Tema 2. Teoría del Campo Gravífico. - personales.upv.espersonales.upv.es/jpadin/tomo21.pdf · Tema 2. Teoría del Campo Gravífico. 5 complicada, ya que hay procurar dos puntos

Tema 2. Teoría del Campo Gravífico.

1


2

2.1. Introducción.

En los siguientes temas y capítulos se pretende abordar el estudio del problema de

la geodesia, este se define como la determinación de la forma o figura de la Tierra y

del campo exterior de la gravedad asociado y también la determinación del elipsoide

medio terrestre los cuales se obtienen mediante la observación de parámetros sobre y

exteriormente a la superficie terrestre (Draheim 1971, Fischer 1975). Por otra parte en

este texto también se realizarán ciertas consideraciones sobre la estructura y

composición de la Tierra y como estos repercute en los valores de la gravedad

observados y como a través de estos valores se puede obtener un mejor conocimiento de

la estructura y composición de la Tierra. Los últimos temas se centran en aspectos

instrumentales del observable de la gravedad, como se observa, su precisión y su

referenciación.

En primer lugar definiremos con más precisión que es lo que estamos buscando.

Efectivamente como ya hemos adelantado se persigue obtener la “forma de la Tierra”,

en un primer momento puede parecer que dicho esto el problema queda acotado. Si

miramos la fig. 2.1 y 2.2 vemos que existen diferentes superficies que podrían definir la

“forma de la Tierra”.

La superficie física o topográfica de la Tierra la conforma el borde existente entre la

parte sólida o fluida de la litosfera y la atmósfera, aunque recientemente ya se empieza a

considerar el fondo oceánico como parte de la superficie física. Esta superficie es objeto

de representación en cartografía, mediante técnicas topográficas, pero en si no

constituye una buena superficie de referencia por la complejidad que presenta.

Una buena definición de la forma de la Tierra podría venir dada por la superficie del

mar, esta superficie es de menor complejidad que la superficie física de la Tierra, debido

Superfic ie física o topográfica de la Tierra

Superfic ie del mar o “Geoide”

Elipsoide

fig. 2.1.Superficies en la Tierra


3

a que esta superficie presenta una orografía muy suave sin rupturas. Esto es debido a

que es una superficie equipotencial (si consideramos un mar en calma), este nivel viene

determinado por el campo gravitatorio terrestre, siendo la acción gravitatoria de las

masas terrestres el que establece el nivel de los mares, hay que tener en cuenta que los

puntos de una superficie líquida deben tener el mismo potencial, ya que cualquier

ganancia o perdida de potencial momentánea tiende a ser restaurada instantáneamente

ya que los líquidos no tienen la posibilidad de vencerla por su falta de ligazón. El hecho

de que esta superficie sea equipotencial lleva aparejadas otras ventajas, la más

importante es la de ser una buena superficie de referencia para las altitudes. El mayor

problema que se plantea es llegar a su definición, o sea como podemos averiguar que

forma tiene esa superficie. Esta superficie presenta continuidad en el continente, para

ello lo que se hace es prolongarla en los continentes uniendo los puntos que tienen el

mismo potencial como veremos más adelante. En definitiva esta superficie es una buena

representación de la figura de la Tierra.

Sin embargo hay que recordar que en cartografía utilizamos una superficie regular

para realizar las proyecciones cartográficas, cualquier punto sobre la Tierra para su

correcta representación es proyectado sobre una superficie regular, cuanto más

aproximada a la forma de la Tierra sea la superficie sobre la que proyectamos su

posterior representación será más exacta. En el caso de la Tierra con carácter general se

establece que la figura más próxima es la de un elipsoide. Pero hay que tener en cuenta

que esta es simplemente la aproximación regular más exacta.

Superficie del mar Geoide

Elipsoide

Continente

Superficie Topográfica

fig. 2.2.Superficies en la Tierra

4

Por tanto cuando se hable de la figura de la Tierra hay que hablar de una superficie

física ya que esta es generada por el campo gravitatorio terrestre, y a su vez hay que

llegar a una definición geométrica de la misma, o sea que tendremos que llegar a una

definición matemática de esta quiere decir que el conocimiento de la figura de la Tierra

implica tanto su definición en términos físicos (coeficientes físicos relacionados con la

masa terrestre) como en términos geométricos.

2.1.1. Antecedentes.

El problema de la geodesia no es un problema moderno, se puede considerar que es

uno de los problemas matemáticos y físicos más antiguos que existen, aunque algunas

veces el planteamiento de este se haya visto influenciado más por cuestiones religiosas

y creencias que por criterios científicos. Lo cual ha motivado a lo largo de su historia

avances y retrocesos.

Las primeras concepciones sobre la forma de la Tierra giran en torno a creencias

mitológicas y suponen una Tierra con forma de disco, en la cual existe un continente

rodeado de un océano, Illiada de Homero 800 a.c. y Thales de Mileto 600 a.c.

Posteriormente con la escuela de Pitágoras y Aristoteles (desde 500 a.c. en adelante)

entre otros, se empieza a barajar la hipótesis de una Tierra esférica.

Es a Eratostenes de Alejandría a quien le corresponde el título de ser el primer

Geodesta ya que fue el primer científico en realizar la primera medición sobre la

superficie de la Tierra para obtener datos sobre esta, aunque estos fueron tomados de

forma expedita, aunque su fundamento científico, la medida de arco, se ha aplicado con

ciertas variaciones hasta la actualidad. El fundamento es sencillo en esencia y solo tiene

en cuenta parámetros geométricos, este consiste en medir a lo largo de un meridiano el

desarrollo lineal (l) de este y el ángulo (α) que

lo comprende, obteniendo R (fig.2.3)

)0.2(Rl α=

Eratostenes calculo el radio terrestre con

un error de un 2%, posteriormente Posidonius

(135-51ac) realizo el mismo cálculo

obteniendo un error de un 11%, hay que tener

en cuenta que aun siendo el fundamento

valido, la obtención de observables es

α

l

fig.2.3

R


5

complicada, ya que hay procurar dos puntos en el mismo meridiano, medir la distancia

entre estos puntos y realizar la medida de los ángulos a la misma hora (al mediodia).

Bajo este mismo fundamento en periodos sucesivos se realizaron el mismo tipo de

medición, aunque con el tiempo el instrumental utilizado en la medida fue aumentado

en precisión (el telescopio aparece en 1611 con Kepler) así como la metodología de

observación.

Frisius (1508-1555) es el primero en utilizar el método de triangulación, este método

permite a través de la medida de una base obtener el resto de los lados de un triángulo lo

cual permite realizar medidas lineales de forma indirecta sobre la superficie de la Tierra

con una mayor precisión. El primero en utilizar esta técnica para resolver la forma de la

Tierra fue Snellius (1580-1626) fig.2.4.

Grimaldi y Riccioli idearon un método ligeramente diferente para la medida de arco,

este consistía en la realización de visuales reciprocas para obtener el ángulo central

(fig.2.5), aunque el desconocimiento de la refracción y las aberraciones de la lente no

permitían obtener valores precisos.

fig. 2.4.Método de triangulación

Z1

Z2

α

l

α=z1+z2-π Fig.2.5

6

Ya el s. XVI y XVII los avances en física y cálculo así como la observación

astronómica de otros planetas influenciaron decisivamente en la percepción de la figura

de la Tierra y en su mecánica. Cabe citar como avances reseñables los realizados por

Copernico y Kepler en lo relativo en la mecánica celeste (y de la Tierra) y los avances

de Galileo Galilei en mecánica moderna (ley de la gravedad, ley del movimiento de un

péndulo).

Es a partir de este punto cuando se empiezan a observar los valores de la gravedad

mediante un péndulo. Se observó que el movimiento del péndulo no era regular en toda

la Tierra, si no que el periodo variaba con la latitud, lo cual implicaba que la gravedad

era cambiante, era de suponer que esto ocurría por que de alguna forma la distancia al

centro de la Tierra variaba con la latitud. Además se observó en Júpiter un achatamiento

en los polos (Cassini 1666). Todo esto hacia pensar que la Tierra no era tan esférica

como se creía.

