Télédétection et Traitement des images

V4.2 © CNES 2004Cours QI : Résolution 1/188

Télédétection etTraitement des images

La résolution


Mauvaise restitution des détails Bonne restitution des détails


Introduction (2/8)

Qu’est-ce que la résolution ? la réponse n’est pas facile : terme vague pour lequel on rencontre

plusieurs « définitions » capacité d ’un système imageur à restituer l’information contenue

dans le paysage observé ( par exemple, la netteté) quelques « définitions » usuelles :

pouvoir séparateur : distance mini pour séparer 2 objets voisins (lignes, points ....) taille du détecteur élémentaire projeté au sol et/ou pas d ’échantillonnage champ de vue instantané (IFOV en anglais) : taille angulaire du détecteur

élémentaire nombre maximal perceptible de paires de lignes par unité de longueur d’un motif

périodique ( = fréquence spatiale maximale perceptible)


Introduction (3/8)

Traduction quantitative de notions subjectives : Détecter moindre résolution Reconnaître haute résolution Identifier des objets présents dans une image très haute résolution

Difficile car dépendant de l’application Ne peut se résumer à un chiffre car interviennent :

Les performances instrumentales la capacité de l ’instrument à restituer les détails les plus fins le niveau de bruit (cf. radiométrie des images)

La grille d’échantillonnage


Effet d’une mauvaise restitution des contrastes

FTM élevée FTM moyenne FTM faible

Introduction (4/8)


Trop de bruit peut noyer un détail haute fréquence

Aucun bruit Bruit important Bruit très important

Introduction (5/8)


Echantillonnage inadapté à l’instrument

Image bien échantillonnée Image sous-échantillonnée

Introduction (6/8)


Introduction (7/8)

Point important de vocabulaire : « résolution RADIOMETRIQUE » :

capacité à distinguer deux zones étendues de réflectances voisines exprimée en pas de quantification ou en unité physique

« résolution SPATIALE » : restitution fidèle des détails du paysage (netteté des images + échantillonnage correct) exprimée en mètres


Introduction (8/8)

Comment aborder la notion de résolution ? on passe en revue les différents éléments constituant le système on privilégie le comportement vis à vis des variables d’espace en simplifiant :

radiométrie comportement du système face à un paysage uniforme résolution spatiale comportement du système face aux variations spatiales suivant x

et y du paysage résolution = couplage des deux

Démarche adoptée : Analyse de la chaîne Image : modélisation des différents contributeurs physiques On aboutira à un modèle où la convolution joue un rôle central Analyse plus aisée dans le domaine de Fourier : TF(h*g)=TF(h).TF(g)

Résolution mesurée dans le plan de Fourier


Plan de l’exposé (1/2)

Analyse de la chaîne image Vue d’ensemble L’atmosphère Le télescope Les détecteurs Le reste de la chaîne de prise de vue Le modèle de prise de vue dans le domaine spatial

Passage au domaine fréquentiel Le modèle de prise de vue dans le domaine de Fourier Les fonctions de transfert des éléments de la chaîne et la fonction de

transfert globale


Plan de l’exposé (2/2)

Effet de l’échantillonnage Rappels théoriques (1D) Cas de la grille image (2D)

Adaptation échantillonnage / instrument Traitement des images

Interpolation des images Déconvolution des images Débruitage des images

Bibliographie Annexe : Rappels d’analyse de Fourier


Analyse de la chaîne image


Analyse de la chaîne image (1/25)Vue d’ensemble

Cas typique : système pushbroom type SPOT

optique

détecteurs

électronique

(x,y) continusI(x,y) continu

Paysage L Instrument Image I

(x,y) continusL(x,y) continu

(x,y) échantillonnésI(x,y) continu

(x,y) échantillonnésI(x,y) quantifié

CANn bits


Chacun des éléments constituant la chaîne instrumentale est assimilé à un système linéaire et spatialement invariant

linéarité : I(aP1 + bP2) = aI(P1)+bI(P2) invariance spatiale : I(Pdécalé) = (I(P))décalé

L’effet de chaque contributeur i est alors modélisable par un produit de convolution avec une fonction hi appelée réponse impulsionnelle : Si(e) = e*hi

hi est par définition l’image d’un point par le contributeur i, en général une tache

La réponse impulsionnelle globale est le produit de convolution des réponses impulsionnelles des divers contributeurs

Analyse de la chaîne image (2/25)Vue d’ensemble


Analyse de la chaîne image (3/25)L’atmosphère

Les phénomènes et leur impact : absorption gazeuse atténuation, pas d’impact sur la résolution diffusion par les molécules et les aérosols

lumière issue du sol n’atteignant pas le télescope : atténuation lumière n’ayant pas rencontré le sol : fond lumière issue de l’environnement du point visé : fond ou dégradation de la résolution

turbulence modification de l’indice de réfraction : scintillement : bruit flou : dégradation de la résolution


Analyse de la chaîne image (4/25) L’atmosphère

La diffusion : la contribution de l’environnement fait intervenir une fonction radiale

décroissante hdif dont le rayon du support S est l’ordre du km

effet de fond pour les échelles inférieures à 100 m :

effet de flou pour les échelles supérieures à 100 m

constante),(),(),(

),(),(

000000

0000

S

sol

diffdiff

dydxyxhyxLyxL

yxhyyxxh

diffenv

),(*),(),(),( 000000 yxhLdydxyyxxhyxLyxL diffdiffenv sol

S

sol



La turbulence : variations d’indice déformation de la surface d’onde trajet non

rectiligne de la lumière effet d’environnement on peut reprendre le formalisme vu pour la diffusion la contribution de l’environnement fait intervenir une fonction radiale

décroissante hturb dont le rayon du support S est l’ordre de quelques centimètres

effet négligeable aux échelles supérieures ou égales à 20 cm effet de flou aux échelles inférieures ou égales à 20 cm

l’impact est d’autant plus fort que la turbulence est loin de la source fort en astronomie faible pour l’observation de la terre



Rôle de la distance entre la source et les turbulences : Source loin des turbulences (astronomie) :

source capteur

Le front d’onde varie localement

selon la turbulence

Turbulence



Source près des turbulences (observation de la terre) :

source capteur

Le front d’onde varie assez peu

localement

Turbulence


Analyse de la chaîne image (8/25) Le télescope

Cf cours diffraction et optique de Fourier : le télescope est un système linéaire vis à vis des luminances (lumière

incohérente) et spatialement invariant l’image d’un point lumineux est une tache même pour un télescope parfait du fait de la

diffraction : sa réponse impulsionnelle hopt(x,y) la connaissance de hopt(x,y) suffit pour caractériser le télescope :

paysage = somme de points lumineux pondérés juxtaposés image = somme pondérée des réponses impulsionnelles juxtaposées

plus hopt est large, moins l’instrument est résolvant

dans le cas réel, d’autres phénomènes que la diffraction vont contribuer à élargir hopt : aberrations, défauts de réalisation ....


Analyse de la chaîne image (9/25)Le télescope

Notations : i_géom = image prévue par l ’optique géométrique i = image réelle P = paysage hopt = réponse impulsionnelle = grandissement

Optique géométrique : i_geom représente le paysage au grandissement près

Optique de Fourier :

LISSAGE de i_geom par la réponse impulsionnelle

),)(*_(

),().,(_),( 000000

yxhgéomi

dydxyyxxhyxgéomiyxi

opt

opt

),(),(_ yxPyxgéomi



Analogie avec l ’électronique :Temps t (seconde)

fréquence f d’une sinusoïde temporelle (hertz)

stationnarité

réponse impulsionnelle h(t)

Position x,y (mètre)

fréquence spatiale (fx,fy) d’un motif périodique (mètre-1)

invariance spatiale

tache image h(x,y)



Point lumineux en entrée de l’instrument physiquement : « impulsion » optique mathématiquement : dirac (x,y)

Résultat dans l’image: physiquement : réponse à un point lumineux = tache image mathématiquement : h(x,y)* (x,y)=h(x,y)

Normalisation de la réponse impulsionnelle entrée = paysage uniforme de luminance L

sortie = image uniforme de niveau

normalisation de h pour que sortie = entrée lorsque le paysage est uniforme

dxdyyxhLdudvvyuxhL optopt ),(.),(.

