Teletrafico,Dimensionamiento de Sistemas

7/31/2019 Teletrafico,Dimensionamiento de Sistemas

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Redes Telefnicas Tema 2: Teletrfico. Dimensionado de sistemas

Ramn Agero Calvo

Tema 2 TeletrficoDimensionado de Sistemas

Ramn Agero [email protected]

En la elaboracin de estos apuntes han contribuido:Ramn Agero Calvo, Luis Muoz Gutirrez


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Ramn Agero Calvo

Contenidos Introduccin

Trfico

Modelo matemtico: proceso de Poisson

Relacin de Little

Procesos de nacimiento y muerte: teora de colas

Dimensionado de sistemas


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Ramn Agero Calvo


Trfico

Modelo matemtico: proceso de Poisson Relacin de Little




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Ramn Agero Calvo

Por qu se dimensiona? Las operadores buscan ofrecer a sus clientes un servicio adecuado de

manera rentable

No es razonable proporcionar capacidad atendiendo a demandas puntuales

elevadas Por ejemplo: se pretende desplegar una red para unir dos poblaciones con 1000

habitantes cada una

Se usa una nica lnea La solucin es muy rentable para el operador, pero el servicioes inaceptable para los usuarios (gran probabilidad de que la lnea est ocupada)

Se usan 1000 lneas Los usuarios estarn muy satisfechos (servicio siempredisponible), pero la solucin no es rentable para la compaa

Escasez de recursos (por ejemplo en comunicaciones mviles)

Se suelen emplear modelos matemticos para llevar a cabo este diseo

Lneas de salida en una centralita # de canales en un sistema TDM (conmutacin de circuitos)

# de operadores en un sistema de atencin al cliente

Tambin se emplea en otros campos (electrnica)


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Ramn Agero Calvo

Dimensionado de redes de comunicaciones Evolucin de las llamadas entrantes a una centralita durante un da

Uso de la hora cargada para el dimensionado

Uso de recursos en periodos de menor actividad ms econmico

Se incentiva un balanceo de la carga

2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 10 12

Llamadasencurso

Hora Cargada

Puede depender de varios

factores Localizacin: zona residencial,

de oficinas, etc...

Situacin temporal: fin desemana, verano, etc...


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Ramn Agero Calvo


Trfico





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Ramn Agero Calvo

Qu es el trfico? La intensidad de trfico (o simplemente, trfico) se define como el nmero

medio de llamadas en curso en un sistema

Tambin indica el grado de ocupacin de los recursos

Unidades

La ms empleada es el Erlang, que es una cantidad adimensional

En USA se emplea en ocasiones los CCS, definido como cientos de segundos dellamada por hora

El trfico (en Erlangs) de un grupo de circuitos

Depende del tiempo de observacin

Para un nico recurso, A 1

hT

hCA ==

C: nmero de llamadas en T h: duracin media (holding time) T: tiempo de observacin

: Tasa de llegadas


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Ramn Agero Calvo

Tipos de trfico Trfico ofrecido (TO, A, )

Es el volumen de trfico que se le ofrece a un grupo de circuitos

Trfico cursado (TC, AC)

Como es inviable dotar de recursos para todos los potenciales usuarios hay llamadas queno pueden atenderse y se pierden

El trfico cursado viene dado por aquellas peticiones que s pueden atenderse

Tambin se define como el nmero medio de recursos (circuitos) ocupados

Trfico perdido (TP, AL)

Conjunto de llegadas que no pueden atenderse y se pierden

Especialmente relevante en conmutacin de circuitos

TP = TO TC

Trfico en demora/espera (TD, AD)

En ciertos sistemas las llamadas que no pueden atenderse no se pierden, sino que esperan aque haya recursos libres

Se suele emplear en el dimensionado de sistemas de conmutacin de paquetes

En caso de que la capacidad de almacenamiento sea infinita, no se perdera ninguna llamada(sistema de espera pura)


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Ramn Agero Calvo

Trfico: cuantificacinN(t)

