mad

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bi

7.- Dado un cuadrado de lado 60 mm., construir el rectngulo equivalente al cuadrado (uno de los ladosdel rectngulo mide 40 mm.)

Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

Nota

2 BACHILLERATO

3SEMEJANZA Y EQUIVALENCIA

JULI

N

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RC

A IR

AO

LA. P

rofe

sor D

ibuj

o T

cnic

o IE

S N

ou D

erra

mad

or. I

bi

7.- Dado un cuadrado de lado 60 mm., construir el rectngulo equivalente al cuadrado (uno de los ladosdel rectngulo mide 40 mm.)

Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

Nota

2 BACHILLERATO

3SEMEJANZA Y EQUIVALENCIA

Solucin a:

40 m

m

A B

CD

Solucin b:

A

B

0

l = 40 mm

L = 60 mm

lado mayor

media proporcional entre lado menory lado mayor

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N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

NotaPROBLEMAS DE SEGMENTOS Y ANGULOS

Departamento deArtes Plsticas

Dibuje dos rectas de forma que una de ellas pase por el punto A y la otra por B y que la recta r sea bisectriz de ambas.Razone la solucin.

A

B

Dibuje todos los segmentos de longitud 4 cms. Que se apoyen sumultnamente en las rectas r y s y queformen 45 con la recta r. Indique los pasos utilizados en la solucin.

r

s

JULI

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A IR

AO

LA. P

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AB

A

B

Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

Nota

Departamento deArtes Plsticas

Dibuje dos rectas de forma que una de ellas pase por el punto A y la otra por B y que la recta r sea bisectriz de ambas.Razone la solucin.

A

B

Dibuje todos los segmentos de longitud 4 cms. Que se apoyen sumultnamente en las rectas r y s y queformen 45 con la recta r. Indique los pasos utilizados en la solucin.

r

s

45

45

40 mm.

PROBLEMAS DE SEGMENTOS Y ANGULOS. SOLUCIN

JULI

N

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AO

LA. P

rofe

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N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

Nota

Departamento deArtes Plsticas

Dadas dos rectas que se cortan fuera de los lmites del dibujo y un punto A, trazar la recta concurrente con ellasy que pase por el punto dado.

A

Halla los puntos B y C que estn a 2 cm de A y equidistan de los lados del ngulo

A

PROBLEMAS DE SEGMENTOS Y ANGULOS

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Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

NotaOPERACIONES CON SEGMENTOS. SOLUCIN

Departamento deArtes Plsticas

Dadas dos rectas que se cortan fuera de los lmites del dibujo y un punto A, trazar la recta concurrente con ellasy que pase por el punto dado.

A

Halla los puntos B y C que estn a 2 cm de A y equidistan de los lados del ngulo

A

B

C

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Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

NotaOPERACIONES CON SEGMENTOS. SOLUCIN

Departamento deArtes Plsticas

Dadas dos rectas r y r y un punto P. se pide: Hallar una recta, que pasando por el punto P equidiste de r y r.

Dadas dos rectas r y s, situar un pentgono regular ABCDE de lado la raz cuadrada de 6 cm, de modo que el lado ABest en r y el vrtice D (opuesto al lado AB) en la recta s. La raiz cuadrada de 6 cm. se deber obtener grficamente.

s

r

P

rs

JULI

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LA. P

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P rs 30 20

72

Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

NotaOPERACIONES CON SEGMENTOS. SOLUCIN

Departamento deArtes Plsticas

Dadas dos rectas r y r y un punto P. se pide: Hallar una recta, que pasando por el punto P equidiste de r y s.

Dadas dos rectas r y s, situar un pentgono regular ABCDE de lado la raz cuadrada de 6 cm, de modo que el lado ABest en r y el vrtice D (opuesto al lado AB) en la recta s. La raiz cuadrada de 6 cm. se deber obtener grficamente.

s

r

A

B

cm.6 cm.1

6

A

B

C

D

E

P

r

s

1

1

ACroquis

B

P

r

s

1

1

A

B

F F

Los tringulos F yFson iguales.

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N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

NotaHOMOLOGAS. AFINIDAD

Departamento deArtes Plsticas

HOMOLOGA.La homologa es una transformacin proyectiva en el espacio. Dos secciones planas de una pirmideo de un cono son homlogas entre s.El centro de transformacin ser el vrtice, por el que pasan todas las generatrices del slido y el plano de la transformacin ser un plano que contiene a la recta e interseccin de los dos planos sectores. En una homologa los puntos homlogos estn alineados con el centro de homologa y las rectas homolgicas se cortan en el plano de transformacin ( en la recta e).

La Homologa en el plano. Al trasladar la homologa a un plano tenemos un dibujo en 2D.Existen una serie de leyes o normas en toda homologa:- Dos puntos homlogos A y A estn alineados con un punto fijo O, que es el centro de la transformacin.- Dos rectas homlogas se cortan en una recta llamada eje de la homologa.

A

BC

C

A

B

Eje e

o

Homologa de un punto.

O

A

A

eje

Homologa de dos puntos.

