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TALLER 3 GRADO 10
GEOMETRÍA ANALÍTICA
La geometría analítica es una rama de las matemáticas dedicada al estudio en profundidad de
las figuras geométricas y sus respectivos datos, tales como áreas, distancias, volúmenes,
puntos de intersección, ángulos de inclinación, etc. Para ello emplea técnicas básicas de
análisis matemático y de álgebra. Utiliza un sistema de coordenadas conocido como el Plano
cartesiano, que es bidimensional y está compuesto por dos ejes: uno de abscisas (eje x) y
otro de ordenadas (eje y). Allí se pueden estudiar todas las figuras geométricas que sean de
nuestro interés, asignando a cada punto de la misma un lugar puntual de coordenadas (x, y).
Así, los análisis de la geometría analítica usualmente comprenden la interpretación
matemática de una figura geométrica, es decir, la formulación de ecuaciones. O bien puede
ser lo contrario: la representación gráfica de una ecuación matemática. Esta equivalencia se
encuentra plasmada en la fórmula y = f(x), donde f es una función de algún tipo.
La geometría analítica es una de las herramientas conceptuales más útiles de la humanidad, y
hoy en día sus aplicaciones podemos verlas en, por citar unos ejemplos:
Los puentes colgantes. Desde los antiguos puentes colgantes de madera, hasta sus
versiones modernas con cables de acero, el principio geométrico de la parábola se
aplica en cada uno de ellos.
Las antenas parabólicas. Las antenas parabólicas para captar información satelital
tienen la forma de un paraboloide, generado por su reflector que gira sobre el eje,
persiguiendo la señal. Gracias a la propiedad de reflexión de la parábola, el disco de la
antena puede reflejar la señal satelital hacia el dispositivo de alimentación.
La observación astronómica. Los cuerpos celestes orbitan en una trayectoria que
describe una elipse, como lo dedujo Johannes Kepler (1571-1630), y no una
circunferencia, como creía Copérnico (1473-1543). Dichos cálculos fueron posibles sólo
empleando la Geometría analítica
Estas figuras tienen sus ecuaciones básicas,
las cuales son:
Las rectas se describen mediante la
fórmula ax + by = c.
Los círculos se describen mediante la
fórmula x2 + y2 = r2.
Las hipérbolas se describen mediante la fórmula xy = 1.
Las parábolas se describen mediante la fórmula y = ax2 + bx + c.
Las elipses se describen mediante la fórmula (
)
(
)
.
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: Dados dos puntos cualesquiera A(x1,y1), B(x2,y2),
definimos la distancia entre ellos, d(A,B), como la longitud del segmento que los separa.
Para encontrar el valor de la distancia entre dos puntos
se utiliza el teorema de Pitágoras para el plano
cartesiano, en donde la hipotenusa es igual a la raíz
cuadrada de la suma de los cuadrados de las restas de
las componentes que forman los puntos así:
( ) √( ) ( )
Ejemplo:
Calcula la distancia entre los puntos P1(7, 5) y P2(4, 1)
Del punto P1 obtenemos x1=7 y y1=5, del punto P2 se obtiene x2=4 y y2=1, ahora se
reemplazan estos valores en la fórmula para obtener la distancia entre los puntos.
( ) √( ) ( ) √( ) ( ) √ √
Lo que indica que la distancia entre los dos puntos es de 5 unidades.
ECUACIÓN DE LA RECTA
Para encontrar la ecuación de una recta, existen diferentes formas de encontrar entre ellas
están: Forma punto-pendiente, forma punto-punto, y forma general o implícita.
FORMA PUNTO-PENDIENTE: La ecuación que hemos visto se denomina forma
explícita de la ecuación de la recta, y nos permite hallar dicha ecuación cuando conocemos la
pendiente y la ordenada en el origen. Cuando sólo conocemos la pendiente, m, y las
coordenadas de otro de los puntos de la recta, (x1,y1), su ecuación es: ( ) esta
ecuación recibe el nombre de forma punto-pendiente de la ecuación de la recta. Ejemplo:
Halla la ecuación de la recta que pasa por P (-8,-5) y de pendiente m =
Para encontrar la ecuación, se debe reemplazar los valores en la ecuación y después
despejar la variable y. recordando que la pareja ordenada la primera componente representa
a xo y la segunda componente representa a y0 en la ecuación.
