Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Tanja Bencic

Aleksandrija - znanstveno srediste starog vijeka

Diplomski rad

Osijek, 2011.

Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Diplomski sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Tanja Bencic

Aleksandrija - znanstveno srediste starog vijeka

Diplomski rad

Mentor: doc. dr. sc. Tomislav Marosevic

Osijek, 2011.

Sadrzaj

1. Uvod 1

2. Kratka povijest osnutka Aleksandrije 2

3. Staroegipatska matematika 3

4. Aleksandrijska knjiznica 4

5. Neki znanstvenici iz Aleksandrije 7

5.1. Euklid (330. - 275.pr.Kr.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5.2. Aristarh sa Samosa (310.-250.pr.Kr.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.3. Arhimed (grc. Arhimedes, oko 287.-212. pr. Kr.) . . . . . . . . . . . . 14

5.4. Eratosten iz Kirene (275.-195.pr.Kr.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.5. Apolonije iz Perge (260.-190.pr.Kr.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.6. Klaudije Ptolomej (87.-168. godine) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.7. Papus (oko 290.- oko 350. godine) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.8. Diofant (III. st. poslije Kr.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.9. Hipatija ( 370.- 415. godine) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6. Sazetak 28

7. Zivotopis 31

1. Uvod

Aleksandrija je bila najvece kulturno i znanstveno srediste tijekom sedam stoljeca,

od 3.st. pr. Kr. do 4. stoljeca n.e., na zapadnom rubu goleme delte Nila. U Alek-

sandriji su se skupljali umjetnost i znanje, sva kulturna dobra onoga doba, da bi se u

njemu oplodena sirila na sve strane tada poznatog svijeta. Samo jedno stoljece nakon

osnivanja, Aleksandrija je bila veca od Kartage i vrlo brzo je postala srediste anticke

kulture, od znanosti do religije.

Aleksandrija, kozmopolitski grad znanosti i kulture od osnutka u IV. st. pr. Kr. do

danas, mjesto je u kojem se ispreplicu orijentalna i zapadna civilizacija. Tijekom vise

od 2000 godina njome su vladali brojni narodi: Grci, Rimljani, Bizantinci, Arapi, Turci,

Francuzi, Englezi i Egipcani. Aleksandrijski Museion je bio vodece sveuciliste svoga

vremena, a iza njegovih zidina naucavali su najbolji filozofi, znanstvenici i ucenjaci

tog doba. Mnogo stoljeca kasnije, kolektivnu misao koja se ovdje stvarala naslijedit ce

zapadna civilizacija.

U anticko doba, grad je bio poznat po svom svjetioniku, koji se ubraja u sedam

svjetskih cuda i po knjiznici koja je bila najveca u to vrijeme. Podvodna arheoloska

istrazivanja u aleksandrijskoj luci, otkrivaju da je prije dolaska Aleksandra ovdje pos-

tojao grad Rhakotis, za vrijeme dinastije Ptolomejevica. Grad je kao sjediste Ptolome-

jevica, koji su tada vladali Egiptom, brzo postao jedan od najvecih gradova u he-

lenistickom svijetu. Za vrijeme Ptolomejeve vladavine vladalo je kulturno blagostanje.

Ptolomej je Aleksandriju ucinio kulturnim sredistem tadasnjeg zapadnog svijeta uteme-

ljivsi Museion, centar obrazovanja, znanosti i umjetnosti s velikom Knjiznicom.

U Museionu se izucavala i predavala matematika, filozofija, zemljopis, filologija, medic-

ina, astronomija i prirodne znanosti, te je on postao uzor za kasnija europska sveucilista.

Razdoblje od 300.g.pr.Kr. do 500.g.poslije Kr. obiljezava razdoblje utjecaja najvecih

matematickih skola antickih vremena medu kojima posebno mjesto ima skola u

Aleksandriji.

1

2. Kratka povijest osnutka Aleksandrije

Najveci vojskovoda i drzavnik helenistickog svijeta Aleksandar III. Makedonski os-

vojio je Egipat u jesen 332. g. pr. Kr. nakon pobjeda nad perzijskim kraljem Darijem

III. Aleksandar je imao samo 25 godina, a vec je bio gospodar citave istocne obale

Sredozemlja od Grcke do Egipta. Za srediste novog svijeta izabrao je podrucje delte

Nila izmedu Sredozemnog mora i Mareotskog jezera (eg. Mariout) u cijem se zaljevu

nalazio otocic Far. Postavivsi temelje grada, Aleksandar je krenuo u nova osvajanja na

istoku. Vise se nikada nije ziv vratio u svoju buducu prijestolnicu. Umro je u Babilonu

323. g. pr. Kr. od groznice. Njegove zamisli i brigu o izgradnju grada preuzeo je jedan

od njegovih vojskovoda i pomocnika, Ptolomej I. Soter, koji je potpuno preuzeo vlast

u Egiptu. Ptolomej I. posvetio se uredenju nove prijestolnice cime zapocinje kulturni

i znanstveni procvat Aleksandrije.

Nakon sto su helenizirani Egipat, Mezopotamija i dio Indije, helenizam je cinio

bit gradske civilizacije. Vladari u razdoblju helenizma su njegovali istocnjacke obicaje,

rjesavali istocnjacke probleme vlasti, ali su poticali grcku umjetnost, literaturu i znanost.

Tako je grcka matematika bila prenesena u novu sredinu. Matematika je sacuvala svoje

ranije osobine ali je ostao i utjecaj onih zahtjeva administracije i astronomije koje je

postavio Istok. Povezanost grcke znanosti sa Istokom bila je izuzetno plodna, narocito u

prvim stoljecima. Aleksandrija je postala intelektualni i privredni centar helenistickog

svijeta, postala je veza istoka i zapada, ne samo kao srediste trgovine, vec i kao glavno

mjesto znanstvenika koji su nasli utociste u aleksandrijskom Museionu, koji je bio

srediste znanosti s velikom knjiznicom.

U antickoj Aleksandriji djelovao je Euklid koji je napisao djela koja su utemeljila

matematiku, zatim Eratosten (izmjerio je opseg Zemlje). Aleksandrija je bila grad

znanosti koja je za vladavine Ptolomejevica izrasla u jedan od najvecih antickih gradova.

Grad su krasili mnogi spomenici od kojih su najglasovitiji bili svjetionik na otoku Faru,

koji je smatran jednim od najvecih ostvarenja u starom vijeku i jedan je od sedam svjet-

skih cuda, velika Knjiznica i Museion, Serapisov hram (Serapeum) i kraljevske palace.

Slika 1: Svjetionik

2

3. Staroegipatska matematika

Staroegipatska matematika je jedna od najranijih razdoblja razvoja te znanosti.

Jedna od prvih grana matematike je geometrija, po postanku to je grcka rijec koja

bi, doslovno prevedena, znacila ”mjerenje zemlje”. A upravo kao mjerenje zemlje ge-

ometrija se siroko razvila vec u starom Egiptu.

O staroegipatskoj matematici doznajemo ponajvise iz dvaju papirusa: Ahmesovog

ili Rhindovog i Moskovskog([3]).

