-
NORMA VENEZOLANA
TECNOLOGA DEL CONCRETO. MANUAL DE ELEMENTOS DE ESTADSTICA Y
DISEO DE EXPERIMENTOS
COVENIN 3549:1999
FONDONORMA
-
PRLOGO La presente norma fue elaborada de acuerdo a las
directrices
del Comit Tcnico de Normalizacin CT27 Tecnologa del concreto.
Manual de elementos de estadstica y diseo de experimentos y
aprobada por FONDONORMA en la reunin del Consejo Superior N 1999-13
de fecha 14/12/1999.
En la elaboracin de esta norma participaron las siguientes
entidades: PREMEX; Ministerio de Infraestructura; ALIVEN; B.R.S.
Ingenieros; Cmara de la Construccin; Cementos Caribe; COCIPRE;
COINPRESA; Colegio de Ingenieros; COLOCA; CETELCA; C.V.G.; EDELCA;
FUNDALANAVIAL; GRACE Venezuela; Ing. Control Calidad - I.C.C.;
INGEROCA; Lab. Centeno Werner; LABSUELOS; LAFARGE-Cementos La Vega;
LATEICA; LASUECONAF; M.B.T. de Venezuela; Nueva Casarapa; Oficina
Tcnica Ing. J.V. Heredia; Oficina Tcnica S-03; Premezclados Avila;
Premezclados Caribe; PREPICA; Serviconcreto Valencia; S.O.P.E.C.;
SIDETUR; SIKA de Venezuela; SIMPCA; TECNOCONCRET; Universidad de
Carabobo; Universidad Catlica Andrs Bello; U.C.V.-IMME-Facultad de
Ingeniera; Universidad Metropolitana; U.S.B. Centro de Ingeniera de
Superficie; CEMEX-VENCEMOS; VENMARCA -MIXTOLISTO; VIPOSA.
-
1
1 INTRODUCCIN, ESTADSTICA, CONCEPTOS BSICOS
Con razn se ha definido a la Estadstica como la ciencia de tomar
decisiones en presencia de la incertidumbre, pues en el largo
camino de la investigacin cientfica, constantemente nos enfrentamos
con la incertidumbre, y si bien no podemos decir que la Estadstica,
en su estado actual de desarrollo, da solucin a todas las
situaciones que impliquen inseguridad, cada vez se desarrollan
mtodos nuevos que proporcionan el fundamento para el anlisis de
estas situaciones con base cientfica, de una forma lgica y
sistemtica.
El estudio de la estadstica, el empleo de los mtodos
estadsticos, puede ser dirigido a los campos especficos de
investigacin y es precisamente nuestro objetivo en este trabajo,
puntualizar aspectos bsicos de su aplicacin en el campo de la
Tecnologa del Concreto.
Los mtodos estadsticos manejan datos obtenidos de observaciones,
en forma de mediciones o conteo, siempre a partir de una fuente de
observaciones, con el objetivo de arribar a conclusiones respecto a
dicha fuente.
Uniendo los dos conceptos antes expuestos se puede decir
entonces, que los mtodos estadsticos son aquellos que sirven para
obtener conclusiones acerca de poblaciones a partir de
muestras.
La parte de los mtodos estadsticos dedicada a la obtencin y
compendio de datos, se denomina estadstica descriptiva, en tanto
que la parte que trata de hacer inferencias, o sea de obtener
conclusiones, se denomina inferencia estadstica.
La mayor parte de los mtodos estadsticos tienen dos
objetivos:
Estimar alguna propiedad de la poblacin
Probar alguna hiptesis respecto a la poblacin
Estos son por tanto, los dos problemas bsicos de la inferencia
estadstica. Los problemas que tratan sobre la prueba de alguna
hiptesis respecto a la poblacin, o sea de la decisin de aceptar o
rechazar determinada hiptesis, se basa en la Teora de las
probabilidades. Esto es indispensable, pues una conclusin basada en
una muestra involucra una informacin incompleta acerca de la
poblacin, por lo que no se puede hacer con absoluta certeza.
La magnitud de la probabilidad asociada a una conclusin,
representa el grado de confianza que se posee sobre la veracidad de
dicha conclusin. Por ejemplo, cuando se dice que la probabilidad de
que una estimacin tenga un error menor de 3%, es de 0,95, esto debe
interpretarse como que alrededor del 95% de tales afirmaciones,
hechas por un estadgrafo son vlidas y cerca del 5% no lo son.
Una poblacin, en el lenguaje estadstico, es un conjunto de
individuos de cualquier especie o un conjunto de objetos de
cualquier clase.
En una gran parte de los casos, cuando se estudian muestras y
poblaciones, el inters se concentra en una sola caracterstica de
los miembros de la poblacin.
Obtener una muestra de una poblacin, de manera que puedan
extraerse conclusiones vlidas para la poblacin de la que proviene,
no es tan sencillo como parece.
Para que la muestra sea realmente representativa, tiene que ser
extrada de la poblacin al azar.
Un muestreo es al azar, o aleatorio, si cada uno de los miembros
de la poblacin tiene igual posibilidad de ser elegido, o sea que la
probabilidad de la seleccin de cada uno sea igual. Para ello el
mtodo elegido para el muestreo tiene que asegurar la independencia
y las caractersticas de probabilidad constante de la muestra. A tal
efecto las tablas de nmeros aleatorios se construyen de manera que
arrojen muestras que poseen estas propiedades deseadas, por lo que
las muestras obtenidas utilizando tablas de nmeros aleatorios se
consideran como muestras al azar.
COVENIN 3549:1999
NORMA VENEZOLANA TECNOLOGA DEL CONCRETO,
MANUAL DE ELEMENTOS DE ESTADSTICA Y DISEO DE EXPERIMENTOS
-
2
La razn principal del muestreo al azar es que conduce fcilmente
a los modelos probabilsticos de distribucin.
Existen muchsimos ejemplos de fracasos ocurridos con el empleo
de los mtodos probabilsticos, debido a que se han extrado
conclusiones basadas en muestras que no han sido tomadas al
azar.
Si bien el mtodo para seleccionar una muestra al azar es
bastante difcil en situaciones prcticas, el esfuerzo es bien
compensado, pues los problemas de inferencia estadstica generados
por haberle hecho concesiones al azar, son considerablemente ms
complicados y serios.
2 METODOLOGA DEL MUESTREO ALEATORIO
Para efectuar el muestreo aleatorio es indispensable establecer
de antemano el alcance de la poblacin a la que se va a extraer la
muestra.
En el campo de la Tecnologa del Concreto, la poblacin se define
por un lote.
Se denomina lote, al volumen de concreto de igual o semejante
dosificacin y materiales componentes, que es confeccionado y puesto
en obra en condiciones sensiblemente iguales y que se somete a
juicio de una sola vez.
En la produccin de concreto a escala industrial, el lote se
puede definir por volumen o por tiempo. Por ejemplo, el lote de
concreto producido por una planta preparadora de concreto, con
rendimiento de trabajo de 60 m3/h, se puede establecer como la
produccin de un concreto de determinada calidad (digamos 20 MPa de
resistencia a compresin a 28 das), con iguales materiales y
condiciones de elaboracin sensiblemente iguales, como:
Un volumen neto de 600 m3.
La produccin de un da de trabajo, considerando una jornada de 8
h (de 8:00 am a 5:00 pm) con una hora de almuerzo incluida.
El segundo paso consiste en definir una frecuencia de muestreo,
o sea cada qu magnitud de produccin de concreto se deber tomar una
muestra. La frecuencia mnima de muestreo se establece con carcter
normalizativo en algunos pases, pero para evaluar la produccin de
concreto es conveniente contar con no menos de 30 muestras y slo en
los casos en que esto no sea posible porque los volmenes producidos
sean pequeos, no menos de seis muestras.
Para el ejemplo definido anteriormente, digamos que se tomar una
muestra de seis probetas cada 100 m3 de concreto producido.
Como tercer paso, resulta conveniente dividir el lote en
sublotes, donde cada sublote indicar el punto donde se deber tomar
una muestra. Por ejemplo en el caso del lote definido por volumen,
la cantidad de sublotes quedar definida por el cociente:
NSL = lote
lote
mm
/
/
.100
.6003
3
= 6 sublotes
Una representacin esquemtica de la divisin del lote en sublotes
como la mostrada en la Figura 1, puede resultar conveniente.
Figura 1. Representacin esquemtica de la divisin del lote
establecido por volmenes, en sublotes
-
3
En el caso del lote definido por tiempo, el nmero de sublotes se
determina por:
NSL = muestra
lotehh
mm
/
/8./
.100.60
3
3
= 4,8 muestras / lote
O sea cinco muestras, pero como se ha dicho anteriormente, el
mnimo necesario para un anlisis estadstico son seis muestras por
lote, o lo que es lo mismo seis sublotes luego cada sublote tendr
un intervalo de tiempo total de:
TSL = lotesublotes
hloteh/.6min/.60./8
= 80 min / sublote
En la Figura 2 se muestra la representacin esquemtica de esta
divisin del lote en sublotes.
Figura 2. Representacin esquemtica de la divisin del lote,
establecido por tiempo, en sublotes
El cuarto y ltimo paso consiste ya, en la determinacin del Plan
de Muestreo con el auxilio de una tabla de nmeros aleatorios. En la
Tabla A1 del Anexo A se muestra una lista ordenada de nmeros
aleatorios en cuatro fracciones decimales, que hemos considerado
adecuada a este fin.
En el caso del lote definido por volumen, se toman por ejemplo
los seis primeros nmeros aleatorios de la primera columna de la
tabla y se efecta el producto del nmero aleatorio por el volumen
del sublote, tal como se muestra en la Tabla 1.
Tabla 1. Determinacin del Plan de Muestreo. Lote definido por
volumen
Sublote Nmero aleatorio
Volumen del sublote
(m3)
Volumen del lote a muestrear
(m3)
Volumen total a muestrear
(m3)
1 0,4751 100 47 47
2 0,6936 100 69 169
3 0,6112 100 61 261
4 0,7930 100 79 379
5 0,0652 100 6,5 406,5
6 0,4604 100 46 546
En el caso del lote definido por tiempo, se efecta el producto
del nmero aleatorio por el intervalo de tiempo de cada sublote, tal
como se muestra en la Tabla 2.
-
4
Tabla 2. Determinacin del Plan de muestreo. Lote definido por
tiempo
Sublote Nmero aleatorio
Magnitud del sublote
(min)
Tiempo del muestreo en el sublote (min)
Momento del muestreo
1 0,4751 80 38 8:38 am
2 0,6936 80 55 10:15 am
3 0,6112 80 49 11:29 am
4 0,7930 80 63 2:03 pm
5 0,0652 80 5 2:25 pm
6 0,4604 80 37 4:17 pm
En el primer caso el momento del muestreo queda determinado por
el volumen de concreto que va llegando a la obra, en el segundo
caso por la hora del da de trabajo.
En las Figuras 3 y 4 se indican los esquemas del Plan de
Muestreo para los lotes definidos por volumen y por tiempo
respectivamente.
