Taller de Ejercitacion - 2009

C u r s o : Matemática

Material TEM - 01

TALLER DE EJERCITACIÓN Nº 1

SISTEMAS NUMÉRICOS 1. (1 + 5) – 32 + 8 : 2 · 2 =

A) -5 B) -1 C) 1 D) 5 E) 15

2. Sean a > b y b > c, siendo a, b y c números enteros. Si b = 0, ¿qué relación es

falsa?

A) a · c < 0 B) b : a = 0 C) a · b = b D) c2 < 0 E) a – c > 0

3. Si M = 12C4 representa a un número de 4 cifras divisible por 6, ¿qué conjunto de

valores podría tener C para que se cumpla la divisibilidad?

A) {1, 2, 3} B) {4, 6, 9} C) {3, 6, 9} D) {2, 5, 8} E) {5, 6, 7}

4. ¿Cuál es el valor de cada una de las incógnitas a, b, c y d en el cuadrado de la

figura 1, para que se cumpla que la suma de cualquier fila, columna o diagonal sea la misma?

a b c d

A) 1 4 2 7 B) 3 2 7 4 C) 2 1 3 7 D) 2 7 4 1 E) 1 7 2 4

6 a 8

3

d

fig. 1 b 5

c 9

1

5. Si a y b son números primos distintos, ¿cuál de las siguientes opciones podría ser el producto de a y b?

A) 4 B) 5 C) 10 D) 11 E) 25

6. La suma de tres impares consecutivos es siempre divisible por

A) 15 B) 9 C) 6 D) 5 E) 3

7. Si a y b son enteros y la suma de ab y b es impar, ¿cuál(es) de las siguientes

aseveraciones es (son) verdadera(s)?

I) a y b son ambos impares. II) a es par y b es impar. III) a es impar y b es par.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III

8. Sea m = -[m2 (m – 1)]. Entonces, – 1 =

A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2

2

9. Si a, b y c son enteros positivos tales que 0 < a < b < c y a es par, b es impar y c es primo, entonces un posible valor de a + b + c es

A) 4 B) 5 C) 11 D) 15 E) 18

10. Si la suma de 5 números enteros consecutivos positivos es p, entonces la suma de los

siguientes 5 números enteros consecutivos en término de p es

A) p + 1 B) p + 5 C) p + 25 D) 2p E) 5p

11. El inverso multiplicativo de 51 +

6⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

es

A) -116

B) - 16

C) 16

D) 611

E) 116

12. 2 21 2 1 + +

10 5 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

=

A) 1 B) 4,2 C) 0,42 D) 0,32 E) 0,31

3

13. ¿A cuánto es igual el doble de 43?

A) 83 B) 46 C) 26 D) 27 E) 28

14.

-3 3

3

3 4 ·

4 3

169

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

A) 39

16⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

B) 316

9⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

C) 34

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

D) 24

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

E) 1 15. [2 – 3(2 – 3-1)]-1 =

A) -3

B) -35

C) -13

D) 13

E) 3 16. 5 · 10-12 + 6 · 10-13 =

A) 56 · 10-25 B) 6,5 · 10-13 C) 5,6 · 10-13 D) 11 · 10-13 E) 5,6 · 10-12

4

17. En la secuencia 3 3 9

; ; ; 3 ;4 2 4

... el número siguiente es

A) 124

B) 154

C) 122

D) 152

E) 126

18. La tercera parte de (320 – 3) es equivalente a

A) 319 B) 320 C) 320 – 1 D) 319 – 1 E) 321 – 32

19. Si x < y < z, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) positiva(s)?

I) z yz x−−

II) y xy z

−−

III) x yy z

−−


20. El orden decreciente de:

a = 35

, b = 47

, c = 712

es

A) b, a, c B) a, c, b C) a, b, c D) b, c, a E) c, a, b

5

21. La notación científica de un número se expresa como a · 10n, donde 1 ≤ a < 10 y n es

entero. Luego, la expresión -6

3

6,25 · 10

2,5 · 10 escrita en notación científica es

A) 25 · 10-10 B) 2,5 · 10-11 C) 2,5 · 10-10 D) 2,5 · 10-9 E) 0,25 · 10-8

22. Si los 23

de los 34

de una pista son 6 km, entonces la longitud de la pista es

A) 120 m B) 12 · 103 m C) 1.200 m D) 12 · 104 m E) 1,2 · 106 m

23. Un barril vacío tiene una capacidad de 50 litros. En él se echan 24 litros y se saca la

tercera parte de éstos, a continuación se echan 14 litros y se saca la cuarta parte de lo que queda. ¿Cuántos litros faltan para llenar el barril?

A) 30 B) 27,5 C) 26,5 D) 23,5 E) 22,5

24. Cuatro quintos de los huevos de una tortuga marina dan nuevas crías y sólo 3

10 de

estas nuevas tortugas llegan al mar. Si una tortuga pone 50 huevos, ¿cuántas tortugas nuevas llegan al mar?

A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 24

6

25. Una lechería despacha al supermercado 360 kilos de queso, la cuarta parte la

manda envasada en paquetes de 34

kilos, la tercera parte del resto en paquetes de

12

kilo y lo que sobra en paquetes de 14

kilo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es (son) verdadera(s)?

I) Se despacharon 120 paquetes de 34

kilo.

II) Se despacharon 720 paquetes de 14

kilo.

III) 1.020 paquetes se despacharon en total.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

26. Se pagan $ 24.000 que corresponden a los 38

de una deuda. Al mes siguiente se pagan

los 45

del resto de la deuda. ¿Cuánto queda por pagar?

A) $ 3.000 B) $ 8.000 C) $ 9.600 D) $ 12.000 E) $ 32.000

27. Si a = 3 y b = 12 , ¿cuál de los siguientes números no es racional?

A) ba

B) ab

C) a · b D) a + b E) a2 + b2

7

28. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) verdadera(s)?

I) 11 < 2 3 < 4 II) 3 2 < 19 < 2 5 III) 2 2 < 7 < 3


29. ¿Cuál(es) de los siguientes números representa(n) un número real?

I) 2 5−

II) 3 -7

III) 04

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo II y III D) Todos ellos E) Ninguno de ellos

30. ¿Cuál(es) de los siguientes enunciados es (son) siempre verdadero(s), con n ≠ 0?

I) m – n 2 es irracional si m y n son reales.

II) m – n 2 es irracional si m y n son racionales.

III) m – n 2 es real si m y n son racionales. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III

DMNTEM-01

8


Material TEM-02


RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 1. En el cuadrado de la figura 1, los puntos A, B, C, D y E son puntos medios de cada

segmento al que pertenecen. Entonces, la razón entre la región achurada y la región en blanco es

A) 53

fig. 1

B

A

D

E C

B) 54

C) 34

D) 35

E) 14

2. El valor de x, en la proporción 2 : (x + 1) = 3 : (x – 1), es

A) -5 B) -4 C) -2 D) -1 E) 5

3. La variable V varía en proporción inversa a la tercera potencia de la variable W.

Cuando V = 8, se tiene W = 1. Si W = 2, entonces el valor de V es

A) 0,5 B) 1 C) 4 D) 16 E) 64

1

4. A y B son magnitudes directamente proporcionales. Respecto a la tabla adyacente, ¿cuáles son los valores de m y n, respectivamente?

A) 6 y 90 B) 7 y 2,5 A 5 m 15 C) 7 y 45

B 30 42 n D) 7 y 90 E) 10 y 54

5. Si los gráficos (1) y (2) de la figura 2 representan, respectivamente, una recta que

pasa por el origen y una hipérbola equilátera, entonces ¿cuál es el valor de x : y?

A) 0,5 B B) 0,6 C) 1,2 D) 1,5 E) 3

6. Un automóvil viaja p kilómetros en una hora. ¿Cuántos kilómetros recorre en 8 horas

viajando con la misma rapidez?

A) 8p

B) p8

C) 8 + p D) 8 – p E) 8p

7. Un palo vertical de 22,5 cm de alto proyecta una sombra de 8,1 cm. ¿Qué altura tiene

un edificio que al mismo tiempo proyecta una sombra de 5,4 m?

A) 150,00 m B) 125,00 m C) 3,75 m D) 19,41 m E) 15,00 m

18

x

10 k

(1)

A

30

3k

12

(2)

D

fig. 2

y C

2

8. Dada la serie de razones 10 : x : 5 = 6 : 3 : y, el valor de x – y es

A) 5 B) 3 C) 2 D) -2 E) no se puede determinar

9. Tres agricultores Mario, Nicolás y Pablo entran a una misma tienda con el fin de

comprar abono para sus cultivos. Cada uno compra, respectivamente, 28, 50 y 20 sacos, pagando en total $ 343.000. Si todos los sacos son de igual precio, entonces Nicolás pagó

A) $ 3.500 B) $ 6.860 C) $ 70.000 D) $ 98.000 E) $ 175.000

10. Un comerciante mezcla dos tipos de aceite, A y B. El tipo A vale $ 120 el litro, mientras

que el del tipo B vale $ 160 el litro. ¿Cuánto vale un litro de esta mezcla, si se sabe que por cada 3 litros de A hay 1 litro de B?

A) $ 45 B) $ 105 C) $ 130 D) $ 140 E) $ 150

11. Se tienen 120 gramos de una mezcla de 3 frutos secos: pasas, almendras y maníes. Si

la razón entre los gramos de pasas y almendras es 3 : 2, y la razón entre los gramos de maní y almendras es 1,5 : 1, entonces los gramos de pasas que contiene la mezcla son

A) 240 B) 75 C) 65,5 D) 50 E) 45

3

12. Se sabe que ab es directamente proporcional con c. Si tanto a como b aumentan en un 10%, ¿qué sucede con c?

A) Aumenta en un 10% B) Disminuye en un 10% C) Aumenta en un 20% D) Disminuye en un 20% E) Aumenta en un 21%

13. Si a corresponde al 40% de b, entonces la razón a : b es

A) 2 : 5 B) 2 : 3 C) 2 : 7 D) 5 : 2 E) 7 : 2

14. Si al 200% de 4 se le resta el 50% de 16 y luego se le suma el cuadrado de 2, se

obtiene

A) -10 B) -9 C) -8 D) 0 E) 4

15. En cierto colegio subieron este año la matrícula en un 12%. Si dicho reajuste fue de

$ 15.600, el valor de la matrícula el año pasado fue de

A) $ 120.000 B) $ 130.000 C) $ 136.000 D) $ 142.000 E) $ 156.000

4

16. Un comerciante compra una lavadora en $ 120.000 y la pone a la venta un 30% más cara. Un cliente obtiene una rebaja de $ 5.000 y cancela con un cheque de $ 200.000. ¿Cuánto vuelto le debería entregar el comerciante?

A) $ 39.000 B) $ 40.000 C) $ 44.000 D) $ 49.000 E) $ 50.500

17. Las edades de Pablo y Marcelo están en la razón 2 : 5. ¿Qué porcentaje es la edad de

Pablo respecto de la de Marcelo?

A) 4% B) 20% C) 24% D) 25% E) 40%

18. Una piscina queda con 5.280 litros de agua después de perderse 720 litros. ¿Cuál es el

porcentaje de pérdida?

A) 15% B) 12% C) 10% D) 9% E) 5%

19. Una solución contiene a partes de sal y b partes de agua. ¿Qué porcentaje de la

solución es sal?

A) aa + b

%

B) 100aa + b

%

C) a + b100

%

D) 100a

b%

E) 100a%

5

20. Por un artículo se paga $ 59.500, incluido un impuesto del 19%. Entonces, el valor del artículo sin impuesto es

A) $ 11.305 B) $ 32.873 C) $ 50.000 D) $ 50.424 E) $ 70.805

21. Irene, Juan y Hernán se ganaron el premio de la Lotería, repartiéndoselo en la razón

4 : 1,5 : 2,5 respectivamente. ¿Qué porcentaje del premio le correspondió a Juan?

A) 1,5 % B) 15% C) 18,75% D) 20% E) 31,25%

22. El costo de fabricación de un artículo es $ A. El fabricante lo vende a un comerciante

ganando un 12% y éste al consumidor con una ganancia del 8% sobre el precio de compra. Entonces, el precio del artículo al consumidor es

A) $ A · 1,20 B) $ A · 1,12 ·1,08 C) $ A · 1,96 D) $ A · 1.12 · 0,08 E) $ A · 1,08 ·0,16

23. Si una población de p individuos disminuye en p%, entonces la población resultante es

A) 99p100

B) p(100 p)100

−

C) p(1 p)

100−

D) 2100 p

100−

E) 99p100

(1 – p)

6

24. Si A equivale al 30% de B y el 25% de B equivale al 40% de C, entonces la razón A : B : C es

A) 12 : 40 : 25 B) 24 : 8 : 5 C) 6 : 20 : 25 D) 9 : 30 : 37 E) 40 : 12 : 25

25. Un comerciante sube una mercadería en un 25%. Si decide volver al precio original,

¿en qué porcentaje debe rebajar el nuevo precio?

A) 30% B) 25% C) 20% D) 15% E) 5%

26. Se depositan $ 350.000 a un interés simple anual. Se puede saber la cantidad total que

se obtiene al cabo de 2 años si:

(1) El interés anual es de un 10%.

(2) A fines del primer año se obtienen $ 385.000.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

27. Se tienen 20 fichas entre verdes (v), rojas (r) y amarillas (a). Se puede saber la

cantidad de fichas amarillas si:

(1) v : r = 5 : 3

(2) r = 32

a


7

8

28. Se sabe que x : y : z = 2 : 3 : 4. Se puede determinar el valor numérico de x si :

(1) x · y · z = 192

(2) x : y = 2 : 3 ; z : y = 4 : 3


29. El dinero de dos personas está en la razón de 4 : 5. Se puede determinar el dinero que

tienen entre las dos si :

(1) La razón entre el dinero que tiene una de ellas y el total es 4 : 9.

(2) Una de ellas tiene $ 20.000 más que la otra.


30. Un empleado recibe un reajuste de sueldo del 12%. Se puede determinar su sueldo inicial si :

(1) El reajuste le significa un aumento de $ 42.000.

(2) El sueldo final es de $ 392.000.


DNMTEM-02


Material TEM-03


ECUACIÓN DE 1er GRADO – PROBLEMAS DE PLANTEAMIENTO 1. Al resolver la ecuación 3 – 2x = -7 el valor de x es

A) -5 B) -2 C) -1 D) 2 E) 5

2. La solución de la ecuación 2x + 5 = 5x – 11 es

A) 2 13

B) 5 13

C) 2 27

D) -5 13

E) -2 3. El valor de 2x en la ecuación 3(x – 5) = 30 es

A) 10 B) 15 C) 20 D) 30 E) 95

1

4. El valor de x en la ecuación 2(x – 1) – 3(x – 2) = -4x – 5 es

A) -3

B) - 15

C) - 19

D) 95

E) 3

5. En la ecuación x2

– 112

= 23

+ 3x4

el valor de (1 – x) es

A) 7 B) 4 C) 3 D) -2 E) -3

6. El valor de x2 en la ecuación -2x – 2 [x – (x – 1) + x] + x = 4 es

A) 4 B) 2 C) 0 D) -2 E) -4

7. ¿Cuál es el valor de x2

en la ecuación 3 - =

2 x 20−3 ?

A) 22 B) 11 C) 18 D) 9 E) -9

2

8. En la ecuación 11

1 1

1 x

−−

= 3 el valor de x es

A) -4 B) -2

C) - 45

D) 2 E) 4

9. Si 3 12

x – 156

= 38

x – 2,25, entonces 5x es igual a

A) 154

B) 103

C) 2512

D) 35

E) 25

10. Si x + y + z5

– 5 = x + z5

, entonces y5

=

A) -25 B) -5 C) 5 D) 25 E) no se puede determinar

11. Si 4 – x 9 x 1 =

8 22−

−2

, entonces x3

=

A) 2,2 B) 6,6 C) 11,0 D) 19,8 E) 33,0

3

12. ¿Cuál expresión no es equivalente a la ecuación 0,02x = 3,70?

A) 0,02x =

3710

B) 0,2x = 37

C) 2 x = 37100 10

D) 2x = 370

37

3. Si

E) 2 · 10-2x =

1p

– 1x

= 1x

+ 1q

1 , con p y q distintos de cero, entonces x es igual a

A)

2pqq p−

2pqp + q

B)

pq2q p−

C)

pq2q p−

D)

pq2p q−

E)

4. Si -2x(3 – 2x) = (2x – 1)2 entonces el valor de -2x es

A) -1

1

B) - 1 2

C) 12

D) 1

5. Para que las expresiones:

E) 2

a + b cx 1

−−

y a b + cx + 1−1 sean iguales, el valor de x en

r

A) 0

función de a, b y c debe se

B) aa b−

C) b – c D) b - a

aE) c b−

4

16. Cuando 5 es sustraído de cuatro veces un número desconocido x, el resultado es el

A) 4(x – 5) = 3(x + 8)

7. El cuádruplo de un número, menos

mismo que cuando 8 es agregado a tres veces el número desconocido. Entonces, la ecuación correspondiente para determinar el valor de x es

B) 4x – 5 = 3x + 8 C) 4(x – 5) = 3x + 8D) 4x – 5 = 3(x + 8) E) 4x – 20 = x + 24

34

1 de él, resulta 39. Entonces, la mitad del número

A) 24

8. Fresia, que es cajera de un banco, cometió un error ya que en vez de tomar los cuatro

5.250

e las anteriores

9. Un comerciante de maní, aceitunas y papas fritas obtiene sus ganancias en dólares, las

I) Con el maní ganó US$ 4.

US$ 1.

A) Sólo

I

es

B) 12 C) 8 D) 6 E) 4

1

quintos de una cantidad de dinero tomó los tres séptimos, con lo cual se produjo una pérdida de $ 1.950. ¿Cuál era la cantidad de dinero?