Slika 2: Ahmesov papirus

Slika 3: Moskovski papirus

Ahmesov papirus sadrzi 87 matematickih problema. To je zbirka tablica i vjezbi,

koja je namijenjena uglavnom ucenju matematike. Sadrzi vjezbe iz aritmetike, alge-

bre, geometrije i raznih mjerenja. Moskovski papirus otkrio je 1893. godine V. S.

Golenichev. Sadrzi 25 problema, od kojih mnogi nisu citljivi.

3

Promotrimo li gradevine koje su stari Egipcani ostavili svjetskoj bastini, mozemo

primijetiti koliko su imali dobro razvijenu geometriju, stereometriju i sve ono sto im je

bilo potrebno za izgradnju piramida i hramova. Poznato je da su znali racunati nagib

piramide, obujam krnje piramide te obujam piramide. Racunali su povrsinu trokuta

kao 12

umnoska dviju kracih stranica (sto vrijedi samo za pravokutan trokut); malena

odstupanja nisu im znacila previse. Znali su izracunati i povrsinu pravokutnika kao

umnozak duljina njegovih stranica.

U staroegipatskoj algebri problemi i rjesenja bila su dana rijecima. Znali su

rjesavati jednadzbe prvog stupnja s tim da su obavezno provodili analizu i sintezu pri

rjesavanju, tj. svako rjesenje su uvrstavali u pocetni problem da se uvjere da to uistinu

i jest pravo rjesenje.

Stari Egipcani nisu poznavali oznake za mnozenje, dijeljenje, jednakost, drugi

korijen, decimalnu tocku, nisu cak ni znali za ”obicni” razlomak. Ali su se zato koristili

i sedmeroznamenkastim brojevima,prema legendi je poznato da su imali neku cudnu

mjesavinu jednostavnosti i kompliciranosti u svojim racunima, ali taj se nacin pokazuje

kao potpuno jedinstvena i zatvorena cjelina. Zato se moze reci da je egipatska matem-

atika jedini sacuvani cisti primjerak racunske tehnike koja je bila vrlo razvijena, koja

u citavom svom razvoju nije dozivjela nikakav bitni diskontinuitet, vec se u potpunosti

temelji na osnovi racunanja - na brojenju i pojmu razlomka.

4. Aleksandrijska knjiznica

Aleksandrijska knjiznica je najveca i najznamenitija knjiznica starog vijeka. Bila je

smjestena u Aleksandriji na podrucju Egipta, koji je bio srediste helenisticke kulture i

znanosti.

Veliku aleksandrijsku Knjiznicu dao je podici Ptolomej I. Namjeravao je stvoriti

znanstveno i kulturno srediste koje ce se suprostaviti atenskom utjecaju. Izgradena je

Knjiznica sa znanstvenom ustanovom Museionom. Tako su stvoreni temelji kulturnog

i znanstvenog utjecaja koje ce Aleksandrija zadrzati sve do kraja IV. st. Knjiznica nije

bila otvorena za javnost nego samo za studente i znanstvenike. Za potrebe knjiznice

prikupljani su rukopisi, papirusi i razni natpisi sa svih strana svijeta. Svjedocanstva

brojnih putnika govore da su im u Egiptu oduzimani svi rukopisi koji su potom prepisi-

vani i vracani vlasnicima. Na taj nacin stvorena je golema zbirka znanja antickog svijeta

s oko 200.000 rukopisa. U brojnim svicima dokumenata bili su zastupljeni gotovo svi

poznati jezici: grcki, latinski, aramejski, hebrejski, jezici naroda Mezopotamije, perzi-

jski, arapski, pa i indijski. U Museionu se istrazivala biologija, medicina, matematika,

astronomija, filologija, geografija, povijest, itd.

4

U okviru ustanove djelovala su brojna slavna imena od kojih se posebno isticu ge-

ograf, filolog, matematicar i astronom Eratosten, matematicar Euklid (djelovao oko

300. g. pr. Kr.), fizicar, matematicar i izumitelj Arhimed, fizicar Heron, Apolonije,

Ptolomej, Papus, Teon, Hipatija, Diofant i drugi. Prvi put Knjiznica i Museion unisteni

su 48./47. g. pr. Kr. u gradanskom ratu izmedu Kleopatre VII. i njezina brata Ptole-

meja XIII. (tzv. aleksandrijski rat), ali nisu sacuvani podaci o velicini stete. Godine

391./392. u krscanskom osvajanju unisteni su poganski hramovi i ostatci Knjiznice.

Slika 4: Knjiznica

5

BIBLIOTHECA ALEXANDRINA - SIMBOL MODERNE ALEKSANDRIJE

U najnovije doba, sredinom listopada 2005. navrsila se treca obljetnica otvaranja

nove aleksandrijske knjiznice.

Realizacija projekta izgradnje nove knjiznice odvijala se kroz gotovo trideset godina.

Bibliotheca Alexandrina zamisao je dvojice egipatskih akademika sa Sveucilista u Alek-

sandriji koji su 1974. godine dosli na ideju gradnje nove knjiznice s ciljem revitalizacije

povijesne prijestolnice helenisticke i anticke kulture.

Slika 5: Knjiznica

Bibliotheca Alexandrina predstavlja znacajno kulturno srediste u Egiptu. Danasnja

zgrada knjiznice izgradena je na prostoru na kojem je posljednja egipatska dinastija

Ptolomejevica izgradila svoje palace i nedaleko od mjesta na kojem je nekoc vjerojatno

stajao slavni aleksandrijski Museion i Knjiznica (Bibliotheca). Nova aleksandrijska

Knjiznica izgradena je s namjerom da bude i mjesto povezivanja Egipta sa svijetom.

6

5. Neki znanstvenici iz Aleksandrije

5.1. Euklid (330. - 275.pr.Kr.)

Euklid je poznati grcki matematicar iz Atene. O njegovom zivotu je jako malo poz-

nato. Zivio je i radio u Aleksandriji gdje je stvorio matematicku skolu. Od svih velikih

imena vezanih uz Aleksandriju, Euklidovo ime je najpoznatije. Bio je jedan od najus-

pjesnijih pisaca. Napisao je vise knjiga iz optike, glazbe, astronomije i matematike. U

povijesti cjelokupne matematike Euklid je vrlo istaknut, posebno kao ponajveci ucitelj

matematike ikada.

Euklid je napisao brojna djela, od kojih neka nisu sacuvana i poznata su samo po

naslovu. Sacuvana djela su:

- ”Elementi” (geometrija kao znanost o prostoru) u 13 knjiga,

- ”Data” (o uvjetima zadavanja nekog matematickog objekta),

- ”Optika” ( s teorijom perspektive), i dr.

Najznacajnije matematicko djelo koje je imalo veliki utjecaj na poucavanje i razvoj

matematike su Euklidovi Elementi. Elementi predstavljaju sustavno izlaganje grcke

matematike tog vremena po odjeljcima: elementarna geometrija, teorija brojeva, al-

gebra, teorija mjerenja geometrijskih velicina, elementi teorije granicnih vrijednosti.

