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Tartaglia
Lavoro a più mani…
Schema per costruire il Schema per costruire il TriangoloTriangolo
AllAll’ ’ inizio e alla fine di ogni riga cinizio e alla fine di ogni riga c’ è ’ è sempre 1sempre 1
Inizia con le due righe superiori che sono 1 e 1 Inizia con le due righe superiori che sono 1 e 1 –– 1 1
Per trovare i numeri nella riga seguente, somma i due Per trovare i numeri nella riga seguente, somma i due numerinumeri
( es. 1+1=2 );( es. 1+1=2 );
1+2= 3 2+1= 31+2= 3 2+1= 3
1+3=4 3+3=6 3+1=41+3=4 3+3=6 3+1=4
1
11
1 2 1
1
3 3 1
4 6 4 1
1
A cura di Mgio Melis
Il triangolo Il triangolo presenta una presenta una
simmetria simmetria assiale.assiale.
La simmetria La simmetria nel colore nel colore èè
perfettaperfetta
E E ‘‘evidenziata la evidenziata la proprietproprietàà
commutativa dellcommutativa dell’ ’ addizioneaddizione1+3= 4 3+1= 41+3= 4 3+1= 4
1 3 3 144
Mgio Melis
Il momento dell’’esplorazione ……
Il triangolo aritmetico è ricco di modelli.
Scopriamone alcuni …
Il momento dell’’esplorazione ……
Il triangolo aritmetico è ricco di modelli.
Scopriamone alcuni …
Sequenza dei numeri naturali
Multipli di 2
Numeri dispari Numeri quadrati
Numeri di Fibonacci
Numeri tetraedrici
Numeri esagonali
Potenze di 2
Numeri primi e multipli
Il fiore: un altro modello
Numeri triangolariTartaglia e Sierpinski
Mgio Melis
Potenze di 11
Se costruiamo le potenze successive di 11, troviamo che:(11)0 = 1 1(11)1 = 11 1 1(11)2 = 121 1 2 1(11)3 = 1331 1 3 3 1(11)4 = 14641 1 4 6 4 1
Sommando i prodotti parziali della moltiplicazione (con moltiplicatore 11), si eseguono le stesse addizioni che occorrono per costruire le righe del triangolo di Tartaglia.Nel caso di (11)5, questo è impedito dal fatto che nella somma dei prodotti parziali va tenuto conto del riporto; se, però, scriviamo le potenze di 11 in forma polinomiale, si ritrovano sempre i coefficienti binomiali del triangolo di Tartaglia.
A cura di Ivana Niccolai
Potenze di 11
11)3=1331= 1*(10)3+3*(10)2+3*(10)1+1*(10)0
(11)4=14641= 1*(10)4+4*(10)3+6*(10)2+4*(10)1+1*(10)0
(11)5=161051=
= 1*(10)5+5*(10)4+10*(10)3+10*(10)2+5*(10)1+1*(10)0
(11)6=1771561=
= 1*(10)6+6*(10)5+15*(10)4+20*(10)3+15*(10)2+6*(10)1+1*(10)0
ecc.
A cura di Ivana Niccolai
Esempi
Il triangolo è usato soprattutto in algebra e
probabilità. Una interessante presentazione di Ivana Niccolai, con il contributo di
Dino Liberatore e
una splendida poesia di
Grazia Raffa & Ivana Niccolai, visionabile
cliccando quiMgio Melis
Ode al triangolo di Pascal-TARTAGLIA-Cardano 1/4
(di Grazia Raffa e Ivana Niccolai)
Nei suoi calcoli non sbaglia: come mente non tartaglia;
questo genio alquanto vale anche in … geometria frattale!
Il suo triangolo usiamo
pure in algebra e troviamo
coefficienti di potenza del binomio, in tale scienza,
A cura di Ivana Niccolai
nonché in combinatoria, che arricchisce la sua gloria;
qui son le combinazioni a formar le condizioni
di assestarsi in modo tale atto al triangolo speciale.
Ode al triangolo di Pascal-TARTAGLIA-Cardano
2/4
A cura di Ivana Niccolai
E’ sicuro che – comunque – da lì si procede al dunque
e possiam anche ammirare quanto Gauss già seppe fare:
distribuendo alla gaussiana vedo aspetto di campana,
con palline incanalando la suddetta vien, giocando;
Ode al triangolo di Pascal-TARTAGLIA-Cardano 3/4
A cura di Ivana Niccolai
Ode al triangolo di Pascal-TARTAGLIA-Cardano 4/4
Questo triangolo si trova in qualsiasi campo, o prova;
lo lodiamo con dilettoritenendolo perfetto.
A cura di Ivana Niccolai
Le prime righe del triangolo di Tartaglia in…combinatoria
0
0
00
1 1 0 1
2 2 2 0 1 2
3 3 3 3 0 1 2 3 4 4 4 4 4 0 1 2 3 4
5 5 5 5 5 5 0 1 2 3 4 5
A cura di Ivana Niccolai
Ogni combinazione è sempre uguale alla somma delle due combinazioni che si trovano immediatamente sopra...
