TAREAS DE REFUERZO PARA SEPTIEMBRE … TAREAS SEPTIEMBRE MATES 4ESO.pdf · 1. Expresa los siguientes números mediante una potencia cuya base sea un número primo. a) 1024 c) 16 807

TAREAS DE REFUERZO PARA

SEPTIEMBRE MATEMÁTICAS

ACADÉMICAS 4º ESO

COLEGIO SAN PEDRO

Unidad 1 Números reales

Unidad 1│Números reales Matemáticas 4.º ESO

Potencias y notación científica

1. Expresa los siguientes números mediante una potencia cuya base sea un número primo.

a) 1024 c) 16 807 e) 1

4 g) 0,04

b) 2187 d) 2439 f) 24

72 h) 0,1

2. Ordena de menor a mayor las siguientes potencias.

21000 512110 6

5016 (−32)180

3. Utiliza las propiedades de las potencias para hallar el resultado de las siguientes expresiones.

a)

3 1 22 4 1

:3 5 6

b)

1492 10 4 25

12 6

1 8 27 3

3 6 32

4. Expresa en notación científica estos números.

a) 80 000 000 000 c) 0,0 000 000 000 046

b) 762 000 000 000 000 d) 12520 · 429

5. Sea A = 6,2 · 1021, B = 5 · 1023, C = 1,44 · 10−12. Calcula, expresando el resultado en notación científica:

a) A + B b) A – B c) B3 d) A

C e) C

Unidad 1Números reales


Propiedades y operaciones con raíces

1. Simplifica los siguientes radicales.

a) 4 4 c) 10 400

b) 6 27 d) 12 6 98a b

2. Extrae factores de los siguientes radicales.

a) 800 c) 3 256

b) 3 162 d) 5 17 20 1132a b c

3. Opera:

a) 108 75 48

b) 3 3 354 3 128 2000

4. Ordena de menor a mayor estos radicales.

3 64 122 4 10 20 150

5. Opera.

a) 64 6 : 2

b) 96 150

3 8 2

c) 3 3 3

3

250 5 16 54

1024

6. Racionaliza las siguientes expresiones.

a) 2

3 c)

3

2 1

b) 5

6

4 d)

5

7 3

Unidad 1 Números reales


Logaritmos

1. Calcula, utilizando la definición, los siguientes logaritmos.

a) log3 81 e) 5 2ln e

b) log2 1024 f) log1

c) log2 0,25 g) 3

2log 4

d) 3log 0,1 h) 3 2

1log

2

2. Utiliza la fórmula del cambio de base y la calculadora para hallar los siguientes logaritmos.

a) log2 5 c) log5 17

b) log3 35 d) log11 0,5

3. Decide si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas.

a) Una base de un logaritmo es válida siempre que sea mayor que 0. b) Únicamente se pueden calcular logaritmos de números que no sean negativos. c) El resultado de un logaritmo nunca puede ser negativo. d) Para cualquier logaritmo se cumple que logb(A + B) = logbA · logbB.

e) El logaritmo en cualquier base de 1 siempre es 0.

4. Suponiendo que log2 A = 0,7 y que log2 B = −1,4, calcula:

a) 5

2log (2 )B c) 3

2logA

B

b) 2

4log

A

B

d) 2log16

B

A

5. Expresa mediante un único logaritmo:

a) 2log 3log log5x y

b) 1

2 log log log3

x y z

Unidad 2 Expresiones algebraicas

Unidad 2 │ Expresiones algebraicas Matemáticas 4.º ESO

Operaciones con polinomios

1. Se consideran los polinomios 3 22 1

( )2 5 3

x xA x x ,

4 35 2( )

3 5 2

x x xB x y

2 3( )

4 5 4

x xC x .

Calcula:

a) ( ) ( )A x B x

b) ( ) 2 ( )A x B x

c) ( )

3 ( ) ( )2

C xB x A x

d) ( ) ( )A x B x

2. Aplica las identidades notables para desarrollar estas expresiones.

a) 2(3 2 2)x

b)

2

4 32

2x

c) 3 3( 5 2 )( 5 2 )x y x y

3. Aplica las identidades notables para expresar estas expresiones en forma de producto.

a) 4 29 3 6 3x x

b) 1

4x x

c) 2 242

9x y

4. Halla el cociente y el resto de estas divisiones.

a) 4 3 2 2( 5 20 12) : ( 4)x x x x x

b) 7 6 5 4 3 2 2( 2 3 11 17 8 7 5 8) : ( 2 3 1)x x x x x x x x x

5. Utiliza la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de estas divisiones.

a) 4 3 2( 3 2 6 3) : ( 2)x x x x x

b) 6 5 3 2( 3 7 12 4) : ( 3)x x x x x x



Raíces de un polinomio. Factorización

1. Calcula los valores de a y b para que x = 2 sea raíz de los polinomios 3 2( )P x ax x x b y

2( ) 6Q x ax bx .