1),(

dxdyyxhopt



Interprétation physique (suite) : correspondance entre tache image et surface contribuant au niveau du

pixel dans l’image :

Image du point A = tache centrée sur A ’

A’ = image géométrique de A

Altitude Focale

A’

A

B’

B

Voisinage de B contribuant

à la mesure en B ’



Exemple : réponse impulsionnelle d’un télescope à pupille circulaire limité par la diffraction

théorie : réponse impulsionnelle = |TF(circ(r))|² = fonction d’Airy

1 TF


Analyse de la chaîne image (14/25)Les détecteurs

Surface photosensible du détecteur élémentaire rectangle de côtés px et py

Distance entre détecteurs élémentaires = x

Distance entre les lignes = y

y=Vsol .te, en général on règle te (temps d’échantillonnage) pour que x= y

px

py

x

y


Analyse de la chaîne image (15/25) Les détecteurs

Intégration sur la surface élémentaire : Luminance équivalente L Surface du détecteur Sd

Quantité de charges Q

cette quantité peut s’écrire comme un produit de convolution avec une fonction hdétecteur,valant idéalement 1 sur sa surface photosensible et 0 en dehors.

dS

dsyxLyxQ ),(~),( 00

),(*),(),(~),( 00détecteur00détecteur00 yxhLdxdyyyxxhyxLyxQs

Convolution (1D)*


Analyse de la chaîne image (16/25) Les détecteurs

Intégration sur la surface élémentaire hdétecteur est la réponse impulsionnelle associée au détecteur détecteur parfait

tout le détecteur est photosensible la sensibilité est constante sur toute la surface photosensible un détecteur n’a pas d’influence sur ses voisins

hdétecteur idéal = 1 sur la surface normalisée du détecteur, 0 à l’extérieurhdétecteur idéal = produit séparable d’une fonction porte en x par une fonction porte en y

détecteur réel un détecteur influe sur ses voisins (diffusion des charges) h détecteur réel ne vaut pas strictement 0 à l’extérieur du détecteur


Analyse de la chaîne image (17/25) L’effet de filé

Déplacement durant le temps d’intégration : effet de filé un bougé durant la prise de vue introduit du flou cas général d’un satellite défilant :

satellite défilant sur paysage fixe = paysage défilant et satellite fixe effet = moyennage du paysage dans la direction de défilement

cas particulier du pushbroom défilement orthogonal à la ligne détectrice : vitesse sol V, temps de pose ti Dist=Vti en général ti = te moyennage du paysage dans la direction y sur une distance égale à Vti

convolution avec une fonction porte 1D de la variable y, de largeur Vti

2/

2/

0000 ),(),(i

i

Vt

Vt

filé dyyyxLyxL


Analyse de la chaîne image (18/25) L’effet de filé

Illustration du filé: effet de flou monodimensionnel

référence Filé vertical 5 pixels Filé horizontal 5 pixels

Mire horizontale floue Contour vertical flou


Analyse de la chaîne image (19/25) Echantillonnage du signal continu

Signal issu d’un détecteur : résultat d’un produit de convolution en (x0,y0)

Signal du détecteur voisin : valeur du même produit de convolution pris au point (x0+x,y0)

Signal sur la ligne suivante : valeur du même produit de convolution pris au point (x0,y0+y)

valeur du pixel (i,j)

valeur du pixel (i,j+1)

valeur du pixel (i+1,j)

barrettex

y

Colonne jColonne j+1

Ligne i+1Ligne i

déplacement


Analyse de la chaîne image (20/25) Echantillonnage du signal continu

En sortie détecteur, l’image correspond donc au produit de convolution obtenu pris sur une grille:

ji

yxfilédétecteuroptatm iyjxyxhhhhLS,

),(),(****.A

NB: dans tout ce qui suit, les réponses impulsionnelles sont normalisées (intégrale = 1)

A est le coefficient d ’étalonnage absolu( conversion luminance / compte numérique )


Analyse de la chaîne image (21/25) le reste de la chaîne de prise de vue

Les phénomènes linéaires intervenant après l’échantillonnage par le détecteur

ex : diffusion, inefficacité de transfert peuvent être restitués par des réponses impulsionnelles élémentaires convolution discrète

Regroupement des réponses impulsionnelles élémentaires avant le peigne représentant l’échantillonnage :

Commutativité de l’échantillonnage et de la convolution discrète


Analyse de la chaîne image (22/25) le reste de la chaîne de prise de vue

L’amplification, la mise en forme du signal ne joue que sur l’amplitude globale du signal et ne modifie pas la réponse impulsionnelle

La chaîne d’acquisition ajoute au signal convolué/échantillonné différents bruits (cf radiométrie)


Analyse de la chaîne image (23/25) modèle de prise de vue dans le domaine spatial

Notations : h1, h2 … hn réponses impulsionnelles élémentaires normalisées

h = h1*h2*…*hn réponse impulsionnelle globale normalisée

A : coefficient d’étalonnage absolu

Modèle : bruitiyjxyxhpaysageimage

ji

yx ,

),(),(*.A

nnageéchantillol' à associé dirac de Peigne)iy,jx(j,i

yx


Analyse de la chaîne image (24/25) modèle de prise de vue dans le domaine spatial

Exemple : SPOT

pas d’effet lié à l’atmosphère

télescope : hopt(x,y) tache d’Airy = (plan focal)

intégration détecteur :

filé :

réponse impulsionnelle globale = hopt* hdétecteur*hfilé

yxyxdétecteur p

yrect

p

xrect

ppyxh

1),(

xVti

yrect

Vtiyxh filé .1),(

DF

yx

DF

yxJ

22

22

12


Analyse de la chaîne image (25/25)résumé

L'instrument est assimilé à un système linéaire et spatialement invariant

L’effet de chaque élément de la chaîne instrumentale i est alors modélisable par un produit de convolution avec une fonction hi

appelée réponse impulsionnelle

Les détecteurs provoquent un échantillonnage

Au final : sortie = entrée*(réponse impulsionnelle).peigne


Passage

dans le domaine fréquentiel


Le domaine fréquentiel (1/18) Le modèle dans le domaine de Fourier

Modèle dans le domaine spatial produits de convolution Passage dans le domaine de Fourier pour :

transformer ces produits de convolution en produits simples interpréter plus facilement le modèle en termes de fréquences spatiales

Modèle dans le domaine fréquentiel : on l’obtient par Transformation de Fourier du modèle dans le domaine

spatial :

ji, yy

xxyxyx Δ

if,

Δ

jfδ*f,fHf,fpaysageTFimageTF


Le domaine fréquentiel (2/18) Les fréquences spatiales

xf02sin ysinθxcosθ2sin 0 f

0x0x ffδffδ2i

1

fx

fy

δ(x)1(y)

yx f)δ1(f '0

'0 ffδffδ

2i

1

fx

fy

x

y

x

y

0a constante

.δa :continu 0

2D fréquence Haute

HFen δ pics 4

Domaine spatialDomaine de Fourier



fx,fy sont des fréquences spatiales et s’expriment en mètre-1

H(fx,fy) = fonction de transfert globale, produit des fonctions de

transfert élémentaires :

H(fx,fy) = H1(fx,fy).H2(fx,fy). … Hn(fx,fy)

|H (fx,fy) |=Fonction de Transfert de Modulation (FTM)

peigne de pas

ji yx

iy

jfx

,

),( eyexyx

ff ;1

;1



fex et fey sont les fréquences d’échantillonnage (m-1)

et sont des fréquences spatiales normalisées

Propriétés :

H(0,0) = 1 puisque par normalisation

Hors traitement, FTM(fx,fy) = fonction décroissante

h(x,y) réelle et paire H(x,y) réelle et paire

Attention ! par abus de langage on confond souvent FTM et Fonction de

transfert .

1),(

dxdyyxh

ex

x

f

f

ey

y

f

f



Interprétation physique de la FTM : mire sinusoïdale de période a variant selon x fréquence pure fx=1/a (contraste image de la mire) / (contraste de la mire) = FTM(fx=1/a, fy=0)

d’où FTM élevée bonne restitution des contrastes netteté

FTM faible mauvaise restitution des contrastes flou



instrument

A A’

Si on fixe le contraste A et que l’on mesure le contraste A’ à chaque fréquence, la courbe A’/A est la FTM

Entrée Sortie



le contraste diminue lorsque la fréquence augmente

Image en entrée

Image filtrée


Effet de la FTM sur l’image : restitution des contrastes

“Bonne” FTM : image nette “Mauvaise” FTM : image floue



Le domaine fréquentiel (9/18) Fonctions de transfert élémentaires et globale

FTM de l’atmosphère : Diffusion :

Turbulences : FTM due à la turbulence (modèle de Kopeika)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5

Fréquence ( m -1 )

FT

M

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Fréquence ( km -1 )

FT

M

SPOT


FTM optique : Limitation théorique due à la diffraction optique :

Pupille circulaire : taille angulaire de la tache de diffraction = 1.22 / D

D : diamètre de l'optique collectrice et la longueur d'onde

taille = dans le plan focal (F, focale du télescope)

taille = au sol

Les fréquences spatiales au-delà de ne sont pas transmises.

Les fréquences spatiales sont atténuées entre 0 et fc

Ordre de grandeur : SPOT PA =0.6 µm, D=0.33 m f=1.082 m diamètre de la tache=2.4 µm

A comparer à la taille du détecteur (13x13 µm2) !

D

fc

Le domaine fréquentiel (10/18)Fonctions de transfert élémentaires et globale

D

F22,1

D

H22,1



FTM optique (suite) Cas général : la FTM optique est la fonction d’autocorrélation de la pupille d’entrée

(aire de l’intersection en fonction du décalage)

Pour l’intrument à pupille circulaire

limité par la diffraction:

2

1Arccos2

cccc f

f

f

f

f

f

f

fFTM

FTM théorique de l’optiqueRéponse impulsionnellethéorique de l’optique

f < fc

Pas de recouvrement si f > diamètre fréquentiel du disque

Fréquence de coupure fc = D/

f > fc



FTM optique (fin): Chaque combinaison optique théorique possède une FTM dégradée par

rapport à ce cas idéal (astigmatisme, aberrations, occultation) Les problèmes de réalisation (homogénéité, polissages...) et de

positionnements relatifs (défocalisation, tilts...) des optiques dégradent encore la performance.

Diverses modélisations : linéaire diffraction dégradation % diffraction

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

fréquence normalisée

FT

M

Diffraction sans occultation

FTM_réelle

Modèle linéaire


FTM Détecteur : Le détecteur va intégrer le signal sur sa surface : sa réponse

impulsionnelle théorique est une fonction porte bidimensionnelle dont la transformée de Fourier est :

avec fx et fy les fréquences spatiales suivant les axes X (barrette) et Y (défilement) et px et py les tailles du détecteur selon X et Y

yy

yy

xx

xx

yx fp

fp

fp

fpffFTM

..