Figura 3. Representacin del Plan de Muestreo para el lote
definido por volumen
Figura 4. Representacin del plan de muestreo para el lote
definido por tiempo
3 CLASIFICACIN DE LOS DATOS DE UNA MUESTRA
Cuando se estudia una poblacin, el inters se centra generalmente
en una sola caracterstica de los miembros de la poblacin. Tal
caracterstica puede ser una variable continua, o una variable
discreta.
El trmino variable continua se aplica a variables capaces de
tomar cualquier valor dentro de un intervalo de valores, como por
ejemplo: La temperatura, el tiempo, las resistencias mecnicas.
Las variables discretas son aquellas que en general toman
valores discretos y enteros. Son ms bien contables que mesurables,
como por ejemplo el nmero de accidentes de trnsito que se producen
en un da, nmero de nios en una familia, etc.
La clasificacin de los datos de una muestra, es una tarea propia
de variables continuas, pues las variables
-
5
discretas, por naturaleza, se clasifican de forma natural.
La experiencia y la teora indica que para la mayor parte de los
datos, resulta adecuado utilizar entre 10 y 20 clases, tomando por
supuesto el valor de 10 para las cantidades ms pequeas de
datos.
Un nmero de clases inferior a 10 provoca que se pierdan muchos
detalles (que pueden ser importantes) en la muestra, en tanto que
ms de 20 complican innecesariamente los clculos.
Para determinar las fronteras entre los intervalos de clase se
deber partir de los valores mximo y mnimo del grupo. Veamos por
ejemplo los valores de las medias muestreales de los ensayos de
resistencia a compresin a 28 das de un lote de concreto. Nos
referimos a las medias muestreales, pues cada uno de estos valores
es la media del ensayo de tres probetas cilndricas de (15 x 30) cm
(todas las medidas son en MPa):
18; 19,2; 18,4; 20; 17,6; 18,5; 19; 17,7; 18,7; 18,2; 17,8;
18,4; 18,5; 18,6; 18;6; 18,9; 18,8; 18,8; 18,9; 18,9; 18,9; 19,1;
19; 19,2; 19,3; 19,4; 20; 20,3; 19,6; 19,8; (30 valores).
Valores mximo y mnimo: 20,3 y 17,6 Diferencia: 2,7 MPa
Como esta gama de valores debe dividirse en partes iguales y
esas partes deben ser de 10 a 20, si se toman 10, el intervalo es
de 0,27 y si se toman 20 es de 0,135 por lo que se tomar 0,2 que
corresponde a ese intervalo y est pegado a 10, pues 30 valores no
es un gran nmero de datos.
El primer intervalo de clase debe contener siempre a la medida
ms pequea del conjunto de datos, por lo que en nuestro caso debe
comenzar por lo menos en 17,6. Paro para evitar que alguna medida
quede en la frontera de dos intervalos de clase adyacente, se
acostumbra a escoger las fronteras con media unidad ms de la
aproximacin con que se hayan obtenido las medidas. En este caso las
medidas de resistencia se han tomado con una aproximacin de 0,1
MPa, por lo que tomaremos 0,05 MPa y el primer intervalo de clase
se extender de 17,55 a 17,75. Para determinar los siguientes
intervalos de clase basta ir sumando reiteradamente 0,2 MPa, hasta
que la medida mxima, que es de 20,3 MPa quede incluida en el ltimo
intervalo, tal como se muestra en la Tabla 3.
Cuando se han establecido las fronteras de clase, se coloca cada
medida del grupo en el intervalo de clase adecuado. La forma ms
sencilla de hacerlo es como se muestra en la Tabla 3, trazando una
barra vertical para representarla. El conteo de estas barras por
intervalo de clase le indica la frecuencia de aparicin de los
datos, por lo que a esta tabla se le denomina tambin Tabla de
Frecuencias.
Al hacer esta clasificacin ya se supone que todas las medidas
incluidas en un mismo intervalo de clase tienen el valor del punto
medio de dicho intervalo, que se denomina marca de clase .
Es importante observar que la sumatoria de las frecuencias de
todos los intervalos de clase tiene que ser igual al nmero total de
mediciones, o sea en nuestro caso al nmero total de medias
muestreales de resistencia, por lo que:
n = f1 + f2 + f3 + + fh
-
6
Tabla 3. Tabla de frecuencias de las medias muestreales de la
resistencia a compresin del concreto a 28 das
Fronteras de clase (MPa)
Frecuencias Marcas de clase (MPa)
Frecuencias (f)
17,55 17,75 17,65 2
17,75 17,95 17,85 1
17,95 18,15 18,05 1
18,15 18,35 18,25 1
18,35 18,55 18,45 3
18,55 - 8,75 18,65 5
18,75 18,95 18,85 6
18,95 19,15 19,05 3
19,15 19,35 19,25 2
19,35 19,55 19,45 1
19,55 19,75 19,65 1
19,75 19,95 19,85 1
19,95 20,15 20,05 2
20,15 20,35 20,25 1
Una distribucin de frecuencia, como la obtenida en la Tabla 3,
se puede visualizar ms fcilmente si se presenta de forma grfica.
Para representar variables discretas por lo general se utilizan
grficos lineales. En el caso de las variables continuas resultan de
mayor aplicacin prctica los histogramas.
En la Figura 5 se muestra le histograma de la distribucin de
frecuencias de la Tabla 3. En este caso las fronteras de clase
aparecen indicadas en el eje de las abscisas, en tanto que en las
ordenadas aparece la frecuencia.
As la frecuencia correspondiente a cualquier intervalo de clase
se representa por la altura del rectngulo cuya base es el intervalo
en cuestin.
El histograma permite determinar la naturaleza de la Distribucin
de Frecuencias, sin embargo para obtener informaciones ms precisas,
es indispensable efectuar su descripcin matemtica.
4 DESCRIPCIN MATEMTICA DE UNA DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS
La naturaleza de un problema estadstico es lo que determina en
gran medida, si con unas cuantas propiedades matemticas simples se
puede describir o no satisfactoriamente.
Los momentos de la distribucin son ciertas cantidades numricas
calculadas a partir de la distribucin, cuya utilidad ha sido
ampliamente probada por los estadgrafos. Mientras ms momentos de
distribucin se conocen, mayor informacin se tiene sobre la
distribucin.
Los ms utilizados son los momentos de rdenes inferiores (primero
y segundo). En ciertos problemas se usan
-
7
los primeros cuatro momentos, pero muy rara vez se usan ms de
cuatro, ya que los momentos de rdenes superiores no son muy
precisos, a menos que se cuente con una muestra muy numerosa, y no
aportan informacin adicional de importancia en la mayor parte de
los problemas.
El primer momento de una distribucin de frecuencias (m1) es la
media aritmtica o promedio.
Dada una muestra de n valores de cierta poblacin, identificados
por X1, X2, X3, , Xn, la media aritmtica ser:
nXXXX
X n++++
=..........321 , o lo que es lo mismo,
n
X
X
n
lii
==
Figura 5. Histograma de las medias muestreales de las
resistencias a compresin de los hormigones a 28 das
Cuando se trata de datos clasificados, los valores que se
presentan son las marcas de clase, identificadas por X1, X2, X3,
...., Xh, y las frecuencias asociadas a estas clases, identificadas
por f1, f2, f3, ..., fh. En este caso la media aritmtica se calcula
por:
n
fXfXfXfXX hh
++++=
..........332211, o lo que eslo mismo,
=
=h
iii fXn
X1
1
El primer momento, da una idea bastante aproximada del punto
donde se encuentra el centro del histograma, por lo que ayuda a
describir la distribucin de frecuencias al indicar dnde se localiza
el histograma de la distribucin de frecuencias a lo largo del eje
de las abscisas (eje X), por lo que se considera una medida de
tendencia central.
El segundo momento de una distribucin de frecuencias (m2) est
definido por la siguiente expresin:
-
8
=
=h
liii fXn
m 221
Empleando algunos artificios matemticos, con el objetivo de
independizar el momento de la localizacin del histograma y adems,
teniendo en cuenta que se ha demostrado matemticamente, que el
segundo momento de la poblacin es ligeramente mayor que el promedio
de los segundos momentos de las muestras, por lo que con el objeto
de aproximarlos y que la inferencia sea ms exacta, se toma el
divisor n l, se obtiene entonces la varianza de la muestra:
( )=
=h
liii fXXn
S22
11
En muchos problemas resulta deseable que las cantidades que
describen una distribucin, posean las mismas unidades que el
conjunto de mediciones originales. La media aritmtica satisface
este requisito, pero la varianza no, sin embargo, si se toma la raz
cuadrada de la varianza se puede obtener el efecto deseado. La
cantidad resultante se denomina desviacin tpica de la distribucin,
que ser igual a:
( )=
=h
iii fXXn
S1
2
11
Para el caso de datos no clasificados, la desviacin tpica se
determina por:
S = ( =
n
iXX in 1
2
)1
1
La desviacin tpica es una medida de la variabilidad de los datos
de una distribucin de frecuencia. Este aspecto se tratar
posteriormente con mayor profundidad.
Adems de los dos primeros momentos de la distribucin, existen
otras medidas descriptivas que pueden resultar apropiadas en casos
muy concretos, como son:
La moda
La mediana
El recorrido
La desviacin media
La moda de un grupo de medidas se define como la medida que se
presenta con la mxima frecuencia, si existe.
La mediana se define como la medicin central, si existe, despus
que las medidas se han dispuesto en orden de magnitud.
Si existe un nmero par de medidas, se toma la mediana como el
promedio de dos mediciones centrales. Para datos que han sido
clasificados, la mediana se define como el valor de X tal, que si
se trazara una recta vertical por el punto del eje de las abscisas
correspondiente a ese valor, el histograma quedara dividido en dos
partes cuyas reas seran iguales.
La moda y la mediana son, como la media, medidas de tendencia
central. Las diferencias entre ellas dan idea sobre la simetra de
una distribucin, pues cuando la misma es perfectamente simtrica,
las tres coinciden.
La media es por lo general mucho ms til que la moda y la mediana
y se puede confiar ms en ella para inferencias estadsticas.
El recorrido es una medida de dispersin, al igual que la
desviacin tpica. Se puede decir que es la medida ms simple de
dispersin de un grupo de medidas. Se define como la diferencia
entre las mediciones mxima y mnima de un grupo. Como propiedad
negativa vale destacar que tiende a incrementarse con el tamao de
la muestra.
-
9
La desviacin media es otra medida de dispersin y se define por
la expresin:
DM = Xn
n
iiX
=1
1
Difiere del segundo momento respecto al promedio, en que emplea
valores absolutos en lugar de cuadrados de las desviaciones.
