TD. AUTOMATIQUE L3 E.E.A. & IE

TD Automatique n5

TD Automatique n5 : Stabilit

Exercice 1 : Critre de Routh - Hurwitz

1. Un systme linaire a pour fonction de transfert :

012

23

012

2

apapapbpbpb)p(G+++

++=

Etudier par un critre algbrique sa stabilit asymptotique dans les cas suivants : a) a0=1, a1=2, a2=1 c) a0=1, a1=1, a2=0 b) a0=1, a1=0.5, a2=1 d) a0=1, a1=1, a2=1

2. Etudier la stabilit des systmes linaires suivants laide du critre de Routh :

6171771)( 2341 ++++= pppppG 5432

1)( 2342 ++++= pppppG

144221)( 23453 +++++= ppppppG 842

1)( 234 +++= ppppG

( ) KpKpppApG

1044)10()( 235 ++++

+=

3. Soit le systme en boucle ferme de la figure 1.3 :

Figure 1.3

Avec ( ) ( )( )1211

++=

ppppG , Cp)=K et ( )

11 ppH += .

Discuter de la stabilit du systme en boucle ferme en fonction des variables A et . Donner le domaine de stabilit dans le plan dfinit par les axes A, A. 4. Soit un procd, de fonction de transfert

15.0)( 2

=

ppG , mont en boucle ferme avec un rgulateur C(p).

a) Que peut-on dire du procd dun point de vue stabilit ? b) Peut-on assurer la stabilit asymptotique du systme en boucle ferme laide dun gain

proportionnel : C(p)=A.

Figure 1.2 : Systme e n boucle ferme

C(p)

+ G(p) y y*

C(p)

+ G(p) y* U +

H(p)

Y*

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Exercice 2 : Critre de Nyquist

On considre le schma de la figure 1.2. On appelle gain de boucle la fonction de transfert L(p)= C(p)G(p) . 1) ( ) ( )( ) positifs. et avec

11 ++= pppL

a) Etudier la stabilit de L(p) laide du critre de Nyquist. b) Caractriser les points suivants : ( )+01 jL , ( )jL1 ,

21 pijL .

Formule utiliser : )()(1)()()(

btgatgbtgatgbatg

+=+

_____________________________

2) ( ) ( )( ) positifs. et A, avec 2 ++= pppApL

a) Etudier la stabilit du systme suivant boucl avec une chane de retour unitaire. b) Caractriser les points suivants : ( )+02 jL , ( )jL2 , ( )pijL2 . c) Donner, pour la variable A, lintervalle pour lequel le systme est stable.

_____________________________

3) ( ) ( ) positifs. et avec 23 AppApL

+=

a) Etudier la stabilit du systme suivant boucl avec une chane de retour unitaire laide du critre de Nyquist.

b) Donner pour la variable A, lintervalle pour lequel le systme est stable. _____________________________

4) ( ) ( )( ) positifs. et , avec 4 ApppApL

+

=

a) Etudier la stabilit du systme suivant boucl avec une chane de retour unitaire laide du critre de Nyquist.

b) Donner pour la variable A, lintervalle pour lequel le systme est stable. _____________________________

5) ( ) ( )( ) positif. avec 1145 AppApL

+=

a) Etudier la stabilit du systme suivant boucl avec une chane de retour unitaire laide du critre de Nyquist.

b) Donner pour la variable A, lintervalle pour lequel le systme est stable. c) Tracer le diagramme de Bode de L5(p) et ses lieux de Black et de Nyquist (on se contentera des allures

des courbes). _____________________________

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Exercice 3 : Marges de stabilit

