TÍCH PHÂN HÀM MỘT , , BIẾN & ỨNG DỤNG · 18/10/2017 2 BàigiảngToánCao cấp1 NguyễnVănTiến Vídụ • Tínhcáctíchphânsau 3 4 2 5. cos 2 . 2 1. 1 . a x x dx

18/10/2017

1

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN & ỨNG DỤNG

CHƯƠNG 4


Định nghĩa nguyên hàm

• Định nghĩa: Cho hàm f(x) liên tục trên (a,b). Ta nói F(x)là một nguyên hàm của f(x) trên (a,b) nếu:

• Ví dụ:

, ,F x f x x a b

laø moät nguyeân haøm cuûa

treân

laø moät nguyeân haøm cuûa a treân R.

2tan 1 tan

\ 2 12

lnx x

x x

R n

a a


Tích phân bất định

• Tích phân bất định của hàm f(x) ký hiệu:

• Được xác định như sau:

• F(x) là một nguyên hàm của f(x).

• C: hằng số tùy ý.

f x dx

f x dx F x C


Tính chất

)

) .

)

i f x dx f x

ii k f x dx k f x dx

iii f x g x dx f x dx g x dx


Công thức nguyên hàm cơ bản

1. 2.

3. 4.

5. 6.x x

k dx x dx

dx dx

xx

a dx e dx


Ví dụ

• Tính các tích phân sau

2 1

2

2 1. . 3

1

3 1.

x xxa dx b e e dx

x x

x xc dx

x

18/10/2017

2


Ví dụ


3 4

2 5

. cos 2 . 2 1

. 1 .

a x x dx b x dx

c x x dx


Ví dụ


2 1

2

2

0 01 2

2 20 2

) 4 )1

) )1 1

xa x dx b dx

x

dx dxc d

x x x


Ví dụ


) ln ) 2 1 sin

) cos ) arctan

a x xdx b x xdx

c x xdx d x xdx


Tích phân hàm mũ

• Công thức:

• Ví dụ. Tính các tích phân sau:

1

x x

ax b ax b

u u

i e dx e C

ii e dx e Ca

iii e du e C

4

02

4 3

0

) 3 ) 4

) )D a .

x x

I

x Tx

a A e dx b B e x dx

c C xe dx d e dx


Ví dụ

• Tìm phương trình đường cong y=y(x) biết nó điqua điểm (1;0) và:

• Đáp án:

3xdye

dx

3 22 xy e e


Ví dụ

1. Tìm phương trình đường cong y=y(x) đi quađiểm (2;5) và có hệ số góc là dy/dx=2x tại mọiđiểm.

2. Giả sử hàm chi phí biên để sản xuất x đơn vịsản phẩm cho bởi: C’(x)=0,3x2+2x. Biết chi phícố định là 2000$. Hãy tìm hàm chi phí C(x) vàtính chi phí để sản xuất ra 20 sản phẩm.

18/10/2017

3


Ví dụ

• Một đài phát thanh vệ tinh đang đưa ra một chiếndịch quảng cáo tích cực để tăng số lượng ngườinghe hàng ngày.

• Hiện tại đài phát thanh có 27.000 người nghe 1ngày và nhà quản lý mong muốn số lượng ngườinghe, S(t), tăng lên với tốc độ tăng trưởng là:S’(t)=60t1/2 người mỗi ngày.

• Trong đó t là số lượng của ngày kể từ khi bắt đầuchiến dịch.

• Chiến dịch kết thúc khi nào biết rằng đài phátthanh muốn số lượng người nghe hàng ngày tănglên đến 41.000 người.


Ví dụ

• Bộ phận nghiên cứu thị trường của một chuỗi siêuthị xác định rằng, đối với một cửa hàng, giá biên tếp’(x) ứng với nhu cầu x tuýp kem đánh răng mỗituần cho bởi:

• Hãy tìm phương trình đường cầu biết rằng khi giálà 4,35$/tuýp thì nhu cầu hàng tuần là 50 tuýp.

• Hãy xác định nhu cầu khi giá của một tuýp là 3,89$

• Đáp số:

0,01' 0, 015 xp x e

0,011, 5 3, 44xp x e


Phương trình vi phân

• Tăng trưởng giới hạn

• Tăng trưởng không giới hạn


Phương trình vi phân

• Khái niệm

• Nghiệm của PTVP là hàm số???

