Tema 10

Expresións alxébricas (Fraccionarias e radicais)

FRACCIÓNS ALXÉBRICAS

1ª Parte

Fraccións alxébricas. Valor

numérico

Unha expresión alxébrica non é

máis que unha combinación de

números e letras ligados polos

símbolos de operacións

matemáticas, como:

O valor numérico de calquera

expresión alxébrica obtense ao

substituír as “letras”

(indeterminadas en linguaxe

matemática) por valores

numéricos e efectuar as

operacións indicadas, e esta é

unha operación corrente en

matemáticas:

Cálculo da superficie

do círculo de radio 1

Expresión

Valores das indeterminadas

Valor numérico final

Solución de

x2+ 2x -3=0

FRACCIÓNS ALXÉBRICAS

Unha fracción alxébrica é un

cociente de polinomios

EXEMPLO

S:

os tipos de fraccións alxébricas

están ligados aos tipos de

polinomios: nos non imos estudar

máis que os cocientes de

polinomios enteiros, e

preferentemente cunha soa

indeterminada.

Como para calquera expresión

alxébrica, o valor numérico

dunha expresión alxébrica é o

número que se obtén cando se

substitúe cada unha das

indeterminadas por un valor

numérico, e se efectúan as

operacións.

Expresión

Valor da

indeterminada

Valor

numérico

final

Exemplo 2

EXEMPLO 3:

x-5 -0,3125-4 -0,44444444-3 -0,75-2 -2-1 #¡DIV/0!0 01 0,252 0,222222223 0,18754 0,165 0,13888889

Debe lembrarse que o valor

numérico dunha expresión

cambiará se cambiamos os

valores asignados ás

indeterminadas.

En ocasións non é posible

calcular este valor

Expresión

Valor da indeterminada

Valor numérico final

Non pode calcularse o

resultado dunha fracción de

denominador nulo! SUXESTIÓN: Comproba os resultados

da táboa utilizando unha calculadora.

Tomemos por exemplo

cambiemos os valores

asignados ás “letras” e

calculemos valores numéricos.

EXPRESIÓNS INDETERMINADAS.

Dise dunha expresión que é

indeterminada cando o seu cálculo

non é posible.

Os matemáticos decidiron que

as seguintes expresións son

expresións indeterminadas:

A indeterminación 0/0 é en

realidade un caso particular da

primeira (k/0) e é a única coa que

habemos de tratar aquí.

Unha raíz de índice par e radicando

negativo como:

Contrariamente ao que puidese

pensarse, non é unha

expresión indeterminada.

A raíz citada si pode calcularse.

De feito, o problema de cálculo

das raíces cadradas de

números negativos deu orixe a

unha nova clase de números,

os números complexos, cos

cales é posible calcular a raíz

de calquera índice de calquera

número.

Os números complexos,

intuídos xa por Herón de

Alexandría no século I antes de

Cristo, e popularizados por

Gauss no XVIII, orixinaron unha

rama especial das matemáticas

coñecida como análise

complexa.

Fraccións alxébricas

equivalentesA definición corrente de faccións

numéricas equivalentes establece

que o son aquelas cuxo valor

coincide.

No caso de fraccións alxébricas

iso significaría que o seu valor

numérico debe ser o mesmo, para

calquera valor polo que se

substitúa a indeterminada.

Consideremos as fraccións:

Se consideramos os valores

numéricos destas fraccións en

distintos casos observamos

x

-5 -0,3125 -0,3125

-4 -0,44444444 -0,44444444

-3 -0,75 -0,75

-2 -2 -2

-1 #¡DIV/0! #¡DIV/0!

0 0 #¡DIV/0!

1 0,25 0,25

2 0,22222222 0,22222222

3 0,1875 0,1875

4 0,16 0,16

5 0,13888889 0,13888889

En xeral os valores coinciden,

con todo, existen valores que

ofrecen discrepancias, xa que

non se pode calcular o valor

numérico da fracción nese caso.

Para evitar este problema

defínese a equivalencia de

fraccións alxébricas como

Entón:

Multiplicando en cruz en:

Obtense:

Comprobándose que efectivamente

son equivalentes

Obtención de fraccións equivalentes

O procedemento para obter fraccións

alxébricas equivalentes é similar ao

procedemento para obter fraccións

numéricas equivalentes: se

multiplicamos ou dividimos

numerador e denominador dunha

fracción alxébrica por un mesmo

polinomio, obteremos unha fracción

alxébrica equivalente:

UN EXEMPLO SINXELO

Para obter unha fracción

equivalente a:

Simplemente multiplicamos

numerador e denominador

polo mesmo polinomio

Ao efectuar as operacións

indicadas obtemos:

Fraccións

equivalentes

A simplificación de fraccións

consiste no contrario: factorizar as

expresións complexas, e suprimir os

factores comúns a numerador e

denominador EXEMPLO:

Simplifiquemos a fracción:

SOLUCIÓN:

Factorizamos numerador e

denominador polo procedemento

que o faga máis simple:

a) Resolvendo a ecuación:

b) Utilizando a factorización de

polinomios

Simplificación de fraccións

alxébricas

Facemos o mesmo co

denominador:

1 5 6

1 2 0

-3-3

-2

1 0

X+3

X+2

Factores

de

-

6

-

2

Obtemos:

Fraccións equivalentes

Fracción simplificada

METODO 1 METODO II

Evidentemente non é necesario

factorizar empregando ambos

métodos: cun é suficiente.

