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Tema 1:Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica
de Campos
Arcadi Santamaria
15 de octubre de 2009
Contenido
1 Ecuaciones de onda relativistas: éxitos y fracasosDualidad onda corpúsculoLa ecuación de Klein-GordonLa ecuación de DiracNecesidad de una teoría de muchas partículas
2 Sistemas Continuos y Mecánica CuánticaMotivaciónTransición al continuo de un sistema discretoFormulaciones Lagrangiana y Hamiltoniana de medioscontinuosCuantización de las ondas en una barra elásticaCuantización canónica
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 2/57
Dualidad onda corpúsculo
Si no tenemos en cuenta la polarización, un rayo de luz sepuede describir mediante una onda plana
ψ ≈ ei(~k ·~x−ωt),∣∣∣~k ∣∣∣=
2π
λ, ω = 2πν =
2πcλ
ψ satisface la ecuación de ondas
∂ 2
∂ t2 ψ = c2~∇2ψ
Invariancia Lorentz: ~k y ω se transforman como~x y t .Para asociar E , y~p al fotón se escribe
~p = h~k =hλ
, E = hω = hν , h = 2πh,
h deber la misma para E y~p si~p~x−Et invariante Lorentz
ψ ≈ eih (~p~x−Et)
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 3/57
Sustituyendo en la ecuación de ondas se obtiene
E2 = c2 ∣∣~p∣∣2es la relación entre energía y momento para partículas sinmasa.La ecuación de ondas se obtendría con la sustitución
E → i h∂
∂ t, ~p→−i h~∇
en E2 = c2∣∣~p∣∣2 actuando sobre la función de ondas.
Aplicando el mismo argumento a la relación entre energía ymomento NR
E ≈∣∣~p∣∣22m
+ V (~x)
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 4/57
se obtiene la ecuación de Schrödinger
i h∂
∂ tψ =
(− h2
2m~∇2 + V (~x)
)ψ
No es aplicable a fotones, porque son relativistas.La ecuación equivalente para fotones sería la ecuación deondas pero, como veremos, su interpretación como la ecuaciónde ondas de un fotón tiene problemas muy importantes queson generales de todas las ecuaciones de onda relativistas.
Paradoja:El comportamiento de los fotones, que fue esencial para llegara la ecuación de Schrödinger, no se puede describir mediantela misma ni por ecuaciones del mismo tipo.
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 5/57
se obtiene la ecuación de Schrödinger
i h∂
∂ tψ =
(− h2
2m~∇2 + V (~x)
)ψ
No es aplicable a fotones, porque son relativistas.La ecuación equivalente para fotones sería la ecuación deondas pero, como veremos, su interpretación como la ecuaciónde ondas de un fotón tiene problemas muy importantes queson generales de todas las ecuaciones de onda relativistas.
Paradoja:El comportamiento de los fotones, que fue esencial para llegara la ecuación de Schrödinger, no se puede describir mediantela misma ni por ecuaciones del mismo tipo.
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 5/57
La ecuación de Klein-Gordon
Haciendo una analogía con el caso no relativista, si
E =√
c2~p2 + m2c4 .
y hacemos E → i h∂t , ~p→−i h~∇ tendremos
i h∂
∂ tψ =
√−h2c2~∇2 + m2c4 ψ .
La raíz cuadrada la hace complicadaUna derivada en el tiempo, dos respecto a posiciones;rompe la covariancia Lorentz explícita.
Alternativamente, podemos utilizar el cuadrado y obtenemos laecuación de Klein-Gordon (KG)
−h2 ∂ 2
∂ t2 ψ =(−h2c2~∇2 + m2c4
)ψ .
Para m = 0 es la ecuación de ondas del fotónArcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 6/57
Si, h = c = 1 y xµ = (x0,x i), i = 1,2,3, se puede escribir deforma totalmente covarianteLa equación de Klein-Gordon libre(
∂2 + m2
)ψ = 0 ,∂ 2 ≡ ∂µ∂
µ ≡ ∂2t −~∇2
con ∂ 2 ≡ ∂µ∂ µ ≡ ∂ 2t −~∇2con ∂t = ∂
∂ t .Para electrones con interacción electromagnética
(E + eφ)2 = (~p + e~A)2 + m2 .
sustituyendo E → i∂t ,~p→−i~∇
(i∂t + eφ)2ψ =
((−i~∇ + e~A)2 + m2
)ψ ,
o en notación covariante (Acoplamiento mínimo ∂µ → ∂µ− ieAµ )La equación de Klein-Gordon con interación electromagnética(
(i∂ + eA)2−m2)
ψ = 0
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 7/57
La ecuación de Klein-Gordon y el átomo de hidrógeno
Para el átomo de hidrógeno (φ = Ze4πr ,
~A = 0)
(E +Zα
r)2
ψ(~x) = (−~∇2 + m2)ψ(~x) ,α ≡ e2/(4π)
Si ψ(~x) = Y`m(θ ,ϕ)Rn`(r)(∂ 2
∂ r2 +2r
∂
∂ r− `(`+ 1)−Z 2α2
r2 +2ZαEn`
r+ (E2
n`−m2)
)Rn`(r) = 0
análoga a la ecuación de Schrödinger para el átomo
En` ≈m(
1− Z 2α2
2n2 −Z 4α4
2n4
(2n
2`+ 1− 3
4
)+ · · ·
)Término no relativista correcto pero
Problemas:No reproduce la estructura finaLa multiplicidad de estados no es correcta
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 8/57
La ecuación de Klein-Gordon y el átomo de hidrógeno
Para el átomo de hidrógeno (φ = Ze4πr ,
~A = 0)
(E +Zα
r)2
ψ(~x) = (−~∇2 + m2)ψ(~x) ,α ≡ e2/(4π)
Si ψ(~x) = Y`m(θ ,ϕ)Rn`(r)(∂ 2
∂ r2 +2r
∂
∂ r− `(`+ 1)−Z 2α2
r2 +2ZαEn`
r+ (E2
n`−m2)
)Rn`(r) = 0
análoga a la ecuación de Schrödinger para el átomo
En` ≈m(
1− Z 2α2
2n2 −Z 4α4
2n4
(2n
2`+ 1− 3
4
)+ · · ·
)Término no relativista correcto pero
Problemas:No reproduce la estructura finaLa multiplicidad de estados no es correcta
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 8/57
La densidad de probabilidad en la ecuación deKlein-Gordon
ES densidad positiva y una corriente conservada
ρ = |ψ|2 , ~j =− i2m
(ψ∗~∇ψ−ψ~∇ψ
∗)
,
que satisfacen una ecuación de continuidad:
∂
∂ tρ +~∇~j = 0 ,
por Gauss
− ∂
∂ t
∫V
d3~xρ =∫
Sd~S ·~j ,
que se puede interpretar como la ecuación de conservación dela probabilidad, puesto que la densidad, ρ, es definida positiva.
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 9/57
¿Qué pasa con la ecuación de Klein-Gordon? La únicacorriente conservada es
jµ =i
2m(ψ∗∂µψ−ψ∂µψ
∗)= (ρ,−~j) ,
con
ρ =i
2m
(ψ∗ ∂
∂ tψ−ψ
∂
∂ tψ∗)
,
~j = − i2m
(ψ∗~∇ψ−ψ~∇ψ
∗)
.
ProblemaLa densidad, ρ, no es definida positiva y no se puedeinterpretar como una densidad de probabilidad.
Veremos que en el formalismo de campos ρ, se reinterpretarácomo densidad de carga: campos reales representaránpartículas neutras y campos complejos partículas cargadas.
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 10/57
El problema de las soluciones con energía negativa
De KG se obtieneE2 =~p2 + m2
Tiene dos soluciones
E =±√
~p2 + m2
No hay estado fundamental!
-m
m
E
La interpretación de KG como ecuación de ondas en MQ no sesostiene.
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La ecuación de Dirac
Dirac: Todos los problemas de KG vienen de que es unaecuación de segundo orden en t (ρ, contiene derivadas respeto t por eso no es definida positiva)
Solución:Solo una derivada en tCovariancia relativista requiere también una derivada en xSe ha de cumplir E2 =~p2 + m2
Con estas condiciones la ecuación sólo puede ser de la forma
i∂ψ
∂ t= Hψ =
(−i~α~∇ + βm
)ψ .
Como el Hamiltoniano H tiene que ser hermítico, ~α y β seránmatrices hermíticas
~α† = ~α, β† = β
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 12/57
Si multiplicamos por β−1 y si definimos
γ0 = β
−1, γi = β
−1α
i ,
podemos escribir la ecuación de forma explícitamentecovarianteLa ecuación de Dirac libre(
iγµ∂µ −m
)ψ ≡
(i /∂ −m
)ψ = 0 , /a≡ γ
µaµ
Se debe cumplir E2 =~p2 + m2, ψ tiene que satisfacer KG.Multiplicando por (i /∂ + m) obtenemos
−(γµ
γν∂µ∂ν + m2)ψ =−(
12
(γµ
γν + γ
µγ
ν )∂µ∂ν + m2)ψ = 0
es necesario que
(γµ
γν + γ
νγ
µ )≡ γµ ,γν= 2gµν
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 13/57
Para µ 6= ν tenemos que γµγν =−γνγµ , no conmutan: γµ tienenque ser matrices.Para µ = ν tendremos que
(γ0)2 = I, (γ
i)2 =−I .
La hermiticidad de ~α y β , implica que
γ0† = γ
0, γi† = γ
0γ
iγ
0 =−γi ,
o en cuatro componentes
㵆 = γ
0γ
µγ
0 .
Es posible encontrar matrices de dimensión 4×4 quesatisfacen todas estas propiedades ya que con solomatrices de Pauli no es posible.ψ contiene dos espinores de dos componentes.
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 14/57
El conjunto de matrices 4×4 complejas forman un espaciovectorial complejo de dimensión 4×4 = 16. Así, paracompletar la base del espacio vectorial, además de laidentidad, I, y las cuatro matrices γµ , podemos escribir 11matrices más linealmente independientes.
γ5 = iγ0γ
1γ
2γ
3 = γ†5 , γ
25 = I, γ5,γ
µ= 0
También es conveniente introducir las 6 matrices
σµν =
i2
[γµ ,γν ]
Las 16 matrices (1 + 1 + 4 + 4 + 6) son
I, γ5, γµ , γ5γµ , σ
µν
Si γµ lo cumple γµ = UγµU†, con UU† = I, también lo cumplirá
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 15/57
Realizaciones de Dirac y Weyl
Una solución es (realización de Dirac)
γ0 =
(I 00 −I
), γ
i =
(0 σ i
−σ i 0
), γ5 =
(0 II 0
)donde los bloques son matrices 2×2: I es la identidad2×2 y ~σ son las matrices de PauliOtra elección útil es (realización de Weyl)
γ0 =
(0 II 0
), γ
i =
(0 σ i
−σ i 0
), γ5 =
(−I 00 I
)o más explícitamente covariante
γµ
Weyl =
(0 σ µ
σ µ 0
), σ
µ ≡ (I,~σ) , σµ ≡ (I,−~σ)
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 16/57
La equación de Dirac y la densidad de probabilidad
Buscaremos una corriente conservada.La ecuación hermítica conjugada de la ecuación de Dirac es:
ψ†(i㵆←−
∂µ + m) = 0 .
Definiendo ψ ≡ ψ†γ0, insertando el número de γ0 necesarias
ψ
(i←−/D + m
)= 0 ,
Combinando las dos ecuaciones, Dirac y conjugada
ψ
(i←−/D + i
−→/D)
ψ = i∂µ (ψγµ
ψ) = 0 ,
y, por lo tanto, una corriente conservada es:
jµ = ψγµ
ψ =
j0 = ρ = ψ†ψ > 0j i = ψγ iψ = ψ†α iψ
j0 es definida positiva y se puede interpretar como unadensidad de probabilidad. Problema resuelto!
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 17/57
El átomo de hidrógeno en la ecuación de Dirac
Imponiendo acoplamiento mínimo ∂µ → ∂µ − ieAµ(i /D + e /A−m
)ψ = 0 .
Multiplicando por(i /∂ + e /A + m
)(
(i∂ + eA)2−m2 +e2
σµνFµν
)ψ = 0 , F µν = ∂
µAν −∂νAµ
KG con interacción electromagnética más un término adicionalque depende del espín
e2
σµνFµν = 2
e2
(i~α ·~E +~σ ·~B
)Acoplamiento espín-órbita con con un factor g = 2.Justo lo que hace falta añadir a KG para explicar el espectrodel átomo de hidrógeno (n = 1,2, · · · j = 1
2 , 32 , · · · ,n− 1
2 )
Enj ≈m(
1− Z 2α2
2n2 −Z 4α4
2n4
(2n
2j + 1− 3
4
)+ · · ·
)Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 18/57
Estados de energía negativa y la teoría de los huecos
La ED no es más que la raíz cuadrada de KG: se podríapensar que el problema de las energías negativas también estásolucionado, puesto se ha elegido una de las dos raíces.No es así
ψ =
(χ
ϕ
),
encontramos
(E −m) χ−~σ~p ϕ = 0 ,
(E + m)ϕ−~σ~p χ = 0 ,
Problemas:Si~p = 0, contiene las dos soluciones E = m para χ yE =−m para ϕ.Los espinores de Dirac describen una partícula de espín1/2 con energía positiva y una partícula de espín 1/2 conenergía negativa. El Problema permanece!
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 19/57
Estados de energía negativa y la teoría de los huecos
La ED no es más que la raíz cuadrada de KG: se podríapensar que el problema de las energías negativas también estásolucionado, puesto se ha elegido una de las dos raíces.No es así
ψ =
(χ
ϕ
),
encontramos
(E −m) χ−~σ~p ϕ = 0 ,
(E + m)ϕ−~σ~p χ = 0 ,
Problemas:Si~p = 0, contiene las dos soluciones E = m para χ yE =−m para ϕ.Los espinores de Dirac describen una partícula de espín1/2 con energía positiva y una partícula de espín 1/2 conenergía negativa. El Problema permanece!
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 19/57
Solución de Dirac: teoría de los huecosLos electrones son fermiones: principio de exclusión dePauliEl vacío, es decir, el estado de mínima energía, estácompletamente lleno con los estados de energía negativa,los electrones con energía positiva serán estables!Un agujero en el mar de electrones de energía negativa,se manifestará como una partícula de energía positivapero de carga positiva.Predicción de la existencia deantipartículas!
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 20/57
Solución de Dirac: teoría de los huecosLos electrones son fermiones: principio de exclusión dePauliEl vacío, es decir, el estado de mínima energía, estácompletamente lleno con los estados de energía negativa,los electrones con energía positiva serán estables!Un agujero en el mar de electrones de energía negativa,se manifestará como una partícula de energía positivapero de carga positiva.Predicción de la existencia deantipartículas!
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 20/57
La ecuación de Dirac soluciona:El problema de la interpretación de la función de ondacomo una amplitud de probabilidadIncorpora naturalmente el espín del electrónPredice el momento magnético del electrón y,Predice correctamente el espectro del átomo de hidrógenoCon la teoría de los agujeros, soluciona el problema de losestados de energía negativa y predice la existencia deantipartículas.
Todos estos éxitos le dieron a la teoría de Dirac un prestigio sinprecedentes.Aun así, no puede ser la solución final para construir una teoríacuántica relativista consistente.
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 21/57
La ecuación de Dirac soluciona:El problema de la interpretación de la función de ondacomo una amplitud de probabilidadIncorpora naturalmente el espín del electrónPredice el momento magnético del electrón y,Predice correctamente el espectro del átomo de hidrógenoCon la teoría de los agujeros, soluciona el problema de losestados de energía negativa y predice la existencia deantipartículas.
Todos estos éxitos le dieron a la teoría de Dirac un prestigio sinprecedentes.Aun así, no puede ser la solución final para construir una teoríacuántica relativista consistente.
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 21/57
La solución de Dirac no es completa
La teoría de los agujeros de Dirac soluciona el problemade los estados de energía negativa para los fermiones,pero, que pasa con los bosones?Dirac explica el factor giromagnético del electrón, g = 2.Pero podemos modificar la ecuación de Dirac(
i /D + e /A−m +∆g2
e4m
σµνFµν
)ψ = 0 .
que conduce a g = 2 + ∆g. De hecho necesitamos esamodificación si queremos explicar el factor giromagnéticodel protón y del neutrón.Las energías del hidrógeno son complejas para Z > 137
A pesar de su enorme éxito, la ecuación de Dirac no da unasolución completa al problema de la formulación de una teoríacuántica relativista.
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 22/57
Problema de localización
Los fotones que motivaron el desarrollo de la mecánicaondulatoria, no se pueden describir con una ecuación de ondasde una sola partícula: los fotones no tienen masa y cualquierinteracción de los mismos conduce casi inevitablemente a laproducción de fotones adicionales.
En general para localizar una partícula de masa m con unaincertidumbre es ∆x , menor que su longitud de ondaCompton, λC = h/(mc), el principio de incertidumbre nos diceque necesariamente el aparato de medida tendrá queinvolucrar intercambio de momentos p ∼mc y energíasE ∼mc2. Para esas energías es posible producir partículasadicionales y la descripción en términos de funciones de onda,con la interpretación probabilística habitual, no tiene sentido.
En una teoría relativista las coordenadas de una partícula noson buenas variables dinámicas.
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Problema con causalidad
En MQ no relativista el propagador es:
U(t)≡⟨~x∣∣e−iHt ∣∣~x0
⟩=∫
d3~p⟨~x∣∣e−iHt ∣∣~p⟩⟨~p∣∣ ∣∣~x0
⟩=
1(2π)3
∫d3~pe−iE(~p)tei~p·(~x−~x0) .
si E(~p) =~p2/(2m) encontramos
U(t) =( m
2π it
) 32
ei m2t (~x−~x0)2
.
U(t) es diferente de cero ∀~x ,~x0, t . En MQ NR no hay problemaQue pasa en el caso relativista E(~p) =
√~p2 + m2.
U(t) =1
2π2∣∣~x−~x0
∣∣ ∫ ∞
0d∣∣~p∣∣ ∣∣~p∣∣sin(
∣∣~p∣∣ ∣∣~x−~x0∣∣)e−it
√|~p2|+m2
≈ e−m√|~x−~x0|2−t2 ∣∣~x −~x0
∣∣2 t2 ,
diferente de cero!Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 24/57
Necesidad de una teoría de muchas partículas
Veremos la existencia de antipartículas en una teoríacuántica relativista será esencial para preservar lacausalidad. Así pues, como mínimo, una teoría cuánticarelativista ha de poder describir al mismo tiempo partículasy antipartículas.La famosa fórmula relativista E = mc2 deja claro que sepueden crear partículas aportando energía al sistema, oque el número de partículas del sistema puede disminuiraumentando la energía de las restantes.
Conclusión:Una teoría cuántica relativista necesariamente ha de ser unateoría de muchas partículas.
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 25/57
¿Cómo construirla?
¿Cómo caracterizar una teoría cuántica de muchas partículas?Wigner: un estado de una partícula es un vector de unarepresentación irreducible unitaria del grupo de Lorentzinhomogéneo (Poincaré).Estados de muchas partículas libres se pueden construircomo producto directo de los estados de una partícula.
Para calcular observables (secciones eficaces) no es suficientecon tener caracterizados los estados. Es necesario especificarla dinámica de los mismos, es decir, el Hamiltoniano.Las restricciones sobre la forma de los posibles Hamiltonianosson muy fuertes ya que la teoría resultante ha de satisfacertodos los principios de
La Mecánica CuánticaLa Relatividad Especial
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 26/57
TQC como teoría de muchas partículas
Las teorías cuánticas de campos satisfacen automáticamentetodos estos requerimientos al tiempo que:
Resuelven el problema de la causalidad con laintroducción de las antipartículas.Nos ayudan a entender cuestiones como la conexión entreespín y la estadística o porqué la teoría de Dirac predicecorrectamente el momento magnético del electrón y no eldel protón o del neutrón.Y, lo que es más importante, permiten describir sistemasde muchas partículas y calcular las probabilidades detransición entre estados con diferente número departículas, cálculos que han sido corroborados porinfinidad de experimentos en los más variados rangos deenergías.
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 27/57
Sistemas Continuos y Mecánica Cuántica
En mecánica cuántica tuvo un papel muy importante el“principio de dualidad onda-corpúsculo”. Sin embargo ladualidad no parece simétrica:
Las partículas son sistemas en los qué toda la energía, elmomento, la carga... están concentradas en un punto.
La mecánica cuántica asocia propiedades ondulatorias alas partículas y la ecuación de Schrödinger las expresa deforma precisa.
Por otro lado las ondas son una propiedad de los medioscontinuos (vibraciones de una cuerda, del campoelectromagnético...) sistemas en los qué la energía, elmomento, etc. están repartidas en el espacio.
Decimos que el campo electromagnético está formado porcuánta que tienen energía y momento (propiedades departículas). Pero, ¿cómo surgen las partículas de lasecuaciones del campo electromagnético? ¿cuales son lasecuaciones que describen los fotones como partículas?
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 28/57
Para que la dualidad “onda-corpúsculo” sea completamentesimétrica deberíamos saber cuantizar también las ondas
¿Cómo se cuantizan las ondas?Veremos que la respuesta a esta pregunta, que en principio notiene nada que ver con los problemas de la mecánica cuánticarelativista, conduce inevitablemente a teorías de muchaspartículas y que estas teorías se pueden utilizar para construirteorías cuánticas relativistas consistentes.
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 29/57
Transición al continuo de un sistema discreto
N partículas de masa m separadas, en equilibrio, una distanciaa. ` = a(N + 1) oscilan alrededor del punto de equilibrio.
Límite al contínuo
1 i−1 i i+1 N2
a
ηi son los desplazamientos respecto ala posición de equilibrio
T =12
N
∑i=1
m η2i , V =
12
N
∑i=0
α (ηi+1−ηi)2
α constante de elasticidad, η0 = 0, y ηN+1 = 0.
L = T −V =12
N
∑i=0
(m η
2i −α (ηi+1−ηi)
2)
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 30/57
L =12
N
∑i=0
a
[ma
η2i −αa
(ηi+1−ηi
a
)2]
=N
∑i=0
aLi
y si
pi =∂L∂ ηi
= mηi
el hamiltoniano
H = ∑i
ηipi −L =12
N
∑i=0
(p2
im
+ α (ηi+1−ηi)2
)
Las ecuaciones de movimiento para las coordenadas ηi son
m..η i −α (ηi+1−2ηi + ηi−1) = 0. i = 1, · · ·N, ,η0 = 0, ηN+1 = 0
Sistema de osciladores armónicos acoplados.
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 31/57
Las frecuencias propias son
ωk = 2√
α
msin
k π
2(N + 1), k = 1,2, · · ·N
si k N + 1
ωk ≈√
α
mk π
N + 1=
√αa
m/ak π
`, k N + 1
Son osciladores armónicos y los sabemos cuantizar:
En1n2···nN =N
∑k=1
hωk
(nk +
12
)
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 32/57
Paso al continuo a→ 0 , N→ ∞
ma
..η i −αa
(ηi+1−2ηi + ηi−1
a2
)= 0. i = 1, · · ·N, ,η0 = 0, ηN+1 = 0 .
Ahora hacemos el límite de la siguiente forma
a→ 0 , m→ 0 , α → ∞ , N→ ∞
m/a = ρ = constante , αa = Y = constante , a(N +1) = ` = constante
x ≡ ia, etiqueta la posición de la partícula i .η(x , t) = η(ia, t)≡ ηi
l«ıma→0
ηi+1−ηi
a= l«ım
a→0
η(x + a, t)−η(x , t)a
=∂η
∂xIgualmente
l«ıma→0
ηi+1−2ηi + ηi−1
a2 = l«ıma→0
η(x + a, t)−2η(x , t) + η(x−a, t)a2 =
∂ 2η
∂x2
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 33/57
Así la ecuación de movimiento es
ρ∂ 2η
∂ t2 −Y∂ 2η
∂x2 = 0 , η(0, t) = 0, η(`, t) = 0
Dividiendo por ρ y definiendo v =√
Y/ρ tenemos finalmente
∂ 2η
∂ t2 −v2 ∂ 2η
∂x2 = 0 , η(0, t) = 0, η(`, t) = 0
ecuación de ondas con velocidad v . La solución es
η(x , t) =∞
∑k=1
qk (t)sinωkx
v
dóndeωk =
kπv`
k = 1,2, · · · ,∞ ,
las qk (t) satisfacen la ecuación del oscilador armónico confrecuencia ωk :
..qk (t) + ω
2k qk (t) = 0
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 34/57
Las frecuencias propias en el continuo se pueden obtenertambién a partir de la fórmula obtenida en el discreto, haciendoel límite a→ 0:
ωk = l«ıma→0 2√
α
m sin k π
2(N+1)
= l«ıma→0 2√
αam/a
1a sin k πa
2` =√
Yρ
k π
` = kπv` , k = 1,2, · · ·∞ .
Mucho más fácil de obtener en el continuo!El resultado en el continuo es valido siempre quek N + 1 (frecuencias pequeñas o longitudes de ondagrandes comparadas con a)En el discreto no hay infinitas frecuencias, solo hayN ≈ `/a, con ωmax ≈ 2v/a.
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 35/57
Haciendo el mismo límite en el lagrangiano y usandol«ıma→0 ∑
Ni=0 a →
∫ `0 dx
L =12
∫ `
0dx
[ρ
(∂η
∂ t
)2
−Y(
∂η
∂x
)2]
o redefiniendo el Lagrangiano dividiéndolo por ρ (que para ρ
constando obviamente lleva a las mismas ecuaciones demovimiento)
L≡∫ `
0dxL
dónde hemos definido la densidad Lagrangiana L
L =12
[(∂η
∂ t
)2
−v2(
∂η
∂x
)2]
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 36/57
Igualmente
H ≡∫ `
0dxH
con
H =12
[(∂η
∂ t
)2
+ v2(
∂η
∂x
)2]
.
Además, si, en completo paralelismo con el caso discreto,definimos la densidad de momento conjugado, π, asociado a lavariable η cómo
π =∂L
∂ η,
inmediatamente encontramos que, en este caso, se satisface
H = π η−L
de acuerdo también con el que cabía esperar.Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 37/57
Papel de x = a i :Las coordenadas x = ai : no son variables dinámicas, de hecho,son independientes del tiempo, sólo juegan el papel deetiquetar el punto donde se está evaluando la función η . Lasúnicas variables dinámicas son los campos η .
Generalizable fácilmente a sistemas continuostridimensionales. Entonces las variables dinámicas sonfunciones de las tres coordenadas espaciales y del tiempo y elLagrangiano se escribe en términos de la densidadLagrangiana cómo
η(x ,y ,z, t) , L =∫ ∫ ∫
L dxdydz .
¿Es posible obtener todas las ecuaciones en el continuosin pasar por el discreto?
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 38/57
Formulaciones Lagrangiana y Hamiltoniana de medioscontinuos
Para simplificar solo una variable espacial
L = L
(η ,
∂η
∂x,∂η
∂ t
),
el Lagrangiano
L =∫ x1
x0
L dx ,
mientras que la acción será
S =∫ t
t0
∫ x1
x0
L dxdt .
Variables espaciales y temporales aparecen de formacompletamente simétrica. Ideal para tratar problemasrelativistas.
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 39/57
Ecuaciones de movimiento
δS = 0 =∫ t1
t0
∫ x1
x0
dtdx(
∂L
∂ηδη +
∂L
∂ (∂η/∂ t)δ (∂η/∂ t) +
∂L
∂ (∂η/∂x)δ (∂η/∂x)
)Integrando por partes en t y x en el segundo y tercer término
∫ t1
t0dt
∂L
∂ (∂η/∂ t)δ (∂η/∂ t) =−
∫ t2
t1dt
∂
∂ t
(∂L
∂ (∂η/∂ t)
)δη
igualmente∫ x1
x0
dx∂L
∂ (∂η/∂x)δ ((∂η/∂x) =−
∫ x1
x0
dx∂
∂x∂L
∂ (∂η/∂x)δη
De aquí obtenemos ∀δη∫ t2
t1
∫ x2
x1
dtdx
∂L
∂η− ∂
∂ t
(∂L
∂ (∂η/∂ t)
)− ∂
∂x
(∂L
∂ (∂η/∂x)
)δη = 0
∂
∂ t
(∂L
∂ (∂η/∂ t)
)+
∂
∂x
(∂L
∂ (∂η/∂x)
)− ∂L
∂η= 0
La generalización a tres dimensiones espaciales esEcuaciones de Euler-Lagrange
∂
∂ t
(∂L
∂ (∂η/∂ t)
)+
3
∑k=1
∂
∂xk
(∂L
∂ (∂η/∂xk )
)− ∂L
∂η= 0
Interesante que formalmente se puede escribir de formacovariante
∂µ
∂L
∂ (∂µη)− ∂L
∂η= 0
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 41/57
Formulación Hamiltoniana
π =∂L
∂ η, H = π η−L
Generalizaciones triviales: p.e. las ecuaciones de Hamilton son
∂H
∂π= η ,
∂H
∂η−
3
∑k=1
∂
∂xk∂H
∂ (∂η/∂kk )=−π .
La primera ecuación nos dará la definición de π entérminos de η ,La segunda, combinada con la primera, nos dará lasmismas ecuaciones de movimiento obtenidas con elformalismo Lagrangiano.
Igualmente paréntesis de Poisson, teoremas de conservación,..Formulaciones completamente equivalentes pero laformulación Lagrangiana trata posiciones y tiempo de formasimilar: más adecuada para tratar problemas relativistas.
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 42/57
Teorema de Noether
Fundamental en teoría de campos encontrar cantidadesconservadas.El teorema de Noether permite relacionar las simetrías deun sistema con las cantidades conservadas.
η(x)→ η ′(x) es una simetría si deja invariantes las ecuacionesde movimiento.Si la acción S es invariante las EM invariantes.
δS = 0 , para η(x)→ η′(x) = η(x) + δη(x) , δη = ∑
iαiFi(η) .
S invariante si
δL = ∂µωµ
Para transformaciones infinitesimales
ωµ = ∑
iαiω
µ
i
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 43/57
Cambio de la acción bajo una transformacion infinitesimal
δS =∫
d4x(
∂L
∂ηδη +
∂L
∂ (∂µη)δ (∂µη)
)restando y sumando la cantidad
∂µ
(∂L
∂ (∂µη)
)δη
obtenemos
δS =∫ ∫
d4x(
∂L
∂η−∂µ
(∂L
∂ (∂µη)
))δη + ∂µ
(∂L
∂ (∂µη)δη
)
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 44/57
si δη define una simetría(∂L
∂η−∂µ
(∂L
∂ (∂µη)
))δη + ∂µ
(∂L
∂ (∂µη)δη
)= ∂µω
µ
si los campos satisfacen las ecuaciones de movimiento
∂µ
(∂L
∂ (∂µη)δη−ω
µ
)= 0 .
Para transformaciones infinitesimalesCorrientes Conservadas:
∂µ jµ
i = 0 , jµ
i =∂L
∂ (∂µη)Fi −ω
µ
i
δη = ∑i
αiFi , δL = ∑i
αi∂µωµ
i
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 45/57
Ejemplo: vibraciones de la barra
η(x , t)→ η′(x , t) = η(x , t) + c , δη = c , ω
µ = 0
j0 =∂η
∂ t, j1 =−v2 ∂η
∂xque cumple
∂ j0
∂ t+
∂ j1
∂x=
∂ 2η
∂ t2 −v2 ∂ 2η
∂x2 = 0
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 46/57
Ejemplo: tensor energía-impulso
Acción invariante bajo translaciones η(x),
η(x)→ η′(x ′ = x + a) = η(x)
η′(x) = η(x−a)≈ η(x)−aν
∂νη(x)
δη =−aν∂νη . Las αi →−aν , Fi → ∂νη
δL = L ′(x)−L (x) =−aν∂νL =−aνgµ
ν ∂µL , ωµ
ν = gµ
ν L
Cantidades conservadas
T µ
ν =∂L
∂ (∂µη)∂νη−gµ
ν L , ∂µT µ
ν = 0
Pν =∫
d3~x T 0ν momento lineal
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 47/57
Cuantización de las ondas en una barra elástica
Una vez sabemos formular teorías en el continuo veamos sipodemos definir las reglas de cuantización ( ρ = 1 y Y = v2 )
L =12
∫ `
0dx
(∂η
∂ t
)2
−v2(
∂η
∂x
)2
H =12
∫ `
0dx
(∂η
∂ t
)2
+ v2(
∂η
∂x
)2
Hemos visto que las frecuencias propias y las funcionespropias son
η(x , t) =∞
∑k=1
qk (t)sinωkx
v, ωk =
kπv`
k = 1,2, · · · ,∞
dóndeωk =
kπv`
k = 1,2, · · · ,∞ ,
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 48/57
sustituyendo y utilizando las relaciones de ortogonalidad
L =`
4
∞
∑k=1
(q2
k (t)−ω2k q2
k (t))
,
suma infinita de osciladores armónicos con frecuencias ωk !
pk =∂L∂ qk
=`
2qk ,
y las reglas de conmutación canónica en la imagen deHeisenberg son [
qk (t),pj(t)]
= i hδkj .
Además qk (t) cumplen las ecuaciones de movimiento cuyasolución es
qk (t) =
√h
`ωk
(ake−iωk t + a†
keiωk t)
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 49/57
Los operadores a†k , ak son independientes del tiempo y
satisfacen el álgebra de los operadores de creación ydestrucción [
ak ,a†j
]= δkj ,
[ak ,aj
]= 0 ,
Nk = a†kak , Nk |n1,n2,n3, . . .〉= nk |n1,n2,n3, . . .〉 , nk = 0,1,2, · · ·
a†k |n1,n2,n3, . . . ,nk , · · ·〉=
√nk + 1 |n1,n2,n3, . . . ,nk + 1, · · ·〉 ,
ak |n1,n2,n3, . . . ,nk , · · ·〉=√
nk |n1,n2,n3, . . . ,nk −1, · · ·〉 .
y
H = ∑k
hωk
(a†
kak +12
),
que cumple
H |n1,n2,n3, · · ·〉= ∑k
hωk
(nk +
12
)|n1,n2,n3, · · ·〉 ,
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 50/57
El estado fundamental |0,0, · · ·〉 tiene energía
E0 =12 ∑
khωk
como ωk = kπv` es infinita. ¿Como se entiende?
En el discreto ωmax ≈ 2v/a y E0 ≈ hv`/a2 que tiende a ∞ sia→ 0.Obviamente la energía de una barra no es infinita. Igual que enel caso clásico el limite a→ 0 se deber hacer de tal forma quelas cantidades físicas macroscópicas sean finitas!Así redefiniremos el hamiltoniàno restando la energía de puntocero
: H :≡∑k
hωka†kak ,
de forma que el estado de mínima energía|0〉 ≡ |0,0,0,0, · · ·〉tiene energía cero.
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 51/57
Problema:El método de quantización quehemos desarrollado se basa en el conocimiento de unasolución explícita de las ecuaciones de movimiento.No siempre conocemos las soluciones de las EM, ¿Es posibledefinir reglas de cuantización para los campos?
Usemos el ejemplo que conocemos
η(x , t) = ∑k
(√h
`ωkake−iωk t sin
ωkxv
+
√h
`ωka†
keiωk t sinωkx
v
).
η(x , t) es un operador cuántico en la representación deHeisenberg y contiene tanto frecuencias positivas comonegativas que están ligadas a los operadores de destrucción ycreación respectivamente.
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 52/57
Siguiendo el paralelismo con discreto-continuo calcularemos elconmutador de
π(x , t) =∂L
∂ η(x , t)= η(x , t)
con η(x , t)[η(x , t),π(x ′, t)
]=
[η(x , t), η(x ′, t)
]= ∑
kj
[qk (t), qj(t)
]sin
ωkxv
sinωjx ′
v
= i h2` ∑
ksin
ωkxv
sinωkx ′
v= i hδ (x −x ′)
Resultado natural si pensamos en η(x , t)→ ηi(t).Igualmente, si
H =12
∫ `
0dx
(π
2 + v2(
∂η
∂x
)2)
,
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 53/57
se cumplen las ecuaciones de Heisenberg para los campos
−iη = [H,η] , −i π = [H,π] ,
y por lo tanto, para cualquier función de los campos F (η ,π)
−i F = [H,F ]
Las ecuaciones de Heisenberg son equivalentes en todo a lasecuaciones de movimiento originales. Es decir, a partir de laforma del hamiltoniano, las reglas de conmutación de los cam-pos, y las ecuaciones de Heisenberg, , podemos recuperar lasecuaciones de movimiento y tenemos definida la teoría cuánticacompleta.
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 54/57
Cuantización canónica
La barra es de longitud finita. En cambio, la mayoría de lossistemas que nos interesarán son infinitos. Hay algunasdiferencias: las frecuencias propias del sistema ya no serándiscretas (ωk = kπv/` se hace continúa cuándo `→ ∞).A pesar de estas diferencias, las reglas que hemos visto sepueden postular para el caso más generalSean ηa , a = 1,2, · · · ,N un conjunto de N campos, reales porsimplicidad, descritos por la densidad Lagrangiana
L (ηa, ηa,~∇ηa)
definimos el momento conjugado asociado a los campos ηa
πa =∂L
∂ ηa
A partir de πa y L construimos la densidad Hamiltoniana
H = ∑a
πaηa−L
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 55/57
Finalmente promocionamos el campos clásicos a operadorescuánticos en la representación de Heisenberg que satisfacenlas siguientes reglas de conmutación a tiempos iguales (h = 1):Reglas de conmutación
[ηa(~x , t),πb(~x ′, t)
]= iδabδ
(3)(~x −~x ′)[ηa(~x , t),ηb(~x ′, t)
]= 0[
πa(~x , t),πb(~x ′, t)]
= 0
Las ecuaciones de movimiento se obtienen a partir de la formadel Hamiltoniano, las reglas de conmutación y las ecuacionesde Heisenberg
−i∂O
∂ t= [H,O]
dónde O es cualquier operador función de los campos ηa y πa.
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 56/57
La solución formal de esta ecuación es
O(t) = eiHtO(0)e−iHt
que se puede utilizar para resolver las ecuaciones demovimiento o como punto de partida de diferentesaproximaciones.Una consecuencia de la ecuación de Heisenberg es que sí Qes una “carga” conservada [Q,H] = 0.En una teoría relativista tanto el operador cuadrimomentolineal, como el tensor de momento angular, conmutarán con elHamiltoniano del sistema.Todo este procedimiento se puede llevar a cabo incluso cuandono sabemos resolver las ecuaciones de movimiento. En ese ca-so, al menos, tenemos la teoría cuantizada, podemos construirlos observables de interés y desarrollar técnicas aproximadaspara calcularlos.
Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 57/57
Tema 2:El campo de Klein-Gordon
Arcadi Santamaria
15 de octubre de 2009
Contenido
1 Cuantización canónica del campo de Klein-Gordon real
2 El campo de Klein-Gordon complejo
3 Reglas de conmutación covariantes y causalidadEl propagador de Feynman
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 2/40
Cuantización de KG real
Si Reinterpretamos las ecuación de Klein-Gordon como laecuación de movimiento de de un campo y no como unaecuación de ondas, automáticamente tendremos una teoríarelativista de muchas partículas.La ecuación de movimiento del campo de Klein-Gordon real es:
(∂µ∂µ + m2)φ = 0
que se deduce del siguiente lagrangiano utilizando lasecuaciones de Euler-Lagrange,
L =12
(∂µφ∂
µφ −m2
φ2)
=12
(φ
2−∣∣∣~∇φ
∣∣∣2−m2φ
2)
El momento canónico conjugado de φ es
π =∂L
∂ φ= φ
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 3/40
y el hamiltoniano
H = πφ −L =12
(π
2 +∣∣∣~∇φ
∣∣∣2 + m2φ
2)
que es definido positivo para cualquier valor de los campos!(quizá se eviten los problemas con los estados de energíasnegativas)Imponemos las reglas de Cuantización canónicas:[
φ(~x , t),π(~x ′, t)]
= iδ (3)(~x −~x ′) ,[φ(~x , t),φ(~x ′, t)
]= 0 ,[
π(~x , t),π(~x ′, t)]
= 0 .
Para construir los estados necesitamos resolver la ecuación demovimiento: usaremos la transformada de Fourier (los modosnormales no son discretos sino continuos.)
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 4/40
φ(~x , t) =∫ d3~p
(2π)3 ei~p·~xφ(~p, t) ,
y su inversa
φ(~p, t) =∫
d3~xe−i~p·~xφ(~x , t) .
sustituyendo en la EM..φ (~x , t)−~∇2
φ(~x , t) + m2φ(~x , t) = 0
tenemos ..φ (~p, t) + (
∣∣~p∣∣2 + m2)φ(~p, t) = 0 .
Ecuación del oscilador armónico con Ep ≡√∣∣~p∣∣2 + m2 la
frecuencia del oscilador. La solución más general es
φ(~p, t) =1
2Ep
(A(~p)e−iEp t + B(~p)eiEp t
).
