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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
PROPOSTA DE UM NOVO MODELO PARA ANÁLISE DOS COMPORTAMENTOS TRANSITÓRIO E ESTACIONÁRIO DE SISTEMAS DE ATERRAMENTO, USANDO-SE
O MÉTODO FDTD
EDUARDO TANNUS TUMA
DM ____/_____
UFPA / CT / PPGEE Campus Universitário do Guamá
Belém-Pará-Brasil 2005
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CENTRO TECNOLÓGICO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
EDUARDO TANNUS TUMA
PROPOSTA DE UM NOVO MODELO PARA ANÁLISE DOS COMPORTAMENTOS TRANSITÓRIO E ESTACIONÁRIO DE SISTEMAS DE ATERRAMENTO, USANDO-SE
O MÉTODO FDTD
DM ____/______
UFPA / CT / PPGEE Campus Universitário do Guamá
Belém-Pará-Brasil 2005
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
EDUARDO TANNUS TUMA
PROPOSTA DE UM NOVO MODELO PARA ANÁLISE DOS COMPORTAMENTOS TRANSITÓRIO E ESTACIONÁRIO DE SISTEMAS DE ATERRAMENTO, USANDO-SE
O MÉTODO FDTD
Dissertação submetida à Banca Examinadora do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da UFPA para a obtenção do Grau de Doutor em Engenharia Elétrica
UFPA / CT / PPGEE Campus Universitário do Guamá
Belém-Pará-Brasil 2005
iv
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
PROPOSTA DE UM NOVO MODELO PARA ANÁLISE DOS COMPORTAMENTOS TRANSITÓRIO E ESTACIONÁRIO DE SISTEMAS DE ATERRAMENTO, USANDO-SE
O MÉTODO FDTD
AUTOR: EDUARDO TANNUS TUMA DISSERTAÇÃO DE DOUTORADO SUBMETIDA À AVALIAÇÃO DA BANCA EXAMINADORA APROVADA PELO COLEGIADO DO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ E JULGADA ADEQUADA PARA OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM ENGENHARIA ELÉTRICA NA ÁREA DE SISTEMAS DE POTÊNCIA APROVADA EM ____/_____/_____ BANCA EXAMINADORA:
Prof. Dr. Carlos Leonidas da S. S. Sobrinho (ORIENTADOR – UFPA)
Prof. Dr. Silvério Visacro Filho (MEMBRO – UFMG)
Prof. Dr. Antonio Manoel Ferreira Frasson (MEMBRO – UFES )
Prof. Dr. Ronaldo Oliveira dos Santos (MEMBRO – IESAN )
Prof. Dr. Victor Alexandrovich Dimitriev (MEMBRO – UFPA )
Prof. Dr. Ubiratan Holanda Bezerra (MEMBRO – UFPA ) VISTO:_____________________________________________________________________
Prof. Dr. Evaldo Gonçalves Pelaes (COORDENADOR DO PPGEE/CT/UFPA)
UFPA / CT / PPGEE
v
Aos meus pais José e Altair Tuma, minha esposa Kiânia e minhas filhas Karla, Kelly e Kamille pelo apoio e incentivo ao longo de minha vida
vi
AGRADECIMENTOS
vii
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS ........................................................................................ x
LISTA DE TABELAS ....................................................................................... xiv
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS ....................................................... xv
LISTA DE SÍMBOLOS ..................................................................................... xvi
RESUMO ............................................................................................................ xviii
ABSTRACT ........................................................................................................ xix
1.0 INTRODUÇÃO .................................................................................................. 001
2.0 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ......................................................................... 008
2.1 ONDAS PADRONIZADAS PARA SURTOS ATMOSFÉRICOS 008
2.1.1 Representação de um pulso atmosférico pela curva dupla exponencial ....... 012
2.1.2 Representação da onda de um pulso atmosférico pela função de Heidler ... 015
2.2 CONCEITOS BÁSICOS SOBRE SISTEMAS DE ATERRAMENTO EM BAIXAS FREQUÊNCIAS .................................................................................. 015
2.2.1 Resistividade do solo .......................................................................................... 017
2.2.2 Resistência de aterramento ............................................................................... 024
2.2.3 Métodos de medição de resistência de aterramento ....................................... 030
2.2.3.1 Método da queda de potêncial ............................................................................. 030
2.2.3.2 Método da regra dos 62% ................................................................................... 033
2.2.4 Método de medição de resistividade do solo .................................................... 033
2.2.4.1 Medição por amostragem ..................................................................................... 033
2.2.4.2 Medição pelo método de Wenner ........................................................................ 034
2.2.5 Conceitos básicos de segurança em aterramento ............................................ 035
2.2.5.1 Efeito da corrente no organismo humano ............................................................ 036
2.2.5.2 Potencial de passo e de toque .............................................................................. 037
2.2.5.3 Resistência do corpo humano .............................................................................. 039
viii
2.3 COMPORTAMENTO DO ATERRAMENTO FRENTE ÀS DESCARGAS ATMOSFÉRICAS ............................................................................................... 040
2.3.1 Introdução .......................................................................................................... 040
2.3.2 Variação dos parâmetros do solo em função da freqüência .......................... 044
2.3.3 Distribuição do campo e efeitos de propagação no solo ................................. 045
2.3.4 Efeitos da ionização do solo ............................................................................... 047
3.0 DESENVOLVIMENTO TEÓRICO E MODELAGEM DO PROBLEMA . 054
3.1 MÉTODO FDTD ................................................................................................. 054
3.1.1 Célula de Yee ..................................................................................................... 054
3.1.2 Dimensões da célula, estabilidade e precisão ................................................... 056
3.1.3 As técnicas de representação de fios finos ....................................................... 057
3.1.3.1 Fio fino pela correção do campo magnético ........................................................ 057
3.1.3.2 Fio fino pela correção dos parâmetros elétricos ε e σ e magnético µ .................. 059
3.1.4 Parede absorvente tipo UPML para meio condutivo ..................................... 065
3.2 PROCESSAMENTO PARALELO ..................................................................... 070
3.3 MODELO ADOTADO PARA SIMULAÇÃO DE HASTES NÃO CONVENCIONAIS ............................................................................................. 072
3.4 MODELO ADOTADO PARA SIMULAÇÃO DE HASTES CONVENCIONAIS ............................................................................................. 080
3.4.1 Técnica utilizada para injeção de corrente ...................................................... 081
3.4.2 Determinação do potencial no ponto A ............................................................ 083
3.5 ESTRUTURA DE PROGRAMAÇÃO ............................................................... 085
4.0 RESULTADOS .................................................................................................. 089
4.1 RESULTADOS OBTIDOS PARA TGR, TENSÃO E CORRENTE EM ELETRODOS DE ATERRAMENTO NÃO CONVENCIONAIS ..................... 089
4.1.1 Aterramento com eletrodo único ...................................................................... 089
4.1.2 Análise da influência do comprimento do eletrodo de aterramento sobre o potencial, corrente e TGR. ................................................................................ 092
4.1.3 Análise da influência de eletrodos de terra paralelos sobre o potencial, corrente e TGR ................................................................................................... 095
ix
4.1.4 Estudo do comportamento transitório para o potencial, corrente e TGR para uma malha quadrada com 16 eletrodos................................................... 097
4.1.5 Estudo do comportamento transitório para o potencial, corrente e TGR para uma malha quadrada com 25 eletrodos................................................... 098
4.1.6 Estudo do comportamento transitório para o potencial, corrente e TGR para um eletrodo em solo estratificado............................................................. 100
4.1.7 Influência da desconexão de uma haste em um sistema de aterramento que contempla duas hastes ................................................................................ 101
4.1.8 Modelagem do potencial na análise do comportamento transitório dos sistemas de aterramento usando uma haste ................................................... 103
4.1.8.1 Integração do potencial através de caminhos no espaço livre ............................. 104
4.1.8.2 Integração do potencial através de caminhos no meio condutivo (terra) ............ 108
4.2 RESULTADOS OBTIDOS PARA TGR, TENSÃO E CORRENTE EM ELETRODOS DE ATERRAMENTO CONVENCIONAIS (COMERCIAIS) .. 110
4.2.1 Simulação de eletrodo com diâmetros diferentes ............................................ 110
4.2.2 Verificação da influência da permissividade sobre TGR, tensão e corrente 112
4.2.3 Verificação da influência da condutividade sobre TGR, tensão e corrente.. 113
4.2.4 Simulação de eletrodo em solo estratificado em duas camadas ..................... 114
4.2.5 Simulação de eletrodo em presença de falhas geológicas ............................... 116
4.2.6 Simulação de uma malha quadrada 5 x 5 nós sem eletrodos ......................... 118
5.0 CONCLUSÕES ................................................................................................. 124
x
LISTA DE FIGURAS
Fig. 2.1 Descargas entre nuvens ............................................................................... 009
Fig. 2.2 Descarga entre nuvem-Terra ....................................................................... 010
Fig. 2.3 Fases de uma descarga atmosférica (a) leader descendente, (b) leader ascendente (c) momento da conexão entre as descargas e (d) Corrente de retorno .........................................................................................................
011
Fig. 2.4 Representação do pulso atmosférico em uma linha de transmissão ........... 012
Fig. 2.5 Onda dupla exponencial como onda de um pulso atmosférico ................... 013
Fig. 2.6 Circuito de geração da onda exponencial ................................................... 013
Fig. 2.7 Forma de onda padronizada para surto atmosférico mostrando a taxa de crescimento ................................................................................................. 014
Fig. 2.8 Oscilogramas obtidos mostrando (a) uma onda completa e (b) uma onda cortada de 1x10 µs ...................................................................................... 014
Fig. 2.9 Circuito equivalente de um aterramento em condições de (a) alta freqüência e (b) baixa freqüência ................................................................ 016
Fig. 2.10 Cubo de 1 m de aresta com duas faces de metal ......................................... 017
Fig. 2.11 Efeito da umidade na resistividade do solo ................................................. 019
Fig. 2.12 Efeito do tipo de concentração de sais e ácido na resistividade do solo ..... 020
Fig. 2.13 Comportamento da resistividade da água em função da temperatura ......... 021
Fig. 2.14 Representação do solo estratificado, a última camada é considerada infinita ......................................................................................................... 023
Fig. 2.15 Fluxo de corrente resultante na terra ........................................................... 024
Fig. 2.16 Fonte de corrente I no interior da terra........................................................ 026
Fig. 2.17 Potencial em um ponto P localizado no interior da terra. Utilização do método das imagens ....................................................................................
026
Fig. 2.18 Haste de aterramento posicionada na origem ............................................. 027
Fig. 2.19 Esquema de medição da resistência de terra ............................................... 032
Fig. 2.20 Perfil da resistência no método da queda de potencial ............................... 033
Fig. 2.21 Medição da resistividade em laboratório utilizando cuba ........................... 034
Fig. 2.22 Arranjo para medição de resistividade utilizando o método de Wenner .... 035
Fig. 2.23 Tensão de passo (a) e tensão de toque (b) em estrutura aterrada .............. 039
Fig. 2.24 Ligação típica de uma haste de aterramento................................................ 041
Fig. 2.25 Curva tensão-corrente para uma amostra de solo ....................................... 045
Fig. 2.26 Atenuação da onda de propagação em condutor enterrado ........................ 046
Fig. 2.27 Comportamento divergente do campo ........................................................ 047
xi
Fig. 2.28 a) Eletrodo hemisférico b) Haste de aterramento: Método de Liew .......... 049
Fig. 2.29 Arranjo para teste e medição de corrente .................................................... 049
Fig. 2.30 Pulso de tensão e corrente em solo ionizado a) Solo seco b) solo úmido .. 050
Fig. 3.1 Célula de Yee .............................................................................................. 055
Fig. 3.2 Alocação dos campos e geometria para a técnica de fio fino no plano Z-X .............................................................................................................. 058
Fig. 3.3 Seção transversal de um fio fino envolvido por uma lâmina condutora cilíndrica coaxial com o fio fino ................................................................. 060
Fig. 3.4 Seção transversal de um fio fino envolvido por uma lâmina condutora retangular com seção transversal de 2.5 x 2.5 m2. E1, E2 e E3 são os campos elétricos radiais em 0.5, 1.5 e 2.5∆s a partir do eixo do fio fino. 060
Fig. 3.5 Variação no tempo dos campos E1, E2 e E3 com relação a E2 usando o método FDTD, no caso em que σ = 5 mS/m e ε = 12 ................................ 061
Fig. 3.6 Campo elétrico radial em função da distância radial x do centro de um fio fino, calculado usando (3.18) e o método FDTD (o campo elétrico é normalizado de forma que E2 seja igual a unidade) ................................... 062
Fig. 3.7 Seção transversal de um fio fino tendo um raio de 0.23∆s e suas quatro células adjacentes. (a) Quatro elementos de campo elétrico radial próximo ao fio fino. (b) Quatro elementos de campo magnético radial envolvendo e próximo ao fio fino ............................................................... 063
Fig. 3.8 Atualização das componentes de campo localizadas na interface entre duas regiões (plano Y-Z) ........................................................................... 072
Fig. 3.9 Vista superior, no plano X-Y, do domínio computacional de análise ........ 073
Fig. 3.10 Vista lateral, no plano X-Z, do domínio computacional de análise e sistema de aterramento ................................................................................ 075
Fig. 3.11 Vista lateral, no plano Y-Z, do domínio computacional de análise e sistema de aterramento ................................................................................ 076
Fig. 3.12 Sistema de aterramento usado como protótipo inicial do trabalho ............. 077
Fig. 3.13 Forma de onda do pulso de tensão aplicado ............................................... 077
Fig. 3.14 Integração dos quatro campos magnéticos ao longo dos percursos ∆x e ∆y ................................................................................................................ 079
Fig. 3.15 Layout do esquema proposto ...................................................................... 081
Fig. 3.16 Circuito equivalente da excitação de corrente............................................. 082
Fig. 3.17 Medição de corrente realizada através da média entre I1(t) e I2(t) .............. 082
Fig. 3.18 Vista nos planos X-Y do domínio computacional de análise 084
Fig. 3.19 Vista nos planos X-Z do domínio computacional de análise 085
Fig. 3.20 Lógica de implementação FDTD baseada em algorítimo paralelizado ...... 086
xii
Fig. 4.1 Sistema de aterramento visto no plano Z-Y com um eletrodo de aterramento e circuito de corrente .............................................................. 090
Fig. 4.2 Trecho do circuito de corrente constituído por eletrodo principal, fonte de tensão e resistência ...................................................................................... 090
Fig. 4.3 Sistema de aterramento visto no plano Z-X mostrando o circuito de potencial de referência ................................................................................ 091
Fig. 4.4 Resultados simulados e experimentais para um eletrodo ........................... 092
Fig. 4.5 Eletrodo vertical longo ................................................................................ 093
Fig. 4.6 Respostas de tensão, corrente e TGR transitórios para diversos comprimentos de haste ................................................................................ 093
Fig. 4.7 Comportamento transitório da TGR em haste de comprimento variável ... 094
Fig. 4.8 Comportamento dos valores estabilizados da TGR em função do comprimento da haste ................................................................................. 094
Fig. 4.9 Sistema de aterramento com duas hastes .................................................... 095
Fig. 4.10 Comparação dos valores de TGR, corrente e tensão para sistemas com uma e duas hastes, respectivamente ............................................................ 096
Fig. 4.11 Sistema de aterramento com quatro eletrodos em linha ............................. 096
Fig. 4.12 Curvas TGR, tensão e corrente para sistema de aterramento com 4 hastes em linha ....................................................................................................... 097
Fig. 4.13 Sistema de aterramento com 16 hastes em formato quadrado cheio (plano XY) ............................................................................................................. 097
Fig. 4.14 Curvas TGR, tensão e corrente para sistema de aterramento com 16 hastes ........................................................................................................... 098
Fig. 4.15 Sistema de aterramento com 25 hastes em formato quadrado cheio. Vista no plano X-Z ............................................................................................... 098
Fig. 4.16 Sistema de aterramento com 25 hastes em formato quadrado cheio. Vista no plano X-Y ............................................................................................... 099
Fig. 4.17 Curvas TGR, tensão e corrente para sistema de aterramento com 25 hastes ........................................................................................................... 099
Fig. 4.18 Haste de aterramento em solo estratificado de duas camadas .................... 100
Fig. 4.19 Curvas TGR, tensão e corrente para sistema de aterramento com uma haste em solo estratificado em duas camadas (ρ1>ρ2 e ρ1<ρ2) ................. 100
Fig. 4.20 Malha de aterramento com duas hastes: a) conexão normal b) com uma haste desconectada ...................................................................................... 101
Fig. 4.21 Curvas para TGR, corrente e tensão, resultantes de simulação em sistema de aterramento com duas hastes, duas hastes porém uma desconectada e uma haste .................................................................................................... 102
Fig. 4.22 Mediação das permissividades em células da interface espaço livre e terra 104
Fig. 4.23 Medição do potencial através de integração no espaço livre ...................... 104
xiii
Fig. 4.24 Resultados para TGR, tensão e corrente considerando a média das permissividades ........................................................................................... 105
Fig. 4.25 Diagrama mostrando TGR, tensão e corrente sem média de permissividade ............................................................................................ 105
Fig. 4.26 Diagrama mostrando TGR, tensão e corrente com média de permissividade ............................................................................................ 106
Fig. 4.27 Medição do potencial através de integração no meio condutivo terra ........ 108
Fig. 4.28 Resultado da TGR, tensão e corrente aplicando a integração do campo em vários percursos na terra e espaço livre ................................................ 108
Fig. 4.29 Curva representativa da TGR, tensão e corrente no intervalo de 0 a 0.2 µs 109
Fig. 4.30 Curvas de TGR, tensão e corrente para diâmetros variáveis ...................... 111
Fig. 4.31 Curvas de TGR, tensão e corrente para permissividades variáveis ............ 112
Fig. 4.32 Curvas de TGR tensão e corrente para diferentes condutividades ............ 113
Fig. 4.33 Circuito de corrente mostrando haste de aterramento em solo estratificado ................................................................................................. 114
Fig. 4.34 Curvas de TGR, Tensão e Corrente para haste de aterramento em solo homogêneo e estratificado .......................................................................... 115
Fig. 4.35 Eletrodo e cavidade ..................................................................................... 116
Fig. 4.36 Curvas de TGR, Tensão e Corrente para haste de aterramento em presença de cavidades dentro da terra ......................................................... 117
Fig. 4.37 Distribuição do campo EZ com eletrodo de aterramento em presença de cavidade ...................................................................................................... 118
Fig. 4.38 Malha de aterramento 5 x 5 nós, sem hastes de aterramento ...................... 118
Fig. 4.39 Curvas TGR, tensão e corrente para uma malha quadrada 5 x 5 nós sem eletrodos ...................................................................................................... 119
Fig. 4.40 Distribuição do campo Ex na malha 5x5 ..................................................... 120
Fig. 4.41 Distribuição do campo Ey na malha 5x5 ..................................................... 120
Fig. 4.42 Distribuição do campo Ez na malha 5x5 ..................................................... 121
xiv
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 Faixa de valores usuais de resistividade de certos tipos de solos …….. 018
Tabela 2.2 Influência da umidade na resistividade do solo ..................................... 019
Tabela 2.3 Influência da concentração de sais na resistividade do solo .................. 020
Tabela 2.4 Efeito da temperatura na resistividade do solo ...................................... 022
Tabela 2.5 Valores típicos de resistividade para diferentes períodos geológicos .... 023
Tabela 2.6 Expressões para configurações típicas de eletrodos de aterramento ...... 031
Tabela 2.7 Resistência do corpo humano com a tensão .......................................... 040
Tabela 2.8 Constante dielétrica aproximada ou permissividade relativa (εr) e rigidez de alguns materiais de uso corrente ........................................... 043
Tabela 2.9 Permeabilidade relativa (µr) de alguns materiais ................................... 044
Tabela 4.1 Coincidência no comportamento transitório das curvas TGR em determinados períodos transitórios para diversos comprimentos de haste ....................................................................................................... 094
Tabela 4.2 Diferença relativa (Req-Rsim)/Req entre a resistência CC calculada através de (4.9) e (4.10) e a resistência transitória obtida pelo uso de simulação em ambiente FDTD para diferentes diâmetros de haste ....... 111
Tabela 4.3 Diferença relativa (Req-Rsim)/Req entre a resistência CC calculada usando (4.9) e (4.10) e a resistência transitória obtida pelo uso da simulação FDTD para várias condutividades ........................................ 114
xv
LISTA DE ABREVIATURA E SIGLAS
CA Corrente alternada
CC Corrente contínua
PEC Condutor eletricamente perfeito
CESDIS Centro de Excelência em Dados Espaciais e Informações Científicas
CIGRÉ Conselho Internacional para Grandes Sistemas Elétricos
CPU Unidade de processamento central
EM Eletromagnetismo
ERC Eletrodo remoto de corrente
ERP Eletrodo remoto de potencial
ET Eletrodo de terra
EMTP Programa de transitórios de eletromagnéticos
FDTD Diferença finita no domínio do tempo
FEM Método dos elementos finitos
IEEE Instituto de Engenheiros Eletricistas e Eletrônicos
LANE Laboratório de analises numéricas em eletromagnetismo
MPI Interface de passagem de mensagem
NASA “National aeronautics and space administration”
IEC Comissão Internacional de Eletrotécnica
PVM Máquina paralela virtual
RC Resistivo capacitivo
SPMD Programa simples de dados múltiplos
TGR Resistência de aterramento transitória
UPML Camada uniaxial perfeitamente casada
xvi
LISTA DE SÍMBOLOS
R Resistência estacionária
ρ Resistividade do solo
l Comprimento da haste de aterramento
L Indutância da haste de aterramento
C Capacitância da haste de aterramento
ω Velocidade angular
Eo Gradiente de ionização do solo
Operador nabla
E Vetor intensidade de campo elétrico
H Vetor intensidade de campo magnético
ε, εr Permissividade elétrica, permissividade relativa
sε∗ Permissividade modificada na técnica de fio fino
σ Condutividade elétrica
σ* Condutividade modificada na técnica de fio fino
∂ Operador diferencial
µ, µr Permeabilidade magnética, permeabilidade relativa
sµ∗ Permeabilidade modificada na técnica de fio fino
µs Microssegundos
i, ,j, k Incrementos espaciais nas direções x, y e z
∆x Dimensão da célula de Yee na direção x
∆y Dimensão da célula de Yee na direção y
∆z Dimensão da célula de Yee na direção z
δ, ∆s Dimensão geral da célula
∆t Intervalo de discretização do tempo
c Velocidade da luz
ro Raio do fio fino
or∗ Raio arbitrário na técnica de fio fino
r Distancia do centro do fio fino ao vetor campo magnético calculado
Sx, Sy, Sz Elementos componentes do tensor diagonal S
xvii
Kx, Ky, Kz Parte real não unitária na expressão do tensor diagonal
σx,máx Condutividade máxima na equação da UPML
σx,opt Condutividade ótima na equação da UPML
d Espessura da UPML
f Freqüência
Umax Tensão máxima
Io Amplitude da corrente na base do canal
τ1 Constante relacionada ao tempo de frente de onda de corrente
τ2 Constante relacionada ao tempo de decaimento da onda de corrente
η Fator de correção de amplitude
K Constante de proporcionalidade
JP Densidade de corrente no ponto P
VP Potencial no ponto P
r, a Raio da haste de aterramento
Ic Valor rms de corrente permitida através do corpo humano em Ampères
ts Tempo de exposição ou duração da falta em segundos
Sc Constante empírica relacionada com a tolerância ao choque elétrico para um certo percentual da população.
Vpasso Tensão de passo
Vtoque Tensão de toque
Eo Gradiente de ionização do solo
Tf Tempo de frente de onda
Tt Tempo de cauda
xviii
RESUMO
O objetivo principal deste trabalho é o desenvolvimento de um código
computacional para ambiente de processamento paralelo, tendo em vista a análise
numérica do comportamento transitório dos parâmetros de sistemas de aterramento. A
formulação do problema foi desenvolvida partindo-se das equações de Maxwell na
forma diferencial e no domínio do tempo, para a qual uma solução numérica foi obtida
empregando o método FDTD-3D (diferenças finitas no domínio do tempo). Em todos os
casos analisados, a terra foi considerada como sendo um meio com perdas, isotrópico,
não dispersivo, linear e não variante no tempo. Para limitar a região de análise, a técnica
UPML foi usada. Uma técnica de fio fino foi aplicada para representar condutores de
seção transversal pequena. Considerando-se um eletrodo, os resultados obtidos para o
potencial, corrente e resistência de aterramento transitória (TGR), mostraram boa
concordância com os valores experimentais disponíveis na literatura. Resultados
complementares e de maior precisão foram alcançados na avaliação de várias
configurações de sistemas de aterramento em solo homogêneo e estratificado, pela
implementação numérica de uma estrutura nova de excitação e uma forma nova de
obter o potencial no mesmo ponto onde a impedância estava sendo avaliada. O modelo
aqui proposto tem a vantagem de ser capaz de simular situações naturais de descarga
em um formato mais realista. Os dados obtidos (e as técnicas apresentadas) poderão ser
úteis em projetos de sistemas de aterramento, visando dar uma maior proteção às
instalações quando submetidas a surtos de corrente, descargas atmosféricas, entre
outros.
PALAVRAS-CHAVE: Análise transitória, método FDTD, modelo de injeção de corrente, processamento paralelo, proteção contra descargas, resistência de aterramento, solo estratificado.
xix
ABSTRACT
The main purpose of this work is the development of a computational algorithm to
numerically analyze the transient behavior of grounding systems parameters with
parallel processing environment. The problem formulation was developed starting from
differential Maxwell´s equations in time-domain, for which a numerical solution was obtained
by employing the FDTD-3D method (Finite Differences-Time Domain). For every the analyzed
case, the ground was considered isotropic, non-dispersive, linear and not time variant. In order
to limit the analysis region, UPML technique was used. A thin wire technique was applied to
represent a narrow conducting cross-section wire. The results obtained for potential,
current and Transitory Grounding Resistance (TGR), considering an electrode, strongly
agree with those of literature. Additional improved results were reached for
homogeneous and stratified soils by the implementation of a new excitation structure
and by a new way for obtaining the potential at the point where the impedance is being
evaluated. The model proposed here has the advantage of being able to simulate natural
discharge situations in a more realistic way. Such results (and the novel model
presented) can be used to project systems able to provide higher levels of protection
from lightning discharges or failures of the electrical power system.
KEYWORDS: current injection model, discharge protection, FDTD method, grounding
resistance, parallel processing, transient analysis, stratified soil.
1
1.0 Introdução
AS subestações de alta tensão normalmente estão submetidas a potenciais perigosos
em suas estruturas em decorrência dos surtos atmosféricos e surtos de manobra [1]. Em ambos
os casos, a elevação da tensão no sistema de aterramento pode se tornar bastante crítica de
forma a causar vários tipos de problemas relacionados à interferência eletromagnética, riscos
e danos em equipamentos e pessoas físicas. Equipamentos modernos e sistemas que utilizam
dispositivos eletrônicos sensíveis têm, cada vez mais, alcançado importância significativa
perante a humanidade. Em muitos casos, um dano ou mesmo uma falha temporária em tais
dispositivos não pode ser aceito. Portanto, um dos tópicos principais relacionados à
compatibilidade magnética em sistemas elétricos modernos, é a proteção eficiente e
econômica contra transitórios causados por descargas atmosféricas [2]. Em decorrência dos
fenômenos elétricos citados, que se tornam críticos em função das características dos solos
onde a injeção de corrente ocorre, surge a necessidade de um aprofundamento, cada vez
maior, nos estudos dos sistemas de aterramento. As conexões para terra em geral são
impedâncias complexas tendo componentes resistivos, capacitivos e indutivos capazes de
afetar a sua capacidade de transporte de corrente. As medições da impedância de aterramento
são importantes: (a) na determinação da elevação do potencial de terra e sua variação através
de uma determinada área, resultado de uma corrente de falta em um sistema de potência; (b)
na verificação da adequação das conexões com a terra para efeito de proteção contra
descargas atmosféricas e (c) na segurança quanto ao perfeito funcionamento dos
equipamentos de proteção de sistemas elétricos e equipamentos de tecnologia da informação.
Vários trabalhos têm sido publicados com descrição de metodologias diversas para a
medição da impedância, resistência de aterramento transitória (TGR), tensões de toque e de
passo em malhas de aterramento [3-11]. Estas publicações entre outras, abrangem
basicamente os seguintes aspectos:
• Cálculo de aterramentos elétricos pelo método do potencial constante, onde se procede a
partição dos eletrodos em segmentos, cada qual considerado com um valor particular de
corrente de dispersão, mas de densidade uniforme de corrente ao longo de sua extensão. O
eletrodo é modelado por um conjunto de filamentos colineares colocados em seu eixo e
imersos no solo. A aplicação desta metodologia se dá em malhas de aterramento não
muito extensas e freqüências representativas não muito diferentes da freqüência
fundamental dos sistemas elétricos de potência. [3].
