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Technische Mechanik
Formelsammlung
Vektor- und Tensorrechnung / Indizierte Tensornotation
Orthonormalbasis ~ex, ~ey, ~ez bzw. ~e1, ~e2, ~e3 / ~ei
~ex ~ey, ~ex ~ez, ~ey ~ez / ~ei ~ej fur i 6= j (Orthogonalitat)
~ex = ~ey = ~ez = 1 / ~ei = 1 fur i = 1, 2, 3 (Normiertheit)
Vektordarstellungen
u , v , w , . . . (symbolische Schreibweise)
v =
{vx ~ex + vy ~ey + vz ~ezv1 ~e1 + v2 ~e2 + v3 ~e3 = vi ~ei
(Komponentenschreibweise)
v =
vx
vy
vz
(Spaltenschreibweise)
ui, vj , wk (Indexschreibweise)
Linearkombination von n Vektoren
c1v1 + c2
v2 + . . . + cnvn mit c1, . . . , cn R
Skalarprodukt ~ei ~ej = ij
v w :=v
w
cos
[v,w
]
= vx wx + vy wy + vz wz = vj wj
Das Skalarprodukt ist kommutativ: v w = w v .
Kreuzprodukt ~ei ~ej = ijk ~ek
v w = (vy wz vz wy)~ex + (vz wx vx wz)~ey + (vx wy vy wx)~ez
= vi wj ijk ~ek
vx
vy
vz
wx
wy
wz
=
vy wz vz wy
vz wx vx wz
vx wy vy wx
Das Kreuzprodukt ist antikommutativ: v w = w v .
2 Technische Mechanik (V 2.1) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher
Mehrfaches Kreuzprodukt
u (v w) = un vi wj ijk nkm ~em
= uj vi wj ~ei ui vi wj ~ej
= (u w)v (u v )w
Spatprodukt (~ei ~ej ~ek) = ijk
(u v w ) := (u v ) w =
ux uy uzvx vy vzwx wy wz
=
ux vx wxuy vy wyuz vz wz
= ux vy wz + uy vz wx + uz vx wy ux vz wy uy vx wz uz vy wx
= ui vj wk ijk
Das Spatprodukt ist alternierend:
(u v w ) =
{
(v w u ) = (w u v ) (zyklisch)
(u w v ) = (v u w ) = (w v u ) (antizyklisch)
Kronecker-Kronecker-Kronecker- und Levi-CivitaLevi-CivitaLevi-Civita-Symbol
ij :=
{
1 fur i = j
0 fur i 6= jvgl. Einheitsmatrix E (Kronecker)
ijk :=
1 fur i j k zyklisch = 1 2 3
1 fur i j k zyklisch = 1 3 2
0 sonst
(Levi-Civita)
ijk nkm = ijk mnk = im jn in jm (Entwicklungssatz)
EuklidEuklidEuklidische Vektornorm (Vektorbetrag)
v
=
v2x + v2y + v
2z =
v2j ( j ist gebundener Index!)
Normaxiomev
> 0
v
= 0 v = ~0
}
(Nichtnegativitat)
c v
= | c |
v
(Homogenitat)
v + w
6
v
+
w
(Dreiecksungleichung)
Technische Mechanik (V 2.1) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher 3
Tensorbasis (der N -ten Stufe)
~ei1 ~ei2 . . . ~eiN oder kurzer ~ei1 ~ei2 . . . ~eiN
Darstellung von Tensoren der Stufe N > 1
a ,B(2),
C(3),
T (N), . . . (symbolische Schreibweise)
a = ai ~eiB(2) = Bij ~ei ~ejC(3) = Cijk ~ei ~ej ~ekT (N) = Ti1i2...iN ~ei1 ~ei2 . . . ~eiN
(Komponentenschreibweise)
a =
a1
.
.
.
an
, B =
B11 . . . B1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Bn1 . . . B(nn)
(Spalten-/Matrixschreibweise)
ai , Bij , Cijk , . . . , Ti1i2...iN (Indexschreibweise)
Tensorielles ProduktV(N)
W(M) =
U(N+M) (allgemein)
v w =U(2) (Dyadisches Produkt)
Verjungendes Produkt (Beispiele)
v
1. Stufe
w
1. Stufe
= (vi ~ei) (wj ~ej) ( = 1)
= vi wj ~ei ~ej
= vi wj ~ei ij
= vi wi
0. Stufe
B(2)
2. Stufe
a
1. Stufe
= (Bij ~ei ~ej) (ak ~ek) ( = 1)
= Bij ak ~ei ~ej ~ek
= Bij ak ~ei jk
= Bij aj ~ei
1. Stufe
Schema () ()T (4)
4. Stufe
B(2)
2. Stufe
= (Tijk ~ei ~ej ~ek ~e) (Bmn ~em ~en) ( = 2)
= Tijk Bmn ~ei ~ej ~ek ~e ~em ~en
= Tijk Bmn m ~ei ~ej ~ek ~en
= Tijk Bn ~ei ~ej kn
= Tijk Bk ~ei ~ej
2. Stufe
.