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 5/40
Transformada inversa y~p→−~p en el segundo término
φ(~x , t) =∫ d3~p
(2π)32Ep
(a(~p)e−ip·x + a†(~p)eip·x
),
cona(~p) = A(~p) a†(~p) = B(−~p) ,
hemos usado φ(~x , t) real y px = Ept−~p ·~x . Además
π(~x , t) = φ(~x , t) =−i∫ d3~p
(2π)32EpEp
(a(~p)e−ip·x −a†(~p)eip·x
)Invirtiendo estas expresiones
a(~p) = eiEp t∫
d3~xe−i~p·~x (Epφ(~x , t) + i π(~x , t))
= i∫
d3~xeip·x ↔∂t φ(~x , t)
a†(~p) = e−iEp t∫
d3~xei~p·~x (Epφ(~x , t)− i π(~x , t))
=−i∫
d3~xe−ip·x ↔∂t φ(~x , t)
donde f↔∂t g = f ∂tg− (∂t f )g.
Con esto y las reglas de conmutación determinamos losconmutadores de los operadores de creación y destrucción[
a(~p),a†(~p ′)]
= ei(Ep−Ep′ )t∫
d3~xd3~x ′e−i(~p·~x−~p ′·~x ′)(−iEp[φ(~x , t),π(~x ′, t)
]+ iEp′
[π(~x , t),φ(~x ′, t)
])= ei(Ep−Ep′ )t
∫d3~xd3~x ′e−i(~p·~x−~p ′·~x ′) (Ep + Ep′
)δ
(3)(~x −~x ′)
= ei(Ep−Ep′ )t∫
d3~xe−i(~p−~p ′)·~x (Ep + Ep′)
= (2π)32Epδ(3)(~p−~p ′) .
Igualmente para el resto de los conmutadores[a(~p),a†(~p ′)
]= (2π)32Epδ
(3)(~p−~p ′) ,[a(~p),a(~p ′)
]= 0,
[a†(~p),a†(~p ′)
]= 0 ,
satisfacen el álgebra de los operadores de creación: sicuantizamos en un espacio infinito~p no son discretos sinocontinuos y δij Kronecker→ δ (x) de Dirac.
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 7/40
Distintas normalizaciones posibles! Elegimos unanormalización explícitamente invariante Lorentz∫ d4p
(2π)4 (2π)δ (p2−m2)θ(p0) =∫ d3~p
(2π)32Ep
(Comprobar como ejercicio)Y la δ invariante Lorentz es
(2π)32Epδ(3)(~p)
Ahora, utilizando el desarrollo de los campos, podemosconstruir el hamiltoniano del sistema en términos de losoperadores de creación y destrucción (recordemos quepx = Ept−~p ·~x):
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 8/40
H =12
∫d3~x
(π
2 + |∇φ |2 + m2φ
2)
=12
∫d3~x
d3~pd3~p ′
2Ep2Ep′(2π)6
[(−~p ·~p ′+ m2−EpEp′
)(a(~p)a(~p ′)e−i(p+p′)·x + a†(~p)a†(~p ′)ei(p+p′)·x
)+(~p ·~p ′+ m2 + EpEp′
)(a(~p)a†(~p ′)e−i(p−p′)·x + a†(~p)a(~p ′)ei(p−p′)·x
)]Integración en~x da~p ′ =−~p en el primer término y~p ′ =~p en elsegundo. Términos aa y a†a† desparecen.
H =∫ d3~p
(2π)32Ep
12
Ep(a†(~p)a(~p) + a(~p)a†(~p)
)=∫ d3~p
(2π)32EpEp
(a†(~p)a(~p) +
12[a(~p),a†(~p)
])Interpretación como en la barra elástica.
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 9/40
Operador número y energía del vacio
dN(~p) =d3~p
(2π)32Epa†(~p)a(~p)
da el número de estados con~p y dN(~p)Ep su energía.La energía del estado fundamental es
E0 = V∫ d3~p
(2π)312
√|~p|2 + m2 =
V4π2
∫∞
0d |~p||~p|2
√|~p|2 + m2
donde hemos usado que
[a(~p),a†(~p)
]= 2Ep(2π)3
δ(3)(~0) = 2Ep
∫d3~xei~x ·~0 = 2EpV ,
Como es natural la energía es proporcional al volumen, peroademás, la densidad de energía ρ0 = E0/V es divergente comoen el caso de la barra elástica. La razón es la misma: en elcontinuo hay un número infinito de modos con energíascrecientes.
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 10/40
En un espacio discreto hay un momento máximo |~p|max ≈ 2/a,y en el límite 2 am podemos estimar la densidad de energíadel vacío:
ρ0≡ E0
V≈ 1
4π2
∫ 2/a
0d |~p||~p|2
√|~p|2 + m2≈ 1
4π2
∫ 2/a
0d |~p||~p|3 =
1π2a4
Como en el caso de la barra se debe sustraer para obtener unlimite a→ 0 finito. Solo son observables variaciones de energíarespecto al estado fundamental |0〉 que cumple
a(~p) |0〉= 0 . 〈0|0〉= 1
mientras el hamiltoniano (n-ordenado) será
:H:=∫
dN(~p)Ep , :H: |0〉= 0 .
No hay energías negativas!
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 11/40
Tensor energía-impulso y cuadrimomento
Con T. de Noether determinaremos la forma de los operadoresasociados a cantidades conservadasInvariancia bajo translaciones espacio-temporales nos da
T µν = ∂µ
φ∂νφ −gµν 1
2
(∂
σφ∂σ φ −m2
φ2)
y en particular la integral de las componentes, T 0i , nos dará eloperador momento,
~P =−∫
d3~xπ~∇φ =∫ d3~p
(2π)32Ep~pa†(~p)a(~p)
mientras T 00 = φ2−L , es densidad hamiltoniana canónica
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 12/40
Momento angular
Invariancia bajo transformaciones de Lorentz (x´ = Λx ,φ ′(x ′) = φ(x))
Mµν =∫
d3~x(
xµT 0ν −xνT 0µ
)Solo contiene momento angular orbital (a diferencia del campode Dirac, como veremos):Las partículas creadas y destruidas por el campo de KG notienen espín!Utilizando las reglas de conmutación de los campos, se puedecomprobar que los 10 operadores Pµ = (H,~P), y Mµν
satisfacen las reglas de conmutación de los generadores delgrupo de Poincaré:
[Pµ ,Pν ] = 0[Mµν ,Pσ ] = i(gµσ Pν −gνσ Pµ )
[Mµν ,Mσρ ] = i(gµσ Mνρ −gµρMνσ −gνρMµσ + gνσ Mµρ )
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 13/40
Los estados
Es fácil ver que[H,a†(~p)
]= Ep a†(~p) ,
[~P,a†(~p)
]=~pa†(~p)
y por tantoHa†(~p) |0〉= Ep a†(~p) |0〉~Pa†(~p) |0〉=~pa†(~p) |0〉
Así a†(~p) |0〉 es un estado con cuadrimomento p = (Ep,~p) yespín cero que denotaremos cómo
∣∣~p⟩∣∣~p⟩≡ a†(~p) |0〉usando las reglas de conmutación de los a’s y la normalizaciónde |0〉
〈~p ′ ∣∣~p⟩= (2π)32Epδ(3)(~p−~p ′)
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 14/40
mientras la relación de clausura (para estados de 1 partícula)
I1−particula =∫ d3~p
(2π)32Ep
∣∣~p⟩⟨~p∣∣ya que∫ d3~p
(2π)32Ep
∣∣~p⟩〈~p ∣∣~q⟩=∫
d3~p∣∣~p⟩δ
(3)(~p−~q) =∣∣~q⟩
Transformaciones de Lorentz Λ: si p′ = Λp. Existe U(Λ)
U(Λ)a†(~p)U−1(Λ) = a†(→Λp) , U(Λ)
∣∣~p⟩=
∣∣∣∣ →Λp⟩
mientras el campo se transforma como (x ′ = Λx , φ ′(x ′) = φ(x)y φ ′(x) = φ(Λ−1x))
U(Λ)φ(x)U−1(Λ) = φ(Λx)
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 15/40
Estados de dos partículas
Igualmente definimos los estados de dos partículas:∣∣~p2,~p1⟩
= a†(~p2)a†(~p1) |0〉 , ∣∣~p2,~p1⟩
=∣∣~p1,~p2
⟩Las partículas de KG son bosones!La normalización, simétrica, es⟨~p ′2,~p
′1∣∣~p2,~p1
⟩= (2π)32Ep1(2π)32Ep2δ
(3)(~p1−~p ′1)δ(3)(~p2−~p ′2)
+ (2π)32Ep1(2π)32Ep2δ(3)(~p1−~p ′2)δ
(3)(~p2−~p ′1)
Así podemos continuar construyendo los estados de trespartículas, de cuatro, etcétera, hasta construir el espacio deHilbert de todos los estados de la teoría. Este espacio seconoce como espacio de Fock y contiene estados con unnúmero arbitrario de partículas.
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 16/40
El campo de Klein-Gordon complejo
Sean dos campos reales con la misma masa con lagrangiano
L =12
(∂µφ1∂
µφ1−m2
φ21 + ∂µφ2∂
µφ2−m2
φ22
)que es invariante bajo rotaciones de los campos (φ1,φ2),(
φ ′1φ ′2
)=
(cosα −sinα
sinα cosα
)(φ1φ2
)Por el T. de Noether hay una corriente conservadaConveniente escribir el Lagrangiano en términos de camposcomplejos ya que una rotación en el campo complejo es unamultiplicación por una fase. Así si
φ =1√2
(φ1 + iφ2) , φ† =
1√2
(φ1− iφ2)
tendremos queL = ∂µφ
†∂
µφ −m2 |φ |2
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 17/40
que es invariante bajo
φ′ = eiα
φ , φ′† = e−iα
φ† .
Usando las reglas de conmutación de φ1 y φ2[φ(~x , t), φ †(~x ′, t)
]= iδ (3)(~x−~x ′) ,[
φ(~x , t), φ(~x ′, t)]
=[φ(~x , t), φ(~x ′, t)
]=[φ(~x , t),φ †(~x ′, t)
]= 0 ,[
φ(~x , t),φ(~x ′, t)]
=[φ(~x , t), φ †(~x ′, t)
]= 0 ,
y las que se puedan obtener de estas por conjugación.Estas reglas son consistentes con las que se obtienendirectamente del lagrangiano en forma compleja tratando φ yφ † como variables independientes ya que π = φ †.
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 18/40
El desarrollo en términos de operadores de creación ydestrucción es
φ =1√2
(φ1 + iφ2)
=∫ d3~p
(2π)32Ep
(1√2
(a1(~p)+ ia2(~p))e−ip·x +1√2
(a†1(~p)+ ia†
2(~p))eip·x)
=∫ d3~p
(2π)32Ep
(a(~p)e−ip·x + b†(~p)eip·x
)dónde hemos definido
a(~p) ≡ 1√2
(a1(~p) + ia2(~p))
b†(~p) ≡ 1√2
(a†1(~p) + ia†
2(~p))
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 19/40
que cumplen [a(~p),a†(~p ′)
]= (2π)32Epδ
(3)(~p−~p ′)[b(~p),b†(~p ′)
]= (2π)32Epδ
(3)(~p−~p ′)[a(~p),a(~p ′)
]=[a(~p),b†(~p ′)
]=[b(~p),b(~p ′)
]= 0
así, a(~p) y b(~p) satisfacen el álgebra de operadores decreación y destrucción de dos partículas diferentes.De forma similar (después de n-ordenación)
Pµ = (H,~P) =∫ d3~p
(2π)32Eppµ(a†(~p)a(~p) + b†(~p)b(~p)
)Pµa†(~p) |0〉= pµa†(~p) |0〉 , Pµb†(~p) |0〉= pµb†(~p) |0〉
a†(~p) y b†(~p) crean partículas “diferentes” con exactamente elmismo cuadrimomento (y por tanto la misma masa).Que las distingue, pues?
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 20/40
El lagrangiano de KG complejo es invariante bajotransformaciones de fase
δφ = iαφ , δφ† =−iαφ
†
por T. de Noether hay una corriente conservada
jµ = i(φ
†(∂µ
φ)− (∂µ
φ†)φ)
y por tanto
Q =∫
d3~x j0 = i∫
d3~x(φ
†φ − φ
†φ)
es independiente del tiempo y conmuta con el hamiltoniano
Q =∫ d3~p
(2π)32Ep
(a†(~p)a(~p)−b†(~p)b(~p)
)Además (
[Q,a†(~p)
]= a†(~p) y
[Q,b†(~p)
]=−b†(~p))
Q a†(~p) |0〉= a†(~p) |0〉 , Q b†(~p) |0〉=−b†(~p) |0〉Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 21/40
así si definimos∣∣a,~p⟩≡ a†(~p) |0〉 , tiene cuadrimomento p , ycargaq = +1∣∣a,~p⟩≡ b†(~p) |0〉 , tiene cuadrimomento p , ycargaq =−1
a representa la partícula (todas las cargas conservadas)a representa la antipartícula (cargas cambiadas de signo)
Existencia de antipartículasPor cada partícula con una carga conservada ha de existirotra con las mismas características pero carga contraria!Las dos están descritas por el campo complejo φ .Si el campo es real, no hay ninguna carga conservada ydecimos que la partícula es su propia antipartícula.
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 22/40
EjemplosLos piones cargados π+ y π− se pueden describir con uncampo complejo. La carga conservada es la cargaeléctrica.El bosón de Higgs H no tiene ningún tipo de cargaconservada. Se puede describir mediante un campo deKG real y es su propia antipartícula.Los kaones neutros K 0 y K 0, se distinguen porque existeuna carga aproximadamente conservada, la hipercarga.Uno y otro tienen las mismas propiedades pero hipercargacontraria: Uno es la antipartícula del otro aunque seanneutros respecto a la carga eléctrica.
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 23/40
Cómo veremos la existencia de antipartículas es un resultadocompletamente general y que se aplicará todo tipo departículas, independientemente de su espín.
Problema Resuelto!De esta forma el problema de las energías negativas y laexistencia de antipartículas quedan completamente resueltos eintegrados de una forma admirablemente sencilla.
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 24/40
¿Qué estados crea el campo de KG?
Veamos ahora ¿Qué interpretación tiene el campo de KG?Hagamoslo actuar sobre el vacío
φ(x) |0〉=∫ d3~p
(2π)32Epeip·x ∣∣~p⟩ .
Efectivamente
〈0|φ(x)∣∣~p⟩
= 〈0|∫ d3~p ′
(2π)32Ep′
(a(~p ′)e−ip′·x + a†(~p ′)eip′·x
)a†(~p) |0〉
= e−ip·x = e−iEp tei~p·~x ≡ 〈~x , t∣∣~p⟩ ,
que es una onda plana y confirma, en principio, lainterpretación de que el campo φ(x) actuando sobre el vacíocrea una partícula en el punto~x en el tiempo t .
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 25/40
φ(x) realiza completamente el principio de dualidadonda-corpúsculo:
Está construido con operadores de creación y destrucciónde partículasÉstas son creadas asociadas a ondas planas que, al fin yal cabo, son las soluciones de la ecuación de KGentendida como ecuación de ondas
¿Qué pasa con la causalidad?Si aceptamos el estado
∣∣~x , t⟩≡ φ(x) |0〉 como el estado de una
partícula en el punto~x en el tiempo t , entonces
〈~x , t∣∣~x ′, t ′⟩= 〈0|φ(x)φ(x ′) |0〉=
∫ d3~p(2π)32Ep
e−ip·(x−x ′)≡D(x−x ′) .
¿Es diferente de cero para puntos separados espacialmente((x−x ′)2 < 0)?
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 26/40
D(x) se puede escribir en términos de la función de Bessel K1(o función de Hankel),
D(x) =m
4π2√−x2
K1
(m√−x2
), t → t− iε
para t = 0 y r →+∞ tenemos
D(x)→ 12
m2√(2πmr)3
e−mr ,
Aunque pequeño, el valor de D(x −x ′) es diferente de ceropara (x −x ′)2 < 0 ¿Se viola también causalidad?Quizá la interpretación de D(x −x ′) como una amplitud deprobabilidad “observable” no es correcta.
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 27/40
En MQ hemos de hablar de observablesUna teoría será causal si, para (x −x ′)2 < 0, la medida de unobservable O1(x) en el punto x no afecta a la medida de otroobservable, O2(x ′), en x ′. Par eso es suficiente que conmuten[
O1(x),O2(x ′)]
= 0, (x −x ′)2 < 0
Una condición suficiente para que esto se cumpla es[φ(x),φ(x ′)
]= 0 , (x−x ′)2 < 0
ya que derivando el conmutador respecto t = x0 y utilizandoque φ(x) = π(x) encontramos también[
π(x),φ(x ′)]
= 0 , (x −x ′)2 < 0
y por lo tanto operadores que se sean funciones locales φ(x) yπ(x) también conmutaran para (x −x ′)2 < 0
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 28/40
En el caso del campo de Klein-Gordon, la ecuación condiciónde conmutación se satisface trivialmente:[
φ(x),φ(x ′)]
= 〈0|φ(x)φ(x ′)−φ(x ′)φ(x) |0〉= D(x −x ′)−D(x ′−x)≡ i∆(x −x ′)
Además, cómo hemos visto, para x2 < 0 tenemos queD(x) = D(−x) (demostrar como ejercicio) y por tanto[φ(x),φ(x ′)] = 0 sí (x−x ′)2 < 0Alternativamente podemos usar invariancia Lorentz y las reglasde conmutación:Para (x−x ′)2 < 0 podemos ir al sistema de referencia t = t ′
i∆(~x −~x ′,0) =[φ(~x , t),φ(~x ′, t)
]= 0
y por tanto se deberá cumplir en cualquier sistema dereferencia[
φ(x),φ(x ′)]
= i∆(x −x ′) = 0, (x −x ′)2 < 0
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 29/40
Curvas de nivel de Im∆(x) como función de x y de t
-20 -10 0 10 20-20
-10
0
10
20
x
t
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 30/40
¿Qué sucede con las otras reglas de conmutación a tiemposiguales?
Para (x−x ′)2 ≥ 0 y t ′→ t tenemos
i ∂t ∆(~x−~x ′, t− t ′)∣∣t ′=t =
[π(~x , t),φ(~x ′, t)
]=−iδ (3)(~x−~x ′)
Relaciones de conmutaciónLa relación de conmutación covariante[
φ(x),φ(x ′)]
= i∆(x−x ′)
engloba todas las relaciones de conmutación a tiempos igualescomo casos particulares:[
φ(~x , t),π(~x ′, t)]
= iδ (3)(~x −~x ′)[φ(~x , t),φ(~x ′, t)
]= 0 ,
[π(~x , t),π(~x ′, t)
]= 0
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 31/40
Para entender mejor que sucede veamos el caso del campocomplejo:
φ(x)† crea partículas y destruye antipartículas,φ(x) crea antipartículas y destruye partículas.
y por tanto〈0|φ(x)φ †(x ′) |0〉= D(x−x ′) representaría la amplitud deprobabilidad de crear una partícula en x ′ y absorberla en x〈0|φ †(x ′)φ(x) |0〉= D(x ′−x) representaría la amplitud deprobabilidad de crear una antipartícula en x y absorberlaen x ′
En los dos casos el punto x pierde una unidad de carga y elpunto x ′ gana una unidad.Estas dos amplitudes no son observables independientementey no se puede distinguir la propagación de una partícula de x ′ ax de la propagación de su antipartícula en dirección contraria.
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 32/40
Expresiones invariantes para D(x) y ∆(x)
D(±x) =∫ d3~p
(2π)32Epe∓ip·x =∓i
∫C±
d4p(2π)4
e−ip·x
p2−m2
Circuitos en p0 utilizados para calcularD(x) y ∆(x)
C
C−
−Ep
C+
+Ep
−CR
−EpCA +Ep
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 33/40
i∆(x) = D(x)−D(−x) =−i∫
C
d4p(2π)4
e−ip·x
p2−m2 ,
Se cumple
(∂2 + m2)D(x) = 〈0|(∂
2 + m2)φ(x)φ(0) |0〉= 0 .
Igualmente(∂
2 + m2)∆(x) = 0 .
Usando el T. de Cauchy, la función ∆(x) se puede separar endiferentes formas según como se eviten los polos:
i∆(x) =−i∫
C
d4p(2π)4
e−ip·x
p2−m2 = DR(x)−DA(x)
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 34/40
dónde (funciones de Green retardadas y avanzadas)
DR,A(x) = i∫
CR,A
d4p(2π)4
e−ip·x
p2−m2 =∓θ(±t)i∆(x)
Circuitos en p0 utilizados para calcular DR(x) y DA(x)
CR
−Ep +Ep
t < 0
t > 0
−Ep +Ep
CA
t < 0
t > 0
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 35/40
Función de Green de Feynman
Circuitos en p0 para calcular DF (x).
−Ep
+EpCF
t < 0
t > 0
DF (x) = i∫
CF
d4p(2π)4
e−ip·x
p2−m2 = l«ımε→0+
i∫ d4p
(2π)4e−ip·x
p2−m2 + iε
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 36/40
Todas estas funciones son funciones de Green de la ecuaciónde KG. p.e.
(∂2 + m2)DF (x) = i
∫CF
d4p(2π)4
(−p2 + m2)e−ip·x
p2−m2
= −i∫ d4p
(2π)4 e−ipx =−iδ (4)(x) ,
y permiten resolver la ecuación de KG inhomogenea, p.e.
(∂2 + m2)φ(x) = j(x) ,
φ(x) = φ0(x) + i∫
d4x ′DF (x −x ′)j(x ′) ,
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 37/40
DF (x) aparecerá naturalmente en cálculos de TQC y tiene unaimportancia capital
DF (x−x ′) = 〈0|T (φ(x)φ(x ′)) |0〉
dónde
T(φ(x)φ(x ′)
)≡ θ(t− t ′)φ(x)φ(x ′) + θ(t ′− t)φ(x ′)φ(x)
O para KG complejo
DF (x −x ′) = 〈0|T (φ(x)φ†(x ′)
) |0〉con la misma definición para el producto T -ordenado decampos complejos,
T(φ(x)φ
†(x ′))≡ θ(t− t ′)φ(x)φ
†(x ′) + θ(t ′− t)φ†(x ′)φ(x)
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 38/40
Interpretación causal muy intuitiva:〈0|φ(x)φ †(x ′) |0〉: creación de una partícula en x ′ yposterior absorción en x , pero esta interpretación sólotiene sentido si t > t ′.〈0|φ †(x ′)φ(x) |0〉 creación de una antipartícula en x yposterior absorción en x ′, interpretación que solo tienesentido si t ′ > t .
Las dos amplitudes contribuyen coherentemente a todos losprocesos donde se intercambian excitaciones del campo φ .El propagador de Feynman nos ofrece una descripción causaly covariante del intercambio de partículas.
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 39/40
Ejemplo: pn→ pn
Diagramas de Feynman
p n
n
p
π+
x′
x
t′ < t
(a)
p n
n
p
π−
x′
x
t < t′
(b)
Como las dos contribuciones nos aparecerán siempre juntaslas describiremos con un solo diagrama en el qué la flecha deltiempo no es relevante: diagramas de Feynman.
Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 40/40
Tema 3:El campo de Dirac: covariancia Lorentz y
soluciones
Arcadi Santamaria
15 de octubre de 2009
Contenido
1 Introducción: conmutadores o anticonmutadores
2 Covariancia Lorentz de la ecuación de Dirac.
3 El lagrangiano de Dirac
4 Soluciones de la ecuación de DiracEspinores de helicidad
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 2/38
Conmutadores o anticonmutadores
La ecuación de Dirac decribe partículas de espín 1/2:fermionesEl método de cuantización que hemos usado para KG conduceinevitablemente a bosones.Ingredientes de la cuantización:
1 Una densidad hamiltoniana escrita en términos de loscampos y de sus momentos.
2 Unas reglas de conmutación entre campos y momentos atiempos iguales.
3 Las ecuaciones de movimiento de Heisenberg (análogocuántico de las ecuaciones de Hamilton) −iO = [H,O],dónde O es cualquier operador escrito en términos decampos y momentos.
en KG se usó[AB,C] = A [B,C] + [A,C]B
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 3/38
Anticonmutadores
No es la única posibilidad
[AB,C] = AB,C−A,CB
Los conmutadores de productos de operadores se puedenreducir también a anticonmutadores.Las ecuaciones de Heisenberg se pueden realizar tanto si loscampos satisfacen reglas de conmutación como reglas deanticonmutación.Podemos cambiar el punto 2. por “reglas de anticonmutaciónentre campos y momentos a tiempos iguales”.
Teorema espín estadísticaEs más, veremos que la cuantización del campo de Dirac solotiene sentido si usamos anticonmutadores
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 4/38
Álgebra de a,a† con anticonmutadores.
En KG fue esencial el uso del álgebra de operadores decreación y destrucción a†
r , ar : si Nr = a†r ar
[Nr ,as] =−δrsas ,[Nr ,a†
s
]= δrsa†
s
En KG el se realiza con conmutadores[ar ,a†
s
]= δrs , [ar ,as] = 0
No es la única posibilidad: también se puede realizar conanticonmutadores:
ar ,a†s
= δrs , ar ,as= 0
Algunas peculiaridades:
a2r = 0 , N2
r = Nr , nr = 0,1
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 5/38
Podemos seguir un proceso como el seguido en KG peroimponiendo reglas de anticonmutación entre campos y susmomentos conjugados.Si hacemos esto, incluso clásicamente, se debera cumplir quelos campos anticonmutan
ψ(x)χ(x) =−χ(x)ψ(x)
decimos que ψ y χ son variables de Grassman!
¿Problema?Quizá las ecuaciones de Euler-Lagrange, reglas decuantización, etc. deducidas suponiendo que los camposconmutan no son válidas para variables de Grassman.
Puesto que sabremos resolver exactamente la ecuación deDirac libre podemos seguir un proceso similar al seguido en eltema 1 para deducir las reglas de cuantización correctas.
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 6/38
Proceso de cuantización
Construiremos primero las soluciones de la ecuación deDirac en términos de unos coeficientes arbitrarios.La cuantitzación consistirá en reinterpretar estoscoeficientes como operadores de creación y destrucción.Utilizando el T. de Noether obtendremos los operadoresconservados : energía, momento... y veremos que sólotienen la interpretación correcta si el álgebra de losoperadores de creación y destrucción se realiza conanticonmutadores.Comprobaremos que los campos satisfacen las reglas deanticonmutación
ψ(~x , t), iψ†(~y , t)
= iδ (3)(~x−~y)
El hamiltoniano se reinterpretará como un hamiltonianocanónico escrito exclusivamente en términos de ψ y iψ†
entendidos como variables conjugadas la una de la otra.De las reglas de anticonmutación, de la forma delhamiltoniano y de las ecuaciones de Heisenbergpodremos recuperar la ecuación de Dirac.
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 7/38
Covariancia Lorentz de la ecuación de Dirac
La ecuación de Dirac es(i /∂ −m
)ψ(x) = 0
conveniente usar ψ(x)≡ ψ†(x)γ0 y no ψ†
ψ(x)(−i←−/∂ −m
)= 0
Las tr. de Lorentz son xµ → x ′µ = Λµ
νxν tales que
xµxµ = gµνxµxν = x ′ρx ′ρ = gσρx ′σ x ′ρ = gσρ Λσµ Λ
ρ
νxµxν
es decir,gµν = gσρ Λσ
µ Λρ
ν
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 8/38
Usando la regla de la cadena
∂µ ≡∂
∂xµ→ ∂
∂x ′µ=(
Λ−1)ν
µ
∂
∂xν≡(
Λ−1)ν
µ
∂ν
en general índices abajo se transforman como Λ−1
xµ → x ′µ =(
Λ−1)ν
µ
xν , gµν = gσρ
(Λ−1
)µ
σ
(Λ−1
)ν
ρ
De forma infinitesimal
Λµ
ν ≈ δµ
ν + ωµ
ν , ωµν = gµρωρ
ν
ωµν completamente antisimétrico; 6 parámetros:3 definen los “boost”3 definen las rotaciones
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 9/38
Ejemplo: Invariancia Lorentz de KG
Bajo Lorentz φ(x) es un escalar
φ(x)→ φ′(x ′) = φ(x) , φ
′(x) = φ(Λ−1x)
KG es trivialmente invariante (puesto que ∂ 2 lo es)
(∂
2 + m2)
φ(x) = 0 →(
gµν ∂
∂x ′µ∂
∂x ′ν+ m2
)φ′(x ′) =(
gµν
(Λ−1
)σ
µ
(Λ−1
)ρ
µ
∂
∂xσ
∂
∂xρ+ m2
)φ(x)
=(
∂2 + m2
)φ(x) = 0
Igualmente se comprueba que bajo una transformación Lorentzel Lagrangiano de KG es un escalar, es decir,L (x)→L ′(x ′) = L (x).
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 10/38
Campos no escalares
En general los campos tienen índices y propiedades detransformación más complicadas. Por ejemplo: el campoelectromagnético se puede representar mediante uncuadrivector Aµ (x). En ese caso Aµ (x)→ A′µ (x ′) = Λ
µ
νAν (x).Para campos arbitrarios
Φa(x)→ Φ′a(x ′) = M(Λ)abΦb(x)
donde la forma explícita de la matriz M(Λ) en términos de latransformación de Lorentz Λ depende de la representación delcampo Φa:
Para campos escalares es la identidad,En el caso de campos vectores M(Λ) es Λ
Los espinores de Dirac tienen índices y por lo tantoesperamos que se transformen de una forma no trivial bajoel grupo de Lorentz.
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 11/38
Campo de Dirac
Supondremos pues que
ψ(x)→ ψ′(x ′) = S(Λ)ψ(x)
así (iγµ
∂µ −m)
ψ(x) = 0 −→
(iγµ ∂
∂x ′µ−m
)ψ′(x ′) =
(iγµ
(Λ−1
)σ
µ
∂
∂xσ−m
)S(Λ)ψ(x) = 0
multiplicando por S(Λ)−1(iS(Λ)−1
γµS(Λ)
(Λ−1
)σ
µ
∂
∂xσ−m
)ψ(x) = 0 .
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 12/38
Campo de Dirac
Si queremos mantener la forma de la ecuación de Dirac
S(Λ)−1γ
µS(Λ)(
Λ−1)σ
µ
= γσ
o
S(Λ)−1γ
µS(Λ) = Λµ
νγν
Efectivamente existe S(Λ) con esa propiedad
S(Λ) = exp(− i
4ωµνσ
µν
)con
σµν =
i2
[γµ ,γν ]
y ωµν el tensor antisimétrico que caracteriza la transformaciónde Lorentz.
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 13/38
S(Λ) en general no son matrices unitariasRotaciones son matrices unitarias ya que (σ ij)† = σ ij
Boots; (σ0j)† =−σ0j es antihermítica y por lo tanto S(Λ)no es unitaria.
Como γ0(σ µν )†γ0 = σ µν
S(Λ)−1 = γ0S(Λ)†
γ0
Esta ecuación junto la anterior garantiza que cualquier bilinealque contenga matrices de Dirac se transformará correctamentebajo Lorentz. En particular
ψ(x)ψ(x)→ ψ′(x ′)ψ
′(x ′) = ψ†(x)S†(Λ)γ
0S(Λ)ψ(x) = ψ(x)ψ(x)
se transforma como un escalar y
ψ(x)γµ
ψ(x)→ ψ′(x ′)γ
µψ′(x ′) = Λ
µ
ν ψ(x)γνψ(x)
se transforma como un vector.Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 14/38
Representación reducible
La representación que hemos obtenido de las transformacionesde Lorentz es reducible, es decir, se puede descomponer enrepresentaciones más simples. En efecto, si γ5 = iγ0γ1γ2γ3
[γ5,σµν ] = 0 y [γ5,S(Λ)] = 0
Así si definimos
PL =12
(1− γ5) , PR =12
(1 + γ5)
las componentes del campo ψL = PLψ y ψR = PRψ setransforman por separado,
S(Λ)ψL = PLS(Λ)ψ y S(Λ)ψR = PRS(Λ)ψ
Los campos fundamentales son espinores de doscomponentes ψL y ψR y no el campo de Dirac completo ψ!
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 15/38
El Lagrangiano de Dirac
Para encontrar un Lagrangiano multiplicamos la ecuación deDirac por ψ
L = ψ(x)(i /∂ −m
)ψ(x)
y consideramos tanto ψ cómo ψ como variablesindependientes.Comprobemos podemos deducir lasecuaciones de movimiento exigiendo la que estacionariedad dela acción para variaciones independientes de los campos,ψ(x)→ ψ(x) + δψ(x) y ψ(x)→ ψ(x) + δψ(x)
δL (x) = δψ(x)[(
i−→/∂ −m
)ψ(x)
]+ ψ(x)
[(i−→/∂ −m
)δψ(x)
]= δψ(x)
[(i−→/∂ −m
)ψ(x)
]+ ψ(x)
[(−i←−/∂ −m
)δψ(x)
]+i∂µ (ψ(x)γ
µδψ(x))
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 16/38
Si las variaciones son tales que se anulan en los extremosdesintegración el último término no contribuye y obtenemos laecuación de Dirac para ψ y ψ. Notemos que esta deducción esválida tanto si los campos conmutan como si anticonmutan.El Lagrangiano L tiene algunos inconvenientes:
No es explícitamente real puesto que trata de formadiferente ψ y ψ. La hermeticidad del Lagrangiano esesencial en una teoría de campos, incluso al nivel clásico,puesto que garantiza que el sistema de ecuacionesdiferenciales obtenido es compatible. Al nivel cuántico elhermeticidad del Lagrangiano es también importante paragarantizar que los operadores de los observables seanhermíticos y para garantizar la unitariedad de la teoría.No tiene derivadas respecto al tiempo de ψ y por tanto ψ
no es una variable canónica.
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 17/38
Para evitar estos problemas, es frecuente utilizar unLagrangiano explícitamente hermítico
L →Lh =12(L +L †)=
i2
ψ
↔/∂ ψ−mψψ
que solo se diferencia del anterior en una divergencia (conducepues a las mismas ecuaciones de movimiento).
Es herm´Depende de de la derivada del tiempo de ψ
Sin embargo, es más complicado y enmascara el hecho de queψ y ψ no son variables canónicas independientes.
Usaremos la versión sencilla y veremos que podemos evitar losproblemas.
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 18/38
Ilustrativo ver cual es la Lagrangiano invariante Lorentz másgeneral posible1 construido con ψL y ψR
L = ZLiψL /∂ψL + ZR iψR /∂ψR + AψLψR + h.c.
Podemos redefinir los campos
ψL→ ψL/√
ZL , ψR → ψR/√
ZR
así obtenemos el término cinético canónico. Ahora siescribimos
A =−meiα , ψR → e−iαψR
y definimos ψ = ψL + ψR y llegamos al Lagrangiano de Dirac!
1Si evitamos términos de masa de Majorana.Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 19/38
Soluciones de la ecuación de Dirac
El campo de Dirac satisface también KG
ψ(x) =∫ d3~p
(2π)32Ep
(A(~p)e−ip·x + B(~p)eip·x
)con pµ = (Ep =
√~p2 + m2,~p) y donde ahora los coeficientes
A(p) y B(p) son espinores de cuatro componentes y se tienenque elegir de tal forma que ψ(x) sea solución de la ecuaciónde Dirac.Sustituyendo en la ecuación de Dirac
(/p−m)A(~p) = 0 (/p + m)B(~p) = 0
A(~p) y B(~p) serán proporcionales a espinores debidamentenormalizados que denotaremos como u(~p) y v(~p)respectivamente. Así
(/p−m)u(~p) = 0 (/p + m)v(~p) = 0
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 20/38
En el sistema de referencia en qué~p = 0
m(γ0−1)u(~0) = m
(−1 11 −1
)u(~0) = 0
Dónde hemos elegido la representación de Weyl por lasmatrices γ
γ0 =
(0 II 0
), γ
i =
(0 σ i
−σ i 0
), γ
5 =
(−I 00 I
)Las soluciones son
u(~0) =√
m(
ξ
ξ
), ξ
†ξ = 1
ξ son espinores de dos componentes normalizados.
u(~0)u(~0) = 2m .
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 21/38
Para construir espinores de momento arbitrario aplicaremos un“boost” de momento~p
u(~p) = Su(~0) ,
conS−1/pS = mγ
0 .
Entonces está claro que u(~p) es solución de la ecuación deDirac
(/p−m)u(~p) = (/p−m)Su(~0) = mS(γ0−1)u(~0) = 0
¿Qué forma tiene S para un “boost” puro de momento~p?
S =1√
2m(E + m)(/pγ
0 + m)
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 22/38
Las soluciones serán, entonces
u(~p) =1√
2m(E + m)(/p + m)u(~0) ,
donde hemos utilizado γ0u(~0) = u(~0).La forma de la solución es independiente de la representaciónpara las matrices γµ . Si elegimos la representación de Weyl
u(~p) =1√
2(E + m)(/p+m)
(ξ
ξ
)=
1√2(E + m)
((E −~p ·~σ + m)ξ
(E +~p ·~σ + m)ξ
).
usamos que
(E±~p ·~σ +m)2 = (E +m)2 +~p2±2(E +m)~p ·~σ = 2(E +m)(E±~p ·~σ) .
podemos escribir
E ±~p ·~σ + m√2(E + m)
=√
E ±~p ·~σ ,
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 23/38
o definiendo
σµ = (I,~σ) σ
µ = (I,−~σ) = σ2σ
µ∗σ
2
u(~p) =
( √p ·σξ√p · σξ
).
Una base completa de espinores tipo u(~p) es
u(~p,s) =
( √p ·σξ (s)√p · σξ (s)
), ,s =± , ξ
(s)†ξ
(r) = δsr
que satisfacen
u(~p, r)u(~p,s) = 2mδrs , u†(~p, r)u(~p,s) = 2Eδrs .
Los espinores de dos componentes ξ (s) se pueden elegir
ξ(+)e =
(10
), ξ
(−) =
(01
),
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 24/38
de forma que, cuando la partícula está en reposo, representanlas dos componentes del espín quantizado en la dirección deleje z.Más generalmente podríamos cuantizar el espín en unadirección arbitraria~n0, |~n0|= 1
~σ ·~n0 ξ(±) =±ξ
(±) , ξ(s)†
ξ(r) = δsr , s =± .
Es frecuente elegir las fases como
ξ(−) =−iσ2ξ
(+)∗
Con esta convención si ξ (+) =
(10
), entonces ξ (−) =
(01
).
Puesto que que
u(~p,s)u(~p,s)u(~p,s′) = 2mδss′u(~p,s)
el proyector sobre espinores u(~p,s) será u(~p,s)u(~p,s)
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 25/38
Los proyectores
u(~p,s)u(~p,s) = Su(~0,s)u(~0,s)S−1 = mS(
ξ (s)
ξ (s)
)(ξ
(s)†,ξ (s)†)
γ0S−1
= mS(
ξ (s)ξ (s)† 00 ξ (s)ξ (s)†
)(I II I
)S−1
comoξ
(s)ξ
(s)† =12(I + s~σ ·~n0
)tendremos
u(~p,s)u(~p,s) = m12
S(
1 + s~Σ ·~n0
)(γ
0 + 1)S−1
donde~Σ =
(~σ 00 ~σ
)=(
σ23,σ31,σ12
)= γ5γ
0~γ ,
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 26/38
y hemos utilizado que (en la representación de Weyl)(I II I
)= γ
0 + 1 .
si usamos que ~Σ(γ0 + 1) =−γ5~γ(γ0 + 1) y definimos n0 ≡ (0,~n)el proyector se puede escribir como
u(~p,s)u(~p,s) = m12
S (1 + sγ5/n0)(γ0 + 1)S−1
=12
(1 + sγ5/n)(/p + m)
donde /n ≡ S/n0S−1 n2 =−1 , np = 0.Claramente la suma sobre espines es
∑s=±
u(~p,s)u(~p,s) = /p + m
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 27/38
Espinores v(~p,s)
De forma parecida a cómo hemos construido los espinoresu(~p,s) podemos construir los espinores v(~p,s) que satisfacen(/p + m)v(~p,s) = 0
v(~p,s) =
(−√p ·ση(s)√
p · ση(s)
), η
(±) =−iσ2ξ(±)∗
Los espinores v(p,s) están normalizados según
v(~p, r)v(~p,s) =−2mδrs v†(~p, r)v(~p,s) = 2Eδrs .
además son ortogonales a los espinores u(p,s) en el sentidoque
u(~p, r)v(~p,s) = v(~p, r)u(~p,s) = 0
Los proyectores son
v(~p,s)v(~p,s) =12
(1 + sγ5/n)(/p−m)
∑s=±
v(~p,s)v(~p,s) = /p−mArcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 28/38
Matriz C y espinores v(~p,s)
Hay otra forma de construir los espinores v(~p,s): Podemoscomprobar que existe una matriz de Dirac, C ≡ iγ2γ0, tal que
CγµC−1 =−γ
µT , CT = C† = C−1 =−C
Si u(~p) es solución de la ecuación de Dirac (/p−m)u(~p) = 0,
entonces v(~p)≡ Cu(~p)T
satisface la ecuación de Dirac paraspinores de tipo v :
(/p−m)u(~p) = 0 ⇒ u(~p)(/p−m) = 0 ⇒ (/pT −m)u(~p)T
= 0
⇒ C(/pT −m)CCu(~p)T
= 0 ⇒ (/p + m)v(~p) = 0 .
Las convenciones de fase son tales que
v(~p,±) = Cu(~p,±)T
, u(~p,±) = Cv(~p,±)T.
La matriz C nos permitirá construir una simetría discretallamada conjugación de carga.