• Estudos eletromagnéticos nas análises de surto usando o Programa de Transitório
Eletromagnético (EMTP) [12] e [13], bastante utilizado por pesquisadores, onde todos os
2
elementos do sistema a ser ensaiado, são devidamente modelados. Tomando-se como
exemplo uma torre de transmissão submetida a estudos de descargas atmosféricas,
analisada pelo programa EMTP, todos os componentes da torre podem ser modelados da
seguinte forma: (a) linha de transmissão modelada como sistema polifásico dependente da
freqüência; (b) a estrutura da torre como linha monofásica com parâmetro distribuído; (c)
cruzeta de aço modelada como indutância concentrada e (d) fio contra peso ou resistência
de pé de torre geralmente modelado como resistência pura ou em alguns casos como
resistência variante no tempo.
• Estudos eletromagnéticos através do método FEM (Método dos elementos finitos) no
espectro de freqüências significativo para descargas atmosféricas (f≈1MHz). A análise por
elementos finitos de um problema qualquer, envolve, basicamente quatro etapas: (a)
discretização do domínio em um número finito de sub-regiões ou elementos; (b) obtenção
das equações que regem um elemento típico; (c) conexão de todos os elementos do
domínio e (d) resolução do sistema de equações obtido. Nesses estudos, as equações de
Maxwell com suas derivadas parciais são solucionadas no sentido de determinar as
seguintes variáveis de estado: (a) potencial escalar elétrico e (b) vetor potencial
magnético. No sentido de adequar as malhas às configurações dos componentes
industriais existentes, são introduzidas nas mesmas, figuras geométricas, como
paralelogramos, tetraedros e pirâmides [14]. Esta técnica tem como limitação a
necessidade de grandes recursos computacionais para processamento dos sistemas de
matrizes e a extrema dependência do formato da malha.
• O método dos momentos (MOM) tem a vantagem de ser um método conceitualmente
simples e é bastante utilizado, na resolução das equações integrais, podendo também ser
utilizado na solução de equações diferenciais [15,16]. O método tem sido aplicado com
sucesso a uma grande variedade de problemas em eletromagnetismo de interesse geral,
tais como, problemas de radiação devido a elemento fio fino, problemas de espalhamento,
análise de microfitas e propagação em meios não-homogêneos como a terra [17,18]. O
procedimento para aplicação do método dos momentos, parte da solução de uma equação
do tipo Lφ = g, onde L é um operador que pode ser integral ou diferencial, φ é uma função
desconhecida e g é uma fonte de excitação conhecida. Três etapas são necessárias para o
equacionamento do problema [19]:
o Escolha da equação integral adequada ao problema.
o Discretização da equação integral transformando-a na forma matricial, utilizando
funções básicas e funções de peso.
3
o Solução da equação matricial e obtenção dos parâmetros de interesse
Quando comparado com outros métodos numéricos, observa-se que o método dos
momentos trabalha apenas no domínio da freqüência, não é comum a aplicação do método
em materiais com condutividade finita (não nula), apresenta problemas de convergência
em algumas freqüências (pólos das funções de Green) e também necessita de grandes
recursos computacionais para processamento dos sistemas de matrizes.
• Cálculo de resistência de aterramento transitória utilizando a metodologia FDTD
(Diferença finita no domínio do tempo). O espaço de trabalho é discretizado com auxilio
de células de Yee e solução das equações diferenciais de Maxwell. Os componentes do
sistema de aterramento são introduzidos no ambiente de trabalho através das condições de
contorno. São também introduzidos barramentos horizontais e eletrodos auxiliares para
possibilitar a injeção de corrente e medição da diferença de potencial desenvolvida na
terra pela passagem do pulso de corrente [20]. Neste método, a presença de barramentos e
eletrodos auxiliares no ambiente de computação para efeito de medição das variáveis
elétricas, causam acoplamento eletromagnético não coerente com a situação real. Este
procedimento tem como efeito uma menor precisão no cálculo das variáveis do sistema de
aterramento.
Em eletromagnetismo, uma solução na forma fechada é a solução de uma equação
integral, diferencial ou integro-diferencial na qual os valores dos parâmetros do problema
podem ser determinados. Na literatura, algumas das soluções analíticas são obtidas assumindo
certas restrições, fazendo com que essas soluções fossem aplicáveis àquelas situações
idealizadas. Por exemplo, ao deduzir-se a fórmula para calcular a capacitância de um
capacitor de placas paralelas, assume-se que o efeito de borda é desprezível e que a separação
entre as placas é muito pequena se comparada com o comprimento e a largura das mesmas. A
solução para a equação de Laplace nos problemas práticos de eletrostática, é restrita a
problemas com contornos coincidindo com as direções dos eixos dos sistemas de coordenadas
o que caracteriza uma configuração simples. Ressalta-se que as soluções analíticas quando
exatas, passam a ser de grande importância, pois servem de referência para o aprimoramento
de técnicas ditas aproximadas. Elas tornam fácil observar o comportamento da solução em
função da variação dos parâmetros do problema [21].
Quando a complexidade das fórmulas teóricas tornam as soluções analíticas
intratáveis, recorre-se a métodos não analíticos, o que inclui: (1) métodos gráficos; (2)
métodos experimentais; (3) métodos analógicos e (4) métodos numéricos. Os métodos
gráficos, experimentais e analógicos, são aplicáveis a um número relativamente pequeno de
4
problemas. Os métodos numéricos têm tido destaque, tornado-se mais atrativos com o
advento de computadores digitais cada vez mais rápidos. As três técnicas numéricas mais
utilizadas em EM são: (1) método dos momentos; (2) método das diferenças finitas e (3)
método dos elementos finitos. Embora os métodos numéricos dêem a princípio soluções
aproximadas, as soluções são suficientemente precisas para os propósitos de engenharia [21].
Existem sete razões fundamentais para a expansão do interesse no aprimoramento, em
termos de aplicação, da técnica FDTD como solução numérica computacional para as
equações de Maxwell [22]:
• O método FDTD não precisa fazer uso da álgebra linear, evitando com isso a limitação do
tamanho das equações no domínio da freqüência e modelos eletromagnéticos de
elementos finitos.
• É um método robusto e que apresenta um bom grau de exatidão. As fontes de erro, no
cálculo FDTD, são bem compreendidas e podem ser minimizadas para permitir a
elaboração de modelos precisos em uma grande variedade de problemas envolvendo
interações eletromagnéticas.
• O método trata os fenômenos transitórios de forma natural. Sendo uma técnica no domínio
do tempo, calcula diretamente a resposta transitória de um sistema eletromagnético,
podendo fornecer formas de ondas temporais de ultrabanda larga ou respostas senoidais de
regime em qualquer freqüência, dentro do espectro de freqüências.
• O FDTD trata o comportamento não-linear de forma natural. Por ser uma técnica no
domínio do tempo, calcula diretamente a resposta não-linear de um sistema
eletromagnético.
• Constitui-se em uma aproximação sistemática. A especificação de uma nova estrutura a
ser modelada, é reduzida a geração de um problema de malha ao invés da reformulação
potencialmente complexa de uma equação integral.
• A capacidade de memória dos computadores vem crescendo rapidamente, tendendo
positivamente para o avanço das técnicas numéricas.
• A capacidade de visualização dos programas computacionais também vem crescendo
rapidamente, com vantagens para o método FDTD que gera vetores, com valores de
campo obtidos nas iterações computacionais, em número suficiente, para uso em
animações gráficas coloridas, permitindo a ilustração das dinâmicas dos campos
eletromagnéticos.
Este trabalho tem como objetivo principal a determinação do comportamento de
sistemas de aterramento quando submetidos a descargas atmosféricas. Na programação
5
computacional que deu suporte aos estudos, as descargas foram simuladas como pulsos de
corrente. As variáveis TGR (resistência de aterramento transitória), tensão e corrente são
analisadas tanto no período transitório como no período de regime. Todas as simulações
foram realizadas em ambiente computacional usando-se técnica FDTD. De forma diferente ao
que foi realizado em [18], neste novo cenário, para efeito de comparação, analisou-se também
sistemas de aterramento sem os barramentos e eletrodos auxiliares. A eliminação de tais
componentes foi possível, com auxílio de novas técnicas para injeção de corrente e medição
de potencial.
Os resultados apresentados neste trabalho, para as diversas situações propostas,
poderão ser úteis em projetos de novos sistemas de aterramento, de forma a dotá-los de
recursos que venham a dar uma maior proteção às instalações durante as ocorrências de
descargas atmosféricas ou falhas no sistema elétrico. Os principais tópicos relacionados ao
desenvolvimento deste trabalho possibilitaram a geração de artigos que foram publicados em
seminários nacionais e internacionais e revista especializada. Nestes eventos, a comunidade
cientifica, através de debates e comentários de revisores, ajudou a aprimorar os artigos e o
conteúdo desta tese de forma a melhor satisfazer às necessidades técnicas na área do
conhecimento onde se desenvolveram os estudos.
O presente trabalho, foi dividido em cinco capítulos, a saber:
Capítulo 1: Trata da introdução, onde são feitos comentários sobre diversos tipos de
modelagem de sistemas de aterramento e enfatiza a importância do FDTD na solução de
problemas em aterramento.
Capítulo 2: Uma revisão bibliográfica a respeito do comportamento do aterramento elétrico
em regime e frente a transitórios.
Capítulo 3: Relaciona a teoria envolvida nos estudos de aterramento abordados neste trabalho,
dando ênfase à técnica FDTD, processamento paralelo e modelagem do sistema de
aterramento.
Capítulo 4: Trata dos resultados obtidos nas simulações envolvendo vários arranjos em
sistemas de aterramento.
Capítulo 5: São apresentadas as conclusões e propostas para trabalhos futuros
6
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] G. Ala and F. Viola, “Soil ionization in earth electrodes by a finite difference time
domain scheme,” IEEE Electromagnetic compatibility, Vol 3, p.p 850-855, 2004.
[2] F. Heidler and C. Hopf, “Measurement results of the electric fields in cloud-to-
ground lightning in nearby Munich, Germany,” IEEE Trans. On Electromagnetics
Compatibility, Vol. 40, No. 4, 1998.
[3] F. S. Visacro, M. A. Campos, “Aplicação da aproximação potencial constante no
projeto de malha de aterramento: Análise de sensibilidade; testes experimentais com
modelos reduzidos,” X SNPTEE, Curitiba, 1989
[4] IEEE Guide for Measuring Earth Resistivity, Ground Impedance, and Earth Surface
Potentials of a Ground System. ANSI/IEEE Std 81-1983.
[5] G. Parise, U. Grasselli, “Simplified Conservative Measurements of Touch and Step
Voltages,” University of Rome, Italy, 1998.
[6] A. P. Sakis Meliopoulos, P. Shashi and G. J. Cokkinides, “A New Method and
Instrument for Touch and Step Voltage Measurements,” IEEE Transaction on Power
Delivery, Vol.9, Nº 4, October 1994.
[7] L. E. Gallego, J. H. Montaña and A. F. Tovar, “GMT: Software for Analysis of
Grounding Systems,” Ground’2000 International Conference on Grounding and
Earthing, Belo Horizonte, 2000.
[8] F. Dawalibi, D. Mukhedkar, “Optimum Design of Substation Grounding in Two-
Layer Earth Structure – Part 1, Analytical Study ”. IEEE Transaction on Power
Apparatus and Systems, Vol. PAS-94, not. 2, March/April pp. 252-261, 1975.
[9] IEEE Guide for Safety in AC Substation Grounding. ANSI / IEEE, Std.80-1986.
[10] Y. L. Chow, “A Simplified Method for Calculating the Substation Grounding Grid
Resistance”. IEEE Transaction on Power Delivery, Vol. 9, No. 2, April 1994.
[11] I. F. Gonos, F. V. Topalis, I. A. Stathopulos, “Transient Impedance of ground rods,”
High Voltage Engineering Symposium, 22-27, Conference Publication No 467, IEE,
1999.
[12] I. M. Dudurych, et al, “EMTP analysis of the lightning Performance of a HV
Transmission Line,” IEE, Transmission and Distribution, Vol. 150, No. 4, July,
2003.
[13] W. Long, et al, “EMTP A Powerful Tool for Analyzing Power System Transients,”
IEEE, Computer Application in Power, 1990.
7
[14] B. P. Nekhoul Labie and G. Meunier “Calculating the Impedance of a Grounding
System,” IEEE Transaction on Magnetics, vol. 32, Nº 3, may 1996.
[15] R. F. Harrington, “Matrix method for field problems,” Proc. IEEE, vol. 55, no. 2, pp.
136-149, 1967.
[16] M. M. Ney, ”Method of moments as applied to electromagnetics problems,” IEEE
Trans. Micro. Theo. Tech., vol. MTT-33, no.10, pp. 972-980, 1985.
[17] A. P. Sakis Meliopoulos, F. Chia and E. B. Joy, “An advanced computer model for
grounding system analysis,” IEEE Transaction on Power Delivery, Vol. 8, No.1,
1993.
[18] J. Guo, J. Zou, B. Zhang and Z. C. Guan, “An interpolation model to accelerate the
frequency-domain response calculation of grounding system using the method of
moment,” IEEE Transaction on Power Delivery, Vol. 21, No.1, 2006.
[19] M. N. O. Sadiku, Numerical techniques in electromagnetics, second edition, CRC
Press, New York, 2001
[20] K. Tanabe, “Novel method for analyzing the transient behavior of grounding
systems based on the finite-difference time-domain method” CRIEPI, Tokio, 2001.
[21] M. N. O. Sadiku, Elementos de eletromagnetismo. Ed. Bookman 3th Ed., pp 620-
648, 2004.
[22] A. Taflove and S. C. Hagness: Computational eletrodynamics: The finite-difference
time-domain Method, Artech house,inc., Boston, 2000.
8
2.0 Revisão bibliográfica
Neste capítulo são abordados alguns tópicos relevantes em sistemas de aterramento e
descargas atmosféricas. Alguns assuntos estão diretamente relacionados ou serviram de base
para o desenvolvimento desta tese de doutorado. Outros assuntos, apesar de seus conceitos
não serem utilizados no trabalho, são considerados, também importantes, podendo ser
aplicados em trabalhos futuros na mesma linha de pesquisa. Citam-se, como exemplos, as
informações sobre variações dos parâmetros do solo com a freqüência e fenômenos de
ionização do solo por pulsos de corrente que ocorrem nas descargas atmosféricas.
Durante sua operação, um sistema elétrico ou eletrônico fica sujeito a ocorrências
internas, que são as tensões transitórias, devido a chaveamentos, e externas, provocadas por
interferências geradas por fenômenos naturais, equipamentos ou outros sistemas acoplados
eletromagneticamente com o primeiro. A incidência das descargas atmosféricas nas saídas de
linhas e equipamentos é significativa, sendo, portanto, justificados todos os cuidados com o
desempenho de linhas e subestações diante dos referidos surtos. As interrupções de energia
elétrica que acontecem em conseqüência de tais fenômenos, implicam em prejuízos para a
concessionária e consumidores, além da redução do nível de confiabilidade da rede.
2.1 Ondas padronizadas para surtos atmosféricos
Ainda hoje, apesar de todos os avanços da ciência, em vários aspectos, o
conhecimento sobre as descargas atmosféricas é limitado. Atualmente, algumas técnicas
avançadas de proteção e análise dos efeitos dos raios são dominadas, porém pouco se sabe
sobre diversos aspectos físicos envolvidos no fenômeno, como é o caso das descargas, que
partem da nuvem para a estratosfera, por exemplo.
Na formação do raio é estabelecido um canal condutor entre nuvem e solo, que
ocasiona um fluxo de corrente intensa. Isso gera o aquecimento do canal, a temperaturas
superiores a 3.000 ºC, causando efeito luminoso intenso, o relâmpago, e deslocamento de ar
com forte efeito sonoro, o trovão. Como a velocidade da luz (300 milhões de m/s) é muito
maior que a do som (300 m/s), percebe-se o relâmpago segundos antes do trovão.
Existem quatro variedades básicas de descargas atmosféricas, classificadas de acordo
com os elementos conectados. São elas:
• Intranuvem (quando a corrente de descarga ocorre dentro da própria nuvem)
• Entre nuvens (quando a corrente de descarga ocorre de uma nuvem para outra)
• Nuvem-solo (quando a corrente de descarga ocorre entre a nuvem e o solo)
9
• Nuvem-estratosfera (quando a corrente de descarga ocorre da nuvem para a
estratosfera)
A maior parte das descargas atmosféricas ocorre intranuvem. Os efeitos associados a
tal tipo de descarga são pouco evidentes na superfície da terra, pois se manifestam, sobretudo
através de ondas irradiadas de campo eletromagnético, as quais atingem a superfície do solo
com intensidade moderada. As descargas entre nuvens ocorrem através da constituição de um
canal de conexão entre centros de cargas negativas e positivas de nuvens diferentes. Nunca é
uma linha reta e sim constituída de numerosas ramificações e o canal de raio normalmente
possui extensão de vários quilômetros, às vezes dezenas de quilômetros. Tal como o tipo de
descarga anterior, não desperta interesse tão significativo, embora haja registro de descargas
dessa natureza fechando seu percurso através da estrutura metálica de aviões e causando
danos que configuram sérias condições de risco. Na Figura 2.1, é mostrada a fotografia de
uma descarga entre nuvens. No estudo de surtos atmosféricos em redes elétricas, destacam-se
a incidência de descargas elétricas que atingem a terra, ou seja, descargas nuvem terra,
mostrado na Figura 2.2. Essas descargas, são as que despertam maior interesse, pois o fluxo
da corrente de retorno pelo canal de descarga, estabelecido entre nuvem e solo, é capaz de
determinar condições severas de risco para a vida e para os sistemas elétricos na superfície da
Terra. O percentual de descargas para terra representa em torno de 25% do total das descargas
atmosféricas.
Fig. 2.1 Descargas entre nuvens
10
Fig. 2.2 Descarga entre nuvem-Terra (Foto tirada por Charles Allison em Oklahoma 26 de
agosto de 2005)
Estudos recentes baseados em medições de fenômenos atmosféricos a partir de
satélites artificiais, utilizando detectores ópticos, mostram a existência das descargas para a
estratosfera. São descargas de difícil visualização, pois, o corpo da nuvem se interpõe entre o
observador terrestre e a estratosfera. Tais descargas configuram percursos mais longos que os
demais tipos e os campos que chegam à superfície da terra são de menor intensidade em
função da maior distância do topo das nuvens onde tais descargas acontecem.
No que se refere às descargas nuvem-terra, o sentido de propagação das descargas no
canal precursor pode ser ascendente e descendente. Em locais planos, o raio ascendente
aparece a partir de uma edificação alta ou torre de pelo menos 100 a 200 m de altura. O
número de descargas ascendentes cresce com a altura da construção. É citado como exemplo,
o fato de 90% de todos os raios incidentes na torre de televisão, em Moscou, de 530 m, serem
do tipo ascendente [1]. Comportamento similar observou-se no Edifício Empire State Bulding
em Nova York [2]. Estes tipos de construção impelem raio em direção às nuvens, ao invés de
serem atacados pelos raios. Quanto às descargas descendentes, são constituídas a partir de um
canal precursor que se origina na nuvem e evolui descendentemente até, induzir um canal
ascendente de descarga ao se aproximar do solo. O fechamento do canal ocorre próximo ao
solo, o ponto de conexão dos canais ascendente e descendente pode ocorrer a alturas de
algumas dezenas de metros a umas poucas centenas de metros em relação ao solo,
11
dependendo das características do relevo. Cerca de 90% das descargas descendentes ocorrem
na Europa durante as tempestades de verão e transportam carga negativa. São conhecidas
como descargas descendentes negativas. Proporções maiores de descargas descendentes
positivas acontecem em regiões tropicais e subtropicais, especialmente no inverno quando a
incidência atinge valores superiores a 50%.
Na formação da descarga, distinguem-se duas fases importantes. A primeira delas
corresponde à formação de um canal ionizado através da camada de ar entre nuvem e terra,
chamado leader. A segunda está relacionada com uma efetiva passagem de corrente pelo
canal ionizado, chamada de corrente de retorno (return stroke). Nuvens podem estar
carregadas com diferentes distribuições de carga. A Figura 2.3 mostra nuvens com cargas
negativas na região inferior. Nesse caso em particular, o inicio da descarga se dá com a
formação de um canal leader descendente, Figura 2.3 (a), que se aproxima da terra
progressivamente, aumentando o campo elétrico e propiciando uma movimentação
ascendente de cargas com polaridade oposta, mostrada na Figura 2.3 (b).
Fig. 2.3 Fases de uma descarga atmosférica: (a) leader descendente, (b) leader ascendente
(c) momento da conexão entre as descargas e (d) Corrente de retorno
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
+ + + + + +
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Leader ascendente
Leader descendente
(a) (b)
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++++++++
Leader ascendente
Leader descendente
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Leader ascendente
Leader descendente
(a) (b)
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Corrente de retorno
(c) (d)
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++++++++
++++
Corrente de retorno
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____
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++++++++
++++
Corrente de retorno
(c) (d)
12
A efetiva passagem da corrente entre a nuvem e a terra ocorre pelo contato das
formações de cargas ascendentes e descendentes, Figura 2.3 (c) e (d).
As sobretensões atmosféricas, em linhas de transmissão, têm curta duração, com
frentes de onda relativamente rápidas (alguns µs) e tempos de decaimento da ordem de 100 µs
a 300 µs. A Figura 2.4 mostra a forma como se divide um pulso atmosférico incidente em
uma linha de transmissão.
Fig. 2.4 Representação do pulso atmosférico em uma linha de transmissão
Pela necessidade de padronização de ensaios experimentais capazes de avaliar o
comportamento e a integridade dielétrica de equipamentos, dispositivos e materiais, frente a
surtos de tensão e corrente associadas às descargas atmosféricas, foram criadas normas
internacionais que norteiam o trabalho dos laboratórios responsáveis pelos ensaios de
equipamentos de alta tensão. A norma IEC 60-060-1 que trata das técnicas de alta tensão,
formas de onda etc., estabelece, em seu conteúdo, especificações para as ondas de pulso de
tensão e de corrente. São empregadas nos ensaios de equipamentos para simulação de
descargas, as seguintes especificações:
Pulso de tensão: 1.2 x 50 µs, tolerâncias de ±3% no valor de pico, ±30% no tempo de frente
de onda e ±20% no tempo de cauda.
Pulso de corrente: 1 x 20 µs, 4 x 10 µs, 8 x 20 µs, 30 x 80 µs, tolerâncias de ±10% no valor de
pico, ±10% no tempo de frente de onda, ±10% no tempo de cauda.
2.1.1 Representação de um pulso atmosférico pela curva dupla exponencial
O pulso atmosférico é comumente representado, nos meios científicos, por uma onda
dupla exponencial. Apesar de tal forma de onda não ser representativa da onda real da
descarga atmosférica, é de grande utilidade nos ensaios experimentais. As Figuras 2.5 e 2.6
II
13
ilustram as duas exponenciais de sinais contrários responsáveis pela geração da onda
padronizada e o circuito de geração da onda [3], respectivamente.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-1.e-βt
1.(e-αt- e−βτ)
1.eαtTensão (pu)
Tempo (µs)
Fig. 2.5 Onda dupla exponencial como onda de um pulso atmosférico
No instante inicial ambas as ondas têm a mesma amplitude, resultando em valor nulo
para a soma. Enquanto a onda positiva atenua lentamente no tempo, a onda negativa atenua
rapidamente, e a soma resultante tem o aspecto de um pulso.
A forma de onda com exponencial dupla ( ) ( )maxt tu t U e eα β− −= − é uma
representação freqüentemente encontrada em testes de laboratório e, ao se aplicar a
transformada de Fourier em ondas dessa natureza, verifica-se a existência de componentes nas
altas freqüências significativas [3].
O circuito de geração da onda mostrado na Figura 2.6 contempla um gerador de pulso
associado em série a uma resistência pré-calculada e diodo retificador de potência.
Fig. 2.6 Circuito de geração da onda exponencial
R1
R2 C2
“gap”G
~
R
V
D
V0
V(t)
Geradorde pulso
C1
R1
R2 C2
“gap”G
~
R
V
D
V0
V(t)
Geradorde pulso
C1
R1
R2 C2
“gap”G
~
R
V ~~
R
V
D
V0
V(t)
Geradorde pulso
C1
14
O capacitor C1 é carregado e ao atingir o valor de pico coincidente com o valor de
calibração do “gap” G, que atua como um espinterômetro, provoca uma descarga no circuito
RC formado pelos resistores R1, R2 e capacitor C2. Os tempos da frente de onda e de cauda,
são ajustados atuando nos elementos resistivos e capacitivos do circuito.
A taxa de crescimento da frente de onda mostrada na Figura 2.7, pode ser considerada
como sendo a inclinação da reta que passa pelos pontos 0.1V e 0.9V na frente de onda e é
chamada de taxa de crescimento efetivo [4].
Fig. 2.7 Forma de onda padronizada para surto atmosférico mostrando a taxa de crescimento
Os tempos t1 e t2 representam os tempos de frente de onda e de cauda,
respectivamente. Se um pulso de tensão de uma dada polaridade e forma de onda é ajustado,
Figura 2.8, de modo que o teste da amostra ocasione descarga disruptiva na cauda da onda em
50% das aplicações e falhe nos outros 50%, o valor de pico dessa tensão é chamado de
“tensão crítica de descarga” (critical Flashover Voltage) [4].
(a) (b)
Fig. 2.8. Oscilogramas obtidos mostrando (a) uma onda completa e (b) uma onda cortada de 1x10 µs.
Onda completa
2 4 6 8 10 12 14
E
E/2
0
Onda completa
2 4 6 8 10 12 14
E
E/2
0 2 4 6 8 10
Onda cortadaE
0 2 4 6 8 10
Onda cortadaE
0
Onda cortadaE
0
t1t2
Vmáx
0.9V
0.5V
0.1V
(µ seg)
V
t1t2
Vmáx
0.9V
0.5V
0.1V
(µ seg)
V
15
Se a descarga não ocorre, a onda é chamada de onda completa; se a descarga ocorre, a
onda é chamada de onda cortada.
2.1.2 Representação da onda de um pulso atmosférico pela função de Heidler
A função de Heidler [5] constitui-se de uma expressão analítica, concebida através de
dados obtidos na observação das correntes de retorno em torres monitoradas com
instrumentação específica. Tem como finalidade a reprodução, de forma mais fiel possível,
das curvas de corrente de retorno a serem aplicadas em programas específicos de simulação
dos sistemas elétricos, possibilitando a análise dos efeitos gerados por tais correntes. As
diversas formas de ondas padronizadas para corrente de retorno, podem ser obtidas pela
variação das constantes Io, τ1 e τ2. De uma forma geral, as correntes de descarga podem ser
representadas pela soma de duas curvas de Heidler. A expressão da função de Heidler é
mostrada em (2.1).
( ) ( )( )
( )2/1
1
/
1 /
n
to
n
tII t e
t
ττη τ
−=+
(2.1)
onde, ( )( )( )1/
1 2 2 1/ /-n
n
eτ τ τ τ
η =
Io – Amplitude da corrente na base do canal
τ1 – Constante relacionada ao tempo de frente de onda de corrente
τ2 – Constante relacionada ao tempo de decaimento da onda de corrente
η - Fator de correção de amplitude
n – expoente (2 a 10)
2.2 Conceitos básicos sobre sistemas de aterramento em baixas freqüências
A operação adequada de um sistema de energia elétrica, com desempenho seguro do
seu sistema de proteção e um mínimo de interrupções, passa por um cuidado especial no
quesito aterramento.
16
Os projetos voltados para sistemas de aterramento, na sua maioria, são elaborados a
partir de formulações consagradas na literatura, considerando apenas as solicitações de baixa
freqüência, cujos valores são bastante aproximados da freqüência fundamental estabelecida
para os sistemas de geração de energia, que variam entre 50 e 60 Hz. Cita-se como exemplo
as situações de curto-circuito que ocorrem nos sistemas de transmissão. Em alguns casos, são
feitas adaptações ou correções no projeto, quanto à sua configuração, para que o mesmo
atenda não somente as condições de baixa freqüência, como possa, também, proteger o
sistema contra ocorrências ditas rápidas ou de alta freqüência.
A Figura 2.9 mostra em (a), o circuito equivalente de um aterramento quando se leva
em consideração freqüências elevadas. Para o estudo em baixa freqüência, simplificações
podem ser feitas na reatância de caráter indutivo (ωL) e na susceptância de caráter capacitivo
(ωC) desprezando-as conforme mostrado em (b). Considerando a alta condutividade do
metal, que constitui os eletrodos de aterramento e a ausência do efeito pelicular por se tratar
de baixa freqüência, a resistência dos referidos eletrodos é considerada desprezível. Dentro
desta ótica, o sistema de aterramento pode ser representado por um conjunto de condutâncias
conectadas em paralelo, incluindo os efeitos mútuos entre as mesmas [3].
Fig. 2.9 Circuito equivalente de um aterramento em condições de (a) alta freqüência e (b) baixa freqüência
Pode ser mostrado que a resistência de aterramento é diretamente proporcional a
resistividade do solo (ρ) em que os eletrodos estão colocados. A constante de
proporcionalidade K, mostrada em (2.2 ), expressa apenas os efeitos geométricos (dimensão e
forma) dos eletrodos.
