ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE CAMPOS

Hemos Tratado de dos clases de cantidades o

magnitudes fsicas: escalares y vectoriales. Extendemos ahora la discusin a situaciones en las que la cantidad fsica - escalar o vectorial- vara de un punto a otro del espacio. Si el valor de la cantidad fsica en cada punto depende de la posicin (x, y, z) del punto, la cantidad fsica se dice que es una funcin puntual (es una funcin que depende de las coordenadas espaciales x, y, z. La asociacin de un valor particular de la cantidad fsica con cada punto de una regin del espacio, constituye un campo. Cuando la cantidad asociada es un escalar, se trata de un campo escalar. Cuando la cantidad asociada es un vector se tratar de un campo vectorial.

Los campos son muy tiles para describir situaciones

fsicas en las que el valor de una cantidad escalar o vectorial en un punto particular, depende de su localizacin en el espacio. En muchos casos la descripcin involucra la forma en que las cantidades fsicas dependen de su posicin. Por ejemplo, la fuerza experimentada por un electrn en presencia de otro, depende de la posicin relativa de ambos; de la misma forma, la presin en un punto de una masa lquida est determinada por la posicin del punto. Para describir estas situaciones y otras muchas similares es til emplear el concepto de campo.

Algunas caractersticas de los campos escalares y vectoriales se comprenden mejor en trminos de propiedades que dependen de las derivadas de los campos. Las ms importantes de estas propiedades son:

El Gradiente

De los campos escalares El Laplaciano

La divergencia De los campos vectoriales El rotacional

Son propiedades fundamentales de los campos que pueden ser utilizadas para caracterizarlos y describir su influencia.

El vector nabla como operador Cuando opera sobre una expresin de un campo escalar en coordenadas cartesianas lo transforma en un campo vectorial que es el gradiente de un campo escalar.

i j kx y z

! " ! " ! "# " = + +

! ! !

r

----------------------------------------------------------------- Transforma la expresin de un campo vectorial en una nueva expresin que representa un campo escalar que es la divergencia de un campo vectorial dado.

Operador que transforma la expresin que representa un campo vectorial en una que representa otro campo vectorial que es el rotacional del campo dado.

Laplaciana

La laplaciana de un campo en un punto particular es una medida del grado en que el valor del campo en ese punto difiere del valor promedio del campo en la vecindad del punto.

Para campos vectoriales, el laplaciano indica la diferencia en direccin y magnitud de un campo en un punto del valor promedio de su direccin y magnitud en la vecindad del punto.

Si es una magnitud cualquiera en un punto es

diferente del valor promedio de en la vecindad de ese punto, algo debe existir all para originar ese cambio de. Ese algo que causa que crezca o decrezca en el punto puede ser considerado como una fuente o un sumidero del campo. Por ejemplo, una fuente de calor constante de Q unidades de calor por unidad de volumen y por unidad de tiempo produce una concentracin de temperatura.

CARACTERSTICAS MS IMPORTANTES DE LOS OPERADORES DIFERENCIALES VECTORIALES La importancia de los operadores diferenciales: gradiente, divergencia y rotacional radica en que dichos operadores son invariantes en el giro de los ejes coordenados.

El Gradiente: Trata de la forma en que un campo escalar vara de un punto a otro. El gradiente es perpendicular a las lneas equiescalares del campo y est dirigido hacia los valores crecientes del escalar que caracteriza al campo.

kz

jy

ix !

!+

!

!+

!

!="

####

r

- Es normal a las superficies de nivel

- Est orientado en el sentido creciente del campo escalar e indica la direccin de mxima variacin del escalar.

- Es independiente del sistema de referencia elegido

Los gradientes de magnitudes escalares con frecuencia generan flujos diversos: - Un gradiente de concentracin genera un flujo de

materia, que es lo que corrientemente conocemos como difusin.

- Un gradiente de temperaturas da lugar a un flujo de calor.

- Un gradiente de potencial elctrico da lugar a un flujo de cargas.

DIVERGENCIA.- Se refiere a campos vectoriales y su expresin es:

z

a

y

a

x

aa z

yx

!

!+

!