En 1666 la Academia de las Ciencias de París asume las tareas geodésicas y se

inician las campañas pertinentes para la obtención de la media de los radios de los arcos

en diferentes latitudes en la Tierra para averiguar su forma. La primera fue dirigida por

Picard entre 1669-1700 entre París y Malvoisine obteniendo el radio de la Tierra con un

error de un 0.01%.

Mientras Newton y Huygens realizaban modelos de Tierra que justificaran la

variación de la gravedad observada, los únicos modelos satisfactorios conducían a

modelos achatados por los polos. Además Newton establecía que la forma de una Tierra

homogénea, fluida en rotación y en equilibrio físico pasaba por un elipsoide en rotación,

según el modelo por el propuesto obtuvo un aplanamiento f de 1/230 (fig.2.6).


7

En cualquier caso la demostración de este aplanamiento pasaba por la medición de

arco a diferentes latitudes. Maupertius y Clairaut participaron en la expedición para la

medición de arco en la zona “polo” en Lapland (1736-1737) confirmándose finalmente

en este campaña el achatamiento en los polos. Se realizó la revisión de la medida del

meridiano de París (1739-1740) por Cassini. Y se realizó una segunda expedición a la

zona del “ecuador” en Perú por Bouguer donde participó el español Ulloa. En definitiva

la demostración de la elipticidad de la Tierra quedó demostrada mediante mediciones

geométricas.

Sin embargo Newton estableció que la única figura física estable que cabría esperar

en una Tierra homogénea y fluida era el elipsoide, quiere decir esto que indudablemente

eran de esperar relaciones entre las propiedades físicas de la Tierra y su forma

geométrica. Clairaut en 1743 enuncio un teorema el cual lleva su nombre en el cual

condicionaba la forma de la Tierra al potencial de la Tierra. Clairaut estableció que era

posible obtener la forma de la Tierra a través de la medida de los valores de la gravedad

en dos puntos a diferente latitud. Esto implicaba la obtención de la forma de la Tierra de

una forma más “fácil” y con un desarrollo conveniente implicaba una mayor precisión

en el conocimiento de la forma de la Tierra. De esta forma se inicia la definición de la

figura de la Tierra mediante métodos gravimétricos. Aunque el método gravimétrico no

se desarrollo hasta entrados en el s. XX por la dificultad en la obtención de los valores

de la gravedad y la homogeneización de estos valores.

No obstante la evidencia de que la Tierra mantenía una figura elipsoidica hizo

adoptar como superficie de referencia el elipsoide. Sin embargo en trabajos de cierta

entidad no era posible trabajar con estas medidas sobre el elipsoide, algo fallaba. No era

Sin Rotación

De menor a mayor rotación

Alta velocidad Rotación

Muy Alta velocidad de Rotación

Fig.2.6 Forma de la Tierra predicha por Newton

8

posible trabajar con datos sobre el elipsoide si estos no eran previamente reducidos a el,

hay que tener en cuenta que las mediciones topográficas se realizan sobre la superficie

física de la Tierra, lo que implica que las normales sobre las que se realizan las

mediciones no son las normales del elipsoide, esto se hacia patente conforme iba en

aumento la precisión instrumental, por lo tanto había que tener en cuenta la desviación

relativa de la vertical, fue Helmert quien estableció la transición entre los parámetros

elipsoide y superficie física de la Tierra a través de una superficie física, el geoide.

Finalmente es en la década de los 50 cuando se resuelve el geoide, un importante

logro de la geodesia, aunque anteriormente ya se contaba con datos para determinarlos

de forma geométrica (nivelación astrogeodésica), no se contó hasta esta década con un

geoide netamente gravimétrico.

2.2. ATRACCION Y POTENCIAL.

Un cuerpo rotando solidario a la Tierra se ve sometido a la fuerza gravitatoria de la

Tierra y la del resto de los cuerpos celestes, y a una aceleración centrifuga provocada

por el mismo movimiento de rotación de la Tierra. El resultado de ambas fuerzas se

conoce como fuerza de la gravedad. En los siguientes capítulos realizaremos una

justificación del cálculo de cada una de ellas.

2.2.1. Gravitacion, Potencial Gravitacional.

De acuerdo con la ley de gravitación de Newton, dos puntos de masa m1 y m2,

separados por una distancia l, se atraen uno a otro con una fuerza F.

)1.2(221

ll

mmG

lF −=

fig. 2.7

r’

x

y

z

l

P’(x’,y’,z’)

r P(x,y,z)

F


9

Siendo G1 la constante gravitacional y l la distancia entre los puntos de masa y m1 y

m2 . Se observa en (2.7) que F y l presentan sentidos contrarios.

Si ahora consideramos que m1 es igual a la unidad y m2 se halla sobre P’ podemos

reescribir la ecuación (2.1) en la ecuación (2.2).

)2.2(22

ll

mG

lF −=

En esta el punto P experimenta una aceleración gravitacional debido al elemento de

masa atrayente situado en P’, la fuerza según hemos visto tendría el sentido de P hacia

P’, la distancia l se puede representar en el sistema cartesiano como

222 )'()'()'(

)3.2('''

,;

zzyyxxl

z

y

x

z

y

x

−+−+−==

=

=−=

l

r'rr'rl

La fuerza de la gravedad F se puede resolver en sus diferentes componentes, Fx, Fy y

Fz:

F= (Fx,Fy,Fz) (2.4)

)7.2()'(

)6.2()'(

)5.2()'(

2

2

2

l

zz

l

mGF

l

yy

l

mGF

l

xx

l

mGF

z

y

X

−−=

−−=

−−=

Si consideramos que la masa P’ se halla

en el origen del sistema de referencia según

la figura 2.8 las fórmulas (2.5), (2.6) y (2.7)

se pueden simplificar convirtiéndose en las

ecuaciones (2.8), (2.9) y (2.10).

1 G es la cte. gravitacional, tiene un valor de 6.67259-11 m3kg-1s-2. F viene en ms-2

x

y

z

r=l

P(x,y,z)

Fx Fy

Fz

fig. 2.8

10

Siendo α ,β y γ los ángulos que forma r con los diferentes ejes del sistema cartesiano.

La composición cuadrática de las tres componentes de la fuerza nos da el módulo del

valor de la fuerza gravitatoria.

)10.2(cos

)9.2(cos

)8.2(cos

2

2

2

γ

β

α

l

Gm

l

x

l

mGF

l

Gm

l

y

l

mGF

l

Gm

l

x

l

mGF

z

y

x

−=−=

−=−=

−=−=

Como la suma cuadrática de los cosenos directores (es un vector ortonormalizado) de

un vector es 1, se puede resolver finalmente que el módulo de la fuerza gravitatoria (que

es un valor escalar) se corresponde con la ecuación (2.11).

( ) )11.2(coscoscos 2222

2222 γβα ++

−=++=l

mGFFFF zyx

Siendo esta la expresión más conocida de la ley de la Gravitación Universal de

Newton.

)12.2(2l

mGF −=

2.2.2 Función Potencial Gravitatoria.

Seguidamente introducimos el concepto de función potencial gravitatoria, siendo esta

una función escalar (V es función de la posición del punto P)

)13.2(l

mGV =

las componentes Fx, Fy y Fz de la fuerza gravitatoria F se obtienen derivando V

respecto la dirección considerada, esto es así debido a que V es un campo conservativo

(la circulación en una curva cerrada es 0) (mirar Física general, Burbano 1984)

)14.2(,,z

VF

y

VF

x

VF zyx ∂

∂=∂∂=

∂∂=

esto puede verificarse fácilmente derivando (2.13), para el caso de la componente Fx

obtenemos


11

)15.2(´`11

1

322 l

xxGm

l

xx

lGm

x

l

lGm

x

lGm

x

V −−=

−−=

∂∂−=

∂

∂=

∂∂

Esta última propiedad se puede escribir formalmente como

)16.2(),,(F VgradFFF zyx ==

es decir, el vector fuerza es el vector gradiente de la función escalar V.