Es posible construir tambin otras medidas de dispersin de una
distribucin, empleando un mtodo similar al que se utiliz al definir
la mediana. Los cuartiles son tres valores tomados en el eje de las
abscisas (la mediana y dos ms) que dividen el histograma en cuatro
partes con iguales reas. La diferencia entre el tercer y el primer
cuartil es una medida muy sencilla de dispersin y se denomina
recorrido intercuartilar. De forma similar se pueden construir
otras medidas de dispersin empleando deciles (valores de x que
dividen el histograma en 10 partes cuyas reas son iguales o
centiles (que dividen el histograma en 100 partes cuyas reas son
iguales). Los deciles y centiles pueden sustituir
satisfactoriamente a los momentos en la descripcin de una
determinada distribucin, proporcionando ms detalles, sin embargo
por lo general la desviacin tpica resulta superior cuando se trata
de resolver problemas de inferencia estadstica.
El tercer momento de la distribucin (m3), est dado por la
expresin:
m3 = fX ih
iin =131
Lo que representa la simetra de la curva. El valor de m3 es 0
(cero) para curvas perfectamente simtricas.
El cuarto momento de la distribucin (m4), cuya expresin es
similar al tercer momento, pero con Xj elevada a la cuarta
potencia, es la curtosis, que constituye una medida del
achatamiento de la curva de distribucin. Por ejemplo, la curtosis
de la distribucin normal es igual a tres.
5 DISTRIBUCIONES TERICAS DE FRECUENCIAS
Una distribucin de frecuencias de una muestra es una estimacin
de la distribucin de frecuencias de la poblacin correspondiente. Si
el tamao de la muestra es grande, cabe esperar que la distribucin
de frecuencias de la muestra sea una buena aproximacin a la
distribucin de frecuencias de la poblacin.
En la mayora de los problemas estadsticos la muestra no es lo
suficientemente grande como para determinar con precisin la
distribucin de frecuencias de la poblacin, pero combinando la
experiencia, junto con la informacin obtenida de la muestra y de
otras fuentes, es posible sugerir la naturaleza general de la
distribucin de frecuencias de la poblacin. Esto conduce a lo que se
conoce como distribuciones tericas de frecuencias, que son modelos
matemticos para las distribuciones de frecuencias reales.
Cuando se trata de variables discretas, la distribucin terica de
frecuencias ms utilizada es la distribucin binomial.
En el caso de variables continuas, la distribucin terica de
frecuencias se considera como la forma lmite del histograma bajo
muestreo continuo y posee las propiedades de frecuencia esenciales
del histograma. As pues el rea bajo la curva de distribucin terica
de frecuencia es igual a uno, y de igual forma el rea bajo la
distribucin terica de frecuencias entre los lmites del intervalo de
clase correspondiente, indica la frecuencia relativa esperada de X,
en dicho intervalo.
Muchas de las distribuciones de frecuencias que se encuentran en
la naturaleza y en la industria, son bastante simtricas, mueren con
rapidez en las orillas y poseen una forma similar a una campana.
Una distribucin terica que ha probado su utilidad para
distribuciones como stas es la distribucin normal, que es sin dudas
la ms utilizada en los casos de variables continuas.
En la Figura 6 se muestra la distribucin normal tpica. Obsrvese
que en este caso el valor terico de la media est indicado por la
letra griega y la desviacin tpica por la letra griega , de manera
que y se utilizan para representar la media y la desviacin tpica de
las distribuciones tericas de frecuencia, que corresponden a X y s
para distribuciones de frecuencias de muestras.
-
10
Figura 6. Distribucin normal tpica
Si suponemos que la forma lmite del histograma, para una
distribucin de frecuencias, es una curva normal, puede demostrarse
por mtodos matemticos avanzados, que , el valor lmite de s, tiene
la siguiente interpretacin geomtrica respecto a la curva
normal:
El rea bajo la curva normal entre - y + es el 68% del rea total,
al 1% ms cercano.
El rea bajo la curva normal entre - 2 y + 2 es el 95% del rea
total, tambin al 1% ms cercano.
El rea bajo la curva normal entre - 3 y + 3 es el 99,7% del rea
total, al 0,1% ms cercano.
Una propiedad muy importante de la Curva Normal es que su
localizacin y forma quedan completamente determinadas por los dos
primeros momentos de la distribucin, o sea por los valores de y .
El primero establece el centro de la curva y el segundo, la
dispersin de sus valores. De esta forma, como todas las curvas
normales que representan distribuciones tericas de frecuencias,
tienen un rea total igual a la unidad, al incrementarse el valor de
la curva debe achatarse y extenderse a ambos lados y por el
contrario, cuando se reduce, la curva se afina y estrecha.
Para los efectos de los clculos, la curva normal ms sencilla es
aquella cuya media vale 0 y cuya desviacin tpica es igual a uno.
Cuando es necesario se pueden reducir las dems curvas normales a
esta curva que se denomina patrn o estndar y que se muestra en la
Figura 7. As a cualquier punto del eje de las abscisas en una curva
normal, le corresponde un punto del eje de las abscisas de la curva
normal patrn. En general este valor se determina estableciendo la
distancia que hay entre dicho punto y la media de la curva, si se
toma como unidad la desviacin tpica, o sea que si un punto X, que
est en el eje de las abscisas de una curva normal con media y
desviacin tpica , corresponde con un punto z de la curva patrn,
entonces el punto X est ubicado a la derecha de , a una distancia
de z veces la desviacin tpica. Esto puede expresarse por la
frmula:
X = + z, o tambin z =
X
De esta forma hallar el punto z de la curva normal patrn, que
corresponde al punto X en una curva normal cualquiera.
La Tabla A2 del Anexo A permite encontrar el rea bajo una parte
cualquiera de la curva normal para la variable z, y que corresponde
a la curva patrn indicada en la Figura 7.
-
11
Figura 7. Distribucin Normal Patrn, para = 0 y = 1
Veamos algunas bondades importantes de la distribucin normal,
que es posible demostrar matemticamente mediante clculos
avanzados:
1. Si la variable X posee una distribucin normal, cuya media es
y cuya desviacin tpica es , entonces la distribucin de las medias
de las muestras X , poseer tambin una distribucin normal cuya media
ser
y cuya desviacin tpica ser: n
2. Si la variable X no posee una distribucin normal, si n es
mayor de 25, la distribucin de las medias de las muestras X , se
comportar como la distribucin normal aproximada, con media y
desviacin tpica:
n
3. Si la distribucin de la variable X no difiere demasiado de
una distribucin normal, la distribucin de las medias de las
muestras X , frecuentemente aparecer como normal para un valor de n
tan pequeo como
cinco, con media y desviacin tpica: n
.
6 ESTIMACIN DE LAS PROPIEDADES DE LA POBLACIN
Al comienzo se indic que uno de los problemas fundamentales de
la estadstica es la estimacin de las propiedades de la
poblacin.
Como ya se explic, la distribucin normal queda completamente
determinada por los parmetros y , por lo tanto, los problemas de
estimacin para poblaciones normales se pueden reducir generalmente
a los problemas de estimacin de y .
Los dos tipos de estimaciones de parmetros de utilizacin
frecuente en la estadstica, son la estimacin por punto y la
estimacin por intervalo.
La estimacin por punto es un valor numrico que se obtiene por
clculos a partir de los valores de la muestra y que sirva como
aproximacin al parmetro que es objeto de estudio, as por ejemplo la
media de la muestra X , es una estimacin por punto de la media de
la poblacin .
La estimacin por intervalo est determinada por dos nmeros, que
se obtienen por clculos de los valores de las muestras, y que se
espera que contengan el valor del parmetro estimado en su interior.
La estimacin por intervalo se construye de manera que es posible
especificar la probabilidad de que dicho intervalo contenga el
parmetro estimado, de ah su ventaja, pues indica la exactitud con
que se estima el parmetro. Las estimaciones por intervalo se
denominan tambin intervalos de confianza.
Veamos un ejemplo:
Un productor de bloques de concreto, conoce por experiencia que
la resistencia a compresin a 28 das de los
-
12
bloques huecos de 20 cm de ancho, producidos en cada amasada se
encuentra aproximadamente en forma de distribucin normal y sabe
tambin que la resistencia a compresin de los bloques vara de
amasada a amasada, sin embargo, la desviacin tpica permanece
aproximadamente constante en un valor de 1,2 MPa. Entonces desea
estimar la resistencia a compresin media para una nueva amasada, de
manera que ensaya una muestra extrada aleatoriamente, de 30
unidades, con la que obtiene una resistencia media a compresin de
10 MPa.
1. El productor quiere saber si la resistencia media a compresin
obtenida de 10 MPa es una buena estimacin de la media de la amasada
(poblacin). Para resolver esta incgnita hace uso de las bondades ya
expuestas de la distribucin normal, donde la media de las muestras
X se puede suponer distribuida normalmente con media y desviacin
tpica dada por:
X = 302,1
= 30
2,1 = 0,22
Un esquema de esta distribucin, aparece en la Figura 8.
Anteriormente ya se haba expuesto que en el entorno - 2 y + 2 la
probabilidad es del 95% de que X tome algn valor dentro de 0,44 MPa
de variacin de . En la Tabla A2 del Anexo A, el 95% de probabilidad
corresponde a un valor de z de 1,96.
Como en este caso X = 10 MPa, el productor puede confiar en que
este valor se diferenciar de la Media de la poblacin en menos de
0,44 MPa, con una probabilidad del 95%.
La magnitud de la diferencia X - se denomina error de
estimacin.
2. Si el productor no est satisfecho con la exactitud de la
estimacin basada en una muestra de 30 bloques y se cuestiona sobre
el tamao que debe tomar esta muestra de manera que pueda tener la
seguridad razonable, digamos con una probabilidad del 95%, de que
la estimacin de la media de la poblacin no ser errnea en ms de 0,3
MPa, entonces se deber satisfacer la ecuacin:
1,96 X = 0,3 o lo que es lo mismo:
X 1 = 0,3
Figura 8. Esquema de la distribucin de las medias de las
resistencias a compresin de los bloques a 28 das
Despejando n obtenemos un valor de 62 bloques para la muestra.
La frmula general, despejada, de n en este caso ser:
-
13
n = e
z2
22
.0
donde:
z0 es el valor de la Tabla A2 del Anexo A, que corresponde a la
probabilidad deseada;
e es el error de estimacin mximo permisible.
Otra opcin del productor es obtener un intervalo de confianza
del 95% para la media de la poblacin, basado en la muestra original
de 30 bloques. En este caso se deber cumplir que:
X -1,96n
< < X + 1,96
n
o sea que:
10 - 1,9630
2,1 < < 10 + 1,96
30
2,1
9,57 < < 10,43
Estos mtodos de estimacin son slo aplicables a muestras grandes.
Si la muestra es de tamao inferior a 25 y el valor de no se conoce,
el grado de precisin es muy dudoso y hacen falta mtodos ms
refinados.
Para evitar el error de sustituir por s, cuando s se basa en una
muestra pequea, se introduce una nueva variable, denominada
variable t de Student, que se define por la frmula:
t = nS
X
La variable t de Student se asemeja a la variable z introducida
anteriormente:
Z = nX
Pero en este caso se ha incluido la desviacin tpica de la
muestra s, en lugar de la desviacin tpica de la poblacin , ya que t
no requiere un conocimiento de , como en el caso de z, su valor se
puede calcular a partir de los datos de la muestra. Es por ello que
t puede utilizarse para resolver problemas estadsticos sin
necesidad de introducir aproximaciones a parmetros de la
poblacin.