A) $B) $ 6.250 C) $ 9.750 D) $ 68.250 E) Ninguna d

1

que están representadas por g, g – 5 y 2g – 7, respectivamente. Si la ganancia total fue de US$ 4, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

II) Con las papas fritas perdióIII) Con las aceitunas ganó US$ 1. I

B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y IE) I, II y III

5

20. En una competencia hay que correr 14 km, nadar 2 km y recorrer en bicicleta 35 km.

Si Marysella corre con una rapidez de 12 km , nada a una rapidez de 3 h

km y se

demora en total 3 horas, ¿cuál es su rapidez e

hn bicicleta?

) 32

kmh

A

kmh

B) 30

kmh

C) 20

kmh

D) 18

kmh

E) 15

1. Se derrumba una pared de ladrillos quedando sólo de una altura de 60 cm. Si la parte

2

derrumbada corresponde a los 5 de la altura original, ¿cuántos centímetros de ladrillos

habrá que levantar para darle a la pared su altura original? 8

A) 160 cm

2. Una llave llena un estanque en 6 horas y otra lo hace en 4 horas. Si el desagüe es

A) 2 hr 24 min

piscina es el quíntuplo de su ancho. La rodea una franja de pasto de

2.000 m

B) 100 cm C) 80 cm D) 60 cm E) 40 cm

2

capaz de vaciarlo en 3 horas, ¿cuánto tiempo demoraría en llenarse el estanque al abrir simultáneamente las 3 llaves?

B) 2 hr 40 min C) 3 hr 30 min D) 7 hr E) 12 hr

23. El largo de una

4 metros de ancho, cuya área es 1.024 m2. ¿Cuánto mide el perímetro de la piscina?

) A

B) 240 m C) 120 m D) 100 m E) 20 m

6

24. Don Álvaro, Director de un Colegio, ofrece a su profesor de Matemática un incentivo por lograr un puntaje promedio de 650 puntos o más en la P.S.U., y para ello le

A) $ 600.000 B) $ 300.000

5. Sobre la ecuación de incógnita x,

entregará el doble de su sueldo, menos $ 150.000 o lo que es lo mismo la mitad de su sueldo más $ 150.000. Si el promedio en su Colegio fue de 680 puntos, entonces el profesor recibirá

C) $ 250.000 D) $ 200.000 E) $ 50.000

(5 + px)pq

+ 2p

= 3xpq

+ 4p

2 , con p y q distintos de

posicion ) v

I) Si p ≠ 3, tiene solución única.

cero, ¿cuál(es) de las siguientes pro es es (son erdadera(s)?

52

, tiene infinitas soluciones. II) Si p = 3 y q =

III) Si p = 3 y q ≠ 5 , no tiene solución. 2

A) Sólo I B) Sólo I y II

y III

6. Gilberto va a demoler un muro. Se puede determinar el tiempo que demorará trabajando solo, si :

amigo Hugo, demorarían 4 horas.

e Gilberto.

B) (2) por sí sola (1) y (2) í sola, (1) ó (2)

dicional

C) Sólo I D) Sólo II y IIIE) I, II y III

2

(1) Al trabajar con su

(2) Hugo al trabajar solo demoraría el doble de tiempo qu

A) (1) por sí sola

C) Ambas juntas, D) Cada una por sE) Se requiere información a

7

27. Un grupo de personas ha tomado un taxi. Se puede determinar el valor del viaje si :

1) y (2) í sola, (1) ó (2)

al

n que uno va con el doble de rapidez del otro, parten al mismo tiempo a encontrarse. Se puede determinar el tiempo que demorarán

l más lento es de 30

(1) Al pagar cada uno $ 310, faltarían $ 30. (2) Al pagar cada uno $ 320, sobrarían $ 10.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas,(D) Cada una por sE) Se requiere información adicion

28. Dos autos, separados por 180 km, e

en juntarse si :

(1) La rapidez de kmh

.

(2) Ambos parten a las 12:00 a.m.

(1) y (2) í sola, (1) ó (2)

dicional

o es 11. Se puede determinar el valor exacto del :

(1) y (2) í sola, (1) ó (2)

dicional

ales de A y de B si :

os A tenía una edad cuatro veces mayor que la de B.

(1) y (2) í sola, (1) ó (2)

dicional

DMNTEM-03

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, D) Cada una por sE) Se requiere información a

29. La suma de los 2 dígitos de un númer

número si

(1) Al invertir el orden de los dígitos se obtiene otro número que es mayor en 45 al original.

(2) Los dígitos son números consecutivos.


30. Se pueden determinar las edades actu

(1) A tiene el doble de edad que B.

(2) Hace 10 añ


8


Material TEM-04


ÁNGULOS – TRIÁNGULOS - CONGRUENCIA

1. En la figura 1, AB y CD se intersectan en el punto O. ¿Cuánto mide el ángulo x? C

A) 15º A

B) 30º C) 45º D) 75º E) 105º

2. Si en la figura 2, L1 ⊥ L2, entonces 2γ es

A) 48º B) 36º C) 24º D) 20º E) 18º

3. En la figura 3, L1 // L2, entonces x en función de α es

A) α B) 2α C) 3α D) 4α E) 5α

4. En la figura 4, el ángulo α es el doble del ángulo β y L1 es paralela a L2. Entonces, 2β es

A) 40º B) 60º C) 75º D) 80º E) 90º

• 7β

x 5β O

D B fig. 1

γ

4γ

L2

L1

fig. 2

L2 L1

6α

3x fig. 3

60º

α β L1

fig. 4

L2

1

5. Si α + β = 270º (fig. 5), entonces 1 + 2 + 3 + 4 =

A) 60º 4 B) 90º β C) 180º

3 D) 360º E) 540º

6. En la figura 6, L1 // L2, entonces la medida de α es

A) 22º B) 28º C) 32º D) 38º E) 48º

7. En la figura 7, AB // CD. La medida del ángulo x es

A) 60º B) 50º C) 40º D) 25º E) no se puede determinar

8. En el ΔABC de la figura 8, la medida de x es

A) 19º B) 30º C) 40º D) 45º E) 50º

1 2 α

fig. 5

fig. 6

L2

L1 α

β + 10º

5β + 2º

D C

A B

x

20º

50º

30º

fig. 7

A B

C 90º + x

70º + x 50º + x

fig. 8

2

9. El triángulo MNP es rectángulo en P (fig. 9). Si MNP = 35º y QR // MP , entonces el

ángulo x mide

fig. 9

M N

P

Q

R

x

A) 65º B) 60º C) 55º D) 45º E) 35º

10. En la figura 10, L1 ⊥ L2 y L3 ⊥ L4. Si el ángulo β mide 70º, ¿cuánto mide el ángulo α? L1

L3

L2

L4

β

α

fig. 10

A) 20º B) 70º C) 90º D) 100º E) 110º

11. En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 11, AD = DB . Si EAC = 130º,

entonces DCB mide

A E B

C

D

fig. 11 A) 20º B) 25º C) 30º D) 40º E) 50º

12. Desde el vértice C del triángulo ABC de la figura 12 se ha trazado la altura CD y la

bisectriz CE del ángulo ACB. Entonces, el DCE mide

C fig. 12

A) 5º B) 10º C) 15º D) 20º

40º 30º E) 25º D A E B

3

13. En el triángulo ABC de la figura 13, D es punto medio del lado BC y CAD = BAD.

Entonces, la medida del ADB es

A B

C

D

fig. 13

A) 110º B) 90º C) 80º D) 55º E) falta información

14 En el triángulo SRT de la figura 14, TH es altura, α = 110º y β = 20º. ¿Cuál es la

medida del ángulo x?

fig. 14

R

α

β

x S H

T

A) 80º B) 70º C) 60º D) 50º E) 40º

15. En la figura 15, BD es altura y transversal de gravedad. Si CAB = 70º, entonces

¿cuánto mide el ángulo x?

A B

C

D

x

fig. 15

A) 5º B) 10º C) 20º D) 40º E) 60º

16. En el triángulo LMN de la figura 16, H es el ortocentro, MNL = 3x y NLH = x + 2º.

Luego, el LHM mide

M

H

fig. 16 A) 66º B) 114º C) 118º D) 128º E) 176º

L N

4

17. En el triángulo ABC de la figura 17, CD es transversal de gravedad y AC = BC . Entonces, la medida del x es

fig. 17

3x – 20º

x

A D B

C

A) 25º B) 35º C) 45º D) 55º E) 65º

18. En la figura 18, el triángulo ABC es equilátero y el triángulo ABD es isósceles

rectángulo. Entonces, la medida del ángulo x es

fig. 18

A B

C

D

x

A) 30º B) 45º C) 60º D) 65º E) 75º

19. En la figura 19, AB = BD, BE = EC y AC es bisectriz del BAD. Entonces, la medida

del ángulo ADB es

D

A B

C

E

x x – 15º

fig. 19

A) 30º B) 45º C) 60º D) 90º E) 120º

20. En la figura 20, el ΔABC ≅ ΔKLM. ¿Cuál es la medida de α – β?

A) 20º B) 40º C) 60º D) 80º E) 120º

A B

C

60º

40º

L

M

K

β

α

fig. 20

5

21. ¿Cuál(es) de los siguientes pares de triángulos es (son) congruente(s)? I) II) III)

A

B

C

80º 8 14

100º

8 14

R

P Q

70º 70º A B

C

70º

40º

P Q

R

A B

C

12

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

22. En el triángulo ABC de la figura 21, ΔAPM ≅ ΔNBP, entonces la medida del ángulo x es

A) 34º B) 44º C) 50º D) 86º E) 94º

23. En la figura 22, ΔABC ≅ ΔDEF. ¿Cuál es la medida del ángulo ACB?

A) 40º B) 60º C) 80º D) 100º E) 120º

P

Q

R

9

A P B

N M

C

44º

86º

x

fig. 21

fig. 22

F

C

A

B

D 120º

E

40º

6

24. En la figura 23, ΔCAB ≅ ΔCDE. Si ACD = 50º, entonces CBE mide

fig. 23 A

D

B

E C A) 15º B) 45º C) 45º D) 65º E) 75º

25. En la figura 24, si ΔCTV ≅ ΔNJV y CVN = 112º, entonces VNJ es igual a

N C J T

V

fig. 24

A) 80º B) 74º C) 48º D) 40º E) 34º

26. En la figura 25, L1, L2, L3 y L4 son rectas. Se puede conocer la medida del ángulo α si :

(1) L1 // L2

(2) L2 // L3

A) (1) por sí sola B) (2) Por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

27. En la figura 26, se puede conocer la medida del ángulo BAC si :

(1) AB = AC

(2) ΔABC ≅ ΔEDB


A

B

C

D

E

40º fig. 26

L4

Lα2 – 30º

α

1

L2

L3

fig. 25

7

28. En la figura 27, se puede determinar la medida del ángulo COB si :

(1) OC es bisectriz del AOB.

A O

B C

D

fig. 27 (2) OD es bisectriz del AOC.


29. En la figura 28, AD // BC . Entonces, los triángulos AED y CEB son congruentes si :

(1) AD = BC

A B

C D

E

fig. 28

(2) E es punto medio de AC .


30. En la figura 29, PRB = 42º y APB = 68º. Se puede calcular la medida del x si :

(1) ΔABC ≅ ΔPBR

A B

C

P

R

x

fig. 29 (2) AC = PR


DMNTEM-04

8


Material TEM-05


PARALELOGRAMOS 1. En el paralelogramo PQRS de la figura 1, ¿cuánto mide el ángulo x?

Q P Q

R S

fig. 1 x

30º

35º A) 60º B) 65º C) 75º D) 80º E) 120º

2. En la figura 2, AD // BC y AB // CD . ¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes

es (son) siempre verdadera(s)?

I) 1 + 2 = 180º

II) 3 + 5 = 90º

III) 4 – 3 = 0º

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Sólo II y III

3. En el paralelogramo RSTU de la figura 3, las medidas de α y β son, respectivamente,

A) 40º y 35º B) 50º y 75º C) 50º y 45º D) 70º y 95º E) 70º y 65º

R α + 10º

S

T U β + 15º

α 70º fig. 3

fig. 2 1

2 4

5 3

D C

A B

1

4. En el paralelogramo MNPQ de la figura 4, MR es bisectriz del QMN. Si MRP = x,

entonces ¿cuál es la expresión del MNP?

R Q

A) 2x – 180º

N

P

B) 3x – 180º C) 180º – x D) 360º – 2x E) 360º – 3x

5. En el paralelogramo PQRS de la figura 5, la medida de α + β es igual a

A) 120º B) 130º C) 140º D) 150º E) 160º

6. En el rombo HIJK de la figura 6, KIJ = 13

JMI. ¿Cuál es la medida del ángulo KHI?

fig. 4

H

M

A) 30º B) 45º C) 60º D) 10º E) 120º

7. En el rombo ABCD de la figura 7, DE es altura y BCD = 38º. ¿Cuál es la medida del

ángulo DFC?

A) 38º B) 42º C) 44º D) 52º E) 71º

I

J K

M

fig. 6

C

E

D

A B

F fig. 7

P Q

R S

β 7

70º

αfig. 5

2

8. En la figura 8, ABCD es un rectángulo y ABEC es un paralelogramo. ¿Cuánto mide el ángulo α?

A B

E D 30º

α fig. 8

C A) 30º B) 40º C) 50º D) 60º E) 70º

9. En el trapecio ACDE de la figura 9, ABDE es un rombo y AD ≅ AC . ¿Cuál es la medida del ángulo ACD?

E D

A) 80º B) 46º C) 40º D) 20º E) 17º

10. En el trapecio MPQR de la figura 10, MNQR es rombo y QN = QP . ¿Cuál es la medida

del ángulo NQP?

A) 25º B) 30º C) 45º D) 60º E) 120º

11. ABCD es un paralelogramo en que BE = BC (fig. 11), EBC = 36º y AFB = 76º.

Entonces, BAC + BED =

A) 108º B) 112º C) 140º D) 148º E) 150º

C

140º fig. 9

B A

75º

Q R

fig. 10

N P M

fig. 11

C

B

D

F

E

A

3

12. En el rombo ABCD de la figura 12, CD ⊥ EF y CBD= 60º. Entonces, el ángulo BEF

mide

A B

C F D

E fig. 12

A) 120º B) 130º C) 140º D) 150º E) 160º

13. En el paralelogramo MNPQ de la figura 13, el ángulo QMN mide 80º. Si NS es bisectriz del ángulo PNT, ¿cuánto mide el ángulo PSN?

Q P S

A) 140º B) 80º C) 50º D) 40º fig. 13 E) 20º

T N M 14. En la figura 14, ABCD es un cuadrado y el ΔBEC es equilátero. La medida del ángulo α

es

A B

E

CD

α fig. 14

A) 15º B) 45º C) 60º D) 75º E) falta de información

15. En el cuadrado ABCD de la figura 15, la medida del ángulo x es

A) 30º B) 40º C) 50º D) 60º E) 70º

A B

CD

95º

x

fig. 15

4

16. DEFG es un rectángulo (fig. 16), GH = HE y FGE = 30º. Entonces, el DHG mide

fig. 16

D H E

F G A) 20º B) 30º C) 40º D) 50º E) 60º

17. En el rectángulo ABCD de la figura 17, DE = DC . Entonces, el x mide

fig. 17

C B

A

3α

D E

2α

x

A) 9º B) 12º C) 16º D) 19º E) 23º

18. En la figura 18, ABCD es un cuadrado. ¿Cuánto mide el ángulo x?

fig. 18

A B α

x

D C A) α – 45º B) 45º – α C) 45º D) α

E) 2α

19. El pentágono PQRST de la figura 19, está formado por el cuadrado PQRT y el triángulo

equilátero TRS. ¿Cuánto mide el ángulo x?

A) 60º B) 75º C) 80º D) 90º E) 105º

fig. 19

Q P

T R

S

x

5

20. ¿Cuánto suman los ángulos marcados en la figura 20?

A) 180º

fig. 20

B) 360º C) 480º D) 540º E) No se puede determinar

21. En la figura 21, ABCD es un cuadrado, ΔEFC es isósceles de base EF , DE ⊥ EG y los

puntos E, B y F son colineales. Si ADE =30º y ECF = 40º, ¿cuál es la medida del

ángulo EGC?

E B F

G

C D

A

fig. 21 A) 70º B) 80º C) 90º D) 100º E) 120º

22. En la figura 22, ABCD es un paralelogramo, HDF =150º, HBF =60º y BF es bisectriz

del ángulo HBC. Entonces, α + β =

fig. 22

A B

F

G

H

E α D C

β

A) 30º B) 80º C) 90º D) 100º E) 120º

23. En el pentágono regular de la figura 23, la medida del ángulo α es

A) 36º B) 54º C) 72º

α D) 90º E) 108º fig. 23

6

24. En el pentágono regular de la figura 24, ¿cuál es la medida del x + y?

fig. 24

x

y

A) 72º B) 90º C) 108º D) 126º E) 144º

25. La figura 25 muestra dos hexágonos regulares congruentes. ¿Cuál es la medida del

ángulo α?

α

fig. 25

A) 30º B) 60º C) 80º D) 90º E) 120º

26. En el rectángulo de la figura 26, se puede conocer la medida del ángulo x si :

fig. 26

A B

C D

x

(1) El ancho es la mitad de la diagonal.

(2) AC = BD


27. El paralelogramo MNPL de la figura 27, es un cuadrado si :

L P (1) LN ⊥ MP

(2) LM ⊥ MN


M N

fig. 27

7

28. En el rectángulo ABCD (fig. 28), ¿cuánto mide el ángulo AEC?

(1) ECD = 2 ECB

A E B

C D

fig. 28

(2) ADC = 3 ECB


29. El cuadrilátero PQRS de la figura 29, es un paralelogramo si :

(1) PR ⊥ SQ

S R

Q P

T fig. 29

(2) PR = SQ


30. En el rectángulo ABCD (fig. 30), ¿cuánto mide el ángulo BEC?

(1) BAE = 45º

C D E

B A

fig. 30

(2) AD = DE y AEB = BEC


DMNTEM-05

8


Material TEM-06


ÁLGEBRA DE POLINOMIO 1. Si x = 3 e y = -2, entonces xy – y3x2 =

A) -7 B) -78 C) 31 D) 66 E) ninguna de las anteriores

2. En la igualdad b = a2 + 2

25

a, si a = 2, entonces b =

A) 629 B) 25 C) 6,29 D) 7,25 E) 10,25

3. Si a = 13

, entonces -1 -2

-5 5 +

a a =

A) 30

B) 92

C) 209

D) -109

E) -152

1

4. Si a es tal que a = 2a a

+ 2 4

, ¿cuál es el valor de 3?