!+

!

!="#

rr

- Representa fsicamente el flujo saliente por unidad

de volumen (ver Teorema de Gauss)

- 0=!"= aaDivrrr

(campo solenoidal) ROTACIONAL.- Se refiere tambin a campos vectoriales

ky

a

x

aj

x

a

z

ai

z

a

y

a

aaa

zyx

kji

a xyzxyz

zyx

!!"

#$$%

&

'

'(

'

'+!!

"

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&

'

'(

'

'+!

!"

#$$%

&

'

'(

'

'=

'

'

'

'

'

'=)*

rr

- El rotacional es independiente de la eleccin de coordenadas.

- La condicin para que un campo vectorial derive de un potencial escalar, tal como A = grad , es que su rot A = 0 (campo irrotacional) y no puede tener lneas de campo cerradas.

- Fsicamente representa el grado de retorcimiento o

arrollamiento de las lneas del campo. (recibe tambin los nombres de rotor o vrtice)

Divergencia y Rotacional: Un campo vectorial puede cambiar de un punto a otro del espacio, pero la descripcin matemtica de este campo es ms compleja. La razn de esto es que si nos movemos de un punto a otro en un campo vectorial, la cantidad vectorial descrita por el campo puede cambiar tanto en direccin como en magnitud. Hay dos caractersticas del campo que describen la derivada de un campo vectorial: la divergencia y el rotacional; son tan importantes, que para situaciones estacionarias pueden considerarse como las fuentes o los sumideros (fuentes negativas) de cualquier campo vectorial.

Existen dos tipos de fuentes o sumideros de campos vectoriales: fuentes escalares y vectoriales. Se demuestra, que la divergencia de un campo vectorial es la densidad de la fuente escalar que da origen a la parte irrotacional del campo vectorial. El rotacional de un campo vectorial es la densidad de la fuente vectorial que da origen a la parte solenoidal de un campo vectorial.

LAPLACIANA. es un operador (puede operar sobre un escalar o sobre un vector).

- Sobre un escalar: 22

2

2

2

2

2

zyx !

!+

!

!+

!

!="=#

$$$$$

- Sobre un vector: kajaiaaa zyx 2222 !+!+!=!="rr

Que es lo mismo que:

kz

a

y

a

x

aj

z

a

y

a

x

ai

z

a

y

a

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aaa zxzz

yyyxxx

!!

"

#

$$

%

&

'

'+

'

'+

'

'+

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"

#

$$

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&

'

'+

'

'+

'

'+!

!

"

#

$$

%

&

'

'+

'

'+

'

'=(=)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2 rr

Fsicamente se identifica con la anomala local.

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA DE GAUSS (Mecnica de Br, pg. 29; Goldemberg I, pg.

405) Procedemos a calcular la expresin analtica de la divergencia de un vector, por ejemplo el a

= ax i + ay j + az k. Sea el punto O (x,y,z) del espacio donde se quiere calcular la divergencia. Tomamos un paraleleppedo elemental de aristas:

dx, dy, dz dV = dx.dy.dz.

El flujo que sale a travs del paraleleppedo lo calculamos empezando por ver el que sale por las caras opuestas 1 y 2. Las componentes de a en esa direccin y en los dos sentidos indicados por las flechas en 1 y 2 son:

En el punto (1) ...2

1

0

+!

!" dy

y

aa

y

y

O(x,y,z)

En el punto (2) ...2

1

0

+!

!+ dy

y

aa

y

y

Sumando algebraicamente estas dos componentes resulta:

...)2

1(

0+

!

!+ dy

y

aa

y

y + ...)2

1(

0+

!

!" dy

y

aa

y

y = dyy

ay

!

!

que es la componente de a en la direccin de y. Los trminos del primer miembro de la expresin anterior, son desarrollos en serie de Taylor, donde se desprecian los trminos de 2 orden en adelante. La variacin de flujo en esa direccin (y) ser:

dzdydxy

adzdxadSad

y

yyy!

!==="

Anlogamente, en los otros dos pares de caras opuestas se cumplir que:

dzdydxx

adzdyadSad x

xxx!

