dr Fedor Skuban

FizikaI godina studija na Tehnolokom fakultetu u Novom Sadu

Departman za fiziku, PMF Novi Sad1

Mehanika SadrajElementi vektorskog rauna Fizike veliine. SI sistem jedinica Osnovni pojmovi kinematike Brzina Ubrzanje Pravolinijsko kretanje Slobodno padanje Vertikalni hitac Horizontalni hitac Kosi hitac Kinematika rotacionog kretanja. Kruno kretanje Ugaona brzina Ugaono ubrzanje Krivolinijsko kretanje. Kruno kretanje. Ravnomerno kruno kretanje Jednako-ubrzano kruno kretanje Dinamika. Sila, masa i koliina kretanja Njutnovi zakoni kretanja. I Njutnov zakon II Njutnov zakon III Njutnov zakon Neki tipovi sila u mehanici 4 8 14 17 19 21 25 27 29 32 35 36 37 40 42 44 47 49 51 52 53 Gravitaciona sila. Njutnov zakon univerzalne gravitacije Teina tela Sila normalne reakcije podloge Sila trenja Sila elastinosti Sile kod krunog kretanja Rad i energija Energija Kinetika energija Potencijalna energija Gravitaciona potencijalna energija Konzervativna i nekonzervativna polja Konzervativne i nekonzervativne sile Potencijalna energija opruge Zakon odranja energije Snaga Impuls sile i koliina kretanja Zakon odranja koliine kretanja Sudari Elastian sudar Neelastian sudar 2 54 57 59 61 65 70 74 77 78 80 82 86 87 88 91 94 95 97 100 102 103

SadrajDinamika rotacionog kretanja krutog tela 105 Moment sile 108 Moment inercije 111 Moment inercije i tajnerova teorema 114 Osnovna jednaina dinamike rotacionog kretanja 115 Kinetika energija i rad kod rotacionog kretanja 117 Moment koliine kretanja. 118 Zakon odranja momenta koliine kretanja. 121 Statika vrstog tela 124 Uslovi ravnotee vrstog tela 125 Vrste ravnotee. Stabilnost. 127 Oscilacije i talasi 128 Oscilacije 129 Oscilovanje tela obeenog o elastinu oprugu 130 Matematiko klatno 133 Fiziko klatno 135 Priguene harmonijske oscilacije 136 Prinudne harmonijske oscilacije 139 Talasno kretanje. Prostiranje talasa u elastinoj sredini. 141 Jednaina progresivnog talasa Brzina irenja talasa Energija talasa Osnovne osobine talasnog kretanja Stojei talasi Zvuk Jaina zvuka Doplerov efekat Mehanika fluida. Statika fluida. Pritisak Hidrostatiki pritisak Potisak. Arhimedov zakon. Povrinski napon Osobine gasova. Atmosferski pritisak. Dinamika fluida Jednaina kontinuiteta Bernulijeva jednaina Torielijeva teorema Viskoznost 146 148 150 151 156 160 162 164 168 169 172 174 176 178 180 181 183 185 186

3

Elementi vektorskog raunasabiranje i oduzimanje vektora; razlaganje na komponenteSabiranje

Oduzimanje

Ax = A cos 2 2 A = Ax + Ay Ay = A sin

4

Projekcije vektora na pravac

5

Skalarni i vektorski proizvod vektoraSkalarni proizvod dva vektora je skalar.

r r r r r r r r a b =| a | | b | cos ( a , b ) = a b cos ( a , b )Vektorski proizvod dva vektora je vektor koji je normalan na ravan koju oni ine, a smer mu je odreen pravilom desnog zavrtnja. Intenzitet je brojno jednak povrini paralelograma konstruisanog iznad vektora a i b.

r r r r r r r a b =| a | | b | sin ( a , b ) co r r r r | a b |= a b sin (a , b )

6

Trigonometrijske funkcijeTrigonometrijske funkcije koje su najee koriene su sinus, kosinus i tangens i povezuju duine stranica pravouglog trougla sa odgovarajuim uglovima. Pitagorina teorema povezuje duine stranica pravouglog trougla.

x2 + y2 = r 2

7

Fizike veliine. SI sistem jedinica.Potreba da se brojem izraavaju osobine ili opisuju prirodne pojave nametnula je potrebu uvoenja fizikih veliina i jedinica fizikih veliina. Fizikim veliinama se kvantitativno opisuju osobine tela, stanja i procesa. Skalarne veliine su potpuno odreene svojom brojnom vrednou, dok su vektorske veliine definisane joi pravcem i smerom. 1960. godine je na meunarodnom nivou dogovoreno da se koristi jedinstveni sistem fizikih jedinica u svetu, tzv. SI sistem (meunarodni sistem jedinica), koji sadri 7 osnovnih veliina i njihovih jedinica, dok su sve ostale jedinice (jedinice ostalih fizikih veliina) izvedene od osnovnih (iako imaju druge nazive, mogu se nedvosmisleno izraziti preko nekih od pomenutih sedam osnovnih jedinica).

8

Fizike veliine. SI sistem jedinica.Osnovne fizike veliine:naziv veliine najea oznaka veliine jedinica oznaka jedinice

masa duina vreme temperatura jaina elektrine struje jaina svetlosti koliina supstance

m l, s, r t T I J n

kilogram metar sekund kelvin amper kandela mol

kg m s K A cd mol

9

Fizike veliine. SI sistem jedinica.1 m je duina puta koju u vakuumu pree svetlost za 1/299 792 458 deo sekunde. 1 kg je masa etalona u obliku cilindra visine 39 mm i prenika 39 mm od legure 90% Pt 10% Ir, koji se uva u Meunarodnom birou za teine i mere u Sevru, Francuska. 1 s je vreme trajanja 9 192 631 770 oscilacija elektrona izmeu dva hiperfina nivoa u atomu Cs. 1 K je termodinamika temperatura koja je jednaka 1/273.16 delu termodinamike temperature trojne take vode. 1 A je jaina vremenski stalne elektrine struje koja, prolazei kroz dva prava, paralelna provodnika beskonane duine i zanemarljivog poprenog preseka, koja se nalaze u vakuumu na rastojanju od 1 m, prouzrokuje izmeu njih elektrodinamiku (privlanu ili odbojnu) silu od 2107 N po metru duine.10

Fizike veliine. SI sistem jedinica.1 cd je svetlosna jaina koju u odreenom pravcu emituje izvor svetlosti u vidu monohromatskog zraenja frekvencije 5401012 Hz i ija je izraena snaga u tom pravcu 1/683 deo W po steradijanu. 1 mol je koliina materije sistema koji sadri toliko elementarnih jedinki koliko ima atoma u 0.012 kg izotopa ugljenika 12C (Avogadrov broj).

11

Fizike veliineIzvedene fizike veliine - skup fizikih veliina koje su funkcije osnovnih ili osnovnih i ve izvedenih veliina, a dobijaju se na osnovu formule ili relacije. Primeri: brzina v=dx/dt [m/s] ubrzanje a=dv/dt [m/s2], sila F=ma [N=kgm/s2], pritisak p=F/S [Pa=N/m2] gradijent brzine dv/dz [s1=1/s] koeficijent dinamike viskoznosti =F/(S(dv/dz)) [Pas=Ns/m2=kg/sm] Mogu biti i bezdimenzione: apsolutni indeks prelamanja Poasonov broj Izuzetak su jedinice za: ugao u ravni [rad] prostorni ugao [sr]12

n=c/v =(d/d)/(l/l)

Fizike veliineJedinice fizikih veliina se vrlo esto ne koriste u svom osnovnom obliku, ve viestruko umanjene ili uveane. Milimetar, nanosekunda ili mikrofarad su jedinice koje sadre prefikse mili-, nano- i mikro- i predstavljaju umnoke osnovne jedinice (metar, sekunda, Farad) zasnovane na razliitim eksponentima broja 10.red veliine prefiks 1012 109 106 103 102 101 pikonanomikromilicentidecioznaka p n m c d red veliine prefiks 101 102 103 106 109 1012 dekahektokilomegagigateraoznaka da h k M G T

13

KINEMATIKA Osnovni pojmovi kinematikeMehaniko kretanje tela je promena poloaja tog tela u odnosu na bilo koje drugo telo. Za odreivanje poloaja koriste se referentni sistemi, najee Dekartov pravougli koordinatni sistem. Referentni sistemi su vezani za posmatraa dogaaja. Mogu se kretati (ravnomerno ili ubrzano) ili mirovati.Referentni sistemi koji miruju ili se ravnomerno kreu su tzv. inercijalni referentni sistemi, a oni koji se ubrzano kreu nazivaju se neinercijalni referntni sistemi.14

Osnovni pojmovi kinematiker Vektor poloaja r je vektor koji spaja koordinatni poetak i datu taku, a usmeren je ka datoj taki. Materijalna taka je telo zanemarljivih dimenzija, ali konane mase. U kinematici nas nanje interesuju dimenzije pokretnih tela, a vie samo njihovo kretanje i veliine koje ga karakteriu. Linija koju materijalna taka opisuje tokom kretanja (skup uzastopnih poloaja) predstavlja njenu putanju. Ili, to je skup taaka kroz koje prolazi tokom svog kretanja.

15

Osnovni pojmovi kinematikeDeo putanje s koji telo pree za vreme t izmeu dve take (npr. M1 i M2) je preeni put. To je rastojanje izmeu krajnjeg i poetnog poloaja tela mereno du putanje.

s

s = s2 s1Vektor pomeraja rje vektor koji spaja poetni i krajnji poloaj take u kretanju.

r

r r v r = r (t + t ) r (t )Svako kretanje se moe smatrati kao kombinacija translacije i rotacije. Translacija svaka prava ili ravan ostaje sama sebi paralelna. Rotacija - sve take se kreu po koncentrinim krugovima iji centri su na istoj pravoj - osa rotacije.

16

Vrste kretanja. Brzina.Brzinom se, u optem smislu, karakterie preeni put u jedinici vremena. Srednja putna brzina je kolinik ukupnog preenog puta s za neko vreme t i vremena kretanja t.

vs =Jedinica je [m/s].

s t

Srednja vektorska brzina je kolinik vektora pomeraja i vremena u toku kojeg je pomeraj napravljen.

s

r r r r r r (t + t ) r (t ) vsv = = t t

17

Trenutna brzinaTrenutna brzina (brzina pokretne take u datom trenutku t) je srednja vektorska brzina u beskonano malom intervalu vremena. Vektor trenutne brzine ima pravac tangente na putanju. Intenzitet trenutne brzine se, na osnovu injenice da je duina pomeraja jednaka preenom putu s u sluaju da t0, definie kao:

r r r v= , t 0 t r r r r dr v = lim = t 0 t dt

r r | r | s ds | v | v = lim = lim = t 0 t t 0 t dt

18

UbrzanjeUbrzanje je veliina koja karakterie promenu brzine u jedinici vremena. Srednje ubrzanje je kolinik promene brzine i vremenskog intervala u toku kojeg je ta promena nainjena. Trenutno ubrzanje je granina vrednost srednjeg ubrzanja kada vremenski interval t0.Jedinica za ubrzanje je [m/s2].

r r r r v v2 v1 = as = t t 2 t1 r r r v (t + t ) v (t ) as = t

Vektor trenutnog ubrzanja ima pravac vektora r promene brzine v . Intenzitet trenutnog ubrzanja se definie kao:r r | v | v d v | a | a = lim = lim = t 0 t t 0 t dt dv d dr d 2 r = = a= dt dt dt dt 2*

r r v a= , t 0 t r r r v dv a = lim = t 0 t dt

r r d 2r a= 2 dt19

* ita se: drugi izvod vektora pomeraja po vremenu.

UbrzanjeUbrzanje moe biti pozitivno (vektor brzine i vektor ubrzanja imaju isti smer) ili negativno (tzv. usporenje vektor brzine i vektor ubrzanja imaju suprotne smerove).