TR Kρ= (2.2)
17
2.2.1 Resistividade do solo
Dado de fundamental importância para o desenvolvimento de um projeto de
aterramento é o conhecimento das características do solo, principalmente de sua resistividade
elétrica. O conceito físico de resistividade pode ser entendido ao se imaginar uma porção
cúbica de solo homogêneo, com arestas iguais a 1m, mostrada na Figura 2.10; a medição da
resistência, entre duas faces opostas do cubo, tem como resultado um valor de resistência
elétrica em ohms, numericamente igual ao da resistividade. Sabe-se que:
A
Rl
ρ = (2.3)
Sendo:
R – resistência elétrica do solo
ρ – resistividade do solo
A- área transversal do condutor
l – comprimento do condutor
Fig. 2.10 Cubo de 1 m de aresta com duas faces de metal
O conjunto de fatores que determina a resistividade do solo compreende:
tipo de solo;
18
umidade do solo;
concentração e tipos de sais dissolvidos na água;
compactação e pressão;
granulometria do solo;
temperatura do solo;
estratificação do solo.
a) Tipo de solo
Os tipos de solo não são claramente definidos. Por isto, não é possível atribuir-se um
valor específico de resistividade a um tipo de solo. Além disso, a experiência mostra que,
usualmente, são encontrados valores diferentes de resistividade para a mesma variedade de
solo de localidades distintas. A Tabela 2.1 mostra faixas de valores característicos para os
diferentes tipos de solos, nas suas condições usuais de umidade.
Tabela 2.1 – Faixa de valores usuais de resistividade de certos tipos de solos [6,7].
TIPO DE SOLO RESISTIVIDADE (Ω.m)
Lama 5 a 100
Húmus 10 a 150
Limo 20 a 100
Argilas 80 a 330
Terra de jardim 140 a 480
Cálcario fissurado 500 a 1000
Calcário compacto 1.000 a 5.000
Granito 1.500 a 10.000
Areia comum 3.000 a 8.000
Basalto 10.000 a 20.000
b) Umidade do solo
A resistividade do solo sofre alterações com a umidade. Para entender o efeito da
umidade na resistividade do solo, deve-se considerar que, em baixa freqüência, a condução no
solo se faz basicamente por mecanismos eletrolíticos. Uma percentagem de umidade maior
19
faz com que os sais, presentes no solo, se dissolvam, formando um meio eletrolítico favorável
à passagem da corrente iônica. A quantidade de água presente no solo é variável com uma
série de fatores, tais como clima, época do ano, temperatura, natureza do solo, existência de
lençóis subterrâneos, dentre outros. A Tabela 2.2 e a Figura 2.11 mostram a variação da
resistividade com o teor de umidade [6].
Tabela 2.2 – Influência da umidade na resistividade do solo Umidade (% )
Resistividade (Ω.m)
0.0 10.000 2.5 1.500 5.0 430 10.0 185 15.0 105 20.0 63 30.0 42
0 5 10 15 20 25 30
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
Ω.m
Indice de umidade (% do peso)
Fig. 2.11 Efeito da umidade na resistividade do solo
c) Concentração e tipos de sais dissolvidos na água
Um fator que influencia consideravelmente a resistividade do solo é a quantidade de
sais presentes em sua composição. É importante ressaltar que, a resistividade da água pura, é
quase infinita, ou seja, a água seria um isolante perfeito caso não contivesse sais, pois através
da ionização, permitem a condução de correntes elétricas. Um caso previsível de ser
observado é que em função da carência de sais minerais na areia, quando se adiciona água
20
destilada a uma amostra de areia, verifica-se que sua resistividade varia relativamente pouco,
pela falta de condições para que se processe a eletrólise. A Figura 2.12 mostra o efeito do tipo
de concentração de sais na resistividade do solo e a Tabela 2.3 mostra a relação entre a
quantidade de sal adicionado a um solo arenoso, de umidade 15% (percentual em peso) e
temperatura de 17° C, e sua resistividade [6,7].
Tabela 2.3 – Influência da concentração de sais na resistividade do solo Sal adicionado (% em peso)
Resistividade (Ω.m) Solo arenoso
0.0 107 0.1 18 1.0 1.6 5.0 1.9 10.0 1.3 20.0 1.0
Fig. 2.12 Efeito do tipo de concentração de sais e ácido na resistividade do solo
d) Compactação e pressão no solo
Um solo mais compacto apresenta uma maior continuidade física em função da
redução do espaço físico entre suas partículas componentes, proporcionando um menor valor
0.0 0.1 0.2
100
1
2
4
10
Resistividade (Ω.m) 20oC
Percentagem de solução
Ácido sulfúrico Sulfato de sódio Sulfato de cobre
0.0 0.1 0.2
100
1
2
4
10
Resistividade (Ω.m) 20oC
Percentagem de solução
Ácido sulfúrico Sulfato de sódio Sulfato de cobre
21
de resistividade. Para realização de medições de resistência de terra após a instalação de um
sistema de aterramento, onde normalmente se processam escavações para introdução de
eletrodos e cabos de interligação, é prática comum a espera de um certo tempo, visando a
acomodação do solo, no sentido de se obter maior compacidade. Um aumento de pressão
sobre o solo torna-o mais compacto com redução de sua resistividade.
e) Granulometria do solo
A presença de grãos de diversos tamanhos na composição do solo, influenciam no valor
da resistividade. A presença de material com granulometria maior, tende a aumentar a
resistividade em decorrência da menor capacidade de retenção de água no solo, deixando-a
fluir para camadas mais profundas ou evaporar-se, observando-se também um menor contato
entre os grãos resultando em menor continuidade elétrica. A presença de grãos de tamanhos
variados tende a diminuir a resistividade, pois os menores preenchem os vazios existentes
entre os grãos maiores, provocando uma maior continuidade da massa do solo e maior
capacidade de retenção de sua umidade.
f) Temperatura do solo
A elevação da temperatura no solo provoca maior evaporação, diminuindo sua
umidade e conseqüente aumento de resistividade. Por outro lado, sabendo-se que a água
possui alto coeficiente negativo de temperatura, é razoável dizer-se que a resistividade tende a
crescer para uma diminuição de temperatura. A Figura 2.13 e a Tabela 2.4 [7] mostram a
influência da temperatura na resistividade da água.
Fig. 2.13 Comportamento da resistividade da água em função da temperatura
-40 -30 -20 -10 0 4 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Temperatura ºC
gelo
ρ
ρmin
Líquido
-40 -30 -20 -10 0 4 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Temperatura ºC
gelo
ρ
ρmin
Líquido
22
A partir do ρmín com o decréscimo da temperatura e a conseqüente contração e
aglutinação da água, é produzida uma dispersão nas ligações iônicas entre os grânulos de terra
no solo, resultando num maior valor de resistividade. No ponto de temperatura 0° C (água), a
curva sofre descontinuidade, aumentando o valor da resistividade no ponto 0° C (gelo). Com
um maior decréscimo na temperatura, há uma concentração no estado molecular diminuindo a
mobilidade dos portadores de carga aumentando, com isso, a resistividade do solo.
Já no outro extremo, com temperaturas elevadas próximo de 100°C, o estado de
vaporização deixa o solo mais seco, com a formação de bolhas internas, dificultando a
condução de corrente, conseqüentemente elevando o valor da sua resistividade.
Tabela 2.4 – Efeito da temperatura na resistividade do solo
Temperatura (°C) Resistividade (Ω.m) solo arenoso
+20 72
+10 33
0 (água) 138
0 (gelo) 300
-5 790
-15 3.300
g) Estratificação do solo
Os solos geralmente não são homogêneos, mas formados por diversas camadas de
resistividade em profundidades diferentes. Essas camadas, devido a formação geológica, são
horizontais e paralelas a superfície do solo.
Existem casos em que as camadas se apresentam inclinadas e até verticais devido a
alguma falha geológica. Além disso, o solo pode apresentar características anisotrópicas,
quando por exemplo camadas mais profundas afloram em locais determinados, ocasionando
descontinuidade na superfície. Desta forma, a resistividade pode variar com a direção
considerada, e, para tratar de um solo de um certo local, passa-se a atribuir-lhe o valor médio
das resistividades das diversas partes que o compõem, denominado resistividade aparente
deste solo [8, 9].
Parece lógica a existência de uma correlação entre a resistividade do solo e sua
estrutura geológica, quando são considerados os processos naturais de formação da crosta
terrestre e a natureza dos materiais que a compõem. A Tabela 2.5 mostra as faixas de valores
23
de resistividade correspondentes a formações predominantes em determinados períodos
geológicos [8].
Tabela 2.5 – Valores típicos de resistividade para diferentes períodos geológicos.
Período Resistividade
Características (Ω.m)
Pré-Cambriano e combinações de Pré-Cambriano e Cambriano
1.000 a 10.000
Combinações de Cambriano e Ordoviciano 100 a 1.000
Ordoviciano, Devoniano e combinação destes 50 a 600
Carbonífero, Triássico e combinações do Carbonífero com períodos mais recentes
10 a 300
Cretáceo, Terciário, Quaternário e combinação destes períodos
2 a 30
Há dois métodos principais para medição de resistividade aparente para fins de
aterramento: o método de Wenner, muito utilizado no Brasil, e o método de Schlumberger,
mais utilizado nos Estados Unidos.
A terra é modelada como sendo composta de diversas camadas de solo as quais tem
características elétricas diferentes, conforme ilustrado na Figura 2.14. Observa-se na figura,
um exemplo de solo estratificado em quatro camadas, sendo a última camada de espessura
considerada infinita.
Fig. 2.14 Representação do solo estratificado em quatro camadas onde a última camada é considerada infinita
1ª camada h1
2ª camada h2
3ª camada h3
4ª camada h∞
, ,σ ε µ∞ ∞ ∞
1 1 1, ,σ ε µ
2 2 2, ,σ ε µ
3 3 3, ,σ ε µ
1ª camada h1
2ª camada h2
3ª camada h3
4ª camada h∞
, ,σ ε µ∞ ∞ ∞
1 1 1, ,σ ε µ
2 2 2, ,σ ε µ
3 3 3, ,σ ε µ
24
Em muitos casos o solo é representado por duas camadas. Nesta representação a
camada superficial tem a sua espessura e características elétricas equivalente às n-1 camadas a
partir da superfície.
2.2.2 Resistência de aterramento
Uma conexão à terra apresenta resistência, capacitância e indutância, cada qual
influindo na capacidade de condução de corrente para o solo. Portanto, em princípio, não se
deve pensar apenas numa resistência de aterramento, mas numa impedância. Para condições
de baixa freqüência, baixas correntes e valores de resistividade do solo não muito elevados,
são desprezíveis os efeitos reativos e de ionização do solo e o mesmo comporta-se
praticamente como uma resistência.
A quantificação do valor da resistência de aterramento pode ser traduzida através da
relação entre o valor da diferença de potencial verificada entre o eletrodo e um ponto no
infinito (local da terra afastado do eletrodo onde o potencial se anula) e o valor da corrente
injetada no solo através do referido eletrodo.
Na literatura especializada encontram-se várias fórmulas para cálculo da resistência de
aterramento. Os eletrodos de aterramento mais comuns são as hastes e os cabos de
aterramento. Apresentam-se a seguir os cálculos necessários para determinação da resistência
de aterramento de uma haste em um solo homogêneo.
O potencial em um ponto P imerso em um solo infinito e homogêneo, localizado a
uma distância r de uma fonte pontual de corrente (ponto c), da qual emana uma corrente
elétrica I, conforme mostrado na Figura 2.15, pode ser obtido partindo-se do campo elétrico
EP, no ponto P, como segue,
Fig. 2.15 Fluxo de corrente resultante na terra
VP
r
I Pc VP
r
I PVP
r
IVP
r
I Pc
25
p PE Jρ= , (2.4)
onde JP é a densidade de corrente no ponto P.
A densidade de corrente observada sobre a superfície de uma esfera de raio r, com
centro no ponto c é dada por
24P
IJ
rπ= , (2.5)
substituindo a equação acima em (2.4), resulta
24P
IE
r
ρπ
= . (2.6)
O potencial no ponto P, em relação a um ponto infinito é dado por:
.P Pr
V E dr∞
= ∫ , (2.7)
como PE e dr têm a mesma direção e sentido, a equação (2.6) pode ser substituída em (2.7),
resultando,
4P
IV
r
ρπ
= . (2.8)
Como a situação mostrada na Figura 2.15 não encontra aplicação prática, uma situação
real pode ser encontrada quando a fonte de corrente I, é posicionada no interior da terra,
considerada homogênea, como mostrado na Figura 2.16.
26
Fig. 2.16 Fonte de corrente I no interior da terra
Para efeito de análise do potencial no interior da terra, o sistema da Figura 2.16 pode
ser substituído pelo sistema equivalente (método das imagens), mostrado na Figura 2.17.
Fig. 2.17 Potencial em um ponto P localizado no interior da terra. Utilização do método das
imagens
O potencial em um ponto P, em relação ao infinito, passa a ser calculado pela
superposição das contribuições das duas fontes de corrente. Desta forma, têm-se para o
potencial, a seguinte expressão, usando-se (2.8),
solo
I
solo
I
27
'
'4 4P
I IV
r r
ρ ρπ π
= + ,
1 1
4 'P
IV
r r r
ρπ
= +
, (2.9)
onde 'I I= e as distâncias r e r’ são dadas por:
( ) ( ) ( )2 2 2
0 0 0r x x y y z z= − + − + − , (2.10)
( ) ( ) ( )2 2 2
0 0 0'r x x y y z z= − + − + + . (2.11)
Para o caso de uma haste de comprimento L, ao ser injetada a corrente I, pode-se
considerar a densidade de corrente uniforme ao longo do comprimento da haste.
A Figura 2.18 representa uma haste de comprimento L e raio a, posicionada na origem,
ou seja, nas coordenadas x = 0, y = 0 e z = 0. O problema em questão trata do cálculo, em um
ponto afastado P0, do potencial gerado, conforme sugerido por Dwight [10].
Fig. 2.18 Haste de aterramento posicionada na origem
x0
P0
z0
y0 L
-L
X
Y
Z
x0
P0
z0
y0 L
-L
X
Y
Z
28
Para calcular o potencial da haste no ponto P0 , pode-se considerar a fonte como sendo
constituída de várias fontes de corrente infinitesimais alinhadas ao longo do comprimento da
haste e produzir a somatória dessas contribuições (superposição).
Substituindo os valores de r e r’ conforme a nova situação da haste centrada na origem
tem-se:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 20
0 0 0 0 0 0
1 1
4 0 0 0 0
L
P
IV dz
L x y z z x y z z
ρπ
= + − + − + − − + − + +
∫ , (2.12)
fazendo 2 2 20 0b x y= + tem-se,
( ) ( )2 22 20
0 0
1 1
4
L
P
IV dz
L b z z b z z
ρπ
= + + − + +
∫ , (2.13)
após a integração, tem-se,
( ) 0 00 4haste
L z L zIV P arcsenh arcsenh
L b b
ρπ
+ − = +
. (2.14)
O primeiro termo representa a contribuição da haste e o segundo a contribuição da
imagem. Para se obter o valor da resistência da haste basta calcular o potencial médio na
superfície da haste e dividi-lo pelo valor da corrente. Como a distância entre a superfície da
haste e sua linha central é o raio da haste, faz-se b = a em (2.14) e integra-se zo de 0 até L,
onde obtém-se a seguinte equação para o potencial:
( )0 00
1L
hm hV V P dzL
= ∫ . (2.15)
29
Após a integração e simplificação da equação acima, tem-se:
22
12 2 2hm
I L a aV arcsenh
L a L L
ρπ
= − + + , (2.16)
Substituindo ( )2( ) ln 1arcsenh x x x= + + , obtém-se:
2 22
ln 1 1 12 2 2 2hm
I L a a aV
L a L L L
ρπ
= + + − + +
. (2.17)
Considerando que o valor de a é muito menor que L, os termos a/2L podem ser
desprezados. Após o que, a equação (2.17) é dividida pela corrente I e, o diâmetro da haste
d=2a é considerado. Desta forma, obtém-se a resistência da haste de aterramento. A
expressão (2.18) mostra a conhecida fórmula de Sunde [11].
8ln 1
2h
LR
L d
ρπ
= −
. (2.18)
Dependendo da precisão que se deseja obter nos cálculos da resistência de
aterramento, existe uma fórmula, muito comum na literatura, dada por Tagg [6], a qual é
expressa como segue:
2
ln2h
LR
L a
ρπ
=
. (2.19)
Como é bem conhecida, a interligação de hastes em paralelo diminui, sensivelmente, o
valor da resistência de aterramento. Para o cálculo da resistência de uma associação de hastes,
deve-se levar em conta o efeito das resistências mútuas entre as hastes. Este efeito é devido à
30
elevação do potencial de uma haste gerada pela corrente que flui em outra haste, reduzindo a
eficiência da associação.
A solução clássica para este problema, consiste em utilizar um método matricial,
resolvendo um sistema de equações lineares para determinar a corrente que flui em cada uma
delas, impondo que o potencial em todas as hastes seja o mesmo [12].
Dependendo do tamanho da associação considerada, o método matricial requer
bastante memória de computador, bem como tempo de processamento, de forma que, para
sistemas simples, pode-se assumir uma distribuição de corrente constante, aplicada a casos
particulares, tal como hastes em linha, círculo etc.
Na Tabela 2.6 são apresentadas fórmulas para o cálculo da resistência de aterramento
de algumas configurações típicas de aterramento [13].
Para solos estratificados em duas camadas, a principal diferença em relação ao solo
homogêneo são as reflexões e refrações na interface entre as camadas diferentes do solo.
Neste caso vale ressaltar que há duas interfaces funcionando como “espelhos”, sendo uma da
superfície da terra com o ar e a outra entre os solos de resistividades diferentes.
2.2.3 Métodos de medição da resistência de aterramento
A tecnologia atual. estabelece claramente que não existe qualquer medição indireta
que substitua a medição direta da resistência de aterramento utilizando técnica adequada.
Referidas medições, são de grande importância na verificação dos valores de resistência de
aterramento de um sistema recém construído ou para detectar variações nos padrões de
aterramento durante as rotinas de manutenção. A quantificação da resistência de um
aterramento é realizada pela razão entre o potencial do sistema de aterramento em relação a
um ponto infinitamente afastado e a corrente que se faz fluir através do mesmo sistema.
2.2.3.1 Método da queda de potencial
O método da queda de potencial é um modo de medida em linha. O instrumento a ser
utilizado na implementação do método é denominado Terrômetro ou “Megger”, conforme
ilustrado na Figura 2.19, podendo ser de 3 ou 4 terminais. No caso de se utilizar a segunda
opção, os terminais P1 e C1 deverão ser curto-circuitados. A medição é feita conectando a
malha de terra (de preferência desconectada do sistema elétrico, ou seja, neutros,
equipamentos etc.) aos terminais P1 e C1 do equipamento; o terminal C2 é conectado ao
eletrodo auxiliar de corrente e o terminal P2 é conectado ao eletrodo auxiliar de potencial.
31
Tabela 2.6 – Expressões para configurações típicas de eletrodos de aterramento
Eletrodo
Tipo/Fórmula
Eletrodo Vertical
4ln 1
2T
LR
L a
ρπ
= −
Eletrodo Horizontal
2 4 2ln ln 2 ....
2T
L L dR
L a d L
ρπ
= + − + +
Semi-esfera ao nível do solo
2TRr
ρπ
=
Esfera colocada a profundidade “d”
1 1ln
4 2TRr d
ρπ
= +
Disco horizontal a profundidade “d”
1 1ln
4 2TRr d
ρπ
= +
Disco vertical a profundidade “d”
2TRr
ρπ
=
A distância C entre a malha de aterramento e o eletrodo de corrente em C2 deverá ser
bem superior às dimensões lineares do sistema do aterramento.
L
2 a
L
2 a
d
2a
d
2a
d
r
d
r
dd
dd
32
Em termos práticos, o eletrodo de corrente deverá ser colocado a uma distância, do
centro geométrico do aterramento, com valor superior a 3 ou 4 vezes a maior dimensão linear
do mesmo. Aconselha-se que essa distância não seja inferior a 40 metros, para pequenos
aterramentos, e a 100 metros, para o caso de malhas mais extensas [13].
Fig. 2.19 Esquema de medição da resistência de terra
Ao variar a distância entre o eletrodo auxiliar de potencial ligado a P2 e o eletrodo
auxiliar de corrente ligado a C2 e proceder a medição de resistência em cada ponto escolhido
no percurso, será possível plotar uma curva do tipo mostrada na Figura 2.20. Pode-se observar
que, quando se adota uma distância suficiente entre o eletrodo auxiliar de corrente e o centro
da malha de terra (C), um patamar relativamente extenso e plano é formado na curva plotada e
a ordenada desse patamar representa o valor da resistência procurada (RT).
Fig. 2.20 Perfil da resistência no método da queda de potencial
v v
Terrômetro
P1 , C1 P2 C2
Vt
It
vv vv
Terrômetro
P1 , C1 P2 C2
Vt
It
C
R(Ω)
RT
61.8%0% 100%
R(Ω)
RT
61.8%0% 100%
33
2.2.3.2 Método da regra dos 62%
O método da regra dos 62% é também um modo de medida em linha. Nele, o eletrodo
de potencial representado por P2, deverá ser locado a partir do eixo da malha de aterramento a
uma distância, mais precisamente, de 61.8% (na prática utiliza-se 62%) do posicionamento do
eletrodo auxiliar de corrente em C2, conforme mostrado na Figura 2.20. Deverão ser feitas três
leituras para medição da resistência; uma, na posição 62%; outra, mais à direita e outra, mais
à esquerda. Se os valores obtidos para as três leituras forem diferentes, significa dizer que na
zona em que está locado o eletrodo auxiliar P2, o potencial não será nulo. Há necessidade de
se afastar mais o eletrodo auxiliar de corrente C2 e repetir os ensaios.
2.2.4 Método de medição de resistividade do solo
Uma das formas para medição da resistividade do solo é efetuada basicamente por
amostragem, onde uma amostra de solo é coletada e enviada ao laboratório para determinação
de sua resistividade. Outra forma seria através da medição local com auxilio de aparelhos que
injetam correntes em regiões limitadas do solo, através de eletrodos adequadamente
posicionados. Como exemplo deste tipo de procedimento, será citado o método de Frank
Wenner.
2.2.4.1 Medição por amostragem
O processo consiste na utilização de uma cuba de dimensões conhecidas onde se
introduz o material a ser ensaiado que, no caso, seria a amostra do solo, devidamente
compactada, e com a melhor aderência possível às paredes da cuba. As laterais da cuba
deverão ser de material isolante, assegurando-se que toda a corrente do ensaio circule pela
amostra de solo, conforme mostrado na Figura 2.21.
Fig. 2.21 Medição da resistividade em laboratório utilizando cuba
V
A∼∼∼∼
Área = A
I
VV
A∼∼∼∼ AA∼∼∼∼∼∼∼∼
Área = A
I
34
Vale lembrar que, neste caso, a lei de Ohm pode ser aplicada, como segue
; ;amostra
V R A lR R
I l A
ρρ= = = .
As medições por amostragem apresentam um sério inconveniente no referente a
incerteza da amostra apresentar no laboratório exatamente as mesmas características que
apresentava no local de origem, tais como: umidade, compacidade e, principalmente, a
fidelidade na composição do solo, considerando-se as propriedades anisotrópicas e
heterogêneas que normalmente os solos apresentam. Essas possíveis mudanças na
característica podem ser traduzidas como fatores de distorção da realidade. Este tipo de
medição se restringe a complementação das informações resultantes de medições efetuadas
em campo ou para fins específicos de pesquisa da resistividade média de tipos de solos e
materiais [13].
2.2.4.2 Medição pelo método de Wenner
O método de Wenner [14], bastante utilizado na engenharia para medição de
resistividade do solo, utiliza quatro hastes alinhadas, igualmente espaçadas (a) e cravadas a
uma mesma profundidade (P). Neste método, o diâmetro das hastes não deve exceder um
décimo do espaçamento. Na Figura 2.22, mostra-se o arranjo para a medição da resistividade.
Fig. 2.22 Arranjo para medição de resistividade utilizando o método de Wenner
C1 C2P1 P2
Terrômetro
v v v v
p
aaa
C1 C2P1 P2
Terrômetro
C1 C2P1 P2
Terrômetro
vv vv vv vv
p
aaa
35
Para obtenção da resistividade, uma corrente elétrica I é injetada entre os terminais
ligados a C1 e C2. Esta corrente, passando pelo solo, produz uma diferença de potencial entre
as hastes ligadas em P1 e P2. Então, utilizando o método das imagens para contabilização do
potencial nos terminais de P1 e P2, e dividindo este valor pela corrente circulante no solo e
explicitando a resistividade, chega-se a equação (2.20).
( ) ( ) ( )2 2 22
4[ . ]
2 21
2 2 2
aRm
a a
a p a p
πρ = Ω
+ −+ +
. (2.20)
Para um afastamento, entre as hastes, relativamente grande, a>20p, a fórmula (2.20) é
aproximada por:
[ ]2 .aR mρ π= Ω (2.21)
Dependendo da importância do local de aterramento, e de suas dimensões, as medidas
deverão ser levantadas em várias direções. Feitas as medições, uma análise dos resultados
deve ser realizada para que os mesmos possam ser avaliados quanto à sua aceitação ou não.
2.2.5 Conceitos básicos de segurança em aterramento
Os sistemas elétricos, desde a sua concepção original, utilizam na sua geração e
distribuição de energia, em grande parte das aplicações, equipamentos trifásicos balanceados.
As extremidades dos enrolamentos dos geradores, nas grandes usinas, que não estão ligadas a
carga, são normalmente conectadas em estrela e o ponto neutro formado pela referida conexão
é ligado à terra de forma direta ou através de dispositivos responsáveis pela limitação da
corrente de curto-circuito.
A ocorrência de falha em uma ou várias fases para terra ou ainda a incidência de
descargas atmosféricas em linhas de transmissão ou equipamentos de subestações, originam
elevada corrente de seqüência zero e intenso fluxo de corrente de retorno, respectivamente.
Estas sobrecorrentes produzidas tendem a circular pelo neutro e pelo sistema de aterramento
associado.
36
A passagem da corrente elétrica pela terra, tanto no período transitório como de
regime, tende a produzir diferenças de potencial nas imediações da ocorrência, cujos valores
são resultados do produto da magnitude da corrente pela impedância do solo no trecho
considerado.
Do ponto de vista da segurança de pessoas nas vizinhanças de um sistema elétrico, os
sistemas de aterramentos e condutores de equalização utilizados no ambiente protegido, têm
por finalidade garantir que as mesmas não sejam expostas a tensões acima de certos limites.
Estas exposições acontecem principalmente devido às diferenças de potencial que podem se
desenvolver entre estruturas metálicas aterradas ou não e o solo, acima ou nas vizinhanças da
malha de aterramento. As condições que tornam possível a ocorrência de choques elétricos
acidentais são basicamente [15]:
• os valores elevados de corrente de falta à terra ou incidência de descargas na região
de aterramento;
• a alta resistividade do solo em função da inexistência ou deficiência do sistema de
aterramento. Este fato poderá provocar o surgimento de altos gradientes de potencial
na superfície da terra;
• a presença de pessoas nas áreas de risco sem utilizar os componentes normatizados de
proteção individual, tais como luvas, botas isolantes etc.. Esses componentes são
responsáveis pelo incremento de resistências para proteção do corpo humano à
diferenças de potenciais elevadas;
• a inexistência de camadas de brita nos pisos das subestações tornam o indivíduo mais
vulnerável ao choque elétrico em função da diminuição da resistência de contato com
o solo e
• a duração do tempo da falta e tempo de circulação da corrente através do corpo
humano em decorrência, por exemplo, de uma proteção ineficiente.
2.2.5.1 Efeito da corrente no organismo humano
Os efeitos da corrente passando através de partes vitais do corpo humano, dependem
do percurso da corrente elétrica pelo corpo, intensidade da corrente, duração, freqüência,
valor da tensão, estado de umidade da pele e condições orgânicas do individuo. A
conseqüência mais perigosa a ser considerada é conhecida como fibrilação ventricular do
coração que é o estado de tremulação (vibração) irregular e desritmada das paredes dos
ventrículos, com perda total da eficiência do bombeamento do sangue Estudos mostram que o
37
limite para que não ocorra a fibrilação está baseada na expressão (2.22), limitada a tempos de
0,03s a 3,0s [16].
( )2c s cI t S= , (2.22)
sendo,
Ic - valor rms de corrente permitida através do corpo em Ampéres,
ts - tempo de exposição ou duração da falta em segundos e
Sc - constante empírica relacionada com a tolerância ao choque elétrico para um certo
percentual da população.
Para um corpo humano médio de 50Kg ou mais, foi encontrado empiricamente o
valor de Sc = 0,0135. Usando-se esse valor em (2.22), têm-se como máxima corrente
suportada pelo corpo humano o valor dado por (2.23) [17].