Es una ventaja importante el hecho de poder remplazar las tres componentes de F por

la función V ya que es mucho más sencillo manejar la función V que las tres

componentes de F.

En el caso de que tengamos una distribución de masas puntual repartida en el

espacio, y quisiésemos resolver la influencia generada por esta distribución basta con

resolver la contribución de cada elemento de masa, siendo la suma de todas las

contribuciones el campo gravitatorio de la distribución de masas (2.17)

∑=−

− =++++=n

i i

i

n

n

n

n

l

mG

l

Gm

l

Gm

l

Gm

l

GmV

11

1

2

2

1

1 )17.2(...

Esto no es así cuando tratamos con distribuciones de masa grandes o un cuerpo

sólido, estas distribuciones no se puede considerar puntuales y si además estas no tienen

una forma regular como se plantea en el estudio de la atracción gravitatoria de la Tierra,

el cálculo de la aceleración y del potencial se vuelve más complejo. Para estos casos

conviene abordar el problema calculando la suma de las contribuciones de los elementos

diferenciales que componen la masa considerada fig.2.9.

dy’

dz’

(x’,y’,z’)

P(x,y,z)

d

Fig. 2.9

dx’

12

Para ello ahora consideramos que los puntos materiales están distribuidos

continuamente sobre un volumen v con densidad

)18.2(dv

dm=ρ

Donde dv es un elemento de volumen y dm un elemento de masa. Entonces la suma

(2.17) se transforma en la integral

Donde l es la distancia entre el elemento de masa dm y el punto que sufre la

atracción P.

Para resolver el potencial del punto P hay que calcular la contribución al potencial

que ejerce cada elemento dm, lo cual se puede escribir como la expresión (2.21).

)21.2(''')'()'()'(

)',','(),,(

222dzdydx

zzyyxx

zyxGzyxV

v

∫∫∫ −+−+−= ρ

En esta se considera la triple integral extendida sobre v, ya que hay que considerar el

potencial de toda la masa que se halla en el volumen v. El elemento de volumen

considerado será

)20.2(''' dzdydxdv =

Para el caso de una distribución de masas las componentes de la fuerza gravitatoria

se puede resolver según la expresión (2.16), que para el caso de la componente Fx es

)22.2('''

1

)',','(

''')',','(

∫∫∫∫∫∫

∂

∂=

∂

∂=

∂∂=

v

v

x dzdydxx

lzyxG

x

l

dzdydxzyx

Gx

VF ρ

ρ

En la cual sustituyendo finalmente obtenemos

∫∫∫−−= )23.2(

'3 dvl

xxGFx ρ

2.2.2.1 Propiedades de la Función Potencial.

Si observamos las ecuaciones (2.13),(2.17) y (2.19), vemos que la única diferencia

entre ellas, es considerar; la existencia de una masa puntual en (2.13), una distribución

de masas en (2.17) o un cuerpo sólido (2.19). De estas ecuaciones podremos extraer

importantes conclusiones.

∫∫∫∫∫∫ ==vv

dvl

Gl

dmGV )19.2(

ρ


13

∫∫∫=v

dvl

GV )19.2(ρ

)13.2(l

mGV =

∑=−

− =++++=n

i i

i

n

n

n

n

l

mG

l

Gm

l

Gm

l

Gm

l

GmV

11

1

2

2

1

1 )17.2(...

� El valor de V cuando l tiende a infinito.

∞→=

l

aV )19.2(0lim

� El potencial V y las primeras derivadas son continuas en todo el espacio.

Veamos con un análisis de las derivadas que esta última se cumple,

( ) 2/1222),,()(

zyx

mG

l

mGzyxflfV

++====

Definida la función f pasamos a resolver la primera derivada respecto de x

=

−+−+−

−−

−+−+−−−+−+−

=∂

∂=

22/1

2)'(2)'(2)'(

)'(2.2/1

2)'(2)'(2)'(.2

12/12)'(2)'(2)'(.0

'

zzyyxx

xxzzyyxxzzyyxx

Gmx

ff

)24.2(2/3

2)'(2)'(2)'(

)'(

−+−+−

−−

zzyyxx

xxmG

La función f’ será continua siempre que x≠x, y≠y’, z≠z’. Sucediendo lo mismo para

componentes x e y.

( )

( ) )26.2()'()'()'(

)'('

)25.2()'()'()'(

)'('

2/3222

2/3222

zzyyxx

zzmG

z

ff

zzyyxx

yymG

y

ff

−+−+−−−=

∂∂=

−+−+−−−=

∂∂=

En el caso que supongamos que la masa se halla concentrada en el origen del sistema

de referencia (2.24) pasa a

14

( ) )27.2()()()(

)(2/3222 zyx

xmG

x

V

++−=

∂∂

Resolvamos el valor de la segunda derivada de la función potencial V

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )( )

)28.2(5

2)'(32

2/52)'(2)'(2)'(

2)'(32)'(2)'(2)'(

2/62)'(2)'(2)'(

1.2)'(32/22)'(2)'(2)'(2/12)'(2)'(2)'(

2/62)'(2)'(2)'(

)'(22/12)'(2)'(2)'(2/3)'(

2/32)'(2)'(2)'(1

2

2

l

xxlGm

zzyyxx

xxzzyyxxGm

zzyyxx

xxzzyyxxzzyyxxGm

zzyyxx

xxzzyyxxxxzzyyxxGm

x

xF

x

V

−−−=

−+−+−

−−−+−+−−

=−+−+−

−−−+−+−−+−+−−

=−+−+−

−−+−+−−−−+−+−−

=∂

∂=

∂

∂

Las derivadas segundas respecto de y y z.

)30.2()'(3

)29.2()'(3

5

22

2

2

5

22

2

2

l

zzlGm

z

F

z

V

l

yylGm

y

F

y

V zy −−−=∂

∂=∂∂−−−=

∂∂

=∂∂

� Si multiplicamos V.l entonces cuando l tiende a infinito V es igual a Gm

∞→=

l

amGVl )30.2(..lim

� En cada punto exterior a las masas atrayentes, el potencial satisface la ecuación

de Laplace.

)31.2(02

2

2

2

2

2

=∂∂+

∂∂+

∂∂=∆

z

V

y

V

x

VV

El símbolo ∆, llamado operador laplaciano, tiene la forma

2

2

2

2

2

2

zyx ∂∂+

∂∂+

∂∂

Fuera de los cuerpos atrayentes el potencial cumple la ecuación (2.31), lo cual se

puede demostrar fácilmente.


15

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

)31.2(05

2323)(

5

2)'(2)'(2)'(3235

2)'(322)'(322)'(32

5

2)'(32

5

2)'(32

5

2)'(32

2

2

2

2

2

2

al

llGm

l

zzyyxxlGm

l

zzlyylxxlGm

l

zzlGm

l

yylGm

l

xxlGm

z

V

y

V

x

VV

=−

−

=−+−+−−

−=−−+−−+−−

−

=−−

−−−

−−−

−=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∆

En verdad la ecuación de Laplace es una ecuación en derivadas parciales, a partir de la

ecuación de Laplace y estableciendo valores o condiciones iniciales para la función V

podemos resolver la función V para una distribución de masas no conocida, esto último

resulta muy útil en el caso de querer resolver el potencial de la Tierra, ya que resolverlo

a través de (2.21) resulta complicado en extremo ya que no se conoce la densidad de

cada elemento diferencial, con lo cual se opta a través de unas condiciones de contorno

y (2.31) resolver V, problema que abordaremos parcialmente en un próximo capítulo.