Ubrzanje postoji i kada nema promene intenziteta vektora brzine. Dovoljno je da vektor brzine v menja pravac u prostoru.20

Jednodimenzionalno (pravolinijsko) kretanje ravnomerno kretanjeKretanje kod kojeg je putanja prava linija je pravolinijsko. Vektori brzine i ubrzanja (ako je a0) se poklapaju sa pravcem kretanja, a intenziteti trenutnih ovih veliina su:

v=

ds dt

a=

dv d 2 s = dt dt 2

Pravolinijsko kretanje moe biti ravnomerno ili promenljivo (najjednostavniji sluaj: jednako-ubrzano). Ravnomerno (uniformno) pravolinijsko kretanje je ono u kome se brzina ne menja ni po intenzitetu ni po pravcu u toku vremena. Njen intenzitet je ravan koliniku preenog puta i vremena.

r a =0

v=

s = const. t21

Pravolinijsko kretanje ravnomerno kretanje

Zakon poloaja je funkcija promene poloaja tela (materijalne take) sa vremenom, x=f(t). U sluaju pravolinijskog ravnomernog kretanja zakon poloaja glasi *:

x = x0 + vtili prosto (ako uzmemo da je poetni poloaj (kordinata) tela x0=0):

x = vt* Kod pravolinijskog kretanja koordinatnu osu (recimo x-osu) na kojoj se prati poloaj tela usmeravamo du pravca kretanja. 22

Pravolinijsko kretanje jednako-ubrzano kretanjeKretanje po pravoj liniji pri kojem je ubrzanje konstantno (a = const.) je jednako-ubrzano pravolinijsko kretanje. Ubrzanje moe biti pozitivno ili negativno (usporenje; intenzitet brzine se smanjuje u toku vremena). Zakon brzine je funkcija koja pokazuje zavisnost brzine od vremena, v=f(t). Za sluaj da je poetna brzina (brzina u trenutku t=0 s) v00, zakon brzine glasi:

r

v = v0 + atZakon poloaja u sluaju pravolinijskog jednako-ubrzanog kretanja glasi:

x = x0 + v0t +

at 2 2

za

x0 = 0

x = v0 t +

at 2 2

23

Pravolinijsko kretanje jednako-ubrzano kretanjeVeza izmeu krajnje i poetne brzine i preenog puta x je:2 v 2 = v0 + 2ax

Srednja brzina kod jednako-ubrzanog pravolinijskog kretanja je:r a = const.

vs =

v0 + v 2

v = v0 + at

x = x0 + v0t +

at 2 224

Primeri pravolinijskog jednako-ubrzanog kretanja

Slobodno padanjeSlobodno padanje je pravolinijsko (jednodimenzionalno) i jednako-ubrzano kretanje tela u polju sile Zemljine tee bez poetne brzine (v0=0). Intenzitet ubrzanja tela priblino iznosi a g = 9.81 m/s2 i pod izvesnim uslovima se moe smatrati konstantnom veliinom (u blizini povrine Zemlje, uz zanemarivanje sile otpora vazduha, ...). Smer ubrzanja je ka povrini Zemlje (tanije ka centru Zemlje). Intenzitet brzine, poloaj tela na vertikalnoj yosi i preeni put (raunajui od mesta gde se telo puta da slobodno pada):

v = gt

y = h

gt 2 2

s=

gt 2 2

25

Slobodno padanje

Kada nema drugih uticaja, ve deluje samo sila Zemljine tee na ubrzanje tela, tada sva tela padaju jednako ako su istovremeno putena da padaju, istovremeno i stiu do povrine.

Brzina pri udaru o zemlju pri slobodnom padu sa visine h:

v = 2 gh

26

Vertikalni hitacVertikalni hitac je jednodimenzionalno (pravolinijsko) i jednako-ubrzano kretanje tela u polju sile Zemljine tee sa nekom poetnom brzinom (v00) telo je baeno u vertikalnom pravcu (navie ili nanie nekom poetnom brzinom). Intenzitet ubrzanja tela je takoe g = 9.81 m/s2, a smer ubrzanja je ka povrini Zemlje (tanije ka centru Zemlje). Smer brzine, meutim, moe biti i suprotan od smera ubrzanja kada se telo baca navie (vertikalni hitac navie), brzina je u poetku usmerena u pozitivnom smeru y-ose du koje se posmatra poloaj baenog tela telo usporava dok ne dostigne maksimalnu visinu, a zatim slobodno pada. Kod vertikalnog hica nanie, brzina tela i ubrzanje uvek imaju isti smer.27

Vertikalni hitacZakon brzine, zakon poloaja i preeni put Hitac nanie

v = v0 + gt y = h v0 t gt 2 2s = v0t + gt 2 2

Hitac navie

v = v0 gt y = h + v0t gt 2 2s = v0t gt 2 2Maksimalna visina koju dostie telo u vertikalnom hicu navie:H = h+2 v0 2g

U momentu pada na zemlju je y=0; u najvioj taki putanje je intenzitet brzine v=0.

28

Dvodimenzionalno (krivolinijsko) kretanje u polju sile Zemljine tee Horizontalni hitacHorizontalni hitac je dvodimenzionalno (krivolinijsko) i sloeno kretanje tela u polju sile Zemljine tee sa nekom poetnom brzinom (v00) telo je baeno u horizontalnom pravcu sa neke visine. U sluaju dvodimenzionalnog kretanja (po krivolinijskoj putanji), brzina tela se u svakom momentu moe razloiti na dve komponente du x- i du y-ose koordinatnog sistema vezanog za posmatraa (obino je to Zemljina povrina).

29

Horizontalni hitacKretanje du x-ose je ravnomerno brzina je konstantna. Kretanje du y-ose je jednako-ubrzano brzina raste (slobodno padanje; ubrzanje je g).

vx = v0 v y = gt

x = v0 t y = h gt 2 2

* h je visina sa koje je baeno telo po putanji horizontalnog hica.

30

Horizontalni hitacPutanja je parabola. Zakon (jednaina) putanje, (zavisnost y-koordinate poloaja tela koje se kree po putanji horizontalnog hica od x-koordinate):

y = h

gx 2 2 2v0

U momentu pada na zemlju je y=0 domet xD, brzina vD, ugao putanje D.

2 v = vx + v 2 y

xD = v0

2h g

31

Kosi hitacKosi hitac je dvodimenzionalno (krivolinijsko) i sloeno kretanje tela u polju sile Zemljine tee sa nekom poetnom brzinom (v00) telo je baeno pod nekim uglom u odnosu na horizontalni pravac. Kretanje se moe opisati kao superpozicija dva kretanja du x- i y-koordinatne ose. Du x-ose kretanje je ravnomerno brzina je konstantna. Du y-ose kretanje je jednako-promenljivo ako je ugao izbacivanja pozitivan(vertikalni hitac navie), brzina du y-ose prvo opada, a nakon dostizanja maksimalne visine, brzina menja smer i raste po intenzitetu; u sluaju negativnog ugla, brzina du yose stalno raste, kao kod slobodnog padanja.

32

Kosi hitacPutanja je parabola. Vremenska promena komponenti brzina i koordinata tela:

vx = v0 x

vx = v0 cos

v y = v0 y gt v y = v0 sin gtx = v0 x t y = y 0 + v0 y t gt 2 2 x = v0t cos y = y0 + v0t sin gt 2 2 y = y0 + x tg g x2 2v cos 2 2 0

Zakon (jednaina) putanje y=f(x) ima oblik:* y0 je visina sa koje je baeno telo po putanji kosog hica.

33

Kosi hitacU najvioj taki putanje je vy=0 (v=vx) maksimalna visina ymax. Pod uslovom da je y0=0: y max =2 v0 sin 2 2g

U momentu pada na zemlju je y=0 domet xD, brzina vD, ugao putanje D: xD =2 v0 sin 2 g

Domet zavisi od poetne brzine tela (v0) i od ugla pod kojim je ispaljen projektil po putanji kosog hica.

* Pretpostavlja se da je otpor vazduha zanemarljiv.

34

Kinematika rotacionog kretanja. Kruno kretanje.Poloaj materijalne take pri kretanju po krunici dat je radijus-vektorom, koji polazi od centra krune putanje, a zavrava na mestu materijalne take. Ugaoni pomeraj je ugao izmeu poetnog (0) i krajnjeg () poloaja radijus-vektora. Uglovi se izraavaju u radijanima (rad). Ugaoni pomeraj je vektor iji pravac se poklapa sa pravcem ose rotacije, a smer je odreen pravilom desnog zavrtnja.

[ rad] =

s r

=

s r

= 0

t = t t 0

0

* Ugao od 1 rad je onaj za koji je odgovarajua duina luka na krunici jednaka njenom polupreniku (s=r), =s/r=1 rad.

35

Ugaona brzina Srednja ugaona brzina s je kolinik ugaonog pomeraja i vremena u toku kojeg je taj ugao opisan. Jedinica je [rad/s]. Trenutna ugaona brzina je jednaka srednjoj ugaonoj brzini kada vremenski interval t0. Ugaona brzina je pozitivna, ako se poveava, a negativna, ako se smanjuje. Ugaona brzina je vektor iji se pravac poklapa sa pravcem ose rotacije normalan je na ravan rotacije. Smer vektora je odreen pravilom desnog zavrtnja.

s =

t

= lim

d = t 0 t dt

36

Ugaono ubrzanje Ugaono ubrzanje je posledica ubrzanog kretanja materijalne take po krunici (poveanje ili smanjenje intenziteta periferne brzine v), odnosno promene intenziteta ugaone brzine . Srednje ugaono ubrzanje s je kolinik promene ugaone brzine i vremenskog intervala u toku kojeg je dolo do te promene.Jedinica je [rad/s2] ili samo [s2] .

s =

t d = dt t= d 2 dt 2

= lim

t 0

Trenutno ugaono ubrzanje je srednje ugaono ubrzanje za granian sluaj kada t0. Ugaono ubrzanje je vektor iji se pravac poklapa sa pravcem ose rotacije, dakle normalan je na ravan r krunice i kolinearan sa vektorom ugaone brzine .

r

37

Veza izmeu linearnih i ugaonih veliinaVeza izmeu intenziteta periferne brzine v kretanja materijalne take (tela) po krunici i intenziteta ugaone brzine radijus vektora te materijalne take:= s / r s v = = = t t r t r

v = r

r v r v = r

Vektor periferne brzine v lei u ravni krunice, kao i radijus-vektor r , a vektor r ugaone brzine je normalan na ravan krunice.

r

r

38

Veza izmeu linearnih i ugaonih veliinaSlino tome, veza izmeu intenziteta ubrzanja a materijalne take koja se kree po krunici (dakle, periferna brzina v se menja po intenzitetu) i intenziteta ugaonog ubrzanja dobija se na sledei nain:a = v r = =r = r t t t

a = r

Poto je ubrzanje ovde posledica promene intenziteta periferne brzine, vektor ove r veliine ( a ) ima pravac tangente na krunu putanju (kao i periferna brzina) iz tog razloga nosi naziv tangencijalno ubrzanje. Oznaka a istie da ovo ubrzanje treba razlikovati od tzv. normalnog (centripetalnog ubrzanja) koje je posledica promene pravca periferne brzine.

r dv r a = vo dt* vo je jedinini vektor periferne brzine.

r

39

Krivolinijsko kretanje. Kruno kretanje.Svako krivolinijsko kretanje se moe predstaviti kao kretanje po krunici, pri emu se poluprenik krunice menja u toku kretanja. Poloaj materijalne take pri kretanju po krunici je dat radijus-vektorom. Svako krivolinijsko kretanje je i ubrzano kretanje, jer se brzina menja barem po pravcu.

40

Normalno i tangencijalno ubrzanje kod krunog kretanjaU optem sluaju, vektor ubrzanja ima dve komponente: normalno (centripetalno) ubrzanje, koje je normalno na tangentu u posmatranoj taki, i tangencijalno ubrzanje, koje ima pravac tangente na putanju. Kod ravnomernog krivolinijskog kretanja (intenzitet brzine se ne menja, ve samo pravac) vektor ubrzanja ima pravac normalan na tangentu putanje, tj. usmeren je ka centru krivine putanje i radi se o normalnom (centripetalnom) ubrzanju.

41

Ravnomerno (uniformno) kruno kretanjePeriferna brzina v ima stalan intenzitet, v=const. Ugaona brzina takoe ima konstantni intenzitet, =const .

v=

s t

=

t

pun krug = 2 rad = 2 = 2 T 1 = T

Ravnomerno kruno kretanje je periodino, a period rotacije T je vreme potrebno da radijusvektor opie pun krug od 2 rad. Frekvencija ili uestanost obrtanja (ili f) obrnuto je srazmerna periodu obrtanja T.

42

Ravnomerno kruno kretanjeZbog neprekidne promene pravca brzine v, postoji normalno ubrzanje intenziteta an, usmereno uvek ka centru rotacije, suprotno od radijus vektora.