En ocasións poderemos

factorizar de forma aínda máis

sinxela, se podemos utilizar

igualdades notables

Suma e diferenza de fraccións

alxébricas

Para efectuar unha suma de

fraccións alxébricas procederemos

basicamente do mesmo xeito que

para efectuar unha suma de

fraccións correntes

1.- Factorizamos denominadores:

2.- Mínimo común múltiplo dos

denominadores:

3.- Transformamos a expresión.

4.- Efectuamos a suma

Exemplo:

1.- Factorizamos denominadores:SUMA

2.- Mínimo común múltiplo dos

denominadores:

Factores non comúns

Factores comúns elevados ao

maior expoñente

Mínimo=(x-1)(x+2)(x+3)

3.- Transformamos a expresión. 4.- Efectuamos a suma

DIFERENZA (RESTA)

Dado que a diferenza non é senón a

suma do oposto, o procedemento

para efectuar unha resta é o mesmo

que para efectuar unha suma, igual

que ocorría coas fraccións

numéricas.

1.- Factorizamos

denominadores:

2.- Mínimo común múltiplo dos

denominadores:

3.- Transformamos a

expresión.

4.- Efectuamos a resta

1

2

34

EXEMPLO:

Produto e cocienteA regra para multiplicar

fraccións alxébricas é a mesma

que a regra do produto fraccións

numéricas. Multiplícanse os

numeradores, que formarán o

novo numerador, e por outra

banda o denominador será o

produto dos denominadores.

Analogamente ao caso anterior,

a división de fraccións

alxébricas é tamén idéntica á

división de fraccións numéricas.

Multiplícanse os dous extremos

para obter o novo numerador, e

o produto dos medios daranos o

denominador.

EXPRESIÓNS RADICAIS

2ª parte

DEFINICIÓN. VALOR

NUMÉRICO E

EQUIVALENCIA DE

RADICAIS

Clase 76

Unha expresión radical é unha

expresión que inclúe unha raíz. A

raíz pode englobar varios termos ou

pode atoparse no medio da

expresión.

Valor numérico dunha expresión

radical é o que se obtén cando se

substitúen as indeterminadas por

valores numéricos.

Valor numérico

cando x=1 e

y=2.

Substituímos as indeterminadas

polos seus valores, efectuamos as

operacións e obtemos:

x=1 y=2.

Cando se nos pida o valor

numérico dunha raíz indicaremos

o valor positivo, salvo petición

explícita.

Valor numérico cando x=2 e

y=3.

Exemplo:

Como podemos apreciar, esta

definición é formalmente idéntica a

todas as definicións de valor

numérico, con todo no caso das

raíces, presenta unha

ambigüidade, xa que as raíces de

índice par, cun valor numérico do

radicando positivo ofrecerán dous

resultados: un positivo e outro

negativo.

A equivalencia de radicais

vincúlase ao valor numérico:

poderiamos dicir que dúas

expresións radicais son

equivalentes se ambas teñen o

mesmo valor numérico

RADICAIS EQUIVALENTES

Esta definición presenta a

ambigüidade anteriormente citada

con respecto aos valores que se

obteñen en raíces de índice par e

impar. Abordaremos a continuación

o problema de determinar a

equivalencia de expresións

radicais e ver en que casos se

presenta esta ambigüidade e como

se resolve.

Obtención de expresións

radicais equivalentes.

A obtención de expresións

radicais equivalentes réxese polo

mesmo procedemento que a

obtención a obtención de radicais

numéricos

Exemplo:

Igualmente válida para expresións

radicais.

Debe terse en conta que ao dicir

expoñente do radicando referímonos

a este no seu conxunto.

No caso de radicais

complexos:

Valor numérico e equivalencia

Formalmente:

Ambas son raíces equivalentes,

como explicamos. Con todo a raíz

de índice par sempre nos ofrecerá

dous valores como resultado,

mentres que a de índice impar

soamente nos ha dar un. Malia isto,

mantemos a definición de

equivalencia, xa que un dos

resultados da raíz par sempre

coincide co resultado do índice

impar:

Con isto en conta podemos

definir as expresións radicais

equivalentes como:

SIMPLIFICACIÓN E

REDUCCIÓN DE RADICAIS

A ÍNDICE COMÚN.

INTRODUCIR E EXTRAER

FACTORES

Clase 77

Simplificación e redución de radicais

A simplificación e redución son

procedementos para obter radicais

equivalentes máis simples

Baséanse na propiedade:

Que pode escribirse

igualmente:

Se se multiplican ou dividen o

índice e o expoñente do

radicando dunha expresión

radical por un mesmo número

obtéñense radicais

equivalentes.

EXEMPLOS:

Radicais equivalentes a

A obtención de radicais

equivalentes pode facerse das

dúas maneiras: multiplicando

obtemos unha máis complexa,

dividindo unha máis simple.

