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MEC´ ANI CA A NAĹITICA

Tarea 21

Universidad del Chile, Facultad de Ciencias,Departamento de F́ısica, Santiago, Chile

Profesor: A LEJANDRO V AL DI VI A Ayudantes: C AR OL IN A C ERDA , M. D AN IE LA C ORNEJO, A LEJANDRO V AR AS Alumno: FELIPE G ON Z´ AL EZ Entrega : Miércoles 2 de Septiembre

Última modificación:

September 11, 2009

12 P«endulos Acoplados

Tomemos un número N de péndulos de masa m y largo L, que interactúan con resortes angulares atrav ́es de una fuerza de la forma kL(θn+1 − θn), con θn la desviación angular con respecto a la verticaldel péndulo n.

12a) Encuentre el Lagrangiano y las ecuaciones de movimiento para este sistema

12.a.1 2 péndulos

Para no limitarnos a resolver este problema solamente, resolveremos algo más general: un sistema de péndulosf ́ısicos con centro de masa a una distancia del pivote y con el resorte a una distancia c del pivote, como semuestra en la figura:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

θ1

θ2

d

c

l

x

h

c

Encontremos primero la distancia que se estira el resorte, inicialmente de largo d. De la figura, podemos conclúırque la distancia x está dada por

d + c cos θ2 = c cos θ1 + x

mientras que h es claramente

h = c cos θ1 − c cos θ2.Entonces el nuevo largo del resorte (al cuadrado) será

D2 = x2 + h2 = 2c2 − 2c2 cos(θ2 − θ1) + 2cd(sin θ2 − sin θ1)1En esta tarea los vectores se denotarán con negrita (i.e. E = E ), y sus módulos por letra normal (i.e. E = E ).

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2 PROBLEMA 12 12a)

El estiramiento del resorte (sin aproximaciones) está dado por (D − d), y recordando que el centro de masa decada péndulo está a una distancia del pivote (en donde actúa el peso), tendremos el Lagrangiano

L = T − U = 12

I θ̇21 + 1

2I θ̇22 + mg cos θ1 + mg cos θ2 −

1

2k(D − d)2 . (12.1)

Imponemos la ecuación de Euler-Lagrange para cada función (θ1, θ2),

d

dtL ̇θi

= L θi ,

de donde obtenemos

I ̈θ1 = −mg sin θ1 −K (D − d)

1

2D(−2c2 sin(θ2 − θ1)− 2dc cos θ1)

= −mg sin θ1 + K

2

2c2 sin(θ2 − θ1) + 2dc cos θ1

1− d

D

En este paso tomamos la aproximación θ≡

θ1−

θ2

1, es decir, las fluctuaciones angulares pueden ser grandes,pero en promedio, su diferencia es pequeña. Con esto,

I ̈θ1 = −mg sin θ1 + Kc[c(θ2 − θ1) + d]1− c

c

1 + 2cc (θ2 − θ1)

= −mg sin θ1 + Kc[c(θ2 − θ1) + d]

1− 1 + 12

2c

d (θ2 − θ1)

= −mg sin θ1 + Kc

c2

d (θ2 − θ1)2 + c(θ2 − θ1)

= −mg sin θ1 + Kc2(θ2 − θ1).

(12.2)

por lo tanto

I ̈θ1 = −mg sin θ1 −Kc2(θ1 − θ2) . (12.3)Se procede de manera completamente análoga para θ2 y se obtiene

I ̈θ2 = −mg sin θ2 + Kc2(θ1 − θ2) . (12.4)

12.a.2 2 péndulos, formulación alternativa

Podemos olvidar por un momento las ecuaciones de Euler-Lagrange y considerar que el torque hecho por el peso y el resorte sobre una barra es

τ = I θ̈ẑ

= (r̂)× (mg) + (cr̂)× (K ∆θ̂)

Tomamos la aproximación de la dirección de la fuerza de Hooke (va “más o menos” en θ̂) y si consideramos quelos ángulos son pequeños, tenemos que el estiramiento desde la posición de equilibrio es ∆ = c sin θ2 − c sin θ1.Reemplazando en la ecuación anterior, obtenemos

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12a) PROBLEMA 12 3

I ̈θ1 = −mg sin θ1 −Kc2(θ1 − θ2) . (12.5)Como para el otro péndulo sólo cambia la dirección de la fuerza del resorte, tenemos

I ̈θ2 = −mg sin θ2 + Kc2

(θ1 − θ2) , (12.6)con lo cual recuperamos las ecuaciones de movimientos dados por la minimización de la acción.

Sólo podemos resolver numéricamente estas ecuaciones acopladas, pero podemos hacer un estudio para ángulospequeños:

I ̈θ1 = −mgθ1 −Kc2(θ1 − θ2)I ̈θ2 = −mgθ2 + Kc2(θ1 − θ2)

Al sumar y restar estas ecuaciones obtenemos, respectivamente,

I (θ̈1

+ θ̈2

) =−

mg(θ1

+ θ2

)

I (θ̈1 − θ̈2) = −(mg + 2Kc2)(θ1 − θ2)

Las soluciones respectivas a estas ecuaciones diferenciales son

θ1 + θ2 = A+ cos(ω+t + ϕ+)

θ1 − θ2 = A− cos(ω−t + ϕ−)

con ω+ =

mgI y ω− =

(mg+2kc2)

I . La primera frecuencia (modo normal) representa la frecuencia del

oscilador armónico simple, ya que, en el caso del problema planteado,

I = mL2,

y si se sitúa el resorte en la masa, tendremos

ω+ =

g

L.

