Upload
eraser77
View
467
Download
19
Tags:
Embed Size (px)
Citation preview
1
Tehnici de optimizare
Programare liniara
MULTIPLE CHOICE
1. Fie problema de programare liniara:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
[max] 5 10 20
2 3 5
2 4
2 2 6
0, 1,3i
f x x x
x x x
x x x
x x x
x i
= + +
+ + ≤
+ + ≤ + + ≤
≥ =Sa se aduca la forma standard pentru simplex.
a.
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 5
1 2 3 6
[max] 5 10 20
2 3 5
2 4
2 2 6
0, 1,6i
f x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x i
= + +
+ + + ≤
+ + + ≤ + + + ≤
≥ =b. [max]f = 5x 1 + 10x 2 + 20x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 0x 6
x 1 + 2x 2 + 3x 3 + x4 = 5
2x1 + x 2 + x 3 + x 5 = 4
x 1 + 2x 2 + 2x 3 + x6 = 6
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x i ≥ 0,i = 1,6
c.
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 5
1 2 3 6
[max] 5 10 20
2 3 5
2 4
2 2 6
0, 1,6i
f x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x i
= + +
+ + − =
+ + − = + + − =
≥ =
d.
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4
1 2 3 5
1 2 3 6
[max] 5 10 20
2 3 5
2 4
2 2 6
0, 1,6i
f x x x Mx Mx Mx
x x x x
x x x x
x x x x
x i
= + + + + +
+ + + =
+ + + = + + + =
≥ =
2
2. Fie problema de programare liniara
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
[max] 5 10 20
2 3 5
2 4
2 2 6
0, 1,3i
f x x x
x x x
x x x
x x x
x i
= + +
+ + ≤
+ + ≤ + + ≤
≥ =Prima iteratie a algoritmului simplex este
5 10 20 0 0 0CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6
0 a 4 5 1 2 3 1 0 0
0 a 5 4 2 1 1 0 1 0
0 a 6 6 1 2 2 0 0 1
f j 0 0 0 0 0 0
∆ j = c j − f j 5 10 20 0 0 0
Pivotul se afla pe linia corespunzatoare lui a. a 4
b. a 5
c. a 6
3. Fie problema de programare liniara
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
[max] 5 10 20
2 3 5
2 4
2 2 6
0, 1,3i
f x x x
x x x
x x x
x x x
x i
= + +
+ + ≤
+ + ≤ + + ≤
≥ =Prima iteratie a algoritmului simplex este
5 10 20 0 0 0CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6
0 a 4 5 1 2 3 1 0 0
0 a 5 4 2 1 1 0 1 0
0 a 6 6 1 2 2 0 0 1
f j 0 0 0 0 0 0
∆ j = c j − f j 5 10 20 0 0 0
Stabiliti care este vectorul care iese, respectiv vectorul care intra in bazaa. intra a 3 , iese a 4
b. intra a 3 , iese a 5
c. intra a 3 , iese a 6
d. intra a 1 , iese a 6
e. intra a 1 , iese a 5
3
4. Fie problema de programare liniara
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
[max] 5 10 20
2 3 5
2 4
2 2 6
0, 1,3i
f x x x
x x x
x x x
x x x
x i
= + +
+ + ≤
+ + ≤ + + ≤
≥ =Care este solutia optima pentru problema de programare liniara?
a. max f =10
3, x o = 0,0,
5
3
Ê
Ë
ÁÁÁÁÁÁÁ
ˆ
¯
˜̃˜̃˜̃˜, y o = 0,
7
3,8
3
Ê
Ë
ÁÁÁÁÁÁÁ
ˆ
¯
˜̃˜̃˜̃˜
b. max f =100
3, x o = 0,0,
5
3
Ê
Ë
ÁÁÁÁÁÁÁ
ˆ
¯
˜̃˜̃˜̃˜, y o = 0,
7
3,8
3
Ê
Ë
ÁÁÁÁÁÁÁ
ˆ
¯
˜̃˜̃˜̃˜
c. max f =100
3,x o = 0,
7
3,8
3
Ê
Ë
ÁÁÁÁÁÁÁ
ˆ
¯
˜̃˜̃˜̃˜, y o = 0,0,
5
3
Ê
Ë
ÁÁÁÁÁÁÁ
ˆ
¯
˜̃˜̃˜̃˜
d. alt raspuns
5. Fie problema de programare liniara[max]f = 7x 1 + 8x 2
2x 1 + x 2 ≤ 5
x 1 + 2x 2 ≤ 4
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0
Forma standard pentru simplex a problemei de programare liniara estea. [max]f = 7x 1 + 8x 2
2x 1 + x 2 + y1 = 5
x 1 + 2x 2 − y2 = 4
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0,y 1 ,y 2 ≥ 0
c. [max]f = 7x 1 + 8x 2 +My1 +My 2
2x 1 + x 2 + y1 = 5
x 1 + 2x 2 + y2 = 4
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0,y 1 ,y 2 ≥ 0
b. [max]f = 7x1 + 8x 2 + 0y 1 + 0y 2
2x 1 + x 2 + y 1 = 5
x 1 + 2x 2 + y 2 = 4
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0,y 1 ,y2 ≥ 0
d. [max]f = 7x 1 + 8x 2 −My1 −My 2
2x 1 + x 2 + y1 = 5
x 1 + 2x 2 + y2 = 4
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0,y 1 ,y 2 ≥ 0
4
6. Fie problema de programare liniara[max]f = 7x 1 + 8x 2
2x 1 + x 2 ≤ 5
x 1 + 2x 2 ≤ 4
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0
Prima iteratie a algoritmului simplex este:7 8 0 0
CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4
0 a 3 5 2 1 1 0
0 a 4 4 1 2 0 1
f j 0 0 0 0 0
∆ j 7 8 0 0
Pivotul se afla pe coloana corespunzatoare lui a. a 1
b. a 2
c. a 3
d. a 4
7. Fie problema de programare liniara[max]f = 7x 1 + 8x 2
2x 1 + x 2 ≤ 5
x 1 + 2x 2 ≤ 4
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0
Prima iteratie a algoritmului simplex este:7 8 0 0
CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4
0 a 3 5 2 1 1 0
0 a 4 4 1 2 0 1
f j 0 0 0 0 0
∆ j 7 8 0 0
Stabiliti care este vectorul care intra, respectiv vectorul care iese din bazaa. intra a 1 , iese a 3
b. intra a 2 , iese a 3
c. intra a 1 , iese a 4
d. intra a 2 , iese a 4
5
8. Fie problema de programare liniara[max]f = 7x 1 + 8x 2
2x 1 + x 2 ≤ 5
x 1 + 2x 2 ≤ 4
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0
Aplicandu-se algoritmul simplex se ajunge la un moment dat la:7 8 0 0
CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4
0 a 3 3 3
2
0 1−
1
28 a 2 2 1
2
1 0 1
2f j 16 4 8 0 4
∆ j
Linia lui ∆ j este
a. 3, 0, 0, -4b. -3, 0, 0, 4c. 7, 8, 0, 0d. -7, -8, 0, 0
9. Fie problema de programare liniara[max]f = 7x 1 + 8x 2
2x 1 + x 2 ≤ 5
x 1 + 2x 2 ≤ 4
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0
Aplicandu-se algoritmul simplex se ajunge la un moment dat la:7 8 0 0
CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4
0 a 3 3 3
2
0 1−
1
28 a 2 2 1
2
1 0 1
2f j 16 4 8 0 4
∆ j 3 0 0 -4
Pivotul se afla pe coloana lui a. a 1
b. a 2
c. a 3
d. a 4
6
10. Fie problema de programare liniara[max]f = 7x 1 + 8x 2
2x 1 + x 2 ≤ 5
x 1 + 2x 2 ≤ 4
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0
a. problema are optim infinit;
b. solutia optima este f max = 54, x o = 2,5ÊËÁÁ ˆ
¯˜̃ ,y o = 0,0Ê
ËÁÁ ˆ
¯˜̃
c. solutia optima este f max = 22, x o = 2,1ÊËÁÁ ˆ
¯˜̃ ,y o = 0,0Ê
ËÁÁ ˆ
¯˜̃
d. solutia optima este f max = 29, x o = 3,1ÊËÁÁ ˆ
¯˜̃ ,y o = 0,0Ê
ËÁÁ ˆ
¯˜̃
11. Fie problema de programare liniara[min]f = 6x1 + 7x2
−x 1 + x2 ≥ 1
x 1 − 2x 2 ≤ 1
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0
Matricea asociata formei standard este
a. A = −1
1
1
2
1
1
0
0
Ê
Ë
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ˆ
¯
˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃̃
c. A = 1
1
1
2
1
0
1
0
Ê
Ë
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ˆ
¯
˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃̃
b. A = −1
1
1
−2
1
0
0
1
Ê
Ë
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ˆ
¯
˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃̃
d. A = −1
1
1
−2
−1
0
0
1
Ê
Ë
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ˆ
¯
˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃̃
12. Fie problema de programare liniara[min]f = 6x1 + 7x2
−x 1 + 5x 2 ≥ 1
x 1 − 2x 2 ≥ 1
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0
Duala acestei probleme de programare liniara estea. [max]g = 6y 1 + 7y 2
−y 1 + 5y 2 ≥ 1
y1 − 2y2 ≥ 1
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
y 1 ,y 2 ≥ 0
c. [max]g = y 1 + y 2
−y 1 + y 2 ≤ 6
5y 1 − 2y 2 ≤ 7
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
y 1 ,y2 ≥ 0
b. [max]g = y 1 + y 2
−y 1 + 5y 2 ≥ 6
y 1 − 2y 2 ≥ 7
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
y 1 ,y2 ≥ 0
d. [max]g = y 1 + y 2
−y 1 + y 2 ≥ 6
5y 1 − 2y 2 ≥ 7
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
y 1 ,y2 ≥ 0
7
13. Fie problema de programare liniara[min]f = 4x 1 + 5x 2 + 6x 3
x 1 + 2x 2 + x 3 ≥ 2
2x 1 + x 2 + x 3 ≥ 1
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ,x 3 ≥ 0
Duala acestei probleme de programare liniara este:a. [max]g = 2y 1 + y2
y1 + 2y2 ≥ 4
2y 1 + y 2 ≥ 5
y 1 + y 2 ≥ 6
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
y 1 ,y2 ≥ 0
c. [min]g = 2y 1 + y 2
y1 + 2y2 = 4
2y 1 + y 2 = 5
y 1 + y 2 = 6
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
y 1 ,y2 ≥ 0
b. [min]g = 2y 1 + y 2
y1 + 2y2 ≤ 4
2y 1 + y 2 ≤ 5
y 1 + y 2 ≤ 6
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
y 1 ,y2 ≥ 0
d. [max]g = 2y 1 + y2
y1 + 2y2 ≤ 4
2y 1 + y 2 ≤ 5
y 1 + y 2 ≤ 6
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
y 1 ,y2 ≥ 0
14. Fie problema de programare liniara[max]f = 2x1 − x 2 + 3x 3 + 2x 4 + 3x 5
3x 1 + 2x 3 + 5x 4 ≥ 4
2x 1 + x 2 − x3 + x 4 = 1