Na osnovu slinosti trouglova i definicije normalnog ubrzanja an i periferne brzine v, sledi: v v r v r v Intenzitet normalnog Vektor normalnog = v = r = ubrzanja: ubrzanja: v r r t r t

an =

v t

v=

r t

v = r

an =

v2 = r2 r

r v2 r an = r0 r43

Jednako-ubrzano kruno kretanjeAko se menja i intenzitet brzine, a ne samo pravac, promena brzine ima dve komponente, a takoe i ubrzanje koje je opisuje:

r r r v = vn + v r r r a = an + a

Promena brzine u pravcu normale (brzina promene pravca) definie normalno ubrzanje, a u pravcu tangente (brzina promene intenziteta) - tangencijalno ubrzanje.44

Jednako-ubrzano kruno kretanjeNajprostiji oblik neravnomernog krunog kretanja je jednako-ubrzano (ili jednako-usporeno) kretanje u toku kojeg se, pored pravca, i intenzitet periferne brzine (pa tako i ugaone brzine) menjaju pravilno u toku vremena. Drugim reima, tangencijalno ubrzanje a ima konstantni intenzitet. Tangencijalno ubrzanje a je vektor kolinearan tangenti na krunicu.

a =

dv d ( r ) d a = r = =r dt dt dt r r r 2 a = an + a a = an + a2 v2 2 a = + (r ) r 2

r dv r a = vo dt

* vo je jedinini vektor periferne brzine.

r

Kretanje po krivoj liniji je, praktino, stalno kretanje po krunim putanjama, iji se poluprenici stalno menjaju, a takoe i brzina i ubrzanja tela koje se kree.

45

Jednako-ubrzano kruno kretanjePri jednako-ubrzanom krunom kretanju mogu se definisati izrazi analogni onim kod jednako-ubrzanog pravolinijskog kretanja.

= 0 t

v = v0 a t t2 2

= 0 + 0 t

x = x0 + v0 t 2 v 2 = v0 2a x

at2 2

2 2 = 0 2

46

Dinamika.Sila, masa i koliina kretanja.Dinamika je deo mehanike koji se bavi uzrocima promene kretanja tela. Inertnost je prirodna tendencija tela da ostane u stanju mirovanja ili ravnomernog k t j po pravoj li iji i j d j od osnovnih osobina kretanja j liniji jedna je d ih bi tela. Masa tela je kvantitativna mera inertnosti. Inercija se odnosi na mirovanje ili kretanje tela bez obzira na njihovu masu, a inertnost je opiranje promeni stanja kretanja. Brzina je osnovna kinematika veliina koja karakterie telo u kretanju. Pri promeni brzine dolazi do izraaja inercija tela pa se masa kao njena tela, masa, mera, i brzina javljaju zajedno u novoj, kompleksnijoj veliini koja bolje opisuje kretanje. To je koliina kretanja k skalarni proizvod mase i brzine tela (jedinica za koliinu kretanja je [kgm/s]):

r r k = mv

47

Sila, masa i koliina kretanja.Do promene stanja kretanja (brzine) moe doi samo pri interakciji tela sa drugim telima. Sila (jedinica je Njutn, [N]) je kvantitativna mera interakcije (meusobnog delovanja) tela tj izraava intenzitet interakcije tela, tj. interakcije. Sile mogu biti kontaktne, kada pri interakciji postoji dodir izmeu tela, i bezkontaktne, kada se interakcija ostvaruje na daljinu, tj. putem fizikog polja (gravitaciona, , g ,j elektrina, magnetna, jaka ili slaba nuklearna sila).

48

Njutnovi zakoni kretanja I Njutnov zakonSlika prikazuje razliit uticaj sile trenja na kretanje istog p p g tela po razliitim podlogama postoji, dakle, interakcija izmeu kotrljajueg tela i podloge podloga utie na promenu stanja kretanja.

I Njutnov zakon - zakon inercije j j Svako telo zadrava stanje mirovanja ili ravnomernog pravolinijskog kretanja sve dok drugo telo svojim delovanjem to stanje ne promeni, tj. dok ne interaguje sa drugim telom.* Isak Njutn, engleski fiziar i matematiar (1642-1727). 49

Matematiki izraz I Njutnovog zakonaUkoliko je : r r F =0 a=0 r r v = const. mv = const.

U odsustvu spoljanjih sila, a kada se vri posmatranje u inercijalnom referentnom sistemu, telo koje miruje ostaje u stanju mirovanja, a telo koje se kree nastavlja kretanje sa konstantnom brzinom i to po pravoj liniji (nepromenjena koliina kretanja).

Ovaj zakon vai samo u tzv. inercijalnim referentnim sistemima, koji ili miruju ili se ravnomerno kreu po pravoj liniji.referentni sistem je koordinatni sistem u kojem se ili u odnosu na koji se posmatra kretanje nekog tela. Postoje neinercijalni referentni sistemi koji se kreu ubrzano i tela ije se kretanje posmatra u takvim sistemima trpe delovanje dodatnih (fiktivnih) tzv. inercijalnih sila, koji su posledica neravnomernog kretanja referentnog sistema.50** * Inercijalni

II Njutnov zakon - osnovni zakon dinamikeAko na telo mase m deluje spoljanja sila F, ubrzanje a koje pri tome telo dobija direktno je srazmerno (rezultantnoj) sili koja na njega deluje, a obrnuto srazmerno masi. r r r r r F r F = ma a= F = ma m Brzina promene koliine kretanja tela proporcionalna je sili koja na njega deluje i vri se u pravcu sile.

r r d r r dv F = ( mv ) = m = ma dt dt

Sila nije uzrok kretanja tela, ve je uzrok j j , j promeni stanja kretanja, koja se meri ubrzanjem ona menja koliinu kretanja tela.

Masa u ovim izrazima je inercijalna masa i predstavlja meru odupiranja tela promeni stanja kretanja ona je kvantitativna mera inertnosti tela.51

III Njutnov zakon - zakon akcije i reakcije

r r F12 = F21

r r m1a1 = m2 a2

Ako jedno telo deluje na drugo nekom silom, onda i drugo telo deluje na prvo silom istog intenziteta i pravca, a suprotnog smera. Svako delovanje (akcija) stvara uvek suprotno po smeru i jednako po intenzitetu protivdelovanje (reakciju), tj. delovanja dva tela jedno na drugo su jednaka i suprotnog smera.52

Neki tipovi sila u mehanici

Gravitaciona sila Sila ti k Sil potiska Sila normalne reakcije podloge Sila zatezanja Elastina sila opruge Sila trenja

53

Gravitaciona sila. Njutnov zakon univerzalne gravitacije. Keplerovi zakoni.I Keplerov zakon: planete se kreu oko Sunca po eliptinim putanjama u ijoj zajednikoj ii je Sunce. II Keplerov zakon: radijus-vektor bilo koje planete za isto vreme prebrie istu povrinu sektorska brzina planete je konstantna.

III Keplerov zakon: odnos kvadrata perioda obilaska planeta oko Sunca i treeg stepena srednjeg rastojanja (ili due poluose) od Sunca je konstantna veliina.* Johanes Kepler (1571-1630), * Isak Njutn (1642-1727)

S = const. t

T2 = const. a354

Njutnov zakon gravitacije (1686.)Na osnovu rezultata astronomskih posmatranja J. Keplera, Njutn je pretpostavio postojanje privlane sile izmeu Sunca i planeta koja zakrivljuje njihovu putanju i koja je usmerena prema izvoru delovanja sile (Suncu). Njutn je takoe pretpostavio (radi jednostavnosti) da se planete kreu po priblino krunim putanjama, poluprenika R. Ubrzanje koje ima planeta usled sile koja zakrivljuje njenu putanju je normalno (centripetalno) ubrzanje an.T= 2 R v T 2 = k R3 4 2 = v2 kR

F = man = m

M m v 2 4 2 m m = 2 = k 2 = S2 R R R k R55

Sila koja odrava planete na njihovoj putanji zavisi od mase Sunca MS i od mase planete m.

Njutnov zakon gravitacije (1686.)Svoje zakljuke o sili privlaenja izmeu Sunca i planeta Njutn je uoptio na sva materijalna tela, tj. ona koja imaju osobinu mase.

Zakon univerzalne gravitacije: Bilo koje dve materijalne take meusobno se privlae gravitacionom silom: pravac te sile prolazi kroz materijalne take, intenzitet je srazmeran masama materijalnih taaka, a obrnuto srazmeran kvadratu rastojanja izmeu njih.

F =

m1 m2 r2Nm 2 kg 2

r m m r F = 1 2 2 ro r - gravitaciona konstanta r ro - jedinini vektor usmeren od m1 ka m256

= 6.672 10 11

Teina telaTeina Q nekog objekta na ili iznad povrine Zemlje (ili iznad nekog drugog svemirskog tela) je sila kojom telo deluje na horizontalnu podlogu na koju je postavljeno, odnosno sila kojom telo zatee konopac o koji je okaeno da visi. Teina tela je mera gravitacione sile kojom Zemlja (ili dato svemirsko telo t l ) deluje na objekat objekat.

Q=

mMZ r2

Izraz za teinu na osnovu II Njutnovog zakona dinamike (gde su sila i ubrzanje srazmerni) ima oblik:

r=RZ - na povrini Zemlje r=RZ+h - na visini h i d R i i i iznad povrine Zemlje

r r Q = mg

57

Teina telaU sluaju da se zanemari rotacija Zemlje i njena nehomogenost i odstupanje od pravilnog sfernog oblika, teina Q objekta mase m na povrini Zemlje (ili blizu povrine, rRZ) jednaka je gravitacionoj sili:Q=Iz II Njutnovog zakona

mMZ 2 RZ g = M Z 2 RZ Q = mg

Ubrzanje g sile Zemljine tee na njenoj povrini. p p j j j j Ono opada sa poveanjem rastojanja od centra Zemlje. VANO:

Sila Zemljine tee (gravitaciono privlaenje od strane Zemlje) deluje na telo, a teina tela deluje na podlogu (ili na neko drugo telo).58

Sila normalne reakcije podloge - normalna sila FNU mnogim situacijama telo je u kontaktu sa nekom podlogom (povrinom), a sila reakcije povrine na silu teine kojom telo pritiska podlogu je upravo normalna sila FN. Tanije, komponenta sile reakcije podloge koja je normalna na povrinu predstavlja normalnu silu FN.

59

Sila normalne reakcije podloge - normalna sila FNTelo na strmoj ravni (sluaj kretanja bez prisutne sile trenja izmeu tela i strme ravni).Za prouavanje kretanja tela po strmoj ravni pravi se dijagram sila u kome se sile i njihove komponente predstavljaju u x-y koordinatnom sistemu.

60

Sila trenjaTrenje je posledica delovanja meumolekularnih sila izmeu dodirnih povrina tela i podloge na kojoj se telo nalazi (spoljanje trenje), ili izmeu sastavnih delova unutar nekog sistema (unutranje trenje). Sila trenja deluje na dodirnoj povrini izmeu tela i usmerena je nasuprot smeru k t j t l u odnosu na povrinu. t kretanja tela d i U optem sluaju, postoji statika sila trenja (trenje mirovanja), i kinetika sila trenja (ona se jo deli na trenje klizanja i trenje kotrljanja).

Sila trenja kotrljanja je znatno slabija od sile trenja klizanja.61

Statika sila trenja (trenje mirovanja)Sila trenja mirovanja jednaka je po intenzitetu i pravcu, a suprotna po smeru (u odnosu na mogue kretanje) rezultantnoj spoljanjoj sili koja deluje na telo u pravcu paralelnom podlozi. Statika sila trenja Fs moe imati vrednosti od 0 do neke maksimalne d ti vrednosti Fsmax. max

Fs Fs

= s FN

max Maksimalna vrednost statike sile trenja Fs je srazmerna sili normalne reakcije podloge FN na kojoj se telo nalazi.

s koeficijent statikog trenja (zavisi od prirode d di ih povrina) i d dodirnih i ) FN normalna sila, kojom podloga deluje na povrinu tela sa kojim je u kontaktu i zaklapa prav ugao sa povrinom62

Kinetika sila trenja (trenje klizanja)Kinetika sila trenja deluje u pravcu tangente na dodirnu povrinu izmeu tela i podloge po kojoj se kree i uvek je usmerena nasuprot relativnoj brzini tela. Pod odreenim uslovima, priblino vai sledee: nezavisna je od veliine dodirne povrine izmeu tela i podloge; nezavisna je od brzine kretanja (klizanja), ukoliko je brzina mala; proporcionalna je veliini normalne sile FN. Po intenzitetu je neto manja od maksimalne sile statikog trenja.