Esta solución representa un movimiento en fase, mientras que ω− representa un movimiento en contrafase, comomostramos en la figura:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Fig. 1: Péndulos acoplados en fase (izquierda) y en contrafase (derecha).

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4 PROBLEMA 12 12a)

De estas últimas ecuaciones podemos despejar los ángulos respectivos, obteniendo

θ1 = A+

2 cos(ω+t + ϕ+) +

A−2

cos(ω−t + ω−)

θ2 =

A+

2 cos(ω+t + ϕ+)−A−

2 cos(ω−

t + ω−

)Para ejemplificar, podemos considerar que en tiempo t = 0, θ1(0) = α y θ2(0) = 0. Con esto, y con velocidadesiniciales nulas, las trayectorias angulares serán

θ1 = α cos

(ω− + ω+)

2 t

cos

(ω− − ω+)

2 t

θ2 = α sin

(ω− + ω+)

2 t

sin

(ω− − ω+)

2 t

A continuación dibujamos la evolución de ambos ángulos.

t

Θ

Θ 2

Θ 1

Fig. 2: Solución para dos péndulos acoplados para ángulos pequeños.

Podemos notar en el gráfico que cada cierto periodo, cada péndulo queda casi quieto en torno a θ = 0, se

mantiene un tiempo considerable casi sin moverse. Este periodo está dado por la envolvente

, la cual tiene unperiodo de 4π/(ω− − ω+).

Utilizando el programa hecho en M ATHE MATI CA , adjunto a esta tarea, se puede apreciar la oscilación de ambospéndulos y cómo cada cierto tiempo un péndulo le traspasa toda su energı́a al otro mediante el resorte, quedandoel primero en reposo por un breve instante de tiempo, y c ómo esta situción se invierte luego.

En un acoplamiento débil, kc2 → 0 y las frecuencias serán

limkc2→0

(ω− + ω+)/2 = ω+

limkc2→0

(ω− − ω+)/2 = 0

es decir, recuperamos la frecuencia de un péndulo independiente, que no afecta al segundo péndulo.

12.a.3 N péndulos

Como demostramos la sección anterior, las ecuaciones movimiento se pueden obtener a partir de la ecuaci ón detorque, en la cual se toma la aproximación que el estiramiento del resorte es (c sin θ2 − c sin θ1) ≈ (cθ2 − cθ1).Tomando esta aproximación para el Lagrangiano, obtenemos

L = 1

2I θ̇21 +

1

2I θ̇22 + mg cos θ1 + mg cos θ2 −

1

2K (c sin θ2 − c sin θ1)2.

Tomando la ecuación de Euler-Lagrange obtenemos, para θ1,

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12a) PROBLEMA 12 5

d

dtL ̇θ1

= L θ1 ⇒ I ̈θ1 = −mg sin θ1 + Kc2(θ2 − θ1).

d

dtL ̇θ2

= L θ2 ⇒ I ̈θ2 = −mg sin θ2 −Kc2(θ2 − θ1).

con lo cual recuperamos el resultado de la primera sección, es decir, es suficiente tomar este estiramiento efectivodel resorte para obtener las ecuaciones de movimiento. Para el caso más general, tenemos que tomar todas lasenerǵıas cinéticas y potenciales gravitatorias involucradas (una por cada p éndulo, N en total) y todas las energı́asde restitución (una por cada resorte, N − 1 en total). Esto significa que para N péndulos,

L =

N ν =1

1

2I θ̇2ν

−

N ν =1

(−mg cos θν ) +N −1ν =1

1

2Kc2(θν +1 − θν )2

o bien,

L =N

ν =1

1

2I θ̇2ν + mg cos θν

−

N −1

ν =11

2Kc2(θν +1 − θν )2 . (12.7)

Imponiendo las ecuación de Euler-Lagrange ddtL ̇θi = L θi obtenemos

d

dt

N ν =1

I θ̇ν ∂ θ̇ν

∂ θ̇i

=

N ν =1

−mg sin θν

∂θν ∂θi

−

N −1ν =1

Kc2(θν +1 − θν )

∂θν +1

∂θi− ∂θν

∂θi

d

dt

N ν =1

I θ̇ν δ νi

=

N ν =1

(−mg sin θν δ νi)−N −1ν =1

Kc2(θν +1 − θν ) (δ ν +1,i − δ νi)

d

dt(I θ̇i) = −mg sin θi −Kc2

N −1ν =1

[(θν +1 − θν )δ ν +1,i − (θν +1 − θν )δ νi]

I ̈θi =−

mg sin θi −

Kc2 [(θi −

θi−

1)−

(θi+1 −

θi)] .