Ocupacincircuitos

tiempo

tiempo

1

2

34

5

N(t) se define como el total decircuitos ocupados

Representa el trfico

instantneo Su valor medio representa la

intensidad de trfico

El trfico tambin se puedemedir a partir de la ocupacinindividual de los circuitos

El volumen total es la suma de

los volmenes individuales

==obsTobsobs

TrficoTrfico N(t)dt

T

1

T

VI

En el ejemplo de la figura

A = 2 Erlangs( )=

jjcircuitoTrfico

obs

Trfico VT

1I


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Ramn Agero Calvo

Grado de Servicio El Grado de Servico (Grade of Service, GoS) da idea de la calidad que

perciben los usuarios

Depende fuertemente del tipo de sistema

En sistemas con prdida, se define como la probabilidad de prdida (oprobabilidad de congestin)

Coincide con la probabilidad de que un usuario, al realizar una llamada, se encuentre elsistema sin recursos

En sistemas de demora se suele relacionar con la probabilidad de esperar paradisponer de un recurso

Tambin se puede definir como el tiempo medio de espera antes de obtener un recurso

para cursar la llamada

ofrecidasLlamadas

perdidasLlamadasGoS = TO

TPGoS =


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Ramn Agero Calvo


Trfico





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Ramn Agero Calvo

Introduccin Habitualmente se utilizan modelos matemticos que caractericen las

llamadas en el sistema

El proceso de Poisson es uno de los ms empleados en el mbito de las

telecomunicaciones

Tambin se usa en otros campos: fenmenos electrn/hueco, ruido de shot

El modelo bsico de trfico que se utilizar viene determinado por lassiguientes tres caractersticas

El nmero de llegadas en un tiempo determinado sigue una distribucin dePoisson

La duracin de las llamadas sigue una funcin densidad de probabilidad (fdp)exponencial negativa

La tasa de llegadas al sistema es constante (proceso estacionario)


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Ramn Agero Calvo

Proceso de Poisson Se define un intervalo de tiempo t, con t 0

La probabilidad de que haya una llamada en t

La probabilidad de no haya una llamada en t

Las llegadas son sin memoria

Una llegada en cualquier intervalo t es independiente de lo que sucediera enintervalos anteriores o futuros

Despreciando los trminos en o(t), la probabilidad de que haya ms deuna llamada en t es 0

{ } ( ) 1ttottenllegada1Pr


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Ramn Agero Calvo

Proceso de Poisson Se considera un intervalo T = m t, las probabilidades de que llegue una

llamada en cada uno de los m intervalos son independientes

El nmero total de llegadas en el intervalo T sigue una distribucin binomial

Teniendo en cuenta que:

Tomando lmites (m )

{ } kmkqpk

mTenllegadaskPr

=

( )

( ) ( )k!

m

k!

1km...1mm

!kmk!

m!

k

m k

+

==

m >> k

{ } ( ) ( )( )

kmkkmk

k

m

T1

k!

Tt1t

k!

mTenllegadaskPr

==

{ } ( )( ) T

k

ek!

TTPTenllegadaskPr k

==


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Ramn Agero Calvo

Proceso de Poisson: media y varianza Valor medio (nmero medio de llamadas en T)

Varianza

Notar que el cociente entre la varianza y la media es la unidad para eltrfico de Poisson

Este parmetro da idea del tipo de trfico: suave, a rfagas o aleatorio

( )[ ] ( )

=

=

====0k

kT

0kkkT TT

k!

ek(T)kPTPEK

( )[ ] ( ) ( ) TT(T)PkKTPE 20k

k22

T2K

2KT

===

=


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Ramn Agero Calvo

Tiempo entre llegadas Se define la variable aleatoria como el tiempo entre llegadas consecutivas

La probabilidad de que sea mayor que t coincide con la probabilidad deque no se produzcan llegadas en t

Luego la funcin de distribucin de la variable aleatoria se puede definircomo...