..sin.

..

..sin),(


Réponse impulsionnellethéorique du détecteur

En réalité, la FTM est dégradée, surtout

dans la direction fx

(diffusion de charges interdétecteurs)

FTM théorique du détecteur


FTM de Filé : Le détecteur bouge par rapport au paysage pendant le temps

d'intégration ti : ce déplacement va moyenner le signal selon l'axe Y sur une longueur de V.ti. La FTM associée est donc :

y

yyx Vtif

VtifffFTM

sin

),( Réponse impulsionnelle du filé


)(1).(),( ]2/,2/[ yxyxh VtiVti

FTM de FiléRéponse impulsionnelle de filé



FTM globale : La FTM est essentiellement le produit de 3 contributeurs :

Télescope : la FTM est d’autant meilleure que le rapport focale/diamètre est petit coupure de l’optique : D/ en rad-1, D/(F) en m-1 dans le plan focal

Détecteur : la FTM est liée à la taille du détecteur (px; py) coupure du détecteur : (F/px; F/py) en rad -1, (1/px; 1/py) en m-1 dans le plan focal

Filé : la FTM est liée au déplacement du point visé pendant le temps d’intégration coupure du filé selon l’avancement : H/(Vti) en rad -1, H/(FVti) dans le plan focal

L’instrument est un filtre passe-bas pour les fréquences spatiales, sa fonction de transfert est globalement décroissante



Exemple : allure de la courbe de FTM globale (coupes) pour SPOT :

S1 HRV1 Pa

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3

Fréquence normalisée

Fo

nct

ion

de

tran

sfer

t lig

ne

S1 HRV1 Pa

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3

Fréquence normalisée

Fo

nc

tio

n d

e t

ran

sfe

rt

co

lon

ne



Récapitulatif :

DλF

rπ

DλF

rπ2J1

2

ccc f

f1

f

f

f

fArccos

π

2

yxyx p

yrect

p

xrect

pp

1 yyxx .fπ.psinc..fπ.psinc

λF

Dfc Où :

Vti

yrect

Vti

δ(x) .π.Vti.fsinc y

Téléscope à pupille circulaire

Détecteurrectangulaire

Filé

Réponse impulsionnelleélémentaire

Fonction de transfertélémentaire

(Au plan focal)22 yxr 2y

2x fffet


Le domaine fréquentiel (18/18) Résumé

La Transformation de Fourier transforme : le produit de convolution en multiplication simple un peigne de pas p en un peigne de pas 1/p

Au final :

TF(sortie) = TF(entrée)(fonction de transfert)*peigne(1/p)

Instrument = filtre passe-bas


L’échantillonnage


L’échantillonnage des images (1/24)

Modèle fréquentiel de prise de vue :

ji, yy

xxyxyx Δ

if,

Δ

jfδ*f,fHf,fpaysageTFimageTF

Peigne fréquentiel

Analyse fréquentielle des effets de la convolution par le peigne d’échantillonnage


Introduction : un exemple monodimensionnel

3 échantillonnagesdifférents :

(n points par période)

Signal initial

n = 8

n = 2

n < 1

on “reconnaît” la sinusoïde

Perte de l’information de phase et d’amplitude

Perte de la fréquence



Analyse empirique de l’exemple précédent : Soit fe la fréquence d’échantillonnage Fréquences accessibles limitées à [-fe/2, fe/2] Le choix de la fréquence d’échantillonnage est déterminant :

fe grande : on reconstitue le signal continu original fe petite : on ne reconstitue pas le signal continu original

fe doit être comparée aux fréquences présentes dans le signal non échantillonné

L’analyse mathématique du problème fait appel à la transformée de Fourier des signaux discrets et conduit au théorème de Shannon



Analyse de Fourier des fonctions périodiques : T-périodicité spectre de raies de pas 1/T (harmoniques)

Réciproquement : La fonction périodique est la TF_inverse de son spectre discret

La Transformée de Fourieréchange

Périodicité et discrétisation

T

1

T

Série de Fourier

x


T

T

nti

n

T

nti

nn

dtetfT

fc

efctf

2

2

)(1

)(

)()(


Le peigne de Dirac: pics de Dirac positionnés sur les échantillons :

Modélisation de l ’échantillonnage: soit f le signal continu, fd le signal discret :

La Transformée de Fourier d ’un peigne de Diracest un peigne de Dirac

n

enTxxPeigne )( n

ee nffffPeigneTF )(

n

eedd nfffPeigneffPeigneff )(ˆˆ)(ˆ.

)( ed nTfnf

Le spectre est donc périodique de période fe

Formulede

Poisson



Mise en évidence de la formule de Poisson : Tracé des sommes partielles pour différentes valeurs de n

nn

n

ni

nn eTF .2Lorsque n augmente,

la Série tend vers le peigne de Dirac

n=5 sinusoïdes n=20 sinusoïdes n=100 sinusoïdes n=500 sinusoïdes

np

np

pie 2



Le théorème de Shannon monodimensionnel Toute l’information est contenue dans le motif périodique [-fe/2, fe/2] Cette information représente le spectre du signal continu ssi les termes de la

somme ne se recouvrent pas :

spectre du signal continu = 0 en dehors de [-fe/2, fe/2] Si spectre [-fmax,fmax], il faut échantillonner avec fe 2fmax

Non-respect de la condition de SHANNON : les signaux de fréquence fe/2 ne sont pas transmis par l’échantillonnage

=> perte d’information Pire encore, les signaux de fréquence fe/2 sont interprétés comme des signaux à basse

fréquence (c’est-à-dire de fréquence inférieure à fe/2) : repliement de spectre=> fausse information



Retour à la sinusoïde 1D : Y=Sin(2x) Pas=0.1 fe=10 f_max=1


TF(y2) TF(y8)

y2 y8

y

TF(y)

1 point sur 2 : 5 pts/période 1 point sur 8 : 1.25 pts/période


Effets de l'échantillonnage : cas fe < 2fmax En monodimensionnel :

Le spectre du signal échantillonné est la somme des répliques du spectre du signal continu. L’espacement entre ces répliques est inversement proportionnel à la finesse de l’échantillonnage (peigne de Dirac).

Si l’espacement entre ces répliques est trop faible (échantillonnage trop lâche), il y a pollution de la zone fréquentielle accessible [-fe/2;fe/2] par les répliques : repliement de spectre

-2.fe

Spectre du signal continuRépliques

0-fe fe 2.fe

Spectre du signal échantillonné

Motif périodique



Effets de l'échantillonnage : cas critique fe=2fmax En monodimensionnel :

Pas de repliement si le spectre du signal continu est nul en dehors de [-fe/2;fe/2] Il est inutile d’augmenter fe au-delà de 2fmax (Augmentation inutile du nombre

d’échantillons)

Echantillonnage critique Débit minimum et Reconstruction parfaite

Spectre du signal continuRéplique

0-fe fefe/2-fe/2

Motif périodique



Reconstruction du signal continu : INTERPOLATION Isoler le motif périodique du spectre du signal discret sur [-fe/2, fe/2] Multiplication par une porte fréquentielle à support [-fe/2, fe/2]

Spectre de l’image continue

Réplique

0-fe fefe/2-fe/2

Motif périodique

0 fe/2-fe/2

Spectre du signal échantillonné Spectre du signal continu

Signal échantillonné Signal continu

TF

Convolution

Multiplication



Conclusion sur l ’échantillonnage monodimensionnel Echantillonner f, c’est la multiplier par un peigne de Dirac Par Transformée de Fourier, cela équivaut à PERIODISER son spectre

Reconstruction = Interpolation

n

dd nfPeigneffPeigneff )(.ˆˆˆ.

)(1.)(ˆ)(ˆfe/2][-fe/2, dff

f̂fe grand

fe petit

0 fe-fe

df̂

0 fe-fe

df̂

On retrouve par troncature du support

f̂

On ne retrouve paspar troncature du support :repliement de spectre

f̂

= convolution par un peigne

n

d

nTxT

nTf

xT

fxf

sinc).(

)(.

sinc*)(



Echantillonnage de l’image : L'image, continue dans le plan focal, est échantillonnée dans les deux

directions : par les détecteurs selon l'axe X

X= taille entre centres de détecteurs adjacents en ligne par un échantillonnage temporel (barrette) ou les détecteurs (matrice) selon l'axe Y

Y= taille entre centres de détecteurs adjacents en colonne (matrice) ou Vte (barrette)

Dans le cas standard, la grille est carrée : X=Y dans le cas matrice, les détecteurs sont carrés dans le cas barrette, on fixe te tel que Vte=X

On peut imaginer d’autres grilles : rectangulaire, quinconce, hexagonale ...



n

e Vnss )(..

Modélisation d’un échantillonnage 2D quelconque Réseau d ’échantillonnage défini par deux vecteurs

Peigne de Dirac associé au réseau :

Echantillonnage de l ’image = multiplication par le peigne associé au réseau :

2212211 ),(, nnVnVnOM

),(

),(

)(.

21

21

nnn

VVV

Vnn

V1

V2



Modélisation d’un échantillonnage 2D quelconque La transformée de Fourier du peigne associé au réseau d’échantillonnage est un

peigne fréquentiel dont les pics sont localisés sur un réseau « réciproque » R-1 :

Le spectre de l’image échantillonnée est représentée par le produit du spectre de l’image continue par ce peigne fréquentiel :

1

21

2212211

1

1

,

),(,

)(.det

1)(.