A) 174

B) 164

C) 154

D) 134

E) 124

5. La expresión -[-a – (-b)(-c)] es equivalente a

A) a – bc B) a + b – c C) a + b + c D) a – b + c E) a + bc

6. El sexto término de la serie: 3 + a; 3 – a2; 3 + a3; ... es

A) 3 – a7 B) 3 + a6 C) 3 – a6 D) 3 – a5 E) 3 – a4

7. El desarrollo de (x – 2y)2 es equivalente a

A) x2 – 2y + 4y2 B) x2 – 4y + 4y2 C) x2 – 2xy + 4y2 D) x2 – 4xy – 4y2 E) x2 – 4xy + 4y2

2

8. 23

1 y5

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

=

A) 925

y2 + 65

y + 1

B) - 925

y2 + 65

y + 1

C) - 925

y2 – 65

y + 1

D) 925

y2 – 65

y + 1

E) 925

y2 – 65

y

9. (3 – 2 )2 =

A) 7 B) 6 – 2 2 C) 7 – 6 2 D) 11 – 3 2 E) 11 – 6 2

10. ( 3 + 2 5 )(2 5 – 3 ) =

A) 17 B) 7 C) 0 D) -7 E) -17

11. Si al doble de (a + b)2 se le resta el doble de (a2 – b2), se obtiene

A) 4ab B) 4b(a + b) C) 4a(a + b) D) 2ab + b2 E) 2ab – b2

3

12. Si P = -22

x + 13⎛⎜⎝ ⎠

⎞⎟ y Q =

22- x + 13

⎛⎜⎝ ⎠

⎞⎟ , entonces P + Q =

A) - 83

x

B) -89

x

C) - 43

x

D) 0 E) 2

13. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) el área de un cuadrado de

lado x + 2y?

I) (x + 2y)2 II) (x + y)2 – (x – y)2 + x2 + 4y2

III) 2( 2x + 8y)

2

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

14. Si se sabe que x + y = 7 y x – y = 4, entonces x2 – y2 =

A) 3 B) 16 C) 28 D) 33 E) 49

15. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) factor(es) de la expresión algebraica

x2 – 7x + 12?

I) x – 4 II) x – 1 III) x – 3

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III

4

16. a4 – b4 =

A) (a – b)2 · (a + b)2 B) (a – b)2 · (a2 + b2) C) (a – b) (a + b) (a2 + b2) D) (a – b) (a + b) (a2 – b2) E) (a – b)4

17. Si p + q – 1 = 0, entonces el valor de 2p2 + 4pq + 2q2 es

A) 4 B) 2 C) 1 D) -2 E) -4

18. Si 4 – b = -a, entonces 3(a – b)2 =

A) 4 B) 12 C) 16 D) 48 E) 60

19. La factorización de w2 – 6xy – 9x2 – y2 está representada por

A) (w + 3x + y)(w – 3x + y) B) (w – 3x – y)(w + 3x + y) C) (w + 3x + y)(-w – 3x – y) D) (w + 3x + y) (w + 3x – y) E) (w – 3x – y)(-w + 3x + y)

20. 2

2

3x 6x

x 4x + 4

−

− =

A) 3x

x + 2

B) 3x

x 2−

C) -3x

x + 2

D) -3 E) 0

5

21. Al dividir 2 2

2 2

4a 25b

4a 20ab + 25b

−

− por 5b + 2a

5b 2a−, se obtiene

A) 1 B) -1 C) 0

D) -2

2

(2a + 5b)

(5b 2a)−

E) 9

20ab 29−

22. Si a2 ≠ b2, entonces 3a + b

– 5

a b− +

2 2

10b

a b− es equivalente con

A) 2

a + b

B) 2a

a b−

C) -2

a b−

D) -2

a + b

E) 2b

-a + b

23. Si p es distinto de 0 y de ±1, entonces 2

1

p –

3

5

1 + p

p =

A) -p-5 B) p-5 C) -p-4 D) p-4

E) 3

5

2p 1

p

−

6

24.

x 1

yx y

y x

−

− =

A) 1

B) xy

C) 1x + y

D) x

x + y

E) xx y−

25. Al simplificar la expresión n + 2 n 2

2

a a

a + 1

−− , se obtiene

A) an – 2 (a2 – 1) B) an + 2 (a2 – 1)

C) n 2a (a 1)

2−

D) an (a2 + 1) E) an + 2 (a – 1)

26. Se puede determinar el valor del octavo término de la sucesión:

a, a + d, a + 2d, a + 3d, ... si :

(1) Se conoce el valor de a + d.

(2) Se conoce el valor de a.


7

27. El valor de la expresión 6a – 5 + b se puede determinar si :

(1) a = -3 y b = 18

(2) a = - b6


28. Dado P = (x + 1)2 – (x – 1)2. Entonces, Q es el 50% de P, si :

(1) Q = 2x

(2) Q2 = 4x2


29. La expresión 4a2 + 12ab + xb2 es un trinomio cuadrado perfecto, si :

(1) x2 = 81

(2) x es un número positivo.


30. Se puede calcular el valor de 2 2a b + a + b

a + b− , con a ≠ -b, si se conoce el valor de :

(1) (a + b)

(2) (a – b)


DMNTEM-06

8


Material TEM-07


ÁNGULOS, PERÍMETROS Y ÁREAS EN EL CÍRCULO

1. En la circunferencia de centro O de la figura 1, AOB = 70° y OBC = 10°. Luego, el

OAC mide

B A

C

O fig. 1

A) 70° B) 50° C) 40° D) 25° E) 10°

2. Si en la circunferencia de centro O de la figura 2, ABO = 2α, entonces una expresión

que representa al ACB es

C

A B

O fig. 2

A) 180° – 4α B) 180° – 2α C) 180° – α D) 90° – α E) 90° – 2α

3. En la figura 3, se tiene un hexágono regular y un triángulo, inscritos a una

circunferencia. Si C es un punto del arco AB, entonces α + β =

A) 30° B AC

B) 80° C) 120°

fig. 3 D) 130° E) 150°

β α

1

4. En la circunferencia de centro O de la figura 4, se ha inscrito el cuadrilátero PQRS. Si

PQ = PS = 12

QR y QR = RS , entonces ¿cuánto mide el ángulo PQR?

S

R

P

Q

O

fig. 4

A) 72° B) 84° C) 90° D) 108° E) 120°

5. En la figura 5, ABCD es un cuadrilátero inscrito y AC y BD son diagonales. Si

DAB = 123° y ACB = 18°, entonces el ABD mide

A

D

B

C

fig. 5

A) 30° B) 37° C) 39° D) 41° E) 43°

6. En la semicircunferencia de centro O de la figura 6, el DAB = 30º y AD // OC .

Entonces, el ACO mide

A O B

C

fig. 6 D A) 10º

B) 15º C) 30º D) 45º E) 60º

7. En la figura 7, AD es diámetro de la circunferencia de centro O. Si AC // ED ,

AB = BC y ABC = 130°, entonces la medida del ADE es

D

A

A) 20°

B

O

C B) 35° C) 40° E fig. 7 D) 45° E) 70°

2

8. En la figura 8, el centro de la circunferencia es O. A, B y C son puntos de la circunferencia. Luego, la medida del ángulo α es

O α

30°

38°

fig. 8

A

B

C

A) 34° B) 76° C) 98° D) 106° E) 136°

9. El cuadrado ABCD de la figura 9, está dividido en 6 rectángulos congruentes. Si el área

de cada uno de los rectángulos es 54 cm2, ¿cuál es el perímetro del cuadrado? D C

A B

fig. 9

A) 3 cm

B) 12 cm C) 19 cm D) 72 cm E) 324 cm

10. En la figura 10, ABCD, BEFC y EGHF son tres cuadrados congruentes. Si AG = 6 cm,

entonces ¿cuál es el área de la región achurada?

A) 3 cm2 B) 4 cm2 C) 6 cm2 D) 8 cm2 E) 12 cm2

11. La figura 11, se ha construido con cuadrados de lado 8 cm. ¿Cuál es el perímetro del

polígono GABCDEF?

A) 76 cm B) 82 cm C) 86 cm D) 90 cm E) 96 cm

G

A B

C D

E F

fig. 11

C D F H

B E G

fig. 10

A

3

12. En el rectángulo ADGH de la figura 12, BC = 5 cm y EF = 3 cm. Si en cada esquina

hay un cuadrado de lado a2

, ¿cuánto es el área, en cm2, de la región achurada?

G H

A) 15 + 8a F B) 15 + a2 fig. 12

C) 15 – a2 E D) 15 + 8a + a2 E) 15 + 6a + a2 A B C D

13. En la figura 13, el ΔABC es rectángulo en C, CD es transversal de gravedad y E es

punto medio de BD . Si CB = 10 cm y AB = 26 cm, entonces el área del triángulo CDE es

fig. 13 B

C A

E

D


14. Si el ancho de un rectángulo disminuye en su cuarta parte y el largo aumenta en su

cuarta parte, entonces el área del rectángulo

A) permanece igual

B) aumenta en 18

C) disminuye en 18

D) aumenta en 116

E) disminuye en 116

15. Un jardinero desea poner pasto en una cancha de fútbol de a2 – 1 metros de largo y

b metros de ancho, con palmetas de césped de a – 1 metros de largo y 0,5 metros de ancho. ¿Cuántas palmetas de césped necesita?

A) 2ab + 2b B) 2ab + 2 C) 2ab

D) ab2

E) 1ab + b

4

16. En la figura 14, ADCB es un cuadrado y EGF es un triángulo rectángulo isósceles de lados EF = FG = a. Si A, Q, F y P son puntos medios, el perímetro de la región achurada es

A) a(2 +

B C

A D

F

Q

P fig. 14 E

G

2 )

B) a(6 + 3 ) 2

C) a(4 + 2 ) D) a(4 + 5 ) 2

E) a(7 + 2 ) 2

y FDEF17. En la figura 15, son medianas del triángulo equilátero ABC y G punto medio

de AD . Si el área del triángulo AGF es 253 cm2, ¿cuál es el área del cuadrilátero

DBC 8

F?

A) 10 cm2

B) 25 cm2 C) 25 3 cm2

D) 253 cm2

4

E) 753

4 cm2

8. En el rectángulo ABCD de la figura 16, se han construi

A)

fig. 15

B

C

A

E

D

F

G

1 do los cuatro triángulos

rectángulos achurados, formando así un hexágono regular de lado 4 cm. Entonces, el área del rectángulo ABCD es

16 3 cm2

B) 24 3 cm2 C) 32 3 cm2 D) 40 3 cm2 E) 48 3 cm2

A B

C D

fig. 16

5

19. En la figura 17, ABCD es un cuadrado de lado 2 cm y ΔBCE es equilátero. Entonces, el

A) 2 cm2

0. En la figura 18, ABCDEF es un hexágono regular de área 54

área de la región achurada es

fig. 17

A B

D C

E B) 4 cm2 C) 5 cm2 D) 16 cm2 E) 20 cm2

32 cm2, entonces su

A) 27

perímetro es

fig. 18

B

C

A

E D

F

3 cm B) 9 3 cm C) 36 cm D) 18 cm E) 6 cm

1. En la circunferencia de centro O de la figura 19, el radio mide 18 cm. Entonces, ¿cuál 2

es la longitud del ABC ?

A) 3π cm

2. En la figura 20, se muestran dos

A) 20π cm

O

C A

B

30º fig. 19

B) 6π cm C) 18π cm D) 30π cm E) 33π cm

2 circunferencias congruentes unidas por una correa. Si

el diámetro de las circunferencias es 10 cm, y la longitud de la correa es 60π cm, entonces la distancia entre los centros de las circunferencias es

A B

C

correa

B) 25π cm C) 30π cm

fig. 20 D) 35π cm E) 40π cm

D correa

6

AB es una semicircunferencia de centro O y diámetro 8, y ⊥CO AB23. En la figura 21, . Si e la reg

A) 12

4. En la figura 22, se tienen dos circunferencias concéntricas de centro O. Si

la región en blanco está formada por 2 arcos congruentes, ¿cuál es el área d ión achurada?

fig. 21

8 B A

C

O

B) 16 C) 32 D) 64 E) 100

2OD

DC = = 4, entonces el área y el perímetro de la región achurada, respectivamente, 5

son

A) 22π y 8 + 11π

B) 50π y 6π C) 72π y 5π

11π

5. En la figura 23, la semicircunferencia de diámetro

D) 22π y 11π E) 150π y 40 +

2 AE y centro O, está inscrita en el

ΔABC isósceles rectángulo en A. Si ADE mide 5π, entonces el perímetro del ΔABC es

A) 10 +

2 B) 10 2 + 2 C) 5 2 + 10 D) 15 2 + 20 E) 100 2 + 150

6. En la figura 24,

2 AB es diámetro de la circunferencia de centro

(1) Se conoce la medida del ángulo CAO.

A) (1) por sí sola

(1) y (2)

O. Se puede conocer la medida del ángulo OCB, si :

(2) Se conoce la medida de ángulo OBC.

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

45º

A O

D

C

B

fig. 22

fig. 23

C

A B

D

O E

O

B

fig. 24

A C

7

27. En la circunferencia de centro O de la figura 25, se puede calcular la medida del BDO

si :

(1) AB y DA≅DA = 20º

DBC =

B) (2) por sí sola

(1) y (2) í sola, (1) ó (2)

dicional

8. La figura 26 muestra un rombo ABCD. Se puede determinar el área del rombo si :

(2) 80º

A

O

D C

B

fig. 25

A) (1) por sí sola


2

(1) ΔABC es equilátero. D fig. 26

A C

E

B

(2) E punto medio de BC

y área ΔBEA = 2.


dicional

. a figura 27 muestra los rectángulos ABFI y DEGH. Se de la figura achurada si :

A) (1) por sí sola


9 L2 puede determinar el perímetro

(1) ΔABC es equilátero de altura C

8

2 3 . (2) AB = 4 y GE + FB = 12

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

(1) y (2) í sola, (1) ó (2)

dicional

0. En la figura 28, ABCDE es un hexágono regular, entonces pentágono achurado si :

egular es 12 cm . (2) El área del ΔFAE es 2 cm2.


dicional

DMNTEM-07


3 se puede calcular el área del

(1) El área del hexágono r 2

A) (1) por sí sola


fig. 28

B

C

A

E D

F

fig. 27

B A

E D

G H

F

I


Material TEM-08


TRIÁNGULO RECTÁNGULO

1. Con los datos proporcionados en la figura 1, ¿cuál es el perímetro del triángulo?

A) 12 cm

4 cm

45º

fig. 1 B) 16 cm C) 4(1 + 2 ) cm D) 4(2 + 3 ) cm E) 4(2 + 2 ) cm

2. La figura 2, está formada por dos triángulos rectángulos. Luego, x + y =

13

x

5 3

y A) 15 B) 16

fig. 2 C) 17 D) 18 E) 19

3. En un triángulo isósceles rectángulo la hipotenusa mide 8 2 cm. ¿Cuánto suman las longitudes de los catetos?

A) 8 cm B) 16 cm C) 8 2 cm D) 16 2 cm E) 8(2 + 2 ) cm

4. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo isósceles mide 5 2 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

A) 10 2 cm B) 20 cm C) 10 cm D) 5 cm E) Ninguna de las anteriores

1

5. En la figura 3, el triángulo ABC es isósceles. Si AB = 2 cm, entonces ¿cuál es su perímetro?

C

fig. 3 A) 3 2 cm B) 2 cm C) (2 2 + 1) cm D) ( 2 + 2) cm

A B E) Ninguna de las anteriores 6. En la figura 4, DE es mediana del triángulo ABC. Si AC = 5 cm y EB = 6 cm, ¿cuál es

el perímetro del cuadrilátero ADEC?

B A

fig. 4

E

D

C A) 15 cm B) 17,5 cm C) 20 cm D) 25,5 cm E) 30 cm

7. En un triángulo rectángulo, la longitud de uno de sus catetos duplica la longitud del

otro. ¿Cuánto mide el lado menor si la hipotenusa mide 8 5 cm?

A) 8 cm B) 4 cm C) 16 cm D) 4 5 cm E) 2 5 cm

8. En la figura 5, ΔABC es isósceles de base AB = 10 cm. Si CD es altura de 12 cm de

longitud, entonces ¿cuánto mide BC ?

B A

C

D

fig. 5 A) 13 cm B) 12 cm C) 10 cm D) 9 cm E) 8 cm

2

9. En el triángulo ABC de la figura 6, AB = 4 5 cm y AC = 4 cm, luego BC mide

B A

fig. 6 C

A) 2 2 cm B) 2 5 cm C) 4 5 cm D) 4 cm E) 8 cm

10. En un cuadrado de perímetro 8a se traza una de las diagonales, ¿cuál es el perímetro

de uno de los triángulos que se forma?

A) 4a B) 8a C) 4a 2 D) 2a(1 + 2 ) E) 2a(2 + 2 )

11. En la figura 7, AC BC⊥ , CD AB⊥ , AC = BC y CD = 8 cm. Luego, la medida de AC es

C A) 4 cm

B A D

B) 8 cm fig. 7 C) 16 cm

D) 8 2 cm E) 16 2 cm

12. En la figura 8, ΔABC es rectángulo en C. Si AD = DB = 5 cm y AC = 2 cm,

entonces BC mide

B A

fig. 8 C

D


3

13. Si el triángulo ABC de la figura 9 tiene un perímetro de 6 3 mm, entonces ¿cuánto mide la bisectriz AD ?

C

A) 3 mm B) 1,5 mm C) 3 mm D) 2 3 mm

E) 32

mm

14. El triángulo ABC de la figura 10 es equilátero. ¿Cuánto mide su perímetro si

CD = 2 3 cm?


15. Con los datos proporcionados en la figura 11, se puede afirmar que la medida de x es


16. En la figura 12, el triángulo ABC es equilátero de perímetro 18 cm. Si BAD = 30º,

entonces ¿cuál es el perímetro del triángulo ABD?

