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PREUNIVERSITARIO PREUTECH
DEPTO. MATEMÁTICA.
__________________________________________________________________
1
A
D
B
C
C
D
A E B
fig. 1
F
fig. 2
fig. 3
PROFESOR: CARLOS AGUAYO G.
TALLER COMPLEMENTARIO Nº 2
GEOMETRÍA POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS
1. En la figura 1: DF , FE y ED son medianas del triángulo ABC y AB = c , BC = a
y CA = b. Entonces el perímetro del trapecio ABFD mide:
A) 3
(a+b+c)2
B) 1
(a+b+c)2
C) 2 (a + b +c)
D) 1
(a+b+3c)2
E) Ninguna de las anteriores.
2. En el paralelogramo ABCD de la figura 2, la suma de los ángulos a y b es:
A) 70°
B) 140°
C) 180°
D) 240°
E) Falta información.
3. En la figura 3, ,AB / /DC DAB= CBA y = 110°. Entonces + =
A) 110°
B) 140°
C) 220°
D) 290°
E) Ninguna de las anteriores.
a
b 60º
A B
C D
PREUNIVERSITARIO PREUTECH
DEPTO. MATEMÁTICA.
__________________________________________________________________
2
fig. 4
fig. 5
4. La figura 4, está formada por cinco cuadrados y cuatro triángulos rectángulos e
isósceles de área 12,5 cm2 cada uno. ¿Cuál es el valor de la superficie achurada?
A) 100 cm2
B) 125 cm2
C) 150 cm2
D) 200 cm2
E) 250 cm2
5. Si al disminuir el largo de un rectángulo en 2 cm se forma un cuadrado de área
64 cm2, ¿cuál era el área del rectángulo?
A) 72 cm2
B) 80 cm2
C) 56 cm2
D) 36 cm2
E) No se puede determinar.
6. ¿Cuál es el área de un rombo formado por dos triángulos equiláteros de lado 2?
A) 3
B) 2 3
C) 4 3
D) 2 2
E) 4 2
7. En la figura 5, ABCD trapecio, MN mediana. AB= 15 cm., DC = 9 cm. La medida de
EF es:
A) 2 cm
B) 3 cm
C) 6 cm
D) 9 cm
E) 12 cm
F E M N
D
A B
C
PREUNIVERSITARIO PREUTECH
DEPTO. MATEMÁTICA.
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3
fig. 6
fig. 7
fig. 8
8. El cuadrado ABCD de la figura 6, representa y un jardín de 6 mt. de lado. La parte
sombreada está cubierta de pasto. ¿Cuánto se gastó en pasto si el metro cuadrado
vale $ 3.000?
A) $ 72.000
B) $ 84.000
C) $ 90.000
D) $ 108.000
E) Datos insuficientes.
9. Sea ABCD un cuadrado y p punto medio del lado BC. Si el área del ABP es 36 cm2,
¿Cuál es el área del cuadrado ABCD? (fig. 7)
A) 180 cm2
B) 144 cm2
C) 108 cm2
D) 72 cm2
E) 48 cm2
10. En la figura 8, ABCD es un cuadrado y BC=CE . Entonces el mide:
A) 15°
B) 22,5°
C) 27,5°
D) 45°
E) 90°
11. En el paralelogramo ABCD de la figura 9, el = 4 , entonces la medida del
ángulo x es
A) 180° –
B) 180° – 5
C) 180° – 5
D) 90° –
E) 30°
2
2
4
1 A B
C D
A B
C D
P
D
A B
C
E
fig. 9
A B
D C
x
PREUNIVERSITARIO PREUTECH
DEPTO. MATEMÁTICA.
__________________________________________________________________
4
A B
D C
E
12. En la figura 10, ABCD es un rectángulo de lados 12 cm. y 16 cm. Al unir los puntos
medios de sus lados se forma una figura. ¿Cuál es el área de la figura achurada?
A) 144 cm2
B) 120 cm2
C) 112 cm2
D) 100 cm2
E) 96 cm2
13. En el cuadrilátero ABCD de la figura 11, se cumple que: AE = EC = BE = ED y
AC BD⊥ entonces se trata de un:
A) Cuadrado
B) Rombo
C) Romboide
D) Trapecio
E) Ninguna de las anteriores.