2. Halla la multiplicidad de las raíces 1 y −1 en estos polinomios.

a) 5 4 3 2( ) 2 2 1P x x x x x x

b) 5 4 3 2( ) 8 12 2 13 6Q x x x x x x

3. Factoriza estos polinomios sacando factor común y utilizando las identidades notables.

a) 8 1x

b) 5 16x x

c) 6 4 23 12 12x x x

4. Factoriza estos polinomios.

a) 3 22 5 6x x x d) 4 3 28 23 28 12x x x x

b) 3 2 24 36x x x e) 5 4 3 24 14 56 59 20x x x x x

c) 4 3 23 3 11 6x x x x f) 10 9 8 7 6 5 44 2 5 2x x x x x x x

5. Calcula el polinomio P(x) de grado tres que tiene como raíces x = −1 con multiplicidad 2 y x = 4 con multiplicidad 1 y que verifica que P(1) = 4.

6. De estos tres polinomios, ¿cuáles son primos entre sí?

3 2( ) 2 7 4A x x x x

3 2( ) 4 4B x x x x

3 2( ) 2 7 4C x x x x



Operaciones con fracciones algebraicas

1. Calcula el mínimo común múltiplo de los polinomios 5 3 2( ) 3 2P x x x x y 5 4 3( ) 3 2Q x x x x .

2. Calcula el máximo común divisor de los polinomios 3 2( ) 6 30 48 24P x x x x y 3( ) 4 12 8Q x x x .

3. Simplifica estas fracciones algebraicas.

a)

2

3 2

6

3 4

x x

x x b)

3 2

3 2

1

1

x x x

x x x c)

2

4 3

12 36

18 36

x x

x x

4. Calcula:

a)

2 3

1 3 2

3

x

x x x

b)

1 2

1 1

x

x x

c)

2 34 1 4 2

3 6 2

x x x x

x x x

d)

2

2 2

4 4 8 1

8 32

x x x

x x x

e)

2

2 2

1 3 3:

4 2 8

x x

x x x x

5. Calcula esta operación combinada con fracciones algebraicas:2

2 1 1:

1 2

x x

x x x x

Unidad 3 Ecuaciones y sistemas

Unidad 3 │ Ecuaciones y sistemas Matemáticas 4.º ESO

Ecuaciones polinómicas

1. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas.

a) 3 22 11 12 0x x x

b) 3 23 6 18 0x x x

c)3

252

8 2

xx x

d) 6 5 4 33 3 0x x x x

e) 4 3 26 13 7 29 15x x x x

2. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas.

a) 4 27 12 0x x

b) 4 25 4 0x x

c) 4 27 18 0x x

d) 4 28 9 38x x

3. Una ecuación bicuadrada de la forma 4 2 0x ax b con a > 0 y b > 0, ¿cuántas soluciones tendrá?

4. Utilizando la misma estrategia que usas para resolver ecuaciones bicuadradas, resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 6 326 27 0x x

b) 8 416 17 1 0x x

5. Resuelve los siguientes sistemas.

a)2

3

2 14

x y

x y

b)2 2

2 2

2 22

3 3

x y

x y

6. En un triángulo rectángulo de área 36 cm2 su hipotenusa mide 97 cm. ¿Cuánto miden sus catetos?



Ecuaciones racionales e irracionales

1. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales.

a) 2

1 23

x x

b) 1 1 2 1

1 5

x

x x x

c) 2 9

1 1 4

x x

x x

d) 2

2 1 1 9

2 2 4

x x x

x x x

e) 2

1 21

1 1

x x

x x

2. En unas vacaciones un grupo de amigos reservaron un apartamento en la playa que les costó 1800 €. Al final no pudieron ir 3, con lo que los restantes tuvieron que pagar 50 € más cada uno. ¿Cuántos amigos fueron al final?

3. Resuelve las siguientes ecuaciones con un radical.

a) 3 1 9x x

b) 22 2 3 1 0x x x

4. Resuelve estas ecuaciones dos radicales.

a) 2 22 2x x x

b) 5 5x x

c) 4 1 2 1x x

5. Resuelve el sistema

1

25

2

x y

y x

x y

.

