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EJERCICIOS-RELATIVIDAD ESPECIAL(Dated: 28 de febrero de 2008)

3- Las transformaciones de Lorentz-Einstein. Medicion de longitudes ytiempos.

3.1. Hallar la velocidad a la cual la contracci on de Lorentz es del 1 %.

3.2.   Determinar la contraccion del diametro terrestre en el plano de la eclıptica para un observador en reposorespecto al Sol.

3.3.  ¿Cual es el porcentaje de contraccion de Lorentz de una avion supersonico que vuele a 660m

s . ¿Cuanto tiempo

tardarıa en apreciarse un retraso de un milisegundo entre los relojes de dicho avion y los situados en el aeropuerto?

3.4.  ¿Cuanto tiempo retrasan los relojes de la Tierra en un ano respecto a los relojes del Sol? (la velocidad orbitalde la Tierra es de 30 km

s  .

3.5.   Un suceso tiene lugar en   x′ = 50m,   t′ = 10−7s   en el sistema de referencia   S ′. Este sistema de referencia   S ′

posee una velocidad vS ′  =   4c5  i  respecto a otro sistema  S . Si los orıgenes de coordenadas coinciden para  t  = 0,  t ′ = 0,

¿cuales son las coordenadas del suceso en el sistema  S ?

3.6.   Un observador, en un sistema de referencia   S , observa dos sucesos,   a   y   b, como simultaneos. Su separacionespacial en este sistema es de 100 metros. Otro observador, en un sistema de referencia  S ′, mide una separacion paradichos sucesos de 150 metros. Si ambos sistemas de referencia son incerciales, indicar la separacion temporal entrelos dos sucesos vista por el observador en  S ′.

3.7. Las coordenadas espacio-tiempo de dos sucesos medidos desde el sistema de referencia  S  son las siguientes:x1  =  x0,   t1  =   x0

c  ,  y1  = 0,  z1  = 0.

x2  =   3x0

2  ,  t2  =   2x0

3c ,  y2 = 0,  z2  = 0.

Determinar la velocidad del sistema de referencia en el cual ambos sucesos son simult aneos e indicar la coordenadat′ de los sucesos en dicho sistema  S ′.

3.8.  Supon que Han Solo en su  Halc´ on Milenario  se desplaza, respecto a la Tierra, a una velocidad  v  =  c − 100km

s  .

Justo cuando pasa junto a la Tierra, Chewaka enciende un potente faro, a la vez que se ponen en marcha cron ometrossituados en la Tierra y en el  Halc´ on .

a) Si el radio de la Tierra es de 6370km, ¿cu anto medira el radio de la Tierra en la direcci on del movimiento vistala Tierra por el capitan Solo?

b) Al cabo de un segundo del reloj de Solo, ¿estar a toda la Tierra iluminada?c) Al cabo de un segundo de un reloj en la Tierra, ¿estara toda la Tierra iluminada?

3.9  Escribir las ecuaciones de transformacion inveresa, es decir, si

x′ = γ (x− vt)   t′ = γ (t−   vx

c

2 )

escribir x  =  x(x′, t′) y   t =  t(x′, t′)

3.10   Dos sucesos tienen lugar en el mismo lugar para un observador que mide una separacion temporal ente ellosde 5 segundos. Determinar la separacion espacial que mide otro observador, para el cual lo sucesos estan separadostemporalmente 5 segundos.

3.11   Un observador registra dos sucesos simultaneos separados 20 metros. Otro observados registra esos mismossucesos separados 40 metros. ¿Cual es la velocidad relativa de los dos observadores?

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3.12. La radiacion cosmica que llega a las capas altas de la atmosfera interacciona con los atomos que all ı se encuentrany unos de los productos de dichas interacciones son los muones, partıculas inestables cuya vida media es de   τ   =2′2× 10−6s.

a) Si los muones viajan a 0′95 c, ¿cual sera su vida media observada desde un laboratorio en tierra?b) ¿Que distancia recorreran antes de desintegrarse?c) Segun los propios muones su vida media es inferior a la observada desde el laboratorio, con lo que les da tiempo

a recorrer una distancia inferior. ¿Como se explica entonces que se detecten mas lejos de donde era de esperar?

3.13. A las doce del mediodıa una nave espacial para frente a la Tierra con una velocidad 0′8c. Los observadores dela nave y de la Tierra estan de acuerdo en que es mediodıa.

a) A las 12:30, segun el reloj de la nave, esta pasa por una estacion espacial, fija respecto a la Tierra. ¿Que hora esen la estacion?

b) ¿A que distancia de la Tierra (en coordenadas terrestres) se encuentra la estacion?c) A las 13:30, hora de la nave, se establece comunicacion con la Tierra desde la nave. ¿Cuando (en tiempo de la

Tierra) recibe esta la senal?d) La estacion terrestre contesta inmediatamente. ¿Cuando recibira la respuesta la nave (en tiempo de la nave)?

