7. F

ILT

RE

AD

AP

TIV

E B

AZ

AT

E P

E M

ET

OD

A C

EL

OR

M

AI

MIC

I P

ĂT

RA

TE

7.1

Met

oda

recu

rsiv

ă a

celo

r m

ai m

ici p

ătra

te

(R

LS

)

7.1

Met

oda

recu

rsiv

ă a

celo

r m

ai m

ici p

ătra

te

(R

LS

)7.

1.1

Alg

orit

mul

RL

S

F

un

cţi

a c

ost

: ero

are

pătr

atic

ă po

nder

ată

()

()()

∑ ==

n i

ie

in

nJ

1

2,

β

în c

are

()()

()()

()()

()()

()

()

[]T

H �i

xi

xi

xi

in

id

iy

id

ie

1,

,1

,

;

+−

−=

−=

−=

Lx

xw

F

act

oru

l d

e p

on

der

e ()

10

,,

,1,

,≤

<=

=−

λλ

βn

ii

ni

nL

()

()∑ =

−=

n i

in

ie

nJ

1

2λ

7.1

Met

oda

recu

rsiv

ă a

celo

r m

ai m

ici p

ătra

te

(R

LS

)7.

1.1

Alg

orit

mul

RL

S

()

()()()

()

()()

()

()

1nn

iH

H

i

Jn

di

ni

di

in

λ−

∗

==

−−

∑w

xx

w

()

()()

()()

()()

()

()

()()

()

2

11

11

H

HH

H

nn

ni

ni

ii

nn

ni

ni

ii

di

nd

i

id

in

ni

n

Jn

i

i

λλ

λλ

∗−

−

==

−−

==

−−

−+

=∑

∑

∑∑

w

xw

wx

w

x

x

Not

ăm

()

()()

()

()()

∑∑ =

−

=

−

==

n i

in

n i

Hi

n

id

in

ii

n

1

*

1

xθ

xx

Φ

λλ

()

()2

1nn

id

i

En

di

λ−

==∑

7.1

Met

oda

recu

rsiv

ă a

celo

r m

ai m

ici p

ătra

te

(R

LS

)7.

1.1

Alg

orit

mul

RL

S

()

()()

()

()()

∑∑ =

−

=

−

==

n i

in

n i

Hi

n

id

in

ii

n

1

*

1

xθ

xx

Φ

λλ

()

()2

1nn

id

i

En

di

λ−

==∑

Φ(n

),

θ(n

),

Ed(

n)

repr

ezin

tă

esti

mat

ori

depl

asaţ

i ai

m

atri

cei

de

auto

core

laţi

e,

vect

orul

ui c

orel

aţie

i în

tre

sem

nalu

l do

rit

şi s

ecve

nţa

de i

ntra

re ş

i re

spec

tiv

pute

rii

sem

nalu

lui d

orit

. ()

()()

()

()

()

()

()

H

d

HH

En

nn

nn

nn

Jn

−−

+=

θθ

Φw

ww

w

Anu

lând

gra

dien

tul f

uncţ

iei c

ost s

e ob

ţine

ecu

aţia

nor

mal

ă.

7.1

Met

oda

recu

rsiv

ă a

celo

r m

ai m

ici p

ătra

te

(R

LS

)7.

1.1

Alg

orit

mul

RL

S

Ecu

aţi

a n

orm

ală

. Min

imiz

area

fun

cţie

i cos

t se

obţi

ne to

t pen

tru

P

resu

punâ

nd p

robl

ema

rezo

lvat

ă pe

ntru

n-1

, dec

i cun

oscâ

nd:

()

()(

) 11

11

−−

=−

−n

nn

θΦ

w

ne p

ropu

nem

să

găsi

m o

met

odă

pent

ru a

eva

lua

()

()()

nn

nθ

Φw

1−=

()()

()

nn

nθ

wΦ

=

7.1

Met

oda

recu

rsiv

ă a

celo

r m

ai m

ici p

ătra

te

(R

LS

)7.

1.1

Alg

orit

mul

RL

S

Rel

aţi

i d

e r

ecu

ren

ţă p

en

tru

()

nΦ

şi ()

nθ

:

()

()()

()

()

()

()

()

()

nn

nn

nn

ii

n

H

n i

HH

in

xx

ΦΦ

xx

xx

Φ

+−

=

+=∑− =

−−

1

1 1

1

λλλ

()

()()

()

()

()

()

()

()

nd

nn

n

nd

ni

di

nn i

in

*

*1 1

*1

1x

θθ

xx

θ

+−

=

+=∑− =

−−

λλλ

7.1

Met

oda

recu

rsiv

ă a

celo

r m

ai m

ici p

ătra

te

(R

LS

)7.