VUUU

kkUkUkOPR

nVV

VnTF

t

n

t

n

)),((ˆ)det(

1),(ˆ

)(.det

1*ˆ)(.*ˆ

1

1 1

1

nVffsV

ffs

nVV

sVnTFs

tyx

n nyxe

n

t

n

xx

yy

yy

xx

vv

vv

VU

vv

vvV

12

12

21

21

det

1



Modélisation d’un échantillonnage 2D quelconque Le spectre de l’image échantillonnée est donc la convolution du spectre

de l’image continue par le peigne « réciproque » spectre périodique, invariant par toute translation du type

motif contenu dans une cellule de surface égale à la densité d ’échantillonnage

repliement de spectres si les spectres translatés selon le réseau réciproque se recouvrent

plus l’échantillonnage est dense, plus les points du réseau réciproque sont éloignés les uns des autres, diminuant le risque de repliement

)det(

1)det(),det( 1

21 VVUU t

2212211 ),(, kkUkUk U1

U2



TF[image continue]

Echantillonnage trop lâche

Echantillonnage suffisamment dense

TF[image échantillonnée]

Cellule réciproque = [-fe/2,fe/2]2

Cellule réciproque = [-fe/2,fe/2]2



Condition de Shannon bidimensionnelle : condition nécessaire et suffisante : le spectre de l’image continue doit

être inclus dans une forme géométrique F de surface det(U) réalisant un pavage du plan fréquentiel (pas de recouvrement ! ! !) par translation selon les vecteurs du réseau réciproque

condition suffisante : pas de directions fréquentielles privilégiées (FTM isotrope) forme F la plus isotrope

Spectre de l’image continue inclus dans la Cellule

réciproque



Définition de la cellule réciproque : Construction des médiatrices des segments joignant l ’origine

(fréquences nulles) aux voisins du réseau réciproque Chaque médiatrice divise le plan en deux demi-plans Cellule réciproque = intersection de tous les demi plans contenant

l’origine cas général : un hexagone grille spatiale carrée un carré

U1

U2

Spectre débordant de la cellule

Repliement de spectres



Impact d’un échantillonnage insuffisamment dense Pertes des fréquences de l’image continue situées en dehors de la

cellule réciproque Pollution des fréquences situées à l’intérieur de la cellule réciproque

par repliement de spectres

un motif sinusoïdal de fréquence (fx,fy), d’orientation et de module

située à l’extérieur de la cellule va devenir un motif sinusoïdal basse fréquence dont

l’orientation aura changé les contours (objets haute fréquence) sont hachés

Le rééchantillonnage n’est plus mathématiquement justifié

22yx ff )(

x

y

f

farctg



Grille d’échantillonnage

PaysageHaute fréquence



Exemple de repliement de spectre bidimensionnel 2 images d’un même paysage, obtenues avec une même FTM

instrumentale, mais avec un échantillonnage 2 fois plus lâche :Echantillonnage adapté :

contours continus, bonne restitution de la mireEchantillonnage trop lâche :

contours hâchés, mire modifiée en fréquence et orientation



Notion de Support Utile de la FTM : La FTM quantifie la capacité instrumentale à transmettre les fréquences

spatiales L’image est par ailleurs perturbée par les bruits radiométriques

(supposés blancs fréquentiellement) Pour qu’une fréquence (fx,fy) d’amplitude S puisse être distinguée du

bruit :

BSk

fyfxFTMkBfyfxFTMS ),(),(

Le support utile de la FTM est le domaine où elle est supérieure à k/(S/B)


Adaptation cellule réciproque / Support utile de la FTM ...


Echantillonnage 1D: signal continu échantillonné au pas pe : TF(signal) périodique de période fe=1/pe

Echantillonnage à fe bande de fréquences accessibles = [-fe/2, fe/2]= [-1/(2.pe), 1/(2.pe) ] Théorème de Shannon: pour reconstituer le signal continu à partir des échantillons, la fréquence

de coupure de la TF du signal continu doit être inférieure à fe/2

Echantillonnage 2D : TF(image) périodique dans le plan fréquentiel Bande de fréquences accessible par l'échantillonnage = cellule réciproque Théorème de Shannon: le support de la TF du signal continu doit être contenu dans la cellule

réciproque

Repliement de spectre = artefact induit par un échantillonnage trop lâche perte d'information ou fausse information

L’échantillonnage des images (24/24)Résumé


Adaptation

échantillonnage / instrument


Adaptation Echantillonnage/Instrument (1/23)

Echantillonnage défini par la cellule réciproque La cellule réciproque doit épouser le support utile de la FTM

Les fréquences perdues sont indiscernables du bruit : on exploite au mieux les capacités de l’instrument de prise de vue

Le repliement reste minime et la reconstruction exacte par interpolation est possible avec une très bonne approximation

On minimise la densité d’échantillonnage, donc le débit

Les problèmes Choix limité des échantillonnages (donc des cellules) Déterminer le facteur k du support utile (expérimentations) Couplage entre échantillonnage/détecteur Restauration sol pour compenser l’affaiblissement des hautes fréquences

spatiales par la FTM sans remonter le bruit


Adaptation Echantillonnage / Instrument (2/23)

Mode de prise de vue “classique” (pousse-balai) : Pour une acquisition par barrette CCD, une ligne de l’image brute

correspond à des pixels acquis simultanément par la barrette et une colonne correspond à des pixels acquis successivement par un même détecteur de la barrette.

La géométrie d’acquisition classique impose alors : Réseau d’échantillonnage carré selon X (axe barrette) et Y (axe de défilement)

X= taille entre centres de détecteurs adjacents en ligne Pour une altitude et une focale données, cette condition fixe px (dimension détecteur)

Y= déplacement du point subsatellite en un temps d ’échantillonnage.Pour une altitude donnée imposant la vitesse, cette condition fixe te.

Pour la Haute Résolution, on est confronté à un manque de signal. Si l’altitude H est fixée, alors ti aussi (ti te) et on ne peut qu’augmenter D, le diamètre de l’optique collectrice.



Mode de prise de vue “classique” : Cette géométrie de prise de vue impose donc un instrument de grande taille

pour faire de la haute résolution avec un rapport S/B correct Avec ce dimensionnement classique :

la FTM optique a des valeurs très élevées à fe/2 (de l’ordre de 0,5) : la fréquence de coupure est élevée car D grand

la FTM instrument selon X vaut donc 0,32 à fe/2 :

la FTM instrument selon Y vaut donc 0,2 à fe/2 (en supposant le détecteur carré) :

En revanche, la FTM est nulle à fe (en X et en Y à cause des sinus cardinaux) et très faiblement négative ensuite (second lobe des sinus cardinaux)

32,0

2.5,0

..

..sin.5,0)0,

2

1

2(

xx

xxy

ex fp

fpf

x

ffFTM

20,0

2.5,0

...

...sin.

..

..sin.5,0)

2

1

2,0(

2

y

y

yy

yyeyx ftiV

ftiV

fp

fp

y

fffFTM

H

Dfc .



Mode de prise de vue “classique” : la FTM sort de la cellule !!!



Mode de prise de vue “classique” : On aboutit à un instrument avec repliement de spectre et sous utilisé :

toute l’information utile transmise par l’instrument n’est pas rendue accessible du fait d’un échantillonnage insuffisament dense…

Problème insoluble en échantillonnage classique : coupure optique lointaine car D grand pour avoir S/B raisonnable

coupure imposée par la taille du détecteur

mais pas d’échantillonnage = taille détecteur

SHANNON non satisfait

Couplage coupure/échantillonage



Pour parvenir à adapter l’échantillonnage à l’instrument (c’est-à-dire adapter le support utile de la FTM à la cellule réciproque de l’échantillonnage), il faut donc découpler coupure et échantillonnage

Concept HIPERMODE (91) : échantillonnage double en ligne et en colonne

Concept SUPERMODE (94) : échantillonnage quinconce Concept SUPERMODE Piloté (95) : suréchantillonnages encore plus

élevés

La réalisation pratique de ces échantillonnages est délicate

Densification de l’échantillonnage à iso coupure fréquentielle



Les concepts HIPERMODE / SUPERMODE : en spatial : en fréquentiel :

Cellule réciproque HIPERMODE

Cellule réciproque standard

Cellule réciproque SUPERMODE

Emprise d’un détecteur

Barrette

Echantillonnages :

Standard

SUPERMODE

HIPERMODE



Les concepts HIPERMODE / SUPERMODE :



Les concepts HIPERMODE / SUPERMODE : Réalisation pratique :

HIPERMODE : 4 barrettes dans le plan focal décalées de x/2 dans les deux directions ou 2 barrettes dans le plan focal décalées de x/2 en quinconce et temps

d’intégration ti divisé par deux / cas standard densification de l’échantillonnage d’un facteur 4

SUPERMODE : 2 barrettes dans le plan focal décalées de x/2 en quinconce (ti inchangé) :

Solution adoptée par SPOT5 réalise un échantillonnage quinconce : grille carrée de pas réduit d’un facteur

tournée de 45 degrés densification de l’échantillonnage d’un facteur 2

2


3,5 lignes

0,5 pixel

Barrette 1

Barrette 2

Détecteur panchromatique

Vitesse du satellite



Génération de la grille

d’échantillonnage

en quinconce





en quinconce





en quinconce





en quinconce





en quinconce





en quinconce





en quinconce





en quinconce





en quinconce





en quinconce





en quinconce



Grille à maille régulièretournée de 45 °




Les concepts HIPERMODE / SUPERMODE : comparaison Hipermode/Supermode :

deux fois moins de débit pour le supermode meilleur rapport S/B pour le supermode FTM dégradée en colonne (filé) pour le supermode car ti deux fois plus long

qu’Hipermode, compensée par une réduction de la zone photosensible en y meilleure adaptation de la cellule réciproque à la zone utile de la FTM réalisation bien plus aisée (fréquence de travail des CCD)