x 1 + 2x 3 + 2x4 + x 5 = 5
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x i ≥ 0,i = 1,5
Matricea asociata formei standard are prima linie:a. 3 0 2 5 0 1b. 3 2 5 4c. 3 0 2 5 0 -1d. alt raspuns
8
15. Fie problema de programare liniara[max]f = 7x 1 − 8x 2 + 3x 3 + 2x 4 + 2x 5
3x 1 + x 3 + x4 ≤ 4
2x1 − x 3 + x 4 + x 5 = 1
x 1 + x 2 + 2x3 + 2x4 = 5
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x i ≥ 0,i = 1,5
Dupa ce se aduce la forma standard se obtine primul tabel simplex:7 -8 3 2 2 0
CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6
4 3 0 1 1 0 11 2 0 -1 1 1 02 1 1 2 2 0 0
Baza initiala pentru algoritmul simplex estea. B = {a 6 ,a 2 ,a 5}
b. B = {a 2 ,a 6 ,a 5}
c. B = {a 2 ,a 5 ,a 6}
d. B = {a 6 ,a 5 ,a 2}
16. Fie problema de programare liniara[max]f = 2x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 2x 4 + 5x 5
3x 1 + x 3 + x4 ≤ 4
2x1 + x 2 − x 3 + x 4 = 1
x 1 + 2x 3 + 2x 4 + x5 = 5
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x i ≥ 0,i = 1,5
Dupa ce se aduce la forma standard se obtine primul tabel simplex:2 2 3 2 5 0
CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6
0 a 6 4 3 0 1 1 0 1
2 a 2 1 2 1 -1 1 0 0
5 a 5 2 1 0 2 2 1 0
Linia lui f j este
a. 12, 9, 2, 8, 12, 5, 0b. 0, 2, 2, 3, 2, 5, 0c. 0, 9, 2, -2, 12, 5, 0d. alt raspuns
9
17. Fie problema de programare liniara[max]f = 2x1 − x 2 + 3x 3 + 2x 4 + 3x 5
3x 1 + x 3 + x 4 ≤ 4
2x 1 + x 2 − x3 + x 4 = 1
x 1 + 2x 3 + 2x4 + x 5 = 5
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x i ≥ 0,i = 1,5
Dupa ce se aduce la forma standard se obtine tabelul simplex:2 -1 3 2 3 0
CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6
0 a 6 4 3 0 1 1 0 1
-1 a 2 1 2 1 -1 1 0 0
3 a 5 2 1 0 2 2 1 0
f j 5 1 -1 7 5 3 0
∆ j 1 0 -4 -3 0 0
Pivotul se afla pe coloana luia. a 1
b. a 2
c. a 3
d. a 4
18. Fie problema de programare liniara[max]f = 2x1 − x 2 + 3x 3 + 2x 4 + 3x 5
3x 1 + x 3 + x 4 ≤ 4
2x 1 + x 2 − x3 + x 4 = 1
x 1 + 2x 3 + 2x4 + x 5 = 5
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x i ≥ 0,i = 1,5
Dupa ce se aduce la forma standard se obtine tabelul simplex:2 -1 3 2 3 0
CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6
0 a 6 4 3 0 1 1 0 1
-1 a 2 1 2 1 -1 1 0 0
3 a 5 2 1 0 2 2 1 0
f j 5 1 -1 7 5 3 0
∆ j 1 0 -4 -3 0 0
Ce decizie se ia?
a. s-a obtinut solutia optima x o = 0,1,0,0,2ÊËÁÁ ˆ
¯˜̃
b. problema are optim infinitc. solutia obtinuta nu este optima, a 1 intra in baza, a 5 iese din baza
d. solutia obtinuta nu este optima, a 1 intra in baza, a 2 iese din baza
10
19. Fie problema de programare liniara[max]f = 2x1 − x 2 + 3x 3 + 2x 4 + 3x 5
3x 1 + x 3 + x 4 ≤ 4
2x 1 + x 2 − x3 + x 4 = 1
x 1 + 2x 3 + 2x4 + x 5 = 2
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x i ≥ 0,i = 1,5
Atuncia. problema are optim infinit
b. f max =11
2, x 0 =
1
2,0,0,0,
5
2
Ê
Ë
ÁÁÁÁÁÁÁ
ˆ
¯
˜̃˜̃˜̃˜
c. f max =11
2, x 0 =
1
2,0,1,0,
3
2
Ê
Ë
ÁÁÁÁÁÁÁ
ˆ
¯
˜̃˜̃˜̃˜
d. f max =11
2, x 0 =
1
2,0,0,0,
3
2
Ê
Ë
ÁÁÁÁÁÁÁ
ˆ
¯
˜̃˜̃˜̃˜
20. Se considera problema de transport:B1 B2 B3 Disponibil
N1 2 1 3 20
N2 1 4 2 45
N3 3 5 4 65
Necesar 30 40 60O solutie initiala de baza obtinuta prin metoda coltului N-V estea. x 11 = 20, x 21 = 10, x 22 = 35, x 32 = 5, x 33 = 60, in rest x ij = 0
b. x 11 = 20, x 21 = 30, x 22 = 35, x 32 = 5, x 33 = 20, in rest x ij = 0
c. x 11 = 30, x 21 = 10, x 22 = 15, x 32 = 5, x 33 = 60, in rest x ij = 0
d. x 11 = 20, x 21 = 15, x 22 = 35, x 32 = 10, x 33 = 60, in rest x ij = 0
21. Se considera problema de transport:B1 B2 B3 Disponibil
N1 2 1 3 20
N2 1 4 2 45
N3 3 5 4 65
Necesar 30 40 60O solutie initiala de baza obtinuta prin metoda costului minim pe linie estea. x 12 = 40, x 21 = 30, x 23 = 15, x 32 = 10, x 33 = 45, in rest x ij = 0
b. x 12 = 20, x 21 = 15, x 23 = 15, x 32 = 20, x 33 = 50, in rest x ij = 0
c. x 12 = 20, x 21 = 30, x 23 = 15, x 32 = 20, x 33 = 45, in rest x ij = 0
d. x 12 = 30, x 21 = 20, x 23 = 25, x 32 = 20, x 33 = 45, in rest x ij = 0
11
22. Fie problema de programare liniara[min]f = 6x1 + 8x2
5x 1 + 2x 2 ≥ 7
3x1 + x 2 ≥ 4
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1,2 ≥ 0
Duala acesti probleme de programare liniara estea. [max]f = 6x 1 + 8x 2
5x 1 + 2x 2 ≥ 7
3x1 + x 2 ≥ 4
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1,2 ≥ 0
c. [max]f = 7x 1 + 4x 2
5x 1 + 3x 2 ≤ 6
2x1 + x 2 ≤ 8
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1,2 ≥ 0
b. [max]f = 7x 1 + 4x 2
5x 1 + 3x 2 ≥ 6
2x1 + x 2 ≥ 8
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1,2 ≥ 0
d. [max]f = 7x 1 + 4x 2
5x 1 + 3x 2 = 6
2x1 + x 2 = 8
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1,2 ≥ 0
23. Fie problema de programare liniara[max]f = 3x1 + 5x2 + x 3 + 6x 4
x 1 + x 3 + 2x 4 ≤ 40
2x 1 + x 2 + 3x 3 ≤ 16
x 1 + x 2 + 2x 3 ≤ 48
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x i ≥ 0,i = 1,4
Matricea sistemului restictiilor este
a. A =
0
1
1
1
3
2
2
0
0
Ê
Ë
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ˆ
¯
˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜
b. A =
1
2
1
1
1
1
2
3
2
Ê
Ë
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ˆ
¯
˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜
c. A =
1
2
1
0
1
1
1
3
2
2
0
0
Ê
Ë
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ˆ
¯
˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜
d. A =
1
2
1
1
3
1
1
3
2
2
0
1
Ê
Ë
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ˆ
¯
˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜
12
24. Fie problema de programare liniara[max]f = 3x1 + 5x2 + x 3 + 6x 4
x 1 + x 3 + 2x 4 ≤ 40
2x 1 + x 2 + 3x 3 ≤ 16
x 1 + x 2 + 2x 3 ≤ 48
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x i ≥ 0,i = 1,4
Forma standard a problemei de programare liniara estea. [max]f = 3x1 + 5x2 + x 3 + 6x 4
x 1 + x 3 + 2x 4 = 40
2x 1 + x 2 + 3x 3 = 16
x 1 + x 2 + 2x 3 = 48
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x i ≥ 0,i = 1,4
b. [max]f = 3x1 + 5x2 + x 3 + 6x 4
x 1 + x 3 + 2x 4 ≥ 40
2x 1 + x 2 + 3x 3 ≥ 16
x 1 + x 2 + 2x 3 ≥ 48
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x i ≥ 0,i = 1,4
c. [max]f = 3x1 + 5x2 + x 3 + 6x 4 +My1 +My 2 +My3
x 1 + x 3 + 2x 4 + y 1 ≤ 40
2x 1 + x 2 + 3x 3 + y 2 ≤ 16
x 1 + x 2 + 2x 3 + y 3 ≤ 48
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x i ≥ 0,i = 1,4,y i ≥ 0, i = 1,3
d. [max]f = 3x 1 + 5x 2 + x 3 + 6x 4 + 0y 1 + 0y 2 + 0y 3
x 1 + x3 + 2x4 + y 1 = 40
2x 1 + x 2 + 3x 3 + y 2 = 16
x 1 + x2 + 2x3 + y 3 = 48
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x i ≥ 0,i = 1,4,y i ≥ 0,i = 1,3
13
25. Fie problema de programare liniara[max]f = 3x1 + 5x2 + x 3 + 6x 4
x 1 + x 3 + 2x 4 ≤ 40
2x 1 + x 2 + 3x 3 ≤ 16
x 1 + x 2 + 2x 3 ≤ 48
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x i ≥ 0,i = 1,4
Prima iteratie a algoritmului simplex esteCB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7
0 a 5 40 1 0 1 2 1 0 0
0 a 6 16 2 1 3 0 0 1 0
0 a 7 48 1 1 2 0 0 0 1
Linia lui ∆ estea. 3, 5, 1, 6, 0, 0, 0 b. -3, -5, -1, -6, 0, 0, 0 c. 3, 5, 1, 6, M, M, M d. 3, 5, 1, 6, -M, -M, -M
26. Fie problema de programare liniara[max]f = 3x1 + 5x2 + x 3 + 6x 4
x 1 + x 3 + 2x 4 ≤ 40
2x 1 + x 2 + 3x 3 ≤ 16
x 1 + x 2 + 2x 3 ≤ 48
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x i ≥ 0,i = 1,4
Prima iteratie a algoritmului simplex este3 5 1 6 0 0 0
CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7
0 a 5 40 1 0 1 2 1 0 0
0 a 6 16 2 1 3 0 0 1 0
0 a 7 48 1 1 2 0 0 0 1
f 0 0 0 0 0 0 0 0∆ j 3 5 1 6 0 0 0
Pivotul se afla pea. coloana lui a 3 , linia lui a 5
b. coloana lui a 3 , linia lui a 6
c. coloana lui a 4 , linia lui a 5
d. coloana lui a 4 , linia lui a 6
14
27. Fie problema de programare liniara[max]f = 3x1 + 5x2 + x 3 + 6x 4
x 1 + x 3 + 2x 4 ≤ 40
2x 1 + x 2 + 3x 3 ≤ 16
x 1 + x 2 + 2x 3 ≤ 48
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x i ≥ 0,i = 1,4
Prima iteratie a algoritmului simplex este3 5 1 6 0 0 0
CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7
0 a 5 40 1 0 1 2 1 0 0
0 a 6 16 2 1 3 0 0 1 0
0 a 7 48 1 1 2 0 0 0 1
f 0 0 0 0 0 0 0 0∆ j 3 5 1 6 0 0 0
Coloana lui a 1 din urmatorul tabel simplex este
a.