A) 3(3 + 3 ) cm B) 3(2 + 3 ) cm C) 3(1 + 3 ) cm D) 9 3 cm E) 9 cm

B A

fig. 9 60º

D

30º

B A

fig. 10

C

D

fig. 11

2 2

x 45º 45º

B A

C

fig. 12

D

4

17. En el triángulo PQR de la figura 13, PQ = QR = 20 cm, ¿cuánto mide QS ?

Q P

fig. 13

R

S

A) 10 cm B) 20 cm C) 10 2 cm D) 20 2 cm E) 10 6 cm

18. En la figura 14, AB = AC = 13 cm, DEC = DCE y ED = 5 cm, ¿cuál es el perímetro

del ΔABD? C

B A

E D

A) 15 cm fig. 14 B) 30 cm C) 36 cm D) No se puede determinar E) Ninguna de las anteriores

19. En el triángulo ABC de la figura 15, AD = 6 cm, DB = 9 cm y BC = 17 cm, luego la medida CD es

C

fig. 15 A) 6 2 cm B) 6 cm C) 8 cm D) 10 cm E) 13 cm

A D B

20. En la figura 16, ABC = ACB, AB + AC = 16a y AB = 2BC , luego BD mide

C

B A

D

fig. 16 A) a B) 2a C) 4a D) 6a E) 8a

5

21. En la figura 17, ED es mediana del triángulo ABC, AB = 15 cm y CD = 6 cm. Si P es

el perímetro del triángulo ABC y Q es el perímetro del triángulo EDC, entonces PQ

=

A) 12

B) 13

C) 14

D) 43

E) 2 22. Si F y E son puntos medios de dos lados del cuadrado ABCD (fig. 18), entonces el

cuociente EF

EB =

A) 2

5

B) 3

5

C) 2

3

D) 12

E) 13

23. En un triángulo isósceles de perímetro 2a( 5 + 1), cada uno de los lados iguales mide

a 5 . ¿Cuánto mide la altura que cae sobre la base del triángulo?

A) 5 B) a C) 2a D) 4a E) Ninguna de las anteriores

B A

fig. 17 C

E D

C D E

fig. 18 F

A B

6

24. Una escalera de 30 decímetros de largo se apoya verticalmente contra una pared. Si el extremo superior de la escalera se coloca 6 decímetros más abajo (fig. 19), entonces ¿en cuántos decímetros se desplazará el otro extremo de la escalera?

x

30

6

fig. 19

A) 12 B) 15 C) 18 D) 20 E) 24

25. La figura 20 está formada por el cuadrado PQRT y el triángulo equilátero TRS. Si

PR = 10 2 cm, entonces SM = S

P Q

T R M

fig. 20

A) 5 cm B) 5 2 cm C) 10 cm D) 5 3 cm E) 10 3 cm

26. Se puede determinar el perímetro del triángulo ABC de la figura 21 si :

(1) AC BC⊥

(2) AB = 5 cm

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

B A

fig. 21 C

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

27. En la figura 22, ABCD es un paralelogramo. Se conoce su perímetro si :

(1) AD = DC D

B

E

fig. 22 (2) 4 AE = DB = 12

A) (1) por sí sola A C B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

7

28. El perímetro del triángulo ABC de la figura 23 mide 28 cm. Se puede determinar la medida de BC si se sabe que :

B A

fig. 23

C (1) El ΔABC es isósceles.

(2) AC = 10 cm y AB = 8 cm


29. Se puede determinar el perímetro de un triángulo equilátero si :

(1) Se conoce la medida de su altura.

(2) Se conoce el promedio de las medidas de todos sus lados.


30. Se puede afirmar que el triángulo ABC de la figura 24, es rectángulo si :

(1) AC = 6 cm y BC = 8 cm

B A

fig. 24 C

D

E

(2) CE = EB = 4 cm y DE = 3 cm


DMNTEM-08

8


Material TEM-09


TALLER ACUMULATIVO NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD

1. Los diagramas de la figura 1 representan una secuencia de octágonos construidos con

palitos congruentes.

fig. 1 …

A B C D Diagramas:

La razón entre la cantidad de palitos del diagrama G e I, respectivamente, es

A) 5057

B) 2532

C) 5750

D) 3225

E) 5764

2. En la figura 2 se tiene cuatro hexágonos regulares. La razón entre el área del

rectángulo ABCD y el área de los cuatro hexágonos, respectivamente, es

C

A

D A) 12 : 24 B) 14 : 12

fig. 2 C) 16 : 12 D) 16 : 24 B E) 24 : 16

1

3. Rubén, Ivett y Karlo deben repartirse $ 10.650 en partes inversamente proporcionales a 3, 5 y 7, respectivamente. Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Rubén recibe $ 5.250. II) Entre Ivett y Karlo reciben $ 5.400. III) Ivett recibe $ 3.550.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III

4. Las variables X e Y de la tabla adjunta, son inversamente proporcionales. Según los

datos registrados los valores de a y b son, respectivamente,

A) 180 y 1,6 X 60 a 2,4

Y 90 120 b

B) 80 y 3,6 C) 45 y 2.250 D) 6 y 9 E) 2 y 3

5. A un concierto de Shakira asistieron 14.400 personas. Si fueron siete mujeres por cada

cinco hombres, entonces la diferencia entre mujeres y hombres es

A) 8.400 B) 6.000 C) 2.400 D) 1.200 E) 600

6. Si 2M es inversamente proporcional al cuadrado de R, con una constante de

proporcionalidad igual a 20, entonces el valor de M20

cuando 2R = 0,5 es

A) 800 B) 400 C) 80 D) 40 E) 8

2

7. Claudio y Rodrigo compraron un número de rifa en $ 1.000. Claudio puso $ 600 y Rodrigo el resto. Si obtuvieron un premio de $ 200.000 y se lo repartieron en forma proporcional al dinero que aportó cada uno, ¿cuánto dinero le correspondió a Claudio?

A) $ 120.000 B) $ 100.000 C) $ 80.000 D) $ 40.000 E) $ 60.000

8. Si en la tabla adjunta, A y B son magnitudes directamente proporcionales, ¿cuáles

son los valores de x e y, respectivamente?

A) 500 y 150 A B B) 500 y 6

10 50 C) 150 y 20 x 100 D) 20 y 150 30 y E) 20 y 6

9. La impresora de un colegio imprime 54 informes de notas en 3 minutos. ¿Cuánto

tiempo demora en imprimir los informes de los 2.754 alumnos del colegio?

A) 2 horas 55 minutos B) 2 horas 33 minutos C) 1 hora 55 minutos D) 1 hora 33 minutos E) 33 minutos

10. Dos ciclistas demoran 4 horas en llegar a la playa viajando con una rapidez de 30 km

por hora. ¿Con qué rapidez, en km por hora, tendrían que viajar para demorar 3 horas?

A) 0,4 B) 22,5 C) 40,0 D) 50,0 E) 60,0

3

11. Según Paolo, él hace el mejor Vodka Naranja, ya que coloca exactamente 3 medidas de vodka por cada 5 medidas de naranja. Si desea hacer exactamente un litro de vodka naranja, necesitará de vodka

A) 125 cc B) 250 cc C) 375 cc D) 625 cc E) 875 cc

12. Se tiene que x2 es inversamente proporcional a 1y

. Si x es igual a 2 cuando y es 4,

entonces cuando x es 4, el valor de y es

A) 16 B) 4

C) 12

D) 14

E) 116

13. La fuerza de atracción entre dos imanes, varía de forma inversamente proporcional al

cuadrado de la distancia entre ellos. Cuando los imanes están separados por 2 cm, la fuerza de atracción es de 18 newtons. ¿Qué distancia debe separarlos para que la fuerza de atracción sea de 2 newtons?

A) 23

cm

B) 4 cm C) 6 cm D) 18 cm E) 36 cm

14. La figura 3 muestra el ΔABC con las transversales de gravedad CD y AE. ¿Qué

porcentaje del área del ΔABC es el área del ΔBDE? C

A) 50% B) 45%

C) 33 13

%

D) 30% E) 25%

A D B

E

fig. 3

4

15. En la palabra heterocromatina, el porcentaje de las consonantes respecto de las vocales es igual a

A) 114 27

%

B) 114 17

%

C) 87,5%

D) 53,3%

E) 46,6% 16. Ivett vende dos libros en $ 6.000 cada uno. Si el primero lo vende con un 20% de

ganancia y el segundo con un 20% de pérdida, entonces es cierto que

A) no pierde ni gana dinero en esta operación B) gana un 4% C) pierde un 4% D) pierde un 96% E) gana un 96%

17. En un cuadrado, si los lados disminuyen en un 12%, entonces su área disminuye en

A) 88% B) 77,44% C) 22,56% D) 12% E) 2,56%

18. Se estima que en Santiago 3 de cada 5 hogares tienen un animal como mascota, de los

cuales el 45% son perros. Si esto fuera así, entonces en Santiago habrían

A) 27 hogares con perro por cada 100 hogares B) 15 hogares con perro por cada 100 hogares C) 10 hogares con perro por cada 27 hogares D) 9 hogares con perro por cada 20 hogares E) 3 hogares con perro por cada 5 hogares

5

19. A un congreso de Matemáticos debían asistir 48 personas. Si no asistieron 12 de ellas, entonces el porcentaje de personas que asistió fue

A) 25% B) 30% C) 36% D) 75% E) 80%

20. Se estima que una familia con 5 integrantes consume 58 m3 de gas mensualmente. Si

en el mes de mayo pagó $ 27.400 y en junio el precio aumentó en un 39%, entonces pagará

A) $ 38.860 B) $ 38.086 C) $ 36.808 D) $ 30.860 E) $ 28.468

21. El 40% del 35% de 7.000 es igual a

A) 490 B) 800 C) 980 D) 2.450 E) 2.800

22. En la Multitienda Von Housen, la primera semana de liquidación se hace un 20% de

descuento sobre el valor de cualquier artículo. La segunda semana se hace un 30% de descuento del valor de la semana anterior. Si una persona compra en la segunda semana, tiene un descuento real de un

A) 56% B) 50% C) 44% D) 24% E) 14%

6

23. El mes anterior el litro de bencina costaba $ p, por la situación internacional, sufrió un alza de un 15%. El gobierno puso una inyección de recursos al fondo de estabilización del Petróleo y logró que bajara un 7%. ¿Cuál es el valor del litro de bencina para este mes?

A) $ 1,15 · 1,07 · p B) $ 1,15 · 0,93 · p C) $ 1,08 · p D) $ 0,15 · 0,93 · p E) $ 0,15 · 0,07 · p

24. Según analistas internacionales, la Población Latina en USA está dividida en mexicanos,

centroamericanos y sudamericanos en la razón 5:3:2, respectivamente. Si de los sudamericanos el 10% de ellos son chilenos, de los 12 millones de latinos que hoy viven en USA, entonces la población chilena es de

A) 100.000 habitantes B) 120.000 habitantes C) 200.000 habitantes D) 240.000 habitantes E) 480.000 habitantes

25. Una lavadora vale $ 160.000 si se paga al contado. Se puede pagar a crédito en

10 cuotas de $ 23.200. ¿En qué porcentaje aumenta el costo de la lavadora si se compra a crédito?

A) 30% B) 31% C) 45% D) 50% E) 70%

26. Después de un aumento de sueldo, Matías obtuvo un sueldo de $ 690.000. Si el

aumento fue de $ 90.000, ¿cuál fue el porcentaje de aumento?

A) 13% B) 15% C) 18% D) 26% E) 85%

7

27. Carlos y Marcela quieren pegar una foto en una cartulina, pero para ello hay que reducir su altura de 25 cm a 4 cm. La fotocopiadora sólo reduce al 64% como máximo. Ellos deciden aplicar dos reducciones. Si la primera es de 64%, ¿qué porcentaje de reducción aplicarán en segundo lugar?

A) 18,75% B) 25% C) 50% D) 56,25% E) 75%

28. Un televisor vale al contado $ 180.000. Si se compra en 10 cuotas, su precio aumenta

en 18%. ¿Qué valor tiene la cuota?

A) $ 3.240 B) $ 14.760 C) $ 21.240 D) $ 32.400 E) $ 35.000

29. En una liquidación todos los artículos de una tienda son rebajados en un 15% la

primera semana y luego, sobre esos precios, se vuelve a descontar otro 15%. Si una falda valía originalmente $ 20.000, ¿cuánto costaba después de la segunda liquidación?

A) $ 6.000 B) $ 14.000 C) $ 14.450 D) $ 15.000 E) $ 17.000

30. ¿Cuántos 24avos hay en 253

%?

A) 200 B) 24 C) 8 D) 2

E) 224

DMNTEM-09

8


Material TEM-10


TALLER ACUMULATIVO: GEOMETRÍA

1. ¿Cuál de las siguientes alternativas es falsa?

A) Todo ángulo es congruente con si mismo. B) Dos ángulos suplementarios no pueden ser agudos. C) Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes. D) Dos ángulos mayores que cero, si son complementarios son agudos. E) Al bisectar un ángulo obtuso se forman dos ángulos obtusos.

2. En la figura 1, para que L1 sea paralela a L2, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es

(son) verdadera(s)? I) α = β II) β y λ sean suplementarios. III) λ y α sean suplementarios.

α

β λ

L1

L2

fig. 1 A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Todas ellas.

3. En la figura 2, OA OD⊥ . Si AOC = 70º y BOD = 45º, entonces BOC =

A) 20º B) 25º C) 35º D) 45º E) no se puede determinar.

O A

B

C D

fig. 2

4. Si dos ángulos son consecutivos y complementarios, entonces las bisectrices de dichos

ángulos forman un ángulo que mide

A) 90º B) 60º C) 45º D) 30º E) 15º

1

5. ¿Cuál es el menor ángulo interior de un paralelogramo sabiendo que dos ángulos interiores consecutivos difieren en 98º?

A) 41º B) 82º C) 108º D) 139º E) no se puede determinar.

6. En el paralelogramo PQRS de la figura 3, ¿cuánto mide el ángulo x?

Q P Q

R S

fig. 3 x

30º

35º A) 60º B) 65º C) 75º D) 80º E) 120º

7. En la figura 4, AD // BC y AB // CD . ¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es

(son) siempre verdadera(s)?

I) 1 + 2 = 180º

II) 3 + 5 = 90º

III) 4 – 3 = 0º

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Sólo II y III

8. En el trapecio MPQR de la figura 5, MNQR es rombo y QN = QP . ¿Cuál es el valor del

ángulo NQP?

A) 25º B) 30º C) 45º D) 60º E) 120º

fig. 4 1

2 4

5 3

D C

A B

Q R

fig. 5

75º

M N P

2

9. En el paralelogramo MNPQ de la figura 6, el ángulo QMN mide 80º. Si NS es bisectriz del ángulo PNT, ¿cuánto mide el ángulo PSN?

P Q

A) 140º B) 80º C) 50º D) 40º E) 20º

10. En la figura 7, ABCD es un cuadrado y el ΔBEC es equilátero. El valor del ángulo α es

A) 15º B) 45º C) 60º D) 75º E) falta de información.

11. En la figura 8, ABCD es un cuadrado, ¿cuánto mide el ángulo x?

A) α – 45º B) 45º – α C) 45º D) α

E) 2α

12. El pentágono PQRST de la figura 9, está formado por el cuadrado PQRT y el triángulo equilátero TRS. ¿Cuánto mide el ángulo x?

A) 60º B) 75º C) 80º D) 90º E) 105º

T

S

fig.6

N M

A B

E

CD

α fig. 7

fig. 8

A B α

x

D C

fig. 9

Q P

T R

S

x

3

13. En la figura 10, ABCD es un cuadrado, ΔEFC es isósceles de base EF , DE ⊥ EG y los puntos E, B y F son colineales. Si ADE = 30º y ECF = 40º, ¿cuál es la medida del

ángulo EGC?

A) 70º B) 80º C) 90º D) 100º E) 120º

14. La figura 11, muestra dos hexágonos regulares congruentes. ¿Cuál es la medida del ángulo α?

A) 30º B) 60º C) 80º D) 90º E) 120º

15. Si el ángulo exterior adyacente al ángulo opuesto a la base de un triángulo isósceles es

β = 140º, entonces la suma de los ángulos basales es

A) β/2 B) β C) 2β D) β – β/2 E) 2β – β/2

16. El triángulo ABC de la figura 12, es equilátero y el ΔABD es isósceles de base AB . Si BDA = 4 · CAD, entonces ADB =

A) 10º B) 20º C) 30º D) 40º E) 70º

E B F

G

C D fig. 10

A

α

fig. 11

D

fig. 12

B

C

A

4

17. El pentágono de la figura 13, está formado por un cuadrado y un triángulo equilátero. Si P representa la suma de los perímetros de ambas figuras, entonces a + b =

A) P3

b

a

fig. 13

B) 25

P

C) 23

P

D) 27

P

E) 712

P

18. Si se prolongan los lados AB y CD de un pentágono regular ABCDE, se intersectan en

un punto M. Entonces, la medida del BMC es

A) 18º B) 36º C) 54º D) 72º E) 108º

19. En la figura 14, ABCD es un rectángulo y ABEC es un paralelogramo. ¿Cuánto mide el ángulo α?

A B

E D 30º

α fig. 14

C

A) 30º B) 40º C) 50º D) 60º E) 70º

20. En el trapecio ACDE de la figura 15, ABDE es un rombo y AD ≅ AC . ¿Cuál es el valor del ángulo ACD?

C

E 140º

D

B A

fig.15

A) 80º B) 46º C) 40º D) 20º E) 17º

5

21. En la figura 16, ABCD es un paralelogramo, HDF =150º, HBF =60º y BF es bisectriz

del ángulo HBC, entonces α + β =

fig. 16

A B

F

G

H

E α D C

β A) 30º B) 80º C) 90º D) 100º E) 120º

22. En la figura 17, EAFG y ABCD son cuadrados cuyos perímetros están en la razón 3 : 4.

¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) DF : FA = 1 : 3 D C II) GE : AH = ED : CD III) ΔEAH ∼ ΔCDH

F G fig. 17

A) Sólo I H B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III B E A E) I, II y III

23. En la figura 18, AC : BD = 7 : 5. Si APC = 25º, los AC y BD miden, respectivamente

C A) 175º y 125º B) 100º y 50º C) 29,2 y 20,8º D) 75º y 25º E) faltan datos.