Extension du supermode : Pilotage de la ligne de visée : ralenti en tangage et variation du roulis

=> SUPERMODES Pilotés

Choix du mode Supermode pour SPOT5


Justification du SUPERMODE sur SPOT 5 :


Première image 5 m Seconde image 5 m(décalée de 2,5 m en ligne et colonne)

Image différence : information différentielle ténue mais capitale

(contours)


Traitement des images SUPERMODE SPOT 5


Echantillonnage2.5 m

Image1

Image2

EntrelacementInterpolation

Imagefinale

Restauration

Echantillonnage5 m

Echantillonnage2.5 m

Imageintermédiaire


Images SUPERMODE SPOT 5 :


Image entrelacée et interpolée Image restaurée Une des 2 images initiales



Extensions du mode supermode SPOT5 : Mode QI :

le mode Supermode fonctionne encore même si le décalage entre images est différent de 0.5 pixels, à condition d’être localement constant.

entrelacement de deux images standard décalées, acquises simultanément par deux instruments différents (possible sur SPOT1 à 4)

traitement rendu difficile par la variabilité du décalage dans le champ

Modes supermodes pilotés : densification de l’échantillonnage sans changer l’instrument par pilotage de la ligne de

visée en roulis et tangage permet de réaliser des grilles carrés tournées de pas arbitrairement fins, sous réserve

de la manoeuvrabilité de la plate forme


Traitement des images Mode QI SPOT : Acquisition simultanée du même paysage par les deux instruments Décalages entre ces deux images non prédictibles et variables dans

le champ : Corrélation pour déterminer les décalages Interpolation pour ramener les deux images dans une grille commune Restauration (débruitage / déconvolution) de l’information contenue dans

l’image


Im 1

Im 2

Interpolation Restauration CorrélationImage

entrelacéeImage

interpoléeImagefinale


Images Mode QI SPOT :


Image panchromatique 10 m

Image Mode QI 5 m


Images Mode QI SPOT :


Image multispectrale 20 m

Image Mode QI 10 m


Conception d’instruments futurs : Il ne s’agit plus seulement d’adapter l’échantillonnage à un instrument

existant mais de concevoir l’optique, la détection et l’échantillonnage en harmonie => équivalence des domaines fréquentiels accessibles :

par l’optique (=> joue sur le diamètre D) par le détecteur (=> joue sur la taille du détecteur) par l’échantillonnage

Parallèlement à cette optimisation du domaine fréquentiel accessible, il faut maintenir le S/B admissible grâce à :

diamètre de la pupille pas trop petit ralenti en tangage détecteurs TDI sommation de plusieurs acquisitions



Conception d’instruments futurs : Spécifications types pour une résolution objectif « p0 » (en mètres) :

définition d’un domaine fréquentiel visé : couronne fréquentielle de rayon le support utile de la FTM doit inclure le domaine fréquentiel visé. Il est défini par :

FTMxS/B > k, k de l’ordre de 10 mais dépendant de la mission FTM>FTMmin, de l’ordre de 0.05 S/B >S/Bmin, de l’ordre de 100 aux luminances moyennes (L2) on dimensionne en général l’instrument au plus juste : le support utile de la FTM

est le plus proche possible du domaine fréquentiel visé Echantillonnage :

la cellule réciproque associée à l’échantillonnage doit inclure de domaine fréquentiel visé

le support utile de la FTM doit occuper significativement la surface de la cellule réciproque pour optimiser le débit (pas trop de suréchantillonnage)


00 2

1

pf


Dimensionnement classique : FTM optique élevée et couplage échantillonnage/FTM par le détecteur (fe=fc) L'instrument est sous-utilisé Images brutes nettes et sans bruit, mais information fausse (repliement de spectre)

Optimisation d'un instrument existant : densification de l'échantillonnage sans changer la FTM : Supermode (2 barrettes décalées)

Conception optimisée globale : Critère QI pour la résolution à la fréquence spatiale fo: FTM(fo). S > k. Bruit Information échantillonnée "de qualité" : respect du critère de Shannon fe/2 fc L'instrument est utilisé optimalement Images brutes floues et bruitées Traitement Sol de restauration

Adaptation Echantillonnage / Instrument (23/23) Résumé


Traitements des images


L’interpolation (1/14)

Reconstruction de l’image continue : Justifiée ssi condition de Shannon vérifiée, ou au moins approchée Consiste à isoler la cellule réciproque dans l’espace fréquentiel

multiplication du spectre périodique par , fonction caractéristique de la cellule réciproque

convolution de l’image échantillonnée par la transformée de Fourier inverse de

Dans la pratique, on rééchantillonne selon une autre grille par convolution discrète

Zooms, rotation Rendre superposable à une autre image, à une carte … Rendre « lisible » tout échantillonnage non carré ou rectangulaire !!!

fy

fx


L’interpolation (2/14) Principe du zoom fréquentiel

I1: 256x256

On entoure le spectre de zéros : pas d’ajout

d ’information

I2: 512x512

Domaine spatial

Domaine de Fourier

TFTF-1

Zoom 2 par un filtre de type sinx/x


L’interpolation (3/14)Impact de l’insertion de 0I1: 256x256

Domaine spatial

Domaine de Fourier

Insertion de 4 zéros entre chaque pixel

TF TF-1

Extension du domaine fréquentiel:de [-fe/2;fe/2] à [-2fe ;2fe] Périodisation du spectre :16 répliques centrées sur (kfe, lfe), k={-1,0,1,2}, l={-1,0,1,2}

On isolele motif BF

I2: 1024x1024

Les zéros sont

interpolés

-2fe

2fe

-2fe

2fe-2fe

2fe

-2fe

2fe


L’interpolation (4/14)Zoom quinconce dans Fourier

Domaine spatial

Domaine de Fourier

Entrelacementde I1 et I2 en quinconce

TF TF-1

On isolele motif BF

Une image 512x512 interpolée

Les zéros sont

interpolés

2 images I1 et I2 256X256 décalées de 0.5 pixels

Extension du domaine fréquentiel:du carré bleu à [-fe ;fe] Périodisation du spectre :2 répliques centrées sur

)1,1,0,0),(

2,

2

lk

fl

fk ee


L’interpolation (5/14)Filtres 1D

Le plus proche voisin)(sinc)(0̂ h

2

1.).()( 00 T

xETf

T

nTxhnTfxf

n

Aucun calcul : fonction constante par morceaux ...Inconvénient : fort repliement de spectre

Plus proche voisin : réponse impulsionnelle

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x

h(x)

Plus proche voisin : réponse fréquentielle

-0.3-0.2-0.10.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.1

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0f

H(f

)

Porteidéale

xxh 0



Interpolation linéaire)(sinc)(ˆ 2

1 h

T

nTxTnf

T

xTnnTfxf )1(

)1()(1

Un peu plus de calcul Moins de repliement mais atténuation dans la bande passante

Remarque : h1 = h0 * h0 d ’où TF(h1) = TF(h0)2

Linéaire : réponse impulsionnelle

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x

h(x)

Linéaire : réponse fréquentielle

-0.10.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.1

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0f

H(f

)

Porteidéale

xx

xh

1

21



Le filtre bicubique : compromis petit support / fidélité fréquentielle

approximation polynomiale de degré 3 du sinc sur [-2,2]Bicubique : réponse impulsionnelle

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x

h(x)

Bicubique optimal: réponse impulsionnelle

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x

h(x)

pente en 1= -0.5

pente en 1= -1

bicubique : réponse fréquentielle

-0.10.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.1

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0f

H(f

)

bicubique optimal : réponse fréquentielle

-0.10.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.1

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0f

H(f

)

Porteidéale

Porteidéale



Sinus cardinal et sinus cardinal régularisé :

sinc tronqué : réponse impulsionnelle

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9x

h(x

)

sinc tronqué . gauss : réponse impulsionnelle

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9x

h(x)

sinc tronqué : réponse fréquentielle

-0.10.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.1

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0f

H(f

)

sinc tronqué*gauss: réponse fréquentielle

-0.10.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.1

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0f

H(f

)

Porteidéale

Porteidéale



Exemples de filtres d’interpolation : hexagonal régulier

Filtre adapté au rééchantillonnage sur un réseau carré

d’une image acquise sur un réseau hexagonal



Exemples de filtres d’interpolation : quinconce


d’une image acquise sur un réseau supermode



Exemples de filtres d ’interpolation : grille carrée


d ’une image acquise sur un réseau rectangle


L’interpolation (12/14)Choix d’un interpolateur

Importance du filtre interpolateur :

bicubiquebilinéairePlus proche voisin

Rotation de 15 °


L’interpolation (13/14)Mise en œuvre 2D

Mathématiquement : reconstitution de la fonction continue à partir des échantillons

réechantillonnage selon une autre grille de points = interpolation

k

kkk MMhMfMf

k

kkkkk MMhMfMf ''

Interpolation en = pondération des échantillons voisins

coefficients de pondération = = échantillonnage du filtre d’interpolation

'kM kMf

'kk MMh


L’interpolation (14/14) Mise en œuvre 2D avec le filtre bilinéaire

M

M0

M2 M3

M1

)().(),(

1;1x si 0

1;1x si 1

yhxhyxh

xh

xxh

mono

mono

x-1 1

1

000 ,)( yyxxhMMh

111 ,)( yyxxhMMh

222 ,)( yyxxhMMh

333 ,)( yyxxhMMh

33221100 )()()()()( MfMMhMfMMhMfMMhMfMMhMf


La restauration des images (1/21)

La Déconvolution des images : Contrairement aux images standard, la FTM des images “bien

échantillonnées” est très faible au voisinage de la frontière de la cellule réciproque : une image bien échantillonnée est floue en sortie instrument.

