Spéciale PC TD n° 15.Thème TD Physique Quelques variantes autour du montage des fentes d’Young.Année 2013–2014 Donné le : 21 / 11 / 13.

1 Des trous aux fentesd’Young.

1.1 Le montage de base dit "montage2f".

On considère le dispositif des trous d’Young T1 etT2 de la figure 1.1, éclairés par une onde monochro-matique de longueur d’onde λ issue d’une sourceponctuelle placée au foyer objet F1 d’une lentilleconvergente L1. L’observation a lieu sur un écranplacé dans le plan focal image d’une deuxième len-tille convergente L2. On suppose que L1 et L2 ontla même distance focale qu’on notera f (f > 0).Les trous T1 et T2, de rayon R, sont pour l’instantsupposés de dimension très inférieure à la longueurd’onde λ et placés symétriquement à l’axe optiqueOz du système à la distance ±a.

M

a

T

T

F'

LL

S≡F

yf f

Figure 1.1 – montage 2f des trous d’Young.

On rappelle que la demi-ouverture angulaire de latache centrale de l’onde diffractée à l’infini par untrou circulaire de rayon R vaut :

sinθ1 = 1, 22λ

2R.

1°) Expliquer la nature des phénomènes observéssur l’écran. Justifier le nom de montage ”2f” donnéà ce dispositif.2°) Exprimer la d.d.m. des ondes qui interfèrent enun point M(x, y) de l’écran. En déduire l’éclaire-ment E (M). On notera E0 l’éclairement dû à un seultrou. Que vaut le contraste des franges ?3°) Montrer qu’on peut remplacer la source S et lesdeux trous par des fentes infiniment fines, toutes pa-rallèles à l’axe y′y sans perte de visibilité des franges.Quel est l’intérêt d’utiliser des fentes plutôt que destrous ?

1.2 Influence de la largeur de la fentesource primaire ; cohérence spa-tiale.

On considère maintenant le montage de la figure1.2 : les deux fentes d’Young sont infiniment fines,du moins de largeur du même ordre de grandeur

que la longueur d’onde de la lumière utilisée, pourconsidérer qu’elles éclairent chacune de façon quasiuniforme l’écran situé dans le plan focal image deL2 d’un éclairement noté E0. La source primaire estconstituée d’une fente de largeur totale `0, centréesur F .

M

a

F

F'

LL

S

yf fF

x

Fℓ

Figure 1.2 – montage des fentes d’Young avec fenteprimaire large.

1°) On considère d’abord un "fil source " lumineuxsitué en S d’abscisse xS et de largeur dxS . Exprimerla répartition d’éclairement dExS

(M) en un pointM(x, y) de l’écran dû à ce fil source.2°) Justifier, sans l’expliciter, le calcul suivant quidonne l’éclairement résultant dû à la source primaireen sa totalité :

E tot(M) =

ˆ xS=+`0/2

xS=−`0/2dExS

(M).

3°) Le calcul (qui n’est pas demandé ici) conduit à :

E tot(M) = 2E0

[1 + sinc

(πa`0λf

)cos

(2πax

λf

)]Commenter cette expression et exprimer notammentle facteur de visibilité des franges V .4°) Pour quelle valeur `spC de `0 a-t-on pour lapremière fois un brouillage complet du système defranges ? Justifier le nom de longueur de cohérencespatiale donné à cette valeur `spC .5°) Tracer le graphe V (`0). Qu’observe-t-on si oncontinue à élargir la fente source primaire au-delàde `spC ?

1.3 Influence du profil spectral de lasource primaire : cas d’un dou-blet.

On reprend le montage de la figure 1.1. La sourceprimaire émet maintenant un doublet de longueursd’onde λ1 et λ2 avec δλ = λ2 − λ1 � λm où

λm =λ1 + λ2

21°) Quelle modification induit cette non monochro-maticité sur la figure d’interférences observée surl’écran (réponse qualitative mais argumentée atten-due) ?

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2°) Montrer que le contraste des franges s’écrit ici :

V (x) =

∣∣∣∣cos(πλ2maxfδλ

)∣∣∣∣Quel phénomène met-on ainsi en évidence ?3°) L’annulation du contraste des franges voussemble-t-elle observable avec un dispositif de typetrous d’Young (on donnera des ordres de grandeursdes caractéristiques du système) ?

1.4 Cas d’un profil spectral rectangu-laire.

On reprend le montage de la figure 1.1. La sourceprimaire est supposée avoir un profil spectral rectan-gulaire : Iν(ν) = I0 si ν ∈ [ν0 −∆ν/2; ν0 + ∆ν/2]et Iν(ν) = 0 partout ailleurs.1°) Quel type de source un tel profil peut-il modé-liser ?2°) On établit (calcul non demandé) que la réparti-tion de l’éclairement total sur l’écran s’écrit :

E (x) =Emax

2

[1 + sinc

(πax∆ν

cf

)cos

(2πν0ax

cf

)]a) Exprimer le facteur de visibilité des franges.b) Pour quelle valeur minimale x1 de x ce facteurs’annule-t-il pour la première fois ? Que voit-on alorssur l’écran ?c) Peut-on atteindre la valeur précédente x1 avec ledispositif des trous d’Young ? (on précisera les ca-ractéristiques de la source utilisée).

2 Diffraction à l’infini par deuxfentes fines.

2.1 Influence des caractéristiques desfentes.

On reprend (fig. 2.1) le montage fondamental (mon-tage "2f") d’une figure de diffraction à l’infini par

une pupille plane constituée de deux fentes fines delargeur b, de longueur très grande devant b, éclairéespar une onde plane monochromatique de longueurd’onde λ issue d’une source ponctuelle S placée aufoyer objet d’une lentille convergente L1. Les centresO1 et O2 des deux fentes sont distants de a. On po-

sera u =sinθ

λ.

M

a

F

F'

LL

f f

F

F

b

b

qC1 C2

écran

Figure 2.1 – Diffraction à l’infini par deux fentesfines.

1°) Exprimer la répartition d’éclairement en unpoint M de l’écran en fonction de u, a et b.

2°) Représenter graphiquement cette répartition enfonction de x sachant que a = 4b.

3°) Comment est modifiée la figure de diffraction sion translate le système des deux fentes d’une quan-tité x1 (en conservant a et b constants) ?

4°) Comment est modifiée la figure de diffraction sion fait tourner les fentes dans leur propre plan d’unangle α ?

5°) Comment est modifiée la figure de diffraction sion translate la source dans son plan (perpendiculai-rement à l’axe optique) d’une quantité x0 ?

6°) Comment est modifiée la figure de diffraction sion augmente a à λ et b constants ?

7°) Comment est modifiée la figure de diffraction sion augmente b à λ et a constants ?

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