Elementarna geometrija, koja se izucava u srednjim skolama mnogih zemalja svijeta,

malo se razlikuje od geometrije izlozene u Euklidovim Elementima. Medutim, mnoge

definicije (tocka, pravac i dr.) u Euklidovoj geometriji su danas zastarjele. Euklid

je pokusao da izlaganje bude strogo deduktivno i upravo zbog te dosljednosti ”Ele-

menti” su stoljecima smatrani najsavrsenijim matematickim djelom. Mnoge generacije

matematicara i drugih znanstvenika su ucili iz ove knjige kako se logicki zakljucuje i

novo povezuje s ranije utvrdenim cinjenicama.

Euklidovi Elementi sadrze osnove gotovo cjelokupne grcke matematike do Euklidova

vremena, a nastali su na temelju ranijih dostignuca drugih matematicara, od kojih su

neki teoremi i dokazi originalno Euklidovi. U knjizi su dokazana 464 teorema na nacin

koji se i danas koristi. Elementi su znacajni i zbog stila pisanja zato sto su teoremi

logicki poredani tako da svaki slijedi iz vec dokazanih ili osnovnih tvrdnji koje su dane

na pocetku, a zakljucci se izvode deduktivno.

7

Mnogi vrijedni sadrzaji iz tog doba nisu uvrsteni u Elemente. Na primjer teorija

cunjosjecnica, matematicka znanja nastala u rjesavanju problema trisekcije kuta, pod-

vostrucenja kocke, Hipokratove kvadrature nekih neravnih likova i drugo. Sve do dvade-

setog stoljeca Euklidovi Elementi ce biti uzor matematickog djela i vecina udzbenika

ce biti radena na temelju Elemenata.

Elementi se sastoje od 13 knjiga, a na pocetku navode 23 definicije, 5 aksioma i

5 postulata. Aksiomi su opcenite polazne tvrdnje koje se ne dokazuju, a postulati se

odnose na polazne geometrijske tvrdnje.

Navedimo te postulate (na nacin na kojem se i danas izlazu ):

1. Dvije tocke odreduju segment pravca (duzinu).

2. Duzinu je moguce produziti u beskonacnost (na njena oba kraja, cime se dobije

pravac).

3. Zadani segment pravca definira kruznicu (jedan kraj segmenta je srediste, a duljina

segmenta je polumjer).

4. Svi pravi kutevi su jednaki.

5. Postulat o paralelama: Ako pravac sijece dva pravca tako da je zbroj unutrasnjih

kuteva s iste strane manji od dva prava kuta, onda se ta dva pravca (ako se dovoljno

produze) sijeku, tj. nisu paralelni.

Navedimo pet aksioma (na nacin na kojem se i danas izlazu ):

1. Jednakost je tranzitivna relacija.

2. Ako je a = b i c = d, onda je a+ c = b+ d.

3. Ako je a = b i c = d, onda je a− c = b− d.

4. Ono sto se podudara je jednako.

5. Cjelina je veca od dijela.

Slika 6: Euklidovi Elementi

Prije nego sto je poceo dokazivati teoreme, Euklid je postavio definicije, od kojih

navodimo nekoliko sljedecih:

Def. 1.1. Tocka je u tome sto nema dijela.

Def. 1.2. Linija je beskonacna duzina.

Def. 1.3. Ekstremiteti linija su tocke.

Def. 1.4. Pravac lezi jednako s obje strane u odnosu na tocke.

8

Promotrimo ukratko sadrzaj pojedinih knjiga u Euklidovim Elementima.

U knjizi Euklidovi Elementi I nalazi se 48 propozicija elementarne geometrije.

Tu se razmatra medu ostalim,

- konstrukcija pravilnog trokuta zadane stranice,

- poucci o sukladnosti trokuta (SKS, SSS, KSK),

- bisekcija kuta (konstrukcija simetrale kuta),

- bisekcija duzine (konstrukcija simetrale duzine),

- konstrukcija trokuta zadanih stranica.

Navedimo neke propozicije koje su iskazane na sljedeci nacin:

1. Dvije stranice trokuta su jednake ako i samo ako su im nasuprotni kutevi jednaki.

2. Vanjski kut trokuta je veci od oba njemu nasuprotna unutrasnja kuta.

3. Vanjski kut u trokutu je suma nasuprotnih unutrasnjih kuteva. Suma unutrasnjih

kuteva trokuta je dva prava kuta.

U knjizi Euklidovi Elementi II nalazi se 14 propozicija geometrijske algebre

medu kojima se razmatraju i

- geometrijski dokaz formule (x+ y)2 = x2 + 2xy + y2,

- geometrijsko rjesenje jednadzbe (b− x)x = c,

- kvadratne jednadzbe koje odgovaraju teoremu o kosinusima bez trigonometrijske for-

mulacije,

- nalazenje kvadrata jednakog (po povrsini) zadanom poligonu.

Knjiga Euklidovi Elementi III sadrzi 37 propozicija o planimetriji kruznice i

kruga. U propozicijama se razmatra:

- odredivanje sredista dane kruznice,

- pravac kroz srediste kruznice koji raspolavlja tetivu okomit je na nju,

- konstrukcija tangente na kruznicu iz tocke izvan kruga,

- Talesov teorem.

Ovako glase neke od propozicija:

1. Obodni kut je pola pripadnog sredisnjeg kuta.

2. Ako se iz tocke izvan kruga povuku sekanta i tangenta, onda je kvadrat udaljenosti

tocke do diralista jednak produktu duzina od tocke do sjecista sekante s kruznicom.

Specijalno su produkti tih duzina za svake dvije sekante jednaki.

U knjizi Euklidovi Elementi IV obradene su konstrukcije pravilnih poligona.

Sastoji se od 16 propozicija, medu kojima se nalaze i

- upisivanje i opisivanje trokuta sa zadanim kutevima zadanoj kruznici te upisivanje i

opisivanje kruznice trokutu,

- upisivanje i opisivanje kvadrata zadanoj kruznici te upisivanje i opisivanje kruznice

kvadratu,

9

- upisivanje i opisivanje pravilnog peterokuta zadanoj kruznici te upisivanje i opisivanje

kruznice pravilnom peterokutu,

- konstrukcija pravilnog sesterokuta.

U knjizi Euklidovi Elementi V obradena je Eudoksova opca teorija omjera i

razmjera. Sastoji se od 25 propozicija, medu kojima su i

- distributivnost mnozenja prema zbrajanju,

- asocijativnost mnozenja za prirodne brojeve,

- komutativnost mnozenja,

- tranzitivnost jednakosti omjera.

U knjizi Euklidovi Elementi VI nalazi se 33 propozicije o primjeni opce teorije

omjera i razmjera na planimetriju. Navedimo neke od njih:

1. Povrsine trokuta i paralelograma iste visine su proporcionalne osnovicama.

2. ”Talesovi” teoremi o proporcionalnosti: paralela s osnovicom trokuta sijece stranice

u jednakim omjerima.

3. Okomica na hipotenuzu dijeli pravokutni trokut na dva njemu (i medusobno) slicna

pravokutna trokuta.