Notamos que el último paso no es válido para i = 1 ni i = N . En el primer caso, no hay un resorte a la izquierdapor lo que sólo aparece la fuerza hecha por el resorte de la derecha: Kc2(θi+1 − θi). Para el segundo caso, noexiste un resorte a la derecha, con lo cual sólo aparece el término izquierdo: K c2(θi − θi−1). Definiendo

ω0 =

mg

I , ω1 =

Kc2

I

podemos normalizar las ecuaciones de movimiento, obteniendo

θ̈i + ω20 sin θi − ω21[(θi+1 − θi)− (θi − θi−1)] = 0 . (12.8)

Es muy interesante expresar las ecuaciones diferenciales de esta manera, ya que si K = 0, entonces ω1 = 0 y

recuperamos la ecuación del péndulo armónico simple. Por otro lado, si g = 0, entonces ω0 = 0, y esto representala ecuación de N péndulos unidos por resortes, que no son afectados por la fuerza de gravedad, lo que da origen,al pasar al continuo, a la ecuación de ondas. Por lo tanto, al pasar esta ecuación al continuo, deberia contenertanto soluciones de propagación de ondas (solitones) como soluciones de oscilación (breethers).

Se recomienda al lector observar las animaciones hechas en el programa en M ATHE MATI CA adjunto a estatarea, en el cual se aprecia cómo los péndulos se traspasan energı́a unos a los otros.

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6 PROBLEMA 12 12b)

12b) Tomemos la distancia entre péndulos como d y tomemos el ĺımite d→ 0, m→ 0,k → 0, conρ = m/d, η = k/d constante y encuentre la ecuación de sine-gordon para el ángulo θ(x, t).

Si la distancia entre los péndulos es d, entonces el largo de la cadena será L = N d. Consideremos la trnasición al

sistema continuo tomando N → ∞, d → 0. Las variables contables θ1(t), θ2(t), . . . , θN (t) son reemplazadas porla variable continua θ(x, t), donde x asume el rol del ı́ndice de conteo, el cual corŕıa de 1 a N . Mientras que elsistema discreto teńıa N grados de libertad, el sistema cont́ınuo tiene un numero infinito de grados de libertad.Consideramos las definiciones ρ ≡ m/d como la densidad de masa por unidad de largo y K c2 ≡ η/d, de modoque η sea proporcional a la constante de restitución K . Cuando d tienda a cero, k debe tender a infinito de talmanera que el producto η = K dc2 (que posee unidades de Energı́a×distancia) se mantenga constante. De igualmodo, la cantidad

ω21d2 =

Kc2d2

I =

η

I ≡ v2

se debe mantener constante2. En este ĺımite,

θj+1 − θj ∂θ

∂xx=jd+d/2 d, θ

j − θj−1 ∂θ

∂xx=jd+d/2 d

y por lo tanto,

(θj+1 − θj)− (θj − θj−1) ∂ 2θ

∂x2

x=jd

d2.

Reemplazando estas aproximaciones en la ecuación diferencial, obtenemos

∂ 2θ

∂t2 (x, t) + ω20 sin θ(x, t)− ω21d2

∂ 2

∂x2θ(x, t) = 0,

o bien

∂ 2θ

∂t2 (x, t) + ω20 sin θ(x, t)− v2

∂ 2θ

∂x2(x, t) = 0 . (12.9)

Esta es la ecuación de Sine-Gordon.

Esta es la ecuación de onda, modificada por el término no lineal ω20 sin θ. Además es la ecuación de Euler-Lagrange para el lagrangiano

L̄ = 1

2

∂θ

∂t

2− v2

∂θ

∂x

2− 2ω20(1− cos θ)

.

12.b.1 Pequeñas desviaciones

Existen soluciones tipo

θ(x, t) = A( p) sin pπx

L

sin(ω pt) ,

con

ω p = ω20 +

πpL

2v2 = ω20 + p

2ω̄20.

2Notamos que v efectivamente tiene unidades de velocidad

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12b) PROBLEMA 12 7

12.b.2 Soluciones de solitón

Introduciendo las variables adimensionales

z ≡ ω0v

x, τ ≡ ω0t

la ecuación toma la forma

∂ 2θ

∂τ 2(z, τ )− ∂

2θ

∂z2(z, τ ) + sin θ(z, τ ) = 0.

Ahora tomamos θ = 4 arctan f (z, τ ). Con f = tan(θ/4) y usando las relaciones trigonométricas

sin(2x) = 2tan x

1 + tan2 x, tan(2x) =

2tan x

1− tan2 xobtenemos

sin θ = 4f (1− f 2)/(1 + f 2)2.De la ecuación diferencial con variables escaladas z, τ , se sigue la ecuación diferencial

(1 + f 2)

∂ 2f

∂τ 2 − ∂

2f

∂z2

+ f

1− f 2 + 2

∂f

∂z

2− 2

∂f

∂τ

2= 0.

Ahora tomamos y = (z + ατ )/√

1− α2, con −1 < α

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