TEHNIČKA MEHANIKA2

7/28/2019 TEHNIKA MEHANIKA2

1/17

NAPREZANJA, POMACI I DEFORMACIJE

Seminarski rad iz premeta Tehnika mehanika 2

Zlatan Vasi

Br. indeksa OFM276

Brko, decembar 2012


2/17

1

SADRAJ

1. NAPREZANJA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1 Normalno naprezanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Smiue naprezanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Prostorno stanje naprezanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Ravno stanje naprezanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. POMACI I DEFORMACIJE .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3. LITERATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16


3/17

2

1. NAPREZANJA

Uticaj unutranjih sila na posmatrani element ovisi o svojstvima materijala od kojeg jeelement izraen i dimenzijama elementa. Promatramo li dva elementa izraena od istog

materijala, veu e silu moi preuzeti element veih dimenzija. Zbog toga se vrlo esto priproraunu konstrukcije prikazuju naprezanja umjesto unutranjih sila u presjeku.

Naprezanje se moe openito definisati kao sila u presjeku elementa podijeljena s povrinomna koju djeluje. Jedinica za naprezanje je Paskal (Pa). Jedan Paskal je naprezanje silom od 1N

na povrinu od 1 m2

(1 Pa = 1 N/m2). Paskal je vrlo mala veliina pa se esto kao jedinica za

naprezanje koristi MegaPascal (1 MPa = 1 N/mm2).

Elementi u konstrukcijama su rijetko izloeni djelovanju samo jedne vrste sila. Na elementravninske linijske konstrukcije kao jedne od jednostavnijih konstrukcija uopteno djelujekombinacija uzdune sile, poprene sile i momenta savijanja. U prostornim konstrukcijama

stanje unutranjih sila je jo sloenije. Kao rezultat ovakvih djelovanja javlja se sloeno stanjenaprezanja u presjeku koje se moe podijeliti u dvije vrste: normalno naprezanje koje djelujeokomito na ravan posmatranog presjeka i smiue naprezanje koje djeluje u ravni

posmatranog presjeka.

1.1 Normalno naprezanje

Ako posmatramo dio linijskog elementa izloenog djelovanju uzdune sile N. Proraun

unutranjih sila linijskog elementa vrimo s pretpostavkom da su dimenzije poprenogpresjeka elementa zanemarivo male u odnosu na njegovu duinu. U stvarnosti poprenipresjek ima konane dimenzije koje treba uzeti u obzir pri proraunu naprezanja. Akopresjeemo element u presjeku x-x tada e se u posmatranom presjeku kao rezultat djelovanjauzdune sile N

xjaviti naprezanje

xxjednoliko rasporeeno po povrini poprenog presjeka:

=

. Prvi indeks odreuje smjer vanjske normale na popreni presjek, a drugi indeks

smjer naprezanja. Naprezanje xx

je normalno naprezanje koje djeluje u smjeru osi x u

poprenom presjeku s vanjskom normalom u smjeru osi x.

Crte 1. Normalno naprezanje u presjeku


4/17

3

Naprezanje ne mora uvijek biti jednoliko rasporeeno po povrini poprenog presjeka. U tomsluaju uzimamo da na elementarnu povrinu dA djeluje sila dN

xpa je naprezanje dato

izrazom: =

Integracijomprethodnog izraza po povrini poprenog presjeka dobivamo ukupnu silu:

1.2 Smiue naprezanje

Unutranja sila u presjeku linijskog nosaa se obino sastoji od uzdune komponente Nx

i

poprene komponente Ty. Komponenta Nx uzrokuje normalno naprezanje, dok komponenta Tykoja djeluje u ravni poprenog presjeka uzrokuje smiue naprezanje.