4 Technische Mechanik (V 2.1) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher
Schema () : ()
T (4)
4. Stufe
:B(2)
2. Stufe
= (Tijk ~ei ~ej ~ek ~e) : (Bmn ~em ~en) ( = 2)
= Tijk Bmn ~ei ~ej ~ek ~e : ~em ~en
= Tijk Bmn km ~ei ~ej ~e ~en
= Tijk Bkn ~ei ~ej n
= Tijk Bk ~ei ~ej
2. Stufe
.
U(N)
()
V(M) =
W(N+M2) mit { N | 6 (N + M)/2 }
Uberschiebung (Beispiele)
vi wi = c
Bij vj = ui
Tijk Bk = Wij bzw. Tijk Bk = Wij
Transformationen
v = A v / vi = aij vj
v = A v / vj = ajk v
k
}
(Koordinatentransformation)
A = A1 bzw. A A = A A = E / aij ajk = ik (allgemein)
A = AT , det A = det A = 1 / aji = aij (orthogonal)
~ei = aij ~ej
~ej = ajk ~e
k
}
(Basistransformation)
Statik der Starrkorper
Zusammenfassung von Kraften/Momenten zuResultierenden
R [A] =
i
Fi [A] (Resultierende Kraft im Punkt A)
MR [A] =
i
Mi [A] (Resultierendes Moment bezugl. Punkt A)
Mi [A] =
(ri rA
)Fi (Moment der Kraft
Fi bezugl. Punkt A)
Der Ortsvektor ri beschreibt den Angriffspunkt der KraftFi. Der Bezugspunkt
A ist frei wahlbar! Er ist nur bedeutsam fur die Momentenwirkung von Kraften.
Technische Mechanik (V 2.1) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher 5
Kraftegleichgewicht(KG)R =
0 (vektoriell)
i
Fx,i = 0 ,
i
Fy,i = 0 ,
i
Fz,i = 0 (komponentenweise)
Momentengleichgewicht(MG) um beliebigen BezugspunktMR =
0 (vektoriell)
i
Mx,i = 0 ,
i
My,i = 0 ,
i
Mz,i = 0 (komponentenweise)
Statische Bestimmtheit
Notwendige Bedingung fur ebene/raumliche KorpersystemeE2 : t + r 3 pE3 : t + r 6 p } = k > 0 k-fach statisch unbestimmt= 0 statisch bestimmt< 0 |k|-fach kinematisch verschieblich
mit
t = Anzahl der Lagerreaktionen
r = Anzahl der Zwischenreaktionen (an den Verbindungsstellen)
p = Anzahl der Teilkorper
Notwendige Bedingung fur ebene/raumliche FachwerkeE2 : t + s 2 gE3 : t + s 3 g } = k > 0 k-fach statisch unbestimmt= 0 statisch bestimmt< 0 |k|-fach kinematisch verschieblich
mit
t = Anzahl der Lagerreaktionen
s = Anzahl der Stabe
g = Anzahl der Gelenke
Notwendig und hinreichend fur statische Bestimmtheit ist, da das (inhomogene)lineare Gleichungssystem
A x = b
eine eindeutige Losung x besitzt. Das ist ingenieurmaig gesehen der Fall, wenndie Koeffizientenmatrix A quadratisch und regular (detA 6= 0) ist. (Allgemein istRg (A|b) = Rg (A) zu fordern!)
6 Technische Mechanik (V 2.1) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher
Schwerpunkte
rS =1
m
n
i=1
miri (Schwerpunkt aus n Massenpunkten mi)
rS =1
m
K
r dm0=
1
V
V
r dV (Korperschwerpunkt)
rS =1
A
A
r dA (Flachenschwerpunkt)
Die Relation0= bedeutet Gleichheit unter Voraussetzung homogenen Materials mit
(x, y, z) 0 = const.
