INTERES SIMPLE:

FORMULAS:

F= P ( 1 + i n ) F = VALOR FUTURO

P = F / (1 + in) P = VALOR PRESENTE

I= P*i*n o TAMBIEN I = F – P I = VALOR DEL INTERES PAGADO

i= 1/n F/P -1 I = TASA DE INTERES (%)

n=1/i F/P - 1 n = NUMERO DE PERIODOS (MESES,AÑOS)

EJEMPLO 1 :

Supongamos un capital de $10.000.000 a un interés del 5% mensual prestado por 12 meses.Tendremos entonces (10.000.000*0.05)*12 = 6.000.000. El rendimiento de ese préstamo durante los 12 meses es de $6.000.000 que corresponde a un rendimiento de $500.000 mensuales.Vemos que el rendimiento mensual es constante, esto debido a que siempre se calcula sobre el capital inicial que en este caso es de $10.000.000. [10.000.000 *5% = 500.000].

EJEMPLO 2 :Una persona en una compra – venta empeña su cadena de oro por $700.000 , la compra –venta le cobra 10% de interés por cada mes, al pasar 4 meses cuanto debe pagar para tener nuevamente su cadena . P=$ 700.000i= 10 %

n= 4 meses

F = ?

F = 700.000 (1 +10% *4 meses)

F= $ 980.000

EJERCICIO :

1). Un capital de $ 500.000 se colocan en una inversión al 4% mensual durante 8 bimestres. Indicar el valor del interés (en pesos) y del monto total (valor futuro). Primero se debe arreglar los tiempo i = 4 % mensual 

n = 8 bimestres = 16 meses 

Luego si i = 4%, entonces i = 0,04Entonces I = P . i . n ----- I = 500.000 *0,04 *16 = $ 320.000  El monto total (o valor futuro)F = P + I = 500.000 + 320.000 = $ 820.000

EJERCICIO :

 2).Un capital de $ 800.000 se transformó en $850.000 en 2 bimestres. Calcular la tasa mensual. P= $800.000 F= $ 850.000 por lo tanto I = $50.000 n = 2 bimestres = 4 meses. I = P . i . n 50 = 800 . i . 4 50 = 3200 . i 50 / 3200 = i 0,015 = i EJERCICIO :

3) Un cierto capital se transformó en $ 25000 en dos trimestres, si se aplicó un 3 % mensual. ¿Cuál fue el capital inicial ? P = ? F = 25000 $ n = 2 trimestres = 6 meses 

i = 3 % i = 3 /100 = 0, 03 Con estos datos la única fórmula capaz de resolver el problema es: 

F = P . ( 1 + i . n ) 25000 = P . ( 1 + 0,03 . 6 ) 25000 = P . ( 1 + 0.18 ) 

25000 = P . 1,18 25000 / 1,18 = P P= $ 21186,44

EJERCICIO:

4.) Si se invierten $3.500 ahora , a cambio de un ingreso garantizado de $5.000 en una fecha posterior .¿ cuando se debe recibir el dinero para ganar exactamente un interés simple de 8% anual ?

n= ?

i= 0,08% anual

P= $3.500

F= $5.000

n=1/0,08% 5.000/3.500 – 1

n= 5,357 años aprox.

EJERCICIO:

5.) Si una persona ( un amigo) te propone que hoy 29 de octubre le prestes $300.000 durante 3 meses y te reconocerá una tasa de interés 3,4% mensual. Cuál es el valor del interés y el valor total que debe cancelarte.

P= 300.000

i= 3,4 % mensual

n= 3 meses

I= ?

I=300.000*0,034*3

I=30.600

F=P+i

F=330.600

INTERES COMPUESTO:

Formula para el cálculo del interés compuesto:

Para determinar el valor futuro de un préstamo a una tasa de interés determinada, en un periodo determinado, se utiliza la siguiente formula:

F=P(1 + I)n

P =F/(1+i)n

i =n

F/P - 1

n = log F – log P/ log (1+i)

De donde:

F = es el valor futuro del crédito, es decir, el valor inicial del crédito mas lo ganado por intereses.P = es el valor presente del crédito, es decir, el valor inicial de crédito.

i = Es la tasa de interés expresada en decimales (5% = 0,05 que resulta de 5/100).n = es el periodo o número de meses de plazo del crédito.

