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TANGENCIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS 1
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ENTRE SÍDos circunferencias son tangentes cuando tienen un único punto en común, llamado punto detangencia. Entre dos circunferencias existen cinco posiciones relativas.
POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS CIRCUNFERENCIASDos circunferencias pueden estar relacionadas de las siguientes formas:
No tienen ningún punto en común y
podemos trazar un recta de manera que cada
circunferencia quede a un lado diferente.
Tienen dos puntos en común, es decir, se
cortan. La recta que pasa por los puntos
comunes es la secante común, y cada
circunferencia tiene alguna parte a cada lado
de la recta.
No tienen ningún punto en común. No se
puede trazar un recta de modo que cada una
esté a un lado. Puede trazarse de modo que
ambas estén en el mismo lado.
Tienen un punto en común, el punto de
tangencia. Podemos trazar una recta de
modo que cada circunferencia quede a un
lado; esta recta será tangente a ambas
circunferencias su punto de tangencia.
único
Tienen un punto en común, el punto de
tangencia.
único
Podemos trazar una recta de
modo las dos circunferencias queden a un
lado; esta recta será tangente a ambas
circunferencias su punto de tangencia.
EXTERIORES
TANGENTES EXTERIORES
SECANTES
TANGENTES INTERIORES
INTERIORES
T T
T T
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PROPIEDAD FUNDAMENTAL ENTRE CIRCUNFERENCIAS TANGENTESLos centros y el punto de tangencia pertenecen a la misma recta.
Puede decirse también que los
centros y el punto de tangencia
están alineados.
DIFERENCIAENTRE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES E INTERIORESA la vista es muy sencillo distinguirlas, pero en ciertos problemas puede no ser fácil, por lo que hay qyedar una definición “geométrica” de lo que son tangentes exteriores e interiores. Podemos hacerlo dedos formas distintas, ambas útiles según los casos:
TANGENCIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS
TANGENTES EXTERIORES
TANGENTES EXTERIORES
T O1 O2.
No importa la posición de las
circunferencias, sino la
posición de entre y
TANGENTES EXTERIORES
O1-O2
r1 r2
El segmento es la suma
de más .
TANGENTES INTERIORES
T O1
O2.
No importa la posición de las
circunferencias, sino la
posición de a un lado de
y
TANGENTES INTERIORES
El segmento es la
diferencia entre y .
O1-O2
r1 r2
TANGENTES INTERIORES
Esta propiedad es , tanto en el concepto como en la forma de dibujar: si no se cumplela propiedad es que las circunferencias son tangentes, aunque creamos que lo son o pensemos quelo hemos hecho bien. El error de dibujo aquí es muy importante.
importantísimaNO
1. exterioresinteriores
Cuando dos circunferencias son tangentes , el punto de tangencia está situado loscentros. Si son tangentes el punto de tangencia está situado de los centros.
entrea un lado
2. exteriores.
Cuando dos circunferencias son tangentes , los radios de las circunferencias se estánsumando Si son tangentes los radios se estáninteriores .restando
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3TANGENCIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS
CIRCUNFERENCIA TANGENTE A OTRA DADA, en un punto cualquiera.Debemos resolver el problema según sean exteriores o interiores.
1. ExteriormenteDebemos aplicar la propiedad fundamental.siempre
1. InteriormenteDebemos aplicar la propiedad fundamental.siempre
Elegimos un punto de la circunferencia
como punto de tangencia T.
Elegimos un punto de la circunferencia
como punto de tangencia T.
Elegimos sobre la recta el centro de modo
que el punto quede los centros.
O2
T entre
Elegimos sobre la recta el centro de modo
que el punto quede de los centros.
O2
T a un lado
Trazamos trazamos el radio y la recta
(o semirrecta) que lo contiene, en sentido
O1-T
O1-T.
Trazamos trazamos el radio y la recta
(o semirrecta) que lo contiene, pero en
sentido contrario a .
O1-T
O1-T
Con centro en y radio trazamos la
circunferencia tangente exteriormente.
O2 O2-T
Con centro en y radio trazamos la
circunferencia tangente interiormente.
O2 O2-T
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TANGENCIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS
CIRCUNFERENCIA TANGENTE A OTRA DADA, en un punto cualquiera. (Continuación)Tenemos que tener en cuenta algunas observaciones:
OBSERVACIÓN sobre el significado de interiores/exteriores.Cuando dos circunferencias son tangentes quiere decir que la 1ª es exterior a la 2ª y la2ª a su vez es exterior a la primera.
exteriores
Cuando dos circunferencias son tangentes quiere decir que la 1ª es interior a la 2ª y la 2ª a suvez es interior a la primera, da igual que una esté “dentro” de otra o la otra esté “por fuera”. Es unerror decir que una es interior y la otra exterior, ambas son interiores.
interiores
El tamaño de las circunferencias (es decir, el radio), no influye para resolver el problema, se resuelvesiempre igual. La circunferencia que nos piden puede ser menor, igual o mayor que la que nos dan.Cuando son “se ve” mejor y no solemos equivocarnos.exteriores
En cambio cuando son solemos equivocarnos más, ya que el problema no “se ve” igual, perose resuelve exactamente de la misma forma, independientemente del tamaño del radio que nos pidan.Según sean los radios de la circunferencias puede haber varios casos:
interiores
Estos casos no hay que aprendérselos, únicamente saber que pueden existir según las medidas de lascircunferencias.
4
La circunferencia pasa
por el centro de la otra.
La circunferencia contiene al
centro de la otra.
Los radios son iguales luego
las circunferencias coinciden.
La circunferencia que me
piden es mayor que la que me
dan.
El centro de la que me piden
coincide sobre la que me dan.
El centro de la que me piden
está fuera de la que me dan.
r1 = 2·r2
r2 = 2·r1r2 > 2·r1
r1 < r2
r1 = r2
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CIRCUNFERENCIA TANGENTE A OTRA DADA, CONOCIENDO EL RADIO.Debemos resolver el problema según sean exteriores o interiores, pero aplicando el radio dado.
CIRCUNFERENCIA TANGENTE A OTRA DADA, EN UN PUNTO DADO Y CONOCIENDO EL RADIO.Se resuelve exactamente igual que el anterior, con la única diferencia de que no elegimos el punto detangencia sino que ya nos viene dado. Además, puede que nos den más de un punto de tangencia paradibujar más de una circunferencia tangente a la primera. También es posible dibujar más de unacircunferencia en el mismo punto de tangencia: exteriores e interiores, o con diferentes radios.
1. ExteriormenteDebemos aplicar la propiedad fundamental.siempre
1. InteriormenteDebemos aplicar la propiedad fundamental.siempre
TANGENCIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS
Elegimos un punto de la circunferencia
como punto de tangencia T.
Elegimos un punto de la circunferencia
como punto de tangencia T.
Desde medimos el radio que nos pidan
a
T R,
sumándoselo O1-T.
Desde medimos el radio que nos pidan
a
T R,
restándoselo O1-T.
Trazamos trazamos el radio y la recta
(o semirrecta) que lo contiene, en sentido
O1-T
O1-T.
Trazamos trazamos el radio y la recta
(o semirrecta) que lo contiene, en sentido
O1-T
T - O1.
Con centro en y radio trazamos la
circunferencia tangente exteriormente.
O2 O2-T
Con centro en y radio trazamos la
circunferencia tangente interiormente.
O2 O2-T
5
R
R
R
R
R