24. En la figura 19, si AB = 2CB , entonces la relación correcta entre α y β es

A) α = 2β B) α = 3β C) α = 4β D) α = 5β E) α = 6β

β

α O

B

C

A fig.19

fig. 18

D

A

B

P

6

25. En la circunferencia de centro O de la figura 20, si NP = 5PM, entonces NMP mide

O

P

fig. 20

N M

A) 30º B) 45º C) 60º D) 75º E) 80º

26. En la circunferencia de centro O de la figura 21, si AC = 45º, BOD = 39º, entonces

α

O

α

A

C

B

D

fig. 21

A) 141º B) 138º C) 135º D) 102º

E) 42º 27. En la figura 22, MN y NP son los lados de un cuadrado y un triángulo equilátero

inscritos en la misma circunferencia. Entonces, la medida del ángulo β es

β M N

P

fig. 22 A) 75º B) 60º C) 50º D) 45º E) 30º

28. ¿Cuál es el perímetro de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de

perímetro 2πr?

A) 6r B) 6π C) 6 3 D) 6πr E) 6r 3

7

29. En la figura 23, BC es diámetro de la circunferencia de centro O. ¿Cuánto mide el ángulo OAC?

C A

B

4α

fig. 23 O

A) 45º – α B) 90º – α C) 90º – 2α D) 180º – α E) 180º – 2α

30. ¿Cuánto mide el x en la figura 24, si AE es altura y AF es la bisectriz del CAB?

60º

20º

C

A B

F E

fig. 24

x

A) 50º B) 40º C) 30º D) 20º E) 10º

DMNTEM-10

8


Material TEM-11


PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

1. El desarrollo de (x – 2y)2 es equivalente a

A) x2 – 2y + 4y2 B) x2 – 4y + 4y2 C) x2 – 2xy + 4y2 D) x2 – 4xy – 4y2 E) x2 – 4xy + 4y2

2. 2

31 y

5⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

=

A) 925

y2 + 65

y + 1

B) -925

y2 + 65

y + 1

C) -925

y2 – 65

y + 1

D) 925

y2 – 65

y + 1

E) 925

y2 – 65

y

3. Si P = -2

2x 1

3⎛ +⎜⎝ ⎠

⎞⎟ y Q =

22- x + 13

⎛⎜⎝ ⎠

⎞⎟ , entonces P + Q =

A) -83

x

B) -89

x

C) -43

x

D) 0 E) 2

2

. Si x = a2 – b2, y = (a – b)2, z = 4ab, entonces y – x + z =

E) (a + b)2 + b2

. Si A = p + 1 , B = p – 1 , C = A ⋅ B , entonces C – (A + B)=

E) Ninguna de las anteriores

6. b – c , entonces ¿cuál(es) de las expresiones siguientes es (son) equivalente(s) a p ⋅ q?

2bc

III) a2 – (b + c)2

E) Sólo II y III

. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) siempre verdadera(s)?

III) (g – h)2 = (h – g)2

E) Ninguna de ellas

4

A) 2b(a + b) B) 2b(a – b) C) 2b2 – 2ab D) (a – b)2 + b2

5

A) p2 + 2p B) p2 – 2p C) p2 – 2p – 1 D) p2 + 2p – 1

Si p = a + b + c y q = a –

I) a2 – b2 – c2 – II) a2 – b2 – c2

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III

7

I) g2 – h2 = (g – h)2 II) g2 – h2 = h2 – g2

A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III

3

. Si al doble de (a + b)2 se le resta el doble de (a2 – b2), se obtiene

E) 2ab – b2

. Si a + b = 0 , entonces b2 + a2 + 2ab =

E) -a

0. Si p + q – 1 = 0 , entonces el valor de 2p2 + 4pq + 2q2 es

E) -4

1. Si 4 – b = -a , entonces 3(a – b)2 =

E) 60

12.

8

A) 4ab B) 4b(a + b) C) 4a(a + b) D) 2ab + b2

9

A) 2ab B) -ab C) -b D) 0

1

A) 4 B) 2 C) 1 D) -2

1

A) 4 B) 12 C) 16 D) 48

2

2

3x 6x

x 4x + 4

−

− =

A) 3xx + 2

3xx 2−

B)

-3xC) x + 2

E) 0 D) -3

4

3. Al dividir (8a2 – 2) por (4a + 2) se obtiene

E) a – 2

14. Al dividir

1

A) 2a – 1 B) 2a + 1 C) 2 – a D) a + 1

2 2

2 2

4a 25b

4a 20ab + 25b

−

− por 5b + 2a

2a 5b−, se obtiene

1

A) -1 B)

120ab

C)

D) 5a + 2b E) 0

15.

22

2

m 1m 1

⎛ ⎞−⎜ ⎟

+⎝ ⎠ +

2

2

2mm 1⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

=

1

E) 0

16. Al simplificar la expresión

A) m2 – 1 B) m2 +C) m2 D) 1

n+2 n 2

2

a a

a + 1

−−, se obtiene

B) an+2 (a2 – 1)

A) an-2 (a2 – 1)

n 2a (a 1)C) 2

−

E) an+2 (a – 1) D) an (a2 + 1)

5

7. a4 – b4 =

+ b) (a2 – b2) E) (a – b)4

18.

1

A) (a – b)2 ⋅ (a + b)2 B) (a – b)2 ⋅ (a2 + b2) C) (a – b) (a + b) (a2 + b2) D) (a – b) (a

– 2

2

3x x + 2

x 1

−

−

xx + 1

+ x + 1x 1−

=

A)

x 1x 1−+

2

2

x 3

x B) -

1

−

−

1 xC) x + 1−

E) 1

19. de las siguientes expresiones representa(n) el área de un cuadrado de lado x + 2y?

II) (x + y)2 – (x – y)2 + x2 + 4y2

III)

D) -1

¿Cuál(es)

I) (x + 2y)2

2( 2x + 8y)2

I E) I, II y III

0. La factorización de w2 – 6xy – 9x2 – y2 está representada por

E) (w – 3x – y) (-w + 3x + y)

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y II

2

A) (w + 3x + y ) (w – 3x + y)B) (w – 3x – y) (w + 3x + y) C) (w + 3x + y) (-w – 3x – y) D) (w + 3x + y) (w + 3x – y)

21. Al simplificar 2 2

2 2

9x 6xy y9x y+ +

−, resulta

A) 3x + y3x y−

B) 3x y3x + y

−

C) 6xy D) -6xy

E) 3x + y-3x + y

22. Si a2 ≠ b2 , entonces 3a + b

– 5

a b− +

2 2

10ba b−

es equivalente con

A) 2

a b+

B) 2a

a b−

C) -2a b−

D) - 2a + b

E) 2b-a + b

23. Dada la expresión 2

11 +

x + 2x1

+ 1x

, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) falsa(s)?

I) Si x = 3 – 2 , entonces el número que resulta es irracional negativo. II) Si x = 1 , entonces el número es racional. III) Si x = 0 , entonces el número es real.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

6

7

24. La expresión 4a2 + 12ab + xb2 es un trinomio cuadrado perfecto, si:

(1) x2 = 81 (2) x es un número positivo. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

25. Q es el 50% de P = (x + 1)2 – (x – 1)2, si:

(1) Q = 2x (2) Q = 4x2


DMNTEM-11


Material TEM-12


POTENCIAS Y ECUACIONES EXPONENCIALES

1. -32 – 24 =

A) -25 B) -14 C) -7 D) 7 E) 25

2. 58 : (-5)2 =

A) -510 B) -56 C) 54 D) 56 E) 510

3. 0,753 =

A) 334

B) 34

· 3

C) 916

D) 3

3

4

E) 2764

1

4. n + 4

n + 3

2 ·

2 · 2

2 =

A) 2 B) 29 C) 20 D) 2n + 1 E) 22n

5. [(154)-5 · 1520] : 150 =

A) 1520 B) 1519 C) 15 15

D) 1 E) 0

6. La expresión (m3) · (m2)4 es igual a

A) m9 B) m11 C) m20 D) m24 E) m96

7. Si T – (n3)4 = 0, entonces T =

A) n12 B) n7 C) 4n3 D) 4n12 E) -n12

2

8. La expresión (ka + 2) · (k3a – 5) es igual a

A) 2k4a – 3

B) 2

3a + a 10k −

C) k4a – 3

D) 2

3a + a 102k −

E) k4a – 7

9. ¿Cuánto vale x si 0,4x = 1 x2

5

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

?

A) 0 B) 1

C) 12

D) - 12

E) -1

10. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalente(s) a 827

?

I) 3

3

2

3

II) 2

· 33⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

III) 8 · 33

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Ninguna de ellas

3

11. n n

n

a + b

(ab) =

A) (ab)-n B) a-n + b-n C) a-n – b-n D) (-ab)n E) (-ab)-n

12. 5 · 2x – 2 – 3 · 2x – 3 = 14, entonces x =

A) -4 B) 1 C) 3 D) 4 E) 6

13. Si 4a = m y 5b = n, entonces 4a + 1 · 5b + 1 es igual a

A) 20mn B) mn2 C) 20mn2 D) 9mn E) (mn)2

14. ¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes sobre el numeral 1117 – 1116 es (son)

verdadera(s)?

I) El número es par. II) El número es múltiplo de 5. III) El número es divisible por 11.

A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

4

15. Si 4x – 4x – 1 = 24, entonces 4x – 1 es

A) 32

B) 52

C) 72 D) 20 E) 8

16. -22 + (-2)2 – 23 =

A) -16 B) -8 C) 0 D) 8 E) 16

17. -38 ⋅ 32 =

A) -316 B) -310 C) -36 D) 310 E) (-9)16

18. 45 · 65 · 245 =

A) 24 24

B) 2412 C) 2410 D) 247 E) 243

19. (-4)2 : 22 =

A) -2 B) 2 C) -4 D) 4 E) otro valor

5

20. [(kp)q]3 =

A) 3

pqkB) kpq + 3 C) k3pq D) k

E) 3

(pq)k 21. 2x + 2x+1 + 2x+2 = 14, entonces x =

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) otro valor

22. -1 -11 1

: 2 4⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

A) 5 B) 2 C) 0,2 D) 0,5 E) 0,125

23. Sean M = 2 -2 2

4

(t ) · (-t)

t. Cuando t = 0,1, el valor de M es

A) 0,001

B) 0,01

C) 10.000 D) 100.000 E) 1.000.000

6

24. x + 1 x

x

3 3

3

− =

A) x

3

3

B) 3x + 1 C) 3x + 1 – 1 D) 3 E) 2

25. 63 + 63 + 63 + 63 + 63 + 63 =

A) 63 B) 64 C) 618 D) 363 E) 3618

26. Al calcular x en 2x – 1 = (0,5)x – 3, se obtiene

A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2

27. 23(0,064) =

A) 0,64 B) 0,016 C) 0,16 D) 1,6 E) 6,4

7

28. 3n 2n

2n n

5 + 5

5 + 5 =

A) 5 B) 25 C) 125 D) 5n E) 52n

29. -1 -1

-1 -1

x y

x y

−

⋅ =

A) x – y B) y – x C) x + y

D) y xxy−

E) x yxy−

30. Si 2x – 1 · 2x + 1 – 0,5 = 0, entonces x =

A) -1

B) -12

C) -14

D) 12

E) 14

DMNTEM-12

8


Material TEM-13


RAÍCES

1. 8 · 18

36 =

A) 2 B) 3

C) 6

D) 2 2

E) 2 6

2. x - x ( x + y z)⎡ ⎤− − −⎣ ⎦ =

A) - x + y z−

B) 3 x + y z−

C) - x y + z−

D) 3 x y z− −

E) x + y + z

3. 1 2

+ 19 1 16

− =

A) 3 B) 1

C) 13

D) 32

E) 116

1

4. 2(3 a 5 b)− =

A) 6a – 10b B) 9a – 25b C) 9a – 15 ab + 25b

D) 9a – 30 ab 25b−

E) 9a – 30 ab + 25b 5. Si la raíz cuadrada de 25 es x 1− , entonces x =

A) 36 B) 16 C) 6 D) 5 E) 6

6. Si a > b, entonces 4 12(a b)− =

A) a – b B) a2 – b2 C) a3 – b3 D) a b− E) a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

7. Si 2 : 3 = 2 : x, entonces x =

A) 26

B) 2 23

C) 3 22

D) 6 2

E) 16 2

2

8. Si 5 x – 1 = 1, entonces x =

A) 0 B) 5

C) - 5

D) 2 55

E) 55

9. Si ab = c , entonces 1a

=

A) cb

B) b c

C) 1

b c

D) c

b

E) b cc

10. 0,75 0,5− es un número

A) irracional. B) racional positivo. C) real negativo. D) entero positivo. E) no real.

11. 2( a + b + 1 + a + b 1)− =

A) 2(a + b) B) (a + b)2 – 1

C) 2(a + b) – 2 2(a + b) 1−

D) 2(a + b) + 2 2(a + b) 1−

E) 2(a + b) + 2 2(a + b) + 1

3

12. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalente(s)?

I) x 1

x

−

II) x x

x−

III) 1 – xx

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

13. 3 311 + 2 30 11 2 30⋅ − =

A) -1 B) 1 C) 61

D) 3 61 E) ninguna de las anteriores

14. 1

1 t + t− =

A) 1 + t + t

B) 1 + t – t

C) 2

1 + t + t

(1 + t) t−

D) 2

1 + t t

(1 + t) t

−

−

E) 2

1 + t + t

(1 + t) + t

4

15. Si la fracción 12

2 se amplifica por 3 , y luego la fracción resultante se amplifica por

6 , se obtiene

A) 3 B) 6 C) 3

D) 6

E) 3 6

16. Si x = 2 + 3 2 3− − , entonces x – 2 =

A) -2 B) 0 C) 4 D) 2 3

E) 2 3 + 2 17. Con un hilo de largo k se forma un cuadrado. ¿Cuál de las siguientes opciones indica

el área del cuadrado?

A) k

B) k2

C) k4

D) k8

E) k16

18. En la secuencia: 7 ; - 14 ; 21 ; - 28 ; ... El séptimo término es un número

A) irracional positivo. B) racional positivo. C) irracional negativo. D) racional negativo. E) ninguna de las anteriores.

5

19. Si 9 81 = x( 9) , entonces x =

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 27

20. Si 5 x – 2 = 3 y m = 3

5 x 2−, entonces m =

A) 3 B) -3 C) 1 D) -1

E) 35

21. Dada la ecuación 2x + 5 + 3 = 0, se cumple que

A) x = -2 B) x = 2

C) x = 142

D) x = -142

E) no tiene solución en los reales. 22. (5 2 + 2 128 11 2) : 2− =

A) 10 B) 32 C) 40 D) 8 5

E) 10 2

6

23. Si x – 2 = 22, entonces ( 4x + x + 2) x =

A) 12 B) 15 C) 16 D) 16 3

E) 12 + 4 3

24. 2( x y) ( x + y)( x y)− − − =

A) 0 B) 2 xy

C) -2 xy

D) 2x – 2 xy

E) 2y – 2 xy 25. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalente(s) al cuadrado de la

expresión 1

m – 1?

I) 1 + 1 2 m

m m

−

II) 1 2 m

m−

+ 1

III) m + 1 2 m

m−


7

26. Sean a, b, c y d números enteros positivos. Se puede determinar que la expresión

a b c d− es un número real si :

(1) a2b > c2d

(2) b > d


27. El cubo de A es igual a la raíz cuadrada de B si :

(1) A = 2 y B = 64

(2) A = 3 8 y B = 4 256


28. El producto 3 32x x⋅ 4 es igual a 4 si :

(1) x – 2 = 0

(2) (x + 2)(x – 2) = 0


29. 2 x – 3 x = 0 si :

(1) x ≥ 0

(2) x = 0


8

30. n x es un número real negativo si :

(1) n es un entero impar.

(2) x es un real negativo.


DMNTEM-13

9


Material TEM-14


POTENCIAS, RAÍCES Y LOGARITMOS

1. Si a2 + b2 = 10 y a : b = 12

, entonces 2 2b a

2 3− =

A) 313

B) 423

C) 35

D) 106

E) 3313

2. Si A = 222, B = 222 y C = 222, entonces ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es (son)

verdadera(s)?

I) A < B II) C > B III) A < C

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

1

3. Si el área de un cuadrado es 22a

+ 13

⎛⎜⎝ ⎠

⎞⎟ , entonces ¿cuál es su perímetro?

A) 4a3

+ 2

B) 2a3

+ 16

C) 2a3

+ 4

D) 8a + 43

E) 8a + 123

4. El conjunto solución de la ecuación = 121 es 2

x 3x + 211 −

A) {0, 3} B) {0, -3} C) {0} D) {3} E) {-3}

5. Si 52x = 15, ¿cuál es el valor de 5-x?

A) 13

B) 115

C) 15 D) - 15

E) -13

6. ¿Cuál es el valor de x en la ecuación 5x + 5x + 1 + 5x + 2 = 155?

A) 1 B) 2 C) 3

D) 13

E) -3

2

7. Si k es un entero positivo, ¿cuál de las siguientes expresiones es igual al cuadrado de la diferencia 3k – 3 – 3k – 2?

A) -8 · 32(k – 3) B) -2 · 32(k – 3) C) 2 · 32(k – 3) D) 4 · 32(k – 3) E) 16 · 32(k – 3)

8. 3 0,3 =

A) 1

B) 13

C) 33

D) 3 33

E) 3 93

9. Si M5x – 3 M = 0, entonces x =

A) 13

B) 15

C) 115

D) 35

E) 315

10. ¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a 3 54 ?

A) 18

B) 3 3 2

C) 3 3 3

D) 3 3 6

E) 6 3 3

3

11. Si los valores numéricos de (a + b)2 y (a – b)2 son iguales, entonces ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)?