En cálculo aquellas funciones que son solución de la ecuación de Laplace se llaman

funciones armónicas, las funciones armónicas son funciones analíticas, que son

continuas y tiene derivadas de cualquier orden. Con lo cual por propia definición las

ecuaciones (2.28), (2.29) y (2.30) son funciones continuas.

� En los puntos donde la densidad cambia discontinuamente, alguna derivada

segunda tiene una discontinuidad, o lo que es lo mismo el potencial de los

puntos que se hallan en el interior de un sólido cumplen la ecuación de

Poisson. )32.2(4 ρπGV −=∆

� El Teorema de Stokes establece que una función V armónica en el exterior

de una superficie S queda determinada de forma única por sus valores sobre

S. En general, no obstante, hay infinitas distribuciones de masas que tienen la

función armónica dada V como potencial

exterior.

V

ρρ

ρ

Fig. 2.4

16

Como ejemplo y particularización del Teorema de Stokes pongamos el potencial

exterior de una esfera homogénea (2.12) siendo m la masa de la esfera y l la distancia

desde su centro. El potencial de las diversas esferas homogéneas concéntricas de la

misma masa total m, es exactamente el mismo para un punto exterior

independientemente de su tamaño generan el mismo potencial. El potencial es el mismo

que si la masa estuviera concentrada en su centro, porque el potencial de un punto

material viene dado por esta fórmula.

Para resolver la forma de la Tierra que vendría dado por l, conocido el potencial V y

la masa M tendríamos que haber obtenido el potencial sobre la superficie de la Tierra

Vs.

2.2.3. La fuerza Centrifuga y su Potencial.

Como ya hemos mencionado en el primer capítulo del tema, la fuerza de la gravedad

que influyen sobre los objetos que se encuentran sobre la superficie de la tierra no es

debida únicamente a la fuerza gravitatoria provocada por la masa de la tierra. Si no que

la gravedad tiene una componente de la fuerza debido a la rotación de la Tierra que

realiza respecto el eje conformado por los polos. Si le asignamos a la Tierra una

velocidad de rotación constante alrededor del eje que en un principio consideraremos

fijo, se puede establecer que el valor de la aceleración centrífuga es

)33.2(p2ω=z

Siendo ω la velocidad angular de rotación de la Tierra, ω= 2π /86164.10s =7.292115

E-05 rad s-1esta es conocida con gran precisión por astronomía.


17

El parámetro p es la distancia desde el punto considerado al eje de rotación, si

hacemos coincidir el eje z de nuestro sistema de referencia con el eje de rotación de la

Tierra entonces p toma el valor

)34.2(p;0

22 yxpy

x

p +==

=

Ahora introduzcamos el potencial centrifugo de z,

)35.2(Φ= gradz

Siendo la expresión del potencial centrífugo )36.2(2

)( 22

ppω=Φ=Φ

Si realizamos la diferencial al cuadrado respecto de x e y, y aplicamos el operador

Laplaciano obtendríamos

)37.2(2 2ω=∆Φ

En virtud de lo cual finalmente se resuelve que Φ no es armónica.

En el caso de que calculásemos el Potencial Centrífugo en el Ecuador donde este es

máximo obtendríamos un valor de Φ=1.1 E-05 m2 s-2 y una aceleración centrífuga es z =

0.03 m s-2 (0.3 % de la gravitacional) y en los polos Φ=0 m2 s-2 y z= 0 m s-2.

2.2.4 Aceleración de la Gravedad y Potencial de la Gravedad.

La aceleración de la gravedad o gravedad g es el resultado de la composición de la

aceleración gravitacional F y de la aceleración centrífuga z:

x

y

z

P

Fig.2.5

18

)38.2(zFg +=

La dirección de g se conoce como la dirección de la línea de la plomada, la magnitud

g=│g│es llamada intensidad de la gravedad o aceleración de la gravedad aunque por lo

general se suele utilizar el término de gravedad de forma más general.

En la figura 2.6 vemos una representación de la composición cuadrática de las dos

aceleraciones F y z cuyo resultado es la aceleración de la gravedad g.

Finalmente podemos resolver la función potencial de la gravedad, que será igual a la

suma de los potenciales de las componentes de la gravedad, para ello acudimos a las

ecuaciones (2.36) y (2.19).

)39.2(2

)( 22

∫∫∫ +=Φ+== pdvl

GVrWWωρ

Para resolver el valor de la aceleración de la gravedad aplicamos el gradiente a la

función potencial

)40.2(g Wgrad=

El potencial de la gravedad W y sus primeras derivadas presentan valores finitos y

continuos, esto es así por las propiedades de las funciones V y Φ, solo en el caso de que

r o l tienda a infinito entonces gradW presentaría discontinuidades , pero esta

particularidad en principio no tiene mayor interés.

Las segundas derivadas de la función potencial son las que presentan

discontinuidades, ya que la función potencial de la gravedad hereda las discontinuidades

x

y

z

P z

F g

Fig. 2.6


19

de la función potencial gravitatoria, al igual que en esta las discontinuidades aparecen

con las variaciones abruptas de la densidad. La variación más acusada de la densidad

nos la encontramos en el cambio entre la atmósfera y la corteza superior, en la cual se

pasa de un valor de densidad 0.0013 g cm-3 a 2.7 g cm-3.

De (2.32) y (2.37) obtenemos la ecuación diferencial generalizada de Poisson

cumpliéndose esta en el interior de las masas.

En el espacio exterior (a partir de ahora consideraremos despreciable la densidad del

aire), el potencial de la gravedad cumple la ecuación diferencial generalizada de

Laplace.

2.3 Sistemas de coordenadas terrestres.

2.3.1 Geocéntrico Fijo.

Para la representación del campo de la gravedad terrestre, usualmente se suele

utilizar un sistema de coordenadas geocéntrico fijo en la Tierra. Este sistema se define

con el origen en el centro de gravedad terrestre C. El eje Z del sistema coincide con

el eje de rotación medio de la Tierra, el cual se definió como el promedio de la posición

del polo entre los años 1900-1906 (Conventional International Origin). El eje X del

sistema apunta hacía la intersección del meridiano astronómico de Grenwich con el

plano ecuatorial medio, finalmente el sistema queda completado con el eje Y que apunta

hacía la izquierda tal como se describe en la figura 2.1.

λ

θ

y

x

rφ

z

Ecuador medio

Polo medio

Greenwich

Fig.2.7

)41.2(24 2ωρπ +−=∆ GW

)42.2(2 2ω=∆W

20

Una vez definido el sistema de referencia, existe la posibilidad de trabajar con

diversos tipos de coordenadas utilizando como sistema de referencia el definido por el

CIO.

Coordenadas Esféricas.

Las coordenadas esféricas por lo general tienen una utilización extendida, ya que la

utilización de estas facilitan fórmulas simplificadas para el cálculo de funciones

relacionadas con el campo gravedad. Las coordenadas esféricas son (ver fig.2.7.):

r- Distancia Geocéntrica.

ϕ - Latitud Geocéntrica.

θ- Distancia Polar.

λ- Longitud Geográfica.

Coordenadas Elipsoidales o Geográficas.

Al igual que las coordenadas esféricas también tienen una amplia aplicación, pero en

este caso es debido a que la superficie de trabajo para aplicaciones cartográficas es el

elipsoide y también constituye la figura de referencia normal para los valores de la

gravedad normales. Las coordenadas geográficas son:

h- Altitud Elipsoidal

φ- Latitud Geodésica (normal al elipsoide).

λ- Longitud Geográfica.