14. En el cuadrado ABCD de la figura 12, APB es equilátero. ¿Cuánto miden los
ángulos x, y, z, respectivamente?
x y z
A) 20° 60° 50°
B) 15° 90° 45°
C) 15° 75° 45°
D) 30° 75° 30°
E) 45° 60° 45°
15. En el rectángulo ABCD de la figura 13, ADE = 20° y EF es la bisectriz del DEB,
entonces la medida del ángulo DFE es
A) 35°
B) 45°
C) 50°
D) 55°
E) 70°
D C
A B
fig. 10
fig. 11
fig. 12 z p
x
y
A B
D C
fig. 13
D F C
A E B
PREUNIVERSITARIO PREUTECH
DEPTO. MATEMÁTICA.
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5
x
150°
fig. 15
fig. 16
fig. 14
16. En la figura 14, ABCD cuadrilátero, la suma de los ángulos x e es:
A) 60°
B) 110°
C) 180°
D) 210°
E) Falta información
17. Respecto de la figura 15 es (son) verdadera(s):
I) = Ø
II) Cuadrilátero PQRS tiene dos lados iguales
III) QS es el menor segmento en la figura
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III
18. En el rombo de la figura 16. El valor del x mide:
A) 170°
B) 165°
C) 155°
D) 150°
E) Otro valor.
19. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) siempre verdadera(s)?
I) Los rombos tienen sus diagonales congruentes.
II) Si los lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el
cuadrilátero es un paralelogramo.
III) Si en un cuadrilátero las diagonales se cortan en un punto medio, entonces el
cuadrilátero es un rectángulo.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
S R
P Q
51
74
62
63
A
D
B
C
x
PREUNIVERSITARIO PREUTECH
DEPTO. MATEMÁTICA.
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6
fig. 18
fig. 19 50°
A
C D
B
x°
fig. 17
20. La figura 17, está compuesta por 5 cuadrados congruentes de lado a ¿Cuál es el
perímetro de la figura sombreada?
A) 5a
B) 10a
C) 12a
D) 14a
E) Otro valor.
21. En la figura 18, los cuadrados son congruentes. Con un área total de 63 cm2 ,¿cuál es
el perímetro de la figura 43?
A) 31 cm
B) 42 cm
C) 63 cm
D) 70 cm
E) Ninguna de las anteriores.
22. En la figura 19, ABCD rombo. ¿Cuál es el valor del x ?
A) 40º
B) 50º
C) 10º
D) 100º
E) Falta información.
PREUNIVERSITARIO PREUTECH
DEPTO. MATEMÁTICA.
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7
D C
B A
M Q
P
9 cm
3 cm
4 cm
B
C
A
D
E
fig. 20
fig. 22
fig. 23
23. En el rectángulo ABCD de la figura 20, M es el punto donde se cortan las diagonales.
¿Cuánto mide el trazo PQ?
A) 2 47 cm
B) 2 13 cm
C) 2 2 cm
D) 5, 0 cm
E) 4,5 cm
24. En la figura 21, el cuadrado PQRS está formado por el rectángulo A y por los
triángulos isósceles rectángulos congruentes B, C, D y E. ¿Cuál(es) de las siguientes
expresiones corresponde(n) a un área equivalente a las tres cuartas partes del área
del cuadrado?
I) A + B + C
II) 2(B + C + D + E)
III) A
2 + 2D + 2E
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo I, II y III
E) Ninguna.
25. En el Δ ABD de la figura 23, BC y DC son bisectrices de los ángulos exteriores. ¿Cuál
es el valor del x ?
A) 20°
B) 40°
C) 60°
D) 80°
E) 100°
A B
C D
60° 40°
x
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DEPTO. MATEMÁTICA.
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fig. 24
fig. 25
120°
A
C D
B
x –10° x
fig. 26
26. ¿En cuál(es) de los siguientes paralelogramos, al trazar sus diagonales, se forman
cuatro triángulos congruentes?
I) Rectángulo
II) Romboide
III) Rombo
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) Ninguna de ellas
27. En la figura 24 el valor del x es igual a
A) 45º
B) 60º
C) 90º
D) No se puede determinar.
E) Ninguna de las anteriores.