6. Halla un número tal que al sumarle una unidad y hacer después la raíz cuadrada dé como resultado una unidad más que al restarle a dicho número 6 unidades y hacer a continuación la raíz cuadrada.



Ecuaciones logarítmicas y exponenciales

1. Resuelve estas ecuaciones logarítmicas.

a) ln 2x

b) 2log ( 5) 4x

c) 3log 7 0,5x

d) log log( 1) log12x x

e) log( 1) log( 1) 1 log6x x

f) log8

4log 2log3

x x

g) 2log(3 5 30) log(3 8) 1x x x

2. ¿Qué relación existe entre A y B si log

log 12

AB ?

3. Resuelve estas ecuaciones exponenciales.

a) 3 1 42 8x x

b) 4 19 0

27

x

x

c) 4 1 2 52 3x x

4. Resuelve estas ecuaciones exponenciales, utilizando el cambio de variable adecuado.

a) 22 3 2 2 0x x

b) 19 28 3 3 0x x

c) 2 1 12 7 2 1x x

5. Halla el valor de un número sabiendo que el doble de su logaritmo neperiano es una unidad inferior al logaritmo neperiano de 4.

6. Resuelve el sistema 21

log log 2

x y

x y

.

Unidad 4 Inecuaciones y sistemas

Unidad 4 │ Inecuaciones y sistemas Matemáticas 4.º ESO

Inecuaciones polinómicas

1. Plantea las siguientes situaciones mediante inecuaciones.

a) Cinco cafés cuestan menos que 7 €.

b) El perímetro de un hexágono regular es como máximo 30 cm.

c) La diagonal de un cuadrado es mayor que 7 cm.

d) El área de un círculo es mayor que 15 cm2.

2. Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado.

a) 3 5 5 1x x

b) (4 5) 2 3(1 4 )x x x

c) 1 3

14 3 2

x x x

3. Resuelve las siguientes inecuaciones polinómicas.

a) 2 10 7x x

b) 23 0x x

c) 3 23 4 0x x

d) 3 22 5 2 5 0x x x

e) 3 22 5 6 0x x x

4. La siguiente es la gráfica del polinomio 4 3 2( ) 21 20P x x x x x . Utiliza dicha gráfica para resolver

la inecuación 4 3 221 20x x x x .

5. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones.

a) 4 3 3 8

4 3

x x

x x

b) 2

2

4 5 0

10 0

x x

x x

6. En una cafetería con 3 € podría comprar dos refrescos, pero con 5 € no podría comprar cuatro refrescos. ¿Entre qué valores está el precio del refresco en la cafetería?



Inecuaciones racionales

1. Resuelve las siguientes inecuaciones racionales.

a)

10

2

x

x d)

2 40

4

x

x

b)

40

3

x

x e)

2

2

30

5

x x

x

c)

3 40

2 5

x

x f)

2

2

4 90

3 2

x

x x

2. Observa el siguiente procedimiento que se ha utilizado para resolver la inecuación

1 2

2

x x

x x.

2 21 2( 1)( 2) 2 0 2 ( , )

2

x xx x x x x x

x x

Sin embargo, si sustituimos en la inecuación original por x = 1, nos queda

1 1 2 12 2

1 1 2, lo cual es

falso. ¿Dónde está el error?

3. Resuelve las siguientes inecuaciones racionales.

a)

11

3

x

x

b)

4 3

1

x x

x x

4. La siguiente es la gráfica de la función

3

2( )

4

xf x

x. Utiliza dicha gráfica para resolver la inecuación

3

20

4

x

x.



Inecuaciones con dos incógnitas

1. Resuelve gráficamente estas inecuaciones y proporciona dos soluciones enteras de cada una.

a) 2 4x y

b) 3 2 6x y

c) 2 0x y

2. Indica qué inecuaciones representan las siguientes regiones.

a) b)

3. Pablo va a invitar por su cumpleaños a un grupo de amigos suyos a bocadillos y refrescos. Al sitio al que van, los bocadillos cuestan 3 €, y los refrescos, 1 €. Se quiere gastar como máximo 30 €.

a) ¿Qué inecuación indica las posibilidades que tiene Pablo?

b) Representa gráficamente la inecuación anterior e indica tres de las posibilidades que tendría Pablo.

4. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de inecuaciones con dos incógnitas.

a)

6

2 2

3

x y

x y

x

b)

3 4 9

4

1

x y

y

x

5. Con 80 kg de acero y 120 kg de aluminio se quieren fabricar bicicletas de montaña y carretera. Para

cada bicicleta de montaña se necesitan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y para cada una de carretera,

2 kg de cada uno de los metales. Representa gráficamente todas las posibles soluciones posibles.

Unidad 5 Semejanza y trigonometría

Unidad 5│Semejanza y trigonometría Matemáticas 4.º ESO

Semejanza

1. En un triángulo, dos de sus ángulos miden 35º 48’ 51’’ y 69º 34’ 47’’. En otro triángulo, dos de sus ángulos miden 69º 34’ 47’’ y 74º 36’ 22’’. ¿Son semejantes estos triángulos? Si lo fueran, ¿podrías hallar su razón de semejanza?

2. En la siguiente figura los segmentos DE y BC son paralelos. Calcula la longitud del segmento AE.

3. En una pizzería, una pizza mediana de 30 cm de diámetro tiene un precio de 8 €. Si una pizza familiar tiene un diámetro de 45 cm, ¿cuál debería ser el precio de la pizza familiar para que fuera proporcional respecto al de la pizza mediana?

4. En un triángulo rectángulo uno de los catetos mide 2,4 m y su proyección sobre la hipotenusa 2,215 m. Calcula:

a) La longitud de la hipotenusa.

b) La longitud del otro cateto.

c) La longitud de la altura sobre la hipotenusa.

d) El área del triángulo.

5. En un triángulo rectángulo, sus catetos miden 7 cm y 10 cm. Se pide:

a) Calcular las longitudes de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

b) Calcular la altura sobre la hipotenusa.

6. En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 5 cm y 3,4 cm. Calcular la altura sobre la hipotenusa y las longitudes de los catetos de ese triángulo.



Razones trigonométricas de un ángulo agudo

1. Con ayuda de la calculadora, calcula el seno, el coseno y la tangente de los siguientes ángulos.

a) 35º b) 48º c) 80º

2. Con ayuda de la calculadora, calcula el ángulo agudo, en grados, minutos y segundos, que verifica:

a) 1

cos3

b) 3

sen5

c) tg 1,5

3. Calcula el lado indicado en los siguientes triángulos rectángulos.

a) b)

4. Calcula el ángulo indicado en los siguientes triángulos rectángulos.

a) b)

5. Halla las razones trigonométricas en cada caso.

a) El seno de un ángulo agudo es 0,4. Calcula el coseno y la tangente de ese ángulo.

b) El coseno de un ángulo agudo es 2

3. Calcula el seno y la tangente de ese ángulo.

c) La tangente un ángulo agudo es 7

4. Calcula el seno y el coseno de ese ángulo.



Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera

1. Expresa los siguientes ángulos como la suma de un ángulo comprendido entre 0º y 360º más un número entero de vueltas completas.

a) 1000º b) 2017º c) −1492º

2. Expresa los siguientes ángulos como suma de un número entero de vueltas y un ángulo menor de 2π

radianes.

a) 111 b) 10

3 c)

75

4.

3. Con ayuda de la calculadora, calcula el seno, el coseno y la tangente de 25º. Utiliza esos datos para

calcular, sin utilizar ahora la calculadora:

a) cos 155º b) sen 205º c) tg 335º d) cos (−25º)

4. Sabiendo que α es un ángulo del segundo cuadrante que cumple que cos α = −0,35, halla el seno y la tangente de dicho ángulo.

5. Sabiendo que α es un ángulo del cuarto cuadrante que cumple que 6

cos5

halla el seno y la

cotangente de dicho ángulo.

6. Sabiendo que α es un ángulo del tercer cuadrante que cumple que tg 15 , halla la secante y la

cosecante de dicho ángulo.

7. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas, dando todas las soluciones entre 0 y 360º:

a)

1sen

2x b) tg x = −1

8. Demuestra las siguientes igualdades trigonométricas.

a)

4 4

2 2

sen cos1

sen cos b)

2sencos sec

cos

Unidad 6 Aplicaciones de la trigonometría

Unidad 6│Aplicaciones de la trigonometría Matemáticas 4.º ESO

Resolución de triángulos rectángulos

1. Resuelve los siguientes triángulos.

a) A = 90º, a = 12 cm y b =7,5 cm.

b) A = 90º, C = 50º y c = 8 cm.

2. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos.

a) b)

3. Calcula la altura y el área del siguiente triángulo.

z

4. Una escalera de 5 m se apoya sobre una pared con un ángulo de inclinación de 70º. ¿A qué altura llega la escalera?

5. El puerto del Anglirú, situado en Asturias, en uno de los más famosos del ciclismo por su extrema dureza. En su parte más dura, la denominada La Cueña Les Cabres, se alcanza un desnivel del 23,5%, eso quiere decir que cada 100 m que avanzan los ciclistas suben 23,5 m. En esa rampa, calcula el ángulo con el que se eleva la carretera sobre la horizontal.

6. Una persona de 1,68 m de altura observa la cima de un edificio con un ángulo de elevación de 70º. Si se aleja 30 m, entonces observa la cima del edificio con un ángulo de elevación de 55º. ¿Qué altura tiene el edificio?



Resolución de triángulos cualesquiera

1. Resuelve los siguientes triángulos.

a) C = 42º, a = 8 cm y b =9,5 cm.

b) A = 65º, C = 51º y b = 8 cm.

2. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos.

a) c)

b) d)

3. Resuelve el triángulo con A = 30º, a = 3 cm y b = 4 cm y comprueba que hay dos soluciones posibles.

4. Dos ciclistas salen de un cruce, siguiendo dos caminos rectos a unas velocidades de 32 y 40 km/h. Si el ángulo entre los caminos es de 108º, ¿qué distancia separa a los ciclistas en línea recta tras 15 min?

5. Dos pueblos A y B están separados en línea recta por 2,5 km. Entre ellos, vuela un avión que es observado desde el pueblo A con un ángulo de elevación de 32º y desde el pueblo B con otro ángulo de elevación de 27º. ¿A qué altura vuela el avión?



Aplicaciones de la trigonometría

1. Calcula el área y el perímetro del siguiente triángulo.

2. Dado un pentágono regular de lado 3 cm, calcula:

a) El área del pentágono.

b) La longitud de su circunferencia inscrita.

c) La longitud de su circunferencia circunscrita.

3. Calcula el volumen, en litros, de un cono en donde la base tiene un diámetro de 25 cm y cuya generatriz forma un ángulo de 68º con la horizontal.

4. Calcula el volumen de la pirámide.

5. ¿Se podrá bajar una barra de 2,5 m de longitud en un ascensor como el de la figura?

6. Calcula la distancia entre estos dos barcos.

Unidad 7 Geometría analítica

Unidad 7│Geometría analítica Matemáticas 4.º ESO

Vectores

1. Hallar las coordenadas de los vectores , , , .AB BC CD DA

2. Dado el vector de coordenadas ( 1,4)v , halla:

a) Las coordenadas de un vector unitario con la misma dirección y sentido que v .

b) Las coordenadas de un vector de módulo 3 con la misma dirección y sentido que v .

c) Las coordenadas de un vector de módulo 7 con la misma dirección y sentido opuesto a v .

d) Las coordenadas de un vector de módulo 2 perpendicular a v

3. Dado el triángulo de vértices A(–2, 0), B(1, 3) y C(3,–5), se pide:

a) Comprueba que el triángulo es rectángulo.

b) Halla su área.

4. Expresa el vector (5,8)c como combinación lineal de los vectores (3,2)a y (1, 4)b .

5. Dado el vector 3

( , )5

v a , halla el valor de a para que el vector:

a) Sea unitario.

b) Sea perpendicular al vector (2, 1)w

6. Halla el ángulo que forman los vectores (2,3) y (5, 3)v w .



Ecuaciones de la recta

1. Dado el punto A(2,-5) y el vector (1, 3)v , halla:

a) La ecuación vectorial y paramétrica de la recta que pasa por A y tiene como vector director v .

b) La ecuación continua y general de la recta que pasa por A y tiene como vector director v .

c) La ecuación punto-pendiente y explícita de la recta que pasa por A y tiene como vector director v .

2. Dado los puntos A(4,–3) y B(–3,5), escribe:

a) La ecuación vectorial y paramétrica de la recta que pasa por los puntos A y B.

b) La ecuación continua y general de la recta que pasa por los puntos A y B.

c) La ecuación punto-pendiente y explícita de la recta que pasa por los puntos A y B.

3. En la siguiente gráfica están representadas las rectas : 3x t

ry , 3 0

:3 3

xs t

y , : 3 3 3 0t x y y

: 3 3 3 0p x y . ¿Podrías identificarlas?

4. Decide si los puntos P(3,2), Q(–1,–1) y 7

5,2

R

están alineados.