2.3.2 Sistemas basados en el campo de la gravedad local.

En el caso en el que se quiera dar una descripción de la geometría del campo local de

la gravedad, y para realizar cálculos en áreas limitadas localmente, se prefieren utilizar

sistemas de coordenadas los cuales se hallen en un punto particular P del campo de la

λ y

x

r

z

Ecuador medio

Polo medio

Greenwich

Fig.2.8


21

gravedad, siendo este el origen del sistema. El eje z coincide con la dirección de la

plomada y apunta hacía el nadir del lugar. El plano x-y del sistema coincide con el

horizonte del lugar, la dirección del eje x, queda definida apuntando hacía el Norte del

lugar.

La dirección que determinan los ángulos con que se interseccionan en los planos del

triedro viene dada por el vector de la gravedad g. De esta forma quedan definidas

Φ- Latitud astronómica.

Λ- Longitud astronómica.

2.4. El campo de la Gravedad en una Tierra Esférica.

x

y

z

θ

λ

Fig.2.10

λ y

x

z

Λ Φ

g

x’

y’

Fig.2.9

22

En este capítulo vamos a resolver la forma geométrica que presentaría un campo

potencial en el caso que fuese generado por una Tierra completamente esférica. En un

primer paso resolvemos el valor de la atracción gravitatoria para un punto P que se halla

sobre la superficie de esta Tierra teórica.

2r

mGF −=

Como posteriormente vamos a sumar las aceleraciones de cada contribución

(gravitatoria y centrifuga), tenemos que descomponer las aceleraciones en unas

direcciones determinadas comunes a ambas fuerzas para poderlas sumar. En este caso

en vez de elegir una descomposición respecto de los 3 ejes cartesianos, optamos por una

descomposición respecto a las coordenadas esféricas (r,θ,λ). Esta descomposición solo

presenta la componente del radio (r) que es la dirección en la que actúa la fuerza de la

gravedad.

( ) )43.2(0,0,,, 2

−=r

GMFFFr λθ

Siendo M la masa de la Tierra, r la distancia del centro al punto P.

( ) )44.2(0,cos,),,( 222

2

θθωθωω

λθ senrsenrzzz

pz

r ==

Donde ω es la velocidad angular de rotación de la tierra y r es el radio de la Tierra.

Finalmente para resolver el valor de la aceleración de la gravedad realizamos la suma

componente a componente de cada una de las contribuciones (gravitatoria y centrífuga).

x

y

z

z

zr

zθ

Fig.2.11


23

)45.2(0,cos,),,( 2222

+−= θθωθωλθ senrsenrr

GMgggr

Como ya hemos visto estas componentes pueden deducirse a través de las funciones

potenciales de cada aceleración, el potencial gravitatorio de V y el de la fuerza

centrífuga Φ. La suma de estos dos potenciales nos da el potencial de la gravedad U (no

confundir con W que sería el potencial real de la Tierra).

)46.2()(21 222 θω senr

r

GMVU +=Φ+=

Podríamos resolver el valor de la aceleración a través del gradiente del potencial U.

Para el caso de las coordenadas esféricas nos encontramos que la aplicación del

gradiente no es tan inmediata, ya que los elementos diferenciales que consideramos

tienen diferentes unidades, con lo cual hay que realizar ciertas consideraciones para

homogeneizarlos.

Para resolver elementos diferenciales homogéneos, se divide la diferencial respecto

de θ por r y la diferencial respecto de λ por r.senθ.(fig.2.12)(2.47)

)47.2(1

,1,),,(

∂∂

∂∂

∂∂=

λθθλθU

senr

U

rr

Ugggr

En vez de utilizar en las ecuaciones el argumento colatitud θ, lo sustituimos por ϕ

)48.2(cos2

22

+= ϕa

rm

r

a

a

GMU

Siendo a equivalente a r ya que es el radio de la Tierra esférica y m es

z

dθ

dr dλ

Fig.2.12

24

)49.2(2322

GM

a

a

GM

am

ωω ==

En el segundo término de (2.49) se aprecia claramente que m es el cociente entre las

fuerzas centrifuga y gravitacional sobre la tierra esférica en el ecuador, el cual lo

utilizaremos más hacía adelante para resolver la forma real de la Tierra.

Si resolvemos g a través del gradiente de su función potencial U llegamos a la misma

solución resuelta en (2.45).

Calculemos en un primer lugar la componente de g respecto r.

)51.2(cos

)50.2(cos

22

2

2

222

−−=

+−=∂∂=

ϕ

ϕ

a

mr

r

a

a

GMg

ra

m

r

a

a

GM

r

Ug

r

r

Para el caso de la componente g respecto de θ

)53.2(0)52.2(cos2 == λθ ϕϕ gysena

rm

a

GMg

Ahora veamos la forma que tiene o genera el potencial que hemos calculado a partir

de una Tierra esférica, U en (2.47). Este análisis se puede realizar fijando un valor del

potencial U y resolviendo a diferentes latitudes como ha variado la distancia de esa

superficie equipotencial ( todos los puntos de la superficie tienen el mismo valor de U)

al origen del SR, en el caso de que fuese constante no encontraríamos que dicha

superficie equipotencial sería una esfera (fig.2.13), como el que aparece en la figura y se

deduciría finalmente que la forma de la tierra es una esfera ya que la superficie de los

mares se ciñe a la forma de una superficie equipotencial

Sin embargo el caso del potencial generado por una Tierra esférica no coincide con

el caso arriba planteado. En un primer lugar establezcamos el valor de la superficie

equipotencial, en este caso adoptamos el valor del potencial en el Polo φ=90º, el cual

aplicándolo a (2.48) se obtiene

)54.2(0a

GMU =

Si este valor lo establecemos como constante en (2.48) y despejamos el valor de r

obtenemos que


25

)55.2(cos2

1 2

+= ϕmar

Donde observamos que r conforme varíe la latitud ira variando también su valor, la

ecuación (2.55) coincide con el valor del radio vector de una elipse lo cual establece que

el potencial generado por la Tierra es el de un elipsoide de revolución de achatamiento

m/2.

Si establecemos unos valores aproximados de los parámetros que configuran las

ecuaciones (2.50) y (2.51) podemos resolver los valores de la gravedad a diferentes

latitudes.

a=6371 km; G= 6.67259 E-11 m3 kg s-2; M=5.976 E24 kg; ω=2π/24 h= 7.2722E-5

rad s-1

obteniéndose los valores de:

φ gr gθ

0º 9.790340 0

45º 9.807186 0.016846

90º 9.824033 0

En estos valores se observa que la componente en la dirección del radio es mucho

mayor que la componente de la colatitud y para este caso en concreto se puede

considerar prácticamente despreciable. Por lo que se refiere a la componente radial

vemos que el valor en los polos es mayor que en el Ecuador que en este caso se explica

por la existencia de la fuerza centrífuga que es mayor en el Ecuador lo cual hace que el

valor de la gravedad disminuya ya que esta se opone a la gravitatoria.

r=cte U=cte= Forma que adoptaría la superficie del

mar

Fig.2.13

26

Si comparamos los valores reales de la gravedad medidos sobre la superficie, con los

teóricos que hemos obtenido:

Real (m s-2) Teórico (ms-2)

Polo 9.83221 9.824033

Ecuador 9.78049 9.790340

En este cuadro podemos apreciar como el valor de la gravedad real en el ecuador es

menor que el teórico, ocurriendo lo contrario para el caso de los polos donde es mayor

el real que el teórico, estas diferencias se explica si la figura real de la tierra respecto la

teórica presentara un radio ecuatorial mayor que el teórico (ya que cuanto más nos

alejamos del centro de masas menor valor de la gravedad se obtiene) y en el caso de los

polos la distancia real sea menor que la establecida en el teórico (si nos acercamos

aumenta el valor de la gravedad).

En este cuadro podemos apreciar como el valor de la gravedad real en el ecuador es

menor que el teórico, ocurriendo lo contrario para el caso de los polos donde es mayor

el real que el teórico, estas diferencias se explica si la figura real de la tierra respecto la

teórica presentara un radio ecuatorial mayor que el teórico (ya que cuanto más nos

alejamos del centro de masas menor valor de la gravedad se obtiene) y en el caso de los

polos la distancia real sea menor que la establecida en el teórico (si nos acercamos

aumenta el valor de la gravedad).