!==="

dzdydxz

adydxadSad z

zzz!

!==="

Por tanto:

dVz

a

y

a

x

adddd z

yx

zyx)(

!

!+

!

!+

!

!="+"+"="

Pero, !!"

#$$%

&

'

'+

'

'+

'

'=()

z

a

y

a

x

aa z

yxrr

Luego: dVadVz

a

y

a

x

adSad z

yx rr!"=##

$

%&&'

(

)

)+

)

)+

)

)=!=*

Sumando el valor del flujo para todos los cubos elementales (integrando), resulta:

!! !!! "#="=$ dVadSa

que es la expresin del Teorema de Gauss, tambin conocido como Teorema de la Divergencia. De la expresin anterior se deduce el concepto fsico de divergencia, que resulta ser igual al flujo por unidad de volumen. TEOREMA DE STOKES (o Teorema del rotacional) (STOKES 1819-1903) Una integral curvilnea se transforma en integral doble:

! !! "=" Sdarotldarrrr

Por tanto, el rotacional en cualquier punto O, mide el grado en que el valor considerado (a en este caso) circula alrededor de este punto O. El grado de retorcimiento o arrollamiento de las lneas de flujo de a. As, si el elemento de rea perpendicular al eje X es dy dz, la circulacin vale

!!!! ! ""+=#4321

dzadyadzadyalda zyzy

rr

dydzz

aadya

y

yy! ! ""#

$%%&

'

(

()=

1

02

1

Z

Y

XOdz

dy

+ dzdyy

aadza zzz! ! ""

#

$%%&

'

(

()=

2

02

1

- dydzz

aadya

y

yy! ! ""#

$%%&

'

(

()=

3

02

1

- dzdyy

aadza zzz! ! ""

#

$%%&

'

(

()=

4

02

1

la suma algebraica de todos los trminos anteriores nos da como resultado

dzdyz

a

y

alda

yz

!!"

#$$%

&

'

'(

'

'=)*

rr entendiendo el clculo de la

circulacin hallada para el recorrido de la figura. La extensin de este clculo a elementos de rea perpendiculares a los ejes Y y Z nos dan expresiones anlogas a la hallada. Es decir:

dzdxx

a

z

azx !"

#$%

&

'

'(

'

' y dydxy

a

x

axy

!!"

#$$%

&

'

'(

'

'

de forma que:

! !! "=" Sdarottotalldarrrr

)(

El Teorema de Stokes expresa que la circulacin de un vector a lo largo de un contorno cerrado C es igual al flujo de su rotacional a travs de la superficie S limitada por dicho contorno. Ejemplo de campo escalar: La presin atmosfrica, p, es una magnitud fsica escalar que en cada punto de la atmsfera tiene un valor, variable, en general con el tiempo, t . As, pues la presin atmosfrica es una funcin de las coordenadas espaciales. Si consideramos el conjunto de los puntos en los que p tiene un valor determinado p1, la ecuacin:

1),,( pzyxp = representa una superficie. Estas superficies, lugar geomtrico de los puntos en los que una magnitud fsica escalar tiene un valor determinado, se llaman equiescalares o isotmicas. En el ejemplo de referencia se llaman isobaras (si fuera la variable temperatura seran isotermas). Dos superficies equiescalares de distinto valor de la magnitud escalar nunca se cortan, ya que de lo contrario los puntos de corte corresponderan a dos valores diferentes de la magnitud. Es costumbre dividir el campo en superficies equiescalares con incrementos iguales de la magnitud escalar. En los mapas del tiempo la distribucin de la presin a nivel del mar se representa por lneas isobaras, (interseccin de las superficies isobaras con la superficie del mar), para incrementos de p de 4 mb (4 hPa). En los campos escalares en cada punto el gradiente es perpendicular a la superficie equiescalar. El concepto de laplaciana est ligado a los campos escalares en el sentido de que una magnitud escalar no puede tener mximos o mnimos en una regin donde se anule su laplaciana. Ejemplos de campos vectoriales: Existen muchos campos vectoriales entre ellos el campo gravitatorio, el magntico, el campo elctrico y en general todos los campos de fuerzas. Muchos campos vectoriales se caracterizan porque un punto material est sometido a una fuerza cuya direccin, sentido y magnitud dependen de de la posicin del punto y de una magnitud escalar relacionada con el punto material. Este escalar es la masa en el campo gravitatorio, y la carga en el campo elctrico. Ello permite poner:

donde: F, es la fuerza que acta sobre el punto material. e, es la medida del escalar ligado al punto

A, se conoce como intensidad del campo. En realidad es fuerza que acta en el punto material cuando el escalar vale la unidad.