5. Halla el valor que tiene que tiene que tomar k para que las ecuaciones 1 2

:2 5

x tr

y t

y

: 5 2 0t x y k representen a la misma recta.



Incidencia

1. Calcula el punto donde se cortan las siguientes rectas.

a) : 2 5 1 0r x y y : 3 0s x y

b) : 2 3 0r x y y 3

:1

x ts

y t

c) 1

:5 2

x yr

y : 2 3s y x

d) 1 2:3 1

xr ty

y : 3 4 1 0s x y

2. Dadas las rectas : 3 2 0r x y A y 4 1

:6

x ys

B

, contesta a las siguientes preguntas.

a) ¿Para qué valores de A y B las rectas r y s son coincidentes?

b) ¿Para qué valores de A y B las rectas r y s son paralelas?

c) Para A = 1 y B = 2, hallar el punto donde se cortan las rectas.

3. Dada la recta : 5 3 0r x y , halla:

a) La ecuación general de la recta paralela a r que pasa por el punto P(3, 2).

b) La ecuación general de la recta perpendicular a r que pasa por el punto Q(–1, 6).

4. Dado el cuadrilátero cuyos vértices son los puntos A(0, 0), B(1, 3), C(4, 4) y D(3, –1), averigua:

a) La ecuación de las diagonales del cuadrilátero.

b) El punto donde se cortan las dos diagonales.

c) El ángulo agudo que forman sus diagonales.

5. Dada las rectas : 2 1 0r x y y2

:x t

sy t

, calcula:

a) El punto P donde se cortan las rectas r y s.

b) La ecuación punto pendiente de la recta que pasa por los puntos P y 1

1,2

Q

Unidad 8 Funciones

Unidad 8 │ Funciones Matemáticas 4.º ESO

Dominios, puntos de corte y simetrías

1. Se considera la función que tiene la siguiente gráfica:

a) ¿Cuál es su dominio de definición? b) ¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes de coordenadas? c) ¿Presenta algún tipo de simetría la función? d) ¿Es inyectiva la función?

2. Halla el dominio de las siguientes funciones.

a) 3 3( ) 6 3f x x x x e) 2

3 1( )

1

xf x

x

b) ( )4

xf x

x

f) ( ) 5 3f x x

c) 2

2( )

3

xf x

x

g) 2( ) 3f x x x

d) 2

6( )

5 4

xf x

x x

h)

2

1( )

9

xf x

x

3. Dada la función 2

2

5( )

1

xf x

x

:

a) Halla su dominio. b) Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas. c) Decide si la función presenta algún tipo de simetría.

4. ¿Para qué valores de k la función 2

2( )

9f x

x kx

tiene como dominio todos los números reales?

5. Sea la función a trozos 2

24 0

( )2 3 0

x si xf x

x x si x

:

a) Represéntala gráficamente.

b) Halla las coordenadas de los puntos de corte con los ejes de coordenadas.

Unidad 8 Funciones


Continuidad, monotonía y asíntotas

1. Dada las siguientes funciones representadas en las siguientes gráficas.

I. II.

a) ¿Son continuas las funciones?

b) Halla sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

c) Halla dónde alcanzan las funciones sus máximos y mínimos y decide si son absolutos o relativos.

2. Dadas las siguientes gráficas de funciones:

a) ¿Son continuas las funciones?

b) Localiza las asíntotas de estas funciones.

I. II.

3. Dibuja la gráfica de una función que tenga una asíntota vertical en x = 3, una asíntota horizontal en

y = –1 y un mínimo absoluto en x = 0. ¿Puede ser esa función continua en ?

4. Dada la función ( ) 5 3f x x , se pide:

a) Representar la función gráficamente.

b) ¿Es la función continua?

c) ¿Presenta alguna asíntota la función?

d) Exprésala como una función a trozos.

Unidad 8 Funciones


Operaciones con funciones

1. Dadas las funciones 2( ) 3f x x , 3

( )2

xg x

y ( ) 1h x x , calcula:

a) (3)f g c) 4f h

b) 1

1h

d) 2f

g

2. Si 2( ) 5f x x x y ( ) 5 2g x x , halla el dominio de las funciones:

a) f g b) f

g c)

g

f

3. Expresa la función 4 3 2( ) 2 9 2 8f x x x x x como producto de tres funciones no constantes.

4. Dada la funciones ( ) 4f x x y 3 1

( )2

xg x

x

, halla el dominio de las funciones:

a) ( )f x c) ( )( )f g x

b) ( )g x d) ( )( )g f x

5. Dadas las funciones ( ) 1f x x , 2( ) 5g x x y 3

( )1

h xx

, halla la expresión de:

a) f g c) h f

b) g h d) g g

6. Halla las funciones inversas de:

a) ( ) 3 11f x x b) 5( ) 3 1g x x c) 2 3

( )4

xh x

x

Unidad 9 Funciones elementales

Unidad 9 │ Funciones elementales Matemáticas 4.º ESO

Funciones polinómicas

1. Representa las siguientes funciones lineales e indica para cada una su pendiente y su ordenada en el origen.

a) 2 5y x

b)