Osim propozicija razmatraju se i sljedece stvari: - nalazenje trece geometrijske propor-

cionale duzina a i b (duzine x tako da je a : b = b : x),

- nalazenje srednje geometrijske proporcionale duzina a i b (duzine x tako da je a : x =

x : b),

- nalazenje cetvrte geometrijske proporcionale duzina a, b i c (duzine x tako da je

a : b = c : x),

- kako podijeliti duzinu u zadanom omjeru.

Knjige Euklidovi Elementi VII, VIII i IX predstavljaju rezultate pitagorejske

aritmetike. Knjiga VII navodi 39 propozicijai teorije brojeva. Tu se razmatraju medu

ostalim i

- provjera jesu li dva broja relativno prosta Euklidovim algoritmom,

- Euklidov algoritam za odredivanje najveceg zajednickog djelitelja dva, odnosno tri

broja,

- odredivanje najmanjeg zajednickog visekratnika.

U knjizi Euklidovi Elementi VIII nalazi se 27 propozicija iz teorije brojeva.

Navedimo neke od njih:

1. a2 | b2 ako i samo ako a | b.2. a3 | b3 ako i samo ako a | b.3. Slicni slozeni brojevi ab i cd imaju omjer kao kvadratni (ab i cd su slicni ako

a : c = b : d).

10

Knjiga Euklidovi Elementi X sadrzi 117 propozicija (meA‘u ostalim dana je

klasifikacija iracionalnosti). Navedimo neke od njih:

1. Eudoksova lema: Ako od neke velicine oduzmemo vise od njene polovine, od ostatka

vise od njegove polovine, itd., onda ce, ako se postupak ponovi dovoljan broj puta, os-

tatak biti manji od bilo koje velicine.

2. Ako dvije velicine nisu sumjerljive, onda u Euklidovom algoritmu nijedan dobiveni

ostatak ne dijeli manju.

U knjizi Euklidovi Elementi XI nalazi se 39 propozicija opce stereometrije.

Navedimo kako glase neke propozicije:

1. Presjek dvije ravnine je pravac.

2. Pravci okomiti na istu ravninu su paralelni.

3. Ravnine okomite na isti pravac su paralelne.

4. Paralelepipedi iste baze i visine su jednaki.

Knjiga Euklidovi Elementi XII bavi se primjenom metode ekshaustije na stere-

ometriju kroz 18 propozicija. Ovako glase neke od njih:

1. Povrsine krugova su proporcionalne kvadratima njihovih promjera.

2. Dva tetraedra su jednaka ako imaju iste baze i visine.

3. Volumen stosca je trecina volumena valjka iste baze i visine.

4. Omjer volumena kugli je trostruki omjer njihovih dijametara.

U knjizi Euklidovi Elementi XIII nalazi se 18 propozicija teorije pravilnih poliedara.

Navedimo neke od propozicija:

1. Ako su u jednakostranicnom peterokutu neka tri kuta jednaka, onda je to pravilni

peterokut.

2. Omjer stranica pravilnog sesterokuta i deseterokuta upisanih u istu kruznicu je om-

jer zlatnog reza.

3. Kvadrat nad stranicom pravilnog trokuta je trostruki kvadrat nad radijusom njemu

opisane kruznice.

4. Konstrukcije kocke upisane u sferu i dokaz da je kvadrat dijametra te sfere trostruki

kvadrat stranice kocke.

5. Usporedba stranica pet pravilnih poliedara i dokaz da su to jedini pravilni poliedri.

11

Slika 7: Prijevod Euklidovih Elemenata

Navedimo posebno neke matematicke tvrdnje koje su dobile ime po Euklidu. Poucci

koji se koriste kod sukladnosti i slicnosti trokuta, te kod dokaza aritmeticko - geometri-

jske (AG) nejednakosti.

Euklidov poucak o kateti pravokutnog trokuta

U svakom je pravokutnom trokutu svaka kateta geometrijska sredina hipotenuze i

odsjecka na hipotenuzi uz tu katetu sto ga odreduje visina na hipotenuzu:

a =√

cp, b =√

cq.

Euklidov poucak o visini pravokutnog trokuta

Neka su sa p i q oznacene ortogonalne projekcije kateta na hipotenuzu, a sa v visina

pravokutnog trokuta. Euklidov poucak tada glasi: v2 = pq.

Slika 8: Euklidov poucak

12

Za odredivanje najveceg zajednickog djelitelja ponekad je tesko odrediti ga (pogo-

tovo u slucaju vrlo velikih brojeva), pa tada koristimo Euklidov algoritam za odredivanje

najveceg zajednickog djelitelja brojeva b i c.

Euklidov algoritam

Neka su b > c > 0 ∈ N. (1)

Pretpostavimo da je uzastopnom primjenom teorema o dijeljenju s ostatkom dobiven

niz jednakosti:

b = cq1 + r1, 0 < r1 < c

c = r1q2 + r2, 0 < r2 < r1

.

.

.

rj−2 = rj−1qj + rj, 0 < rj < rj−1

rj−1 = rjqj+1.

Tada je (b, c) = rj, odnosno najveci zajednicki djelitelj je jednak posljednjem ostatku

razlicitom od nule u Euklidovom algoritmu.

Primjer

Euklidovim algoritmom nadite najveci zajednicki djelitelj brojeva 3102 i 4002.

Rjesenje:

4002= 1· 3102 + 900 3102= 3· 900 + 402 900 = 2· 402 + 96 402 = 4· 96 + 18 96 = 5·18 + 6 18=3· 6 (4102, 3102) = 6.

13

5.2. Aristarh sa Samosa (310.-250.pr.Kr.)

Aristarh je bio grcki gramaticar i knjzevni kriticar, te se bavio primjenom matematike

na astronomiju. Bio je glavni knjiznicar Aleksandrijske knjiznice. Racunao je udal-

jenost Zemlje do Sunca, te je usporedio velicine Zemlje i Mjeseca.

Kako bi izracunao udaljenost Zemlje od Sunca, koristio je cinjenicu da je trokut

Zemlje, Sunca i Mjeseca kad je Mjesec u prvoj cetvrti pravi, s pravim kutem kod

Mjeseca.

Slika 9: Udaljenost Zemlje od Sunca

Aristarh je, po uzoru na Plutarha predlagao hipotezu da se Zemlja krece oko Sunca

po kruznici i istovremeno rotira oko svoje osi.

Aristarh za usporedbu velicine Zemlje i Mjeseca koristi svojstva pomrcine Sunca.

Za vrijeme pomrcine Sunca gledajuci sa Zemlje su prividne velicine Mjeseca i Sunca

jednake. Iz toga slijedi da im je omjer promjera jednak omjeru njihovih udaljenosti od

Zemlje. Dobio je da je omjer promjera Zemlje i Mjeseca priblizno 7 (no tocniji rezultat

je priblizno omjer 4).

5.3. Arhimed (grc. Arhimedes, oko 287.-212. pr. Kr.)

Arhimed iz Sirakuze ([2]) je bio grcki fizicar i jedan od najvecih matematicara starog

vijeka. Arhimed je bio vrhunac helenisticke matematike i najveci fizicar starog vijeka.