Fk = k FN

k koeficijent kinetikog trenja (zavisi od prirode dodirnih povrina). FN normalna sila *, kojom podloga deluje na povrinu tela sa kojim je u kontaktu i zaklapa prav ugao sa povrinom. * Na grafiku je normalna sila FN obeleena sa N.63

Kinetika sila trenja (trenje klizanja)U oblasti statikog trenja sa porastom vune sile F poveava se i statika sila trenja sve do neke maksimalne vrednosti fs,max, nakon ega telo poinje svoje kretanje, a na njega deluje sada kinetika sila trenja (neto manja po vrednosti od fs,max) oblast kinetikog trenja.

64

Sila elastinosti. Elastinost vrstih telaSvako telo pod uticajem spoljanjih dejstava, osim poloaja, menja i svoj oblik. Sila elastinosti tela deluje unutar njih i tei da vrati deformisanim telima prvobitni oblik. Elastine sile u telima su posledica meuatomskih sila pod uticajem spoljanjih sila menjaj se me sobna rastojanja i poloaji atoma a menjaju meusobna atoma, meuatomske sile se tome suprotstavljaju. Teorijski, postoje savreno elastina i savreno plastina tela. Elastina deformacija se ispoljava u dva osnovna oblika: kao deformacija istezanja i deformacija smicanja.

Elastina deformacija istezanjaIstezanje (ili sabijanje) nastaje pri normalnom delovanju sile na povrinu. Napon je kolinik sile i povrine na koju ta sila deluje:

=

F S

65

Elastina deformacija istezanjaHukov zakon elastine deformacije istezanja povezuje napon sile i relativnu deformaciju izduenja: E - Jangov modul elastinosti

F l =E S l

U izvesnim granicama vai: g F = k l Granica do koje vai Hukov zakon je granica proporcionalnosti, a granica do koje telo jo uvek ne ostaje trajno deformisano je granica elastinosti.

66

Zapreminska elastina deformacijaU fizici materijala se moe zapaziti da se deformacija na predmetu deava ne samo kod jedne njegove dimenzije, ve ceo predmet trpi dimenzionalne promene. Iz tog razloga se elastine osobine materijala od kojeg je nainjen neki predmet izraavaju preko koeficijenta stiljivosti K ili preko zapreminskog koeficijenta (modula) elastinosti B. Zapreminski koeficijent elastinost B je koeficijent proporcionalnosti koji povezuje promenu (poveanje) pritiska p koji se vri sa svih strana na p predmet i relativnu promenu (smanjenje) zapremine izazvanu datom p ( j j ) p promenom pritiska.

F V = p = B S VK= 1 B

Znak je zbog smanjenja zapremine.

Reciprona vrednost zapreminskog modula elastinosti je stiljivost K.

67

Elastina deformacija smicanjaSmicanje je oblik deformacije koji nastaje pri tangencijalnom delovanju sile na povrinu tela.

68

Elastina deformacija smicanjaTangencijalna sila izaziva pomeranje (smicanje) slojeva (atomskih ravni) u vrstom telu jednih u odnosu na druge za neki mali iznos, a ukupan efekat delovanja sile je odstupanje gornje ivice predmeta za x u odnosu na prvobitni poloaj. Relativna deformacija se izraava preko ugla (tg), koji predstavlja odnos apsolutnog pomeranja gornje ivice predmeta i dimenzija deformisanog predmeta:

=

x lx F =G l S69

Hukov zakon elastine deformacije smicanja: G - modul smicanja

Sile kod krunog kretanja - centripetalna silaPrilikom kretanja po krunici, tela se kreu ubrzano - njihova brzina se svakako menja po pravcu, a moe i po intenzitetu. Pri ravnomernom kretanju po krunici, tela karakterie samo normalno ubrzanje an - posledica promene pravca brzine. Prema II Njutnovom zakonu, ako se tela ubrzavaju, znai da na njih deluje neka sila F koja je uzronik promene stanja kretanja (koje r opisuje vektorom kolise ine kretanja k ), tj. koja je uzrok pomenutog ubrzanja. t b jan =

v2 = r 2 r

70

Sile kod krunog kretanja - centripetalna silaSila koja uzrokuje normalno (centripetalno) ubrzanje i zakrivljuje putanju tela naziva se centripetalna sila Fc (gravitaciona kod planeta, sila zatezanja kanapa, ). Centripetalna sila je uvek usmerena ka centru krune putanje tela tela.

Fc =

mv 2 r

r mv 2 r Fc = ro r

71

Sile kod krunog kretanja - centrifugalna silaPrema III Njutnovom zakonu (akcije i reakcije), tela koja se kreu po zakrivljenoj putanji oseaju, pored delovanja centripetalne, i dejstvo sile reakcije na nju, koja je istog intenziteta i pravca, a suprotnog smera - to je centrifugalna sila Fcf.r mv 2 r Fcf = ro r Fcf = mv 2 r

Centrifugalna sila je ravnotena sila centripetalnoj i omoguava da telo ostane na zakrivljenoj putanji tokom svog kretanja.72

Sile kod krunog kretanja tangencijalna silaPri neravnomernom kretanju po krunici, osim centripetalne sile Fcp koja zakrivljuje putanju tela i uzrokuje centripetalno ubrzanje an (tj. promenu pravca brzine), mora postojati i tangencijalna sila F koja uzrokuje promenu intenziteta periferne brzine (tj. tangencijalno ubrzanje a).r r r F = Fcp + Fr r r a = an + a

Vektorski zbir centripetalne i tangencijalne sile daje ukupnu silu F koja deluje na telo koje se neravnomerno kree po krunoj putanji.73

Rad i energija

Ako na telo du puta njegovog pomeranja deluje sila konstantnog intenziteta, pravca i smera, ukupan rad te sile prilikom pomeranja tela je proizvod preenog puta tela i komponente sile paralelne sa putem (tzv. aktivna komponenta sile). Ako se pravac sile ne poklapa sa pravcem pomeranja tela ve zaklapa ugao sa njim samo tela, njim, komponenta sile F koja ima pravac pomeranja tela (Fx) moe vriti rad.Fy = F sin (komponenta koja ne vri rad) Fx = F cos (aktivna komponenta)

A = F x r F = const.

74

r Rad je skalarna veliina, skalarni proizvod vektora sile F i vektora r preenog puta x koji telo pri tome prelazi. Jedinica za rad je dul ([J]=[Nm]).

Rad i energija

r r A = F x = F x cos

r r = ( F , x )

Ako na telo deluje sila pod otrim (tupim) uglom u odnosu na pravac du kog se kree telo, rad sile je pozitivan (negativan). Ako sila deluje pod pravim uglom u odnosu na pravac kretanja, ili ako telo miruje, rad sile je jednak nuli.

75

Rad i energijaAko sila nije konstantna po intenzitetu, ve se menja du puta pomeranja, rad se izraava u diferencijalnom obliku, a njegova ukupna vrednost se nalazi preko integralnog rauna (sabiranjem doprinosa ukupnom radu na beskonano malim delovima puta) to je povrina ispod krive zavisnosti F=f(x).dA = ( F cos ) dxelementarni rad du puta dx

A = dA = F cos dxx1

x2

Ako se osim intenziteta menja i smer sile tokom pomeranja tela du puta x, neophodno je poznavati i smer sile kao funkciju pomeraja F=f((x)), to komplikuje integraciju, tj. nalaenje izvrenog rada.76

EnergijaFizika veliina koja karakterie sposobnost tela, ili sistema tela da izvre rad naziva se energijom. Iz toga proizilazi injenica: rad je proces kojim se vri prenoenje energije meu telima. j p j p j gjE = E f Ei ARazlika izmeu krajnjeg i poetnog stanja tela u pogledu sadraja energije (E) jednaka je radu A izvrenom prilikom promene tog stanja.

Energija j veliina k j k kt i stanje t l d k j rad veliina E ij je lii koja karakterie t j tela, dok je d lii koja karakterie promenu tog stanja. Jedinica za energiju je dul ([J]).Kae se da telo poseduje energiju, a rad je proces prenosa ili pretvaranja jednog oblika energije u drugi.77

Kinetika energijaPrimer: pomeranje tela po horizontalnoj ravni bez trenja pod uticajem neke rezultantne sile F koja izaziva promenu stanja kretanja (koliine kretanja k=mv), tj. promenu intenziteta brzine od neke vrednosti v1 do vrednosti v2.A = F dxx1 x2

F = ma = mv

dv dv dx dv =m = mv dx dt dx dt

A = mvx1

x2

2 v 2 v 2 mv 2 mv 2 dv dx = m v dv = m 2 1 = 2 1 2 2 dx 2 2 v1

Kinetika energija translatornog kretanja: gj g j

Ek =

mv 2 2

Kinetika energija tela pri njegovom translatornom kretanju srazmerna je masi m tela i kvadratu njegove brzine v.78

Kinetika energijaTeorema o radu i energiji:Kada spoljanja sila F vri rad A nad nekim telom, pri emu se menja samo intenzitet brzine kretanja tela, njegova kinetika energija Ek se menja, a ta promena je upravo jednaka radu. Rad A sile F na pomeranju nekog tela je razlika izmeu poetne i krajnje kinetike energije Ek tela.2 mv2 mv12 A = Ek 2 E k 1 = 2 2

A = Ek

Teorema o radu i energiji ukazuje na to da e se intenzitet brzine tela poveati ako je izvren rad nad telom od strane spoljanjih sila pozitivan, jer je u tom sluaju krajnja kinetika energija tela vea od poetne. Nasuprot tome, intenzitet brzine tela se smanjuje, ako je izvreni rad nad telom negativan.79

Potencijalna energijaPotencijalna energija je drugi oblik energije koji moe posedovati telo, ali samo ako je ono sastavni deo nekog sistema tela. Pod sistemom tela se podrazumeva skup od dva ili vie tela koja mogu meusobno interagovati, delovati jedno na drugo nekom g g , j g silom. Ako dva tela u sistemu meusobno interaguju putem sile, tada rad koji izvri sila pri delovanju jednog tela na drugo uzrokuje pretvaranje kinetike (ili nekih drugih oblika) energije koju poseduju tela u druge oblike energije. Ako se menja meusobni raspored tela u posmatranom sistemu k j i menja se i njihova potencijalna energija. Potencijalna energija je, dakle, pojam vezan za sistem tela zato to zavisi od fizikog poloaja jednog tela u odnosu na drugo.80

Potencijalna energijaU optem sluaju: Potencijalna energija predstavlja sposobnost tela da izvri rad zahvaljujui poloaju u kome se nalazi. To je rad koji telo akumulira dospevajui u neku taku polja sila.Postoje i sistemi u kojima je jedno telo znatno masivnije od drugih, tako da se moe smatrati da miruje (tj. njegova kinetika energija se zanemaruje), a da se ukupna kinetika sistema odnosi na preostala tela u sistemu.Npr. ako u sistemu planeta Zemlja lopta lopta pada na povrinu, tada se smatra da jedino lopta poseduje kinetiku energiju.