2 0,01

2

6 4 ' 400

" ' 5 2

xdyx x y e

dxdy dy

ky y xy x xydx dx


Phương trình vi phân• Bài toán lãi kép liên tục

• Gọi P là số tiền đầu tư ban đầu

• A là số tiền có được sau thời gian t

• Giả sử tốc độ tăng trưởng của số tiền A tại thời điểm tbất kỳ tỷ lệ thuận với số tiền hiện tại trong khoảng thờigian đó.

• Ta có mô hình:

• R: hằng số phù hợp

. 0 , 0dA

r A A P A Pdt


Phương trình vi phân• Ta có mô hình:

• Mặt khác:

• Ta có được công thức tính lãi kép liên tục với lãi suất rvà t là thời gian đầu tư.

1 1.

1ln .rt C

dA dA dAr A r dt rdt

dt A dt A dt

dA rt A rt C A t e eA

00 . .r C rtA e e P A t P e

18/10/2017

4


Luật tăng trưởng theo hàm mũ

• Định lý. Nếu��

��= �� và �(0) = �0 thì � = �0��

• Trong đó:

• Q0: khối lượng tại t=0

• r>0: tốc độ tăng trưởng tương đối

• t: thời gian

• Q: khối lượng tại thời điểm t

• Chú ý. Nếu r<0 ta có luật phân rã theo hàm mũ


Phân rã phóng xạ

• Năm 1946, Willard Libby (người sau này nhận được giảiNobel Hóa học) nhận thấy rằng nếu cây hoặc động vật cònsống, chất phóng xạ cacbon-14 vẫn được giữ ở mức khôngđổi trong mô của nó.

• Tuy nhiên, khi thực vật hoặc động vật chết, carbon-14 sẽgiảm đi do sự phân rã phóng xạ với tỷ lệ tương ứng vớilượng hiện có. Tốc độ phân rã là 0,0001238

• Ví dụ. Một mảnh xương người được tìm thấy tại một địađiểm khảo cổ ở Châu Phi. Nếu 10% lượng chất phóng xạcacbon-14 ban đầu có mặt, hãy ước lượng tuổi của xương(làm tròn đến 100 năm). Đ/S: 18.600 năm


Bài toán tăng trưởng

• Ấn Độ có dân số khoảng 1,2 tỷ người vào năm 2010(t=0). Gọi P là dân số Ấn Độ tại thời điểm t năm saunăm 2010 (đơn vị tỷ người) và giả sử rằng tốc độ giatăng dân số của Ấn Độ là 1,5% liên tục theo thời gian.

• A) Tìm một phương trình biểu diện tốc độ tăng trưởngcủa dân số Ấn Độ sau năm 2010 biết tốc độ 1,5% làtốc độ tăng trưởng lien tục.

• B) Ước lượng dân số Ấn Độ vào năm 2030?

• Đáp số:

• a) P=1,2.e0,0015t b) 1,6 tỷ người.


Bài toán tăng trưởng

• Nếu quy luật tăng trưởng mũ có thể áp dụngđược cho dân số Việt Nam. Hãy tìm tốc độ tăngtrưởng để sau 100 năm nữa dân số Việt Namtăng gấp đôi?

• Đáp số: 0,69%.

• Giả sử gửi tiền với lãi kép tính liên tục với lãisuất r (%/năm). Sau bao nhiêu năm thì số tiềngửi tăng lên gấp đôi?


Tăng trưởng giới hạn

• Trong học tập kỹ năng (bơi, đánh máy …) taluôn giả sử có một mức kỹ năng tối đa có thểđạt được M.

• Tốc độ phát triển kỹ năng y tỷ lệ thuận với hiệucủa mức kỹ năng đã đạt được y và mức tối đaM.

• Ta có mô hình

0 0dy

k M y ydt


Tăng trưởng giới hạn

• Một cách tương tự ta có:

1 kty M e

ln

.

0 0

kt C C kt

C

dy dyk M y kdt

dt M ydy

kdt M y kt CM y

M y e M y e e

y M e

18/10/2017

5


Ví dụ

• Đối với một người học bơi, khoảng cách (m) màngười đó có thể bơi trong 1 phút sau t giờ luyệntập được xấp xỉ bởi:

• Tốc độ phát triển sau 10 giờ luyện tập là?