Njegov je otac bio Fidija, astronom i matematicar, koji je bio blizi astrologiji nego

matematici, dok ga filozofija uopce nije zanimala. U vrijeme Arhimedova rodenja

Fidija je bio relativno siromasan gradanin, kakvih je u Sirakuzi bilo mnogo. Medutim

njegovo siromastvo nije bilo dugog vijeka jer je uskoro njihov rodak Hijeron zavladao

gradom. Fidija je svog sina naucio svemu sto je sam znao. Fidija se drzao nacela:

sinu treba dati znanje u ruke i neka on s njim cini sto mu volja. Arhimed je brzo

usvojio oceva znanja koja su za njega bila tek pocetak ucenja. Njegov duh trazio je

jos znanja i ucenja. Stoga je otisao u Aleksandriju (danasnji Egipat) gdje su mocni

Ptolemejevici osnovali cuvenu Aleksandrijsku knjiznicu. U to vrijeme Aleksandrija

je bila srediste prirodnih znanosti, sto je tada obuhvacalo astronomiju, matematiku,

medicinu i filologiju. Arhimeda je ponajvise zanimala matematika. U Aleksandrijskoj

knjiznici gdje se njegovala filozofska svestranost radilo je mnogo mladih i sposobnih

matematicara.

14

Najsvestraniji je bio sjajni Eratosten, buduci Arhimedov prijatelj. Nepisano prav-

ilo je nalagalo da svako otkrice prije objavljivanja mora biti poslano nekom drugom

matematicaru na provjeru.

Tako su vrsnjaci Arhimed i Eratosten sve do Arhimedove smrti izmjenjivali brojna

pisma u kojima su se nalazila gotovo sva otkrica i jednog i drugog. Vrativsi se u Sir-

akuzu, Arhimed se u pocetku bavio astronomijom. Gradio je do tada nevidene strojeve

troseci na tom poslu svoju veliku darovitost.

Arhimed se bavio obicnim, prakticnim problemima, koji su bili primjenjivani na mnogim

mjestima, od polja do rudnika. Najvecu slavu stekao je svojim raspravama o za-

obljenim geometrijskim tijelima, ciju je povrsinu i zapreminu izracunavao slozenom

metodom bliskom danasnjem infinitezimalnom racunu. Takoder je pronasao zakone

poluge, polozio osnove hidrostatici i odredio pribliznu vrijednost broja π. Pored toga

izumio je tzv. Arhimedov vijak (crpka). Pronasao je i tzv. Arhimedov zakon, o sili

uzgona na tijelo u vodi.

Glavna Arhimedova djela su:

O kvadraturi parabole;

O lopti i valjku;

O mjerenju kruga;

O plivanju tijela;

Racun s pjescanim zrncima;

O ravnotezi ravnih figura.

Arhimedov vijak je naprava koja se cesto tijekom povijesti upotrebljavala za pre-

mjestanje vode u kanale za natapanje. To je jedan od izuma koji se pripisuje Arhimedu,

iako postoji i druga teorija po kojoj su za ovaj izum zasluzni stanovnici Babilona prije

Arhimeda, a postoji i pretpostavka da su se cuveni vrtovi Babilona natapali uz pomoc

ovog tipa crpke. Osim toga, Arhimedov vijak je jedna od prvih poznatih crpki koje se

spominju (skica Arhimedovog vijka).

15

Skica Arhimedovog vijka

d = unutarnji promjer cijevi

H1 = najmanja visina dobave

D = vanjski promjer vijka

H2 = najveca visina dobave

β = kut nagiba uredaja

H3 = srednja visina dobave

H0 = najveca moguca visina dizanja

J = broj neovisnih navoja

L = duljina navoja

S = uspon vijka

16

Arhimedov zakon To je zakon o sili uzgona na tijelo u tekucini i moze se ovako

izreci:

Tijelo uronjeno u tekucinu lakse je za masu istisnute tekucine.

Slika 10: Slika 1

Hidrostatski tlak koji djeluje sa gornje strane tijela (sl.1a)) je manji od hidrostatskog

tlaka sa donje strane (sl.1b)). Razlika tih dvaju tlakova rezultira silom koja tjera tijelo

prema gore tj. cini ga laksim (sl.1c)). Tu silu koja djeluje na tijelo uronjeno u tekucinu

zovemo uzgon. Postoji anegdota (prema Vitruviusu) koja govori kako je Arhimed

otkrio da zlatna kruna, napravljena za kralja Hierona ll., nije od cistog zlata. Kada

je zlatna kruna u obliku lovorovog vijenca napravljena, od Arhimeda se zatrazilo da

utvrdi je li kruna od cistog zlata ili je necasni zlatar umijesao i srebro. Pri tom nije

smio ostetiti krunu. Problem je bio kako odrediti volumen krune pomocu kojeg bi se

uz poznatu masu, odredila gustoca zlata.Po legendi, rjesenje mu je doslo za vrijeme

kupanja. Primijetio je da se ulaskom u kadu podigao nivo vode. Shvatio je da je to

nacin kojim bi se mogao izracunati obujam krune. Dijeljenjem mase krune sa njenim

obujmom izracunala bi se gustoca metala u kruni. Manja gustoca od gustoce zlata

znacila bi da je zlatu dodano srebro.

Nasavsi rjesenje problema, prema legendi bio je toliko uzbuden da je, zaboravivsi

se obuci, istrcao iz kade na ulicu, vicuci Eureka! - ”Nasao sam!”.

17

Arhimedove druge matematicke aktivnosti

Jedno od njegovih brojnih otkrica je suma kvadrata prvih n znamenki:∑ni=1 i

2 = n(n+1)(2n+1)6

. U svome radu predlozio je razraditi i sheme numeracija, zatim

rasporedivanje brojeva u potencije: aman = am+n, sto je osnovno pravilo za operacije

s logaritmima. Takoder je bio u stanju rijesiti i kubnu jednaz.bu koju mi sada pisemo

u ovom obliku: x3 − ax2 + b2c = 0.

Arhimed je predlozio izracunavanje ispod povrsine parabole, te je koristio sumu

geometrijskog reda kako bi izracunao povrsinu koju zatvaraju parabola i jedna prava

linija. Njegova metoda je bila da podijeli povsinu u beskonacan broj trokuta, kao sto

je prikazano na slici. Prema tome Arhimed je postavio sljedeci teorem:

Arhimedov teorem

Ukupna povrsina ispod parabole je 4/3 povrsine (plavog) trokuta.

Slika 11: Arhimedov teorem

Takoder je poznata sljedeca tvrdnja - aksiom koji je Arhimed obradio u svom djelu

O kugli i valjku, a moze se naci i u knjizi Euklidovi Elementi, te u Aritostelovoj Fizici.

Arhimedov aksiom

Za svake dvije povrsine P i S postoji prirodan broj m takav da je mP > S.