O

A

A

eje

B

B

Homologa de rectas.

O

A

A

eje

B

B

r

r

Homologa de figuras.O

A

A

eje

B

B

C

CF

F

Elementos dobles: El eje de homologa, sera una recta donde confluyan rectas y puntos dobles. Por lo tanto, cualquier punto o recta que est situado en eleje de homoga ser doble: A y A, r y r.

Rectas paralelas al eje: Las rectas paralelas al eje tendrn sus homlogas paralelas tambin, pues las rectas se cortarn en un punto impropio.

Rectas lmite:Todos los puntos que tengan su homlogo en el infinito (puntos impropios) tendrn su representacin en el plano: estarn alineados en unarecta paralela al eje. Esta recta se llama recta lmite (l)

O

A

A

ejeB

B

Elementos dobles: B es un punto doble. Rectas paralelas.

O

A

A

eje

B

B

r

r

Rectas paralelas.O

A

A

eje

B

B

D E

ED

Rectas LMITE.O

eje

recta lmite L

8

T (tg)

T

T1 (tg)

v

v

eje parbola

F

Determinacin de una homologa.Para poder dibujar una homologa nos hacen falta que queden definidos los siguientes datos:- El centro de homologa, el eje y dos puntos homlogos.- El centro, el eje y la razn de homologa. k= (OA/OA)/(PA/PA), donde P es el punto correspondiente al eje de homologa. Cuando K = -, la homologa se llama INVOLUCIN, y las figuras estarn en un mismo lado del eje.- Dos figuras homotticas.- El centro, un punto y una recta lmite.

AFINIDAD.La afinidad es una homologa, con las mismas caractersticas que sta pero conla diferencia que el centro de homologa es un punto impropio: est en el infinito.Eso significa que es una proyeccin cilndrica, los rayos proyectantes son paralelos.Para que haya una afinidad, nos tienen que dar: la direccin de afinidad. Un par depuntos afines u homlogos.

Afinidad

A

B

A

B

Eje e

C

C

afinidad de un punto.

A

A

eje

d

d

afinidad de una recta.

A

A

eje

dB

B

r

r

afinidad de una figura.

A

Aeje

dB

B

FC

C

A Aeje

d

BBF

C C

A

A

eje

dB

B

C

C

afinidad de paralelas.

DP

D

El punto P es un punto dobleigual que los que cortan ABCD en el eje

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HOMOLOGA.

Nombre alumno Fecha

Nombre lminaN. lmina Nota:

Curso:

Homologa plana es una transformacin homogrficabasada en la proyeccin cnica de puntos que cumple con las siguientes leyes: : - Dos puntos (A y A) estn alineados con un punto fijo (O) que est en el plano y se llama centro de homologa.- Dos rectas homlogas (r y r) se cortan siempre en una r e c t a f i j a l l a m a d a e j e d e h o m o l o g a .El eje por tanto, es el lugar geomtrico de los puntos queson homlogos de s mismos (puntos dobles C-C).

or

r

A

A

C-Ceje

Una recta lmite (l) es el lugar geomtrico de los puntoscuyos homlogos estn en el infinito. Las rectas lmite son dos (l y l) y son paralelas al eje. Todas las rectasque se cortan en un mismo punto P de la recta lmitetienen sus homlogas paralelas a la direccin OP. Ladistancia de una de las rectas lmite al centro de homologa (O) es la misma que hay desde la otra rectalmite al eje de homologa.

o

r

eje

s

rs

P l (recta lmite)

o

eje

l

l

d

dUna homologa queda determinada cuando se conocenlos siguientes elementos:1. El eje, el centro y un par de puntos homlogos.2. El centro y dos pares de rectas homlogas.3. Un punto doble y dos pares de puntos homlogos.4. El centro, el eje y una recta lmite.5. El centro, una recta lmite y dos puntos homlogos6. El centro y las dos rectas lmites.7. Dos figuras homlogas.

oA

B

C

C

eje

B

A

AFINIDAD

La afinidad es una homologa de centro O impropio, esdecir, que est en el infinito. Por tanto la afinidad es unatransformacin homogrfica que cumple las siguientesleyes:

- La recta que une dos puntos afines es PARALELAa una direccin d de afinidad.

-Dos rectas afines se cortan en un punto del ejede afinidad.

En la afinidad no existen rectas lmite.

Una afinidad queda determinada, si se conocen lossiguientes datos:

a) El eje y dos puntos afines.b)La direccin de afinidad y el coeficiente.c)Dos figuras afines.

r

r

A

A

C-C eje

oo

B

B

A

B

C

eje

B

A

C

d

figura 1

figura 1

figura 2 figura 2

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Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

NotaHOMOLOGAS. AFINIDAD

Departamento deArtes Plsticas

1.- Dada la siguiente homologa, hallar el punto B, homlogo de B.

O

A

A

eje

B

2.- Dada la siguiente homologa, hallar la recta r homloga der. O

A

eje

B

A

3.- Dada la figura ABC y un punto homlogo A, construir lafigura homloga.