( )
( ( )) Se realiza la multiplicación de signos.
( ) Aplicamos la propiedad distributiva.
Despejamos la variable y.
Reducir términos semejantes y encontrar la ecuación de la recta.
Ecuación de la recta pedida.
RECTA QUE PASA POR DOS PUNTO: Sean P(x1,y1) y Q(x2,y2) dos puntos del plano. La
ecuación de la recta que pasa por estos puntos es ( )
( )( ), Esta ecuación
recibe el nombre de forma continua de la ecuación de la recta. Ejemplo: Halla la ecuación
de la recta que pasa por P(5,-9) y Q(6,8). Pasa a forma explícita y determina la pendiente y la
ordenada en el origen.
Para encontrar la ecuación de la recta primero se debe determinar los valores x0, x1, y0, y1.
Recordando que (x1,y1) y (x2,y2) cada uno representa un punto de la recta. Para nuestro caso
será: , ahora se reemplaza en la forma continua y obtenemos:
( ) ( ( ))
( ) Se realiza la multiplicación de signos.
( ) Efectuando las operaciones indicadas.
( ) se aplica la propiedad distributiva.
Despejando la variable y.
Reducir términos semejantes y obtener la ecuación de la recta.
Ecuación de la recta.
FORMULA GENERAL O IMPLICITA: La manera más habitual de representar rectas es la
forma general o implícita: donde A, B y C son números cualesquiera (al
menos A ó B deben ser diferentes de cero). Si B=0 se trata de una recta vertical de ecuación
x=-C/A. Si B no es cero la pendiente es -A/B.
Es simplemente pasar todas las variables y las cantidades numéricas de la ecuación afín a un
mismo lado del igual y al otro lado poner el 0 (cero). Ejemplo:
Ecuación afín, pasando la variable y al otro lado del igual, no olvide que
cuando los valores se pasan de un lado al otro en una ecuación los signos del valor que pasa
cambian, entonces la ecuación implícita quedará .
APLICACIONES
Las funciones lineales describen fenómenos en los que intervienen magnitudes directamente
proporcionales. La representación gráfica será una recta cuya pendiente nos informa de la
rapidez de la variación de una magnitud con respecto a la otra y la ordenada en el origen nos
informa sobre las condiciones iniciales. En la descripción de fenómenos reales es frecuente
que las magnitudes que se relacionan vengan dadas por números de tamaños muy diferentes,
por lo que al representarlas gráficamente habrá que escoger unas escalas adecuadas en los
ejes correspondientes.
ACTIVIDAD
1. Representa gráficamente las rectas de ecuaciones:
(1)
(2)
2. Halla la ecuación de la recta que se representa en el
siguiente plano cartesiano.
3. Calcula la forma general de la ecuación de la recta que pasa por el punto P (3,-2) y
cuya pendiente es m=-2.
4. Calcula la forma general de la ecuación de la recta que pasa por los puntos P (3,-2) y Q
(-2,-1).
5. Determina la pendiente y la ordenada en el origen de la recta de ecuación 3x+2y-2=0.
6. Determina la posición relativa de las rectas y=3x-2 e y=-2x-2. Si se cortan halla también
las coordenadas del punto de corte.
7. Averigua si los puntos A(-2,-4), B(0,-2) y C(3,1) están alineados.
8. Halla la ecuación de la recta paralela a y=3x-4 que pasa por el punto (-3,-10)
9. La arena contenida en un reloj de arena ocupa un volumen de 563 cm3 y el fabricante
indica que la velocidad de caída de la arena es de 7 cm3/s. Averigua cuánto tarda en
haber la misma cantidad de arena en las dos partes del reloj.
10. Halla la ecuación de la función que describe la siguiente frase: “Un móvil está a 3 km
de mí y se acerca a 2 km/h”.
11. Halla la ecuación de la función que describe la siguiente frase: “Un móvil está a mi lado
durante 1 hora y luego se aleja a 2 km/h”.
12. La gráfica siguiente representa la distancia a la que se encuentra una persona con
respecto a mí en relación con el tiempo transcurrido. Expresa con una frase su
significado.