1
2
3
1
b.
1
2
2
1
c.
1
2
1
28. Fie problema de programare liniara[max]f = 3x1 + 5x2 + x 3 + 6x 4
x 1 + x 3 + 2x 4 ≤ 40
2x 1 + x 2 + 3x 3 ≤ 16
x 1 + x 2 + 2x 3 ≤ 48
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x i ≥ 0,i = 1,4
A doua iteratie a algoritmului simplex este3 5 1 6 0 0 0
CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7
6 a 4 20 1
2
0 1
2
1 1
2
0 0
0 a 6 16 2 1 3 0 0 1 0
0 a 7 48 1 1 2 0 0 0 1
f 120 3 0 3 6 3 0 0∆ j 0 5 -2 0 -3 0 0
Stabiliti care este vectorul care intra si respectiv care iese din bazaa. intra a 1 , iese a 7
b. intra a 2 , iese a 6
c. intra a 2 , iese a 7
d. intra a 1 , iese a 6
15
29. Fie problema de programare liniara[max]f = 3x1 + 5x2 + x 3 + 6x 4
x 1 + x 3 + 2x 4 ≤ 40
2x 1 + x 2 + 3x 3 ≤ 16
x 1 + x 2 + 2x 3 ≤ 48
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x i ≥ 0,i = 1,4
Prin aplicarea algoritmului simplex se ajunge la urmatorul tabel simplex3 5 1 6 0 0 0
CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7
6 a 4 20 1
2
0 1
2
1 1
2
0 0
5 a 2 16 2 1 3 0 0 1 0
0 a 7 32 -1 0 -1 0 0 -1 1
f 200 13 5 18 6 3 5 0∆ j -10 0 -17 0 -3 -5 0
Ce decizie se ia?a. problema are optim infinit;b. solutia obtinuta nu este ce optima: intra a 3 in baza si iese a 7
c. solutia obtinuta este cea optima si f max = 200, x o = 0,16,0,20ÊËÁÁ ˆ
¯˜̃ , y o = 0,0,32Ê
ËÁÁ ˆ
¯˜̃
d. solutia obtinuta este cea optima si f max = 172, x o = 20,16,32,0ÊËÁÁ ˆ
¯˜̃ , y o = 0,0,0Ê
ËÁÁ ˆ
¯˜̃
30. Fie problema de programare liniara:max f = 10x 1 + 16x 2 .
2x 1 + 5x 2 ≤ 1200
x1 + 1,5x2 ≤ 300
4x1 + x 2 ≤ 600
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0
Forma standard a problemei de programare liniara va fia. max f = 10x 1 + 16x 2 +Mu 1 +Mu 2 +Mu 3
2x 1 + 5x 2 + u 1 = 1200
x1 + 1,5x 2 + u 2 = 300
4x1 + x 2 + u 3 = 600
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0, u 1 ,u 2 ,u 3 ≥ 0
c. max f = 10x 1 + 16x 2 −Mu 1 −Mu 2 −Mu 3
2x 1 + 5x 2 + u 1 = 1200
x 1 + 5x 2 + u 2 = 300
4x1 + x 2 + u 3 = 600
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0, u 1 ,u 2 ,u 3 ≥ 0
b. max f = 10x 1 + 16x 2 + 0u 1 + 0u 2 + 0u 3
2x 1 + 5x 2 + u 1 = 1200
x1 + 1,5x 2 + u 2 = 300
4x1 + x 2 + u 3 = 600
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0, u 1 ,u 2 ,u 3 ≥ 0
d. max f = 10x 1 + 16x 2 − 0u 1 − 0u 2 − 0u 3
2x 1 + 5x 2 − u 1 = 1200
x 1 + 5x 2 − u 2 = 300
4x1 + x 2 − u 3 = 600
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0, u 1 ,u 2 ,u 3 ≥ 0
16
31. Fie problema de programare liniara:max f = 10x 1 + 16x 2
2x 1 + 5x 2 ≤ 1200
x1 + 1,5x2 ≤ 300
4x1 + x 2 ≤ 600
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0
Prima iteratie a algoritmului simplex este:10 16 0 0 0
CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5
0 a 3 1200 2 5 1 0 0
0 a 4 300 1 3/2 0 1 0
0 a 5 600 4 1 0 0 1
f j 0 0 0 0 0
∆ j = c j − f j 10 16 0 0 0
Pivotul se va afla pe coloana corespunzatoare lui:a. a 1 d. a 4
b. a 2 e. a 5
c. a 3
32. Fie problema de programare liniara:max f = 10x 1 + 16x 2
2x 1 + 5x 2 ≤ 1200
x1 + 1,5x2 ≤ 300
4x1 + x 2 ≤ 600
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0
Prima iteratie a algoritmului simplex este:10 16 0 0 0
CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5
0 a 3 1200 2 5 1 0 0
0 a 4 300 1 3/2 0 1 0
0 a 5 600 4 1 0 0 1
f j 0 0 0 0 0
∆ j = c j − f j 10 16 0 0 0
Stabiliti care este vectorul care intra in baza, respectiv care iese din bazaa. intra a 2 , iese a 3 d. intra a 1 , iese a 3
b. intra a 2 , iese a 4 e. intra a 1 , iese a 4
c. intra a 2 , iese a 5
17
33. Fie problema de programare liniara:max f = 10x 1 + 16x 2
2x 1 + 5x 2 ≤ 1200
x1 + 1,5x2 ≤ 300
4x1 + x 2 ≤ 600
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0
Prima iteratie a algoritmului simplex este:10 16 0 0 0
CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5
0 a 3 1200 2 5 1 0 0
0 a 4 300 1 3/2 0 1 0
0 a 5 600 4 1 0 0 1
f j 0 0 0 0 0
∆ j = c j − f j 10 16 0 0 0
Care este solutia optima pentru problema de programare liniara?