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 29/38
Proyectores normalizados
A partir de las sumas sobre espines definimos
Λ+ ≡ 12m ∑
s=±u(~p,s)u(~p,s) =
/p + m2m
Λ− ≡ − 12m ∑
s=±v(~p,s)v(~p,s) =
−/p + m2m
que satisfacen (Λ+)2 = Λ+, (Λ−)2 = Λ− y Λ+Λ− = Λ−Λ+ = 0 yΛ+ + Λ− = 1. Λ+, Λ− son proyectores que proyectan sobre losespinores de tipos u o sobre los de tipos v respectivamente.Igualmente definimos los proyectores de espín
Ps(n)≡ 12
(1 + s γ5/n) , s =±
satisfacen PsPs′ = δss′Ps, P+ + P− = 1 y conmutan con Λ±,PsΛ±= Λ±Ps. Así Ps(n)Λ+ proyecta sobre espinores u(~p,s),mientras Ps(n)Λ− proyecta sobre espinores v(~p,s)
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 30/38
Espinores de helicidad
Si~n0 =~p/|~p| ≡ p no hace falta introducir ninguna direcciónadicional.Espinores propios de helicidad u(p,λ ), v(p,λ )
p ·~Σu(~p,±) =±u(~p,±), p ·~Σv(~p,±) =∓v(~p,±)
puesto que p ·~σξ (λ) = λ |~p|ξ (λ) y p ·~ση(λ) = λ |~p|η(λ).Helicidad conmuta con el boost de momento p
S p ·~Σ = p ·~ΣS ,
Espinores propios de p ·~Σ en reposo también lo son despuésdel “boost”.Los proyectores son
u(~p,λ )u(~p,λ ) =12
(1 + λ p ·~Σ
)(/p + m)
v(~p,λ )v(~p,λ ) =12
(1−λ p ·~Σ
)(/p−m)
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 31/38
Proyectores de helicidad
Así los proyectores de helicidad son
Π± ≡12
(1± p ·~Σ
),
que cumplen
(Π±)2 = Π±, Π±Π∓ = 0, Π+ + Π− = 1 .
además conmutan con los proyectores Λ±.
[Λ+,Π±] = [Λ−,Π±] = 0 .
así tenemos los siguientes proyectores sobrepartículas-antipartículas con helicidad ±.
Π+Λ+ −→ u(~p,+) , Π−Λ+ −→ u(~p,−)
Π+Λ− −→ v(~p,−) , Π−Λ− −→ v(~p,+)
v(~p,±): antipartícula con helicidad ± pero se proyecta con losproyectores cambiados de signo Π∓.
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 32/38
Igualmente podemos usar los proyectores de espínP±(n) = 1
2(1± γ5/n) para el helicidad si n es cuadrivectortransformado de p por lo “boost”.Notemos que aunque S conmuta con p~Σ, no conmuta con p~γ
/n ≡−Sp ·~γS−1 =|~p|m
γ0− E
mp ·~γ ,=⇒ nµ = (
|~p|m
,Em
p) .
Los cuatro espinores de helicidad, en la representación deWeyl para las matrices de Dirac y con la convención de faseshabitual son
u(~p,+) =
√E −
∣∣~p∣∣ξ (+)√E +
∣∣~p∣∣ξ (+)
, u(~p,−) =
√E +
∣∣~p∣∣ξ (−)√E −
∣∣~p∣∣ξ (−)
v(~p,+) =
−√E +∣∣~p∣∣ξ (−)√
E −∣∣~p∣∣ξ (−)
, v(~p,−) =
√E −
∣∣~p∣∣ξ (+)
−√
E +∣∣~p∣∣ξ (+)
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 33/38
Límite ultrarelativista
Estos espinores se simplifican considerablemente en el límiteultrarelativista
u(~p,+)Em−→ −v(~p,−)
Em−→√
2E(
0ξ (+)
),
u(~p,−)Em−→ −v(~p,+)
Em−→√
2E(
ξ (−)
0
).
La base de cuatro espinores colapsa a sólo dos espinores queson propios de γ5 (con autovalores ± para las helicidades ±).El límite ultrarelativista coincide con el límite m→ 0 y en estelímite la ecuación que satisfacen los espinores u(~p,λ ) y v(~p,λ )es la misma. De hecho para m→ 0 la ecuación de Dirac es laecuación de Weyl
/pω(~p) = 0
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 34/38
Usando ~Σ = γ5γ0~γ y ~γ ·~pω(~p) = Eγ0ω(~p), con E =∣∣~p∣∣
tenemos
p ·~Σω(~p) =1∣∣~p∣∣γ5γ
0~γ ·~pω(~p) = γ5ω(~p) ,
en el límite m→ 0 la helicidad viene dada por la matriz de Diracγ5, llamada quiralidad y, por lo tanto, los proyectores dehelicidad coinciden con los de quiralidad, PL = 1
2(1− γ5) yPR = 1
2(1 + γ5) cuando actúan sobre estados que son soluciónde la ecuación de Weyl,
Π±ω(~p)→ 12
(1± γ5)ω(~p) , si /pω(~p) = 0
En la representación de Weyl dónde PL proyecta sobre lascomponentes de arriba y PR sobre las de abajo.
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 35/38
Cambio de representación
La forma concreta de los espinores u(~p,s) depende de larepresentación utilizada para las matrices de DiracMuchos de los resultados obtenidos son independientesde la forma de las matrices de Dirac.De una representación a otra se pasa multiplicado por unamatriz unitaria
γµ → Uγ
µU†, U†U = UU† = 1
y los espinores cambiaran como
u(~p,s)→ Uu(~p,s), v(~p,s)→ Uv(~p,s)
así es inmediato ver que las siguientes propiedades secumplen independientemente de la representación y valentanto para espín como para helicidad
(/p−m)u(~p,s) = 0 (/p + m)v(~p,s) = 0
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 36/38
u(~p, r)u(~p,s) = 2mδrs u†(~p, r)u(~p,s) = 2Eδrs
v(~p, r)v(~p,s) =−2mδrs v†(~p, r)v(~p,s) = 2Eδrs
u(~p, r)v(~p,s) = v(~p, r)u(~p,s) = 0 = u†(~p, r)v(−~p,s) = v†(−~p, r)u(~p,s)
∑s=±
u(~p,s)u(~p,s) = /p + m , ∑s=±
v(~p,s)v(~p,s) = /p−m
Igualmente la forma de los proyectores sobre espín definidoson independientes de la representación.Para cambiar de representación es suficiente encontrar lamatriz U.
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 37/38
Ejemplo: Cambio de Weyl–Dirac
U =1√2
(1 1−1 1
)γ
µ
Dirac = Uγµ
WeylU†
y por lo tanto
uDirac(~p,s) = UuWeyl(~p,s) =1√
(E + m)
((E + m)ξ (s)
~p ·~σξ (s)
)mientras
vDirac(~p,s) = UvWeyl(~p,s) =1√
(E + m)
(~p ·~ση(s)
(E + m)η(s)
).
En el límite NR,~p =~0, los espinores u, en la representación deDirac, sólo tienen la componente superior mientras losespinores v sólo tienen la componente de abajo: másconveniente para estudiar el límite NR!
Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 38/38
Tema 4:El campo de Dirac: cuantización y simetrías
discretas
Arcadi Santamaria
15 de octubre de 2009
Contenido
1 Cuantización del campo de Dirac: reglas deanticonmutación y causalidad
Operador cargaEl cuadrimomentoEl momento angularEl propagador del campo de Dirac
2 Simetrías discretasParidadConjugación de cargaInversión temporalCPT
Arcadi Santamaria Tema 4: El campo de Dirac: cuantización y simetrías discretas 15 de octubre de 2009 2/39
La solución más general de la ecuación de Dirac es
ψ(x) = ∑s
∫ d3~p(2π)32Ep
(a(~p,s)u(~p,s)e−ip·x + b†(~p,s)v(~p,s)eip·x
)Para cuantizar el campo reinterpretaremos los coeficientesa(~p,s) y b†(~p,s) como operadores de creación y destrucción.Veremos que la cuantización solo tiene sentido si los campossatisfacen reglas de anticonmutación pero de momento noharemos ninguna hipótesis al respecto.Partiremos de
L (x) = ψ(x)(i /∂ −m
)ψ(x)
y construiremos las diferentes cargas conservadas usando elT. de Noether sin suponer que los campos conmuten (oanticonmuten)
Arcadi Santamaria Tema 4: El campo de Dirac: cuantización y simetrías discretas 15 de octubre de 2009 3/39
Teorema de Noether para el Lagrangiano de Dirac
Bajo una transformación infinitesimal,ψ(x)→ ψ(x) + δψ(x),ψ(x)→ ψ(x) + δψ(x), tenemos que
δL (x) = δψ(x)[(
i−→/∂ −m
)ψ(x)
]+ ψ(x)
[(i−→/∂ −m
)δψ(x)
]= δψ(x)
[(i−→/∂ −m
)ψ(x)
]+ ψ(x)
[(−i←−/∂ −m
)δψ(x)
]+iψ(x)
−→/∂ δψ(x) + iψ(x)
←−/∂ δψ(x) = i∂µ (ψ(x)γ
µδψ(x))
para ψ(x) y ψ(x) que satisfacen las ecuaciones de movimiento.Si bajo la transformación, δL = ∂µw µ tendremos
∂µ (iψ(x)γµ
δψ(x)−w µ ) = 0 , δL = ∂µw µ
Arcadi Santamaria Tema 4: El campo de Dirac: cuantización y simetrías discretas 15 de octubre de 2009 4/39
Operador carga
Las transformaciones de fase se escriben como
ψ′(x) = eiqα
ψ(x)≈ψ(x)+ iqαψ(x), δψ = iqαψ , δL = 0
así
0 =−α∂µ (qψ(x)γµ
ψ(x)) ,
y por lo tanto
jµ = qψ(x)γµ
ψ(x) , ∂µ jµ = 0
y el operador carga conservado será
Q = q∫
d3~x(ψ
†(x)ψ(x))
Arcadi Santamaria Tema 4: El campo de Dirac: cuantización y simetrías discretas 15 de octubre de 2009 5/39
El cuadrimomento
Las translaciones de coordenadas son
ψ′(x + a) = ψ(x) .
y por lo tanto
ψ′(x) = ψ(x−a)≈ ψ(x)−aν
∂νψ(x)
δψ =−aν∂νψ , δL =−aµ
∂µL
Inmediatamente encontramos
0 = ∂µ (−aν iψ(x)γµ
∂νψ(x) + aµL ) =−aν∂µ
(iψ(x)γ
µ∂νψ(x)−gµ
ν L)
y por lo tanto el tensor energía-impulso es
T µ
ν = iψ(x)γµ
∂νψ(x)−gµ
ν L , ∂µT µ
ν = 0
Arcadi Santamaria Tema 4: El campo de Dirac: cuantización y simetrías discretas 15 de octubre de 2009 6/39
mientras el operador conservado es el cuadrimomento
Pµ =∫
d3~x(
iψ(x)γ0∂
µψ(x)−g0µL
)en particular el operador energía es
H =∫
d3~x(
iψ(x)γ0ψ(x)−L
)=∫
d3~xψ(x)(−i~γ ·~∇ + m
)ψ(x)
=∫
d3~xψ†(x)iψ(x)
donde en el ultimo paso hemos usado las ecuaciones demovimiento (nótese que, de momento H, es el operadorenergía y no el Hamiltoniano canónico)El operador momento lineal es
~P =−∫
d3~xψ†(x)i~∇ψ(x).
Arcadi Santamaria Tema 4: El campo de Dirac: cuantización y simetrías discretas 15 de octubre de 2009 7/39
El momento angular
Las transformaciones de Lorentz son ψ ′(Λx) = S(Λ)ψ(x) y porlo tanto
ψ′(x) = S(Λ)ψ(Λ−1x)≈
(1− i
4ωµνσ
µν
)ψ(xµ −ωµνxν )≈
≈ ψ(x)− i4
ωµνσµν
ψ(x)−ωµνxν∂
µψ(x) = ψ(x) + δψ
entonces
δψ(x) =−12
ωσρ
(i2
σσρ + xρ
∂σ −xσ
∂ρ
)ψ(x)
Como el Lagrangiano es escalar
δL (x) =−ωµνxν∂
µL =−∂µ
(gµσ
ωσρxρL)
Arcadi Santamaria Tema 4: El campo de Dirac: cuantización y simetrías discretas 15 de octubre de 2009 8/39
Insertando estos resultados en la formula general
0 =12
ωσρ∂µ
(iψ(x)γ
µ( i
2σ
σρ + xρ∂
σ −xσ∂
ρ)ψ(x)
−(gµσ xρ −gµρxσ
)L
)y
M µσρ =−iψ(x)γµ( i
2σ
σρ + xρ∂
σ −xσ∂
ρ)ψ(x)
+(gµσ xρ −gµρxσ )L
que satisface ∂µM µσρ = 0 mientras el operador conservado es
Mσρ =∫
d3~x(− iψ(x)γ
0( i2
σσρ + xρ
∂σ −xσ
∂ρ)ψ(x)
+(
g0σ xρ −g0ρxσ
)L
)Arcadi Santamaria Tema 4: El campo de Dirac: cuantización y simetrías discretas 15 de octubre de 2009 9/39
El momento angular viene dado por las componentes con losíndices espaciales
~J =(
M23,M31,M12)
y
~J =∫
d3~x(
ψ†(x)
(12~Σ +~x×
(−i~∇
))ψ(x)
)El último término da la contribución del momento angularorbital.El primer término da la contribución del espín al momentoangular total.
Una vez tenemos los operadores relevantes en términos de loscampos podemos pasar a ver qué forma tienen en términos delos operadores a(~p,s) y b†(~p,s)
Arcadi Santamaria Tema 4: El campo de Dirac: cuantización y simetrías discretas 15 de octubre de 2009 10/39
El Hamiltoniano
H =∫
d3~xψ†(x)iψ(x) = ∑
ss′
∫d3~x
d3~p(2π)32Ep
d3~p ′
(2π)32Ep′Ep
(a†(~p ′,s′)a(~p,s)u†(~p ′,s′)u(~p,s)ei(p′−p)·x
−b(~p ′,s′)b†(~p,s)v†(~p ′,s′)v(~p,s)e−i(p′−p)·x
+b(~p ′,s′)a(~p,s)v†(~p ′,s′)u(~p,s)ei(p′+p)·x
−a†(~p ′,s′)b†(~p,s)u†(~p ′,s′)v(~p,s)e−i(p′+p)·x)
Integrando y utilizando las propiedades de ortogonalidad ynormalización de los espinores u(~p,s) y v(~p,s) encontramos
H = ∑s
∫ d3~p(2π)32Ep
Ep(a†(~p,s)a(~p,s)−b(~p,s)b†(~p,s)
)Arcadi Santamaria Tema 4: El campo de Dirac: cuantización y simetrías discretas 15 de octubre de 2009 11/39
Problema: Hamiltoniano no acotadoSi interpretamos los operadores b(~p,s) y b†(~p,s) comooperadores de creación y destrucción bosónicos elHamiltoniano no está acotado por abajo!
SoluciónEl álgebra de operadores de creación y destrucción del campode Dirac se debe realizar con anticonmutadores: signo menosen del anticonmutador hace queb(~p,s)b†(~p,s)→−b†(~p,s)b(~p,s) + · · ·
a(~p,s),a†(~p ′,s′)
= (2π)32Epδsr δ
(3)(~p−~p′)b(~p,s),b†(~p ′,s′)
= (2π)32Epδsr δ
(3)(~p−~p′)a(~p,s),a(~p,s)
=
b(~p,s),b(~p ′,s′)
=
a(~p,s),b†(~p ′,s′)
= 0
Arcadi Santamaria Tema 4: El campo de Dirac: cuantización y simetrías discretas 15 de octubre de 2009 12/39
Así el Hamiltoniano, además de una constante infinita queeliminaremos por N-ordenación se escribe como
H = ∑s
∫ d3~p(2π)32Ep
Ep(a†(~p,s)a(~p,s) + b†(~p,s)b(~p,s)
)que es definido positivo y tiene la forma general que debe tenercualquier hamiltoniano: la suma de las energías de todas laspartículas (y antipartículas). Es trivial comprobar que[
H,a†(~p,s)]
= Epa†(~p,s),[H,b†(~p,s)
]= Epb†(~p,s)
y así tanto el operador a†(~p,s) cómo b†(~p,s) crean estados deenergía Ep a partir del vacío
Ha†(~p,s) |0〉= Epa†(~p,s) |0〉 , Hb†(~p,s) |0〉= Epb†(~p,s) |0〉
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El momento lineal
Para el momento obtenemos
~P = ∑s
∫ d3~p(2π)32Ep
~p(a†(~p,s)a(~p,s)−b(~p,s)b†(~p,s)
)así si los b(~p,s) anticonmutan
~P = ∑s
∫ d3~p(2π)32Ep
~p(a†(~p,s)a(~p,s) + b†(~p,s)b(~p,s)
)Como en el caso del Hamiltoniano es fácil ver que
~Pa†(~p,s) |0〉=~pa†(~p,s) |0〉 , ~Pb†(~p,s) |0〉=~pb†(~p,s) |0〉
y así tanto a†(~p,s) cómo b†(~p,s) crean estados de momento~p.
Arcadi Santamaria Tema 4: El campo de Dirac: cuantización y simetrías discretas 15 de octubre de 2009 14/39
El operador carga
Q = q ∑s
∫ d3~p(2π)32Ep
(a†(~p,s)a(~p,s) + b(~p,s)b†(~p,s)
)otra vez la propiedad de anticonmutación nos permite escribir,además de una constante
Q = q ∑s
∫ d3~p(2π)32Ep
(a†(~p,s)a(~p,s)−b†(~p,s)b(~p,s)
)y
Qa†(~p,s) |0〉= qa†(~p,s) |0〉 , Qb†(~p,s) |0〉=−qb†(~p,s) |0〉
a†(~p,s) crea estados de carga qb†(~p,s) crea estados de carga −q.Q solo es la carga si los b(~p,s) anticonmutan!
Arcadi Santamaria Tema 4: El campo de Dirac: cuantización y simetrías discretas 15 de octubre de 2009 15/39
El momento angular
En MQ el momento angular no se suma tan fácilmente como lacarga o la energía y no se pueda expresar de forma sencilla entérminos de los operadores de creación y destrucción.Afortunadamente Jz = J3 sí es aditivo y tiene una expresiónmas sencilla.Eligiendo~p = (0,0,
∣∣~p∣∣) helicidad y espín son lo mismo y latercera componente del momento angular sólo tienecontribuciones de la parte de espín.Usando las reglas de anticonmutación obtenemos
[Jz ,a†(~p,±)
]=±1
2a†(~p,±)
[Jz ,b†(~p,±)
]=±1
2b†(~p,±)
y
Jza†(~p,±) |0〉=±12
a†(~p,±) |0〉 Jzb†(~p,±) |0〉=±12
b†(~p,±) |0〉 .
Arcadi Santamaria Tema 4: El campo de Dirac: cuantización y simetrías discretas 15 de octubre de 2009 16/39
Los estados
Así puesa†(~p,±) crea estados con momento~p, helicidades ±, ycarga q.b†(~p,±) crea estados con momento~p, helicidades ±, ycarga −q.
por tanto definimos∣∣~p,±,a⟩≡ a†(~p,±) |0〉
∣∣~p,±, a⟩≡ b†(~p,±) |0〉
que están normalizados correctamente
〈~p,s,a∣∣~p ′,s′,a⟩= 2Ep(2π)3
δss′δ(3)(~p−~p ′)
〈~p,s, a∣∣~p ′,s′, a⟩= 2Ep(2π)3
δss′δ(3)(~p−~p ′)
〈~p,s,a∣∣~p ′,s′, a⟩= 0
Si los electrones son las partículas,q =−1 y a†(~p,±) crearáelectrones con momento~p y helicidades ± y b†(~p,±) crearápositrones con momento~p y helicidades ±.
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Transformaciones de Lorentz
Bajo T. Lorentz p′ = Λp mientras el espín no cambia. Así, siU(Λ) es el operador unitario que actuando sobre los estadosgenera la transformación de Lorentz exigiremos
U(Λ)a†(~p,s)U(Λ)−1 = a†(−→Λp,s) , U(Λ)b†(~p,s)U(Λ)−1 = b†(
−→Λp,s)
mientras para los estados tendremos (ya que U(Λ) |0〉= 0)
U(Λ)∣∣~p,s,a
⟩=∣∣∣−→Λp,s,a
⟩U(Λ)
∣∣~p,s, a⟩
=∣∣∣−→Λp,s, a
⟩además usando que
u(−−−→Λ−1p,s) = S(Λ)−1u(~p,s) y v(
−−−→Λ−1p,s) = S(Λ)−1v(~p,s)
podemos calcular cómo se transforma el campo1
U(Λ)ψ(x)U(Λ)−1 = S(Λ)−1ψ(Λx)
1Recordemos que ψ ′(x) = S(Λ)ψ(Λ−1x)
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Reglas de anticonmutación de los campos
Conociendo las reglas de anticonmutación de a(~p,s) y b(~p,s)podemos calcular las reglas de anticonmutación de los campos
ψa(~x , t),ψ†b(~x ′, t)
= δabδ
(3)(~x−~x ′),
ψa(~x , t),ψb(~x ′, t)
= 0
Este resultado, se obtendría si iψ†(x) fuera el momentocanónico conjugado de ψ(x) e impusieramos las reglascuantización canónicas pero substituyendo conmutadores poranticonmutadores.Esta interpretación es consistente:
El Hamiltoniano se puede expresar exclusivamente entérminos de ψ(x) y ψ†(x) sin que aparezca ningunaderivada respecto el tiempo de los campos.Usando el Hamiltoniano, las reglas de anticonmutación eimponiendo las ecuaciones de Heisenberg −iψ = [H,ψ]recuperamos la ecuación de Dirac.
Arcadi Santamaria Tema 4: El campo de Dirac: cuantización y simetrías discretas 15 de octubre de 2009 19/39
El procedimiento que hemos seguido para cuantizar el campode Dirac libre hace uso explícito de la solución.En teorías con interacción no podremos resolver lasecuaciones de movimiento exactamente. Sin embargo,podremos seguir escribiendo una densidad Hamiltoniana entérminos la variable canónica ψ y su momento conjugado iψ†.En ese caso la cuantización se impondrá postulando lasmismas reglas de anticonmutación que hemos visto para elcaso libre:
ψa(~x , t),ψ†
b(~x ′, t)
= δabδ(3)(~x−~x ′) ,
ψa(~x , t),ψb(~x ′, t)
= 0
Con esto tendremos perfectamente definida la teoría a nivelcuántico y podremos proceder a buscar solucionesaproximadas.
Arcadi Santamaria Tema 4: El campo de Dirac: cuantización y simetrías discretas 15 de octubre de 2009 20/39
Anticonmutadores covariantes
Conociendo el desarrollo del campo y las reglas deconmutación de a(~p,s) y b(~p,s) podemos calcular laanticonmutador de los campos en puntos diferentes
ψ(x), ψ(x ′)
= ∑s
∫ d3~p(2π)32Ep
(u(~p,s)u(~ps)e−ip·(x−x ′) + v(~p,s)v(~p,s)eip·(x−x ′)
)=∫ d3~p
(2π)32Ep
((/p + m
)e−ip·(x−x ′) +
(/p−m
)eip·(x−x ′)
)=(i /∂ x + m
)∫ d3~p(2π)32Ep
(e−ip·(x−x ′)−eip·(x−x ′)
)=(i /∂ x + m
)i∆(x −x ′)
∆(x−x ′) la misma función del campo escalar[φ(x),φ(x ′)] = i∆(x−x ′) que se anula para (x−x ′) < 0.¿Qué pasa si cuantizamos con conmutadores?
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Propagador de Feynman para el campo de Dirac
IgualmenteSF (x)≡
(i /∂ + m
)DF (x) =
=∫ d4p
(2π)4
i(/p + m
)p2−m2 + iε
e−ip·x =∫
CF
d4p(2π)4
i(/p−m
)e−ip·x
SF (x) es una función de Green para la ecuación de Dirac(i /∂ −m
)SF (x) =−
(∂
2 + m2)
DF (x) = iδ (4)(x)
Integrando en p0 y utilizando el teorema de los residuos
SF (x)ab = 〈0|T (ψa(x)ψb(0)) |0〉con
T (ψa(x)ψb(y)) = θ(x0−y0)ψa(x)ψb(y)−θ(y0−x0)ψb(y)ψa(x)
Importante el signo menos!Arcadi Santamaria Tema 4: El campo de Dirac: cuantización y simetrías discretas 15 de octubre de 2009 22/39
Simetrías discretas
Solo visto grupo de Lorentz propio ortocrono L↑+x2 = t2−
∣∣~x∣∣2 también invariante bajo~x →−~x o t →−tImportante conocer si son simetrías de la naturalezaVeremos que efectivamente es posible definir estas simetríasde forma que el Lagrangiano de Dirac sea invariante.Veremos que también es invariante respecto a una simetríadiscreta adicional que transforma partículas en antipartículasconocida como conjugación de carga.La situación cuando añadimos interacciones es diferente:
Las interacciones electromagnética y fuerte conservan lastres simetrías: P , T y CLas débiles violanC y P separadamente y en algunoscasos muy especiales también violan CP y T .No se ha descubierto hasta ahora ninguna interacción queviole CPT (predicción de TQC!)
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Representaciones
Tres tipos de representación de las transformaciones deLorentz:
Sobre coordenadas x ′µ = Λµ
ν xν
Sobre campos ψ ′(x ′) = S(Λ)ψ(x). S(Λ) matriz de Dirac
Sobre estados U(Λ)∣∣~p⟩=
∣∣∣−→Λp⟩
. U(Λ) unitaria
Igualmente para las simetrías discretas:P y T sobre las coordenadas,AP , AT y AC serán las matrices de Dirac necesarias paradefinir correctamente las transformaciones de los camposU(P), U(T ) y U(C) serán los operadores que actúansobre los estados del espacio de Hilbert
U(P) y U(C) unitariosU(T ) antiunitario (antilineal y U(T )−1 = U(T )†)
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Paridad
x = (x0,~x)→ x = (x0,−~x),p = (p0,~p)→ p = (p0,−~p), ~L =~x×~p invarianteNecesitamos U(P)† = U(P)−1 cambie~p pero no el espín:
U(P)a†(~p,s)U(P)−1 = η∗aa†(−~p,s)
U(P)b†(~p,s)U(P)−1 = η∗bb†(−~p,s)
s espín no helicidad (helicidad más complicado). Así
U(P)∣∣~p,s,a
⟩= η
∗a∣∣−~p,s,a
⟩, U(P)
∣∣~p,s, a⟩
= η∗b∣∣−~p,s, a
⟩y sustituyendo en los campos tenemos
U(P)ψ(x)U(P)−1 =
= ∑s
∫ d3~p(2π)32Ep
(ηaa(−~p,s)u(~p,s)e−ip·x + η
∗bb†(−~p,s)v(~p,s)eip·x
)Arcadi Santamaria Tema 4: El campo de Dirac: cuantización y simetrías discretas 15 de octubre de 2009 25/39
cambiando~p→−~p y utilizando γ0/p = /pγ0 y
u(−~p,s) = γ0u(~p,s) , v(−~p,s) =−γ
0v(~p,s)
encontramos que
U(P)ψ(x)U(P)−1 =
= γ0∑s
∫ d3~p(2π)32Ep
(ηaa(~p,s)u(~p,s)e−ip·x −η
∗bb†(~p,s)v(~p,s)eip·x
)Así si η∗b =−ηa tenemos que
U(P)ψ(x)U(P)−1 = ηaγ0ψ(x) ,
AP ≡ ηaγ0 juega el papel de S(Λ) para las T. de Lorentz.Alternativamente: Si ψp(x)≡ APψ(x) es solución de la eq. deDirac A−1
P γµAP = γµ que se satisface para AP = ηaγ0 con ηauna fase arbitraria
Arcadi Santamaria Tema 4: El campo de Dirac: cuantización y simetrías discretas 15 de octubre de 2009 26/39
Igualmente
U(P)ψ(x)U(P)−1 = η∗aψ
†(x) = η∗aψ(x)γ
0
¿Cómo se transforman los diferentes bilineales que se puedenusar para construir el Lagrangiano?
ψ(x)ψ(x), iψ(x)γ5ψ(x)
ψ(x)γµ
ψ(x), ψ(x)γµ
γ5ψ(x), ψ(x)σµν
ψ(x)
Escalar
U(P)ψ(x)ψ(x)U(P)−1 = |ηa|2 ψ(x)γ0γ
0ψ(x) = ψ(x)ψ(x)
Pseudoescalar
U(P)iψ(x)γ5ψ(x)U(P)−1 = |ηa|2 iψ(x)γ0γ5γ
0ψ(x) =
=−iψ(x)γ5ψ(x)
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Vector
U(P)ψ(x)γµ
ψ(x)U(P)−1 = |ηa|2 ψ(x)γ0γ
µγ
0ψ(x) = ψ(x)γ
µψ(x)
Vector axial
U(P)ψ(x)γµ
γ5ψ(x)U(P)−1 = |ηa|2 ψ(x)γ0γ
µγ5γ
0ψ(x) =
=−ψ(x)γµ
γ5ψ(x)
Tensor
U(P)ψ(x)σµν
ψ(x)U(P)−1 = |ηa|2 ψ(x)γ0σ
µνγ
0ψ(x)
y por lo tanto
U(P)ψ(x)σ0i
ψ(x)U(P)−1 =−ψ(x)σ0i
ψ(x)
U(P)ψ(x)σijψ(x)U(P) = ψ(x)σ
ijψ(x)
La fase ηa desaparece de todos los bilinealesArcadi Santamaria Tema 4: El campo de Dirac: cuantización y simetrías discretas 15 de octubre de 2009 28/39
Paridades intrínsecas
ηa desaparece de todos los bilineales pero el signo enη∗b =−ηa es relevante: Los estados partícula-antipartículatienen signo − bajo paridad
U(P)a†(~p1,s1)b†(~p2,s2) |0〉=−a†(−~p1,s1)b†(−~p2,s2) |0〉
Dos aplicaciones sucesivas de paridad nos devuelven almismo estado: U(P)2 = ηP I o redefiniendoU(P)→ η
1/2P U(P) siempre podemos escribir U(P)2 = I y
η2a = 1 y ηa =±1.
Para un solo campo irrelevante.Para varios campos que interaccionan conservando paridad esposible elegir consistentemente las fases de todas laspartículas de forma que sean +1 o −1 y se conserve en lasinteracciones.Estas cantidades se denominan las paridades intrínsecas
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Paridad para el campo escalar y vector
Lo hecho para el campo de Dirac se puede hacer con KG
U(P)φ(x)U(P)−1 = ηφ φ(x)
Si P se conserva podremos elegir ηφ =±1.Escalar: espín cero con paridad +1 (se transforma comoel bilineal escalar: el mesón σ )Pseudoescalar: espín cero y paridad −1 (transforma comoel bilineal pseudoescalar: π)
Igual con campos de espín 1:Vector: como bilineal vector.Vector axial: como el bilineal vector axial.
Fotones (y también gluones) se transforman como vectores: Siψ(x)γµψ(x)Aµ (x) tiene que conservar paridad
U(P)Aµ (x)U(P)−1 = Aµ (x) .
Paridad intrínseca −1: solo las componentes espaciales sonfísicas y éstas cambian de signo bajo paridad.
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Conjugación de carga
Busquemos ahora U(C) unitario tal que
U(C)a†(~p,s)U(C)−1 = ηab†(~p,s)
U(C)b†(~p,s)U(C)−1 = ηaa†(~p,s)
Como con paridad U(C)2 = I y ηaηa = 1 o ηa = η∗aPara los estados tendremos
U(C)∣∣~p,s,a
⟩= ηa
∣∣~p,s, a⟩
, U(C)∣∣~p,s, a
⟩= ηa
∣∣~p,s,a⟩
Sustituyendo el desarrollo del campo encontramos que
U(C)ψ(x)U(C)−1
= ∑s
∫ d3~p(2π)32Ep
(η∗ab(~p,s)u(~p,s)e−ip·x + ηaa†(~p,s)v(~p,s)eip·x
)= η
∗aC ∑
s
∫ d3~p(2π)32Ep
b(~p,s)v(~p,s)T
e−ip·x + a†(~p,s)u(~p,s)T
eip·x
= η∗aCψ(x)
T
Arcadi Santamaria Tema 4: El campo de Dirac: cuantización y simetrías discretas 15 de octubre de 2009 31/39
donde hemos usado ηa = η∗a y que existe C ≡ iγ2γ0 tal que
v(~p,s) = Cu(~p,s)T
, u(~p,s) = Cv(~p,s)T
CγµC−1 =−γ
µT , CT = C† = C−1 =−C
Para campos de Dirac la fase η∗a es irrelevante y la podemoselegir igual a 1.Ya no es cierto para campos que describen partículas que sonsus propias antipartículas (fotones, piones neutros, etc).En este caso, como ηa = η∗a = ηa, la fase sólo puede ser ±1, yel signo se tiene que asignar de forma que se preserve lasimetría.Son autoestados de C
Fotón, γ: −1Pión neutro, π0: +1
Arcadi Santamaria Tema 4: El campo de Dirac: cuantización y simetrías discretas 15 de octubre de 2009 32/39
Transformación de bilineales
Utilizando las propiedades de C tenemos que
ψc(x) = Cψ(x)
T= Cγ
0Tψ∗(x)
también es solución de la eq. de Dirac y AC ≡ Cγ0T juega elpapel que S(Λ) para las T. de Lorentz: bajo Lorentz ψc(x) setransforma como ψ(x), ψ
′c(x ′) = S(Λ)ψc(x)
Cγ0T S(Λ)∗ = C
(S†(Λ)γ
0)T
= C(
γ0S−1(Λ)
)T= S(Λ)Cγ
0T
donde hemos usado la forma de S(Λ) y que C(σ µν )T =−σ µνCψ se transforma como
ψ → ψc = ψT
γ0∗C†
γ0 = ψ
T C ,
y los bilineales (Los campos anticonmutan!)
ψψ → ψcψc = ψ
T CCψT =−ψ
Tψ
T = ψψ
Arcadi Santamaria Tema 4: El campo de Dirac: cuantización y simetrías discretas 15 de octubre de 2009 33/39
Pseudoescalar
iψγ5ψ → iψcγ5ψc = iψT Cγ5Cψ
T =−iψTγ
T5 ψ
T = iψγ5ψ
Vector
ψγµ
ψ → ψcγµ
ψc = ψ
T CγµCψ
T = ψT
γµT
ψT =−ψγ
µψ
La corriente cambia de signo bajo C!Igualmente
ψγµ
γ5ψ → ψγµ
γ5ψ , ψσµν
ψ →−ψσµν
ψ
Como la corriente cambia de signo bajo C, si ψ(x)γµψ(x)Aµ (x)ha de ser invariante entonces
Aµ (x)C7−→ −Aµ (x)
Arcadi Santamaria Tema 4: El campo de Dirac: cuantización y simetrías discretas 15 de octubre de 2009 34/39
Inversión temporal
T cambia xµ = (t ,~x)→ (−t ,~x) =−x y así~p→−~p.La energía ha de ser positiva mientras~L =~x×~p →−~L.La helicidad, a diferencia del espín, no cambia de signo.Si elegimos el espín tendremos
U(T )a(~p,s)U(T )−1 = a(−~p,−s) , U(T )b(~p,s)U(T )−1 = b(−~p,−s)
Hemos escogido las posibles fases iguales1 (no hay problema).
U(T ) es antiunitario:Si U(T ) es una simetría debe conmutar con el Hamiltoniano.En la imagen de Schrödinger tenemos |f , t〉= e−iHt |f , t = 0〉.
Si U(T ) es lineal y conmuta con el HamiltonianoU(T ) |f , t〉= e−iHtU(T ) |f , t = 0〉 y cambia t →−t .Si U(T ) es antilineal, cambia también el signo de la i ypodemos obtener U(T ) |f , t〉= eiHtU(T ) |f , t = 0〉.
Arcadi Santamaria Tema 4: El campo de Dirac: cuantización y simetrías discretas 15 de octubre de 2009 35/39
Transformación del campo
Usando la definición y las propiedades de los espinores sepuede ver que
U(T )ψ(x)U(T )−1 =−γ1γ
3ψ(−x)
En lugar de demostrarlo veremos como se transforman losdiferentes bilineales y comprobaremos que efectivamente elLagrangiano de Dirac es invariante
U(T )ψ(x)U(T )−1 = U(T )ψ†(x)U(T )−1(γ
0)∗ =
=(
U(T )ψ(x)U(T )−1)†
(γ0)∗= ψ
†(−x)(−γ1γ
3)†(γ0)∗= ψ(−x)γ
1γ
3
donde hemos usado (γ0)∗ = γ0 y U(T )−1 = U(T )†. Así
U(T )ψ(x)ψ(x)U(T )−1 = ψ(−x)γ1γ
3(−γ1γ
3)ψ(−x) = ψ(−x)ψ(−x)
Arcadi Santamaria Tema 4: El campo de Dirac: cuantización y simetrías discretas 15 de octubre de 2009 36/39
U(T )iψ(x)γ5ψ(x)U(T )−1 = ψ(−x)γ1γ
3(−γ1γ
3)ψ(−x) =
=−iψ(−x)γ5ψ(−x)
U(T )ψ(x)γµ
ψ(x)U(T )−1 = ψ(−x)γ1γ
3(γµ )∗(−γ
1γ
3)ψ(−x) =
= ψ(−x)γµ
ψ(−x)
donde γµ = (γ0,−~γ). Así pues el término de masas en elLagrangiano de Dirac es invariante y el término cinético
U(T )iψ(x)γµ
∂µψ(x)U(T )−1 =−iψ(−x)γµ
∂µψ(−x)
= iψ(−x)γµ ∂
∂ (−xµ )ψ(−x)
también es invariante.
Arcadi Santamaria Tema 4: El campo de Dirac: cuantización y simetrías discretas 15 de octubre de 2009 37/39
CPT
Si definimos
S(x) = ψ(x)ψ(x) , P(x) = iψ(x)γ5ψ(x) , V µ (x) = ψ(x)γµ
ψ(x)
Aµ (x) = ψ(x)γµ
γ5ψ(x) , T µν (x) = ψ(x)σµν
ψ(x)
S(x) P(x) V µ (x) Aµ (x) T µν (x)
P S(x) −P(x) Vµ (x) −Aµ (x) Tµν (x)
T S(−x) −P(−x) Vµ (−x) Aµ (−x) −Tµν (−x)
C S(x) P(x) −V µ (x) Aµ (x) −T µν (x)
CPT S(−x) P(−x) −V µ (−x) −Aµ (−x) T µν (−x)
y usamos la notación Vµ = gµνV µ = (V 0,−~V )
Arcadi Santamaria Tema 4: El campo de Dirac: cuantización y simetrías discretas 15 de octubre de 2009 38/39
Teorema CPT
TQC conserva siempre CPTUna TQC obtenida a partir de un Lagrangiano que:
Sea local (construido con campos en el mismo punto)Sea hermíticoSea invariante relativista
Siempre conserva CPT : masas, vidas medias, cargas (exceptosigno), momentos magnéticos, etc de partículas y antipartículasson exactamente iguales.
C, P, T y CP se violan individualmente en las interaccionesdébiles pero, hasta el momento no se ha encontrado ningúnproceso que viole CPT
Arcadi Santamaria Tema 4: El campo de Dirac: cuantización y simetrías discretas 15 de octubre de 2009 39/39
Tema 5:Matriz S y secciones eficaces
15 de octubre de 2009
Contenido
1 Matriz S
2 Teoría de perturbaciones. Desarrollo de la matriz SUn ejemplo en mecánica cuántica no relativista.
3 Secciones eficaces y anchuras de desintegraciónSección eficaz e integral de espacio fásicoRitmos de desintegración
Tema 5: Matriz S y secciones eficaces 15 de octubre de 2009 2/27
Descripción del proceso de colisión
Los estados antes y después de la colisión, se puedendescribir como producto directo de estados de partículaslibres.En el experimento lo único que se mide es la probabilidadde transición entre estos estados iniciales y finales.Estas probabilidades se escriben en términos de la matrizS que contiene toda la información sobre la dinámica.Conociendo S se pueden calcular secciones eficaces,ritmos de desintegración. . .El uso de simetrías nos permite obtener información sobrela matriz S pero para calcularla hace falta una teoríadinámica.La TQC nos dará la dinámica necesaria para podercalcular los elementos de la matriz S.
En este tema veremos como se define la matriz S y cómo,conociéndola, se pueden calcular los observables.
Tema 5: Matriz S y secciones eficaces 15 de octubre de 2009 3/27
¿Cuál es el espacio de Hilbert de una TQC en interacción(fotones y electrones por ejemplo)?Para t →+∞ el espacio de Hilbert es el espacio de Fockproducto directo de los estados de las partículas que puedenescapar de la región de interacción.El problema está en determinar el espectro de la teoría; losnúmeros cuánticos de los estados asintóticos de la teoría:
Si las interacciones son débiles, podemos tratar deadivinar el espectro despreciando las interacciones yestudiando solo la parte cuadrática del Lagrangiano.Si las interacciones son muy fuertes (QCD) el espectro dela teoría será muy diferente de lo que sugiere la partecuadrática del Lagrangiano!