1 2

3

xy

c) 2y

2. Halla la expresión de la función lineal f tal que (1) 2f y ( 3) 0f .

3. Dada la función cuadrática 2( ) 8 2f x x x , se pide:

a) Determinar el sentido de las ramas.

b) Hallar los puntos de corte con los ejes de coordenadas.

c) Hallar las coordenadas del vértice.

d) Hallar la expresión del eje de simetría.

e) Representar gráficamente la parábola.

4. Hallar a y b para que la función cuadrática 2( )f x x ax b tenga su vértice en el punto de

coordenadas (2, –9).

5. Dada la función polinómica 3( ) 3f x x x , se pide:

a) Hallar las coordenadas de los puntos de corte con los ejes de coordenadas.

b) Realizar una tabla de valores que permita hacer un esbozo de la gráfica de la función.

6. A continuación se muestra la gráfica de la función 3( )f x x .

A partir de esta gráfica representa las siguientes funciones mediante traslaciones y simetrías.

a) 3 2y x

b) 3( 3) 1y x



Funciones racionales

1. Halla el domino de estas funciones racionales.

a) 1

( )x

f xx

d)

2

2

4( )

3

x xf x

x

b) 2 3

( )4

xf x

x

e)

2

1( )

5

xf x

x x

c) 2

5( )

3

xf x

x

f)

2

3( )

6 5

xf x

x x

2. Halla los puntos de corte con los ejes de estas funciones racionales.

a)

2 4( )

1

xf x

x c)

2 2 3( )

x xf x

x

b)

2 1( )

3 4

xf x

x d)

2 2( )

xf x

x

3. Halla las asíntotas de las siguientes funciones racionales.

a)

2 3( )

1

xf x

x c)

3

2( )

4

xf x

x

b)

2 1( )

2

xf x

x d)

2

( )4

xf x

x

4. ¿Qué diferencia hay entre las funciones

2 3 2( )

1

x xf x

x y ( ) 2g x x ?

5. A partir de la gráfica de 1

( )f xx

, representa gráficamente mediante traslaciones las funciones:

a)

1( )

1f x

x

b)

1( ) 2

3g x

x

6. Dada la siguiente función a trozos

2 si 1

( ) 1si 1

x x

f xx

x

:

a) Represéntala gráficamente.

b) ¿Es continua la función?

c) ¿Presenta alguna asíntota?



Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas

1. Halla los dominios de estas funciones.

a) 3( ) xf x e d) 1

( ) lnx

f xx

b) ( )x

xf x

e e) ( )

ln

xf x

x

c) 2( ) ln( 5)f x x f) ( )cos

xf x

x

2. Se consideran las funciones exponenciales

3( )

2

x

f x y

3( )

4

x

g x .

a) ¿Cuál es el dominio de estas funciones?

b) Represéntalas gráficamente utilizando una tabla de valores.

c) ¿Son las funciones crecientes o decrecientes? ¿Tienen algún máximo o mínimo?

d) ¿Se cortan sus gráficas en algún punto?

e) A partir de la gráfica de f, ¿Cómo representarías la función

33

( ) 1?2

x

h x

f) A partir de la gráfica de g, ¿Cómo representarías la función

3( )

4

x

i x ?

3. Halla a y b en la función exponencial ( ) xf x a b para que la gráfica de la función pase por los puntos

(1; 3,6) y (2; 4,32).