a. max f = 3200 x 0 = 0,200ÊËÁÁ ˆ
¯˜̃ ,
y=(200,0,400)
c. nu are solutie
b. max f = 3400 x 0 = 0,400ÊËÁÁ ˆ
¯˜̃ ,
y=(200,0,400)
34. Fie problema de programare liniara:min f = 2x 1 + x 2 + x 3 + 3x 4 + 2x 5
x 1 + x 4 + 2x 5 = 8
x 2 + 2x 4 + x5 = 12
x 3 + x4 + 3x5 = 16
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x i ≥ 0, i=1,2,3
Baza initiala pentru algoritmul simplex este
a. B = a 1 ,a 2 ,a 5
ÏÌÓ
ÔÔÔÔ
¸˝˛
ÔÔÔÔ d. B = a 2 ,a 3 ,a 4
ÏÌÓ
ÔÔÔÔ
¸˝˛
ÔÔÔÔ
b. B = a 1 ,a 2 ,a 3
ÏÌÓ
ÔÔÔÔ
¸˝˛
ÔÔÔÔ e. nu are baza initiala
c. B = a 1 ,a 3 ,a 4
ÏÌÓ
ÔÔÔÔ
¸˝˛
ÔÔÔÔ
18
35. Fie problema de programare liniara:min f = 2x 1 + x 2 + x 3 + 3x 4 + 2x 5
x 1 + x 4 + 2x 5 = 8
x 2 + 2x 4 + x5 = 12
x 3 + x4 + 3x5 = 16
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x i ≥ 0, i=1,5
2 1 1 3 2CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5
2 a 1 8 1 0 0 1 2
1 a 2 12 0 1 0 2 1
1 a 3 16 0 0 1 1 3
∆ j = c j − f j
Linia corespunzatoare lui ∆ j = c j − f j este
a. 2 1 1 3 2 c. 0 0 0 6 2
b. 2 1 1 5 8 d. 0 0 0 −2 −6
36. Fie problema de programare liniara:min f = 2x 1 + x 2 + x 3 + 3x 4 + 2x 5
x 1 + x 4 + 2x 5 = 8
x 2 + 2x 4 + x5 = 12
x 3 + x4 + 3x5 = 16
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x i ≥ 0, i=1,2,3
Precizati care este solutia optima
a. min f = 12 si x 0 = 0 4 4 8 0ÊËÁÁ
ˆ¯˜̃ c. min f = 16 si x 0 = 4 0 0 8 4Ê
ËÁÁ
ˆ¯˜̃
b. min f = 16 si x 0 = 4 0 4 8 0ÊËÁÁ
ˆ¯˜̃ d. min f = 20 si x 0 = 0 8 4 0 4Ê
ËÁÁ
ˆ¯˜̃
19
37. Fie problema de programare liniara:min f =x 1 + 2x 2 + x 5
2x 1 + x 2 + x3 ≥ 1
−x 1 + 3x 2 ≤ 0
2x 1 + 2x 2 + x 3 + x4 + x 5 = 5
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x i ≥ 0, ∀( )i = 1,5
Forma standard a problemei este :a. min f = x 1 + 2x 2 + x 5 + y 1 ⋅0− y 2 ⋅0
2x 1 + x 2 + x 3 + y 1 = 1
−x 1 + 3x 2 − y2 = 0
2x 1 + 2x 2 + x 3 + x4 + x 5 = 5
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x i ≥ 0, ∀( )i = 1,5 y j ≥ 0, ∀( )j = 1,2
c. min f = x 1 + 2x 2 + x 5 − y 1 ⋅0− y 2 ⋅0
2x 1 + x 2 + x 3 − y 1 = 1
−x 1 + 3x 2 − y2 = 0
2x 1 + 2x 2 + x 3 + x4 + x 5 = 5
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x i ≥ 0, ∀( )i = 1,5, y j ≥ 0, ∀( )j = 1,2
b. min f = x 1 + 2x 2 + x 5 + y 1 ⋅0+ y 2 ⋅0
2x 1 + x 2 + x 3 − y 1 = 1
−x 1 + 3x 2 + y2 = 0
2x 1 + 2x 2 + x 3 + x4 + x 5 = 5
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x i ≥ 0, ∀( )i = 1,5y j ≥ 0, ∀( )j = 1,2
38. Fie problema de programare liniara:min f =x 1 + 2x 2 + x 5
2x 1 + x 2 + x3 ≥ 1
−x 1 + 3x 2 ≤ 0
2x 1 + 2x 2 + x 3 + x4 + x 5 = 5
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x i ≥ 0, ∀( )i = 1,5
Matricea asociata problemei scrisa in forma standard este:
a. A =
2 1 1 0 0 −1 0
−1 3 0 0 0 0 −1
2 2 −1 −1 1 0 0
Ê
Ë
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ˆ
¯
˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜
c. A =
2 1 1 0 0 −1 0
−1 3 0 0 0 0 1
2 2 1 −1 −1 0 0
Ê
Ë
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ˆ
¯
˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜
b. A =
2 1 1 0 0 −1 0
−1 3 0 0 0 0 1
2 2 1 1 1 0 0
Ê
Ë
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ˆ
¯
˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜
d. A =
2 1 1 0 0 1 0
−1 3 0 0 0 0 1
2 2 1 1 1 0 0
Ê
Ë
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ˆ
¯
˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜
20
39. Fie urmatoarea problema de programare liniara:max f = 3x1 + 4x 2 + x 3
5x 1 − x 2 + 2x 3 + x4 = 7
x 1 + 2x 2 − x 3 − x5 ≥ 4
3x 1 + 2x 2 + 4x 3 ≤ 2
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x i ≥ 0
Matricea asociata formei standard este
a. A =
5 −1 2 1 0 0 0
1 2 −1 0 −1 −1 0
3 2 4 0 0 0 1
Ê
Ë
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ˆ
¯
˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜
c. A =
5 −1 2 1 0 0 0
1 2 −1 0 −1 1 0
3 2 4 0 0 0 1
Ê
Ë
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ˆ
¯
˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜
b. A =
5 −1 2 1 0 0 0
1 2 −1 0 1 −1 0
3 2 4 0 0 0 1
Ê
Ë
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ˆ
¯
˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜
d. A =
5 −1 2 1 0 0 0
1 2 −1 0 −1 1 0
3 2 4 0 0 0 1
Ê
Ë
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ˆ
¯
˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜
40. Fie urmatoarea problema de programare liniara:max f = 3x1 + 4x 2 + x 3
5x 1 − x 2 + 2x 3 + x4 = 7
x 1 + 2x 2 − x 3 − x5 = 4
3x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 2
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x i ≥ 0
Prima iteratie a algoritmului simplex este:Prima iteratie pentru aceasta problema este:
3 4 1 0 0 -M -MCB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 u 1 u 2
0 a 4 7 5 -1 2 1 0 0 0
-M u 1 4 1 2 -1 0 -1 1 0
-M u 2 2 3 2 4 0 0 0 1
∆ j = c j − f j
Linia corespunzatoare lui ∆ j = c j − f j este:
a. 3+4M;4+4M;1+3M;0;-M;-M-1 c. -3+4M;-4+4M;-1+3M;0;M;M-1b. 3+4M;4+4M;1+3M;0;-M;0,0 d. -3-4M;-4-4M;1-3M;0;-M;-M+1
21
41. Fie urmatoarea problema de programare liniara:max f = 3x1 + 4x 2 + x 3
5x 1 − x 2 + 2x 3 + x4 = 7
x 1 + 2x 2 − x 3 − x5 = 4
3x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 2
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x i ≥ 0
Prima iteratie pentru aceasta problema este:
3 4 1 0 0 -M -M CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 u 1 u 2
-M a 4 7 5 -1 2 1 0 0 0
-M u 1 4 1 2 -1 0 -1 1 0
0 u 2 2 3 2 4 0 0 0 1
∆ j = c j − f j
Pentru prima iteratie a algoritmului simplex stabiliti ce vector intra in baza respectiv care iese din bazaa. intra a 1 iese a 4 c. intra a 2 iese a 4
b. intra a 1 iese u 2 d. intra a 2 , iese u 2
42. Fie problema de programare liniara:min f =x 1 + 2x 2 + x 5
2x 1 + x 2 + x 3 ≥ 1
−x 1 + 3x 2 ≤ 0
2x 1 + 2x 2 + x 3 + x4 = 5
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x i ≥ 0, ∀( )i = 1,5
Solutia problemei este a. min f =-1/2
x 1 = 0;x 2 = 0;x3 = 1;x 4 = 4;x 5 = 0c. min f =0
x 1 = 1;x 2 = 0;x3 = 0;x 4 = 0;x 5 = 4
b. min f =0x 1 = 0;x 2 = 0;x3 = 1;x 4 = 4;x 5 = 0
d. min f =1/2x 1 = 1;x 2 = 0;x3 = 1;x 4 = 0;x 5 = 4
43. Fie urmatoarea problema de transportB1 B2 B3 B4 Disponibil
D1 70
D2 10
D3 20
Necesar 50 25 15 10
Folosind metoda coltului de NV stabiliti valoarea lui x11 si a lui x33
a. x11=50, x32=5 c. x11=50, x33=10
b. x11=20, x32=10 d. x11=50, x32=20
22
44. Fie urmatoarea problema de transportB1 B2 B3 B4 Disponibil
D1 5 6 2 3 70
D2 2 2 1 4 10
D3 6 8 3 4 20
Necesar 50 25 15 10
Folosind metoda costurilor minime(din tablou) stabiliti valoarea lui x14 si a lui x32
a. x14=10, x32=25 c. x14=10,x32=20
b. x14=5,x32=25 d. x14=15,x32=20
23
45. Sa se scrie forma standard pentru problema de programare liniara:
max f = 4x 1 + 10x 2 +9x 3
x 1 + x 2 + 2x 3 ≤ 18
2 x 1 + x 2 + 4x 3 ≤ 20
x 1 + x 2 + x 3 ≤ 12
x i ≥ 0 ; i = 3,1
a. max f = 4x 1 + 10x 2 +9x 3 +0y1+0y 2 +0y 3
x 1 + x 2 + 2x 3 + y1 = 18
2x 1 + x2+ 4x 3 + y 2 = 20
x 1 + x 2 + x 3 + y 3 = 12
x i ≥ 0 ; i = 3,1
y1 , y 2 , y 3 ≥0
b. max f = 4x 1 + 10x 2 +9x 3
x 1 + x 2 + 2x 3 + y1 = 18
2x 1 + x 2 + 4x 3 - y 2 = 20
x 1 + x 2 + x 3 - y 3 = 12
x i ≥ 0 ; i = 3,1
y1<0; y 2 , y 3 >0
c. min f = 0 x 1 + x 2 + 2x 3 + y1 = 18
2x 1 + x 2 + 4x 3 + y 2 = 20
x 1 + x 2 + x 3 + y 3 = 20
x i ≥ 0 ; i = 3,1
y1 , y 2 , y 3 ≥0
d. alt raspuns
24
46. Fie urmatoarea problema de transportB1 B2 B3 B4 Disponibil
D1 5 6 2 3 70
D2 3 2 1 4 10
D3 6 8 3 4 20
Necesar 50 25 15 10
Folosind metoda costurilor minime pe linie stabiliti valoarea lui x14 si a lui x32
a. x14=10, x32=15 c. x14=10,x32=20
b. x14=5,x32=25 d. x14=15,x32=20
47. Fie urmatoarea problema de transportB1 B2 B3 B4 Disponibil
D1 5 6 2 3 70
D2 3 2 1 4 70
D3 6 8 3 4 70
Necesar 50 75 25 60
Folosind metoda diagonalei (coltului N-V) determinati x34
a. 40 c. 80b. 50 d. 60
48. Fie urmatoarea problema de transportB1 B2 B3 B4 Disponibil
D1 5 6 2 3 70
D2 3 2 1 4 70
D3 6 8 3 4 70
Necesar 50 75 25 60
Folosind metoda diagonalei (coltului N-V) determinati x33
a. 40 c. 10b. 50 d. 60
49. Fie urmatoarea problema de transportB1 B2 B3 B4 Disponibil
D1 5 6 2 3 70
D2 3 2 1 4 70
D3 6 8 3 4 70
Necesar 50 75 25 60
Folosind metoda diagonalei (coltului N-V) determinati x11
a. 40 c. 80b. 50 d. 60
25
50. Fie urmatoarea problema de transportB1 B2 B3 B4 Disponibil
D1 5 6 2 3 70
D2 3 2 1 4 70