81

Gravitaciona potencijalna energijaPRIMER: U sistemu Zemljalopta izvri se rad nad loptom pri njenom pomeranju sa visine ya u odnosu na povrinu Zemlje na veu visinu yb. Poto je lopta mirovala i pre i nakon izvrenog rada nad njom, ne dolazi do promene njene kinetike energije, ve se radi o promeni nekog drugog oblika energije usled promene poloaja. Kada se lopta pusti na visini yb, ona slobodno pada ka povrini Zemlje (ka poloaju ya) pod uticajem gravitacione sile privlaenja od strane Zemlje. Dakle, u poloaju na visini yb lopta poseduje mogunost (potencijal) da promeni svoje stanje kretanja, tj. da k t j tj d promeni svoju ki tik energiju. i j kinetiku ijyb ya82

Gravitaciona potencijalna energijaPrilikom slobodnog padanja sa visine yb, jedina sila koja deluje na loptu je gravitaciona sila (jednaka sili teine), i to u pravcu kretanja ka mestu na visini ya. Pri tome se, usled promene poloaja u gravitacionom polju Zemlje, promenila (smanjila) i potencijalna energija lopte, dok se kinetika energija poveala (brzina lopte raste). Rad A koji je izvrila gravitaciona sila Zemlje (njen intenzitet iznosi F=mg) na privlaenju (premetanju) lopte za rastojanje h=ybya jednak je smanjenju potencijalne energije za iznos Ep=mgh.r r F = mg

A = (mg cos 0)( yb ya ) A = mgh

h = yb y a

A = (E pa E pb ) = E p

yb

ya

Isti rad se izvri i kada se telo teine Q=mg podigne sa mesta na visini ya na visinu yb, ime se povea njegova gravitaciona potencijalna energija za iznos Ep=mgh.83

Gravitaciona potencijalna energijaGravitaciona potencijalna energija energija koju poseduje telo mase m kada se nalazi u gravitacionom polju drugog tela.Poto je gravitaciona sila najslabija od osnovnih interakcija u prirodi, i gravitaciona potencijalna energija nekog t l i it i t ij l ij k tela ima znaaj samo ako se ono j k nalazi u jakom gravitacionom polju polju nekog masivnog nebeskog tela, kao to je Zemlja. U optem sluaju:

Gravitaciona potencijalna energija koju poseduje neko telo u gravitacionom polju Zemlje je rad (Ep=A) koji na telu mase m izvri Zemljino gravitaciono polje privlaei ga iz beskonanosti u neku taku na rastojanju r od centra Zemlje.84

Gravitaciona potencijalna energijaUobiajeno je, meutim, da se vrednost gravitacione potencijalne energije koju tela poseduju u Zemljinom gravitacionom polju rauna u odnosu na neki referentni (nulti) nivo poloaj u kome se (prema sopstvenom izboru) smatra da je potencijalna energija tela jednaka nuli.

E p = mgh

Vrednost gravitacione potencijalne energije u nekom poloaju tela u polju gravitacije, dakle, zavisi od izbora referentnog (nultog) nivoa. Sa druge strane, rad gravitacione sile (sile Zemljine tee) ne zavisi od izbora referentnog (nultog) nivoa potencijalne energije.85

Konzervativna i nekonzervativna poljaIzvren rad na pomeranju tela u gravitacionom polju ne zavisi od oblika putanje, ve samo od poetne i krajnje take poloaja tela u tom polju tj od njihove visinske razlike polju, tj. (vertikalnog rastojanja).A = mg ( yb ya )

yb ya

Sva polja sila u kojima izvren rad sile zavisi samo od poetnog i krajnjeg poloaja tela (a ne i od oblika putanje) su konzervativna (potencijalna) polja. Sila je konzervativna (potencijalna), ako njen rad na pomeranju tela zavisi samo od poetnog i krajnjeg poloaja tela u polju sila, a ne i od oblika putanje du koje se vri pomeranje86

Konzervativne i nekonzervativne sileRad konzervativnih sila na pomeranju tela po zatvorenoj putanji jednak je nuli, jer se poetni i krajnji poloaj tela poklapaju.U realnim situacijama, na tela simultano deluju i konzervativne sile (kao sila gravitacije) i nekonzervativne sile (kinetika sila trenja, otpor vazduha, ), iji se rad delimino pretvara u druge oblike oblike. Nekonzervativne sile uzrokuju promenu mehanike energije sistema.87

Potencijalna energija deformisane oprugePotencijalna energija elastine deformacije Deformisana opruga sposobna je da izvri rad na raun elastinih sila Fe koje tee da je vrate u prvobitno stanje, a koje su posledica spoljanjih sila Fi koje su dovele do deformacije.Prema Hukovom zakonu, veliina izduenja (sabijanja) opruge x je srazmerna spoljanjoj sili Fi koja je izazvala deformaciju. r r Fi = kx Suprotno spoljanjoj sili Fi usmerena je elastina (restituciona) sila Fe koja se javlja u deformisadeformisa noj opruzi i ona je uvek suprotnog smera od smera porasta deformacije x. r r r Fe ( x) = Fi = kxk je koeficijent elastinosti opruge, zavisi od materijala i oblika.88

Potencijalna energija deformisane oprugeU deformisanom stanju opruga poseduje izvesnu potencijalnu energiju sposobna je da pod uticajem elastinih sila izvri neki rad prilikom vraanja u nedeformisani oblik.x2 A = Fe dx = k x dx = k 2 a a A = (E p 2 E p1 ) = E p = k0 0 0

a

a2 = 0 k 2

a2 2

Pri vrenju rada, elastina sila smanjuje potencijalnu energiju deformisane opruge za iznos Ep=ka2/2 i menja se stanje kretanja opruge (poveava kinetika energija) vri se pretvaranje energije iz jednog u drugi oblik. Rad je, u ovom sluaju, pozitivan, jer sila deluje u smeru pomeranja tela.89

Potencijalna energija deformisane oprugeNakon prolaska kroz ravnoteni poloaj (x=0), sistem opruga-telo nastavlja kretanje, a elastina sila ga usporava. Smanjenje kinetike energija odgovara povea poveanju elastine potencijalne energije opruge. Rad je, u ovom sluaju, negativan, jer elastina sila ima suprotan smer od smera kretanja tela.

U optem sluaju, potencijalna energija deformisane opruge je:

Ep = k

x2 290

Zakon odranja energijeZakon odranja mehanike energije Ukupna mehanika energija E (kinetika i potencijalna) zatvorenog (izolovanog) sistema tela, izmeu kojih deluju samo konzervativne il t j j sile, ostaje nepromenjena (k t t ) (konstantna).U zatvorenom sistemu u kojem ne deluju nekonzervativne sile (npr. sila trenja, otpor vazduha, itd.), zbir kinetike i potencijalne energije, tj. ukupna mehanika energija je konstantna, tj. ne menja se u toku vremena.

E = Ek + E p = const.

91

Zakon odranja energijePrimer: slobodno padanje tela sa visine h.E = E p = mgh E=2 mv x m + mg (h x) = 2 gx + mg (h x) = mgh h 2 2

E = Ek =

mv 2 m = 2 gh = mgh 2 2

Ek1 + E p1 = Ek2 + E p2

Ek + E p = const.

Promena mehanike energije u ovom sluaju jednaka je nuli:

( Ek + E p ) = 092

Zakon odranja energije zatvoren i otvoren sistemEnergija moe prelaziti iz jednog u drugi oblik i prenositi se sa jednog na drugo telo, ali ukupna energija u zatvorenom sistemu tela u kome ne deluju nekonzervativne sile ostaje konstantna.E = Ek + E p = const.

U optem sluaju, za otvoren sistem tela u kome, osim meusobnih sila interakcije, deluju i spoljanje nekonzervativne sile, rad spoljanjih nekonzervativnih sila Ank bio bi jednak promeni ukupne mehanike energije .Ank = E = ( Ek + E p ) 0

Energija se ne moe stvoriti niti nestati, ve samo promeniti oblik iz jednog u drugi.93

SnagaSrednja snaga (brzina vrenja rada) je kolinik rada A i vremenskog intervala t za koji je rad izvren prilikom pomeranja tela du puta x pod uticajem sile F. Jedinica za snagu je vat ([W]=[J/s]).

Ps =

A t

Ps =P = lim A t 0 t

F x = F vs t

Trenutna snaga je srednja snaga u beskonano malom intervalu vremena:

P=

dA dt

Ako sila nije konstanta, analizira se u kratkom intervalu vremena dt, za koji sila deluje na putu dx dx. Snaga je skalarna veliina, skalarni proizvod vektora sile i vektora brzine pomeranja i u optem sluaju vai: r r dx r r P=F P = F v dt94

Impuls sile i koliina kretanjaNa osnovu II Njutnovog zakona, proizvod trenutne sile F i vremenskog intervala dt u toku kojeg sila deluje na telo jednak je promeni koliine kretanja dk u tom intervalu vremena. r r r r r r dv dk F = ma = m = Fd t = d k dt dtUkupna promena koliine kretanja k izazvana delovanjem promenljive sile F u toku konanog intervala vremena t:

r t2 r r k = Fdt = F tt1

Za sluaj konstantne sile: r t2 r v

F = const.

r k = Fdt =F tt1

95

r r Impuls sile p je integral proizvoda sile F i vremena dt u rkojem ta sila deluje i jednak je ukupnoj promeni koliine kretanja tela k u toku intervala vremena t=t2t1.t r r 2 r p = Fdt = k t1

Impuls sile i koliina kretanja

Teorema o impulsu i koliini kretanja: r Kada na telo deluje rezultantna sila F u toku konanog vremenskog interj g g r vala t, impuls p ove rezultantne sile je jednak ukupnoj promeni koliine r kretanja k koju ta sila uzrokuje u toku vremena t.

r r p = k96

Zakon odranja koliine kretanja - zatvoren sistemZatvoren sistem - nema delovanja spoljanjih sila, ve samo meusobnih sila interakcije f.r r f1 = f 2 r r r r d (m1v1 + m2 v2 ) = f1 + f 2 = 0 dt r r m1v1 + m2v2 = const.

r n r k = mi vi = const.i =1

r k = 0

Ukupna koliina kretanja zatvorenog sistema ne menja se tokom vremena, tj. ostaje konstantna.97

Zakon odranja koliine kretanja - otvoren sistemOtvoren sistem - osim delovanja meusobnih sila interakcije f, na tela deluju i spoljanje sile F.r r f1 = f 2 r r r r r r r r d (m1v1 + m2 v2 ) = f1 + f 2 + F1 + F2 = F1 + F2 dtn r n r r r r d n r n r ki = Fi = FR = const. ki (t ) = k = Fi dt = FR t dt i =1 i =1 i =1 i =1

(

) (

)

Impuls rezultujue sile p p.

r v r k = FR t = p

Promena ukupne koliine kretanja k otvorenog sistema jednaka je impulsu spoljanje rezultantne sile FRt =p98

Primeri zakona odranja koliine kretanjar mv = 0 r r m1v1 + m2 v2 = 0 r m r v1 = 2 v2 m1

m1v1 = (m1 + m2 )v2 v1 = m1 + m2 v2 m199

SudariSudar je kratkotrajna uzajamna interakcija izmeu tela bez uticaja spoljanjih sila, u kojoj se vie ili manje ispoljavaju elastine osobine tela. Nakon sudara, brzine tela se menjaju, u optem sluaju, i po intenzitetu i po pravcu, a deo energije se moe pretvoriti u toplotu.

Sudari dvaju tela mogu biti jednodimenzionalni (kada se tela i pre i nakon sudara kreu po istoj pravoj liniji) i dvodimenzionalni. Poseban sluaj predstavlja centralni sudar kod kojeg se tela pre sudara kreu po pravcu koji prolazi kroz centre (teita) tela .100

SudariElastian sudar sudar je sluaj sudara u kome se ukupna kinetika energija tela pre i posle sudara ne menja.

Neelastian sudar je onaj u kome deo kinetike energije tela u toku sudara prelazi u druge oblike energije (potencijalnu, toplotnu, ).- u savreno neelastinom sudaru tela nakon sudara ostaju zajedno; - u ostalim sluajevima, kada se deo kinetike energije transformie u druge oblike (deformacija tela koja uestvuju u sudaru sudaru, toplota, ), a tela ne ostaju 101 spojena, re je samo o neelastinom sudaru u irem smislu rei.

Elastian sudar

Zakon odranja koliine kretanja Zakon odranja kinetike energije

m1v1 + m2 v2 = m1v1 + m2 v2 1 1 1 1 2 m1v12 + m2 v2 = m1v1 2 + m2 v2 2 2 2 2 2102

Neelastian sudarDeformacije koje nastaju na telima u sudaru su trajne. Zakon odranja kinetike energije u neelastinom sudaru ne vai, jer se deo te energije pretvara u neki drugi vid.

m1v1 + m2 v2 = (m1 + m2 )v

103

Neelastian sudarPrimer savreno neelastinog sudara: Balistiko klatno

Zakon odranja koliine kretanja

m1v1 A = (m1 + m2 )vB

Deo kinetike energije projektila je potroen na deformaciju masivnog (drvenog) bloka.104

Dinamika rotacionog kretanja krutog tela.Delovanje sila i momenata sila na kruto telom1, m2, , mi, , mn) koje imaju svaka svoju Qn), iji zbir predstavlja ukupnu teinu tela Q.

vrsto (kruto) telo je sistem vrsto povezanih materijalnih taaka (masa teinu (Q1, Q2, , Qi, , Napadna taka rezultante svih ovih sila teine koje deluju na pojedinane materijalne take je teite tela. Bez obzira na poloaj tela, ona ostaje na istom mestu, kao da je sva masa skoncentrisana u jednoj taki, tzv. centru mase tela C.