Los mtodos matemticos demuestran que la distribucin de t es
exacta y depende slo del valor de n, siempre que la variable X
posea una distribucin normal. Adems la distribucin de t se asemeja
mucho a la de una variable normal ordinaria z, excepto para valores
muy pequeos de n.
En la Tabla A3 del Anexo A, se muestran los valores de t que
corresponden a diferentes grados de libertad y a varias
probabilidades. El nmero de grados de libertad est dado por n 1
esto equivale a utilizar n 1 como divisor en lugar de n, al
calcular la desviacin tpica de la muestra. El valor de 0,05, por
ejemplo, en el encabezado de la columna, indica la probabilidad de
que t exceda numricamente el valor de t que aparece en dicha
columna, o sea que cada cola de la curva, cortada en el valor de t
(positivo y negativo), contiene 0,025 del rea bajo la curva, tal
como se muestra en la Figura 9.
La expresin general para encontrar un intervalo de confianza
dado para , en el caso de muestras pequeas, ser:
n
SX t0 < < X + to n
La teora en que est basada la distribucin t, establece que la
variable X posea una distribucin normal y slo
-
14
es aplicable en estos casos.
Figura 9. Distribucin t de Student para un intervalo de
confianza del 95%
7 PRUEBAS DE HIPTESIS
Tal como se enunci anteriormente, las pruebas de hiptesis
constituyen un segundo problema fundamental de la estadstica.
Las pruebas de hiptesis sobre poblaciones normales, se reducen
por lo general a probar hiptesis respecto a los parmetros y .
Pongamos por ejemplo el caso de un productor de concreto que ha
utilizado tradicionalmente el aditivo plastificante tipo 1 con
buenos resultados, pero recientemente ha recibido una oferta de un
aditivo plastificante tipo 2, con un mejor precio y l est
lgicamente dispuesto a cambiar de marca si los vendedores del
aditivo tipo 2 le demuestran que su producto es tan bueno como el
tipo 1.
La experiencia del productor, asentada en varios aos de trabajo,
muestra que con las materias primas de que dispone y con el aditivo
tipo 1 puede lograr concretos con una relacin agua/cemento de 0,45
y obtener resistencias medias a compresin a 28 das de 30,5 MPa, con
una desviacin tpica de 2,7 MPa.
Para probar la aseveracin hecha por los productores del aditivo
tipo 2 se hicieron pruebas industriales y se obtuvieron 30 muestras
del concreto, para con las mismas dosis de aditivos, obtener una
relacin de 0,46 y resistencias medias a compresin de 28,8 MPa y una
desviacin tpica de la muestra de 2,2 MPa.
En este caso podemos formular como prueba de la hiptesis, que
llamaremos HO, que la media de la poblacin de la muestra de los
concretos con aditivo tipo 2 es de 30,5 MPa, en contraste con la
hiptesis alternativa, que se denominar H1, que establece que la
media de la poblacin de la muestra de estos concretos es inferior a
30,5 MPa, o sea:
H0: = 30,5 MPa
H1: < 30,5 MPa
Existen dos posibilidades de tomar una decisin incorrecta en
este caso. Si el aditivo tipo 2 es realmente tan bueno como el tipo
1 y sobre la base del valor de X se decide aceptar la hiptesis H1,
se har una decisin incorrecta, que se denomina error del tipo 1,
mientras que si por el contrario el aditivo tipo 2 es realmente de
calidad inferior y se decide aceptar que son igualmente buenos, o
sea se acepta la hiptesis HO, tambin se tomar una decisin
incorrecta, que se denomina error del tipo 2.
Es bien conocido que la resistencia a compresin de los concretos
se distribuye de forma aproximadamente normal. Es evidente que
mientras ms lejos se encuentre la X de la muestra, a la izquierda
de la media establecida por el aditivo tipo 1, menos deber creerse
en la veracidad de HO, por lo que resulta claro que la regin crtica
deber consistir en valores pequeos de X , y por lo tanto de la
parte del eje de las X a la izquierda de algn punto X 0 . El
problema radica entonces en encontrar dicho punto X 0 , para un
grado de confianza determinado (en nuestro caso casi siempre se
emplea un 95%). Para ello se calcula la desviacin tpica de la
distribucin de las medias de la muestra.
-
15
X = n
= 30
2,1 = 0,22
Como se sabe que el 5% (nivel de significacin) del rea de la
cola izquierda de una curva normal ordinaria, se encuentra a la
izquierda del punto: z = 1,64, entonces se puede decir que:
- 1,64 =
x
X 0
de donde:
X 0 = 30,5- 1,64 (0,4) = 29,8 MPa En la Figura 10 se ha
representado esta regin crtica, para la prueba de hiptesis HO.
Figura 10. Regin crtica para la prueba de hiptesis H0
Como el valor de la resistencia media de la muestra X = 28,8
MPa, se encuentra dentro de la regin crtica, se rechazar la
hiptesis HO. Se puso en evidencia que una media de muestra tan baja
como 28,8 MPa, no se poda haber obtenido de una muestra aleatoria
de tamao 30, tomada de una poblacin con media = 30,5. Esto implica
que los vendedores del aditivo tipo 2 no se justifican en su
pretensin de igualar la calidad de su producto a la del aditivo
tipo 1.
Al resultar cierto que la media de la poblacin de las
resistencias de los concretos fabricados con el aditivo tipo 2 es
menor de 30,5 MPa, debe considerarse de inmediato la cuestin de
cunto menos es, para ello se puede hacer una estimacin por punto de
, en la que naturalmente X = 28,8 MPa se tomara como estimacin.
Tambin se puede encontrar un intervalo de confianza para y
determinar las diferencias mxima y mnima que existen probablemente
entre las dos Medias de poblacin.
Todo esto es necesario antes de poder decidir, con conocimiento
de causa, si el precio ms bajo para el aditivo tipo 2, compensa su
calidad inferior.
En el caso de que la muestra fuera pequea, la sustitucin de por
s puede introducir un serio error, por lo que en esta situacin se
puede emplear la distribucin t de Student en la misma forma que la
z para las muestras grandes. Por ejemplo en el casco anterior, si
se tratase de slo 20 muestras:
t = nS
X = 20
2,25,308,28
= - 3,45
Si se busca en la Tabla 3 del Anexo, el valor de la t de Student
para 19 grados de libertad y un nivel de significacin del 5%,
obtenemos t = 2,093 para la cola izquierda de la Media , por lo que
se pone en evidencia que el valor 3,45 est ms a la izquierda o sea
cae dentro de la Regin Crtica y por tanto no se acepta HO.
Supongamos ahora que el productor de concreto no tiene
experiencias previas con ninguno de los 2 aditivos, sus precios son
iguales y se efecta una prueba industrial con cada uno de ellos,
obtenindose 30 muestras de concreto elaborado con cada uno de
ellos, cuyos resultados (resistencias medias a compresin a 28 das
y
-
16
desviacin tpica) son los siguientes:
Aditivo tipo 1 Aditivo tipo 2
X 1 = 29,8 MPa S1 = 2,7 MPa
X 2 = 28,8 MPa S2 = 2,2 MPa
El problema se reduce a determinar si esta diferencia en cuanto
a las medias de las resistencias a compresin de las muestras, es lo
bastante grande para justificar la creencia del productor de que el
aditivo tipo 1 es superior al aditivo tipo 2.
Para ello es necesario conocer en que forma vara ( XX 21 ).
Se puede demostrar matemticamente, que ( XX 21 ) poseer una
distribucin normal, si X1 y X2 la tienen, con una media igual a la
diferencia de las medias de la poblacin de X1 y X2, o sea 1 y 2,
con una varianza
igual a la suma de las varianzas de X 1 y X 2 , o sea que:
= 2221 xx
+ = n
Donde n1 y n2 son los tamaos respectivos de las muestras de X 1
y XY 21
.
Es importante destacar que esto es slo vlido si las dos
poblaciones muestreales son normales, sin embargo
si n1 y n2 son mayores de 25, entonces X y X pueden suponerse
distribuidas normalmente, en cuyo caso ( X 1 S 21 ) estarn tambin
distribuida normalmente. Tambin deber cumplirse que X1 y X2 sean
variables independientes.
En el caso planteado podemos formular como hiptesis:
Ho : 1 - 2 = 0
Donde estamos suponiendo que no existe diferencia en el
comportamiento de los dos tipos de aditivos. Si la muestra rechaza
la hiptesis, entonces se puede afirmar con justificacin, que existe
una diferencia real en las medias de las poblaciones, y en el caso
contrario existe una buena probabilidad de que la diferencia de
muestra sea causada por variacin demuestras, bajo la suposicin de
que las dos medias de las poblaciones son iguales.
La hiptesis alternativa ser entonces:
H1 : 1 2
El primer paso consiste en calcular la desviacin tpica de ( X 1
) por:
= nn 2
2
2
1
2
1 +
Donde los valores de las poblaciones 12 y 2
2 se aproximan por las estimaciones de la muestra, o sea s12
y
s22, por lo que:
xx 21 = ( ) ( )
3030
2,27,22
.
2
. + = 0,6358
-
17
Entonces la regin crtica, ubicada en reas iguales en las colas
de la curva normal, para X 1 y X 2 y con un nivel de significacin
del 5%, estar dada por:
221 xx = 1,27
O sea 1,27 unidades alejadas del 0, tal como se muestra en la
Figura 11.
Figura 11. Distribucin de ( X 1 X 2 ) cuando 1 = 2
Como ( X 1 X 2 ) = 29,8 28,8 = 1,0 valor que est fuera de la
regin crtica, la hiptesis se acepta. Es importante tener bien claro
que la aceptacin de la hiptesis no quiere decir que sta sea cierta,
sin embargo s implica que no existe convencimiento, al menos por la
evidencia de la prueba industrial efectuada, de que haya una
diferencia apreciable y que, a menos que se presenten otras
evidencias, se puede suponer que para los fines prcticos no existe
diferencia apreciable en los resultados obtenidos con ambos
aditivos.
Cuando la prueba de una hiptesis produce un valor de la muestra
que se encuentra en la regin crtica de la prueba, se dice que el
resultado es significativo y en el caso contrario se dice que no es
significativo. En este ltimo caso se comprende que tal valor de la
muestra no es compatible con la hiptesis y por tanto es necesario
formular alguna otra hiptesis. La probabilidad de cometer un error
del tipo 1, se denota por y seala el nivel de significacin de la
prueba. En general para los problemas ms corrientes, el nivel de
significacin adoptado es de 0,05 ( 5%).
Los mtodos que hemos empleado hasta el momento en las pruebas de
hiptesis son slo para muestras grandes. En los casos de muestras
pequeas, para poder justificar la sustitucin de 1 y 2 por sus
estimaciones de muestra, se puede utilizar la prueba t de Student
apropiada. Aqu es indispensable suponer que las dos variables
bsicas X1 y X2 tienen distribuciones normales independientes con
desviaciones tpicas iguales. Como puede observarse estas
suposiciones implican restricciones ms fuertes que para el caso de
las muestras grandes.