Y la funcin densidad de probabilidad se obtiene derivando la anterior

Origen de tiemposaleatorio

t Primerallegada

( ) { } te1tPrtF ==

{ } ( ) t0 etPtPr ==>

( ) tedt

(t)dFtf

==


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Ramn Agero Calvo

Tiempo entre llegadas El proceso de Poisson implica que el tiempo entre llegadas consecutivos

sigue una distribucin exponencial negativa

Media y varianza (distribucin exponencial)

( ) ( )

1

dtetdtttfE0

t

0

===

( ) ( )2

0

t

2

0

22 1dte

1-tdttf-t

=

==

te te1

tt

1

Funcin densidad de probabilidad Funcin de distribucin de probabilidad


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Ramn Agero Calvo

Tiempo entre llegadas

La caracterstica ms importante de la distribucin exponencial es que essin memoria

De esta manera, el pasado en la evolucin de la variable no tiene ninguna

influencia en los valores futuros Se considera que se ha producido una llegada en t = 0

En t = t0 se observa que no se ha producido ninguna llegada an

Cul es la probabilidad de que se produzca una llegada a partir de t0 en t?

[ ][ ]

[ ][ ] [ ]

[ ]000

0

0000

tPr

tPrttPr

tPr

tttPrt|ttPr

>

++

[ ]

( )( ) ( )( )

( ) tt

tt

t

ttt

00 e1e

e1e

e11

e1e1

t|ttPr 0

0

0

00

+

=

=

=>+

[ ] [ ]tPrt|ttPr 00 =>+


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20


Ramn Agero Calvo

Tiempo entre llegadas

Notar que: [ ] ( ) ( )tot...2!

tt11e1t|ttPr

2

t +=

+==>+

Proceso llegadasPoisson

Tasa de llegadasconstante

Tiempo entre llegadasexponencial

Se demuestra que lacorrespondencia

Proceso llegadas Poisson

Tiempo entre llegadasexponencial

es cierta en ambos sentidos

te

t

( )0t-te

Propiedad sin memoria de la distribucin exponencial


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21


Ramn Agero Calvo

Suma de dos procesos de Poisson

Otra importante caracterstica del proceso de Poisson es que la suma deprocesos independientes dan como resultado otro proceso de Poisson

Analicemos la probabilidad de que el tiempo entre dos llamadasconsecutivas de cualquier proceso sea mayor de t

Proceso

Poisson A

ProcesoPoisson B

Proceso Z

A

B

El tiempo entre llamadas de los

procesos A y B siguen distribucionesexponenciales

[ ]

[ ] t

t

B

A

e1tPr)B(

e1tPr(A)

=

=

[ ] [ ] [ ] [ ]

( )ttt

BABAZ

BABA eee

tPrtPrtt,PrtPr

+ ==

=>>=>>=>

independencia Tiempo entre llegadas

exponencial, con tasa A+B

Proceso ZPoisson con tasaZ = A+B


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Ramn Agero Calvo

Tiempo de servicio exponencial

Se ha asumido que el tiempo de servicio (ts) o duracin de las llamadas enel sistema sigue una distribucin exponencial, con media 1/

Se supone un sistema donde siempre hay llamadas para ser servidas

esperando

La variable aleatoria r (ts) se modela con una distribucin exponencial

Teniendo en cuenta la correspondencia anterior, la variable aleatoriaNmero de llamadas completadas en un tiempo t seguir una distribucinde Poisson

( ) rR erf =

Cola(llamadas siempre

esperando)

Salida

tiempo

ts r

Proceso dePoisson

Salidas del

sistema


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Ramn Agero Calvo

Tiempo de servicio exponencial

Un resultado interesante es la distribucin de la variable aleatoria definidacomo la mnima de variables aleatorias exponenciales (independientesentre s)

Se define la va Z como:

Entonces, su funcin de distribucin ser

Z tambin est distribuida exponencialmente, con media (x

+y

)-1

{ }YX,minZ =

{ } [ ] [ ]{ } { } { } [ ] [ ]{ }

{ } { } { } { } ( ) ( )( )( ) ( )zzz

zz

Z

YxYX

Yx

e1e1e1

e1e1zYPrzXPrzYPrzXPr

zYzXPrzYPrzXPrzYzXPrzZPr(z)F

+

=

+=+=

=+===

independencia


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Ramn Agero Calvo

Contenidos

Introduccin

Trfico





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Ramn Agero Calvo

Planteamiento

Se considera un sistema como sigue:

Y se definen las siguientes variables

A(t): nmero de llegadas acumuladas al sistema en t

D(t): nmero de salidas acumuladas al sistema en t

L(t) = A(t) D(t), nmero de elementos en el sistema en tiempo t

N() es el nmero total de llegadas en un intervalo cualquiera

Se asumir una estrategia FIFO, aunque el resultado es el mismo si se

usan otras disciplinas

Se asume que todas las llamadas sern eventualmente atendidas

Cola ServicioA(t) D(t)


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Ramn Agero Calvo

Demostracin

Se definen los tiempos deespera de cada llamada enla cola como wi

Es fcil ver que

Adems, el valor medio de Len el intervalo es

Y el tiempo medio deespera

tiempo

tiempo

tiempo

tiempo

Llegadas

Salidas

A(t)D(t)

L(t)

1

2

3

4

6

5

1

2

w2

w3

w6

w5

w4

w1=0

( )

=

= N

1jj

0

wL(t)dt

( ) =

0

L(t)dt1

L

( )( )

( )

=

=

N

1jjw

N

1W


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Ramn Agero Calvo

Demostracin

Por tanto, se puede escribir que

Definiendo la tasa de entrada al sistema promedio como

se llega al siguiente resultado

Si se toman lmites y se supone que todas las variables tienden a un valorconstante, se llega a la relacin de Little: L = W

La relacin de Little se puede extender para incluir al elemento que cursalos servicios (siempre que no haya prdida de llamadas)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

NWLNWL ==

( )( )

N=

( ) ( ) ( ) WL =


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Ramn Agero Calvo

Contenidos

Introduccin

Trfico


Relacin de Little




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Ramn Agero Calvo

Introduccin

Proceso estocstico: conjunto de variables aleatorias que dependen deltiempo X(t)

Una cadena de Markov es un proceso estocstico discreto

El sistema puede encontrarse en un conjunto de estados

El estado, en un instante tn, slo depende del estado inmediatamente anterior yno de cmo se llegara a l

La evolucin futura del sistema slo depende del estado actual

Se suelen representar y analizar a travs de las matrices de transicin(probabilidades de pasar de un estado a otro)

Los procesos de nacimiento y muerte son cadenas de Markov en las queslo es posible pasar de un estado al posterior (nacimiento) o al anterior(muerte)

En los problemas de dimensionado se utilizan procesos de nacimiento ymuerte, en los que cada estado representa, por ejemplo, el nmero declientes en el sistema


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Ramn Agero Calvo

Procesos de nacimiento y muerte

Analicemos las posibles transiciones en un intervalo t del estado delsistema

(2) En t estaba en el estado N+1

Ha habido una muerte y no se ha producido ningn nacimiento en t

(3) En t estaba en el estado N-1

Se ha producido un nacimiento y no ha habido ninguna muerte en t

tiempot + tt

N N

N+1

N-1

Muerte (2)

Nacimiento (3)

Sin cambio (1)

Calculemos la probabilidad de queen t+t el sistema est en el estado

N (o que haya N usuarios en elmismo)

(1) En t estaba en el estado N

(a) No ha habido ningn nacimiento,

ni ninguna muerte en t (b) Se ha producido un nacimiento,

pero tambin una muerte en t


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Ramn Agero Calvo


La tasas de nacimiento y muerte en el estado j sern, respectivamente, j yj

Luego la probabilidad del estado N en t+ t, PN(t+ t), vendr dada por:

Despreciando trminos en o(t)

( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]tot1ttP

tot1ttP

totttPtot1t1tPttP

1N1N1N

1N1N1N

NNNNNNN

++

+++

++++=+

+++

(1)

(2)

(3)

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]ttPttPt1tPttP 1-N1N1N1NNNNN ++ +++=+