Crte 2. Normalno i smiue naprezanje u presjeku

Pretpostavimo li da je naprezanje jednoliko rasporeeno po povrini poprenog presjeka,

dobivamo izraz za posmino naprezanje: xy =

Ako u presjeku djeluje i poprena sila u smjeru z, tada e postojati i smiue naprezanje u

istom smjeru: xz =

Indeksi uz smiue naprezanje odreuju se analogno kao i kod normalnog naprezanja. Prviindeks odreuje smjer vanjske normale na popreni presjek, a drugi indeks smjer naprezanja.

U sluaju nejednolike raspodjele naprezanja u presjeku, smiua naprezanja moemo odrediti

prema izrazima: xy =

; xz =


5/17

4

a odgovarajue poprene sile u presjeku integracijom po povrini poprenog presjeka:

Umjesto oznaka xy, xz mogu se za smiua naprezanja koristiti i oznake , .

1.3 Prostorno stanje naprezanja

Posmatramo li tijelo u prostoru izloeno djelovanju vanjskih sila te ga prereemo na dva

dijela, tada na presjenoj plohi djeluje vektor punog naprezanja kojeg moemo rastaviti nakomponentu naprezanja okomito na ravninu presjeka (normalno naprezanje) i komponentunaprezanja u ravni presjeka (smiue naprezanje).

Crte 3. Naprezanja na ravan presjeka

Orjenitramo li ravni presjeka okomito na koordinatne osi y i z, dobit emo na svakoj od tih

ravni tri komponente naprezanja, jednu normalnu i dvije smiue.


6/17

5

Posmatramo li diferencijalno mali trodimenzionalni element izrezan iz krutog tijela u prostorutada se na svakoj plohi elementa javljaju tri komponente naprezanja.

Crte 4. Prostorno stanje naprezanja

Stanje naprezanja u prostoru potpuno je odreeno s 9 komponenti naprezanja, tri normalne iest smiuih komponenti, koje djeluju na tri meusobno okomite ravni, a moemo ih

prikazati u obliku kvadratne matrice:


7/17

6

koju nazivamo matricom tenzora naprezanja ili krae tenzorom naprezanja. Elementi jednogretka matrice predstavljaju komponente naprezanja u jednoj ravnini. Normalna naprezanja iiesto oznaavamo sa i, a smiua sa ij sa ij.

Komponente naprezanja ij su pozitivne ako djeluju u pozitivnim smjerovima koordinatnih

osi na povrini s vanjskom normalom orjentiranom u smjeru koordinatne osi, odnosno akodjeluju u negativnim smjerovima koordinatnih osi na povrini s vanjskom normalomorijentiranom suprotno od koordinatne osi. Komponenta naprezanja +ii djeluje u smjeruvanjske normale pa je to zatezanje, a iije pritisak.

Iz tijela u stanju ravnotee izreimo beskonano mali prostorni diferencijalni element sastranicama dx, dy, dz. Pri homogenom stanju naprezanja na paralelnim stanicama prikazanogdiferencijalnog elementa djeluju komponente iste veliine. U optem sluaju komponentenaprezanja su neprekinute funkcije koordinata ij= ij (x,y,z) pa na paralelnim stranicamaelementa ne djeluju komponente naprezanja jednakog iznosa. Razlika izmeu komponetimoe se prikazati preko diferencijalnih prirasta naprezanja na razmacima dx, dy, dz.

Teitem prostornog diferencijalnog elementa postavimo os z0paralelno s osi z i postavimo

jednainu ravnotee Mz0

= 0. Moment u odnosu na os z0dat e samo smiue komponente

naprezanja okomite na tu os prikazane na crteu. Iz uvjeta ravnotee Mz0

= 0 dobijamo:

Crte 5. Smiua naprezanja na diferencijalnom elementu u ravni xy

Ako se jednaina podijeli s dx, dy i dz i zanemare diferencijalni prirasti u odnosu na osnovneveliine xy i yx dobivamo da je xy = yx.

Analogno tome bi smo za Mx0= 0 i My

0= 0 dobili da je zy = yz i xz = zx.