Si se satisfacen razonablemente estas restricciones, entonces se
puede utilizar la variable.
t = )(
)( )()(
nnnnnn
SnSnXX
21
212.12
22
2
1.1
21212
..1.1 +
+
+
Como una variable t de Studente convencional, con (n1 + n2) 2
grados de libertad.
Si el productor de concreto an se inquietase por la posibilidad
de que el aditivo tipo 1 sea en realidad mejor que el tipo 2,
debido a que considera muy grande el intervalo de los valores de
aceptacin indicados en la Figura 11, es posible estudiar el tamao
del error del tipo 2 que se puede cometer.
En un caso como ste el productor debe poder especificar la
diferencia mnima de la media de la poblacin que l considera de
importancia prctica. Por ejemplo en el caso estudiado el productor
establece que una diferencia menor de 1,4 MPa es demasiado pequea
para ser importante, pero que ya cualquier diferencia superior a
este valor es econmicamente importante. A tal efecto se considerar
como hiptesis alternativa la siguiente:
-
18
H1 : 1 - 2 = 1,4
Para H1 es posible calcular el grado de significacin, al que se
le denominar , con la caracterstica de que la distribucin de (X1
X2) bajo H1 ser la misma que bajo HO, tal como se puede apreciar en
la Figura 12, excepto que la media ser de 1,4 en lugar de 0
(cero).
Figura 12. ( X 1 X 2 ) bajo H0 y H1
El valor de est dado por el rea bajo la curva H1 de 1,27 a +1,27
debido a que este intervalo se encuentra en la regin no crtica de
la prueba, sin embargo esta rea es prcticamente equivalente al rea
bajo la curva H1 a la izquierda de 1,27.
Como la desviacin tpica es de 0,6358 y la media es de 1,4 el
valor de z correspondiente a 1,27 ser:
Z = 6357,0
4,127,1 = - 0,204
En la Tabla A2 del Anexo A, se encuentra que la probabilidad que
z se encuentre a la izquierda de 0,204 es de 0,42; o sea que = 0,42
que quiere decir que el grado de significacin ser del 42% de que
una diferencia de 1,4 en los promedios de poblacin no ser detectada
por esta prueba (poco menos de la mitad de los casos).
Si la diferencia entre las medias de poblacin es mayor de 1,4,
entonces por supuesto el valor de ser inferior a 0,405. Por ejemplo
si la diferencia es de 3,0; entonces un clculo similar al efectuado
con la curva H1, centrada ahora sobre 3,0 har que tome un valor de
0,003.
En este caso se tiene la certeza casi absoluta de poder detectar
una diferencia de 3,0 MPa con esta prueba, o sea con una muestra de
tamao 30.
Si se asignan valores diferentes de 1 - 2, comenzando por cero y
aumentando a intervalos regulares, y se calcula el valor de en cada
caso, entonces estos valores ploteados contra los valores de 1 - 2
mostrarn cuan buena es la prueba para detectar las diferencias
reales cuando stas existan. En la Figura 13 se muestran los valores
obtenidos para para incrementos de 0,5 en 0,5 MPa de los valores de
1 - 2. La curva obtenida es simtrica, sin embargo slo se muestra el
eje positivo de la figura. Esta curva se denomina caracterstica de
operacin de la prueba y permite precisar para que valores de 1 - 2
es significativa la diferencia entre los dos aditivos en la
produccin de los concretos.
Figura 13. Caractersticas de operacin de la prueba de los
aditivos tipo 1 y 2
-
19
8 DISTRIBUCIN DE CHI-CUADRADA
Por medio de la distribucin normal o la t de Student, tal como
se ha visto anteriormente es posible resolver problemas de
estimacin y pruebas de hiptesis referidas a la media (), pero no
brindan una solucin satisfactoria a la desviacin tpica () como
parmetro de distribucin normal.
Otro problema consiste en probar la compatibilidad de
frecuencias observadas y frecuencias esperadas en la realizacin de
una prueba o experimento, o sencillamente demostrar si una
determinada distribucin real de frecuencias se ajusta a alguna
distribucin terica, como la normal.
Existe una distribucin denominada chi-cuadrada, que es adecuada
para resolver estas dos clases de problemas.
La medida, llamada chi-cuadrada (X 2), que da origen a esta
distribucin continua queda definida por la frmula.
X2 = )(
=
k
i ieeo ii
1
2
Desde oi y ei son las frecuencias observadas y esperadas
respectivamente y k indica el nmero total de celdas, elementos o
marcas de clase en que se fundamenta el anlisis.
Una caracterstica notable de la distribucin X 2, es que su forma
depende solamente de k. Normalmente se identifica esta distribucin
por medio del parmetro Kv = k 1, denominado nmero de grados de
libertad, en lugar de k. En la Figura 14 se muestran varias curvas
X 2 para diferentes grados de libertad.
En la Tabla A4 del Anexo A, se indican los valores de la
distribucin X2 para diferentes grados de libertad y niveles de
significacin (probabilidad de que los valores reales de X 2 exceden
los de la tabla).
Figura 14. Distribucin X2 para varios grados de libertad
La curva X 2 tal como se muestra en la Figura 14, es slo una
aproximacin a una distribucin discreta real X 2, por lo que la
prueba X 2 slo debe ser utilizada cuando dicha aproximacin es
buena. Est probado prctica y tericamente que la aproximacin es
generalmente satisfactoria si las frecuencias esperadas en todas
las celdas, elementos o marcas de clase sean por lo menos del orden
de cinco.
Una aplicacin muy til de la prueba X 2 se presenta cuando se
comprueba la compatibilidad de frecuencias observadas y esperadas
en tablas de dos sentidos, que tambin se denominan tablas de
contingencia, que se construyen generalmente con el objeto de
estudiar la relacin entre dos variables de clasificacin, para saber
concretamente si las dos variables se encuentran o no
relacionadas.
En este caso el nmero de grados de libertad se determina
por:
v = (f 1) (c 1)
Donde f es el nmero de filas y c el nmero de columnas de dicha
tabla de contingencia.
El resultado es significativo y la hiptesis de independencia de
las dos variables se rechaza, slo si el valor de
-
20
X 2 obtenido por la aplicacin de la frmula correspondiente es
mayor del valor de X 2 obtenido por la Tabla 4 del Anexo, para los
grados de libertad indicado y el nivel de significacin deseado (que
por lo general se toma del 5%).
Ejemplo:
En tres plantas de prefabricados se producen las mismas losas
doble T de concreto armado, para cubiertas y entrepisos y los
resultados de las inspecciones de control de la calidad de estas
losas, por los resultados de los ensayos bajo las cargas de diseo
muestran el siguiente comportamiento:
Planta 1 Planta 2 Planta 3 Totales
Fallaron bajo carga 25 45 40 110
Mostraron fisuracin 40 35 35 110
Sin sntomas perceptibles
35 20 25 80
Totales 100 100 100 300
El problema radica en demostrar, a un grado de significacin del
5%, si las diferencias obtenidas en las tres plantas evaluadas se
deben a la casualidad, o a diferentes regmenes de aseguramiento de
la calidad de todo el sistema de fabricacin de las losas.
En este caso estamos probando una hiptesis de independencia, o
sea si los resultados del control de calidad son o no
independientes de las caractersticas propias de las plantas de
prefabricados. Suponiendo esta independencia, la probabilidad de
que la planta 1 se produzcan las losas sin sntomas perceptibles en
la realizacin de ensayos bajo carga, o sea con calidad ptima, es el
proceso de las probabilidades individuales, pero como en este caso
las probabilidades son desconocidas, se pueden estimar de acuerdo
con los datos disponibles. As la probabilidad de evaluar una losa
de la planta 1, se estima como 100 / 300 = 0,333 y de la misma
manera, la probabilidad de que las losas no presenten sntomas
perceptibles en los ensayos se puede estimar con 80 / 300 = 0,266
entonces se puede decir, que bajo la hiptesis de independencia, se
puede esperar que la probabilidad de que en la planta 1 se
produzcan losas sin sntomas perceptibles en los ensayos bajo carga
ser:
300 (0,333) (0,266) = 26,6
De esta forma se puede hacer para cada celda (fila-columna). En
sntesis bajo la hiptesis de independencia, la frecuencia esperada
para cualquier celda puede ser obtenida como el producto del total
de la fila por el total de la columna y dividido por el gran
total.
Los resultados se muestran a continuacin:
Planta 1 Planta 2 Planta 3 Totales
Fallaron bajo carga 25 (36,7) 45 (36,7) 40 (36,7) 110
Mostraron fisuracin 40 (36,7) 35 (36,7) 35 (36,7) 110
Sin sntomas perceptibles
35 (26,7) 20 (26,7) 25 (26,7) 80
Totales 100 100 100 300
Aplicando la frmula de la distribucin para cada una de las nueve
celdas y efectuando la sumatoria, tendremos que:
X2 = )( )( )( )( )(
+++++
7,367,367,367,367,36
7,36357,36407,36407,36457,36252222
-
21
)( )( )( )(7,267,267,267,36
7,26257,26207,26357,36352222
++++ = 10,73
El valor de X2, en la Tabla A4 del Anexo A, para (c 1)(f 1)
grados de libertad, o sea (3 1) (3 1) = 4 grados de libertad y un
nivel de significacin del 5%, es de 9,4877 por lo que si 10,73 >
9,4877 hay que rechazar la hiptesis de independencia, lo que quiere
decir que las discrepancias que se observan entre las frecuencias
esperadas y observadas son demasiado grandes como para poder ver
atribuidas a la casualidad y por tanto existe una dependencia entre
los resultados de los ensayos de las losas doble T y las
caractersticas de las plantas de produccin.
En cuanto a la utilizacin de la prueba X2 para resolver
problemas de estimacin y pruebas de hiptesis respecto a la
desviacin tpica de una distribucin normal, veamos el mismo ejemplo
del acpite anterior sobre la prueba de dos aditivos qumicos sobre
el concreto.
Aditivo tipo 1 Aditivo tipo 2
X 1 = 30,5 MPa X 2 = 28,8 MPa
s1 = 2,7 MPa s2 = 2,2 MPa
Si se supone que no existe diferencia entre los resultados de
ambos aditivos, ambos debern poseer las mismas dispersiones al
igual que las mismas resistencias medias, por lo que se considerar
que la desviacin tpica del aditivo tipo 2 es igual a la del tipo 1,
que se basa en una larga experiencia de utilizacin en los concretos
por parte del mismo productor.
La hiptesis que va a probarse entonces es que la desviacin tpica
del aditivo tipo 2 es 2,7 MPa. Lo que se enuncia por:
H0 : = 2,7
Como el tamao de la muestra es de 30, existirn 29 grados de
libertad para este problema, lo que para un nivel de significacin
del 2,5% en cada rea de cola, da los siguientes valores de X 2 en
la Tabla A4 del Anexo A:
X21 = 16 y X22 = 46
Luego, la regin crtica bilateral para la prueba, se toma como
los valores de X2 que se encuentren fuera del
intervalo determinado por estos dos valores.