• Đ/S: 1,34m cho mỗi giờ luyện tập

0,0450 1 ty e


Một số mô hình tăng trưởng mũ


Tăng trưởng mũĐặc điểm Mô hình PT Ứng dụng

Tăng trưởng khônggiới hạnTốc độ tăng trưởng tỷlệ với lượng hiện tại

��

��= ��

�, � > 0; � 0 = �

� = �. �� Tăng trưởng ngắn hạn(người, vi khuẩn)Tăng trưởng của tiền khitính lãi liên tục

Phân rã theo hàm mũTốc độ phân rã tỷ lệvới ượng hiện tại

��

��= −��

�, � > 0 � 0 = �

� = �. �� Cạn kiệt tài nguyên thiênnhiênPhân rã phóng xạHấp thụ ánh sáng (trongnước)Áp suất khí quyển (t là chiềucao)


Tăng trưởng mũĐặc điểm Mô hình PT Ứng dụng

Tăng trưởng giới hạnTốc độ tăng trưởng tỷlệ với hiệu của lượnghiện tại và một giá trịcố định

��

��= �(� − �)

�, � > 0; � 0 = �

� = �(1 − ��) Bán hàng thời trangKhấu hao thiết bịTăng trưởng công tyHọc tập

Tăng trưởng LogisticTốc độ phân rã tỷ lệvới lượng hiện tại vàhiệu của lượng hiệntại và một giá trị cốđịnh

��

��= ��(� − �)

�, � > 0

� 0 =�

1 + �

� =�

1 + ��

Tăng trưởng dân sốdài hạnBán hàng mớiSự lan truyền củatin đồnTăng trưởng công tyBệnh dịch


Sự lan truyền tin đồn• Nhà xã hội học phát hiện rằng tin đồn có xu hướng lan

truyền với tốc độ tỷ lệ với số người đã nghe tin đồn x và sốngười chưa nghe tin đồn (P-x). Trong đó P là tổng số người.Một một sinh viên trong kí túc xá có 400 sinh viên ngheđược tin đồn rằng có bệnh lao ở trường thì P=400 và:

• Gọi t là thời gian tính theo phút.

• A) Tìm công thức x(t)

• B) Sau 5 phút có bao nhiêu người đã nghe được tin đồn.

• C) Tìm giới hạn:

0, 001 400 0 1dx

x x xdt

limt

x t


Sự lan truyền tin đồn

• Sau bao nhiêu phút thì một nửa số sinh viên trong KTXnghe được tin đồn?

0,4

0, 001 400 0 1

400

1 399 t

dxx x x

dt

x te

0,4*5

0,4*20

4005 7, 272889

1 399400

20 352, 78051 399

lim 400t

xe

xe

x t

18/10/2017

6


Tích phân xác định

• Diện tích dưới đườngcong

• Diện tích phần hình đượctô màu là bao nhiêu?

• Tính xấp xỉ bằng tổngdiện tích hình chữ nhật


Diện tích dưới đường cong• Tổng bên trái - Left Sum

• Tổng bên phải – Right Sum

• Ta có: 11,5=L4<Area<R4=17,5


Nhận xét

• Chia đoạn [1;5] thành16 đoạn ta có:

• Chia thành 100 đoạn tacó:

100 10014, 214 14, 545L Area R

16 1613, 59 15, 09L Area R


Đánh giá sai số

• Sai số của xấp xỉ: chênh lệch giữa giá trị thực tếvà giá trị xấp xỉ

• Không thể tính được cụ thể nhưng có thể đánhgiá được nó.

• Ví dụ. Nếu ta xấp xỉ diện tích cần tính bằng L16

thì sai số tối đa bao nhiêu?


Định lý

• Cho hàm số f(x)>0, đơn điệu trên đoạn [a,b]

• Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau.

• Lấy Ln hoặc Rn để xấp xỉ diện tích bị chặn bởihàm f, trục 0x và 2 đường thẳng x=a; x=b

• Chặn trên của sai số là:

. .b a

f b f a f b f a xn

(Chênh lệch 2 đầu mút)* (Độ dài 1 khoảng chia)


Ví dụ

• Cho hàm số � � = 9 − 0,25�2

• Ta cần tính diện tích hình dưới f(x) từ x=2 đếnx=5.

• A) Vẽ đồ thị hàm số trong khoảng [0;6] và vẽcác hcn trái, phải trong đoạn [2;5] với n=6

• B) Tính L6; R6 và sai số khi xấp xỉ

• C) Để sai số xấp xỉ không quá 0,05 thì n tốithiểu là bao nhiêu?