A

eje

B

C

O

4.- Hallar el homlogo Ade punto A, conociendo elcentro de homologa O, el eje y un par de rectas homlogas

o

A

eje

r

r

5.- Hallar el homlogo de B conociendo los datos delejercicio.

o

A

eje

A

B

o

eje

l (recta lmite)

6.- Halla el homlogo A de un punto A conociendo el centro, el eje y la recta lmite l.

A

r

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LA. P

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Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

NotaHOMOLOGAS. AFINIDAD

Departamento deArtes Plsticas

1.- Dada la siguiente homologa, hallar el punto B, homlogo de B.

O

A

A

eje

B

O

A

eje

B

BAB

3.- Dada la figura ABC y un punto homlogo A, construir lafigura homloga.

A

A

eje

B

C

C

O

B

4.- Hallar el homlogo Ade punto A, conociendo elcentro de homologa O, el eje y un par de rectas homlogas

o

A

eje

r

r

5.- Hallar el homlogo de B conociendo los datos delejercicio.

o

A

eje

A

B

o

eje

l (recta lmite)

6.- Halla el homlogo A de un punto A conociendo el centro, el eje y la recta lmite l.

A

2.- Dada la siguiente homologa, hallar la recta r homloga der.

o

A

eje

r

r

B

B

A

o

eje

C

CB

o

ejeA

A

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Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

NotaHOMOLOGAS. AFINIDAD

Departamento deArtes Plsticas

C A

B

r

C A

Represente la figura homloga de la dada sabiendo que los puntos homlogos de A y C son respectivamente Ay C y el puntohomlogo de B est sobre la recta r. Indique los parmetros que definen la homologa.

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AFINIDAD

Nombre alumno Fecha

Nombre lminaN. lmina Nota:

Curso:

Representa la figura homloga de la dada sabiendo que los puntos homlogos de A y C son respectivamente A y Cy el punto homlogo de B est sobre la recta r. Indique los parmetros que definen la homologa. (PAU sept. 2010)

A

B

C

C A

r

r

MNP

EJE

K Q

K Q

BMNP

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AFINIDAD

Nombre alumno Fecha

Nombre lminaN. lmina Nota:

Curso:

1.- Hallar el afn Bdel punto B, conociendo la direccin deafinidad, el eje y un par de puntos afines A y A

A

A

eje

B

2.- Hallar el homlogo Ade punto A, conociendo elcentro de homologa O, el eje y un par de rectas homlogas

A

eje

r

r

d

eje

A

B

CD

E

C

3.- Construir la figura afn del polgono ABCDE conociendo el eje y un punto afn A

4.- Determinar la figura afn a la dada, sabiendo que elpunto A es doble y los punto By C son afines.

B

B

C

C

A

D

EF

eje

BB

C

DA

5.- Trazar la figura afn de la dada con los datos que seindican.

d

A

B

C

D

A

6.- Determine la figura afn al polgono ABCD, conocidosel punto afn A y el eje de afinidad.Indique la direccin de afinidad d

eje

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LA. P

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AFINIDAD

Nombre alumno Fecha

Nombre lminaN. lmina Nota:

Curso:

1.- Hallar el afn Bdel punto B, conociendo la direccin deafinidad, el eje y un par de puntos afines A y A

r

r

A

A

eje

B

2.- Hallar el homlogo Ade punto A, conociendo elcentro de homologa O, el eje y un par de rectas homlogas

A

eje

r

r

d

eje

A

B

CD

E

C

3.- Construir la figura afn del polgono ABCDE conociendo el eje y un punto afn A

D

B A E

4.- Determinar la figura afn a la dada, sabiendo que elpunto A es doble y los punto By C son afines.

B

B

C

C

A

D

EF

D

F

E

eje

BB

C

DA

C

A D

A

B

C

D

5.- Trazar la figura afn de la dada con los datos que seindican.

6.- Determine la figura afn al polgono ABCD, conocidosel punto afn A y el eje de afinidad.Indique la direccin de afinidad d

d

A

D

B

C

eje

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AFINIDAD

Nombre alumno Fecha

Nombre lminaN. lmina Nota:

Curso:

Determinar el homlogo del tringulo equiltero dado por el lado AB, con los siguientes datos: centro O, eje Ey siendo Ael punto homlogo de A. El vrtice C est al otro lado del eje.

E

O

A

B

A

Dada una afinidad por su eje, dos puntos afines A y A, se pide hallar la figura afn de la dada. Decir cul es ladireccin de afinidad.

E

A

A

B

C

D

JULI

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AFINIDAD

Nombre alumno Fecha

Nombre lminaN. lmina Nota:

Curso:

E

O

A

B

C

B

M N

C

E

A

A

d

M N

B

C

D

B

C

D

Determinar el homlogo del tringulo equiltero dado por el lado AB, con los siguientes datos: centro O, eje Ey siendo Ael punto homlogo de A. El vrtice C est al otro lado del eje.

Dada una afinidad por su eje, dos puntos afines A y A, se pide hallar la figura afn de la dada. Decir cul es ladireccin de afinidad.

A

JULI

N

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