Tai Lieu Tong Hop Cac Dang Toan Tuyen Sinh 10 Co Minhhoa de Cac Nam Qua

8/6/2019 Tai Lieu Tong Hop Cac Dang Toan Tuyen Sinh 10 Co Minhhoa de Cac Nam Qua

1/70

CN BC HAIA.KIN THC C BN1.Khi nim

x l cn bc hai ca s khng m a x2 = a. K hiu: x a .2.iu kin xc nh ca biu thc A

Biu thc A xc nh A 0 .3.Hng ng thc cn bc hai

2 A khi A 0A AA khi A 0

4.Cc php bin i cn thc+) A.B A. B A 0; B 0

+) A A

A 0; B 0B B

+) 2A B A B B 0

+) A 1

A.B A.B 0; B 0B B

+)

22m. A Bm

B 0; A BA BA B

+)

n. A Bn

A 0; B 0; A B

A BA B

+) 2

A 2 B m 2 m.n n m n m n

vim n A

m.n B

BI TPBi 1: Thc hin php tnh:

1) 2 5 125 80 605 ;

2)10 2 10 8

5 2 1 5

;

3) 15 216 33 12 6 ;

4)2 8 12 5 27

18 48 30 162

;

5)2 3 2 3

2 3 2 3

;

6)16 1 4

2 3 63 27 75

;

7)4 3

2 27 6 753 5

;

8) 3 5. 3 5

10 2

9) 8 3 2 25 12 4 192 ;

10) 2 3 5 2 ;


2/70


3/70

Bi 1: (1,5 im)BNH NH

Cho 2 1 111 1

x x xP

xx x x x

a. Rt gn Pb. Chng minh P


4/70

1/.Khng dng my tnh, hy tnh gi tr biu thc sau :

14 - 7 15 - 5 1A = + :

2 -1 3 -1 7 - 5

2/.Hy rt gn biu thc:

x 2x - xB = -

x -1 x - x, iu kin x > 0 v x 1

Bi 1(2,5 im) THI BNH

Cho biu thc 1 14 2 2

xA

x x x

, vi x0; x 4

1) Rt gn biu thc A.

2) Tnh gi tr ca biu thc A khi x=25.

3) Tm gi tr ca x 13

A .

Bi 1.(2,0 im) THI BNH

1. Rt gn cc biu thc sau: a)3 13 6

2 3 4 3 3

b)x y y x x y

xy x y

vi x > 0 ; y > 0 ; x y

Cu 6: VNH PHC

Rt gn biu thc: 22 48 75 (1 3)A

Bi 1. ( 3 im ) NNG

Cho biu thca 1 1 2

K :a 1a 1 a a a 1

a) Rt gn biu thc K.b) Tnh gi tr ca K khi a = 3 + 2 2 c) Tm cc gi tr ca a sao cho K < 0.

a) PH YN Trc cn mu :25 2

; B =7 2 6 4 + 2 3A

Bi 1:(1,5 im) hng yna) Rt gn biu thc: A = 27 12

Bi 1 (1,5 im) QUNG TR

Cho biu thc A = 1242

13279 xxx vi x > 3


5/70


6/70

Cu 3: ( 2 im) Bc Ninh

Cho biu thc: A =2

2 1 3 11

3 3 9

x x x

x x

a/ Rt gn biu thc A.b/ Tm x A < 2.

c/ Tm x nguyn A nguyn.

B Cu III: (1,0 im) Bc giang

Rt gn:

11

11 x

xx

x

xxA Vi 1;0 xx

Bi 2: (2,0 im) K LK

1/ Rt gn biu thc 2 2A ( 3 2) ( 3 2)

2/ Cho biu thc x 2 x 1 3 x 1 1B : 1x 1 x 3 ( x 1)( x 3) x 1

A.Rt gn biu thc B.B.Tm cc gi tr nguyn ca x biu thc B nhn gi tr nguyn .

Bi 1 (2,0 im): Qung Bnh Cho biu thc:

N=1

1

1

1

n

n

n

n; vi n 0, n 1.

a. Rt gn biu thc N.b. Tm tt c cc gi tr nguyn ca n biu thc N nhn gi tr nguyn.

Bi 3: (1,0 di m) I HC TY NGUYN

Rt g n bi u th cy x x x y y

P (x 0; y 0)1

xy

.

i3: Cho biu thcx 2 1 10 x

B = : x 2x 4 2 x x 2 x 2

a) Rt gn biu thc B;b) Tm gi tr ca x A > 0.

Bi4: Cho biu thc1 3 1

C =

x 1 x x 1 x x 1

a) Rt gn biu thc C;b) Tm gi tr ca x C < 1.

Bi5: Rt gn biu thc :

a)2 2

2 2

x 2 x 4 x 2 x 4D =

x 2 x 4 x 2 x 4

; b)

x x x xP = 1 1

x 1 x 1

;


7/70

c) 21 x 1

Q = :x x x x x x

; d)x 1 2 x 2

H =x 2 1

Bi6: Cho biu thc

1 1 a 1M = :

a a a 1 a 2 a 1

a) Rt gn biu thc M;b) So snh M vi 1.

Bi7: Cho cc biu thc2x 3 x 2

P =x 2

v

3x x 2x 2Q =

x 2

a) Rt gn biu thc P v Q;b) Tm gi tr ca x P = Q.

Bi 8: Cho biu thc

2x 2 x x 1 x x 1

P = x x x x x

a) Rt gn biu thc Pb) So snh P vi 5.

c) Vi mi gi tr ca x lm P c ngha, chng minh biu thc 8P

ch nhn ng m

gi tr nguyn.

Bi9: Cho biu thc3x 9x 3 1 1 1

P = :x 1x x 2 x 1 x 2

a) Tm iu kin P c ngha, rt gn biu thc P;b) Tm cc s t nhin x

1P

l s t nhin;

c) Tnh gi tr ca P vi x = 4 2 3 .

Bi10: Cho biu thc :x 2 x 3 x 2 x

P = : 2x 5 x 6 2 x x 3 x 1

a) Rt gn biu thc P;

b) Tm x 1 5

P 2 .

Ch II

HM S V THI..Tnh cht ca hm s bc nht y = ax + b (a 0)

-ng bin khi a > 0; nghch bin khi a < 0.


8/70

N TUYN SINH 10

2

- th l ng thng nn khi v ch cn xc nh hai im thuc th.+Trong trng hp b = 0, th hm s lun i qua gc ta .+Trong trng hp b 0, th hm s lun ct trc tung ti im b.- th hm s lun to vi trc honh mt gc , m tg a .- th hm s i qua im A(xA; yA) khi v ch khi yA = axA + b.

II.im thuc ngng i qua im.im A(xA; yA) thuc th hm s y = f(x) yA = f(xA).V d 1: Tm h s a ca hm s: y = ax2 bit th hm s ca n i qua im

A(2;4).Gii:

Do th hm s i qua im A(2;4) nn: 4= a.22 a = 1V d 2: Trong mt phng ta cho A(-2;2) v ng thng (d) c phng trnh:

= -2(x + 1). ng thng (d) c i qua A khng?Gii:

Ta thy -2.(-2 + 1) = 2 nn im A thuc v o ng thng (d) III.Quan h gia hai ng thng.Xt hai ng thng: (d1): y = a1x + b1 ;

(d2): y = a2x + b2 vi a1 0; a2 0.-Hai ng thng song song khi a1 = a2 v b1 b2.-Hai ng thng trng nhau khi a1 = a2 v b1 = b2.-Hai ng thng ct nhau khi a1 a2.

+Nu b1 = b2 th chng ct nhau ti b1 trn trc tung.+Nu a1.a2 = -1 th chng vung gc vi nhau.

IV.Cch tm giao im ca hai ng y = f(x) v y = g(x).Bc 1: Tm honh giao im l nghim ca phng trnh f(x) = g(x) (II)Bc 2: Ly nghim thay vo 1 trong hai cng thc y = f(x) hoc y = g(x) tm

tung giao im.Ch : S nghim ca phng trnh (II) l s giao im ca hai ng trn.

V.Tm iu kin 3 ng thng ng qui.Bc 1: Gii h phng trnh gm hai ng thng khng cha tham s tm

(x;y).Bc 2: Thay (x;y) va tm c vo phng trnh cn li tm ra tham s .

VI.Tnh cht ca hm s bc hai y = ax2

(a 0)-Nu a > 0 th hm s nghch bin khi x < 0, ng bin khi x > 0. Nu a < 0 th hm s ng bin khi x < 0, nghch bin khi x > 0.- th hm s l mt Parabol lun i qua gc ta :

+) Nu a > 0 th parabol c im thp nht l gc ta .+) Nu a < 0 th Parabol c im cao nht l gc ta .

- th hm s i qua im A(xA; yA) khi v ch khi yA = axA2.


9/70

N TUYN SINH 10

3

VII.V tr ca ng thng v parabol-Xt ng thng x = m v parabol y = ax2:

+) lun c giao im c ta l (m; am2).-Xt ng thng y = m v parabol y = ax2:

+) Nu m = 0 th c 1 giao im l gc ta .

+) Nu am > 0 th c hai giao im c honh l x = ma

+) Nu am < 0 th khng c giao im.VIII.Tm ta giao im ca (d) v (P).

Bc 1: Tm honh giao im l nghim ca phng trnh:cx2= ax + b (V)

Bc 2: Ly nghim thay vo 1 trong hai cng thc y = ax +b hoc y = cx2 tm tung giao im.

Ch : S nghim ca phng trnh (V) l s giao im ca (d) v (P).

IV.Tm iu kin (d) v (P).a) (d) v (P) ct nhau phng trnh (V) c hai nghim phn bit.

b) (d) v (P) tip xc vi nhau phng trnh (V) c nghim kp.c) (d) v (P) khng giao nhau phng trnh (V) v nghim .

X.Vit phng trnh ng thng y = ax + b bit.1.Quan h v h s gc v i qua im A(x0;y0)

Bc 1: Da vo quan h song song hay vung gc tm h s a.Bc 2: Thay a va tm c v x0;y0 vo cng thc y = ax + b tm b.

2.Bit th hm s i qua im A(x1;y1) v B(x2;y2).

Do th hm s i qua im A(x1;y1) v B(x2;y2) nn ta c h phng trnh:

Gii h phng trnh tm a,b.3.Bit th hm s i qua im A(x0;y0) v tip xc vi (P): y = cx

2(c 0).

+) Do ng thng i qua im A(x0;y0) nn c phng trnh :y0 = ax0 + b (3.1)

+) Do th hm s y = ax + b tip xc vi (P): y = cx 2 (c 0) nn:Pt: cx2 = ax + b c nghim kp

(3.2)+) Gii h gm hai phng trnh trn tm a,b.

XI.Chng minh ng thng lun i qua 1 im c nh ( gi s tham s l m).+) Gi s A(x0;y0) l im c nh m ng thng lun i qua vi mi m, tha

x0;y0 vo phng trnh ng thng chuyn v phng trnh n m h s x0;y0 nghimng vi mi m.


10/70

N TUYN SINH 10

4

+) ng nht h s ca phng trnh trn vi 0 gii h tm ra x0;y0.XII.Mt s ng dng ca th hm s.1.ng dng vo phng trnh.2.ng dng vo bi ton cc tr.

bi tp v hm s.Cu IV: (1,5) C tho Trong mt phng to Oxy cho hm s y = ax2 c th (P).

1. Tm a, bit rng (P) ct ng thng (d) c phng trnh y = -x -3

2ti im A c

honh bng 3. V th (P) ng vi a va tm c.2. Tm to giao im th hai B (B khc A) ca (P) v (d).

Bi 2: (2,25) hue

a) Cho hm s y = ax + b. Tm a, b bit rng th ca hm s cho song song vng thng y = -3x + 5 v i qua im A thuc Parabol (P): y = 1

2x2 c hong bng -2.

b) Khng cn gii, chng t rng phng trnh ( 3 1 )x2 - 2x - 3 = 0 c hai nghimphn bit v tnh tng cc bnh phng hai nghim .Cu II: HCM

a) V th (P) ca hm s y =2

2v ung thng (d): y = x + 4 trn cng mt h

trc to .b) Tm to giao im ca (P) v (d) bng php tnh.

Bai 2: (2,50 iem)KH

Cho Parabol (P) : y = x2 va ng thang (d): y = mx 2 (m la tham so, m 0 )

a. Ve o th (P) tren mat phang Oxy.

b. Khi m = 3, tm toa o giao iem cua (p) va (d).

c. Goi A(xA; yA), B(xB; yB) la hai giao iem phan biet cua (P) va (d). tm cac gia tr

cua m sao cho yA + yB = 2(xA + xB) 1

B 1: H Tnh1. Trong h trc to Oxy, bit ng thng y = ax + 3 i qua im M(-2;2). Tm h

s aBai 2: (2,0 iem) BNH NH e chnh thc


11/70

N TUYN SINH 10

5

1. Cho ham so y = ax + b. tm a, b biet o th ham so a cho i qua hai iemA(-2; 5) va B(1; -4).

2. Cho ham so y = (2m 1)x + m + 2a. tm ieu kien cua m e ham so luon nghch bien.

b. Tm gia tr m e o th ham so cat truc hoanh tai iem co hoanh obang 2

3

Bi 2 (3.0 im ) QUNG NAMCho hm s y = x2 v y = x + 2a) V th ca cc hm s ny trn cng mt mt phng ta Oxy

b) Tm ta cc giao im A,B ca th hai hm s trn bng php tnhc) Tnh din tch tam gic OAB

Bi 3. (1,5 im) QUNG NINH

Cho hm s : y = (2m 1)x + m + 1 vi m l tham s v m #1

2 . Hy xc nh m trong mi trnhp sau :

a) th hm s i qua im M ( -1;1 )b) th hm s ct trc tung, trc honh ln lt ti A , B sao cho tam gic OAB cn.

HI PHNG Tm m ng thng y = 3x6 v ng thng 3y x m2

ct nhau ti mt

im trn trc honhBi 3: (3,0 im) KIN GIANG

a) Cho hm s y = -x2 v hm s y = x 2. V th hai hm s trn cng h trc t

. Tm ta giao im ca hai th trn bng phng php i s .

b) Cho parabol (P) :2x

y4

v ng thng (D) : y = mx - 32

m 1. Tm m (D) ti

xc vi (P) . Chng minh rng hai ng thng (D1) v (D2) tip xc vi (P) v h

ng thng y vung gc vi nhau .

