Techniques d’Egalisation avancees´poulliat.perso.enseeiht.fr/polys/tna_isi.pdf · Communications avec interferences symboles´ D´ecodage par Maximum de Vraisemblance DFE Canal

Communications avec interferences symboles Decodage par Maximum de Vraisemblance DFE

Techniques d’Egalisation avancees

4 novembre 2011


Plan

1 Communications avec interferences symboles

2 Decodage par Maximum de Vraisemblance

3 DFE


Canal a interferences entre symbolesModelisation

Signal emis en bande de base

On considere une modulation de type QAM d’ordre M.

s(t) =∑k∈N

sk he(t − kT ), sk ∈ C

sk = Ik + jQk : sequence de symboles emis appartenant a uneconstellation M-QAM S (|S| = M = 2m),T : periode symbole,he(t) : filtre de mise en forme a l’emission.



Signal emis en bande transposee (signal module)

s(t) = Re[s(t)ei2πf0t ]

= Re[s(t)]cos(2πf0t)− Im[s(t)]sin(2πf0t)= I(t)cos(2πf0t)−Q(t)sin(2πf0t) (1)

avecI(t) =

∑k ik he(t − kT ) : signal en phase (PAM voie I),

Q(t) =∑

k qk he(t − kT ) : signal en quadrature (PAM voie Q),



Signal recu en bande transposee (signal module)

r(t) = α0s(t) +L−1∑l=1

αl s(t − τl ) + b(t)

= Re[r(t)ei2πf0t ]

(2)

avec b(t) : bruit blanc thermique Gaussien

b(t) = Re[b(t)ei2πf0t ]

= Re[b(t)]cos(2πf0t)− Im[b(t)]sin(2πf0t)= bi (t)cos(2πf0t)− bq(t)sin(2πf0t)



Signal recu equivalent en bande de base apres Demodulation I/Q

r(t) =∑k∈N

sk

[L−1∑l=0

αl exp (−j2πf0τl )he(t − kT − τl )

]+ b(t)

=∑k∈N

sk hc ∗ he(t − kT ) + b(t)

= hc ∗ s(t) + b(t) (3)

avec hc(t) : canal de propagation equivalent en bande de base

hc(t) =L−1∑l=0

αle−j2πf0τl δ(t − τl )

Hc(f ) =L−1∑l=0

αle−j2πf0τl e−j2πτl f (4)



Filtrage adapte et modele equivalent bande de base

y(t) = hr ∗ r(t) + hr ∗ b(t)

=∑k∈N

sk hr ∗ hc ∗ he(t − kT ) + hr ∗ b(t)

=∑k∈N

sk h(t − kT ) + br (t) (5)

avec h(t) = hr ∗ hc ∗ he(t) : enveloppe complexe du canal globalequivalent en bande de base

Pas d’IES si hr (t) est adapte a g(t) = hc ∗ he(t),hr (t) = hc ∗ he(−t)∗, mais pas tres realiste dans un contextecanal hc(t) variable en temps.En pratique, hr (t) est adapte a he(t), donc hr (t) = he(−t).



Modele discret equivalent bande de base (Temps symbole)

y [n] , y(nT )

=∑k∈N

sk h((n − k)T ) + br (nT )

=∑k∈N

sk hn−k + b[n]

(6)

avec h[n] = hr ∗ hc ∗ he(nT ) : reponse inmpulsionnelle discrete ducanal equivalent en bande de base.



Bruit echantilonne

br (t) est Gaussien car filtre de b(t), b[n] non correles et Gaussiensdonc independants

◦Γb(f ) = N0

◦Γbr (f ) = N0|He(f )|2

γb(p) = N0δ(p) (7)


Decodage par Maximum de VraisemblanceModele discret equivalent bande de base

y [n] =∑k∈N

sk hn−k + b[n]

=

Lh−1∑k=0

h[k ]s[n − k ] + b[n] (8)

= h0s[n] +

Lh−1∑k=1

h[k ]s[n − k ]︸︷︷︸IES

+b[n] (9)

s[n]D D D D

h0 h1 h2 hL‐1b[n]

+ + + +z[n]

y[n]


Decodage par Maximum de VraisemblanceCritere de decodage MLSE

s = arg maxs′

p(y|s′)

= arg maxs′

∏n

p(yn|s′)

= arg min{sn}

∑n

|yn −L−1∑k=0

hk sn−k |2

s = [s1s2 . . . sN ], y = [y1y2 . . . yN ], y [n] ∼ N (∑

k hk sn−k ,N0),la sequence optimale est celle qui minimise la distanceeuclidienne la plus faible.utilisation de la structure markovienne du canal pour realiser undecodage MLSE avec complexite raisonable.