ESTADÍSTICA
MEDIDAS DE POSICIÓN PARA DATOS AGRUPADOS
Las Medidas de Posición, también conocidas como Otras Medidas de Dispersión, son otras
medidas o métodos que resultan ser más prácticos para precisar ciertas situaciones en las
que se busca describir la variación o dispersión en un conjunto de datos. Estas medidas son
Cuartiles Qk dividen la distribución en cuatro partes iguales; Deciles Dk dividen la distribución
en diez partes y Percentiles Pk dividen la distribución en cien partes. Los cuartiles, como los
deciles y los percentiles, son en cierta forma una extensión de la mediana.
CUARTILES: Los cuartiles son medidas de posición que se determinan mediante
un método que establece la ubicación de los valores que dividen un conjunto de
observaciones en partes iguales. Es decir, en intervalos que comprenden el mismo número de
valores. Cuando la distribución contiene un número alto de intervalos o de marcas y se
requiere obtener un promedio de una parte de ella, se puede dividir la distribución en cuatro,
en diez o en cien partes.
Los cuartiles son los tres valores que dividen al conjunto de datos ordenados en cuatro partes
porcentualmente iguales.
Hay tres cuartiles denotados usualmente Q1, Q2, Q3. El segundo cuartil es precisamente la
mediana. El primer cuartil, es el valor en el cual o por debajo del cual queda un cuarto (25%)
de todos los valores de la sucesión (ordenada); el tercer cuartil, es el valor en el cual o por
debajo del cual quedan las tres cuartas partes (75%) de los datos. Como los cuartiles
adquieren su mayor importancia cuando contamos un número grande de datos y tenemos en
cuenta que en estos casos generalmente los datos son resumidos en una tabla de frecuencia.
La fórmula para el cálculo de los cuartiles cuando se trata de datos agrupados es la siguiente:
( )
Lk = Límite real inferior de la clase donde está el cuartil k
n = Número de datos
Fk = Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del cuartil k.
fk = Frecuencia absoluta de la clase del cuartil k
A = Amplitud del intervalo de la clase del cuartil k
DECILES: Los deciles son ciertos números que dividen la sucesión de datos ordenados en
diez partes porcentualmente iguales. Son los nueve valores que dividen al conjunto de datos
ordenados en diez partes iguales, son también un caso particular de los percentiles. Los
deciles se denotan D1, D2,..., D9, que se leen primer decil, segundo decil, etc.
Los deciles, al igual que los cuartiles, son ampliamente utilizados para fijar el
aprovechamiento académico. Los deciles se calculan mediante la fórmula.
( )
Dónde:
Lk = Límite real inferior de la clase donde está el decil k
n = Número de datos
Fk = Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del decil k.
fk = Frecuencia absoluta de la clase del decil k
A = Amplitud del intervalo de la clase del decil k
PERCENTILES: Los percentiles son, tal vez, las medidas más utilizadas para propósitos de
ubicación o clasificación de las personas cuando atienden características tales como peso,
estatura, etc. Los percentiles son ciertos números que dividen la sucesión de datos ordenados
en cien partes porcentualmente iguales. Estos son los 99 valores que dividen en cien partes
iguales el conjunto de datos ordenados. Los percentiles (P1, P2,... P99), leídos primer
percentil,..., percentil 99. Cuando los datos están agrupados en una tabla de frecuencias, se
calculan mediante la fórmula:
(
)
Dónde:
Lk = Límite real inferior de la clase donde está el decil k
n = Número de datos
Fk = Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del decil k.
fk = Frecuencia absoluta de la clase del decil k
A = Amplitud del intervalo de la clase del decil k
EJEMPLO
En la siguiente tabla se muestra el nivel salarial de algunos empleados de la empresa CP
Company. Determinación del primer cuartil, el séptimo decil y el 30 percentil y estime alguna
conclusión.
