Tai Lieu on Thi Dai Hoc Mon Toan

LTĐH Cấp Tốc 2014 GV: Đoàn Văn Tính

(LTĐH CT 2014 - Q-Bình Tân,Q11-HCM ) 0946069661 Trang 1

SỐ PHỨC

A:LÝ THUYẾT:

I. SỐ PHỨC VÀ BIỂU DIỄN SỐ PHỨC :

1. Định nghĩa: Số phức là một biểu thức có dạng a bi , trong đó 2, ; 1a b i .

Số phức z a bi có a là phần thực, b là phần ảo.

Số phức z a bi được biểu diễn bởi điểm ;M a b hay bởi ;u a b

trong mặt phẳng tọa

độ Oxy.

z = a + 0i là số thực

z = 0 + bi là số thuần ảo

z = 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo

Hai số phức bằng nhau : a c

a bi c dib d

.

Modun của số phức z a bi chính là độ dài của OM

. Vậy :

2 2z OM a b

.

Số phức liên hợp của số phức z a bi là số phức z a bi .

Chú ý rằng : các điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục hoành. Do đó z là số thực khi và chỉ khi z z , z là số ảo khi và chỉ khi z z

2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC :

a. Phép cộng, trừ, nhân hai số phức :

a bi c di a c b d i

a bi c di a c b d i

a bi c di ac bd ad bc i

Chú ý :

Các phép toán : cộng, trừ, nhân hai số phức thực hiện như rút gọn biểu thức đại số quen thuộc với

chú ý rằng 2 1i . Các quy tắc đại số đã biết trên tập số thực vẫn được áp dụng trên tập số

phức.

1 2 3 4, 1, , 1i i i i i i . Tổng quát : 4 4 1 4 2 4 31, , 1,n n n ni i i i i i .

2

1 2i i ; 2

1 2i i .

b. Phép chia hai số phức :

2 2

a bi c di a bi c dia bi

c di c di c di c d

.

Như vậy :



2

. .

.

z z z z z

z z z z

Chú ý :

1

1

ii

i

.

c. Các tính chất của số phức liên hợp và modun :

z z ; z z z z ; .zz z z ; z z

z z

0z với mọi z , 0 0z z .

z z ; zz z z ; zz

z z

; z z z z

Tính kết hợp: ( z + z/ ) + z

// = z + ( z

/ + z

// )

Tính giao hoán : z + z/ = z

/ + z

Cộng với 0: z + 0 = 0 + z = z

z = a + bi = > - z = - a – bi là số đối của z

II: PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI

1 Căn bậc 2 của số phức:

1. Định nghĩa : Số phức z là căn bậc hai của số phức w nếu :

2z w .

Như vậy để tìm Số phức z x yi ,x y là căn bậc hai của số phức w a bi ta

giải hệ phương trình hai ẩn x, y thực sau :

2 2

2

x y a

xy b

Chú ý :

Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0.

Số thực 0a có đúng hai căn bậc hai là : a

Số thực 0a có hai căn bậc hai là i a i a . Đặc biệt , số 1 có hai căn bậc hai

là i .

2. Phƣơng trình bậc hai :

Cho phương trình bậc hai 2 0az bz c ( , , , 0a b c a ).



Nếu 0 , phương trình có một nghiệm kép 2

bz

a .

Nếu 0 , phương trình có hai nghiệm thực phân biệt :

1,22

bz

a

,

Nếu 0 , phương trình có hai nghiệm ảo phân biệt :

1,22

bz

a

,

a. Định lý Viet :

Nếu phương trình bậc hai 2 0az bz c ( , , , 0a b c a ) có hai nghiệm

1 2,z z thì :

1 2

bz z

a và 1 2

cz z

a .

b. Định lý đảo của định lý Viet :

Nếu hai số 1 2,z z có tổng 1 2z z S và

1 2z z P thì 1 2,z z là nghiệm của phương trình :

2 0z Sz P .

III: DẠNG LƢỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

1. Dạng lƣợng giác của số phức :

Số phức 0z a bi có dạng lượng giác là : cos sinz r i ; trong đó : 0r z ,

cosa

r , sin

b

r , ,Ox OM là một acgumen của z .

Các tính chất của acgumen :

Nếu là một acgumen của z thì là một acgumen của z .

Nếu là một acgumen của z thì là một acgumen của z .

2. Nhân, chia số phức dƣới dạng lƣợng giác :

Nếu cos sinz r i và cos sinz r i thì :

cos sinzz rr i ,

cos sinz r

iz r

.

3. Lũy thừa số phức dƣới dạng lƣợng giác :

Nếu cos sinz r i thì cos sinn nz r n i n 1n và n .

4. Căn bậc hai của số phức dƣới dạng lƣợng giác :

Nếu cos sinz r i thì các căn bậc hai của z là :



2 2cos sin

2 2

k kr i

, với 0k hay 1k .