Ahora es necesario determinar la variable v que se calcula
mediante la siguiente expresin:
v = )(
221 Sn
La distribucin de esta variable v resulta ser la misma
distribucin X2 con grados de libertad de n 1.
Entonces:
v = )(
221 Sn =
))( 7,22,2
2
229
= 19,25
Que como puede observarse se encuentra dentro del intervalo dado
por la distribucin X2, o sea, no se encuentra en la regin crtica,
por lo que se acepta la hiptesis.
-
22
9 ANLISIS DE VARIANZA
Uno de los problemas que se presenta con mayor frecuencia en el
trabajo estadstico es el de probar si dos o ms muestras difieren
significativamente con respecto a cierta propiedad. Un ejemplo de
ello es cuando los investigadores proyectan un experimento para
comparar una nueva tecnologa de proceso con otra que toman de norma
o referencia.
Cuando se trata de comparar ms de dos muestras, ya no son vlidos
los mtodos expuestos anteriormente para probar la igualdad de dos
medias o proporciones de poblacin, o para probar si dos
distribuciones eran idnticas. Uno de los mtodos concebidos para
resolver problemas de este tipo, para variables continuas, es el
anlisis de varianza , que consiste en analizar la varianza de la
muestra con respecto a componentes tiles.
Tenemos como ejemplo el mismo caso de la produccin de losas
doble T para entrepiso y cubierta en las tres plantas de
prefabricados, procedentes de una misma empresa, pero en este caso
la Direccin de la empresa desea saber si las diferencias entre las
medias de las resistencias a compresin a 28 das de los concretos
elaborados con los agregados y el cemento de la misma procedencia,
pero con diferentes tecnologas de fabricacin (preparacin,
transporte y vertido de la mezcla), son significativas, o si pueden
ser atribuidas razonablemente a la casualidad.
A continuacin se muestran los ltimos 10 valores de medias
muestreales en cada planta.
En todos los casos las resistencias a compresin se indican en
MPa.
El problema radica en demostrar si se acepta la hiptesis:
Ho: 1 = 2 = 3
Evidentemente esta hiptesis ser rechazada si las diferencias
entre las X son muy grandes. Una manera obvia para medir las
diferencias entre las X es la de hallar su desviacin tpica, o sea
su varianza. Para ello se calcula en primer lugar la media de las X
, o sea:
34,242,277,25 ++
= 25,8
y despus calculamos su varianza
( ) )( )(13
8,254,248,252,278,257,25222
++ = 1,965
Planta 1 Planta 2 Planta 3
26,5 27,0 23,8
25,2 26,8 25,2
25,0 28,0 24,9
26,7 28,2 23,7
24,8 27,7 25,0
25,7 26,9 25,1
26,0 26,5 24,0
26,2 27,3 23,3
25,8 27,0 24,7
25,6 26,6 24,5
X 1 = 25,7 X 2 = 27,2 X 3 = 24,4
-
23
Ahora, para poder decidir si la cifra que obtuvimos para la
varianza de las X se puede atribuir a la casualidad, o sea que se
pueda considerar como una medida de la varianza casual, hay que
obtener una indicacin del tamao de las fluctuaciones casuales entre
los datos, o sea una medida de las fluctuaciones dentro de las tres
muestras, para ello se calculan sus varianzas respectivas, o
sea:
S2
1 = )( )( )( ( ) ++++ 7,257,267,250,257,252,257,255,26
2222
1101
( ) ( ) ( ) ( ) +++++ 7,252,267,250,267,257,257,258,24 2222
( ) ( ) ].7,256,257,258,25 22 ++ = 0,394
S2
2 = )( )( )( ( ) ++++ 2,272,282,270,282,278,262,270,27
2222
1101
( ) ( ) ( ) ( ) +++++ 2,273,272,275,262,279,262,277,27 2222
( ) ( ) ].2,276,262,270,27 22 ++ = 0,342
S2
3 = )( )( )( ( ) ++++ 4,247,234,249,244,242,254,248,23
2222
1101
( ) ( ) ( ) ( ) +++++ 4,243,234,240,244,241,254,240,25 2222
( ) ( ) ].4,245,244,247,24 22 ++ = 0,451 Se parte de la
suposicin de que todas las muestras son de poblaciones que tienen
distribuciones normales con la desviacin tpica idntica. Al combinar
esta suposicin con la hiptesis de que dichas poblaciones tienen
tambin medias iguales, se puede considerar que las tres son
muestras de la misma poblacin, por lo que la varianza calculada
para las 3 X se puede considerar como un estimado 2/n, por tanto,
un estimado de 2 ser 10 x 1,965. Por otra parte las varianzas
muestreales y su media son tambin un estimado de 2:
3
2
3
2
2
2
1 SSS ++ = 3
451,0342,0394,0 ++ = 0,395
Mientras que el primer estimado (19,65) est basado en la
variacin entre las medias muestreales, el segundo (0,395), est
basado en la variacin entre las muestras, por lo que se puede
considerar como una medida de la variacin casual. La variacin entre
las tres medias es por lo tanto ms grande que el estimado de la
variacin casual, slo queda por ver si la variacin entre las medias
es significativamente mayor que la variacin casual. Para efectuar
este anlisis se emplea la distribucin F, que consiste en la razn de
los dos estimados de 2, as que en el caso del ejemplo que se est
desarrollando:
F = 395,065,19
= 49,747
Ahora es necesario chequear si este valor es lo suficientemente
grande como para rechazar la hiptesis de que las tres muestras son
de poblaciones con medias iguales. Esta decisin est basada en la
distribucin de muestreo de la estadstica F, o simplemente la
distribucin F, un ejemplo de la cual se seala en la Figura 15.
-
24
Figura 15. Distribucin F
Para un nivel de significacin del 5%, o sea F,05, estos valores,
tal como estn indicados en la Tabla A5 del Anexo A, con la
caracterstica muy peculiar de que sus anotaciones dependen de dos
cantidades, el nmero de grados de libertad para el numerador de F y
el nmero de grados de libertad para el denominador de F.
El numerador de F consiste en la varianza de las X, que son tres
en nuestro caso y por tanto tiene 3 1 = 2 grados de libertad.
El denominador de F consiste en la media de las cuatro varianzas
muestreales, cada una de las cuales se basa (en nuestro caso) en 10
observaciones. Para cada varianza muestreal se tienen por lo tanto
10 1 = 9 grados de libertad y para su suma: 9(3) = 27 grados de
libertad.
En la Tabla A5 del Anexo A, el valor de F para 2 y 27 grados de
libertad y un nivel de significacin del 5%, es de 3,35.
En el ejemplo desarrollado se hace evidente que F > F,05 o
sea que: 49,747 > 3,35 por lo que se rechaza la hiptesis y por
lo tanto las tres muestras no son de poblaciones con medias iguales
y existen entre ellas diferencias significativas, que pueden ser
debidas a la efectividad inducida por las propias tecnologas de las
plantas o a diferencias notables en los regmenes de aseguramiento
de la calidad.
Al definir en general la expresin de F, como el cociente entre n
veces la varianza de las X, entre la media de las k varianzas
muestreales, queda:
F =
( )1
.1
=
n
n
iii vu
Se rechaza la hiptesis si F > F,05 de lo contrario se acepta
la hiptesis o se reserva el juicio y F se calcula por la expresin
indicada anteriormente, y el nmero de grados de libertad para el
numerador es k 1 y para el denominador es k (n-1).
Es importante recalcar que este criterio es slo aplicable si
cabe suponer que las muestras son de poblaciones que tienen
distribuciones normales y desviaciones tpicas iguales.
10 CORRELACIN Y REGRESIN
En algunos problemas, las diversas variables se estudian
simultneamente, para ver la forma en que se encuentran
interrelacionadas, esto se conoce con el nombre de correlacin. En
otros casos se tiene una variable de inters particular y las
restantes variables se estudian por la posibilidad de que ayuden a
arrojar luz sobre ella, esto se conoce con el nombre de
regresin.
Un problema de correlacin se presenta por ejemplo cuando surge
la interrogante sobre si existe o no relacin entre dos variables,
digamos entre la resistencia a compresin del concreto endurecido y
la velocidad de la onda ultrasnica a travs de la masa de dicho
concreto.
La investigacin comienza por lo general tratando de descubrir la
forma aproximada de la relacin entre las dos o ms variables
estudiadas. Si se trata de dos variables se trazan los datos en un
plano X, Y. Este grfico recibe el nombre de diagrama de dispersin.
As es posible desentraar fcilmente, si existe o no una relacin
acentuada y si por ejemplo puede tratarse como aproximadamente
lineal.
-
25
Para determinar la naturaleza de una tendencia, se busca
cualquier propensin de los puntos de agruparse sobre ambos lados de
alguna curva simple, quizs con unas cuantas ondulaciones, o bien a
ambos lados de una lnea recta.
Una medida de la relacin tiene que ser realmente independiente
de la seleccin del origen para las variables. Esto se logra
utilizando las desviaciones de las variables respecto a su media,
en lugar de las variables propiamente dichas, o sea Xi -
)(S
Xx
iX
y Yi Y i , en lugar de las variables Xi y Yi para formar la
medida de la relacin deseada.
Una medida de relacin, debe ser tambin independiente de la
escala de medidas adoptada para X y para Y. Esto se logra
dividiendo X y Y entre cantidades que posean las mismas unidades de
X y Y, para lo que se eligen las desviaciones tpicas de las
muestras Sx y Sy.
Es posible lograr ambas propiedades, si la medida de relacin se
construye utilizando las variables Xi y Yi en las formas:
ui = 30
2,1 ; vi =
)(S
Yy
iY
que reciben el nombre de unidades estndar de muestra .
Una medida simple de la dispersin de los puntos es la
sumatoria:
( )1
.1
=
n
n
iii vu
que se denomina coeficiente de correlacin y se denota por la
letra r. En funcin de las medidas originales, el coeficiente de
correlacin ser:
r = .2
)( ii YY y una expresin ms cmoda para el clculo ser:
r = [ ( ) ] ( )[ ]
YYXX nn
YXYXn
2222 .
..
El coeficiente de correlacin es una medida til del grado de
relacin entre dos variables, slo cuando las mismas estn
relacionadas linealmente. As el grado de relacin est dado por la
magnitud de r, mientras que el signo de r indica, si es positivo,
que Y tiende a crecer con X y si es negativo, que Y tiende a
decrecer con X.
Es posible demostrar matemticamente, que el valor de r debe
satisfacer la igualdad:
-1 r 1
y adems, que el valor de r ser igual o muy cercano a uno (1),
slo si todos los puntos del diagrama se encuentran sobre una lnea
recta.