CLASES SALARIOS No DE EMPLEADOS X fx F h H %
1 200 – 300 85 250 21250 85 0.18 0.18 18%
2 300 – 400 90 350 31500 175 0.19 0.37 19%
3 400 – 500 120 450 54000 295 0.26 0.63 26%
4 500 – 600 70 550 38500 365 0.15 0.78 15%
5 600 – 700 62 650 40300 427 0.13 0.91 13%
6 700 – 800 36 750 27000 463 0.08 0.99 8%
TOTAL 463 212550 0.99 99%
Para obtener los cuartiles, deciles y percentiles primero debemos saber la amplitud del
ejercicio la cual es 100
Ahora determinamos la clase donde se encuentra el primer cuartil. Mediante (
); para k=1
(
)
Este valor se busca en la frecuencia acumulado, si allí no aparece se busca el mayor y más
cercano, en nuestro caso ese dato es 175, que se encuentra en la clase 2, por lo que los
datos de la formula será:
Lk=300; Fk=85; fk=90; A=100; reemplazamos en la formula.
( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
Lo que indica que el 25% de los empleados tienen un salario inferior a 334.2.
Ahora se obtiene el séptimo decil, para ello reemplazamos en (
), con k=7
(
)
Este valor se busca en la frecuencia acumulado, si allí no aparece se busca el mayor y más
cercano, en nuestro caso ese dato es 365, que se encuentra en la clase 4, por lo que los
datos de la formula será
Lk=500; Fk=295; fk=70; A=100; reemplazamos en la formula.
( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
Lo que indica que el 70% de los empleados tienen un salario inferior a 541.6.
Solo falta encontrar el percentil 30, para ello reemplazamos en (
)
(
)
Este valor se busca en la frecuencia acumulado, si allí no aparece se busca el mayor y más
cercano, en nuestro caso ese dato es 175, que se encuentra en la clase 2, por lo que los
datos de la formula será
Lk=300; Fk=85; fk=90; A=100; reemplazamos en la formula.
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )( )
Lo que indica que el 30% de los empleados tienen un salario inferior a 360.
DIAGRAMA BOX-PLOT
El Diagrama de Caja y bigotes (box and whisker plot
en inglés) es un tipo de gráfico que muestra un
resumen de una gran cantidad de datos en cinco
medidas descriptivas, además de intuir su
morfología y simetría. Este tipo de gráficos nos
permite identificar valores atípicos y comparar
distribuciones. Además de conocer de una forma
cómoda y rápida como el 50% de los valores
centrales se distribuyen.Se puede detectar
rápidamente los siguientes valores:
PRIMER CUARTIL: el 25% de los valores son menores o igual a este valor (punto 2 en
el gráfico anterior).
MEDIANA O SEGUNDO CUARTIL: Divide en dos partes iguales la distribución. De
forma que el 50% de los valores son menores o igual a este valor (punto 3 en el gráfico
siguiente).
TERCER CUARTIL: el 75% de los valores son menores o igual a este valor (punto 4 en
el gráfico siguiente).
RANGO INTERCUARTÍLICO (RIC): Diferencia entre el valor del tercer cuartil y el
primer cuartil.
No es de extrañar que en un conjunto de datos reales se muestren máximos muy altos o
mínimos muy bajos por lo que se considera que existen los valores raros. Las
ventajas principales de representar la distribución de los datos utilizando este método son:
Visualizar si la distribución de una variable es asimétrica o se aleja de la distribución
normal.
La facilidad al comparar distribuciones entre grupos. Aunque se tendrá que usar
técnicas estadísticas para establecer la significación de las diferencias percibidas.
INTERPRETACIÓN DEL GRÁFICO: En el gráfico superior podemos ver como se distribuyen
los precios de venta de las diferentes filiales de una empresa.
CAJA: Las dimensiones de la caja está determinada por la distancia del rango intercuartílico,
que es la diferencia entre el primer (punto 2 del gráfico) y tercer cuartil (punto 4 del gráfico). El
segmento que divide la caja en dos partes es la mediana (punto 3 del gráfico), que facilitará la
comprensión de si la distribución es simétrica o asimétrica.
Si la mediana se sitúa en el centro de la caja entonces la distribución es simétrica y
tanto la media, mediana y moda coinciden.
Si la mediana corta la caja en dos lados desiguales se tiene:
Asimetría positiva o segada a la derecha si la parte más larga de la caja es la
parte superior a la mediana. Los datos se concentran en la parte inferior de la
distribución. La media suele ser mayor que la mediana.