Tomando el ejemplo antes realizado tenemos:

F= es lo que debemos averiguar.P = 20.000.000I = 3% = 0,03n = 2 meses

Entonces:

F = 20.000.000 (1,03)2

F = 20.000.000 * 1,0609F= 21.218.000

Ahora, si queremos saber únicamente el valor de los intereses, a F le restamos P y tendremos los intereses ganados durante esos dos meses:

21.218.000 (F) – 20.000.000 (P) = 1.218.000 (I).

EJEMPLO:

Se dispone de 1'000.000 de pesos el cual se deposita en una entidad financiera que le pagará un interés mensual del 2.5% sobre la cantidad inicial acumulada cada mes. ¿Cuánto se tendrá al final de 1 año?

P=1'000.000

i= 2.5% mensual

n= 12 meses

F= ?

Aplicando la fórmula F = P * ( 1+i )^n

F=1'000.000 (1+0.025)^12

F = 1'344.888,82

EJERCICIO:

1) Se invierte $2.000.000 al inicio del año 2011 a una tasa anual del 10%; ¿Cuánto se habrá acumulado al final del año 2014?

P=2'000.000

i= 10% anual

n= 4 Años

F= ?

Aplicando la fórmula F = P * ( 1+i )^n

F = 2'928.20

EJERCICIO :

2) Al inicio de su carrera universitaria su padre decidió regalar un monto suficiente para que al finalizar sus estudios (5 años) disponga de 5’000.000 para iniciar estudios de postgrado. Si el dinero es depositado en una cuenta que paga un interés trimestral del 2%; ¿Cuánto será el valor del monto?

F= $5'000.000

i= 2% trimestral

n= 20 trimestres (5 años)

P=?

P = F / (1+i)^(n)

P= 3'364.856,6

EJERCICIO:

3) ¿Cuánto deberá depositarse hoy en una entidad financiera que paga un interés trimestral del 8.5%, para tener $4'000.000 dentro de 2 años?

F= $4'000.000

i= 8.5% trimestral

n= 8 trimestres (2 años)

P=?

P = F / (1+i)^(n)

P= 4'000.000 (1+0.085)^(8)

P= 2'082.677,7

EJERCICIO:

4.) En cuanto se convierte 200.000 durante 10 años al 4% de interés compuesto?

P= 200.000

n= 10

i= 4%

F = 200.000 (1+ i )^10

F=296.049

Amortización financiera(Anualidad)

Formula : (Tasa fija)

P=A( (1+i)^n-1)/i(1+i)^n)

A=P/((1+i)^n-1/i(1+i)^n)

Hallar la anualidad para un préstamo bancario de $35.000.000 con un interés anual de 25%, para pagarlo en 6 años.

Solución:

A=35.000.000/((1+0,25)^6- 1)/0,25(1+0,25)^6)

A=35.000.000/((1,25)^6-1/0,25(1,25)^6)

A=35.000.000/2,814.697,266/0,953674316 ……..(ES 2 ,81…/0,95…CON COMA NO SON MILLONES)

A= 35.000.000/2,951424

A= $11.858.682 CUOTA ANUAL $11.858.682/12= $988.223 CUOTA MENSUAL

AÑO CAPITAL INTERES CUOTA ANUALABONO A CAPITAL

SALDO

1 35.000.000 8.750.000 11.858.682,5 3.108.682,45 31.891.317,6

2 31.891.317,6 7.972.829,39 11.858.682,5 3.885.853,06 28.005.464,5

3 28.005.464,5 7.001.366,12 11.858.682,5 4.857.316,33 23.148.148,2

4 23.148.148,2 5.787.037,04 11.858.682,5 6.071.645,41 17.076.502,7

5 17.076.502,7 4.269.125,69 11.858.682,5 7.589.556,76 9.486.945,99

6 9.486.945,99 2.371.736,5 11.858.682,5 9.486.945,95 0

TOTAL INTERES

PAGO TOTAL

36.152.094,7 71.152.094,7

EJERCICIO:

Se compra un vehículo cuyo valor es de $ 12.000.000. La forma de pago es: Inicial del 30 % y el saldo restante que es $ 8.400.000, se financia a través del Bancolombia a una tasa efectiva del 18 % anual. Para la amortización y pago de intereses se destinarán 10 cuotas anuales constantes vencidas.