1. Soit un procd de fonction de transfert, ( )31011.0)(p

pG+

= , avec un rgulateur de type proportionnel

C(p)=A boucl par un retour unitaire. On prend pour la suite A=1, sauf pour les questions portant sur la dtermination de A. On appelle gain de boucle la fonction de transfert L(p)= C(p)G(p) . a) Peut-on appliquer le critre du revers sur L(p)? Donner lallure du lieu de Nyquist de L(p). Le systme

est-il stable ? Donner les marges de stabilit. b) Tracer lallure du diagramme de Bode de L(p). Donner les marges de stabilit (Figure 3.1). c) Tracer lallure du diagramme de Nichols de L(p). Donner les marges de stabilit (Figure 3.2). d) Dterminer graphiquement lensemble des valeurs de A pour lequel le systme asservi est

asymptotiquement stable (on assimilera la courbe du gain son trac asymptotique et on utilisera pour la courbe de phase lapproximation du dixime).

e) Rgler la valeur de A afin davoir une marge de phase de 45. En profiter pour lire la marge de phase. Cette valeur de A sera maintenue pour les questions suivantes.

f) En pratique, la modlisation des procds nest jamais parfaite. On suppose une incertitude sur le gain statique du procd. Il sensuit que la fonction de transfert relle du procd est :

( )3101 1.0)(

pA

prG r+

= (Ar>0 et inconnu)

Dterminer lensemble des valeurs de Ar pour lequel le systme asservi rel reste asymtotiquement stable.

2. Dans cette question, on suppose que la fonction de transfert relle du procd est :

( )3101 1.0)(

pepG

p

r+

=

(>0 et inconnu)

Dterminer lensemble des valeurs de pour lequel le systme asservi rel reste asymtotiquement stable.

Pha

se

(d

eg)

Ma

gnitu

de (d

B)

-80

-60

-40

-20

0

10-2

10-1

100

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

Figure 3.1 : Diagramme de Bode de G(p)

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Nichols Chart

Ope

n-Lo

op

Ga

in (d

B)

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

6 dB 3 dB 1 dB

0.5 dB 0.25 dB

0 dB

-1 dB -3 dB -6 dB

-12 dB -20 dB

-40 dB

-60 dB

-80 dB

-100 dB

-120 dB

-140 dB

-160 dB

Figure 3.2 : Diagramme de Nichols de G(p)

Exercice 4 : Marges de stabilit

1. Le systme de la figure 1.1 reprsente un moteur courant continu asservi en position. La fonction de

transfert du moteur est ( )pppG 5.011.0)(2 += . Le rgulateur est un gain proportionnel C(p)=A.

a) Tracer le diagramme de Bode asymptotique et analyser la stabilit du moteur (Figure 4.1). b) Montrer que le systme asservi est asymptotiquement stable pour tout A>0. Donner la marge de gain

du systme asservi partir du diagramme de Bode donn page suivante. c) Rgler A afin que le systme asservi ait une marge de phase de 45. Quelle est alors la fonction de

transfert du systme en boucle ferme (p)YY(p)

F(p)*

= ?

d) Mettre F(p) sous forme normalise et en dduire lexpression de la rponse indicielle ainsi que son allure (calculer le dpassement).

e) Reprendre la question c en simposant une marge de phase de 20. f) Quelle conclusion peut-on tirer de la comparaison des rsultats aux questions c et d. On pourra saider

de la figure 4.2 qui montre les rponse indicielle de F(p) dans les deux cas. Dans la suite de lexercice on adopte le rglage de la question c.

g) La fonction de transfert G2(p) ne reprsente pas rigoureusement le moteur continu. En effet, pour des raisons de simplicit la constante de temps lectrique na pas t prise en compte. La fonction de transfert relle est en fait :

( )( )ppppGr 05.015.011.0)(

++=

h) Analyser la stabilit du systme asservi rel en utilisant la figure 4.3.

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-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Mag

nitu

de (dB

)

10-1 100 101 102-180

-135

-90

Phas

e (de

g)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Figure 4.1 : Diagramme de Bode de G2(p) Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Figure 4.2 : Rponse indicielle de G(p) pour marge 45 et 20

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-200

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de (dB

)

10-1 100 101 102 103-270

-225

-180

-135

-90

Phas

e (de

g)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Figure 4.3 : Diagramme de Bode de Gr(p)