28. El trapecio ABCD de la figura 25, de bases AB y CD . ¿Cuál es la medida del x ?
A) 110°
B) 80°
C) 70°
D) 60°
E) 50°
29. En la figura 26, PQRS es un paralelogramo y las diagonales SQ y PR se intersectan en
T. ¿Cuál(es) de las siguientes congruencias es (son) siempre verdadera(s)?
I) ΔPTS ΔSTR
II) ΔPTS ΔRTQ
III) ΔPSR ΔRQP
A) Solo III
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
x
y
90
x
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fig. 27
A
C D
B
5x
2x
N Q O
M
P
fig. 28
30. Con "a" metros de alambre se cierra un sitio rectangular de 50 metros de longitud.
El área del sitio en metros cuadrados es:
A) 1
2 (a – 100)
B) 50
2 (a – 100)
C) a (a – 100)
D) a (a – 50)
E) Datos insuficientes.
31. En la figura 27, el rectángulo ABCD está dividido como se indica. Si DQ = DP = x, el
área del rectángulo AMOQ = 5x y el área del rectángulo ONCP = 2x, entonces se
puede afirmar que
I) El área del rectángulo MBNO = 10
II) El perímetro del rectángulo ABCD = 4x + 14
III) El área del rectángulo ABCD = x2 + 7x + 10
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
32. ¿Qué variación experimenta el perímetro de un cuadrado de lado "a"?, cuando cada
uno de sus lados disminuye al 50%.
A) Se reduce a la mitad
B) Se reduce a la cuarta parte
C) Aumenta a la mitad
D) Aumenta a la cuarta parte
E) Se mantiene constante
33. El área del cuadrado sombreado de la figura 28 es 4 cm2. Si AE=ED ;AB=3DC ¿Cuál
es el área de la figura ABCD?
A) 16 cm2
B) 24 cm2
C) 32 cm2
D) 64 cm2
E) 128 cm2
A B
CD
E
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10
D
C
B
A
fig. 30
fig. 29
A
C D
B
E
fig. 31
A M B
C D
N
34. En el trapecio rectángulo ABCD de la figura 29, E es punto medio de DB . ¿Cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)
I) Área ABC = Área DCB
II) Área DCB = Área DAE
III) Área DCB = Área DAE = Área ABE
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Ninguna de ellas
35. ABCD es un rombo en que el BAD mide 18° (fig. 30). ¿Qué parte de la suma de los
ángulos interiores del rombo es la medida del BCD ?
A) 1/10
B) 1/20
C) 9/50
D) 1/100
E) 9/100
36. En la figura 31, ABCD cuadrado de lado p: DCM y DCN isósceles congruentes de
base DC (M punto medio). ¿Cuál es el perímetro del rombo MCND?
A) 6p
B) 4p
C) 2p 5
D) p 5
E) 4p 5
37. Si al aumentar el ancho de un rectángulo en 3 cm., resulta un cuadrado cuya área es
81 cm2, entonces ¿Cuál es el área del rectángulo?
A) 108 cm2
B) 54 cm2
C) 36 cm2
D) 30 cm2
E) Falta información.
PREUNIVERSITARIO PREUTECH
DEPTO. MATEMÁTICA.
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11
fig. 32
18
4
A B
C D
12
fig. 34
fig. 33
38. En el cuadrado ABCD de la figura 32, ha sido dividido en 4 cuadrados congruentes y
éstos divididos en 4 cuadraditos congruentes ¿Qué porcentaje del área total es el
área achurada?
A) 25%
B) 25,25%
C) 31,25%
D) 45%
E) 75%
39. En la figura 33, ABCD es trapecio isósceles, CB mide:
A) 5
B) 3
C) 10
D) 15
E) Ninguna de las anteriores.
40. Se han dibujado cuatro cuadrados congruentes de lado 4 cm. y un triángulo como
se indica en la figura 34 ¿Cuál es el área de la parte achurada? (I: punto medio)
A) 16 cm2
B) 24 cm2
C) 32 cm2
D) 48 cm2
E) 64 cm2
41. Con 8 hojas de papel de 20 cm de largo por 10 cm de ancho se cubre en forma
exacta una superficie cuadrada. ¿Cuál es la medida de la superficie?
A) 2 mts2
B) 1,6 mts2
C) 0,16 mts2
D) 0,02 mts2
E) 0,4 mts2
A B
D C
A H
E
D I
F
G B
C
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DEPTO. MATEMÁTICA.