B. Bài tập rèn luyện: Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:

1 1 6 11

45 5 5 5

A i i i

;

1 2 1 2

1 2 1 2

i i i iB

i i i i

3 3 2 3

2 3 3 3

i iC

i i

;

2008 2010 2012

2007 2009 2011

1 1 1D i i i

i i i

2010 20101 1

1 1

i iE

i i

;

30101 1

1 2 3 2 31

iF i i i

i i

2 3 20

1 1 1 1 .... 1G i i i i ; 2 3 20

1 1 1 1 .... 1H i i i i

Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a. (7+2i)x-4+5i = -2+8i ;b. (3+2i)x-6ix=(1-2i)[x-(1+5i)]

c. 2 1 3

1 2

i iz

i i

; d.

12 3 0

2i z i iz

i

e. 2 2 4z z i ; f.

3

21

3 3 3 2 181

ix i x i x

i

g. z2+ z =0 ; h. z

2+ z =0 ; i. z

2+

2z =0

k. (1-ix)2 + (3+2i)x-5=0 ; l. x

4-x

2 -6=0

m. 2x4+3x

2+1=0 ; n. 4x

4+4x

2+1=0

Bài 3: Biết 1 2,x x là hai nghiệm của PT: 22 3 3 0x x . Hãy tính:

a. A=2 2

1 2x x ; b. B=3 3

1 2x x ; c. C=4 4

1 2x x ; d. D=1 2

2 1

x x

x x ; e. E= 2 2

1 2

1 1

x x

Bài 4: Tìm các số a, b để có được phân tích sau:

a. 2z3-9z

2+14z-5=(2z-1)(z

2+az+b)=0 rồi giải PT trên tập C: 2z

3-9z

2+14z-5=0

b. x4-4x

2-16x-16=(x

2-2x-4)(x

2+ax+b) rồi giải PT trên tập C: x

4-4x

2-16x-16=0

Bài 5: Lập PT bậc hai có nghiệm là:

a. 1 2i và 1 2i ; b. 3 2i và 3 2i ; c. 3 2i và 3 2i

Bài 6: Tìm số phức z thõa :

1.(z+i)2=1 ; 2.(z+1)(z-1)=2+4i ; 3.

21

1

zi

z

; 4. z -2z=1+2i đs:z=-I ;

5. 108 12 161 5

3 2 5 3; :90 3

Z Z i kq z i

; 6.2 1 17 7

:2 23 2

z i z ikq z i

z i z

7. 2 1 1 1 1; : 0; ;

2 2 2 2z z z kq z z i z i

;8.

2

10; : 10; 10; 10; 10

zkq z i z i z z

z lasothuc



9 . 1 2 640 3 16 3 2 640 3 16 2 640 3 16 3 2 640 3 16

;20 80 20 80. 2 3

z i z iz i z i

z z

10. z +z=3-4i 7

: 46

kq z i

; 11. 4

1z i

z i

(đs:z=0;z=1;z=-1) ; 12.

11

31

z

z i

z i

z i

;

13. 2

1

z i z

z i z

(đs: z=1+i); 14. 3z và z2 là số thuần ảo

6 6 6 6 6 6 6 6: ; ; ;

2 2 2 2 2 2 2 2kq z i z i z i z i

14. 3 2

. 20

z i

z z

; 15. 2 2

2 z z z ;16. 2 1 5 2z i và z2 là số thuần ảo

Bài 7:Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thõa mỗi điều kiện sau:

a. 1z và phần ảo của z thuộc đoạn 1 1

;2 2

;b. 3 4z z ; c. 1 2z z i

d. (2-z)(i- z ) là số thực tùy ý ; e. (2-z)(i+ z ) là số ảo tùy ý; f. 2 2z i z z i ; g. 2 2( ) 4z z

h. 4 1z ; i. 2 1 3z i z i ; k. 2z z ; l. 2 1z z ; m. 2 3 13z z i

n. 2 3 2z i z z i ; p. 2 3 14z i ; q. 1 2 3 2 6z i z i ; r. z+2i là số thực

s. z-2+i là số thuần ảo; t. z. z =9 ; v.3

1z i

z i

; u. 1 2z i ; x. 1 1 4z z

II. Các bài trong các đề thi đại học và bài tập làm thêm: 1. ĐH 2009A(CB) Gọi 1 2,z z là hai nghiệm của PT z

2+2z+10 = 0. Tính giá trị của biểu thức A=

2 2

1 2z z

KQ:A=20

2. ĐH 2009B(CB) Tìm số phức z thõa mãn 2 10z i và .Z Z =25 KQ: z=3+4i ; z=5

3. ĐH 2009D Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thõa mãn diều kiện