Es necesario calcular lo siguiente:

Valor de la anualidad A

Preparar un cuadro de amortización.

Deuda= 8.400.000 n = 10 meses i = 0,18 anual

A=8.400.000/((1+0,18)^10- 1)/0,18(1+0,18)^10)

A=8.400.000/((1,18)^10-1/0,18(1,18)^10)

A=8.400.000/ 4,23383555/0,9420904

A= 8.400.000/ 4,49408629

A= $ 1.869.122,99 CUOTA ANUAL $1.869.122,99/12 = $ 155760,249 CUOTA MENSUAL

AÑO CAPITAL INTERES CUOTA ANUALABONO A CAPITAL

SALDO

1 8.400.000 1.512.000 1.869.122,99 357.122,99 8.042.877,01

2 8.042.877,01 1.447.717,86 1.869.122,99 421.405,1282 7.621.471,88

3 7.621.471,88 1.371.864,94 1.869.122,99 497.258,0513 7.124.213,83

4 7.124.213,83 1.282.358,49 1.869.122,99 586.764,5005 6.537.449,33

5 6.537.449,33 1.176.740,88 1.869.122,99 692.382,1106 5.845.067,22

6 5.845.067,22 1.052.112,1 1.869.122,99 817.010,8905 5.028.056,33

7 5.028.056,33 905.050,139 1.869.122,99 964.072,8508 4.063.983,48

8 4.063.983,48 731.517,026 1.869.122,99 1.137.605,964 2.926.377,51

9 2.926.377,51 526.747,953 1.869.122,99 1.342.375,037 1.584.002,48

10 1.584.002,48 285.120,446 1.869.122,99 1.584.002,544 0

EJERCICIO:

Un casa está a la venta en $175.000.000 , pero un señor que está interesado en dicha casa solo el 45% de dicho valor, y decide acercarse a Davivienda para solicitar un crédito por el valor restante ,este banco tiene una tasa 3% E.Mensual y decidió cancelara en 10 cuotas mensuales.

$175.000.000*55% = $ 96.250.000

A=96.250.000/((1+0,03)^10- 1)/0,03(1+0,03)^10)

A=96.250.000/((1,03)^10-1/0,03(1,03)^10)

A=96.250.000/ 0,34391638/0,04031749

A= 96.250.000/ 8,53020284

A= $ 11.283.436,3 CUOTA MENSUAL

AÑO CAPITAL INTERES CUOTA ANUALABONO A CAPITAL

SALDO

1 96.250.000 2.887.500 11.283.436,3 8.395.936,3 87.854.063,7

2 87.854.063,7 2.635.621,91 11.283.436,3 8.647.814,389 79.206.249,3

3 79.206.249,3 2.376.187,48 11.283.436,3 8.907.248,821 70.299.000,5

4 70.299.000,5 2.108.970,01 11.283.436,3 9.174.466,285 61.124.534,2

5 61.124.534,2 1.833.736,03 11.283.436,3 9.449.700,274 51.674.833,9

6 51.674.833,9 1.550.245,02 11.283.436,3 9.733.191,282 41.941.642,6

7 41.941.642,6 1.258.249,28 11.283.436,3 10.025.187,02 31.916.455,6

8 31.916.455,6 957.493,669 11.283.436,3 10.325.942,63 21.590.513

9 21.590.513 647.715,39 11.283.436,3 10.635.720,91 10.954.792,1

10 10.954.792,1 328.643,763 11.283.436,3 10.954.792,54 0

Algunos usuarios nos han solicitado la fórmula con la que se calcula el interés compuesto, así que trataremos de exponerla de forma

resumida, sin demostraciones matemáticas que a veces confunden.

Para determinar el interés compuesto, es preciso tener claro una serie de variables a considerar en el cálculo.

Valor presente o actual: Es el valor actual del crédito o depósito. Se conoce también como capital inicial.