Haftung (auch: Haftreibung)
R0 6 0 N (Haftungsbedingung)
R0,max = 0 N (Grenzfall)
tan 6 0 (Reib-Kegel)
S2 6 S1 e0 fur S2 > S1 (Seilhaftung am Zylinder)
Haftkrafte sind Reaktionskrafte!
Reibung (auch: Gleitreibung)
R = N
v
v = N (~ev) (vektoriell)
R = N mit < 0 (betragsweise)
S2 = S1 e0 fur S2 > S1 (Seilreibung am Zylinder)
Reibkrafte sind eingepragte Krafte!
Der Umschlingungswinkel ist grundsatzlich im Bogenma einzusetzen und kannauch > 2 (Mehrfachumschlingung) sein!
Vorzeichenregel fur Schnittgroen
Am positiven (negativen) Schnittufer sind die Schnittgroen in positiver (ne-gativer) Richtung anzutragen!
Technische Mechanik (V 2.1) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher 7
Elastostatik
Spannungszustand
(2) = ij ~ei ~ej (Spannungstensor)
=
x xy xz
yx y yz
zx zy z
=
11 12 13
21 22 23
31 32 33
(Spannungsmatrix)
Gleichgewichtsbedingungen
(2) +f =
0 (KG)
xx
+yxy
+zxz
+ fx = 0
xyx
+yy
+zyz
+ fy = 0
xzx
+yzy
+zz
+ fz = 0
jixj
+ fi = 0 oder ji,j + fi = 0
= T / ij = ji (MG)
CauchyCauchyCauchysche Spannungsgleichung
(2) n =t / ij nj = ti
n = t oder ausgeschrieben
x xy xz
yx y yz
zx zy z
nx
ny
nz
=
tx
ty
tz
Hauptspannungen
~ejHA ~ek
+ so, da (2) = 1 ~e1+~e1
+ + 2 ~e2+~e2
+ + 3 ~e3+~e3
+ (Hauptachsen-transformation)
+ =
I 0 0
0 II 0
0 0 III
=
1 0 0
0 2 0
0 0 3
(Hauptspannungsmatrix)
8 Technische Mechanik (V 2.1) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher
( E
)n = 0 / (ij ij) nj = 0 (Ansatz)
det( E
)= 0 / det (ij ij ) = 0
3 I1 2 + I2 I3 = 0
}
(Charakteristische Gl.)
I1 := x + y + z = sp = ii
I2 := xy + yz + xz 2xy
2yz
2xz
= 12 (ii jj ij ij)
I3 := det = det (ij)
(Invarianten)
I, II, III / 1, 2, 3 (Eigenwerte = Hauptspannungen)
(
E
)n
= 0 / (ij (k) ij)n(k)j = 0 = I, II, III
n =
n2x
+ n2y
+ n2z
= 1/
nk =
n 2(k)j = 1
nI,n
II,n
III/ nk = nkj ~ej = ~ek
+ (Eigenvektoren = Basisvektorender Hauptachsen)
Mohrscher Spannungskreis fur den ebenen Spannungszustand
(x y
2
)2
+ 2xy
R2
=
(
x + y
2
)2
X 2
+ 2
Y2
(Kreisgleichung)
Technische Mechanik (V 2.1) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher 9
() = x cos2 + 2 xy cos sin + y sin
2
() = (y x) cos sin + xy(cos2 sin2
)
}
(Parameter-darstellung)
Verzerrungszustand
u = u~ex + v~ey + w~ez = ui ~ei (Verschiebungsvektor)
:=(L0 + L) L0
L0=
L
L0(eindimensionale Dehnung)
x =u
x
y =v
y
z =w
z
(Dehnungen)
xy = yx =u
y+
v
x
yz = zy =v
z+
w
y
xz = zx =u
z+
w
x
(Scherungen oder Gleitungen)
(2) = ij ~ei ~ej (Verzerrungstensor)
=
x12xy
12xz
12yx y
12yz
12zx
12zy z
=
11 12 13
21 22 23
31 32 33
(Verzerrungsmatrix)
ij =1
2
(uixj
+ujxi
)
und speziell ij =1
2ij fur i 6= j
= T / ij = ji (Symmetrie)
Elastizitat
= E (Hookesches Gesetz)
10 Technische Mechanik (V 2.1) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher
(2) =E (4) : (2) / ij = Eijk k (allg. Elastizitatsgesetz)