W real de la

U teórico para una Tierra Esférica

Fig.2.14


27

2.5. Potencial de la Gravedad.

En el capítulo anterior hemos considerado que la masa de la Tierra se encontraban

distribuida en el interior de una esfera, y hemos calculado los radios por latitudes de esa

superficie equipotencial, obteniéndose como resultado una figura de la Tierra elipsoidal.

Los primeros en realizar estas consideraciones sobre la forma de la Tierra fueron

Newton y Huyghens, los cuales predijeron que la actuación combinada de la fuerza

gravitacional y centrífuga sobre una masa liquida tenía como resultado una figura

achatada por los polos.

Se realizaron mediciones entre diferentes puntos de la superficie Terrestre, para

resolver en función de la diferencia de latitudes y la distancia entre los puntos el radio

Terrestre. Paradójicamente las primeras mediciones que se realizaron indicaban, que el

achatamiento de la Tierra era ecuatorial (Fresnel; Paris-Amiens 1525, Picard y Cassini;

Hasta Perpignan 1672). Finalmente en el s.XVII se opta por realizar dos expediciones

que resolviesen la incertidumbre, una a los Polos (Laponia) dirigida por Maupertius y

Clairaut y otra al Ecuador dirigida por Bouguer y La Condomine (Peru) para resolver el

valor del radio en cada sitio. Finalmente en estas expediciónes se confirmo la forma

predicha por Newton y Huyghens, la figura de la Tierra era achatada por los polos

siendo el aplanamiento observado de 1/266.

Sin embargo en este capítulo no vamos a realizar ninguna consideración a priori

sobre la figura de la Tierra (en 2.4 partíamos de una Tierra esférica con masa M). Ahora

se pretende obtener una ecuación polinómica para el potencial U de forma general, que

aplicando un valor a los coeficientes del polinomio resolvamos el valor del potencial

independientemente de la disposición de las masas que presente la Tierra.

Tierra achatada por los Polos

Tierra achatada por el Ecuador

Fig.2.15

28

Si la Tierra tiene una masa M y su potencial gravitatorio es V, el Potencial de la

gravedad U está formado por la suma de este potencial y el de la fuerza centrífuga Φ

)55.2(21 222 θω senrVVU +=Φ+=

En primer lugar vamos a resolver una ecuación general para V, ya que conocemos

que V cumple la ecuación de Laplace 0=∆V

En el caso que nuestro sistema de coordenadas vengan expresado en coordenadas

esféricas adquiere una nueva expresión diferente a (2.31) y (2.31a), por los mismos

motivos que hemos visto en el capítulo 2.4 en la fórmula (2.47), esta expresión es la

(2.56)

)56.2(011

2

2

2 =∂

∂∂∂

+∂

∂∂∂

=∆θ

θθ

θ

Vsen

senrr

r

Vr

rV

En este caso hemos considerando que el potencial V tiene simetría con respecto al

eje de rotación de la Tierra (la gravedad en el modelo que estamos planteando no varía

con la longitud), con lo cual V sería función únicamente de r y θ, y se establece la

ecuación (2.56) en derivadas parciales.

Como ya hemos mencionado al principio del capítulo lo que estamos buscando es

una ecuación general para V independientemente de la distribución de masas que tenga,

la ecuación (2.56) constituye una importante información, una forma de resolver está

ecuación en Cálculo es a través del método de separación de variables, según este

método, V adoptara una solución del tipo

( ) ( ) ( )( ) )57.2(coscos, 1 θθ nnnn

nn QBPArrV += −−

donde V vendrá dada por una combinación lineal de los términos que se hallan

dentro del paréntesis

r es la distancia desde el origen del SR al punto considerado,Pn(cosθ), Qn(cosθ) son

los Polinomios de Legendre de Primera y Segunda clase los cuales son perfectamente

conocidos y n es el orden del Polinomio.

( ) )58.2(1cos32/1

cos

1

22

1

0

−=

==

θθ

P

P

P

An y Bn son los coeficientes de un Polinomio los cuales son función de cómo se halla

distribuida la masa en la Tierra.


29

El siguiente paso es resolver que combinación lineal de 2.57 es la que configura la

función V que estamos buscando. Para ello acudimos a las propiedades del potencial

que hemos visto en el capítulo 2.2.2.1, la primera establece que limr→∞ V =0, esta

condición establece que las potencias de r a utilizar sean las negativas ya que en el caso

de utilizar las potencias positivas entonces limr→∞ V = ∞.

Los polinomios de segunda clase también son eliminados, por no estar acotados para

los valores extremos del cos θ. Por lo tanto se resuelve que V tendrá la forma de la

ecuación (2.59).

)59.2())(cos)(( 1 θnn

n PArV −−=

Finalmente se puede expresar V como serie en la forma:

( ) )60.2(cos),(0

1

∑∞

=

+

=n

n

n

n Pr

aArV θθ

En esta se introduce a, el radio ecuatorial de la Tierra a efectos de normalización, de

esta forma hemos resuelto la ecuación general del potencial V. El siguiente paso es

resolver el valor de los coeficientes para poder resolver los valores de V, para ello de

nuevo vamos a utilizar las propiedades del potencial.

Resolvemos en un primer lugar el valor de A0, para ello utilizamos la condición

(2.31a)

( ) ( )

( ) ( ) ....cos.cos),(.

...coscos),(

1

2

100

1

2

100

+

+=

+

+=

rPr

aArP

r

aArVr

Pr

aAP

r

aArV

θθθ

θθθ

Si ahora aplicamos la condición de límite

( ) ( ) ( )

∞→

=+

+=

r

PaArPr

aArP

r

aArVr )62.2(cos....cos.cos),(.lim 001

2

100 θθθθ

Igualando a (2.31a)

)63.2(0

0

a

GMA

GMaA

=

=

Ahora definimos una nueva constante a efectos de simplificación

GM

AaJyJ nn ==10

30

Reescribimos (2.60) con Jn

( ) ( ) ( ) )64.2(coscoscos),(0

1

0

1

0

1

∑∑∑∞

=

+∞

=

+∞

=

+

=

=

=n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n Pr

aJ

a

GMP

r

a

GM

aA

a

GMP

r

aArV θθθθ

Separando el primer sumando, la ecuación queda en la forma:

( ) )65.2(cos1

1

+=+∞

=∑ θn

n

n

n Pr

aJ

r

a

a

GMV

Finalmente la expresión 2.65 resuelve la ecuación general del potencial gravitatorio

de la Tierra, con un desarrollo en polinomios de Legendre de primera clase, con

coeficientes Jn. De esta forma, el potencial de la gravedad es:

( ) )66.2(2

cos 221

+

+= ∑+

θθ sena

rmP

r

aJ

r

a

a

GMU n

n

n

2.6. Interpretación Física de los coeficientes del desarrollo de

aproximación de primer orden.

En este capítulo vamos a resolver la ecuación del potencial no a través de la ecuación

de Laplace como hemos hecho en el anterior, la cual nos ha proporcionado una ecuación

general para V, lo haremos a través de la fórmula (2.17), y sustituiremos algún

parámetro por uno equivalente, el objeto de estas operaciones es resolver o darle

significado físico a los coeficientes del polinomio de Legendre.

Para ello consideramos la tierra formada por una masa M, contenida dentro de un

volumen V, situando el centro de coordenadas en su centro de masa. El potencial V en

x

y

z

l

r

P’(x’,y’,z’)

P(x,y,z)

ψ

r’senψ

r’.cosψ

r’

Fig.2.16


31

un punto fuera de la Tierra vendrá dado por la integral sobre la masa total del potencial

creado por cada diferencial dM. En el problema suponemos simetría respecto a λ

)67.2(),( ∫=M

l

GdMrV θ

Siendo l la distancia del punto P a cada dM, por el teorema del coseno l se sustituye

por la ecuación (2.67a).