1.1

Alg

orit

mul

RL

S

Est

e ne

cesa

ră o

met

odă

de e

xpri

mar

e a

inve

rsei

mat

rice

i ()

nΦ

, po

rnin

d de

la

rela

ţia

de r

ecur

enţă

. L

ema

inve

rsă

rii

matr

icei

: F

iind

da

te

mat

rice

le

()

()

()

()

LL

L�

��

��

××

××

DC

BA

,,

,,

în c

are

A,

B,

D,

sunt

nes

ingu

lare

şi

sati

sfac

rel

aţia

: H

CD

CB

A+

=

inve

rsa

mat

rice

i A e

ste

dată

de

()

11

11

11

1−

−−

−−

−−

+−

=B

CC

BC

DC

BB

AH

H

Vom

apl

ica

acea

stă

lem

ă pe

ntru

: ()

()

()

1,

,1

,=

==

−=

=I

Dx

CΦ

BΦ

An

nn

λ

()

()

()()

()

()()

()

()

() 1

11

1

1

11

11

11

1

11

1

−−

+−

−

−−

=

−−

−−

−−

−

−−

−

nn

nn

nn

n

nn

HH

Φx

xΦ

xx

Φ

ΦΦ

λλ

λ

λ

7.1

Met

oda

recu

rsiv

ă a

celo

r m

ai m

ici p

ătra

te

(R

LS

)7.

1.1

Alg

orit

mul

RL

S

()

()

()()

()

()()

()

()

() 1

11

1

1

11

11

11

1

11

1

−−

+−

−

−−

=

−−

−−

−−

−

−−

−

nn

nn

nn

n

nn

HH

Φx

xΦ

xx

Φ

ΦΦ

λλ

λ

λ

()

()

()()

()

()

()

()()

nn

n

nn

nn

nn

H

H

xΦ

x

Φx

xΦ

ΦΦ

11

1

11

11

1

1

11

21

1

−+

−−

−−

=−

−−

−−

λλ

λ

()

()

()

()()

()(

)()

nn

n

nn

n

nn

Hx

Px

xP

k

ΦP

11

1

11

ˆ

;ˆ

1

−+

−=

=−

λλ

()

()

()

()(

) 11

11

−−

−=

nn

nn

nH

Px

kP

Pλ

λ

7.1

Met

oda

recu

rsiv

ă a

celo

r m

ai m

ici p

ătra

te

(R

LS

)7.

1.1

Alg

orit

mul

RL

S

P(n

) es

te o

mat

rice

păt

rată

�x�

; k

(n)

este

un

vect

or �

x1, n

umit

vec

toru

l câ

ştig

(K

alm

an

).

Ecu

aţia

de

mai

sus

est

e o

ecua

ţie

de ti

p R

icca

ti.

()

()()

()

()(

)()

()

()

()(

)()

nn

nn

n

nn

nn

nn

n

H

H

xP

xk

P

xP

xk

xP

k

−−

−=

=−

−−

=

11

11

11

11

λλ

λλ

deci

()

()()

nn

nx

Pk

=

()()

()

nn

nx

kΦ

=

7.1

Met

oda

recu

rsiv

ă a

celo

r m

ai m

ici p

ătra

te

(R

LS

)7.

1.1

Alg

orit

mul

RL

S

Ave

m a

cum

toat

e el

emen

tele

pen

tru

expr

imar

ea lu

i w(n

).

()

()()

()()

()(

)()()

()

nd

nn

nn

nn

nn

n*

11

xP

θP

θP

θΦ

w+

−=

==

−λ

()

()(

)()

()(

)(

)()()

()

()(

)()

()

()(

)()

()

nd

nn

nn

nn

n

nd

nn

nn

nn

nn

n

H

H

*1

1

*

11

11

11

11

kθ

Φx

kθ

Φ

xP

θP

xk

θP

w

+−

−−

−−

=

=+

−−

−−

−=

−−

()

()

()

()

()(

)(

)(

)()

()

nn

nn

nn

dn

nn

H*

*1

11

αk

ww

xk

ww

+−

=−

−+

−=

un

de

re

prez

intă

ero

area

est

imăr

ii o

bţin

ute

util

izân

d ve

chil

e va

lori

w(n

-1)

ale

coef

icie

nţil

or

pent

ru n

oile

dat

e, d

eci

eroare

a

de

esti

ma

re

ap

riori

, nu

mit

ă şi

ino

vaţi

e. E

a nu

co

inci

de c

u er

oare

a ap

oste

rior

i

()

()

()()

nn

nd

ne

Hx

w−

=

()

()

()

()

*1

nn

nn

α=

−+

ww

k

()

()

()()

nn

nd

nH

xw

1−

−=

α

7.1

Met

oda

recu

rsiv

ă a

celo

r m

ai m

ici p

ătra

te

(R

LS

)7.

1.1

Alg

orit

mul

RL

S

FIL

TR

Uw

(n

-1)

x(n

)w

H(n

-1)x

(n)

AL

GO

RIT

M D

EC

ON

TR

OL

d(n

)

()

nα

()

()

()

()

*1

nn

nn

α=

−+

ww

k

()

()

()()

nn

nd

nH

xw

1−

−=

α

7.1

Met

oda

recu

rsiv

ă a

celo

r m

ai m

ici p

ătra

te

(R

LS

)7.