3.14. Dos naves espaciales, cada una de ellas de 100 metros de longitud en su sistema en reposo, se cruzan entre s ı.

Los instrumentos de medida situados en la nave A senalan que la parte delantera de la nave B invierte 5 × 10−6

s enrecorrer toda la longitud de A.

a) ¿Cual es la velocidad relativa de ambas naves?b) Un reloj situado en el extremo frontal de B se nala exactamente la una al pasar por el extremo frontal de A.

¿Cual sera la lectura del reloj al pasar por el extremo posterior de A?

3.15. (Paradoja del garaje).  James Bond  conduce su Aston Martin  de 5 metros a 0′6 c. Q , el ingeniero del serviciosecreto que proporciona a Bond los fantasticos artilugios, observa desde el exterior como va a pasar por un garaje de4 metros. Q ha dispuesto un puerta a la entrada del garaje y otro a la salida, con sendos sensores, de tal maneraque ambas puertas se cerraran cuando el morro del coche llegue a la puerta trasera y cuando el final del coche acabede pasar por la puerta delantera. Como Q ha estudiado relatividad sabe que, al viajar a 0′6 c, la longitud del AstonMartin se contrae y las puertas se accionaran de forma simultanea sin danar el coche ni a Bond, cuando estos esten

dentro del gara je. Por otra parte, James ve como el gara je de 4 metros se acerca hacıa el a 0′6 c, con lo que se contrae ymide menos de 4 metros, cuando su Aston Martin sigue midiendo 5 metros. James est a asustado puesto que espera quelas puertas se cierren estando parte del coche fuera del garaja y parte dentro del garaje. Si el coche se accidenta paraBond tambien se accidenta para Q, es un suceso absoluto. Si el coche no se accidenta pra Q no se accidenta para Bond.

a) ¿Cual es la longitud del Aston Martin vista por Q?b) ¿Se cerraran ambas puertas simultaneamente segun Q?c) ¿Cuanto mide el garaje segun Bond?d) ¿En que instantes de tiempo se cerrara cada puerta segun Bond?

3.16. Dos naves de la flota estelar  Galactica  de 100 metros viajan a 0′75 c en el instante en que se cruzan (⇋) a pocadistancia. Debido a que pasan muy cerca una de la otra, el piloto de una de ellas (A) se asusta y acciona, sin querer,el disparador de misiles laterales de cola, de tal manera que se lanza un misil de la cola justo cuando la cola de laotra nave (B) pasa frente a la cabina de A. Segun A, puesto que la nave B ha sufrido una contraccion de Lorentz, elmisil no impactara en B. Segun B, puesto que A ha sufrido una contraccion de Lorentz, el misil impactara en mediode su nave. ¿Que ocurrira segun los estudiantes de la UPC?

3.17.  Una nave alienıgena se acercaba a la Tierra para establecer contacto, pero viendo que la humanidad esta ha-ciendo lo posible por hacer el planeta inhabitable, decide cambiar su destino por otro planeta situado a 50 anos-luzde la Tierra. Los cientıficos terrestres ven tristes como la nave pasa veloz y calculan que llegara a su destino en 75 anos.

a) ¿Cual es la velocidad de la nave alienıgena?b) ¿Cuanto tiempo tendran que esperar los alinıgenas hasta llegar a destino?

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c) ¿A que distancia observaran los alienıgenas el nuevo planeta cuando pasan por la Tierra?

3.18.   En el ano 2035 un cometa puede impactar contra la Tierra. Para evitar tal cat astrofe las naciones decidenenviar una cohete cargado con misiles contra el, a fin de desviarlo de du trayectoria. Si dicho cometa viaja a 0′35 c yes necesario que impacte contra el cometa con una velocidad relativa de 0′85 c, ¿cual debera ser la velocidad con quese envıe desde la Tierra?

3.19. (SuperLopez juega a basebol).   SuperLopez esta jugando un partido de basebol con sus amigos delsupergrupo. en una jugada, uno de ellos, lanza la pelota a 0′6 c. Segun los espectadores:

a) ¿Cuanto mide el radio de la pelota si en reposo mide 10 centımetros?b) ¿Que forma geometrica tiene la pelota? Determina la ecuacion de la curva que representa.