)67.2(cos'2'222 arrrrl ψ−+=

Siendo r la distancia al origen de P, r’ la distancia al origen de dM y ψ el ángulo

entre ambas direcciones.

Ahora sustituyendo el valor de l en (2.67) obtenemos una nueva ecuación para el

potencial

)68.2(

cos'

2'

12

1

2

2∫

−+

=M

r

r

r

rr

dMGV

ψ

Como resulta que

∑∞

=

=

−+

021

2

2)69.2()(cos

'

cos'

2'

1

1

n

n

n

Pr

r

r

r

r

r

ψ

ψ

Sustituyendo los tres primeros términos del desarrollo en polinomios de Legendre

(2.58) en la ecuación (2.68) obtenemos la ecuación (2.70).

( )∫ ∫∫ −

++=M MM

dMr

r

r

GdM

r

r

r

GdM

r

GrV )70.2(1cos3

'2

cos'

),( 22

ψψθ

Vamos a recordar ciertos definiciones

físicas que nos van ser útiles en adelante. Un

concepto o definición física importante es la de

momento de inercia I respecto de un eje, esta

se define como el sumatorio, de las masas por

la distancia al cuadrado al eje

)71.2(2irimI ∑=

Se define el centro de masas como las

coordenadas donde se encuentra el centro de

gravedad de un cuerpo.

r

Fig. 2.17

32

)72.2(M

dmzgz

M

dmygy

M

dmxgx

∫=∫=∫=

Analicemos cada uno de los términos de la ecuación (2.70).

El primer término es el potencial de toda la masa concentrada en el origen (GM/r). El

segundo termino representa las coordenadas del centro de masas de la tierra, siendo s

.cosψ una coordenada medida sobre el eje r, y r una ponderación, como el centro de

masas lo hemos establecido en el origen del SR , finalmente se resuelve que el término

es igual a 0. El tercer término puede descomponerse en la forma:

( ) ( )

)73.2('23

'

1)1(3'

21cos3

'2

223

23

22

22

∫∫

∫∫

−

=−−

=−

MM

MM

dMsenrr

GdMr

r

G

dMsenr

r

r

GdM

r

r

r

G

ψ

ψψ

Operando sobre el primer término

)74.2(2

)''()''()''(2

)''()''()''(21

'

3222222

3

2222223

23

∫∫

∫∫

++=+++++

=+++++=

MM

MM

CBAr

GdMxyzxzy

r

G

dMxyzxzyr

GdMr

r

G

Siendo el segundo término el momento de inercia I alrededor del eje OP, finalmente

podemos reescribir el potencial V

( ) )75.2(32 3 ICBAr

G

r

GMV −+++=

Atendamos ahora a ciertos aspectos físicos importantes que nos ayudaran a

establecer más conclusiones a partir de (2.75). El hecho de encontrarnos un movimiento

de rotación de la Tierra “homogéneo “ alrededor del Polo es debido a que los momentos

de Inercia respecto al eje X e Y son iguales, si esto no fuese así nos encontraríamos con

una rotación no homogénea. En virtud de esto se puede resolver que A=B.

Considerando que podemos expresar el momento de inercia I en función en función

de los momentos de inercia A, B y C utilizando la relación

)76.2(222 CnBmAlI ++=

Siendo (l,m,n) los cosenos directores del eje OP. 222 )( CnmlAI ++=

Como

ϕθ senn == cos

y


33

ϕ2222 cos1 =−=+ nml

resulta.

)78.2()13)((

3332

3)1(323cos32

)cos(323

2

22

2222

22

−−−

=−++−=−+−−=−+−

=+−+=−++

ϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

senAC

CsenCAsenAA

CsenCsenAACsenCAA

CsenACAICBA

Sustituyendo el último término de (2.78) en (2.76) obtenemos una nueva expresión

del potencial la ecuación (2.79) en función de los momentos de inercia respecto a los

ejes X y Z.

( ) )79.2()13(21 2

3 −−−= ϕsenACr

G

r

GMV

Esta ecuación constituye el potencial gravitatorio de la Tierra, en aproximación hasta

términos en r-3, en función de la Masa total M y los momentos de Inercia C respecto al

eje de rotación, y a un eje ecuatorial.

Se da las circunstancias que el desarrollo en r debe ser único, quiere decir esto que

los coeficientes que multiplican las potencias de r deben coincidir, por tanto si

igualamos la ecuación (2.79) con el potencial U obtenido a través de la resolución de la

Ecuación de Laplace (2.66) obtenemos

)80.2(0 221Ma

ACJyJ

−==

Donde el coeficiente J2 se conoce como factor de forma dinámica de la Tierra, siendo

este una de las constantes fundamentales en Geodesia y Astronomía. Si en (2.79)

añadimos el potencial debido a la Fuerza Centrifuga, obtenemos para el Potencial de la

gravedad:

( )( ) )81.2(cos21

1321 2222

3 ϕωϕ rsenACr

G

r

GMU +−−−=

La ecuación (2.81) se conoce como fórmula de Mac Cullagh, expresa el Potencial de

la gravedad en función de la Masa y momentos de inercia de la Tierra y constituye una

aproximación de Primer Orden. Un análisis de la fórmula nos revelaría que coincide con

el potencial generado por una elipsoide de revolución, cuyos momentos de inercia son

A y C. En el caso que A=C el Potencial sería el generado por una Tierra esférica.

Sacando factor común GM/a y sustituyendo J2

34

( ) )82.2(cos2

132

22

23

2

+−

−= ϕϕa

rmsen

r

aJ

r

a

a

GMU

Esta ecuación expresa exactamente lo mismo que (2.81) pero en función de m (2.49)

y de J2.

2.7. Forma de la Tierra.

Llegado a este punto disponemos de una Fórmula del Potencial de la gravedad más

aproximada para la Tierra que la que hemos obtenido en el capítulo 2.4 con la ecuación

del potencial para una Tierra esférica (2.46). En el cual ya resolvimos que la forma de la

Tierra iba a ser la generada por el Potencial de la Tierra. Es por ello que ahora vamos a

realizar la misma operación que realizamos en el Capítulo 2.4. En este caso

establecemos un nivel base para el valor del Potencial U0, siendo este valor el valor del

potencial que coincide con el nivel medio de los mares. Una vez hemos fijado el valor

base del potencial, procedemos a resolver r al igual que hicimos en (2.55). En el caso

que se nos plantea ahora r quedara en función φ y de U0 por que al igual que en el

capítulo (2.4) hemos considerado que la variación de U respecto de λ es despreciable, en

este caso el despejar r es más complicado y daremos directamente su resolución final.

( ) )83.2(cos2

132

1 23

22

2

0

+−

−= φφa

rmsen

r

aJ

U

GMr

U=cte= Forma que adoptaría la superficie del mar

r

Fig. 2.18


35

Resolviendo una nueva aproximación establecemos que r=a en (2.63)

)84.2(22

321

21 2

22

0

+−++= φsenm

JmJ

U

GMr

Si establecemos el valor de U0 para el ecuador (φ=0) y (r=a) en (2.82) se resuelve

)85.2(22

1 20

++== mJ

a

GMUU e

Que sustituido en (2.84)

)86.2(22

31 2

2

+−= φsenm

Jar

Donde se han despreciado los términos de segundo orden de J2 y m.

Intentemos establecer una analogía entre la figura generada por el potencial de la

Tierra y un elipsoide de revolución de semiejes a y c.

Se define el aplanamiento del elipsoide como

)87.2()(

a

ca −=α

Y el radio vector de dicho elipsoide en aproximación de primer orden.