I) a + b = 0 II) a – b = 0 III) a · b = 0

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III

12. Si aΔb = (a – b)2 se cumple para cualquier número entero, entonces ¿cuál(es) de las

siguientes igualdades es (son) siempre verdadera(s)?

I) aΔb = bΔa II) aΔb = aΔ(-b) III) aΔ(-b) = (-a)Δb


13. (2 · 104) + (5 · 103) + (6 · 102) + (4 · 101) =

A) 2.564 B) 20.564 C) 25.064 D) 25.604 E) 25.640

14. 5

3 15− =

A) 15

B) 15 5

6−

C) 15 + 5

6

D) -15 + 5 5

6

E) -15 5 5

4−

4

15. El conjunto solución de la ecuación x + 2 = 14 + x es

A) ∅ B) {2} C) {5} D) {-2, 5} E) {-5, 2}

16. ¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a 85?

A) 25 · 23 B) 210 C) 24 · 210 D) 58 E) 25 · 45

17. Si a + 2 = 0 y b – 3 = 0, entonces a3b2 + a2b =

A) -84 B) -60 C) 36 D) 60 E) 84

18. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) correcta(s)?

I) 7 4

-1 -2

x y

x y

⋅

⋅ = x8 · y6

II) (3x-2 · y4)2 = 8

4

9y

x

III) (-2x5y3)-2 = 10 6

1

4x y⋅


5

19. Si a > 4, ¿cuál de las siguientes expresiones es equivalente a a 4 a + 4a 2

−−

?

A) a B) 2 a C) a + 2 D) a – 2 E) a + a

20. La raíz cuadrada del cubo de 2 al cuadrado es igual a

A) 2 B) 4 C) 8 D) 2 E) 2 2

21. Si a = 2, entonces 2a (a + 1) a =

A) 48 2

B) 12 2

C) 48 2 D) 12 2

E) 4 24

22. Si 11 - xa = a8 – x, entonces x =

A) 0 B) 5 C) 9 D) no tiene solución en los reales E) ninguna de las anteriores

6

23. Si 32 x = 2, entonces 3

2x =

A) 12

B) 2

C) 32

D) 31

E) 18

24. El valor de x en la ecuación x 44 +

x 84 = 20 es

A) 2 B) 3 C) 5 D) 4 E) no se puede calcular

25. n 1n

3

3− =

A) 13

B) -3 C) 3

D) - 13

E) n 3 26. =

0,5log 8

A) 3

B) 13

C) - 13

D) -4 E) -3

7

27. 3 = 3

3log 3

A) 9 B) 6 C) 3

D) 16

E) 19

28. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)?

I) b 1log a =

blog a

II) log ab

= log a – log b

III) 1 1 1 +

l =

log ab log a og b

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Ninguna de ellas

29. log (a2 + b2 – 2ab) =

A) log ab2

B) 2 log (a – b) C) 2 log a – 2 log b D) 2 log a – 2 log ab + 2 log b E) 2 log (a + b)(a – b)

30. Si A = 316

log 0,125 , B = 3

1log

9 y C = 4

0,25log 2 , entonces un orden creciente correcto

es

A) A < B < C B) B < C < A C) C < A < B D) B < A < C E) A < C < B

DMNTEM-14

8

C u r s o : Matemática Material TEM-15


FUNCIONES I 1. ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos es (son) función(es)?

I) II) III)


2. De acuerdo con el gráfico de la figura 1, ¿cuál de las siguientes relaciones es incorrecta?

A) f(0) = 2 B) f(1) = f(4) C) f(1) + f(3) = f(-1) D) f(0) + f(3) = f(-1) E) f(1) – f(4) = f(2)

y

x

y y

x

3

5

x

y

fig. 1

1 3

-2

4 -1

2

2

-4

4

x

1

3. De los siguientes gráficos, ¿cual(es) de ellos define(n) una función para a ≤ x ≤ b?

I) II) III)

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Sólo II y III

4. En el gráfico de la figura 2, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) f(-4) = f(0) II) f(1) = 1 III) f(-5) – f(-3) = 0


5. De acuerdo al gráfico de la función g(x) definida en el intervalo [-3, 2] de la figura 3,

¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) g(x) es una función discontinua. II) Dom g = [-3, 2] III) Rec g = [-2, 3]


y

a

y

x a

y

x x b b ab

1

y

fig. 2 y = f(x)

2

2 3 5 -1-3

-2

-5 -4 -2 4 1 x

y 3

-2

-3 -2 -1 1 2

1

2 fig. 3

x

y = g(x)

2

6. Para una función f: lR → lR, que satisface las condiciones:

I) f(x + y) = f(x) + f(y) II) f(1) = 3

El valor de f(3) es

A) 1 B) 3 C) 6 D) 9 E) 27

7. El puntaje p(x) de una prueba de 45 preguntas, se calcula asignando 5 puntos por respuesta

correcta y restando 1 por cada respuesta incorrecta, más 350 puntos de base. ¿Cuál es la función que representa el puntaje para quien responde 40 preguntas, teniendo x respuestas correctas?

A) p(x) = 6x + 310 B) p(x) = 5x + 310 C) p(x) = 5x + 350 D) p(x) = 6x + 350 E) p(x) = 5x – 310

8. Dos empresas A y B ofrecen las siguientes ofertas de conexión a Internet:

A: $ 9.000 por 40 horas + $ 900 por cada hora adicional. B: $ 10.500 por 40 horas + $ 600 por cada hora adicional. ¿Al cabo de cuántas horas, daría lo mismo usar cualquiera de los dos servicios?

A) 5 B) 45 C) 50 D) 55 E) 60

3

9. La tabla adjunta, muestra la temperatura de un enfermo a distintas horas del día.

Tiempo (t) a distintas horas 8 10 12 16 18 20 22 24

Temperatura (T) en °C 37,5 36,8 39 37,7 38,2 38,7 39,2 39,7

¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) verdadera(s)?

I) La máxima temperatura se registra a las 24 horas. II) Entre las 8 y las 12 la temperatura fue creciente. III) Para 16 ≤ t ≤ 24, la temperatura de la tabla está dada por

T(t) = 37,7 + (t – 16) · 0,25


10. Si f(x) = 2x2 – 1, entonces el valor de f(-2) – f(-1) – f(2) es

A) 15 B) 14 C) 1 D) -2 E) -1

11. Para estucar un edificio, los albañiles hacen el siguiente detalle de gastos:

a) La mano de obra vale $ 3.500 la hora. b) La mezcla (cemento, arena y agua) vale $ 750, y demora 15 minutos en usarla. c) El uso de equipos es un costo fijo de $ 2.000.

La ecuación para determinar el gasto (C) del trabajo en un cierto tiempo t, expresado en

horas, es

A) C = 3.000 t + 2.000 B) C = 3.500 t + 2.000 C) C = 5.000 t + 2.500 D) C = 5.500 t + 2.500 E) C = 6.500 t + 2.000

4

12. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa la función f(x) = ? x, si x 2

-2, si x > 2

⎧ ≤⎪⎨⎪⎩

A) B) C)

D) E) 13. La tabla muestra una función lineal entre x e y que está

representada por

A) y = x + 3 B) y = 3x – 3 C) y = 3x – 1 D) y = 2x + 1 E) y = 3x

14. En el conjunto de los números reales, el dominio de la función real g dada por g(x) = 2

x

x 1− es

A) {x ∈ lR / x ≠ 1} B) {x ∈ lR / x ≠ -1 y x ≠ 1} C) lR – {1} D) lR E) lR – {-1}

2

y

x

y

x 2

2

- 2

y y

2 2

x -2

-2 x

y

-2 2

2

x

x 1 2 3 4 … y 2 5 8 11 …

5

15. El conductor de un vehículo, a la entrada de un estacionamiento pregunta por la tarifa. El funcionario a cargo le responde que deberá cancelar $ 750 por la primera hora y, $ 700 por cada hora siguiente o fracción. ¿Cuál es el máximo tiempo que podrá permanecer el vehículo en el estacionamiento si el conductor dispone hasta $ 2.000?

A) 1 hora y 15 minutos B) 1 hora y 30 minutos C) 2 horas D) 2 horas y 30 minutos E) 3 horas

16. El gráfico de la función y = f(x), donde x es la longitud del lado de un cuadrado y f(x) la

medida de una de sus diagonales, es

A) B) C)

D) E) 17. Para broncearse en el verano se recomienda partir con 15 minutos de exposición al sol el

primer día, con la debida protección, según la piel de cada uno, y gradualmente ir aumentando cinco minutos por cada día siguiente, hasta un máximo de una hora. La ecuación que relaciona el tiempo t de bronceado para el día d ≤ 10, es

A) t = 15 + 10 (d – 1) B) t = 15 + 10 d C) t = 15 + 5 d D) t = 15 d + 5 E) t = 15 + 5 (d – 1)

2

y

x 1

y

x 1

2

y

x

2

y

2

1 x

y

1

x

6

18. El gráfico de la función f, definida por f(x) = x + 2 · ⎢x⎥ está mejor representada por

A) B) C)

x

y

-1 -2 3

3 2

1

-3 1 2

x

y

-2

x

y

2

D) E)

6

3

1 2

2 1 -2 -1 -3

y

x

x

y

-2

2

2 19. En un cuadrado de área A, la medida de la diagonal es d. ¿Qué fórmula relaciona A con d?

A) A = a2 B) A = d2

C) A = 2d2

D) A = 2d2 E) A = 2d

20. En una secuencia se tiene que f(1) = 4 y f(n + 1) = 2 f(n) – 1. ¿Cuál es el valor de f(3)?

A) 13 B) 10 C) 8 D) 7 E) 5

7

21. ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos, representa(n) mejor la liquidación de artículos de una tienda, de acuerdo a la siguiente tabla?

Antes Ahora

Precio menor que $ 3.000 $ 999

De $ 3.000 a $ 6.000 $ 2.999 Entre $ 6.000 y $ 9.000 $ 5.999 De $ 9.000 a $ 12.000 $ 8.999 I) II) III)


22. ¿Cuál es la gráfica que mejor representa a la función f(x) = xx

?

A) B) C)

D) E)

5.999

Prec

io A

ctual

Precio Anterior 3.000 6.000 9.000 12.000

999

2.999

8.999

5.999

Prec

io A

ctual

Precio Anterior 3.000 6.000 9.000 12.000

999

2.999

8.999

5.999

8.999

Prec

io A

ctual

2.999

999

3.000 6.000 9.000 12.000 Precio Anterior

y

x

y

x -1 -2 -3 3 1 2 -1 -2

2

1

-1

y

x -2 -3 3 1 2

2

1

2

-2

y

x -1 -2 -3 3 1 2 -1

2

1

-3

-1 1

y

x -2 -3

3 1 2

2 3

-1 -2 -3

8

23. Una función es simétrica con respecto al origen o impar si se cumple que f(x) = -f(-x) para cualquier x del dominio. ¿Cuál de las siguientes funciones es simétrica con respecto al origen de coordenadas?

A) f(x) = x3 B) f(x) = 2x + 1 C) f(x) = x2 D) f(x) = x4 E) f(x) = 2 – x2

24. En la siguiente sucesión de figuras, el triángulo achurado es equilátero y corresponde a 14

de

aquél en que se inscribe. Considerando que el área del triángulo equilátero mayor es de 1 cm2, ¿cuál es la función que representa el área del triángulo achurado en la n-ésima figura?

A) y = n + 11

4⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

B) y = n 11

4

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

C) y = n1

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

D) y = 2n1

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

E) y = 3n1

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

25. En un plan de telefonía celular se pagan $ 26.000 por hablar 100 minutos y $ 40.000 por

hablar 200 minutos. Si estas variables se relacionan de manera lineal, ¿cuánto se pagaría por hablar 500 minutos?

A) $ 72.000 B) $ 82.000 C) $ 92.000 D) $ 100.000 E) $ 130.000

26. La gráfica de la función f(x) = ax + b, se puede obtener si :

(1) Se conoce el valor de a.

(2) Se conoce el valor de b.


9

27. Si f(x) = 3x + 1 y g(x) = -x + 5 con g(a) = 2b. ¿Cuál es el valor numérico de f(b)?

(1) Se conoce a.

(2) Se conoce b.


28. Dado el gráfico de la figura 4, el cual corresponde a una función lineal, se puede determinar

esta función si : y

x 0 a

b fig. 4

(1) Se conoce el valor de b.

(2) Se conoce el área del triángulo.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada uno por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

29. La ganancia de la empresa Mella y López es G (en miles de pesos) y se calcula en función del

tiempo t (en meses) mediante una función. ¿Cuál es la ganancia acumulada por la empresa, hasta la fecha de hoy?

(1) La empresa lleva funcionando 3 años y 2 meses.

(2) La función es G(t) = 40 + 2t.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambos juntos, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

30. Si el kilo de pan negro se compra en $ 550 y se vende en $ 600. Se puede determinar el

valor de compra de un kilo de pan blanco si:

(1) El pan blanco se vende en $ 630.

(2) La relación entre el precio de compra y el precio de venta, es una función lineal.


DMNTEM-15

10


Material TEM-16


FUNCIONES II

1. Si f(x) una función tal que f(x) = x + 3 , entonces su dominio es

A) lR B) {x ∈ lR / x ≥ 3} C) {x ∈ lR / x ≤ 3} D) {x ∈ lR / x ≤ -3} E) {x ∈ lR / x ≥ -3}

2. El dominio de la función f(x) = x + 5x + 4

es

A) lR – {5} B) lR – {-5} C) lR – {4} D) lR – {-4} E) lR

3. Al escribir la ecuación 2x – 3y – 1 = 0 como función de x queda

A) y = 2x 1

3−

B) x = 3y + 12

C) x = - 3y + 12

D) y = 3x 12−

E) y = -2x + 13

1

4. Si f(x) una función tal que f(x) = [x] – ⎢x⎥ + 1, entonces f(-2,2) + f(2,2) =

A) -4,2 B) -3,4 C) 0,2 D) 1,2 E) 5,2

5. Un mecánico de automóviles cobra $ 15.000 por hora de trabajo (o fracción de ella) más el valor de los repuestos. ¿Cuánto se pagará por un trabajo que dura 2,6 horas y se ocupan repuestos por un valor de $ 80.000?

A) $ 125.000 B) $ 110.000 C) $ 45.000 D) $ 30.000 E) Ninguna de las anteriores

6. Sea f(x) una función definida por el gráfico de la figura 1.

y

x

3

2

1

-5 -4 -3 -2 -1-1-2

-3

1 2 3 4

fig. 1

Con la información del gráfico, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El recorrido de la función es {y ∈ lR / -3 ≤ y ≤ 3}. II) -3 y 4 son pre-imágenes de 0. III) La imagen de -5 es 3.


2

7. De los gráficos de la figura 1, ¿en cuál(es) de ellos se define(n) una función en [a, b]?

I) II) III)

A) Sólo en I B) Sólo en II C) Sólo en I y en II D) En todos ellos E) En ninguno de ellos

8. ¿En cuál de las siguientes relaciones de IR x IR se define una función para el dominio

dado?

A) y = x ; x ∈ {-4, 0, 4} B) |y| = x ; x ∈ {-2, 0, 2}

C) y = 1x 1−

; x ∈ {-1, 0, 1}

D) Para todo y ∈ lR ; x = 3 E) y = x2 ; x ∈ {-2, 0, 2}

9. Si f(x) = 2x 1x + 1

− , ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I) f(1) = 0 II) f(0) = -1 III) f(1) = f(-1)

A) Sólo I y II B) Sólo I y III C) Sólo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas

a b

y

x

y y

b a b x x a

3

10. Si f(x) = (x + 1)2 – 1, entonces el valor de f(1) – 2f(-1) es

A) -5 B) -2 C) 1 D) 4 E) 5

11. Si f(x – 1) = x2, entonces el valor de f(3) es

A) 1 B) 4 C) 9 D) 16 E) 25

12. Si la altura de un triángulo equilátero es x, entonces el perímetro P en función de su

altura se expresa como

A) P(x) = 3x 3 B) P(x) = 2x 3

C) P(x) = 32

x 3

D) P(x) = 23

x 3

E) P(x) = x2

3

13. ¿Cuál(es) de la siguientes aseveraciones es (son) verdadera(s) respecto a la función

f(x) = x + 53 x−

?

I) f(-1) = 1 II) El punto (2,6) pertenece a la función. III) El dominio de la función es lR.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

4

14. En una tienda de artículos de calefacción eléctrica, el precio de costo de un termo ventilador es de $ 15.000 y lo venden en $ 18.500; una estufa eléctrica tiene un costo de $ 16.000 y la venden en $ 20.500. Si los precios de venta de los artículos con respecto al costo es lineal, ¿cuál es el precio de costo de un calefactor si se vende a $ 25.500?

A) $ 17.000 B) $ 17.500 C) $ 18.000 D) $ 18.500 E) $ 19.000

15. Si f(x) = (3 – x)3 – x3 + m y f(-2) = 0, entonces m =

A) -133 B) -117 C) -7 D) 125 E) 133

16. Si S es el área de un hexágono regular y P su perímetro, entonces S, en función de P, se

expresa como

A) S(P) = 2P 312

B) S(P) = 2P 318

C) S(P) = 2P 324

D) S(P) = 22 P 3

9⋅

E) S(P) = 2P 348

17. Si g(x – 3) = x2 – 2, entonces el valor de g(-4) es

A) -3 B) -1 C) 0 D) 1 E) 14

5

18. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la función f(x) = 2 – ⎜x + 2⎟?

A) B) C)

D) E)

19. Si f(x) = x

[x], entonces la alternativa incorrecta es

A) f(-0,1) = 0,1 B) f(-9,1) = 0,91 C) f(1,1) = -1,1 D) f(10,1) = 1,01 E) f(-11) = 1

20. Dada la función f(x) = ⎜1 – ⎜x⎟⎟, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) Dom f(x) = lR II) Rec f(x) = lR+ U {0} III) f(-3) = f(3)


-2 2

y

2

x

-2

-2 2 x

y

-2 2 x

y

2

-2

2

-2

-2 2 x

y

2

-2

-2 2 x

y

2

-2

6

21. La función real definida por f(x) = 0, corresponde a

A) el punto (0,0). B) todos los puntos del eje de las abscisas. C) todos los puntos del eje de las ordenadas. D) todos los puntos del primer cuadrante. E) ninguna de las anteriores.