Openito ove izraze moemo prikazati u oblikuij = ji, (i j, i,j = x,y,z).

Gornja jednaina izraava zakon o uzajamnosti smiuin naprezanja koji glasi:


8/17

7

U dvjema meusobno okomitim ravnima komponente smiuih naprezanja koje su

okomite na presjenicu tih ravnina jednake su po iznosu i usmjerene su prema

presjenici tih ravni ili od nje.

Kako su smiue komponente naprezanja s jednakim indeksima jednake, broj nezavisnih

komponenti naprezanja tenzora naprezanja se smanjuje s 9 na 6. Matrica tenzora naprezanjaima oblik:

Primjer:

tap poprenog presjeka povrine A izloen je djelovanju uzdune sile F. Potrebno jeizraunati normalno i smiue naprezanje u ravni s normalom pod uglom u odnosu na ostapa. Kod tapa izloenog djelovanju uzdune sile naprezanja u presjeku su rasporeena

jednoliko po povrini poprenog presjeka.

Crte 6. Naprezanja u presjeku tapa

Vanjsku silu F moemo u poprenom presjeku pod uglom prikazati kao zbroj normalnekomponente N = Fcos i tangencijalne komponente T = Fsin.

Naprezanju u presjeku iznose:

- normalna

- smiua


9/17

8

Uvrtavajui razliite vrijednosti za ugao vidljivo je da normalno naprezanje opada spoveanjem ugla . Najvee normalno naprezanje je u poprenom presjeku okomitom na ostapa (=0) i iznosi A/F=. Smiue naprezanje raste s poveanjem ugla od 0 do 45.

Najvee je u poprenom presjeku pod uglom od 45 i iznosi = 0,5F/A. S daljnjimpoveavanjem ugla smiue naprezanje opada.

1.4 Ravninsko stanje naprezanja

Tenzor naprezanja

Jednaine transformacije

Jednaine transformacije slue za odreivanje naprezanja u proizvoljnom smjeru ako supoznate komponente naprezanja u dva meusobno okomita smjera.

OA = ABsin, OB = ABcos


10/17

9

Uvjeti ravnotee:

Iz (1) i (2) slijedi sistem od 2x2 jednadbi:

Rjeenje sistema:

Analogno je:

Smjerovi i veliine glavnih naprezanja

Trai se ugao e= za koji su normalna naprezanja

ni

tekstremna. To je ugao za koji je

Pravci na kojima ne djeluje smiue naprezanje nazivaju se glavne osi naprezanja, a normalnanaprezanja koja djeluju na tim pravcima nazivaju se glavna naprezanja i oznaavaju s

1,

2.


11/17

10

Veliine glavnih naprezanja:1 = max, 2 = min, 1 mora biti vee ili jednako kao 2.

Zbir normalnih naprezanja u bilo koja dva okomita smjera:

Dijagonala smicanja pravac koji spaja vrhove kvadrata prema kojem djeluju smiuanaprezanja

xy

Maksimalno naprezanje ima pravac koji lei izmeu dijagonale smicanja i algebarski veegnormalnog naprezanja.

Smjerovi i veliina maksimalnih smiuih naprezanja nalaze se pod uglom = -

4


12/17

11

Mohr-ova krunica naprezanja

Grafika konstrukcija za transformaciju naprezanja i odreivanje smjerova i veliine glavnihnaprezanja.

2. POMACI I DEFORMACIJE

Djelovanje sila na tijelo izaziva pomjeranje tijela koje moemo pratiti u odabranomkoordinatnom sistemu preko komponenti pomaka u=u(x,y,z); v=v(x,y,z); w=w(x,y,z) usmjeru odgovarajuih koordinatnih osa.