Precisazioni 1/2
Se si usa il triangolo di Tartaglia in combinatoria, si può scrivere:
np per indicare il numero delle disposizioni di n oggetti
distinti a p a p, dove:n p == [n*(n-1)*(n-2)*…*(n-p+1)]/p! = n!/[p!*(n-p)!]
A cura di Ivana Niccolai
Precisazioni 2/2
0 0 = 1, per il principio di permanenza delle proprietà formali. Nel libro «GIOCANDO CON L’INFINITO – Matematica per tutti », di Rozsa Péter, a cura di Corrado Mangione, Prima edizione italiana: aprile 1973, si afferma: “C'è un'unica maniera di ritrarre la mano senza aver preso nulla da una sacca vuota, quindi possiamo considerare 1 il numero delle combinazioni di zero elementi a partire da zero elementi“.
A cura di Ivana Niccolai
Esempi 1/2
Quanti modi abbiamo di disporre 6 oggetti a 4 a 4?Sono tanti quanti sono i modi di disporne 5 a 3 a 3 più i modi di disporne 5 a 4 a 4Infatti:15 = 10 + 5
A cura di Ivana Niccolai
Esempi 2/2
Quanti modi abbiamo di disporre 7 oggetti a 3 a 3?Sono tanti quanti sono i modi di disporne 6 a 2 a 2 più i modi di disporne 6 a 3 a 3.Infatti:35 = 15 + 20
A cura di Ivana Niccolai
Il gioco del soldatino
A cura di Ivana Niccolai
Spiegazione del gioco del soldatino
In A si sistema un soldatino; si lancia una moneta: se viene testa, il soldatino va in basso a destra (cioè in C), se viene croce va in basso a sinistra (cioè in B) e così via.
A cura di Ivana Niccolai
Domande relative al gioco del soldatino
1)Quante strade portano in B? Quante in C? Quante in E? Ecc.
2)In quali caselle finali sarà bene scommettere che il soldatino andrà a finire?
A cura di Ivana Niccolai
Risposte
1) Osservando il numero delle strade che conducono nelle varie caselle, contrassegnate da una lettera dell’alfabeto, si arriva al triangolo di Pascal-Tartaglia-Cardano.
2) Tale triangolo fornisce, qui, una distribuzione casuale del tipo “a campana”.
A cura di Ivana Niccolai
La tavola di Galton (o quinconce)
Quinconce (deriva dal latino quincunx, quincuncis) : genericamente, nell’antica Roma, frazione di 5/12 dell’unità.
I II III IV V VI
A cura di Ivana Niccolai
Quinconce di 5 righe di bulloni
Ho considerato 32 palline di vetro e il quinconce di 5 righe di bulloni, bulloni ben distanziati tra loro, in modo uniforme e righe così suddivise:I riga : 1 bulloneII riga: 2 bulloniIII riga: 3 bulloniIV riga: 4 bulloniV riga: 5 bulloni
A cura di Ivana Niccolai
Come si costruisceMateriale occorrente:
1) Cartone di una scatola da scarpe e palline di vetro
2) Bulloni da sistemare secondo la disposizione data dal triangolo di Pascal-Tartaglia-Cardano
3) Due alette di cartone da mettere sul retro, perché possa stare inclinata
4) Coperchio della scatola (in cui sistemare, poi, la tavola di Galton)
5) Stuzzicadenti da posizionare,opportunamente, in fondo, per delimitare le vie di uscita
A cura di Ivana Niccolai
Come si gioca
Si fanno partire, una alla volta, le palline di vetro dalla posizione 1 del vertice in alto: esse si distribuiranno, nei vari scomparti delimitati dagli stuzzicadenti, in numero maggiore là dove è più probabile arrivare… Le palline stesse formeranno la “curva di Gauss, a campana”
A cura di Ivana Niccolai
La sistemazione delle 32 palline
Facendo cadere, a una a una, 32 palline ci si aspetta una distribuzione di tali palline nelle seguenti cassette (delimitate dagli stuzzicadenti):I cassetta: 1 pallinaII cassetta: 5 pallineIII cassetta: 10 pallineIV cassetta: 10 pallineV cassetta: 5 pallineVI cassetta: 1 pallinaSi nota che 1 – 5 – 10 – 10 – 5 – 1 sono i valori che si rintracciano facilmente nel triangolo di Pascal-Tartaglia-Cardano
A cura di Ivana Niccolai
Una tavola di Galton a sei righe di prismi esagonali 1/2
Nella figura, a sinistra, è schematizzata, in assonometria, la versione più diffusa della tavola di Galton
A cura di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore
Una tavola di Galton a sei righe di prismi esagonali 1/2
I bulloni, fissati su un pannello di base, sono sostituiti da prismi esagonali di legno e tutti uguali tra loro. Ponendo nell’imbuto superiore varie biglie, queste scendono nei vari scomparti sottostanti (data la pendenza della base inferiore) e, una volta scese, si distribuiscono seguendo l’andamento della curva di Gauss.