ij = kk ij + 2 ij (verallgemeinertes Hookesches Gesetz)
= E
(1 + ) (1 2), = G =
E
2 (1 + )(Lamesche Konstanten)
x,y,z =1 +
Ex,y,z
EI1
yx =1
Gxy
yz =1
Gyz
xz =1
Gxz
ij =1 +
Eij
Ekk ij
Festigkeitshypothesen
V = max[ I II
,
II III
,
I III
]
(Tresca)
2 2V =(I II
)2+
(II III
)2+
(I III
)2(Huber v. Mises)
V =
2x + 2y +
2z x y y z x z + 3(
2xy +
2yz +
2xz)
=
I21 3 I2
=
32 ij ij
12 ii jj
V = max[I , II , III
](Normalspannungshypothese)
Zusammenhang zwischen Spannungen und Schnittgroen
N(x) =
A
x dA =
A
x(x, y, z) dy dz (Normalkraft)
Qy(x) =
A
xy dA =
A
xy(x, y, z) dy dz (Querkraft in y-Richtung)
Qz (x) =
A
xz dA =
A
xz(x, y, z) dy dz (Querkraft in z-Richtung)
Technische Mechanik (V 2.1) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher 11
MBy(x) =
A
x z dA =
A
x(x, y, z) z dy dz(Biegemoment um
die y-Achse)
MBz (x) =
A
x y dA =
A
x(x, y, z) y dy dz(Biegemoment um
die z-Achse)
MT(x) =
A
(xz y xy z) dA =
A
[xz(x, y, z) y xy(x, y, z) z
]dy dz
(Torsionsmoment um die x-Achse)
Axialdehnung gerader, prismatischer Stabe
=F
EA(Verlangerung/Verkurzung)
Kesselformeln
=d
2sp (Tangentialspannung)
z =d
4sp (Axialspannung)
Flachentragheitsmomente
Iy =
A
z2 dA (Axiales Flachentragheitsmoment um die y-Achse)
Iz =
A
y2 dA (Axiales Flachentragheitsmoment um die z-Achse)
Iyz =
A
y z dA (Deviationsmoment)
I0 =
A
r2 dA = Iz + Iy (Polares Flachentragheitsmoment)
(Ebene) BernoulliBernoulliBernoullische Balkenbiegung
EIy w = M(x) mit w :=
d2w
dx 2(DGl der Biegelinie)
12 Technische Mechanik (V 2.1) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher
w(x) = M(x)
EIy
w(x) = 1
EIy
M(x) dx + c (Tangentenverlauf)
w(x) = 1
EIy
[
M(x) dx
]
dx + c x + c (Biegelinie)
w(x = x) = 0 (RB 1. Art fur die Lagerstelle x = x)
w(x = x) = 0 (RB 2. Art fur die Lagerstelle x = x)
wlinks(x = x) = wrechts(x = x)
wlinks(x = x) = wrechts(x = x)
(UBen an der Bereichsgrenze x = x)
x(x, z) =M(x)
Iyz (Normalspannungsverlauf)
z(x, y) 0 (neutrale Faser mit x(x, y, z) 0)
|x|max =|M(x)|max
Iy|z|max =
|M(x)|maxWy
(max. Normalspannung)
(Raumliche) BernoulliBernoulliBernoullische Balkenbiegung,Schiefe Biegung
E [ Iy w Iyz v
] = MBy(x)
E [Iyz w + Iz v
] = MBz(x)(DGlen der raumlichen Biegelinie)
mit w :=d2w
dx 2, v :=
d2v
dx 2
E w = 1[MBy(x) Iz + MBz(x) Iyz
]
E v = 1[MBy(x) Iyz + MBz(x) Iy
] (entkoppeltes DGl-System)
mit := Iy Iz I2yz = II III
x(x, y, z) =1
[ (MBy(x) Iz MBz(x) Iyz
)z +
(MBy(x) Iyz MBz(x) Iy
)y
]
(Normalspannungsverlauf)
z(x, y) =MBz(x) Iy MBy(x) IyzMBy(x) Iz MBz(x) Iyz
y (neutrale Faser mit x(x, y, z) 0)
Technische Mechanik (V 2.1) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher 13
|x|max liegt in dem Punkt (des Querschnitts mit |MBy(x)|max) vor, welcher amweitesten von neutralen Faser entfernt ist!
Bereichseinteilung und RB/UBen sind analog zum ebenen Fall zu formulieren!