18

5.4. Eratosten iz Kirene (275.-195.pr.Kr.)

Eratosten je grcki matematicar, geograf, putopisac i astronom. Poznat je kao otac

geografije. Takoder se bavio i poezijom, povijesti, te filologijom. Obrazovao se u

Aleksandriji, gdje ga je Ptolomej III imenovao predstojnikom aleksandrijske knjiznice.

Smatra se da je Eratosten izumio armilarnu sferu (mehanicki model nebeske sfere,

mjerni instrument) te izracunao opseg Zemlje koristeci se geometrijom i poznavanjem

visine Sunca u podne u Aleksandriji i Syeni. Racun je izveo pod pretpostavkom da

je Zemlja okrugla i da je Sunce toliko udaljeno da se njegove zrake mogu uzeti kao

paralelni pravci.

Slika 12: Prikaz udaljenosti Zemlje od Sunca

Obozavatelji njegovih postignuca zovu ga drugi Platon, a neki misle da je njegov

nadimak Beta znaci da je bio drugi od antickih mudraca. Njegov doprinos aritmetici

bilo je sito, tzv. Eratostenovo sito sto je metoda za nalazenje prostih brojeva, odnosno

nacin prosijavanja slozenih brojeva u prirodnom nizu, ostavljajuci samo primarne. Uko-

liko zelimo naci sve proste brojeve izmedu 2 i n sluzimo se postupkom kojeg je prvi

opisao Eratosten. Navedimo to u sljedecem primjeru.

19

Primjer :

Treba pronaci sve proste brojeve izmedu 2 i 29. Najprije napisemo sve te brojeve jedan

iza drugoga:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27,

28, 29

Zatim u gornjem nizu uklonimo sve visekratnike broja 2 (ali ne i sam broj 2):

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27,

28, 29

Sada se s prvog elementa polja (element 2) pomaknemo na sljedeci neoznaceni element.

To je broj 3. Oznacimo sada sve visekratnike broja 3 (ali ne i sam broj 3). Dobijemo

ovo:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27,

28, 29

Sada se s elementa 3 pomicemo na sljedeci neoznaceni element. To je broj 5.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27,

28, 29

Sljedeci neoznaceni element bio bi broj 7. Medutim njegove visekratnike ne moramo

oznacavati. Dovoljno je oznaciti visekratnike samo onih prirodnih brojeva koji su manji

od drugog korijena najveceg elementa u nizu. Kako je√

29 ≈ 5.3851, oznaceni su svi

potrebni visekratnici. Nakon zavrsenog postupka, u nizu ce neoznaceni ostati jedino

prosti brojevi.

Eratosten se takoder bavio problemom udvostrucenja kocke, te je izumio mehanicki

uredaj da bi se pronasla linija segmenata x i y s obzirom na segmente a i b, a:x=x :y=y :b.

U problemu dupliciranja kocke se radi o mehanizmu za odredivanje srednjih ge-

ometrijskih proporcionala: ako su dana dva paralelna pravca AB i CD i na njih

pricvrscena tri sukladna pravokutna trokuta tako da im po jedna kateta lezi na AB.

Prema slici je K poloviste od BD, tocke A, N , L i K su kolinearne, tada je |DK| :

|ML| = |ML| : |NO| = |NO| : 2|DK|, stoga ako je |DK| = a, stranica kocke

dvostrukog volumena je |ML|.

Eratosten je dosta pridonio razvoju znanosti. Radio je na julijanskom kalendaru

20

koji ukljucuje prijestupne godine, te je postavio sustavnu kronologiju svijeta kada je

pokusao dati datume knjizevnih i politickih dogadanja iz vremena opsade Troje.

5.5. Apolonije iz Perge (260.-190.pr.Kr.)

Apolonije je anticki helenisticki matematicar i astronom, znanstvenik aleksandrijskog

Museiona. Poznat je po razvoju teorije konika (koje je otkrio Menehmo), te je napisao

i djelo u kojem obraduje konike u 8 knjiga s oko 400 propozicija. Apolonije je u

tim knjigama starije, Menehmove, Aristejeve i Euklidove rezultate nadopunio svojima.

Ono sto se prvi put pojavljuje kod Apolonija su pojmovi elipsa, parabola i hiperbola.

Apolonije je promatrao presjeke uspravnog i kosog stosca proizvoljnom ravninom, dok

je Menehmo promatrao samo normalne presjeke uspravnih stosaca.

U prvoj od navedenih osam knjiga Apolonije obraduje opca svojstva konika, u

drugoj asimptote hiperbole te dijametre i tangente konika. U trecoj knjizi obraduje

sekante i fokuse, u cetvrtoj presjeke i dodire dvije konike, u petoj povlacenje normala

na koniku. U sestoj knjizi Apolonije obraduje jednake i slicne konike, a u sedmoj kon-

jugirane promjere i komplementarne tetive.

Matematicka djela koja je napisao Apolonije su:

1. Odnosi presjeka u dvije knjige sa 180 teorema.

2. Presjeci povrsina u dvije knjige sa 124 teorema .

3. Odredeni odsjeci u dvije knjige sa 80 teorema.

4. Prijelazne konstrukcije u dvije knjige sa 125 teorema.

5. Tangente u dvije knjige sa 60 teorema.

6. Ravne geometrijske slike u dvije knjige sa 147 teorema.

21

5.6. Klaudije Ptolomej (87.-168. godine)

Klaudije Ptolomej je bio jedan od najutjecajnijih grckih astronoma, matematicara i

geografa svog vremena. Astronomska istrazivanja je vrsio u Aleksandriji. O njegovom

zivotu znamo vrlo malo, ali je njegovo glavno djelo Veliki zbornik astronomije, ili Velika

Sintaksa, koje je kasnije nazvano Almagest ostalo potpuno sacuvano, i u tom pogledu

Ptolemej se istice medu svim astronomima starog vijeka. Almagest je sustavni skup

cjelokupnog astronomskog znanja zavrsnog aleksandrijskog perioda, zbornik u punom

smislu rijeci. Djelo se sastoji od dvije biljeznice i trinaest knjiga. Prva knjiga je uvodna

sa trigonometrijskim tablicama, druga je posvecena matematickoj geografiji i mjerenju

vremena, treca se bavi kretanjem Sunca, cetvrta i peta kretanjem Mjeseca, u petoj

knjizi opisana je i konstrukcija astronomskih instrumenata koja se od Herona na dalje

vrlo usavrsavala, a sesta pomracenjima Sunca i Mjeseca.

U sedmoj knjizi opisana je temeljno pojava precesije, i sadrzi katalog zvijezda

nekretnica. Ostali dio zbornika posvecen je teoriji kretanja planeta, gdje se koristi

Apolonijevom teorijom epicikala. Ptolomej je, izmedu ostaloga i utemeljitelj geocen-

tricne teorije prema kojoj se sva nebeska tijela okrecu oko Zemlje. To je pogled na

svijet temeljen na fiksnoj Zemlji oko koje sfera fiksnih zvijezda rotira svaki dan, noseci

sa sobom sfere Sunca, Mjeseca i planeta. Ptolomej je koristio geometrijske modele kako

bi predvidio polozaje Sunca, Mjeseca i planeta, koristeci kombinacije kruznim pokre-

tima nazvanim putanja unutrasnjeg kruga. Ovaj model je Ptolomej opisao matematicki

(Slika 9).