Nell’immagine, che si trova nella diapositiva seguente, vengono visualizzati tutti i possibili percorsi che le biglie possono seguire fino alla quarta riga di esagoni (ed è semplice ritrovare il noto “triangolo di Tartaglia”!)
A cura di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore
Tutti i percorsi possibili delle biglie fino alla quarta riga…
A cura di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore
Apparecchio di Bittering 1/2
Nella figura a sinistra è schematizzata, in assonometria, la versione più diffusa dell’apparecchio di Bittering
A cura di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore
Apparecchio di Bittering 2/2
Il materiale per la sua costruzione può essere compensato o legno e occorrono biglie, o pallini di piombo, che inizialmente vengono disposti nello scomparto superiore centrale. Inclinando una prima volta l’apparecchio, questi vanno a occupare i due scomparti centrali e sottostanti a quello di partenza, distribuendosi in essi uniformemente. Si prosegue così di seguito fino a quando i pallini avranno occupato tutti gli scomparti superiori: a questo punto si può constatare facilmente che la distribuzione finale delle biglie è “a campana”, simile a quella ottenuta con la tavola di Galton.
A cura di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore
Le prime tre fasi di tutti i possibili percorsi delle biglie con
le relative probabilità
A cura di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore
Il triangolo di Pascal-Tartaglia-Cardano in algebra
(x+y)0=1 coefficienti: 1 (x+y)1=1x+1y coefficienti: 1 1(x+y)2=1x2+2xy+1y2 coeff.: 1 2 1 (x+y)3=1x3+3x2y+3xy2+1y3 coeff.: 1 3 3 1(x+y)4=1x4+4x3y+6x2y2+4xy3+1y4 coeff.: 1 4 6 4 1Ecc.
A cura di Ivana Niccolai
TORNA
e “ Effetto Tartaruga”…
Considerando multipli (in giallo) e non multipli (scuri) dei numeri da 2 a 28 e osservando le prime 165 linee del nostro famigerato triangolo, ecco che cosa si ottiene:
Giorgio Pietrocola
“I numeri contengono segreti che vale la pena scoprire!” diceva Pitagora ai suoi allievi
Colorando le celle del triangolo, i bambini hanno fatto altre scoperte!!
Mgio Melis
Confrontando il modello dei multipli di
8 con quello dei multipli di 4 si nota
che sono molto differenti.
“Tutti i multipli di 8 sono anche multipli di
4.
I multipli di 4 non sono necessariamente
multipli di 8”.
Multipli di 8
M di 8
Multipli di 4
Multipli di 4
111
21
1 1
1
3 31
1
11
1
1
11
1
11
11
64 4
5 510 106 615 1520
7 7
88
9 9
10 10
21 21353528 285656 70
36 368484 126 12645 45120120 210 2102521
Multipli di 4
111
21
1 1
1
3 31
1
11
1
1
11
1
11
11
64 4
5 510 106 615 1520
7 7
88
9 9
10 10
21 213535
28 285656 70
36 368484 126 126
45 45120120 210 2102521
Mgio Melis
111
21
1 1
1
3 31
1
11
1
1
11
1
11
11
64 4
5 510 106 615 1520
7 7
88
9 9
10 10
21 21353528 285656 70
36 368484 126 126
45 45120120 210 2102521
M di 3
Un numero divisibile per 9
è divisibile anche per 3
Alcuni multipli di 3
sono anche multipli di 9
111
21
1 1
1
3 31
1
11
1
1
11
1
11
11
64 4
5 510 106 615 1520
7 7
88
9 9
10 10
21 21353528 285656 70
36 368484 126 126
45 45120120 210 210252
M di 9
1
Mgio Melis
M di 33 3
6
6 615 15
9 9
21 21
36 368484 126 126
45 45120120 210 210252
6
6 6
36 368484 126 126120120 210 210252
2
64 4
10 106 620
88
10 10
28 285656 7036 368484 126 126
120120 210 210252
M di 2
Multipli di 6
Se un numero è multiplo di 2 e di 3, allora è multiplo di 6
Mgio Melis
2
64 4
10 106 620
88
10 10
28 285656 7036 368484 126 126
120120 210 210252
M di 2
120120 210 210
M di 5
5 510 10 1515 203535
70
Multipli di 10
Se un numero è multiplo di 2 e di 5 è
anche multiplo di
10
111
21
1 1
1
3 31
1
11
1
1
11
1
11
11
64 4
5 510 106 615 1520
7 7
88
9 9
10 10
21 21353528 285656 70
36 368484 126 126
45 45120120 210 2102521
10 1045 45
Mgio Melis
E’ certo! Non abbiamo scoperto tutti i segreti che questo meraviglioso triangolo nasconde.
La ricerca continua ed è aperta ai contributi e alla curiosità cognitiva di ognuno.
Sento anche di dire che questa esperienza di lavoro collaborativo con due colleghi che
conosco solo ‘virtualmente’
- e che ho imparato a stimare e ad apprezzare -
mi ha sicuramente arricchita.
Ivana
Giorgio
Vi ringrazio!
Maria Giovanna