LOLA MORALES – 4ºE IES Clara Campoamor (Móstoles)

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2.1. Operaciones. • Para sumar o restar polinomios, basta con sumar o restar los monomios semejantes. • Para multiplicar dos polinomios, deberemos multiplicar cada monomio del primero por cada

monomio del segundo. • Recuerda que los productos notables son productos de polinomios. • Para dividir dos polinomios cualesquiera procedemos como con la división de números. • Si queremos dividir un polinomio 𝑝(𝑥) entre otro de grado 1 de la forma 𝑥 − 𝑎 podemos

utilizar la regla de Ruffini y obtendremos directamente el cociente (un polinomio de un grado menos) y el resto (un número). Si el resto es 0, la división es exacta.

• Para conseguir el solo el resto, aplicamos el Teorema del resto: el resto de dividir 𝑝 𝑥 entre 𝑥 − 𝑎 es igual a 𝑝(𝑎), es decir, sustituir en 𝑝(𝑥) la 𝑥 por el número 𝑎.

Ejercicios:

1. Efectúa las siguientes operaciones con polinomios:

a. !!𝑥 − 1 · 𝑥! − 𝑥 − 𝑥! ! =

b. 𝑥𝑦! + 2𝑥!𝑦! ! =

c. 3x! − 2x · 3x! + 2x =  

2. Dados los polinomios 𝑝 𝑥 = 𝑥! − 2𝑥 + 1, 𝑞 𝑥 = 𝑥! − 2𝑥 y 𝑟 𝑥 = 𝑥 − 2, realiza las siguientes operaciones:

a. 𝑝 𝑥 − 𝑞(𝑥)

b. 𝑝 𝑥 · 𝑞(𝑥)

c. 𝑞 𝑥 !

d. 𝑞 𝑥 · 𝑟 𝑥 !

e. 𝑝 𝑥 : 𝑞 𝑥

3. Divide el polinomio 𝑝 𝑥 = 3𝑥! − 𝑥! + 2𝑥 − 3  entre 𝑥 + 3  dando el cociente y el resto.

V {̂ æ! GK! Ú[ |ã} [ { ã[ •! ˆ ! ~¦æ&&ã[ } •̂! æ|* à̂ ¦æã&æ•Ë! ! • Operaciones. • Factorización y raíces. • Divisibilidad y MCM. • Fracciones algebraicas.

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4. Halla el valor numérico de 𝑝 𝑥 = −𝑥! + 2𝑥! − 𝑥! + 1 para 𝑥 = 2 y 𝑥 = −1. ¿A qué corresponden estos valores?

5. Halla el valor de 𝑚 para que al dividir el polinomio 𝑝 𝑥 = −2𝑥! − 3𝑥! + 5𝑥 − 2𝑚 + 6 entre 𝑥 − 2 se obtenga como resto −13 (haz el ejercicio mediante el teorema del resto y mediante Ruffini).

6. Calcula k para que los restos de dividir el polinomio 𝑥! − 2 𝑘 − 1 𝑥! + 𝑥 − 1 entre 𝑥 − 2 y entre 𝑥 + 1 sean iguales.

7. Halla 𝑘 para que el polinomio 3𝑥! − 1 − 2𝑘 𝑥! − 𝑥 − 1 sea a. divisible entre 𝑥 + 2 b. dé como resto −5 al dividirlo entre 𝑥 + 1

8. Halla un polinomio de primer grado que al dividirlo entre  𝑥 + 1, el resto sea 1, pero al dividirlo entre 𝑥 − 2, el resto sea 7.

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9. Calcula 𝑚 y 𝑛 para que el polinomio 𝑝 𝑥 = 𝑥! +𝑚𝑥! + 𝑛𝑥 + 4 sea divisible entre 𝑥 − 1 y dé el mismo resto al dividirlo entre 𝑥 − 2 y 𝑥 + 3.

10. Determina un polinomio de grado 4 que tenga por raíces 2 y -2 y que sea divisible entre 𝑥 + 1 y 𝑥 − 3. ¿Es único?

2.2. Factorización y raíces. Si un polinomio 𝑝 𝑥 puede dividirse de forma exacta entre otro de la forma 𝑥 − 𝑎, diremos que

𝑥 − 𝑎 es un factor de 𝑝(𝑥) . Esto se puede comprobar haciendo la división larga, por Ruffini obteniendo resto 0 o mediante el teorema del resto obteniendo 𝑝 𝑎 = 0, es decir, el resto=0.

En caso de que 𝑝 𝑎 = 0 diremos que el número 𝑎 es una raíz del polinomio 𝑝(𝑥). Un polinomio de grado 𝑛 puede tener como máximo 𝑛 raíces.

Ejercicios:

1. Factoriza los siguientes polinomios lo máximo posible e indica cuáles son sus raíces. a. 𝑥! + 2𝑥! − 𝑥 − 2

b. −7𝑥! + 35𝑥! + 7𝑥 − 35

c. 6𝑥! − 11𝑥! + 6𝑥 − 1

d. 𝑥! + 𝑥! − 6𝑥!

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e. 𝑥! − 3𝑥! + 5𝑥 − 15

f. 𝑥! + 2𝑥! − 3𝑥! − 4𝑥! + 4𝑥

g. 81 − 𝑥!

h. 𝑥! − 1

2. Encuentra un polinomio de grado 3 cuyas raíces sean 𝑥 = 1, 𝑥 = −1 y 𝑥 = 0.

2.3. Divisibilidad y MCM.

Cuando tenemos dos polinomios factorizados al máximo, podemos calcular su mínimo común múltiplo como lo hacemos con números: todos los factores que aparecen al mayor exponente.

Ejercicios:

1. Descompón los siguientes polinomios y calcula el mcm de cada pareja: a. 𝑝 𝑥 =  𝑥!  –  4                              𝑞(𝑥) =  𝑥!  –  4𝑥   + 4  

b. 𝑝 𝑥 =  𝑥! − 2𝑥                        𝑞 𝑥 =  𝑥! − 7𝑥 + 10

c. 𝑝 𝑥 =  𝑥! + 𝑥                            𝑞 𝑥 =  𝑥 − 3

2.4. Fracciones algebraicas.

Ejercicios:

1. Opera y simplifica:

a. !!− !

!!+ !

!!

b. !!!!

+ !!!!

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c. !!!!

  ·   !!!!

d. !!!− !!!

!!

2. Simplifica las fracciones siguientes y calcula después A – B: A = !!!!!!!!!

B = !!!!!!!

3. Recuerda las identidades notables, descompón en factores y simplifica lo máximo posible:

a. !!!!!!! ! =

b. !!!!!!!!!!!

=

c. !!!!!!!!!!!!

=

d. !!!!"!!!!"!!"!

=

4. Opera lo máximo posible, simplificando cuando puedas:

a. !!!!!!

− !!!!

=

b. !

!!!!!

!!!!!

!!!=

c. !!!!!!

− !!!!!!!!

· 𝑥 + 3 =

d. !!!!!!!

− !!!!!!!!!

=