18/10/2017

7


Tổng tích phân

• Cho hàm số f(x) xác định trên [a;b]

• Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau với cácđiểm chia như sau:

• Khi này:0 1 2

...n

a x x x x b

0 1 1 11

1 21

. . ... . .

. . ... . .

n

n n kkn

n n kk

L f x x f x x f x x f x x

R f x x f x x f x x f x x


Tổng Riemann

• Ta có:

• ck là điểm thuộc các khoảng [xk-1;xk]

1 21

. . ... . .n

n n kk

S f c x f c x f c x f c x


Một số tổng quan trọng

1 1 1

1 1 1 1 1 1

2

1 12

3

1

) . )

) )

1 1 2 1) )

2 6

1)

2

n n n

i ii i in n n n n n

i i i i i i i ii i i i i i

n n

i i

n

i

a C n C b Ca C a

c a b a b d a b a b

n n n n ne i f i

n ng i


Ví dụ

• Tính tổng Riemann cho hàm số � � = �3 − 6�trên đoạn [0;3] với n=6 và ck là điểm biên bênphải của mỗi đoạn.

• Lập tổng Riemann cho hàm số trên trongtrường hợp tổng quát và tính giới hạn của tổngđó khi n∞



• Định lý. Nếu f là hàm số liên tục trên đoạn [a,b]khi này tổng Riemann trên đoạn [a,b] có giớihạn hữu hạn I khi �

∞

• Giới hạn này được gọi là tích phân xác định củahàm số f(x) trên đoạn [a,b]

• Ký hiệu:

b

a

I f x dx

1

limb n

knka

f x dx f c x



1

n

ki

f c x

b ax

n

18/10/2017

8


Ý nghĩa hình học

• Là tổng tích lũy của các diện tích đại số giữa đồthị hàm f, trục Ox và 2 đường thẳng x=a, x=b.


Tích phân xác định• Tích phân xác định của hàm f từ a đến b là:

(nếu giới hạn này tồn tại).

• Khi đó ta nói hàm f khả tích trên [a,b].

1

limb n

knia

f x dx f c x


Chú ý

: daáu tích phaân : haøm laáy tích phaân

: caùc caän laáy tích phaân : bieán ñoäc laäp .

Tích phaân laø moät soá, khoâng phuï thuoäc vaøo .

Toång Riemann: *

1

,b

ab b b

a a an

ii

f x

a b dx x

f x dx x

f x dx f t dt f r dr

f x x


Ví dụ• Tính tích phân:

• Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau

• Lập tổng tích phân với ck là các điểm bên phải.

• Ta có:

b

x

a

e dxb a

x hn

2 .

1 1.

1 .

. . ...

1. e 1 ... .

1

n na h a h a n h

ki i

n hn ha h h a h

h

f c x f a i h h h e e e

eS h e e e h

e

. . 11

a h b a

h

hS e e

e


Ví dụ• Cho n tiến đến vô cùng ta có:

• Như vậy:

0

. . 11

1

a h b a

h

n a b a b a

h

hS e e

eS e e e e

b

x b a

a

e dx e e


Ví dụ 2

• Tính diện tích miền có diện tích bằng giới hạndưới đây (không tính giới hạn)

10

1

1

2 2) lim 5

) lim tan4 4

n

ni

n

ni

ia

n n

ib

n n

18/10/2017

9


Ví dụ

• Biểu diễn tích phân sau dưới dạng tổngRiemann. Không tính giới hạn

6 10

52 1

106

0 2

) ) 4ln1

) sin 5 )

xa dx b x x dx

x

c xdx a x dx


Bài b

10

1

1 1 1

1

0 0 0

0 0

1 1

4ln

9 9 9 9 91 . 1 . 4ln 1

9 9 9 9 91 . 1 . 4l

.

n 1 .

10 1n

n n n

n ii

n n n

i i

n n n

n ii i i

x x dx

R f x x f i in n n n n

L f x x f i i in n n

i

R L S S f x x f x f f

n

x

n

1

1 1

9 9 9 9 9 9 9 91 . 1 . 4ln 1 .

2 2 2

9

n

n ii

n n

ni i

M f c x

M f i i in n n n n n n n

n


Ví dụ

• Biểu diễn tổng sau dưới dạng tích phân xácđịnh trên khoảng cho trước.