Tema 5: Matriz S y secciones eficaces 15 de octubre de 2009 4/27
Supondremos de momento que el espectro es conocido ytomamos como base del espacio de Hilbert los estadosestacionarios del Hamiltoniano total
|α〉 , H |α〉= Eα |α〉
〈α ′|α〉= δαα ′ ∑α
|α〉〈α|= 1
Ahora bien, las bases que representan el espacio de Hilbert enel estado inicial y final son en general diferentes.La transformación que nos da el cambio de base es lo quedenominaremos matriz S. Explícitamente sí
|α,−〉 , |β ,+〉
son las dos bases que representan el espacio de Hilbert paraestados iniciales (t →−∞) y finales (t →+∞), definimos
Sβα ≡ 〈β ,+|α,−〉
Tema 5: Matriz S y secciones eficaces 15 de octubre de 2009 5/27
la matriz S es unitaria
(SS†)βγ = ∑α
〈β ,+ |α,−〉〈α,−|γ,+〉= δβγ .
Los estados |α,−〉 y |β ,+〉 están conectados por el operadorde evolución temporal. Para ver la conexión pasaremos a laimagen de interacción
H = H0 + (H−H0)≡ H0 + ∆H .
H0 es el Hamiltoniano libre que representa las partículasmedidas en el experimento (los parámetros no sonnecesariamente los que aparecen en la parte cuadrática de H)Ahora definimos unos estados propios de H0 pero con losmismos valores propios
H0 |α,0〉= Eα |α,0〉 .
Tema 5: Matriz S y secciones eficaces 15 de octubre de 2009 6/27
|α,−〉 y |α,0〉 están conectados por los operadores deevolución temporal
|α,−〉= Ω(−∞) |α,0〉 , Ω(t)≡ exp(iHt)exp(−iH0t)
Igualmente
|α,+〉= Ω(+∞) |α,0〉 , Ω(t)≡ exp(iHt)exp(−iH0t)
Así llegamos a la siguiente expresión para la matriz S
Sβα = 〈β ,0|U(+∞,−∞) |α,0〉donde
U(tf , ti) = Ω†(tf )Ω(ti) = exp(iH0tf )exp(−iH(tf − ti))exp(−iH0ti) .
Así si definimos el operador
S = U(+∞,−∞)
la matriz Sβα son los elementos de matriz de este operadorentre estados libres |α,0〉
Tema 5: Matriz S y secciones eficaces 15 de octubre de 2009 7/27
Serie de Dyson
Para calcular S necesitamos conocer U(tf , ti). Derivandorespecto tf es fácil ver que
ddtf
U(tf , ti) =−iHI(tf )U(tf , ti) , U(ti , ti) = 1
dondeHI(tf )≡ eiH0tf ∆H(t = 0)e−iH0tf
Se puede escribir como una ecuación integral
U(tf , ti) = 1− i∫ tf
tidt1HI(t1)U(t1, ti)
Recursivamente
U(tf , ti) = 1− i∫ tf
tidt1HI(t1) + (−i)2
∫ tf
tidt1∫ t1
tidt2HI(t1)HI(t2) + · · ·
Tema 5: Matriz S y secciones eficaces 15 de octubre de 2009 8/27
el segundo termino se puede escribir de forma simétrica∫ tf
tidt1∫ t1
tidt2HI(t1)HI(t2) =
∫ tf
tidt1∫ tf
tidt2θ(t1− t2)HI(t1)HI(t2)
=12
∫ tf
tidt1∫ tf
tidt2T (HI(t1)HI(t2))
dónde
T (HI(t1)HI(t2))≡ θ(t1− t2)HI(t1)HI(t2) + θ(t2− t1)HI(t2)HI(t1)
En general
U(tf , ti) =∞
∑n=0
(−i)n
n!
∫ tf
tidt1∫ tf
tidt1 · · ·
∫ tf
tidtnT (HI(t1)HI(t2) · · ·HI(tn))
Así pues
S = U(+∞,−∞) = T(
exp(−i∫ +∞
−∞
dtHI(t))
)Tema 5: Matriz S y secciones eficaces 15 de octubre de 2009 9/27
Invariancia relativista de S
¿Que deberíamos exigir a H para que S sea invariantePoincaré?
Si HI se escribe en términos de un densidad Hamiltonianaescalar bajo Poincaré
HI(t) =∫
d3~xHI(x) , H ′I (x ′) = HI(x)
tendremos
S = T(
exp(−i∫
d4xHI(x)
).
de forma que la exponencial es invariante relativista.¿Que pasa con la ordenación temporal? Si exigimos que
[HI(x1),HI(x2)] = 0 para (x1−x2)2 ≤ 0
el producto T -ordenado de HI también es invariante. Estaes justo condición de causalidad para dos observablesque ya hemos discutido TQC.
Tema 5: Matriz S y secciones eficaces 15 de octubre de 2009 10/27
Otras expresiones para S
Sβα = δβα − i∫
∞
−∞
dt1 〈β |HI(t1)U(t1,−∞) |α〉
= δβα − i∫
∞
−∞
dt1 〈β |eiH0t1∆He−iHt1 |α,−〉
= δβα − i∫
∞
−∞
dt1e−i(Eα−Eβ )t1 〈β |∆H |α,−〉
= δβα − i2πδ (Eα −Eβ )〈β |∆H |α,−〉 ,Si además ∆H se puede escribir como una densidadHamiltoniana tendremos
Sβα = δβα − i(2π)4δ (pα −pβ )〈β |∆H (0) |α,−〉 .
Igualmente podemos recuperar la ecuación deLippmann-Schwinger
|α,−〉= |α〉+∫
dβ〈β |∆H |α,−〉Eα −Eβ + iε
|β 〉
Tema 5: Matriz S y secciones eficaces 15 de octubre de 2009 11/27
Ejemplo: MQ NR con V (x)≡∆H = gδ (x)
〈x |p,0〉= ψp,0(x) = eipx
〈x |p,−〉= ψp,−(x) = eipx + ρei |px | , ρ =−1
1− ia, a≡ |p|
mg
〈x |p,+〉= ψp,+(x) = eipx + ρ∗e−i |px |
Sp′p = 〈p′,+ |p,−〉= 2πδ (p′−p)− i 2πδ (Ep′−Ep)|p|g
|p|+ img.
Se puede obtener fácilmente usando
Sp′p = 2πδ (p′−p)− i 2πδ (Ep′−Ep)⟨p′∣∣V |p,−〉 ,
y 〈p′|V |p,−〉= gψp,−(0)
Tema 5: Matriz S y secciones eficaces 15 de octubre de 2009 12/27
La sección eficaz
EscribiremosS = 1 + iT
Usando conservación de momento
〈β |T |α〉= (2π)4δ
4(pβ −pα )Mβα
M es el elemento de matriz reducido (es sencillamenteMβα =−〈β |∆H (0) |α,−〉).Así
Wβα =∣∣Tβα
∣∣2es la probabilidad de que el estado α sea observado como elestado β después de la colisión.Los estados de momento definido no son normalizables y Wβα
contiene factores que están mal definidos. Así en el estadoinicial es conveniente tomar paquetes muy “picados” alrededorde un momento dado.
Tema 5: Matriz S y secciones eficaces 15 de octubre de 2009 13/27
Paquetes
tomamos pues
|f1, f2〉=∫ d3~k1
(2π)32E(~k1)
d3~k2
(2π)32E(~k2)f1(~k1)f2(~k2)
∣∣∣~k1,~k2
⟩que están normalizados como
〈f1, f2|f1, f2〉
=∫ d3~k1
(2π)32E(~k1)
∣∣∣f1(~k1)∣∣∣2 ∫ d3~k2
(2π)32E(~k2)
∣∣∣f2(~k2)∣∣∣2 = 1
Si definimos
fi(x) =∫ d3~k
(2π)32E(~k)e−ikx fi(~k) .
fi(x) es solución de la ecuación de KG y jugará el papel de unafunción de ondas relativista.
Tema 5: Matriz S y secciones eficaces 15 de octubre de 2009 14/27
Es fácil ver que
∫d3~xi fi(x)∗
←→∂
µ fi(x)≈∫ d3~k
(2π)32E(~k)
∣∣∣fi(~k)∣∣∣2 k µ
E(~k).
está debidamente normalizada y se puede interpretar comouna densidad de probabilidad.Las componentes espaciales darán el flujo de probabilidad.Si los paquetes están muy “picados” en pi
i fi(x)∗←→∂
µ fi(x)∼ 2pµ
i |fi(x)|2 ,
de forma que
ρi(x)∼ 2Ei
∣∣∣fi(x)∣∣∣2 , ~j ∼ 2~p
∣∣∣fi(x)∣∣∣2
son la densidad y el flujo de probabilidadTema 5: Matriz S y secciones eficaces 15 de octubre de 2009 15/27
Sustituyendo
Wβα = |〈β |T |f1, f2〉|2 =∫ d3~k ′1f ∗1 (~k ′1)
(2π)32E(~k ′1)
d3~k ′2f ∗2 (~k ′2)
(2π)32E(~k ′2)
d3~k1f1(~k1)
(2π)32E(~k1)
d3~k2f2(~k2)
(2π)32E(~k2)
(2π)4δ
4(pβ−k ′1−k ′2)(2π)4δ
4(pβ−k1−k2)M ∗(pβ ,k ′1,k′2)M (pβ ,k1,k2)
Ahora podemos escribir
(2π)8δ
4(pβ −k ′1−k ′2)δ4(pβ −k1−k2) =
(2π)4δ
4(pβ −k1−k2)∫
d4xeix(k1+k2−k ′1−k ′2)
y utilizar que si los paquetes están “picados” en p1 y p2
M (pβ ,k ′1,k′2)∼M (pβ ,k1,k2)∼M (pβ ,p1,p2)
Tema 5: Matriz S y secciones eficaces 15 de octubre de 2009 16/27
y
Wβα =∫
d4x |f1(x)|2 |f2(x)|2 (2π)4δ
4(pβ−k1−k2)∣∣M (pβ ,p1,p2)
∣∣2o de forma infinitesimaldWβα
d3~xdt= |f1(x)|2 |f2(x)|2 (2π)4
δ4(pβ −p1−p2)
∣∣M (pβ ,p1,p2)∣∣2 .
donde dWβα/(d3~xdt) es la probabilidad de transición porunidad de volumen y por unidad de tiempo.Si la partícula 2 está en reposo definimos la sección eficazcomo
σ =dWβα/(d3~xdt)
(flujo− incidente)(densidad−blanco).
Usando los resultados anteriores
σβα = (2π)4δ
4(pβ −p1−p2)
∣∣M (pβ ,p1,p2)∣∣2
4m2∣∣~p1∣∣
Tema 5: Matriz S y secciones eficaces 15 de octubre de 2009 17/27
Versión rápida
Wβα = (2π)4δ
4(0)(2π)4δ
4(pβ −pα )|Mβα |2 =
=∫
d3~xdt(2π)4δ
4(pβ −pα )|Mβα |2
donde(2π)4
δ4(0) =
∫d4xe−i0x =
∫d3~xdt
así puesdWβα
d3~xdt= (2π)4
δ4(pβ −pα )|Mβα |2
que se puede usar para calcular la sección eficaz
σ =dWβα/(d3~xdt)
(flujo− incidente)(densidad−blanco)
Tema 5: Matriz S y secciones eficaces 15 de octubre de 2009 18/27
Para ondas planas ψ(x) = e−ipx
iψ(x)∗←→∂
µψ(x) = 2pµ
i
de forma queρ(x)∼ 2E , ~j ∼ 2~p
y para un blanco en reposo E2 = m2
σβα = (2π)4δ
4(pβ −p1−p2)
∣∣M (pβ ,p1,p2)∣∣2
4m2∣∣~p1∣∣
Tema 5: Matriz S y secciones eficaces 15 de octubre de 2009 19/27
Factor de flujo invariante
El factor de flujo se puede escribir de una forma invarianteLorentz
m2∣∣~p1∣∣= m2
√E2
1 −m21 =
√(p1p2)2−m2
2m21 ≡
12
√λ (s,m2
1,m22)
donde s = (p1 + p2)2 y
λ (a,b,c) = a2 + b2 + c2−2ab−2ac−2bc
así
σβα = (2π)4δ
4(pβ −p1−p2)
∣∣M (pβ ,p1,p2)∣∣2
2√
λ (s,m21,m2
2)
Para haces de colineales el factor de flujo también se puedeescribir cómo √
(p1p2)2−m22m2
1 = E1E2∣∣~v1−~v2
∣∣con ~vi =~pi/Ei .
Tema 5: Matriz S y secciones eficaces 15 de octubre de 2009 20/27
Sección eficaz e integral de espacio fásico
La formula considera estados de momento completamentedefinido. En general la resolución en momentos es finita ydeberemos sumar para todos los momentos finales observados
dσ =∫
∏i
d3~qi
(2π)32Ei(|~qi |)(2π)4
δ4(pβ−p1−p2)
∣∣M (pβ ,p1,p2)∣∣2
2√
λ (s,m21,m2
2),
La integral∫dΦn =
∫ n
∏i
(d3~qi
(2π)32Ei(|~qi |)
)(2π)4
δ(4)(∑
iqi −p1−p2)
se denomina integral de espacio fásico y caracteriza ladensidad de estados finales.La δ (4)(∑i qi −p1−p2) permite integrar cuatro de las variablesAdemás en muchos casos, la geometría del sistema, hará quenada dependa de algunas de las otras variables y se puedantambién integrar.
Tema 5: Matriz S y secciones eficaces 15 de octubre de 2009 21/27
Espacio fásico de dos partículas en CM
Para una colisión p1,p2→ q3,q4 (con masas m1,m2, m3,m4
respectivamente) definimos Ei(x) =√
x2 + m2i . Así en el
sistema CM (~p2 =−~p1) tendremos∫dΦ2 =
∫ d3~q3
(2π)32E3(|~q3|)d3~q4
(2π)32E4(|~q4|)(2π)4
δ4(q3 +q4−p1−p2)
=∫ d3~q3
(2π)22E3(|~q3|)2E4(|~q3|)δ (E3(|~q3|) + E4(|~q3|)−
√s)
=∫ dΩ
∣∣~q3∣∣2
16π2E3(|~q3|)E4(|~q3|)
( ∣∣~q3∣∣
E3(|~q3|)+
∣∣~q3∣∣
E4(|~q3|)
)−1
=∫
dΩ
∣∣~q3∣∣
16π2√
s=∫
dΩ
√λ (s,m2
3,m24)
32π2s
Tema 5: Matriz S y secciones eficaces 15 de octubre de 2009 22/27
además hemos usado que en CM
∣∣~q3∣∣=
√λ (s,m2
3,m24)
2√
sAsí la sección eficaz diferencial será
dσ
dΩ=
√λ (s,m2
3,m24)
32π2s|M |2
2√
λ (s,m21,m2
2)=
√λ (s,m2
3,m24)
λ (s,m21,m2
2)
|M |2
64π2s
Para una colisión elástica (m3 = m1, m4 = m2)
dσ
dΩ=|M |2
64π2sPara partículas con espín pero colisiones con haces nopolarizados y si no medimos espines finales tendremos
dσ =dΦn
2√
λ (s,m21,m2
2)∑spin |M |
2
Tema 5: Matriz S y secciones eficaces 15 de octubre de 2009 23/27
donde si s1 y s2 son los espines de las partículas iniciales,hemos definido
∑spin |M |2 ≡ 1
(2s1 + 1)(2s2 + 1) ∑spin|M |2 .
Para dos partículas finales tenemos que
dσ
dΩ=
1(2s1 + 1)(2s2 + 1)
√λ (s,m2
3,m24)
λ (s,m21,m2
2)
164π2s ∑
spin|M |2
Para el caso de dos partículas idénticas en el estado final hayque añadir un factor 1/2 en la sección eficaz total para tener encuenta que hemos contado dos veces la misma cantidad.
Tema 5: Matriz S y secciones eficaces 15 de octubre de 2009 24/27
Ritmos de desintegración
Los ritmos (o anchuras) de desintegración (o anchuras dedesintegración) para partículas inestables se definen como
Γ≡ Desintegraciones/unidad− tiempoNumero−particulas
En el sistema en que la partícula, de masa M, está en reposo
dΓ =Wβα
Densidad−particulas=
12M
dΦn∑spin |M |2
Para una partícula de masa M que se desintegra a dospartículas de masas m1 y m2
Γ =
√λ (M2,m2
1,m22)
64π2M3
∫dΩ∑spin |M |
2
Tema 5: Matriz S y secciones eficaces 15 de octubre de 2009 25/27
Anchura, vida media y Breit-Wigner
En MQ MR los estados inestables (resonancias) la amplitud dede colisión se comporta como
f (E) ∝1
E −E0 + iΓ/2,
mientras la sección eficaz tiene la forma de Breit-Wigner
σ ∝1
(E −E0)2 + Γ2/4.
La evolución temporal de este estado viene dada por unafunción de onda de la forma
ψ(t) ∝ e−i(E0−i Γ2 )t , |ψ(t)|2 ∼ e−Γt , τ = 1/Γ
E0→ E0− iΓ/2. Esencial el signo de la parte imaginaria.
Tema 5: Matriz S y secciones eficaces 15 de octubre de 2009 26/27
Caso relativista
¿Qué pasa en el caso relativista?
f (p2) ∝1
p2−M2 + iMΓ=
1(p0)2−~p2−M2 + iMΓ
∼ 12Ep(p0−Ep + iMΓ/(2Ep))
con p0 ∼ Ep =√
~p2 + M2. Vemos que Γ(E) = (M/Ep)Γ deacuerdo con la dilatación temporal relativista.Es como si la masa tuviera una pequeña parte imaginariaM2→M2− iMΓ.Nótese la similitud entre f (p2) y el propagador de Feynman1/(p2−M2 + iε)Para partículas inestables las correcciones de orden superiormodifican el propagador ε → ΓM. El signo de ε esencial paraque Γ > 0 y tenga la interpretación correcta.
Tema 5: Matriz S y secciones eficaces 15 de octubre de 2009 27/27
Tema 6:Campos en interacción I:
Cuantización y reglas de Feynman de λφ4
Arcadi Santamaria
5 de noviembre de 2009
Contenido
1 Campos con interaccionesTeorías renormalizables y no renormalizables
2 Cuantización y teoría de perturbacionesCuantizaciónLa imagen de interacción y teoria de perturbacionesCálculo de una sección eficaz
3 Teorema de Wick y reglas de Feynman para λφ4
El teorema de WickReglas de Feynman para λφ4
Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 2/41
Campos con interacciones
Para describir interacciones necesitamos añadir al lagrangianotérminos con más de dos campos que cumplan las siguientescondiciones:
1 Invariancia relativista: deben ser escalares bajotransformaciones de Lorentz.
2 Causalidad: Tienen que ser locales, es decir todos loscampos tienen que estar en el mismo punto.
3 (*) Términos con dimensión menor o igual a cuatro.Para el campo escalar podemos escribir
L =12
∂µφ∂µ
φ − 12
m2φ
2− λ
4!φ
4
Usando π = φ el Hamiltoniano es
H =12
π2 +
12
∣∣∣~∇φ
∣∣∣2 +12
m2φ
2 +λ
4!φ
4 ≡H0 + ∆H
Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 3/41
conH0 ≡ 1
2π
2 +12
∣∣∣~∇φ
∣∣∣2 +12
m2φ
2
el Hamiltoniano libre y
∆H =λ
4!φ
4
el término de interacción. De la fórmula de Dyson M vendrádada por una serie de potencias en λ empezando comomínimo en λ
σ ∝ λ2 (1 +O(λ ))
[σ ] = [M]−2 y [φ ] = [M] y λ no tiene dimensiones. Para E mla sección eficaz se comportará como
σ ∝λ 2
E2 (1 +O(λ ))
Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 4/41
Teorías renormalizables y no renormalizables
Este comportamiento es perfectamente razonable: teoríasrenormalizables.Imaginemos ahora una interacción de la forma φ6
∆H =1
Λ2 φ6
En ese caso
σ ∝E2
Λ4
(1 +O
(E2
Λ2
))a energías muy bajas E Λ estas interacciones sondespreciables, son irrelevantes, mientras a energías muy altasE Λ las secciones eficaces crecen de forma descontrolada yla serie de potencias obtenida no tiene sentido: teorías norenormalizables.
Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 5/41
De momento nos limitaremos a interacciones con dimension≤ 4. En el caso escalar solo tenemos φ ,(∂φ)2, φ2, φ3, φ4
En el caso de Dirac [ψ] = M3/2 y no es posible construirinteracciones renormalizables con solo fermiones: unainteracción de la (ψψ)2 es de dimensión 6Si tenemos fermiones y escalares podemos escribir elsiguiente Lagrangiano (de Yukawa) renormalizable
LYukawa = LDirac +LKG−gψψφ
con [g] = M0
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Cuantización y teoría de perturbaciones
La ecuación de movimiento de la autointeracción escalar es(∂
2 + m2)
φ =− λ
3!φ
3
no es lineal y no tiene una solución analítica.El caso de la interacción de Yukawa no es mejor: hay dosecuaciones acopladas(
∂2 + m2
)φ = −gψψ(
i /∂ −m)
ψ = gψφ
cuya solución es altamente no lineal.A pesar de todo podemos cuantizar el sistema. En el caso dela interacción escalar imponemos[
φ(~x , t),π(~y , t)]
= iδ (3)(~x −~y)
mientras los otros conmutadores a tiempos iguales son cero.Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 7/41
La evolución temporal
Estas reglas de conmutación junto a las ecuaciones deHeisenberg
−i φ = [H,φ ] , −i π = [H,π]
y la forma del Hamiltoniano conducen a la ecuación demovimiento.Estas ecuaciones definen completamente la teoría cuántica.Aunque la solución formal de la ecuación de Heisenberg es
φ(~x , t) = eiHtφ(~x ,0)e−iHt
es difícil de desarrollar si H contiene interacciones.
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Uso de la función de Green
¿Qué tipo de soluciones esperamos encontrar? Usando lafunción de Green
φ(x) = φ0(x)− iλ
3!
∫d4x ′DR(x−x ′)φ
3(x ′)
De forma recursiva tendremos
φ(x) = φ0(x)− iλ
3!
∫d4x1DR(x −x1)φ
30 (x1) + · · ·
sustituyendo φ0 por su desarrollo en términos a(~p) vemos queφ(x) puede crear y destruir no sólo estados de una partículasino de 3, de 4 etc. y tiene una expresión muy complicada entérminos de operadores a(~p).
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Paso a la imagen de interacción
Alternativamente usaremos un tratamiento basado en laimagen de interacción que nos permitirá calcular directamenteMβα .Así tendremos
HI(t)≡ eiH0t ∆H(t = 0)e−iH0t .
Definiendo los campos en la imagen de interacción
φI(~x , t)≡ eiH0tφ(~x ,0)e−iH0t , πI(~x , t)≡ eiH0t
π(~x ,0)e−iH0t
tendremos que
HI(t) = ∆H(φI(~x , t),πI(~x , t))
Derivando respeto t
−i φI = [H0,φI ] , −i πI = [H0,πI ] ,
Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 10/41
donde
H0 = H0(φ(~x ,0),π(~x ,0)) = H0(φI(~x , t),πI(~x , t))
=12
∫d3~x
(π
2I +
∣∣∣~∇φI
∣∣∣2 + m2φ
2I
)φI(~x , t),πI(~x , t) satisfacen relaciones de conmutación canónicas[
φI(~x , t),πI(~y , t)]
= iδ (3)(~x−~y) .
Las ec. de Heisenberg y las reglas de conmutación sonequivalentes a las ec. de movimiento. Como H0 es elHamiltoniano libre tendremos
πI = φI , (∂2 + m2)φI = 0 .
y φI(~x , t),πI(~x , t) se desarrollaran en a(~p) y a†(~p)
φI(x) =∫
dp(
a(~p)e−ipx + a†(~p)eipx)
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Estados libres y estados propios de H
Sí |0〉 es el estado fundamental de H0, H0 |0〉= 0, a†(~p)actuando sobre |0〉 crea los estados propios de H0.Todos estos estados, incluido |0〉, no son propios delHamiltoniano total, H, cómo es fácil de comprobar si escribimos
φ(~x ,0) =∫
dp(
a(~p)ei~p~x + a†(~p)e−i~p~x)
y por tanto
H =∫
dpEp
2(a†(~p)a(~p) + a(~p)a†(~p)
)+
λ
4!
∫dp1dp2dp3dp4
(δ
(3)(~p1 +~p2 +~p3 +~p4)a†(~p1)a†(~p2)a†(~p3)a†(~p4) + · · ·)
y :H: |0〉 contiene estados de cuatro partículas libres.|0,−〉 y |0,+〉 son propios del hamiltoniano entero y son unacombinación lineal de |0〉 y otros estados libres.
Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 12/41
Elementos de matriz S
La N-ordenación del Hamiltoniano no garantiza que el estadode mínima energía del Hamiltoniano total tenga energía cero:Si queremos que también el estado de mínima energía delHamiltoniano total tenga energía cero tendremos que añadiruna constante al Hamiltoniano de interacción que permitaajustar la energía total a cero.Dado un Hamiltoniano lo podemos utilizar para calcular loselementos de la matriz S
Sβα = 〈β |T(
exp(−i∫
d4xHI(x)
))|α〉
donde |α〉 y |β 〉 son propios de H0 se podrán generar a partir|0〉 haciendo actuar los operadores de creación de φI . AdemásHI es una función de φI y por lo tanto expresable en términosde operadores de creación y destrucción.
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Para calcular los elementos de matriz, a un orden dado en elHamiltoniano de interacción, será suficiente desarrollar laexponencial y utilizar las relaciones de conmutación de losoperadores de creación y destrucción.Por ejemplo. Consideremos φφ → φφ , tendremos
Sp3,p4;p1p2 ≈ 〈p3p4|(
1− i∫
d4xHI(x) + · · ·)|p1p2〉
= 〈0|a(p3)a(p4)
(1− i
∫d4xHI(x) + · · ·
)a†(p1)a†(p2) |0〉
si escribimos ai ≡ a(pi) y δij ≡ 2E(pi)(2π)3δ (3)(~pi −~pj) el primertérmino da
a3a4a†1a†
2 |0〉= a3
(δ41 + a†
1a4
)a†
2 |0〉= a3
(δ41a†
2 + δ42a†1
)|0〉
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Igualmente
a3a4a†1a†
2 |0〉= (δ41δ32 + δ42δ31) |0〉
y
〈p3p4 |p1p2〉= 〈0|a(p3)a(p4)a†(p1)a†(p2) |0〉= δ41δ32 + δ42δ31
el primer término nos da la relación de normalización paraestados de dos partículas idénticas bosónicas. GráficamenteContribucion de la identidad
p1
p2
p3
p4
+
p1
p2
p3
p4
Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 15/41
El segundo término es más interesante ya que nos dará elelemento de matriz de transición. Si S = 1 + iT
i T (0)p3,p4;p1p2
≈−iλ
4!
∫d4x 〈0|a(p3)a(p4) : φ
4I (x) : a†(p1)a†(p2) |0〉
donde suponemos que HI está N-ordenado.: φ4I (x) : contiene
todos los productos posibles de operadores de creación ydestrucción N-ordenados.Solo dan contribuciones productos con dos operadores decreación y dos de destrucción,
i T (0)p3,p4;p1p2
≈−iλ
4!
(42
) ∫d4x
∫dk1dk2dk3dk4e−i(k1+k2−k3−k4)x
×〈0|a(p3)a(p4)a†(k3)a†(k4)a(k1)a(k2)a†(p1)a†(p2) |0〉
donde hemos utilizado que hay(
42
)= 4!
2!2! términos de este
tipo.Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 16/41
Usando relaciones como a3a4a†1a†
2 |0〉= (δ41δ32 + δ42δ31) |0〉reducimos el elemento de matriz.Las δij usan para integrar los momentoski . El resultadoconsiste en cambiar ki → pi y añadir un factor 4 = 2!2! por lacontribución de las funciones delta
i T (0)p3,p4;p1p2
≈−iλ
4!
4!
2!2!2!2!
∫d4x e−i(p1+p2−p3−p4)x
=−i λ (2π)4δ
(4)(p1 + p2−p3−p4)
donde la integración en x nos da la delta de conservación demomentoComparando con la definición de M ,i T (0)
p3,p4;p1p2= (2π)4δ (4)(p1 + p2−p3−p4) i M (0)(p3,p4;p1,p2)
encontramosi M (0)(p3,p4;p1,p2) =−iλ
Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 17/41
La sección eficaz
tomando el cuadrado y añadiendo los factores de espaciofásico obtenemos la sección eficaz diferencial
dσ
dΩ
∣∣∣∣CM
=λ 2
64π2s,
Integrando el ángulo sólido obtenemos y multiplicando por elfactor 1
2 de partículas idénticas obtenemos a sección eficaztotal
σtotal =λ 2
32π sque para sm, es decir E m, tiene el comportamiento queesperábamos por análisis dimensional∼ λ 2/E2
Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 18/41
El vértice
Cálculo largo pero resultado muy simple.Útil definir reglas que permitan llegar al resultado sin reproducirtodos los pasos:Para cuatro partículas iniciales en : φ4
I : sólo hay un productocon cuatro a(pi) que tiene 4! formas posibles de contraersecon los a†(p) externos: M contiene un factor 4! como antesAsí si definimos las contracciones
φ I(x)a†(p) |0〉= e−ipx , 〈0|a(p)φI(x) = eipx
escribiremos por ejemplo
〈0| :φ I(x)φ I(x)φ I(x)φ I(x) :a†(p4)a†(p3)a†(p2)a†(p1) |0〉
=∫
d4xe−i(p4+p3+p2+p1)x = (2π)4δ
4(p4 + p3 + p2 + p1)
Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 19/41
y las 4! posibles contracciones dan el mismo resultado.Generalizable a todas las combinaciones de cuatro partículas:
Siempre obtenemos un factor 4! y un producto deexponenciales e−ipx para partículas en el estado inicial yeipx para partículas en el estado final.El producto de exponenciales nos da justo la delta deconservación de momentos.4! cancela el 1/4! que multiplica λ en el Lagrangiano.Así iM =−iλ para cualquier combinación de cuatropartículas.
Natural definir la contribución de un vértice de cuatro partículascon el factor −iλ y la delta de conservación de momentos.Este resultado se obtiene del Lagrangiano ∆L =− λ
4!φ4 si lo
derivamos cuatro veces respecto φ y multiplicamos por i .Generalizable a todo tipo de interacción.
Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 20/41
Teorema de Wick
A órdenes superiores nos aparecen términos comoT (HI(x)HI(y)).Nos gustaría poder reducir estos productos T-ordenados aproductos N-ordenados de forma que pudiéramos utilizar losresultados anteriores: Teorema de WickPara dos campos (φ campos libres) es fácil ver que
φ(x)φ(y) =: φ(x)φ(y) : +〈0|φ(x)φ(y) |0〉donde 〈0|φ(x)φ(y) |0〉= D(x −y). Además
: φ(x)φ(y) :=: φ(y)φ(x) :
Finalmente, utilizando estos dos resultados
T (φ(x)φ(y)) =: φ(x)φ(y) : +〈0|T (φ(x)φ(y)) |0〉
Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 21/41
Usaremos la notación
〈0|T (φ(x)φ(y)) |0〉 ≡ DF (x −y)≡ φ(x)φ(y)
así
T (φ(x)φ(y)) =: φ(x)φ(y) : +φ(x)φ(y)
El teorema de Wick, que se demuestra por inducción, no esmás que la extensión de este resultado al producto de unnúmero arbitrario de campos:
Teorema de WickEl producto T-ordenado de n campos es la suma N-ordenadade todas las posibles contracciones por parejas que se puedenhacer con los campos.
Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 22/41
Ejemplo: Wick para cuatro campos
Para cuatro campos tendremos (φi ≡ φ(xi))
T (φ1φ2φ3φ4) =: φ1φ2φ3φ4 : + : φ1φ2 φ3φ4 : + : φ1φ2φ3φ4 : + : φ1φ2φ3φ4 :
+ : φ1 φ2φ3φ4 : + : φ1 φ2φ3φ4 : + : φ1φ2 φ3φ4 :
+ φ1φ2 φ3φ4 +φ1φ2φ3φ4 +φ1φ2φ3φ4 .
En estas expresiones el producto normal afecta a los camposno contraídos. Así
: φ1φ2φ3φ4 := DF (x1−x4) : φ2φ3 :
Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 23/41
Aplicación a la serie de Dyson
En la serie de Dyson no tenemos productos T-ordenados decampos pero productos T-ordenados de Hamiltonianos que sonproductos N-ordenados de campos en el mismo punto.
Generalización del teorema de WickEl producto T-ordenado de operadores locales construidos conproductos N-ordenados de campos es la suma N-ordenada detodas las posibles contracciones por parejas que se puedenhacer con los campos excluyendo todas las contraccionesdentro de un mismo operador.
Intuitivamente: las contracciones se originan cuandocambiamos el orden de los campos para pasar al ordennormal. Si los campos dentro del operador ya están en ordennormal es natural que las contracciones dentro del mismooperador no contribuyan.¿Que pasaría si no N-ordenamos HI?
Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 24/41
Ejemplo de amplitud a orden λ 2
Utilizando el teorema de Wick podemos probar a calcular lascontribuciones, a segundo orden en λ , a la colisión elástica dedos partículas escalares. Estas vendrán dadas por el tercertérmino en la serie de Dyson (volvemos a utilizar φI porclaridad)
i T (1)p3,p4;p1p2
≈ (−i)2
2!
∫d4xd4y 〈0|a(p3)a(p4)T (HI(x)HI(y))a†(p1)a†(p2) |0〉
=(−i)2
2!
(λ
4!
)2 ∫d4xd4y 〈0|a(p3)a(p4)T
(:φ4
I (x)::φ4I (y):
)a†(p1)a†(p2) |0〉
Primero usamos el T. de Wick para desarrollar el productoT-ordenado en productos N-ordenados.Luego contremos los productos N-ordenados con laspartículas externas.
Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 25/41
Consideremos las contracciones solo entre campos como
a(p3)a(p4)φ I(x)φ I(x)φ I(x)φ I(x)φ I(y)φ I(y)φ I(y)φ I(y)a†(p1)a†(p2) .
Gráficamente
Contribución del vacío a la normalización del estado de dos par-tículas
×
Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 26/41
El vacío
Contribución parecida a la que viene del 1 del desarrollo de lamatriz S.Parece como si cambiara la normalización de los estados dedos partículas. No es posible, los estados deben estarcorrectamente normalizados.La misma corrección se encuentra si calculamos S entreestados |0〉
〈0,+ |0,−〉= 〈0|S |0〉= 1 + + · · ·
Pero el vacío, ha de ser estable: si tenemos un estado sinninguna partícula y lo dejamos evolucionar, no puede cambiara otro estado!
Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 27/41
Al obtener la fórmula para S supusimos que los estados, |0〉,|0,−〉 y |0,+〉 tienen energía 0. Pero hemos visto que laN-ordenación del Hamiltoniano no garantiza H |0,−〉= 0Si H |0,−〉= E0 |0,−〉 y H |0,+〉= E0 |0,+〉 tenemos que
〈0,+ |0,−〉= l«ımT→+∞
〈0,−|e−iH2T |0,−〉= l«ımT→+∞
e−i2E0T
una fase pura!
Solución:Cuando hay interacción no es suficiente con N-ordenar elHamiltoniano para garantizar E0 = 0. Hay que definir elHamiltoniano con substracciones adicionales
HI(x)→HI(x)−ρ0 con ρ0 ≡ E0/V
Suficiente para eliminar todas las contribuciones que modificanla normalización de los estados.
Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 28/41
Alternativa y equivalentemente:Podemos seguir trabajando con un Hamiltoniano con mínimaenergía no nula, pero entonces tendremos que dividir todas lasamplitudes por 〈0,+ |0,−〉 para eliminar esta fase.
Conclusión:Si definimos correctamente el Hamiltoniano y el vacío de lateoría podemos ignorar estas contribuciones que cambian lanormalización del estado fundamental y vienen dadas pordiagramas (o trozos de diagrama) completamentedesconectados de las partículas externas.
Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 29/41
Estados de una partícula
Consideramos ahora contribuciones de la forma
a(p4)a(p3)φ I(x)φ I(x)φ I(x)φ I(x)φ I(y)φ I(y)φ I(y)φ I(y)a†(p1)a†(p2) .
que se pueden representar como la figuraAutoenergías
p1 p3
p2 p4
También modifica la definición de los estados!Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 30/41
Si estudiamos el elemento de matriz de los estados de unapartícula
〈p3,+ |p1,−〉= 〈p3|S |p1〉= (2π)32Ep1δ(3)(~p3−~p1)+ +· · ·
Pero los estados de una sola partícula son estables!El problema está en la separación que hemos hecho delHamiltoniano en parte libre y parte de interacción:H0 es el Hamiltoniano de partículas libres con la misma masa ynúmeros cuánticos que los estados asintóticos delHamiltoniano completo H.Así
H = H0 + H−H0 ≡ H0 + ∆H
es el punto de partida de nuestra teoría de perturbaciones.
Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 31/41
Definiremos un campo escalar Φ, y construiremos unHamiltoniano de KG libre con campo Φ y masa mf , H0(Φ,mf ),El Hamiltoniano completo está escrito en términos del campoφ , la masa m, y la constante de acoplamiento λ ,H(φ ,m,λ ). Así
∆H = H(φ ,m,λ )−H0(Φ,mf )
Obviamente, Φ y mf están relacionados con φ y m. Si λ espequeña
Φ = φ
(1 + b1λ
2 + · · ·)
, m2f = m2
(1 + c1λ
2 + · · ·)
Claramente hemos ido demasiado lejos escribiendoΦ = φ y mf = mSi Φ es diferente de φ , y mf de m podemos ir ajustando los b’sy c’s (como hemos hecho con la energía del vacío) de formaque los estados de una partícula estén correctamentenormalizados y representen partículas con masa física.
Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 32/41
Si no definimos correctamente los estados de una partículatendremos diagramas comoAutoenergia en pata externa
φ
φ
φ
φ
que nos pueden crear muchos problemas: en la figura hay unacontribución proporcional a i/(p2−m2) que se debe calcular enp2 = m2.Si los estados de una partícula están normalizadoscorrectamente las autoenergías en patas externas nocontribuyen y las podemos ignorar.
Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 33/41
Diagramas que no están completamente conectados a laspatas externas corresponden a redefiniciones de los estados.Diagramas con autoenergías en patas externas, tampococontribuyen si los estados de una partícula están definidoscorrectamente.Así para calcular iM a un orden dado en λ tenemos lassiguientes reglas:
1 Dibujamos todos los diagramas topológicamentediferentes a un orden dado λ .
2 Eliminamos los diagramas que no estén completamenteconectados con las líneas externas.
3 Eliminamos todos los diagramas que tengan algunaautoenergía en líneas externas (amputamos).
4 Sumamos las contribuciones de todos los diagramas quequedan.
Sólo queda ver como calcular los diagramas restantes.Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 34/41
Solo contracciones que dejan cuatro campos sin contraerdarán contribuciones no triviales. Por ejemplo
a(p3)a(p4)φ I(x)φ I(x)φ I(x)φ I(x)φ I(y)φ I(y)φ I(y)φ I(y)a†(p1)a†(p2) .
Gráficamente
Contribución a orden λ 2
k1
k2 = p3 + p4 − k1p1
p2
p3
p4
y x
Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 35/41
que da ∫d4xd4yei(p3x+p4x−p1y−p2y)DF (x −y)DF (x −y)
Ahora usamos que
DF (x) =∫ d4k
(2π)4 e−ikx ik2−m2 + iε
para escribir∫ d4k1
(2π)4d4k2
(2π)4
∫d4xd4yei(p3x+p4x−p1y−p2y)e−ik1(x−y)e−ik2(x−y)
× ik2
1 −m2 + iεi
k22 −m2 + iε
=
Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 36/41
=∫ d4k1
(2π)4d4k2
(2π)4 (2π)4δ
(4)(p1 +p2−k1−k2)(2π)4δ
(4)(k1 +k2−p3−p4)
× ik2
1 −m2 + iεi
k22 −m2 + iε
= (2π)4δ
(4)(p1 + p2−p3−p4)
×∫ d4k1
(2π)4i
k21 −m2 + iε
i(p3 + p4−k1)2−m2 + iε
Cada propagador introduce su correspondiente integral demomentosEn cada Hamiltoniano (cada vértice) nos aparece siempreun producto de exponenciales que después de integradoda lugar a una delta de conservación del momento.
Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 37/41
Así ( Hay un factor de simetría Sg = 2)
iM (1)a =
(−iλ )2
2
∫ d4k1
(2π)4i
k21 −m2 + iε
i(p3 + p4−k1)2−m2 + iε
La amplitud iM (1)a se obtiene de la siguiente forma:
Las líneas externas sólo nos generan las exponencialesque en último término garantizan la conservación delmomento.Ponemos un factor (−iλ ) en cada vértice y exigimosconservación de momento en cada vértice.Ponemos un propagador de Feynman (con el momentocorrespondiente) por cada línea interna.Integramos
∫d4k1/(2π)4 en el momento que queda
indeterminado.Dividimos por el factor de simetría.
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Diagramas como el considerado, con un momentoindeterminado, se denominan diagramas a “un lazo” (eninglés un “loop”). Habrá tantas integrales de momentoscomo lazos en el diagramaDiagramas sin lazos se denominan a “nivel árbol” (eninglés “tree level”). Su cálculo no requiere ninguna integraly dan lugar a amplitudes que son funciones racionales delos productos de momentos invariantes que intervienen enel proceso.