0.116c
s
It
= (2.23)
Por exemplo, para um tempo de exposição ts = 1s, tem-se um valor máximo para
corrente suportada de Ic =116mA.
2.2.5.2 Potencial de passo e de toque
Em estruturas eletrificadas, o conhecimento da tensão de toque e de passo é de suma
importância, pois permite um diagnóstico da eficiência de um sistema de aterramento. Caso as
referidas tensões não excedam os limites admissíveis, o sistema pode ser considerado seguro,
independendo dos valores de elevação do potencial de terra (GPR) a que possa estar
submetido o sistema de aterramento em questão. Desta forma, uma boa condição de
segurança, pode ser obtida por meio de um projeto que priorize uma geometria adequada da
malha de terra, mesmo que a resistência de aterramento seja alta [18]. Uma pessoa transitando
em uma instalação não deverá ficar submetida a potenciais superiores aos que produzem
correntes em seu corpo maiores que as especificadas em (2.23). A Figura 2.23 apresenta de
forma clara as condições a que um indivíduo pode se expor em uma instalação de risco [15].
Na Figura 2.23, I é a corrente produzida pelo transitório elétrico na estrutura metálica
em questão, R0, R1 e R2 são valores de resistência do solo na região indicada, RF é a
38
resistência de contato do pé, RK é a resistência das pernas na Figura 2.24(a) e dos membros e
tronco na Figura 2.23(b), Vtoque é o potencial de toque e Vpasso é o potencial de passo. Os
circuitos resistivos mostrados, esclarecem a condição de fluxo de corrente elétrica nas duas
situações apresentadas. Fica clara a minimização da corrente elétrica através do corpo humano
quando há uma maior eficiência do aterramento representada pela diminuição dos valores de
R0, R1 e R2..
(a)
(b)
Fig. 2.23 Tensão de passo (a) e tensão de toque (b) em estrutura aterrada
Vpasso
R1R2 R0
RK
RF RF
Distribuição do potencialna terra devido a umadescarga ou curto-circuito
RF
RF
RKR1
R2
R0
IK
IK
Vpasso
I
Vpasso
R1R2 R0
RK
RF RF
Distribuição do potencialna terra devido a umadescarga ou curto-circuito
RF
RF
RKR1
R2
R0
IK
IK
Vpasso
I
Distribuição do potencialna terra devido a umadescarga ou curto-circuito
RF/2
Vtoque
R1 R0
RK
RF/2
RK
R1
R0
I
IK
IK
I
Vtoque
Distribuição do potencialna terra devido a umadescarga ou curto-circuito
RF/2
Vtoque
R1 R0
RK
RF/2
RK
R1
R0
I
IK
IK
I
Vtoque
39
2.2.5.3 Resistência do corpo humano
Embora os efeitos fisiológicos dependam da intensidade da corrente, na maior parte
dos casos, a gravidade de uma ocorrência é imputada a tensão aplicada ao acidentado que é
fixada pela instalação elétrica. A resistência elétrica tem um papel fundamental nos acidentes
com eletricidade. Verifica-se que esta resistência é não linear, podendo considerar-se em uma
aproximação razoável os seguintes valores para a mesma:
Tabela 2.7 Resistência do corpo humano com a tensão
Tensão (Volts) Resistência (Ohms)
25 3250
50 2625
220 1350
1000 1050
A Tabela 2.7 é válida para trajetos de corrente elétrica que atravessem a região
cardíaca, isto é, de uma mão para outra mão ou de uma mão para um pé. Nota-se que se
costuma definir a “resistência do corpo humano” como a soma de três resistências em série,
ou seja:
• resistência de contato, na entrada da corrente, entre a vítima e o condutor tocado;
• resistência do próprio corpo humano e
• resistência de contato na saída de corrente, entre a vítima e a outra superfície
condutora tocada, normalmente o solo.
A resistência de contato entre a vítima e o solo, varia muito com a natureza dos
sapatos e o estado do solo.
• sapatos de sola secos – resistência maior do que 50.000Ω e
• sapatos úmidos com protetores metálicos – resistência da ordem de centenas de Ohms.
No caso geral, como os contatos tendem a resistências altas, salvo em condições
especiais de proteção individual, pode-se admitir que a resistência do corpo não desce abaixo
dos 2.000Ω. Para tensões acima de 1kV (correntes acima de 5A) a resistência do corpo
humano cai devido à destruição dos tecidos nos pontos de contato.
40
Considerando a condição mais desfavorável, ou seja, resistências de contato iguais a
zero, e usando a expressão (2.23) para corrente máxima suportada pelo corpo humano e
admitindo-se que a resistência do corpo é da ordem 1000Ω, tem-se então do ponto de vista do
máximo potencial, admitido:
116
s
Vt
= . (2.24)
2.3 Comportamento do aterramento frente às descargas atmosféricas
2.3.1 Introdução
O comportamento de um sistema de aterramento excitado por correntes impulsivas de
elevada intensidade (tais como, descargas atmosféricas ou faltas do tipo fase terra), difere
consideravelmente daquele submetido a baixas freqüências e reduzido valor de corrente. O
comportamento indutivo do solo se torna muito importante quando comparado com o
comportamento resistivo, complementando ainda que, tais correntes elevadas, podem causar
disrupção ou efeitos ionizantes no solo, fazendo com que a resposta ao pulso de corrente seja
tipicamente não-linear. Nas seções seguintes serão abordados assuntos relacionados à
variação dos parâmetros do solo com a freqüência, propagação em meios condutivos e efeitos
da ionização no solo.
Um aterramento elétrico consiste de uma ligação elétrica proposital de um sistema
físico (elétrico, eletrônico ou corpos metálicos) ao solo. Este se constitui basicamente de três
componentes, como ilustra a Figura 2.24.
Fig. 2.24 Ligação típica de uma haste de aterramento
Ligação aoequipam.
Tampa de concreto
Haste de cobre5/8” x 2,40m
Conexõesexotérmicas
Tubo de PVC
Ligação aoequipam.
Tampa de concreto
Haste de cobre5/8” x 2,40m
Conexõesexotérmicas
Tubo de PVC
41
as conexões elétricas que ligam um ponto do sistema aos eletrodos;
eletrodos de aterramento (qualquer corpo metálico colocado no solo);
terra que envolve os eletrodos.
O ponto do sistema que se deseja conectar ao solo pode ser de natureza variada.
Dependendo da aplicação este pode constituir-se em uma trilha numa placa de circuito
impresso, na carcaça de um computador, motor, transformadores de grande porte ou, ainda,
no neutro de um sistema elétrico. Também, os eletrodos de aterramento podem ter
configurações bem diversificadas, citando-se como exemplo algumas configurações usuais,
tais como: cantoneiras de ferro galvanizado, hastes revestidas com cobre, sistemas hidráulicos
ou malhas em reticulado. As formas, assim como as disposições geométricas dos eletrodos no
solo, são as mais variadas, de acordo com a aplicação. Destacam-se as hastes verticais, usadas
principalmente quando as camadas mais profundas do solo têm menor resistividade, e que são
muito práticas, por serem de fácil cravação. Os eletrodos horizontais, enterrados usualmente
a profundidades da ordem de 0,5 metro, são usados principalmente quando a maior
preocupação é o controle do gradiente de potencial na superfície do solo.
Para se avaliar a natureza dos aterramentos, deve ser considerado que, em geral, uma
conexão à terra apresenta resistência, capacitância e indutância, cada qual influindo na
capacidade de condução da corrente para a terra. A perspectiva na qual o sistema “enxerga” o
aterramento pode ser expressa através de sua impedância. Tal “Impedância de aterramento”
pode ser conceituada como a oposição oferecida pelo solo à injeção de uma corrente elétrica
no mesmo, através dos eletrodos, e se expressa quantitativamente por meio da relação entre a
tensão aplicada ao aterramento e a corrente resultante.
O solo, como outro meio qualquer, tem propriedades elétricas e magnéticas. Estas
propriedades variam de acordo com a composição química, física e geométrica dos
componentes do solo. Os parâmetros do solo de grande importância no estudo de aterramento
são: resistividade, permissividade e permeabilidade. A qualidade de um aterramento elétrico
no solo está relacionada diretamente com estas propriedades. A mais utilizada, é a
resistividade, ou seja, a capacidade de conduzir corrente elétrica ativa através de um meio
condutivo. Este parâmetro foi tratado com certo nível de detalhamento na seção 2.2. A
permissividade elétrica assume importância durante o escoamento de pulsos elétricos em
freqüências elevadas. E a permeabilidade tratada como sendo constante e igual a do vácuo
para a grande maioria dos tipos de solo.
42
a) Permissividade – A permissividade varia para cada tipo de terreno, tem influência no
efeito capacitivo dos eletrodos de terra e na velocidade de propagação da corrente elétrica na
terra. Para a permissividade absoluta do vácuo, têm-se ε0 = 8.854x10-12. Para efeito de
simplificação, utiliza-se a permissividade relativa (εr) que é a permissividade em relação a do
vácuo, também conhecida como constante dielétrica. Os solos conhecidos têm a constante
dielétrica relativa variando de 1,5 a 80, sendo mais usuais os valores entre 10 e 15. A água do
mar tem constante dielétrica 80, ver Tabela 2.8 [19].
Tabela 2.8 Constante dielétrica aproximada ou permissividade relativa (εr) e a rigidez dielétrica de alguns materiais de uso corrente
Material
Constante dielétrica (εεεεr) adimensional
Rigidez dielétrica E(V/m)
Titanato de bário 1.200 7.5 x 106
Água (mar) 80
Água destilada 81
Nylon 8
Papel 7 12 x 106
Vidro 5-10 35 x 106
Mica 6 70 x 106
Porcelana 6
Baquelite 5 20 x 106
Quartzo (fundido) 5 30 x 106
Borracha (dura) 3.1 25 x 106
Madeira 2.5-8.0
Poliestireno 2.55
Polipropileno 2.25
Parafina 2.2 30 x 106
Petróleo 2.1 12 x 106
Ar (1 atmosfera) 1 3 x 106
A permissividade depende do tipo de solo, da umidade, da freqüência e da variação
di/dt do sinal injetado no solo. Até o presente momento, estas variações têm sido consideradas
apenas em pesquisa científica [19].
43
b) Permeabilidade – É a propriedade magnética dos materiais. Na física e na engenharia
elétrica, a permeabilidade é o grau de magnetização de um material em resposta a um campo
magnético. A permeabilidade absoluta para o vácuo é representada pelo símbolo µo e seu
valor é de 4.π.10-7 H/m, da mesma forma que a permissividade, utiliza-se a permeabilidade
relativa ou constante magnética µr. A Tabela 2.9 mostra alguns valores de permeabilidade
relativa [20].
Tabela 2.9 Permeabilidade relativa (µr) de alguns materiais
Material Permeabilidade relativa (µµµµr)
Diamagnético
Bismuto 0.9998330
Mercúrio 0.9999680
Prata 0.9999736
Chumbo 0.9999831
Cobre 0.9999906
Água 0.9999912
Hidrogênio (cntp) 1.0000000
Paramagnético
Oxigênio (cntp) 0.9999980
Ar 1.0000000
Alumino 1.0000210
Tungstênio 1.0000800
Platina 1.0003000
Manganês 1.0010000
Ferromagnético
Cobalto 250
Níquel 600
Ferro-doce 5000
Ferro-silício 7000
Em geral, a permeabilidade para materiais não ferromagnéticos é próxima a do vácuo,
ou seja, µ = 4π 10-7 H/m; o valor da permeabilidade relativa para o solo, nessas condições, é
em geral µr = 1.
44
2.3.2 Variação dos parâmetros do solo em função da freqüência
Grande parte dos trabalhos de engenharia na área de aterramento e descargas
atmosféricas não leva em consideração a variação dos parâmetros do solo com a freqüência,
quando da incidência das descargas atmosféricas; considera a terra como sendo um meio
predominantemente não-dispersivo. Nas pesquisas envolvendo este tipo de variação, um
aspecto essencial constitui-se na modelagem adequada do solo. Excetuando os casos de
campos elétricos muito elevados, que originam significativa ionização do solo, o
comportamento eletromagnético do solo pode ser considerado linear, e não-dispersivo.
Considerar o solo como um meio predominantemente não-dispersivo, é uma prática
razoável para ocorrências lentas, tais como, curto-circuito e outros fenômenos similares. Para
os fenômenos rápidos, caracterizados por descargas atmosféricas, a corrente capacitiva pode
atingir valores próximos aos da corrente resistiva, principalmente quando se tratar de solos de
alta resistividade. Dados experimentais mostram que as relações entre correntes condutivas e
capacitivas no solo variam de forma acentuada na faixa de freqüência que é representativa na
ocorrência das descargas atmosféricas (0.5 < σ/ωε < 103) [21]. Isto sugere um estudo mais
aprofundado sobre o assunto. A Figura 2.25 mostra a característica tensão-corrente para uma
amostra de solo submetido a uma corrente impulsiva (1.2x50 µs exponencial dupla). As
amostras de solo foram compactadas e testadas entre eletrodos cilíndricos coaxiais, sendo que
o eletrodo interno possuía diâmetro típico daqueles usados em sistemas de aterramento
tradicionais. A curva tensão-corrente foi traçada a partir das observações dos valores de
tensão e corrente simultâneas para cada instante de tempo (ti), a partir de curvas que
representam tais ondas no domínio do tempo [21].
A análise dos resultados é facilitada quando os mesmos são apresentados na forma de
gráficos VxI. Como pode ser verificada, a curva resultante ao confronto entre pulso de
corrente e tensão desenvolvida em vários instantes de tempo, mostra o defasamento produzido
por um solo com características de um circuito RC. A derivada na curva V x I, obtida pela
relação entre ∆V/∆I, representa de forma aproximada o valor da impedância do solo. Quando
não ocorre processo de ionização do solo, a curva se inicia com inclinação reduzida, fechando
o “loop” pela parte superior produzindo a reta tangente RLF que corresponde à resistência de
baixa freqüência do solo [22].
Para os transitórios rápidos, associados às descargas, é importante a análise do
comportamento do solo em uma faixa de freqüência que pode variar de 0 a 2 MHz.
45
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
I(ti)
RLF=∆V/∆I
t1
t3
ti
tn
Vti
VP
Tensão (V)
Corrente (A)
Fig. 2.25 Curva tensão-corrente para uma amostra de solo entre dois cilindros coaxiais
2.3.3 Distribuição do campo e efeitos de propagação no solo
Quando se aplica, pulsos de corrente ou tensão ao longo de um condutor enterrado, as
ondas eletromagnéticas correspondentes se propagam ao longo do condutor. Este sistema
opera como uma linha de transmissão imersa em um meio com perdas. Enquanto a onda se
propaga, perdas em energia promovem uma atenuação na sua amplitude. Por outro lado, as
componentes de freqüência presentes na onda, apresentam diferentes velocidades de
propagação e são submetidas a diferentes níveis de atenuação. Tais atenuações aumentam
com a freqüência e com a condutividade do solo, que também são responsáveis pela perda de
energia. Resumindo, pode-se dizer que as ondas de corrente e tensão que se propagam ao
longo de um eletrodo têm suas amplitudes atenuadas e também são submetidas a distorções
considerando que a resistividade poderá ser não uniforme ao longo da direção de propagação.
É também observada a diminuição da inclinação da frente de onda [13]. Estes aspectos são
ilustrados na Figura 2.26.
46
Fig. 2.26 Atenuação da onda de propagação em condutor enterrado
Quando o comprimento de um eletrodo é limitado, tal comportamento deverá ser
superposto a outro que traduz a natureza divergente do campo associado à corrente que flui do
eletrodo ao potencial de terra distante. A Figura 2.27 ilustra este aspecto por meio de curvas
que mostram a distribuição do potencial escalar elétrico no solo. Para eletrodos concentrados
(curtos quando comparados ao comprimento de onda típico do sinal imposto) este
comportamento divergente prevalece.
Fig. 2.27 Comportamento divergente do campo
Como uma conseqüência da atenuação, a corrente que é dispersa no solo ao longo do
eletrodo, apresenta uma distribuição não uniforme. A densidade de corrente linear (A/m)
decresce ao longo do eletrodo. O conceito de comprimento efetivo do eletrodo (ou raio efetivo
para malhas), foi claramente introduzido por Gupta [23]. Comprimentos maiores de eletrodo,
V=0V=0
I
Atenuação
V
Diminuição da inclinação
solo
Eletrodo
I
Atenuação
V
Diminuição da inclinação
solo
Eletrodo
47
acima do comprimento efetivo, não conseguem reduzir o valor da impedância de aterramento.
Este comportamento é explicado pelo fato de que, comprimentos superiores, acima do limite,
a corrente apresenta grande atenuação não injetando praticamente nenhuma corrente adicional
no solo. O comprimento efetivo do eletrodo decresce com o aumento da condutividade do
solo e da freqüência. Isto é explicado pelo fato de ambos os parâmetros serem responsáveis
pelo aumento das perdas no solo e, conseqüentemente, pela atenuação das ondas de tensão e
corrente que se propagam ao longo do eletrodo. Ao se adotar para o eletrodo um modelo tipo
linha de transmissão introduzida no solo, a constante de atenuação (α) corresponderá a
componente real da constante de propagação (γ) que, por sua vez, aumentará com os valores
de freqüência e de condutância, ou seja:
( )( )[ ] 2/1CjGLjR ωωβαγ ++=+= . (2.25)
No domínio da freqüência, o valor do comprimento efetivo é claramente definido para
cada valor de freqüência. Entretanto, para correntes impulsivas que envolvem um grande
espectro de componentes de freqüências, a definição desses parâmetros é um pouco mais
complexa. Neste caso, o parâmetro a ser assumido será o do comprimento de eletrodo que
corresponda à impedância impulsiva mínima.
2.3.4 Efeitos de ionização do solo
Alguns trabalhos, frutos de pesquisas na área de aterramento [24-26], têm enfatizado
na sua elaboração, a diferença substancial que existe nas características dos sistemas de
aterramento quando sujeitos a pulsos de alta amplitude (descargas atmosféricas), daqueles
submetidos a tensões e correntes em baixas freqüências. Nas situações de altas freqüências
que acontecem durante a aplicação de um pulso de corrente, o comportamento indutivo se
torna mais importante que o comportamento resistivo. Além disso, os valores elevados de
corrente devido ao comportamento indutivo podem gerar complexas ionizações no solo em
volta dos condutores de aterramento, produzindo grandezas transitórias com características
tipicamente não lineares. Esses trabalhos, têm defendido em seu conteúdo, que as correntes
de descarga causam a ionização do solo, formando um plasma tendente a transformar a
região em volta do eletrodo em uma região de baixa resistência e baixa tensão transitória.
Vários modelos [24-26] têm sido propostos para análise e predição do comportamento de
48
sistemas de aterramento quando excitados por correntes impulsivas. Entretanto, a dinâmica e
a não linearidade do fenômeno de ionização, são freqüentemente omitidos pelas dificuldades
de modelagem da corrente e de suas complexidades.
O grau de redução na resistência de aterramento pela ionização, depende da
magnitude do gradiente de ionização do solo (Eo). O “Working Group Paper” do IEEE, em
estudo recente [27], não determinou qualquer valor para Eo, apenas recomendou que se
adotasse o valor de 1000 kV/m, sugerido por Oettle [28]. O documento “Lightning
Performance” do CIGRE [29], utiliza para Eo o valor de 400 kV/m em alguns de seus
cálculos, não havendo entretanto, qualquer suporte científico que evidencie a seleção do
referido valor. O cálculo da resistência de aterramento nestas condições, baseia-se na hipótese
do solo se tornar homogêneo na região ionizada, tomando formas geométricas simples e de
fácil análise. No caso de um eletrodo hemisférico, a região ionizada tomará a forma de um
hemisfério. Para o caso de uma haste de aterramento, Liew et al. [30] considerou a zona
ionizada como um cilindro em volta do eletrodo com hemisfério de mesmo raio do cilindro
na extremidade da haste, ver Figura 2.28.
Fig. 2.28 a) Eletrodo hemisférico b) Haste de aterramento: Método de Liew
Quando o gradiente de tensão no solo se torna maior que o seu gradiente de ionização,
há uma mudança no seu comportamento, ou seja, o valor da resistividade e,
conseqüentemente, o valor da resistência do sistema de aterramento, sofre um decréscimo.
Para estudar este comportamento, Gonos [26] utilizou em suas experiências, um arranjo para
teste e medição de corrente mostrado na Figura 2.29.
O arranjo mostrado, inclui um gerador de tensão de impulso de dois estágios com
capacidade de carregamento até 100 kV e com energia de 245 Watts por estágio. O
dispositivo de controle e instrumento de medição (Digitalizador transitório rápido,
(a)
(b)
49
osciloscópio Yokogawa DL1540 voltímetro de pico etc.), são colocados em uma gaiola de
Faraday com um sinal de atenuação de 50 dB até 1 GHz. Um filtro de alta freqüência e um
transformador isolador faz a blindagem da energia de alimentação aos instrumentos contra
ruídos e distúrbios.
Fig. 2.29 Arranjo para teste e medição de corrente
Os elementos do gerador de impulso e sistema de medição, têm os seguintes valores:
R1 = R2 = 500 kΩ, RH = 140 MΩ, RL = 3.86 kΩ, C1 = 6.000 pF, CL= 485 nF e Z1 = Z2 =75 Ω.
Um teste típico de amostras usadas na investigação, consistiu em preencher de terra o
volume intermediário entre os dois cilindros coaxiais posicionados verticalmente. O topo e a
base do cilindro externo foram envolvidos com placas isolantes. Na aplicação do impulso de
tensão, as curvas de tensão e corrente na amostra, foram capturadas pelo osciloscópio,
conforme mostrado na Figura 2.30.
Fig. 2.30 Pulso de tensão e corrente em solo ionizado a) Solo seco b) solo úmido
50
As curvas superiores de cada oscilograma correspondem a onda de corrente e as
curvas inferiores a onda de tensão. A presença de ionização do solo é evidenciada pelo rápido
crescimento da corrente e o correspondente decréscimo na tensão. Em conseqüência tem-se
um significante decréscimo na resistividade do solo.
Os estudos envolvendo ionização do solo são menos conservadores em termos de
cálculo das estruturas utilizadas nos sistemas de aterramento, pois demonstram a possibilidade
de redução considerável da resistividade do solo quando submetido ao gradiente de ionização.
Esta constatação pode ser útil na redução de custos na implantação dos projetos de sistemas
de aterramento.
51
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Earth”, Proc. IEE, Vol 121, N° 2, pp.123-135, 1974.
54
3.0 Desenvolvimento teórico e modelagem do problema
Este capítulo aborda de forma sucinta, a solução numérica das equações de Maxwell
por FDTD, a truncagem da região de análise por UPML, as técnicas de fio fino, o
processamento paralelo e a modelagem de sistemas de aterramento.
3.1 O Método FDTD
O método das diferenças finitas (FDM) foi inicialmente desenvolvido por A. Thom [1]
na década de 20 sob o título de “Método dos quadrados”, para solucionar equações
hidrodinâmicas não-lineares. Em 1966, Kane Yee [2] introduziu um algorítimo que consistia
em um conjunto de equações de diferenças originadas do sistema de equações rotacionais de
Maxwell dando então origem ao método FDTD. O algorítimo de Yee soluciona campos
elétricos e magnéticos no tempo e espaço simultaneamente. Na vida real, os problemas
eletromagnéticos dificilmente podem ser solucionados por métodos analíticos face a
complexidade de solução que normalmente é envolvida. Quando problemas com tais
características aparecem, as soluções numéricas são usadas, pelo fato de serem eficientes e
relativamente simples.
3.1.1 A Célula de Yee
Para meios isotrópicos, não dispersivos e com perdas, as equações de Maxwell podem
ser escritas, na forma diferencial, como:
HE
tµ∂
∇× = −∂
, (3.1)
EH E
tε σ∂
∇× = +∂
, (3.2)
onde E
e H
representam os vetores intensidade de campo elétrico (V/m) e magnético (A/m)
respectivamente, µ é a permeabilidade magnética do meio (Henrie/m), ε é a permissividade
elétrica (Farad/m) e σ a condutividade elétrica (mho/m). As demais equações de Maxwell ou
Leis de Gauss para os campos elétrico e magnético, não são utilizadas, por estarem implícitas
nas equações rotacionais (3.1) e (3.2).
Os vetores das equações (3.1) e (3.2) representam um sistema de seis equações
55
escalares que serão expressas no sistema de coordenadas retangulares.
Seguindo a notação de Yee, define-se um ponto da grade na região de solução como:
( ) ( ), , , ,i j k i x j y k z≡ ∆ ∆ ∆ , (3.3)
e qualquer função de espaço e tempo como,
( ) ( ), , , , ,nF i j k F i x j y k z n t≡ ∆ ∆ ∆ ∆ , (3.4)
onde , ,x y z∆ ∆ ∆ representam os incrementos espaciais finitos, t∆ é o incremento finito de
tempo, enquanto que i, j, k e n são inteiros e correspondem aos índices de incremento espacial
e temporal, respectivamente. Usando aproximação por diferenças centrada, para as derivadas
espaciais e temporal com precisão de 2ª ordem, tem-se [3]:
( ) ( ) ( ) ( )2, , 1/ 2, , 1/ 2, ,0
n n nF i j k F i j k F i j kx
x x∆
∆
∂ + − −= +
∂ (3.5)
( ) ( ) ( ) ( )
1/ 2 1/ 22, , , , , ,
0n n nF i j k F i j k F i j k
tt t
∆∆
+ −∂ −= +
∂ (3.6)
Ao aplicar (3.5) em todas as derivadas parciais [4] oriundas de (3.1) e (3.2), Yee
posicionou as componentes de E
e H
em uma célula, conforme mostrado na Figura 3.1.
Fig. 3.1 Célula de Yee
(i+1,j,k)
(i,j+1,k)
(i,j,k+1)
EX
EYHZ
HX
EZ
Z
HY
X
Y
(i+1,j,k)
(i,j+1,k)
(i,j,k+1)
EX
EYHZ
HX
EZ
Z
HY
X
Y
56
O algorítimo de Yee centra as componentes de E
e H
no espaço tridimensional de
modo que cada componente de E
é envolvida por quatro componentes de circulação de H
.
De forma similar, cada componente de H
é envolvida por quatro componentes de circulação
de E
. Desta forma, as expressões de atualização para Ex e Hx [5] são dadas, respectivamente,
pelas equações (3.7) e (3.8).
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )1/2 1/ 21 1/2, , 1/2, 1/2, 1/2, 1/2,
1/2, , 1 1/2, ,1/2, , 1/2, ,
n n
z zn n
x x
y
i j k H i j k H i j ktE i j k E i j k
i j k i j k
σε ε
+ ++
+ + + − + −∆+ = − + + + + + ∆
( ) ( )1/2 1/ 21/ 2, , 1/ 2 1/ 2, , 1/ 2n n
y y
z
H i j k H i j k+ + + − − + ++ ∆
, (3.7)
( ) ( )( )
( ) ( )1/ 2 1/2, 1/ 2, 1 , 1/2,
, 1/2, 1/2 , 1/2, 1/ 2, 1/2, 1/ 2
n n
y yn n tx x
z
E i j k E i j kH i j k H i j k
i j kµ+ −
+ + − +∆+ + = + + + + + + ∆
( ) ( ), , 1/ 2 , 1, 1/ 2n n
z z
y
E i j k E i j k + − + + + ∆
. (3.8)
Equações similares podem ser obtidas para as outras componentes dos campos.
3.1.2 Dimensões da célula, estabilidade e precisão
Antes da implementação das equações de diferenças finitas, as dimensões da célula de
Yee e o incremento de tempo devem ser determinados. O tamanho da célula é limitado pela
dispersão numérica, isto é, a velocidade de fase dos modos numéricos da onda, pode diferir da
velocidade da luz c de um valor que depende de: (a) comprimento de onda, (b) direção de
propagação na grade escolhida e (c) discretização. Após estabelecer o tamanho da célula, o
incremento de tempo é determinado de forma que se chegue à estabilidade numérica. Para que
se tenha um resultado significativo, o tamanho da grade deverá ser equivalente a uma fração
do comprimento de onda da maior freqüência significativa f. Dependendo da precisão do
resultado desejado, chegou-se a conclusão que o tamanho da célula deverá ser menor que
λ/10 [6], onde λ é o comprimento de onda.
Para garantir a estabilidade numérica nos casos gerais, a inequação (3.9), condição de
Courant [7], deverá ser satisfeita, onde v é a velocidade de propagação das ondas
eletromagnéticas no meio com menor permissividade.