2

1

1

2

1

2 5* *

1

) lim ln 1 , 2; 6

cos) lim , ; 2

) lim 2 , 1; 8

) lim 4 3 6 , 0; 2

n

i inin

i

ni in

i inin

i ini

a x x x

xb x

x

c c c x

d x x x


Tính chất cơ bản

Cho f và g là hai hàm khả tích trên [a;b] khi đó:

• Hàm (α.f+β.g) cũng khả tích trên [a;b]

• Hàm f.g cũng khả tích trên [a;b]

( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx


Tính chất

• Tính chất cộng. Cho ba đoạn [a,b]; [a;c] và [c;b].Nếu f(x) khả tích trên đoạn lớn nhất thì nó cũngkhả tích trên các đoạn còn lại và:

• Tính khả tích và giá trị của tích phân không thayđổi nếu ta thay đổi giá trị hàm số tại một sốhữu hạn điểm.

( ) ( ) ( )b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx


Tính chấtCho hàm f(x) khả tích trên đoạn [a;b]. Ta có:

Hệ quả:

) 0 ; 0

) 0 ; 0

) ;

b

a

b

a

b b

a a

i f x x a b f x dx

ii f x x a b f x dx

iii f x g x x a b f x dx g x dx

b b

a a

f x dx f x dx

18/10/2017

10


Tính chất

• Nếu

• thì:

• Ví dụ. Chứng minh rằng:

, ,m f x M x a b

b

a

m b a f x dx M b a

21

0

11xe dx

e


Định lý giá trị trung bình

• Giả sử f(x) khả tích trên [a;b] và giả sử:

• Khi này tồn tại µ sao cho

• Và:

• Hệ quả. Nếu f liên tục trên [a;b] thì tồn tại c thuộc[a;b] sao cho:

min maxm f M f m M

.b

a

f x dx b a

.b

a

f x dx f c b a


Công thức đạo hàm theo cận trên

• Cho hàm f(x) khả tích trên [a;b]. Với a<x<b đặt:

• Nếu f(x) liên tục trên [a;b] thì:

• Hàm �(�) liên tục trên [a;b]

x

a

x f t dt

x f x


Chứng minh

• Ta có:

• Mặt khác:

• Vậy:

x h x x h

a a x

x h x f t dt f t dt f t dt

. ;x h

x

f t dt f c h h c h x x h

0

.h

f c h hx h xf c h f x

h h


Công thức Newton - Leibnitz

• Định lý. Cho f liên tục trên [a;b] và F(x) là mộtnguyên hàm của f(x) thì:

• Tại sao lại thế???

b

b

aa

f x dx F b F a F x



• Ta có:

• Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x). Ta có:

• Vậy:

11

limb n

k k knka

f x dx f c x x

1

1

'k k

k k

k k

F x F xf c F c

x x

1 11 1

limn n

k k k k knk k

f c x x F x F x F b F a

18/10/2017

11



• Do �(�) là một nguyên hàm nên ta có:

• Ta có:

• Vậy:

x

a

x f t dt F x C

0a F a C C F a

b

a

b f t dt F b C F b F a

b

a

f x dx F b F a


Ví dụ

• Tính chính xác diện tích dưới đường cong y=1-x2, giữa x=0,5 và x=1 và trục Ox.

• Giải.

• Ta có:

11 3

2

0,5 0,5

3 3

13

1 0, 51 0, 5 0, 2083333 3

xS x dx x


Ví dụ

• Tính chính xác diện tích dưới đường congy=x2+1, giữa x=0 và x=4 và trục Ox.

• Giải.

• Ta có:

44 3

2

0 03 3

13

4 0 764 0

3 3 3

xS x dx x


Tích phân hàm đối xứng

• Cho f liên tục trên [-a; a].

i) Neáu f laø haøm chaün thì:

ii) Neáu f laø haøm leû thì:0

2

0

a a

a

a

a

f x dx f x dx

f x f

f x f x

f x dx

x


Một số ứng dụng của tích phân

• Tính chiều dài của một cung

• Diện tích hình phẳng

• Thể tích khối tròn xoay

• Giá trị trung bình của hàm số


Chiều dài của cung

• Ta cần tínhchiều dài cungtừ a đến b.