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]{ }

( ) ( )( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]1-N1N1N1NNNN

NN

1-N1N1N1NNNNNN

tPtPtPt

tPttP

ttPtPtPtPttP

++

++

+++=+

+++=+


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Ramn Agero Calvo


Recordemos la definicin de derivada

Si asumimos que estamos en el rgimen estacionario, PN(t) es constante(PN), por lo que la derivada, PN(t), es cero

Se tiene finalmente que

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tPtPtPtPt

tPttPtP 1N1N1N1NNNNN

NNN ++ +++=

+=

( ) 1N1N1N1NNNN PPP ++ +=+ Ecuacin de Equilibrio

(flujo de salida = flujo de entrada)

0 1 N-2

N-1

N N+1

21 N-1 N N+1 N+2


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Ramn Agero Calvo

Proceso de nacimiento y muerte

Se pueden utilizar otras ecuaciones de balance

Sucesivamente podramos llegar a

Adems se requiere que la suma de todas las probabilidades sea 1

0 1 N-2

N-1

N N+1

21 N-1 N N+1 N+2

1-N

N

1-NN1-N1-NNN PPPP

==

= +

=1N

0i 1i

i0N PP

=

= +

=

= +

= +

==+=

1k

1k

0i 1i

i

01k

1k

0i 1i

i00

0kk

1

1P1PP1P

R d T l f i T 2 T l t fi Di i d d i t


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Ramn Agero Calvo

Aplicacin al dimensionado de sistemas

A partir de las probabilidades de estar en cada estado se derivan losparmetros necesarios para caracterizar el sistema

Cada sistema en particular viene definido por las tasas de nacimiento y

muerte de cada estado y por otros parmetros adicionales

Se emplea la notacin de Kendall (A/B/C/D/E/F)

A: Distribucin de llegadas al sistema

Cuando se trata de un proceso de Poisson, se utiliza la letra M (memoryless)

B: Distribucin de los servicios Si es una variable aleatoria exponencial, tambin se emplea la letra M (memoryless)

C: Nmero de servidores (recursos) disponibles

D: Nmero de estados en el sistema (si no se indica se asume que es )

La diferencia entre D y C suele asociarse con las posiciones en el subsistema deespera del sistema

Cuando es , se trata de un sistema de espera pura (no hay prdida)

E: Nmero de fuentes (si no se indica se asume que es )

F: Disciplina de la cola (si no se indica se asume FIFO)

Redes Telefnicas Tema 2: Teletrfico Dimensionado de sistemas


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Ramn Agero Calvo

Cola M/M/1

Se trata de un sistema en el que...

Las llamadas siguen un proceso de Poisson de intensidad

La distribucin del tiempo de servicio es exponencial, con media 1/

Slo hay un nico servidor para atender las peticiones La cola de espera es infinita, as que no hay prdida

Para plantear el diagrama de estados

La tasa de nacimiento no depende del estado actual (Proceso de Poisson)

Como slo hay un nico servidor, la tasa de muerte ser la misma para todos losestados ()



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Ramn Agero Calvo

Cola M/M/1

Planteando la ecuacin de equilibrio y asumiendo que el trfico es =/

Adems la suma de las probabilidades de estar en cada estado tiene queser la unidad

Con lo que finalmente se obtiene la probabilidad de cada uno de los estadosque forman parte de la cola

0N

2-N2

1-N1-NN1-NN P...PPPPPP

======

====

=

=

=

11

P1P1P

0k

k

0

0k

k0

0k

k

< 1

( ) -1P NN =



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Ramn Agero Calvo

Cola M/M/1

A partir de dicho resultado se puede caracterizar el sistema

Nmero medio de clientes en el sistema

Nmero medio de clientes en la cola

Tiempo medio en el sistema y en la cola, aplicando la relacin de Little

( ) ( ) ( )

( )

=

=

=

====

=

=

=

=

11

1

d

d1

d

d1k11kkPN

0k

k

0k

1-k

0k

k

0k

k

( ) ( ) ( ) ( )