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Los restantes diagramas son
Otras contribuciones orden λ 2
k1k2 = p3 − p1 − k1
p1
p2
p3
p4y
x
k1k2 = p4 − p1 − k1
p1
p2
p3
p4y
x
que dan las siguientes contribuciones:
M(1)b = M
(1)a (p4→−p1) , M
(1)c = M
(1)a (p3→−p1)
de forma que
M (1) = M(1)a +M
(1)b +M
(1)c
La integral en momentos presenta algunas complicacionesadicionales y la dejaremos para más adelante.
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Reglas de Feynman para λφ41. Por ada línea externaa) de es alares entrando pondremos 1
k −→b) de es alares saliendo pondremos 1
k −→2. En ada vérti e de uatro es alares impondremos la onserva ión del uadrimomento e insertaremos un fa torφ
φ
φ
φ
−iλ3. Por ada línea interna de es alares insertaremos un propagador de es- alark −→i
k2 −m2 + iǫ4. Integraremos sobre todos los momentos indeterminados en los bu lesañadiendo una integral ∫d4k
(2π)4por ada momento indeterminado.5. Dividiremos por el fa tor de simetría Sg que viene determinado por elnúmero de ontra iones equivalentes del diagrama.
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Tema 7:Campos con interacciones II:Generalización y Aplicaciones
Arcadi Santamaria
14 de octubre de 2009
Contenido
1 Reglas de Feynman: GeneralizacionesGeneralización a interacciones entre varios camposCampos escalares complejosReglas de Feynman para campos de Dirac
2 Cálculo de observablesSumas sobre espines
3 AplicacionesDesintegración de un escalar en fermionesInteracción del bosón de Higgs con fermionesSección eficaz fermión-fermión
4 Acoplamientos con derivadas
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Generalización a interacciones entre varios campos
Si hay varios campos escalares φ1, φ2, ...∆L : suma de monomios de productos de los diferentescampos.Vértices elementales: se obtienen derivando losmonomios de la densidad Lagrangiana respecto todos loscampos tantas veces como haga falta hasta obtener unaconstante y el resultado se multiplicará por i .
Ejemplo:
Si ∆L = gφ21 φ3
2 : interacción entre 2 partículas del campo φ1 y3 del campo φ2 y el vértice elemental será ig 2!3!
La cancelación del factor 1/n! la exponencial se sigueproduciendo (quizá no completamente) debido a lacombinatoria del producto de Hamiltonianos. Si HI = H1 +H2
HI(x)HI(y) = H1(x)H1(y)+H2(x)H2(y)+H1(x)H2(y)+H2(x)H1(y)
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Campos escalares complejos
Para campos escalares complejos
φI(x) =∫ d3~p
(2π)32Ep
(a(~p)e−ipx + b†(~p)eipx
),
Inmediatamente tenemos
φ I(x)φI(y) = 0 , φ†I (x)φ
†I (y) = 0
solo contracciones de φ con φ †
φ I(x)φ†I (y)≡ 〈0|T (φI(x)φ
†I (y)) |0〉= DF (x −y) .
Además
φ I(x)a†(p) = e−ipx , φ†I (x)b†(p) = e−ipx
a(p)φ†I (x) = eipx , b(p)φI(x) = eipx .
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El teorema de Wick igual pero sólo contracciones entrecampos y campos conjugados.Para determinar los vértices derivamos el Lagrangianorespecto los campos considerando φ y φ † como camposindependientes. Por ejemplo ∆L =−λ |φ |4 =−λφ2 (φ †
)2
conduce a un vértice −4iλ da lugar a φ + φ → φ + φ
,φ + φ → φ + φ o φ + φ → φ + φ conservando la carga.
Regla adicional para campos complejos:Las líneas de campos complejos transportan carga que se tieneque conservar en cada vértice.
En líneas externas el flujo de carga está fijado por el flujode momento y por el hecho de ser partículas oantipartículas.En líneas internas siempre podremos elegir el flujo decarga en la misma dirección que el del momento.
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Ejercicios
Ejercicio 1:Dibujad los diagramas que contribuyen a φ + φ → φ + φ yφ + φ → φ + φ a segundo orden en la interacción∆L =−µ ϕ |φ |2 (φ es un campo complejo, ϕ un campo real yµ la constante de acoplamiento).Escribid las amplitudes.
Ejercicio 2:Dibujad los diagramas que contribuyen a φ + φ → φ + φ yφ + φ → φ + φ a segundo orden en la interacción ∆L =−λ |φ |4(φ es un campo complejo).Escribid las amplitudes.
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Reglas de Feynman para campos de Dirac
Los campos de Dirac son en cierta forma parecidos a loscampos de Klein-Gordon complejos puesto que son complejosy en general transportan algún tipo de carga:
Solo habrá contracciones no nulas entre campos ycampos conjugados.La carga se conservará en todos los vértices.
Pero, aquí se acaba todo el parecido ya que:Los campos de Dirac satisfacen reglas deanticonmutación.Los campos de Dirac tienen índices de Dirac
Diferencias que se manifiestan en la construcción de las reglasde Feynman
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Teorema de Wick para campos de Dirac
Como en el caso del campo escalar complejo tendremos
T (ψa(x)ψb(y)) =:ψa(x)ψb(y): +〈0|T (ψa(x)ψb(y)) |0〉
pero hay un signo menos en el producto T-ordenado
T (ψa(x)ψb(y)) = θ(x0−y0)ψa(x)ψb(y)−θ(y0−x0)ψb(y)ψa(x)
Así:ψa(x)ψb(y):=− :ψb(x)ψa(y):
Teorema de Wick para campos de DiracSolo se contraen campos ψa con campos ψb
Cada vez que debamos cambiar el orden de un par decampos de Dirac para hacer una contracción tendremosque añadir un signo menos.
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El propagador de Feynman
Las contracciones dan el propagador de Feynman que es unamatriz de Dirac
ψ(x)ψ(0) = 〈0|T (ψ(x)ψ(0)) |0〉= SF (x) =
=∫ d4p
(2π)4
i(/p + m
)p2−m2 + iε
e−ipx =∫
CF
d4p(2π)4
i/p−m
e−ipx
con los índices de los campos ψaψb que no hemos escritoexplícitamente.La dirección del cuadrimomento es relevante en líneasfermiónicas internas.
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Las contracciones con líneas externas
ψ(x) = ∑s
∫ d3~p(2π)32Ep
(a(~p,s)u(~p,s)e−ipx + b†(~p,s)v(~p,s)eipx
)
ψ(x) = ∑s
∫ d3~p(2π)32Ep
(a†(~p,s)u(~p,s)eipx + b(~p,s)v(~p,s)e−ipx
)y las contracciones con líneas externas darán:
ψ(x)a†(p) = u(~p,s)e−ipx , ψ(x)b†(p) = v(~p,s)e−ipx
a(p)ψ(x) = u(~p,s)eipx , b(p)ψ(x) = v(~p,s)eipx
Aparecen los espinores de Dirac que llevan los índices de loscampos.
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Bucles fermiónicos
Búcles fermiónicosPor cada lazo fermiónico, además de la integral en el momentoindefinido, tenemos que añadir un signo menos y tomar la trazasobre los índices de Dirac.
Por ejemplo, sea la interacción ∆L =−gψ(x)ψ(x)φ(x) .A orden cuatro, con todos los campos fermiónicos contraídosentre ellos, genera una interacción entre cuatro camposescalares. Los campos fermiónicos se pueden contraer de lasiguiente forma
(ψa(x1)ψa(x1))(ψb(x2)ψb(x2))(ψc(x3)ψc(x3))(ψd (x4)ψd (x4))
La contracción del primer campo ψa y el último ψd está en elorden incorrecto (ψa a la izquierda y ψd a la derecha).
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Para poner estos dos campos en el orden correcto hay quepermutarlos y se genera un signo menos
(ψa(x1)ψa(x1))(ψb(x2)ψb(x2))(ψc(x3)ψc(x3))(ψd (x4)ψd (x4))
=−ψa(x1)ψb(x2)ψb(x2)ψc(x3)ψc(x3)ψd (x4)ψd (x4)ψa(x1)
=−SF (x1−x2)abSF (x2−x3)bcSF (x3−x4)cdSF (x4−x1)da
=−TrSF (x1−x2)SF (x2−x3)SF (x3−x4)SF (x4−x1)Como el índice inicial, a, y final, a, son el mismo esta cantidadrepresenta una traza sobre índices de Dirac.El resultado se generaliza para cualquier número de lazosfermiónicos.
Arcadi Santamaria Tema 7: Campos con interacciones II: Generalización y Aplicaciones 14 de octubre de 2009 12/38
Ejemplo: Teoría de Yukawa
Consideremos la teoría con un campo de Dirac y un campo deKG en interacción
LYukawa =12
∂µφ∂µ
φ − 12
M2φ
2 + ψ(i /∂ −m
)ψ− igψγ5ψφ ,
Consideremos la interacción fermión-fermión-escalar y sucontribución a la desintegración del escalar en un parfermión-antifermión. En la imagen de interacción tenemos
HI = igψIγ5ψIφI
A primer orden de teoría de perturbaciones
iT = 〈0|b(~p2,s2)a(~p1,s1)∫
d4x :gψI(x)γ5ψI(x)φI(x): a†(~p) |0〉
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Desintegración φ → ψψ
Las únicas contracciones posibles son
iT = g∫
d4x 〈0|b(p2,s2)a(p1,s1)ψ I(x)γ5ψ I(x)φ I(x)a†(p) |0〉
= g∫
d4x e−i(p−p1−p2)x u(~p1,s1)γ5v(~p2,s2)
= (2π)4δ
(4)(p−p1−p2)gu(~p1,s1)γ5v(~p2,s2) ,
de dondeiM = gu(~p1,s1)γ5v(~p2,s2)
El fermión que sale da un factor u(~p1,s1)
El antifermión da un factor v(p2,s2)
El vértice da un factor gγ5 entre los espinores (justo eltérmino del Lagrangiano eliminando los campos ymultiplicando por i).
Arcadi Santamaria Tema 7: Campos con interacciones II: Generalización y Aplicaciones 14 de octubre de 2009 14/38
que se puede representar mediante el diagrama
El vértice escalar-fermión-fermión
φ
p −→p2ց
p1րgγ5
Hemos representado los fermiones mediante una líneacontinua con una flecha que representa el flujo de carga(para el fermión va en la dirección del momento y para elantifermión va en sentido contrario) pero también el orden enque están contraídos los índices de Dirac.El diagrama se “lee” empezando por la punta de la flecha.
Arcadi Santamaria Tema 7: Campos con interacciones II: Generalización y Aplicaciones 14 de octubre de 2009 15/38
Si en lugar de un antifermión que sale tenemos un fermiónque entra solo cambia la δ (4)(p−p1 + p2) y que en lugarde v(p2,s2) tenemos u(p2,s2).Si en lugar del fermión que sale (con momento p1)tenemos un antifermión que entra tendremos en lugar deu(~p1,s1) tendremos v(p1,s1).
Usaremos el mismo vértice con las flechas dando el flujo decarga y el orden de contracción de los índices de Dirac.Sólo cambiarán los espinores de las patas externas segúnsean fermiones o antifermiones, entrando o saliendo.
Ambigüedad de signo:¿〈0|b(~p2,s2)a(~p1,s1) o 〈0|a(~p1,s1)b(~p2,s2)?Convención: definiremos el vértice utilizando una partículaentrando y una partícula saliendo.
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Colisión ψψ → φφ
Se genera a segundo orden. Suprimimos momentos y espines(1,2 se refieren a fermiones y 3,4 a escalares, m2→m2− iε)
iT =(−i)2
2!
∫d4xd4y 〈0|a(~p4)a(~p3)T (HI(x)HI(y))a†(~p1,s1)b†(p2,s2) |0〉
=g2
2!
∫d4xd4y 〈0|a4a3 T (:φI(x)ψI(x)γ5ψI(x)::φI(x)ψI(y)γ5ψI(y):)a†
1b†2 |0〉
=g2
2!
∫d4xd4y 〈0|a4a3 φ I(x)ψ I(x)γ5ψ I(x)φ I(y)ψ I(y)γ5ψ I(y)a†
1b†2 |0〉+· · ·
=g2
2!
∫d4xd4ye−i(p2−p4)xe−i(p1−p3)y v(p2,s2)γ5 ψ I(x)ψ I(y)γ5u(p1,s1)+ · · ·
=g2
2!
∫d4xd4ye−i(p2−p4)xe−i(p1−p3)y
×∫ d4k
(2π)4 v(p2,s2)γ5e−ik(x−y)i(/k + m)
k2−m2 γ5u(p1,s1) + · · ·
Arcadi Santamaria Tema 7: Campos con interacciones II: Generalización y Aplicaciones 14 de octubre de 2009 17/38
=g2
2!(2π)4
∫d4k δ
(4)(p2−p4 + k)δ(4)(p1−p3−k)
×v(p2,s2)γ5i(/k + m)
k2−m2 γ5u(p1,s1) + · · ·
= i (2π)4δ
(4)(p1 + p2−p3−p4)
×g2
2!v(p2,s2)γ5
/p1− /p3 + m(p1−p3)2−m2 γ5u(p1,s1) + · · ·
Los · · · representan otras contracciones.Diagramas que contribuyen al proceso
p1 →
p2 →
k = p1 − p3 = p4 − p2
f
f
φ, p3
φ, p4x
y p1 →
p2 →
k = p1 − p4
f
f
φ, p3
φ, p4x
y
Arcadi Santamaria Tema 7: Campos con interacciones II: Generalización y Aplicaciones 14 de octubre de 2009 18/38
Una vez fijadas las contracciones de los fermiones, podemoscontraer los bosones permutando los momentos p3 y p4(contribución de la derecha)El factor 1/2! de la exponencial también se cancela.La contribución total es
iM =
= ig2v(p2,s2)γ5
(/p1− /p3 + m
(p1−p3)2−m2 +/p1− /p4 + m
(p1−p4)2−m2
)γ5u(p1,s1)
Usando álgebra y la ecuación de Dirac
iM = ig2v(p2,s2)
(/p3
(p1−p3)2−m2 +/p4
(p1−p4)2−m2
)u(p1,s1)
Simétrica bajo p3←→ p4. Los φ son bosones!
Arcadi Santamaria Tema 7: Campos con interacciones II: Generalización y Aplicaciones 14 de octubre de 2009 19/38
Colisión f f → f f
Dos fermiones idénticos tanto en el estado inicial como en elestado final.A segundo orden
iT =g2
2!
∫d4xd4y 〈0|a4a3 T (:ψI(x)γ5ψI(x)φI(x)::φI(x)ψI(y)γ5ψI(y):)a†
1a†2 |0〉
=g2
2!
∫d4xd4y 〈0|a4a3 ψ I(x)γ5ψ I(x)φ I(x)φ I(y)ψ I(y)γ5ψ I(y)a†
1a†2 |0〉+· · ·
=g2
2!
∫d4xd4ye−i(p2−p4)xe−i(p1−p3)y u(p4,s4)γ5u(p2,s2)
×∫ d4k
(2π)4ie−ik(x−y)
k2−M2 u(p3,s3)γ5u(p1,s1) + · · ·
=ig2
2!
(2π)4δ (4)(p1 + p2−p3−p4)
(p1−p3)2−M2 (u(p4,s4)γ5u(p2,s2))(u(p3,s3)γ5u(p1,s1))+ · · ·
Arcadi Santamaria Tema 7: Campos con interacciones II: Generalización y Aplicaciones 14 de octubre de 2009 20/38
Representaremos esta contribución con el diagrama de laizquierdaDiagramas que contribuyen al proceso
p1 →
p2 → p4 →
p3 →
k = p1 − p3 = p4 − p2
f
f
f
fx
y p1 →
p2 →
k = p1 − p4
f
f
f, p3
f, p4x
y
Permutando las contracciones de los fermiones finales
〈0|a4a3 ψ I(x)γ5ψ I(x)φ I(x)φ I(y)ψ I(y)γ5ψ I(y)a†1a†
2 |0〉
dan un signo − adicional. Diagrama de la derecha con doslíneas fermiónicas finales cruzadas.
Arcadi Santamaria Tema 7: Campos con interacciones II: Generalización y Aplicaciones 14 de octubre de 2009 21/38
El elemento de matriz reducido será
iM =ig2
(p1−p3)2−M2 (u(p4,s4)γ5u(p2,s2))(u(p3,s3)γ5u(p1,s1))
− ig2
(p1−p4)2−M2 (u(p3,s3)γ5u(p2,s2))(u(p4,s4)γ5u(p1,s1))
Antisimétrico bajo intercambio de etiquetas 3↔ 4 pero tambiénantisimétrico bajo intercambio 1↔ 2.Lineas fermiónicas cruzadas dan signos menos.El cálculo de todas estas contribuciones se puede generalizar ysistematizar: reglas de Feynman para campos de Dirac.
Load File:yukawarules.pdf
Arcadi Santamaria Tema 7: Campos con interacciones II: Generalización y Aplicaciones 14 de octubre de 2009 22/38
Sumas sobre espines
Típicamente la amplitud con fermiones será de la forma
M = u(p2,s2)Ou(p1,s1) ,
Si no se mide el espín final y las partículas iniciales no estanpolarizadas
σ ∝ ∑s1,s2
M ∗M = ∑s1,s2
(u†(p1,s1)O†u†(p2,s2)
)(u(p2,s2)Ou(p1,s1))
Como que u = uγ0 y γ0†= γ0
∑s1,s2
M ∗M = ∑s1,s2
(u(p1,s1)γ
0O†γ
0u(p2,s2))
(u(p2,s2)Ou(p1,s1))
Escribiendo explícitamente los índices de Dirac
(u1aAabu2b)(u2cBcdu1d ) = u1d u1aAabu2bu2cBcd = Tru1u1Au2u2B
Arcadi Santamaria Tema 7: Campos con interacciones II: Generalización y Aplicaciones 14 de octubre de 2009 23/38
así∑
s1,s2
M ∗M =
= Tr
(∑s1
u(p1,s1)u(p1,s1)
)γ
0O†γ
0
(∑s2
u(p2,s2)u(p2,s2)
)O
que nos permite utilizar las expresiones para las sumas deespín
∑s1,s2
M ∗M = Tr(
/p1 + m)
γ0O†
γ0 (/p2 + m
)O
El problema se reduce a calcular trazas de productos dematrices de Dirac.
Arcadi Santamaria Tema 7: Campos con interacciones II: Generalización y Aplicaciones 14 de octubre de 2009 24/38
Espines fijados
Este método se puede aplicar también al caso general(espines fijados).
σs1s2 ∝ Tr(
u(p1,s1)u(p1,s1))
γ0O†
γ0 (u(p2,s2)u(p2,s2))O
.
Pero ahora sustituimos
u(p,s)u(p,s) =12
(1 + sγ5/n)(/p + m) ,
v(p,s)v(p,s) =12
(1 + sγ5/n)(/p−m) .
Arcadi Santamaria Tema 7: Campos con interacciones II: Generalización y Aplicaciones 14 de octubre de 2009 25/38
Desintegración de un escalar en fermiones
Como hemos visto
iM = gu(~p1,s1)γ5v(~p2,s2) .
La anchura de desintegración es (en el sistema de referenciaen el qué el escalar está en reposo)
Γ(φ → f f ) =
√1−4m2/M2
64π2M
∫dΩ∑spin |M |
2 ,
√λ (M2,m2,m2) = M2
√1−4m2/M2. Utilizando que la suma
sobre espines es
∑s1s2
|M |2 =−g2Tr
(/p1 + m)γ5(/p2−m)γ5
= g2Tr
(/p1 + m)(/p2 + m)
.
yγ5/p =−/pγ5 , γ
25 = I , Tr
/p1/p2
= 4p1p2
Arcadi Santamaria Tema 7: Campos con interacciones II: Generalización y Aplicaciones 14 de octubre de 2009 26/38
Tenemos
∑s1s2
|M |2 = 4g2(
p1p2 + m2)
= 2g2M2 ,
donde hemos usado M2 = p2 = (p1 + p2)2 = 2(p1p2 + m2).Sustituyendo e integrando el ángulo sólido
∫dΩ = 4π
Γ(φ → f f ) =g2
8πM√
1−4m2/M2
Estructura del diagrama + analisis dimensional+ espacio fásico
Γ≈ g2
8πM ,
Arcadi Santamaria Tema 7: Campos con interacciones II: Generalización y Aplicaciones 14 de octubre de 2009 27/38
Interacción bosón de Higgs-fermiones
El bosón de Higgs es un escalar neutro descrito por un campode KG real, H. Su interacción con los fermiones es del tipoYukawa escalar
LH =−∑i
mi
vFψiψiH ,
la suma se extiende sobre todos los fermiones, mi masas defermiones y vF ≈ 246 GeV.La regla de Feynman para este interacción esVértice del Higgs con fermiones
H
ψi
ψi
−imi
vF
Los quarks tienen NC = 3 colores.Arcadi Santamaria Tema 7: Campos con interacciones II: Generalización y Aplicaciones 14 de octubre de 2009 28/38
Γ(H→ bb)
(Discusión)H→ bb pero acoplamiento escalar y color del quark b ( sigb = mb/vF )
∑s1s2,color
|M |2 = NCg2bTr
(/p1 + mb)(/p2−mb)
= NC4g2b
(p1p2−m2
b
)= NC4g2
b
(p1p2−m2
b
)= NC2g2
bM2H
(1−4m2
b/M2H
).
Así
Γ(H→b b) =NCg2
b8π
MH
√(1−4m2
b/M2H
)3=
3m2b
8πv2F
MH
√(1−4m2
b/M2H
)3.
Ejercicio: cálculo de los ritmos de desintegración al resto de losfermiones así como la vida media τ = 1/(∑i Γ(H→ fi fi).
Arcadi Santamaria Tema 7: Campos con interacciones II: Generalización y Aplicaciones 14 de octubre de 2009 29/38
Sección eficaz µ+µ−→ bb
El único diagrama que contribuye a µ+µ−→ bb mediado por elbosón de Higgs
Intercambio de Higgs en µ+µ−→ bb
p1ր
p4րH
q = p1 + p2
p2ց
p3ց
µ−
µ+
b
b
la amplitud es
iM =−igµgb
s−M2H
(u3v4)(v2u1)
Arcadi Santamaria Tema 7: Campos con interacciones II: Generalización y Aplicaciones 14 de octubre de 2009 30/38
Así (la NC viene de la suma sobre colores y el 1/4 de la medisobre los espines del estado inicial)
∑spincolor
|M |2 =
=NC
4g2
µg2b
(s−M2H)2
Tr
(/p3 + mb)(/p4−mb)
Tr
(/p2−mµ )(/p1 + mµ )
=NCg2
µg2bs2
(s−M2H)2
(1−4m2
b/s)(
1−4m2µ/s)
dónde hemos utilizado
Tr
(/p3 + mb)(/p4−mb)
= 2s(
1−4m2b/s)
Arcadi Santamaria Tema 7: Campos con interacciones II: Generalización y Aplicaciones 14 de octubre de 2009 31/38
Usando la fórmula de la sección eficaz
σ(µ+
µ−→ H→ bb) =
√λ (s,m2
b,m2b)
λ (s,m2µ ,m2
µ )
164π2s
∫dΩ ∑
spincolor
|M |2
=NCg2
µg2b
16π
s(s−M2
H)2
√(1−4m2
b/s)3 (1−4m2
µ/s)
En el límite sM2H m2
b,m2µ tendremos
σ(µ+
µ−→ H→ bb)≈ NCg2
µg2b
16πs, sM2
H m2b,m2
µ .
Se entiende por análisis dimensionalExplota en s = M2
H . A ordenes más altos en T. perturbaciones
1s−M2
H→ 1
s−M2H + iΓHMH
ΓH es la anchura total del bosón de Higgs.Arcadi Santamaria Tema 7: Campos con interacciones II: Generalización y Aplicaciones 14 de octubre de 2009 32/38
Así puesσ(µ
+µ−→ H→ bb) =
=NCg2
µg2b
16π
s(s−M2
H)2 + Γ2HM2
H
√(1−4m2
b/s)3 (1−4m2
µ/s)
Comportamiento suave para todo s y presenta un pico ens ≈M2
H .
σ(µ+
µ−→ H→ bb)
∣∣pico =
4π
β 2µ M2
HBRµBRb ,
dónde βµ ≡√(
1−4m2µ/M2
H
)(βµ ≈ 1 sí MH mµ ) es la
velocidad de los muones (antimuones) iniciales yBRf = Γ(H→ f f )/ΓH .
Arcadi Santamaria Tema 7: Campos con interacciones II: Generalización y Aplicaciones 14 de octubre de 2009 33/38
Acoplamientos con derivadas
Si la interacción no involucra derivads de los campos HI =−LIy lo que hemos hecho es correcto.¿Que pasa si hay derivadas?Consideraremos KG real con una interacción de la formaJµ∂µφ
L =12
∂µ
φ∂µφ − 12
m2φ
2 + Jµ∂µφ ,
dónde Jµ es una corriente externa fijada.El momento conjugado es
π =∂L
∂ φ= φ + J0 ,
y la densidad Hamiltoniana
H = πφ −L =12
φ2 +
12~∇φ~∇φ +
12
m2φ
2−~J~∇φ
Arcadi Santamaria Tema 7: Campos con interacciones II: Generalización y Aplicaciones 14 de octubre de 2009 34/38
que se debe escribir en términos de π eliminando φ = π−J0
H =12
π2 +
12~∇φ~∇φ +
12
m2φ
2−J0π−~J~∇φ +
12
(J0)2
Separamos Hamiltoniano libre y de interacción (a t = 0)
H = H0 + ∆H
H0 ≡ 12
π2 +
12~∇φ~∇φ +
12
m2φ
2
∆H =−J0π−~J~∇φ +
12
(J0)2
Para pasar a la imagen de interacción φ → φI y π → πI .H0 mantiene la misma forma y HI es
HI =−J0πI−~J~∇φI +
12
(J0)2 .
Arcadi Santamaria Tema 7: Campos con interacciones II: Generalización y Aplicaciones 14 de octubre de 2009 35/38
Finalmente los campos φI y πI son libres y por lo tantopodemos sustituir πI = φI
HI =−Jµ∂µφI +
12
(J0)2
Hay un término adicional no covariante.Si usamos esta interacción en la serie de Dyson (mantenemostérminos solo con dos corrientes externas)
S = 1− i∫
d4x(−Jµ (x)∂µφI(x) +
12
(J0(x))2)
+(−i)2
2!
∫d4x
∫d4yJµ (x)Jν (y)T
(∂µφI(x)∂νφI(y)
)+ · · ·
Arcadi Santamaria Tema 7: Campos con interacciones II: Generalización y Aplicaciones 14 de octubre de 2009 36/38
Producto T-ordenando de las derivadas de los campos:
T(∂µφI(x)∂νφI(y)
)=
∂
∂xµ
∂
∂yνT (φI(x)φI(y))− ig0
µg0ν δ
(4)(x −y) ,
Las contribuciones no covariantes que aparecen el productoT-ordenado de derivadas de los campos son exactamente lasnecesarias para cancelar los otros términos no covariantes! Así
S = 1− i∫
d4x(−Jµ (x)∂µφI(x)
)+
(−i)2
2!
∫d4x
∫d4yJµ (x)Jν (y)
∂
∂xµ
∂
∂yνT (φI(x)φI(y)) + · · ·
Este tipo de cancelaciones ocurren a todos los órdenes!Resultado invariante Lorentz. Receta:
Ignoramos los términos no covariantes en HI
Para calcular las contracciones de los campos conderivadas las sacamos fuera del producto T-ordenado.
Arcadi Santamaria Tema 7: Campos con interacciones II: Generalización y Aplicaciones 14 de octubre de 2009 37/38
Así por ejemplo
∂µφ I(x)a†(p) |0〉=−ipµe−ipx
lo que nos permite mantener todas las derivadas en losvértices (que nos daran momentos de partículas) y usar lospropagadores de Feynman normales.
EjemploLa interacción ∆L = gψγµγ5ψ∂µφ genera un vértice elementalg/pγ5 (para un escalar de momento pµ entrando en el vértice).El resto de las reglas de Feynman no tienen ningún cambio.
Arcadi Santamaria Tema 7: Campos con interacciones II: Generalización y Aplicaciones 14 de octubre de 2009 38/38
Tema 8:Campos “gauge”: fotones y campos de Proca
Arcadi Santamaria
21 de octubre de 2009
Contenido
1 La interacción electromagnética e invariancia “gauge”: elLagrangiano de QED
2 Cuantización canónica covariante de fotones libresCuantización del Lagrangiano de Fermi para fotoneslibres
3 El propagador de fotones
4 Reglas de Feynman de QEDSumas sobre polarizaciones de fotones
5 Campos Vectoriales MasivosBosones de gauge electrodébiles: reglas de Feynman
Arcadi Santamaria Tema 8: Campos “gauge”: fotones y campos de Proca 21 de octubre de 2009 2/41
Espín 1 e invariancia gauge
Estudiaremos campos que describen partículas con espín 1,sin masa y con masa.
Espín 1 con masa requiere 3 grados de libertad.Partículas sin massa, como el fotón, no tienen espín sinohelicidad y solo 2 grados de libertad.Necesario un campo bosónico que se transformecorrectamente bajo Lorentz y que tenga al menos 3 gradosde libertad (2 para el fotón). El campo más simple conestas características es el campo vectorial.
Un cuadrivector tiene cuatro componentes!Para espín 1 sobra una componentePara helicidad 1 sobran dos componentes.
Raíz de las dificultades para cuantizar campos con espín 1, enparticular si no tienen masa.
Arcadi Santamaria Tema 8: Campos “gauge”: fotones y campos de Proca 21 de octubre de 2009 3/41
La solución? SimetríaUna simetría: la invariancia “gauge” permitirá eliminar losgrados de libertad sobrantes.
De momento partiremos de las ecuaciones de Maxwell eintroduciremos la notación estándar covariante relativistaLuego veremos que imponiendo la invariancia gauge podemoshacer el camino inverso y redescubrir las ecuaciones deMaxwell.Las ecuaciones de Maxwell se escriben cómo
~∇~E = ρ , ~∇~B = 0 ,
~∇×~B− ∂~E∂ t
=~j , ~∇×~E +∂~B∂ t
= 0
~E y ~B son los campos eléctrico y magnético y ρ y~j la densidadde carga y corriente.
Arcadi Santamaria Tema 8: Campos “gauge”: fotones y campos de Proca 21 de octubre de 2009 4/41
Definimos el cuadrivector corriente cómo jµ = (ρ,~j) y el tensorantisimétrico F µν cómo
F µν =
0 −E1 −E2 −E3
E1 0 −B3 B2
E2 B3 0 −B1
E3 −B2 B1 0
Usando εµνρσ (con ε0123 = 1) definiremos el tensor dual
F µν ≡ 12
εµνρσ Fρσ
Así las ec. de Maxwell se escriben como
a) ∂µF µν = jν , b) ∂µ F µν = 0
La conservación de la corriente ∂µ jµ = 0 es una condición decompatibilidad.
Arcadi Santamaria Tema 8: Campos “gauge”: fotones y campos de Proca 21 de octubre de 2009 5/41
Para cuantizar necesitamos un Lagrangiano que lleve a estasecuaciones.Si usamos ~E y ~B (o F µν ) como variables dinámicas tenemosvarios problemas:
Usamos 6 campos para describir solo dos helicidades.Las ecuaciones de movimiento sólo contienen unaderivada respeto el tiempo (problemas en una formulacióncanónica).Los propagadores de ~E ’s y ~B’s van cómo 1/q y no 1/q2 loque lleva a potenciales 1/r2 y no 1/r .
Solución: usamos b) para escribir
F µν = ∂µAν −∂
νAµ .
No es unívoco ya que las transformaciones gauge
Aµ → Aµ + ∂µ
α
dejan F µν invariante.Arcadi Santamaria Tema 8: Campos “gauge”: fotones y campos de Proca 21 de octubre de 2009 6/41
La invariancia gauge será esencial para reducir los 4 grados delibertad de Aµ a los dos necesarios para describir un fotón.En términos de Aµ las ecuaciones de Maxwell son
∂2Aµ −∂
µ (∂νAν ) = jµ
que, excepto por el segundo término, tiene la estructura de laec. de KG sin masa.El Lagrangiano más general posible que lleva a esta ecuaciónes
L =−14
F µνFµν − jµAµ
Normalizado de forma que las componentes espaciales de Aµ
tengan la normalización canónica y que conduzca a unHamiltoniano definido positivo y con la normalización correcta.Invariante bajo las transformaciones gauge si ∂µ jµ = 0.
Arcadi Santamaria Tema 8: Campos “gauge”: fotones y campos de Proca 21 de octubre de 2009 7/41
La escritura de las ecuaciones de Maxwell en términos deun potencial vector lleva inevitablemente a la invarianciagauge.Lo que es más interesante es que el requerimiento de lainvariancia gauge, en un sentido más general, conduceinevitablemente a las ecuaciones de Maxwell.
Partimos del Lagrangiano de Dirac para una partícula concarga Q (Q =−1 para electrones)
Lψ = ψ(i /∂ −m)ψ ,
que es invariante bajo una transformación de fase global(α ≡const.)
ψ → ψ′ = eiαQ
ψ .
El teorema de Noether implica que hay una corrienteconservada jµ = eQψγµψ.
Arcadi Santamaria Tema 8: Campos “gauge”: fotones y campos de Proca 21 de octubre de 2009 8/41
Transformaciones globales, α = cte, (en todo el universo) noson realizables físicamente.Transformaciones locales, con α(x), si son realizables.Pero el Lagrangiano de Dirac no es invariante bajo unatransformación de gauge local
ψ → ψ′ = eiα(x)Q
ψ
puesto que
Lψ →L ′ψ = ψ
(i γ
µ(∂µ + i Q∂µα
)−m
)ψ
Para mantener la invariancia de gauge local es necesariointroducir un campo de gauge Aµ con acoplamiento mínimo
∂µψ ⇒ Dµψ ≡(∂µ + ieQAµ
)ψ
y exigir que Aµ se transforme como
Aµ −→ A′µ = Aµ −1e
∂µα
Arcadi Santamaria Tema 8: Campos “gauge”: fotones y campos de Proca 21 de octubre de 2009 9/41
El nuevo Lagrangiano será
LψA = ψ(i γ
µDµ −m)
ψ
que es invariante bajo las transformaciones de gaugecombinadas,
LψA→L ′ψA = ψ
′ (i γµ(∂µ + i eQA′µ
)−m
)ψ′
= ψ(i γ
µ(∂µ + i eQAµ
)−m
)ψ .
El acoplamiento mínimo consecuencia de la invariancia gauge!Para varios campos fermiónicos, ψi , con cargas, Qi ,
L = ∑i
ψi(iγµ(∂µ + ieQiAµ
)−mi
)ψi
interacción jµAµ con jµ = e ∑i Qi ψiγµψi .
La interacción es universal (solo una constante e)!
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Aµ necesita un término cinéticoCuadrático en Aµ
Invariante gauge y Lorentz.El único que podemos construir es
LA =−14
FµνF µν
Importante: la invariancia gauge local prohibe un término demasa para Aµ
Sumando los dos términos obtenemos el Lagrangiano de QED
LQED = LA +LψA
Teoría renormalizable que describe correctamente lasinteracciones entre fotones y electrones (y otros fermionescargados).
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Generalización: QCD
Receta muy sencilla para construir teorías con interaccionesuniversales:Identificamos simetrías globales y las “gaugeamos”.
Ejemplo: ColorHay tres quarks con la misma carga y masa que se distinguenpor un nuevo número cuántico, el color.Se pueden representar con un vector de tres componentes, ΨQ,formado por campos de Dirac. Su Lagrangiano es
LQ = ΨQ(i /∂ −m)ΨQ , ΨQ =
ψ1ψ2ψ3
LQ es invariante bajo
ΨQ →Ψ′Q = U(α)ΨQ
con U(α) una matriz 3×3 unitaria.Arcadi Santamaria Tema 8: Campos “gauge”: fotones y campos de Proca 21 de octubre de 2009 12/41
U(3) = U(1)⊗SU(3)U(1) corresponde a número bariónico (global)U(α) ∈ SU(3) se puede escribir cómo
U(α) = ei ∑8a=1 αaT a
, ,T a herm«ıtica, Tr
T a= 0 .
Una matriz hermítica 3×3 de traza nula contiene 8 parámetrosreales independientes.Diremos que hay 8 generadores del grupo, T a, y 8 parámetrosde la transformación, αa.Invariancia gauge local bajo SU(3) exige 8 campos gauge, unopor parámetro T aAa
µ −→ T aAa′µ = U(T aAa
µ − ig ∂µ )U†
∂µ → Dµ ≡ ∂µ + ig ∑a
T aAaµ
Dµ ΨQ →(Dµ ΨQ
)′= U (α(x))Dµ ΨQ
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de forma que el Lagrangiano invariante gauge es
LQCD = LKin + ΨQγµ (i∂µ −g ∑
aT aAa
µ −m)ΨQ
con LKin es la generalización del término cinético de Aa .Lagrangiano de la cromodinámica cuántica, QCD, que ha sidocapaz de explicar, con un éxito impresionante, lasinteracciones fuertes entre las partículas elementales.
Universalidad del principio gaugeRemarcable que todas las interacciones fundamentalesconocidas, electromagnéticas, débiles, fuertes (e inclusogravitatorias con sus peculiaridades) se han podido integrarbajo el principio de gauge.
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Problemas
Si intentáramos aplicar el programa de cuantización canónica aQED inmediatamente encontramos problemas: el momentocanónico asociado a Aµ es
πµ =
∂LA
∂ Aµ
=−F 0µ
π0 = 0 ya que LA es independiente de A0.No es nuevo: el momento asociado a ψ también es nulo.Los problemas son mucho más profundos:La función de Green no existe. En momentos
k2Aν (k)−k µkνAµ (k) =(
k2gµν −k µkν
)Aµ (k) =−jν (k)
k2gµν −k µkν no es invertible: no existe Dνρ (k) tal que(k2gµν −k µkν
)Dνρ (k) = igµ
ρ ya que k2gµν −k µkν es unproyector: No podemos calcular la función de Green.
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Gauge de Coulomb
Sobran grados de libertad: el fotón sólo tiene dos grados delibertad mientras el campo Aµ contiene cuatro componentes.
Solución: Gauge de CoulombEliminar completamente de la teoría los grados de libertadespúreos. Esto se puede hacer consistentemente imponiendo
~∇~A = 0
Si jµ = 0 , ~∇~A = 0 implica ∇2A0 = 0 que permite tomar A0 = 0.
El gauge de Coulomb, nos deja los dos grados de libertadfísicos: cuantización canónica consistente.El precio: el formalismo no es explícitamente covariante yno permite utilizar la potencia de la covariancia Lorentz enlos cálculos.
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Gauges Covariantes
Alternativa: Modificamos las ecuaciones de movimientoimponiendo condiciones covariantes para fijar el gauge.Precio: Será necesario mantener grados de libertad espúreos.pero al menos permitirá mantener la covariancia explícita de lateoría.La ecuación de movimiento sugiere la condición de Lorentz∂µAµ = 0 que conduce a la ecuación de Klein-Gordon sinmasa.Es conveniente usar los multiplicadores de Lagrange paraincorporar la ligadura que representa la condición de Lorentz
Lλ =−14
F µνFµν − jµAµ − 12
λ(∂µAµ
)2
que conduce a
∂2Aµ + (λ −1)∂
µ (∂νAν ) = jµ
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derivando una vez más
λ ∂2 (
∂µAµ)
= ∂µ jµ .
Sí λ 6= 0 y ∂µ jµ = 0 tendremos
∂2 (
∂µAµ)
= 0
Clásicamente podemos elegir ∂µAµ = 0 y por tanto ∂ 2Aµ = jµ
que son las ecuaciones de Maxwell en el gauge de Lorentz.
ClásicamenteLagrangiano Lλ
Condición ∂µ jµ = 0Condiciones de contorno adecuadas
Completamente equivalente a las ecuaciones de Maxwell en elgauge de Lorentz.
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Lagrangiano cuantizable
Para cuantizar la teoría podemos partir de Lλ y la condición deLorentz, o su equivalente cuántico, aparecerá como unacondición de consistencia.λ = 1, gauge de Feynman, particularmente simple ∂ 2Aµ = jµ
Lagrangiano de Fermi
LF ≡−12(∂µAν
)(∂
µAν ) = Lλ=1 +12
∂µ (Aν∂νAµ −Aµ
∂νAν ) .
equivalente a λ = 1 y más simple aún.Usaremos LF para cuantizar la teoría.
Cuantización con Lλ posible pero más complicado.LF suma KG para cada componente.Problema: A0 no tiene la normalización canónica.Inevitable si queremos covariancia Lorentz explícita.
Cuantizaremos la teoría con LF y veremos cual es la condiciónde consistencia adicional que deberemos imponer.