22 22

1 1 11 1 1

2 2

1

'

lim 1 ' . 1 '

n n n

i i i i i i ii i i

bn

ini a

PP x x y y x f c x

L f c x f x dx

2

1 'b

a

L f x dx

18/10/2017

12



• Định lý. Nếu f’(x) liên tục trên [a,b] thì chiều dàicủa dây cung y=f(x) trên đoạn [a,b] là:

• Ví dụ. Tìm độ dài cung của y2=x3 từ điểm (1;1)đến điểm (4;8)

2

1 'b

a

L f x dx

180 10 13 13

27L



• Định lý. Nếu đường cong có phương trình dạngx=g(y) và g’(y) liên tục trên [c,d] thì chiều dàicủa đường cong trên đoạn [c,d] là:

• Ví dụ. Tìm độ dài cung của y2=x từ điểm (0;0)đến điểm (1;1)

2

1 g'd

c

L y dy

ln 5 25

2 4L


Diện tích mặt tròn xoay

• Diện tích hình trụ Diện tích mặt nón

2 .A r h .A r



1 2A r r

Diện tích mặt nón cụt



2

2 1 'b

a

A f x f x dx

• Ta có:

1 11

limn

i i i ini

A y y P P

2

1 1 11 1

2

1

1 '

2 . 1 '

n n

i i i i i i ki i

n

k ki

y y P P y y f c x

f c f c x


• Xung quanh Ox nếu y=f(x) có dấu tùy ý

• Xung quanh Oy nếu x=g(y) có dấu tùy ý


2

2 1 'b

a

A f x f x dx

2

2 1 'd

c

A g y g y dy

18/10/2017

13


Ví dụ

1) Tính diện tích mặt tạo nên khi xoay đườngparabol y=x2 từ điểm (1;1) đến (2;4)

• A) Quanh trục Oy.

• B) Quanh trục Ox

2) Tính diện tích của mặt cầu bán kính R


Giá trị trung bình của hàm số

• Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b]

• Giá trị trung bình của hàm f là:

1

b

a

f x dxb a


Ví dụ

• 1) Tìm giá trị trung bình của hàm f(x)=x-3x2 trênđoạn [-1;2]

• 2) Cho hàm cầu như sau:

• Hãy tìm giá trung bình (theo $) theo lượng cầutrong đoạn [40, 60]

• Đáp số: 1) -5/2 2) 8,55$.

1 0,05100 QP D Q e


Ứng dụng tích phân trong kinh tế

• Tìm hàm khi biết hàm cận biên. Giả sử tìm hàmchi phí, hàm doanh thu.

• Xác định quỹ vốn K(t) khi biết hàm đầu tư I(t)

• Thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất



• Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí cận biênlà:

• Tìm hàm chi phí biết chi phí cố định là C0=200.

290 120 27MC Q Q Q



• Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí cận biênlà:

• Giả sử Q=1 thì chi phí là 60. Tìm hàm chi phí.

2 350 18 45 4MC Q Q Q Q

18/10/2017

14



• Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, doanh thu cậnbiên là:

• Giả sử Q=1 thì R=37. Tìm doanh thu và hàm giátheo sản lượng.

23 8 30MR Q Q Q



• Cho biết doanh thu cận biên ở mỗi mức giá p là:

• Giả sử P=10 (ngàn đồng/sản phẩm) thì R=10,4(triệu đồng). Tìm doanh thu và hàm sản lượngtheo giá.

3 24 3 24 15MR P P P P


Tích phân trong phân tích kinh tế

• Ví dụ 1. Cho hàm chi phí cận biên ở mỗi mứcsản lượng Q là MC=8e0,2Q và chi phí cố định làFC=50. Xác định hàm tổng chi phí và chi phí khảbiến

• Ví dụ 2. Cho hàm doanh thu cận biên ở mỗimức sản lượng Q là MR=50-2Q-3Q2. Xác địnhhàm tổng doanh thu.


Xác định quỹ vốn

• Giả sử lượng đầu tư I (tốc độ bổ sung quỹ vốn) và quỹvốn K là hàm theo biến thời gian t.

• Ta có: I=I(t); K=K(t)

• Giữa quỹ vốn và đầu tư có quan hệ: (lượng đầu tư tạithời điểm t biểu thị tốc độ tăng quỹ vốn tại thời điểmđó)

I(t)=K’(t)

• Vậy nếu biết hàm đầu tư I(t) thì ta xác định hàm quỹvốn như sau:

K t K t dt I t dt


Tích phân trong phân tích kinh tế

• Ví dụ 3. Cho hàm đầu tư I(t)=3t1/2 (nghìn đô lamột tháng) và quỹ vốn tại thời điểm t=1 làK(1)=10 (nghìn đô la). Hãy xác định hàm quỹvốn K(t) và lượng vốn tích lũy được từ tháng 4đến tháng 9


Thặng dư tiêu dùng

• Thặng dư tiêu dùng đo lường phúc lợi kinh tế củangười mua.