Simplificar radicais é obter unha

expresión radical equivalente de

menor índice.

SIMPLIFICACIÓN DE RADICAIS

A simplificación de radicais consiste

en reducir ao máximo mediante este

procedemento os expoñentes do

radicando e o índice da raíz,

dividindo todos estes entre o seu

máximo común divisor, da mesma

forma que se fai con números.

Exemplo:

MCD (12,6,8,2)=2

REDUCIÓN A ÍNDICE COMÚN

é un procedemento previo a

operacións como a suma ou a

diferenza, ou á aplicación de

propiedades que permiten a

realización de operacións como o

produto ou o cociente.

realízase tomando como índice

común o mínimo común múltiplo

dos índices considerados, este

divídese entre o índice de cada

raíz e o resultado é o expoñente do

radicando

Introducir factores nunha expresión

radicalExplicaremos simplemente

o procedemento sen

xustificalo:

No exemplo

queremos introducir

x2 dentro da raíz

Para facelo debemos

elevar o factor ao índice

da raíz

Operamos as

potencias

Extraer factores dunha expresión

radicalExplicaremos simplemente

o procedemento sen

xustificalo:

So se poden extraer factores

elevados a expoñentes maiores que

o índice da raíz

Poderemos

extraer

factores x e y

porque 5 e 7

son >3

Non

podemos

extraer

factores z:

2<3

Se dividimos o expoñente interior entre

o radicando, o cociente daranos o

expoñente que sae fora da raíz, e o

resto o que queda no interior

5 3

12

7 3

21

Que escribiremos

realmente

OPERACIÓNS CON RADICAIS

Clase 78

As operacións aritméticas con

expresións radicais son

formalmente idénticas ás

operacións numéricas: as regras

que estudamos para os números

seguen sendo válidas para as

operacións con expresións

alxébricas.

Recordemos estas regras:

O produto das raíces é a raíz do

produto

1

2

O cociente das raíces é a raíz do

cociente

3

A potencia dunha raíz é igual á

raíz da potencia

4

A raíz dunha raíz é igual á raíz de

índice igual ao produto dos

índices

Estudarémolas con máis detalle

e veremos algúns casos

particulares

O produto das raíces é a raíz do

produto

1

Exemplo:

neste

caso:a=x3y b=xy2

Aplicando:

(n=2,

que se

omite)

Reordenand

o

O resultado obtido debe

expresarse extraendo todos

os factores que se poida:

En ocasións presentarásenos

o produto de radicais de

distinto índice

Nestes casos haberemos

de reducir a índice común

ambos radicais para

efectuar daquela o produto

2

O cociente das raíces é a raíz do

cociente

O cociente de expresións radicais

realízase da mesma forma que o

cociente de expresións numéricas

EXEMPLO:

O resultado obtido

debe expresarse

extraendo todos os

factores que se

poida, se é

necesario debe

racionalizarse a

expresión

Tamén aquí pode darse o

caso de cociente de

radicais con diferente

índice, Procederemos da

mesma forma:

reduciremos a índice

común e simplificaremos,

se é posible, a expresión

resultante:

3

A potencia dunha raíz é igual á

raíz da potencia

Elevar unha expresión radical a

unha potencia é o mesmo que

elevar o radicando ao mesmo

expoñente

EXEMPLO: aplicamos

Unha vez introducida a

potencia no radicando

operamos seguindo as regras

das potencias

e simplificamos a expresión

radical extraendo todos os

factores posibles:

4

A raíz dunha raíz é igual á raíz de

índice igual ao produto dos

índices

Igual que nos casos anteriores, é

suficiente con aplicar a regra e

simplificar a expresión resultante

sempre que sexa posible.

EXEMPL

O:

Estes cálculos

poden complicarse

si os radicandos

non son

consecutivos,

Nestes casos

habemos de ir

introducindo todos os

elementos

intermedios baixo o

último radical, para

obter finalmente o

índice resultante:

Para introducir

factores na

raíz deben

elevarse ao

índice: a sete

neste caso

Aplicamos:

RACIONALIZACIÓN

Clase 79

Chámase binomio conxugado ao ligado pola

operación oposta:

Conxugado de a+b a-b

de a-b a+b

A racionalización en expresións

radicais realízase da mesma forma

que nas expresións numéricas. O

seu obxecto é facilitar o cálculo

dos valores numéricos das

expresións radicais que inclúan

cocientesPara eliminar raíces cadradas

Se no

denominador

está presente

unha única

raíz:

Multiplícase numerador e

denominador por esa raíz:

Operamos:

Se no

denominador

hai unha suma

ou unha resta

Multiplícase numerador e

denominador polo binomio

conxugado do denominador :

Conxugado de

Operando:

Raíces non cadradas (de índice superior a dous)

Multiplícase o denominador pola

raíz do mesmo índice có

radicando elevado ás unidades

que falten á potencia do

radicando para eliminar a raíz:

Para chegar a

53 necesito

multiplicar por

52

Para

chegar a z3

necesito

multiplicar

por z

En consecuencia, multiplico

e divido por

Operando