Ptolomej je nacinio aproksimaciju broja π = 317120 ≈ 3.14166, koristeci upisani 360-

terokut. Takoder je dao aproksimaciju za√

3 ≈ 1.73205.

Koristio je formule koje su analogne danasnjim formulama za sin(a + b), sin(a − b)

i sin a2. Ptolomejeva geocentricna teorija gibanja planeta bila je vazeca vise od 1400

godina sve do usvajanja Kopernikove heliocentricne teorije.

Slika 13: Prikaz Ptolomejove geocentricne teorije

22

Navedimo jos jednu matematicku tvrdnju koja je dobila ime po Ptolomeju.

Ptolomejev teorem

Umnozak dijagonala tetivnog cetverokuta (oko kojeg se moze opisati kruznica) jednak

je zbroju umnoska nasuprotnih strana, odnosno mn = ac+ bd.

Slika 14: Ptolomejev teorem

5.7. Papus (oko 290.- oko 350. godine)

Papus iz Aleksandrije posljednji je veliki matematicar aleksandrijske skole i uopce

antickog svijeta. Zasluzan je za projektivnu geometriju. Poznat je njegov teorem

kao osnovni teorem o euklidskoj geometriji, ali i u projektivnoj geometriji.

Teorem projektivne geometrije Postoji tocno jedan projektivitet koji tri po volji

odabrane razlicite tocke A1 , B1 i C1 pravca p1 preslikava redom u tri po volji odabrane

razlicite tocke A2, B2 i C2 pravca p2.

Papusov teorem Ako vrhovi P1 , P3 i P5 obicnog sesterokuta P1, P2, P3,P4, P5,

P6 leze na nekom pravcu a i ako vrhovi P2, P4 i P6 tog sesterokuta leze na nekom

prvcu b, onda sjecista K, L i M parova suprotnih stranica tog obicnog sesterokuta su

kolinearne tocke.

Ovako definiran obicni sesterokut zovemo Papusov sesterokut, a cijela figura se naziva

Papusova figura. Pravac p na kojemu leze sjecista K, L i M parova suprotnih stranica

zovemo Papusov pravac.

23

Slika 15: Papusov teorem

5.8. Diofant (III. st. poslije Kr.)

Diofant je djelovao u Aleksandriji,a poznat je kao ”otac” algebre ([2]). Malo je poznato

o njegovom zivotu, a te spoznaje dolaze iz Grcke Antologije Metrodorusa iz 500. godine.

Njegovo glavno djelo Aritmetika sastojalo se iz 13 knjiga i u tom djelu Diofant se bavi

raznim algebarskim problemima. Rjesava algebarske jednadzbe prvog, drugog pa i

treceg stupnja sto se koristi i u danasnjoj algebri. Samo 6 od originalnih 13 knjiga je

sacuvano i pretpostavlja se da su ostale izgubljene ubrzo nakon sto su i napisane.

Svi postojeci rukopisi, prvih 6 knjiga, dolaze iz jednog izvora tj. Hipatijinih komen-

tara, a pretpostavlja se da su knjige 7-13 izgubljene jer Hipatijini komentari njih ne

ukljucuju. Pisci su cesto dodavali objasnjenja radi lakseg razumijevanja, pa se smatra

da su dvije studentske vjezbe na pocetku 2. knjige Hipatijin rad, koje navodimo kao

primjer.

Primjer:

U ovim vjezbama trazi se:

1) rjesenje sustava jednadzbi

x− y = a, x2 − y2 = (x− y) + b, gdje su a i b poznati.

Rjesenje tog sustava dobiva se zamjenom nepoznanica x i y preko jedne varijable

pri cemu se pretpostavlja da je jedna x veca, a y manja od polovine razlike x i y:

x = z + 12a

y = z − 12a

(z + 12a)2 − (z − 1

2a)2 = a+ b

24

z = a+b2a

Iz toga slijedi rjesenje tog sustava

x = a+b2a

+ 12a

y = a+b2a− 1

2a;

2) Drugi problem koji se razmatra je naci rjesenja sustava jednadzbi

x− y = a, x2 − y2 = m(x− y) + b, gdje su a,b,m poznati.

Diofant je dao najveci doprinos u rjesavanju problema kod linearnih i kvadratnih

jednadzbi, gdje se uzimaju u obzir samo pozitivna racionalna rjesenja za te probleme.

Nije poznato je li Diofant shvatio da kvadratna jednadzba moze imati dva rjesenja.

Medutim, cinjenica je da je on uvijek bio zadovoljan racionalnim rjesenjem.

Diofant je postavio tri vrste kvadratne jednadzbe: ax2+bx=c, ax2=bx+c, ax2+c=bx.

Razlog zasto su tri slucaja kod Diofanta, a danas imamo samo jedan slucaj, je taj da

on nije imao bilo koji pojam za nula i izbjegavao je negativne koeficijente s obzirom

na dane brojeve a, b, c koji su bili pozitivni u sva tri slucaja.

Postoje i druge vrste problema kojima se bavio Diofant. Rijesio je probleme kao sto su

sustavi kvadratnih jednadzbi. Imamo sustav y + z = 10, yz = 9. Diofant je to rjesavao

stvaranjem jedinstvene kvadratne jednadzbe u nepoznanici.

Uzmemo da je 2x = y− z,

dodamo y + z = 10 i y− z = 2x,

imamo y = 5 + x

z = 5− x.

Iz toga proizlazi da je 9 = yz = (5 + x)(5− x) = 25− x2, b2 = 16,

x = 4 y = 9, z = 1.

U Knjizi III, Diofant rjesava probleme pronalazenja vrijednosti koje cine dva lin-

earna izraza kvadratima. Na primjer, pokazuje kako pronaci x da bi izraz 10x + 9 i

5x + 4 oba bila kvadrati (on dobije x = 28). U ostalim problemima traze se vrijednost

za x, tako da pojedine vrste polinoma u x do sestog stupnja budu kvadrati.

Drugi tip problema koji Diofant proucava, ovaj put u knjizi IV, je pronaci vezu

izmedu danih granica. Na primjer, ako treba pronaci kvadrat izmedu 54

i 2, on mnozi

oba broja sa 64, pronalazi vezu kvadrata 100 koji se nalazi izmedu 80 i 128, tako da za

rjesenje dobije 2516

.

25

U knjizi V. on rjesava probleme kao sto je pisanje broja 13 kao zbroja dva kvadrata

da je svaki veci od 6 (i on daje rjesenje 6604910201

i 6656410201

). Diofant takoder pise 10 kao zbroj

tri kvadrata svaki veci od 3, pronalazeci tri kvadrata 1745041505521

, 1651225505521

, 1658944505521

. Cini se da

je Diofant dokazao tvrdnju da se svaki broj moze napisati kao zbroj cetiri kvadrata, ali

to je tek Lagrange pokazao koristeci Eulerove rezultate.

Pod pojmom diofantske jednadzbe danas se smatraju one jednadzbe kod kojih se

traze racionalna rjesenja. Navedimo jednu takvu tvrdnju.