Il faut donc déconvoluer, c’est-à-dire inverser la FTM qui a atténué les composantes Haute Fréquence :

Comme la FTM tend vers 0 à fe/2, la déconvolution va fortement amplifier les hautes fréquences : on parle de “réhaussement des contrastes”

Cette déconvolution est légitime : pas de repliement de spectre => on amplifie des hautes fréquences “propres”


Notion d’image de référence pour un échantillonnage donné c’est l’image “idéale” obtenue avec un instrument “parfait”

vérifiant les propriétés suivantes : instrument non bruité réponse impulsionnelle positive (l’instrument est physique) et la plus compacte

possible instrument bien échantillonné FTM très faible hors de la cellule réciproque instrument atténuant peu les fréquences FTM proche de 1 à l’intérieur de

la cellule réciproque

remarque : les trois dernières propriétés sont difficiles à concilier (la TF d’une fonction à

support compact est à support infini). Deux possibilités : compromis par régularisation de la réponse fréquentielle (apodisation) concentration conjointe espace/fréquence optimale : la prolate




Image en sortie instrument Exemple d’image idéale objectif : prolate



Définition de la prolate Soient CD et CR les cellules directes et réciproques de l’échantillonnage La prolate P est la fonction qui maximise la concentration d’énergie

conjointement dans les deux cellules :

Elle est calculée numériquement de manière itérative

dxdyyxP

dxdyyxPDC

2

2

),(

),(

yx

2

yx

C

yx

2

yx

dfdf)f,(fP̂

dfdf)f,(fP̂R maximalmaximal et

Concentration spatiale dans CD Concentration fréquentielle dans CR


Mise en oeuvre de la déconvolution : Dans la pratique, la déconvolution repose sur le modèle suivant :

avec SB le spectre du bruit radiométrique

SIR le spectre de l’image de référence

FTMI la FTM idéale correspondant à l’image de référence

On obtient donc une estimation de l’image de référence par :


),().,(),(

),(),().,(),(

yxIyxPyxIR

yxByxyxPyxI

ffFTMffSffS

ffSffFTMffSffS

),(

),().,(),(

),(

),().,(),(ˆ

yx

yxIyxByxIR

yx

yxIyxIyxIR ffFTM

ffFTMffSffS

ffFTM

ffFTMffSffS


Mise en oeuvre de la déconvolution : premier problème Application du filtre déconvolueur

filtre théorique : Fréquentiellement, il est à variations rapides dans les hautes fréquences lorsque le

dénominateur est proche de 0 Son support fréquentiel est théoriquement compact Les rebonds de sa réponse impulsionnelle s’atténuent lentement au voisinage des

transitions (transitions fantômes) problèmes de temps calcul


),(

),(),(

yx

yxIyx ffFTM

ffFTMffD

Génération de filtres par apodisation de la réponse fréquentielle


Exemples de filtres déconvolueurs :


D

FTM

FTMI

= FTMobjectif

Dtronqué

Troncature spatialeRéponsefréquentielle

modifiée


Phénomène de Gibbs : intérêt de l’apodisation


Filtre1

Filtre1tronqué

Filtre1apodisé

Filtre1apodisétronqué


Phénomène de Gibbs : intérêt de l’apodisation


Apodisation => déconvolution satisfaisante Pas d’apodisation => artefacts notables


Mise en oeuvre de la déconvolution : deuxième problème Le bruit radiométrique va être amplifié en même temps que les hautes

fréquences utiles : soit on déconvolue normalement et on amplifie fortement le bruit soit on déconvolue mollement pour éviter de trop amplifier le bruit et les détails haute

fréquence sont insuffisamment amplifiés soit on essaie de discerner le signal utile du bruit


Restauration = Déconvolution + Débruitage


Le Débruitage des images : La déconvolution, en amplifiant les hautes fréquences de l’image brute,

ne change pas le rapport signal sur bruit, mauvais dans les hautes fréquences

Deux familles de débruitages : Bruits structurés : égalisation, compression ... => traitements spécifiques, adaptés à

chaque type de bruit Bruits fréquentiellement blancs : bruit photonique + bruit d’amplification + bruit de

quantification (hors compression) Modèle : => débruitage dépendant de la position spatiale car le S/B varie du fait de la

variation de B mais surtout de S !!! => débruitage dépendant de la position fréquentielle : on veut débruiter plus

fortement dans les hautes fréquences


yxSBAyxbruit ,.),(

Nécessité d ’une analyse Espace-Fréquence de l’image : ondelettes


La Transformée en Ondelettes : Les décompositions Temps-Fréquence :

La Transformée de Fourier décompose les signaux selon des fonctions élémentaires à support infini qui ne s’atténuent jamais : les exponentielles complexes

Utilisation de fonctions “atomes temps-fréquence” :

Transformée de Fourier à Fenêtre (Gabor 46) : fonctions fenêtre (réelles, symétriques et à support compact) modulées en fréquence

Transformée en Ondelettes : à partir de fonctions de moyenne nulle


deeftf titi

)(

u,s(t) 1

s.

t u

s

et TOf(u, s) f (t).

1

s.* t u

s

dt

f u,s

,, ).().(),()(.)( utiti

u gfdteutgtfuTFfetutgetg

Description inadéquate pour une image


La Transformée en Ondelettes : Les décompositions Temps-Fréquence :

Elles associent une fonction à deux dimensions à une fonction mono-dimensionnelle Il y a redondance de la décomposition

Notion de résolution Temps-Fréquence Relation d’incertitude d’Heisenberg :

Cette relation limite la finesse d’analyse Temps-Fréquence puisqu’elle limite la localisation conjointe Temps-Fréquence des “atomes” gu, ou u,s

cas extrêmes : la représentation habituelle par des diracs spatiaux ou par des diracs fréquentiels (Fourier)

La reconstruction (transformée inverse) est possible sous certaines conditions


dTFfmf

etdttfmtf

dTFff

metdttftf

m

tt

t

222

2222

2

2

2

2

2

)(..2

1)(.

1

)(..2

1)(.

1

4

1. 22 t


La Transformée en Ondelettes : Les “pavages” Temps-Fréquence :


Transformée de FourierAucune localisation spatiale

Localisation fréquentielle optimale

Transformée de Fourier à FenêtrePavage régulier

Transformée en OndelettesFaible résolution fréquentielle en HFBonne résolution fréquentielle en BF

t tt

)(.)(, utgetg tiu

s

ut

stsu .

1)(,tie


Généralités sur les ondelettes : Reconstruction du signal

Comme pour la TF, on peut reconstruire un signal à partir de sa TO Cette reconstruction est naturelle pour les images car les fonctions de base de la

décomposition sont localisées Une TO concentre l’énergie du signal sur peu de coefficients d’ondelettes, et ce

d’autant mieux que le signal est localement régulier (propriétés de décorrélation) Un comportement anormal local (discontinuité du signal ou de sa dérivée …) impacte

localement sur la transformée, au contraire de la TF.

Décomposition multirésolution Méthode systématique de construction de bases d’ondelettes orthonormées =>

suppression de la redondance, minimisation des calculs Applicable aux traitements numériques = application de filtres passe-haut et passe-

bas en cascade avec décimation

Paquets d’ondelette Liberté accrue de pavage temps-fréquence (toujours limité par Heisenberg)



Utilisation des ondelettes en traitement d’images : Décomposition dyadique : filtres passe-bas h et passe-haut g


Deuxième niveauImage de départ Premier niveau

fx

fe/2

fe/4

fx

fy

gx.hy(I)

gx.gy(I)hx.gy(I)

fe/2fe/4

hx.hy(I)

fe/2fe/4fe/8

hx.hy(hx.hy (I))

gx.hy(hx.hy (I))

hx.gy(hx.hy (I))

gx.gy(hx.hy (I))

fyfe/2

fe/4

fe/8

gx.gy(I)hx.gy(I)

gx.hy(I)

Seule la Basse Fréquence est redécomposée



Exemple de décomposition au premier niveau :

« contours » horizontaux

« contours » verticaux « contours » diagonaux

Image résumée


Utilisation des ondelettes en traitement d’images : Décomposition dyadique :

Niveau ultime atteint lorsque l’image résumée ne contient plus qu’un pixel

Problème : aucune finesse fréquentielle pour les hautes fréquences, là où elle s’avère nécessaire pour la déconvolution !!!!


fx

fe/2fe/4fe/8

gx.hy(hx.hy (I))

hx.gy(hx.hy (I))

gx.gy(hx.hy (I))

fyfe/2

fe/4

fe/8

gx.gy(I)hx.gy(I)

gx.hy(I)

0


Utilisation des ondelettes en traitement d’images : Décomposition en paquets d’ondelettes bidimensionnelles :


... Niveau “ultime” :<=> Transformée de Fourier

fx

fy

fe/2

fe/2

fx

fy

gx.hy(I)

gx.gy(I)hx.gy(I)

hx.hy(hx.hy (I))

gx.hy(hx.hy (I))

hx.gy(hx.hy (I))

gx.gy(hx.hy (I))

hx.hy(gx.hy (I))

gx.hy(gx.hy (I))

hx.gy(gx.hy (I))

gx.gy(gx.hy (I))

hx.hy(hx.gy (I))

gx.hy(hx.gy (I))

hx.gy(hx.gy (I))

gx.gy(hx.gy (I))

hx.hy(gx.gy (I))

gx.hy(gx.gy (I))

hx.gy(gx.gy (I))

gx.gy(gx.gy (I))