Bi 2: (1,5 im) AN GIANG1/. Cho hai ng thng 1d : y = (m+1) x + 5 ; 2d : y = 2x + n. Vi gi tr no ca m,

n th 1d trng vi 2d ?

2/.Trn cng mt phng ta , cho hai th (P): y 2x

3; d: y = 6 x . Tm ta

giao im ca (P) v d bng php ton .


12/70

N TUYN SINH 10

6

Bi 2 (2 im) THI BNH Cho Parabol (P) : y= x2 v ng thng (d): y = mx-2 (m l

tham s m 0)

a/ V th (P) trn mt phng to xOy.

b/ Khi m = 3, hy tm to giao im (P) v (d) .c/ Gi A(xA; yA), B(xA; yB) l hai giao im phn bit ca (P) v ( d). Tm cc gi tr

ca m sao cho : yA + yB =2(xA + xB ) -1 .

Bi 3.(2,0 im)THI BNH

Trong mt phng ta Oxy, cho ng thng (d): y k 1 x 4 (k l tham s) v

parabol (P): 2y x .

1. Khi k 2 , hy tm to giao im ca ng thng (d) v parabol (P);

2. Chng minh rng vi bt k gi tr no ca kth ng thng (d) lun ct parabol (Pti hai im phn bit;

3. Gi y1; y2 l tung cc giao im ca ng thng (d) v parabol (P). Tm k sacho: 1 2 1 2y y y y .

Bi 2 (1,5 im) QUNG TRCho hm s y = ax + b.Tm a, b bit th ca hm s i qua im (2, -1) v ct trc honh ti im c

honh bng2

3 .

Bi 3 (2,5 im) THANH HATrong mt phng ta Oxy cho parabol (P): y = x2 v im B(0;1)1. Vit phng trnh ng thng (d) i qua im B(0;1) v c h s k.2. Chng minh rng ng thng (d) lun ct Parabol (P) ti hai im phn bit E vF vi mi k.3. Gi honh ca E v F ln lt l x1 v x2. Chng minh rng x1

.x2 = - 1, t suy ra tam gic EOF l tam gic vung.

Bi 2:(1,5 im)Hng YnCho hms bc nht y = mx + 2 (1)a) V th hm skhi m = 2b) Tm m th hm s(1) ct trc Ox v trc Oy ln lt ti A v B sao cho tam

gic AOB cn.Cu 2(1,5 im) QUNG TR

Trong mt phng to Oxy cho hm s y = -2x + 4 c th l ng thng (d).a) Tm to giao im ca ng thng (d) vi hai trc to

b) Tm trn (d) im c honh bng tung .


13/70

N TUYN SINH 10

7

Cu II : (2,0 im) Hi dng

1) Cho hm s y = f(x) = 21

x2

. Tnh f(0); f 2 ;1

f2

; f 2 Bi 1:(2im)BNH THUN

Cho hai hm s y = x 1 v y = 2x + 51/ V trn cng mt mt phng to th ca hai hm s cho.2/ Bng php tnh hy tm to giao im ca hai th trn.

2. Bc giang Hm s y=2009x+2010 ng bin hay nghch bin trn R? V sao2. Bc giang Cho hm s y = x -1. Ti x = 4 th y c gi tr l bao nhiu?

Bi 2 (1,5 im): qung bnhCho ba ng thng (d1): -x + y = 2; (d2): 3x - y = 4 v (d3): nx - y = n - 1;

n l tham s.a) Tm ta giao im N ca hai ng thng (d1) v (d2).b) Tm n ng thng (d3) i qua N.

Bi 2: (3,0 im) I HC TY NGUYNCho hm s : 2y x c th (P) v hm s y = 2x + m c th (d) .

1/ Khi m = 1. V th (P) v (d) trn cng mt h trc to .2/ Tm to giao im ca (P) v (d) to v bng php ton khi m = 1.3/ Tm cc gi tr ca m (P) v (d) ct nhau ti hai im phn bit A AA(x ; y ) v

B BB(x ; y ) sao cho 2 2A B

1 16

x x

Bi tp 1.cho parabol y= 2x2. (p)

a. tm honh giao im ca (p) vi ng thng y= 3x -1.b. tm to giao im ca (p) vi ng thng y=6x -9/2.c. tm gi tr ca a,b sao cho ng thng y=ax+b tip xc vi ( p) v i qua A(0;-2d. tm ph ng trnh ng thng tip xc vi ( p) ti B(1;2).e. bin lun s giao im ca (p) vi ng thng y=2m+1. ( bng hai ph ng php th v i s).f. cho ng thng (d): y=mx -2. Tm m

+(p) khng ct (d).

+(p)tip xc vi (d). tm to im tip xc ?+ (p) ct (d) ti hai im phn bit.+(p) ct (d).

Bi tp 2.cho hm s (p): y=x2 v hai im A(0;1) ; B(1;3).

a. vit ph ng trnh ng thng AB . tm to giao im AB vi (P) cho.


14/70

N TUYN SINH 10

8

b. vit ph ng trnh ng thng d song song vi AB v tip xc vi (P). c. vit ph ng trnh ng thng d 1vung gc vi AB v tip xc vi (P).d. chng t rng qua im A ch c duy nht mt ng thng ct (P) ti hai im

phn bit C,D sao cho CD=2.Bi tp 3.

Cho (P): y=x2 v hai ng thng a,b c ph ng trnh ln l t l y= 2x-5y=2x+m

a. chng t rng ng thng a khng ct (P). b. tm m ng thng b tip xc vi (P), vi m tm c hy:

+ Chng minh cc ng thng a,b song song vi nhau. + tm to tip im A ca (P) vi b.

+lp ph ng trnh ng thng (d) i qua A v c h s gc bng -1/2. tm to giao im ca (a) v (d).

Bi tp 4.

cho hm s xy2

1 (P)

a. v th hm s (P).b. vi gi tr no ca m th ng thng y=2x+m (d) ct th (P) ti hai im phnbit A,B. khi hy tm to hai im A v B.c. tnh tng tung ca cc honh giao im ca (P) v (d) theo m.

Bi tp5.cho hm s y=2x2 (P) v y=3x+m (d)a. khi m=1, tm to cc giao im ca (P) v (d).b. tnh tng bnh ph ng cc honh giao im ca (P) v (d) theo m. c. tm mi quan h gia cc honh giao im ca (P) v (d) c lp vi m.

Bi tp 6.cho hm s y=-x2 (P) v ng thng (d) I qua N( -1;-2) c h s gc k.

a. chng minh rng vi mi gi tr ca k th ng thng (d) lun ct th (P) tihai im A,B. tm k cho A,B nm v hai pha ca trc tung.b. gi (x1;y1); (x2;y2) l to ca cc im A,B ni trn, tm k cho tn

S=x1+y1+x2+y2 t gi tr ln nht.Bi tp7.cho hm s y= x

a. tm tp xc nh ca hm s.b. tm y bit:

+ x=4+ x=(1- 2 )2


15/70

N TUYN SINH 10

9

+ x=m2-m+1+ x=(m-n)2

c. cc im A(16;4) v B(16;-4), im no thuc th hm s, im no khnthuc th hm s? ti sao.

d. khng v th hy tm honh giao im ca th hm s cho vi thhm s y= x-6

Bi tp 8.cho hm s y=x2 (P) v y=2mx-m2+4 (d)

a.tm honh ca cc im thuc (P) bit tung ca chng y=(1- 2 )2.b.chng minh rng (P) vi (d) lun ct nhau ti 2 im phn bit. t m to gia

im ca chng. vi gi tr no ca m th tng cc tung ca chng t gi tr nhnht.

Bi tp 9.cho hm s y= mx-m+1 (d).

a. chng t rng khi m thay i th ng thng (d) lun I qua im c nh. tmim c nh y.

b. tm m (d) ct (P) y=x2 ti 2 im phn bit A v B, sao cho AB= 3 .Bi tp 10.trn h trc to Oxy cho cc im M(2;1); N(5;-1/2) v ng thng (d) y=ax+b.

a. tm a v b ng thng (d) I qua cc im M, N. b. xc nh to giao im ca ng thng MN vi cc trc Ox, Oy.

Bi tp 11.cho hm s y=x2 (P) v y=3x+m2 (d).

a. chng minh vi bt k gi tr no ca m ng thng (d) lun ct (P) ti 2 imphn bit.

b. gi y1, y2 k cc tung giao im ca ng thng (d) v (P) tm m c biu thcy1+y2= 11y1.y2

bi tp 12.cho hm s y=x2 (P).

a. v th hm s (P).b. trn (P) ly 2 im A, B c honh ln l t l 1 v 3. hy vit ph ng trnh ng

thng AB.c. lp ph ng trnh ng trung trc (d) ca on thng AB. d. tm to giao im ca (d) v (P).

Bi tp 13..a. vit ph ng trnh ng thng tip xc vi (P) y=2x 2 ti im A(-1;2).b. cho hm s y=x2 (P) v B(3;0), tm ph ng trnh tho mn iu kin tip xc vi(P) v i qua B.


16/70

N TUYN SINH 10

10

c. cho (P) y=x2. lp ph ng trnh ng thng i qua A(1;0) v tip xc vi (P). d. cho (P) y=x2 . lp ph ng trnh d song song vi ng thng y=2x v tip xcvi (P).e. vit ph ng trnh ng thng song song vi ng thng y= -x+2 v ct (P) y=xti im c honh bng (-1).f. vit ph ng trnh ng thng vung gc vi (d) y=x+1 v ct (P) y=x2 ti imc tung bng 9.

Ch III5.PHNG TRNH - H PHNG TRNH - BT PHNG TRNH

(Bc nht)A.KIN THC C BN1.Phng trnh bc nht mt n

-a v dng ax + b = 0 (a 0)

-Nghim duy nht l

b

x a

2.Phng trnh cha n mu

-Tm KX ca phng trnh.-Quy ng v kh mu.-Gii phng trnh va tm c.-So snh gi tr va tm c vi KX ri kt lun.

3.Phng trnh tch gii phng trnh tch ta ch cn gii cc phng trnh thnh phn ca n. Chng

hn: Vi phng trnh A(x).B(x).C(x) = 0

A x 0B x 0

C x 0

4.Phng trnh c cha h s ch (Gii v bin lun phng trnh)Dng phng trnh ny sau khi bin i cng c dng ax + b = 0. Song gi tr c th

ca a, b ta khng bit nn cn t iu kin xc nh s nghim ca phng trnh.

-Nu a 0 th phng trnh c nghim duy nhtb

xa

.

-Nu a = 0 v b = 0 th phng trnh c v s nghim.-Nu a = 0 v b 0 th phng trnh v nghim.

5.Phng trnh c cha du gi tr tuyt iCn ch khi nim gi tr tuyt i ca mt biu thc

A khi A 0A

A khi A 0


17/70

N TUYN SINH 10

11

6.H phng trnh bc nhtCch gii ch yu da vo hai phng php cng i s v th. Ch phng php

t n ph trong mt s trng hp xut hin cc biu thc ging nhau c hai phngtrnh.7.Bt phng trnh bc nht

Vi bt phng trnh bc nht th vic bin i tng t nh vi phng trnh bcnht. Tuy nhin cn ch khi nhn v c hai v vi cng mt s m th phi i chiu bt

phng trnh.

BI TP H ph ng trnh

Bai 1: : Gii cc HPT sau:1.1.

a.2 3

3 7

x y

x y

b.

2 3 2

5 2 6

x y

x y

Gii:

a. Dng PP th:2 3

3 7

x y

x y

2 3 2 3 2 2

3 2 3 7 5 10 2.2 3 1

y x y x x x

x x x y y

Vay HPT cho c nghim l:2

1

x

y

Dng PP cng:2 3

3 7

x y

x y

5 10 2 2

3 7 3.2 7 1

x x x

x y y y

Vay HPT cho c nghim l: 21

x

y

- giI loi HPT ny ta th ng s dng PP cng cho thun li.2 3 2

5 2 6

x y

x y

10 15 10 11 22 2 2

10 4 12 5 2 6 5 2.( 2 6) 2

x y y y x

x y x y x y

Vay HPT c nghim l2

2

x

y

- i vi HPT dng ny ta c th s dng hai cch giI sau y:

1.2.

2 31

1

2 51

1

x y

x y

+ Cch 1: S dng PP cng. K: 1, 0x y .


18/70

N TUYN SINH 10

12

2 31

1

2 51

1

x y

x y

22 1 1 1 3

12 22 5 2

2 5 1 4 1 11 1 1 11

y yy x x

y yx xx y

VayHPT c nghim l3

21

x

y

+ Cch 2: S dng PP t n ph. K: 1, 0x y .

t1

1a

;

1b

y . HPT cho tr thnh:

2 3 1 2 5 1 2 5.1 1 2

2 5 1 2 2 1 1

a b a b a a

a b b b b

12 3

12

11 1

xx

yy

(TMK)

Vay HPT c nghim l32

1

x

y

L u : - Nhiu em cn thiu K cho nhng HPT dng ny. - C th th li nghim ca HPT va gii.

Bai 2: Giai cac he phng trnh sau (bang pp the)

1.1:3

) 3 4 2

x ya x y

7 3 5) 4 2

x yb x y

1.2.2 2 5

)2 2

x ya

x y

2 1 2)

2 1 1

x yb

x y

Bai 3: Giai cac he phng trnh sau (bang pp cong ai so)

2.1.3 3

)2 7

x ya

x y

4 3 6

)2 4

x yb

x y

3 2 10

) 2 13

3 3

x y

cx y

2.2. 2 3 1)2 2 2x ya

x y

5 3 2 2)

6 2 2x yb

x y

Bai 4:

Giai he phng trnh2

3 1

( 1) 6 2

x y

m x y m

trong moi trng hp sau

a) m = -1 b) m = 0 c) m = 1


19/70

N TUYN SINH 10

13

Bai 5:

a) Xac nh he so avab, biet rang he phng trnh2 4

5

x by

bx ay

co nghiem la (1; -2

b) Cung hoi nh vay neu he phng trnh co nghiem 2 1; 2

Bai 6: Giai he phng trnh sau: 2 23 1

x y

x y

a) T o suy ra nghiem cua he phng trnh

22

1 13

11 1

m n

m n

m n

m n

Bai 7: Giai cac he phng trnh sau:2 4

3 1

x y

x y

;1

3 2 3

x y

x y

;2 5

3 1

x y

x y

;3 5 0

3 0

x y

x y

;0, 2 3 2

15 10

x y

x y

;

3 2

2 4 2007

x y

x y

;3 2

3 9 6

x y

y x

;5

22 6

yx

x y

;2 3 6

5 55

3 2

x y

x y

;2 5

3 3 15

2 4 2

x y

x y

Bi 8: Cho h ph ng trnh

1

2

byax

bayx

a) Gii h khi a=3 ; b=-2b) Tm a;b h c nghim l (x;y)=( )3;2

Bi 9: GiI cc h ph ng trnh sau

a)

345

221

yxyx

yxyxb)

22

843

yx

yxc)

1222

32423

yx

yx(k x;y 2 )

3 5

1

x y

x y

;

2 1 3

2 5

y x

x y

;

6 6 5

4 31

y xy

x y

;( )( 2 ) 0

5 3

x y x y

x y

;2 3 5

2 2 3 3 5

x y

3 3 3 2 32 3 6 2

x y

x y

; ( 1) 2( 2) 5

3( 1) ( 2) 1x y

x y

; ( 5)( 2) ( 2)( 1)( 4)( 7) ( 3)( 4)x y x y

x y x y

.