1.1

Alg

orit

mul

RL

S

()

nd

*()

n*

αw

(n)

k(n

)

w(n

-1)()

nx

H

z-1I

()

()

()

()

*1

nn

nn

α=

−+

ww

k

()

()

()()

nn

nd

nH

xw

1−

−=

α

7.1

Met

oda

recu

rsiv

ă a

celo

r m

ai m

ici p

ătra

te

(R

LS

)7.

1.1

Alg

orit

mul

RL

S

Rel

aţi

ile d

e o

rtogo

nali

tate

()()

()()

min

1

0m

in1

0

nn

i

i nn

i

i

ie

i

yi

ei

λ λ

−∗

=

−∗

=

= =

∑ ∑

x0

Con

seci

nţă

()

()

()

()

nE

nE

nJ

nE

yd

−=

=m

inm

in

În c

azul

de

faţă

: ()

()()

()()

()()

()()()

()()

nn

nn

n

ni

in

iy

iy

nE

HH

n i

HH

in

n io

oi

ny

wθ

wΦ

w

wx

xw

==

==

=∑

∑=

−

=

−

11

*λ

λ

aşa

încâ

t rez

ultă

o p

rim

ă ex

pres

ie u

tilă

:

()

()

()()

nn

nE

nJ

Hd

wθ

−=

min

7.1

Met

oda

recu

rsiv

ă a

celo

r m

ai m

ici p

ătra

te

(R

LS

)7.

1.1

Alg

orit

mul

RL

S

()

()()

()

()

()2

1 1

22

1

1

21

nd

nE

nd

id

id

nE

d

n i

in

n i

in

d+

−=

+=

=∑

∑− =

−−

=

−λ

λλ

λ

Ţin

ând

seam

a şi

de

rela

ţiil

e de

rec

uren

ţă p

entr

u ()

nθ

şi w

(n),

rez

ultă

()

()

()

()

()

()

()

()

()

()

()

()

()(

)(

)()

()

()(

)(

)(

)()

()

() (

)()

()

()

()

()()

()

nn

nn

nd

nJ

nn

nn

dn

nn

nd

nd

nn

nE

nn

nn

nd

nn

dn

En

J

H

HH

H

Hd

HH

d

**

min

**

*2

min

1

11

11

1

11

1

αα

λ

αλ

λ

αλ

λ

kθ

kx

θw

x

wθ

kw

xθ

−+

−=

=+

−−

−−

+

+−

−−

−=

=+

−+

−−

+−

=

Ult

imul

term

en a

l sum

ei s

e m

ai s

crie

()()

()

()

()()

()

()()

()

nn

nn

nn

nn

nn

HH

H*

*1

*α

αα

xw

xΦ

θk

θ=

=−

R

even

ind

la J

min

(n)

se o

bţin

e:

()

()

()

()

()()

()

*m

inm

in1

HJ

nJ

nn

dn

nn

λα

=−

+−

wx

()

()

()

*m

inm

in1

Jn

Jn

ne

nλ

α

=

−+

7.1

Met

oda

recu

rsiv

ă a

celo

r m

ai m

ici p

ătra

te

(R

LS

)7.

1.1

Alg

orit

mul

RL

S

Iniţi

aliz

are

()

()

0w

IP

==

−n

,0

1δ

fo

r n=

1,2,

…

()

()(

) 1−

=n

nn

HP

xz

(�

2 înm

ulţi

ri ş

i � (

�-1

) ad

unăr

i)

()

()()

()

nn

nn

Hz

xz

k+

=λ

1

(2�

înm

ulţi

ri ş

i � a

dună

ri )

()

()

()()

nn

nd

nH

xw

1−

−=

α

(� în

mul

ţiri

şi �

adu

nări

)

()

()

()

()

nn

nn

*1

αk

ww

+−

=

(� în

mul

ţiri

şi �

adu

nări

)

()

()

()()

()

nn

nn

zk

PP

−−

=1

1 λ

(2�

2 înm

ulţi

ri ş

i �2 a

dună

ri)

end

7.1

Met

oda

recu

rsiv

ă a

celo

r m

ai m

ici p

ătra

te

(R

LS

)7.

1.1

Alg

orit

mul

RL

S

Com

ple

xita

tea

arit

met

ică

a al

gori

tmu

lui

In

iţia

liza

rea

algo

ritm

ului

con

stă

în i

mpu

nere

a va

lori

lor

P[0

] şi

w[0

]. U

zual

se

ia w

[0]=

0 şi

()

IP

10

−=δ

un

de δ

est

e o

valo

are

cons

tant

ă m

ică,

ast

fel

încâ

t m

atri

cea

de a

utoc

orel

aţie

să

nu

rezu

lte

sing

ular

ă.

Com

plex

itat

ea a

ritm

etic

ă es

te d

e �

�4

32+

înm

ulţi

ri ş

i �

�2

22+

adun

ări,

deci

nu

măr

ul d

e op

eraţ

ii e

ste

de f

orm

a O

(�2 ),

(cr

eşte

cu

�2 ).