La interpretacin del coeficiente de correlacin como medida del
grado de relacin lineal entre dos variables es solo matemtica y est
desprovista totalmente de implicaciones de causa y efecto, o sea de
que el hecho de que dos variables tiendan a aumentar o disminuir al
mismo tiempo no implica necesariamente que una tenga algn efecto
directo o indirecto sobre la otra, pues ambas pueden estar sujetas
a la influencia de otras variables, de manera que resulten con una
estrecha relacin matemtica, es por ello que los coeficientes de
correlacin deben manejarse con cuidado si se desea dar una
informacin sensata respecto a la relacin entre pares de
variables.
-
26
Cuando un coeficiente de correlacin se calcula a partir de una
muestra, el valor que se obtiene de r no es ms que una estimacin de
, el verdadero coeficiente de correlacin que se obtendra para toda
la poblacin, as si se clasificarn los valores de r en una tabla de
frecuencias, la distribucin lmite obtenida se puede derivar por
mtodos matemticos, bajo el principio de que X y Y tengan
distribuciones normales, entonces si se satisfacen estos requisitos
la distribucin de r depende slo de n y de . As es posible demostrar
que la distribucin de r es decididamente no normal en apariencia
para determinados valores de y n, sin embargo haciendo un cambio
simple de variable se puede transformar la distribucin complicada
de r a una distribucin aproximadamente normal, que puede usarse
entonces para determinar la exactitud de r como una estimacin de .
Esta nueva variable se denota como w. En la Tabla A6 del Anexo A,
aparece la conversin de r a w y viceversa.
El efecto de emplear como variable aleatoria una funcin
particular de r (en lugar de r propiamente) es que la misma tiene
una distribucin aproximadamente normal y por tanto se pueden
emplear los mtodos de la distribucin normal. En este caso el valor
medio de la distribucin de w est dado por:
w = pp
+
11
ln.21
y la desviacin tpica de w est dada por:
w = 3
1
n
Esto permite hacer pruebas de significacin para r.
Ejemplo:
Se quiere saber si es significativa una correlacin de r = - 0,62
entre la relacin de los dimetros (vertical y horizontal) de los
huecos de las losas huecas tipo Spiroll de concreto pretensado
(medida del achatamiento), que se identific como variable X y la
resistencia del concreto de las losas endurecidas, obtenida por el
esclermetro a 28 das, identificada como variable Y, para un total
de 20 losas.
Esto puede ser tratado como un problema de prueba de
hiptesis:
H0: = 0
lo que quiere decir que se supone que no existe correlacin
alguna.
Si = 0, por la Tabla 6 del Anexo le corresponde w = 0, luego
esta hiptesis equivale a la siguiente:
H0: w = 0
Como n = 20, la desviacin tpica ser:
w = 17
1 = 0,24
Si se trata a w como una variable normal, con media 0 y
desviacin tpica de 0,24 y se considera un nivel de significacin del
5%, es evidente que la regin crtica estar dada por los valores de w
fuera del intervalo de 0,47 a + 0,47.
En la Tabla A6 del Anexo A, se puede obtener que el valor de la
muestra de r = - 0,62 corresponde a w = - 0,725 y como este valor
cae dentro de la regin crtica, no se acepta la hiptesis asumida,
por lo que r = 0,62 es significativo, o sea tiene significacin
estadstica.
Ya anteriormente se haba mencionado que la regresin estudia la
relacin entre las variables, con el objetivo de que cualquier
relacin que se encuentre puede utilizarse como auxiliar para hacer
estimaciones o predicciones de una variable particular.
En un problema de correlacin, tanto X como Y son variables
estadsticas cuyos valores quedan determinados solamente despus de
obtenida la muestra. En un problema de regresin, sin embargo, los
valores de X se eligen de antemano, de manera que solamente los
valores de Y se han determinado por muestra.
-
27
El problema de la prediccin lineal por ejemplo se reduce al
problema de ajustar una lnea recta a un grupo de puntos.
La ecuacin de la lnea recta se puede escribir de la forma
general:
Y = a + bX
El problema entonces radica en determinar los valores de los
parmetros a y b, de manera que la recta coincida satisfactoriamente
con un juego de puntos obtenidos experimentalmente. Este problema
es esencialmente la estimacin de los parmetros a y b de alguna
forma eficiente. El mtodo ms conocido para problemas de regresin es
el de los mnimos cuadrados, que se reduce a hallar los valores de
los parmetros que reducen al mnimo la suma de los cuadrados de los
errores.
Mediante el empleo de matemticas superiores se obtiene que, en
el caso de la lnea recta de regresin:
b = ( ) ( )( )
( ) ( )
XXYXYX
in
n
i
iiii22
. a =
( )n
b XY ii
Donde n es el nmero de pares de observaciones. En todos los
casos las sumatorias van desde i = 1, hasta n.
Adems de ser flexibles, los mtodos de regresin son los mtodos
naturales a usar en muchas situaciones experimentales. El
investigador desea, con frecuencia cambiar X por incrementos
uniformes a lo largo de la regin de inters para esa variable, en
lugar de tomar al azar una muestra de valores de X.
An cuando un coeficiente de correlacin es til para establecer
que dos variables se encuentran estrechamente relacionadas
linealmente, no se presta nunca a enunciados cuantitativos, a menos
que se asocie con la regresin, as pues la correlacin es slo la
primera parte en el estudio de la relacin de dos variables,
mientras que la regresin es la tcnica bsica en este tipo de
estudios.
Despus que se ha ajustado una lnea de regresin a un grupo de
puntos, se puede inspeccionar su grfico y observar cuan exactamente
predice los valores de Y. Existe un procedimiento matemtico para
efectuar esta observacin que consiste en calcular las magnitudes de
todos los errores:
Yi Yi, el error tpico de estimacin, se determina por:
Se =
( )2
1
2
.
=
n
n
iii YY
Si se parte de que existe una lnea de regresin terica, de la que
la recta de mnimos cuadrados es una estimacin, y se supone que los
valores: Yi Yi (donde Yi es el valor de la lnea terica), son
independientes y normalmente distribuidos con media 0 y la misma
desviacin tpica , entonces se es una estimacin de . Adems la
hiptesis de distribucin normal permite enunciar probabilidades
aproximadas con respecto a los errores de prediccin, por ejemplo se
puede decir que aproximadamente el 95% de los errores de prediccin
sern inferiores a 2se en aproximadamente el 95% de los errores de
prediccin sern inferiores a 2se en magnitud. En este caso la
aproximacin se hace sustituyendo 2 por su estimacin de muestra 2se,
por lo que lo anteriormente dicho es slo vlido para muestras
grandes.
Cuando se trata de `redecir una variable por medio de otras
variables, en lugar de hacerlo por medio de slo una variable ms, se
emplean mtodos similares al caso de una variable, el problema se
convierte en el de encontrar el plano de mejor ajuste por mnimos
cuadrados, o sea como la ecuacin de un plano cualquiera se puede
escribir por:
Y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 +
El problema consiste en estimar los parmetros b0, b1, b2, b3,
por el mtodo de mnimos cuadrados. Esto se hace resolviendo un grupo
de ecuaciones lineales y es generalizable para cualquier cantidad
de variables adicionales.
En el caso de regresiones no lineales entre X y Y, como por
ejemplo en el caso de ajustar a una parbola:
Y = b0 + b1x + b2x2
-
28
El problema de adaptar una curva mediante el mtodo de mnimos
cuadrados es similar al de ajustar una ecuacin de regresin mltiple
a un conjunto de puntos en el espacio de tres dimensiones. Estos
mtodos pueden generalizarse para curvas polinomiales de mayor
grado. En estos casos si es indispensable tener en cuenta al
calcular el error tpico de estimacin, que en el denominador debe ir
n s, en lugar de n 2, donde s indica el nmero de parmetros que hay
que estimar.
11 ESTADSTICA APLICADA AL CONTROL DE LA CALIDAD DE LA PRODUCCIN
DE CONCRETO
La base de la seguridad estructural de las obras de concreto
masivo, armado y pretensado, est dada por la determinacin correcta
de la resistencia caracterstica del concreto, pues los proyectistas
basan sus criterios de diseo en mtodos probabilsticos, que
requieren de un anlisis estadstico previo del comportamiento del
concreto en las estructuras.
La resistencia caracterstica a la compresin del concreto, se
define en general como aquel valor de la resistencia a compresin
por debajo del cual es esperable que se obtenga no ms de un
determinado porcentaje de la poblacin de todas las posibles
mediciones de resistencia del concreto especificado. Se denota
normalmente por Rbk, adjuntndole en ocasiones en trminos numricos
la edad a la que se mide dicha resistencia.
Si por ejemplo se estable que el porcentaje de fraccin
defectuosa de la poblacin no exceda del 16%, aunque cabe indicar
que en el mundo actual son contados los pases que no hayan
establecido ya un porcentaje mximo del 10% para las estructuras
calculadas por estados lmites y algunos pases ms desarrollados han
adoptado un valor mximo del 5%.
El concreto es un material heterogneo, sujeto a la influencia de
numerosas variables, como por ejemplo: las caractersticas y
variabilidad de cada uno de sus componentes (el cemento, los
agregados, el agua, las adiciones y los aditivos qumicos), las
tecnologas de dosificacin, mezclado, transporte, vertido y curado y
finalmente las variaciones propias de la fabricacin y tratamiento
de las probetas y de los mtodos de ensayo. En la Tabla 4 se ha
reproducido la Tabla 2.1 del ACI 214-83 donde se indican claramente
las fuentes principales de variacin de la resistencia de los
concretos.
De esta forma, al producirse un concreto bajo semejantes
condiciones de empleo de materiales, tecnologa y mtodos de
aseguramiento de la calidad, para una misma dosificacin y una misma
edad, la serie de resultados obtenidos de resistencia a compresin
ofrece una data de valores de ensayo agrupados alrededor de un
valor central, que sigue una distribucin normal de frecuencias.
De hecho, el establecimiento de una resistencia caracterstica,
puede implicar que exista una cierta probabilidad, dada por la
distribucin normal de frecuencias, de que una cantidad de valores
de la data analizada, sea inferior a este valor de resistencia. No
obstante que las variaciones en las resistencias mecnica y otras
propiedades de los concretos, e incluso la existencia de una cierta
fraccin defectuosa, deben ser aceptadas por todo lo antes expuesto,
es importante recalcar que un concreto de una determinada calidad
puede ser producido con elevado nivel de confiabilidad, si se
mantiene un apropiado control de los niveles de variaciones ya
mencionados y si los resultados de los ensayos son adecuadamente
interpretados y sus limitaciones son consideradas.
Una excesiva variacin de la resistencia a compresin del
concreto, significa un nivel inadecuado de control y es
indispensable tener en cuenta que el mejoramiento del grado de
control se materializa en una reduccin notable del costo del
concreto y de los consumos de cemento, ya que el valor central de
la resistencia a compresin en la distribucin de frecuencias, puede
ser llevado mucho ms cerca de los requisitos especificados por el
proyectista mediante la resistencia caracterstica.
