1¿ Indique cuales de las siguientes ecuaciones sondiferenciales

lineales homogeneasconcoeficientes constantes y cuales sondiferencial es

nohomogeneas y resuelvalas .

a¿ x dydx

+x3 y=0 Ecuaciondiferencial lineal homogenea

→dydx

+x2 y=0

→dyy

+x2dx=0

→∫ dyy +∫ x2dx=C1

→ ln y+13x3=C1

b¿ y ¿2 x'+2 xy=0 Ecuaciondiferencial lineal homogenea

→ x'+ 2yx=0

→dxdy

+ 2yx=0

→dxx

+ 2dyy

=0

→∫ dxx +2∫ dyy =C

→ ln x+2 ln y=C

→x y2=C1

c ¿ y ' '− y '−6 y=0

Ecuaciondiferencial lineal homogenea concoeficientes constantes

sealaecuacion auxiliar :m2−m−6=0

→ (m−3 ) (m+2 )=0

→m=3 ;m=−2

→ y ( x )=C1 e3 x+C2 e

−2x

d ¿ y ' '−9 y=54 Ecuacion diferenciallineal nohomogenea

primerohallemos laecuacion homogeneaasociada

y ' '−9 y=0

sealaecua cionauxiliar :m2−9=0

→(m−3)(m+3)=0

→m=3 ;m=−3

yh ( x )=C1 e3x+C2 e

−3x

paradeterminar lasolucion particular utilizaremoselmetodode

los coeficientes indeterminados

supongamos y p=A→ y' p=0→ y' ' p=0

sustituyendoen laecuacion dada…

0−9 A=54→A=−6

luegola solucion particular esta dada por y p=−6

por tanto la solucion general es :

y g ( x )=C1 e3 x+C2 e

−3 x−6

e ¿ y'− yx=5 x

Ecuaciondiferencial lineal nohomogenea

inicialmentedeterminamos la solucionhomogeneaasociada…

y '− yx=0

→dyy

−xdx=0

→ ln y−12x2=C

→ y=C1e12x2

ahora , supongamosque la solucion particular esta dada por :

y p ( x )=Ax+B→y ' p (x )=A , sustituyendo…

→A−( Ax+B ) x=5 x

→A−A x2−Bx=5x , resolviendoel sistemade ecuaciones…

B=−5 , A=0

la solucion particular esta dada por : y p=−5

luegola solucion general es : yg ( x )=C1e12x2

−5

2¿Demostrar que x3;|x|3 ;son solucioneslinealmente independientes

de la sig uienteecuacion diferencial :

x2 y ' '−4 x dydx

+6 y=0 , enel intervalo(−∞ ,∞)

Debemos demostrar que las soluciones propuestas sonlinealmente

independientes ;es decir , que suwronskiano sea diferentede cero

W (x3 ,|x|3 )=| x3 |x|3

3x23|x|2 x|x| |=| x3 |x|3

3 x2 3|x|x|=3x 4|x|−3 x4|x|=0vemosqueW (x3 ,|x|3 )=0 , pero esto nonosdice que las funciones

sealinealmente dependientes

verificamosque las soluciones dadassatisfacen la ecuaciondiferecial

sea y=x3→ y '=3 x2→ y ' '=6 x , sustituyendo…

x2 (6 x )−4 x (3x2 )+6 x3=0

→6 x3−12x3+6 x3=0

→0=0

sea y=|x|3→ y '=3|x|x→ y ' '=3(|x|+ x2|x|)=6 x2

|x|

sutituyendo…

x2( 6x2|x| )−4 x (3|x|x )+6|x|3=0

6 x4

|x|−12x2|x|+6|x|3=0

6 x4−12 x2 (x2 )+6 x4

|x|=0

12x4−12x4

|x|=0

0=0

3¿Resolver la siguiente ecuacion diferencial por elmetodo devariacion

de parametros :

a¿ y ' '−x y '+x2 y=4 x ln x

b¿Resolver las siguientes ecuacionesdiferenciales por elmetodode

coeficientes indeterminados :

b¿ y ' '−2 y '+5 y=24e3x

Primero hallamosla solucionhomogeneaasociada…

→ y ' '−2 y '+5 y=0

→m2−2m+5=0 Ecuacionauxili ar

→m=2±√4−202

=1±2i

→ yh ( x )=ex (C1sin 2 x+C2 cos2 x )