Asimetría negativa o sesgada a la izquierda si la parte más larga es la inferior a
la mediana. Los datos se concentran en la parte superior de la distribución. La
media suele ser menor que la mediana.
¡Ojo! Porque un lado de la caja sea más largo que otro, no quiere decir que ese lado contenga
más datos. Indica un rango más amplio, por lo que los datos estarán más dispersos. Un rango
menos amplio, indica que los datos están más próximos.
BIGOTES: La continuación de dos segmentos en la caja se denomina bigotes (whisker) que
determina el límite para la detección de valores atípicos. Los bigotes deben tener una longitud
máxima. Dicha longitud no debe ser superior al 150% del rango intercuartílico.
Habrá un límite superior (punto 6 del gráfico), que no podrá superar las 1,5 veces el RIC, si el
máximo no supera ese valor, la longitud del bigote será desde el tercer cuartil hasta el
máximo. Habrá un límite inferior (punto 7 del gráfico), que no podrá superar las 1,5 veces el
RIC, si el mínimo no supera ese valor, la longitud del bigote será desde el primer cuartil hasta
el mínimo.
VALORES ATÍPICOS: Los valores atípicos (outilers en inglés) son aquellos puntos que están
más allá del límite inferior o superior.
ACTIVIDAD
1. Completa la siguiente tabla y encuentra los cuartiles 3, decil 8, percentil 50 realiza el
respectivo diagrama box-plot.
CLASES DATOS f X fx F h H %
1 10 – 15 30
2 15 – 20 50
3 20 – 25 40
4 25 – 30 70
5 30 – 35 20
TOTAL 210
2. Completa la siguiente tabla y encuentra los cuartiles 2, decil 4, percentil 95 realiza el
respectivo diagrama box-plot.
CLASES DATOS f X fx F h H %
1 0 – 50 30
2 50 – 100 50
3 100 – 150 70
4 150 – 200 80
5 200 - 250 20
6. 250 - 300 60
TOTAL 310
FÍSICA
MOVIMIENTO BIDIMENSIONAL
Se le llama en dos dimensiones, porque la posición de la partícula
en cada instante, se puede representar por dos coordenadas,
respecto a unos ejes de referencia. El movimiento en 2
dimensiones es cuando la partícula se mueve tanto horizontal
como verticalmente. El movimiento de una partícula en dos
dimensiones es la trayectoria de la partícula en un plano (vertical,
horizontal, o en cualquier otra dirección del plano).Las variables a
las que está sometida la partícula son dos y por eso se le denomina movimiento en dos
dimensiones.
MOVIMIENTO SEMIPARABÓLICO
En un movimiento semiparabólico, cuando un objeto es lanzado con cierta inclinación
respecto a la horizontal y bajo la acción solamente de la
fuerza gravitatoria su trayectoria se mantiene en el plano
vertical y es parabólico. La resistencia del aire, la rotación
de la tierra, etc., no introducen afectaciones apreciables. Es
importante considerar durante todo el recorrido la
aceleración debido a que la gravedad permanece constante
y que el movimiento solo es de traslación.
- El movimiento horizontal del objeto es rectilíneo y uniforme
ya que en esa dirección la acción de la gravedad es nula y
consecuente, la aceleración también.
- En la dirección vertical sobre el objeto actúa la fuerza de gravedad que hace que el
movimiento sea rectilíneo uniformemente acelerado, con la aceleración constante.
- Los cuerpos se lanzan horizontalmente desde cierta altura y con una velocidad inicial (VO)
- El movimiento en "x" es independiente del movimiento en y.
- El tiempo de caída es variable que relaciona a los dos movimientos (MU y MUA)
Las fórmulas utilizadas son:
Espacio recorrido en el eje horizontal. También se puede obtener
Espacio recorrido en el eje vertical. También se puede obtener
La velocidad en el eje horizontal.
La velocidad en el eje vertical.
√
tiempo en cualquier momento del movimiento.
√ velocidad en cualquier momento del movimiento.
Ejemplo: Un proyectil es lanzado horizontalmente desde una altura de 36 m con velocidad de
45 m/s. Calcula:
a) El tiempo que dura el proyectil en el aire.
√
√
( )
√
√
b) El alcance horizontal del proyectil.