====

=

+

=

= 11t11-kP1-kN

2

0t

1t

1k

k

1kkw

=

==11

1

NWS

=

==

1

1

NW

2W

W

11WW WS =

=



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Ramn Agero Calvo

Contenidos

Introduccin

Trfico


Relacin de Little





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Ramn Agero Calvo

Sistema con prdidas: M/M/S/S

Se dispone de una poblacin infinita que genera llamadas

Tasa de llamadas constante () Proceso de Poisson

Las llamadas son cursadas por un grupo de S circuitos

No hay sistema de espera

Cuando una llamada entrante encuentra todos los circuitos ocupados se pierde

Se supone que la duracin de cada llamada sigue una distribucinexponencial negativa, con media 1/

Poblacin

1

2

S

TO TC

TP

1

2

S

1/

1/

1/



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40Ramn Agero Calvo


En este caso el nmero de estados en el sistema es finito (S)

La tasa de nacimiento es constante (proceso de Poisson y poblacin infinita)

La tasa de muerte de cada estado es k (ya que en cada estado puede finalizar

cualquiera de las k llamadas en curso)

(i-1) i (i+1) (i+2) S

( )

( )( ) 2-i2-i1-i2-i1-i

0

i

2-i

2

1-i1-ii1-ii

P1-i

AP

1-iPPP1i

Pi!

AP

1ii

AP

i

AP

iPPPi

===

==

=====



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41Ramn Agero Calvo


Luego la probabilidad de estar en cada estado ser

La probabilidad de bloqueo es la probabilidad de que una llamada entrantese encuentre el sistema ocupado (PS)

Nmero medio unidades en el sistema (coincide con el trfico cursado)

=

==

===S

0k

k0

S

0k

k

0

S

0k

k

k!

A

1P1

k!

AP1P

=

=S

0k

k

i

i

k!A

i!

A

P

=

==S

0k

k

S

S

k!

AS!A

PPBFrmula Erlang-B

EB(S,A)

( )( )PB1A

S!

A

t!

A

j!A

A

t!

A

j!A

1

!1-k

A

j!A

1

j!A

k!A

kkPNS

0t

St

S

0j

j

1-S

0t

1t

S

0j

j

S

1k

k

S

0j

j

S

0kS

0j

j

kS

0k

k =

=====

=

=

=

+

=

=

=

=

=

=



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42Ramn Agero Calvo


Como es un sistema con prdidas, la relacin de Little no se puede aplicardirectamente

Uso de la tasa de llegadas cursada

La frmula de Erlang-B se emplea a travs de grficas y tablas, aunque sepuede resolver recursivamente

( )

=

=

==S

0k

k

SS

0k

k

S

k!

A

A

S!

A)EB(S,

1

k!A

S!

A

AS,EB( )

=

=1-S

0k

k

1-S

k!

A

A

!1-S

A)1,-EB(S

1

( )( )

1A1,SEB

1

A

S1

k!

A

A

!1S

A

S

S!

A

k!

A

A

S!

k!

A

A

S!

A)EB(S,

1 1-S

0k

k

1S

1-S

0k

Sk

S

S

0k

k

S+

=+

=

+== =

==

( )( )

( )( )A1,SAEBS

A1,SAEBA)EB(S,

A1,SAEB

A1,SAEBS

A)EB(S,

1

+

=

+=



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43Ramn Agero Calvo


0 2 4 6 8 10 12 14 1610

-3

10-2

10-1

100

Trfico ofrecido (Erlangs)

Probabilidad

bloqueo

S = 1

S = 25



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44Ramn Agero Calvo


El GoS se asocia a la probabilidad de prdida (PB)

Para la misma ocupacin de circuitos, la probabilidad de encontrar todosocupados es menor a medida que crece el nmero de circuitos