Este modo de describir el fenmeno fsico de la interaccin de partculas es el concepto clsico de campo. Campos que derivan de un potencial.- Si la intensidad de un campo A se expresa mediante el gradiente de una funcin escalar U, UA != , se dice que el campo deriva de un potencial. Basta con conocer slo el escalar U para que podamos conocer el campo vectorial A. En este tipo de campos que derivan de un escalar, la circulacin del vector intensidad a lo largo de un camino cerrado es nula. Se dice entonces que el campo es conservativo y se cumple por tanto que:

!!! !"

#$%&=#%=# dSAUUdrUdrA2

112

si el rot A = 0 se anulan ambos miembros de esa ecuacin. Por tanto, la condicin necesaria y suficiente para que un campo sea conservativo es que su rotacional se anule. Ejemplo de campo conservativo.- Sea un campo de temperaturas producido por un horno (hogar), y frente a l imaginemos, a una cierta distancia, superficies isotermas planas (ver figura) que estn separadas entre s 1 m y que inicialmente tienen temperaturas de: 19 C, 18 C,17 C, etc., es decir, el valor del escalar (en este caso la temperatura) va disminuyendo

AeF !=

de izquierda a derecha 1 C cada metro de longitud, esto

es 1

1

C

m.

19

A B C

1 m18 17

Hogar y superficies isotermas separadas 1 m y convalores de temperatura sucesivamente decrecientes,1 grado C de izquierda a derecha.

La expresin que se deduce y que relaciona las derivadas total, local y el trmino advectivo es:

(1)dT T

v Tdt t

!= + "#

!

donde: dT

dt es la derivada total

T

t

!

! es la derivada local

v T!" es el trmino advectivo La variacin local o derivada local, es la variacin que experimenta un observador situado en un punto fijo (por ejemplo el punto A) a lo largo del tiempo. Si por ejemplo en

A va aumentando la temperatura a razn de 1

1

C

hora, como

consecuencia de que el horno aumenta su temperatura,

esa sera la variacin local. Esto quiere decir que en A, pasada una hora la temperatura pasara de 19 C a 20 C, en B ocurrira otro tanto y la temperatura durante esa hora pasara de 18 C a 19 C y consecuentemente en C la temperatura al final de esa hora sera de 18 C, etc. Se llama trmino advectivo al producto escalar de la velocidad por el gradiente de la variable que determina el campo, en este caso la temperatura. Donde T! representa la variacin de temperatura con la posicin. Por ejemplo:

1

1

CT

m! = . Si alguien que se encontrara inicialmente en A se

moviera hasta B a razn de 1 metro en 1 hora (v = 11

m

hora),

resultara, aplicando (1), que: 1 1

1 1

m CT

hora m! = " , el trmino

advectivo globalmente variara en 1

1

C

hora, es decir, variara

lo mismo que la derivada local (son homogneos) por eso se pueden sumar ambos trminos. Si no hay trmino advectivo: dT T

dt t

!=

!.

Si el campo es conservativo 0dTdt

= , lo que implica que T

v Tt

!= " #$

!, es decir, se equilibran la derivada local y el

trmino advectivo. Ejemplo: Si el objeto que est inicialmente en A a 19 C,

pasa a B (18 C) movindose a razn de 1

1

m

hora, resultar

que el grado que pierde por desplazamiento horizontal hacia la derecha (por adveccin), lo gana por variacin local y se queda con la misma temperatura. Para el observador, en las condiciones indicadas, no ha cambiado nada, la temperatura para l siempre es la misma. El campo de temperaturas es conservativo.