Teite (taka cg)105

Delovanje sila i momenata sila na kruto telo.Centar mase je taka koja reprezentuje prosean poloaj ukupne mase tela. Centar mase je taka karakteristina za vrsto telo izloeno delovanju spoljanje sile koja se kree na sile, isti nain kao to se bi se kretala i materijalna taka (mase jednake masi datog tela) pod dejstvom te iste rezultantne spoljanje sile. U homogenom gravitacionom polju se teite i centar mase poklapaju.U primeru, napadna taka rezultantne sile na slikama (a) i (b) se ne poklapa sa centrom mase tela (spojena ipkom zanemarljive mase) pod uticajem sile zapoinju rotaciono kretanje. Kada je napadna taka sile u centru mase, kao na slici (c) sistem tela ne rotira, ve se kree translatorno.106

Delovanje sila i momenata sila na kruto teloSvako kretanje krutog (vrstog) tela moe se predstaviti kao kombinacija translatornog i otac o og eta ja. rotacionog kretanja.Kod translatornog kretanja prave koje spajaju take u telu u toku kretanja ostaju same sebi paralelne. Kod rotacionog kretanja take u telu se kreu po koncentrinim krunicama razliitih poluprenika.

Na sloeno kretanje krutog tela deluju sile i momenti sila. ti il

107

Moment sile

U primeru na slici na vrata koja mogu rotirati oko vertikalne ose deluje se silom F istog intenziteta i u istoj napadnoj taki. Razlika je u pravcima delovanja sile u odnosu na vektor poloaja (radijus ) p vektor) napadne take sile. Najlake je zarotirati vrata kada radijus vektor napadne take sile i vektor sile zaklapaju prav ugao, a rotacije vrata nema kada se pravci ova dva vektora poklapaju.108

Moment sile

Moment M sile F je vektorski proizvod radijus vektora r napadne take sile i vektora sile F. Jedinica za moment sile je [Nm].M = rF sin M = Ft r = F d

r r = (r , F )

r r r M = rF

Samo tangencijalna komponenta sile (Ft) uzrokuje rotaciono kretanje krutog tela.109

Moment sileTangencijalna komponenta sile Ft koja stvara moment sile M odgovoran za rotaciju krutog tela, ujedno daje tangencijalno ubrzanje at telu, ime se ugaona brzina stalno poveava. Drugim reima, kruto telo ima neko ugaono ubrzanje .

Za ugaono ubrzanje krutog tela odgovorni su momenti sila.Na veliinu ugaonog ubrzanja , meutim, utiu ne samo momenti sila, ve i masa tela, tanije raspored masa u krutom telu u odnosu na osu rotacije. ed s u o e u od osu o c je. Tako je u dinamici rotacionog kretanja definisan tzv. moment inercije I, veliina koja opisuje uticaj rasporeda masa u krutom telu na rotaciju, tj. na ugaono ubrzanje.110

Moment inercijeZa svaku materijalnu taku u telu mase mi koja se nalazi na rastojanju ri od ose rotacije, moment inercije Ii je definisan preko:

I i = mi ri 2Sumiranjem momenata inercije Ii za sve materijalne take koje ine kruto telo, dobija se moment inercije I tela u odnosu na datu osu rotacije. Jedinica za moment inercije je [kgm2].I = I i = mi ri 2i i

ili

I = Vi ri 2 = ri 2 Vii i

111

Moment inercijeMoment inercije I je veliina analogna masi u dinamici translatornog kretanja. Moment inercije je skalarna veliina, mera inertnosti tela pri rotacionom kretanju. j Masa je nezavisna osobina tela, a moment inercije zavisi od izbora ose rotacije u odnosu na koju se posmatra raspored mase u telu.Moment inercije za materijalnu taku Moment inercije za kruto telo

I = m r2

I = mi ri 2i

I = r 2 dm0

M

ili I = r 2 dV0

V

112

Moment inercije za razna geometrijski pravilna tela

113

Moment inercije i tajnerova teorema (teorema paralelnih osa)Ako telo u odnosu na osu rotacije koja prolazi kroz njen centar masa ima moment inercije I0, tada e u odnosu na bilo koju drugu paralelnu osu, na rastojanju d od pomenute ose, imati moment inercije I d fi i i ij definisan relacijom: l ijPrimerMoment inercije I0 je u odnosu na osu koja prolazi kroz centar mase.

I = I 0 + md 2

I=

mR 2 3 + mR 2 = mR 2 2 2

Moment inercije I je u odnosu na osu koja je paralelna osi rotacije kroz centar mase i na rastojanju d od nje.

114

Osnovna jednaina dinamike rotacionog kretanjaZa ugaono ubrzanje krutog tela odgovorni su momenti sila. Prema II Njutnovom zakonu, tangencijalna komponenta sile Ft koja uzrokuje tangencijalno at i ugaono ubrzanje i ija je napadna taka na rastojanju r od ose rotacije (krak sile) stvara moment sile M koji se moe ), izraziti u obliku koji sadri informaciju o rasporedu masa u odnosu na osu rotacije, tj. veliinu momenta inercije I krutog tela:Primer rotacije materijalne take:

at = r

Ft = m at = m r

M = r Ft = mr 2 M = rF sin II Njutnov zakon za rotaciju materijalne take oko nepokretne ose

r r = ( r , F )

M =I115

Osnovna jednaina dinamike rotacionog kretanjaU krutom telu se delovanje unutranjih sila fij=fji meusobno ponitava. Samo tangencijalne komponente spoljanjih sila Fti koje deluju na pojedine delie mase mi krutog tela uzrokuju rotaciono kretanje. Momenti Mi takvih spoljanjih sila se sabiraju, ime se dobija rezultantni moment lj jih il koji k j b j M spoljanjih sila, k ji uzrokuje ugaono ubrzanje .

Primer rotacije krutog tela:ati = ri Fti = mi ati = mi ri

M = M i = ri Fti = mi ri 2 = Ii i i

M = rF sin

r r = (r , F )

II Njutnov zakon za rotaciju krutog tela oko nepokretne ose

M =I116

Kinetika energija i rad kod rotacionog kretanjaPri rotaciji krutog tela (bez translatornog kretanja):vi = ri Eki = mi vi2 mi ri 2 2 = 2 2

Vri se sumiranje kinetikih energija za svaki deli krutog tela:

EkR =

I 2 2

Pri sloenom kretanju krutog tela ukupna kinetika energija je suma kinetikih energija translatornog kretanja centra mase i rotacionog kretanja tela:

Ek =Ako se pri rotaciji telo obrne za ugao (u [rad]) pod uticajem momenta sile M, izvreni rad je dat preko:

mvc2 I 2 + 2 2117

A=M

Moment koliine kretanja LMoment koliine kretanja L materijalne take oko nepokretne ose rotacije je vektorski proizvod njenog vektora poloaja r i vektora njene koliine kretanja k:

r r r r r L = r k = r mv

L = r k sin = m r v sin r r (r , v ) = 90 v = r

L = m r 2L = I118

Moment koliine kretanja LMoment koliine kretanja L krutog tela oko nepokretne ose rotacije dobija se sumiranjem momenata koliine kretanja za sve materijalne take koje ine telo:L = Li = ri mi vi = mi ri vi = mi ri 2 = Ii i i i

L = I

119

Moment koliine kretanja LVremenska promena momenta koliine kretanja L materijalne take oko nepokretne ose rotacije: r r r r dL r r r d(mv ) dL dr =M = mv + r dt dt dt dt r r M - ukupni moment spoljanjih sila r r r dL r = v mv + r F = 0 + M dt v - periferna brzina materijalne taker r (v , (mv )) = 0

0

usled delovanja momenta sile M

Ovo je drugi oblik II Njutnovog zakona za rotaciono kretanje analogija sa silom koja je jednaka j g j g j gj j j j r r brzini promene koliine kretanja kod translatornog kretanja tela: r r dk d (mv ) = = ma = F dt dt

Vremenska promena momenta koliine kretanja L krutog tela oko nepokretne ose rotacije: r

r dL d ( I) d = =I = I = M dt dt dt

120

Zakon odranja momenta koliine kretanjaZakon odranja momenta koliine kretanja u izolovanom sistemu:Ako je rezultanta momenata spoljanjih sila, koje deluju na kruto telo i uzrokuju njegovo rotaciono kretanje, jednaka nuli (M=0), tj. ako je sistem izolovan, ugaono ubrzanje je jednako nuli (=0 =const.), a moment koliine kretanja L ima konstantnu vrednost (konstantni intenzitet i pravac):r r dL r = M = I dt

za

r M =0

r dL =0 dt

r L = const.

Analogija sa I Njutnovim zakonom dinamike, prema kome tela zadravaju svoje stanje kretanja (mirovanja ili pravolinijskog ravnomernog kretanja) ukoliko je rezultatntna sila koja na njega deluje r jednaka nuli: rr r r ukoliko je F = 0 a = 0 v = const. dk dk d (mv ) = =0 dt dt r mv = const.

Ako kruto telo rotira oko nepokretne ose rotacije, moment koliine kretar r nja L se moe predstaviti i kao: L = I

r Zakon odranja momenta koliine kretanja je: I = const.

121

Primeri zakona odranja momenta koliine kretanjaRotacija igre Rotacija balistikih projektila

Prandtlova stolica122

Analogne veliine i jednaine koje vae kod translatornog i rotacionog kretanjatranslatorno kretanje pomeraj, x brzina, v ubrzanje, a masa, m koliina kretanja, k sila, F kinetika energija, Ek snaga, Pr r k = mv

rotaciono kretanje ugaoni pomeraj,

r r dx v= dt r r dv a= dt

ugaona brzina, ugaono ubrzanje, moment inercije, I moment koliine kretanja, Lr r r d (mv ) dk = F= dt dt

=

d dt r r d = dt

r r L = I

r r F = maEk =

moment sile, M rotaciona kinetika energija, EkR snaga, P

r r r r r d( I) dL M = I M = = dt dtEkR = I2 2

mv 2 2

r r P = F v

r r P = M

123

Statika vrstog telaPrimer delovanja sila na kruto telo: a) delovanje jedne sile izaziva samo pomeranje tela na jednu stranu; b) delovanje dve sile istog intenziteta i pravca, a suprotnog smera daju rezultantnu silu koja je jednaka nuli telo je i u translatornoj i u rotacionoj ravnotei; ) delovanje d sile i j dve il istog i i iji i kl j c) d l intenziteta i suprotnog smera, iji se pravci ne poklapaju daju rezultantni moment, pod ijim uticajem telo poinje rotaciju telo nije u rotacionoj ravnotei.

124

Uslovi ravnotee vrstog telaZa ravnoteu je neophodno da se ponitavaju ne samo spoljanje sile, ve i momenti spoljanjih sila. Uslovi ravnotee vrstog (krutog) tela: Rezultantna spoljanja sila koja deluje na telo treba da je jednaka nuli. Rezultantni moment spoljanjih sila oko bilo koje ose rotacije treba da je jednak nuli.

r Fi = 0 i

r Mi = 0 i

r a=0 r v = const.

r =0 r = const.

Uslovi ravnotee za sve pravce koordinatnog sistema: r r r Fxi = 0 Fyi = 0 Fzi = 0i i i

r M xi = 0i

r M yi = 0i

Mi

r

zi

=0

125

Uslovi ravnotee vrstog telaPrimeri:

126

Vrste ravnotee. Stabilnost.Postoji: a) stabilna, b) labilna, c) indiferentna ravnotea. Primer lenjir okaen o konac: a) teite C je ispod take veanja; b) teite C je iznad take veanja; c) teite C i taka veanja se poklapaju. Prema veliini potencijalne energije koju telo poseduje u gravitacionom polju Zemlje:

127

Oscilacije i talasiSvako kretanje koje se po odreenom pravilu ponavlja u toku vremena je periodino ili oscilatorno kretanje.Ukoliko su sila koja tei da vrati oscilatorni sistem u ravnoteno stanje, pa prema tome i ubrzanje koje sistem ima, direktno srazmerni rastojanju p p j j , j j od njega i usmereni ka njemu, tada se radi o jednostavnom harmonijskom kretanju.Primer: telo vezano za uvrenu oprugu moe da se kree u vertikalnoj ili u horizontalnoj ravni (po glatkoj povrini, bez trenja)

128

OscilacijeOsnovne osobine harmonijskog oscilovanja:Period oscilovanja T je vreme za koje telo izvri jednu oscilaciju. Frekvencija oscilovanja (ili f) je broj oscilacija u jedinici vremena. Elongacija x je proizvoljno rastojanje od ravnotenog poloaja. Amplituda je k i l A li d A j maksimalna elongacija. l ij Kod harmonijskih oscilacija promenljiva veliina (elongacija) se menja po sinusnom ili kosinusnom zakonu u funkciji vremena.