Para una GoS constante, la eficiencia por circuito crece con el TO

Es mejor concentrar el trfico en un solo grupo, que dividirlo en varios

0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Trfi

co

cursado

porcirc

uito

0 2 4 6 8 10 12 14 161

4

7

1013

1619222528


Se

rvidoresnecesario

s

PB 0.002

PB 0.2

PB 0.02PB 0.002

PB 0.2

PB 0.02



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45Ramn Agero Calvo


Deterioro del GoS frente a % de sobrecarga

Se puede ver que afecta en mayor medida a los grupos de circuitos grandes

Se especifican dos criterios de diseo: uno para carga normal y otro para cierto

nivel de sobrecarga

0% 5% 10% 15% 20% 25%0

0.005

0.01

0.015

0.02

Porcentaje de sobrecarga

Probabilidad

de

blo

queo

S=100

S=25

S=50

S=5

S=10

S=15

S=20



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46Ramn Agero Calvo

Sistema de espera pura: M/M/S

Se dispone de una poblacin infinita que genera llamadas

Tasa de llamadas constante () Proceso de Poisson

Las llamadas son cursadas por un grupo de S circuitos

Se asume que hay sistema de espera (con longitud infinita)

Cuando una llamada entrante encuentra todos los circuitos ocupados esperahasta que quede alguno libre

Se supone que la duracin de cada llamada sigue una distribucin

exponencial negativa, con media 1/

Poblacin

1

2

S

TO TC=TOCola

1

2

S

1/

1/

1/



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47Ramn Agero Calvo


En este caso el nmero de estados en el sistema es infinito

La tasa de nacimiento es constante (proceso de Poisson y poblacin infinita)

La tasa de muerte de cada estado es k hasta el estado S, ya que puede finalizarcualquiera de las k llamadas en curso

A partir del estado S, la tasa de muerte es S, ya que slo hay S llamadas encurso (el resto estn esperando)

Para i S (no se est en el subsistema de espera)

i SSS

SS(S-1)

( )

( )( ) 2-i2-i1-i2-i1-i

0

i

2-i

2

1-i1-ii1-ii

P1-i

AP

1-iPPP1i

Pi!

AP

1ii

AP

i

AP

iPPPi

===

==

=====



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48Ramn Agero Calvo


Para i > S (subsistema de espera)

Como S+j = i

Luego

2j-S2j-S1j-S2j-S1j-S

Sj

j

2j-S2

2

1j-S1j-SjS1j-SjS

PSAP

SPPPS

PS

AP

S

AP

S

AP

SPPPS

+++++

++++++

===

=======

0Si

i

0

S

Si

Si

0

S

SSSi

Si

i PSS!AP

S!A

SAP

S!APP

SAP

==

===

>

=

SiP

S

1

S!

A

SiPi!

A

P

0Si

i

0

i

i



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49Ramn Agero Calvo


Como la suma de todas las probabilidades tiene que ser 1

Tenemos finalmente que

SA1

SA

S!

A

S

A

S!

A

S!

A

S

A

S

1

S!

A

SA1

SA

S!

A

k!

A

1P1

S

1

S!

AP

k!

AP1P

S

0t

1tS

1Sk

SSk

1SkSk

k

S

0k

Sk0

1SkSk

k

0

S

0k

k

00k

k

=

=

=

+

==+=

=

+

+=

+=

=

+=

=

=

A < S

>

+

+

=

=

=

Si

AS

A

S!

A

k!

A

1

S

1

S!

A

Si

AS

A

S!

A

k!

A

1

i!

A

P

S

0k

SkSi

i

S

0k

Sk

i

i


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51Ramn Agero Calvo


La frmula de Erlang-C se puede relacionar con la de Erlang-B

Para evitar tener que realizar factoriales, se puede resolver la de Erlang-B demanera recursiva y utilizar esta relacin para resolver la frmula de Erlang-Ccomputacionalmente

( )

( ) ( )

( )

( )( ) ( )( )AS,EB1AS

A)SEB(S,

AS,AEBAS

AS,SEB

AAS

AS,EB

1

S

AAS

S!A

k!

A

S

AS

A

S!

A

k!

AAS

S

S!