3.20. El vehıculo tripulado por el hombre que ha via jado a mayor velocidad fue el  Apollo XI  en su viaje a la Lunaen julio de 1969. En un momento de su viaje alcanzo una velocidad de 40,000 km

h  respecto a la Tierra.

a) Determinar el factor  γ  asiciado a sicha velocidad.b) Calcular el porcentaje de contraccion de la nave.c) El viaje comenzo el 16 de julio a las 10:32 en Cabo Kennedy y alunizaron el 19 de julio a las 15:17 (hora de

Houston). Si hubiesen hecho todo el via je a esa velocidad, ¿que retraso marcarian sus relojes?

3.21 (Los juegos olımpicos del Supergrupo.)  SuperLopez, en los juegos superolımpicos, lanza una jabalina de1’5 metros de longitud a una velocidad de 0’74c. El juez que sigue la competici on ve pasar la jabalina a un me-tro de distancia (considerar que la jabalina vuela en lınea recta siguiendo el eje X y el juez esta situado en x=0, y=1m ).

a) ¿Cual es la longitud de la jabalina vista por el juez?b) Cuando el centro de la jabalina pasa por x=x’=0 (frente al juez) lanza una se nal luminosa desde su centro. Segun

el reloj del juez, ¿cuando vera este la senal?c) Segun el juez, ¿donde estan los extremos de la jabalina cuando esta lanza la senal luminosa? ¿Cuanto mide

aparentemente la jabalina en este caso? ¿Es esto coherente?(Tened en cuenta que la luz tarda un tiempo en llegar al juez, al no estar este en la lınea de la trayectoria sino

apartado).

3.22  Un astronauta regresa a casa en su nave espacial y, cuando el ve que faltan 100km para llegar envıa una senalpara avisar de que llega. Si su nave vuela a 0′6c:

a) Segun el astronauta, ¿cuanto tiempo tarda la senal en llegar a casa?b) Si, para confirmar que la senal ha llegado a casa, un dispositivo emite una senal de vuelta a la nave desde casa,

¿cuanto tiempo habra transcurrido desde que el viajero emitiese la primera senal hasta que recibe la segunda (segunel)?

c) Segun la familia del viajero, ¿a que distancia de casa emitio el astronauta la senal?

3.23 (La paradoja de la llave y la cerradura.)   Considerese una llave de longitud   l   (con forma de T) y unacerradura (con forma de U) que, por seguridad, mide   L > l. En el fondo de la cerradura hay un boton que accionael cierre de una caja fuerte, que contiene la coleccion entera de tebeos de SuperLopez. De esta manera, al ser la llave

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mas corta que la cerradura, no se podra abrir y estaran a buen recaudo. Para apoderarse de la valiosa coleccion uncaco decide acercar la llave a velocidades relativistas (el caco ha estudiado relatividad en la UPC). Segun el caco,la cerradura se acerca a el a altas velocidades, por lo que su profundidad sufre la contraccion de Lorentz y ası lallave podra accionar el boton y abrir la caja. Pero desde el punto de vista de la cerradura, la llave mide menos y, sibien antes no podıa accionar el boton, ahora menos. ¿Conseguira este ex-alumno de la UPC hacerse con los tebeos?

(Pensad que la informaci  on no puede viajar a velocidades mayores que la de la luz. Es interesante estudiar 

previamente la caja de Einstein, capıtulo 5).

3.24  Una nave espacial circula a   v  =   3

5c  alejandose del Sol. A su paso por la Tierra se ponen en marcha relojes en

la Tierra y en la nave. A su vez envıa una senal electromagnetica hacıa Marte a fin de poner en marcha un relojtambien all ı. Puesto que Tierra y Marte se encuentran en el mismo sistema de referencia inercial, el reloj marcianoespera la senal marcando 300 segundos, que es el tiempo que tardara la senal en recorrer los 90× 109 km que separanMarte de la Tierra. De esta manera ambos relojes estaran sincronizados.

a) Visto desde el sistema de referencia de los planetas:

aa) Cuando llegue la senal luminosa a Marte, ¿cuanto marcara el reloj de la nave?ab) Cuando la nave pase por Marte, ¿cuanto marcaran los tres relojes?ac) Cuando los relojes de Tierra y Marte marquen 800 segundos, ¿cuanto marcara el reloj de la nave?

b) Desde el punto de vista de la nave:

ba) Cuando hallan transcurrido 150 segundos en la nave, ¿cuanto marcaran los relojes de la Tierra y de Marte?bb) Cuando Marte halla alcanzado a la nave (aquı son los planetas quienes se mueven), ¿cuanto marcaran los relojes

de Marte y de la Tierra?bc) Cuando hallan transcurrido 1000 segundos en la nave, ¿cuanto marcaran los relojes de la Tierra y de Marte?