-
29
Tabla 4. Fuentes principales de variacin de la resistencia de
los concretos, segn ACI 214-77
Variaciones en las propiedades del concreto
Discrepancias en los mtodos de ensayos
1 Cambios en la relacin A/C
Pobre control del agua Variacin excesiva de la humedad del
agregado Reajustes
2. Variaciones en los requerimientos de agua
Granulometra del agregado, absorcin, forma de las partculas
Propiedades del cemento y de los aditivos
Contenido de aire de la mezcla Tiempo de entrega y temperatura
de la
mezcla
3 Variaciones en las caractersticas y la proporcin de los
ingredientes
Agregados Cemento Puzolanas Aditivos
4 Variaciones en el transporte, vertido y compactacin de la
mezcla de concreto
5 Variaciones en la temperatura y curado del concreto
1 Procedimientos inadecuados de muestreo
2 Variaciones debido a las tcnicas de fabricacin de las
probetas
Manipulacin y curado de las probetas hechas recientemente
Pobre calidad de los moldes de las probetas
3 Cambios en el curado de las probetas Variaciones de la
temperatura Humedad variable Demoras en la entrega de las
probetas
al laboratorio
4 Pobres procedimientos de ensayo de las probetas
Colocacin del Capping de las probetas
Realizacin de los ensayos a compresin
Es importante destacar que aunque en lo adelante nos referiremos
a las resistencias mecnicas y muy especialmente a la resistencia a
compresin del concreto, por ser el parmetro de control ms
universalmente empleado, las resistencias mecnicas no constituyen
necesariamente el factor ms crtico en el proporcionamiento de las
mezclas de concreto, ni en la evaluacin de su calidad, pues otros
factores como la durabilidad pueden imponer relaciones agua/cemento
ms bajas que las requeridas por las resistencias mecnicas y en
estos casos lgicamente las resistencias obtenidas estarn en exceso
con respecto a la demanda estructural.
A continuacin se vern algunas definiciones importantes para
efectuar la evaluacin estadstica de la produccin de concreto:
Probeta:
En casi todos los pases de Hispanoamrica, la probeta normalizada
para los ensayos de resistencia a compresin, es la probeta
cilndrica de altura nominal igual al doble del dimetro. La ms
generalizada es la de 150 mm de dimetro y 300 mm de altura, vlida
para concretos con agregado de 38,1 mm de tamao mximo. En ocasiones
se extraen testigos cilndricos de dimensiones menores y en muy
contados casos se ha utilizado la probeta cbica (de [150 x 150 x
150] mm para agregado de hasta 38,1 mm de tamao mximo). Es muy
importante tener en cuenta que la data para efectuar los anlisis
estadsticos de la resistencia a compresin del concreto debe siempre
estar constituida por valores provenientes de un solo tipo de
probeta.
De igual forma, los mtodos de preparacin y tratamiento posterior
de las probetas hasta la realizacin de los ensayos a rotura, deben
ser los mismos para una misma data, al efectuar los anlisis
estadsticos. Por
-
30
ejemplo, aunque se trate de la misma data, al efectuar los
anlisis estadsticos. Por ejemplo, aunque se trate de la misma
dosificacin y los mismos materiales componentes, las probetas
elaboradas por picado de barra en tres capas, sern de una data
diferente que las elaboradas compactndolas por vibracin, as como
tambin las probetas curadas por inmersin en agua a partir de las 24
horas de su preparacin hasta el ensayo a rotura, sern de una data
diferente a las curadas en cmara hmeda a 95% de humedad
relativa.
Serie de probetas:
Es el grupo de probetas que se extrae de una misma muestra,
representativa de una amasada de concreto, que se preparan y
conservan en iguales condiciones y que se ensayan a una misma
edad.
La amasada es la porcin de mezcla de concreto que se confecciona
de una sola vez, por tanto, el volumen de una amasada est
directamente vinculado al volumen de concreto que es capaz de
preparar la hormigonera de una sola vez.
Para una amasada es suficiente en general obtener tantas series
de probetas como edades se desee ensayar y cada serie de probetas
debe tener tres unidades y, como mnimo dos en el caso de
investigaciones de laboratorio. A pie de obra es suficiente por lo
general obtener de cada amasada dos o tres series de probetas, para
ensayar a 3, 7 y 28 das. Como criterio de economa es necesario
extraer de cada amasada slo las series de probetas que va a ofrecer
alguna informacin de inters, que vaya a ser utilizada con un fin
especfico.
Lote de concreto:
Es el volumen de concreto de igual o semejante dosificacin y
materiales componentes, que es confeccionado y puesto en obra en
condiciones sensiblemente iguales y que se somete a juicio de una
sola vez.
El establecimiento del lote de concreto lleva implcito un perodo
de tiempo o un volumen de concreto que no puede normarse, pues
depende de las caractersticas propias de la produccin, de la
demanda e incluso de los elementos que dicho lote va a representar.
No obstante es conveniente siempre que el lote, para ser evaluado
estadsticamente, cuente con no menos de 30 series de probetas, lo
que har los resultados mucho ms confiables. Lgicamente esto es
posible en grandes plantas preparadoras de concreto premezclado o
prefabricado, pero a pie de obra no sucede as a menudo. En
cualquier caso, el mnimo de series para un anlisis estadstico no
debe ser inferior a seis.
Con el objetivo de lograr que la frecuencia de muestreo del lote
de concreto sea la suficiente para poder efectuar un anlisis
estadstico, cuya solidez sea incuestionable a los efectos de la
aceptacin o rechazo del mismo, el muestreo aleatorio del lote debe
obedecer a un plan general cuya metodologa fue expuesta ya en el
acpite 2.
Pasos para efectuar la evaluacin estadstica de un lote de
concreto:
1. Se parte de los ensayos individuales de rotura a compresin de
las probetas de cada una de las series. La resistencia a compresin
de cada probeta se calcula por
Rbi = AF
. 10 (MPa)
donde:
F es la carga aplicada de rotura (kN);
A es el rea de la seccin transversal de la probeta (cm2).
Es conveniente que los valores individuales de resistencia a
compresin de la serie de probetas se anote en orden consecutivo, de
mayor a menor, o sea: Rbl > Rb2 > Rb3.
No se pueden rechazar de forma arbitraria (a consideracin
personal de los tcnicos o laboratoristas que efectan los ensayos),
los resultados de resistencia individual de las probetas que
parecen estar muy dispersos. Es necesario recordar que un patrn
normal de probabilidad establece la posibilidad de tales
resultados. El rechazo indiscriminado de resultados de ensayo puede
distorsionar seriamente la distribucin de frecuencias haciendo poco
o nada confiable el anlisis de los resultados. Si las probetas se
observan defectuosas o se produjo algn accidente o error durante el
ensayo, el laboratorista se limitar a tomar nota de estas
irregularidades en el propio rcord de ensayos.
-
31
2. Se calcula la resistencia a compresin de la serie de probetas
por:
Rbs = n
n
ibiR
=1'
(MPa)
Adems se calcula el recorrido de la serie de probetas por:
Ri = Rb1 Rb3 (MPa)
O sea, la diferencia entre los valores mayor y menor de la
serie.
3. Se calcula la resistencia media a compresin del concreto del
lote por:
Rbm = m
m
sbsR
=1'
(MPa)
y el recorrido medio del lote de concreto por:
R = m
m
iiR
=1 (MPa)
4. Se calcula la desviacin tpica interna del ensayo (Within
Test) por:
S1 = Rd
2
1
donde:
1/d2 es la constante que depende del nmero de probetas
promediadas de la serie, tal como se indica en la Tabla 5.
Tabla 5. Valores de d2 en funcin del nmero de probetas de la
serie
Nmero de probetas de la serie
d2 1/d2
2 1,128 0,8865
3 1,693 0,5907
4 2,059 0,4857
5 2,326 0,4299
6 2,534 0,3946
7 2,704 0,3698
8 2,847 0,3512
9 2,970 0,3367
10 3,078 0,3249
-
32
5. Se calcula el coeficiente de variacin interno del ensayo
(Within Test) por:
V1 = 100'1
RS
bm
(%)
Por el valor del coeficiente de variacin interno del ensayo se
puede juzgar la calidad de los ensayos y el nivel de control en la
fabricacin y tratamiento de las probetas, tanto para el trabajo de
campo, como para las investigaciones a escala del laboratorio.
En la Tabla 6 se muestran los valores lmites de V1 para
diferentes grados de control.
Tabla 6. Valores de V1 para diferentes grados de control
Tipo de operacin Grados de control
Excelente Muy bueno Bueno Aceptable Deficiente
Control de campo (a pie de obra o planta)
< 3,0 3,0 4,0 4,0 5,0 5,0 6,0 > 6,0
Mezclas de prueba en el laboratorio < 2,0 2,0 3,0 3,0 4,0 4,0
5,0 > 5,0
Es evidente que los resultados evaluados como aceptables o
deficientes, hacen desconfiar del Sistema de Aseguramiento de la
Calidad y por tanto requieren la toma de medidas inmediatas para la
revisin de todos los procedimientos y mtodos de preparacin de las
probetas, su tratamiento y cuado, as como de los ensayos, pues de
lo contrario los resultados obtenidos del anlisis estadstico pueden
ser cuestionados.
6. Se calcula la desviacin tpica del lote por:
SL =
)(1
1
2
''
=
m
bs bm
m
sRR
(MPa)
La desviacin tpica del lote refleja las variaciones entre
amasadas de concreto, o sea entre las series de probetas. Estas
variaciones se deben fundamentalmente a las propias variaciones en
las caractersticas y propiedades de las materias primas (cemento,
agregados, aditivos, adiciones y agua), a las variaciones propias
del proceso de dosificacin, el mezclado, muestreo y todo el sistema
de preparacin, tratamiento, curado y ensayo de las probetas, o sea
incluye tambin la desviacin tpica del ensayo, de manera que:
SL2 = S12 + S22 (MPa)
donde:
S2 es la desviacin tpica de amasada a amasada, sin incluir las
variaciones propias del muestreo, preparacin, tratamiento, curado y
ensayo de las probetas.
7. Se evala la anormalidad, tanto de valores individuales de
resistencia a la compresin de las probetas, como de las series de
probetas.
La anormalidad de ciertos valores individuales de resistencia a
la compresin de las probetas, se evala comparando el valor
individual Rbi que resulta sospechoso, con la media de la Serie
Rbs. Si el valor absoluto de la diferencia entre ambos valores es
mayor de 3SL, entonces es recomendable rechazar dicho valor
individual.
La anormalidad de los valores de resistencia a la compresin de
las series, se analiza si el valor sospechoso coincide con las
anotaciones del laboratorista que efectu los ensayos, indicando
condiciones anormales en las probetas o errores de ensayo, en fin
factores ajenos. En este caso, se halla el valor del estadgrafo tn
por:
-
33
tn = S
RRL
bmbs ''
donde:
Rbs1 es el valor de serie que se considera sospechos
![[대학내일20대연구소] 1934 3549 직장인들의 직장 및 가치관에 관한 조사 (연구리포트 2017-10)](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/5a64c9c67f8b9ac21c8b5f4d/20-1934-3549-.jpg)