( )
c) La velocidad que posee el proyectil al llevar al suelo.
(
) ( )
MOVIMIENTO PARABÓLICO
Se denomina movimiento parabólico al movimiento realizado por cualquier
objeto cuya trayectoria describe una parábola, el cual corresponde con la
trayectoria ideal de un proyectil que se mueve en un medio que no ofrece
resistencia al avance y que está sujeto a un campo gravitatorio uniforme. El
movimiento parabólico es un ejemplo de un movimiento realizado por un
objeto en dos dimensiones o sobre un plano. Puede considerarse como la
combinación de dos movimientos que son un movimiento horizontal
uniforme y un movimiento vertical acelerado. Al lanzar una piedra al aire, la
piedra intenta realizar una curva, al realizar esta inmediatamente choca con
el suelo y la piedra se para, pero su trayectoria es idéntica a una parábola. Por ello utilizamos
la ecuación de una parábola y lo llamamos "tiro parabólico".
El movimiento parabólico puede ser analizado como la composición de dos movimientos
rectilíneos: un movimiento rectilíneo uniforme horizontal y un movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado vertical (Caida libre o tiro vertical).
El tiro parabólico tiene las siguientes características:
Conociendo la velocidad de salida (inicial), el ángulo de inclinación inicial y la diferencia
de alturas (entre salida y llegada) se conocerá toda la trayectoria.
Los ángulos de salida y llegada son iguales (siempre que la altura de salida y de
llegada sean iguales).
La mayor distancia cubierta o alcance se logra con ángulos de salida de 45º.
Para lograr la mayor distancia fijado el ángulo el factor más importante es la velocidad.
Se puede analizar el movimiento en vertical independientemente del horizontal.
Formulas utilizadas en el movimiento parabólico:
Ejemplo: Un portero saca el balón desde el césped a una velocidad de 26 m/s. Si la pelota
sale del suelo con un ángulo de 40° y cae sobre el campo sin que antes lo toque ningún
jugador, calcular:
Altura máxima del balón
Como la altura máxima depende de la velocidad del objeto en el eje vertical debemos
encontrar la velocidad en y.
( )
Ahora encontramos la altura
( )
(
)
(
)
(
( ))
(
)
Distancia desde el portero hasta el punto donde caerá en el campo.
(
)
( ( ))
( )
Tiempo en que la pelota estará en el aire
(
) (
( )
) (
) ( )
ACTIVIDAD
1. Desde un bombardero que viaja con una velocidad horizontal de 420 km/h a una altura
de 3500 m se suelta una bomba con el fin de explotar un objetivo que está situado
sobre la superficie de la Tierra. ¿Cuántos metros antes de llegar al punto exactamente
encima del objetivo debe ser soltada la bomba, para dar en el blanco?
2. Una pelota sale rodando del borde de una mesa de 1,25 m de altura. Si cae al suelo
en un punto situado a 1,5 m del pie de la mesa, ¿qué velocidad llevaba la pelota al salir
de la mesa?
3. Un avión que vuela horizontalmente a una altura de 2 km y con una velocidad de 700
km/h sufre una avería al desprendérsele un motor. ¿Qué tiempo tarda el motor en
llegar al suelo? ¿Cuál es su alcance horizontal?
4. Un jugador de Fútbol patea el balón con una velocidad de 30 m/s, y éste mismo lleva
un ángulo de elevación de 48° respecto a la horizontal. Calcule; a) Altura, b) Alcance, c)
Tiempo que permanece en el aire.
5. Se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 80 m/s y un ángulo de 30°, por
encima de la horizontal. Calcular: a) Posición y velocidad después de los 6s b) Tiempo
para alcanzar la altura máxima c) Alcance horizontal.
6. Una máquina lanza un proyectil a una velocidad inicial de 110 m/s , con ángulo de 35°,
Calcular: a) Posición del proyectil a los 6s, b) Velocidad a los 6s, c) Tiempo en la
máxima altura, d) Tiempo total del vuelo, e) Alcance logrado.
El presente trabajo tiene un plazo de entrega el 20 de Noviembre del 2020. Podrás entregar el
taller en el correo [email protected] o al whatsaap 3152000438, como también solicitar la
asesoría pertinente.