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Cuantización del Lagrangiano de Fermi
Para jµ = 0 las ecuaciones de movimiento que se derivan deLF (y de Lλ=1 ) son
∂2Aµ = 0
que es KG sin masa para cada componente. Así
Aµ =∫
dk3
∑λ=0
(εµ (~k ,λ )e−ikxa(~k ,λ ) + ε
∗µ (~k ,λ )eikxa†(~k ,λ )
)con
dk =d3~k
(2π)32Ek, Ek = |~k |
εµ (~k ,λ ) conjunto linealmente independiente de cuatrocuadrivectores (equivalentes as u(~p,s) y v(~p,s) en el caso delcampo de Dirac)
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Vectores de polarización
Elegiremos εµ (~k ,λ ) reales y
εµ (~k ,0) = nµ ≡ (1,0,0,0) , ε
µ (~k ,λ ) = (0,~ε(~k ,λ )) , λ = 1,2,3
con~ε(~k ,λ ) una base ortonormal de R3
~ε(~k ,λ )·~ε(~k ,λ ′) = δλλ ′ , ~ε(~k ,3)≡~k
|~k |, ~ε(~k ,λ ) ·~k = 0 , λ = 1,2
εµ (~k ,1) y εµ (~k ,2) vectores de polarización transversales.εµ (~k ,3) vector de polarización longitudinal.εµ (~k ,0) vector de polarización escalar.
Si ζ1 = ζ2 = ζ3 = 1 =−ζ0 (ortogonalidad y clausura)
ε(~k ,λ ) · ε(~k ,λ ′) = ε(~k ,λ )µεµ (~k ,λ ′) =−ζλ δλλ ′ , λ ,λ ′ = 0, · · · ,3
3
∑λ=0
ζλ εµ (~k ,λ )ε
ν (~k ,λ ) =−gµν
Arcadi Santamaria Tema 8: Campos “gauge”: fotones y campos de Proca 21 de octubre de 2009 21/41
Vectores de polarización generales
εµ (~k ,3) se puede escribir de forma covariante usando nµ
εµ (~k ,3) =
k µ − (kn)nµ
knEsta base se puede generalizar haciendo una transformaciónde Lorentz a un sistema de referencia arbitrario en dondenµ será un cuadrivector arbitrario con n2 = 1.Las relaciones de ortogonalidad y clausura se mantendrán y
n2 = 1 , εµ (~k ,0) = nµ , ε
µ (~k ,3) =k µ − (kn)nµ
kn
ε(~k ,λ ) ·k = 0 , ε(~k ,λ ) ·n = 0 , λ = 1,2
Suficiente libertad para elegir los vectores de polarización de laforma más conveniente para simplificar los cálculos.Por ejemplo, podríamos tomar n = p/m con p elcuadrimomento de alguna de las partículas masivas de interés.
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Reglas de cuantización
Utilizando LF, calculamos el momento conjugado de Aµ
πµ =
∂LF
∂ Aµ
=−Aµ
e imponemos las reglas de conmutación canónicas a tiemposiguales (comentario sobre signos)[
Aµ (~x , t),πν (~y , t)]
= igνµδ
(3)(~x −~y) ,[Aµ (~x , t),Aν (~y , t)
]=
[πµ (~x , t),πν (~y , t)
]= 0
Sustituyendo y subiendo todos los índices arriba tenemos
[Aµ (~x , t), Aν (~y , t)
]= −igµν
δ(3)(~x −~y)[
Aµ (~x , t),Aν (~y , t)]
=[Aµ (~x , t), Aν (~y , t)
]= 0
Las tres componentes espaciales tienen el signo correcto,La componente temporal A0 tiene el signo contrario.
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Sustituyendo el desarrollo del campo[a(~k ,λ ),a†(~k ′,λ ′)
]= ζλ δλλ ′(2π)32Ek δ
(3)(~k −~k ′)[a(~k ,λ ),a(~k ′,λ ′)
]=[a†(~k ,λ ),a†(~k ′,λ ′)
]= 0
Las relaciones del conmutación de fotones escalares, a(~k ,0),tienen el signo cambiado!Ignoramos este problema y definimos los estados como
a(~k ,λ ) |0〉= 0 , a†(~k ,λ ) |0〉=∣∣∣~k ,λ
⟩,
donde∣∣∣~k ,λ
⟩es el estado de un fotón con momento ~k y
polarización λ .El Hamiltoniano del sistema (N-ordenado) es
H =∫
d3~x :πµ Aµ −L :=∫
dkEk
3
∑λ=0
ζλ a†(~k ,λ )a(~k ,λ )
Arcadi Santamaria Tema 8: Campos “gauge”: fotones y campos de Proca 21 de octubre de 2009 24/41
que aunque tiene el signo cambiado para λ = 0 és definidopositivo
H∣∣∣~k ,λ
⟩=∫
dk ′Ek ′3
∑λ ′=0
ζλ a†(~k ′,λ ′)a(~k ′,λ ′)a†(~k ,λ ) |0〉= Ek
∣∣∣~k ,λ⟩
Trasladando lo hecho para KG (manteniendo los indices yfactores ζλ adecuados)
[Aµ (x),Aν (y)] =−gµν i ∆(x−y)|m=0
que se anula para intervalos espacialesEl signo incorrecto en las relaciones de conmutación trae unproblema inevitable
〈~k ′,λ = 0|~k ,λ = 0〉= 〈0|a(~k ′,0)a†(~k ,0) |0〉=−(2π)32Ek δ(3)(~k ′−~k)
la norma no es definida positiva! Los estados con fotonesescalares no pueden tener una interpretación probabilística, nopueden ser físicos.
Arcadi Santamaria Tema 8: Campos “gauge”: fotones y campos de Proca 21 de octubre de 2009 25/41
Condición sobre los estados físicos
Falta imponer la condición de consistencia pero
∂µAµ = 0 inconsistente con las relaciones de conmutación[∂µAµ (x),Aν (y)
]=−i ∂
ν ∆(x −y)|m=0 6= 0
Solución: Gupta-BleulerRestricción sobre los estados físicos |Ψ〉 de la teoría
∂µ Aµ (x)|destruccion |Ψ〉= 0
suficiente para garantizar⟨Ψ′∣∣∂µAµ (x) |Ψ〉= 0
Así la condición de Lorentz y las ecuaciones de Maxwell sesatisfacen en el límite clásico de la teoría.
Arcadi Santamaria Tema 8: Campos “gauge”: fotones y campos de Proca 21 de octubre de 2009 26/41
Sustituyendo el desarrollo del campo(a(~k ,3)−a(~k ,0)
)|Ψ〉= 0 , ∀~k
Estados que satisfacen esta condición tienen norma definidapositiva. Además⟨
Ψ′∣∣(a†(~k ,3)a(~k ,3)−a†(~k ,0)a(~k ,0)
)|Ψ〉= 0
mientras solo fotones transversales contribuyen a la energía deestados físicos⟨
Ψ′∣∣H |Ψ〉=
⟨Ψ′∣∣∫ dk
2
∑λ=1
Eka†(~k ,λ )a(~k ,λ ) |Ψ〉
Resultado general: observables de fotones libres sóloinvolucran fotones transversales (fotones longitudinales oescalares no se pueden observar como partículas libres)
Arcadi Santamaria Tema 8: Campos “gauge”: fotones y campos de Proca 21 de octubre de 2009 27/41
〈Ψ′|∂µAµ (x) |Ψ〉= 0 elimina un grado de libertad.Queda libertad para hacer transformaciones gauge con∂ 2α(x) = 0.Equivalente a cambiar el contenido γ ’s con λ = 0,3.
Fotones libres: elegimos estados con solo fotonestransversales (elección de gauge).En presencia de cargas no es posible. Intercambio defotones longitudinales y escalares esencial para mantenerla covariancia de la teoría (descripción covariante de lainteracción instantánea de Coulomb)
RecetaAµ contendrá las cuatro polarizaciones que contribuirán alcálculo de propagadores.Restricción sobre los estados asintóticos de la teoría nosobre el operador campo: estados asintóticos solocontienen polarizaciones transversales.
Arcadi Santamaria Tema 8: Campos “gauge”: fotones y campos de Proca 21 de octubre de 2009 28/41
El propagador de fotones
Como es natural para bosones definimos
T (Aµ (x)Aµ (y)) = θ(x0−y0)Aµ (x)Aµ (y)+θ(y0−x0)Aµ (y)Aµ (x)
Puesto que Aµ satisfacen las reglas de conmutación de KG(excepto A0 que tiene el signo cambiado) podemos escribir
Dµν
F (x−y)≡ 〈0|T (Aµ (x)Aν (y)) |0〉=−gµν DF (x −y)|m=0
y
DF (x)|m=0 =∫ d4k
(2π)4 e−ikx ik2 + iε
=− 14π2
1x2− iε
El propagador Dµν
F (x) contiene contribuciones de las cuatropolarizaciones.
Arcadi Santamaria Tema 8: Campos “gauge”: fotones y campos de Proca 21 de octubre de 2009 29/41
El propagador en un gauge general
Hasta ahora sólo hemos utilizado el Lagrangiano de Fermi(Equivalente a λ = 1).¿Cuál es el propagador para Lλ ? El propagador es unafunción de Green de la ecuación de movimiento! Si
L =12
Aµ (x)OµνAν (x)− jµAµ
p.e. para el Lagrangiano de Fermi Oµν = gµν∂ 2
La ecuación de movimiento es
OµνAν = jµ ,
y la función de Green es la inversa Oµν
OµνDνρ
F (x) = igρ
µ δ4(x)
que en momentos es
Oµν (k)Dνρ
F (k) = igρ
µ
Arcadi Santamaria Tema 8: Campos “gauge”: fotones y campos de Proca 21 de octubre de 2009 30/41
p.e. para el Lagrangiano de Fermi Oµν (k) =−gµνk2 yDµν
F (k) =−gµν i/k2. Solo hay que añadir los iε adecuadosPara un gauge general
Oµν = gµν∂2− (1−λ )∂µ∂ν
En momentos Oµν (k) =−gµνk2 + (1−λ )kµkν de donde
Dµν
F =− ik2 + iε
(gµν +
1−λ
λ
k µkν
k2 + iε
)
λ = 1 (gauge de Feynman) recuperamos el pr. de Fermi.El caso λ → ∞ (gauge de Landau) pr. transversal.λ → 0 el propagador no existe.
Resultados físicos no dependen de λ . Escogeremos el mássencillo (generalmente λ = 1).
Arcadi Santamaria Tema 8: Campos “gauge”: fotones y campos de Proca 21 de octubre de 2009 31/41
Reglas de Feynman de QED
El Lagrangiano de QED es
LQED = ψ(i /∂ −m
)ψ− 1
4F µνFµν −
12
λ(∂µAµ
)2−eQψγµ
ψAµ
Para varios tipos de fermiones ∆L =−jµAµ conjµ = e ∑i Qi ψiγ
µψi . Para los fermiones del SM
∆L =−e∑i
Qi ψiγµ
ψiAµ , i = e,µ,τ u,d ,c,s, t ,b, · · ·
Qµ = Qτ = Qe =−1, Qu = Qc = Qt = 2/3 yQd = Qs = Qb =−1/3.
ImportanteEl vértice electromagnético siempre involucra fermiones delmismo tipo.
Reglas de Feynmand de QEDqedrules.pdf
Arcadi Santamaria Tema 8: Campos “gauge”: fotones y campos de Proca 21 de octubre de 2009 32/41
Sumas sobre polarizaciones
Los fotones asintóticos son transversales, pero la relación declausura involucra λ = 0,3¿Cómo hacemos la suma sobre polarizaciones?Una amplitud con fotones externos será de la forma
M = εµ (~k1,λ1)ε
ν (k2,λ2) · · ·Mµν ···(~k1,~k2, · · ·) , λ1,λ2, · · ·= 1,2
∂µ jµ = 0 implica
k µ
1 Mµν ···(~k1,~k2, · · ·) = 0 , kν
2 Mµν ···(~k1,~k2, · · ·) = 0 , · · ·
Así para un solo fotón externo
M = εµ (~k ,λ )Mµ (~k) , k µMµ (~k) = 0
y la seccion eficaz será
σ ∝
2
∑λ=1
εµ (~k ,λ )ε
ν (~k ,λ )Mµ (~k)M ∗ν (~k)
Arcadi Santamaria Tema 8: Campos “gauge”: fotones y campos de Proca 21 de octubre de 2009 33/41
Pero
2
∑λ=1
εµ (~k ,λ )ε
ν (~k ,λ ) =3
∑λ=0
ζλ εµ (~k ,λ )ε
ν (~k ,λ )+
+εµ (~k ,0)ε
ν (~k ,0)− εµ (~k ,3)ε
ν (~k ,3) =
=−gµν − k µkν
(nk)2 +k µnν + kνnµ
nk
Los términos con k µ se cancelan al contraerse con Mµ . Así
σ ∝−M µ (~k)M ∗µ (~k)
Generalizable a cualquier número de fotones externos.Solo en teorías con corrientes conservadas (QED) y para lasuma de todos los diagramas.Para el promedio sobre polarizaciones iniciales recordar quesolo tiene 2.
Arcadi Santamaria Tema 8: Campos “gauge”: fotones y campos de Proca 21 de octubre de 2009 34/41
Campos Vectoriales Masivos
La ecuación de Proca describe partículas de espín 1:
∂µF µν + m2Aν = 0 , F µν = ∂µAν −∂
νAµ
que se obtiene de
LP =−14
F µνFµν +12
m2AµAµ
Solo Ai tienen el signo correcto.Derivando la ecuación de movimiento
m2∂νAν = 0
La condición de Lorentz aparece naturalmente. Aµ sólocontiene 3 grados de libertad, como corresponde a espín 1.Sustituyendo ∂νAν = 0 en la ecuación de movimiento(
∂2 + m2
)Aµ = 0 , ∂µAµ = 0
Arcadi Santamaria Tema 8: Campos “gauge”: fotones y campos de Proca 21 de octubre de 2009 35/41
Campos Vectoriales Masivos
El desarrollo del campo es
Aµ =∫
dk3
∑λ=1
(εµ (~k ,λ )e−ikxa(~k ,λ ) + ε
∗µ (~k ,λ )eikxa†(~k ,λ )
)con
dk =d3~k
(2π)32Ek, Ek =
√~k2 + m2
debido a ∂µAµ = 0 solo hay tres polarizaciones,
εµ (~k ,λ )k µ = 0 , εµ (~k ,λ )εµ (~k ,λ ′) =−δλλ ′ , ,λ = 1,2,3
3
∑λ=1
εµ (~k ,λ )εν (~k ,λ ) =−(
gµν −kµkν
m2
)Las reglas de commutación son (no hay problema)[
a(~k ,λ ),a†(~k ′,λ ′)]
= δλλ ′(2π)32E(~k)δ(3)(~k −~k ′)
Arcadi Santamaria Tema 8: Campos “gauge”: fotones y campos de Proca 21 de octubre de 2009 36/41
El propagador de Proca
Para la función de Green usamos
LP =12
Aµ
(gµν
(∂
2 + m2)−∂µ∂ν
)Aν
en momentos
Oµν (k) =−gµν (k2−m2) + kµkν
Invirtiendo este operador tenemos
Dµν
F =−(gµν − k µkν
m2 )i
k2−m2 + iε
El factor kµkν/m2 hace que la teoría no sea renormalizable.
Arcadi Santamaria Tema 8: Campos “gauge”: fotones y campos de Proca 21 de octubre de 2009 37/41
Bosones electrodébiles
El bosón Z se puede describir con un propagador de Proca.
Para bosones masivos de espín 1 cargados (bosones W±)podemos hacer lo que hicimos con el campo de KG cargado.Definimos W µ (que destruye W− y crea W +)
W µ =1√2
(W µ
1 − i W µ
2
)Los cambios en el término cinético libre son mínimos.Si W µν = ∂ µW ν −∂ νW µ
LW =−12
W †µνW µν + m2
W W †µW µ
que también conduce al propagador de Proca.
Arcadi Santamaria Tema 8: Campos “gauge”: fotones y campos de Proca 21 de octubre de 2009 38/41
Interacciones del Z
Las interacciones de Z y W se pueden deducir a partir de unprincipio gauge.Aquí nos limitaremos a dar las interacciones más relevantes ya utilizarlas:Interacción de bosón Z
LZ =− e2sW cW
∑i
ψiγµ (giV −giAγ5)ψi Zµ
dónde ψi son los campos de Dirac de los diferentes fermionesy sW ≡ sinθW y cW = cosθW un parámetro,
neutrinos νe,νµ ,ντ : gνV = 12 , gνA = 1
2 ,
leptones e,µ,τ: g`V =−12 + 2s2
W , g`A =−12
quarks u,c, t : guV = 12 −
43s2
W , guA = 12
quarks d ,s,b: gdV =−12 + 2
3s2W , gdA =−1
2
Arcadi Santamaria Tema 8: Campos “gauge”: fotones y campos de Proca 21 de octubre de 2009 39/41
Interacciones del W
Si PL = (1− γ5)/2 es el proyector de quiralidad levógiro
LW =− esW√
2 ∑i ,j
(K e
ji νjγµPLei + K q
ji ujγµPLdi
)W †
µ + h.c.
νi los campos de Dirac de los neutrinos, (νe,νµ ,ντ ),ei , los campos de los leptones cargados, (e,µ,τ),ui , los campos de quarks de tipo “u”, (u,c, t)di , los campos de quarks de tipo “d”, (d ,s,b).
K eji y K q
ji son matrices de mezcla 3×3 entre leptones y quarks,respectivamente (en muchos casos, por simplicidad,tomaremos K e
ji =K qji =δji ).
Arcadi Santamaria Tema 8: Campos “gauge”: fotones y campos de Proca 21 de octubre de 2009 40/41
Sumas sobre polarizaciones y reglas de Feynman
Tenemos que recordar también que la suma de polarizacionespara partículas de Proca es
3
∑λ=1
εµ (~k ,λ )εν (~k ,λ ) =−(
gµν −kµkν
m2
)Además, cuando hagamos el promedio sobre polarizacionesiniciales deberemos recordar que el campo de Proca tiene tresgrados de libertad.
Reglas de Feynman del SMsmrules.pdf
Arcadi Santamaria Tema 8: Campos “gauge”: fotones y campos de Proca 21 de octubre de 2009 41/41
Tema 9:Procesos elementales en QED y con campos
de Proca
Arcadi Santamaria
26 de octubre de 2009
Contenido
1 e−e+→ f f en QEDe+e−→ hadronesPolarizaciones en e+e−→ µ+µ−
2 e−µ−→ e−µ−: simetría de cruce
3 Colisión Compton y aniquilación de paresAniquilación de pares e−e+→ γγ
4 e−e+→ f f en el pico del ZZ → f f
5 e−e+→W−W +: necesidad del Z y el vértice triple
Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 2/43
e−e+→ f f en QED
Para smi ,mf podemos estimar (α = e2/(4π))
σ ∝ Q2i Q2
f πα2
s.Diagrama de i i → f f , i 6= f en QED
p1ր
k2րγ
q = p1 + p2
p2ց
k1ց
i
i
f
f
µ ν
Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 3/43
Del diagrama (en el gauge de Feynman)
iM =
u(k1, r1)(−ieQf γν )v(k2, r2)
(−igµν
q2
)v(p2,s2)(−ieQiγ
µ )u(p1,s1)
Contrayendo y agrupando
iM = iQiQfe2
q2 (u(k1, r1)γµv(k2, r2))
(v(p2,s2)γµu(p1,s1)
)En otro gauge resultado idéntico. Tomando el cuadrado enmódulo
|M |2 = Q2i Q2
fe4
q4
(u′1γ
µv ′2)(
v ′2γνu′1)(
v2γµu1)
(u1γνv2)
con(u1γµv2
)∗= v†
2ㆵ u†
1 = v2γµu1
Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 4/43
Si no se mide el espín final y para haces sin polarizar
∑spin|M |2 = Q2
i Q2f
e4
4q4 Aµν
f Aiµν
dondeAµν
f = Tr
(/k1 + mf )γµ (/k2−mf )γ
ν
Aµν
i = Tr
(/p1 + mi)γν (/p2−mi)γ
µ
haciendo las trazas en Aµν
f obtenemos
Aµν
f = 4(
k µ
1 kν
2 + kν
1 k µ
2 − (k1k2 + m2f )gµν
)= −2
(pµ
f pν
f + (q2gµν −qµqν ))
,
donde pf ≡ k1−k2 y q2 = 2k1k2 + 2m2f .
Evidente que qµAµν
f = 0 (conservación de la corriente)Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 5/43
Fácil ver que Aµν
i = Aνµ
f (k1→ p1,k2→ p2,mf →mi), entonces
Aµν
i =−2(
pµ
i pν
i + (q2gµν −qµqν ))
con pi ≡ p1−p2. Contrayendo índices
Aµν
f Aiµν = 4(
3q4 + q2(p2f + p2
i ) + (pipf )2)
= 4(
q4 + 4q2(m2i + m2
f ) + (pipf )2)
.
Hemos usado p2f = 4m2
f −q2. Así
∑spin|M |2 = Q2
i Q2f
e4
q4
(q4 + 4q2(m2
i + m2f ) + (pipf )2
)En el sistema CM tenemos (s ≡ q2)
q = (√
s,~0) , pi = (0,2~p1) ,pf = (0,2~k1)
ypipf =−4|~p1||~k1|cosθ .
Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 6/43
si ahora usamos
dσ
dΩ
∣∣∣∣CM
=1
64π2s
√1−4m2
f /s1−4m2
i /s ∑spin|M |2
y
|~p1|= 12
√s−4m2
i , |~k1|= 12
√s−4m2
f
encontramos la sección eficaz diferencial en CM
dσ
dΩ
∣∣∣∣CM
= Q2i Q2
fα2
4s
√1−4m2
f /s1−4m2
i /s
×(
1 +4m2
is
+4m2
fs
+
(1− 4m2
is
)(1− 4m2
fs
)cos2
θ
)
Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 7/43
Integrando el ángulo solido obtenemos σ
σ = Q2i Q2
f4πα2
3s
√1−4m2
f /s1−4m2
i /s
(1 +
2m2i
s
)(1 +
2m2f
s
)De acuerdo con la estimación.Si sm2
f m2i se simplifica
dσ
dΩ
∣∣∣∣CM∼Q2
i Q2f
α2
4s
(1 + cos2
θ
)σ ∼Q2
i Q2f
4πα2
3s
(1− 6m4
fs2
)Los resultados experimentales de e−e+→ µ−µ+ ye−e+→ τ−τ+ para sm2
Z confirman plenamente estoscálculos.
Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 8/43
e+e−→ hadrones
Aplicable a e+e−→ hadrones
R ≡ σ(e+e−→ hadrones)
σ(e+e−→ µ+µ−)≈ NC ∑
fQ2
f , 4m2f < s
e+e−→ hadrones y experimento. Nc = 3 y Qf del SM
10√_s [GeV]
1
2
3
4
5
6
7
R=σ
(e- e+
→ha
dron
s)/σ
(e+e- →
µ− µ+ )
Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 9/43
Polarizaciones en e+e−→ µ+µ−
Si u(~p,+) es un spinor con helicidad +
u(~p,+)u(~p,+) = ∑λ
Π+u(~p,λ )u(~p,λ ) = Π+(/p + m)
Así para e−e+→ µ−µ+ tendremos
|M (s1,s2, r1, r2)|2 =e4
q4 Aµν
f (r1, r2)Aiµν (s1,s2)
con
Aµν
f (r1, r2) = Tr
Πr1(/k1 + mf )γµ Π−r2(/k2−mf )γ
ν
Aµν
i (s1,s2) = Tr
Πs1(/p1 + mi)γν Π−s2(/p2−mi)γ
µ
Para partículas sin masa se simplifica
u(~p,+)u(~p,+) = PR /p , u(~p,−)u(~p,−) = PL /p
v(~p,+)v(~p,+) = PL /p , v(~p,−)v(~p,−) = PR /p
Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 10/43
En este límite sólo Aµν (+,−) y Aµν (−,+) no se anulan
Aµν
f (+,−) = Tr
PR /k1γµPR /k2γ
ν
= Tr/k1γ
µ /k2γνPR
=
= 2(k µ
1 kν
2 + kν
1 k µ
2 −gµν (k1k2)− iεσ µρνk1σ k2ρ
)igualmente
Aµν
i (+,−) = 2(pµ
1 pν
2 + pν
1pµ
2 −gµν (p1p2) + iεσ µρνp1σ p2ρ
)Contrayendo índices
Aµν
i (+,−)Af µν (+,−) =
= 4(
2(p1k1)(p2k2) + 2(p1k2)(p2k1) + εσ µρνpσ
1 pρ
2 εαµβνkα1kβ2
)= 16(p1k2)(p2k1)
donde εµνσρεµναβ =−2(δ ασ δ
β
ρ −δβ
σ δ αρ )
Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 11/43
En CM y para partículas sin masa p1 = (E ,~p1), p2 = (E ,−~p1),k1 = (E ,~k1), k2 = (E ,−~k1), con E = |~p1|= |~k1|, yp1k2 = p2k1 = E2(1 + cosθ), p1k1 = p2k2 = E2(1−cosθ), asífinalmente obtenemos (s = 4E2)
|M (+,−,+,−)|2 = |M (−,+,−,+)|2 = e4 (1 + cosθ)2
|M (+,−,−,+)|2 = |M (−,+,+,−)|2 = e4 (1−cosθ)2
donde los cambios de signo se obtienen de los cambios designo en las εσ µρν . Añadiendo los factores de espacio fásico
dσ(e−Re+L → µ
−L µ
+R )
dΩ
∣∣∣∣∣CM
=α2
4s(1 + cosθ)2
Igualmente para las otras combinaciones.Sumando las cuatro contribuciones y dividiendo por 4recuperamos el resultado para la sección eficaz sinpolarizaciones.
Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 12/43
e−µ−→ e−µ−: simetría de cruce
Diferente pero relacionadoDiagrama de e−µ−→ e−µ− en QED
p1−→
k2−→ k1−→
γ q = p1 − p2
p2−→e−
µ−
e−
µ−µ
ν
iM = ie2
q2 (u(k1, r1)γµu(k2, r2))
(u(p2,s2)γµu(p1,s1)
)donde q = p1−p2 = k1−k2. Similar a e−e+→ µ−µ+
cambiando q y los espinores de antipartículas
Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 13/43
Si calculamos el elemento de matriz al cuadrado
∑spin|M |2 =
e4
4q4 Aµν
f Aiµν ,
donde ahora (mi = me y mf = mµ )
Aµν
f = Tr
(/k1 + mf )γµ (/k2 + mf )γ
ν
Aµν
i = Tr
(/p1 + mi)γν (/p2 + mi)γ
µ
Se obtiene del resultado para e−e+→ µ−µ+ cambiandok2→−k2, p2→−p2 y añadiendo un − por cada proyector deantipartícula que hemos cambiado (aquí 2 − ).Es suficiente cambiar en el resultadoq = p1−p2 = k1−k2, pi = p1 + p2, pf = k1 + k2La cinemática es completamente diferente. En CMp1 = (Ee,~p1), k2 = (Eµ ,−~p1), p2 = (Ee,~p2), k1 = (Eµ ,−~p2),|~p1|2 = |~p2|2 = E2
e −m2e = E2
µ −m2µ ≡ k2,~p1~p2 ≡ k2 cosθ .
Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 14/43
Así q = (0,~p1−~p2), q2 =−2k2(1−cosθ),pi = (2Ee,~p1 +~p2), pf = (2Eµ ,−~p1−~p2),pipf = 4EeEµ + 2k2(1 + cosθ).En el límite smµ me, Ee ≈ Eµ ≈
√s/2 , k2 = s/4 se
simplifica
∑spin|M |2 =
2e4
(1−cosθ)2
(4 + (1 + cosθ)2
),
ydσ
dΩ
∣∣∣∣CM
=α2
2s
(4 + (1 + cosθ)2)
(1−cosθ)2
Divergente para θ = 0! El problema se mantiene incluso simantenemos las masas.Igual que Rutherford en MQ NR.Razón: el fotón no tiene masa y tiene un propagador 1/q2.
Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 15/43
Amplitudes de procesos diferentes pero en los quécambiamos partículas (antipartículas) del estado inicial porantipartículas (partículas) al estado final o al revés estánrelacionados de forma muy simple.Generalizable a bosones, fotones (y también al caso deamplitudes polarizadas).
Receta para amplitudes sin polarizaciónEn ese caso para obtener el módulo al cuadrado de la amplituda partir de otro:Al cruzar una partícula (antipartícula) del estado inicial (final) aantipartícula (partícula) al estado final (inicial) se cambia elsigno de su cuadrimomento p→−p, y en el caso de fermionesse añade un signo − global por cada partícula (antipartícula)cruzada.
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Colisión Compton
Los diagramas que contribuyen a γ e−→ γ e− son
Diagramas para el cálculo de la colisión Compton
p1 p1 + k1 p2e−
γ, k1
e−
γ, k2
p1 p1 − k2 p2e−
γ, k1
e−
γ, k2
y el elemento de matriz es
iM =−ie2u2
(/ε2
1/p1 + /k1−m
/ε1 + /ε11
/p1− /k2−m/ε2
)u1
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Cinemática
Conservación del momento permite eliminar p2
p2 = p1 + k1−k2
Tres invariantes p1k1, p1k2, y k1k2 relacionados por
m2 = p22 = (p2 = p1 + k1−k2)2
que lleva ak1k2 = p1k1−p1k2
En RL p1 = (m,~0), k1 = (w1,~k1), k2 = (w2,~k2) y
w1w2(1−cosθ) = m(w1−w2)
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Invariancia gauge
La invariancia gauge exige que si hacemos ε1→ k1 la suma deamplitudes se debe cancelar. Veamoslo
u2
(/ε2
1/p1 + /k1−m
/k1 + /k11
/p1− /k2−m/ε2
)u1
= u2
(/ε2
1/p1 + /k1−m
(/k1 + (/p1−m)
)+(/k1− (/p2−m)
) 1/p2− /k1−m
/ε2
)u1
= 0
Lo mismo sucede al hacer ε2→ k2.Esta propiedad nos permitirá hacer
2
∑λ1=1
εµ (~k1,λ1)εν (~k1,λ1)→−gµν
Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 19/43
Escribiremos
1/p1 + /k1−m
=/p1 + /k1 + m
(p1 + k1)2−m2 =/p1 + /k1 + m
2p1k1
y usando (/p1 + m)/ε1u1 = 2(ε1p1)u1 tendremos
iM =−ie2
2u2
(/ε2(/k1/ε1 + 2p1ε1)
p1k1+
/ε1(/k2/ε2−2p1ε2)
p1k2
)u1
Así
∑s1,s2
|M |2 =e4
4Tr
(/p2 + m)
(/ε2(/k1/ε1 + 2p1ε1)
p1k1+
/ε1(/k2/ε2−2p1ε2)
p1k2
)
(/p1 + m)
((/ε1/k1 + 2p1ε1)/ε2
p1k1+
(/ε2/k2−2p1ε2)/ε1p1k2
)
Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 20/43
Usando ∑2λ1=1
εµ (~k1,λ1)εν (~k1,λ1)→−gµν , (y el equivalente paraε2)
∑spin |M |2 =
e4
16Tr
(/p2 + m)
(γµ (/k1γν + 2pν
1)
p1k1+
γν (/k2γµ −2pµ
1 )
p1k2
)
(/p1 + m)
((γν /k1 + 2p1ν )γµ
p1k1+
(γµ /k2−2p1µ )γν
p1k2
)
≡ e4
16
(T1
(p1k1)2 +T2 + T3
(p1k1)(p1k2)+
T4
(p1k2)2
)dónde
T1 = Tr
(/p2 + m)γµ (/k1γ
ν + 2pν
1)(/p1 + m)(γν /k1 + 2p1ν )γµ
,
T2 = Tr
(/p2 + m)γµ (/k1γ
ν + 2pν
1)(/p1 + m)(γµ /k2−2p1µ )γν
,
T3 = T2(k1↔−k2) = T2 ,
T4 = T1(k1→−k2)
Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 21/43
El cálculo de las trazas da
T1 = Tr/p2γ
µ (/k1γν + 2pν
1)/p1(γν /k1 + 2p1ν )γµ
+ m2Tr
γ
µ (/k1γν + 2pν
1)(γν /k1 + 2p1ν )γµ
= 32
(2m4−m2p1p2−m2p2k1 + 2m2p1k1 + (p2k1)(p1k1)
)= 32
(m4 + m2p1k1 + (p1k1)(p1k2)
)cambiando k1↔−k2, obtenemos T4
T4 = 32(
m4−m2p1k2 + (p1k1)(p1k2))
Un cálculo similar nos da T2 = T3
T2 =−16(
2m4 + m2p1k1−m2p1k2
).
Sustituyendo obtenemos finalmente
= ∑spin|M |2 = 2e4
(w1
w2+
w2
w1−sin2
θ
)
Espacio fásico
La integral de espacio fásico en LAB (~p1 = 0) es
∫dΦ2 =
∫ d3~k2
(2π)32w2
d3~p2
(2π)32E2(2π)4
δ(4)(p1 + k1−p2−k2)
=1
4(2π)2
∫ dw2w22 dΩ
w2E2δ (m + w1−w2−E2)
=1
4(2π)2
∫ w2dΩ
E2
E2w2
mw1
=1
8π
∫d cosθ
w22
mw1,
con
E2 =
√|~k1−~k2|2 + m2 =
√m2 + w2
1 + w22 −2w1w2 cosθ
Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 23/43
y hemos usado∫dw2δ
(m + w1−w2−
√m2 + w2
1 + w22 −2w1w2 cosθ
)=
11 + (w2−w1 cosθ)/E2
=E2w2
mw1
también hemos usado las diferentes formas de escribir laconservación de la energía
E2 + w2 = m + w1
y
m + w1−w2−√
m2 + w21 + w2
2 −2w1w2 cosθ = 0
om + w1(1−cosθ) = m
w1
w2
para simplificar el resultado.Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 24/43
La sección eficaz
y la sección eficaz diferencial es
dσ
d cosθ=
12w12m
18π
w22
mw1∑spin|M |2
=πα2
m2
(w2
w1
)2(w2
w1+
w1
w2−sin2
θ
)con
w2 =w1
1 + w1m (1−cosθ)
Para w1m, w1 ≈ w2, y
dσ
d cosθ=
πα2
m2 (1 + cos2θ) , σtotal =
8πα2
3m2
que da la dispersión del campo electromagnético de radiación“clásico” por un electrón libre.
Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 25/43
Manteniendo la polarización del fotónElegimos nµ ≡ pµ
1 /m tenemos para las ε1,ε2
p1ε1 = 0 , k1ε1 = 0 , ε21 =−1
p1ε2 = 0 , k2ε2 = 0 , ε22 =−1
así
∑s1,s2
|M |2 =e4
4Tr
(/p2 + m)
(/ε2/k1/ε1p1k1
+/ε1/k2/ε2p1k2
)
(/p1 + m)
(/ε1/k1/ε2p1k1
+/ε2/k2/ε1p1k2
),
≡ e4
4
(W1
(p1k1)2 +W2 + W3
(p1k1)(p1k2)+
W4
(p1k2)2
)W1 = Tr
(/p2 + m)/ε2/k1/ε1(/p1 + m)/ε1/k1/ε2
,
W2 = Tr
(/p2 + m)/ε2/k1/ε1(/p1 + m)/ε2/k2/ε1
,
W3 = W2(ε1↔ ε2,k1↔−k2) = W2 ,
W4 = W1(ε1↔ ε2,k1→−k2)
Anticonmutamos las /k i y /εi hasta que encuentren otro (p.e.)
W1 = Tr
(/p2 + m)/ε2/k1(/p1−m)/k1/ε2
= Tr/p2/ε2/k1/p1/k1/ε2
= 2p1k1Tr
/p2/ε2/k1/ε2
= 8p1k1(2(p2ε2)(k1ε2) + (p2k1)) = 8p1k1(2(k1ε2)2 + (p1k2))
Cambiando ε2↔ ε1, y k1↔−k2 obtenemos W4
W4 =−8p1k2(2(k2ε1)2− (p1k1))
Igualmente
W2 = Tr/ε2/k2/ε1(/p1 + /k1− /k2 + m)/ε2/k1/ε1(/p1 + m)
= Tr
/ε2/k2/ε1(/p1 + m)/ε2/k1/ε1(/p1 + m)
−2k2ε1Tr
/ε2/k2/ε2/k1/ε1/p1
+ 2k1ε2Tr
/ε2/k2/ε1/k1/ε1/p1
= 2p1k1Tr
/ε1/ε2/k2/ε1/ε2/p1
+ 8(k2ε1)2(p1k1)−8(k1ε2)2(p1k2)
= 8(
(p1k1)(p2k2)(
2(ε1ε2)2−1)
+ (k2ε1)2(p1k1)− (k1ε2)2(p1k2))
Cambiando ε2↔ ε1, y k1↔−k2 obtenemos W3 = W2.Sumando todo
∑s1,s2
|M |2 = 2e4(
p1k1
p1k2+
p1k2
p1k1+ 2
(2(ε1ε2)2−1
))Añadiendo los factores de espacio fásico
dσ(λ1,λ2)
d cosθ=
πα2
2m2
(w2
w1
)2(w2
w1+
w1
w2+ 4(ε1ε2)2−2
)Hemos podido llegar a este resultado sencillo sin necesidad desumar sobre las polarizaciones de los fotones!
Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 28/43
si sumamos (promediamos) polarizaciones
dσ
d cosθ=
12
2
∑λ1,λ2=1
dσ(λ1,λ2)
d cosθ=
πα2
m2
(w2
w1
)2(w2
w1+
w1
w2−sin2
θ
)
donde hemos utilizado que~ε1(~k1,3) =~k1/|~k1| para sumar
2
∑λ1,λ2=1
(ε1ε2)2 =2
∑λ1,λ2=1
(~ε1~ε2)2 =3
∑i ,j=1
2
∑λ1=1
εi1ε
j1
2
∑λ2=1
εi2ε
j2
=3
∑i ,j=1
(δ
ij − k i1k j
1|k1|2
)(δ
ij − k i2k j
2|k1|2
)
= 3−1−1 +(~k1~k2)2
|~k1|2|~k2|2= 1 + cos2
θ
Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 29/43
Aniquilación de pares e−e+→ γγ
Aniquilación de pares en QED
p1
p2
p1 − k1
e−
e+
γ, k1
γ, k2
p1
p2
p1 − k2
e−
e+
γ, k1
γ, k2
que se puede obtener de Compton cambiando p2→−p2 yk1→−k1 y añadiendo un −
∑spin|M |2 = 2e4
(p1k1
p1k2+
p1k2
p1k1−(
1− m2
p1k1− m2
p1k2
)2
+ 1
)
Invariante Lorentz. Vamos a CMp1 = (E ,~p1), k1 = (E ,~k1), k2 = (E ,−~k1),p1k1 = E(E −p cosθ), p1k2 = E(E + p cosθ)
Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 30/43
∑spin|M |2 = 2e4
(2
E2 + p2 cos2 θ
E2−p2 cos2 θ+ 1−
(1− 2m2
E2−p2 cos2 θ
)2)Añadiendo el espacio fásico y factor de flujo
dσ
d cosθ
∣∣∣∣CM
=2πα2
sβ
(4−2β 2
1−β 2 cos2 θ−2(
1−β 2
1−β 2 cos2 θ
)2
−1
)con β ≡ p/E =
√1−4m2/s. En el límite sm2
dσ
d cosθ
∣∣∣∣CM
=2πα2
s
(1 + cos2 θ
1−cos2 θ
)mientras σT es ( factor 1/2 por partículas idénticas)
σtotal =πα2
sβ
(3−β 4
βlog
1 + β
1−β−4 + 2β
2)
Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 31/43
Límites
En el límite no relativista (β → 0) encontramos,
σtotal =πα2
2m2β, β 1
mientras que en el límite ultra-relativista (β → 1) tenemos,
σtotal =2πα2
s
(log
sm2 −1
), sm2
Análisis dimensional corregido por logaritmos:Para sm σtotal va como 1/s pero si m = 0 diverge debido alpolo del propagador de electrón.Hay que mantener m hasta y hacer el límite de m→ 0 al final.Así se generan correcciones log(s/m2) a la estimación hechacon análisis dimensional.
Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 32/43
Z → f f
iM =−ie
2sW cWu(~p1,s1)γµ (gfV −gfAγ5)v(p2,s2)ε
µ
Z (q,λ ) ,
donde q = p1 + p2. Para mf mZ ≈ 90 GeV
∑spin|M |2 =
13
3
∑λ=1
e2
4s2W c2
WTr/p1γµ (gfV −gfAγ5)/p2γν (gfV −gfAγ5)
ε
µ
Z εν
Z
= − e2
12s2W c2
WTr
/p1γµ /p2γν (gfV −gfAγ5)2(
gµν − qµqν
m2Z
)
= − e2
12s2W c2
WTr
/p1γµ /p2γµ (g2
fV + g2fA−2giV giAγ5)
=
2e2
3s2W c2
W(g2
fV + g2fA)p1p2 =
e2
3s2W c2
W(g2
fV + g2fA)m2
Z
Γ(Z → f f ) =αCf
12s2W c2
W(g2
fV + g2fA)mZ
Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 33/43
e−e+→ f f en el pico del Z
Diagrama que domina e−e+→ f f en el pico del Z
p1ր
k2րZ
q = p1 + p2
p2ց
k1ց
e−
e+
f
f
Si solo consideramos intercambio del Z
iM = ie2
4s2W c2
W
(gµν − qµqν
m2Z
)1
q2−m2Z + iΓZ mZ
× (u′1γµ (gfV −gfAγ5)v ′2
)(v2γν (giV −giAγ5)u1)
Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 34/43
Donde tenemos en cuenta que el Z es inestable haciendoq2−m2
Z → q2−m2Z + iΓZ mZ ,
El término que va cómo qµqν da masas de fermiones y sepuede despreciar. Así
∑spin|M |2 =
e4
64s4W c4
W
1(q2−m2
Z )2 + Γ2Z m2
ZAµν
f Aiµν
donde
Aµν
f = Tr/k1γ
µ (gfV −gfAγ5)/k2γν (gfV −gfAγ5)
Aµν
i = Tr/p1γ
ν (giV −giAγ5)/p2γµ (giV −giAγ5)
Haciendo las trazas en Aµν
f obtenemos
Aµν
f = 4(
(g2fV + g2
fA)(k µ
1 kν
2 + kν
1 k µ
2 −gµν (k1k2))
+ 2igfV gfAεσ µρνkσ
1 kρ
2
)Aµν
i = 4(
(g2iV + g2
iA)(pµ
1 pν
2 + pν
1pµ
2 −gµν (p1p2))−2igiV giAεσ µρνkσ
1 kρ
2
)Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 35/43
Contrayendo índices
Aµν
i Af µν = 16
(2(g2
iV + g2iA)(g2
fV + g2fA)((p1k1)(p2k2) + (p1k2)(p2k1))
+ 4giV giAgfV gfAεσ µρνpσ
1 pρ
2 εαµβνkα1kβ2
)
= 32
((g2
iV + g2iA)(g2
fV + g2fA)((p1k1)(p2k2) + (p1k2)(p2k1))
−4giV giAgfV gfA ((p1k1)(p2k2)− (p1k2)(p2k1))
)
= 4s2(
(g2iV + g2
iA)(g2fV + g2
fA)(1 + cos2θ) + 8giV giAgfV gfA cosθ
)En CM p1k1 = p2k2 = E2(1−cosθ),p1k2 = p2k1 = E2(1 + cosθ), y E2 = s/4.
Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 36/43
La asimetria forward-backward
Añadiendo espacio fásico
dσ
d cosθ= F (s)(1 + cos2
θ) + G(s)cosθ
con
F (s) =πα2Cf
32s4W c4
W
s(s−m2
Z )2 + Γ2Z m2
Z(g2
iV + g2iA)(g2
fV + g2fA)
G(s) =πα2Cf
32s4W c4
W
s(s−m2
Z )2 + Γ2Z m2
Z8giV giAgfV gfA
Término que va lineal con cosθ consecuencia de lasinteracciones que van con γ5: asimetría “forward-backward”
AFB =
∫θ<π/2 dσ − ∫
θ>π/2 dσ∫θ<π/2 dσ +
∫θ>π/2 dσ
=38
G(s)
A(s)=
34
4giV giAgfV gfA
(g2iV + g2
iA)(g2fV + g2
fA)
Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 37/43
La sección eficaz
Integrando la sección eficaz total es
σ(e−e+→ f f ) =83
F (s) = 12πs
m2Z
Γ(Z → e−e+)Γ(Z → f f )
(s−m2Z )2 + Γ2
Z m2Z
Justo en el pico del Z
σ(e−e+→ f f )s=m2Z
=12π
m2Z
B(Z → e−e+)B(Z → f f )
dónde
B(Z → f f )≡ Γ(Z → f f )
ΓZ
Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 38/43
Comparación con el resultado experimental
e−e+→ hadrones en el pico del Z
Solo hay 3 generaciones de neutrinos ligeros!
Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 39/43
e−e+→W−W +
Diagrama que contribuye a e−e+→W−W + en LEP2
p1
p2 k2
p1 − k1 νe
k1e−
e+
W−
W+
iM =−ie2
2s2W
v2/ε2PL1/q
/ε1PLu1
con q = p1−k1 = k2−p2. Así
∑spin|M |2 =
e4
16s4W q4
3
∑λ1,λ2=1
Tr/ε2/p2/ε2/q/ε1/p1/ε1/qPR
Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 40/43
Se descompone en bloques
3
∑λ2=1
/ε2/p2/ε2 =−γµ /p2γµ +
/k2/p2/k2
m2W
= 2/p2 +/q/p2/qm2
W
usamos que si /p22 = 0, /k2/p2 = /q/p2 y que la parte de γ5 de PR
no contribuye.(2p1p2 = s, 2p1q =−2p2q = q2−m2
W )
∑spin|M |2 =
e4
32s4W q4
Tr
(2/p2/q +
q2/q/p2
m2W
)(2/p1/q +
q2/q/p1
m2W
)
= − e4
16s4W q4
(4 +q4
m4W
)(q2−m2
W
)2+ sq2
(2− q2
m2W
)2
Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 41/43
En CM q2 =−(E2 + k2−2Ek cosθ) dónde, s = 4E2, yk2 = E2−m2
W . Para sm2W , q2 ≈−s(1−cosθ)/2, y entonces
∑spin|M |2 ≈ e4
4s4W
s2
m4W
(1−cos2θ)
Añadiendo los factores de espacio fásico y flujo
dσ
d cosθ≈ πα2
8s4W
sm4
W(1−cos2
θ)
y
σ =πα2
6s4W
sm4
W
que crece linealmente con s: consecuencia de los términosqµqν/m2
W en las sumas sobre polarizaciones.El desarrolo perturbativo falla para sm2
W !Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 42/43
e−e+→W−W +
180 200 220 240
√_s [GeV]
10
20
30
40
50
60
σ(e- e+
→W
- W+)
[pb]
Només intercanvi de ν’sIntercanvi de ν+γModel Estàndard complet
Necesidad del bosón Z con acoplamientos fijados porinvariancia gauge!
Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 43/43
Tema 10:Renormalización I: necesidad de la
renormalización en λφ4
Arcadi Santamaria
2 de noviembre de 2009
Contenido
1 Necesidad de la renormalización de masas, funciones deonda y constantes de acoplamiento.
N-ordenar o no N-ordenar?
2 Renormalización a un lazo de λφ4
Comportamiento para s 4m2 : grupo derenormalización
Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 2/36
Necesidad y significado de la renormalización
Vimos queH = H0 + ∆H ,
H0 describe partículas físicas con la masa física y con estadoscorrectamente normalizados. En particular
〈0,out |0, in〉= 〈0|S |0〉= 1 ,
para el estado fundamental (el vacío) de la teoría, mientras⟨~p ′,out
∣∣~p, in⟩
=⟨~p ′∣∣S ∣∣~p⟩= (2π)32Epδ
(3)(~p ′−~p)
para los estados de una partícula. En cambio, si separamos elLagrangiano de la forma más sencilla
L = L0 + ∆L
L0 ≡ 12
(∂
µφ∂µφ −m2
φ2)
,
∆L ≡ − λ
4!φ
4 ,
Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 3/36
e interpretamos L0→ H0, ∆L →∆H, inmediatamenteencontramos diagramas cómo
Vacío
〈0|S |0〉 6= 1 el vacío no está bien normalizado!La diferencia es una fase. SoluciónH →H −Λ4
0 con Λ40 = E0/V con Λ0 a ajustar.
Estados de una partícula similar:Autonergía
Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 4/36
Misma estructura que la generada por el término de masas, φ2,o el término cinético ∂ µφ∂µφ .El desarrollo perturbativo de S no está definido.Autonergía en pata externa
da una contribución
−iΣ(p)i
p2−m2 ,
infinita para p2 = m2, sí Σ(p2 = m2) 6= 0.
Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 5/36
Necesario definir las cosas con más precisión
One-particle irreducible (1PI)
no se puede reducir a dos diagramas desconectados
One-particle reducible
sí se puede reducir cortando sólo una línea interna.
Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 6/36
El propagador completo
Σ
= + + + ···
donde −iΣ(p), representa la suma de todos los diagramas 1PI
−iΣ(p) =
Así la contribución a la matriz S de una pata externa será
1 +Σ
p2−m2 +
(Σ
p2−m2
)2
+ · · ·= p2−m2
p2−m2−Σ(p)
si Σ(p2 = m2) 6= 0 en p2→m2 da cero: ambigüedad!Es necesario que Σ(p2 = m2) = 0.
Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 7/36
No es suficiente
l«ımp2→m2
p2−m2
p2−m2−Σ(p)=
11−dΣ/dp2
∣∣∣∣p2=m2
6= 0
afecta⟨~p ′∣∣S ∣∣~p⟩ y los estados de una partícula no están
normalizados correctamente.Necesario que Σ′(m2) = 0.
Razón de los problemasSeparación H = H0 + H−H0 ≡ H0 + ∆HIdentificación de H0 con la parte cuadrática y susparámetros con los parámetros medidos en elexperimento.
Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 8/36
El problema es obvio cuando definimos el Lagrangiano.¿N-ordenamos o no?
φ4 =:φ4: +6φφ :φ2(x): +3
(φφ)2
.
El último término renormaliza la energía del vacío.El segundo renormaliza el término de masas.
La masa física de las partículas no puede depender de siN-ordenamos o no el Lagrangiano!La masa de un electrón medida experimentalmente contiene lainteracción con su campo electromagnético!
Hemos sido demasiado inocentes identificando los parámetrosde H0 con los parámetros físicos.
Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 9/36
Parámetros “bare” y parámetros físicos
Para dejar claro que los parámetros del Lagrangiano no son losobservados en el experimento reetiquetaremos campos,masas y constantes de acoplamiento
φ → φB ,
m → mB ,
λ → λB .
Y mantendremos la notación φ para el campo que creapartículas físicas con la normalización correcta, m para lamasa física y λ para la constante de acoplamiento medida enel experimento.
φB, mB, y λB se denominan parámetros “bare” (desnudos)φ , m, y λ se denominan parámetros renormalizados.
Este tipo de renormalización se llama renormalización“on-shell” (sobre la capa másica) porque los parámetrosrenormalizados están directamente relacionados conobservables físicos.
Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 10/36
Con estas definiciones el Lagrangiano de partida será
L =12
(∂
µφB∂µφB−m2
Bφ2B
)− λB
4!φ
4B
con su correspondiente Hamiltoniano.Así definiremos un Lagrangiano libre en términos deparámetros físicos
L0 ≡12
(∂
µφ∂µφ −m2
φ2)
.
Ahora sumaremos y restaremos L0 al Lagrangiano L ,entonces si ∆L ≡L −L0
L = L0 + ∆L
∆L será una perturbación de L0.
Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 11/36
φ y m relacionados con φB y mB, pero la relación puede sercomplicada (QCD).Si λ 1 esperamos que
φB ≡√
Zφ φ , m2B ≡m2Zm , λB ≡ λZλ
con
Zφ = 1 + a1λ + · · · , Zm = 1 + b1λ + · · · , Zλ = 1 + c1λ + · · · .
con a1, b1,· · · a determinar. Así
∆L =− λ
4!φ
4 +12
δφ ∂µ
φ∂µφ − 12
δmφ2− δλ
4!φ
4
donde
δφ ≡ Zφ −1 , δm ≡m2(ZmZφ −1) , δλ ≡ λ (Zλ Z 2φ −1) .
que está escrito en términos de m2 y λ .Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 12/36
L0, ahora contiene campos que crean estadoscorrectamente normalizados y masas físicas∆L contiene la interacción original más uncontratérmino,δm, δφ , y δλ , por cada uno de los términosdel Lagrangiano original.Todos los términos en ∆L contienen al menos un factor λ
y se van a cero cuándo λ → 0.
δm, δφ , y δλ no se conocen y se deben determinar exigiendoque m sea la masa física y que φ cree estados con lanormalización correcta, es decir, que la autoenergía y suderivada se anulan en p2 = m2. Para fijar δλ , lo que define, λ
podremos usar cualquier amplitud.
Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 13/36
El propagador escalar
Los nuevos términos modifican las reglas de Feynman
−−−⊗−−− i(δφ p2−δm
)Y la autoenergía (1PI) es
−iΣ =−iΣloops + i(δφ p2−δm
).
En general Σloops no es cero en p2 = m2, ni tampoco lo es suderivada.δφ y δm se deben elegir de forma que
Σ(p2 = m2) = 0dΣ
dp2
∣∣∣∣p2=m2
= 0
Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 14/36
Así
δφ =dΣloops
dp2
∣∣∣∣p2=m2
δm = −Σloops(p2 = m2) + δφ m2
sustituyendo
Σ(p2) = Σloops(p2)−Σloops(m2)−Σ′loops(m2)(p2−m2)
Altamente no lineales ya que los vértices con δm y δφ tambiénintervienen en el cálculo de Σloops .Si Σloops, δφ , δm se desarrollan en λ se podrán resolvercoeficiente a coeficiente: al orden más bajo Σloops esindependiente de δm y δφ y para calcular Σ(p2) será suficienterestar de Σloops(p2) los dos primeros términos de su desarrolloalrededor de la masa física, p2 = m2 ( No es necesario elcálculo explícito de los contratérminos!)
Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 15/36
Diagramas con autoenergías en patas externas nocontribuyen a la matriz S, es decir, sólo contribuyen losdiagramas amputados.En patas internas se usará el propagador completo
ip2−m2 →
ip2−m2−Σ(p2)
Importante siLa partícula intermedia es inestable y estamos cerca de laresonanciaSi p2m2 y queremos resumar las posiblesdependencias de log(p2/m2) en Σ(p2)
Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 16/36
Renormalización del propagador de fermión
Para fermiones en una línea externa(1 +
1/p−m
Σ +1
/p−mΣ
1/p−m
Σ + · · ·)
u(~p,s)
=1
1− (/p−m)−1Σ(p)u(~p,s) =
((/p−m)−1(/p−m−Σ)
)−1u(~p,s)
=1
/p−m−Σ(/p−m)u(~p,s) .
Si m es la masa física tenemos que (/p−m)u(~p,s) = 0,Necesario que Σ(/p = m) = 0.Además los estados fermiónicos deben estar normalizadoscorrectamente y por tanto
l«ım/p→m
1/p−m−Σ
(/p−m) = 1
Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 17/36
Así las dos condiciones de renormalización son
Σ(/p = m) = 0dΣ
d/p
∣∣∣∣/p=m
= 0
Procediendo como hicimos en el caso escalar
Σ(/p) = Σloops(/p)−Σloops(m)−Σ′loops(m)(/p−m)
Σ′(/p) es la derivada formal respecto /p.En general (en teorías sin violación de la paridad) tendremos
Σloops(/p) = A(p2)/p + mB(p2)
Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 18/36
Para hacer el desarrollo en /p = m usaremos p2 = /p2
∂ Σloops
∂ /p= A′(p2)2p2 + A(p2) + mB′(p2)2/p .
Con la autoenergía correctamente definida no será necesarioconsiderar diagramas con autoenergías en líneas externas.En las líneas internas usaremos el propagador fermiónicocompleto
i/p−m
→ i/p−m−Σ
.
Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 19/36
El vértice a un loop
¿Cómo calcular elementos de matriz a órdenes más altos?
iM =−i(λ + δλ + Vloops) .
λ se define con un proceso y luego se usará para calcularotros. Definiremos λ en s = 4m2, t = 0, u = 0
−iλ ≡ iM ≡ iM (s = 4m2,u = 0, t = 0) =−i(
λ + Vloops + δλ
).
Esta condición nos fija completamente δλ ,
δλ =−Vloops
y de esta forma
iM =−i(λ + Vloops− Vloops)
Fijada λ en una colisión medida en una cierta configuracióncinemática, la podemos utilizar para predecir la sección eficaza otras energías y configuraciones cinemáticas, y para predecirsecciones eficaces de otros procesos.
Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 20/36
¿N-ordenar o no N-ordenar?
La N-ordenación no garantiza que el estado |0〉 sea autoestadodel Hamiltoniano, ni siquiera que el estado de mínima energíadel sistema tenga energía cero.
¿Es necesario N-ordenar la interacción?HI N-ordenado: no se consideran contracciones dentro delmismo termino.Reducción del número de diagramas a considerar: p.e. en− λ
4! φ4, a orden λ , no hay autoenergía del escalar ni energía
del vacío.
Si no N-ordenamos, tenemos
que corrige la energía del vacío
Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 21/36
o el diagrama a un loop
que contribuye al autoenergía de la partícula.A orden λ ya necesitamos aplicar el programa derenormalización para definir correctamente la teoría.¿De dónde vienen estas contribuciones?
− λ
4!φ
4 =− λ
4!:φ4:−λ
4φφ :φ2(x):−λ
8(
φφ)2
.
El último término: energía del vacío
−iλ
8(
φφ)2
Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 22/36
El segundo término da una contribución a la masa de lapartícula.Justo la que se obtiene con el diagrama de autoenergía quehabíamos dibujado
−iλ
2φφ
Interesante observar que todos estos diagramas tienenfactores de símetria:
8 para el diagrama de vacío2 para el diagrama de autoenergía
Consecuencia directa del teorema de Wick.
Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 23/36
La N-ordenación no es más que una renormalización previa dela masa y de la energía del vacío.
Al nivel árbol, e incluso a un loop, donde para calcular losobservables no necesitamos determinar explícitamente loscontratérminos, la N-ordenación tiene ventajas evidentes:p.e. las primeras contribuciones a la autoenergía sonorden λ 2.A órdenes más altos puede ser, a veces, más convenientetrabajar con una interacción que no esté N-ordenada.
Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 24/36
La amplitud a un loop
Solo hemos hecho manipulaciones del Lagrangiano y de losdiagramas.
Al calcular el primer diagrama a un loop nos daremoscuenta de que, en general, es divergente y ambiguo:necesitamos algún método para definirlo correctamente.Cuando aplicamos el programa de renormalización,desarrollado a la sección anterior, los infinitos y lasambigüedades se cancelan cuando expresamos lasamplitudes en términos de los parámetros físicos.
Veamos cómo funciona calculando φφ → φφ a un loop en lateoría λφ4
Si la interacción está N-ordenada, a un loop o a orden λ no haycontribuciones a las autoenergías;El primer diagrama no trivial a la autonergia ocurre a 2 loops yorden λ 2.
Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 25/36
La amplitud a un loop
A orden λ 2 sí hay contribuciones a la amplitud de colisión
M(1)loop = M
(1)a +M
(1)b +M
(1)c .
M(1)b = M
(1)a (p4→−p1) , M
(1)c = M
(1)a (p3→−p1) ,
iM (1)a =
(−iλ )2
2
∫ d4k(2π)4
i(k2−m2 + iε
) i((p3 + p4−k)2−m2 + iε
) ,
que se tiene que sumar a la contribución a nivel árboliM (0) =−iλ y a las contribuciones de los contratérminos:
iM = i(M (0) +M
(1)loop−M
(1)loop + · · ·
)Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 26/36
Regularización
M(1)a log. divergente para k2→ ∞ (va como
∫ d4kk4 )
Hay que regularizar. Por ejemplo, la integral
I =∫
∞
0
dxx + a
, a > 0
es divergente pero la podemos definir cómo
I = l«ımΛ→∞
∫ Λ
0
dxx + a
= l«ımΛ→∞
logΛ + a
a= l«ım
Λ→∞
logΛ
a.
Alternativamente, si FΛ(x) = (Λ−a)/(x + Λ)
I = l«ımΛ→∞
∫∞
0
dxx + a
FΛ(x) = l«ımΛ→∞
∫∞
0dx(
1x + a
− (a→ Λ)
)= l«ım
Λ→∞
logΛ
a
Aplicaremos el método a
I(q²,m)≡∫ d4k
(2π)41(
k2−m2)(
(q−k)2−m2)
donde la sustitución m2→m2− iε se sobreentiendeArcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 27/36
Para regularizar haremos
IΛ = I(q2,m)− I(q2,Λ)
donde el límite Λ2 q2,m2 es implícito. IΛ es convergente.Parametrizando a la Feynman
IΛ =∫ 1
0dx∫ d4k
(2π)4
(1
(k2−∆m)2 −1
(k2−∆Λ)2
),
con
∆m ≡m2−q2x(1−x) , ∆Λ ≡ Λ2−q2x(1−x)
Ahora combinamos los dos términos en uno
2∫ ∆m
∆Λ
dt1
(k2− t)3 =1
(k2−∆m)2 −1
(k2−∆Λ)2 .
Así
IΛ = 2∫ 1
0dx∫ ∆m
∆Λ
dt∫ d4k
(2π)41
(k2− t)3 .
Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 28/36
Explícitamente convergente y se puede resolver
IΛ =−i
(4π)2
∫ 1
0dx∫ ∆m
∆Λ
dtt
=−i
(4π)2
∫ 1
0dx log
∆m
∆Λ.
En el límite Λ q2,m2 tenemos ∆Λ ≈ Λ2 y
IΛ =i
(4π)2
(log
Λ2
m2 + F(
q2
m2
)),
con
F (w)≡−∫ 1
0dx log(1−w x(1−x)− iε) .
El término −iε viene de los propagadores y resuelve lasambigüedades si 1−w x(1−x) < 0. p.e.
log(1−w x(1−x)− iε) = log |1−w x(1−x)|− iπθ(w x(1−x)−1) ,
Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 29/36
Resolviendo las integrales
F (w) =
2 +√
1−4/w log
√1−4/w −1√1−4/w + 1
, w < 0
2−2√
4/w −1 arctan1√
4/w −1, 0 < w < 4
2 +√
1−4/w log1−
√1−4/w
1 +√
1−4/w+ iπ
√1−4/w , w > 4
En particular, F (0) = 0, F (4) = 2,y si |w | → ∞ tenemos F (w)≈ 2− log(−w) .Así la amplitud es
iM (1)a = i
λ 2
2(4π)2
(log
Λ2
m2 + F( s
m2
))
Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 30/36
y el total
−Vloops = M(1)loops =
λ 2
2(4π)2
(3log
Λ2
m2 + F( s
m2
)+ F
(t
m2
)+ F
( um2
))con s = (p1 + p2)2, t = (p1−p3)2, u = (p1−p4)2. Eligiendo laconfiguración que define λ tal que
iM =−iλ , s = 4m2, t = 0, u = 0 ,
inmediatamente encontramos que la amplitud renormalizada aun loop es
iM =−i(
λ − λ 2
2(4π)2
(F( s
m2
)+ F
(t
m2
)+ F
( um2
)−2))
perfectamente finita y bien definida. Dependencias en Λ yambigüedades de regularización se cancelan si expresamos elresultado en términos de parámetros medidos!
Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 31/36
Igualmente podemos determinar el contratérmino
δλ =−Vloops =λ 2
2(4π)2
(3log
Λ2
m2 + 2)
,
aunque a un loop no nos hace falta para nada.La amplitud tiene muchos aspectos interesantes:
Para s < 4m2 es real, pero para s > 4m2 contiene unaparte imaginaria: Necesaria para garantizar la unitariedady satisfacer el teorema óptico.Para bajas energías s ≈ 4m2 y λ 16π2 la corrección deun lazo es una corrección pequeña y la teoría deperturbaciones es una buena aproximación a la amplitudexacta.Para s 4m2 hay correcciones que van como λ log(s/m2)que pueden ser grandes aunque λ sea pequeña y podríanestropear el desarrollo perturbativo.
Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 32/36
Comportamiento para s 4m2 : grupo derenormalización
En el límite s 4m2 tenemos F (s/m2)→− log(s/m2).En CM t →−1
2s(1−cosθ) y u→−12s(1 + cosθ).
Si θ 6= 0,π el límite de s grandes implica t y u grandes.Esto quiere decir que para s 4m2 podemos aproximar
iM ≈−i λ
(1 +
3λ
2(4π)2 logs
m2
), s 4m2
donde hemos despreciado los términos subdominantes.
El coeficiente de log(s/m2) es el mismo, cambiado de signo,que el del término log(Λ2/m2) en la amplitud regularizada:Se puede obtener calculando las partes divergentes de lasamplitudes!
Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 33/36
Problema con T. perturbaciones
Cuando 3λ
2(4π)2 log sm2 > 1 las correcciones a un lazo son más
grandes que a nivel árbol!
Soluciónλ se fijó en s = 4m2. Perfectamente hubiéramos podido definirλ en otros valores de s , p.e. en s = µ2 y cosθ = 0.Sea λ (µ) al valor de la constante de acoplamiento fijado conestas condiciones ReM =−λ (µ). Entonces
iM ≈−i λ (µ)
(1 +
3λ (µ)
2(4π)2 logs
µ2
), s 4m2 ,
podemos hacer la corrección tan pequeña como queramoseligiendo µ2 tan cerca de s como sea necesario.
Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 34/36
¿cómo determinar λ (µ) conociendo p.e. λ ≡ λ (4m2)?M es un observable y no puede depender de la escala en quedecidimos definir λ . Por lo tanto
0 =∂
∂ µM =− ∂
∂ µλ (µ) +
3λ 2(µ)
(4π)21µ
+ · · ·
y
µ∂
∂ µλ (µ) =
3λ 2(µ)
(4π)2 + · · ·
que se resuelve en términos de una condición inicial,λ0 ≡ λ (µ0).
λ (µ) =λ0
1− 3λ0(4π)2 log µ
µ0
y permite determinar λ (µ) en términos de λ0 medido a unaescala µ0.
Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 35/36
En particular si elegimos µ =√
s tendremos
iM ≈−iλ (√
s) =−iλ0
1− 3λ02(4π)2 log s
µ20
, s 4m2 ,
Válida siempre que λ (√
s) se mantenga pequeña, aunque ellogaritmo, log(s/µ2
0 ), sea grande!
Grupo de renormalizaciónEsta técnica, conocida bajo el nombre de “grupo derenormalización”, permite obtener desarrollos perturbativosútiles incluso en presencia de diferencias de escalas grandes.Efectivamente resuma correcciones de orden superior de laforma
(λ0 log(s/µ2
0 ))2
Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 36/36
Tema 12:Renormalización III: QED a un loop
Arcadi Santamaria
5 de noviembre de 2009
Contenido
1 El Lagrangiano renormalizado de QED
2 El autoenergía del electrón: estructura y renormalización
3 El vértice: estructura y renormalización
4 Identidades de Ward
5 La polarización del vacío
6 Factores de forma del electrón: el momento magnéticoanómalo
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 2/37
Peculiaridades de QED y Lagrangiano
Consecuencia de la invariancia gauge:1 Los fotones no tienen masa: divergencias IR.2 Las constantes de renormalización no son independientes
ya que el vértice y la autoenergía del electrón estánrelacionados: la renormalización de la constante deacoplamiento se puede calcular estudiando larenormalización de la función de onda del fotón.
3 La invariancia gauge esencial para mantener el fotón sinmasa. Hay que usar métodos de regularización quepreserven la IG (regularización dimensional o Pauli-Villars)
El Lagrangiano de QED escrito en términos de campos yparámetros desnudos es
LQED = ψB(i /∂ −mB
)ψB−
14
F µν
B FBµν−12
λB(∂µAµ
B
)2+eBψBγ
µψBABµ
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 3/37
La relación con los renormalizados es
Aµ
B =√
Z3Aµ , Z3 = 1+δ3 , ψB =√
Z2ψ , Z2 = 1+δ2 ,
Z2√
Z3eB = Z1e = e+eδ1 , Z2mB = m+δm , Z3λB = λ +δλ
de forma que
LQED = ψ(i /∂ −m
)ψ− 1
4F µνFµν −
12
λ(∂µAµ
)2+ eψγ
µψAµ
+ψ(iδ2 /∂ −δm
)ψ− 1
4δ3F µνFµν −
12
δλ
(∂µAµ
)2+ eδ1ψγ
µψAµ ,
El Lagrangiano, además del original, tiene un contratérmino porcada término del Lagrangiano original, δ2 para el términocinético del electrón, δm para la masa, δ3 para el términocinético del fotón, δ1 para el vértice y δλ para el término que fijael gauge.
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 4/37
No todos los contratérminos son independientes:1 El término que fija el gauge no necesita renormalización y
podremos elegir δλ = 0.2 La renormalización del vértice y de la función de onda del
fermión están relacionadas δ1 = δ2 ( y por tanto Z1 = Z2).Esta relación implica que
√Z3eB = e: para renormalizar la
constante de acoplamiento es suficiente estudiar larenormalización de la función de onda del fotón.
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 5/37
La autoenergía del electrón
la autoenergía renormalizada del electrón es
−iΣ2 =−iΣ2loops + i(δ2/p−δm
)y fijaremos las condiciones de renormalización cómo siempre
Σ2(/p = m) = 0 ,
dΣ2
d/p
∣∣∣∣/p=m
= 0 ,
de forma que
δ2 =dΣ2loops
d/p
∣∣∣∣/p=m
δm =−Σ2loops(m) + δ2m
De las reglas de Feynman (en el gauge de Feynman)
−iΣ2loops =−e2∫ d4k
(2π)4 γσ 1
/k + /p−mγσ
1k2
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 6/37
Definiremos el vértice electrón-fotón como la suma de todoslos diagramas 1PI con dos electrones y un fotón en líneasexternas, eliminando espinores y funciones de onda en laspatas externas.Su contribución a un elemento de matriz será
iM = u(~p2,s2)ieΓµ (p2,p1)u(~p1,s1)Jµ
Jµ representa genéricamente la contribución del resto deldiagrama. Al orden más bajo
Γ(0)µ = γµ
mientras el vértice completo es
Γµ = γµ + Γ
µ
loops + δ1γµ = Z1γ
µ + Γµ
loops
Para determinar δ1 tenemos que fijar una condición derenormalización.
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 7/37
En el caso de QED es natural elegir el vértice renormalizado deforma que cuando el cuadrimomento (entrando en el vértice)del fotón, q ≡ p2−p1, se anula (p2→ p1) y los electrones estánsobre la capa másica el vértice no tiene ninguna corrección
Γµ (p1,p1)|/p1=m = γµ
de donde podemos determinar δ1
δ1γµ =− Γ
µ
loops(p1,p1)∣∣∣/p1=m
De las reglas de Feynman (en el gauge de Feynman)
Γµ
loops =−ie2∫ d4k
(2π)4 γσ 1
/k + /p2−mγ
µ 1/k + /p1−m
γσ
1k2
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 8/37
Identidades de Ward
ya vimos que
M = εµ (~k1,λ1)ε
ν (k2,λ2) · · ·Mµν ···(~k1,~k2, · · ·) ,
y
k µ
1 Mµν ···(~k1,~k2, · · ·) = 0 , kν
2 Mµν ···(~k1,~k2, · · ·) = 0 · · ·
Generalizable a fotones “off-shell” (k2i 6= 0) (Identidades de
Ward). Veamos como funcionan a un loop: Si calculamosqµ Γ
µ
loops tenemos
qµ Γµ
loops =−ie2∫ d4k
(2π)4 γσ
(1
/k + /p2−m− 1
/k + /p1−m
)γσ
1k2 ,
donde hemos escrito
/q = /p2− /p1 = /p2 + /k −m− (/p1 + /k −m)
y hemos cancelado los denominadores.Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 9/37
Comparando con la la autoenergía del electrón
(p2µ −p1µ )Γµ
loops(p2,p1) = Σ2loops(p1)−Σ2loops(p2)
Si ahora hacemos p2→ p1 tendremos que
Γµ
loops(p1,p1) =− ∂
∂p1µ
Σ2loops(p1) =−γµ ∂
∂ /p1Σ2loops(p1)
poniendo los electrones sobre la capa másica, /p1 = m, yutilizando las definiciones de δ1 y δ2 obtenemos
−δ1γµ = Γ
µ
loops(p1,p1)∣∣∣/p1=m
=−γµ ∂
∂ /p1Σ2loops(p1)
∣∣∣∣/p1=m
=−δ2γµ
de forma que δ1 = δ2, o lo que es lo mismo
Z1 = Z2
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 10/37
Si ahora reescribimos esta relación en términos del vértice yautoenergía renormalizadas
Γµ
loops = Γµ − γµ −δ1γ
µ , Σ2loops = Σ2−(δ2/p−δm
)tenemos
qµ Γµ (p2,p1) = Σ2(p1)−Σ2(p2) + /q + (δ1−δ2)/q=
(/p2−m−Σ2(p2)
)−(/p1−m−Σ2(p1)
)= iS−1
F (p2)− iS−1F (p1) ,
Dónde SF (p) es el propagador completo renormalizado delelectrón (es decir con un polo en la masa física m y residuo 1en el polo).La relación identidad de Ward-Takahashi se puede demostrar atodos los órdenes diagramáticamente y por tanto la igualdad delas constantes de renormalización Z1 = Z2 está garantizada atodos los órdenes.
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 11/37
Esta relación garantiza que
e =Z2
Z1
√Z3eB=
√Z3eB
La renormalización de e se puede obtener calculando laautoenergía del fotón.Garantiza, a todos los órdenes, que la fuerza de lainteracción electromagnética es la misma para todas laspartículas con la misma carga.
Esta relación garantiza que la derivada covarianteDµ = ∂µ − ieAµ mantiene la forma bajo renormalización
Dµ = ∂µ − ieAµ = ∂µ − ieBABµ ,→ eAµ = eBABµ = eB√
Z3Aµ
de forma que el proceso de renormalización no cambia launiversalidad del acoplamiento electromagnético.
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 12/37
Polarización del vacío
En el caso del fotón definiremos el conjunto de diagramas dedos puntos 1PI, es decir las autoenergías, cómo iΠµν que tienedos índice Lorentz. En particular a un loop tendremos
iΠµν
loops(q) =−e2∫ d4k
(2π)4 Tr
γµ 1
/k −mγ
ν 1/k + /q−m
Formalmente cuadráticamente divergente. Pero la invarianciagauge garantiza qν Πµν = 0. En efecto, a un loop
qν Πµν
loops = ie2∫ d4k
(2π)4 Tr
γµ 1
/k −m /q1
/k + /q−m
= ie2∫ d4k
(2π)4 Tr
γµ 1
/k −m(/q + /k −m− (/k −m)
) 1/k + /q−m
= ie2
∫ d4k(2π)4 Tr
γ
µ
(1
/k −m− 1
/k + /q−m
)que se anula si podemos hacer k → k −q .
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 13/37
Usando una regularización que preserve qν Πµν = 0,
Πµν (q) = (q2gµν −qµqν )Π(q2) = q2Pµν Π(q2)
dondePµν ≡ gµν − qµqν
q2 , PµνPνσ = Pµ
σ
Ahora sumamos todos los 1PI−igµν
q2 − i1−λ
λ
qµqν
q4 +−igµσ
q2 iΠσρ−igρν
q2 +−igµσ
q2 iΠσρ−igρδ
q2 iΠδγ−igγν
q2 +· · ·
= − iλ
qµqν
q4 − iPµν
q2 − i1q4 Πµν −
1q6 Πµσ Πσ
ν + · · ·
= − iλ
qµqν
q4 −i
q2 Pµν
(1 + Π + Π2 + · · ·
)= − i
λ
qµqν
q4 − i1q2 Pµν
11−Π
.
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 14/37
Solo la parte transversal del propagador recibecorrecciones. La parte que depende del parámetro degauge permanece intacta.Cuando insertamos este propagador entre corrientesconservadas las partes que van cómo qµqν no contribuyeny el único termino que queda es
−igµν
q21
1−Π(q2)
que sólo tiene un polo en q2 = 0. El fotón permanece sinmasa a todos los ordenes!
Por otro lado como Πloops(q2 = 0) 6= 0 es necesaria larenormalización del campo Aµ
B =√
Z3Aµ
−δ3
4F µνFµν →
δ3
2Aµ
(gµν∂
2−∂µ∂ν
)Aν
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 15/37
La regla de Feynman del este vértice que es
−iδ3
(gµνq2−qµqν
).
además el término que fija el gauge no necesitarenormalización,δλ = 0. Así
−12
λB(∂µAµ
B
)2=−1
2λBZ3
(∂µAµ
)2 ≡−12
λ(∂µAµ
)2,
dondeλ ≡ λBZ3 y la polarización del vacío renormalizada será
Π(q2) = Πloops(q2)−δ3
La condición de que el polo del propagador es 1 exige
Π(q2) = 0 =⇒ δ3 = Πloops(0)
y finalmenteΠ(q2) = Πloops(q2)−Πloops(0)
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 16/37
Cálculo de la polarización de vacío
Vamos a calcularla usando regularización dimensional (nóteseque tomamosTrIDirac= 4)
Πµν
loops = 4ie2∫ ddk
(2π)dk µ (k + q)ν + kν (k + q)µ −gµν (k(k + q)−m2)
(k2−m2)((k + q)2−m2)
Combinando denominadores, haciendo k = `−qx y eliminandotérminos impares en `
Πµν
loops = 4ie2∫ 1
0dx∫ dd`
(2π)d
×(
2`µ`ν + gµν (m2 + q2x(1−x)− `2)−2qµqνx(1−x)
(`2−∆)2
)donde
∆ = m2−q2x(1−x)− iε .
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 17/37
usando ∫ dd`
(2π)d`µ`ν
(`2−∆)2 =∫ dd`
(2π)d1d
gµν`2
(`2−∆)2 ,
∫ dd`
(2π)d`2
(`2−∆)2 =∫ dd`
(2π)dd∆
d −21
(`2−∆)2
vemos que efectivamente Πµν es transverso
Πµν
loops = i4e2∫ 1
0dx∫ dd`
(2π)d2x(1−x)
(`2−∆)2
(q2gµν −qµqν
).
La integral que queda solo es logarítmicamente divergente(cuando d → 4) aunque la integral original parecíacuadráticamente divergente.Así pues
Πloops = i8e2∫ 1
0dxx(1−x)
∫ dd`
(2π)d1
(`2−∆)2
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 18/37
Pero lo que nos importa es la polarización del vacíorenormalizada, Π(q2) = Πloops(q2)−Πloops(0), que es finita ypodemos tomar d → 4
Π(q2) = i8e2∫ 1
0dxx(1−x)
∫ ∆
∆0
dt∫ d4`
(2π)42
(`2− t)3
=e2
2π2
∫ 1
0dxx(1−x) log
∆
∆0
=2α
π
∫ 1
0dxx(1−x) log
(1− q2
m2 x(1−x)− iε)
donde ∆0 ≡∆(q2 = 0) = m2
Dim.reg. se ha usado solo para demostrar que el propagadores transverso!
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 19/37
Partes absortivas: teorema óptico
Si q2 > 4m2 el argumento del logaritmo se puede hacernegativo y Π(q2) tiene una parte imaginaria
ImΠ(q2) = −2α
∫ 1
0dxx(1−x)θ(q2x(1−x)−m2)
= −2α
∫ x+
x−dxx(1−x)
= −α
3
(1 + 2
m2
q2
)√1− 4m2
q2
Tiene la misma forma que σ(e+e−→ f +f−). Si s ≡ q2
ImΠ(s)=−
√1−4m2
e/s
1 + 2m2e/s
se2 σ(e+e−→ f +f−)
Ilustración del teorema óptico (2ImTαα= ∑β |Tβα |2)
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 20/37
La integral que da Π(q2) se puede resolver exactamente yescribir en términos de logaritmos.Sin embargo es más sencillo obtener el resultado en algunoslímites de interés y que usaremos más tarde; q2m2 y|q2| m2.Así
q2m2
Π(q2)≈− α
15π
q2
m2
|q2| m2
Π(q2)≈ α
3π
(log(−q2− iε
m2
)− 5
3
)
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 21/37
La carga efectiva
El efecto neto de insertar al polarización del vacío
e2
q2 →e2(
1−Π(q2))
q2
Permite definir la carga efectiva
αef(q2) =e2/4π(
1−Π(q2)) =
α(1−Π(q2)
) ,que absorbe el grueso de las correcciones radiativas.No trivial: en un proceso concreto hay diferentescontribuciones:
Correcciones al propagador del fotón, αef(q2).Correcciones al vértice.Correcciones al propagador del fermión.Diagramas caja.
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 22/37
Para |q|2 0 todas las correcciones log(q2/m2) se cancelanexcepto las que están incluidas en αef(q2):
Las contribuciones al vértice y la autoenergía del electrónse cancelan por las identidades de Ward.Los diagramas caja son finitos UV y no contienen este tipode logaritmos.
Así pues αef(0) = α, y va creciendo a medida |q2| crece,primero como una potencia de |q2|, (para |q2| m2) yfinalmente como log(|q2|/m2), (para |q2| m2).La dependencia en q2 de αef(q2) se puede reinterpretar comouna dependencia en la distancia |~q| ∼ 1/r . Así para r 1/m,αef ∼ α y crece para distancias pequeñas: se puede interpretarcomo un apantallamiento de la carga del núcleo producida porpares electrón-positrón “virtuales” extraídos del vacío (de ahí elnombre de “polarización del vacío”).
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 23/37
Modificación del potencial
En MQ NR y en la aproximación de Born la amplitud de colisiónes básicamente la transformada de Fourier del potencial deinteracción.Método para calcular el potencial de interacción inducido porintercambio de fotones (u otras partículas):
Se calcula la amplitud de colisión en TQC.Se toma el límite no relativista.El potencial será la transformada de Fourier de estaamplitud.
Por ejemplo podemos obtener el potencial de interacciónelectrón-núcleo (de carga Z ) calculando la amplitud de colisióne−NZ → e−NZ , tomando el límite NR y haciendo latransformada de Fourier
V (~r) =−Z4π
∫ d3~q(2π)3 ei~q·~r αef(−|~q|2)
|~q|2
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 24/37
En este caso el intercambio de fotones se produce en el canal ty mN me |pei | asíq2 = (pei −pef )2 = (Eei −Eef )2−|~pei −~pef |2 ≈−|~q|2 donde~q =~pei −~pef . En el límite NR (|q2| m2)
αef(q2) =α(
1 + α
15π
q2
m2
) ≈ α +α2
15π
|~q|2
m2
y
V (~r)≈−Z4π
∫ d3~q(2π)3 ei~q·~r
(α
|~q|2+
α2
15πm+ · · ·
)=−Zα
r− 4Zα2
15m2 δ(3)(~r)
El primer término da justo el potencial de CoulombEl segundo término, que denotaremos por δV (~r), corrigeel potencial de Coulomb.