Premier niveau= dyadique

Deuxième niveau

fx

fy

fe/2 fe/2

fe/2 fe/2

fe/4

fe/4

fe/4

fe/4

fe/8

fe/8

3fe/8

3fe/8

hx.hy(I)

On redécompose aussi la Haute Fréquence


Utilisation des ondelettes pour le débruitage : Utilisation de la relation Espace-Fréquence pour le filtrage :


fyfe/2

fe/4

fx

fe/8

fe/16

fe/4fe/8fe/160

=> finesse fréquentielle limitée par la taille des paquets : fe/2 j+1

(hypothèse de FTM constante sur chaque paquet)

=> finesse spatiale limitée par l’agglomération de l’image résumée :2j x 2j pixels

• Débruitage par seuillage des « petits » coefficients d’ondelettes :

- connaissant la FTM à la fréquence correspondante(la déconvolution a amplifié le bruit)

- connaissant le bruit dû au signal image (modèle 2 = a.S+b)

on retrouve le compromis Espace-Fréquence : choix du niveau de décomposition j (astuce : débruiter un

peu à tous les niveaux)Image initiale avec pixels agglomérés 16 fois

Image initiale vue dans la bande [6fe/16;7fe/16]x [6fe/16;7fe/16]2 coefficients à même localisation spatiale


Utilisation des ondelettes pour le débruitage :


Image bruitée Image débruitée


Interpolation = passer du discret au continu Calcul de image(x,y) connaissant les échantillons {image(l,c)} : c'est une convolution Le filtre interpolateur a pour TF la fonction indicatrice de la zone fréquentielle transmise.

Déconvolution = rendre l'image plus nette Compensation du flou instrumental ~ Inversion de la FTM C'est une convolution par h = TF-1 [ FTM_idéale / FTM_réelle]

Débruitage = rendre les zones uniformes moins "granuleuses" Nécessaire en raison de l'augmentation du bruit haute fréquence après la déconvolution La discrimination bruit / signal_utile nécessite une décomposition dans une base à la fois:

spatiale (bruit variable localement) fréquentielle (bruit amplifié différemment selon les fréquences par la déconvolution)

Décomposition de l'image en paquets d'ondelettes

Traitement des images: Résumé


BIBLIOGRAPHIE

Optique : Goodman : Introduction to Fourier Optics, Mc Graw-Hill Maréchal : Diffraction , structure des images, Masson Marion : Acquisition et visualisation des images, Eyrolles

Traitement du signal et des images: Roddier : Transformée de Fourier et Distributions, Mc Graw-Hill Mallat : A Wavelet Tour of Image Processing, Academic Press Max : Méthodes et techniques de traitement du signal et application aux mesures physiques, Masson Pratt : Digital Image Processing, Wiley-Interscience Strang/Nguyen : Wavelets and Filter Banks, Wellesley-Cambridge Press

Echantillonnage 2D quelconque : Gersho/Grey : Vector quantization and signal compression, KAP


Annexe :

rappels d’analyse de Fourier


La transformée de Fourier continue

Représentation spatiale des fonctions : base de diracs spatiaux : base orthonormée au sens du produit scalaire habituel :

décomposition dans la base :

Rxxx 0

)( 0

000

0000

000

)()()(

)()()()(),(

)()(),()(

dxxxxfxf

xfdxxxxfxxxf

dxxxxxxfxf

sinon 0 , si 1)(),()()()(),( 1010*

10xxxxxxdxxgxfxgxf xx



Représentation fréquentielle des fonctions : Base d’exponentielles complexes :

base orthonormée au sens du produit scalaire habituel :

décomposition dans la base :

Rxje 0

02

10

10 22 , xjxj ee

02

0

0022

022

0

00

00

)(ˆ)(

)(ˆ)(),(

),()(

defxf

fdxexfexf

dxeexfxf

xj

xjxj

xjxj

xf

0ˆ f

TF

02

00)()(ˆ dxexff xj

TFinverse

02

00)(ˆ)( defxf xj



Avantages de la représentation fréquentielle : Les exponentielles complexes sont les « bonnes » fonctions pour tout

système linéaire et spatialement invariant (SLSI), représenté par un opérateur de convolution.

L’image par un SLSI d ’une exponentielle complexe lui est proportionnelle (math : exponentielle complexe = fonction propre de l’opérateur de convolution)

Le coefficient de proportionnalité (math : la valeur propre associée) est , transformée de Fourier de h en 0

duuxfuhfhfOf SLSI )()(*)(

)(ˆ 0h

xjxjSLSIxj eheOe 000 20

22 ).(ˆ)(



Avantages de la représentation fréquentielle : dans la base fréquentielle, les coordonnées de l’entrée sont : et les coordonnées de la sortie :

le produit de convolution se transforme donc en produit simple :

defxf xj2)(ˆ)(

)(ˆ).(ˆ fh

Transformation de Fourier

)(ˆ f

)().()*( gTFhTFghTF

)(ˆ f

)(ˆ).(ˆ fh

defhfh xj2)(ˆ)(ˆ*SLSI

SLSI



Transformée de Fourier continue : décomposition d ’une fonction sur les exponentielles complexes

transformée directe (espace fréquence) :

transformée inverse (fréquence espace) :

Propriétés de base : f réelle (notre cas) TF à symétrie hermitienne : f réelle et paire TF réelle et paire f réelle et impaire TF imaginaire pure et impaire


dxexff xj 2)()(ˆ

defxf xj2)(ˆ)(

)(ˆ)(ˆ * ff

)(ˆ)(ˆ * ff

)(ˆ)(ˆ * ff


Translation spatiale :

= multiplication du spectre par une « rampe de phase »

Translation fréquentielle : = modulation du signal

Changement d’échelle spatiale :

= changement d’échelle inverse en fréquentiel


)(ˆ)( 2 feaxf ajTF

)(ˆ)( 02 0 fexf TFxj

)(ˆ1)(

af

aaxf TF


Dérivation par rapport à x :

Dérivation par rapport à

Convolution :

La transformée de Fourier d’un produit de convolution est le produit simple des transformées de Fourier


n

nTFn

d

fdxfjx

ˆ)()2(

)(ˆ)2( fjdx

fd nTFn

n

duutyuxtytx )()()(*)( yxyx TF ˆ.ˆ*


Conservation du produit scalaire : Parseval

Application : conservation de l ’énergie (f = g)

est la densité spectrale d’énergie

l’énergie totale est l’intégrale de la densité spectrale :

impact d’une convolution :


dfdxxf

22)(ˆ)(

dgfdxxgxf

)(ˆ)(ˆ)()( **

2)(ˆ)(

f

d

dED

entréesortiesortieentréesortie fHfxfxhxf )(ˆ)()(ˆ)(*)()(


Petit dictionnaire de transformées de fonctions usuelles :


llefréquentie gaussienne spatiale gaussienne

)sin()

2;

2(

1

))()((2

1)cos(

))()((2

1)sin(

)(

)(

1)(

22

2

22

0

000

000

02

2

ee

a

aaaporte

a

x

ix

e

eax

x

TFx

TF

TF

TF

TFxj

ajTF

TF



dualité espace/fréquence support spatial étroit support fréquentiel étendu

gaussienne spatiale gaussienne fréquentielle

dirac spatial constante

dilatation spatiale contraction fréquentielle

relation d’heisenberg :

2

'

dxxf

dxxfxx

2

2

2

)(

)(

df

df

2

2

2

)(

)(ˆ

222

16

1

x

La localisation parfaite simultanément dans les domaines spatial et fréquentiel est impossible



dualité espace/fréquence porte de largeur a sinus cardinal infini (premier zéro : 1/a) support spatial fini de largeur a support fréquentiel infini support fréquentiel fini support spatial infini

),().()( axportexfxf a

af

)sin(

*)(ˆ



Produit multiplicatif Produit de convolution



dualité espace/fréquence f régulière à décroissance rapide

f continue jusqu’à sa dérivée n-ième décroit en 1/n+1

interprétation physique : la régularité implique un faible contenu haute fréquence

exemples : une porte (discontinuité de niveau 0) a pour TF un sinus cardinal décroissant en 1/ une gaussienne (toutes les dérivées sont bornées) a pour TF une autre gaussienne

pour régulariser une fonction, on peut convoluer avec une fonction régulière, à TF rapidement décoissante

)(ˆ f

Adxdx

xfdm

m )(m

Af

2)(ˆ

)(ˆ f



TF

TF

troncature

Support infini

Support ~fini


Passage continu/discret : échantillonnage

Echantillonnage (rappel) : Prélevement de l’information pour x={kTe}, k entier relatif mathématiquement :

dans le domaine spatial : multiplication de f(x) par un peigne de diracs dans le domaine de Fourier :

TF d’un peigne de diracs de période Te = peigne fréquentiel de période 1/Te

TF du signal échantillonné : convolution de la TF du signal continu par le peigne fréquentiel signal périodique, de période la fréquence d’échantillonnage

k

ekTx )(

k ee T

k

T)(

1 TF



Dualité discrétisation/périodisationPériodisation fréquentielle

Périodisation spatialeDiscrétisation fréquentielle

TF

Discrétisation spatiale

k

ekTxxf )(.