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12
fig. 35
C
D
E A
B
fig. 36
fig. 37
T U
S R
+ 10°
+ 15°
70°
42. En la figura 35, ABCD es rombo en que ADC mide 120°. Si CE=BC entonces la
medida CEB es
A) 15°
B) 20°
C) 25°
D) 30°
E) No se puede calcular.
43. En la figura 36, ABCD y DBEF son cuadrados y AB = a. ¿Cuánto mide la superficie
sombreada?
A)
2a 2
2
B) 2a2
C) a2 2
D)
2a
2
E) a2
44. En el paralelogramo RSTU de la figura 37. ¿Cuál es el valor de + ?
A) 75°
B) 95°
C) 125°
D) 135°
E) 165°
A B
C D E
F
PREUNIVERSITARIO PREUTECH
DEPTO. MATEMÁTICA.
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fig. 38
fig. 39
45. En el paralelogramo MNOP de la figura 38: L y S son puntos medios de los lados
respectivos; A, B y C
2 son áreas, entonces siempre se cumple:
I) C = 2A II) B = C
2 III) C = A + B
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
46. En la figura 39, ABCD rectángulo. ¿Cuál es el área del rectángulo ABCD?
A) 108 cm2
B) 204 cm2
C) 240 cm2
D) 300 cm
E) Otro valor.
47. En todo paralelogramo siempre se cumple que:
A) Las diagonales son congruentes.
B) Las diagonales son bisectrices.
C) Los lados consecutivos son congruentes.
D) Los ángulos opuestos son suplementarios.
E) Los ángulos consecutivos son suplementarios.
48. En el paralelogramo ABCD de la figura 40, las diagonales AC y BD se intersectan
en E. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) siempre verdadera(s) ?
I) AE + ED + DC = CE + EB + BC
II) AD + DC + CE = EA + AB + BC
III) DAE BAE
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
A B
C D E
20
9
12
A B
D C
E fig. 40
PREUNIVERSITARIO PREUTECH
DEPTO. MATEMÁTICA.
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14
fig. 41
1
A
D C
B
3
2
4
E
fig. 42
fig. 43
C
D
B A
E
49. En la figura 41, ABCD paralelogramo; 1 = 80° ; 2 = 55° ; 3 = 4 , entonces
AED es:
A) Equilátero
B) Obtusángulo
C) Solamente Isósceles
D) Sólo Rectángulo
E) Rectángulo e Isósceles
50. ¿Cuál es el área de la figura 42, si AB=10 cm, AE=EB, CB=2DE=8 cm?
A) 44 cm2
B) 62 cm2
C) 68 cm2
D) 70 cm2
E) 76 cm2
51. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera respecto del cuadrilátero ABCD de
la figura 43?
A) Si AC = BD entonces ABCD es
necesariamente un rectángulo.
B) Si AC BD entonces ABCD es
necesariamente un rombo.
C) Si AE = EC y BE = ED entonces
ABCD es necesariamente un paralelogramo.
D) Si AEB CED entonces ABCD es
necesariamente un deltoide.
E) Si DAB + v ABC = 180° entonces
ABCD es necesariamente un trapecio.
A
E
D B
C
PREUNIVERSITARIO PREUTECH
DEPTO. MATEMÁTICA.
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15
fig. 44
fig. 45
fig. 46
fig. 47
52. La figura 44 está formada por cuadrados congruentes ¿Cuál es el perímetro de la
zona achurada?
A) 20
B) 64
C) 80
D) 272
E) Otro valor.
53. Sea trapecio ABCD isósceles (fig. 45). Si la medida del BCD, es a la medida del
DAB; como 5 : 4, entonces la medida del es:
A) 40°
B) 60°
C) 80°
D) 100°
E) 160°
54. En el paralelogramo ABCD de la figura 46, se tiene que AB =20 cm., AD =10 cm. al
unir los puntos medios se forma un rombo que tiene por área:
A) 50 3 cm2
B) 100 cm2
C) 173 2 cm2
D) 200 cm2
E) Faltan datos.
55. ¿Cuánto mide AB en el trapecio de la figura 47?
A) 18 cm.
B) 24 cm.
C) 32 cm.
D) 9 cm.
E) Otro valor.
16
A B
C D
D
H
A
G
E
C
F
B
A B
C D 12
3
45º 45º
PREUNIVERSITARIO PREUTECH
DEPTO. MATEMÁTICA.