( 1)( 2) ( 1)( 3) 4

( 3)( 1) ( 3)( 5) 1

x y x y

x y x y

;3( ) 5( ) 12

5( ) 2( ) 11

x y x y

x y x y

;


20/70

N TUYN SINH 10

14

1 1 4

5

1 1 1

5

x y

x y

;

1 22

5 43

x y x y

x y x y

;

1 5 5

2 3 3 8

3 5 3

2 3 3 8

x y x y

x y x y

;

7 54,5

2 1

3 24

2 1

x y x y

x y x y

Ch IV

Gii bi ton bng cch lp h ph ng trnh .II, L thuyt cn nh:

* B c 1: + Lp HPT- Chn n, tm n v v K cho n.- Biu din mi quan h cn li qua n v cc i l ng bit. - Lp HPT.

* B c 2 : Gii HPT.* B c 3 : i chiu vi K tr li.

III, Bi tp v h ng dn:Bi 1. Hai t cng khi hnh mt lc t hai tnh A v B cch nhau 160 km, i ng cchiu nhau v gp nhau sau 2 gi. Tm vn tc ca mi t bit rng nu t i t A tngvn tc thm 10 km/h s bng hai ln vn tc t i t B.Bi 2. Mt ng i i xe my i t A n B trong mt th i gian d nh. Nu vn tc tng14km/h th n B sm hn 2 gi. nu vn tc gim 2 km/h th n B mun 1 gi. Tnh qung ng AB, vn tc v thi gian d nh. Bi 3. Hai ca n cng khi hnh t hai bn A, B cch nhau 85 km , i ng c chiu nhau v

gp nhau sau 1 gi 40 pht.Tnh vn tc ring ca mi ca n bit rng vn tc ca ca nxui dng ln hn vn tc ca ca n ng c dng l 9 km/h (c c vn tc dng n c) vvn tc dng n c l 3 km/h. Bi 4. Mt ca n xui dng 108 km v ng c dng 63 km ht 7 gi. Mt ln khc ca nxui dng 81 km v ng c dng 84 km cng ht 7 gi. Tnh vn tc ca dng n c v vntc tht ca ca n.Bi 5. Mt t d nh i t A n B di 120 km. i c na qung ng xe ngh 30pht nn n ni ng gi xe phi tng vn tc thm 5 km/h na trn qung ng cnli. Tnh thi gian xe chy.Bi 6. Hai ng i i ng c chiu v pha nhau.M i t A lc 6 gi sng v pha B. N i t B

lc 7 gi sng v pha A. H gp nhau lc 8 gi sng. Tnh thi gian mi ng i i htqung ng AB. Bit M n B tr c N n A l 1 gi 20 pht.

HPT:

2 11

1

3

x y

y x


21/70

N TUYN SINH 10

15

Bi 7. Hai t khi hnh cng mt lc t A v B ng c chiu v pha nhau. Tnh qung ng AB v vn tc ca mi xe. Bit rng sau 2 gi hai xe gp nhau ti mt im cchchnh gia qung ng AB l 10 km v xe i chm tng vn tc gp i th hai xe gpnhau sau 1 gi 24 pht.

HPT:10

21 ( 2 ) 2( )

5

x y

x y x y

Bi 8. Hai lp 9A v 9B c tng cng 70 HS. nu chuyn 5 HS t lp 9A sang lp 9B th sHS hai lp bng nhau. Tnh s HS mi lp.Bi 9. Hai tr ng A, B c 250 HS lp 9 d thi vo lp 10, kt qu c 210 HS trngtuyn. Tnh ring t l th tr ng A t 80%, tr ng B t 90%. Hi mi tr ng c baonhiu HS lp 9 d thi vo lp 10.Bi 10. Hai vi n c cng chy vo mt b khng c n c sau 2 gi 55 pht th y b.Nu chy ring th vi th nht cn t thi gian hn vi th hai l 2 gi. Tnh thi gian mi vi chy ring th y b.Bi 11. Hai t cng lm chung mt cng vic hon thnh sau 15 gi. nu t mt lm trong5 gi, t hai lm trong 3 gi th c 30% cng vic. Hi nu lm ring th mi t honthnh trong bao lu.Bi 12. Mt tha rung c chu vi 200m . nu tng chiu di thm 5m, gim chiu rng i5m th din tch gim i 75 2m . Tnh din tch tha rung .Bi 13. Mt phng hp c 360 gh c xp thnh tng hng v mi hng c s gh ngibng nhau. Nh ng do s ng i n hp l 400 nn phi k thm 1 hng v mi hng phik thm 1 gh mi ch. Tnh xem lc u phng hp c bao nhiu hng gh v mi

hng c bao nhiu gh.Cu II (2,5):HNGii bi ton bng cch lp phng trnh hoc h phng trnh:Hai t sn xut cng may mt loi o. Nu t th nht may trong 3 ngy, t th h

may trong 5 ngy th c hai t may c 1310 chic o. Bit rng trong mt ngy t th nhmay c nhiu hn t th hai l 10 chic o. Hi mi t trong mt ngy may c bao nhichic o?Cu III: (1,0)C tho Tm hai s a, b sao cho 7a + 4b = -4 v ng thng ax + by = -1 iqua im A(-2;-1).Bi 3: (1,5) hue

Hai my i lm vic trong vng 12 gi th san lp c 110

khu t. Nu my i th nht lm

mt mnh trong 42 gi ri ngh v sau my i th hai lm mt mnh trong 22 gi th chai my i san lp c 25% khu t . Hi nu lm mt mnh th mi my i san lp xonkhu t cho trong bao lu.

Bai 3: (1,50 iem)KH


22/70


23/70

N TUYN SINH 10

17

Mt i xe cn phi chuyn ch 150 tn hng . Hm lm vic c 5 xe c iu i lm

nhim v khc nn mi xe cn li phi ch thm 5 tn . Hi i xe ban u c bao nhi

chic ? ( bit rng mi xe ch s hng nh nhau )

Bi 3: (1,0 im) hng ynMt i xe cn ch 480 tn hng. Khi sp khi hnh i c iu thm 3 xe na nnmi xe ch t hn d nh 8 tn. Hi lc u i xe c bao nhiu chic? Bit rng cc xech nh nhau.Cu 4(1,5 im) QUNG TR

Mt mnh vn hnh ch nht c din tch l 720m2, nu tng chiu di thm 6m v gichiu rng i 4m th din tch mnh vn khng i. Tnh kch thc (chiu di v chiu rnca mnh vn

2) Hi dng Hai t cng xut pht t A n B, t th nht chy nhanh h t th hai mi gi 10 km nn n B sm hn t th hai 1 gi. Tnh vn tc hai x

t, bit qung ng AB l 300 km.b) HI DNG CHNH THC Mt hnh ch nht c chiu di hn chiu rng 2 cmv din tch ca n l 15 cm2. Tnh chiu di v chiu rng ca hnh ch nht .

Bi 3 H Giang ( 2,0 im): Mt ngi i xe p phi i trong qung ng di 150 kmvi vn tc khng i trong mt thi gian nh. Nu mi gi i nhanh hn 5km th ngiy s n sm hn thi gian d nh 2,5 gi. Tnh thi gian d nh i ca ngi y.Cu 3: (2) Long AnHai ngi i xe p cng xut pht mt lc t A n B vi vn tc hn km nhau 3km/h.

Nn n B sm ,mn hn km nhau 30 pht. Tnh vn tc ca mi ngi .Bit qung

ng AB di 30 km.Cu 4: (1,5 im) Bc NinhHai gi sch c cha 450 cun. Nu chuyn 50 cun t gi th nht sang gi th hai

th s sch gi th hai s bng5

4s sch gi th nht. Tnh s sch lc u trong mi

gi sch.Cu IV(1,5 im) Bc giang

Mt t khch v mt t ti cng xut pht t a im A i n a im B ng di180 km do vn tc ca t khch ln hn t ti 10 km/h nn t khch n B trc t ti36 pht.Tnh vn tc ca mi t. Bit rng trong qu trnh i t A n B vn tc ca mi

t khng i.Bi 3:(1,5 im)K LK

Mt tam gic vung c hai cnh gc vung hn km nhau 8m . Nu tng mt cngc vung ca tam gic ln 2 ln v gim cnh gc vung cn li xung 3 ln th c mtam gic vung mi c din tch l 51m2 . Tnh di hai cnh gc vung ca tam givung ban u.


24/70

N TUYN SINH 10

18

Bi 2: (2,0 im) BNH DNGMt hnh ch nht c chu vi l 160m v din tch l 1500m2. Tnh chiu di v chiu

rng hnh ch nht y .

Ch VPh ng trnh bc hai +h thc vi-t

Tm tt l thuyt:

PHNG TRNH BC HAI ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1)*Trong trng hp gii v bin lun, cn ch khi a = 0 phng trnh tr thnh bcnht mt n (5).A.KIN THC C BN1.Cc dng v cch gii

Dng 1: c = 0 khi

2x 0

1 ax bx 0 x ax+b 0 bx

a

Dng 2: b = 0 khi

2 2c

1 ax c 0 xa

-Nuc

0a

th

cx

a

.

-Nu c 0a

th phng trnh v nghim.

Dng 3: Tng qutCNG THC NGHIM TNG QUT CNG THC NGHIM THU GN

2b 4ac 2' b ' ac 0 : phng trnh c 2 nghim phn bit

1 2

b bx ; x

2a 2a

' 0 : phng trnh c 2 nghim phn bit

1 2

b ' ' b' 'x ; x

a a

0 : phng trnh c nghim kp

1 2bx x

2a

' 0 : phng trnh c nghim kp

1 2b 'x xa

0 : phng trnh v nghim ' 0 : phng trnh v nghimDng 4: Cc phng trnh a c v phng trnh bc hai

Cn ch dng trng phng, phng trnh v t v dng t n ph, cndng cha n mu v dng tch ni 5.


25/70

N TUYN SINH 10

19

3.H thc Viet v ng dng-Nu phng trnh ax2 + bx + c = 0 (a 0) c hai nghim x1, x2 th:

1 2

1 2

bS x x

a

cP x x a

-Nu c hai s u v v sao chou v S

uv P

2S 4P th u, v l hai nghim ca

phng trnh x2 Sx + P = 0.

-Nu a + b + c = 0 th phng trnh c nghim l x1 = 1; x2 =c

a.

-Nu a b + c = 0 th phng trnh c nghim l x1 = -1; x2 =c

a .

4.iu kin c nghim ca phng trnh ax2 + bx + c = 0 (a 0)-(1) c 2 nghim 0 ; c 2 nghim phn bit 0 .

-(1) c 2 nghim cng du0

P 0

.

-(1) c 2 nghim dng

0

P 0

S 0

-(1) c 2 nghim m0P 0

S 0

-(1) c 2 nghim tri du ac < 0 hoc P < 0.5.Tm iu kin ca tham s 2 nghim ca phng trnh tha mn iu kin no .

2 21 2 1 2

1 2

2 2 3 31 2 1 2

1 1a) x x ; b) x x m; c) n

x x

d) x x h; e) x x t; ...

Trong nhng trng hp ny cn s dng h thc Viet v phng php gii hphng trnh.12.CC TR

A.KIN THC C BN1.nh ngha

Tm gi tr ln nht (max) hay gi tr nh nht (min) ca biu thc l xc nh gi trca bin biu thc t gi tr ln nht hay nh nht.


26/70

N TUYN SINH 10

20

-Gi tr ln nht ca biu thc A: maxA. tm maxA cn ch ra A M , trong M l hng s. Khi maxA = M. -Gi tr nh nht ca biu thc A: minA. tm minA cn ch ra A m , trong m l hng s. Khi minA = m.

2.Cc dng ton thng gp2.1. Biu thc A c dng a thc bc chn (thng l bc hai):

Nu A = B2 + m (a thc 1 bin), A = B2 + C2+ m (a thc hai bin), th A cgi tr nh nht minA = m.

Nu A = - B2 + M (a thc 1 bin), A = - B2 C2 + M (a thc hai bin), th A cgi tr ln nht maxA = M.

2.2. Biu thc A c dng phn thc:

2.2.1. Phn thcm

AB

, trong m l hng s, B l a thc.

-Nu mB > 0 th A ln nht khi B nh nht; A nh nht khi B ln nht.

-Nu mB < 0 (gi s m < 0) th A ln nht khi B ln nht; A nh nht khi B nhnht.

2.2.2. Phn thc A =B

C, trong B c bc cao hn hoc bng bc ca C.

Khi ta dng phng php tch ra gi tr nguyn tch thnhm D

A n ; A nC C

trong m, n l hng s; D l a thc c bc nh hn bc C.

2.2.3. Phn thc A =B

C, trong C cbc cao hn bc ca B.

Cn ch tnh cht: nu A c gi tr ln nht th 1A

c gi tr nh nht v ngc li

2.3. Biu thc A c cha du gi tr tuyt i, cha cn thc bc hai:-Chia khong gi tr xt.-t n ph a v bc hai.-S dng cc tnh cht ca gi tr tyt i:a b a b ; a b a b a,b . Du = xy ra khi ab 0 .

-S dng mt s bt ng thc quen thuc.

Bt ng thc Csi: n1 2 n 1 2 n 1 2 n1a ,a ,...,a 0 a a ... a a a ...an

du

= xy ra khi a1 = a2 = = an.


27/70

N TUYN SINH 10

21

Bt ng thc Bu-nhi-a-cp-ski: 1 2 n 1 2 na ,a ,...,a ;b , b ,..., b

c 22 2 2 2 2 2

1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n na a ... a b b ... b a b a b ... a b du = xy ra khi

1 2 n

1 2 n

a a a...

b b b .