k ee

k ee

T

kf

T

T

k

Tf

)(1

)(1

*

ke

per

ke

per

kTxxfxf

kTxfxf

)(*

)(

)()(ˆ1

)(1

.ˆ

ek ee

k ee

T

k

T

kf

T

T

k

Tf



Application : développement en série de Fourier soit g(x) le motif périodique de f(x) de période T

ke

ke

kTxxgxf

kTxgxf

TTxg

TTxfxg

)(*

)(

2;

2x si 0

2;

2x si

)()(ˆ1

)(1

.ˆˆ

ek ee

k ee

T

k

T

kg

T

T

k

Tgf

TF

2

2

2

2

1

)(ˆ1 avec

T

T

xT

kj

ek

k

T

kj

Zkk

dxexgT

c

T

kg

Tc

ecxf

TF-1

Les coefficients du développement en série de Fourier d’une fonction périodique de période T et de motif périodique g(x) sont les valeurs obtenues par échantillonnage du spectre de g(x) avec une période 1/T,multipliées par 1/T



Domaine continu

TF continue

kee

k ee

k

kTje

kf

Tk

Tf

ekTf e

)(ˆ

)1

(1

*)(ˆ

2

ke

kee

kTxxf

kTxkTf

)().(

)()(

Domaine discret

)(xf

Domaine spatial

Domaine de Fourier

)(ˆ f

TF continue

Echantillonnage

Périodisation du spectre

TF discrète


La transformée de Fourier discrète

TFD=TF des signaux échantillonnés (suite de nombres) Définition

Interprétation :

adeSuS

euSu

a

a

kjk

k

kjkZkk

,)()(

)(

12inverse TFD

2TFD

kee

k ee

een

kn

kn

k

kjn

nkenek

kfT

kf

TS

Tf

Tf

kfS

kxxfTFekfS

kfuxTfxfkTfu

ˆˆ1

ˆ1ˆ

ˆ

)(

)();(

2

ek kTfu

ek

ee

kee

k ee

kfS

kfT

kf

TS

';'ˆ

ˆˆ1

TFD



Propriétés de base TFD = fonction périodique de période 1

Transformation linéaire :

{uk} réelle (notre cas) TFD à symétrie hermitienne {uk} réelle et paire : TFD réelle et paire {uk} réelle et impaire : TFD imaginaire pure et impaire

Vv

Uu

Zkk

Zkk

ˆ

ˆ

TFD

TFD

VUvu ZkkkˆˆTFD


Propriétés de base Translation spatiale (décalage d’indice)

Translation fréquentielle :

Multiplication par kp:

= dérivation à l’ordre p en fréquentiel


p

pp

Zkp

Zkkd

Ud

jVukv

ˆ

2

1ˆTFD

0TFD2 ˆˆ0 UVuev Zkk

kjZkk

0

0

2TFD ˆˆ kj

ZkkkZkk eUVuv



Propriétés de base conservation du produit scalaire :

application : conservation de l’énergie

dVUvuk

kk )()( *1

0

*

dUu

dUUuu

kk

kkk

1

0

22

*1

0

*

)(

)()(



Propriétés de base convolution de deux suites :

définition du produit de convolution discret de deux suites, cohérente de la représentation mathématique d’une suite d’échantillons par des peignes de diracs

keknk

kelk

eek l

lk

lel

kek

elek

nTxvu

Tklxvu

lTxkTxvu

lTxvkTxu

lTgvkTfu

*

*

)( )(

Définition de la convolution discrète

kknkn

nlk

vuw

wvu *


Propriétés de base TFD d’un produit de convolution discret = produit simple des TFD

si les deux suites sont issues d’un « bon » échantillonnage de f et g échantillonnage et convolution commutent : le passage des échantillons à la fonction

continue correspondante est possible (interpolation) échantillonnage du produit de convolution de deux fonctions continues = produit de

convolution discret des deux fonctions échantillonnées TF du produit de convolution de deux fonctions continues = motif périodique de la

TFD du produit de convolution discrète des deux fonctions échantillonnées

TFD


)().()( VUW

kknkn

nlk

vuw

wvu *

Echantillonnages à Shannon Filtrage discret = Filtrage continu



gxg

fxf

TF

TF

ˆ

ˆ

k

TFD

k

TFD

kgkg

kfkf

ˆ

ˆ

Echantillonnagefréquence e=1/Te=1

(sinon, fn=f(Tex))

Convolution discrète

gfgf TF ˆ.ˆ* kgkfkgfk

TFD

ˆˆ))(*(

Convolution continue

kk

TFD kgkflgkf ˆˆ)(*)(

Égalité en cas de « bons » échantillonnages

Echantillonnagefréquence e=1/Te=1

(sinon, fn=f(Tex))


La transformée de Fourier discrète finie

Dans la pratique, nombre d’échantillons fini : calcul numérique sur un nombre fini de points taille finie des signaux et des images

Définition de la TFD finie A une suite de n échantillons correspond une suite de coefficients

fréquentiels

1

0

2

1

0

2

1,0inverse TFD

1,0TFD

1,0

1

finiefinie

N

k

N

klj

lk

N

k

N

klj

kl

NkkNllNkk

evN

u

euv

uvu



Relation entre la TFD et la TFD finie

TFD finie de {uk}

1;0.1

: écrits' périodique motif le et 1 période de ,périodique est νS

1.

.

1

0

02

1

0

02

1

0

22

1

01

1

1 0

1

1

1 0

01

1

N

k

N

kkj

k

N

k k

kjk

N

k k

Nkjkjk

N

keu

NS

N

k

NeuS

eeuS

TFD

1

10

1,0

110 kkNk

Nkk

uw

kNkk

w

périodisation 1,0 Nkku

TFD finie =échantillonnage au pas 1/N de la TF des N échantillons périodisés



En résumé : approximation de la TF par la TFD

remplacement de f(x) par un nombre infini d’échantillons spectre périodique continu de période 1/Te , approximant le spectre de f(x) sur

mais perte du spectre de f(x) au delà de repliement de spectres si l’échantillonnage ne se fait pas à Shannon

approximation de la TFD par la TFDfinie

limitation du nombre d’échantillons sur un horizon donné spectre périodique de période 1/Te échantillonné au pas 1/Nte, approximant le spectre

donné par la TFD mais hypothèse implicite : échantillons supposés périodiques au delà de l’horizon introduction d’une discontinuité, donc de fréquences parasites si )(BfAf

ee TT 2

1;

2

1

ee TT 2

1;

2

1



Interprétation pour les échantillons réels

vm est la composante de fréquence m/N v0 (somme des échantillons) est le « continu » la composante la plus HF est vn/2 (n pair) ou v n/2-1(n impair) et correspond à 0.5 ou 0.5 -1/2N si n-k >n/2, vn-k correspond à la fréquence n-k/n ou aussi -k/n (péiodicité de 1)

1

0

2N

k

N

kmj

km euv



Propriétés de base : on retrouve celles de la TFD TFD = fonction périodique de période 1

Transformation linéaire :

{uk} réelle (notre cas) TFD à symétrie hermitienne

{uk} réelle et paire : TFD réelle et paire

{uk} réelle et impaire : TFD imaginaire pure et impaire

1;0TFD

1;0TFD

1;0

1;0

Nkkk

NkkNkk

Vv

Uu

Nk

1;0TFD

1;0 NkkkNkkk VUvu

*kNk UU


Propriétés de base Translation spatiale (décalage d’indice avec permutation circulaire) :

Translation fréquentielle (décalage d’indice avec permutation circulaire) :


0

0TFD2

kkk

Zk

kN

kkj

Zkk UVuev

N

kkj

kkZkkkZkk eUVuv0

0

2TFD



Propriétés de base conservation du produit scalaire :

application : conservation de l’énergie

k

kkk

kk VUN

vu ** 1

kk

kk

kkk

kkk

UN

u

UUN

uu

22

**

1

1



Propriétés de base convolution circulaire de deux suites finies de taille N1 et N2

on reprend la formule précédente pour les suites infinies problème de bords : il faut étendre les signaux jusqu’à N1+N2-1 convolution circulaire (notée ) = convolution avec extension par périodisation

12102121

2

121012102

1

121012101

101010

mod

ionpériodisat10

mod

ionpériodisat10

k

perkn

perkn

kTFD

NNkkNkkNkk

Nkperk

kTFDper

kNkk

Nkperk

kTFDper

kNkk

shw

Wwsh

ss

Sss

hh

Hhh

NNk

finie

NNk

finie

NNk

NNk

finie

NNk

kkk SHW

La TF d’un produit de convolution

circulaire est le produit des TF



Utilisation de la TFDfinie

seule TF utilisée dans le traitement numérique utilisation intéressante car il existe des algorithmes très rapides (FFT : Fast Fourier

Transform) dont la complexité est en NLogN applications :

calcul numérique de la TF d’une fonction continue synthèse de filtres numériques (interpolation, déconvolution)

définition d ’un gabarit fréquentiel régularisation éventuelle TF inverse

analyse du comportement des filtres convolution rapide par passage dans le domaine de Fourier

)().(1 sTFhTFTFsh


Conclusions sur la transformée de Fourier

Outil majeur produit de convolution devenant un produit simple algorithmes de calcul rapide (FFT)

« Plusieurs » TF TF d ’une fonction continue :

spectre continu pas de perte d ’information

TFD = TF d’une fonction continue/échantillonnée avec une période Te : spectre continu périodique de période 1/Te perte totale d ’information au delà de 1/2Te et éventuel repliement de spectres

TFDfinie =TF d’une fonction continue/échantillonnée en un nombre restreint de points : implicitement, périodisation des échantillons echantillonnage du spectre périodique continu précédent

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