Diofantske jednadzbe

Neka su a, b, c cijeli brojevi i d = nzd(a, b). Ako d - c, onda jednadzba ax + by = c

nema cjelobrojnih rjesenja.

Ako d | c onda jednadzba ima beskonacno mnogo cjelobrojnih rjesenja. Ako je (x1, y1)

jedno rjesenje, onda su sva rjesenja dana sa

x = x1 + bd· t,

y = y1 − ad· t, gdje je t ∈ Z.

26

5.9. Hipatija ( 370.- 415. godine)

Hipatija iz Aleksandrije prva je po imenu poznata zena matematicarka. Oko 400. go-

dine poslije Krista dolazi na celo Platonove akademije u Aleksandriji, gdje drzi preda-

vanja iz matematike i filozofije. Pomaze svom ocu Teonu u pisanju komentara Ptolome-

jevog Almagesta, a vjeruje se da mu je pomagala u stvaranju novog izdanja Euklidovih

Elemenata, koje je kasnije postalo osnova svih sljedecih izdanja. Ureduje Apolonijeve

Konike te pise komentare Diofantove Aritmetike.

Bavila se matematikom, astronomijom i filozofijom. U njezine pronalaske ubrajaju

se hidromjer (instrument za odredivanje gustoce tekucine), astrolab (instrument za

odredivanje geografske sirine i polozaja nebeskih tijela). U pregledima povijesti filo-

zofije i dalje je cesto neopravdano zaobilaze, ali neosporno je njeno mjesto u povijesti

matematike kao prve zene koja je imala znacajnu ulogu u razvoju ove znanosti. Za-

jedno sa ocem Teonom pomagala je da se ocuvaju neka blaga starih Grka iz podrucja

matematike i astronomije.

Veliki utjecaj na njeno obrazovanje imao je upravo njen otac Teon Aleksandrijski,

jedan od posljednjih matematicara koji je radio u Museionu, tako da je Hipatija rasla

u atmosferi ucenja i istrazivanja. Teon je ohrabrivao svoju kcer da razvija svoj um

i pomogao joj je da postigne akademsko znanje koje niti jedna zena prije nje nije

imala. Teon je nadzirao njeno obrazovanje i kao njen ucitelj prenio je na nju svu

svoju ljubav prema matematickoj ljepoti i logici. Uz matematicku obuku Hipatija

je imala i formalno obrazovanje iz umjetnosti, literature, nauke i filozofije. Prema

legendi, studenti iz cijelog svijeta dolazili su u Aleksandriju da slusaju njena predavanja.

Ubijena je tijekom jedne pobune krscana protiv pogana.

27

6. Sazetak

Sazetak.

Aleksandrija je bila znanstveno srediste starog vijeka, u razdoblju od oko 3. stoljeca

pr. Kr. pa sve do 4. stoljeca n.e.

Obrazovni rad u Aleksandriji potpuno je drugaciji od atenskog. Moze se reci da

se u Aleksandriji manje radilo na poucavanju, a jos vise na istrazivanju. Poucavanje

je bilo podredeno radu erudita - istrazivacima koji su radili u knjiznicama i Museionu

(ustanova koja je obuhvacala sveuciliste i knjiznicu u Aleksandriji).

Ideja da su knjiznice neizostavno orude razvoja znanosti lezala je u temelju aleksan-

drijskog sustava. Znanstvenici u Aleksandriji imali su vrijednih rezultata. Najveci dio

rada ondasnjih ucenih ljudi sastojao se iz prijevoda povijesnih kompilacija i komentara

djela poznatih matematicara. Kroz ovaj rad vidjeli smo kako se znanost razvijala u

Aleksandriji, te tko su najveci zasluzenici za razvoj znanosti na podrucju Aleksandrije,

s naglaskom na podrucju matematike.

U Aleksandriji su djelovali brojni poznati znanstvenici, primjerice Euklid, Arhimed,

Heron, Apolonije, Papus, Diofant, te mnogi drugi. U radu su kratko opisani neki

matematicki doprinosi tih poznatih znanstvenika koji su djelovali i bili povezani s alek-

sandrijskim Museionom - sveucilistem i knjiznicom.

28

Summary.

Alexandria was a scientific center in the ancient age, in the period from the 3rd

century BC to the 4th century AD.

Education in Alexandria is different in comparison with that in Athens. One can

say that in Alexandria work was done in education, but primarily in research. The

teaching has been subordinated to the work of erudite - researchers who have worked

in museums, libraries.

The idea that libraries are without fail the tool of scientific development lay at

the foundation of Alexandria. Scientists in Alexandria had valuable results. The

largest part of the work of scientists in Alexandria consisted of translations of historical

compilations and comments of the work of well known scientists. Through this work

we can see how the science was developed in Alexandria and who are the greatest

scientists in Alexandria, with an emphasis in mathematics.

Many famous scientists had been lived and worked in Alexandria, for example

Euclid, Archimedes, Heron, Apolonius, Pappus, Diofantus, and others. In this work

some mathematical contributions of these famous scientists are shortly described, since

they had been in connection with Museion (i.e. university and library) in Alexandria.

29

Literatura

[1] J. Gow: A Short History of Greek Mathematics, Boston 1968.

[2] D. E. Smith, History of mathematics, Dover Publications, INC. New York (1958.)

[3] F.M.Brueckler, Povijest matematike I, Odjel za matematiku Sveucilista u Osijeku,

2007.

[4] J. Fauvel, J. Gray: The History of Mathematics, London: The Open University

1987.

[5] http://bs.wikipedia.org/wiki/Geometrijski

[6] http://docs.google.com/viewer

[7] http://e.math.hr/old/zene/index.html

[8] http://en.wikipedia.org

[9] http://hr.wikipedia.org/wiki/Aleksandrijska

[10] http://infoz.ffzg.hr/cae/egipat/gradovi/01.htm

[11] http://sadaovdje.com/portal/razno/hipatija/

[12] http://www.biografije.org/arhimed.htm

[13] https://www.ffri.hr

[14] http://www.historyworld.net/wrldhis/PlainTextHistories.asp

[15] http://www.patrologija.com/index.php

30

7. Zivotopis

Moje ime je Tanja Bencic, stanujem u Belom Manastiru na adresi Petra Preradovica

29. Rodena sam 03.12.1986.godine u Osijeku.

Osnovnu skolu sam zavrsila u Belom Manastiru. U razdoblju od 2001.-2005.godine

pohadala sam ”Gimnaziju Beli Manastir” u

Belom Manastiru, opci smjer. Nastavila sam skolovanje na Sveucilistu Josipa Jurja

Strossmayera u Osijeku na Odjelu za matematiku.

Kao osobna znanja i vjestine mogu istaknuti znanje engleskog jezika, sposobnost do-

brog pristupa djeci, kao osoba sam odgovorna, komunikativna i savjesna, te se odlicno

snalazim u timskom radu. Profesionalni cilj mi je daljnja edukacija i usavrsavanje te

nauciti djecu ispravnom razmisljanju i promisljanju.

31