EulerEulerEulersche Knickfalle
EulerEulerEuler-Fall 1 2 3 4
Sta
bla
nge
(i
mungeknic
kte
nZust
and)
Fkrit =2 EI
422 EI
220,19
EI
242 EI
2
Torsion einer Welle mit Kreis(ring)querschnitt
GI0 = MT(x) mit
:=d
dx(DGl des Torsionsverlaufs)
(x) =MT(x)
GI0
(x) =1
GI0
MT(x) dx + c (Torsionsverlauf)
(x = x) = 0 (RB fur die Lagerstelle x = x)
links(x = x) = rechts(x = x) (UB an der Bereichsgrenze x = x)
(x, r) =MT(x)
I0r (Schubspannungsverlauf)
14 Technische Mechanik (V 2.1) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher
max =|MT(x)|max
I0
d
2=
|MT(x)|maxWT
(max. Schubspannung)
Dynamik
Bahnkurve
r = r (t) = x(t)~ex + y(t)~ey + z(t)~ez = xi(t)~ei (kartesisch)
s = s(t) (Bahnkoordinate)
|ds | = dr =
x2j (t) dt (Bogenelement)
Geschwindigkeit
v (t) =dr
d t=
dx
dt~ex +
dy
dt~ey +
dz
dt~ez =
dxidt
~ei
x ~ex + y ~ey + z ~ez = xi ~ei
vx ~ex + vy ~ey + vz ~ez = vi ~ei
(kartesisch)
v (t) = v(t) ~et(s(t)
), v(t) =
dr
dt|v | = v =
x2j(t)(Bahn-kurve)
Beschleunigung
a (t) =
dv
dt=
dvxdt
~ex +dvydt
~ey +dvzdt
~ez =dvidt
~ei
= vx ~ex + vy ~ey + vz ~ez = vi ~ei
ax ~ex + ay ~ey + az ~ez = ai ~ei
d2r
dt2=
d2x
dt2~ex +
d2y
dt2~ey +
d2z
dt2~ez =
d2xidt2
~ei
= x ~ex + y ~ey + z ~ez = xi ~ei
(kartesisch)
a (t) =d
dt
[
v(t) ~et(s(t)
) ]
=dv
dt~et +
v2
R~en (Bahnkurve)
at =dv
dt(Tangential- oder Bahnbeschleunigung)
an =v2
R(Normal- oder Zentripetalbeschleunigung)
Technische Mechanik (V 2.1) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher 15
Begleitendes Dreibein
~et =dr
ds(Tangenteneinheitsvektor)
~en = Rd~etds
= Rd2r
ds 2=
d2s /ds2
d2s /ds2(Hauptnormalenvektor)
~eb = ~et ~en (Binormalenvektor)
Es zeigt ~et in Richtung wachsender s -Werte, wahrend ~en auf den Krummungs-mittelpunkt gerichtet ist. Die Orientierung von ~eb ergibt sich aus Forderung nacheinem Rechtssystem.
Winkelgeschwindigkeit
(t) =
dxdt
~ex +dydt
~ey +dzdt
~ez =didt
~ei
x ~ex + y ~ey + z ~ez = i ~ei
x ~ex + y ~ey + z ~ez = i ~ei
(kartesisch)
(t) = (t) ~eD , (t) =
d
dt(Rotation um feste Drehachse(=D))
Geschwindigkeit bei Rotation um festen Punkt
v = r (vektoriell)
v = r (Bahngeschwindigkeit bei Rotation um feste Drehachse)
~ex = ~ex
~ey = ~ey
~ez = ~ez
~ei = ~ei (rotierende Vektorbasis)
Relativkinematik
r = r0 +r
xi(t) ~ei = x0
j(t) ~ej + xk(t) ~e
k(t)
(Ort)
v = r0 + r + v
xi ~ei = x0
j ~ej + xk ~e
k + x
k ~e
k
(Geschwindigkeit)
16 Technische Mechanik (V 2.1) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher
a = r0 + r +
( r
)+ 2 v + a
xi ~ei = x0
j ~ej + xk ~e
k +
( xk ~e
k
)+ 2 xk ~e
k + x
k ~e
k
(Beschleunigung)
mit
Absolut-
Ort r (t) = xi(t) ~ei
Geschwindigkeit v (t) = vi(t) ~ei = xi ~ei
Beschleunigung a (t) = ai(t) ~ei = xi ~ei
Relativ-
Ort r (t) = xk(t) ~ek(t)
Geschwindigkeit v(t) = vk(t) ~ek(t) = x
k ~e
k(t)
Beschleunigung a(t) = ak(t) ~ek(t) = x
k ~e
k(t)
Fuhrungsgeschwindigkeit r0 + r = x0j ~ej +
xk ~e
k
Fuhrungsbeschleunigung r0 + r +
( r
)=
= x0j ~ej + xk ~e
k +
( xk ~e
k
)
Coriolis-Beschleunigung 2 v = 2 xk ~ek
Korperfeste Ableitung
d
dtr (t) =
d
dt
[
xk(t) ~ek(t)
]
=d
dt
[xk(t)
]~ek = x
k ~e
k =
v(t)
d
dtv (t) =
d
dt
[
xk(t) ~ek(t)
]
=d
dt
[xk(t)
]~ek = x
k ~e
k =
a(t)
Bei dieser Operation wird also die Zeitabhangigkeit der Relativbasis ~ek(t) de-finitionsgema ignoriert, so wie es der Sichtweise des mitbewegten Beobachtersentspricht!