Bi tp 1:

Gii cc ph ng trnh bc hai sau

TT Cc ph ng trnh cn gii th eo TT Cc ph ng trnh cn gii theo '1. 6 x2 - 25x - 25 = 0 1. x2 - 4x + 2 = 02. 6x2 - 5x + 1 = 0 2. 9x2 - 6x + 1 = 03. 7x2 - 13x + 2 = 0 3. -3x2 + 2x + 8 = 0

4. 3x2

+ 5x + 60 = 0 4. x2

- 6x + 5 = 05. 2x2 + 5x + 1 = 0 5. 3x2 - 6x + 5 = 06. 5x2 - x + 2 = 0 6. 3x2 - 12x + 1 = 07. x2 - 3x -7 = 0 7. 5x2 - 6x - 1 = 08. x2 - 3 x - 10 = 0 8. 3x2 + 14x + 8 = 09. 4x2 - 5x - 9 = 0 9. -7x2 + 6x = - 610. 2x2 - x - 21 = 0 10. x2 - 12x + 32 = 011. 6x2 + 13x - 5 = 0 11. x2 - 6x + 8 = 0

12. 56x2

+ 9x - 2 = 0 12. 9x2

- 38x - 35 = 013. 10x2 + 17x + 3 = 0 13. x2 - 2 3 x + 2 = 014. 7x2 + 5x - 3 = 0 14. 4 2 x2 - 6x - 2 = 015. x2 + 17x + 3 = 0 15. 2x2 - 2 2 x + 1 = 0Bi tp 2:

Bin i cc ph ng trnh sau thnh ph ng trnh bc hai ri giia) 10x2 + 17x + 3 = 2(2x - 1) - 15b) x2 + 7x - 3 = x(x - 1) - 1c) 2x2 - 5x - 3 = (x+ 1)(x - 1) + 3

d) 5x2 - x - 3 = 2x(x - 1) - 1 + x2e) -6x2 + x - 3 = -3x(x - 1) - 11f) - 4x2 + x(x - 1) - 3 = x(x +3) + 5g) x2 - x - 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1h) -x2 - 4x - 3(2x - 7) = - 2x(x + 2) - 7i) 8x2 - x - 3x(2x - 3) = - x(x - 2)k) 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1


28/70

N TUYN SINH 10

22

Cu III (1,0): HNCho phng trnh (n x): x2 2(m+1)x + m2 +2 = 0

1/ Gii phng trnh cho khi m = 1.2/ Tm gi tr ca m phng trnh cho c nghim phn bit x 1, x2 tho mn h thc x+ x2

2 = 10.

Bi 3: (2,0 im) AN GIANGCho phng trnh x2 +2 (m+3) x +m2 +3 = 0

1/ Tm m phng trnh c nghim kp ? Hy tnh nghim kp .

2/ Tm m phng trnh c hai nghim x1 , x2 tha x1 x2 = 2 ?

Bi 4 : (1,5 im)AN GIANG Gii cc phng trnh sau :

1/ 1 3 22 6x x

2/ x4 + 3x2 4 = 0

2. THI BNH Gii phng trnh: 4x 3x 2

.

Cu II: (2,0)C tho Gii bt phng trnh v cc phng trnh sau:

1. 6 - 3x -9 2. 23

x +1 = x - 5

3. 36x4 - 97x2 + 36 = 0 4.22 3 2

32 1

x x

Bi 1: (2,25) hue

Khng s dng my tnh b ti, hy gii cc phng trnh sau:a) 5x2 + 13x - 6=0 b) 4x4 - 7x2 - 2 = 0 c)

3 4 17

5 2 11

x y

x y

Cu I: HCM Gii cc phng trnh v h phng trnh sau:a) 8x2 - 2x - 1 = 0

b)2 3 3

5 6 12

x y

x y

c) x4 - 2x2 - 3 = 0d) 3x2 - 2 6 x + 2 = 0

Bi 2: (2,0 im) BNH NHCho phng trnh:

(1)a. Chng minh rng phng trnh (1) lun lun c 2 nghim phn bit.

b. Gi l 2 nghim ca phng trnh (1). Tm gi tr nh nht ca biu thc


29/70

N TUYN SINH 10

23

c. Tm h thc gia v khng ph thuc vo m.Bi 2 nam nh (1,5 im) Cho phng trnh: x2 + (3 - m)x + 2(m - 5) = 0 (1), vi m l thams.

1) Chng minh rng vi mi gi tr ca m phng trnh (1) lun c nghim x1 = 2.

2) Tm gi tr ca m phng trnh (1) c nghim x2 = 1 + 2 2 CuII: (2,5). Ngh An Cho phng trnh bc hai, vi tham s m: 2x2 (m+3)x + m = 0(1).

1. Gii phng trnh (1) khi m = 2.2. Tm cc gi tr ca tham s m phng trnh (1) c hai nghim x1, x2 tho mn: x

+ x2 =5

2x1x2.

3. Gi x1, x2 l hai nghim ca phng trnh (1). Tm gi tr nh nht ca biu thc P= 1 2x x

Bi 2 ( 2 im) HI PHNG

Cho phng trnh x2 + mx + n = 0 ( 1)1.Gii phng trnh (1) khi m =3 v n = 2

2.Xc nh m ,n bit phng trnh (1) c hai nghim x1.x2 tho mn1 2

3 31 2

x x 3

x x 9

Bi 3(1,5 im THI BNH)Cho phng trnh: 2 22( 1) 2 0x m x m (n x)

1) Gii phng trnh cho vi m =1.

2) Tm gi tr ca m phng trnh cho c hai nghim phn bit x1, x2 tho mn h

thc:2 2

1 2 10x x

.Bi 2.(2,0 im)THI BNH

Cho h phng trnh: m 1 x y 2

mx y m 1

(m l tham s)

1. Gii h phng trnh khi m 2 ;2. Chng minh rng vi mi gi tr ca m th h phng trnh lun c nghim duy nht (x; y) tho

mn: 2 x + y 3 .Cu 5( 2,5 im). VNH PHC

Cho h phng trnh 2 12 4 3mx yx y ( m l tham s c gi tr thc) (1)

a, Gii h (1) vi m = 1

b, Tm tt c cc gi tr ca m h (1) c nghim duy nht

Bi 1 (1,5 im) THANH HA


30/70

N TUYN SINH 10

24

Cho phng trnh: x2 4x + n = 0 (1) vi n l tham s.1.Gii phng trnh (1) khi n = 3.2. Tm n phng trnh (1) c nghim.

Bi 2 (1,5 im) THANH HA

Gii h phng trnh:

2 5

2 7

x y

x y

Bi 2. NNG ( 2 im ) Cho h phng trnh:mx y 1

x y334

2 3

a) Gii h phng trnh khi cho m = 1.b) Tm gi tr ca m phng trnh v nghim.

Cu 3 : PH YN ( 2,5 im ) Cho phng trnh x2 4x m2 + 6m 5 = 0 vi m l tha

s

a) Gii phng trnh vi m = 2

b) Chng minh rng phng trnh lun c nghim

c) Gi s phng trnh c hai nghim x1 ; x2 , hy tm gi tr b nht ca biu th3 31 2P x x

Bi 4 (2 im). QUNG TRCho phng trnh bc hai n s x:

x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0. (1)

a/ Chng minh phng trnh (1) lun lun c hai nghim phn bit vi mi gi tr cm.

b/ Gi x1, x2 l hai nghim phn bit ca phng trnh (1).Tm m 3( x1 + x2 ) = 5x1x2.

Cu 3(1,5 im). QUNG TRCho phng trnh bc hai: x2 - 2(m-1)x + 2m 3 = 0. (1)a) Chng minh rng phng trnh (1) c nghim vi mi gi tr ca m.

b) Tm m phng trnh (1) c hai nghim tri du.2) Hi dng Cho phng trnh (n x): 2 2x 2(m 1)x m 1 0 . Tm gi t

ca m phng trnh c hai nghim 1 2x ,x tha mn 2 21 2 1 2x x x x 8 .Cu IV:HCM Cho phng trnh x2 - (5m - 1)x + 6m2 - 2m = 0 (m l tham s)

a) Chng minh phng trnh lun c nghim vi mi m.b) Gi x1, x2 l nghim ca phng trnh. Tm m x1

2 + x22 =1.

Bi 3 (1.0 im ) QUNG NAMCho phng trnh x2 2mx + m 2 m + 3 c hai nghim x1 ; x 2 (vi m l

tham s ) . Tm m biu thc x12

+ x22 t gi tr nh nht.


31/70

N TUYN SINH 10

25

Cu 3: (2,0 im) Hi Dng chnh thcCho phng trnh: x2- 2x + (m 3) = 0 (n x)

a) Gii phng trnh vi m = 3.b) Tnh gi tr ca m, bit phng trnh cho c hai nghim phn bit x1, x2 v

tha mn iu kin: x12 2x2 + x1x2 = - 12Cu 5: (1,5 im) Bc Ninh

Cho phng trnh: (m+1)x2 -2(m - 1)x + m - 2 = 0 (1) (m l tham s)

a/ Gii phng trnh (1) vi m = 3.

b/ Tm cc gi tr ca m phng trnh (1) c 2 nghim phn bit x1, x2 tha mn

1 2

1 1 3

2x x

Cu III: (1,0 im) Bc giangLp phng trnh bc hai nhn hai s 3 v 4 l nghim?Bi 3: (1,5 im) BNH DNG

Cho phng trnh x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m + 3 = 0 (vi x l n s, m l tham s )a) Tm gi tr ca m phng trnh c hai nghim phn bit .b) t A = x1.x2 2(x1 + x2) vi x1, x2 l hai nghim phn bit ca phng trnh trn

Chng minh : A = m2 + 8m + 7c) Tm gi tr nh nht ca A v gi tr ca m tng ng .

Bi 3 (1,5 im): qung bnhCho phng trnh: (n + 1)x2 - 2(n - 1)x + n - 3 = 0 (1), vi n l tham s.a) Tm n phng trnh (1) c mt nghim x = 3.b) Chng minh rng, vi mi n - 1 th phng trnh (1) lun c hai nghim phn

bit.

Bi tp 3: Cho ph ng trnh: x 2 - 2(3m + 2)x + 2m2 - 3m + 5 = 0a) Gii ph ng trnh vi m ln l t bng cc gi tr:

m = 2; m = - 2; m = 5; m = -5; m = 3; m = 7; m = - 4b) Tm cc gi tr ca m ph ng trnh c mt nghim x ln l t bng

x = 3; x = -3; x = 2; x = 5; x = 6; x = -1

c) Tm cc gi tr ca m ph ng trnh trn c nghim kp. Bi tp 4: Cho ph ng trnh: x 2 - 2(m - 2)x + m2 - 3m + 5 = 0

a) Gii ph ng trnh vi m ln l t bng cc gi tr: m = -2; m = 3; m = 7; m = - 4; m = 2; m = -7; m = - 8

b) Tm cc gi tr ca m ph ng trnh c mt nghim x ln l t bngx = 1; x = - 4; x = -2; x = 6; x = -7; x = -3


32/70

N TUYN SINH 10

26

c) Tm cc gi tr ca m ph ng trnh trn c nghim kp. Bi tp 5:

Cho ph ng trnh: x 2 - 2(m - 2)x + 2m2 + 3m = 0a) Gii ph ng trnh vi m ln l t bng cc gi tr:

m = -2; m = 3; m = 7; m = - 4; m = 2; m = -7; m = - 8

b) Tm cc gi tr ca m ph ng trnh c mt nghim x ln l t bngx = 1; x = - 4; x = -2; x = 6; x = -7; x = -3

c) Tm cc gi tr ca m ph ng trnh trn c ngh im kp.

Bi tp 6: Cho ph ng trnh: x 2 - 2(m + 3)x + m2 + 3 = 0a) Gii ph ng trnh vi m = -1v m = 3b) Tm m ph ng trnh c mt nghim x = 4 c) Tm m ph ng trnh c hai nghim phn bitd) Tm m ph ng trnh c hai nghim t ho mn iu kin x1 = x2

Bi tp 7:

Cho ph ng trnh : ( m + 1) x 2 + 4mx + 4m - 1 = 0a) Gii ph ng trnh vi m = -2b) Vi gi tr no ca m th ph ng trnh c hai nghim phn bit c) Vi gi tr no ca m th ph ng trnh cho v nghim d) Tm m ph ng trnh c hai nghim tho mn iu kin x 1 = 2x2

Bi tp 8:Cho ph ng trnh : 2x 2 - 6x + (m +7) = 0a) Gii ph ng trnh vi m = -3

b) Vi gi tr no ca m th ph ng trnh c mt nghim x = - 4c) Vi gi tr no ca m th ph ng trnh c hai nghim phn bitd) Vi gi tr no ca m th ph ng trnh cho v nghim e) Tm m ph ng trnh c hai nghim tho mn iu kin x 1 = - 2x2

Bi tp 9:Cho ph ng trnh : x 2 - 2(m - 1 ) x + m + 1 = 0a) Gii ph ng trnh vi m = 4b) Vi gi tr no ca m th ph ng trnh c hai nghim phn bit c) Vi gi tr no ca m th ph ng trnh cho v nghim

d) Tm m ph ng trnh c hai nghim tho mn iu kin x 1 = 3x2

Bi tp 10:Bit rng ph ng trnh : x 2 - 2(m + 1 )x + m2 + 5m - 2 = 0 ( Vi m l tham s ) c

mt nghimx = 1. Tm nghim cn li


33/70

N TUYN SINH 10

27

Bi tp 11:Bit rng ph ng trnh : x 2 - 2(3m + 1 )x + 2m2 - 2m - 5 = 0 ( Vi m l tham s )

c mt nghimx = -1 . Tm nghim cn li

Bi tp 12:Bit rng ph ng trnh : x 2 - (6m + 1 )x - 3m2 + 7 m - 2 = 0 ( Vi m l tham s )

c mt nghimx = 1. Tm nghim cn li

Bi tp 13:Bit rng ph ng trnh : x 2 - 2(m + 1 )x + m2 - 3m + 3 = 0 ( Vi m l tham s ) c

mt nghimx = -1. Tm nghim cn li.