129

OscilacijeOsnovne osobine harmonijskog oscilovanja:Kruna frekvencija je povezana sa frekvencijom f () i periodom T. 1 2 f = = 2f = T T Pri kretanju materijalne take po krunici ravnomernom perifernom brzinom v i njen radijus vektor (vektor poloaja) se obre ravnomernom ugaonom brzinom . y-koordinata poloaja materijalne take koja se ravnomerno kree po krunici menja se po sinusnom (kosinusnom) zakonu, odnosno projekcija radijus-vektora na y-koordinatnu osu menja svoj intenzitet po sinusnom (kosinusnom) zakonu u funkciji vremena. T je vreme potrebno materijalnoj taki da obie pun krug.

130

Primeri harmonijskih oscilacijaOscilovanje tela obeenog o elastinu opruguSila koja vraa telo i oprugu ka ravnotenom poloaju je elastina sila deformisane opruge i (prema Hukovom zakonu za elastine deformacije istezanja) srazmerna je veliini deformacije). Znak "" znai suprotan smer sile F od vektora poloaja x telag p g vezanog za oprugu.

r r F = k x

k koeficijent elastinosti opruge

Iz II Njutnovog zakona sledi jednaina kretanja:Smena:k 2 = 0 mF = ma = m d2 x dt 2

m

d2 x + kx = 0 dt 2

Reenje ove diferencijalne jednaine ima oblik:

x = A sin(0t + )131

Oscilovanje tela obeenog o elastinu opruguElongacija x je sinusna (ili kosinusna) funkcija vremena:0 kruna frekvencija oscilatornog kretanja poetna faza, opisuje poetni poloaj sistema (0t+) faza oscilovanja

x = A sin(0t + )

Period oscilovanja T zavisi od osobina opruge (koeficijent elastinosti k) i od mase m tela okaenog na nju:

T=

m 2 = 2 k 0

132

Energija tela koje osciluje na elastinoj opruziEnergija tela koje osciluje na elastinoj opruzi je zbir kinetike energije tela i potencijalne energije elastine deformacije opruge.S obzirom da vai:x = A sin(0t + ) i ( v= k 2 = 0 m

E= E=

1 2 1 2 mv + kx 2 2 1 1 2 mA2 0 = kA2 = const. 2 2

dx = A0 cos(0t + ) dt

Zbir kinetike i elastine potencijalne energije pri harmonijskom oscilovanju, ukoliko nema gubitaka, je konstantan.

133

Matematiko klatnoMatematiko klatno je materijalna taka koja se u polju Zemljine tee kree na stalnom rastojanju od date take (take oslonca).

sin =

Ft x = Q l

Ft =

mg x l

Ft = ma = m

d2s dt dt 2

"" znai suprotan smer sile Ft od vektora poloaja x. Jednaina kretanja:

m

d 2 s mgx + =0 dt 2 l

x horizontalno rastojanje od ravnotenog poloaja s luno rastojanje od ravnotee (preeni put)

134

Matematiko klatnom d 2 s mgx + =0 dt 2 lZa male uglove , x s. Smena:g 2 = 0 l

d2 x 2 + 0 x = 0 dt 2

Reenje jednaine je da je elongacija x sinusna (ili kosinusna) funkcija vremena t oblika:

x = x0 sin(0t + )Period oscilovanja T, za sluaj malih amplituda oscilovanja, zavisi od duine klatna l i ubrzanja sile Zemljine tee g:

T=

2 l = 2 0 g135

Fiziko klatnoFiziko klatno je kruto telo koje se u polju sile Zemljine tee moe slobodno kretati oko nepokretne horizontalne ose, a koja ne prolazi kroz njegov centar mase (teite). r r d 2 M = I = 2 M = d Q = d mg sin dt d mg sin = I d 2 dt 2

d 2 mgd + sin = 0 dt 2 Imgd 2 = 0 I

Za malo , sin. Takoe se uvodi smena:d je rastojanje centra mase (CM) od ose rotacije rotacije.

Jednaina kretanja:

d 2 2 + 0 = 0 dt 2

Period oscilovanja:

Reenje jednaine je oblika: = 0 sin(0t + )

T = 2

I mgd136

Priguene harmonijske oscilacijeNa svaki realni oscilatorni sistem deluje sila trenja. Prigueno oscilovanje je oscilovanje u kojem veliina amplitude opada sa vremenom.Sila otpora je srazmerna brzini kretanja tela:

r r F = b v

b - koeficijent srazmernosti - konstanta priguenja

Jednaina kretanja za sluaj oscilovanja tela mase m okaenog na oprugu koeficijenta l ti ti kada k fi ij t elastinosti k k d na njega d l j otpor sredine okarakterisan j deluje t di k kt i konstantom b:

m

d2 x dx + b + kx = 0 2 dt dt137

Priguene harmonijske oscilacijeReenje jednaine je elongacija x koja se u toku vremena menja po sinusnom (ili kosinusnom) zakonu.

x(t ) = x0 (t ) sin( t + ) 0'0 - sopstvena kruna frekvencija amortizovane oscilacije

Amplituda x0(t) u toku vremena opada do nulte vrednosti prema eksponencijalnoj funkciji.

x0 (t ) = x0 e

b t 2m

138

Priguene harmonijske oscilacijeU zavisnosti od veliine priguenja b (tj. otpora sredine), oscilovanje moe imati sledee oblike: 1. 2. 3. 4. 5. Neprigueno oscilovanje Malo priguenje (kvaziperiodino oscilovanje) Srednje priguenje (kvaziperiodino oscilovanje) Kritino priguenje Aperiodino priguenje

139

Prinudne harmonijske oscilacije. Rezonancija.Prinudno oscilovanje je oscilovanje u kojem osim elastine sile postoji jo jedna spoljanja sila koja pojaava oscilovanje. Ako je prinudna sila harmonijska (menja se po sinusnom zakonu sa frekvencijom ) i 0 ( 0 je sopstvena frekvencija oscilovanja sistema bez prisustva prinudne sile) u realnom sluaju, kada postoji i neka sila trenja koja deluje na oscilatorni sistem, reenje jednaine oscilovanja:

m

d2 x dx + b + kx = F0 sin t 2 dt dt x(t ) = x0 sin t

ima oblik:

Telo mase m osciluje istom frekvencijom kojom se menja i periodina sila, ali sa modifikovanom amplitudom x0, ija veliina se ne menja u 140 toku vremena.

Prinudne harmonijske oscilacije. Rezonancija.Ako frekvencija prinudne sile F tei sopstvenoj krunoj frekvenciji oscilatora (0), amplituda x0 prinudnog oscilovanja tei visokim vrednostima (u sluaju kada nema trenja, u beskonanost). Nastupa stanje rezonancije. j

141

Talasno kretanje - Prostiranje talasa u elastinoj srediniMehaniki talas (talasno kretanje) je irenje oscilatornog poremeaja u elastinoj materijalnoj sredini. Pri prostiranju talasa, ne premetaju se delii sredine. Oni osciluju oko ravnotenih poloaja, a prenosi se energija talasa. Za postojanje mehanikog talasa neophodno je postojanje: izvora talasnog poremeaja, materijalne sredine kroz koju se poremeaj prenosi, i nekog fizikog mehanizma preko kojeg elementi materijalne sredine utiu jedan na drugi.

142

Prostiranje talasa u elastinoj srediniKod transverzalnih talasa delii elastine sredine osciluju normalno na pravac prostiranja talasa. Javljaju se samo u sredinama gde postoje elastine sile smicanja - vrsta tela.

143

Prostiranje talasa u elastinoj srediniKod longitudinalnih talasa delii sredine osciluju du pravca prostiranja talasa (zgunjavanje i razreivanje).

144

Prostiranje talasa u elastinoj srediniSinusoidalni talas postoji kada svaka taka elastine sredine u kojoj se prostire talas vri harmonijske oscilacije oko ravnotenog poloaja sa elongacijom:

yi = yi 0 sin(t + i )

Rastojanje izmeu dva najblia delia koji osciluju u istoj fazi (ili im se faze razlikuju za 2) je talasna duina . Talasni poremeaj prelazi put od jedne talasne duine dok delii sredine izvre jednu oscilaciju (za vreme T), pa je brzina prostiranja talasa (fazna brzina):

c=

= T145

Prostiranje talasa u elastinoj srediniPovrina koja spaja take do kojih je stigao talasni poremeaj je talasni front. U homogenoj i izotropnoj sredini talasni front ima oblik sfere. Ako je talasni front Ak j t l i f t ravan, re j o ravnom t l je talasu. N velikoj udaljenosti od Na lik j d lj ti d izvora talasa i sferni talas ima ravan talasni front. Hajgensov princip: Svaka taka elastine sredine do koje je stigao talasni front moe se smatrati novim izvorom talasa.

146

Jednaina progresivnog talasaProgresivni talas je talas koji se u celoj elastinoj sredini prostire bez promene pravca ili smera. Prostiranjem talasa u nekoj elastinoj sredini u stanje oscilovanja se dovode sve take te sredine i njihova elongacija se opisuje sinusnom (ili kosinusnom) f k ij k i ) funkcijom za h harmonijsko k ij k kretanje. j Zbog kanjenja u oscilovanju udaljenijih delia sredine u odnosu na izvor talasa, definie se jednaina koja opisuje vremensku i prostornu zavisnost elongacije delia elastine sredine - jednaina progresivnog talasa:

y = y0 sin(t )Ovo je tzv. talasna funkcija, koja opisuje elongaciju proizvoljnog delia materijalne sredine, na rastojanju x od izvora talasa u proizvoljnom trenutku t. Poetna faza talasa:

=

2 x

147

Jednaina progresivnog talasa

Razlika u fazi za dve take elastine sredine: = 2 1 = Delii osciluju u fazi: = k 2 ili

2 ( x2 x1 )

x = x2 x1 = k

rastojanje izmeu taaka elastine sredine koje su u fazi:

Delii osciluju u suprotnim fazama: = ( 2k 1) ili

x = x2 x1 = (2k 1)

2

rastojanje izmeu taaka elastine sredine koje su u suprotnim fazama148

Brzina irenja talasaBrzina prostiranja mehanikih talasa zavisi od elastinih osobina materijalne sredine kroz koju se prostire.Za trasverzalni talas koji se prostire kroz zategnutu icu (F - sila zatezanja ice; =m/L - linijska masa ice) brzina talasa je: ice),

c=

F

U optem sluaju, za trasverzalni talas koji se prostire kroz vrsti materijal (G - modul smicanja materijala; - gustina materijala), brzina talasa je:

c=

G

149

Brzina irenja talasaZa longitudinalni talas koji se prostire kroz vrsto telo (E - Jangov modul elastinosti; - gustina tela), brzina talasa je:

c=

E

Za longitudinalni talas koji se prostire kroz tenost (K koeficijent stiljivosti tenosti; B zapreminski koeficijent elastinosti; gustina tenosti), brzina talasa je:c= 1 K1 =B K

c=

B

Za longitudinalni talas koji se prostire kroz gas ( - adijabatska konstanta; p pritisak gasa; - gustina gasa), brzina talasa je:= cp cV

c=

p

150

Energija talasaElongacija i brzina kretanja estica (mase m) sredine: dy = y0 cos t dt

y = y0 sin t E = Ek max =

v=2 m vmax 2

E=

1 2 m2 y0 2

Gustina energije u talasa (n je koncentracija estica elastine sredine, tj. broj u jedinici zapremine): 1 2 u = nE = 2 y0 2

151

Osnovne osobine talasnog kretanja. Odbijanje talasaRavan talas na granici dve sredine u kojima su brzine prostiranja talasa razliite delimino se odbija, a delimino prelama.