Interés o tasa de interés: Es la tasa de interés que se cobrará o pagará según sea el caso.

Periodo: Tiempo o plazo durante el cual se pagará el crédito (un año, seis meses, etc.)

Valor futuro: Es el valor total que se pagará al terminar el periodo o plazo del crédito. Se conoce también como capital final.

Cuando hacemos un crédito, conocemos el monto del crédito [valor presente], el plazo [periodo] y la tasa de interés, es decir que sólo

necesitamos determinar el valor futuro.

Bien, la fórmula para determinar el capital final es la siguiente:

CF = CI(1+i)^n donde CF es el capital final, CI es el capital inicial, i es la tasas de interés y n es el plazo o número de periodos.

Supongamos un crédito de $1.000.000 a una tasa de interés mensual del 2% con un plazo de 12 meses.

Tenemos: CI = 1.000.000. i = 0,02. n = 12. CF = ¿?

Entonces:

CF= 1.000.000(1+0,02)^12

CF=1.000.000(1,02)^12

Resolvemos primero la potencia de 1.02 elevado a la 12 = 1,268241795

CF = 1.000.000x1,268241795 =  1.268.241,79

Si queremos determinar cuánto interés hubo que pagar por ese crédito, restamos el capital inicial al capital final [1.268.241,79-

1.000.000], dando un resultado de 268.241,79.

Partiendo de la fórmula CF = CI(1+i)^n podemos determinar cualquiera de las cuatro variables [capital inicial, capital final, periodo y

tasa de interés], lo cual es ya un ejercicio para matemática financiera. En este caso sólo determinamos la variable capital final.

Las cuatro fórmulas

La fórmula básica para el interés compuesto es:

FV = PV (1+r)n Para calcular el valor futuro, donde:

FV = valor futuro, PV = valor presente, r = tasa de interés (en decimal), y n = número de periodos

Con esto podemos calcular FV si sabemos PV, la tasa de interés y el número de periodos

Y manipulando la fórmula podemos calcular PV, la tasa de interés o el número de periodos si sabemos los otros tres:

PV = FV / (1+r)nCalcular el valor presente si sabemos el valor futuro, la tasa de interés y el número de periodos.

r = ( FV / PV )1/n - 1Calcular la tasa de interés si sabemos el valor presente, el valor futuro y el número de periodos.

n = ln(FV / PV) / ln(1 + r)Calcular el número de periodos si sabemos el valor presente, el valor futuro y la tasa de interés.

PV = $2,000 / (1+0.10)5 = $2,000 / 1.61051 = $1,241.84

Otro ejemplo: ¿Cuánto tienes que invertir ahora para tener $10,000 en 10 años al 8% de interés?

PV = $10,000 / (1+0.08)10 = $10,000 / 2.1589 = $4,631.93Entonces $4,631.93 invertidos al 8% durante 10 años crecerían hasta llegar a $10,000.

Calcular la tasa de interés

Si tienes $1,000, y quieres tener $2,000 en 5 años, ¿qué tasa de interés te hace falta?

Ahora que tenemos la fórmula, sólo tenemos que "poner" los valores para tener el resultado:

r = ( $2,000 / $1,000 )1/5 - 1 = ( 2 )0.2 - 1 = 1.1487 - 1 = 0.1487

Y 0.1487 en porcentaje es 14.87%,

Así que te haría falta una tasa de interés del 14.87% para que $1,000 se convirtieran en $2,000 en 5 años.

Otro ejemplo: ¿Qué tasa de interés te hace falta para que tus $1,000 se conviertan en $5,000 en 20 años?

r = ( $5,000 / $1,000 )1/20 - 1 = ( 5 )0.05 - 1 = 1.0838 - 1 = 0.0838Y 0.0838 en porcentaje es 8.38%. Así que un 8.38% convertirá tus $1,000 en $5,000 en 20 años.

Calcular el número de periodos

Si quieres saber cuántos periodos necesitas para que tus $1,000 se conviertan en $2,000 al 10% de interés, también para esto puedes reordenar la fórmula básica.

Pero nos va a hacer falta usar la función logaritmo natural ln() para calcularlo.