57
( ) ( ) ( )2 2 2
1
1 1 1t
vx y z
∆ ≤
+ +∆ ∆ ∆
, (3.9)
Para o caso tridimensional em que as dimensões da célula são iguais, ou seja
x y zδ = ∆ = ∆ = ∆ , a equação (3.9) reduz-se para:
3t
c
δ∆ ≤ ⋅ (3.10)
3.1.3 As técnicas de representação de fios finos
Em várias aplicações na engenharia, como antenas e sistemas de aterramento, em que
o equacionamento passa pela metodologia que utiliza a técnica FDTD, uma geometria
possível de ser modelada é a do fio fino. Esta necessidade decorre em função da existência de
fios e hastes condutoras (cilíndricos), cujos diâmetros são menores, que as dimensões da
célula de Yee. Esta representação subcelular de cilindros condutores evita altos níveis de
discretização do domínio de análise, reduzindo o esforço computacional para atualização dos
campos. Nesta seção, serão abordadas duas técnicas que incluem de forma aproximada os
efeitos de um fio com raio menor que as dimensões das células usadas no método FDTD, a
primeira técnica, elaborada por Umashankar et al. [8], tem como principal fundamento a
atualização das equações para os campos magnéticos adjacentes ao fio fino de acordo com o
seu raio. De uma maneira relativamente simples, modificações nas equações de campo
magnético são introduzidas apenas nas células que contêm tais estruturas de pequenas
dimensões, caracterizando extensões subcelulares; a segunda técnica, desenvolvida por Tako
Noda et al. [9] e posteriormente por Yoshihiro Baba et al. [10], propõem mudanças no
sentido de se obter de forma correta a impedância de surto do condutor sob teste. Para isto,
Noda et al., introduziram a atualização dos campos elétrico e magnético para meios sem
perdas (para as componentes adjacentes ao fio) e Baba et al., estenderam esta formulação para
meios com perdas.
3.1.3.1 Fio fino pela correção do campo magnético
O equacionamento de fio fino de acordo com a Figura 3.2, começa pela aplicação da
lei de Faraday. As aproximações adotadas para as componentes de campo Hy e Ex são,
respectivamente:
58
( ), , ( , , ). ,2y y
xH r j k H i j k
r
∆= (3.11)
e
( ), , ( , , ). .2x x
xE r j k E i j k
r
∆=
(3.12)
Fig. 3.2 Alocação dos campos e geometria para a técnica de fio fino no plano Z-X
Aplicando a lei de Faraday na forma integral (3.13), para o contorno da Figura 3.2,
lado direito, e considerando-se as aproximações dadas pelas equações (3.11) e (3.12),
. ,E l H. sd dt
µ∂
= −∂∫ ∫∫
(3.13)
resulta em:
( )1, , 0 ( , , 1) ( , , ) ( , , )2 2 2o o o
x x x
z x x yr r r
x x xE i j k z E i j k dr E i j k dr z H i j k dr
r r t rµ
∆ ∆ ∆∆ ∆ ∂ ∆− + ∆ + + + − = − ∆
∂∫ ∫ ∫ (3.14)
Chega-se, então, após algumas manipulações da equação acima, à seguinte expressão
Ex(i-1,j,k+1) Ex(i,j,k+1)
Ex(i-1,j,k) Ex(i,j,k)
Ez (i-1,j,k)
Hy(i,j-1,k) Hy(i,j,k)
Ez (i+1,j,k)
Z
X
Ex(i-1,j,k+1) Ex(i,j,k+1)
Ex(i-1,j,k) Ex(i,j,k)
Ez (i-1,j,k)
Hy(i,j-1,k) Hy(i,j,k)
Ez (i+1,j,k)
Z
X
Ez (i,j,k)
ro r
Ex(i-1,j,k+1) Ex(i,j,k+1)
Ex(i-1,j,k) Ex(i,j,k)
Ez (i-1,j,k)
Hy(i,j-1,k) Hy(i,j,k)
Ez (i+1,j,k)
Z
X
Ex(i-1,j,k+1) Ex(i,j,k+1)
Ex(i-1,j,k) Ex(i,j,k)
Ez (i-1,j,k)
Hy(i,j-1,k) Hy(i,j,k)
Ez (i+1,j,k)
Z
X
Ez (i,j,k)
Ex(i-1,j,k+1) Ex(i,j,k+1)
Ex(i-1,j,k) Ex(i,j,k)
Ez (i-1,j,k)
Hy(i,j-1,k) Hy(i,j,k)
Ez (i+1,j,k)
Z
X
Ex(i-1,j,k+1) Ex(i,j,k+1)
Ex(i-1,j,k) Ex(i,j,k)
Ez (i-1,j,k)
Hy(i,j-1,k) Hy(i,j,k)
Ez (i+1,j,k)
Z
X
Ez (i,j,k)
ro r
59
de atualização para a componente y do campo magnético [6-7]:
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )1/ 2 1/ 2 2, , , , , , , , 1 1, ,
ln /n n n n n
y y x x x
o
t tH i j k H i j k E i j k E i j k E i j k
z x x rµ µ+ − ∆ ∆
= + − + + + ∆ ∆ ∆ (3.15)
onde ro é o raio desejado para o fio fino. Neste caso, o valor de ro deverá ser menor que / 2x∆
[6].
Referindo-se à Figura 3.2, observa-se que, para cada componente ( ), ,zE i j k do campo
elétrico no centro de um fio fino, existem quatro componentes de campo magnético
associadas que devem ser calculadas a cada passo de tempo. Logo, é necessário obter, além da
componente ( )1/ 2 , ,nyH i j k+ , as componentes do campo magnético ( )1/ 2 1, ,n
yH i j k+ − , ( )1/ 2 , ,nxH i j k+ e
( )1/ 2 , 1,nxH i j k+ − , para que se possa simular um fio fino. Da mesma forma mostrada acima,
outras componentes do campo magnético nas demais direções, poderão ser calculadas.
Utilizando esta correção, é possível simular, com precisão satisfatória o comportamento dos
campos eletromagnéticos próximos a estrutura condutora de dimensões inferiores às da célula
de Yee, evitando com isso um maior refinamento na discretização, o que implicaria na
necessidade de recursos computacionais adicionais [5].
3.1.3.2 Fio fino pela correção dos parâmetros elétricos εεεε e σσσσ e magnético µµµµ
O método de representação de fio fino que corrige tanto os parâmetros elétricos ε e σ
quanto o magnético µ, para as componentes de campo próximo ao condutor, de acordo com o
seu raio, proporciona uma maior precisão na representação da impedância de surto. A
correção dos campos é feita pela modificação de forma equivalente da permissividade,
permeabilidade e condutividade das células adjacentes.
Tem sido mostrado na literatura que um fio fino no espaço livre, quando tratado dentro
da metodologia FDTD, possui um raio equivalente ao valor 0.23∆s, sendo ∆s o tamanho da
aresta da célula cúbica utilizada [9]. Para um meio com perdas, tem-se através da Figura 3.3 a
seção transversal de um condutor reto longo e fino envolvido por uma lâmina condutora
cilíndrica coaxial com o fio fino (blindagem).
Os raios do fio fino e da blindagem são, respectivamente, a e b. A condutividade e
a permissividade relativa do meio entre os dois condutores são σ e εs. Nesta condição, a
condutância G e a susceptância B, ambas por unidade de comprimento, entre fio fino e lâmina
condutora, são dadas por (3.16)
60
Fig. 3.3 Seção transversal de um fio fino envolvido por uma lâmina condutora cilíndrica
coaxial com o fio fino
=
=
a
bB
a
bG S
ln
2,
ln
2 0 ωεπεπσ
(3.16)
Observar que εo é a permissividade do vácuo e ω é a freqüência angular (2πf).
Portanto, G se torna igual a B quando a freqüência f for:
S
fεπε
σ
00 2= (3.17)
Utilizando-se agora o fio fino, Figura 3.4, envolvido por uma lâmina condutora com
seção quadrada de 2.5 x 2.5 m2, e comprimento 25 m para ambos, parte-se para análise em
ambiente FDTD com células cúbicas de aresta 0.25 m.
Fig. 3.4 Seção transversal de um fio fino envolvido por uma lâmina condutora retangular com
seção transversal de 2.5 x 2.5 m2. E1, E2 e E3 são os campos elétricos radiais em 0.5, 1.5 e
a
b
σ, εs
a
b
σ, εs
E1E2E3
σ, εs
X
Y
Z
Fio fino
∆s
∆s
E1E2E3
σ, εs
X
Y
Z
Fio fino
∆s
∆s
61
2.5∆s a partir do eixo do fio fino.
Foi aplicada uma tensão de 100 V, com tempo de frente de onda de 20 ns, entre o fio
fino e a lâmina condutora no mesmo lado. O outro lado se manteve aberto. A resposta foi
calculada em 10 µs com incremento de tempo de 0.4 ns. A Figura 3.5 mostra a variação no
tempo das relações entre E1, E2 e E3, E2 para valor de εs = 12 e 1 5 /mS mσ≤ ≤ . Após 100 ns,
apesar dos campos ainda variarem com o tempo, as relações E1, E2 e E3 para E2 são 2.20, 1.00
e 0.60, respectivamente, que é praticamente o mesmo resultado obtido em [9] para o fio fino
no espaço livre.
Fig. 3.5 Variação no tempo dos campos E1, E2 e E3 com relação a E2 usando o método
FDTD, no caso em que σ = 5 mS/m e ε = 12.
Observe que o método FDTD calcula os campos elétricos em pontos discretos, ou seja,
E1, E2 e E3 em x = 0.5, 1.5 e 2.5∆s, respectivamente, como mostrado na Fig. 3.4. De uma
forma geral, o campo elétrico radial próximo a um fio fino longo, de seção transversal
circular, varia com o inverso da distância radial do eixo do fio fino. Portanto, de acordo com
[9], foi utilizada uma função para testar a variação do campo elétrico radial obtido, usando a
simulação por FDTD, próximo ao fio fino no espaço livre,
( )x
xxE
2
3∆= , (3.18)
onde x é a distância radial a partir do eixo do fio fino.
62
Nesta função, o campo elétrico é normalizado de forma que E deverá ser unitário em
x = 1.5∆s. A Figura 3.6 mostra o campo elétrico radial calculado por (3.18) e usando a
simulação por FDTD.
Fig. 3.6 Campo elétrico radial em função da distância radial x do centro de um fio fino,
calculado usando (3.18) e o método FDTD (o campo elétrico é normalizado de forma que E2
seja igual a unidade).
A diferença de potencial entre x = 2∆s e 3∆s obtida pela integração de (3.18) no
referido intervalo, tem valor 0.61∆s e no intervalo de x = ∆s e 2∆s o valor é de 1.04∆s. São
valores praticamente idênticos aos obtidos pela simulação, utilizando o método FDTD ou
seja, 0.60∆s e 1.00∆s, respectivamente. A diferença de potencial entre o fio fino e x = ∆s, se
tornará infinitamente grande se a integração for realizada no intervalo x = 0 e ∆s para
avaliação do potencial naquele ponto. Por outro lado, na simulação por FDTD, a diferença de
potencial na mesma região tem valor E1 = 2.20 ∆s. Este valor “finito” da diferença de
potencial entre o fio fino e x = ∆s, leva-se a concluir que o fio fino, representado no método
FDTD, teria um certo raio equivalente não nulo. Em outras palavras, quando se obtém o valor
E1 = 2.20, em x = 0.5∆s na simulação FDTD, é equivalente ao valor médio do campo elétrico
radial entre a superfície de um fio fino, tendo um certo raio não nulo, e x = ∆s, que variam na
relação 1/x em torno do fio fino. Se o raio do fio fino em estudo for considerado ro, e o campo
elétrico radial variar conforme a equação (3.18), a diferença de potencial entre x = xo e x =
∆s, será dada por:
( ) 3ln
2o
s
r o
s sE x dx
r
∆ ∆ ∆=∫ (3.19)
63
A equação (3.19) solucionada para a diferença de potencial 2.2∆s, é equivalente a
diferença de potencial obtida através da simulação FDTD. Assim o valor de ro será:
0.23or s= ∆ , (3.20)
que é o valor do raio equivalente de um fio fino em um meio com perdas.
As Figuras 3.7 (a) e (b), mostram a seção transversal de um fio fino tendo o raio
ro = 0.23∆s e suas quatro células adjacentes. São mostrados também os quatro campos
elétricos e magnéticos próximos ao fio fino.
(a) (b)
Fig. 3.7 Seção transversal de um fio fino tendo um raio de 0.23∆s e suas quatro células
adjacentes. (a) Quatro elementos de campo elétrico radial próximo ao fio fino. (b) Quatro
elementos de campo magnético radial envolvendo e próximo ao fio fino.
A resistência por unidade de comprimento RT entre o fio fino, tendo um raio de
0.23∆s, e um condutor assumido como cilíndrico com raio equivalente a ∆s, e coaxial ao fio
fino, é dada por:
( )ln / 0.23
2 *T
s sR
πσ∆ ∆
= (3.21)
onde σ* é a condutividade do meio em volta do fio fino. Se o fio fino tiver um raio arbitrário
*or e estiver em um meio σ, a resistência por unidade de comprimento RT
’ é dada por:
ro
Ex1Ex2
Ey1
Ey2
Fio fino
X
Y
Z
σ*, ε*
ro = 0.23∆s
∆s
ro
X
Y
Z
ro = 0.23∆s
∆s
Hy1
Hx1
Hx2
Hy2
µ*
ro
Ex1Ex2
Ey1
Ey2
Fio fino
X
Y
Z
σ*, ε*
ro = 0.23∆s
∆s
ro
X
Y
Z
ro = 0.23∆s
∆s
Hy1
Hx1
Hx2
Hy2
µ*
64
*'
ln
2o
T
s
rR
πσ
∆ =
(3.22)
se as duas equações, (3.21) e (3.22), forem igualadas, a seguinte relação é obtida:
( )( )
*
*
ln 1/ 0.23
ln / os rσ σ=
∆ (3.23)
A equação (3.23) mostra que um fio fino tendo raio *or em um meio de condutividade
σ, é equivalente aquele que possui um raio fixo de 0.23∆s em um meio de condutividade *σ .
Desta forma, um fio fino tendo um raio arbitrário or∗ em um meio de condutividade σ,
pode ser representado de forma equivalente, pelo uso da condutividade modificada *σ , ao
invés da condutividade original σ no cálculo dos quatro campos elétricos radiais, próximos ao
fio fino. Por exemplo, um fio fino tendo um raio or∗ = 0.46∆s ou 0.115∆s, pode ser
representado ajustando *σ para 1.89σ ou 0.680σ, respectivamente.
A dedução acima considera somente a condutividade (ou resistividade) para um meio
com perdas. No período transitório, quando a influência da permissividade e permeabilidade é
mais dominante que a condutividade, algumas considerações se fazem necessárias. Em [9], é
proposto um método para representar o fio fino no ar com raio arbitrário. Este método
modifica a permissividade e permeabilidade relativa para cálculo dos campos próximos ao fio
fino, como mostrado nas Figuras (3.7a) e (3.7b) ou seja, εs → sε∗ e µs → sµ
∗ expressos na
seguinte forma:
( )( )
ln 1/0.23
ln /s s
os rε ε∗
∗=
∆ (3.24)
( )( )
ln /
ln 1/ 0.23
o
s s
s rµ µ
∗
∗∆
= (3.25)
Por esta modificação, a impedância característica do fio fino, torna-se igual àquela do
fio fino tendo raio or∗ , enquanto que, a velocidade de propagação da onda, não é alterada,
65
levando em conta que sε∗
sµ∗ = εs µs . A validade deste método, tem sido bastante investigada
para o fio fino no espaço livre e em meios condutivos, tanto em períodos transitório como
quasi-estático, têm-se mostrado satisfatória.
Por fim, deve-se ressaltar que esta técnica demanda a utilização de passos temporais
menores que o usual para garantir estabilidade numérica. Neste trabalho foi adotado 60% do
limite de Courant para ∆t.
3.1.4 Parede absorvente tipo UPML para meio condutivo
Quando se parte para solução numérica de equações de campos eletromagnéticos no
domínio do tempo, utilizando técnicas das diferenças finitas em um determinado meio sem
fronteiras, faz-se necessário utilizar uma metodologia que limite o domínio no qual os campos
serão computados; caso contrário, a análise do problema envolveria um número infinito de
pontos, exigindo um sistema computacional com capacidade de processamento infinita. Isto é
possível através da “truncagem” da malha com a aplicação de regiões absorventes nos limites
numéricos. Tais regiões simulam a propagação da onda para o infinito, evitando com isso a
introdução de reflexões não naturais no ambiente de simulação [11].
Para solucionar tais problemas, a técnica UPML (Uniaxial Perfectly Matched Layers)
foi usada, pelos excelentes resultados apresentados em trabalhos anteriores [5]. Para fechar o
domínio em análise, utilizaram-se paredes condutoras elétricas perfeitas (PEC), Figura 3.9.
Neste caso, o meio absorvente UPML é anisotrópico e condutivo e a lei de Ampère na UPML
pode ser expressa, como:
0 0
( ) 0 0 ,
0 0
y zz y
y z xx
x zx z o r y
z x o yz
x yy x
x y z
S S
S
S Sj
j S
S S
S
σωε ε
ωε
∂ ∂− ∂ ∂ ∂ ∂ − = + ∂ ∂ ∂ ∂ −
∂ ∂
H H
E
H H E
EH H
(3.26)
onde Sx, Sy e Sz são definidos por:
; sendo , , ,kk k
o
S K k x y zj
σωε
= + =
(3.27)
66
e σk com Kk são funções polinomiais que representam a atenuação ao longo das direções x, y
e z. Para a direção x, tem-se [11]:
( ) ( ) ,max/ ,m
x xx x dσ σ= (3.28)
e
( ) ( )( ),max1 1 / ,m
x xK x k x d= + − (3.29)
onde d é a Profundidade da UPML. Expressões similares podem ser obtidas para as outras
direções. O procedimento para obtenção das componentes dos campos elétrico e magnético, é
feito da seguinte forma:
Inicialmente, introduzem-se duas variáveis auxiliares de campo P e P′ , as quais
permitem modelar a presença do σ isotrópico, Eq. (3.26), dentro da UPML. Estas variáveis
são definidas, como:
; ; ,yxzx x y y z z
x y z
SSSP E P E P E
S S S= = =
' ' '; ; .x y x y z y z x zP S P P S P P S P= = =
(3.30)
(3.31)
Dessa forma, a equação (3.26) passa a ser dada por:
' '
' '
' '
.
z y
y z
x x
x z o r y y
z x
z z
y x
x y
H H
P P
H H j P P
P P
H H
ωε ε σ
∂ ∂− ∂ ∂
∂ ∂ − = + ∂ ∂ ∂ ∂−
∂ ∂
(3.32)
Passa-se então ao cálculo de .j Pω ′ A equação acima pode então ser expandida, como
segue,
67
( )'
0 0' ( ) 0 0
0 0'( )
0 01
0 0
0 0
yK Py x
jP oS P Kx Py x y xz
j P j S P j K P j K Py z y z y z yj o KS P Pxx z zPz xK Px zj o
Py x
Pz yo
Px z
σ
ωε
σω ω ω ω
ωε
σωε
σ
σε
σ
+ = = + = + +
.
(3.33)
Passando para o domínio do tempo tem-se:
'
'
'
0 0 0 01
0 0 0 0 .
0 0 0 0
x y x y x
y z y z y
o
z x z x z
P K P P
P K P Pt t
P K P P
σσ
εσ
∂ ∂ = + ∂ ∂
(3.34)
Na direção x, tem-se de (3.30)
zx x
x
SP E
S= ∴ ,x x z xS P S E= (3.35)
( ) ( ) ,x zx x z x
o o
K P K Ej j
σ σωε ωε
+ = +
(3.36)
( ) ( ) ,o x x x o z z xj K P j K Eωε σ ωε σ+ = +
(3.37)
passando a equação acima para o domínio do tempo, resulta
,o x x x x o z x z zK P P K E Et t
ε σ ε σ∂ ∂
+ = +∂ ∂
(3.38)
( ) .x x z xx x z x
o o
P EK P K E
t t
σ σε ε
∂ ∂+ = +
∂ ∂ (3.39)
68
Para o cálculo de 1+nxE , parte-se da equação (3.32) e calcula-se inicialmente
' 1,n
xP+ como segue,
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
' 1 ' ' 1 '
1 11 12 22 2
, , , , , , , ,
2
, , 1, 1,,
n n n n
x x x x
o r
n nn n
y yz z
P i j k P i j k P i j k P i j k
t
H i j k HH i j k H
y z
ε ε σ+ +
+ ++ +
− ++ = ∆
− −− − = − ∆ ∆
(3.40)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
' 1 ' ' 1 '
1 11 12 22 2
, , , , , , , ,2 2
, , 1, 1,,
n n n no r o rx x x x
n nn n
y yz z
P i j k P i j k P i j k P i j kt t
H i j k HH i j k H
y z
ε ε ε ε σ σ+ +
+ ++ +
− + + =∆ ∆
− −− − = − ∆ ∆
(3.41)
( ) ( )
( ) ( )
' 1 '
1 11 12 22 2
, , , ,2 2
, , 1, 1,.
n no r o rx x
n nn n
y yz z
P i j k P i j kt t
H i j k HH i j k H
y z
ε ε ε εσ σ+
+ ++ +
+ + − = ∆ ∆
− −− − − ∆ ∆
(3.42)
Finalmente,
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
'
' 1
1 11 12 22 2
, ,12
, ,
22
, , , , 1, , , 1,.
n
xn
x
n nn n
y yz z
P i j kt
P i j k
tt
H i j k H i j kH i j k H i j k
y z
ε σ
ε σε σ+
+ ++ +
− ∆ = + × ++ ∆∆
− −− − × − ∆ ∆
(3.43)
Em seguida, com o objetivo de encontrar 1,n
xP+ parte-se da equação (3.34) de onde
conclui-se que
' 1,x y x y x
o
P K P Pt t
σε
∂ ∂= +
∂ ∂ (3.44)
69
aplicando na equação acima a aproximação (3.6), resulta
1 1' 1 ' 1 1,
2 2
n n n nn ny x y x y x y xx x
K P K P P PP P
t t t t
σ σ
ε ε
+ ++
− = − + +∆ ∆ ∆ ∆
(3.45)
ou
( ) ( ) ( )1 ' 1 '2 1, , , , ,
2 2
y y
on n n n
x x x x
y y y y
o o
K
tP i j k P i j k P P
K Kt
t t
σ
εσ σ
ε ε
+ +
− ∆ = + −
+ ∆ + ∆ ∆
(3.46)
ou ainda, rearranjando-se a equação (3.46), obtém-se:
( ) ( ) ( )1 ' 1 '2 1, , , , .
2 2
y y
n n n nox x x x
y y y yo o
tK
P i j k P i j k P Pt tK K
σε
σ σε ε
+ +
∆ − = + −
∆ ∆ + +
(3.47)
Finalmente, a partir da equação (3.39) calcula-se o campo elétrico na direção x
1 1 1 1
,2 2
n n n n n n n n
x x x x x x x x xzx z
o o
P P P P E E E EK K
t t
σ σε ε
+ + + + − + − ++ = + ∆ ∆
(3.48)
1 1 1 1 1
,2 2 2 2
n n n n n n n n
x x x x x x x x z x z x z x z x
o o o o
K P K P P P K E K E E E
t t t t
σ σ σ σε ε ε ε
+ + + + +
− + + = − + +∆ ∆ ∆ ∆
(2.49)
1 1 ,2 2 2 2
n n n nx x x x z z z zx x x x
o o o o
K K K KP P E E
t t t t
σ σ σ σε ε ε ε
+ + + + − + = + + − +
∆ ∆ ∆ ∆ (3.50)
( ) ( )1 12 1, , , ,
2 22 2
zz
n n n no x xx x x x x x
z z o oz z
o o
tK
t tE i j k E i j k P K P K
t tK K
σ ∆ε σ ∆ σ ∆
σ ∆ σ ∆ ε εε ε
+ +
− = + × + − − + +
(3.51)
70
Procedimento similar poderá ser adotado para cálculo dos campos elétricos nas
direções y e z.
3.2 Processamento paralelo
As aplicações em engenharia que necessitam de enorme capacidade computacional e
que não podem ser executadas em máquinas seqüenciais simples, com uma única unidade de
processamento central (CPU), são cada vez mais freqüentes. Apesar de ainda ser possível
melhorar o desempenho dos processadores, a atual evolução acabará por se deparar com
diversas restrições como, por exemplo, a dimensão física dos componentes, a velocidade da
luz, as leis da termodinâmica, acoplamentos eletromagnéticos e o custo, que poderá se revelar
excessivo com a aproximação desses limites. Desta forma, uma solução alternativa econômica
e tecnologicamente viável, consiste na interligação de múltiplos processadores de forma a
permitir a execução cooperativa de tarefas em paralelo com um objetivo comum [12]. A
origem da computação paralela, como alternativa ao processamento seqüencial, pode ser
definida por dois fatores:
• A computação paralela revelou-se uma alternativa viável, na resolução do ponto de
estrangulamento que constitui um único processador num sistema;
• O custo de um sistema paralelo, é consideravelmente inferior ao de um sistema
maciçamente paralelo (supercomputador) com desempenho similar, uma vez que os preços
dos componentes são uma função da sua capacidade.
O emprego eficiente de computação paralela requer a adequação de dois aspectos
fundamentais: infra-estrutura computacional e algoritmo paralelo. A infra-estrutura diz
respeito ao hardware paralelo, que são as unidades de processamento e o suporte de
comunicação entre elas (que é a infra-estrutura de software), onde o algoritmo paralelo é
executado. O algoritmo paralelo advém da modelagem do problema e se caracteriza como sua
solução computacional; assim, é necessário que se tenha em mente, já na modelagem do
problema a necessidade do paralelismo da solução [13].
Há várias soluções possíveis, tanto em termos de infra-estrutura paralela de hardware
e software, quanto em termos da obtenção do algoritmo paralelo, cuja escolha dependerá de
vários aspectos que podem ser resumidos em complexidade da modelagem e relação custo-
benefício da infra-estrutura computacional.
Com a crescente evolução nas pesquisas na área de computação, a Cray apresentou na
década de 60 o seu super computador, juntando em uma única máquina um conjunto de
processadores que partilham a mesma memória, ou seja, as tarefas podiam ser realizadas de
71
modo paralelo [14]. Contudo, o acesso a esses supercomputadores era dificultado devido ao
alto custo e com isso somente grandes instituições poderiam adquiri-los.
Para superar o problema do alto custo e popularizar o processamento paralelo, na
década de 90, o Centro de Excelência em Dados Espaciais e Informações Científicas
(CESDIS), órgão da NASA, montou a primeira arquitetura paralela de computadores,
denominada cluster Beowulf [15]. Os clusters Beowulf resultaram de um projeto iniciado pela
NASA no verão de 1994, no centro de pesquisas CESDIS, localizado no Goddard Space
Flight Center, no âmbito do projeto Earth and Space Sciences, cujo objetivo primário
consistia em determinar a aplicabilidade de arquiteturas de processamento paralelo a
problemas do domínio das ciências espaciais, especialmente para o tratamento de dados
recolhidos por satélite, a preços acessíveis. O primeiro destes clusters foi construído por
Thomas Sterling e Don Becker e consistia em 16 nós com processadores Intel 486 Dx4 a
100MHz interligados por uma tecnologia de rede Ethernet a 10 Mbits do tipo channel bonded
com dois barramentos. Desde então diversas instituições têm construído os seus próprios
clusters Beowulf. Atualmente existem clusters deste tipo com mais de um milhar de nós. Isso
só foi possível devido ao avanço na tecnologia de hardware que trouxe os preços dos
computadores para níveis mais acessíveis e avanços tecnológicos surgidos no mundo do
software, introduzindo no mercado bibliotecas de comunicação como o PVM e o MPI, além
das otimizações dos compiladores para as linguagens científicas de alto desempenho, como
por exemplo o Fortran [16]. O MPI, Message Passing Interface, é uma biblioteca de
passagem de mensagens, desenvolvida por um grupo de pesquisadores de várias entidades,
para funcionar como um sistema padrão em uma grande variedade de arquitetura de
computadores paralelos, pois possui a eficiência e facilidade de uso. A padronização define a
sintaxe e a semântica das rotinas das bibliotecas, o que as torna úteis para se escrever
programas em C, C++ e Fortran [17]. O principal objetivo da MPI, é de generalizar
procedimentos, mantendo sempre a eficiência dos sistemas, isto é, incluir o que de melhor
existe nos ambientes de passagem de mensagens, considerar as características gerais das
plataformas paralelas e explorar o máximo de suas vantagens.
A idéia básica para implementação paralela do algorítimo FDTD, baseia-se na divisão
do domínio de análise em subdomínios. Nesta técnica, conhecida como técnica de
decomposição de dados ou decomposição de domínio, os dados do problema são divididos e
selecionados para rodar em diferentes processadores, considerando que, cada processador
executa basicamente o mesmo programa (código fonte), porém com diferentes dados. É uma
implementação típica do modelo SPMD (Single Program Multiple Data) [18]. A distribuição
72
dos dados é feita manualmente, o programador define através de funções de mensagens do
tipo enviar/receber a comunicação entre processadores adjacentes de forma a se manter a
continuidade na atualização das componentes de campo localizadas nas interfaces dos
domínios. Neste trabalho, o problema de análise de malha de terra, foi solucionado utilizando-
se um cluster do tipo Beowulf de 10 máquinas. A Figura 3.8 mostra a atualização das
componentes de campo localizadas na interface entre duas regiões (plano Y-Z).