D3 6 8 3 4 70
Necesar 50 75 25 60
Folosind metoda diagonalei (coltului N-V) determinati x22
a. 40 c. 55b. 50 d. 60
51. Fie urmatoarea problema de transportB1 B2 B3 B4 Disponibil
D1 5 6 2 3 70
D2 3 2 1 4 70
D3 6 8 3 4 70
Necesar 50 75 25 60
Folosind metoda diagonalei (coltului N-V) determinati x12
a. 40 c. 20b. 50 d. 60
52. Fie urmatoarea problema de transportB1 B2 B3 B4 Disponibil
D1 5 6 2 3 70
D2 3 2 1 4 70
D3 6 8 3 4 70
Necesar 50 75 25 60
Folosind metoda diagonalei (coltului N-V) determinati costul de transporta. 665 c. 500b. 765 d. 400
26
53. Fie problema de programare liniara[min]f = 7x1 + 8x2
2x1 + x2 ≥ 5
x1 + 2x2 ≥ 4
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x1 ,x2 ≥ 0
Duala sa estea. [max]g = 5u 1 + 4u 2
2u 1 + u 2 ≤ 7
u 1 + 2u 2 ≤ 8
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
u 1 ,u 2 ≥ 0
c. [max]g = 7u 1 + 8u 2
2u 1 + u 2 ≤ 5
u 1 + 2u 2 ≤ 4
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
u 1 ,u 2 ≥ 0
b. [max]g = 5u 1 + 4u 2
2u 1 + u 2 = 7
u 1 + 2u 2 = 8
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
u 1 ,u 2 ≥ 0
d. [max]g = 5u 1 + 4u 2
2u 1 + u 2 ≥ 7
u 1 + 2u 2 ≤ 8
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
u 1 ,u 2 ≥ 0
54. Fie problema de programare liniara[min]f = 7x1 + 8x2
2x 1 + x 2 ≥ 5
x 1 + 2x 2 ≥ 4
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0
Forma standard estea. [min]f = 7x 1 + 8x 2 +My 1 +My 2
2x 1 + x 2 − y 1 = 5
x 1 + 2x 2 − y 2 = 4
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0,y 1 ,y2 ≥ 0
c. [min]f = 7x 1 + 8x 2 + 0y 1 + 0y 2
2x 1 + x 2 − y 1 = 5
x 1 + 2x 2 − y 2 = 4
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0,y 1 ,y2 ≥ 0
b. [min]f = 7x 1 + 8x 2 + 0y 1 + 0y 2
2x 1 + x 2 + y 1 = 5
x 1 + 2x 2 + y 2 = 4
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0,y 1 ,y2 ≥ 0
d. [min]f = 7x 1 + 8x 2 + 0y 1 + 0y 2
2x 1 + x 2 − y 1 = 5
x 1 + 2x 2 + y 2 = 4
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0,y 1 ,y2 ≥ 0
27
55. Fie problema de programare liniara[min]f = 7x1 + 8x2
2x 1 + x 2 ≥ 5
x 1 + 2x 2 ≥ 4
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0
Matricea problemei in forma standard este
a.2
1
1
2
−1
0
0
−1
Ê
Ë
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ˆ
¯
˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃
c.2
1
1
2
−1
−1
Ê
Ë
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ˆ
¯
˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃
b.2
1
1
2
1
0
0
1
Ê
Ë
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ˆ
¯
˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃
d.2
1
−1
−2
−1
0
0
−1
Ê
Ë
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ˆ
¯
˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃
56. Fie problema de programare liniara[min]f = 7x1 + 8x2
2x 1 + x 2 ≥ 5
x 1 + 2x 2 ≥ 4
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0
Matricea problemei in forma standard pentru simplex, cu baza artificiala este
a.2
1
1
2
−1
0
0
−1
1
0
0
1
Ê
Ë
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ˆ
¯
˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃
c.−2
1
1
2
−1
0
0
−1
−1
0
0
1
Ê
Ë
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ˆ
¯
˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃
b.2
1
−1
−2
−1
0
0
−1
1
0
0
1
Ê
Ë
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ˆ
¯
˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃
d.2
−1
1
−2
1
0
0
−1
1
0
0
1
Ê
Ë
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ˆ
¯
˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃
57. Într-o problemă de programare liniară dacă prin aplicarea algoritmului simplex după un anumit număr de intrări toate diferenŃele jj zc − , Jj∈ satisfac criteriul de optimalitate,
dar baza mai conŃine variabile artificiale nenule, problema iniŃialăa. nu are soluŃie optimăb. are soluŃie optimăc. are optim infinit
58. Să se determine[ ] 321 34max xxxz +−=
pe mulŃimea soluŃiilor nenegative ale sistemului
≤+−
≤−−
35
464
321
321
xxx
xxx.
a.11
88=optz b.
13
88=optz c.
13
70=optz d.
11
70=optz
28
59. Să se determine programul optim pentru problema de programare liniară
[ ] 321
321
321
34max
3,2,1,0
35
464
xxxz
ix
xxx
xxx
i
+−=
=≥
≤+−
≤−−
.
a.
13
43
73
19
3
2
1
=
=
=
x
x
x
b.
13
4
03
19
3
2
1
=
=
=
x
x
x
c.
3
19
03
4
3
2
1
=
=
=
x
x
x
d.
3
193
73
4
3
2
1
=
=
=
x
x
x
60. Problema de programare liniară[ ]
=≥
=−+
=+−
+++=
4,3,2,1,0
1
12
1
22max
432
421
4321
ix
xxx
xxx
xxxxz
i
a. are soluŃie optimă 3=optz
b. nu are optim finitc. nu are soluŃied. altă variantă
61. O soluŃie a problemei de programare liniară[ ]
=≥
≤+
≤++
≤++
++=
3,2,1,0
32
123
232
235max
21
321
321
321
ix
xx
xxx
xxx
xxxz
i
este
a.
8
5
08
1
3
2
1
=
=
=
x
x
x
b.
8
4
08
1
3
2
1
=
=
−=
x
x
x
c.
08
38
1
3
2
1
=
=
=
x
x
x
d.
8
48
38
1
3
2
1
=
=
−=
x
x
x
29
62. Duala problemei de programare liniară[ ]
=≥
≤+
≤++
≤++
++=
3,2,1,0
32
123
232
235max
21
321
321
321
ix
xx
xxx
xxx
xxxz
i
este
a.
[ ]
=≥
≤+
≥++
≤++
++=
3,2,1,0
33
122
523
32min
21
321
321
321
iy
yy
yyy
yyy
yyyz
i
b.
[ ]
=≥
≥+
≥++
≥++
++=
3,2,1,0
23
322
523
32max
21
321
321
321
iy
yy
yyy
yyy
yyyz
i
c.
[ ]
=≥
≥+
≤++
≥++
++=
3,2,1,0
23
322
523
32min
21
321
321
321
iy
yy
yyy
yyy
yyyz
i
63. Fie problema de programare liniară
[ ] 54321
521
421
321
232max
51,0
2
1
1
xxxxxz
ix
xxx
xxx
xxx
i
+−+−=
≤≤≥
=++
=+−
=++−
Dacă tabloul simplex pentru prima iterată este2 -1 3 -2 1
Bc BBx 1a 2a 3a 4a 5a
3 3a 1 -1 1 1 0 0
-2 4a 1 1 -1 0 1 0
1 5a 2 1 1 0 0 2
Să se indice vectorul care intră în bază şi vectorul care pleacă din bază.a. intră vectorul 2a în locul vectorului 5a
b. intră vectorul 2a în locul vectorului 4a
c. intră vectorul 1a în locul vectorului 4a
d. intră vectorul 1a în locul vectorului 3a
30
64. Să se aducă la forma standard următoarea problemă de programare liniară
[ ] 321
321
32
21
43max
3,2,1,0
4232
12
5
xxxz
ix
xxx
xx
xx
i
+−=
=≥
−≥+−
≥−
=−
a.
[ ] 321
5321
432
21
43max
5,4,3,2,1,0
4232
12
5
xxxz
ix
xxxx
xxx
xx
i
+−=
=≥
−=−+−
=+−
=−
b.
[ ] 321
6321
532
421
43max
6,5,4,3,2,1,0
4232
12
5
xxxz
ix
xxxx
xxx
xxx
i
+−=
=≥
=++−
=−−
=+−
c.
[ ] 321
5321
432
21
43max
5,4,3,2,1,0
4232
12
5
xxxz
ix
xxxx
xxx
xx
i
+−=
=≥
=+−+−
=−−
=−
d.
[ ] 321
5321
432
21
43max
5,4,3,2,1,0
4232
12
5
xxxz
ix
xxxx
xxx
xx
i
+−=
=≥
=−−−−
=+−
=−
31
65. Să se aducă la forma standard programul liniar:
[ ] 1 2max f=6x 10x+
1 2
1 2
1 2
1
2 2
, 0
x x
x x
x x
− ≤− + ≤
≥
a. [ ] 1 2 3 4max f=6x 10 0 0x x x+ + ⋅ + ⋅
1 2 3
1 2 4
1
2 2
0, 1,4i
x x x
x x x
x i
− + =− + + =
≥ =
c. [ ] 1 2max f=6x 10x+
1 2
1 2
1
2 2
0, 1, 2i
x x
x x
x i
− =− + =
≥ =
b. [ ] 1 2 3 4max f=6x 10 0 0x x x+ + ⋅ + ⋅
1 2 3
1 2 4
1
2 2
0, 1,4i
x x x
x x x
x i
− − =− + − =
≥ =
d. [ ] 1 2max f=6x 10x+
1 2
1 2
1
2 2
x x
x x
− + ≥ −
− ≥ −
66. Să se scrie matricea sistemului de restricŃii ataşată programului liniar:
[ ] 1 2min f=3x 2x+
1 2 3
1 2 4
2 10
2 20
0, 1, 4
i
x x x
x x x
x i
+ + =− + + =
≥ =
a. 2 1 1
1 2 1A
= −
c. 2 1 1 10
1 2 1 20A
= −
b. 2 1 1 0
1 2 0 1A
= −
d.2 1 1 110
2 2 0 1 20
A
= −
32
67. Să se aducă la forma standard programul liniar :
[ ] 1 2 3max 2 3f x x x= − +
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 8
2 12
3 7
0, 1,3i
x x x
x x x
x x x
x i
+ + ≤ + + ≤ + + ≤ ≥ =
a. [ ] 1 2 3max 2 3f x x x= − +
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 8
2 12
3 7
0, 1,3i
x x x
x x x
x x x
x i
+ + = + + = + + = ≥ =
c. [ ] 1 2 3 4 5 6max 2 3 0 0 0f x x x x x x= − + + ⋅ + ⋅ + ⋅
1 2 3 4
1 2 3 5
1 2 3 6
2 +x 8
2 + x 12
3 + x 7
0, 1,6i
x x x
x x x
x x x
x i
+ + = + + = + + = ≥ =
b. [ ] 1 2 3max 2 3f x x x= − +
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 8
2 12
3 7
0, 1,3i
x x x
x x x
x x x
x i
+ + ≥ + + ≥ + + ≥ ≥ =
d. [ ] 1 2 3 4 5 6max 2 3 0 0 0f x x x x x x= − + + ⋅ + ⋅ + ⋅
1 2 3 4
1 2 3 5
1 2 3 6
2 x 8
2 x 12
3 x 7
0, 1,6i
x x x
x x x
x x x
x i
+ + − = + + − = + + − = ≥ =
68. Fie programul (S) :
1 2 3
1 2 4
2 8
2 10
0 i=1,4 i
x x x
x x x
x
+ − =
+ − =
≥Atunci :
a. Vectorul ( )1 5,1, 1,1X = − este o soluŃie posibilă deoarece verifică ecuaŃiile sistemului
(S);
b. Vectorul ( )2 5,0, 3,0X = − este o soluŃie de bază degenerate;
c. Sistemul (S) nu admite soluŃii de bază nedegenerate;
d. Vectorul ( )1 5,1, 1,1X = − este o soluŃie de bază nedegenerată, iar vectorul
( )2 5,0, 3,0X = − este o soluŃie posibilă.