Decodage par Maximum de VraisemblanceModele convolutif et Representation d’etat

σ[n‐1]

s[n]D D D D

s[n‐1] s[n‐L+1]s[n‐2]

h0 h1 h2 hL‐1b[n]h

+ + + +z[n]

y[n]

y [n] = hT[

snσn−1

]+ b[n]

= z[n] + b[n]


Decodage par Maximum de VraisemblanceRepresentation en treillis

Representation fonctionnelle associee :Equation d’evolution : passage d’un etat a σn−1 a σn.

σn = F1(σn−1, sn)

Equation d’observation : generation des sorties observableszn =

∑L−1k=0 hk sn−k .

zn = F2(σn−1, sn) = F3(σn−1, σn)

� ��

��

� �

��

dn��n � �dn��

�� n�� n �n�� N�L �N�� N

��

�

d� � ��

d� � �

dn � ��

s[n]=+1

s[n]=-1


Decodage par Maximum de VraisemblanceRepresentation en treillis

proprietes

Chaque chemin sur le treillis represente une sequence desymboles emis possibles :

chemin le plus problable, iesequence MLSE ⇔ de plus petite distance euclidienne

cumulee sur le treillis

Idee de Viterbi : utiliser la structure du treillis pour enumerer etselectionner “intelligemment” les candidats.Ceci est possible en remarquant que

{s[n]|n = 1 · · ·N} ⇐⇒ {σ[n]|n = 0 · · ·N}

Espace des sequences Espaces des Etats


Decodage par Maximum de VraisemblanceAlgorithme de Viterbi

MLSE revisite

s = arg min{sn}

∑n

|yn −L−1∑k=0

hk sn−k |2

ms = arg min

{σn}

∑n

|yn − zn(σn−1, σn)|2

Pour la section de treillis n, a l’etat σn(s), on peut ecrire

Λn(σn) = argmin{σ0,σ1,··· ,σn−1,σn}

n∑k=0

|yk − zk (σk−1, σk )|2

= argmin{σn−1→σn}

{argmin{σ0,··· ,σn−1}

{n−1∑k=0

|yk − zk |2}

+ |yn − zn(σn−1, σn)|2}

= argmin{σn−1 → σn}︸︷︷︸

transitions possibles

{Λn−1(σn−1) + λn(σn−1, σn)}


Decodage par Maximum de VraisemblanceAlgorithme de Viterbi

Algorithme de Viterbi

Pour chaque section n (n = 1 · · ·N), pour chaque etat σn = s(s = 0 · · · |S|) :

1 calculer Λn tel que

Λn(σn) = argmin{σn−1→σn}

{Λn−1(σn−1) + λn(σn−1, σn)}

2 stocker l’etat precedent σn−1 (pour chaque etat σn, on peut doncassocier une sequence {σ0, · · · , σn } de distance euclidienneΛn(σn))

A la fin du treillis, il ne reste plus que |S| chemins possibles, alorspar parcours arriere des etats du treillis

s =

{σ0, σ1, · · · , σN−1, σN |argmin

σN

{ΛN(σN)}}


Decodage par Maximum de VraisemblanceAlgorithme de Viterbi : performance

�� COMPARAISON ET PERFORMANCES DES EGALISEURS ��

�ltres avant du DFE de meme crit�ere �

G�z� ) c�H��

z�

�z��

H��z��

cas ZF

H��z� ) H��z�

c ) h�cas MMSE

H��z� ) H�MMSE�z�

c )q�djh�j� � �w

Ainsi� la di �erence entre les �egaliseurs lin�eaire et DFE repose sur la mani�ere d��eliminer lesinterf�erences dues au �ltre �a phase minimale H��z� i�e� soit par l�inversion de cette fonction detransfert �cas lin�eaire�� soit par une boucle retour �cas du DFE�� La boucle de retour permetde ne pas �ltrer le bruit� De plus� le �ltre H��z� est �a phase minimale� Parmi tous les candidatspossibles �a la factorisation de l�autocorr�elation du canal �cas ZF� ou de la densit�e spectralede puissance �cas EQM�� H��z� est celui dont l��energie est concentr�ee au d�ebut de la r�eponseimpulsionnelle et qui fournit le rapport signal �a bruit en sortie de l��egaliseur le plus grand� Deplus� les interf�erences annul�ees sont alors de plus faible �energie que le trajet principal� d�o�u unph�enom�ene de propagation d�erreurs limit�e�

0 5 10 15 2010

−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Eb/No

TE

B : taux d

’err

eur

bin

aire

Performances du canal Proakis B

sans IES borne inf MLSElinéaire dfe Viterbi Bahl

0 5 10 15 2010

−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Eb/No

TE

B : taux d

’err

eur

bin

aire

Performances du canal Proakis C

sans IES borne inf MLSElinéaire dfe Viterbi Bahl

Fig� �� Performances des �egaliseurs classiques pour les canaux Proakis B et C�

D�ailleurs� !�� page ��" montre que le rapport signal �a bruit en sortie de l��egaliseur lin�eaire esttoujours inf�erieur ou �egal �a celui du DFE� d�o�u de moins bonnes performances pour l��egaliseurlin�eaire�

En�n� nous pr�esentons les performances des �egaliseurs optimaux au sens du maximum aposteriori et qui fournissent de meilleurs performances que les �egaliseurs �a structure impos�ee�Que le crit�ere soit s�equence ou symbole� les performances sont tr�es proches et tendent �a fortrapport signal �a bruit vers la borne inf�erieure ��

Il est �a noter que quelles que soient les m�ethodes d��egalisation utilis�ees� les performancesdu canal Proakis C sont toujours inf�erieures �a celles du canal Proakis B� comme l�analyse descanaux nous le laissait pr�evoir�

En�n� nous consid�ererons un canal dont les coe�cients de la r�eponse impulsionnelle sontcomplexes �a la di �erence des deux cas pr�ec�edents� Ce canal appel�e Porat et Friedlander !��" adi �erents �evanouissements mais en fait� c�est un canal facile �a �egaliser car sa perte vaut � dB parrapport au canal non dispersif et �a bruit additif gaussien et pour une modulation binaire� Pource canal� nous pouvons nous a ranchir quasi�compl�etement des e ets des multitrajets comme


Egalisation lineaire : rappelsRappels d’egalisation lineaire

b[n]

+s[n]

h[n]r[n]

w[n]y[n] s[n‐d]

w [n] est une filtre egaliseur,complexite lineaire,.differents criteres d’optimisation


Critere zero-forcing : IES nulle

wzf (z) =z−d

n

h(z)

faible complexite mais forte amplification du bruit begincenter

�� PRESENTATION DES EGALISEURS ��

�� Crit ere Zero forcing

Le crit�ere de for�cage �a z�ero consiste �a annuler compl�etement l�interf�erence en sortie del��egaliseur i�e� �a choisir F �z� tel que �

h � gn ) n H�z�G�z� ) z��

Aussi� on obtient �

G�z� )z��

H�z��

Notons que pour que l��egaliseur soit stable� le canal ne doit avoir aucun z�ero sur et �a l�ext�erieurdu cercle unit�e�

Cependant� puisque le �ltre G�z� tend �a annuler toute l�interf�erence� il tend �a compenser lesz�eros de la fonction de transfert �cf� Figure �� ce qui ampli�e le bruit de transmission�

0 0.5 1

−6

−4

−2

0

2

4

fréquence normalisée

Répo

nse e

n amp

litude

, en d

B

CANAL

0 0.5 1

−6

−4

−2

0

2

4

fréquence normalisée

Répo

nse e

n amp

litude

, en d

B

égaliseur ZF

Fig� �� Ampli�cation du bruit d�un �egaliseur Zero forcing�

�� Crit ere Erreur Quadratique Moyenne

Puisque le principal �ecueil du crit�ere Zero forcing est d�ampli�er le bruit de la transmission�nous consid�erons ici un crit�ere� qui r�ealise un bon compromis entre l�annulation d�interf�erenceet la non�ampli�cation du bruit� Ce crit�ere minimise l�erreur quadratique moyenne entre lasortie �non�d�ecid�ee� de l��egaliseur yn et les vrais symboles �emis dn �

E!jyn � dn��j�"�

L��egaliseur est alors appel�e EQMM �erreur quadratique moyenne minimale� ou MMSE �Mini�mum mean square error�� !�� page ��" montre que le r�esultat de la minimisation se factoriseselon �

G�z� ) H��

z�

�� z ��ltre adapt�e

�dz��

�dH�z�H��

�z�

� �w

�

Ainsi� le �ltre �egaliseur est compos�e d�une part du �ltre adapt�e au canal et d�autre part d�un�ltre qui �elimine les interf�erences� En e et� ce second �ltre est l�inverse de l�autocorr�elation ducanal lorsque la puissance de bruit est faible� En revanche� si cette puissance de bruit est forte�ce �ltre r�ealise un compromis entre �elimination des interf�erences et ampli�cation du bruit�


Egalisation lineaireCritere EQMM

Critere EQMM sans contraintes : minimisation de l’erreurquadratique moyenne

w∞(z) = σ2s z−d h∗(z−1)

σ2s h(z)h∗(z−1) + σ2

b

avec h∗(z) =∑

n h∗(n)z−n

mitige l’amplification du bruit, mais faible performances pourcanaux severes


Egalisation non lineaireDecision feedback Equalization(DFE) : principe

b[n]

+s[n] r[n]

w[n]y[n] s[n‐d]

f[n] +r[n] S est[n]

[ ] +

d[n]

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