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 25/37
Lamb shift
El segundo término afectará la energía de los estadosestacionarios de los átomos.
∆En` =∫
d3~r∣∣ψn`(~r)
∣∣2 δV (~r) =−4Zα2
15m
∣∣∣ψn`(~0)∣∣∣2 =−4Z 4α5m
15πn3
donde hemos usado
ψn0(~0) =2√4π
(Zαm
n
)3/2
La corrección, “Lamb shift”, es pequeña pero necesaria paraconseguir el acuerdo con los datos experimentales.
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 26/37
Constante de acoplamiento “running”
Para −q2m2
αef(q2) =α(
1− α
3π
(log(−q2/m2)−5/3
))Nótese el parecido entre esta expresión y la obtenida para laλ (µ) “running” en el caso de la teoría λφ4. Efectivamente
α(µ)≡ αef(−µ2) , µ m
satisface la siguiente ecuación diferencial
µ∂α(µ)
∂ µ=
2α2(µ)
3π
El propagador completo resuma los logaritmos del grupo derenormalización. Igual que en λφ4, α(µ) se puede usar paracalcular incluso cuando |q2| m2, e igual que allí crece si µ
crece y la teoría de perturbaciones no es válida siα
3πlog(|q2|/m2)∼ 1.
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 27/37
Factores de forma del electrón
Directamente de las reglas de Feynman hemos visto que a unlazo
Γµ
loops =−ie2∫ d4k
(2π)4 γσ 1
/k + /p2−mγ
µ 1/k + /p1−m
γσ
1k2
mientras el vértice completo es
Γµ (p2,p1) = γµ + Γ
µ
loops(p2,p1)− Γµ (p1,p1)|/p1=m
dondeΓ
µ
loops(p1,p1)∣∣∣/p1=m
=−δ1γµ
viene del contratérmino y es proporcional a γµ .
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 28/37
Antes de ponernos a calcular es conveniente ver queesperamos obtener para Γµ .Solo depende de dos cuadrimomentos p2 y p1 (oequivalentemente q = p2−p1 y p = p2)
Γµ = γµG1 +
pµ
2mG2 +
qµ
2mG3
Entre espinores u2 y u1, G1, G2,G3 funciones escalares de q2.Conservación de la corriente qµ u2Γµu1 = 0 implica G3 = 0(para q2 6= 0).La identidad de Gordon
2mu2γµu1 = u2 (pµ + iσ µνqν )u1
Permite escribir (entre espinores)
Γµ = γµF1(q2) +
iσ µνqν
2mF2(q2) , F1 = G1 + G2 , F2 =−G2
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 29/37
La condición de renormalización del vérticeΓµ (p1,p1)|/p1=m = γµ implica
F1(0) = 1
Por otro lado no es difícil ver que F2(0) está relacionado con elfactor giromagnético del electrón
F2(0) = ae =ge−2
2
ae es el momento magnético anómalo.Procedamos a la evaluación de Γ
µ
loops reescribiendo el vérticecomo
Γµ
loops =−ie2∫ d4k
(2π)4
γσ(/k + /p2 + m
)γµ(/k + /p1 + m
)γσ(
(k + p2)2−m2)(
(k + p1)2−m2)
k2
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 30/37
Ahora combinamos los tres propagadores usando laparametrización de Feynman
1ABC
= 2∫ 1
0dx∫ 1
0dy
x
(A(1−x) + x (By + C(1−y)))3
con A = k2, B = (k + p1)2−m2, C = (k + p2)2−m2. Así eldenominador es
Den = k2(1−x) + x(
(k2 + 2kp1)y + (k2 + 2kp2)(1−y))
=
= k2 + 2xk (p1y + p2(1−y)) = (k + ω)2−ω2
donde hemos definido el cuadrivector
ω ≡ x (p1y + p2(1−y)) , ω2 = x2
(m2−q2y(1−y)
)
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 31/37
Ahora hacemos el cambio de variable k = `−ω. Solo si laintegral es convergente. Pasamos a dimensión d , así
Γµ
loops =−ie22∫ 1
0dxx
∫ 1
0dy∫ dd`
(2π)dNum
(`2−ω2)3
con
Num = γσ(/− /ω + /p2 + m
)γ
µ(/− /ω + /p1 + m
)γσ
Los términos impares en el numerador se anulan y solo eltérmino con `2 es divergente. Solo en el necesitamos hacer loscálculos en d-dims.Así
Numd = γσ /γ
µ /γσ = `ν`ργσ
γνγ
µγ
ργσ
→ `2
d`ν`ργ
σγ
νγ
µγνγσ =
(d −2)2
d`2
γµ
La parte divergente, constante y proporcional a γµ : secancelará con la condición de renormalización.
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 32/37
El resto es convergente. Podemos hacer el álgebra en 4 dims.
Numc = γσ(/p2− /ω + m
)γ
µ(/p1− /ω + m
)γσ
=−2(/p1− /ω
)γ
µ(/p2− /ω
)+ 4(p1 + p2−2ω)µm−2m2
γµ
Ahora usamos que Γµ está entre espinores y podemos usar laecuación de Dirac para simplificar:
/p2γµ /p1→m2
γµ
/p1γµ /p1 = 2m2pµ
1 −m2γ
µ , /p2γµ /p2 = 2m2pµ
2 −m2γ
µ
/p1γµ /p2 = 2pµ
1 /p2− γµ /p1/p2→ 2pµ
1 m−2(p1p2)γµ + γ
µ /p2/p1
→ 2mpµ
1 −2(p1p2)γµ + γ
µ /p2m→ 2mpµ + (q2−3m2)γµ
Además podemos usar que el resto del integrando invariantey → 1−y para hacer
y → 12
(y + (1−y)) =12
, 1−y → 12
(1−y + y) =12
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 33/37
Con esto Num se puede reducir a un termino proporcional a γµ
y otro proporcional a mpµ y podemos escribir
Num→
γµ
((d −2)2
d`2 + 4m2(1−2x)−2(1−x)q2 + ω
2)
+2x(1−x)mpµ
y por tanto
F1(q2) = 1− ie22∫ 1
0dxx
∫ 1
0dy∫ dd`
(2π)d
×
(
(d−2)2
d `2 + 4m2(1−3x + x2)−2(1−x)q2 + ω2)
(`2−ω2)3 − (q2→ 0)
Es finito UV pero contiene divergencias IR. A parte de esto noes particularmente interesante
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 34/37
ae = (ge−2)/2
F2(q2) = ie22∫ 1
0dxx
∫ 1
0dy∫ d4`
(2π)44x(1−x)m2
(`2−ω2)3
=4e2
(4π)2
∫ 1
0dx∫ 1
0dy
x2(1−x)m2
ω2
=α
π
∫ 1
0dx(1−x)
∫ 1
0dy
m2
m2−q2y(1−y)
=α
2π
∫ 1
0dy
m2
m2−q2y(1−y)
q2→0−→ α
2π
ae =ge−2
2=
α
2π≈ 0,00116141
aexpe = 0,00115965218073(28)
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 35/37
α obtenida de ge
Añadiendo correcciones de orden superior (hasta 4 loops,O(α4), que contiene 891 diagramas) el acuerdo es tan buenoque proporciona la medida más precisa de α
1α
= 137,035999084(51)
Medidas de α
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 36/37
aµ
aexpµ = 0,0011659208(6)
El muón es mucho más pesado: loops con partículas pesadasson mas importantes:
Contribución de QED puraContribución de bosones electrodébilesContribución de hadrones
athµ = 0,0011659179(5)
Quizá nueva física??Interesante que gran parte de las correcciones adicionales seobtienen poniendo α(mµ )≈ 1/136
aµ ≈ aeα(mµ )
α≈ ae
137136≈ 0,001168
Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 37/37
Fórmulas Útiles
Arcadi Santamaria
28 de octubre de 2009
Contenido
1 Contracciones y trazas de γ ’s
2 Integrales de FeynmanParametrización de FeynmanIntegrales sobre momentos
Arcadi Santamaria Fórmulas Útiles 28 de octubre de 2009 2/9
Contracciones y trazas de γ ’s
Se obtienen directamente del álgebra de Dirac
γµ
γµ = 4 , γµ
γνγµ =−2γ
ν , γµ
γσ
γρ
γµ = 4gσρ ,
γµ
γσ
γνγ
ργµ =−2γ
ργ
νγ
σ
Trazas:
TrI= 4 , Tr impar︷ ︸︸ ︷
γµ · · ·
= 0
Trγµγ
ν= 4gµν , Trγµγ
νγ
σγ
ρ= 4(gµνgσρ −gµσ gνρ + gµρgνσ )
Trγ5= 0 , Trγ5γµ
γν= 0 , Trγ5γ
µγ
νγ
σγ
ρ=−4iεµνσρ ,
En d dims γ5 tiene problemas. Pero
γµ
γµ = d , γµ
γνγµ = (2−d)γ
ν , γµ
γσ
γρ
γµ = dgσρ− i(d−4)σσρ
Las trazas sin γ5 no cambian (ya que se define TrI ≡ 4)
Arcadi Santamaria Fórmulas Útiles 28 de octubre de 2009 3/9
Parametrización de Feynman
Para combinar dos propagadores usaremos
1AB
=∫ 1
0dx
1
(Ax + B(1−x))2
y para tres
1ABC
= 2∫ 1
0dx∫ 1
0dy
x
(A(1−x) + x (By + C(1−y)))3
Ejemplo
B0 ≡∫ d4k
(2π)41
((k −p)2−m21)(k2−m2
2)
=∫ 1
0dx∫ d4k
(2π)41(
((k −p)2−m21)x + (k2−m2
2)(1−x))2
Arcadi Santamaria Fórmulas Útiles 28 de octubre de 2009 4/9
Así el denominador queda cómo
k2−2kpx + p2x−m21x−m2
2(1−x) = (k −px)2−∆
donde∆≡m2
1x + m22(1−x)−p2x(1−x)
Haciendo el cambio de variable k → k + px encontramosfinalmente
B0 =∫ 1
0dx∫ d4k
(2π)41
(k2−∆)2
de forma que sólo nos tenemos que preocupar de hacerintegrales de momento de este tipo.
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Integrales sobre momentos
Consideramos entonces integrales de la forma (con d ladimensión del espacio-tiempo)
IMN ≡∫ ddk
(2π)d(k2)M
(k2−∆)N
hacemos (rotación de Wick) k0 = ik0E de forma que
k2 =−((k0E )2 +~k2
E )≡−k2E . Igualmente ddk = iddkE .
IMN ≡ (−1)M−N i∫ ddkE
(2π)d(k2
E )M
(k2E + ∆)N
=
=(−1)M−N i
(2π)d
∫dΩd
∫∞
0dkE
k2M+d−1E
(k2E + ∆)N
,
en coordenadas esféricas en d-dimensionales∫ddkE ≡
∫dΩd
∫dkEkd−1
E
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Para determinar el valor del ángulo sólido hacemos
(√
π)d =
(∫∞
−∞
dx e−x2)d
=∫
dd~xe−~x2
=
=∫
dΩd
∫ 1
0dxxd−1e−x2
=∫
dΩd12
∫∞
0dt t
d2−1e−t =
12
Γ(d2
)∫
dΩd
de donde ∫dΩd =
2πd/2
Γ(d/2)
Por ejemplo, Ω1 = 2, Ω2 = 2π, Ω3 = 4π, Ω4 = 2π2. Así
IMN =2(−1)M−N i
(4π)d/2Γ(d/2)
∫∞
0dkE
k2M+d−1E
(k2E + ∆)N
Ahora hacemos x = ∆/(k2E + ∆)
IMN =2(−1)M−N i
(4π)d/2Γ(d/2)
12
∫ 1
0dx xN−M−d/2−1(1−x)M+d/2−1∆M−N+d/2
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La última integral es justo la función β de Euler
β (a,b) =∫ 1
0dx xa−1(1−x)b−1 =
Γ(a)Γ(b)
Γ(a + b)
así finalmente tendremos
IMN =i (−1)M−NΓ(N−M−d/2)Γ(M + d/2)
(4π)d/2Γ(N)Γ(d/2)∆−N+M+d/2
Algunos casos interesantes son
I0N =(−1)N i(4π)d/2
Γ(N−d/2)
Γ(N)
1∆N−d/2
I1N =(−1)N+1i Γ(3−d/2)
(4π)d/2d2
Γ(N−1−d/2)
Γ(N)
1∆N−1−d/2 =−d
2∆
(N−1−d/2)I0N
Si N = 3, M = 0 la integral es convergente en d = 4
I03 =−i Γ(3−d/2)
2(4π)d/2 ∆−3+d/2 d→4=⇒ −i
2(4π)2∆
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Integrales tensoriales
A veces tendremos integrales con índices Lorentz. Para reducirestas integrales una relación muy útil es∫
d (d)k f (k2)kµkν =∫
d (d)k f (k2)k2
dgµν
con f (k2) es una función escalar arbitraria que solo dependede k (si hay dependencias en otro cuadrimomento p esteresultado ya no es válido)Se obtiene teniendo en cuenta que, por covariancia Lorentz, elresultado de la integral solo puede valer agµν . El coeficiente, a,se calcula contrayendo índices y teniendo en cuenta que, en ddimensiones, gµ
µ = d .Dentro de este tipo de integrales siempre podremos cambiarkµkν → gµνk2/d .
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11. Empezaremos a leer ada diagrama por la punta de la e ha de laslíneas fermióni as.2. Por ada línea externaa) de fermiones entrando pondremos u(~p, s) p −→b) de fermiones saliendo pondremos u(~p, s) p −→ ) de antifermiones entrando pondremos v(~p, s) p −→d) de antifermiones saliendo pondremos v(~p, s) p −→e) de es alares entrando pondremos 1
k −→f ) de es alares saliendo pondremos 1
k −→3. En ada vérti e fermión-fermión-es alar impondremos la onserva ióndel uadrimomento e insertaremos un fa tor (entre paréntesis damostambién el fa tor que tendríamos de poner si la intera ión es pseudo-es alar, −igψγ5ψφ, en uenta de es alar, −gψψφ)φ
−ig , (gγ5)4. Por ada línea interna de es alares insertaremos un propagador de es- alark −→i
k2−M2 + iǫ5. Por ada línea interna fermióni a insertaremos un propagador de fer-mión
p −→i
/p−m≡
i(/p +m)
p2−m2 + iǫ6. Cuando sea ne esario añadiremos un signo − para tener en uenta elestadísti a de Fermi. En parti ular para partí ulas (o antipartí ulas)
2 de Dira idénti as en el estado nal o ini ial añadiremos un signo −por ada par de líneas de partí ulas (antipartí ulas) idénti as que se ruzan.7. Por ada bu le fermióni o tomaremos una traza y añadiremos un signo−.8. Integraremos sobre todos los momentos indeterminados en los bu lesañadiendo una integral ∫
d4k
(2π)4por ada momento indeterminado.En el aso de la intera ión de Yukawa no hay fa tores de simetría.
1. Empezaremos a leer ada diagrama por la punta de la e ha de laslíneas fermióni as.2. Por ada línea externa(a) de fermiones entrando pondremos u(~p, s) p −→(b) de fermiones saliendo pondremos u(~p, s) p −→( ) de antifermiones entrando pondremos v(~p, s) p −→(d) de antifermiones saliendo pondremos v(~p, s) p −→(e) de fotones entrando pondremos ǫµ(~k, λ)
k −→(f) de fotones saliendo pondremos ǫ∗µ(~k, λ)
k −→3. En ada vérti e fermión-fermión-fotón impondremos la onserva ión del uadrimomento e insertaremos un fa tor (Qi es la arga del fermión ysolo hay ontribu ión si los dos fermiones son del mismo tipo)γ
ψi
ψi
−iQiγµ µ4. Por ada línea interna de fotones insertaremos un propagador de fotones(la mayoría de las ve es utilizaremos el gauge de Feynman, λ = 1)
k −→
−
i
k2 + iǫ
(
gµν +1 − λ
λ
kµkν
k2 + iǫ
)
µ ν5. Por ada línea interna fermióni a insertaremos un propagador de fer-miónp −→i
p/−m≡
i(p/+m)
p2−m2 + iǫ6. Añadiremos un signo − por ada pareja de líneas fermióni as externasidénti as que se ruzan.
7. Por ada bu le fermióni o tomaremos una traza y añadiremos un signo−.8. Integraremos sobre todos los momentos indeterminados en los bu lesañadiendo una integral ∫ d4k
(2π)4por ada momento indeterminado.En el aso de la QED nun a hay fa tores de simetría.
1. Por ada línea externa(a) de Z entrando pondremos ǫµZ(~k, λ)
k −→(b) de Z saliendo pondremos ǫµ∗Z (~k, λ)
k −→( ) de W− o W+ entrando, ǫµW (~k, λ)
k −→(d) de W− o W+ saliendo, ǫµ∗W (~k, λ)
k −→2. En ada vérti e fermión-fermión-Z impondremos la onserva ión del uadrimomento e insertaremos un fa torZ
ψi
ψi
−ie
2sW cWγµ (giV − giAγ5) µ3. En ada vérti e νj −ei−W o uj −di−W impondremos la onserva ióndel uadrimomento e insertaremos un fa tor
W
ei di
νj uj
−ie
sW
√2K
e,qji γ
µPL µ(donde la arga del W , entrando o saliendo, está jada por la onser-va ión de la arga en el vérti e y las mez las Ke,qji ≈ δji en primeraaproxima ión).4. Por ada línea interna de Z insertaremos un propagador de Pro a
Z−
(
gµν −kµkν
m2Z
)
i
k2 −m2Z + iǫ
µ ν5. Por ada línea interna de W insertaremos un propagador de Pro aW
−
(
gµν −kµkν
m2W
)
i
k2 −m2W + iǫ
µ ν
1.- Introducción y motivación de la TQC
Problema 1.1 Comprobad, usando las ecuaciones de movimiento, que las si-guientes corrientes se conservan en el sentido que ∂tρ +~∇~j = 0 :I) Schrödinger:
iψ =−∇2
2mψ, ρ = |ψ|2 , ~j =− i
2m
(ψ∗~∇ψ−ψ~∇ψ
∗)
II) Klein-Gordon:(∂ 2 +m2)φ = 0
ρ =i
2m
(ψ∗ ∂
∂ tψ−ψ
∂
∂ tψ∗)
, ~j =− i2m
(ψ∗~∇ψ−ψ~∇ψ
∗)
III) Dirac:(i∂/−m)ψ = 0, ρ = ψ
†ψ, ~j = ψ~γψ
Problema 1.2 Comprobad que las matrices de Dirac, tanto en la representaciónde Dirac como en la de Weyl, satisfacen el álgebra:
γµ ,γν= 2gµν
y la condición de hermiticidad:
㵆 = γ
0γ
µγ
0
Problema 1.3 Comprobad que si se multiplica la ecuación de Dirac con interac-ción electromagnética
(i∂/+ eA/−m)ψ = 0
por (i∂/+ eA/+m) se obtiene((i∂ + eA)2−m2 +
e2
σµνFµν
)ψ = 0
1
Problema 1.4 Determinad las frecuencias propias del sistema de N osciladoresclásicos acoplados. Cuales son las frecuencias máxima y mínima (ver Marion).Cuál sería la energía del sistema cuántico asociado.
Problema 1.5 Escribid una densidad lagrangiana que de lugar a la ecuaciónde Schrödinger. Teniendo en cuenta que la densidad lagrangiana obtenida es in-variante bajo una transformación de fase: ψ ′ = eiαψ , ψ
′∗ = e−iαψ∗obtened lacorriente asociada a dicha simetría.
Problema 1.6 Cuantizad el problema de la cuerda vibrante imponiendo condi-ciones periódicas: u(x, t) = u(x+L, t), ∀x.
Problema 1.7 En el sistema de N osciladores acoplados discutido en el texto,calculad la energía del vacío. En el resultado tomad el límite a 1. ¿Cómodepende de a? ¿Y de la longitud del sistema?
2
2.- El campo de Klein-Gordon
Problema 2.1 Usando las reglas de conmutación canónicas del campo del Klein-Gordon real y la forma del Hamiltoniano,H, comprobad que
[H,φ(x)] =−iπ(x), [H,π(x)] = i(m2−∇2)φ(x),
De aquí y de las ecuaciones de movimiento de Heisenberg para los operadoresφ(x), (−iφ(x) = [H,φ(x)]) y π(x), (−iπ(x) = [H,π(x)]), demostrad que
φ(x) = π(x), (∂ 2 +m2)φ(x) = 0
Problema 2.2 Usando las reglas de conmutación canónicas del campo del Klein-Gordon real y la forma del operador momento, ~P comprobad que[
~P,φ(x)]
= i~∇φ(x),[~P,π(x)
]= i~∇π(x),
Sea F(x) = F(φ(x),π(x)), que se puede desarrollar en serie de potencias de φ(x)y π(x). Demostrad que [
~P,F(x)]
= i~∇F(x),
Añadiendo la ecuación de movimiento de Heisenberg para F(x), [H,F(x)] =−iF(x), comprobad que las ecuaciones de movimiento se pueden escribir de for-ma covariante como
[Pµ ,F(x)] =−i∂ µF(x),
con P0 = H. Usando estos resultados comprobad que
φ(x+a) = eiaPφ(x)e−iaP
(es suficiente con comprobar que ∂φ(x+a)∂aµ = i
[Pµ ,φ(x+a)
]ya que obviamente la
ecuación se satisface para aµ = 0).
Problema 2.3 Calculad
〈0|φ(x)φ(0) |0〉= D(x) =∫ d3~p
(2π)32Epe−ipx
explícitamente en términos de funciones de Bessel para x2 < 0. Comprobad queel resultado solo depende de x2.
3
Problema 2.4 En el problema anterior D(x) satisface la ecuación de Klein-Gordon,puesto que φ(x) la satisface y solo depende de x2 por invariancia Lorentz. Parax2 < 0, se define s =
√−x2. Comprobad que si una función f (s) satisface la ecua-
ción de Klein-Gordon y solo depende de s, debe de satisfacer la ecuación
f ′′(s)+3s
f ′(s)−m2 f (s) = 0
Los dos primeros términos serian equivalentes a la Laplaciana en cuatro dimen-siones en coordenadas esféricas generalizadas. Encontrad las soluciones de estaecuación que satisfacen las condiciones
f (s) s→+∞−→ 0, f (s) s→0−→ 14π2s2
Comprobad que la solución coincide con la D(x) encontrada anteriormente.
Problema 2.5 Encontrad un Lagrangiano que de lugar a la ecuación de Schrö-dinger:
iψ =−∇2
2mψ
con ψ complejo.I) Desarrollad las soluciones de la ecuación de Schrödinger en ondas planasy cuantizadla con reglas de conmutación. Tiene sentido un campo de Schrödingerreal?II) Obtened el Hamiltoniano y desarrolladlo en operadores de creación y des-trucción. Es definida positiva la energía?III) Obtened la corriente conservada asociada a un cambio de fase ψ→ eiαψ ydesarrolladla en operadores de creación y destrucción. Que interpretación podríatener?IV) Calculad el conmutador de dos campos a tiempos diferentes.V) Que cambiaria si en lugar de ser partículas libres estuvieran sometidas aun potencial tipo oscilador armónico. Estudiad el problema en una dimension con
iψ =− 12m
d2
dx2 ψ +12
ω2x2
ψ
4
3.- El campo de DiracProblema 3.1 A partir de la forma del Hamiltoniano para el campo de DiracH =
∫d3~xψ(x)
(−i~γ~∇+m
)ψ(x) y de las reglas de anticonmutación entre los
campos comprobad que las ecuaciones de movimiento de Heisenberg −iψ(x) =[H,ψ(x)], −iψ†(x) =
[H,ψ†(x)
]son equivalentes a la ecuación de Dirac.
Problema 3.2 Sean
PL =12(1− γ5), PR =
12(1+ γ5)
Usando que Γi≡ (1,γ5,γµPL, γµPR, σ µν ) forman una base del espacio de matrices4×4 demostrad que (por simplicidad escribimos ui ≡ u(pi))
(u1APLu2)(u3PRBu4) =12(u3γ
µPLu2)(u1AγµPRBu4)
donde A y B son matrices arbitrarias 4× 4. (Desarrollad la matriz u2u3 en labase, es decir escribid u2u3 = ∑i αiΓi y comprobad que solo las componentesγµPR contribuyen. Los coeficientes αi se pueden determinar multiplicando estedesarrollo por Γ j y tomando la traza en ambos lados). En el caso particular queA = γν y B = γν con índices sumados se obtiene
(u1γνPLu2)(u3γνPLu4) =−(u3γ
νPLu2)(u1γνPLu4)
(Usad PRγν = γνPL y γνγµγν = −2γµ ). Se pueden obtener identidades similarespara los campos en lugar de los espinores, pero entonces hay que tener en cuentalos signos que aparecen cuando se anticonmutan campos fermiónicos. Identida-des de este tipo se denominan identidades de Fierz y son muy útiles para simplifi-car cálculos complicados.
Problema 3.3 Cuantizad la ecuación de Schrödinger como en el problema 2.5pero ahora con reglas de anticonmutación. En particular comprobad que:I) El mismo Lagrangiano obtenido en 2.5 da lugar a la ecuación de Schrödin-ger aunque los campos anticonmuten.II) Desarrollad las soluciones de la ecuación de Schrödinger en ondas planasy cuantizadla con reglas de anticonmutación.III) Obtened el Hamiltoniano y desarrolladlo en operadores de creación y des-trucción. Es definida positiva la energía?IV) Obtened la corriente conservada asociada a un cambio de fase ψ → eiαψ
y desarrollad la carga asociada en operadores de creación y destrucción. Queinterpretación podría tener?V) Calculad el anticonmutador de dos campos a tiempos diferentes.
5
Problema 3.4 Comprobad que los operadores densidad de corriente
jµ = ψ(x)γµψ(x)
de la ecuación de Dirac satisfacen la relación[jµ(x), jν(x′
]= 0, para (x− x′)2 < 0
como requiere microcausalidad si jµ(x) y jν(y) son observables en puntos delespacio-tiempo que no pueden estar conectados causalmente.
Problema 3.5 Demostrad que si en el desarrollo en ondas planas del campo deKlein-Gordon real imponemos reglas de anticonmutación en lugar de reglas deconmutación, es decir si imponemos,
a~p,a†~p′= 2E(p)(2π)3
δ(3)(~p−~p′), a~p,a~p′= a†
~p,a†~p′= 0
se tiene que para (x− x′)2 < 0[φ(x),φ(x′)
]6= 0, φ(x),φ(x′) 6= 0
y por tanto no hay forma de construir una teoría que respete microcausalidad.
Problema 3.6 Sea el Lagrangiano de Dirac. Definimos los campos
ψL =12(1− γ5)ψ, ψR =
12(1+ γ5)ψ,
tales que γ5ψL =−ψL y γ5ψR = ψR.I) Comprobad que si bajo transformaciones de Lorentz ψ→ S(Λ)ψ , se cumpleque tanto ψL como ψR se transforman de forma independiente y sin mezclarseψL→ S(Λ)ψL y ψR→ S(Λ)ψR.II) Comprobad también que el Lagrangiano de Dirac se puede escribir como
L = iψL∂/ψL + iψR∂/ψR−m(ψLψR +ψRψL),
explícitamente invariante Lorentz.III) Escribid las ecuaciones de movimiento y comprobad que en el límite demasa cero las componentes ψL y ψR se desacoplan y en particular ψL describefermiones con solo la helicidad negativa y antifermiones con solo la helicidadpositiva (y ψR justo lo contrario).IV) Reescribid tanto el Lagrangiano como las ecuaciones de movimiento entérminos de espinores de dos componentes usando la representación de Weyl paralas matrices de Dirac.
6
Problema 3.7 Usando la notación del problema anterior consideremos el La-grangiano
LM = iψL∂/ψL−m12(ψc
LψL +ψLψcL)
en donde hemos definido ψcL = CψL
T con C la matriz de conjugación de carga.I) Comprobad que
γ5ψcL = ψ
cL
por tanto se transforma como ψcL→ S(Λ)ψc
L y por tanto el Lagrangiano anteriores invariante Lorentz.II) Comprobad que el termino de masas que hemos escrito solo existe si loscampos ψL anticonmutan.III) Escribid la ecuación de movimiento para el campo ψL.IV) Comprobad que el término cinético es invariante bajo la transformaciónψL→ eiαψL mientras que el termino de masas no lo es.V) Escribid la corriente asociada a ésta transformación y calculad su diver-gencia.VI) Definamos el campo ψM = ψL + ψc
L que satisface ψM = ψcM. Comprobad
que (a parte de derivadas totales)
LM = i12
ψM∂/ψM−m12
ψMψM
VII) ¿Cuales son las ecuaciones de movimiento para ψM.?VIII) Demostrad que ψM describe partículas que son sus propias antipartículascon las dos helicidades.IX) Reescribid todo lo anterior en términos de espinores de dos componentesusando la representación de Weyl para las matrices de Dirac.
7
4.- Matriz S y secciones eficacesProblema 4.1 Sea una partícula no relativista moviéndose en una dimensión ysometida a un potencial tipo delta V (x) = gδ (x). Es decir la partícula obedece laecuación de Schrödinger
ih∂
∂ tψ(x) =
(− h2
2m∂ 2
∂x2 +gδ (x))
ψ(x).
Las funciones de onda de los estados |p,0〉 son sencillamente las ondas planas〈x |p,0〉= eipx ¿Cuales son las funciones de onda de los estados |p,−〉 y |p,+〉?.Construid la matriz S del sistema calculando directamente Sp′p = 〈p′,+ |p,−〉.Usando el desarrollo de la matriz S en términos del operador de evolución tem-poral calculad otra vez la matriz S (ahora solo a primer orden en g).
Problema 4.2 Calculad la integral de espacio fásico para la colisión elástica dedos partículas, una sin masa y la otra masiva en el sistema de referencia en el quela partícula masiva inicial está en reposo, es decir
dΦ2 =∫ d3~k2
(2π)32ω2
d3~p2
(2π)32E2(2π)4
δ(4)(pi− p2− k2)
para pi = k1+ p1 = k2+ p2, con k1 =(ω1,0,0,ω1), p1 =(m,0,0,0), k2 =(ω2,ω2 sinθ ,0,ω2 cosθ),p2 = k1 + p1− k2 con p2
2 = m2 (escogemos como dirección del eje z la direcciónde la partícula con momento k1, y como eje y el perpendicular al plano de coli-sión, de forma que los momentos son independientes de ϕ . El elemento de matrizal cuadrado sí podría depender de ϕ en caso que los haces incidentes estén pola-rizados o se midan polarizaciones en el estado final)
5.- Campos con interaccionesProblema 5.1 Escribid todos los términos que podríamos añadir al Lagrangianode Klein-Gordon real que sean escalares Lorentz y que tengan dimensión menoro igual que seis. Haced lo mismo con el Lagrangiano de Dirac.Y si permitimos un fermión de Dirac y un escalar real?
Problema 5.2 Considerad el Lagrangiano
L =12(∂µφ)2− 1
2M2
φ2 +
12(∂µϕ)2− 1
2m2
ϕ2−µφϕ
2
que describe dos campos reales φ i ϕ con masas M y m respectivamente. El últi-mo término del Lagrangiano describe una interacción entre los dos campos quepermite la desintegración φ → ϕϕ , siempre y cuando M > 2m. Suponiendo queésta condición se satisface calculad la vida media, al orden más bajo en µ , delbosón φ .
8
Problema 5.3 Usando el Lagrangiano del problema anterior calculad la seccióneficaz en centro de masas, al orden mas bajo en µ , del proceso ϕϕ → φφ .I) Dibujad y calculad los diagramas que contribuyen al proceso.II) Obtened la distribución angular y dibujadla para µ = M = 1 GeV, m = 0 ypara un valor de la energía en centro de masas, por ejemplo
√s = 2E1 = 3 GeV.
III) Integrad la distribución angular y obtened la sección eficaz total. Dibujadlacomo función de la energía en centro de masas,
√s.
Problema 5.4 Usando el Lagrangiano del problema anterior calculad la seccióneficaz en centro de masas, al orden más bajo en µ , del proceso ϕϕ → ϕϕ .I) Dibujad y calculad los diagramas que contribuyen al proceso.II) Obtened la distribución angular y dibujadla para µ = M = 1 GeV, m = 0y para dos valores de la energía en centro de masas, por ejemplo
√s = 2E1 =
0,5 GeV (no se puede producir el bosón φ ) y√
s = 2E1 = 2 GeV (si se puedeproducir).III) Integrad la distribución angular y obtened la sección eficaz total. Dibujadlacomo función de la energía en centro de masas
√s.
IV) ¿Que sucede cuando√
s = M? Teniendo en cuenta que la partícula φ esinestable ¿cómo se debería modificar el propagador de la φ para evitar este pro-blema? Recalculad la sección eficaz total incluyendo los efectos de la anchurafinita de la φ y dibujadla como función de la energía en centro de masas.
Problema 5.5 Las desintegraciones semileptónicas del pión cargado π−, π−→µ−νµ y π−→ e−νe, se pueden describir mediante el Lagrangiano
LI = κπ− (mµ µPLνµ +meePLνe
)+h.c.
donde, π− es un campo de Klein-Gordon complejo, µ , e, νµ , y νe son campos deDirac del muón, el electrón, el neutrino muónico y el neutrino electrónico respec-tivamente, mµ = 106 MeV y me = 0,5 MeV son las masas del muón y del electróny PL ≡ (1− γ5)/2 es el proyector de quiralidad levógiro. ¿Qué dimensiones tienela constante de acoplamiento κ? Escribid las reglas de Feynman para estas in-teracciones. Despreciando la posible masa de los neutrinos calculad los ritmosde desintegración Γ(π−→ µ−νµ) y Γ(π−→ e−νe) en términos de las masas yla constante de acoplamiento. Usando los valores de las masas ( mπ = 140 MeV)calculad R ≡ Γ(π− → µ−νµ)/Γ(π− → e−νe) y comparad con el valor experi-mental Rexp = 8129.
Problema 5.6 Si los neutrinos, ν , tienen masa es probable que tengan nuevasinteracciones. Por ejemplo, podrían tener una interacción con un nuevo escalarneutro, φ , de la forma
Lνφ = igφ νγ5ν φ ,
9
donde gφ es una constante de acoplamiento. Suponiendo que el escalar φ no tienemasa (o es tan ligero que su masa se puede despreciar) y que los neutrinos ν soncampos de Dirac con una masa m, calculad la sección eficaz diferencial en centrode masas del proceso ν ν → φ φ . A partir de ella calculad también la seccióneficaz diferencial total.
6.- Campos de spin 1: fotones y campos de Proca.
Problema 6.1 Comprobad explícitamente que las ecuaciones de movimiento quese obtienen del Lagrangiano
Lλ =−14
FµνFµν − λ
2∂µAµ
∂νAν − jµAµ
son∂
2Aµ − (1−λ )∂ µ∂νAν = jµ .
En caso que λ = 1 estas ecuaciones también se pueden obtener del Lagrangianode Fermi
LF =−12
(∂ µAν)(∂µAν
)− jµAµ
Por tanto LF y Lλ=1 deben diferir, como máximo, en una divergencia total. Com-probadlo.
Problema 6.2 Calculad los momentos canónicos asociados a Aµ con los dos La-grangianos del problema anterior, LF y Lλ , e imponed las reglas de conmutacióncanónicas:
[Aµ(~x, t),πν(~y, t)] = igνµδ
(3)(~x−~y),
[Aµ(~x, t),Aν(~y, t)] = 0, [πµ(~x, t),πν(~y, t)] = 0.
Para λ = 1 comprobad que, aunque los momentos canónicos son diferentes en losdos Lagrangianos, las reglas de conmutación escritas en términos de Aµ y Aµ sonidénticas en ambos casos a
[Aµ(~x, t), Aν(~y, t)] =−igµνδ
(3)(~x−~y),
[Aµ(~x, t),Aν(~y, t)] = 0, [Aµ(~x, t), Aν(~y, t)] = 0.
7.- Procesos elementales con fotones y con campos de Proca.
Problema 7.1 Usando los elementos de matriz obtenidos para e+e−→ µ+µ−yla simetría de cruce, obtened las secciones eficaces diferenciales, en centro demasas, de los procesos e−µ−→ e−µ−y e−µ+→ e−µ+.
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Problema 7.2 La amplitud para el proceso Compton, γ e−→ γ e−, se puede des-cribir mediante una expresión de la forma M = T µνεµ(k1,λ1)εν(k2,λ2), siendoεµ(k1,λ1) y k1, y εν(k2,λ2) y k2 los vectores de polarización y cuadrimomentos delfotón inicial y final respectivamente. La invariancia gauge exige que, tanto para elfotón inicial como para el fotón final, si hacemos εµ(k1,λ1)→ εµ(k1,λ1)+αk1µ
el elemento de matriz permanece invariante. En particular esto implica T µνk1µ =0 T µνk2ν = 0. Comprobad explícitamente que eso es así y que la cancelación ocu-rre entre los dos diagramas que contribuyen al proceso.
Problema 7.3 Usando los elementos de matriz obtenidos para γ e−→ γ e− y lasimetría de cruce, obtened la secciones eficaces diferenciales, en centro de masas,de los procesos e−e+→ γ γ y γ γ → e−e+.
Problema 7.4 Si el número muónico no se conserva, en principio podría tenerlugar la desintegración µ−→ e−γ .a) ¿Por qué no es posible describir este proceso mediante una interacción de laforma? eγµ µAµ (e y µ son campos de Dirac que describen el electrón y el muónrespectivamente).b) ¿Por qué el siguiente Lagrangiano de interacción si puede describir la desin-tegración fotónica del muón?
LI =mµ
Λ2 eσµνPRµFµν +h.c.
c) ¿Que dimensiones tiene Λ?d) Justificad que la regla de Feynman para el vértice de esta interacción es
−2mµ
Λ2 σµνqνPR
con q el cuadrimomento del fotón (entrando en el vértice) y PR = (1 + γ5)/2 elproyector de quiralidad dextrógiro.c) Usando esta interacción calculad el ritmo de desintegración Γ(µ−→ e−γ) (elcálculo de trazas se puede simplificar teniendo en cuenta que si el muón está enreposo es posible elegir los vectores de polarización físicos del fotón tales quecumplan simultáneamente (p1 es el cuadrimomento del muón y q el del fotón)ε(q,λ )p1 = 0, ε(q,λ )q = 0 (λ = 1,2). En tal caso ε(q,λ ) = (0,~ε(q,λ )) con~ε(q,λ )~ε(q,λ ) = 1).
Problema 7.5 El bosón de gauge Z se puede describir mediante una campo deProca real y su interacción con los fermiones se puede describir mediante el La-grangiano
LZ =− e2sW cW
∑i
ψiγµ(giV −giAγ5)ψi Zµ
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siendo ψi los campos de Dirac de los diferentes fermiones (e,µ,νe,τ,u,d, · · ·) ela carga del positrón, sW ≡ sinθW y cW = cosθW un parámetro de la teoría, ygiV y giA los acoplamientos vectoriales y axiales de cada uno de los fermiones(para neutrinos gνV = 1
2 , gνA = 12 mientras que para electrones, muones y taus
g`V =−12 +2s2
W , g`A =−12 ). Calculad las anchuras de desintegración Z→ e−e+y
Z → ν ν y la sección eficaz diferencial y total en centro de masas del procesoe+e−→ µ+µ− despreciando el diagrama con intercambio de fotones (discutir enque condiciones esto es razonable). ¿Que sucede cuando s = mZ? ¿Como hay quemodificar el propagador del bosón de gauge Z?
Problema 7.6 Uno de los modos de desintegración más importantes del leptón τ
es τ−→ ρ−ντ . En donde ρ− es una partícula cargada masiva con espín 1 y portanto se puede describir mediante un campo de Proca complejo. Suponed que lainteracción que produce esta desintegración se puede escribir como
LI = g ντγµPLτρ
+µ +h.c.
Donde g es la constante de acoplamiento, ντ y τ son los campos de Dirac quedescriben, respectivamente, el neutrino taónico y el leptón tau, PL ≡ (1−γ5)/2 esel proyector de quiralidad levógiro y ρ+
µ es el campo complejo conjugado de ρ−µ .a) ¿ Que dimensiones tiene g? b) Escribid la regla de Feynman para este vértice.c) Usando esta interacción y suponiendo neutrinos sin masa calculad el ritmo dede desintegración del leptón τ a ese canal.
Problema 7.7 El bosón de gauge W+ se puede describir mediante una campo deProca complejo y su interacción con los leptones se puede describir mediante elLagrangiano
LW =− g√2
νγµPLeW+
µ
siendo ν , y e los campos de Dirac del neutrino y del electrón respectivamente yPL el proyector de quiralidad levógiro. Calculad la sección eficaz diferencial ytotal en centro de masas para el proceso e−e+→W+W−suponiendo que ésta esla única interacción relevante en el proceso y que despreciamos las masas de losneutrinos y electrones ¿Cómo se comporta en el límite s 4m2
W ?
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