Técnicas de Integración 8 - INAOE - Pgurcid/cin/NCCI_GoUrcidCap85.pdf · ³ ªº¬¼an ( 1) tan ( 1) 11x x C 2010 Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE 22 Cálculo Integral :: C8/S5 . 12

Técnicas de Integración 8

Sección 8.5

Fracciones parciales (o simples)

© Salas / Hille / Etgen, CALCULUS, Vol. I

Una y Varias Variables 4a Ed.

Editorial Reverté (Reimpresión 2007)

2010 1 Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE

Cálculo Integral :: C8/S5





































4 2 2 2

4

4 4 2 2 2 2 2

2 2 2

: ; por la sugerencia, ( 2 )( 2 ) 4

con 2 4 2 ( 2(2) 2)( 2(2) 2) ( 2 2)( 2 2)

2 2 4 2 4(2) 4 8 4 0 es factor cuadrático irreducibl

dxx a x ax a x ax a

x

a x x x x x x x x x x

x x

Problema 25

2 2 2

2 2

4 2 2

e,

2 2 4 ( 2) 4(2) 4 8 4 0 es factor cuadrático irreducible

1( )( 2 2) ( )( 2 2) 1

4 2 2 2 2

x x

Ax B Cx DAx B x x Cx D x x

x x x x x



2 2

2 2

2 2

1 ( )(( 1) 2( 1) 2) ( )(( 1) 2( 1) 2) 5 5 1

0 ( )(2) ( )(2) 2 2 1

1 ( )(1 2(1) 2) ( )(1 2(1) 2)) 5 5 1

2 (2 )(2 2(2) 2) (2 )(2 2(2) 2) 4 2 20 10 1

de donde

x A B C D A B C D

x B D B D

x A B C D A B C D

x A B C D A B C D

resolviendo el sistema de 4 4 se obtiene:

5 5 1

2 2 1 1 1 1 1, , ,

5 5 1 8 4 8 4

4 2 20 10 1

A B C D

B DA B C D

A B C D

A B C D

1 1 1 18 4 8 4

2 2 2 2

4 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 2

4 8( 2 2) 8( 2 2)

x xAx B Cx D

x x x x x x x x

x x

x x x x x



4 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

4 2

1 2 1 2

4 8 2 2 8 2 2

1 1 1 1 1 1

8 2 2 8 2 2 8 2 2 8 2 2

1 2( 1) 1 1 2( 1) 1

16 2 2 8 2 2 16 2 2 8 2 2

1 ( 2 2) 1

4 16 2 2

dx x xdx dx

x x x x x

x dx x dxdx dx

x x x x x x x x

x dx x dxdx dx

x x x x x x x x

dx d x x

x x x

2

2 2 2

2 2

2 2

2 1 2 1

2

4 2

1 ( 2 2) 1

8 2 2 16 2 2 8 2 2

1 1 1 1ln( 2 2) ln( 2 2)

16 8 ( 1) 1 16 8 ( 1) 1

1 1 1 1ln( 2 2) tan ( 1) ln( 2 2) tan ( 1)

16 8 16 8

1 2 2 1ln t

4 16 2 2 8

dx d x x dx

x x x x x x

dx dxx x x x

x x

x x x x x x

dx x x

x x x

1 1an ( 1) tan ( 1)x x C



1 2

1 2

: deducir la siguiente fórmula de integración

1ln ; 0

( )( )

0 / 0 /

/ / 0

condición bajo la cual los factore

du c duC ad bc

a bu c du ad bc a bu

a bu bu a u a b c du du c u c d

u u a b c d ad bc

Problema 43

s lineales son distintos (no repetidos)

1( ) ( ) 1

( )( )

1( ) 1 ( ) 0

0

por lo que el sistema de 2 2 tiene una única solución dada por C

A BA c du B a bu

a bu c du a bu c du

cA aB c acA aB dA bB u ad bc

dA bB d b

ramer

1 11 1/ ; /

0 0

a cb b d dA A B B

b dad bc ad bc



1 1 1

( )( )

1 1

( )( )

1 ( ) 1 ( )

1 1ln ln

1ln ;

( )( )

A B b d

a bu c du a bu c du ad bc a bu ad bc c du

du b ddu du

a bu c du ad bc a bu ad bc c du

d a bu d c du

ad bc a bu ad bc c du

a bu c duad bc ad bc

du c duC

a bu c du ad bc a bu

0ad bc



2 2

2 2

2 2

: deducir la siguiente fórmula de integración

1ln ; 0

2

1, 1( )( ) ( ( 1) )( (1) )

1 (1) 1ln ln ; (1)

(1) ( 1) ( 1) 2

du a uC a

a u a a u

du du dub c a d

a u a u a u a u a u

du a u a uC C a

a u a a a u a a u

Problema 44

( 1) 0a



Ejercicios sugeridos, Sección 8.5

Prácticos: 10, 12, 18, 25, 33, 34

Teóricos: 40, 42, 43, 44, 46, 48



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