22. Se definen las funciones f(x) = [x] y g(x) = -[x], entonces el conjunto solución de

f(x) = g(x) es

A) lR B) {0} C) {-1} D) [-1, 0[ E) [0, 1[

23. Se define la función f(x) = k, con k constante. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades

es (son) verdadera(s)?

I) f(-x) = -k II) f(1/x) = 1/k III) f(xn) = kn

A) Sólo I B) Sólo I y III C) Sólo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas

24. Si f(t) = t2 – a2, entonces f(t – a) =

A) 0 B) t2 C) t2 – 2at D) t2 – 2a2 E) t2 – 2at – 2a2

7

25. Sea f(x) = ax + b. Si f(1) = 10 y f(-1) = 4, entonces los valores de a y b, respectivamente, son

A) 3 y 7 B) 7 y 3 C) -3 y 7 D) -7 y 3 E) 4 y 6

26. Si f(x) = x x

x

−, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) f(9) = 23

II) f(4) = 12

III) f(9) · f(16) = f(4)


27. Dada la función f(x) = (a – 5)x2 + (3 – b)x + 4 – c. ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si a > 5, f(x) tiene un máximo. II) Si b = 3, su eje de simetría es x = 0. III) Si c = 4, f(x) pasa por el origen.


8

28. Dadas las funciones f(x) = 4 – x2 y g(x) = x , entonces f(g(x)) es

A) 4 +x B) x – 4 C) (2 + x )(2 – x ) D) ( x + 2)( x – 2) E) 4 – x2

29. En el plano cartesiano de la figura 2, se graficó la función f(x). ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) falsa(s)?

I) f(5) = f(6)

f(x)

0

5

y

x 12 8 4

II) f(0) = f(12) fig. 2 III) f(x) es creciente.


30. Dada la función f(x) = 2f(x + 1). Si f(1) = 1, entonces f(3) =

A) 1

B) 12

C) 14

D) - 12

E) - 14

DMNTEM-16

9


aterial TEM-17 M


ECUACIÓN DE 2do GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA

1. ¿Cuál de las siguientes opciones es solución de la ecuación x2 – 2x – 4 = 0?

A) 1 – -5

B) 1 + -5

C) -1 + 5

D) -1 – 5

E) 1 – 5

2. Si t es la menor de las soluciones de la ecuación x – xx 2−

= 2, entonces 3t =

A) -12 B) -3 C) -1 D) 1 E) 3

3. La mayor de las soluciones de la ecuación 3 2x + +

x + 2 x3 = 6 es

A) un número irracional positivo. B) un número irracional negativo. C) un número racional positivo. D) un número racional negativo. E) un número no real.

4. Las soluciones de la ecuación 4x-2 + 2x-1 – 2 = 0, son números

A) enteros de distintos signo. B) enteros de igual signo. C) irracionales de distintos signo. D) irracionales de igual signo. E) no reales.

1

5. ¿En cuál de las siguientes ecuaciones, el producto de las soluciones es igual a cero?

A) x2 – x – 5 = 0 B) x2 + x + 2 = 0 C) (x – 3)(x – 2) = 0 D) (x + 1)(x + 2) = 3 E) (x + 2)(x + 3) = 6

6. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es equivalente a la ecuación x2 – 4x – 12 = 0?

A) (x + 1)(x – 12) = 0 B) (x + 3)(x – 4) = 0 C) (x – 3)(x + 4) = 0 D) (x + 2)(x – 6) = 0 E) (x – 2)(x + 6) = 0

7. ¿En cuál de las siguientes ecuaciones ambas soluciones son mayores que 0 y menores

que 1?

A) 3x2 – 7x + 3 = 0 B) 3x2 + 7x + 3 = 0 C) 8x2 – 6x – 1 = 0 D) 8x2 + 6x + 1 = 0 E) 8x2 – 6x + 1 = 0

8. ¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones tiene(n) una solución racional y otra irracional?

I) x2 – (5 + 5 )x + 5 5 = 0

II) x2 + (1 + 10 )x + 10 = 0

III) x2 – ( 2 + 3 )x + 6 = 0


2

9. ¿Cuál es el cuadrado de la mayor de las soluciones de la ecuación x2 – 2x – 5 x + 2 5 = 0?

A) 5 B) 4 C) 5 D) -4 E) -5

10. Una de las soluciones de la ecuación 3x

– x = 2 es

A) 3 B) 2 C) -1 D) -2 E) -3

11. El conjunto solución de la ecuación 2

1 3 1 +

4x 8x− = 0 es

A) {-2, -4}

B) 1 1- , -4 2

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

C) {2, 4}

D) 1 1,

4 2⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

E) 12⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

12. El conjunto solución de la ecuación x + 10x + 6 = 9 es

A) ∅ B) {3} C) {25} D) {3, 25} E) {3, -3}

3

13. En la ecuación de segundo grado x2 + px + q = 0 una de sus raíces es 5 y q = -15,

A) -3

4. Si p y q son raíces de la ecuación 3x2 + 5x – 12 = 0, entonces pq =

A) 12

entonces la otra raíz es

B) 0 C) 1 D) 3 E) 5

1

B) 4

C) 5 3

D) -4 E) -12

15. Si (43 – x)2 – x = 1, entonces la diferencia positiva de sus raíces es

A) 1

6. ¿Cuál de las siguientes funciones no es cuadrática?

A) f(x) = x(x – 1) + x2

x)

7. Al desplazar la parábola asociada a la función f(x) = x2 + 2, cinco unidades hacia abajo,

A) f(x) = x2 – 3

B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

1

B) f(x) = (x – 3)(3 + x) C) f(x) = (5 + x)(5 – x) D) f(x) = x(x + 4) – x(1 +E) f(x) = x(x – 4) – x(4 – x)

1

se obtiene la función

B) f(x) = x2 – 5 C) f(x) = x2 + 7 D) f(x) = x2 – 7 E) f(x) = 5x2 – 3

4

18. Si se suman los ceros de la función y = x2 + x – 12 se obtiene

A) -7

9. ¿Qué valor debe tener k en la función f(x) = kx2 + 3kx + 8 para que uno de los ceros de

A) -4

B) -1 C) 0 D) 1 E) 7

1

la función sea -2?

B) -2

C) - 1 4

D) 14

E) 4

0. ¿Cuál(es) de las siguientes funciones tiene(n) como gráfica una parábola cuya concavidad

I) f(x) = (1 – 3x)(5 – 2x)

A) Sólo I II

1. Si se eleva al cuadrado el mayor de los ceros de la función y = 5x2 – 11x + 2 se obtiene

A) 4

2

está orientada hacia arriba?

II) f(x) = (3 + 2x)(3 – 2x) III) f(x) = (x + 11)(8 – 3x)

B) Sólo IIIC) Sólo I y D) Sólo I y III E) Sólo II y III

2

B) 2

C) 1 25

- 125

D)

- 14

E)

5

22. ¿Cuál de las siguientes alternativas es verdadera con respecto del discriminante de la

A) Es igual a cero

a de 7

3. ¿Cuál de las siguientes funciones tiene como gráfica a la parábola que intersecta al eje x

ecuación asociada a la función y = x(x – 1) – 12?

B) Es negativo C) No es una potenciD) Es un cuadrado perfecto E) Ninguna de las anteriores

2

en los puntos (3 – 2 ; 0) y (3 + 2 ; 0)?

A) f(x) = x2 – 6x + 7

4. Si el discriminante de la ecuación asociada a la función f(x) = 2x2 – 6x – t2 es 68,

A)

B) f(x) = x2 + 6x + 7 C) f(x) = x2 – 6x – 7 D) f(x) = x2 + 6x + 1 E) f(x) = x3 – 6x + 1

2

entonces t podría ser

2

B) 2 C) 13

5. La siguiente gráfica (fig. 1) puede corresponder a la función

A) f(x) = x2 – 2x + 4

– x2

D) 4 E) 13

2 y

x

fig. 1 B) f(x) = -9 + 6x – x2 C) f(x) = 9 – x2 D) f(x) = 3 – x2 E) f(x) = -9 – 6x

6

26. En la función f(x) = (m – 2)x2 – 3mx + 1, ¿cuál debe ser el valor de m para que la suma y el producto de los ceros de la función sean iguales?

A)

23

B) 13

C) 0 1D) -3

E) - 23

7. Para que el gráfico de la función f(x) = 2x2 + x + (t – 1) no intersecte al eje de las

A) menor que 1

2

abscisas, el valor de t debe ser

9B) menor que 8

C) mayor que 98

98

D) igual a

E) igual a 1

a y b son los ceros de la función y = 2x2 – 5x + m – 3 y

1 1 4 + =

a b 328. Si , entonces el

valor de m es

A)

- 274

- 34

B)

C) 34

D) 184

E) 274

7

29. Uno de los ceros de la función f(x) = x2 – x – p es también un cero de la función f(x) = x2 + x – (p + 20). ¿Cuál es el valor de p?

A) 90 B) 80 C) 20 D) 10 E) Faltan datos para determinarlo

30. Si el discriminante de la función f(x) = (m + 1)x2 – 2mx + m + 5 es igual a cero,

¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El valor de m es 56

.

II) Su concavidad es hacia arriba. III) Los ceros de la función suman -10.

A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

DMNTEM-17

8


Material TEM-18


GEOMETRÍA PROPORCIONAL

1. Si en la figura 1, L1 // L2, entonces el valor de x es

x + 2 A) -2 B) 2 3x + 4

C) 32

fig. 1 D) 9

2 3x – 1

E) 1 x

L2 L1 2. En el ΔABC de la figura 2, se tiene que DE // AC , entonces la medida de AE es

A) 3 Cfig. 2 2

3

B) 2,5 C) 2 D) 6

E) 4 A B E

D

10

3. En la figura 3, ABCD es un trapecio de bases AB y CD . Si EF // AB y AE

AD = 1

3,

entonces ¿cuál es la medida de FC , si BC = 30 cm?

A) 10 cm D C

fig. 3 B) 15 cm C) 30 cm F E D) 25 cm E) 20 cm

A B

1

4. En el triángulo ABC de la figura 4, DE // AB . Si 7

CD = DA2

y CE = 28, entonces BE =

C

A) 12 fig. 4 B) 10 C) 9

D E D) 8 E) 6

A B 5. En la figura 5, ED // FC // AB . Si EF = 9, AF = x, DC = x + 6 y BC = x + 2, entonces

BD =

A) 20 E D B) 10

C

B

fig. 5

F C) 18 D) 22

A E) 6 6. En el triángulo ABC de la figura 6, FG // DE // AB , AD = 5k, DF = 3k, FC = 2k,

BE = m, EG = n y GC = 6. Entonces m – n =

G

A B

C

fig. 6

E

F

D

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

7. Si ABCD es un paralelogramo (fig. 7), y FE // AB , entonces DB =

A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18

G

A B

x C

fig. 7 E F

D

x y + 2

9

4

2

8. En la figura 8, PQRS es un trapecio de bases PQ y SR . Si PQ // TN y PR // MN ,

entonces PM =

M P Q

3

R fig. 8

N T

S

4

4,5

A) 7,5 B) 7 C) 6 D) 5 E) 9

9. En la figura 9, L1 // L2 // L3. ¿Cuál es el valor de x?

A) 4

m

n x

L1 2 3n

fig. 9 6m

L2

L3

B) 2 C) 2 2 D) 3 2 E) 2 3

10. En el triángulo ABC de la figura 10, DE // AB , AD = x + 4, DC = x, BE = x – 2 y

EC = 4. La longitud de DC es

A B

C

fig. 10

E D

A) 16 B) 12 C) 10 D) 8 E) 6

11. En la figura 11, si ΔABC es isósceles y AD = 4 cm, entonces su área es igual a


α

C fig. 11

A D B

α

3

12. Es siempre correcto afirmar que dos rectángulos son semejantes si tienen

A) iguales áreas. B) iguales perímetros. C) anchos de iguales medidas. D) diagonales de iguales medidas. E) ninguna de las anteriores.

13. Si el triángulo ABC, de la figura 12, es escaleno y rectángulo en C, ¿cuál(es) de las

siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) ACD = ABC

A D B

C

fig. 12 II) ΔBCD ∼ ΔBAC III) ΔADC ∼ ΔACB

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) I, II y III E) Ninguna de las anteriores

14. Siempre son semejantes,

A) dos pentágonos. B) dos triángulos rectángulos. C) dos trapecios isósceles. D) dos romboides de igual perímetro. E) dos cuadrados de distinto perímetro.

15. Las áreas de dos triángulos equiláteros están en la razón 1 : 9. Si la altura del triángulo

de menor área mide 3 3 , ¿cuál es el perímetro del otro triángulo?

A) 18 B) 18 3 C) 27 3 D) 54 E) 162

4

16. En la figura 13, el ΔABC es isósceles y rectángulo en C. Si BC = 2 2 , entonces AD + DC =

A D B

C

fig. 13 A) 4 B) 2 2 C) 4 2 D) 8 E) ninguna de las anteriores

17. El triángulo ACB, de la figura 14, es rectángulo en C. Si BC = 10 y CD = 6, entonces

AD =

A C

D

B

fig. 14

A) 4 B) 4,5 C) 5 D) 6 E) 8

18. En el ΔABC de la figura 15, CD es bisectriz del ángulo ACB, AD : AC = 3 : 4. Si

BC = 12, ¿cuánto mide AB?

α A D B

C fig. 15

α

A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18

19. El radio de circunferencia de centro O mide 4 cm y AD mide 10 cm (fig. 16). ¿Cuánto

mide la cuerda BC ? D

fig. 16

A) 2,4 B) 3,6 C) 4,8 D) 5,0 E) 6,0

A B O

C

5

20. En el rectángulo ABCD de la figura 17, AB = 2BC , DE AC⊥ y EB = 9 cm. ¿Cuánto

mide AB?

E A

F

D C

B

fig. 17

A) 10 cm B) 12 cm C) 15 cm D) 16 cm E) 18 cm

21. El triángulo ABC de la figura 18, es rectángulo en C, entonces siempre p · q =

A D B

C

p q

fig. 18

A) AC + BC B) AC · BC C) CD D) CD2 E) 2CD

22. En el triángulo rectángulo ABC de la figura 19, x =

C

D

B

A x

12 fig. 19

4

A) 8 B) 12 C) 16 D) 32 E) 64

23. ¿Cuánto mide CD en el triángulo ABC de la figura 20, si AC = 30 mm y BC = 40 mm?

A) 50 mm C

fig. 20B) 40 mm

C) 30 mm D) 25 mm E) 24 mm

A D B

6

24. En el triángulo rectángulo ABC de la figura 21, AE = 6 cm y EC = 4 cm. ¿Cuál es el área del triángulo ABE?

A

E

C

B

fig. 21 A) 12 cm2 B) 24 cm2 C) 27 cm2 D) 39 cm2 E) 54 cm2

25. El ΔABC de la figura 22, es rectángulo en C. Luego, no se cumple que

C A) AC 2 = AB · AD fig. 22 B) CD = q p⋅

C) CD = AC BC

AB⋅

D) AC 2 – BC 2 = AD 2 + BD 2

E) 2 2 2

1 = 1 1

+ AC BC CD

A q D p B

26. ¿Cuánto mide AD en el triángulo de la figura 23?

C

D

B

A

fig. 23

4

2

A) 16 B) 12 C) 10 D) 8 E) 6

27. En el triángulo ABC rectángulo en C (fig. 24), AB = 13 y CD = 6. Si AD < BD ,

entonces BD = C

fig. 24 A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 4

A D B

7

28. En el ΔPQR de la figura 25, RS PQ⊥ y PR QR⊥ . Si RS = 4 3 y SQ = 4, entonces

PS + QR =

P S Q

R

fig. 25

A) 12 B) 16 C) 20 D) 24 E) Ninguna de las anteriores

29. En el triángulo ABC rectángulo en C, CD es altura (fig. 26). ¿Cuál es el valor de x?

A) 10

12013

A D B

C fig. 26

x + 6

x + 4 10

B) 15 C) 16 D) 20 E) 24

30. En el rectángulo PQRS de la figura 27, PT QS⊥ . Si ST = 2PT = 32, entonces QT =

A) 4

P Q

R S

fig. 27 T

B) 8 C) 12 D) 16 E) Ninguna de las anteriores

DMNTEM-18

8


Material TEM-19


PROBABILIDADES Y COMBINATORIA

1. Si se lanzan 2 dados, ¿cuál es la probabilidad que muestren el mismo número?

A) 12

B) 13

C) 16

D) 136

E) 536

2. Una bolsa contiene 5 bolitas azules, 4 bolitas rojas y 3 bolitas verdes. Si se extrae al azar

una bolita de la bolsa, ¿cuál es la probabilidad que no sea verde?

A) 12

B) 13

C) 14

D) 23

E) 34

3. Se lanza una moneda al aire 3 veces y sea C = cara y S = sello, entonces ¿cuál(es) de

las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) La probabilidad de obtener CCC es 18

.

II) La probabilidad de obtener SCS en ese orden es 18

.

III) La probabilidad de obtener CSS en ese orden es 18

.

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) I, II y III E) Ninguna de las anteriores

1

4. En una muestra aleatoria de 120 pacientes, se detectó en un policlínico que 30 de ellos eran alérgicos al polen. ¿Cuál es la probabilidad que uno de estos pacientes elegido al azar no sea alérgico al polen?

A) 25% B) 30% C) 60% D) 75% E) 90%

5. Si se sacan al mismo tiempo, desde una caja que tiene 9 esferas numeradas del 1 al 9,

dos de estas esferas, ¿cuál es la probabilidad que ambas indiquen un número impar?

A) 518

B) 59

C) 12

D) 536

E) 2581

6. ¿Cuál es la probabilidad de obtener por lo menos un 5 cuando se lanza un dado dos

veces?