Bi tp 14: Cho ph ng trnh: x 2 - mx + 2m - 3 = 0a) Gii ph ng trnh vi m = - 5b) Tm m ph ng trnh c nghim kp c) Tm m ph ng trnh c hai nghim tri du d)Tm h thc gia hai nghim ca ph ng trnh khng ph thuc vo me) Tm m ph ng trnh c hai nghim phn bit

Bi tp 15: Cho ph ng trnh bc hai

(m - 2)x

2

- 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0a) Gii ph ng trnh vi m = 3 b) Tm m ph ng trnh c mt nghim x = - 2c) Tm m ph ng trnh c nghim kp d) Tm h thc lin h gia hai nghim khng ph thuc vo me) Tm m ph ng trnh c hai nghim phn bit f) Khi ph ng trnh c mt nghim x = -1 tm gi tr ca m v tm nghim cn li

Bi tp 16:Cho ph ng trnh: x 2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = 0a) Gii ph ng trnh vi m = - 2

b) Tm m ph ng trnh c mt nghim x = - 2. Tm nghim cn lic) Tm m ph ng trnh c hai nghim phn bit d) Tm m ph ng trnh c hai nghim x 1 v x2 tho mn: x1

2 + x22 = 8

e) Tm gi tr nh nht ca A = x12 + x2

2

Bi tp 17: Cho ph ng trnh: mx 2 - (m + 3)x + 2m + 1 = 0a) Tm m ph ng trnh c nghim kp


34/70

N TUYN SINH 10

28

b) Tm m ph ng trnh c hai nghim phn bit c) Tm m ph ng trnh c hiu hai nghim bng 2 d) Tm h thc lin h gia x1v x2 khng ph thuc m

Bi tp 18: Cho ph ng trnh: x 2 - (2a- 1)x - 4a - 3 = 0

a) Chng minh rng ph ng trnh lun c nghim vi mi gi tr ca a b) Tm h thc lin h gia hai nghim khng ph thuc vo ac) Tm gi tr nh nht ca biu thc A = x1

2 + x22

Bi tp 19: Cho ph ng trnh: x 2 - (2m- 6)x + m -13 = 0a) Chng minh rng ph ng trnh lun c hai nghim phn bit b) Tm gi tr nh nht ca biu thc A = x1. x2 - x1

2 - x22

GI I 16x + 16 9x + 9 4x + 4 16 - x + 1

Bi tp 20: Cho ph ng trnh: x 2 - 2(m+4)x + m2 - 8 = 0a) Tm m ph ng trnh c hai nghim phn bit b) Tm m A = x1

2 + x22 - x1 - x2 t gi tr nh nht

c) Tm m B = x1 + x2 - 3x1x2 t gi tr ln nhtd) Tm m C = x1

2 + x22 - x1x2

Bi tp 21: Cho ph ng trnh: ( m - 1) x2 + 2mx + m + 1 = 0a) Gii ph ng trnh vi m = 4 b) Tm m ph ng trnh c hai nghim tri du c) Tm m ph ng trnh c hai nghim x 1 v x2 tho mn: A = x1

2 x2 + x22x1

d) Tm h thc lin h gia hai nghim khng ph thuc vo m

Bi tp 22: Tm gi tr ca m cc nghim x1, x2 ca ph ng trnh

mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 tho mn iu kin 12221 xx

Bi tp 23:

Cho ph ng trnh x 2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0. Tm m ph ng trnh c 2

nghim x1, x2 phn bit tho mn 511 21

21

xx

xx

Bi tp 24:

Cho ph ng trnh: mx 2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m l tham s).

a) Xc nh m cc nghim x1; x2 ca ph ng trnh tho mn

x1 + 4x2 = 3


35/70

N TUYN SINH 10

29

b) Tm mt h thc gia x1; x2 m khng ph thuc vo m

Bi tp 25: Cho ph ng trnh x 2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 (1)

Tm gi tr ca tham s m ph ng trnh c (1) c nghim x 1 = 2x2.

Bi tp 26: Cho ph ng trnh mx 2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0

a) Tm m ph ng trnh c nghim.

b) Tm m ph ng trnh c 2 nghim tri du. Khi trong hai nghim, nghim

no c gi tr tuyt i ln hn?

c) Xc nh m cc nghim x1; x2 ca ph ng trnh tho mn: x 1+ 4x2= 3.

d) Tm mt h thc gia x1, x2 m khng ph thuc vo m.

Bi tp 27:

a) Vi gi tr no m th hai ph ng trnh sau c t nht mt nghim chung. Tm

nghim chung ?

x2 - (m + 4)x + m + 5 = 0 (1)

x2 - (m + 2)x + m + 1 = 0 (2)

b) Tm gi tr ca m nghim ca ph ng trnh (1) l nghim ca ph ng trnh (2)

v ng c li.

Bi tp 28: Gi x1, x2 l cc nghim ca ph ng trnh:

x2 - (2m - 1)x + m 2 = 0

Tm m 22

21 xx c gi tr nh nht

Bi tp 29: Gi x1; x2 l nghim ca ph ng trnh:

2x2

+ 2(m + 1)x + m2

+ 4m + 3 = 0Tm gi tr ln nht ca biu thc: A =x1x2 - 2x1 - 2x2

Bi tp 30: Gi x1, x2 l cc nghim ca ph ng trnh.

x2 + 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0

Tm m 22

21 xx c gi tr nh nht.


36/70

N TUYN SINH 10

30

Bi tp 31: Cho ph ng trnh: x 2 - m + (m - 2)2 = 0

Tm gi tr ln nht v nh nht ca biu thc

A = x1x2 + 2x1 + 2x2Bi tp 32: Cho ph ng trnh: x 2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m l tham s). Tm m sao ch

2 nghim x1; x2 ca ph ng trnh tho mn 10x 1x2 +22

21 xx t gi tr nh nht. Tm g

tr .

Ch VIH THC LNG TRONG TAM GIC VUNG

T S LNG GIC CA GC NHN


37/70

N TUYN SINH 10

31

A.KIN THC C BN1.nh l Pitago

ABC vung ti A 2 2 2AB AC BC 2.H thc lng trong tam gic vung

BH

C

A

1) AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC2) AB.AC = AH.BC3) AH2 = BH.HC

4) 2 2 21 1 1

AH AB AC

Kt qu:

-Vi tam gic u cnh l a, ta c:2a 3 a 3

h ; S2 4

3.T s lng gic ca gc nhnt ACB ; ABC khi :

AB AH AC HC AB AH AC HCsin ; cos ; tg ; cot g

BC AC BC AC AC HC AB AH

b a sin B acosC ctgB ccot gCc acosB asinC bctgB btgC

Ktqu suy ra:1) sin cos ; cos sin ; tg cotg ; cot g tg

sin cos2) 0 sin 1; 0 cos AC, k trung tuyn AM v ng cao AH. Chng minh


38/70

N TUYN SINH 10

32

22 2 2

2 2

BCa) AB AC 2AM

2b) AB AC 2BC.MH

VD2.Cho hnh thang ABCD (AB//CD c AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm

a) Chng minh AC vung gc vi BD.b) Tnh din tch hnh thang.

VD3.Tnh din tch hnh bnh hnh ABCD bit AD = 12; DC = 15; ADC=700.C.MT S BI TP C BN1.Cho tam gic ABC vung cn ti A, trung tuyn BD. Gi I l hnh chiu ca C trn BD,H l hnh chiu ca I trn AC.

Chng minh: AH = 3HI.2.Qua nh A ca hnh vung ABCD cnh bng a, v mt ng thng ct BC E v ctng thng DC F.

Chng minh: 2 2 21 1 1

AE AF a 3.Cho tam gic cn ABC c y BC = a; BAC = 2 ; 045 . K cc ng cao AE,BF.

a) Tnh cc cnh ca tam gic BFC theo a v t s lng gic ca gc .b) Tnh theo a, theo cc t s lng gic ca gc v 2 , cc cnh ca tam gic

ABF, BFC.c) T cc kt qu trn, chng minh cc ng thc sau:

2 22

2tg1) sin 2 2sin cos ; 2) cos2 =cos sin ; 3) tg2

1 tg

------------------------------------------------------------------

Ch VII

6.CHNG MINHBNG NHAU SONG SONG, VUNG GC - NG QUY, THNG HNG

A.KIN THC C BN1.Tam gic bngnhau

a) Khi nim:A A'; B B'; C C'

ABC A'B'C' khi AB A'B'; BC B'C'; AC A'C'

b) Cc trng hp bng nhau ca hai tam gic: c.c.c; c.g.c; g.c.g.c) Cc trng hp bng nhau ca hai tam gic vung: hai cnh gc vung; cnh

huyn v mt cnh gc vung; cnh huyn v mt gc nhn.d) H qu: Hai tam gic bng nhau th cc ng cao; cc ng phn gic; cc

ng trung tuyn tng ng bng nhau.


39/70

N TUYN SINH 10

33

2.Chng minh hai gc bng nhau-Dng hai tam gic bng nhau hoc hai tam gic ng dng, hai gc ca tam gic

cn, u; hai gc ca hnh thang cn, hnh bnh hnh, -Dng quan h gia cc gc trung gian vi cc gc cn chng minh.-Dng quan h cc gc to bi cc ng thng song song, i nh.

-Dng mi quan h ca cc gc vi ng trn.(Chng minh 2 gc ni tip cngchn mt cung hoc hai cung bng nhau ca mt ng trn, )3.Chng minh hai on thng bng nhau

-Dng on thng trung gian.-Dng hai tam gic bng nhau.-ng dng tnh cht c bit ca tam gic cn, tam gic u, trung tuyn ng vi

cnh huyn ca tam gic vung, hnh thang cn, hnh ch nht, -S dng cc yu t ca ng trn: hai dy cung ca hai cung bng nhau, hai

ng knh ca mt ng trn,

-Dng tnh cht ng trung bnh ca tam gic, hnh thang, 4.Chng minh hai ng thng, hai on thng song song-Dng mi quan h gia cc gc: So le bng nhau, ng v bng nhau, trong cng

pha b nhau, -Dng mi quan h cng song song, vung gc vi ng thng th ba.-p dng nh l o ca nh l Talet.-p dng tnh cht ca cc t gic c bit, ng trung bnh ca tam gic.-Dng tnh cht hai dy chn gia hai cung bng nhau ca mt ng trn.

5.Chng minh hai ng thng vung gc-Chng minh chng song song vi hai ng vung gc khc.

-Dng tnh cht: ng thng vung gc vi mt trong hai ng thng song songth vung gc vi ng thng cn li.

-Dng tnh cht ca ng cao v cnh i din trong mt tam gic.-ng knh i qua trung im ca dy.-Phn gic ca hai gc k b nhau.

6.Chng minh ba im thng hng-Dng tin clit: Nu AB//d; BC//d th A, B, C thng hng.-p dng tnh cht cc im c bit trong tam gic: trng tm, trc tm, tm n

trn ngoi tip,

-Chng minh 2 tia to bi ba im to thnh gc bt: Nu gc ABC bng 1800

th AB, C thng hng.-p dng tnh cht: Hai gc bng nhau c hai cnh nm trn mt ng thng v ha

cnh kia nm trn hai na mt phng vi b l ng thng trn.-Chng minh AC l ng knh ca ng trn tm B.

7.Chng minh cc ng thng ng quy-p dng tnh cht cc ng ng quy trong tam gic.


40/70

N TUYN SINH 10

34

-Chng minh cc ng thng cng i qua mt im: Ta ch ra hai ng thng ctnhau ti mt im v chng minh ng thng cn li i qua im .

-Dng nh l o ca nh l Talet***********************************************

Ch VII

8.CHNG MINH HAI TAM GIC NG DNGH THC HNH HC

A.KIN THC C BN1.Tam gic ng dng

-Khi nim:A A'; B B'; C C'

ABC A'B'C' khi AB AC BC

A'B' A'C' B'C'

-Cc trng hp ng dng ca hai tam gic: c c c; c g c; g g.-Cc trng hp ng dng ca hai tam gic vung: gc nhn; hai cnh gc vung;

cnh huyn - cnh gc vung*Tnh cht: Hai tam gic ng dng th t s hai ng cao, hai ng phn gic, ha

ng trung tuyn tng ng, hai chu vi bng t s ng dng; t s hai din tch bng bnphng t s ng dng.2.Phng php chng minh h thc hnh hc

-Dng nh l Talet, tnh cht ng phn gic, tam gic ng dng, cc h thclng trong tam gic vung,

Gi s cn chng minh MA.MB = MC.MD-Chng minh hai tam gic MAC v MDB ng dng hoc hai tam gic MAD v

MCB.-Trong trng hp 5 im cng nm trn mt ng thng th cn chng minh

cc tch trn cng bng tch th ba.Nu cn chng minh MT2 = MA.MB th chng minh hai tam gic MTA v MBT

ng dng hoc so snh vi tch th ba.Ngoi ra cn ch n vic s dng cc h thc trong tam gic vung; phng tch

ca mt im vi ng trn.***************************************************

Ch 10.CHNG MINH T GIC NI TIP

A.KIN THC C BNPhng php chng minh-Chng minh bn nh ca t gic cng cch u mt im.-Chng minh t gic c hai gc i din b nhau.-Chng minh hai nh cng nhn on thng to bi hai im cn li hai gc bng

nhau.-Chng minh tng ca gc ngoi ti mt nh vi gc trong i din b nhau.


41/70

N TUYN SINH 10

35

-Nu MA.MB = MC.MD hoc NA.ND = NC.NB th t gic ABCD nt tip. (Trong M AB CD; N AD BC )

-Nu PA.PC = PB.PD th t gic ABCD ni tip. (Trong P AC BD )-Chng minh t gic l hnh thang cn; hnh ch nht; hnh vung;

Nu cn chng minh cho nhiu im cng thuc mt ng trn ta c th chng minhln lt 4 im mt lc. Song cn ch tnh cht Qua 3 im khng thng hng xcnh duy nht mt ng trn

Dng VBi tp Hnh tng hp

Cu IV(3,5): HNCho ng trn (O;R) v im A nm bn ngoi ng trn. K tip tuyn AB, AC v

ng trn (B, C l cc tip im).1/ Chng minh ABOC l t gic ni tip.

2/ Gi E l giao im ca BC v OA. Chng minh BE vung gc vi OA v OE.OA = R2.3/ Trn cung nh BC ca ng trn (O;R) ly im K bt k (K khc B v C). Tip tuyti K ca ng trn (O;R) ct AB, AC theo th t ti P, Q. Chng minh tam gic APQ cchu vi khng i khi K chuyn ng trn cung nh BC.4/ ng thng qua O v vung gc vi OA ct cc ng thng AB, AC theo th t ti cim M, N. Chng minh PM + QN MN.Cu V: (4,0) C tho Cho tam gic ABC vung A, c AB = 14, BC = 50. ng phn gicca gc ABC v ng trung trc ca cnh AC ct nhau ti E.