4. A partir de la función ( ) lnf x x , representa las funciones:

a) ( ) ln( )g x x b) ( ) ln( 3)h x x

5. Representa las siguientes funciones a trozos e indica si son o no son continuas y si presentan alguna asíntota.

a)

0( )

cos 0

sen x si xf x

x si x

b)

0( )

ln 0

xe si xf x

x si x

c)

2 1

( ) 11

x si x

f xsi x

x

Unidad 10 Introducción al concepto de límite

Unidad 10 │ Introducción al concepto de límite Matemáticas 4.º ESO

Límites de funciones en un punto

1. Dada la siguiente gráfica de una función, calcula los siguientes límites.

a) 1

lim ( )x

f x

d) 2

lim ( )x

f x

b) 1

lim ( )x

f x

e) 3

lim ( )x

f x

c) 2

lim ( )x

f x

f) 4

lim ( )x

f x

2. Calcula los siguientes límites.

a) 1

1lim

1

x

x

e

x

e)

2

1lim

3 3x

x x

x

b) 2

2

4lim

3x

x

x

f)

2

21

3 2lim

5 4x

x x

x x

c) 2

2

4lim

3x

x

x

g)

3

21

1lim

2 2x

x

x

d) 2

3

2 1lim

9x

x

x

h)

3

20lim

2x

x

x x

3. Calcula el valor de

3

21

1limx

x

x a en función de los valores que pueda tomar a.

4. Dada la función definida a trozos

2 1 si 1

( ) 2 si 1 1

ln si 1

x x

f x x x

x x

, calcula los siguientes límites.

a) 1

lim ( )x

f x

d) 1

lim ( )x

f x

b) 1

lim ( )x

f x

e) 1

2

lim ( )x

f x

c) 1

lim ( )x

f x

f) lim ( )x e

f x

Unidad 10 Introducción al concepto de límite

Unidad 10 │ Introducción al concepto de límite Matemáticas 4.º ESO

Límites de funciones en el infinito

1. Calcula, si es posible, los siguientes límites en .

a) lim 10 3x

x

g) 3lim 1x

x

b) 3lim 5 4x

x x

h) 3

lim4

x

x

c) 2limx

x x

i) lim x

xe

d) lim ln( 4)x

x

j) lim (2 )x

xx

e) 2lim ln(2 )x

x

k) 2 3lim x

xe

f) 4lim 5 1x

x

l) lim cosx

x

2. Calcula, si es posible, los siguientes límites en .

a) 4lim 2 7 3x

x x

e) 2lim 3 1x

x x

b) 2lim 5x

x x

f) 2lim 5x

x x

c) 3 2lim 5 6 3x

x x x

g) 3 2 3limx

x x

d) 5 2lim 20 100x

x x

h) lim x

xe

3. Calcula el valor los siguientes límites de funciones racionales.

a) 3

2lim

2x

x

x c)

3

2 3

6 5 1lim

3 2x

x x

x x

b) 3 1

lim4x

x

x

d)

2

4 5lim

x

x

x

4. Calcula

32 4

lim2 1

n

n

n

n.

5. Dada la función definida a trozos

si 0

( ) 4 3si 0

3 2

xe x

f x xx

x

, calcula los siguientes límites.

a) 0

lim ( )x

f x

c) lim ( )x

f x

b) 0

lim ( )x

f x

d) lim ( )x

f x

Unidad 11 Introducción al concepto de derivada

Unidad 11 │ Introducción al concepto de derivada Matemáticas 4.º ESO

Derivadas elementales

1. Calcula la TVM en el intervalo [1,3] de las funciones:

a) 2( ) 3 1f x x x

b) ( ) 3xg x x

c) 1

( )h xx

d) ( ) lni x x

2. Dada la función ( ) 5 2f x x :

a) Calcula el valor de '(0)f y de '(3)f utilizando la definición.

b) Comprueba que '( ) 2f x , para cualquier valor de x.

3. Dada la función 2( ) 4f x x x , calcula el valor de '(1)f utilizando la definición.

4. Utiliza la regla de derivación de una función potencial para calcular las derivadas de las siguientes funciones.

a) 3( ) 7f x x c) 4 3( )f x x

b) 5 2( ) 5 2 3f x x x x d) 2

3( )f x

x

5. Utiliza la regla de la cadena para derivar las siguientes funciones.

a) 4( ) xf x e c) 2( ) sen(1 )f x x

b) 2( ) ln(3 4 1)f x x x d) ( ) cos(2 7)f x x

6. Utiliza la regla del producto y el cociente para calcular la derivada de las siguientes funciones.

a) 2( ) xf x x e c) 3

2( )

xef x

x

b) 2 1

( )5

xf x

x

d) 3( ) sen(1 )f x x x

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TAREAS DE REFUERZO PARA SEPTIEMBRE … TAREAS SEPTIEMBRE MATES 4ESO.pdf · 1. Expresa los siguientes números mediante una potencia cuya base sea un número primo. a) 1024 c) 16 807