O hardware utilizado foi denominado Amazônia Beowulf Cluster – LANE2, que
consiste de 10 PC’s AMD Athlon XP 1800+, com 1.5 GB DDR RAM em cada máquina e
placa de rede de 100 Mbits/s, exceto a unidade mestre ou principal, que possui dois
processadores com memória 2 GB DDR e placa de rede 1 GBit/s. O sistema operacional é o
Slackware Linux 10 com a versão 2.6 do Kernel do Linux. O código foi escrito FORTRAN
77 e a biblioteca escolhida para possibilitar a troca de mensagens foi a LAM-MPI,
desenvolvida na Universidade de Ohio [19-20]. A rede é conectada através de uma chave de
100 Mbits/s e interfaces ethernet.
Fig. 3.8 Atualização das componentes de campo localizadas na interface entre duas regiões
(plano Y-Z).
3.3 Modelo adotado para simulação de hastes não convencionais
O programa base, que permitiu a simulação de vários casos de aterramento, conforme
poderá ser visto no capítulo seguinte, foi escrito em ambiente computacional paralelo,
utilizando um cluster tipo Beowulf de 10 máquinas, conforme citado na seção 3.2. Foram
utilizados 10 subdomínios computacionais ou 10 máquinas, interligadas através da biblioteca
LAM/MPI, escolhida para possibilitar a troca de mensagens. A Figura 3.9 mostra, no plano
X-Y, o domínio computacional de análise. O espaço interno ou de trabalho, é composto de
dois meios na direção Z, com sua interface no plano X-Y, sendo um deles o espaço livre onde
Subdomínio 2Subdomínio 1
Máquina 1 Máquina 2
Y
Ey
Hz
xz
Subdomínio 2Subdomínio 1
Máquina 1 Máquina 2
Y
Ey
Hz
xz
73
são aplicadas as equações de Maxwell para o espaço livre, adotando o valor
128.85 10 /o F mε −= × para a permissividade elétrica absoluta, 74 10 /o H mµ π −= × para a
permeabilidade magnética absoluta e σo = 0 para a condutividade. O outro espaço é
Fig. 3.9 Vista superior, no plano X-Y, do domínio computacional de análise.
As siglas na Fig. 3.9 representam:
ET – Eletrodo de Terra
ERC – Eletrodo remoto de corrente
ERP – Eletrodo remoto de potencial de referência
PEC – Condutor eletricamente perfeito
composto por terra argilosa do tipo kanto loan [21]. O domínio de análise utilizado nas
simulações tem as seguintes dimensões:
Direção x – 86.25 m (345 células)
Direção y – 39.5 m (158 células)
Direção z – 34.50 m (138 células)
As equações para atualização computacional das componentes de campo para o meio
em questão são as equações de Maxwell adaptadas ao meio condutivo, adotando-se para esse
meio os valores de 1250 8.55 10 /F mε −= × × para a permissividade absoluta,
74 10 /o H mµ π −= × para a permeabilidade absoluta e 32.28 10 /S mσ −= × para a
condutividade.
UPML
UPML
UPML
UPML
subdom1
Sub dom 1 Sub dom 2 Sub dom 3 Sub dom 4 Sub dom 5
Sub dom 7Sub dom 6 Sub dom 8 Sub dom 10Sub dom 9
UPML
Circuito de potencial
Circuito de corrente
ET
ERC
ERP
UPML
UPML
UPML
Y
X
PEC69 cel.
79 cel.
79 cel.
10 cel.
UPML
UPML
UPML
UPML
subdom1
Sub dom 1 Sub dom 2 Sub dom 3 Sub dom 4 Sub dom 5
Sub dom 7Sub dom 6 Sub dom 8 Sub dom 10Sub dom 9
UPML
Circuito de potencial
Circuito de corrente
ET
ERC
ERP
UPML
UPML
UPML
Y
X
PEC69 cel.
79 cel.
79 cel.
10 cel.
74
As paredes absorventes foram elaboradas de acordo com a técnica UPML para meios
condutivos, descrita na seção 3.1.4, sendo adotados os seguintes valores para os parâmetros da
UPML:
d – espessura da UPML tendo valor fixo de 2,5 m, ou 10 células.
m – parâmetro que define o grau do polinômio. Neste trabalho, foi escolhido no intervalo
3 ≤ m ≤ 4, considerado pela literatura, como intervalo ótimo para a maioria dos casos
simulados em FDTD. O valor 3.5 adotado para m, foi considerado satisfatório [5].
σx,máx – O valor de sigma máximo ou sigma ótimo na direção x para o meio
homogêneo em z, é determinado pela expressão (2.44).
( ),
0.8 1x opt
mσ
η+
≈∆
. (3.52)
Considerando que no ambiente de simulação em questão existe a não homogeneidade
na direção z, em função da interface terra - espaço livre, recomenda-se que a condutividade na
UPML seja escalonada no referente à permissividade efetiva desses dois meios. Desta forma,
o valor ótimo para o σz ponderado, é expresso como [5]:
( ),
0.8 1z opt
eff
mσ
η ε
+≈
∆, (3.53)
onde effε é a permissividade relativa efetiva, e que representa o meio não homogêneo ao
longo da UPML.
kk - são funções polinomiais que representam a atenuação ao longo das direções x, y e z. Para
a direção x, considerando o campo elétrico em x tem-se:
( ) ,max1 ( 1)m
x xx
k x kd
= + − ×
, (3.54)
onde ,max 7x ck e n numero de camadas= =
O aumento no valor de ,maxxk para valor compreendido na faixa de 7≤ ,maxxk ≤8,
enquanto se mantém o valor de m na faixa de 3<m<4, reduz o erro de reflexão em pontos
internos próximos a zona de absorção .
75
Na parte externa à UPML, aplicou-se condutores eletricamente perfeitos ou PEC,
usados como terminação do domínio numérico [11].
Complementando a Figura 3.9, são mostradas nas Figuras 3.10 e 3.11, as vistas nos
planos X-Z e Y-Z do domínio computacional e sistema e aterramento.
Fig. 3.10 Vista lateral, no plano X-Z, do domínio computacional de análise e sistema de
aterramento.
A simulação foi realizada discretizando o espaço de interesse com células cúbicas de
Yee. O intervalo espacial de amostragem ( x y z∆ = ∆ = ∆ ) foi ajustado em 0.25 m e, para
satisfazer as condições de Courant, equação (3.9), utilizou-se um intervalo de tempo
481.452t ps∆ = [7]. Os dados de implementação do sistema de aterramento em questão e os
circuitos de excitação de corrente e medição de tensão envolvidos, considerando um eletrodo
de aterramento, serão descritos de forma detalhada e seguem os mesmos padrões do circuito
experimental praticado e simulado em [21].
A utilização de circuito semelhante no que se refere às dimensões físicas e parâmetros
dos materiais empregados, serviram como validação para o protótipo utilizado neste trabalho,
conforme será mostrado no capítulo 4. Vale salientar que a metodologia científica e
computacional, utilizada na simulação do problema, difere em vários aspectos daquela
utilizada em [21].
UPML
UPML
UPML
UPML
subdom1
UPML
Circuito de potencial
ETERP
UPML
UPML
UPML
Z
X
PEC
Terra
Espaço livre
69 cel.
79 cel.
59 cel.
50 m
3 m
1.5 m
1.5 m
10 cel.
UPML
UPML
UPML
UPML
subdom1
UPML
Circuito de potencial
ETERP
UPML
UPML
UPML
Z
X
PEC
Terra
Espaço livre
69 cel.
79 cel.
59 cel.
50 m
3 m
1.5 m
1.5 m
10 cel.
76
Fig. 3.11 Vista lateral, no plano Y-Z, do domínio computacional de análise e sistema de
aterramento.
A Figura 3.12 mostra uma visão em conjunto do sistema de aterramento em estudo. A
seguir, será descrito o detalhamento do sistema de aterramento básico utilizado no trabalho:
a) Circuito de corrente
Constituído de um eletrodo de terra com dimensões 0.5 X 0.5 m2 de seção
transversal e comprimento 3 m, linha de corrente horizontal na direção Y, diâmetro 0.135m e
comprimento 20m, eletrodo de corrente remoto com diâmetro 0.135m e comprimento 2.5m
sendo 1.5m enterrado. O Gerador de pulso que pode ser tratado como fonte de tensão,
instalado no topo do eletrodo de aterramento, produz tempo de frente de onda de 0.063
microssegundos e tempo de cauda 500 microssegundos. A tensão de pico foi ajustada para um
valor de 515 Volts, com formato de onda mostrado na Figura 3.13.
UPML
UPML
UPML
UPML
Z
Y
20 m
12 m1.5 m
1.0 m
ET
ERC
79 cel 79 cel
79 cel
59 cel
PEC
UPML
UPML
UPML
UPML
Z
Y
20 m
12 m1.5 m
1.0 m
ET
ERC
79 cel 79 cel
79 cel
59 cel
PEC
77
Fig. 3.12 Sistema de aterramento usado como protótipo inicial do trabalho.
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
Tensão (V)
Tempo (µs)
Fig. 3.13 Forma de onda do pulso de tensão aplicado.
O formato da onda pulso de tensão é obtido pelas seguintes equações:
Para 1.5 fn t T∆ ≤
( ) ( ) ( )1 2 2max 0 0/n t n t
sV n t V e e sen n t Aα α ω− ∆ − ∆∆ = − ∆ . (3.55)
Para 1.5 fn t T∆ >
1 m
1.5 m
1.5 m
1.5 mEletrodo remoto
de potencial
Barramentode corrente Φ 0.135 m
Barramento de
potencial Φ 0.135 m
Resistência 435 Ω
Gerador depulso
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
Z
Y
X
Terra
Espaço livre
50 m
20 m3 m
Eletrodo de terra
Eletrodo remoto de corrente Φ 0.135 m 1 m
1.5 m
1.5 m
1.5 mEletrodo remoto
de potencial
Barramentode corrente Φ 0.135 m
Barramento de
potencial Φ 0.135 m
Resistência 435 Ω
Gerador depulso
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
Z
Y
X
Terra
Espaço livre
50 m
20 m3 m
Eletrodo de terra
Eletrodo remoto de corrente Φ 0.135 m
78
( ) ( )1 2max 0/n t n t
sV n t V e e Aα α− ∆ − ∆∆ = − , (3.56)
1 1.93147180 /f
Tα =
2 2.558427881/ tTα = ,
( )10 1 2
2
ln /tα
α αα
= −
, (3.57)
( )1 0 2 0t t
oA e eα α− −= − , (3.58)
( )0 / 3f
Tω π= , (3.59)
onde,
Vs = tensão instantânea
Vmax = tensão de pico
Tf = tempo de frente de onda
Tt = tempo de cauda
Um resistor série de 435 ohms, foi adaptado entre a fonte de tensão e o circuito série,
transformando a fonte de tensão em fonte de corrente. A modelagem do resistor, dentro da
metodologia FDTD, considera um resistor R na direção z, localizado no espaço livre,
representado pela intensidade de corrente Iz (i,j,k), densidade de corrente JL e componente de
campo Ez (i,j,k) conforme mostrado nas equações (3.60), (3.61) e (3.62).
( ) ( )1/ 2 1, , ( , , ) ( , , )2
n n n
z z z
zI i j k E i j k E i j k
R
+ +∆= + (3.60)
1/ 2 ( , , )n
zL
I i j kJ
x y
+
=∆ ∆
(3.61)
A medição de corrente em circuitos experimentais é feita, normalmente, através de
componentes shunts adequados ou transformadores de corrente [22] . Na simulação utilizando
técnica FDTD, a coleta de corrente foi feita em um segmento de condutor, localizado entre a
fonte de excitação e a terra.
79
( ) ( ) ( ) ( )
1
1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2
12
( , , ) ( , , )1 12 2
1/ 2, , 1/ 2, , , 1/ 2, , 1/ 2,
n no oz z
o o
n n n n
y y x x
t z t
R x yE i j k E i j k
t z t z
R x y R x y
H i j k H i j k H i j k H i j k
x y
ε ε
ε ε
+
+ + + +
∆ ∆ ∆ − ∆ ∆ = + ×
∆ ∆ ∆ ∆ + + ∆ ∆ ∆ ∆
+ − − − − ++ ∆ ∆
(3.62)
Para tal, utilizou-se a lei circuital de ampère, integrando os quatro campos magnéticos
em volta do segmento [6], conforme mostrado na equação (3.63) e Figura 3.14.
( ) ( )( , 1, ) ( , , ) ( , , ) ( 1, , )n x x y yI H i j k H i j k x H i j k H i j k y= − − ∆ + − − ∆ . (3.63)
Fig. 3.14 Integração dos quatro campos magnéticos ao longo dos percursos ∆x e ∆y
No circuito de corrente, as partes metálicas do sistema de aterramento, foram
modeladas quanto aos campos elétrico e magnético da seguinte forma:
a) Eletrodos: Totalmente metálicos com alta condutividade. As condições de
contorno para os campos elétrico e magnético foram devidamente aplicadas,
considerando as características metálicas dos referidos componentes.
b) Hastes de aterramento auxiliar e condutores de ligação: Em função de suas seções
serem iguais ou inferiores a metade de uma das dimensões da célula de Yee e pelo
I
Y
X
HX(i,j,k)
HY(i,j,k)
HX(i,j-1,k)
HY(i-1,j,k)
∆x/2
∆y/2I
Y
X
HX(i,j,k)
HY(i,j,k)
HX(i,j-1,k)
HY(i-1,j,k)
I
Y
X
HX(i,j,k)
HY(i,j,k)
HX(i,j-1,k)
HY(i-1,j,k)
∆x/2
∆y/2
80
valor elevado de corrente que deverá passar pelos referidos condutores, aplicou-se
aos mesmos a técnica de fio fino.
a) Circuito de potencial:
Constituído por eletrodo remoto de potencial com diâmetro de 0.25m, comprimento
total de 3m, sendo 1.5m enterrado, linha de potencial de referência com seção transversal de
2 mm2 e comprimento 50m. Ver Figura 3.10.
O potencial elétrico transitório foi medido na célula postada na aresta superior do
eletrodo principal, conforme explicitado na equação (3.64).
( ) ( , , )n
zV n E i j k z= − ∆ , (3.64)
onde n é o número de iterações
Em função da pequena corrente que circula no circuito de potencial, considerou-se a
resistividade do condutor nula e, conseqüentemente, as componentes tangenciais do campo
elétrico foram feitas nulas, nas paredes dos condutores desse circuito.
Considerando que no modelo em questão, a excitação é realizada com um pulso de
tensão, semelhante em forma, a onda de pulso atmosférico (3.55) a (3.59), o tempo de frente
de onda é menor que o padronizado para ondas atmosféricas, para se ter uma redução no
tempo de processamento. Os valores resultantes de tensão e corrente medidos na terra, no
período transitório, refletem o comportamento variável da resistência de terra no período em
questão. Neste caso, a TGR (resistência de aterramento transitória) é obtida
computacionalmente a cada iteração através da equação (3.65).
( )( )
( )V n
TGR nI n
= ,
(3.65)
onde n é o número de iterações.
3.4 Modelo adotado para simulação de hastes convencionais
Para a simulação de hastes convencionais ou comerciais de diâmetros que variam entre
10 e 50 mm, houve a necessidade de se aplicar a teoria de fio fino em solo condutivo. As
técnicas conhecidas na literatura [8-9], porém mais adequadas para utilização em antenas
81
(espaço-livre) não se mostraram eficientes quando utilizadas em solo condutivo. A solução do
problema foi possível com a adoção de técnica que possibilita a correção do campo elétrico e
campo magnético nas células adjacentes ao eletrodo de aterramento [10], conforme descrito
na seção 3.1.3.2. As modificações implementadas a partir do modelo anterior, apresentado na
seção 3.3, se referem à técnica utilizada para injeção de corrente no ambiente de simulação e a
determinação do potencial na terra.
3.4.1 Técnica utilizada para injeção de corrente
As simulações envolvendo excitação por pulso de corrente no ambiente FDTD, são
normalmente realizadas através de um circuito de corrente envolvendo eletrodo de teste,
gerador de pulso de tensão, resistência, barramento horizontal e eletrodo remoto de corrente
[21]. Nesta etapa do trabalho, a injeção de corrente na terra, é feita através de um gerador de
pulso de tensão, resistência, eletrodo de teste e condutor vertical fino conectado diretamente à
região absorvente, até atingir as proximidades da parede elétrica que a envolve, sem haver
contato, conforme mostrado na Figura 3.15. Para o caso estudado, o espaço equivalente a uma
célula foi usado como separação entre o condutor vertical e a PEC. Algumas adequações
devem ser feitas no que se refere ao casamento de impedâncias, igualando a permissividade e
permeabilidade nas células de fronteira e células adjacentes ao fio fino na direção de
atenuação ao longo da UPML. Esta técnica de injeção de corrente garante a circulação da
corrente no ambiente de simulação envolvendo terra e espaço livre.
Fig. 3.15 Layout do esquema proposto
PEC
Terra
Espaço livre
Gerador de pulso
Resistência
UPML
Eletrodo
PEC
Terra
Espaço livre
Gerador de pulso
Resistência
UPML
Eletrodo
82
A retirada dos barramentos e hastes adicionais deste ambiente proporcionou uma
analogia mais realista com o que ocorre nas descargas, em termos de direcionalidade do raio,
eliminando influências eletromagnéticas e proporcionando a geração de curvas de distribuição
de campo/potencial radialmente simétricas. A Figura 3.16 mostra o circuito equivalente da
excitação de corrente.
Fig. 3.16 Circuito equivalente da excitação de corrente
A medição de corrente no modelo computacional foi realizada utilizando a média das
correntes no eletrodo, coletada nas células adjacentes a superfície da terra mostrado na Figura
3.17. Este procedimento elimina a defasagem de ½ célula relativa à coleta de tensão e
corrente, possibilitando um resultado mais preciso no cálculo da TGR. Tal ajuste se torna
necessário em decorrência do afastamento espacial das componentes dos campos E e H na
célula de Yee.
Fig. 3.17 Medição de corrente realizada através da média entre I1(t) e I2(t)
Resistência de terra
Gerador de impulso
Resistência
V=0
∼∼∼∼
Resistência de terra
Gerador de impulso
Resistência
V=0
∼∼∼∼
Espaço livre
Ex
EzI1(t)
I2(t)
Eletrodo de aterramento
Terra
∆s
A
Espaço livre
Ex
EzI1(t)
I2(t)
Eletrodo de aterramento
Terra
∆s
A
83
A corrente extraída no ponto A é obtida pela expressão:
( ) ( ) ( )1 2
2A
I t I tI t
+= . (3.66)
3.4.2 Determinação do potencial no ponto A
Na seção 3.3, onde é descrita a modelagem para hastes não convencionais, a tensão
desenvolvida na terra pela ação do pulso de corrente aplicado ao eletrodo, foi coletada através
de um barramento metálico que trazia o potencial zero de uma região distante, até uma célula
próxima do eletrodo, onde a tensão era medida [21]. A presença física do referido barramento
no ambiente de ensaio experimental e no ambiente de simulação, provoca efeitos de indução
que levam a resultados não compatíveis com a realidade. Neste trabalho, propõe-se a
eliminação do barramento de potencial e do eletrodo de referência. Então, para obtenção da
equação para o potencial no ponto A, parte-se da Lei de Faraday, como segue,
B A AE
t t t
∂ ∂∇× ∂∇× = − = − = −∇× ∂ ∂ ∂
, (3.67)
onde conclui-se que
0A
Et
∂∇× + = ∂
. (3.68)
Como o rotacional do gradiente de uma função escalar é identicamente nulo, o termo
entre parênteses da equação (3.68) é definido como sendo o negativo do potencial escalar
elétrico (-∇V). Feito isso, a equação resultante é então integrada de um ponto A a um ponto B
(ver Figura 3.18), resultando em,
B
B AA
AV V E dl
t
∂− = − + ∂
∫
. (3.69)
Considerando o ambiente de propagação quasiestatico e VB=0, a equação (3.69) pode
ser aproximada por:
84
B
AA
V E dl= ∫
(3.70)
Para o cálculo da integral (3.70) foi escolhido o caminho de integração iniciando em A
(Figura 3.18) e progredindo na horizontal, a três células acima da superfície da terra, até o
ponto B, onde o potencial tem o valor aproximadamente zero. De posse de VA e IA a TGR é
obtida pela equação (3.71).
( ) ( )( )
A
A
V tTGR t
I t= (3.71)
A metodologia proposta para a determinação do potencial através do caminho de
integração, pode também ser aplicada às hastes não convencionais, em substituição ao
barramento de potencial utilizado nas experiências iniciais para efeito de validação. No
capitulo 4, serão testados vários caminhos de integração, tanto no espaço livre quanto na terra
e então será escolhido o percurso mais viável. A referida escolha, leva em consideração a
média de resultados e a situação mais desfavorável quanto ao aterramento de equipamentos e
a proteção do individuo. A Figura 3.18, mostra no plano X-Y, o caminho de integração entre
os pontos A e B. A Figura 3.19, mostra no plano X-Z, o percurso escolhido mais adequado
para determinação do potencial na haste.
Para as hastes convencionais, o circuito de corrente é constituído de um eletrodo com
20 mm de diâmetro e 3m de comprimento. O gerador de pulso é tratado como uma fonte de
tensão, a qual foi instalada no topo do eletrodo de aterramento, produzindo um tempo de
frente de onda de 0,063 microsegundos e de meia cauda da ordem de 500 microsegundos.
Fig. 3.18 Vista nos planos X-Y do domínio computacional de análise
Caminho de integração
V≈0
Sub-dominio 0
A B
Y
XSub-dominio 1 Sub-dominio 2 Sub-dominio 3 Sub-dominio 4
Sub-dominio 5 Sub-dominio 6 Sub-dominio 7 Sudominio 8 Sub-dominio 9
Eletrodo
(a)
22.5 m
6.25 m
6.25 m
0.50 m
Caminho de integração
V≈0
Sub-dominio 0
A B
Y
XSub-dominio 1 Sub-dominio 2 Sub-dominio 3 Sub-dominio 4
Sub-dominio 5 Sub-dominio 6 Sub-dominio 7 Sudominio 8 Sub-dominio 9
Eletrodo
(a)
22.5 m
6.25 m
6.25 m
0.50 m
85
Fig. 3.19 Vista nos planos X-Z do domínio computacional de análise
A tensão de pico foi ajustada para um valor de 515 Volts, com formato de onda
mostrado na Figura 3.13. Um resistor série de 435 ohms, devidamente modelado [21], foi
adaptado entre a fonte de tensão e o circuito série, transformando-a em uma fonte de corrente.
Como pode ser visto na Figura 3.15, o terminal superior do resistor penetra na UPML e vai
até a uma célula de distância do PEC, este terminal é constituído de um fio fino condutor de
20 mm2 de área de seção transversal.
3.5 Estrutura de programação
Neste trabalho, a linguagem computacional utilizada como suporte nas simulações foi
o FORTRAN 77 [23], sendo também utilizado o Matlab para suporte gráfico e de animação
propiciando uma melhor visualização da propagação dos campos.
A Figura 3.20 mostra o fluxograma do programa utilizado na determinação dos
campos elétrico e magnético, no ambiente de processamento paralelo, tendo em seu interior as
estruturas do sistema de aterramento.
Terra
Espaço livre
Caminho de integração (3cel. acima do solo)
V≈0
Circuito de corrente
AB
Z
X
20 m
9.50 m
22.50 m
(b)
Terra
Espaço livre
Caminho de integração (3cel. acima do solo)
V≈0
Circuito de corrente
AB
Z
X
20 m
9.50 m
22.50 m
(b)
86
Fig. 3.20 Lógica de implementação FDTD para ser usada em algorítimo paralelizado
INICIAR
Define as condições iniciais de operação
Inicialização dos vetores E e H
Determina K e σ
Meio absorvente
Não
Sim
Inicio do loop do tempo
n = 1, 2,...., nt
3
1
0
2.28 10
( )
K
espaço
livre
Terra
σ
σ −
=
=
= ⋅
Cálculo dos campos elétrico e magnético no espaço de trabalho e UPML (Eqs. de
Maxwell discretizadas), obedecendo as
condições de contorno do sistema de aterramento
Cálculo do campo magnético próximo aos condutores (técnica de fio
fino)
Cálculo da tensão, corrente e resistência
transitórias
n nt=Não
Sim
Ler valores nos arquivos de saída e plotargráfico
FIM
FLUXOGRAMA PARA CÁLCULO DA TENSÃO, CORRENTE E TGR
( ) ( ) ,max/m
x xx x dσ σ=
( ) ( )( ),max1 1 /m
x xK x k x d= + −
INICIAR
Define as condições iniciais de operação
Inicialização dos vetores E e H
Determina K e σ
Meio absorvente
Não
Sim
Inicio do loop do tempo
n = 1, 2,...., nt
3
1
0
2.28 10
( )
K
espaço
livre
Terra
σ
σ −
=
=
= ⋅
Cálculo dos campos elétrico e magnético no espaço de trabalho e UPML (Eqs. de
Maxwell discretizadas), obedecendo as
condições de contorno do sistema de aterramento
Cálculo do campo magnético próximo aos condutores (técnica de fio
fino)
Cálculo da tensão, corrente e resistência
transitórias
n nt=Não
Sim
Ler valores nos arquivos de saída e plotargráfico
FIM
FLUXOGRAMA PARA CÁLCULO DA TENSÃO, CORRENTE E TGR
( ) ( ) ,max/m
x xx x dσ σ=
( ) ( )( ),max1 1 /m
x xK x k x d= + −
87
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Maxwell´s equations in isotropic media” IEEE Trans. Antennas and Propagation,
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[4] G. D. Smith, Numerical Solution of Partial Differencial Equations: Finite
Difference Methods, 3rd ed., Oxford Univ. Press, New York, 1985.
[5] A. Taflove and S.C. Hagness: Computational electrodynamics: The finite-
difference time-domain Method, Artech house,inc., Boston, 2000.
[6] K. S. Kunz and R. J. Luebbers: Finite difference time domain method for
electromagnetics. CRC press, New York, 1993.
[7] R. Courant, K. O. Friedrichs, and H. Lewy, “Uber die partiellen differenz-
gleichungen der mathematischen physik”, Mathematische Annalen, Vol. 100, p.p
32-74, 1928.
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validation of induced currents on coupled wires in an arbitrary shaped cavity“,
IEEE Trans. Antennas and Propagation, Vol 35, 1987, pp. 1248-1257.
[9] T. Noda, S. Yokoyama, “Thin wire representation in finite difference time domain
surge simulation”, IEEE Transaction on Power Delivery, Vol 17, No. 3, 2002.
[10] Y. Baba, N. Nagaoka, A. Ametani, “Modeling of thin wires in a lossy medium for
FDTD simulations”. IEEE Transactions on Electromagnetics Compatibility,
Vol.47, No.1, 2005
[11] S. D. Gedney, “An anisotropic perfectly matched layer absorbing media for the
truncation of FDTD lattices,” IEEE Trans. Antennas and Propagation, Vol. 44, pp.
1630-1639, 1996.
[12] D. Spector, Building Linux Clusters, O´Reilly & Associates, USA 2000.
[13] F. P. Gregory, In Search of Clusters, the ongoing battle in lowly parallel
computing. Prentice Hall, second edition, 1998.
[14] C. J. Gonçalves, Ambientes de desenvolvimento de aplicações paralelas. Faculdade
de Ciência e Tecnologia, Universidade Nova de Lisboa, 2000.
88
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SBMO, Recife-PE, pp. 111-115, 2002.
[16] I. T. Foster, Designing and building a parallel programs: Concepts and tools for
parallel software. New York Addison, Wesley Publish Co, 1995.
[17] A. Tanenbaun, Network computers. Prentice-Hall , 2º edição 1989.
[18] G. Andrews, Foundations of multithreaded, parallel and distributed programming,
Addison Wesley, 2000.
[19] M. Snir, S. Otto, H. Steven, MPI: The complete reference. The MIT Press,
Massachusetts, 1996.
[20] R. M. S. de Oliveira, R. O. Santos, C. L. S. Sobrinho, “Numerical scattering
analysis in indoor and outdoor environments by applying FDTD method”
International Microwave and optoelectronics Conference, Iguazu Falls, 2003.
[21] K. Tanabe, “Novel method for analyzing the transient behavior of grounding
systems based on the finite-difference time-domain method” CRIEPI, Tokio, 2001.
[22] M. B. Stout, Curso básico de medidas elétricas. EDUSP, São Paulo, 1974.
[23] J. A. N. G. Manzano, Estudo dirigido de fortran, Ed. Érica, 2003.
89
4.0 Resultados
Serão mostradas neste capítulo, curvas obtidas através de simulações, que traduzem o
comportamento transitório e estacionário de vários arranjos de sistemas de aterramento. Em
uma primeira etapa, serão utilizados eletrodos de dimensões não convencionais e em uma
segunda etapa eletrodos de dimensões convencionais ou comerciais. No primeiro caso, os
eletrodos foram empregados por serem mais adequados para utilização da metodologia FDTD
em função de suas dimensões coincidirem com as dimensões das células de Yee, e os
resultados obtidos se reverterem de grande importância na comparação com dados
experimentais, obtidos na literatura [1]. Na segunda etapa são utilizadas hastes convencionais
de dimensões reduzidas em relação a célula de Yee, sendo necessária, para esses casos, a
aplicação de técnicas adequadas de fios finos para meios condutivos.