1. Chng minh t gic ABCE ni tip c trong mt ng trn. Xc nh tm O cang trn ny.

2. Tnh BE.3. V ng knh EF ca ng trn tm (O). AE v BF ct nhau ti P. Chng minh

cc ng thng BE, PO, AF ng quy.4. Tnh din tch phn hnh trn tm (O) nm ngoi ng gic ABFCE.

Bi 4: (2,75) hueCho ng trn (O) ng knh AB = 2R. V tip tuyn d vi ng trn (O) ti B. Gi C v

D l hai im tu trn tip tuyn d sao cho B nm gia C v D. Cc tia AC v AD ct (Oln lt ti E v F (E, F khc A).1. Chng minh: CB2 = CA.CE2. Chng minh: t gic CEFD ni tip trong ng trn tm (O ).3. Chng minh: cc tch AC.AE v AD.AF cng bng mt s khng i. Tip tuyn c(O) k t A tip xc vi (O) ti T. Khi C hoc D di ng trn d th im T chy trn nthng c nh no?Cu V: HCM Cho tam gic ABC (AB


42/70

N TUYN SINH 10

36

b) V ng knh AK ca ng trn (O). Chng minh tam gic ABD v tam gi

AKC ng dng vi nhau. Suy ra AB.AC = 2R.AD v S = . .4

AB BC CA

R.

c) Gi M l trung im ca BC. Chng minh EFDM l t gic ni tip ng trn.d) Chngminh rng OC vung gc vi DE v (DE + EF + FD).R = 2 S.

Bai 4: (4,00 iem)KH

Cho ng tron (O; R). T mot iem M nam ngoai (O; R) ve hai tiep tuyen MA va MB

(A, B la hai tiep iem). Lay iem C bat k tren cung nho AB (Ckhac vi A va B). Goi D

E, F lan lt la hnh chieu vuong goc cua C tren AB, AM, BM.

a. Chng minh AECD la mot t giac noi tiep.

b. Chng minh: CDE CBA

c. Goi I la giao iem cua AC va ED, K la giao iem cua CB va DF. Chng minh

IK//AB.

d. Xac nh v tr iem C tren cung nho AB e (AC2 + CB2) nho nhat. Tnh gia tr

nho nhat o khi OM = 2R.

Bi 4: Cho ng trn tm O c cc ng knh CD, IK (IK khng trng CD)

1. Chng minh t gic CIDK l hnh ch nht2. Cc tia DI, DK ct tip tuyn ti C ca ng trn tm O th t G; Hc. Chng minh 4 im G, H, I, K cng thuc mt ng trn.d. Khi CD c nh, IK thay , tm v tr ca G v H khi din tch tam gic DJ t gi

tr nh nht.Bi 4: (3 im) BNH NHCho tam gic ABC ni tip trong ng trn (O), I l trung im ca BC, M l 1 im tron CI (M khc C v I). ng thng AM ct (O) ti D, tip tuyn ca ng trn ngoitip tam gic AIM ti M ct BD ti P v ct DC ti Q.a. Chng minh DM . AI = MP . IB

b. Tnh t sBai 4: (3,0 iem) BNH NH e chnh thc

Cho tam giac vuong ABC noi tiep trong ng tron tam O ng knh AB. Kedai AC (ve pha C) oan CD sao cho CD = AC.

1. Chng minh tam giac ABD can.


43/70

N TUYN SINH 10

37

2. ng thang vuong goc vi AC tai A cat ng tron (O) tai E. Keo dai AE(ve pha E) oan EF sao cho EF = AE. Chng minh rang ba iem D, B, Fcung nam tren mot ng thang.

3. Chng minh rang ng tron i qua ba iem A, D, F tiep xuc vi ng

tron (O).Bi 4 (4.0 im ) QUNG NAM

Cho ng trn tm (O) ,ng knh AC .V dy BD vung gc vi AC ti K ( Knm gia A v O).Ly im E trn cung nh CD ( E khng trng C v D), AE ct BD tiH.

c) Chng minh rng tam gic CBD cn v t gic CEHK ni tip.d) Chng minh rng AD2 = AH . AE.e) Cho BD = 24 cm , BC =20cm .Tnh chu vi ca hnh trn (O).f) Cho gc BCD bng . Trn na mt phng b BC khng cha im A , v tam

gic MBC cn ti M .Tnh gc MBC theo M thuc ng trn (O).Bi 3. nam nh ( 3,0 im) Cho ng trn (O; R) V imA nm ngoi (O; R) .ng trng knh AO ct ng trn (O; R) Ti M v N. ng thng d qua A ct (O; R) ti B v Cd khng i qua O; im B nm gia A v C). Gi H nl trung im ca BC.

1) Chng minh: AM l tip tuyn ca (O; R) v H thuc ng trn ng knh AO.2) ng thng qua B vung gc vi OM ct MN D. Chng minh rng:

a) Gc AHN = gc BDNb) ng thng DH song song vi ng thng MC.c) HB + HD > CD

Cu IV: (3,0).Ngh An Cho ng trn (O;R), ng knh AB c nh v CD l mt -

ng knh thay i khng trng vi AB. Tip tuyn ca ng trn (O;R) ti B ct cc ngthng AC v AD ln lt ti E v F.

1. Chng minh rng BE.BF = 4R2.2. Chng minh t gic CEFD ni tip ng trn.3. Gi I l tm ng trn ngoi tip t gic CEFD. Chng minh rng tm I lun nm

trn mt ng thng c nh.Bi 5. (3,0 im) QUNG NINH

Cho im M nm ngoi ng trn (O;R). T M k hai tip tuyn MA , MB n ng tr(O;R) ( A; B l hai tip im).

a) Chng minh MAOB l t gic ni tip.

b) Tnh din tch tam gic AMB nu cho OM = 5cm v R = 3 cm.c) K tia Mx nm trong gc AMO ct ng trn (O;R) ti hai im C v D ( C nm gia Mv D ). Gi E l giao im ca AB v OM. Chng minh rng EA l tia phn gic ca gCED.

Bi 3 : (3 im) HI PHNG


44/70

N TUYN SINH 10

38

Cho tam gic ABC vung ti A .Mt ng trn (O) i qua B v C ct cc cnh AB ,AC ca tam gic ABC ln lt ti D v E ( BC khng l ng knh ca ng trntm O).ng cao AH ca tam gic ABC ct DE ti K .1.Chng minh ADE ACB .2.Chng minh K l trung im ca DE.3.Trng hp K l trung im ca AH .Chng minh rng ng thng DE l tip tuychung ngoi ca ng trn ng knh BH v ng trn ng knh CH.

Bi 4: (3,5 im) KIN GIANG

Cho ng trn (O) c ng knh AB = 2R. Trn tia i ca AB ly im C sao ch

BC = R, trn ng trn ly im D sao cho BD = R, ng thng vung gc vi B

ti C ct tia AD M.

a) Chng minh t gic BCMD l t gic ni tip .

b) Chng minh tam gic ABM l tam gic cn .

c) Tnh tch AM.AD theo R .

d) Cung BD ca (O) chia tam gic ABM thnh hai hn. Tnh din tch phn ca tam

gic ABM nm ngoi (O) .

Bi 5 : (3,5 im) AN GIANGCho ng trn (O ; R) ng knh AB v dy CD vung gc vi nhau (CA BE AC => BEC = 900.

CF l ng cao => CF AB => BFC = 900.Nh vy E v F cng nhn BC d i mt gc 90 0 => E v F cng nm trn ng trn ng knh BC.Vy bn im B,C,E,F cng nm trn mt ng trn.

Xt hai tam gic AEH v ADC ta c: AEH = ADC = 900 ; l gc chung

=> AEH ADC =>AC

AH

AD

AE => AE.AC = AH.AD.

* Xt hai tam gic BEC v ADC ta c: BEC = ADC = 900 ; C l gc chung


50/70

N TUYN SINH 10

44

=> BEC ADC =>AC

BC

AD

BE => AD.BC = BE.AC.

4. Ta c C1 = A1 ( v cng ph vi gc ABC)C2 = A1 ( v l hai gc ni tip cng chn cung BM)=> C1 = C2 => CB l tia phn gic ca gc HCM; li c CB HM => CHM cn ti C

=> CB cng l ng trung trc ca HM vy H v M i xng nhau qua BC. 5. Theo chng minh trn bn im B,C,E,F cng nm trn mt ng trn => C1 = E1 ( v l hai gc ni tip cng chn cung BF)

Cng theo chng minh trn CEHD l t gic ni tipC1 = E2 ( v l hai gc ni tip cng chn cung HD)E1 = E2 => EB l tia phn gic ca gc FED.

Chng minh t ng t ta cng c FC l tia phn gic ca gc DFE m BE v CF ct nhau ti H do H ltm ng trn ni tip tam gic DEF. Bi 2. Cho tam gic cn ABC (AB = AC), cc ng cao AD, BE, ct nhau ti H. Gi O l tm ng trnngoi tip tam gic AHE.

1. Chng minh t gic CEHD ni tip .

2. Bn im A, E, D, B cng nm trn mt ng trn. 3. Chng minh ED =

2

1BC.

4. Chng minh DE l tip tuyn ca ng trn (O). 5. Tnh di DE bit DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.

Li gii:Xt t gic CEHD ta c:

CEH = 900 ( V BE l ng cao)

H

1

321

1

O

E

D CB

A

CDH = 900 ( V AD l ng cao) => CEH + CDH = 1800M CEH v CDH l hai gc i ca t gic CEHD , Do CEHD l t gic ni tip

2. Theo gi thit: BE l ng cao => BE AC => BEA = 900.AD l ng cao => AD BC => BDA = 900.

Nh vy E v D cng nhn AB d i mt gc 90 0 => E v D cng nm trn ng trn ng knh AB.Vy bn im A, E, D, B cng nm trn mt ng trn.

3. Theo gi thit tam gic ABC cn ti A c AD l ng cao nn cng l ng trung tuyn=> D l trung im ca BC. Theo trn ta c BEC = 900 .

Vy tam gic BEC vung ti E c ED l trung tuyn => DE =2

1BC.

V O l tm ng trn ngoi tip tam gic AHE nn O l trung im ca AH => OA = OE => tam gicAOE cn ti O => E1 = A1 (1).

Theo trn DE = 2

1BC => tam gic DBE cn ti D => E3 = B1 (2)

M B1 = A1 ( v cng ph vi gc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3M E1 + E2 = BEA = 90

0 => E2 + E3 = 900 = OED => DE OE ti E.

Vy DE l tip tuyn ca ng trn (O) ti E. 5. Theo gi thit AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. p dng nh l Pitago chtam gic OED vung ti E ta c ED2 = OD2 OE2 ED2 = 52 32 ED = 4cm


51/70

N TUYN SINH 10

45

Bi 3 Cho na ng trn ng knh AB = 2R. T A v B k hai tip tuyn Ax, By. Qua im M thucna ng trn k tip tuyn th ba ct cc tip tuyn Ax , By ln l t C v D. Cc ng thng AD vBC ct nhau ti N.1. Chng minh AC + BD = CD.2. Chng minh COD = 900.

3. Chng minh AC. BD = 4

2AB

.

4. Chng minh OC // BM5. Chng minh AB l tip tuyn ca ng trn ng knh CD. 6. Chng minh MN AB.7. Xc nh v tr ca M chu vi t gic ACDB t gi tr nh nht.Li gii:

//

yx

NC

DI

M

BOATheo tnh cht hai tip tuyn ct nhau ta c: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM.

M CM + DM = CD => AC + BD = CDTheo tnh cht hai tip tuyn ct nhau ta c: OC l tia phn gic ca gc AOM; OD l tia phn gic

ca gc BOM, m AOM v BOM l hai gc k b => COD = 900.

Theo trn COD = 900 nn tam gic COD vung ti O c OM CD ( OM l tip tuyn ).p dng h thc gia cnh v ng cao trong tam gic vung ta c OM 2 = CM. DM,

M OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD =4

2AB

.

Theo trn COD = 900 nn OC OD .(1)Theo tnh cht hai tip tuyn ct nhau ta c: DB = DM; li c OM = OB =R => OD l trung trc ca BM=> BM OD .(2). T (1) V (2) => OC // BM ( V cng vung gc vi OD).

Gi I l trung im ca CD ta c I l tm ng trn ngoi tip tam gic COD ng knh CD cIO l bn knh.

Theo tnh cht tip tuyn ta c AC AB; BD AB => AC // BD => t gic ACDB l hnh thang. Li

c I l trung im ca CD; O l trung im ca AB => IO l ng trung bnh ca hnh thang ACDB=> IO // AC , m AC AB => IO AB ti O => AB l tip tuyn ti O ca ng trn ng knh CD

6. Theo trn AC // BD =>BD

AC

BN

CN , m CA = CM; DB = DM nn suy ra

DM

CM

BN

CN

=> MN // BD m BD AB => MN AB.7. ( HD): Ta c chu vi t gic ACDB = AB + AC + CD + BD m AC + BD = CD nn suy ra chu vi

t gic ACDB = AB + 2CD m AB khng i nn chu vi t gic ACDB nh nht khi CD nh nht , m CDnh nht khi CD l khong cch gi Ax v By tc l CD vung gc vi Ax v By. Khi CD // AB => Mphi l trung im ca cung AB.Bi 4 Cho tam gic cn ABC (AB = AC), I l tm ng trn ni tip, K l tm ng trn bng tip gcA , O l trung im ca IK.

1. Chng minh B, C, I, K cng nm trn mt ng trn. 2. Chng minh AC l tip tuyn ca ng trn (O). 3. Tnh bn knh ng trn (O) Bit AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm.

Li gii: (HD)1. V I l tm ng trn ni tip, K l tm ng trn bng tip

gc A nn BI v BK l hai tia phn gic ca hai gc k b nh BDo BI BK hayIBK = 900 .

T ng t ta cng c

ICK = 900

nh vy B v Ccng nm trn ng trn ng knh IK d o B, C, K cng nm trn mt ngtrn.

Ta c C1 = C2 (1( v CI l phn


52/70

N TUYN SINH 10

46

gic ca gc ACH.C2 + I1 = 90

0 (2) ( v IHC = 900 ).

o

12

1H

I

C

A

B

K

I1 = ICO (3) ( v tam gic OIC cn ti O)T (1), (2) , (3) => C1 + ICO = 90

0 hay AC OC. Vy AC l tip tuyn ca ng trn (O). T gi thit AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm.