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16
fig. 49
fig. 48
D C
A B E 12
17
13
fig. 50
56. En el cuadrado ABCD de la figura 48, 1
AB=a ; AG= AC ; AC FE, entonces FE,4
en
función de a es igual a
A) a 2
B) a
32
C) a
82
D) a
42
E) a
22
57. ¿Cuál es la altura del romboide ABCD de la figura 49?
A) 5 cm
B) 8 cm
C) 10 cm
D) 12 cm
E) Otro valor.
58. ABCD es un cuadrado de lado 1 cm. ABE es equilátero y EFGB es un rectángulo.
Si EF = 3 AE , el perímetro total de la figura 50 es:
A) 11 cm
B) 12 cm
C) 13 cm
D) 15 cm
E) No se puede determinar.
A B
E
F
G
D C
E
G
F A B
D C
PREUNIVERSITARIO PREUTECH
DEPTO. MATEMÁTICA.
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17
fig. 51
B A
D C
P Q
M N
fig. 52
fig. 53
59. En el trapecio isósceles de la figura 51, AC y BD son las diagonales, M y N son los
puntos medios de los lados AD y BC respectivamente. Si la base AB es el triple de
la base CD y PQ = 5 cm, entonces la base AB mide
A) 5 cm
B) 12 cm
C) 14 cm
D) 15 cm
E) 20 cm
60. En la figura 52, ABCD es un cuadrado, Δ ABF y trapecio AFCD; CF = 1; AB =3,
entonces (área ABF) : (área AFCD) = ?
A) 2 : 1
B) 3 : 1
C) 1 : 3
D) 1 : 2
E) 2 : 3
61. En la figura 53, ABCD paralelogramo, ABE y CDF triángulos equiláteros. Si
AB = 3 BC = 12 cm, entonces ¿cuál es el perímetro de la figura AEBCFDA?
A) 56 cm
B) 40 cm
C) 80 cm
D) 104 cm
E) 120 cm
A B
D C
F
E
F
C
B A
D
PREUNIVERSITARIO PREUTECH
DEPTO. MATEMÁTICA.
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18
A B
D C
fig. 54
fig. 55
fig. 56
62. En la figura 54, ABCD y AEFG cuadrados, G es punto medio de DC . Si AD = 4 cm
y CH = 1 cm, entonces ¿cuál es el área sombreada?
A) 14m2
B) 25m2
C) 8 m2
D) 9 m2
E) 5 m2
63. ABCD romboide (fig. 55), ¿cuál(es) de las siguiente(s) afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I) Δ AEB y Δ BEC tienen igual área.
II) La razón entre el área del Δ AEB y el Δ ABC es 1 : 2.
III) El área del romboide ABCD es igual a la suma de las áreas del Δ AEB, Δ CEB
y Δ ADC
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) I, II y III
E) Ninguna de las anteriores.
64. En la figura 56: ABCD es un cuadrado. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s)?
I) α II) α ε β III) α β ε 180º
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II, III
D
F
H
G C
E
A
B
A B
D C
E
PREUNIVERSITARIO PREUTECH
DEPTO. MATEMÁTICA.
__________________________________________________________________
19
P
Q C
B A
D
O fig. 57
65. En la figura 57, M, P, N y Q son los puntos medios de los lados del rectángulo
ABCD. Si el área del PNO es 3 cm2 , entonces ¿a qué parte del área del rectángulo
corresponde el área sombreada de la figura?
A) 1
4
B) 1
2
C) 1
5
D) 2
3
E) 3
8
____________________________________________________________
PREUNIVERSITARIO PREUTECH
DEPTO. MATEMÁTICA.
__________________________________________________________________
20
CLAVES
____________________________________________________________ DEPTO. MAT./G.C. 02/PSU. MAT. 2015/CAG/cag.
1. D 11. B 21. B 31. E 41. C 51. C 61. A
2. D 12. E 22. B 32. A 42. E 52. B 62. D
3. C 13. A 23. D 33. A 43. E 53. C 63. D
4. B 14. C 24. C 34. E 44. B 54. B 64. E
5. B 15. D 25. C 35. B 45. E 55. A 65. B
6. B 16. E 26. B 36. C 46. B 56. E
7. B 17. D 27. D 37. B 47. E 57. D
8. A 18. D 28. C 38. C 48. B 58. A
9. B 19. B 29. D 39. A 49. E 59. D
10. B 20. C 30. B 40. D 50. A 60. D