A

AS,EC

S

S

0k

kSS

0k

k

S

=

+=

=

+

=

+

=

+

=

==



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52Ramn Agero Calvo


0 2 4 6 8 10 12 14 1610

-3

10-2

10-1

100


Probabil

idad

espera

S = 1

S = 25



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53Ramn Agero Calvo


En un sistema de espera pura, la calidad de servicio viene dada por laprobabilidad de esperar o por el tiempo de espera

Aplicando la relacin de Little se puede obtener el tiempo medio de espera

en la cola

Tambin se podra emplear la probabilidad de que el tiempo de estancia enla cola de espera fuera mayor de un cierto lmite

( ) ( )( )AS

1AS,EC

1

AS

AAS,EC

NW WW

=

==

{ } ( ) ( )AS,ECeRetardoPr AS =>

Pr{Retardo > | Retardo > 0} Pr{Retardo > 0}



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54Ramn Agero Calvo

Sistemas con desbordamiento

El modelo que se plantea es unapoblacin infinita, ofreciendo untrfico de Poisson a un grupo decircuitos de primera eleccin

El trfico perdido (desbordado) poreste primer grupo de circuitos, seofrece a un segundo grupo decircuitos

El trfico desbordado NO es unproceso de Poisson

Las llamadas no son aleatoriascompletamente

Cuando una llamada encuentra elprimer grupo completo, es ms

probable que la siguiente llamadatambin lo haga

Se trata de un proceso de PoissonINTERRUMPIDO

Poblacin

1

2

N

TO1 TC1

TO2 = TP1

1

2

M

TC2

tiempoProcesos Poisson

Proceso Poisson Interrumpido

Congestin en

primer grupo

Congestin en

primer grupo



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55Ramn Agero Calvo


Uso en el diseo de redes decomunicacin

Los enlaces directos entre nodos(centrales) slo se establecen

cuando el trfico es elevado Rentabilidad

Los enlaces directos se diseanpara que tengan una eficienciaelevada

Supone una prdida alta

Se utilizan caminos alternativos (atravs de centrales tandem) parael trfico desbordado

Si el trfico entre dos nodos esbajo no se justifica el uso de unenlace directo

El trfico de desbordamiento no esestrictamente de Poisson

Para facilitar el diseo de la red seasume que s lo es

Hay mtodos ms exactos,basados en obtener un trfico dePoisson equivalente (p.ej. Rapp)

Ruta directa(Elevado uso)

Ruta alternativa(Desbordamiento)


Si d b d i


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56Ramn Agero Calvo


Se tiene la red de la figura, y sumatriz de trfico correspondiente

1 2

3

T

1

2

3

1 2 3

-

-

-

T12 T13

- -

- T32Matrizde

trfico

(ERLAN

GS)

1.Se dimensiona el enlace L12 a partir de T12- Nmero de circuitos necesarios para llegar a unaPB (o eficiencia) objetivo

- Se calcula el trfico desbordado por este grupo de

circuitos

2.Se calcula el trfico total ofrecido al enlace L1T,como suma del desbordado por L12 y T13

- Se utiliza para calcular el nmero de circuitosnecesarios en L1T (PB objetivo)

- Se calcula el trfico cursado por este grupo decircuitos

3.Se dimensiona el enlace L3T a partir de T32- Se calcula el trfico cursado por L3T

4.Se calcula el trfico ofrecido a LT2

como sumadel ofrecido de 1 a 2 (T12), desbordado por L12 ycursado por L1T y el ofrecido de 3 a 2 (T32) ycursado por LT3

- Se usa este trfico para dimensionar LT2


Si t d b d i t


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57Ramn Agero Calvo


1 2

3

T

L12 TO12=T12PBDirecta N12 PB12=EB(N12,TO12)

L1T TO1T=T13+T12PB12PBFinal N1T PB1T=EB(N1T,TO1T)

L3T TO3T=T32PBFinal N3T PB3T=EB(N3T,TO3T)

LT2TOT2=T12PB12(1-PB1T) +

+T32(1-PB3T)PBFinal NT2 PBT2=EB(NT2,TOT2)

EnlacePB

ObjetivoTO total

# circuitos(Tablas)

PB Final

1

2

3

1 2 3

-

-

-

T12 T13

- -

- T32Matrizdetrfico

(ERLANGS)

LT3 PBFinal N3T PB3T=EB(N3T,TO3T)TOT3=T13 (1-PB1T)

Documents

Teletrafico,Dimensionamiento de Sistemas