33
69. Să se scrie tabloul simplex ataşat problemei de programare liniară la iteraŃia iniŃială :
[ ] 1 2 3 4 5max f=3x 2 2 0x x x x− + + + ⋅
1 2
1 3 4
1 3 5
2 6
2 10
3 8
0 i=1,5 i
x x
x x x
x x x
x
+ =− − + = + + = ≥
a)
BC B B
X 3 -2 1 2 1
1a 2a 3a 4a 5a
-2
2
0
2a
4a
5a
6
10
8
2
-1
3
1
0
0
0
-2
1
0
1
0
0
0
1
jf 8 -6 -2 -4 2 0
j jf c− -9 0 -5 0 -1
b)
BC B B
X 3 -2 1 2 1
1a 2a 3a 4a 5a
-2
2
0
2a
4a
5a
6
10
8
2
-1
3
1
0
0
0
-2
1
0
1
0
0
0
1
jf 8 -6 -2 -4 2 0
j jc f− 9 0 5 0 1
c)
BC B B
X 3 -2 1 2 1
1a 2a 3a 4a 5a
3
-2
1
1a
2a
3a
6
10
8
2
-1
3
1
0
0
0
-2
1
0
1
0
0
0
1
jf -6 11 3 5 -2 1
j jf c− 8 5 4 -4 0
d)
34
BC B B
X 3 -2 1 2 0
1a 2a 3a 4a 5a
3
1
0
1a
3a
5a
6
10
8
2
-1
3
1
0
0
0
-2
1
0
1
0
0
0
1
jf 28 5 3 -2 1 0
j jf c− 2 5 -3 -1 0
a. ab. bc. cd. d
35
70. Să se scrie tabloul simplex ataşat programului liniar la iteraŃia iniŃială :
[ ] 1 2 3max 5 4 3f x x x= + +
1 2 3
1 2
2 3
1 2 3
2 2 10
2 8
2 8
, , 0
x x x
x x
x x
x x x
+ + ≤ + ≤
− ≤ ≥
a)
BC B B
X 5 4 3 0 0 0
1a 2a 3a 4a 5a 6a
10
8
8
1a
2a
3a
5
4
3
1
2
0
2
1
2
2
0
-1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
jf 116 26 44 12 10 8 8
j jc f− -21 -40 -9 -10 -8 -8
b)
BC B B
X 10 8 8 0 0 0
1a 2a 3a 4a 5a 6a
5
4
3
4a
5a
6a
10
8
8
1
2
0
2
1
2
2
0
-1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
jf 116 13 20 7 5 4 3
j jc f− -3 -12 1 -5 -4 -3
c)
BC B B
X 5 4 3 0 0 0
1a 2a 3a 4a 5a 6a
0
0
0
4a
5a
6a
10
8
8
1
2
0
2
1
2
2
0
-1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
jf 0 0 0 0 0 0 0
j jc f− 5 4 3 0 0 0
d)
36
BC B B
X 5 4 3 0 0 0
1a 2a 3a 4a 5a 6a
0
0
0
4a
5a
6a
10
8
8
1
2
0
2
1
2
2
0
-1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
jf 0 0 0 0 0 0 0
j jf c− -5 -4 -3 0 0 0
a. ab. bc. cd. d
71. Să se aplice criteriul de optimalitate programului liniar de maxim care are tabloul simplex la iteraŃia k :
BC B
BX 5 4 3 0 0 0
1a 2a 3a 4a 5a 6a
3
5
0
3a
1a
6a
3
4
11
0
1
0
3
41
211
4
1
0
0
1
2
0
1
2
1
4−
1
21
4−
0
0
1
jf 29 5 19
4
3 3
2
7
4
0
j jc f− 0 3
4−
0 3
2−
7
4−
0
a. SoluŃia ( )3,4,11,0,0,0t
X = este optimă, algoritmul ia sfârşit;
b. SoluŃia ( )0,0,3, 4,11,0t
X = nu este optimă, deoarece nu toate diferenŃele sunt pozitive;
c. SoluŃia ( )4,0,3,0,0,11t
X = este optimă , algoritmul ia sfârşit;
d. Problema nu are optim finit, deoarece nu există diferenŃe 0j j fc f∆ = − > .
37
72. Să se aplice criteriul de intrare în baza pentru programul liniar de maxim , care are tabloul simplex ataşat :
BC B B
X 3 1 -1 2 0 1
1a 2a 3a 4a 5a 6a
0
1
2
5a
6a
4a
8
13
5
2
-1
3
1
2
-1
1
-2
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
jf 23 5 0 0 2 0 1
j jc f− -2 1 -1 0 0 0
a. Vectorul 2a intră în bază, întrucât corespunde unei valori 2 0f = , iar 2a nu apare în
baza B ;b. Vectorul 3a intra în bază, întrucât corespunde celei mai mare diferenŃe negative
3 3 3c f∆ = − ;
c. În bază intră vectorul 5a , întrucât 5 5 5c f∆ = − este singura diferenŃă nulă
corespunzatoare unui vector aflat în baza B ;d. Vectorul 1a intra în bază întrucât corespunde celei mai mari valori jf .
73. Să se aplice criteriul de ieşire din bază pentru programul liniar căruia îi corespunde tabelul simplex de mai jos :
BC B B
X 6 10 7 0 0 0θ
1a 2a 3a 4a 5a 6a
0
0
0
4a
5a
6a
200
600
800
1
2
0
1
1
2
2
0
-1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
200
600
400
jf 0 0 0 0 0 0 0
j jc f− 6 10∗ 7 0 0 0
a. Iese din baza vectorul 4a , întrucât îi corespunde cel mai mic raport θ =200;
b. Iese din baza vectorul 5a , întrucât îi corespunde cel mai mare raport θ =600;
c. Iese din baza vectorul 6a , întrucât, valoarea 5 800x = este cea mai mare valoare din
vectorul BX ;
d. Toate afirmaŃiile de mai sus sunt false.
38
74. Să se scrie prima iteraŃie din tabloul simplex ataşat problemei de programare liniară extinsă :
[ ] 1 2 3 4max 20 10 30 20f x x x x= + + +
specificând şi o soluŃie iniŃială de bază BX .
a) ( )1000,800,500,0,0,0,0t
BX =
BC B B
X 20 10 30↓ 20 0 0 0 θ
1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a
0
0
0
1a
2a
3a
1000
800
500
1
0
1
2
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1000
800
500
jf 0 0 0 0 0 0 0
j jc f− 20 10 30∗ 20 0 0 0
b) ( )0,0,0,0,1000,800,500t
BX =
BC B B
X 20 10 30 20 0 0 0 θ1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a
0
0
0
5a
6a
7a
1000
800
500
1
0
1
2
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1000
800
500
jf 0 0 0 0 0 0 0
j jc f− 20 10 30∗ 20 0 0 0
c) ( )0,0,0,0,1000,800,500t
BX =
BC B B
X 20 10 30 20 0 0 0 θ1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a
0
0
0
5a
6a
7a
1000
800
500
1
0
1
2
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1000
800
500
jf 0 0 0 0 0 0 0
j jf c− -20 -10 -30 -20 0 0 0
d) Altă variantă.
a. ab. bc. cd. d
39
75. Să se scrie a doua iteraŃie a tabloului simplex de mai jos ataşat unei probleme de programare liniară (pentru maxim) :
BC B B
X 2 1 -3 0 0 0θ
1a 2a 3a 4a 5a 6a
0
0
0
4a
5a
6a
6
10
7
1
2
1
1
1
1
2
3
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
6
110
27
1
jf 0 0 0 0 0 0 0
j jc f− 2∗ 1 -3 0 0 0
a)
BC B B
X 2 1 -3 0 0 0θ
1a 2a 3a 4a 5a 6a
0
2
0
4a
1a
6a
1
5
2
0
1
0
1
21
21
2
1
2
3
21
2−
1
0
0
1
2−
1
21
2−
0
0
1
jf 10 2 1 3 0 1 0
j jc f− 0 0 -6 0 -1 0
b)
BC B B
X 2 1 -3 0 0 0θ
1a 2a 3a 4a 5a 6a
0
2
0
4a
1a
6a
2
5
4
0
1
0
11
21
13
2-1
2
0
0
-11
2-1
0
0
2
jf 10 5 1 3 0 1 0
j jc f− -3 0 -6 0 -1 0
c)altă variantă;
d)
40
BC B B
X 2 1 -3 0 0 0θ
1a 2a 3a 4a 5a 6a
0
1
0
4a
2a
6a
1
5
2
0
1
0
1
21
21
2
1
2
3
21
2−
1
0
0
1
2−
1
21
2−
0
0
1
jf 5 1 1
2
3
2
0 1
2
0
j jc f− 1 1
2
9
2−
0 1
2−
0
a. ab. bc. cd. d
76. Să se continue algoritmul simplex pentru programul liniar cu maxim f obiectiv al cărui tabel la
iteraŃia k , este dat mai jos :
[ ] 1 2 3max 4 2f x x x= + −
BC B B
X 4 1 -2 0 0 0θ
1a 2a 3a 4a 5a 6a
0
4
0
4a
1a
6a
8
10
7
0
1
0
3
21
21
2
3
2−
3
21
2−
1
0
0
1
2−
1
21
2−
0
0
1
jf 40 4 2 6 0 2 0
j jc f− 0 -1 -8 0 -2 0
a. Intră în bază vectorul 2a şi iese 4a ;
b. problema nu admite un optim finit;
c. ( )40 10,0,0t
optf pentru X= = .SoluŃia este degenerată;
d. ( )40 10,0,0t
optf pentru X= = .SoluŃia este nedegenerată.