NewtonNewtonNewtonsches Grundgesetz (im Inertialsystem)
i
Fi =
dI
dt=
d
dt
[mv
](allgemein)
i
Fi = m
dv
dt= ma (Standardfall fur m(t) const)
i
Fx,i = m x ,
i
Fy,i = m y ,
i
Fz,i = m z (komponentenweise)
Technische Mechanik (V 2.1) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher 17
i
Ft,i = m at = mdv
dt,
i
Fn,i = m an = mv2
R(Bahnkurve)
NewtonNewtonNewtonsches Grundgesetz im Relativsystem
i
Fi +
Ftr +
Frot +
FZ +
FC
Scheinkrafte
= m a
Ftr = m r0 (translat. Tragheitskraft)
Frot = m r (rot. Tragheitskraft)
FZ = m
( r
)(Zentrifugalkraft)
(Fuhrungskraft)
FC = 2 m v (Coriolis-Kraft)
Gedampftes Feder-Masse-System mit harmonischer Kraftanregung
x + 2 D x + 20 x =F0m
sin [ t ] (lineare Bewegungs-DGl)
xh + 2 D xh + 20 xh = 0 (zugehorige homogene DGl)
xh(t) = et (Ansatz)
2 + 2 D + 20 = 0 (Charakteristische Gleichung)
1,2 = D
D2 20 (Eigenwerte der homogenen DGl)
x1(t) = e1t , x2(t) = e
2t (Basislosungen der homogen. DGl)
xh(t) = c1 x1(t) + c2 x2(t) (Homogene Losung)
a) Zwei reelle Eigenwerte 1 6= 2 D2 > 20
1,2 = D
D2 20 Rxh(t) = c1 e
1t + c2 e2t
18 Technische Mechanik (V 2.1) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher
b) Ein (doppelter) reeller Eigenwert 1 = 2 D2 = 20
1,2 = D Rxh(t) = c1 e
1t + c2 t e2t = ( c1 + c2 t ) e
Dt
c) Konjugiert komplexe Eigenwerte D2 < 20
1,2 = D j1 C mit 1 := 20 D2xh(t) = c
1 exp
[(D + j1) t
]+ c2 exp
[(D j1) t
]
= eD t(c1 e
j 1t + c2 ej 1t
)
= eD t( (
c1 + c2
)cos [1 t ] + j
(c1 c
2
)sin [1 t ]
)
= eD t(
c1 cos [1 t ] + c2 sin [1 t ])
xp(t) = A sin [ t ] + B cos [ t ]
(
Faustregelansatz furF0m
sin [ t ]
)
x(t) = eD t(
c1 cos [1 t ] + c2 sin [1 t ])
= xh(t)D2 < 20
+ H sin [ t ]
= xp(t)
H :=F0
m
(2D)2 + (20 2)2
= arccos
[
20 2
(2D)2 + (20 2)2
]
Sonderfall: Keine Anregung (F0 = 0)
H = 0 , xp(t) 0
x(t) xh(t) = eD t
(c1 cos [1 t ] + c2 sin [1 t ]
) (abklingendeSchwingung)
Sonderfall: Keine Dampfung (D = 0)
1 = 0 , xh(t) = c1 cos [0 t ] + c2 sin [0 t ]
Technische Mechanik (V 2.1) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher 19
H =F0
m20
2
, =
{
0 fur < 0
fur > 0
Achtung! H fur 0 (Resonanzfall)
x(t) = c1 cos [0 t ] + c2 sin [0 t ] + H sin [ t ]
Sonderfall: Keine Anregung und keine Dampfung
x(t) xh(t) = c1 cos [0 t ] + c2 sin [0 t ]
= A cos [0 t ]
(ungedampfteDauerschwingung)
Hauptsatze der Korperdynamik
F =
dI
dt(Impulssatz)
I :=
K
v dm = mvS (Impuls)
F = m
dvSdt
(Schwerpunktsatz)
M [ 0 ] =
r0 F =
dL0dt
(Impulsmomentensatz bezugl.raumfestem (Lager-)Punkt 0)
L0 :=
K
r0m v0m dm
(Impulsmoment bezugl.raumfestem (Lager-)Punkt 0)
M [ S ] =
rS F =
dLSdt
(Impulsmomentensatz bezugl.(bewegtem) Schwerpunkt S)
LS :=
K
rSm vSm dm
(Impulsmoment bezugl.(bewegtem) Schwerpunkt S)
L0 =
LS + m
r0S v0S
(Zusammenhang zwischenden Impulsmomenten)
20 Technische Mechanik (V 2.1) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher
Einachsige Rotation (x3-Achse sei Drehachse(=D))
= ~e3 = ~e3
L0 = J13 ~e1 + J23 ~e2 + JD ~e3
i M,1[ 0 ] = J13 J23 2
i M,2[ 0 ] = J23 + J13 2
i M,3[ 0 ] =
M [ D ] = JD
JD = J33 :=
K
(x21 + x
22
)dm =
K
r2 dm (Massentragheitsmoment)
Hier ist r der (Orthogonal-)Abstand von dm zur Drehachse!