Odbijanje (refleksija) talasa se objanjava pomou Hajgensovog principa: Svaka taka na granici dve elastine sredine do koje je stigao talasni front moe se smatrati novim izvorom talasa. Novi talasni front (odbijenog talasa) ini zajednika tangenta na sferne talasne frontove koji potiu od taaka na granici dve sredine. Upadni ugao jednak je uglu odbijanja. Pravci upadnog i odbojnog talasa lee u istoj ravni.152

Prelamanje talasaPrelamanje (refrakcija) talasa se deava na granici dve sredine u kojima se talas prostire razliitim brzinama. Prema Hajgensovom principu, talasni front prelomljenog talasa menja pravac kretanja. Novi talasni front (prelomljenog talasa) ini zajednika tangenta na sferne talasne frontove koji potiu od taaka na granici dve sredine. Ako se prelamaju talasi koji sadre komponente razliite frekvencije, dolazi do disperzije - svaka komponenta se prelama pod razliitim uglom.

sin c1 = sin c2153

Difrakcija talasaDifrakcija talasa je pojava irenja talasa iza prepreka sa pukotinom, odnosno savijanja talasa na preprekama. Talasi skreu sa prvobitnog pravca u istoj elastinoj sredini. Dimenzije pukotine treba da su istog reda veliine kao i talasna duina. duina Prema Hajgensovom principu, svaka taka pukotine je novi izvor talasa.

154

Interferencija talasaInterferencija talasa je pojava slaganja (superpozicije) talasa koji se prostiru u istoj sredini. Interferencija se javlja samo ako postoji stalna fazna razlika izmeu talasa j j ( ) koji interferiraju (koherentni talasi). Interferencija je konstruktivna, ako se amplitude sabiraju (talasi u fazi), a destruktivna ako se ponitavaju (talasi u suprotnim fazama).

155

Interferencija talasaPosmatramo interferenciju talasa u datoj taki difraktovanih sa dve pukotine imaju iste amplitude, frekvencije i talasne duine, a razliite faze u toj taki.2 y1 = y0 sin t x1 2 y2 = y0 sin t x2

i =

2 xi

= 2 1 =

2 2 ( x2 x1 ) = x

konst. int. k x = (2k 1) 2 dest. int. U datoj taki rezultantno oscilovanje estice elastine sredine ima amplitudu koja zavisi ne samo od amplitude talasa koji interferiraju, ve i od fazne razlike , odnosno od razlike u preenim putevima x talasa od pojedinih izvora.156

Mehanika fluida. Statika fluida.Fluidi: tenosti ("stalna" zapremina i promenljiv oblik) i gasovi (promenljivi i zapremina i oblik). Statika (prouava ravnoteu) i dinamika (prouava kretanje) fluida. Slabije meumolekulske sile u poreenju sa vrstim telima uzrokuju promenljivost oblika (i zapremine). Delovanje sile na tenosti uzrokuje promenu oblika, a samo u maloj meri i zapremine (stiljivost). U veini idealnih sluajeva smatra se da je i zapremina stalna, nepromenljiva (tj. njena promena je zanemarljiva). Delovanje sile na gasove uzrokuje promenu i oblika i zapremine.

157

PritisakPomeranje fluida izazivaju sile koje deluju na izvesnu njihovu povrinu (zbog toga to nemaju stalan oblik). Zato je uvedena fizika veliina pritisak (skalarna veliina) koja predstavlja odnos normalne sile F koja deluje na povrinu nekog tela S. Jedinica za pritisak je Paskal ([Pa]=[N/m2]).

p=

F S

158

PritisakPritisak u tenosti (fluidu) moe da potie ili od teine same tenosti ili od delovanja spoljanje sile. A1 = F1 x1 = p1S1 x1 A2 = F2 x2 = p2 S 2 x2 A2 = A1 S 2 x2 = S1 x1

p1 = p2Paskalov zakon: Pritisak koji se spolja vri na neku tenost (ili, u optem sluaju, na fluid) prenosi se kroz nju nesmanjenim intenzitetom na sve strane podjednako. Mogue je menjati intenzitet, pravac i smer delovanja sile pomou tenosti u zatvorenom sudu.159

PritisakHidraulina presa - ilustracija primene Paskalovog zakona

F2 = F1

S2 S1

160

Hidrostatiki pritisakU tenostima postoji pritisak koji je posledica delovanja gravitacione sile na sve estice (molekule) tenosti. Svaki deli tenosti svojom teinom vri pritisak na delie ispod njega. Ovaj pritisak raste sa dubinom.

F = 0i i

p2 S p1S Q = 0

p2 S p1S Shg = 0 p2 = p1 + gh

ili:p= Q mg Vg Shg = = = = gh S S S S p = gh161

Hidrostatiki pritisak stuba tenosti gustine i visine h:

Hidrostatiki pritisakPritisak u fluidu zavisi samo od dubine h, a ne i od ukupne koliine ili teine fluida (tenosti) u sudu.

Ako se iznad slobodne povrine tenosti nalazi atmosfera, tada je ukupan pritisak na dubini h jednak zbiru atmosferskog p0 i hidrostatikog gh:

puk = p0 + gh

162

Potisak. Arhimedov zakon.Na sva tela potopljena u tenost deluje sila suprotnog smera od gravitacione, koja tei da istisne telo iz tenosti - sila potiska. Sila potiska je posledica injenice da hidrostatiki pritisak raste sa dubinom, tj. njen uzrok je razlika u hidrostatikim pritiscima koji na uronjeno telo deluju na njegovoj gornjoj i donjoj strani.Fp = F2 F1 = p2 S p1S Fp = [ p0 + g ( h + x) ( p0 gx)] S Fp = ghSx - dubina na mestu gornje povrine

Fp = gV = m f g

Sila potiska je jednaka teini istisnute tenosti (fluida). Tela jednake zapremine trpe delovanje jednakih sila potiska.

163

Potisak. Arhimedov zakon.Svako telo uronjeno u tenost prividno gubi od svoje teine toliko koliko tei istisnuta tenost - Arhimedov zakon.Efektivna teina tela (gustine t) potopljenog u tenost (fluid, gustine f):

Qef = Q Fp = (t f ) g V

t > f t = f t < f

Q > Fp Q = Fp Q < Fp

telo tone telo lebdi telo pliva

164

Povrinski napon

Povrinski napon je pojava naruavanja ravnotee privlanih meumolekulskih sila u povrinskom (tj. graninom) sloju u tenostima. Usled postojanja povrinskog napona, tenosti tee da smanje svoju slobodnu povrinu. Koeficijent povrinskog napona je rad na dovoenju molekula tenosti na povrinu koji je potrebno izvriti za jedinino poveanje slobodne povrine tenosti.

=

A S

165

Povrinski naponU zavisnosti od materijala sa kojim se granii tenost, razlikuju se sluajevi kada tenost kvasi (jae athezione sile), odnosno ne kvasi (jae kohezione sile) sud u kome se nalazi.

Kapilarnost je pojava da se tenost u uskim kapilarnim cevima ne ponaa po principu spojenih sudova, ve zauzima vii ili nii nivo u odnosu na nivo u spoljanjem sudu.

166

Osobine gasova. Atmosferski pritisakU gasovima su meumolekulske sile slabe, a potencijalna energija koja tei da ih dri na okupu je manja od njihove kinetike energije. Nemaju stalan oblik ni zapreminu. Pritisak u zatvorenim gasovima se prenosi podjednako u svim pravcima vai Paskalov zakon. I u gasovima deluje sila potiska, ali je ona, zbog njihove male gustine, relativno mala. Pritisak koji vre gasovi atmosfere na sva tela na Zemlji naziva se atmosferski pritisak.

p0 = g ( y2 y1 ) = g hTorielijev ogled 167

Atmosferski pritisakSa poveanjem nadmorske visine, atmosferski pritisak opada. p0, 0 - pritisak i gustina vazduha na povrini Zemlje. Uz pretpostavku da se temperatura atmosfere ne menja sa visinom, moe se izvesti tzv. barometarska formula:

gh p = p0 exp 0 p0

168

Dinamika fluidaPod uticajem sile fluidi (tenosti i gasovi) se kreu, a pravac i smer kretanja zavisi od smera i pravca delovanja sile i oblika prostora. Pojedini delovi fluida se mogu kretati razliitim brzinama jedni u odnosu na druge. Strujna linija je zamiljena linija du koje se kreu estice fluida - kriva linija kod koje je tangenta u svakoj taki kolinearna sa vektorom brzine. Brzina estica se du strujne linije menja po intenzitetu i pravcu. Strujna cev je deo fluida ogranien strujnim linijama, a broj estica unutar strujne cevi je stalan.

169

Dinamika fluidaStacionarno kretanje je kretanje kod kojeg se raspored strujnih linija ne menja u toku vremena (brzina mala i nema prepreka na putu fluida) brzina u svakoj taki ostaje konstantna u toku vremena. Turbulentno kretanje je sloeno kretanje, u kome se formiraju vrtlozi (brzo proticanje i brze promene brzine delia fluida pri nailasku na prepreke). Idealni fluid je: - nestiljivi fluid (stalna gustina) - koji se kree bez trenja (neviskozni fluid) - koji se kree stacionarno (laminarno, slojevito) - koji se kree bez vrtloga. U realnim fluidima uvek postoji trenje (posledica meumolekularnih sila).

170

Jednaina kontinuiteta.Zbog osobine nestiljivosti, zapremine proteklog fluida na dva razliita preseka strujne cevi su jednake.

V1 = S1 v1t V2 = S 2 v2 t V1 = V2

S1v1 = S 2v2

S v = const.

Jednaina kontinuiteta171

Jednaina kontinuiteta.U optem, tj. realnom sluaju, kada je fluid stiljiv (ima razliitu zapreminu, pa tako i gustinu u razliitim delovima strujne cevi), uzima se da je maseni protok fluida na dva razliita preseka strujne cevi jednak (kolikamasa fluida proe kroz jedan popreni presek strujne cevi, tolika masa mora proi u jedinici vremena i kroz bilo koji drugi popreni presek).

m1 = 1S1 v1 tm1 m2 = t t

m2 = 2 S 2 v2 t 1S1v1 = 2 S 2 v2

S v = const.

Jednaina kontinuiteta

Protok fluidaProtok fluida je protekla koliina (zapremina) fluida kroz strujnu cev u jedinici vremena:

Q=

V =Sv t

Qm =

m V = = S v t t

172

Bernulijeva jednainaStrujanje tenosti (fluida) je posledica delovanja spoljanjih sila. Rad spoljanjih sila menja kinetiku i potencijalnu energiju tenosti.Neka je m masa potisnutog (nestiljivog) fluida za vreme t u bilo kom preseku strujne cevi:

V1 = V2 =

m

m = S1v1t = S 2 v2 t2 m v2 m v12 2 2

Ek =

E p = mgh2 mgh1*Danijel Bernuli (1700-1782), vajcarski fiziar i matematiar.173

Bernulijeva jednainaNa osnovu zakona odranja energije, promena ukupne energije fluida E je jednaka radu spoljanjih sila A:2 m v2 m v12 E = 2 + mgh2 2 + mgh1

V1 = V2 V

A = F1l 1 F2l 2 = p1S1l 1 p2 S 2 l 2 = p1V1 p2V2 = ( p1 p2 )VZnak "" je zbog suprotnog smera sile F2 u odnosu na smer kretanja fluida.

p1 +

v12 v2 + gh1 = p2 + 2 + gh2 2 2

v2 p+ + gh = const. 2Bernulijeva jednaina

Kod stacionarnog strujanja nestiljivog fluida zbir statikog p, visinskog gh i dinamikog v2/2 pritiska du strujne cevi je stalan.Ili: suma pritiska p, kinetike energije po jedinici zapremine v2/2 i potencijalne energije po jedinici zapremine gh nestiljivog fluida ima konstantnu vrednost du strujne cevi. 174

Isticanje tenosti kroz male otvore. Torielijeva teorema.p1 = p2 p0 h1 = H h2 = 0

v2 >> v1 v1 0 v2 v

p0 +

v12 v2 + gH = p0 + 2 2 2

v = 2 gH

Torielijeva teorema: brzina isticanja tenosti iz irokog i otvorenog prema atmosferi suda kroz mali otvor, koji se nalazi na vertikalnom rastojanju H od nivoa slobodne povrine, jednaka je brzini slobodnog pada tela sa iste visine.175

ViskoznostViskoznost je pojava unutranjeg trenja koje se javlja izmeu slojeva tenosti pri laminarnom (slojevitom) kretanju. Prema Njutnovom zakonu za viskoznost, sila viskoznog trenja F je srazmerna dodirnoj povrini izmeu slojeva S, a obrnuto srazmerna gradijentu brzine dv/dz (promena brzine du pravca normalnog na brzinu kretanja):

F = S

dv dz

- koeficijent dinamike viskoznosti (u [Pas]) - koeficijent kinematike viskoznosti (u [m2/s]).

=

Sa porastom temperature viskoznost tenosti opada, a gasova raste.176