4.1 Resultados Obtidos para TGR, Tensão e Corrente em eletrodos de aterramento não
convencionais
Neste caso, considera-se não convencionais os eletrodos cujas seções transversais são
maiores que aquelas apresentadas por eletrodos comerciais, normalmente utilizados em
sistemas de aterramento.
Em todas as simulações, procurou-se destacar os valores de resposta da TGR, tensão e
corrente, parâmetros estes considerados de grande importância na análise do comportamento
transitório e estacionário de sistemas de aterramento, para efeito de proteção de equipamentos
e do ser humano.
4.1.1 Aterramento com eletrodo único
A simulação do comportamento transitório de sistemas de aterramento excitados por
pulsos de corrente para uma única haste, teve como objetivo principal a análise dos valores de
corrente, tensão e TGR, obtidos durante os períodos transitório e estacionário. Para isso,
modelou-se tal sistema, usando-se um eletrodo de aterramento (ET) ligado ao circuito de
injeção de corrente. A medição do potencial é feita através de um condutor, o qual é aterrado
a 50 m do ET, seguindo sobre a superfície da terra a uma altura de 1,5 m até a distância de
uma célula do ET, onde é feita a medição do potencial. Observa-se na Fig. 3.9, do capítulo 3,
que o domínio computacional de análise é dividido em 10 subdomínios e, então, a técnica de
processamento paralelo, é aplicada [2]. A Figura 4.1 mostra a disposição dos componentes do
circuito de corrente e do sistema de aterramento no ambiente computacional.
90
Fig. 4.1 Sistema de aterramento visto no plano Z-Y com um eletrodo de aterramento e circuito de corrente.
O circuito de corrente utilizado nesta simulação, foi detalhado na seção 3.3 do capítulo
3 e não deverá sofrer alterações nas demais simulações, a não ser quanto ao número de hastes
utilizadas.
A figura 4.2 apresenta uma vista mais detalhada da fonte de tensão (gerador de pulso),
resistência, eletrodo principal e segmentos de interligação, bem como as dimensões em
termos de células utilizadas na montagem desses componentes [1]. Como foi citada na seção
3.3, a medição de corrente é feita em relação ao segmento metálico localizado entre o gerador
de pulso e a haste de aterramento [3] e [4].
Fig. 4.2 Trecho do circuito de corrente constituído por eletrodo principal, fonte de tensão e resistência.
Eletrodo remoto de corrente
20 m
Eletrodo de aterramento sob teste
Espaço livre
terra
Z
Y
1 m
1.5 m
3 m
Linha de corrente
Eletrodo remoto de corrente
20 m
Eletrodo de aterramento sob teste
Espaço livre
terra
Z
Y
Eletrodo remoto de corrente
20 m
Eletrodo de aterramento sob teste
Espaço livre
terra
Z
Y
1 m
1.5 m
3 m
Linha de corrente
Resistência
Gerador de impulso
Medição de corrente
3 m
12 cel.
Terra
Espaço livre
1 cel.
1 cel.
1 cel.
1 cel.
Resistência
Gerador de impulso
Medição de corrente
3 m
12 cel.
Terra
Espaço livre
1 cel.
1 cel.
1 cel.
1 cel.
Gerador de pulso
91
O circuito de potencial para o caso em questão, foi também detalhado na seção 3.3. A
Figura 4.3 mostra um corte no plano X-Z onde se observa o ponto de medição de potencial no
eletrodo de aterramento. A célula localizada acima de uma das arestas do eletrodo é o ponto
de medição escolhido. A leitura do potencial é feita tendo como referência o potencial zero
obtido com auxílio a) do eletrodo remoto de potencial distante 50 m do ponto de medição e b)
dos barramentos auxiliares [5,6].
Fig. 4.3 Sistema de aterramento visto no plano Z-X mostrando o circuito de potencial de referência.
Para o presente arranjo de simulação, o potencial elétrico transitório foi medido na
célula de índice (111,110,80), conforme mostrado em (4.1) [1], onde n é o número de
iterações.
( ) ( ) zEnV z ∆−= 80,110,111 (4.1)
O pulso de corrente, injetado no eletrodo de aterramento, foi calculado usando-se a lei
circuital de Ampère [1,7] , resultando em:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )110,109,80 110,110,80 109,110,80 110,110,80x x y yI n H H x H H y = − ∆ + − + ∆ (4.2)
O cálculo da TGR é feito a partir da relação entre os valores obtidos em (4.1) e (4.2),
conforme mostrado em (3.71).
Os resultados da simulação em termos de corrente, tensão e resistência de aterramento
transitória, juntamente com os resultados experimentais obtidos em [1], são mostrados na
Figura 4.4. Nos resultados simulados, é importante observar que, utilizando metodologia
distinta no que se refere à forma de processamento, tipo de paredes absorventes e condições
Eletrodo remoto de potencial
50 m
Espaço livre
Terra
X
Z
Medição de potencial
Eletrodoprincipal
Eletrodo remoto de potencial
50 m
Espaço livre
Terra
X
Z
X
Z
X
Z
Medição de potencial
Eletrodoprincipal
92
gerais de contorno, os resultados são bastante coerentes com aqueles obtidos
experimentalmente e através da simulação em [1].
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
Simulação
TGR experimental [1]
Tensão experimental [1]
Tensão
Corrente
TGR
Valores transitórios para tensão, corrente e TGR
Tensão
Corrente
TGR
Corrente
(A
)
Tensão (V
), T
GR
(ohm
)
Tempo (µs)
-1.2
-1.1
-1.0
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
Corrente experimental [1]
Fig. 4.4 Resultados simulados e experimentais para um eletrodo.
A comparação com resultados experimentais conduz à validação do código
computacional desenvolvido neste trabalho, dentro das técnicas FDTD, habilitando-o a novas
prospecções visando a solução de problemas críticos em sistemas de aterramento.
4.1.2 Análise da influência do comprimento do eletrodo de aterramento sobre o
potencial, corrente e TGR
Utilizando o mesmo circuito de excitação da seção anterior, analisou-se o
comportamento transitório do potencial, corrente e TGR, para um eletrodo vertical longo.
Para isso, o critério adotado foi o aumento gradativo do eletrodo de 3 em 3 m, chegando-se a
um tamanho máximo de eletrodo de 12 m, de acordo com a Figura 4.5.
Existem situações práticas em que dependendo dos valores de resistividade nas
diversas camadas de um solo estratificado, opta-se por hastes de comprimento maior que o
convencional, a fim de obter-se valores de resistência de aterramento compatíveis com as
exigidas no projeto, a um menor custo [8]. Os resultados obtidos para TGR, tensão e corrente,
considerando os diferentes comprimentos das hastes, são mostrados na Fig. 4.6.
93
Fig. 4.5 Eletrodo vertical longo
Uma observação importante nesta simulação, é que durante parte do período
transitório, as formas de onda para TGR são coincidentes para partes comuns em diversos
comprimentos de hastes, conforme mostrado na Figura 4.7. Estas informações são
importantes, pois mostram que, dentro da técnica FDTD, as ondas se propagam com
velocidades constantes ao longo dos eletrodos independentemente do comprimento dos
mesmos, conforme mostrado na Tabela 4.1. As oscilações observadas nas curvas de TGR,
tensão e corrente, devem-se ao efeito capacitivo nas várias freqüências que compõem o sinal
de excitação no período transitório, reflexões múltiplas sucessivas na interface terra e espaço-
livre e pelas difrações que ocorrem na extremidade do eletrodo.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
Tensão
Corrente
TGR
Corr
ente
(A)
Tensão (V), T
GR
(ohm
s)
Tempo (µs)
haste3m
haste6m
haste9m
haste12m
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
Fig. 4.6 Respostas de tensão, corrente e TGR transitórios para diversos comprimentos de haste.
Eletrodo remoto de corrente
20 m
Espaço livre
Terra
Z
Y
12 mEletrodo remoto de corrente
20 m
Espaço livre
Terra
Z
Y
12 m
94
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0
10
20
30
40
50
60
70
haste 3m
haste 6m
haste 9m
haste 12m
TG
R (ohm
s)
Tempo µs
Fig. 4.7 Comportamento transitório da TGR em haste de comprimento variável
Tabela 4.1 – Coincidência no comportamento transitório das curvas TGR em determinados períodos transitórios para diversos comprimentos de haste.
Período transitório (µµµµs) Comprimentos de haste Situação
0 a 0.16 3m, 6m, 9m e 12m Curvas coincidentes
0 a 0,32 6m, 9m, 12m “
0 a 0,48 9m e 12m “
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
15
20
25
30
35
40
45
50
55
TGR x COMPRIMENTO DO ELETRODO VERTICAL DE ATERRAMENTO
TG
R (O
hm
)
Comprimento do eletrodo de aterramento (m)
Fig. 4.8 Comportamento dos valores estabilizados da TGR em função do comprimento da
haste
95
O gráfico da Figura 4.8 mostra o comportamento dos valores estabilizados da TGR
após a excitação de tensão, em função dos comprimentos das hastes. Observa-se nesta curva,
que a TGR diminui à medida que o comprimento do eletrodo aumenta, tendendo a uma
saturação. Vale ressaltar que esta curva é de grande importância na avaliação de projetos de
sistemas de aterramento utilizando hastes longas.
4.1.3 Análise da influência de eletrodos de terra paralelos sobre o potencial, corrente e
TGR.
Nesta seção, apresentam-se os resultados obtidos para o potencial, corrente e TGR,
considerando-se eletrodos de terra associados em paralelo. Em uma primeira etapa, analisa-se
o sistema constituído de dois eletrodos e, em seguida, quatro eletrodos são considerados. Em
todos os casos, os eletrodos têm 3m de comprimento, estão afastados de igual distância e as
características da terra são as mesmas, consideradas no caso anterior. O primeiro caso é
mostrado na Figura 4.9 e os resultados, para os parâmetros de interesse, são apresentados na
Figura 4.10. Como era de se esperar, a TGR apresenta um comportamento com oscilações
mais suaves, quando em comparação com resultados obtidos para um único eletrodo
(Figura 4.4). Para o caso atual, observa-se uma redução considerável no valor de pico inicial
da TGR, passando para 16.45 Ω, no período de 0 a 0.06 µs, com ligeira queda até 0.2 µs,
crescendo seu valor em seguida, até atingir o valor máximo aproximado de 35 Ω no tempo de
0.55 µs. No período de regime obteve-se uma redução nos valores da TGR e tensão, atingindo
valores em torno de 34 Ω e -19 Volts, respectivamente. O valor da corrente teve um
acréscimo de 0.04 Ampères. Vale ressaltar que o valor da TGR, em regime, está de acordo
com a conhecida condição de paralelismo [9] e [10].
Fig. 4.9 Sistema de aterramento com duas hastes
50 m
Espaço livre
Terra
Z
X
3 m
3 m
Circuito de corrente
Circuito de tensão
96
11 2 2
hastehaste hastes
RR R> >
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Corr
ente
(A)
Tensão (V
), T
GR
(O
hm
)
Tempo(µs)
-1.2
-1.1
-1.0
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
V 1hasteV 2haste
I 2hasteI 1haste
TGR 2haste
TGR 1haste
Fig. 4.10 Comparação dos valores de TGR, corrente e tensão para sistemas com uma e duas hastes, respectivamente. O segundo caso é apresentado na Figura 4.11. Pode-se observar a forma como os
eletrodos foram associados e a disposição relativa dos circuitos de potencial e de corrente. Os
resultados relativos são apresentados na Figura 4.12 Nesta figura, as curvas para a TGR,
tensão e corrente transitórias, são mostradas em função do tempo, onde se observa um efeito
atenuador significativo para a TGR, no intervalo de 0 a 0.06µs, quando comparado com os
resultados correspondentes para um único eletrodo de 12m de comprimento, conforme
mostrado na Figura 4.6. Já na condição de regime, para a associação em paralelo, a TGR
assume valor maior que aquele obtido para o eletrodo de 12m.
Fig. 4.11 Sistema de aterramento com quatro eletrodos em linha
50 m
Espaço livre
Terra
Z
3 m
Circuito de corrente
3 m3 m
50 m
Espaço livre
Terra
Z
3 m3 m
Circuito de corrente
3 m3 m3 m3 m
97
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Corrente
(A)
TGR
Tensão
Tensão(V
), T
GR
(Ohm
)
Tempo (µs)
-1.2
-1.1
-1.0
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
Corrente
Fig. 4.12 Curvas TGR, tensão e corrente para sistema de aterramento com 4 hastes em linha
Os resultados obtidos para os dois casos analisados, sugerem uma performance melhor
para as hastes paralelas na atenuação da TGR no período transitório. Para maior atenuação no
período de regime, a utilização da haste vertical longa se torna mais adequada.
4.1.4 Estudo do comportamento transitório para o potencial, corrente e TGR para
uma malha quadrada com 16 eletrodos
Para o sistema de aterramento com 16 hastes, mostrado na Fig. 4.13, observam-se as
conexões dos circuitos de corrente e de tensão no plano X-Y.
Fig. 4.13 Sistema de aterramento com 16 hastes em formato quadrado cheio (plano XY)
Circuito de tensão
Circuito de corrente
3 m
3 m
Y
X
Circuito de tensão
Circuito de corrente
3 m
3 m
Circuito de tensão
Circuito de corrente
3 m
3 m
Circuito de corrente
3 m
3 m
Y
X
Y
X
98
Neste caso, os eletrodos têm comprimento de 3m e estão afastados da mesma
distância. A terra é considerada homogênea e com os mesmos parâmetros usados na seção
4.1.1. Os resultados para TGR, tensão e corrente são mostrados na Figura 4.14, onde se
observa que a TGR teve o seu valor, em regime, reduzido para aproximadamente 9 Ω. No
período transitório, observa-se uma expressiva atenuação nas oscilações das curvas
consideradas em relação aos sistemas analisados anteriormente.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0-20
-10
0
10
20
Corrente
(A)
TGR
Tensão
Tensão(V
), T
GR
(V)
Tempo (µs)
-1.2
-1.1
-1.0
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
Corrente
Fig. 4.14 Curvas TGR, tensão e corrente para sistema de aterramento com 16 hastes
4.1.5 Estudo do comportamento transitório para o potencial, corrente e TGR para
uma malha quadrada com 25 eletrodos
No sistema de aterramento com 25 hastes, mostrado nas Figuras 4.15 e 4.16, observa-
se no plano X-Z e X-Y as conexões com os circuitos de corrente e de tensão. A captação de
tensão será feita em um dos lados da malha, conforme mostrado na Figura 4.15. A injeção de
corrente, mostrado na Figura 4.16, é feita na haste central para possibilitar a simetria do
processo
Fig. 4.15 Sistema de aterramento com 25 hastes em formato quadrado cheio. Vista no plano
X-Z
X
Z
X
Z
99
Fig. 4.16 Sistema de aterramento com 25 hastes em formato quadrado cheio. Vista no plano X-Y
O gráfico da Figura 4.17 mostra as curvas TGR, tensão e corrente, onde a resistência
de aterramento é de aproximadamente 5.8 Ω em regime estacionário. No período transitório,
observa-se uma considerável atenuação nas oscilações das curvas TGR, tensão e corrente, em
relação aos sistemas com menor número de hastes, analisados neste trabalho.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10 TGR
Tensão
Corr
ente
(A
)
Tensão (V
), T
GR
(ohm
)
Tempo (µs)
-1.2
-1.1
-1.0
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
Corrente
Fig. 4.17 Curvas TGR, tensão e corrente para sistema de aterramento com 25 hastes
Analisando a malha de 25 hastes, em formato quadrado cheio, observa-se, em regime
estacionário, uma redução ainda maior do valor da TGR que atinge 5.8 Ω. No período
Circuito de corrente
Circuito de tensão
3 m
3 m
X
Y
Circuito de corrente
Circuito de tensão
3 m
3 m
Circuito de corrente
Circuito de tensão
3 m
Circuito de corrente
Circuito de tensão
3 m
3 m
X
Y
100
transitório, as atenuações dos picos da TGR e tensão, são mais evidentes quando comparado
com a malha de 16 hastes.
4.1.6 Estudo do comportamento transitório para o potencial, corrente e TGR para um
eletrodo em solo estratificado
Para o solo estratificado mostrado na Figura 4.18, a primeira camada tem espessura de
2m, o eletrodo de aterramento tem comprimento de 3m e a primeira e a segunda camada têm
inicialmente resistividades de 438 e 146 Ω.m e permissividades elétricas relativas iguais a 50
e 55, respectivamente. Em uma segunda análise, os valores acima são trocados, ou seja: para a
primeira camada são usados os parâmetros 146 Ω.m e 55 e, para a segunda têm-se 438 Ω.m e
50. Para os dois casos, as curvas para a TGR, tensão e corrente são mostradas na Figura 4.19.
Fig. 4.18 Haste de aterramento em solo estratificado de duas camadas
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
-20
0
20
40
60
80
ρ1>ρ
2
ρ1<ρ
2
Corr
ente
(A
)
Tensão (V
), T
GR
(ohm
s)
Time (µs)
-1.0
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
TGR
Tensão
Corrente
Fig. 4.19 Curvas TGR, tensão e corrente para sistema de aterramento com uma haste em solo
estratificado em duas camadas (ρ1>ρ2 e ρ1<ρ2)
ρ1 = 438 Ω.m
ρ2 = 146 Ω.m∞εr = 55
εr = 502 m
1 m
Espaço livre
Terra
ρ1 = 438 Ω.m
ρ2 = 146 Ω.m∞εr = 55
εr = 502 m
1 m
Espaço livre
Terra
101
Na Figura 4.19, pode-se observar, para ambos os casos, que houve uma redução no
valor da TGR, quando comparado com o obtido para o solo homogêneo (Figura 4.4). Pode-se
observar, também, que houve um aumento nas oscilações transitórias, podendo ser explicado
pelas reflexões múltiplas ocorrentes entre as interfaces de separação para meios diferentes.
4.1.7 Influência da desconexão de uma haste em um sistema de aterramento que
contempla duas hastes
Em sistemas de aterramento industrial ou de geração e transmissão de energia, ao
longo do tempo, é possível ocorrer falhas elétricas as quais possam ser originadas nos
sistemas de aterramento. Muitas vezes, essas anomalias são causadas por conexões deficientes
dos cabos condutores com as hastes de aterramento sob a superfície da terra; em outros casos,
roubos de cabos e hastes de cobre podem acontecer, alterando os parâmetros originais de
projeto da malha de terra. É de suma importância aos usuários de plantas que utilizam grandes
sistemas de aterramento, os quais são vitais na proteção de seus equipamentos mais sensíveis,
que mantivessem em arquivo, o perfil ou registro do comportamento transitório de sua malha
de terra, obtido no período de comissionamento. Esse perfil, coletado na instalação da malha
de terra, serviria de padrão de comparação ou assinatura para futuras observações preditivas
do estado físico da malha de terra. A Figura 4.20 exemplifica um caso de desconexão de
haste.
Fig. 4.20 Malha de aterramento com duas hastes: a) conexão normal b) com uma haste desconectada.
M ed iç ão d e tensã o e m trê s cé lu las
a ) H aste c o ne c ta d a b ) H a ste d e sc o ne c tad a
M ed iç ão d e tensã o e m trê s cé lu las
a ) H aste c o ne c ta d a b ) H a ste d e sc o ne c tad a
102
No exemplo aqui apresentado, utilizando técnica FDTD em uma malha de aterramento
de duas hastes, procurou-se verificar o comportamento da referida malha, quando da
desconexão de uma das hastes do sistema de aterramento, conforme mostrado na Figura 4.20.
Para o caso em questão, aprofundou-se a malha de duas células ou 50 cm, o que corresponde a
uma situação comumente encontrada na prática [11].
Os resultados apresentados na Figura. 4.21, mostram o comportamento da TGR,
tensão e corrente, para as situações definidas na Figura 4.20, e para o caso de uma haste
isolada. (analisada na Figura 4.4). Desses resultados, observa-se que, com a desconexão de
um dos eletrodos, a TGR apresentou valores bem superiores daqueles registrados para duas
hastes, no entanto, alguns ohms menor que a TGR para uma haste isolada. Isso demonstra, a
influência que uma haste, mesmo desconectada, exerce sobre o valor total da TGR em um
sistema de aterramento. Programas baseados na metodologia FDTD são capazes de detectar
anomalias em sistemas de aterramento. É possível inclusive, com auxílio de programas
inteligentes com rede neurais, determinar a localização do ponto de falha, através da
comparação de curvas padrões obtidas em simulação com aquelas obtidas em campo pela
injeção de corrente na malha.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
Tensão
Corrente
TGR
2 Hastes
2 Hastes/1 solta
1 Haste
Corrente
(A
)
Tensão (V
), T
GR
(ohm
s)
Tempo µs
-1.2
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
Fig. 4.21 Curvas para TGR, corrente e tensão, resultantes de simulação em sistema de aterramento com duas hastes conectadas, duas hastes porém uma desconectada e uma haste.
103
4.1.8 Modelagem do potencial na análise do comportamento transitório dos sistemas de
aterramento usando uma haste
Os experimentos e simulações realizados nas seções anteriores, utilizaram eletrodo
remoto de potencial e barramento horizontal de referência para obtenção da diferença de
potencial desenvolvida na terra com a passagem da corrente impulsiva. A nova modelagem
proposta, citada no capítulo 3 seção 3.3, visa a eliminação dos componentes citados, ou seja,
eletrodo e barramento, sendo a coleta de tensão obtida através de caminhos pré-estabelecidos
no espaço livre, interface e meio condutivo (terra). Nesta fase das simulações, o circuito de
corrente permaneceu inalterado, ou seja, manteve-se os componentes do circuito auxiliar de
corrente.
Em função do sentido de integração adotado, mais precisamente, do eletrodo ao
infinito (ponto localizado a 50m do eletrodo com potencial considerado de valor zero), tem-
se:
∫−=∆ ldEV . . (4.4)
Considerando o ponto A próximo a haste e o ponto B suficientemente distante do
ponto A, tem-se de forma aproximada a seguinte equação;
.B
B AA
V V E dl− = −∫
. (4.5)
Sendo VB =0 , o potencial no ponto A pode ser aproximado por
.B
AA
V E dl= ∫
. (4.6)
Os resultados a serem mostrados na seção seguinte, evidenciam a diferença que pode
ser observada no comportamento das curvas de TGR, tensão e corrente, quando a coleta de
potencial é feita através da modelagem citada acima. Simulações foram realizadas integrando
o campo elétrico em relação ao percurso utilizado, tendo como meio o espaço livre e a terra.
É importante ressaltar que a presença de dois meios com características elétricas
diferentes (ε1 e ε2), evidencia a descontinuidade de uma região a ser analisada. Sobre a
interface que define a região de contorno, a implementação direta dos valores destas
104
permissividades nas equações escritas para um meio uniforme, pode reproduzir efeitos de
dispersão numérica. Estes efeitos são mais acentuados quanto maior for a diferença entre ε1 e
ε2. Para essas situações, o recomendado seria a utilização da média das permissividades nas
células localizadas na interface dos dois meios, conforme mostrado na Figura 4.21, para as
componentes de campo elétrico situadas no plano horizontal (X-Y). Foram obtidos alguns
resultados para TGR, tensão e corrente, nas condições citadas acima. Para as simulações
realizadas, a mediação foi feita entre os valores da permissividade no espaço livre εo e terra
εterra.
Fig. 4.22 Mediação das permissividades em células da interface espaço livre e terra
4.1.8.1 Integração do potencial através de caminhos no espaço livre
Conforme mostra a Figura 4.23, foram escolhidos alguns caminhos de integração no
espaço livre para determinação do potencial desenvolvido durante a incidência do surto de
corrente.
Fig. 4.23 Medição do potencial através de integração no espaço livre
Kht+6
Kht+5
Kht+4
Kht+3
Kht+2
Kht+1
kht
Terra
Espaço
livre
Subdom5Subdom4 Subdom6 Subdom7
Kht+6
Kht+5
Kht+4
Kht+3
Kht+2
Kht+1
kht
Terra
Espaço
livre
Subdom5Subdom4 Subdom6 Subdom7
εo
εterra
(εo + εterra)/2
105
Os resultados da simulação são mostrados na Figura 4.24, para os caminhos
posicionados nas cotas kht+2, kht+3, kht+4 e kht+6, sendo kht a cota do nível do solo,
observa-se poucas mudanças nos valores da TGR e tensão nos períodos transitório e de
regime.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
TGRP2M(kht+5)
TGRP2M(kht+4)
Tensão(kht+2)
TGRP2M(kht+2)
TGRP2M(kht+6)
Corrente
(A
)
Tensão (V), T
GR
(ohm
s)
Tempo (µs)
-1.2
-1.1
-1.0
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
Tensão(kht+5)Corrente(kht+6)
Corrente(kht+4)
Tensão(kht+4)
Corrente(kht+2)
Tensão(kht+3)
Tensão(kht+6)
Corrente(kht+5)
Corrente(kht+3)
TGRP2M(kht+3)
Fig. 4.24 Resultados para TGR, tensão e corrente considerando a média das permissividades para as componentes tangenciais dos campos na interface As Figuras 4.25 e 4.26 mostram as curvas detalhadas no período de 0-0.2 µs para as situações sem e com média da permissividade.
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Corrente
(A
)
Tensão (V
), T
GR
(ohm
s)
Tempo (µs)
-1.2
-1.1
-1.0
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
Corrente (kht+2)
Tensão (kht+2)
TGR(kht+2
Tensão (kht+6)
Corrente (kht+6)
TGR(kht+6)
Tensão (kht+3)
Corrente (kht+1)
TGR(kht+1)
TGR(kht+3)
Corrente (kht+3)
Tensão (kht+1)
Fig. 4.25 Diagrama mostrando TGR, tensão e corrente sem média de permissividade
106
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
TGR(kht+5)
TGR(kht+4)
Tensão(kht+2)
TGR(kht+2)
TGR(kht+6)
Corr
ente
(A
)
Tensão (V
), T
GR
(ohm
s)
Tempo (µs)
-1.2
-1.1
-1.0
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
Tensão(kht+5)Corrente(kht+6)
Corrente(kht+4)
Tensão(kht+4)
Corrente(kht+2)
Tensão(kht+3)
Tensão(kht+6)
Corrente(kht+5)
Corrente(kht+3)
TGR(kht+3)
Fig. 4.26. Diagrama mostrando TGR, tensão e corrente, com média de permissividade
A conclusão que se tira na análise do percurso de potencial no espaço livre com e sem
média de permissividade, é que, no período transitório entre 0 e 0.1 µs, não são observadas
grandes mudanças, a não ser um pequeno amortecimento nos valores de TGR e de tensão,
principalmente na cota kht+6 quando se usa a média da permissividade. Também no período
de regime há uma melhor convergência nos valores de TGR e tensão para os diversos
caminhos, iniciando no instante de 0.13 µs.
Quando a coleta de potencial é feita através do espaço livre, a resistência obtida, na
fase de estabilização ou regime, tem valor bastante aproximado ao valor obtido através de
fórmulas analíticas utilizadas na literatura, conforme demonstrado a seguir. A especificação
da haste de aterramento e as características do solo utilizados na simulação, são as seguinte:
Squadrado = 0.5 x 0.5 = 0.25 m2
Comprimento: 3 m
Condutividade do solo: 2.28 x 10-3 Siemens/m
Resistividade do solo: 438.59 Ω.m
Considerando a área quadrada, deve-se calcular o diâmetro equivalente.
2
2quadrado circulo
dS S π
= =
(4.7)
107
2 0.564quadradoSd m
π= × = (4.8)
Utilizando-se fórmulas da literatura [12,13] para determinação da resistência de
aterramento de uma haste, tem-se:
2ln
2T
lR Tagg
l r
ρπ =
(4.9)
4ln 1
2
LR Sunde
L r
ρπ
= −
(4.10)
onde: ρ = Resistividade Ω.m L = Comprimento da haste r = raio da haste 71.14TAGGR = Ω
64SUNDER = Ω
. 70.51SIMULR = Ω
O resultado para resistência de aterramento em regime obtido por Tanabe
experimentalmente e através de simulação utilizando o protótipo convencional onde são
introduzidos os circuitos auxiliares para medição de potencial, tem seu valor aproximado
mostrado abaixo
55.00TANABER ≈ Ω .
Entende-se que as experiências levadas a efeito por Tanabe, serviram para validar o
modelo computacional elaborado dentro da técnica FDTD, porém o protótipo utilizado para
medição da TGR, tensão e corrente, propiciam a obtenção de valores apenas aproximados
para um determinado tipo de solo.
108
4.1.8.2 Integração do potencial através de caminhos no meio condutivo (terra)
Nesta etapa, foi realizada simulação considerando o caminho de integração pela terra.
Para isso foram escolhidos alguns caminhos conforme mostrado na Figura 4.27.