Ukupan pomak moe se izraziti kao zbir komponenti:

Pored pomaka mogue je pratiti i deformaciju tijela. Promjena razmaka meu promatranimtakama tijela A i B naziva se apsolutna deformacija duine AB. Vanija veliina odapsolutne deformacije je relativna deformacija koja predstavlja promjenu udaljenosti meutakama podijeljenu s poetnom duinom.

Kao to naprezanja mogu biti normalna i smiua tako postoji normalna i smiua relativnadeformacija. Promatrajmo tap izloen djelovanju uzdune sile zatezanja.


13/17

12

Crte 7. Deformiranje tapa izloenog djelovanjeu uzdune sile

tap se uzduno rastee za veliinulx

i istovremeno se popreno suava, ali emo u ovom

trenutku to zanemariti. Ako poetnu duinu tapa oznaimo s lx, a produljenje (apsolutnu

deformaciju) s lx, veliinaxx =

l

lnaziva se relativna normalna deformacija. Kako

normalno naprezanje izaziva samo promjenu duine tapa, nee doi do promjene ugla meuslojevima koji se pomiu.

Crte 8. Normalna deformacija tapa

Na slijedeem crteu prikazana je pravougaona ploa koja je zglobnim leajevima vezana spodlogom i optereena smiuom silom na gornjem rubu.

Crte 9. Deformiranje pravougaone ploe izloene smiuoj sili

Dimenzije ploe uslijed djelovanja zadane sile se ne mijenjaju, meutim cijela ploa sedeformira na nain da dolazi do meusobnog klizanja horizontalnih slojeva te do promjeneugla meu stranicama.


14/17

13

Crte 10. Smiue deformiranje pravougaone ploe

Ovakva deformacija naziva se ugaona deformacija ili relativna smiua deformacija ipredstavlja relativnu promjenu ugla meu stranicama u odnosu na poetni pravi ugao.

tg xy .

U prostoru su deformacije funkcije pomaka u, v, w u smjeru tri meusobno okomitekoordinatne osi i openito su male u odnosu na dimenzije konstrukcije, mijenjaju se od takedo take pa se izraavaju u obliku derivacija.

Relativnu normalnu deformaciju u smjeru koordinatnih osi x,y,z oznaavamo sa xx, yy, zzrelativnu smiuu deformaciju u koordinatnim ravninama sa xy, yz, zx.

Pored ovih oznaka u analizi ugaonih deformacija upotrebljavaju se oznake

Tenzor deformacija u prostoru je oblika:


15/17

14

Slino kao i kod naprezanja vrijedi uzajamnost smiuihdeformacija ij = ji; i,j = 1,2,3.

Veza izmeu relativnih deformacija i pomaka izvest e se za pravougaonuplou smjetenu uravni x-y. Promatrani problem je dvodimenzionalan.

- relativna promjena pomakau u x smjeru

Normalna deformacija:

Analogno je


16/17

15

Smiua deformacija (ukupna promjena ugla):

Analogno izvedenim izrazima za relativne deformacije u ravni, za diferencijalno mali elementu prostoru dimenzija dx-dy-dz i komponente pomaka u, v, w u smjeru koordinatnih osi x-y-zrelativne normalne deformacije su prikazane izrazom:

a smiue deformacije:

Primijetimo da u sluaju slobodnog pomicanja konstrukcije moe doi do translacijskihpomaka i rotacija, ali pri tome ne dolazi do deformacije konstrukcije. Deformacija se dogaasamo u uvjetima sprijeenih pomaka odnosno rotacija.

Primjer translatornog pomaka (nema deformacija):

Primjer rotacijskog pomaka (nema deformacija):


17/17

16

3. LITERATURA

1. imi V., Otpornost materijala I, kolska knjiga , Zagreb 1994

2. Verbi B., Otpornost materijalaskripta, Graevinski fakultet Sarajevo 1989

3. ivaljevi LJ., Karai T., Statika graevinskih konstrukcija, Svjetlost, Sarajevo 1987

Documents

TEHNIČKA MEHANIKA2