• Thặng dư sản xuất đo lường phúc lợi kinh tế của ngườibán.

• Mức sẵn lòng trả là mức giá tối đa mà người mua chấpnhận mua sản phẩm.

• Đây là mức giá trị mà người mua đánh giá một sảnphẩm hay dịch vụ,

• Thặng dư tiêu dùng là mức sẵn lòng trả của người muatrừ đi mức giá mà họ thực sự trả.

18/10/2017

15


Mức sẵn lòng trả của 4 người mua


Đo lường CS bằng đường cầu

• Đường cầu thị trường mô tả các mức sản lượng màngười tiêu dùng sẵn lòng và có thể mua tại những mứcgiá khác nhau.

John 100

Paul 80

George 70

Ringo 50


Biểu cầu và đường cầuPrice of

Album

0 Quantity of

Albums

Demand

1 2 3 4

$100 John’s willingness to pay

80 Paul’s willingness to pay

70 George’s willingness to pay

50 Ringo’s willingness to pay


Đo lường thặng dư tiêu dùng

(a) Price = $80

Price of

Album

50

70

80

0

$100

Demand

1 2 3 4 Quantity of

Albums

John ’s consumer surplus ($20)


(b) Price = $70

Price of

Album

50

70

80

0

$100

Demand

1 2 3 4

Total

consumer

surplus ($40)

Quantity of

Albums

John ’s consumer surplus ($30)

Paul ’s consumer

surplus ($10)



• Diện tíchphía dướiđườngcầu vàtrên mứcgiá chínhlà thặngdư tiêudùng.


Consumer

surplus

Quantity

(a) Thặng dư tiêu dùng ở mức giá P1

Price

0

Demand

P1

Q1

B

A

C

18/10/2017

16


Tác dụng của mức giá đến thặng dư tiêu dùng

Initial

consumer

surplus

Quantity

(b) Thặng dư tiêu dùng ở mức giá P2

Price

0

Demand

A

BC

D EF

P1

Q1

P2

Q2

Consumer surplus

to new consumers

Additional consumer

surplus to initial

consumers


Thặng dư tiêu dùng

• Consumer’s Surplus

• Nếu (� �; � �) là điểm trên đường cầup=D(x) khi này thặng dư tiêu dùng CS tại mức giá � � là:

• CS thể hiện tổng tiết kiệm của ngườitiêu dùng sẵn sàng trả mức giá lớnhơn � �cho sản phẩm nhưng vẫn muađược sản phẩm ở mức giá � � .

0

x

CS D x p dx

0

1

0

.

.

x

Q

CS D x dx x p

CS D Q dQ Q P


Thặng dư sản xuất

• Producer’s Surplus

• Thặng dư sản xuất là mức giá người bán đượctrả trừ đi chi phí cho sản phẩm.

• Đây là lợi ích của người bán khi tham gia thịtrường.


Chi phí của 4 người bán


Dùng đường cung đo lường PS

• Thặng dư tiêu dùng liên quan đến đường cầu.

• Thặng dư sản xuất liên quan đến đường cung.


Biểu cung và đường cung

18/10/2017

17


Dùng đường cung đo lường PS

• Diện tíchphía dướimức giá vàtrên đườngcung chínhlà thặng dưsản xuất.

Quantity of

Houses Painted

Price of

House

Painting

500

800

$900

0

600

1 2 3 4

(a) Price = $600

Supply

Grandma’s producer

surplus ($100)


Đo lường PS bằng đường cung

Quantity of

Houses Painted

Price of

House

Painting

500

800

$900

0

600

1 2 3 4

(b) Price = $800

Georgia’s producer

surplus ($200)

Total

producer

surplus ($500)

Grandma’s producer

surplus ($300)

Supply


Tác dụng của giá đến thặng dư sản xuất

Producersurplus

Quantity

(a) Thặng dư sản xuất ở giá P1

Price

0

Supply

B

A

C

Q1

P1


Quantity

(b) Thặng dư sản xuất ở giá P2

Price

0

P1B

C

Supply

A

Initialproducersurplus

Q1

P2

Q2

Producer surplusto new producers

Additional producersurplus to initialproducers

D EF

Tác dụng của giá đến thặng dư sản xuất


Thặng dư sản xuất

• Producer’s Surplus

• Nếu (� �; � �) là điểm trên đường cungp=D(x) khi này thặng dư sản xuất PS tại mức giá � � là:

• PS thể hiện tổng tăng thêm của nhàsản xuất sẵn sàng cung cấp sản phẩmở mức giá thấp hơn � � nhưng vẫn bánđược sản phẩm ở mức giá � � .