41
77. Să se scrie dualul programului liniar :
[ ] 1 2min 8 10f x x= +
1 2
1 2
1 2
2 3
3 4 7
0, 0
x x
x x
x x
+ ≥
+ ≥ ≥ ≥
a. [ ] 1 2max 8 10g y y= +
1 2
1 2
1 2
2 3 3
4 7
0, 0
y y
y y
y y
+ ≤
+ ≤ ≥ ≥
b. [ ] 1 2max 3 7g y y= +
1 2
1 2
1 2
2 3 8
4 10
0 , 0
y y
y y
y y
+ ≤
+ ≤ ≥ ≥
c. Altă variantă ;
d. [ ] 1 2max g=3y 7y+
1 2
1 2
1 2
2 8
3 4 7
0 , 0
y y
y y
y y
+ ≤
+ ≤ ≥ ≥
42
78. Se dă tabloul simplex ataşat dual unui program liniar de maxim la iteraŃia k are următorul tabel :
BC B B
Y 6 8 0 0
1a 2a 3a 4a
8
6
2a
1a
3
42
3
0
1
1
0
1
2
3
2−
5
2
jg 10 6 8 20 3
j jc g− 0 0 -20 -3
Să se completeze tabloul simplex la iteraŃia următoare şi să se scrie soluŃiile problemelor primară şi duală.
a)
BC B B
Y 6 8 0 0
1a 2a 3a 4a
0
6
3a
1a
3
45
6
0
-1
1
2
1
0
3
2−
11
2−
jg 5 -6 12 0 -33
j jc g− 12 -4 0 33
( )3 5, X= 0, 33
4 6
tt
Y =
a. a
b. Algoritmul ia sfârşit. SoluŃia optimă a dualei este 10optg = pentru 3 2,
4 3
t
Y =
iar,
soluŃia optimă a primalei este 10optf = pentru ( ) X= 3,20 ;
c. Algoritmul ia sfârşit. Problema duală nu are un optim finit, întrucât, toŃi j j jc g∆ = −
sunt negative sau zero;d. Algoritmul ia sfârşit. SoluŃia optimă a dualei este 10optg = pentru
2 3,
3 4
t
Y =
,iar,soluŃia optimă a primalei este 10optf = pentru ( ) X= 20, 3t.
43
79. Să se scrie forma standard a dualului problemei de programare liniară:
[ ] 1 2 3 4max 20 10 30 20f x x x x= + + +
1 2 3 4
2 3 4
1 3
2 1000
800
500
x x x x
x x x
x x
+ + + ≤
+ + ≤ + ≤
( )0 1,4ix i≥ =
a. [ ] 1 2 3min 1000 800 500g y y y= + +
1 3
1 2
1 2 3
1 2
20
2 10
30
20
y y
y y
y y y
y y
+ ≥ + ≤
+ + ≥ + ≥
( )0 1,3iy i≥ =
b. [ ] ( )1 2 3 5 6 7min 1000 800 500 0g y y y y y y= + + + + +
1 3 4
1 2 5
1 2 3 6
1 2 7
20
2 y 10
30
20
y y y
y y
y y y y
y y y
+ + = + + =
+ + + = + + =
( )0 1,7iy i≥ =
c. [ ] ( ) ( )1 2 3 4 5 6 1 2 3 4min 1000 800 500 0g y y y y y y M u u u u= + + + + + + + + +
1 3 4 1
1 2 5 2
1 2 3 6 3
1 2 7 4
20
2 y Mu 10
30
20
y y y Mu
y y
y y y y Mu
y y y Mu
+ − + = + − + =
+ + − + = + − + =
( )( )
0 1,7
0 1, 4
i
j
y i
u j
≥ =
≥ =
d. altă variantă
44
80. Se consideră dualul unui program liniar de maxim şi tabloul simplex ataşat la iteraŃia k .Atunci:
BC B B
X 5 4 2 0 0
1a 2a 3a 4a 5a
5
2
1a
3a
1
19
1
0
3
1011
15
0
1
1
5
1
5−
1
10−
3
5
jf43 5
59
10 23
5
7
10
j jc f−0
19
10− 0
3
5−
7
10−
a. Algoritmul continuă până când toŃi 0j j jc f∆ = − ≥ 1,5j∀ =
b. Algoritmul se opreşte. SoluŃia optimă a primalei este:
( )1,19,0,0,0tX = , max 43f =
c. Algoritmul se opreşte. SoluŃia optimă a dualei este:
3 7 19, ,0, , 0
5 10 5tY
= − − −
min 43g =
d. Algoritmul se opreşte. SoluŃia optimă a primalei este:
( )1,0,19,0,0tX = max 43f =
81. Să se rezolve problema de programare liniară
[ ] 1 2max 50 25f x x= +
1 2
1 2
1 2
3
2 5
, 0
x x
x x
x x
+ ≤
+ ≤ ≥
a. 1 2 max50, 0, 2500 x x f= = =
b. 1 2 max30, x 50, 2750x f= = =
c. 1 2 max10, 20, 1000x x f= = =d. alt răspuns
45
82. Să se scrie şi să se rezolve duala problemei de programare liniară
[ ] 1 2min 6 10f x x= +
1 2
1 2
2 1
2 3
x x
x x
+ ≥
+ ≥
a. [ ] 1 2max 3g y y= +
1 2
1 2
1 2
2 6
2 10
, 0
y y
y y
y y
+ ≤
+ ≤ ≥
1 3y = 2 0y = max 18g =
c. [ ] 1 2max 3g y y= +
1 2
1 2
2 6
2 10
y y
y y
+ ≤
+ ≤ 1 0y = 2 3y = max 9g =
b. [ ] 1 2max 6 10g y y= +
1 2
1 2
2 1
2 3
y y
y y
+ ≤
+ ≤ 1 3y = 2 2y = max 38g =
d. [ ] 1 2max 3g y y= +
1 2
1 2
2 6
2 10
y y
y y
+ ≤
+ ≤ 1 5y = 2 0y = max 5g =
83. Fie problema de transport
1B 2B 3B
1A2 1 3
7
2A5 3 1
8
3A2 4 3
5
6 7 7Utilizând metoda diagonalei o soluŃie estea. 611 =x ; 112 =x ; 222 =x ; 623 =x ; 532 =x
b. 611 =x ; 121 =x ; 222 =x ; 732 =x
c. 611 =x ; 112 =x ; 622 =x ; 223 =x ; 533 =x
d. 611 =x ; 112 =x ; 422 =x ; 223 =x ; 733 =x
84. Fie problema de transport
1B 2B 3B
1A2 1 3
7
2A5 3 1
8
3A2 4 3
5
6 7 7Utilizând metoda costurilor minime o soluŃie estea. 712 =x ; 121 =x ; 722 =x ; 531 =x
b. 611 =x ; 112 =x ; 723 =x ; 531 =x
c. 712 =x ; 122 =x ; 523 =x ; 731 =x
d. 712 =x ; 121 =x ; 732 =x ; 533 =x
46
85. Fie problema de transport
1B 2B 3B 4B
1A1 2 2 3
70
2A2 2 1 4
10
3A3 2 2 1
20
50 25 15 10Urilizând metoda diagonalei o soluŃie de bază estea. 120=f b. 125=f c. 145=f d. 135=f
86. Fie problema de transport
1B 2B 3B 4B
1A1 2 2 3
70
2A2 2 1 4
10
3A3 2 2 1
20
50 25 15 10Urilizând metoda diagonalei o soluŃie de bază estea. 110=f b. 125=f c. 130=f d. 135=f
87. Fie problema de transport cu o tabelă iniŃială
1B 2B 3B 4B
1A1
502
202 3
70
2A2 2 1
54
510
3A3 2 2
101
1020
50 25 15 10Să se justifice că 135=f nu este soluŃie optimă.
a. toŃi 0≥δ ijb. toŃi 0<δ ijc. o singură valoare 0<δ ij
47
88. Pentru soluŃia problema de transport
1B 2B 3B 4B
1A1
502
202 3
70
2A2 2 1
54
510
3A3 2 2
101
1020
50 25 15 10dacă 032 <δ o soluŃie îmbunătăŃită este
a. 110=f b. 130=f c. 125=f d. 115=f
89. Fie problema de transport
1B 2B 3B
1A2 3 1
10
2A4 1 2
20
3A3 2 5
30
15 30 15Utilizând metoda diagonalei o soluŃie de bază estea. 150=f b. 160=f c. 165=f d. 155=f
90. Fie problema de transport
1B 2B 3B
1A2 3 1
10
2A4 1 2
20
3A3 2 5
30
15 30 15Utilizând metoda costurilor minime o soluŃie de bază estea. 115=f b. 110=f c. 120=f d. 140=f
91. Pentru soluŃia problema de transport
1B 2B 3B
1A2 3 1
1010
2A4 1
202
20
3A3
152
105
530
15 30 15dacă 023 <δ , o soluŃie îmbunătăŃită este
a. 110=f b. 115=f c. 90=f d. 95=f
48
92. Fie problema de transport cu o tabelă iniŃială
1B 2B 3B
1A2 3 1
1010
2A4 1
202
20
3A3
152
105
530
15 30 15Să se justifice că 110=f este soluŃie optimă.
a. toŃi 0≤δ ijb. un 0<δ ij şi restul pozitivi
c. toŃi 0>δ ij
93. Fie problema de transport. O soluŃie iniŃială a problemei este:
Centre de consum Depozite
1B 2B 3B 4B Disponibil
1A 10 0 20 11 15
2A 12 7 9 20 25
3A 0 14 16 18 5
Necesar 5 15 15 10 a b
Atunci:
a. Problema este echilibrată 35a = , 45b =b. Problema este neechilibrată 45a = , 45b =c. Problema este echilibrată , 45a b= =d. Altă variantă
49
94. Fie problema de transport
1B 2B 3B Disponibil
1A 10 1 15 30
2A 12 5 7 40
Necesar 20 15 40
Notăm: m-numărul centrelor de consum n-numărul depozitelor
1
m
i
i
a a=
=∑ , 1
n
j
j
b b=
=∑
Atunci:
a. 3m = , 2n = , 70a = , 75b =b. 2m = , 3n = , 75a = , 70b =c. 2m = , 3n = , 70a = , 75b =d. altă variantă
95. Aplicând metoda costului minim din tabel să se determine o soluŃie iniŃială de bază pentru programul de transport având tabloul alăturat.
1B 2B Disponibil
1A 10
11x 25
12x 15
2A 6
21x 15
22x 25
Necesar 20 20
a. 11 12 21 220 , x 15 ,x 20 , x 5 , f 570x = = = = =
b. 11 12 21 2215 , x 0 , x 5 , x 20 , f 480x = = = = =
c. 11 12 21 220 , x 20 , x 15 , x 5 , f 465x = = = = =d. altă variantă
50
96. Folosind metoda costului minim să se determine o soluŃie iniŃială de bază a problemei de transport:
1B 2B 3B Disponibil
1A 10
11x 0
12x 20
13x 15
2A 12
21x 7
22x 9
23x 25
3A 14
32x 16
33x 18
34x 5
Necesar 5
15 10
a.
11 12 13
21 22 23
31 32 33
15 x 0 x 0
0 x 15 x 10
0 x 0 x 5
x
x
x
= = =
= = = = = =
0 435f =
c. altă variantă
b.