parahallar lasolucion particular , supongamosque :

y p ( x )=Ae3x→ y ' p ( x )=3 Ae3x→y ' ' p ( x )=9 A e3 x , sustituyendo…

→9 A e3 x−6 Ae3x+5 A e3 x=24e3x

→8 A e3 x=24e3x→A=3

la solucion particular esta dada por yp ( x )=3e3x

la solucion general es : y g ( x )=ex (C1 sin2 x+C2 cos2 x )+3e3x

4 ¿ Encontar unoperador diferencial que anule a:

a¿ x+3 xy e6 x=¿

el operador anulador es (D−6 )2=D 2−12D+36

Demostracion :

D2 [ x (1+3 y ) e6 x ]=DD [ x (1+3 y ) e6 x ]=D [ (1+3 y ) (1+6 x ) e6 x ]

¿ (1+3 y ) (12+36 x ) e6x

−12D [ x (1+3 y ) e6 x ]=−12 (1+3 y ) (1+6 x ) e6 x

36 x (1+3 y ) e6x=36 x (1+3 y )e6 x

→ (D2−12D+36 ) [ x (1+3 y ) e6x ]

¿ (1+3 y ) (12+36 x ) e6x−12 (1+3 y ) (1+6 x ) e6x+36 x (1+3 y ) e6x

¿ (1+3 y ) e6 x (12+36 x−12−72x+36 x )=0

asi concluye la demostracion

b¿ (x3−2 x ) (x2−1 )=x5−x3−2 x3+2x=x5−3x3+2 x

El operador anulador es D6

Demostracion :

D6=D 5D(x5−3 x3+2 x)

¿D5(5 x4−9x2+2)

¿D4 (20x3−18x )

¿D3(60 x2−18)

¿D2(120 x)

¿D(120)

¿0

asi concluye la demostracio n

c ¿ xex Eloperador anulador es (D−1 )2

Demsotracion :

(D−1 )2 x ex=(D2−2D+1)x ex

→D2 x ex=D ( x+1 )ex= (x+2 ) ex

→−2D (x ex)=−2 ( x+1 )ex

(D2−2D+1 ) x ex=( x+2 ) ex−2 (x+1 ) ex+x ex

(D2−2D+1 ) x ex=ex (x+2−2 x−2+x )

(D2−2D+1 ) x ex=ex (0 )=0

asi concluye la demostracion

5¿Resolver la siguiente ecuaciondiferencial :

x2 y ' '+ x y '+ y=0

sea y=xr→dydx

=r xr−1→d2 yd x2

=r (r−1 ) xr−1 , sustituyendo…

→r (r−1 ) xr+r xr+ xr=0

→xr ( r2+1 )=0

→r=± i , y ( x )=C1cos ln x+C2sin ln x

ProblemaPropuest o

Considereunamasade30 kgqueestá unidad auna pared por mediodeunresorte de

constante k=30Nm. Si sealarga elresorte unadistancia de0.18m y se sueltaa

partirdelreposo ,determine la posición y la velocidad de lamasa enel tiempo ,la

frecuenciadeoscilación , laamplitud , el ángulode fase y las energías potencial y

cinética enel tiempot .

Datos :

x (0 )=0,18 , x ' (0 )=0 ,m=30kg , k=30N /m

la ecuaciondiferencial que describeelmovimineto es :

30d2 xd t2

=−30 x→ d2 xd t2

+x=0

la ecuacioncaracteristica es :m2+1=0

la solucionesta dada por : x (t )=C1 sin t+C2 cos t

Aplicandolas condiciones iniciales…

x (0 )=0,18=C2

x ' ( t )=C1cos t−C2 sin t

x ' (0 )=0=C1

la solucion particular del problemaes :

x (t )=0.18cos t

v (t )=x ' (t )=−0.18sin t

el Periodo es2π seg por oscilacio n

la frecuecia esunaoscilacion por2 π seg

la amplitudes 0.18m

la energiaen fu ncion deltiempo es :E ( t )=mv2 ( t )=30 (−0.18sin t )2

E ( t )=0.972sin2 t