0

x

PS p S x dx

0

1

0

.

.

x

Q

PS x p S x dx

PS Q P S Q dQ


Thặng dư tiêu dùng và sản xuất khi cân bằng thị trường

Producersurplus

Consumersurplus

Price

0 Quantity

Equilibriumprice

Equilibriumquantity

Supply

Demand

A

C

B

D

E

18/10/2017

18


Ví dụ

• Cho các hàm cung và hàm cầu:

• Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặngdư của người tiêu dùng.

2 1 ; 43 2.S DQ P Q P


Ví dụ

• Sản lượng cân bằng �� là nghiệm của pt:

• Thặng dư của nhà sản xuất:

• Thặng dư người tiêu dùng:

1 1 3( ) ( )

18

QD Q S Q

P

3

2

0

18.3 1 2 27PS Q dQ

3

2

0

43 2 18.3CS Q dQ


Ví dụ1) Tìm thặng dư tiêu dùng tại mức giá 8$ biết hàm cầu

đảo có phương trình:

2) Tìm thặng dư sản xuất tại mức giá 20$ biết hàm cungđảo có phương trình:

3) Tìm mức giá cân bằng và tìm thặng dư tiêu dùng,thặng dư sản xuất tại mức giá tiêu dùng nếu biết:

1 20 0,05P D Q Q

1 22 0,0002P S Q Q

1 1 220 0,05 ; 2 0,0002D Q Q S Q Q


Dòng thu nhập liên tục

• Continuous Income Stream

• Cho f(t) là tốc độ của một dòng thu nhập liên tục, khiđó tổng thu nhập thu về trong khoảng thời gian từ ađến b là:

b

a

Total Income f t dt


FV của dòng thu nhập liên tục

• Theo công thức lãi kép liên tục:

• Nếu dòng thu nhập liên tục được đầu tư với mức lãisuất r, ghép lãi liên tục thì giá trị tương lai của dòngthu nhập liên tục này sau T năm là???

• Chú ý.

– Trong công thức lãi kép liên tục thì P là cố định

– Chỉ tính cho một khoản đầu tư P duy nhất

– Làm sao tính tổng thu nhập cho một dòng thu nhập liên tục.

rtA Pe


Lập tổng tích phân

• Chia khoảng thời gian Tthành n phần, mỗi phần làΔt.

• Thu nhập trong khoảng thứk (từ tk-1 đến tk) xấp xỉ với:

• Giá trị tương lai của nó:

• Tổng thu nhập sau T năm:

.kf c t .

.r T t

k kFV f c t e

.

1 0

lim . k

Tnr T c r T t

kn

k

FV f c t e f t e dt

18/10/2017

19


FV của dòng thu nhập liên tục

• Nếu f(t) là tốc độ dòng thu nhập đều liên tục.

• Giả sử thu nhập được đầu tư liên tục với mứclãi suất r, ghép lãi liên tục.

• Khi này, giá trị tương lai của cả dòng thu nhậpsau T năm đầu tư là:

0 0

T Tr T t rT rtFV f t e dt e f t e dt


Ví dụ• Tốc độ biến thiên lợi nhuận thu về từ một máy bán hàng

tự động cho bởi:

• Trong đó t (năm) là thời gian tính từ thời điểm lắp máy.• A) Tìm tổng lợi nhuận nhập của máy sau 5 năm tính từ

khi lắp đặt.• B) Giả sử lợi nhuận của máy được đầu tư liên tục với lãi

suất 12%. Tính giá trị tương lai của tổng lợi nhuận củamáy sau 5 năm.

• C) Tìm tổng lãi thu về của dòng lợi nhuận của máy sau 5năm đầu tư.

0,045000 tf t e

Documents

TÍCH PHÂN HÀM MỘT , , BIẾN & ỨNG DỤNG · 18/10/2017 2 BàigiảngToánCao cấp1 NguyễnVănTiến Vídụ • Tínhcáctíchphânsau 3 4 2 5. cos 2 . 2 1. 1 . a x x dx