Fig. 4.27 Medição do potencial através de integração no meio condutivo terra
A Figura 4.28 apresenta as curvas TGR e tensão, referentes à integração do potencial através
dos caminhos kht, kht-2 e kht-6 na terra comparando-as com as curvas obtidas no espaço livre
para kht+3 e kht+6. A TGR sofre uma queda superior a dez ohms quando a integração passa
do espaço livre para terra. A parte transitória, também acompanha uma razoável atenuação,
principalmente nos instantes iniciais, visto na figura abaixo.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Tensão(Kht-6)_Terra
TGR(Kht-6)_Terra
TGR(Kht)_Terra
Tensão(Kht)_TerraTensão(Kht-2)_Terra
TGR(Kht-2)_Terra
TGR(kht+6)_EspLivre
Corrente
(A)
Tensão (V), T
GR
(ohm
s)
Tempo (µs)
-1.2
-1.1
-1.0
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
Corrente(Kht-6)_EspLivre
Corrente(Kht-2)_EspLivre
Corrente(Kht+6)_EspLivreCorrente(Kht+3)_EspLivre
Tensão(kht+6)_EspLivre
Tensão(kht+3)_EspLivre
TGR(kht+3)_EspLivre
Fig. 4.28 Resultado da TGR, tensão e corrente aplicando a integração do campo em vários
percursos na terra e no espaço livre.
Kht-1
Kht-2
Kht-3
Kht-4
Kht-5
Kht-6
Terra
Espaço
livre
Subdom5Subdom4 Subdom6 Subdom7
Kht
109
A Figura 4.29 detalha as curvas acima no período de tempo 0-0.2 µs, onde pode ser melhor observada a atenuação na curva representativa da TGR.
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Tensão(Kht-2)_Terra
TGR(Kht-6)_Terra
Tensão(Kht-6)_Terra
TGR(Kht)_Terra
Tensão(Kht)_Terra
TGR(Kht-2)_Terra
Corrente
(A)
Tensão (V
), T
GR
(ohm
s)
Tempo (µs)
-1.2
-1.1
-1.0
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
Tensão(Kht+3)_EspLivre
TGR(Kht+6)_EspLivre
TGR(Kht+3)_EspLivre
Tensão(Kht+6)_EspLivre
Fig. 4.29 Curva representativa da TGR, tensão e corrente no intervalo de 0 a 0.2 µs
As figs. 4.28 e 4.29 acima, mostram a diferença nas curvas de Tensão e TGR, quando
o caminho de integração é pelo espaço livre ou terra. A TGR sofre uma queda superior a dez
ohms quando referido caminho passa do espaço livre para terra na estabilização. A parte
transitória também acompanha uma razoável atenuação, principalmente nos instantes iniciais,
conforme mostrado na Figura 2.28 do capítulo 2, [14].
Uma explicação que pode ser dada para o caso em questão, é que, quando as ondas de
tensão ou corrente são aplicadas em condutores enterrados no solo, a onda eletromagnética
correspondente propaga-se ao longo do condutor. Este sistema opera como uma linha de
transmissão envolvida em um meio com perdas. Enquanto a onda se propaga, perdas de
energia, promovem uma atenuação na sua amplitude. Por outro lado, os componentes de
freqüência da onda, apresentam diferentes velocidades de propagação e são submetidas a
diferentes níveis de atenuação. Tais atenuações aumentam com a freqüência e com a
condutividade do solo, da mesma forma que a perdas de energia. Em suma, as ondas de tensão
e corrente que se propagam ao longo dos eletrodos no solo, têm suas amplitudes atenuadas e
estão também submetidas a distorções ao longo da direção de propagação com diminuição da
inclinação da frente de onda.
110
Neste trabalho, optou-se pelo caminho de integração, que se inicia na superfície da terra
e integra ao longo do percurso situado a três células acima da terra, ou seja, no espaço livre,
que representa a situação mais desfavorável no aterramento de um equipamento ou quando o
indivíduo é submetido a tensão de toque.
4.2 Resultados obtidos para TGR, Tensão e Corrente em eletrodos de aterramento
convencionais (comerciais)
Os ensaios de simulação apresentados nas seções anteriores, foram realizados em
malhas de aterramento com eletrodos de dimensões ampliadas para efeito de comparação de
resultados com trabalhos existentes na literatura [1,14]. Nesses casos, as dimensões físicas do
eletrodo principal são coincidentes com as dimensões das células de Yee inseridas no
programa de cálculo da TGR, facilitando inclusive os cálculos de atualização dos campos
eletromagnéticos. Esta concepção inicial tinha como objetivo, reduzir o tamanho da malha
que seria necessária, caso uma haste convencional fosse considerada. Entretanto, é importante
salientar, que a metodologia FDTD, através das técnicas de fio fino, mostradas no capitulo 3,
possibilita a simulação de problemas em malhas de terra que utilizam hastes de dimensões
comerciais. No mesmo ambiente de ensaio, introduziu-se uma haste comercial de
comprimento 3 m, diâmetro 20 mm, conectada aos circuitos de corrente e potencial. Nas
simulações que se seguem, tanto o circuito de potencial quanto o circuito de corrente para
excitação da haste de aterramento, estão baseados no novo modelo descrito no capítulo 3,
seção 3.4. Com este procedimento, eliminam-se do ambiente de trabalho as hastes e
barramentos auxiliares dos circuitos de corrente e de potencial.
4.2.1 Simulação de eletrodo com diâmetros diferentes
Com o objetivo principal de observar a sensibilidade do método, quanto à utilização de
hastes de aterramento com diâmetros diferentes e de valores bastante inferiores a dimensão da
célula de Yee, foram realizadas simulações com hastes comerciais de 3m de comprimento, e
os parâmetros constitutivos do solo foram considerados invariáveis com a freqüência. A
condutividade do solo homogêneo foi de 2.28 x 10-3 S/m e a permissividade relativa 50. Na
simulação utilizou-se hastes com diâmetros de valor 10, 20, 25 e 50 mm. Na Figura 4.30 são
mostradas as curvas para TGR, tensão e corrente, obtidas no domínio do tempo.
No período transitório entre 0.1 e 0.2 µs, é observada uma rápida variação na curva de
corrente enquanto a TGR mantém-se nos valores de 54 e 56 Ω. Entre 0.2 e 0.8 µs, são
observadas tendências à estabilização da corrente e aumento na tensão desenvolvida no solo,
111
conseqüentemente, a TGR também apresenta aumento no seu valor. As oscilações observadas
são conseqüência das reflexões múltiplas sucessivas na interface da terra e espaço livre e
difrações que ocorrem na extremidade do eletrodo.
O período de regime inicia aproximadamente no tempo de 0.8 µs e a impedância CC
atinge valores que são compatíveis com as equações teóricas (4.9) e (4.10), disponíveis na
literatura [12,13]. A tabela 4.2 mostra a diferença relativa entre valores analíticos e aqueles
obtidos com o modelo FDTD proposto.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Curvas para diferentes diâmetros de haste (10,20,25 and 50 mm)
condutividade = 2.28x10-3 e permissividade relativa = 50
Corr
ente
(A)
Tensão (V), T
GR
(ohm
s)
Tempo (µs)
-1.0
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
TGR(d=50mm)
TGR(d=25mm)
Tensão(d=10mm)
TGR(d=20mm)
Tensão(d=50mm)
Corrente(d=50mm)
Corrente(d=10mm)
TGR(d=10mm)
Fig. 4.30 Curvas de TGR, tensão e corrente para diâmetros variáveis
Tabela 4.2 Diferença relativa (Req-Rsim)/Req entre a resistência CC calculada através de (4.9) e (4.10) e a resistência transitória obtida pelo uso de simulação em ambiente FDTD para diferentes diâmetros de haste.
Diam (mm)
FDTD (Ω)
Eq. (4.9) (Ω)
Dif. %
Eq. (4.10) (Ω)
Dif. %
10 159.39 164.97 3.38 157.83 -0.98 20 143.76 148.84 3.41 141.70 -1.45 25 138.68 143.65 3.45 136.51 -1.58 50 122.70 127.52 3.77 120.38 -1.58
A boa aproximação observada entre valores simulados e calculados para diâmetros
variados de hastes de aterramento em meio condutivo, apesar de refletir apenas a impedância
CC, é de grande importância na validação das técnicas de coleta do potencial, injeção e
112
medição de corrente apresentadas neste trabalho. Os resultados obtidos servem também para
atestar o bom desempenho da nova metodologia para equacionamento da técnica de fio fino,
quando da presença de eletrodos em meio condutivo [16]. São importantes também na
verificação da sensibilidade de resposta a diferentes diâmetros do eletrodo de aterramento,
mantendo-se a célula da malha com as mesmas dimensões.
4.2.2 Verificação da influência da permissividade sobre TGR, tensão e corrente
Para estudo da influência da permissividade na TGR, tensão e corrente, usou-se uma
haste de aterramento com 20 mm de diâmetro. A Figura 4.31, mostra o comportamento
transitório das curvas TGR, tensão e corrente, para diferentes valores de permissividade
relativa (εr = 10, 20, 30, 40 e 50).
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
ε=10 ε=20 ε=30 ε=40 ε=50
Curvas para permissividade relat. (10,20,30,40 and 50)
condutividade = 2.28x10-3 e diâmetro 20 mm
Corr
ente
(A)
Tensão (V
), T
GR
(ohm
s)
Tempo (µs)
-1.0
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
Tensão
Corrente
TGR
Fig. 4.31 Curvas de TGR, tensão e corrente para permissividades variáveis
Observa-se uma variação acentuada no valor da TGR, tensão e corrente, no período
transitório entre 0–0.6 µs, quando se varia a permissividade. O efeito reativo capacitivo na
terra provocado pelas correntes em freqüências mais elevadas, depende diretamente da
permissividade [17], conforme é mostrado pela equação (4.11).
113
9104
18ln
rL
C FL
d
ε −=
(4.11)
Nas baixas freqüências ou período de estabilização da excitação, a capacitância se
torna desprezível e a permissividade não exerce qualquer influência no valor da resistência
CC de aterramento, conforme é observado nas expressões existentes na literatura para cálculo
dessas resistências e na Figura 4.30, comprovando a teoria relacionada (4.9) e (4.10).
4.2.3 Verificação da influência da condutividade sobre TGR, tensão e corrente
Para determinação da influência da condutividade na TGR, tensão e corrente, foi
utilizado um eletrodo de 20 mm de diâmetro em meios com diferentes condutividades, ou
seja, σ = 0.001, 0.003, 0.006 e 0.008 S/m, conforme mostrado na Figura 4.32. No período
transitório até 0.1 µs, não foram observadas alterações significantes na forma das curvas. A
alteração mais considerável nos valores de resistência e tensão, é verificada no período de
regime. Os valores coletados de resistência na simulação, são comparados com os valores
obtidos através das equações (4.9 ) e (4.10 ), explicitados na Tabela 2.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
350
400 σ=0.001S/m
σ=0.003S/m
σ=0.006S/m
σ=0.008S/m
Curvas para diâmetro da haste 20 mm dx=0.25 m
Diferentes condutividades (0.001 to 0.008 S/m) e Permissividade relativa = 50
Corr
ente
(A
)
Tensão (V
), T
GR
(ohm
s)
Tempo (µs)
-1.2
-1.1
-1.0
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
Corrente
Tensão
TGR
TGR
TGR
TGR
Figura 4.32 Curvas de TGR tensão e corrente para diferentes condutividades
114
Tabela 4.3 Diferença relativa (Req-Rsim)/Req entre a resistência CC calculada usando (4.9) e (4.10) e a resistência transitória obtida pelo uso da simulação FDTD para várias condutividades.
Cond. (S/m)
FDTD (Ω)
Eq. (4.9) (Ω)
Dif. %
Eq. (4.10) (Ω)
Dif. %
0.001 328.56 339.36 3.50 323.08 -1.69 0.003 109.23 113.12 3.52 107.69 -1.43 0.006 54.74 56.56 3.20 53.84 -1.67 0.008 41.18 42.42 2.92 40.38 -1.98
4.2.4 Simulação de eletrodo em solo estratificado em duas camadas
Considerando que o FDTD é um método flexível, é possível nele simular-se cenários
sofisticados com um certo conforto. De forma a ilustrar esta propriedade, foi simulado um
eletrodo de diâmetros 20 mm, em solo estratificado em duas camadas, com permissividade
relativa εr = 50, resistividade ρ1 = 438 Ω.m e ρ2 = 146 Ω.m nas camadas superior e inferior,
respectivamente, conforme pode ser observado na Figura 4.33. Os resultados obtidos são
mostrados na Figura 4.34. Devido a baixa resistividade da camada inferior, é observada uma
redução no valor da TGR e um aumento no valor da corrente a partir de 0.18 µs. Na situação
de regime, os valores da TGR mostraram magnitudes muito próximas às da equação de
Hummel, bastante utilizada no cálculo da resistência aparente associada a (4.10). O valor da
resistência calculada foi de 75.24 Ω. Utilizando a fórmula de Tagg para solo estratificado, o
valor obtido foi de 83.39 Ω e o valor da resistência, obtido através de simulação, foi de 77.21
Ω. A diferença relativa é de -2.87% e 7.17%, respectivamente, conforme mostrado no
desenvolvimento a seguir.
Fig. 4.33 Circuito de corrente mostrando haste de aterramento em solo estratificado
Circuito de corrente
ρ2 = 146 Ω.m
ρ1 = 438 Ω.m
∞
εr = 50L1=h=2m
L2= 1 mεr = 50
Resistência
Gerador de impulso Espaço livre
Terra
Circuito de corrente
ρ2 = 146 Ω.m
ρ1 = 438 Ω.m
∞
εr = 50L1=h=2m
L2= 1 mεr = 50
Resistência
Gerador de impulso Espaço livre
Terra
115
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200 Solo homog.
Solo estrat.
Tensão
Corrente
TGR
Corrente
(A)
Tensão (V
), T
GR
(ohm
s)
Tempo (µs)
-1.0
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
TGR, Tensão e Corrente para solos homogêneo e estratificado
Eletrodo 3m, condutividades 2.28x10-3 and 6.84x10
-3
Fig. 4.34 Curvas de TGR, Tensão e Corrente para haste de aterramento em solo homogêneo
e estratificado
Usando a fórmula de Hummel, temos o seguinte valor para a resistividade:
1 2
1 2
1 2
2 1262.8 .
2 1
438 146
a
L Lm
L Lρ
ρ ρ
+ += = = Ω
+ +
(4.12)
Para calculo da resistência utiliza-se a expressão:
1
4 262.8 4 3(ln 1) ln 1 75.24
2 2 3 0.020a
haste
LR
L r
ρπ π
× = − = − = Ω × ×
Rsimulado = 77,41 Ω
Utilizando uma fórmula elaborada por Tagg, para haste penetrando na segunda
camada, temos o seguinte resultado analítico:
116
( )1
1
1 2 2ln ln
2 2 21 2
n
Tagg
n
K L nH LR K
HL r n H Lk K
L
ρπ
∞
=
+ + = + − + − +
∑ (4.13)
83.39TaggR = Ω ( Rsimulado = 77,41 Ω)
onde: ρ1 = 1/0.00228 Ω ρ2 = 1/0.00684 Ω L = 3 m r = 10 mm
2 1
2 1
Kρ ρρ ρ
−=
+
H = 2 m n = 1 Conforme demonstrado acima, observou-se uma melhor aproximação com as fórmulas
desenvolvidas por Hummel e Sunde.
4.2.5 Simulação de eletrodos em presença de falhas geológicas
Ainda dando ênfase a grande flexibilidade proporcionada pela metodologia que utiliza
o FDTD, procedeu-se a simulação da mesma haste da seção anterior, porém, em solo
homogêneo e em presença de uma cavidade de ar com as dimensões de 10 x 5 x 50 m, nas
direções x, y e z respectivamente. A terra foi modelada com uma condutividade de 2.28 x 10-6
S/m e permissividade relativa de 50. A Figura 4.35 mostra o eletrodo em presença da
cavidade na posição 3.
Fig. 4.35 Eletrodo e cavidade
Espaço livre
Terra
σ = 0
σ = 2.28 x 10-3
Cavidade σ = 0
ε= ε0
2.5m
10 m (40 cel.)
5 m (2
0 cel.)
2.5
m (10 c
el)
x
yz
0.5 m
ε= ε0
ε= 50ε0
Espaço livre
Terra
σ = 0
σ = 2.28 x 10-3
Cavidade σ = 0
ε= ε0
2.5m
10 m (40 cel.)
5 m (2
0 cel.)
2.5
m (10 c
el)
x
yz
0.5 m
ε= ε0
ε= 50ε0
117
Foram realizadas três simulações, mantendo a haste e deslocando a cavidade ao longo
do eixo z conforme descrito abaixo:
• cavidade 1 - Parte superior posicionada 3.5 m abaixo da superfície da terra
• cavidade 2 - Parte superior posicionada 3.0 m abaixo da superfície da terra
• cavidade 3 - Parte superior posicionada 2.5 m abaixo da superfície da terra
As curvas obtidas para TGR, tensão e corrente, são mostradas na Figura 4.36. A
Figura 4.37, mostra a distribuição do campo Ez no plano X-Z.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
Homog.soil
Cavity 1
Cavity 2
Cavity 3
Tensão
Corrente
TGR
Corrente
(A
)
Tensão (V), T
GR
(ohm
s)
Tempo (µs)
-1.0
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
TGR, Tensão e Corrente para solos homogêneo e em presença de cavidade
Eletrodo 3 m e condutividade 2.28x10-3
Fig. 4.36 Curvas de TGR, Tensão e Corrente para haste de aterramento em presença de
cavidades dentro da terra
A simulação e análise de um problema envolvendo uma cavidade no subsolo contendo
ar, cujos parâmetros densidade e permissividade diferem daqueles da terra, servem para
demonstrar a potencialidade da metodologia FDTD na análise de meios formados por figuras
geométricas, que não são convencionais, quando comparados a condutores, barramentos, etc.,
comumente utilizados nos sistemas de aterramento. Ao invés da cavidade, poderiam ser
introduzidos no ambiente de simulação FDTD tubulações, tanques, estruturas metálicas ou
118
não, fundações, torres de transmissão, etc. Esses componentes não trariam qualquer
complicação analítica para a solução do problema. Seria uma questão puramente geométrica
para delimitação das condições de contorno no ambiente FDTD.
Fig. 4.37 Distribuição do campo EZ com eletrodo de aterramento em presença de cavidade
4.2.6 Simulação de uma malha quadrada 5 x 5 nós sem eletrodos
A simulação a seguir trata e uma malha quadrada com 25 nós sem eletrodos de
aterramento, enterrada a uma profundidade de 0.50 m, conforme mostrado na Figura 4.38.
Fig. 4.38 Malha de aterramento 5 x 5 nós, sem hastes de aterramento
P=0.50 m 12 m
12 m
P=0.50 m 12 m
12 m
119
Os resultados obtidos para TGR, tensão e corrente, estão contidos no gráfico da Figura 4.39.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
-60
-40
-20
0
20
40
60
TGR
Tensão
Corrente
(A
)
Tensão (V
), T
GR
(ohm
s)
Tempo (µs)
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
Corrente
Fig. 4.39 Curvas TGR, tensão e corrente para uma malha quadrada 5 x 5 nós sem eletrodos
Os resultados para tensão corrente e TGR, apresentam as variações esperadas, com
elevada taxa de amortecimento no período transitório. No período de regime, o valor final da
TGR é comparado com valor calculado analiticamente através da fórmula de Chow Salama
[18], obtida na literatura.
Valor da TGR simulada por FDTD = 15.76 Ω
Valor da TGR obtida pela fórmula:
1 1 1 0.165 2ln 1 1.128
4 2CS a
malha malha
l hR
A N l d A
πρ
π
∆ = + × − × ∆
(4.14)
RCS = 15.56 Ω
120
A diferença entre valor calculado e simulado, é de 1.2%, valor considerado bastante
aproximado ao obtido pela fórmula de Chow Salama para malhas quadradas.
As figuras 4.40. 4.41 e 4.42, mostram a distribuição das componentes Ex, Ey e Ez,
respectivamente, ao longo da malha de aterramento após 9.000 iterações.
Fig. 4.40 Distribuição do campo Ex na malha 5x5
Fig. 4.41 Distribuição do campo Ey na malha 5x5 Fig. 4.41 Distribuição do campo Ey na malha 5x5
121
Fig. 4.42 Distribuição do campo Ez na malha 5x5
122
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] K. Tanabe, “Novel method for analyzing the transient behavior of grounding
systems based on the finite difference time domain method” CRIEPI, Tokio, 2001.
[2]
G. Andrews, Foundations of multithreaded, parallel and distributed programming,
Addison Wesley, 2000
[3] K. S. Kunz and R J. Luebbers: The finite difference time domain method for
electromagnetics, CRC press, New York, 1993.
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124
5 Conclusões
Neste trabalho, foi desenvolvido um código computacional para análise do
comportamento transitório de sistemas de aterramento excitados por pulso de corrente. A
formulação do problema foi elaborada partindo-se das equações rotacionais de Maxwell,
escritas para meios isotrópicos e com perdas. Tais equações são então resolvidas,
numericamente, através do método FDTD. Para truncar a região de análise, empregou-se a
técnica de UPML (meio uniaxialmente anisotrópico) e, para a caracterização de condutores de
raios pequenos, lançou-se mão da técnica de fio fino. Apresentou-se como inovação, a
introdução de condutor fino conectado diretamente a região absorvente (UPML), adoção da
média das correntes no ponto de coleta no eletrodo e aplicação da Lei de Faraday na coleta de
tensão por meio de um caminho pré-determinado. Referidas inovações, possibilitaram a
retirada dos eletrodos e barramentos auxiliares do ambiente de processamento dando maior
precisão aos resultados e promovendo a redução do espaço de memória e tempo de
processamento, fatores de grande relevância para este tipo de análise.
O ambiente computacional assim desenvolvido, rodou em um cluster de 10 nós e os
resultados aqui apresentados indicam que o algoritmo proposto pode ser aplicado de forma
eficaz na análise dos fenômenos transitórios provocados por descargas atmosféricas ou falhas
em sistema de distribuição ou transmissão de energia elétrica. As simulações foram realizadas
em duas etapas básicas durante o desenvolvimento do trabalho. A primeira etapa envolveu
eletrodos de dimensões não convencionais (0.5x0.5x3m), aplicados em sistemas de
aterramento com 1, 2, 4, 16 e 25 eletrodos paralelos, um exemplo de eletrodo vertical longo e
eletrodo em solo estratificado em duas camadas. Os resultados obtidos para tensão, corrente e
TGR, considerando-se um eletrodo em solo homogêneo, foram semelhantes aos resultados
experimentais, apresentados por K. Tanabe. As demais simulações, levando-se em conta
arranjos de eletrodos em paralelo, apresentaram respostas bastante aproximadas daqueles
disponíveis na literatura. É importante ressaltar que nesta etapa, os resultados foram obtidos
utilizando-se a mesma modelagem empregada por Tanabe, ou seja, a injeção de corrente e
coleta de potencial obtidas através de hastes e barramentos auxiliares. Dos resultados
alcançados, foi possível observar uma maior suavidade nas curvas de corrente, tensão e TGR,
na medida em que se aumenta o número de eletrodos. A metodologia aplicada pode ainda ser
útil quando um solo condutivo e estratificado em várias camadas for considerado. Para isto,
basta delimitar a região condutiva, com as espessuras das camadas e suas respectivas
resistividades, o que se constitui em uma tarefa simples no ambiente desenvolvido.
125
Na segunda etapa do trabalho, foram utilizados eletrodos de raios pequenos em
relação ao tamanho das células de Yee, similares aos eletrodos comerciais existentes.
Apresentou-se uma nova metodologia para injeção de corrente e a eliminação do circuito de
tensão. Estas técnicas consistem em: 1) extensão de um condutor vertical até a região superior
da UPML (mais precisamente até a uma célula da parede elétrica condutora – PEC). Neste
procedimento, faz-se necessário o casamento de impedância da UPML com relação ao
condutor, o que é feito através da substituição dos parâmetros εo por ε* e µo por µ
*, nos
campos elétricos e magnéticos existentes nas equações da UPML; 2) cálculo da corrente
injetada (interface espaço livre e terra) pela média das correntes e 3) cálculo do potencial no
ponto de injeção pela Lei de Faraday.
Foi observado que as respostas transitórias e a distribuição de potencial obtidas pelo
método tradicional de medição utilizado na primeira etapa dos trabalhos, contém pequenas
oscilações e assimetrias devido a presença dos circuitos auxiliares. Isto significa dizer que a
resposta transitória obtida por esta metodologia, não corresponde de forma precisa a resposta
real obtida para o sistema de aterramento considerado, embora, as respostas estacionárias
possuam uma boa aproximação para hastes convencionais. Desta forma, a técnica apresentada
na segunda etapa deste trabalho, elimina os acoplamentos eletromagnéticos, constituídos dos
circuitos auxiliares de tensão e corrente, que não estão presentes nas situações normais de
incidência de descarga, ficando as respostas transitórias relacionadas exclusivamente ao
sistema de aterramento. Os resultados estacionários obtidos para todas as situações testadas,
são concordantes com os resultados calculados através de equações disponíveis na literatura.
É importante enfatizar, que além das vantagens obtidas com a metodologia nova, observa-se
que houve uma redução considerável dos recursos computacionais (memória e tempo de
processamento), em decorrência da eliminação do barramento horizontal de corrente o que
possibilitou a redução do espaço computacional.
Embora as simulações, de uma forma geral, estejam voltadas para eletrodos simples ou
determinados arranjos de eletrodos, em diferentes meios, a técnica FDTD permite que se
proceda a análise de estruturas de aterramento complexas, com modificações relativamente
simples, na estrutura do programa. A complexidade poderá ser introduzida, tanto no sistema
físico de aterramento quanto no meio ambiente que o envolve. Isto foi mostrado na simulação
de uma cavidade no solo. Podem ainda ser introduzidos, no espaço de trabalho, linhas de
transmissão e de distribuição, prédios e outras estruturas, permitindo que se façam avaliações
de condições mais realísticas.
126
Para situações reais, conclui-se que este código apresenta uma grande potencialidade
na solução de problemas complexos, onde as fórmulas teóricas tornam as soluções analíticas
intratáveis. Suas limitações envolvem a grande quantidade de memória requerida e o longo
tempo de processamento, quando o cenário em análise for eletricamente grande, o que tem
sido contornado através do uso de processamento paralelo.
Propõe-se, como temas para trabalhos futuros: 1) aplicação de parâmetros não-lineares
no ambiente FDTD, ou seja, introdução de efeitos de ionização e variação de parâmetros do
solo com a freqüência; 2) estudos de distribuição de tensão transitória em torres e isoladores
(flashover) de linhas de transmissão quando submetida a pulsos de corrente em ambiente
FDTD e 3) monitoramento da integridade de sistemas de aterramento através da comparação
de curvas obtidas experimentalmente pela injeção de corrente em malhas de aterramento e
aquelas obtidas através de simulação.
PUBLICAÇÕES RELACIONADAS À TESE DE DOUTORADO
1. Artigos completos publicados em periódicos E. T. Tuma, SANTOS, R. O., R. M. S. Oliveira, Leonidas C. S. Análise do comportamento transitório dos parâmetros dos sistemas de aterramento usando o método FDTD. Revista do IEEE América Latina. , v.4, n.1, 2006.
E. T. Tuma, R. M. S. Oliveira, Leonidas C. S. Transient analysis of parameters Governing grounding systems in homogeneous and stratified soils using the FDTD method IEEE Power delivery transaction (Em fase final de publicação) 2. Trabalhos completos publicados em anais de evento
E. T. Tuma, SANTOS, R. O., Leonidas C. S. ”Análise do comportamento transitório dos parâmetros de sistemas de aterramento usando o método FDTD” 6º CBMag - Congresso Brasileiro de Eletromagnetismo, 2004, São Paulo. MOMAG 2004 ISSN-1807-0809
E. T. Tuma, SANTOS, R. O., Leonidas C. S. ”Transient analysis of parameters governing grounding system by the FDTD method” GROUND'2004 International Conference on Grounding and earthing & 1st LPE International Conference on Lightning Physics and Effects, 2004, Belo Horizonte. GROUND'2004 International Conference on Grounding and earthing & 1st LPE International Conference on Lightning Physics and Effects. Belo Horizonte: Perez Bovolenta Editora Ltda, 2004. v.1. p.165 - 169
E. T. Tuma, R. M. S. Oliveira, C.T.Costa ”New model of current impulse injection and potential measurement in transient analysis of grounding systems in homogeneous and stratified soils using the FDTD method” VIII International Symposium on Lightning Protection, 2005, São Paulo. VIII International Symposium on Lightning Protection 21st - 25st November 2005 São Paulo, Brazil. São Paulo: Alphagraphics Pinheiros, 2005. v.1. p.526 - 531 E. T. Tuma, R. M. S. Oliveira, Leonidas C. S. ”Transient analysis of parameters governing grounding systems in homogeneous and stratified soils using the FDTD method” The 2005 International Symposium on Electromagnetic Compatibility, 2005, Petropolis - RJ Proceedings of the 2005 International Symposium on Electromagnetic Compatibility - ISEMC 2005. ,