J13 :=
K
x1 x3 dm
J23 :=
K
x2 x3 dm
(Deviationsmomente)
Haufiger Sonderfall: Rotor ist dynamisch ausgewuchtet (J13 = J23 = 0)
L0 = JD
M,1[ 0 ] = 0 ,
M,2[ 0 ] = 0 ,
M [ D ] = JD
J0 = JS + m s2 (Satz von Steiner)
Das Massentragheitsmoment JS ist immer das kleinstmogliche!
Mehrachsige Rotation (allgemeiner Fall)
Es gelten gleichermaen fur den raumfesten (Lager-)Punkt 0 mit
L0,
J(2)0 / L0i, J
0ij
sowie fur den (bewegten) Schwerpunkt S mit
LS,
J(2)S / LSi, J
Sij
(unter Fortlassung der Indizes 0 bzw. S) die folgenden Gleichungen:
Technische Mechanik (V 2.1) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher 21
= 1 ~e1 + 2 ~e2 + 3 ~e3 = j ~ej
L = Li ~ei (Impulsmomentenvektor)
J(2) = Jij ~ei ~ej (Tragheitstensor)
Jij :=
K
(x2k ij xi xj) dm =
K
(r2 ij xi xj) dm(Massenmomente
2. Ordnung)
Hier ist r mit
x2k = x21 + x
22 + x
23 =: r
2 =
{r0m
2
rSm2
der Abstand von dm zum Punkt 0 bzw. S. Im einzelnen sind:
J11 =
K
(x22 + x
23
)dm
J22 =
K
(x21 + x
23
)dm
J33 =
K
(x21 + x
22
)dm
(Massentragheitsmomente)
J12 = J21 =
K
x1 x2 dm
J13 = J31 =
K
x1 x3 dm
J23 = J32 =
K
x2 x3 dm
(Deviationsmomente)
J =
J11 J12 J13
J21 J22 J23
J31 J32 J33
(Tragheitsmatrix)
L =
J(2) / Li = Jij j
L = J oder ausgeschrieben
L1
L2
L3
=
J11 J12 J13
J21 J22 J23
J31 J32 J33
1
2
3
22 Technische Mechanik (V 2.1) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher
M [ 0/S ] =
d
dt
L 0/S +
L 0/S
M,i = Jij j + Jk n nki
(Impulsmomentensatz)
Sonderfall: Koordinatensystem x1, x2, x3 nur teilweise korperfest
= j ~ej (Rotation des Korpers (wie bisher))
= k ~ek (Rotation des Koordinatensystems (neu!))
M [ 0/S ] =
d
dt
L 0/S +
L 0/S
M,i = Jij j + Jk
k nki
(Impulsmomentensatz beiteilweise korperfestem
Koordinatensystem)
Mehrachsige Rotation um Haupttragheitsachsen
Da der Tragheitstensor reell besetzt und symmetrisch ist, hat dieser die gleichenmathematischen Eigenschaften wie der Spannungstensor. Es existiert daher stetsein (orthogonales) Hauptachsensystem mit
J(2) = J1 ~e1
+~e1+ + J2 ~e2
+~e2+ + J3 ~e3
+~e3+
J+ =
J1 0 0
0 J2 0
0 0 J3
.