3 4 2z i KQ: Đường tròn tâm I(3;-4), bán kính R=2

4. CĐ 2009A,B,D (CB) Cho số phức z thõa mãn: (1+i)2(2-i)z=8+i(1+2i)z. Xác định phần thực và phần ảo

của z KQ: phần thực: -2; phần ảo: 5

5. CĐ 2009A,B,D (NC) Giải PT: 4 3 7

2z i

z iz i

trên tập số phức. KQ: 1 21 2 ; 3z i z i

6. ĐH 2010A(CB) Tìm phần ảo của số phức z, biết: 2

2 1 2Z i i KQ: 2

7. ĐH 2010A(NC) Cho số phức z thõa mãn:

3

1 3

1

iZ

i

.Tìm môđun của Z iZ KQ: 8 2

8. ĐH 2010B Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thõa mãn diều kiện

1z i i z KQ: Đường tròn tâm I(0;1), bán kính R= 2



9. ĐH 2010D Tìm số phức z thõa mãn điều kiện 2z và z2 là số thuần ảo.

KQ: 1 2 3 41 ; 1 ; 1 ; 1z i z i z i z i

10. CĐ 2010A,B,D (CB) Cho số phức z thõa mãn: 2

2 3 4 1 3i Z i Z i Xác định phần thực và

phần ảo của z KQ: phần thực: -2; phần ảo: 5

11. CĐ 2010A,B,D (NC) Giải PT: z2-(1+i)z+6+3i=0 trên tập số phức. KQ:

1 21 2 ; 3x i x i

12. TN 2011(CB) Giải PT: (1-i)z+2-i=4-5i trên tập số phức. KQ:z=3-i

13. TN 2011(NC) Giải PT: (z-i)2+4=0 trên tập số phức. KQ: 1 23 ;z i z i

14. ĐH 2011D(CB) Tìm số phức z, biêt: 2 3 1 9z i z i KQ: z=2-i

15. ĐH 2011B(CB) Tìm số phức z, biêt: 1 2

5 31 0 : 1 3; 2 3

iz kq z i z i

z

16. ĐH 2011B(NC) Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau :

3

1 3

1

iz

i

(kq: phân thưc băng 2 và phần ảo bằng 2)

17. ĐH 2011A(CB) Tìm số phức z, biêt: 22

1 2 3

1 1 1 1; : 0; ;

2 2 2 2z z z kq z z i z i

18. ĐH 2011A(NC) Tính môđun của số phức z , biêt: 2

2 1 1 1 1 2 2 ; :3

z i z i i kq z

19. Cho số phức z thỏa 5( )

21

z ii

z

. Tính môđun của số phức w = 1 + z + z

2. ( A 2012-NC)

20. Cho số phức z 1 3i . Viết dạng lượng giác của z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức 5w (1 i)z . ( A 2013 –NC)

21. Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 2 3 4 0z iz . Viết dạng lượng giác của z1 và z2 (

B 2012 –NC)

22. Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z + 2(1 2 )

7 81

ii

i

. Tìm môđun của số phức w = z + 1 + i.

( D 2012)

23. Giải phương trình z2 + 3(1 + i)z + 5i = 0 trên tập hợp các số phức. ( D 2012 – NC)

24. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 i)(z i) 2z 2i .Tính môđun của số phức 2

z 2z 1w

z

( D

2013)

Làm thêm 25. Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 22 4 11 0z z . Tính giá trị của biểu thức

2 2

1 2

2

1 2

z zA

z z

.

ĐS: A=11/4

26. Tìm số phức z thoả mãn: 2 2z i . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.

ĐS: 2 2 1 2 , 2 2 1 2z i z i .



27. Tìm số phức z thỏa mãn:

11 1

31 2

z

z i

z i

z i

.

HD: Gọi z=x+yi; (1)x=y, (2)y=1.

ĐS: z=1+i.

28. Giải phương trình:

4

1z i

z i

.

ĐS: z{0;1;1}

29. Giải phương trình: 2 0z z .

HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình x, y z.

ĐS: z{0;i;i}

30. Giải phương trình: 2 0z z .

HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình x, y z.

ĐS: z=0, z=1, 1 3

2 2z i

31. Giải phương trình: 2

4 3 1 02

zz z z .

HD: Chia hai vế phương trình cho z2.

ĐS: z=1±i, 1 1

2 2z i .

32. Giải phương trình: z5 + z

4 + z

3 + z

2 + z + 1 =0.

HD: Đặt thừa số chung

ĐS:1 3 1 3

1, ,2 2 2 2

z z i z i .

33. Cho phương trình: (z + i)(z22mz+m

22m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương

trình:

a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức. b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực. c. Có ba nghiệm phức.

34. Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:

a. z3iz

22iz2 = 0. b. z

3+(i3)z

2+(44i)z7+4i = 0.

35. Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: 2 2z i z z i .

ĐS: 2

4

xy .

36. Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:

a.

10

9

(1 i)

3 i

. b. 75cos sin 1 3

3 3i i i

.

ĐS: a. Phần thực 1

16 , phần ảo bằng 0, b. Phần thực 0, phần ảo bằng 128.

Documents

Tai Lieu on Thi Dai Hoc Mon Toan