AH2 = AC2 HC2 => AH = 22 1220 = 16 ( cm)

CH2 = AH.OH => OH =161222

AH

CH = 9 (cm)

OC = 225129 2222 HCOH = 15 (cm)

Bi 5 Cho ng trn (O; R), t mt im A trn (O) k tip tuyn d vi (O). Trn ng thng d lyim M bt k ( M khc A) k ct tuyn MNP v gi K l trung im ca NP, k tip tuyn MB (B l tipim). K AC MB, BD MA, gi H l giao im ca AC v BD, I l giao im ca OM v AB.

1. Chng minh t gic AMBO ni tip.2. Chng minh nm im O, K, A, M, B cng nm trn mt

ng trn .

3. Chng minh OI.OM = R2

; OI. IM = IA2

.4. Chng minh OAHB l hnh thoi.5. Chng minh ba im O, H, M thng hng.6. Tm qu tch ca im H khi M di chuyn trn ng thng d

Li gii:(HS t lm).V K l trung im NP nn OK NP ( quan h ng knh

d

HI

KN

PD

CB

A

O

V dy cung) => OKM = 900. Theo tnh cht tip tuyn ta c OAM = 900; OBM = 900. nh vy K ,A, B cng nhn OM d i mt gc 90 0 nn cng nm trn ng trn ng knh OM.

Vy nm im O, K, A, M, B cng nm trn mt ng trn.3. Ta c MA = MB ( t/c hai tip tuyn ct nhau); OA = OB = R

=> OM l trung trc ca AB => OM AB ti I .Theo tnh cht tip tuyn ta c OAM = 900 nn tam gic OAM vung ti A c AI l ng cao. p dng h thc gia cnh v ng cao => OI.OM = OA 2 hay OI.OM = R2; v OI. IM = IA2.4. Ta c OB MB (tnh cht tip tuyn) ; AC MB (gt) => OB // AC hay OB // AH.

OA MA (tnh cht tip tuyn) ; BD MA (gt) => OA // BD hay OA // BH.=> T gic OAHB l hnh bnh hnh; li c OA = OB (=R) => OAHB l hnh thoi.5. Theo trn OAHB l hnh thoi. => OH AB; cng theo trn OM AB => O, H, M thng hng( V

qua O ch c mt ng thng vung gc vi AB).


53/70

N TUYN SINH 10

47

6. (HD) Theo trn OAHB l hnh thoi. => AH = AO = R. Vy khi M di ng trn d th H cng di ngnh ng lun cch A c nh mt khong bng R. Do qu tch ca im H khi M di chuyn trn ngthng d l na ng tr n tm A bn knh AH = R

Bi 6 Cho tam gic ABC vung A, ng cao AH. V ng trn tm A bn knh AH. Gi HD l ng knh ca ng trn (A; AH). Tip tuyn ca ng trn ti D ct CA E.

1. Chng minh tam gic BEC cn.2. Gi I l hnh chiu ca A trn BE, Chng minh rng AI = AH.3. Chng minh rng BE l tip tuyn ca ng trn (A; AH). 4. Chng minh BE = BH + DE.Li gii: (HD)

AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) v AE = AC (2).V AB CE (gt), do AB va l ng cao va l ng trung tuynca BEC => BEC l tam gic cn. => B1 = B2

21I

E

H

D

C

A

B2. Hai tam gic vung ABI v ABH c cnh huyn AB chung, B1 = B2 => AHB = AIB=> AI = AH.3. AI = AH v BE

AI ti I => BE l tip tuyn ca (A; AH) ti I.4. DE = IE v BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED

Bi 7 Cho ng trn (O; R) ng knh AB. K tip tuyn Ax v ly trn tip tuyn mt im P saocho AP > R, t P k tip tuyn tip xc vi (O) ti M.

1. Chng minh rng t gic APMO ni tip c mt ng trn. 2. Chng minh BM // OP.3. ng thng vung gc vi AB O ct tia BM ti N. Chng

minh t gic OBNP l hnh bnh hnh.4. Bit AN ct OP ti K, PM ct ON ti I; PN v OM ko di ct

nhau ti J. Chng minh I, J, K thng hng. Li gii:

(HS t lm).

Ta c ABM ni tip chn cung AM; AOM l gc tm

chn cung AM => ABM =2

AOM(1) OP l tia phn gic AOM

( t/c hai tip tuyn ct nhau ) => AOP =2

AOM(2)

T (1) v (2) => ABM = AOP (3)

X

((2

1

1 1K

IJ

M

NP

A BO

M ABM v AOP l hai gc ng v nn suy ra BM // OP. (4)Xt hai tam gic AOP v OBN ta c : PAO=900 (v PA l tip tuyn ); NOB = 900 (gt NOAB).

=> PAO = NOB = 900; OA = OB = R; AOP = OBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5T (4) v (5) => OBNP l hnh bnh hnh ( v c hai cnh i song song v bng nhau).

T gic OBNP l hnh bnh hnh => PN // OB hay PJ // AB, m ON AB => ON PJTa cng c PM OJ ( PM l tip tuyn ), m ON v PM ct nhau ti I nn I l trc tm tam gic POJ. (6

D thy t gic AONP l hnh ch nht v c PAO = AON = ONP = 900 => K l trung imca PO ( t/c ng cho hnh ch nht). (6)

AONP l hnh ch nht => APO = NOP ( so le) (7)Theo t/c hai tip tuyn ct nhau Ta c PO l tia phn gicAPM => APO = MPO (8).T (7) v (8) => IPO cn ti I c IK l trung tuyn ng thi l ng cao => IK PO. (9)T (6) v (9) => I, J, K thng hng.


54/70

N TUYN SINH 10

48

Bi 8 Cho na ng trn tm O ng knh AB v im M bt k trn na ng trn ( M khc A,B). Trn na mt phng b AB cha na ng trn k tip tuyn Ax. Tia BM ct Ax ti I; tia phn gic cagc IAM ct na ng trn ti E; ct tia BM ti F tia BE ct Ax ti H, ct AM ti K.

1) Chng minh rng: EFMK l t gic ni tip.2) Chng minh rng: AI2 = IM . IB.3) Chng minh BAF l tam gic cn.

4) Chng minh rng : T gic AKFH l hnh thoi.5) Xc nh v tr M t gic AKFI ni tip c mt ng trn.

Li gii:1. Ta c : AMB = 900 ( ni tip chn na ng trn )

=> KMF = 900 (v l hai gc k b).AEB = 900 ( ni tip chn na ng trn )=> KEF = 900 (v l hai gc k b).=> KMF + KEF = 1800 . M KMF v KEF l hai gc i

ca t gic EFMK do EFMK l t gic ni tip.

X

2121

EK

I

H

FM

OATa c IAB = 900 ( v AI l tip tuyn ) => AIB vung ti A c AM IB ( theo trn).

p dng h thc gia cnh v ng cao => AI2

= IM . IB.Theo gi thit AE l tia phn gic gc IAM => IAE = MAE => AE = ME (l do )=> ABE =MBE ( hai gc ni tip chn hai cung bng nhau) => BE l tia phn gic gc ABF. (1)Theo trn ta c AEB = 900 => BE AF hay BE l ng cao ca tam gic ABF (2). T (1) v (2) => BAF l tam gic cn. ti B .

BAF l tam gic cn. ti B c BE l ng cao nn ng thi l ng trung tuyn => E l trungim ca AF. (3)

T BE AF => AF HK (4), theo trn AE l tia phn gic gc IAM hay AE l tia phn gic HAK (T (4) v (5) => HAK l tam gic cn. ti A c AE l ng cao nn ng thi l ng trung tuyn => El trung im ca HK. (6).T (3) , (4) v (6) => AKFH l hnh thoi ( v c hai ng cho vung gc vi nhau ti trung im ca

mi ng). (HD). Theo trn AKFH l hnh thoi => HA // FH hay IA // FK => t gic AKFI l hnh thang. t gic AKFI ni tip c mt ng trn th AKFI phi l hnh thang cn.AKFI l hnh thang cn khi M l trung im ca cung AB.Tht vy: M l trung im ca cung AB => ABM = MAI = 450 (t/c gc ni tip ). (7)Tam gic ABI vung ti A c ABI = 450 => AIB = 450 .(8)T (7) v (8) => IAK = AIF = 450 => AKFI l hnh thang cn (hnh thang c hai gc y bng nhauVy khi M l trung im ca cung AB th t gic AKFI ni tip c mt ng trn .

Bi 9 Cho na ng trn (O; R) ng knh AB. K tip tuyn Bx v ly hai im C v D thu c na ng trn. Cc tia AC v AD ct Bx ln l t E, F (F gia B v E).

1. Chng minh AC. AE khng i.2. Chng minh ABD = DFB.3. Chng minh rng CEFD l t gic ni tip.

Li gii:C thuc na ng trn nn ACB = 900 ( ni tip chn na ng

trn ) => BC AE.

ABE = 900 ( Bx l tip tuy) => tam gic ABE vung tiB c BC l ng cao => ACAE = AB2 (h thc gia cnhv ng cao ), m AB l ng knh nn AB = 2R


55/70

N TUYN SINH 10

49

khng i do AC. AE khng i. ADB c ADB = 900 ( ni tip chn na ng trn ).

=> ABD + BAD = 900 (v tng ba gc ca mt tam gic bng 1800)(1) ABF c ABF = 900 ( BF l tip tuyn ).=> AFB + BAF = 900 (v tng ba gc ca mt tam gic bng 1800) (2)

T (1) v (2) => ABD = DFB ( cng ph vi BAD) DC

A O

X

T gic ACDB ni tip (O) => ABD + ACD = 1800 .ECD + ACD = 1800 ( V l hai gc k b) => ECD = ABD ( cng b vi ACD).Theo trn ABD = DFB => ECD = DFB. M EFD + DFB = 1800 ( V l hai gc k b) nn suyra ECD + EFD = 1800, mt khc ECD v EFD l hai gc i ca t gic CDFE do t gicCEFD l t gic ni tip.

Bi 10 Cho ng trn tm O ng knh AB v im M bt k trn na ng trn sao cho AM < MB.Gi M l im i xng ca M qua AB v S l giao im ca hai tia BM, MA. Gi P l chn ngvung gc t S n AB.

1. Chng minh bn im A, M, S, P cng nm trn mt ng trn 2. Gi S l giao im ca MA v SP. Chng minh rng tam gic

PSM cn.3. Chng minh PM l tip tuyn ca ng trn .

Li gii:1. Ta c SP AB (gt) => SPA = 900 ; AMB = 900 ( ni tip chnna ng trn ) => AMS = 900 . Nh vy P v M cng nhn ASd i mt gc bng 90 0 nn cng nm trn ng trn ng knh AS.

Vy bn im A, M, S, P cng nm trn mt ng trn.2. V Mi xng M qua AB m M nm trn ng trn nn M cngnm trn ng trn => hai cung AM v AM c s o bng nhau

3

()

43

1

1

)(

12

2

1

1H O

S'

M'

M

A B

S

P

=> AMM = AMM ( Hai gc ni tip chn hai cung bng nhau) (1)Cng v Mi xng M qua AB nn MM AB ti H => MM// SS ( cng vung gc vi AB)

=> AMM = ASS; AMM = ASS (v so le trong) (2).=> T (1) v (2) => ASS= ASS.Theo trn bn im A, M, S, P cng nm trn mt ng trn => ASP=AMP (ni tip cng chn AP=> ASP= AMP => tam gic PMS cn ti P.

3. Tam gic SPB vung ti P; tam gic SMS vung ti M => B1 = S1 (cng ph vi S). (3)Tam gic PMS cn ti P => S1 = M1 (4)Tam gic OBM cn ti O ( v c OM = OB =R) => B1 = M3 (5).T (3), (4) v (5) => M1 = M3 => M1 + M2 = M3 + M2 m M3 + M2 = AMB = 90

0 nn sura M1 + M2 = PMO = 90

0 => PM OM ti M => PM l tip tuyn ca ng trn ti MBi 11. Cho tam gic ABC (AB = AC). Cnh AB, BC, CA tip xc vi ng trn (O) ti cc im D,E, F . BF ct (O) ti I , DI ct BC ti M. Chng minh :

1. Tam gic DEF c ba gc nhn.


56/70

N TUYN SINH 10

50

2. DF // BC. 3. T gic BDFC ni tip. 4.CF

BM

CB

BD

Li gii:1. (HD) Theo t/c hai tip tuyn ct nhau ta c AD = AF => tam gic ADF

cn ti A => ADF= AFD < 900 => s cung DF < 1800 => DEF < 900 ( v

gc DEF ni tip chn cung DE).Chng minh t ng t ta c DFE < 900; EDF < 900. Nh vy tam gic DEFc ba gc nhn.

2. Ta c AB = AC (gt); AD = AF (theo trn) =>AD AF

AB AC => DF // BC.

3. DF // BC => BDFC l hnh thang li c B = C (v tam gic ABC cn)=> BDFC l hnh thang cn do BDFC ni tip c mt ng trn . M

I

O

F

E

D

B

A

4. Xt hai tam gic BDM v CBF Ta c DBM = BCF ( hai gc y ca tam gic cn).BDM = BFD (ni tip cng chn cung DI); CBF = BFD (v so le) => BDM = CBF .

=> BDM CBF =>CF

BM

CB

BD

Bi 12 Cho ng trn (O) bn knh R c hai ng knh AB v CD vung gc vi nhau. Trn onthng AB ly im M (M khc O). CM ct (O) ti N. ng thng vung gc vi AB ti M ct tip tuynti N ca ng trn P. Chng minh :

1. T gic OMNP ni tip.2. T gic CMPO l hnh bnh hnh.3. CM. CN khng ph thuc vo v tr ca im M.4. Khi M di chuyn trn on thng AB th P chy trn on thng

c nh no.Li gii:1. Ta c OMP = 900 ( v PM AB ); ONP = 900 (v NP l tip tuyn ).Nh vy M v N cng nhn OP d i mt gc bng 90 0 => M v N cng

nm trn ng trn ng knh OP => T gic OMNP ni tip.2. T gic OMNP ni tip => OPM = ONM (ni tip chn cung OM)Tam gic ONC cn ti O v c ON = OC = R => ONC = OCN

A'

O

PN

M

D

A

C

=> OPM = OCM.Xt hai tam gic OMC v MOP ta c MOC = OMP = 900; OPM = OCM => CMO = POM lic MO l cnh chung => OMC = MOP => OC = MP. (1)Theo gi thit Ta c CD AB; PM AB => CO//PM (2).T (1) v (2) => T gic CMPO l hnh bnh hnh.3. Xt hai tam gic OMC v NDC ta c MOC = 900 ( gt CD AB); DNC = 900 (ni tip chn na ng trn ) => MOC =DNC = 900 li c C l gc chung => OMC NDC

=>CM CO

CD CN => CM. CN = CO.CD m CO = R; CD = 2R nn CO.CD = 2R2 khng i => CM.CN =2R

khng i hay tch CM. CN khng ph thuc vo v tr ca im M.4. ( HD) D thy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P chy trn ng thng c nh vung gcvi CD ti D.V M ch chy trn on thng AB nn P ch chy trn don thng A B song song v bng AB.