(Tragheitsmatrix bei Rotationum Haupttragheitsachsen)
Dynamisches Auswuchten bedeutet, eine durch Lagerung erzwungene Dreh-achse gewissermaen
nachtraglich durch geeignete Massenmanipulation zu ei-
ner durch den Schwerpunkt verlaufenden Haupttragheitsachse zu machen. Diesesschliet statisches Auswuchten mit ein!
M,1 = J1 1 (J2 J3) 2 3
M,2 = J2 2 (J3 J1) 1 3
M,3 = J3 3 (J1 J2) 1 2
(Eulersche Gleichungen)
Technische Mechanik (V 2.1) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher 23
Arbeit und Leistung (Translation)
dW :=F dr
= F dr cos mit =
F, dr
= F cos |ds |
W12 =
~r2
~r1
F dr (Arbeit)
W12 =
t2
t1
F (t)
d~r
dtdt =
t2
t1
F v dt
W12 =
s2
s1
F (s)
d~r
dsds =
s2
s1
F ~et ds
(Kurvenpara-metrisierung)
P :=dW
dt=
F
d~r
dt=
F v (Leistung)
W12 =
t2
t1
P (t) dt
~r2
~r1
i
Fi
alle Krafte!
dr = Ekin2 Ekin1 (Arbeitssatz)
~r2
~r1
i
Fi
ohne Schwerkraft!
dr = Ekin2 Ekin1 + E
pot2 E
pot1 (Arbeitssatz)
Ekin :=m
2v2 (kinetische Energie)
Epot := m g z + Epot0 mit Epot0 = E
pot(z = 0) (potentielle Energie)
Hier ist z die der Schwerkraft entgegengerichtete Vertikalkoordinate!
24 Technische Mechanik (V 2.1) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher
Arbeit und Leistung (Einachsige Rotation)
dW := M d
W12 =
2
1
M d (Arbeit)
W12 =
t2
t1
M(t)d
dtdt =
t2
t1
M dt (Parametrisierung)
P :=dW
dt= M
d
dt= M (Leistung)
W12 =
t2
t1
P (t) dt
2
1
i
Mi[D] d = Ekin rot2 E
kin rot1 (Arbeitssatz)
Ekin rot :=JD2
2(kinetische Energie dereinachsigen Rotation)
Stovorgange
t = 0 (Zeitpunkt unmittelbar vor dem Sto)
t = (Zeitpunkt unmittelbar nach dem Sto)
lim0
0
F (t) dt und lim
0
0
M(t) dt sind endlich (Stoannahme)
S :=
0
F (t) dt (Stoantrieb)
R :=
0
M(t) dt (Drehantrieb)
Technische Mechanik (V 2.1) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher 25
i
Si =
I ()
I (0)
= m(vS()
vS(0))
(Impulssatz in Integralform)
i
Ri [ 0/S ] =
L 0/S()
L 0/S(0) (Impulsmomentensatz in Integralform)
i
Ri [ 0/S ] = J0/S(() (0)
)(dto., ebene Bewegung)
SK ,
SR (Stoantrieb in der Kompressions-/Restitutionsphase)
:=SR
SK
=SRSK
= v2n() v1n()
v2n(0) v1n(0) [0, 1] (Stoziffer)
= 0 (vollkommen unelastisch)
] 0, 1[ (teilweise elastisch)
= 1 (vollkommen elastisch)
E1() + E2() = E1(0) + E2(0)(Erhaltung der kinetischen Energiebeim vollkommen elastischen Sto)
v1() =v2() , 1() = 2()
(Kleben beim vollkom-men unelastischen Sto)
Version: 2.1 (02/2008)
Hauptsatze der Korperdynamik
Bewegung Ursache Tragheit Bewegungsgroe Satz Spezialfalle
result. Kraft Impuls Impulssatz Schwerpunktsatz
Translation
F m
I = mv
F =
dI
dtm const
F = m
dv
dt
result. Moment Impulsmoment Impulsmomentensatz Impulsmomentensatz
einachsige
Rotationum
Haupttragheitsachse D
M [D] JD LD = JD
M [D] =dLDd t
JD const
M [D] = JDd
dt
result. Moment Impulsmoment Impulsmomentensatz Indexschreibweise fur 0/S
mehrachsige
Rotationum 0/S
M [0/S]
J(2)
L0/S =
J(2)0/S
M [0/S] =
dL0/Sd t
M,i = Jij j + Jk k nki
0/S bedeutetraumfester Lagerpunkt 0 oder Schwerpunkt S