Escuela de Ingenierıa CivilPontificia Universidad Catolica de Valparaıso

Tarea #1Mecanica de Solidos CIV-314

Entrega: miercoles 24 de septiembre de 2014(hasta las 12:00 en secretarıa de docencia).

Pregunta 1:

Un reticulado consiste en dos barras AB y ACconectadas en C, con la misma densidad ρ [kg/m3]y misma seccion transversal de area A, debe sopor-tar una carga P , como muestra la figura. El retic-ulado esta disenado de manera que |σ| (maximoesfuerzo admisible en valor absoluto) sea el mismoen todas las barras.

(a) Muestre que bajo esas condiciones, el peso del reticulado viene dado por

W =ρgPL

σ

[1

tanβ+

2

sin(2β)

].

(b) Asumiendo que P >> W , determine el angulo β para el cual el reticulado tiene peso mınimo,obteniendo ası un diseno optimo. ¿Cual serıa el peso mınimo expresado adimensionalmente comoW = Wσ/(ρgPL)?

(c) Confirme su resultado graficando W en funcion de β entre 0 y π/2.

Pregunta 2:Un elemento delgado y circular AB yace sobre el plano x− y, como muestra la figura.

(a) Si en el extremo B el elemento esta empotrado y en A se somete a una fuerza (Px, Py), determinelos esfuerzos resultantes para toda seccion cruzada en terminos de R y θ.

(b) Si el elemento circular ahora se somete a un momento flector M0 y a una torsion T0 ¿Cuales sonlos esfuerzos para una seccion cruzada cualquiera?

Pregunta 3:Suponga que los siguientes campos de esfuerzos se encontraron en un cuerpo:

σ(x, y, z) =

ax2yz 3xy2z 3xyz2

bxyz3 cz2(6y2 − 5xz2)sim. 0

donde a, b y c son constantes. Asuma que no hay fuerzas de volumen actuando en el cuerpo. ¿Paraque valores de a, b y c el sistema se encuentra en equilibrio?

Pregunta 4: Si no hay esfuerzos en un cuerpo, un aumento en la temperatura T causa una expansiontermica definida por las deformaciones

exx = eyy = ezz = αT,

exy = eyz = exz = 0,

donde α > 0 es una constante de dilatacion termica. Muestre que esto solo es posible si T esuna funcion lineal de x, y, z y que de otro modo, se inducen esfuerzos, independientemente de lascondiciones de borde.

Pregunta 5: Considere coordenadas esfericas (r, θ, φ), definidas a partir de la transformacion(x, y, z) = (r sin θ cosφ, r sin θ sinφ, r cos θ), donde (x, y, z) son coordenadas cartesianas.

(a) Si el desplazamiento es u = ur r + uθ θ + uz z, muestre que las componentes del tensor de defor-maciones ahora son:

err =∂ur∂r

2erθ =1

r

∂ur∂θ

+∂uθ∂r− uθ

r

eθθ =1

r

(∂uθ∂θ

+ ur

)2erφ =

1

r sin θ

∂ur∂φ

+∂uφ∂r− 1

ruφ

eφφ =1

r sin θ

∂uφ∂φ

+1

r(ur + uθ cot θ) 2eθφ =

1

r sin θ

∂uθ∂φ

+1

r

∂uφ∂θ− 1

ruφ cot θ

(b) Reescriba las ecuaciones de movimiento de Cauchy en coordenadas esfericas (vale decir, ρu −divσ = f), en terminos de las componentes de σ para el mismo sistema de coordenadas, esto es,{σij}i,j=r,θ,φ.

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