A) 2536

B) 1136

C) 136

D) 16

E) 56

2

7. En una bolsa hay nueve fichas numeradas del 1 al 9. Si se extraen al mismo tiempo dos

A)

fichas, ¿cuál es la probabilidad de obtener 2 números pares?

16

518

B)

136

C)

59

D)

E) 13

8. Una bolsa contiene 8 bolitas (todas azules) y otra bolsa tiene 2 bolitas blancas y 6 azules.

A) 25%

. Una ruleta tiene 36 sectores circulares iguales numerados del 1 al 36. Si los sectores de

A)

Si se escoge al azar una de estas bolsas, ¿cuál es la probabilidad que al sacar una bolita de ella, ésta sea blanca?

B) 20% C) 12,5%D) 6,25%E) 3,125%

9

numeración impar son de color rojo y los sectores de numeración par son negros, entonces ¿cuál es la probabilidad de que en un lanzamiento la bolita caiga en un sector negro y éste corresponda a un número primo?

172

122

B)

1036

C)

1136

D)

E) 136

3

10. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 6 en el lanzamiento de un dado y cara en el lanzamiento de una moneda?

A)

12

B) 14

16

C)

112

D)

E) 23

11. Una bolsa contiene 2 bolitas amarillas y 4 bolitas rojas, otra bolsa contienen 5 bolitas

amarillas y 3 bolitas rojas, si se extrae una bolita de cada bolsa, ¿cuál es la probabilidad

A)

que una sea amarilla y la otra sea roja?

524

B) 1324

512

C)

D) 18

E) Ni

nguna de las anteriores

2. Si se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad que el resultado corresponda a un número mayor que 4 o a un número primo?

A)

1

16

B) 13

23

C)

56

D)

E) Ninguna

de las anteriores

4

13. Una baraja inglesa consta de 52 cartas repartidas en cuatro pintas distintas, de las cuales

A)

dos son rojas (corazón y diamante) y dos son negras (pique y trébol). Cada pinta consta de tres figuras: rey (K), dama (Q), caballero (J) y de 10 cartas numeradas desde 1 (as) al 10. Si se usa esta información, ¿cuál es la probabilidad de obtener una “pinta roja” o un “as” al extraer una de las 52 cartas de una baraja inglesa?

1526

1513

B)

726

C)

713

D)

E) 413

14. Se tienen dos jaulas con catitas: la primera tiene 6 hembras y 4 machos, y en la segunda

A)

hay 3 hembras y 7 machos. Si se saca una catita de cada jaula, ¿cuál es la probabilidad que ambas sean hembras?

950

920

B)

910

C)

310

D)

E) 35

15. En una caja hay 3 camisas blancas y 2 azules. Si se sacan sucesivamente 2 camisas, sin

A)

devolverlas a las cajas, ¿cuál es la probabilidad que éstas sean de distinto color?

23

25

B)

35

C)

310

D)

E) 710

5

16. En cierta Universidad, un alumno tiene que elegir un deporte y un ramo electivo entre 5

A) De 4 maneras

7. ¿De cuántas formas se pueden repartir 2 premios entre 25 personas, si se sabe que

A) 225 formas

8. En una vitrina hay 8 corbatas distintas. ¿De cuántas maneras se pueden elegir 5 de estas

A) 40 maneras

s anteriores

9. En una canasta hay 10 manzanas solamente, de las cuales tres están verdes. Si se sacan

A)

deportes y 4 ramos electivos. ¿De cuántas maneras puede hacerlo?

B) De 9 maneras C) De 20 manerasD) De 54 maneras E) De 45 maneras

1

ambos pueden ser concedidos a una misma persona?

B) 25 formas C) 50 formas D) 600 formas E) 625 formas

1

8 corbatas?

B) 56 maneras C) 58 maneras D) 85 maneras E) Ninguna de la

1

al azar dos manzanas, ¿cuál es la probabilidad de que ambas no estén verdes?

515

615

B)

715

C)

815

D)

E) 915

6

20. En un grupo de 400 hombres y 600 mujeres, la probabilidad de que un hombre tenga la

A)

presión arterial alta es de 0,05 y la de una mujer con presión arterial alta es de 0,10. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona del grupo tenga la presión arterial alta?

225

325

B)

15

C)

D) 35


1. En una caja hay 6 ampolletas en buen estado y 4 que están quemadas. Si de la caja se

A)

2

sacan 2 ampolletas a la vez, se prueba una de ellas y se verifica que se encuentra en buen estado, entonces ¿cuál es la probabilidad que la otra ampolleta también se encuentre en buen estado?

25

45

B)

49

C)

59

D)

E) 12

22. Gantz y Müller trabajan independientemente en un problema. Si las probabilidades de que

A) 90%

lo resuelvan son 50% y 40%, respectivamente, ¿cuál es la probabilidad que el problema sea resuelto?

B) 80% C) 70% D) 20% E) 10%

7

23. En la ecuación de primer grado de incógnita x: (a – 2)x = 17, si el coeficiente a es

A) 10%

4. ¿De cuántas maneras diferentes puede ser contestado un formulario de 10 preguntas si

A) 20

5. ¿Cuántos equipos de básquetbol (de 5 jugadores) se pueden formar si se tienen a

A) 60

6. El siguiente esquema representa 5 ciudades y las carreteras que las cuántas

A) 17

escogido al azar entre los elementos {0, 1, 2, ..., 9}, ¿cuál es la probabilidad de que la ecuación tenga solución única?

B) 30% C) 50% D) 90% E) 100%

2

cada una de ellas se contesta con un sí o con un no?

B) 100 C) 200 D) 1.000 E) 1.024

2

disposición 12 jugadores?

B) 120 C) 396 D) 792 E) 1.200

2 unen. ¿De

formas diferentes se puede viajar de la ciudad A a la ciudad B si no está permitido retroceder?

B) 21 C) 30 D) 32 E) 45

A D B

E

C

8

27. ¿De cuántas maneras diferentes se puede escoger un comité por dos hombres y tres

A) 90

8. Si se lanzan 3 monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de obtener una cara y dos sellos?

A)

mujeres, de un grupo de cuatro hombres y cinco mujeres?

B) 80 C) 72 D) 60 E) 45

2

12

19

B)

25

C)

27

D)

E) 38

29. Se lanzaron dos dados y la suma de los puntos resultó ser un múltiplo de 4. ¿Cuál es la

A)

probabilidad que la suma de los resultados sea menor que 6?

13

16

B)

49

C)

D) 38


0. Cinco turistas llegan a un pueblo en el que hay 6 hoteles. ¿De cuántas maneras pueden

A) 24

DMNTEM-19

3

hospedarse si lo deben hacer de modo que deben estar cada uno en hoteles diferentes?

B) 30 C) 60 D) 120 E) 720

9


Material TEM-20


PROBLEMAS DE EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS 1. La expresión k representa un número irracional si:

(1) k es un número primo. (2) k5 = 243


2. 3m + p es igual a 4p si:

(1) m – p = 0

(2) m – 4 = 0


3. En la igualdad 5a + b = 2c, el valor de b es positivo si:

(1) -2c < 0

(2) -5a > 0


1

4. En la figura 1, el triángulo ABC es rectángulo en C. Los triángulos ADC y CDB son semejantes si:

(1) CD es altura.

A D B

C fig. 1

(2) CD es transversal de gravedad.


5. Se desea saber, cuál es la diferencia entre las edades de don Carlos y su hijo. Esto se

puede determinar si se sabe que:

(1) La edad de don Carlos triplica la edad de su hijo.

(2) Hace 30 años don Carlos tenía la edad actual de su hijo.


6. La expresión 3c

c con c ≠ de 3 y c ≠ 0 es negativa si:

3−

(1) c3 > 0

(2) c < 3


7. Se puede determinar la cantidad de litros de agua que hay en un estanque si se sabe

que:

(1) El 75% de los dos tercios de la capacidad del estanque contiene agua.

(2) El agua que hay en el estanque se puede envasar en 50 bidones completos de 5 litros cada uno.


2

8. Cierto día de invierno, faltó a clases el 40% de los alumnos. Se puede determinar el número de alumnos del curso, si se sabe que ese día:

(1) Asistieron 24 alumnos.

(2) Faltaron 16 alumnos.


9. En un bus viajan 28 turistas, de los cuales 16 son santiaguinos y el resto son

viñamarinos. Se puede saber cuántas viñamarinas viajan en el bus si se sabe que:

(1) El número de viñamarinos duplica al número de viñamarinas.

(2) Del total de turistas, 21 son hombres.


10. Sabiendo que m es un número entero distinto de cero, la expresión a + 5

a + 3

m

m toma siempre

un valor positivo si sabe que:

(1) m es positivo.

(2) a es impar.


11. En el cuadrilátero ABCD de la figura 2, se determina la medida del ángulo APB si se sabe

que:

(1) ABCD es un paralelogramo. (2) ABC + BCD = 180º

C D

fig. 2 P A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

B A E) Se requiere información adicional

3

12. Se puede conocer el valor de la expresión 2x – 3 si:

(1) x2 = 49

(2) 33x = 9


13. En la figura 3, el triángulo ABC es equilátero. Se puede determinar la medida del ángulo α

si:

A E B

C fig. 3

D

α

(1) BD = DC

(2) ACE = ECB


14. Sabiendo que a y b son enteros positivos, entonces se puede saber el valor de ab

si:

(1) a2 = 16

(2) b3 = 125 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

15. En la figura 4, se puede determinar el perímetro del rectángulo ABCD si:

(1) sen ABD = 35

D C

A B

fig. 4(2) cos BDC = 4

5


4

16. Se puede determinar el valor de la expresión 2x + 1 x

x

5 5

5

− si:

(1) Se conoce el valor de 5x.

(2) x es igual a cero.


17. Podemos afirmar que a2 + b2 = (a + b)2 si:

(1) a · b = 0

(2) a + b = 0


18. Al lanzar un dado, se puede determinar el número que indica su cara superior si:

(1) El número es primo.

(2) El número es impar.


19. Se puede determinar el valor de mn

si se sabe que:

(1) 1m

(1,5m – m) = 3m2n

(2) n = mn


5

20. La figura 5 corresponde a una parábola cuyo eje de simetría es el eje de las ordenadas. Dicha parábola es la representación gráfica de la función f(x) = ax2 + c si:

(1) a > 0 y -a > -c

(2) c > 0 y

x

fig. 5


21. Se puede calcular el valor de 2 2m(m + n) n(m + n)

m + n−

si se conoce:

(1) El valor de m + n.

(2) El valor de m – n.


22. La expresión 3(x y)− representa un número real si:

(1) y – x < 0

(2) 3x – 3y ≥ 0


23. La parábola asociada a la función y = mx2 – 2x + n, toca en un solo punto al eje de las

abscisas si:

(1) m = 2 y n > 0

(2) m · n = 1


6

24. Se puede determinar el valor de x si:

(1) 3x – y = 2(x + y)

(2) 2x – 6y = 0


25. Se puede asegurar que la expresión xy es una potencia de 3 si:

(1) y es un múltiplo de 3.

(2) x es divisor de 3.


26. En la función f se puede conocer f(-1) si:

(1) f(x) = g(x)

(2) g(x) = 3x – 1


27. En una alcancía sólo hay monedas de $ 50 y de $ 100. Si se saca una moneda al azar se

puede saber cuál es la probabilidad que ésta sea de $ 100 si:

(1) Hay $ 2.000 en monedas de $ 100.

(2) Las monedas de $ 100 son 20.


7

28. Para determinar el eje de simetría de la parábola representativa de la función f(x) = ax2 + bx + c, es necesario conocer el valor de

(1) a y b

(2) a y c


29. Una caja llena de libros pesa 12,68 kg. Se puede determinar el peso de la caja si se sabe

que:

(1) Cada libro pesa 480 gr.

(2) La caja con la mitad de los libros pesa 6,44 kg.


30. En el triángulo ABC de la figura 6, DE // AC . Se puede determinar en qué razón están las

longitudes de DB y AB , respectivamente, si:

(1) BE = n y EC = 2n

A B

C

E

D

fig. 6

(2) BE = 6 cm y BC = 18 cm


DMNTEM-20

8

Curso: Matemática /2009

CLAVES TEM-01

TALLER DE EJERCITACION Nº 1

1. D 11. D 21. D

2. D 12. C 22. B

3. D 13. D 23. B

4. E 14. E 24. A

5. C 15. C 25. C

6. E 16. E 26. B

7. B 17. B 27. D

8. E 18. D 28. B

9. E 19. E 29. C

10. C 20. B 30. D

CURSO: MATEMÁTICA / 2009

CLAVES TEM-02 TALLER DE EJERCITACIÓN Nº 2

1. D 11. E 21. C

2. A 12. E 22. B

3. B 13. A 23. B

4. D 14. E 24. A

5. D 15. B 25. C

6. E 16. D 26. D

7. E 17. E 27. C

8. C 18. B 28. A

9. E 19. B 29. B

10. C 20. C 30. D



1. E 11. C 21. B

2. B 12. E 22. E

3. D 13. A 23. B

4. A 14. D 24. C

5. B 15. E 25. E

6. A 16. B 26. C

7. B 17. D 27. C

8. B 18. A 28. A

9. E 19. A 29. A

10. C 20. B 30. C



1. D 11. D 21. A

2. B 12. A 22. B

3. B 13. B 23. C

4. D 14. E 24. D

5. C 15. C 25. E

6. D 16. B 26. A

7. A 17. D 27. B

8. E 18. E 28. E

9. C 19. A 29. C

10. E 20. A 30. A



1. B 11. C 21. D

2. B 12. D 22. C

3. C 13. D 23. E

4. A 14. C 24. C

5. A 15. B 25. B

6. E 16. B 26. A

7. E 17. A 27. C

8. D 18. A 28. D

9. A 19. B 29. E

10. E 20. B 30. C



1. D 11. B 21. B

2. E 12. A 22. D

3. D 13. E 23. A

4. C 14. C 24. D

5. E 15. D 25. A

6. C 16. C 26. C

7. E 17. B 27. D

8. D 18. D 28. A

9. E 19. B 29. C

10. A 20. B 30. B


MATERIAL TEM-07 TALLER DE EJERCITACIÓN Nº 7

1. D 11. E 21. D

2. E 12. A 22. B

3. E 13. B 23. B

4. C 14. E 24. A

5. C 15. A 25. D

6. B 16. C 26. D

7. C 17. E 27. A

8. E 18. C 28. B

9. D 19. A 29. D

10. C 20. C 30. D



1. E 11. D 21. E

2. B 12. B 22. A

3. B 13. A 23. C

4. C 14. B 24. C

5. D 15. A 25. D

6. C 16. A 26. E

7. A 17. C 27. C

8. A 18. B 28. B

9. E 19. D 29. D

10. E 20. B 30. E



1. B 11. C 21. C

2. D 12. A 22. C

3. D 13. C 23. B

4. C 14. E 24. D

5. C 15. A 25. C

6. E 16. B 26. B

7. A 17. C 27. B

8. D 18. A 28. C

9. B 19. D 29. C

10. C 20. B 30. D



1. E 11. A 21. C 2. D 12. B 22. C

3. B 13. D 23. A

4. C 14. B 24. C

5. A 15. B 25. D

6. B 16. D 26. B

7. B 17. D 27. A

8. E 18. B 28. A

9. D 19. D 29. C

10. C 20. A 30. D



1. E 6. D 11. D 16. A 21. A

2. D 7. B 12. B 17. C 22. D

3. A 8. B 13. A 18. C 23. A

4. A 9. D 14. B 19. E 24. C

5. C 10. B 15. D 20. B 25. A



1. A 11. B 21. B

2. D 12. D 22. D

3. E 13. A 23. E

4. A 14. E 24. E

5. D 15. E 25. B

6. B 16. B 26. E

7. A 17. B 27. C

8. C 18. C 28. D

9. C 19. D 29. B

10. A 20. C 30. B



1. A 11. D 21. E

2. B 12. E 22. A

3. A 13. B 23. E

4. E 14. C 24. E

5. A 15. D 25. E

6. E 16. B 26. A

7. C 17. E 27. D

8. D 18. B 28. D

9. E 19. C 29. B

10. B 20. C 30. C



1. A 11. C 21. A

2. E 12. A 22. B

3. E 13. E 23. C

4. A 14. D 24. D

5. B 15. B 25. E

6. A 16. E 26. E

7. D 17. B 27. A

8. E 18. E 28. A

9. C 19. D 29. B

10. B 20. C 30. D



1. D 11. E 21. C

2. D 12. D 22. B

3. C 13. C 23. A

4. B 14. B 24. D

5. D 15. C 25. B

6. D 16. E 26. C

7. A 17. E 27. D

8. B 18. E 28. C

9. C 19. C 29. C

10. E 20. A 30. C



1. E 11. D 21. B

2. D 12. B 22. E

3. A 13. A 23. E

4. B 14. D 24. C

5. A 15. A 25. A

6. D 16. C 26. E

7. C 17. B 27. D

8. E 18. A 28. C

9. A 19. C 29. A

10. E 20. E 30. C



1. E 11. C 21. A

2. E 12. B 22. D

3. C 13. A 23. A

4. A 14. D 24. B

5. E 15. A 25. E

6. D 16. D 26. B

7. E 17. A 27. C

8. C 18. B 28. E

9. A 19. E 29. A

10. E 20. A 30. D



1. B 11. B 21. D

2. E 12. E 22. A

3. E 13. D 23. E

4. D 14. E 24. D

5. A 15. D 25. D

6. B 16. A 26. E

7. B 17. B 27. A

8. C 18. E 28. C

9. C 19. C 29. D

10. D 20. B 30. A



1. C 11. B 21. D

2. E 12. C 22. C

3. D 13. D 23. D

4. D 14. A 24. E

5. A 15. C 25. D

6. B 16. C 26. B

7. A 17. E 27. D

8. C 18. B 28. E

9. E 19. C 29. A

10. D 20. A 30. E



1. D 11. E 21. C

2. A 12. B 22. D

3. C 13. A 23. B

4. A 14. C 24. E

5. B 15. E 25. B

6. C 16. D 26. C

7. B 17. A 27. E

8. D 18. E 28. A

9. A 19. A 29. B

10. D 20. A 30. D

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Taller de Ejercitacion - 2009