)88.2()1( 2φαsenar −=

Si comparamos (2.86) con (2.88) podemos resolver que la superficie equipotencial

generada por una aproximación de primer orden es la de un elipsoide, estableciéndose

que los parámetros de este son

)89.2(22

32

mJ +=α

Ahora vamos a definir una constante que establezca una relación entre los momentos

de inercia, esta la vamos a establecer con el mismo criterio con que se define el

aplanamiento terrestre,

)90.2(C

ACH

−=

a c

r

Fig. 2.19

36

El cual se conoce como elipticidad dinámica, ahora podemos reescribir J2 (2.80)

)91.2(22Ma

HCJ =

Pudiéndose sustituirse finalmente esta valor en (2.89)

)92.2(31

32

)92.2(31

32

2

2

amMa

HC

Ma

HCm

+=

=−

α

α

De esta forma hemos establecido la relación existente entre parámetros físicos y

parámetros geométricos del elipsoide con todas estas ecuaciones. Desde luego esto era

de esperar al igualar el aplanamiento (α) del elipsoide con los coeficientes de campo en

(2.89), lo cual ha posibilitado finalmente el establecer la relación (2.92) y (2.92a) que

relaciona el aplanamiento con el resto de parámetros física de la Tierra m, H, C, a y M,

aquí se ve de una forma evidente que la forma de la Tierra es función de cómo se halle

distribuida la masa respecto los ejes (H y C), por supuesto de la Masa total de la Tierra,

y de la relación existente entre la fuerza gravitatoria y centrífuga.

En cualquier caso hemos resuelto que la forma de la Tierra en primera instancia es la

de un elipsoide de revolución. Quiere decir esto que podemos resolver una

aproximación al potencial de la gravedad resolviendo el generado por un elipsoide con

semiejes a y c.

Lo cierto es que la superficie generada por un elipsoide de revolución y la superficie

equipotencial real de la Tierra no son mayores de 100 m. En el caso de utilizar una

superficie esférica nos encontraríamos con diferencias de hasta 15 Km, lo cual pone de

manifiesto que una superficie idónea de trabajo a efectos de medición sobre la Tierra es

la constituida por un elipsoide de revolución.

El buen ajuste que presenta el elipsoide queda patente en los valores de los

coeficientes Jn, que para J2 es del

orden de 10-3 y para n>2 del orden

de 10-6 lo cual quiere decir que las

desviaciones respecto la figura del

elipsoide son muy pequeñas. φ

z

a

c

x

Fig. 2.20

ϕ


37

2.7.1.Latitud Geodésica.

En función de lo visto en el capítulo anterior, conviene definir la latitud geodésica,

ya que la superficie de trabajo que vamos a utilizar es la del elipsoide, se define la

latitud geodésica como el ángulo que forma la normal al elipsoide en un punto y el

plano ecuatorial.

Establezcamos la relación existente entre ambas latitudes, para lo cual en primer

lugar acudimos a la ecuación de una elipse (2.93).

)93.2(12

2

2

2

=+c

z

a

x

Como la latitud geodésica Φd está medida entre la normal a la superficie del elipsoide

y el plano ecuatorial:

)94.2(dx

dztg −=ϕ

Derivando en (2.93)

)95.2(2

2

x

z

c

a

dx

dz −=

Y sustituyendo la latitud geocéntrica se obtiene:

)96.2()1(

122

2

ϕα

ϕϕ tgtgc

atg d −

==

2.8 Modelos del campo de la gravedad

Los modelos del campo de la gravedad representan diferentes aproximaciones del

campo real de la gravedad del cual a lo largo de este tema hemos resuelto diferentes

aproximaciones estableciendo ciertas condiciones a priori, en cualquier caso hemos

visto como para llegar a ecuaciones relativamente simples hemos tenido que ir

despreciando ciertos aspectos (p.e. hemos considerado que la gravedad no tenia

variaciones con la longitud), lo cual repercute en las fórmulas en unos valores del

potencial y aceleración menos precisos. Esto implica que nos encontramos con modelos

del campo de la gravedad con diferentes precisiones.

2.8.1. Modelos estándares

Los modelos estándares de la gravedad deben proporcionar un cálculo sencillo de los

valores de la gravedad para puntos de la superficie a través de sus coordenadas, esta

característica permite una definición sencilla del campo de la gravedad. Este facilidad

38

de cálculo es viable cuando el cuerpo sobre el cual estamos calculando la gravedad y

que además la genera tiene una descripción geométrica regular. Esta figura regular debe

presentar un campo de la gravedad lo suficientemente próxima de tal forma que las

desviaciones entre la gravedad teórica del modelo estándar y la gravedad real de la

Tierra pueda ser considerada como desviaciones lineales para poder realizar cálculos de

forma sencilla.

Otro aspecto importante es que el modelo estándar tenga una distribución de la

densidad coherente con el de la Tierra, esta característica posibilita un estudio de las

desviaciones entre los valores reales y estándar de la gravedad y por que se producen.

El modelo estándar utilizado ampliamente es el elipsoide de nivel, del cual veremos

una descripción más amplia en el capítulo 3.2

2.8.2 Modelos óptimos.

Los modelos óptimos del campo de la gravedad son aquellos modelos que calculan

la gravedad de un punto sobre la superficie, dando un valor de la gravedad para dicho

punto muy cercano al valor real de la gravedad. Estos modelos se construyen a partir de

valores de gravedad observados. En este caso la superficie de nivel que representa el

campo de la gravedad no es regular, no presenta una definición geométrica sencilla, lo

cual es lógico ya que el campo de la gravedad no presenta una definición geométrica

sencilla.

Usualmente para la representación de estas superficies de nivel más complejas se

acude a la resolución de la ecuación de Laplace pero en este caso la solución viene

dada por un polinomio especial el cual tiene en cuenta que la gravedad tiene variaciones

también en longitud. Este polinomio es conocido como la expansión en armónicos

esféricos del potencial V (2.97). La superficie generado por este polinomio se conoce

como esferoide de nivel de grado l.

Cl,m Sl,m son coeficientes y Pl,m(cosθ) son las funciones asociadas de Legendre donde

l y m son el grado y orden de la función respectivamente. Las funciones asociadas de

Legendre describen el comportamiento de V en la superficie de una esfera unidad, esta

función establece una compartimentación de la Tierra, quedando esta con valores

( ) )97.2()(cossencos1)(2 0

,,,

+

+= ∑ ∑∞

= =l

l

m

mlmlml

l

PmSmCr

a

r

GMrV θλλ


39

positivos y negativos. Cuanto mayor sea el grado (l) mayor será la compartimentación y

una mayor aproximación al campo de la gravedad obtendremos.

Otra representación de un modelo optimo serría el que hemos resuelto en el capítulo

2.5 y cuya ecuación final viene dada por (2.66), este modelo presenta la peculiaridad de

que no sufre variaciones de campo a lo largo de los paralelos, lo cual implica ciertas

deficiencias en el modelo ya que esto no es real.

En la figura 2.21 observamos una representación plana exagerada de los dos modelos

óptimos propuestos aunque, sin embargo estas aproximaciones planas también suelen

ser utilizadas de una forma funcional .

La superficie de nivel generada por un modelo armónico esférico (con un grado l),

suele ser la representación matemática más aproximada que podemos realizar del geoide

(figura de la Tierra). La definición de este modelo requiere el conocimiento de un

extenso número de parámetros (Cl,m Sl,m) los cuales se obtienen a través de los datos de

la gravedad obtenidos sobre la Tierra, la superficie de nivel que presenta este polinomio

(representación de 2.97) es muy compleja por la adaptación que tiene que el polinomio

a un campo natural, y se conocen como superficies de alto orden. Estos modelos son

muy útiles en los campos de la geociencia, oceanografía y navegación.

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Tema 2. Teoría del Campo Gravífico. - personales.upv.espersonales.upv.es/jpadin/tomo21.pdf · Tema 2. Teoría del Campo Gravífico. 5 complicada, ya que hay procurar dos puntos