57/70

N TUYN SINH 10

51

Bi 13 Cho tam gic ABC vung A (AB > AC), ng cao AH. Trn na mt phng b BC cha in A, V na ng trn ng knh BH ct AB ti E, Na ng trn ng knh HC ct AC ti F.

1. Chng minh AFHE l hnh ch nht.2. BEFC l t gic ni tip.3. AE. AB = AF. AC.4. Chng minh EF l tip tuyn chung ca hai na ng trn .

Li gii:1. Ta c : BEH = 900 ( ni tip chn nc ng trn )

=> AEH = 900 (v l hai gc k b). (1)CFH = 900 ( ni tip chn nc ng trn )=> AFH = 900 (v l hai gc k b).(2)EAF = 900 ( V tam gic ABC vung ti A) (3)

()

12

2 11 I FE

O2O1 H CB

A

1T (1), (2), (3) => t gic AFHE l hnh ch nht ( v c ba gc vung).

2. T gic AFHE l hnh ch nht nn ni tip c mt ng trn => F1=H1 (ni tip chncung AE) . Theo gi thit AH BC nn AH l tip tuyn chung ca hai na ng trn (O 1) v (O2)=> B1 = H1 (hai gc ni tip cng chn cung HE) => B1= F1 => EBC+EFC = AFE + EFC

m AFE + EFC = 1800

(v l hai gc k b) => EBC+EFC = 1800

mt khc EBC v EFC l hagc i ca t gic BEFC do BEFC l t gic ni tip.3. Xt hai tam gic AEF v ACB ta c A = 900 l gc chung; AFE = ABC ( theo Chng

minh trn) => AEF ACB =>AE AF

AC AB => AE. AB = AF. AC.

*HD cch 2: Tam gic AHB vung ti H c HE AB => AH2 = AE.AB (*)Tam gic AHC vung ti H c HF AC => AH2 = AF.AC (**)T (*) v (**) => AE. AB = AF. AC

4. T gic AFHE l hnh ch nht => IE = EH => IEH cn ti I => E1 = H1 .O1EH cn ti O1 (v c O1E vO1H cng l bn knh) => E2 = H2.

=> E1 + E2 = H1 + H2 m H1 + H2 = AHB = 900

=> E1 + E2 = O1EF = 900

=> O1E EF Chng minh t ng t ta cng c O 2F EF. Vy EF l tip tuyn chung ca hai na ng trn .

Bi 14 Cho im C thuc on thng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. V v mt pha ca AB ccna ng trn c ng knh theo th t l AB, AC, CB v c tm theo th t l O, I, K. ng vung gc vi AB ti C ct na ng trn (O) ti E. Gi M. N theo th t l giao im ca EA,EB vi cc na ng trn (I), (K).

1. Chng minh EC = MN.2. Chng minh MN l tip tuyn chung ca cc na ng

trn (I), (K).3. Tnh MN.4. Tnh din tch hnh c gii hn bi ba na ng trn

Li gii:1. Ta c: BNC= 900( ni tip chn na ng trn tm K)

1H

1

N

M

CI O K

E

A

32

21

1=> ENC = 900 (v l hai gc k b). (1)

AMC = 900 ( ni tip chn nc ng trn tm I) => EMC = 900 (v l hai gc k b).(2)AEB = 900 (ni tip chn na ng trn tm O) hay MEN = 900 (3)

T (1), (2), (3) => t gic CMEN l hnh ch nht => EC = MN (tnh cht ng cho hnh ch nht )2. Theo gi thit EC AB ti C nn EC l tip tuyn chung ca hai na ng trn (I) v (K)


58/70

N TUYN SINH 10

52

=> B1 = C1 (hai gc ni tip cng chn cung CN). T gic CMEN l hnh ch nht nn => C1= N3=> B1 = N3.(4) Li c KB = KN (cng l bn knh) => tam gic KBN cn ti K => B1 = N1 (5)

T(4) v (5) => N1 = N3 m N1 + N2 = CNB = 900 => N3 + N2 = MNK = 90

0 hayMN KN ti N => MN l tip tuyn ca (K) ti N.

Chng minh t ng t ta cng c MN l tip tuyn ca (I) ti M,

VyMN l tip tuyn chung ca cc na ng trn (I), (K).

3. Ta c AEB = 900 (ni tip chn nc ng trn tm O) => AEB vung ti A c EC AB (g=> EC2 = AC. BC EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo trn EC = MN => MN = 20 cm.

4. Theo gi thit AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cmTa c S(o) = .OA

2 = 252 = 625 ; S(I) = . IA2 = .52 = 25 ; S(k) = .KB

2 = . 202 = 400 .

Ta c din tch phn hnh c gii hn bi ba na ng trn l S =12

( S(o) - S(I) - S(k))

S =1

2( 625 - 25 - 400 ) =

1

2.200 = 100 314 (cm2)

Bi 15 Cho tam gic ABC vung A. Trn cnh AC ly im M, dng ng trn (O) c ng knh

MC. ng thng BM ct ng trn (O) ti D. ng thng AD ct ng trn (O) ti S. 1. Chng minh ABCD l t gic ni tip .2. Chng minh CA l tia phn gic ca gc SCB.3. Gi E l giao im ca BC vi ng trn (O). Chng minh rng cc ng thng BA, EM, CD

ng quy.4. Chng minh DM l tia phn gic ca gc ADE.5. Chng minh im M l tm ng trn ni tip tam gic ADE.

Li gii:

32

3

3

2 2

2

1

1

1

1

F

O

MS

D

E

BA

C

Hnh a

F

12

C

AB

ED

SM

O

1

1

11

2

223

2Hnhb

1. Ta c CAB = 900 ( v tam gic ABC vung ti A); MDC = 900 ( gc ni tip chn na ng trn )=> CDB = 900 nh vy D v A cng nhn BC d i mt gc bng 900 nn A v D cng nm trn

ng trn ng knh BC => ABCD l t gic ni tip .2. ABCD l t gic ni tip => D1= C3( ni tip cng chn cung AB).

D1= C3 => SM EM => C2 = C3 (hai gc ni tip ng trn (O) ch n hai cung bng nhau)=> CA l tia phn gic ca gc SCB.

3. Xt CMB Ta c BACM; CD BM; ME BC nh vy BA, EM, CD l ba ng cao ca tam gicCMB nn BA, EM, CD ng quy.

4. Theo trn Ta c SM EM => D1= D2 => DM l tia phn gic ca gc ADE.(1)


59/70

N TUYN SINH 10

53

5. Ta c MEC = 900 (ni tip chn na ng trn (O)) => MEB = 900.T gic AMEB c MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = 1800 m y l hai gc i nn tgic AMEB ni tip mt ng trn => A2 = B2 .T gic ABCD l t gic ni tip => A1= B2( ni tip cng chn cung CD)=> A1= A2 => AM l tia phn gic ca gc DAE (2)

T(1) v (2) Ta c M l tm ng trn ni tip tam gic ADE TH2(Hnh b)Cu 2 : ABC = CME (cng ph ACB); ABC = CDS (cng bADC) => CME = CDS

=> CE CS SM EM => SCM = ECM => CA l tia phn gic ca gc SCB.Bi 16 Cho tam gic ABC vung A.v mt im D nm gia A v B. ng trn ng knh BD ctBC ti E. Cc ng th ng CD, AE ln l t ct ng trn ti F, G.

Chng minh :1. Tam gic ABC ng dng vi tam gic EBD.2. T gic ADEC v AFBC ni tip .3. AC // FG.

4. Cc ng thng AC, DE, FB ng quy.Li gii:1. Xt hai tam gic ABC v EDB Ta c BAC = 900 ( v tam gic ABCvung ti A); DEB = 900 ( gc ni tip chn na ng trn )=> DEB = BAC = 900 ; li c ABC l gc chung => DEB CAB .2. Theo trn DEB = 900 => DEC = 900 (v hai gc k b); BAC = 900( v ABC vung ti A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 my l hai gc i nn ADEC l t gic ni tip .

G1

1

O

S

D

E

B

A

1F

* BAC = 900 ( v tam gic ABC vung ti A); DFB = 900 ( gc ni tip chn na ng trn ) hayBFC = 900 nh vy F v A cng nhn BC d i mt gc bng 90 0 nn A v F cng nm trn ng trn

ng knh BC => AFBC l t gic ni tip.3. Theo trn ADEC l t gic ni tip => E1 = C1 li c E1 = F1 => F1 = C1 m y l hai gc sole trong nn suy ra AC // FG.4. (HD) D thy CA, DE, BF l ba ng cao ca tam gic DBC nn CA, DE, BF ng quy ti S.

Bi 17. Cho tam gic u ABC c ng cao l AH. Trn cnh BC ly im M bt k ( M khng trng B.C, H ) ; t M k MP, MQ vung gc vi cc cnh AB. AC.

1. Chng minh APMQ l t gic ni tip v hy xc nh tm O ca ng trn ngoi tip t gic 2. Chng minh rng MP + MQ = AH.3. Chng minh OH PQ.

Li gii:

1. Ta c MP AB (gt) => APM = 900

; MQ AC (gt)=> AQM = 900 nh vy P v Q cng nhn BC d i mt gcbng 900 nn P v Q cng nm trn ng trn ng knhAM => APMQ l t gic ni tip.* V AM l ng knh ca ng trn ngoi tip t gicAPMQ tm O ca ng trn ngoi tip t gic APMQ ltrung im ca AM.

2. Tam gic ABC c AH l ng cao =>

SABC = 12 BC.AH.

Tam gic ABM c MP l ng cao =>

SABM =12

AB.MP

Tam gic ACM c MQ l ng cao =>

SACM =1

2AC.MQ


60/70

N TUYN SINH 10

54

O

M

Q

P

H CB

A

21

Ta c SABM + SACM = SABC =>1

2AB.MP +

1

2AC.MQ =

1

2BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH

M AB = BC = CA (v tam gi c ABC u) => MP + MQ = AH.3. Tam gic ABC c AH l ng cao nn cng l ng phn gic => HAP = HAQ => HP HQ (tnh cht gc ni tip ) => HOP = HOQ (t/c gc tm) => OH l tia phn gic gc POQ. M tam giPOQ cn ti O ( v OP v OQ cng l bn knh) nn suy ra OH cng l ng cao => OH PQBi 18 Cho ng trn (O) ng knh AB. Trn on thng OB ly im H bt k ( H khng trng O, B; trn ng thng vung gc vi OB ti H, ly mt im M ngoi ng trn ; MA v MB th t ct ng trn (O) ti C v D. Gi I l giao im ca AD v BC.

1. Chng minh MCID l t gic ni tip .2. Chng minh cc ng thng AD, BC, MH ng quy ti I.3. Gi K l tm ng trn ngoi tip t gic MCID, Chng minh KCOH l t gi c ni tip .

Li gii:1. Ta c : ACB = 900 ( ni tip chn nc ng trn )=> MCI = 900 (v l hai gc k b).ADB = 900 ( ni tip chn nc ng trn )=> MDI = 900 (v l hai gc k b).=> MCI + MDI = 1800 m y l hai gc i ca t gic MCID nnMCID l t gic ni tip.

2. Theo trn Ta c BC MA; AD MB nn BC v AD l hai ng cao ca tam gic MAB m BC v AD ct nhau ti I nn I l trctm ca tam gic MAB. Theo gi thit th MH AB nn MH cng l ng cao ca tam gi c MAB => AD, BC, MH ng quy ti I.

3. OAC cn ti O ( v OA v OC l bn knh) => A1 = C4KCM cn ti K ( v KC v KM l bn knh) => M1 = C1 .

_

_

4 321I

O H

K

DC

M

A B1

1

M A1 + M1 = 900 ( do tam gic AHM vung ti H) => C1 + C4 = 90

0 => C3 + C2 = 900 ( v g

ACM l gc bt) hay OCK = 900 .Xt t gic KCOH Ta c OHK = 900; OCK = 900 => OHK + OCK = 1800 m OHK v OCK hai gc i nn KCOH l t gic ni tip.


61/70

N TUYN SINH 10

55

Bi 19. Cho ng trn (O) ng knh AC. Trn bn knh OC ly im B tu (B khc O, C ). Gi M ltrung im ca on AB. Qua M k dy cung DE vung gc vi AB. Ni CD, K BI vung gc vi CD.

1. Chng minh t gic BMDI ni tip .2. Chng minh t gic ADBE l hnh thoi.3. Chng minh BI // AD.4. Chng minh I, B, E thng hng.

5. Chng minh MI l tip tuyn ca (O).Li gii:

1. BIC = 900 ( ni tip chn na ng trn ) => BID = 900(v l hai gc k b); DE AB ti M => BMD = 900=> BID + BMD = 1800 m y l hai gc i ca t gic MBIDnn MBID l t gic ni tip.

2. Theo gi thit M l trung im ca AB; DE AB ti M nn Mcng l trung im ca DE (quan h ng knh v dy cung)

21 1

//

1

O'

E

321I

O

D

MA

B

=> T gic ADBE l hnh thoi v c hai ng cho vung gc vi nhau ti trung im ca mi ng . 3. ADC = 900 ( ni tip chn na ng trn ) => AD DC; theo trn BI DC => BI // AD. (1)4. Theo gi thit ADBE l hnh thoi => EB // AD (2).

T (1) v (2) => I, B, E thng hng (v qua B ch c mt ng thng song song vi AD m thi.)5. I, B, E thng hng nn tam gic IDE vung ti I => IM l trung tuyn ( v M l trung im ca DE)

=>

Documents

Tai Lieu Tong Hop Cac Dang Toan Tuyen Sinh 10 Co Minhhoa de Cac Nam Qua