11 12 13
21 22 23
31 32 33
0 x 15 x 0
0 x 15 x 10
5 x 0 x 5
x
x
x
= = =
= = = = = =
0 355f =
d.
11 12 13
21 22 23
31 32 33
0 x 15 x 0
0 x 0 x 15
5 x 0 x 0
x
x
x
= = =
= = = = = = 0 405f =
97. Să se scrie soluŃia de bază 0f pentru problema de transport după aplicarea metodei costului
minim din tabel:
1510
025
120
2015
135
40 3
17 0
1830
510
a. 0f =238
b. 0 410f =
c. 0 800f =
d. 0 1225f =
51
98. Folosind metoda costului minim pe linie să se determine o soluŃie iniŃială de bază a problemei de transport a cărui tablou este:
1B 2B 3B Disponibil
1A 15
11x 35
12x
0
13x
50
2A 15
21x
0
22x
15
23x 30
Necesar 30 35 15
a.11 12 13
21 22 23
0 x 15 x 35
30 x 20 x 0
x
x
= = =
= = = 0 1095f =
b.11 12 13
21 22 23
0 x 35 x 15
15 x 0 x 15
x
x
= = =
= = = 0 1675f =
c. altă variantă
d.11 12 13
21 22 23
30 x 0 x 20
0 x 35 x 0
x
x
= = =
= = = 0 450f =
99. Folosind metoda costului minin pe linie să se scrie o soluŃie iniŃială de bază pentru problema de transport:
1B 2B 3B Disponibil
1A 50
11x 10 12x
40
13x
100
2A 30
21x
20
22x
50
23x 100
3A 0
31x
40
32x
10
33x 50
Necesar 80
70 100
a. Problema de transport nu admite o soluŃie iniŃială de bază b. Altă variantă
c. :X
11 12 13
21 22 23
31 32 33
30 x 0 x 0
30 x 10 x 50
0 x 30 x 0
x
x
x
= = =
= = = = = =
d. :X11 12 13
21 22 23
31 32 33
0 x 30 x 0
10 x 30 x 50
30 x 0 x 0
x
x
x
= = =
= = = = = =
52
100. Aplicând metoda colŃului N-V să se determine o soluŃie iniŃială de bază a problemei de transport : a. Toate variantele sunt false
b. :X
11 12 13
21 22 23
31 32 33
20 x 20 x 0
50 x 30 x 20
10 x 40 x 80
x
x
x
= = =
= = = = = =
0 5900f =
c. :X
11 12 13
21 22 23
31 32 33
80 x 20 x 0
0 x 50 x 50
0 x 0 x 50
x
x
x
= = =
= = = = = =
0 8200f =
d. :X11 12 13
21 22 23
31 32 33
0 x 80 x 20
0 x 50 x 50
80 x 0 x 20
x
x
x
= = =
= = = = = =
0 5300f =
101. După aplicarea metodei costurilor minime, o problemă de transport are tabloul de mai jos şi soluŃia iniŃială de bază corespunzătoare 0f
1B 2B 3B
1A 70
130
3 0
2A 910
230
450
3A 330
80
12 0
Verificarea optimalităŃii presupune evaluarea unor cicluri i j i j i jc xδ = − asociate celulelor libere
şi ale căror moduri corespund componentelor bazice. Să se precizeze câte cicluri i jδ se pot
determina şi să se evalueze 11δ a. 3 cicluri ; 11δ =2
b. 4 cicluri : 11δ =-2
c. 4 cicluri ; 11δ =2
d. 4 cicluri ; 11δ = -1
102. Fie trei soluŃii iniŃiale de baza 1 2 30 0 0, ,x x x corespunzătoare funcŃiilor de eficienŃă
10 1200f = , 2
0 800f = , 30 1000f =
Care dintre aceste soluŃii consideraŃi că trebuie aleasă drept soluŃie iniŃială de bază?
a. 20x ,deoarece 2
0f are cea mai mică valoare
b. 10x ,deoarece 1
0f are cea mai mare valoare
c. 30x ,deoarece 3
0f este o valoare medie
d. Toate variantele sunt corecte
1
tehnici de optimizare
logice
TRUE/FALSE
1. Fie problema de programare liniara:
max f = 10x 1 + 16x 2
2x 1 + 5x 2 ≤ 1200
x1 + 1,5x2 ≤ 300
4x1 + x 2 ≤ 600
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0
Prima iteratie a algoritmului simplex este:
10 16 0 0 0
CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5
0 a 3 1200 2 5 1 0 0
0 a 4 300 1 3/2 0 1 0
0 a 5 600 4 1 0 0 1
f j 0 0 0 0 0
∆ j = c j − f j 10 16 0 0 0
Solutia gasita este cea optima.
2. Trei depozite D1 ,D2 ,D3 aprovizioneaza cu produse de larg consum 4 magazine B1 ,B2 ,B3 ,B4
astfel:
B1 B2 B3 B4 Disponibil
D1 3 2 1 2 30
D2 4 3 3 2 20
D3 2 1 4 5 40
Necesar 10 15 15 40
Problema este echilibrata.
3. Forma standard a problemei de programare liniara
[min]f = 3x1 + 5x2
x 1 − 2x 2 ≤ 3
2x 1 + 5x 2 ≥ 9
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0
este
[max]f = 3x 1 + 5x 2
x 1 − 2x 2 ≤ 3
2x 1 + 5x 2 ≥ 9
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0
2
4. Forma standard a problemei de programare liniara
[min]f = 3x1 + 5x2
x 1 − 2x 2 ≤ 3
2x 1 + 5x 2 ≥ 9
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0
este
[min]f = 3x1 + 5x2
x 1 − 2x 2 = 3
2x 1 + 5x 2 = 9
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0
5. Forma standard a problemei de programare liniara
[max]f = 5x 1 + 4x 2
x 1 + 2x 2 ≤ 3
3x 1 − 4x 2 ≥ 9
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0
este
[max]f = 5x 1 + 4x 2 −My1 −My 2
x 1 + 2x 2 + y 1 = 3
3x 1 − 4x 2 − y 2 = 9
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0,y 1 ,y 2 ≥ 0
6. Forma standard a problemei de programare liniara
[max]f = 5x 1 + 4x 2
x 1 + 2x 2 ≤ 3
3x 1 − 4x 2 ≥ 9
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0
este
[max]f = 5x1 + 4x 2 + 0y 1 + 0y 2
x 1 + 2x 2 + y1 = 3
3x 1 − 4x 2 − y2 = 9
Ï
Ì
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ
x 1 ,x 2 ≥ 0,y 1 ,y2 ≥ 0
3
7. Se considera urmatoarea problema de transport:
B1 B2 B3 B4 Disponibil
N1 4 6 5 2 35
N2 3 2 7 8 30
N3 2 10 5 6 50
Necesar 20 25 45 25
Problema de transport este echilibrata.
8. Se considera urmatoarea problema de transport:
B1 B2 B3 B4 Disponibil
N1 4 6 5 2 35
N2 3 2 7 8 30
N3 2 10 5 6 50
Necesar 20 25 45 25
O solutie initiala de baza determinata folosind metoda coltului de N-V este x 11 = 20, x 12 = 15,
x 22 = 10, x 23 = 20, x 33 = 25, x 34 = 25, x 13 = x 14 = x 21 = x 24 = x 31 = x 32 = 0.
9. Se considera urmatoarea problema de transport:
B1 B2 B3 B4 Disponibil
N1 4 6 5 2 35
N2 3 2 7 8 30
N3 2 10 5 6 50
Necesar 20 25 45 25
O solutie initiala de baza determinata folosind metoda costului minim pe linie este x 11 = 10,
x 14 = 25, x 21 = 5, x 22 = 25, x 31 = 5, x 33 = 45, x 12 = x 13 = x 23 = x 24 = x 32 = x 34 = 0.
10. Fie problema de programare liniară
( )
( )( )
( )32
1
minmax
0
cxz
X
bAx
=
≥
=
cu ( )nmMA ,∈ , nmA <=rang , ( )tnxxx ,...,1= .
Vectorul ( )tnxxx ,...,1= care satisface condiŃiile (1) şi (2) se numeşte soluŃie posibilă.
11. Fie problema de programare liniară
( )
( )( )
( )32
1
minmax
0
cxz
X
bAx
=
≥
=
cu ( )nmMA ,∈ , nmA <=rang , ( )tnxxx ,...,1= .
O soluŃie posibilă ( )tnxxx ,...,1= se numeşte soluŃie de bază dacă coloanele rii aa ,...,
1 din
matricea A corespunzătoare coordonatelor nenule rii xx ,...,
1 ale vectorului x sunt liniar
dependente.
4
12. Fie problema de programare liniară
( )
( )( )
( )32
1
minmax
0
cxz
X
bAx
=
≥
=
cu ( )nmMA ,∈ , nmA <=rang , ( )tnxxx ,...,1= şi x o soluŃie de bază. Dacă x are şi
coordonate nenule ea este o soluŃie degenerată.
13. Fie problema de programare liniară
( )
( )( )
( )32
1
minmax
0
cxz
X
bAx
=
≥
=
cu ( )nmMA ,∈ , nmA <=rang , ( )tnxxx ,...,1= .
O soluŃie posibilă care satisface (3) se numeşte soluŃie optimă.
14. 1. Următoarea problemă de transport este echilibrată
1B 2B 3B
1A1 2 4
5
2A3 1 2
15
3A5 6 1
10
6 4 10
15. Următoarea problemă de transport este echilibrată
1B 2B 3B 4B
1A1 3 1 2
15
2A2 4 1 3
25
3A3 2 4 2
20
30 25 15 20
16. Următoarea problemă de transport nu este echilibrată
1B 2B 3B
1A1 2 3
10
2A2 1 4
25
3A3 1 2
35
20 35 15
5
17. Fie o problemă de transport. Pentru determinarea soluŃiei de bază prin metoda costurilor
minime în primul pas se determină componenta khx pentru care ijkh cc min= şi se ia
( )hkkh bax ,max= , unde maa ,...,1 sunt cantităŃile disponibile iar nbb ,...,1 cererile
corespunzătoare.
18. Fie o problemă de transport unde maa ,...,1 sunt cantităŃile disponibile, nbb ,...,1 cererile şi
ijc costurile. Utilizând metoda diagonalei se alege în primul pas componenta bazică
( )1111 ,min bax = modificând concomitent valorile lui 1a şi 1b .
19. Problema de transport
1B 2B 3B 4B
1A1
50
2
20
2 370
2A2 2 1
5
4
510
3A3 2 2
10
1
1020
50 25 15 10
are soluŃie multiplă