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Table des matièresTable des matières ..............................................................................................................1Propos introductif .................................................................................................................2La mortalité ..........................................................................................................................3
Tables de mortalité (ou tables de survie) .........................................................................3Présentation française ..................................................................................................3Les survivants...............................................................................................................3Les décès .....................................................................................................................4Le quotient de mortalité ................................................................................................4La probabilité de survie.................................................................................................5
L�espérance de vie...............................................................................................................6Première méthode............................................................................................................7
Calcul de eo ..................................................................................................................8Deuxième méthode ........................................................................................................10
Calcul de l�espérance de vie à la naissance : .............................................................11Calcul de l�espérance de vie à un âge quelconque x..................................................12
Technique si les classes sont égales ......................................................................12Technique si les classes sont inégales.......................................................................13
Technique si on ne calcule pas l�espérance de vie à la naissance et que la table estconstruite avec des classes inégales. .....................................................................14
Troisième méthode.........................................................................................................15Exemple de calculs quand on connaît l�espérance de vie : .....................................17
LE DIAGRAMME DE LEXIS ..............................................................................................18Le diagramme de Lexis ..................................................................................................19
Présentation générale.................................................................................................20Exemple de la mortalité ..............................................................................................21Exemple de la divortialité............................................................................................22Schéma général de signification des figures ..............................................................23Age atteint et âge révolu.............................................................................................24Exemple de signification sur la mortalité.....................................................................25
2
PPPRRROOOPPPOOOSSS IIINNNTTTRRROOODDDUUUCCCTTTIIIFFF
Démographie = "Etude quantitative des populations, de leur mouvement, de leurrenouvellement "
En démographie, la population est un groupe d�individus qui se trouvent sur un territoire =
population résidant sur un territoire.
Ex : la population française en démographie = population qui réside en France et
non pas population de nationalité française.
Plus concrètement, la démographie, c�est l�étude des phénomènes démographiquessachant qu�un phénomène démographique se manifeste par un événementdémographique.
Exemples : Evénement démographique - Phénomène démographique
naissance - Fécondité, Natalité
décès - Mortalité
mariage - Nuptialité
divorce - Divortialité
La démographie, c�est l�étude de tous ces phénomènes et des migrations aussi. Mais, par
extension, la démographie a une multiplicité d�objets.
Ex : l�étude de la natalité et de la fécondité amènent à se pencher sur les conditions de
mise en couple, mais aussi les comportements sexuels (homosexualité, prostitution).
L�étude de la mortalité donne lieu à des travaux sur l�alcoolisme, le suicide etc.
NB : organisme de référence = I.N.E.D ; Revue = Population
3
LLLAAA MMMOOORRRTTTAAALLLIIITTTÉÉÉ
TTTAAABBBLLLEEESSS DDDEEE MMMOOORRRTTTAAALLLIIITTTÉÉÉ (((OOOUUU TTTAAABBBLLLEEESSS DDDEEE SSSUUURRRVVVIIIEEE)))
Elles relèvent de calculs complexes et sont élaborées à partir de la mortalité sur les
années passées et de prévisions sur les années à venir.
Présentation française
Age x Sx d(x,x+1) 1qx 1px
0 S0 = 100 000 d(0,1) = 5 000 1q0 = 50 °/∞ 1p0 = 950 °/∞
1 S1 = 95 000 d(1,2) 1p1 1q1
2 S2 d(2,3) 1q2 1p2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x Sx d(x,x+1) 1qx 1px
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
99 S99 d(99,100) 1q99 1p99
S100 = 0
Les survivantsSx = nombre de survivants à l�âge x
Ex : S0 = nombre de survivants à l�âge 0 = nombre de survivants à la naissance = nombre
de naissances vivantes.
4
S1 = nombre de survivants à l�âge de 1 an = nombre d�individus ayant fêté leur premier
anniversaire
Les décèsd(x, x+1) : décès entre l�âge x et l�âge x+1
Plus généralement, d(x, x+a) = décès entre un âge x et un âge x+a.
d(x, x+a) = Sx - Sx+a
Ex : d(0,1) = S0 - S1
Pour comptabiliser le nombre de décès entre l�âge de 0 et l�âge de 1 an, il suffit de faire la
différence entre le nombre de naissances et le nombre de survivants qu�il nous reste à 1
an.
Ici, d(0,1) = S0 - S1
= 100 000 - 95 000= 5 000
Le quotient de mortalité
aqx = Quotient de mortalité entre l�âge x et l�âge x+a
Attention à la notation : 5q10 = quotient de mortalité entre l�âge de 10 ans et l�âge de 15
ans (10+5), et non pas quotient de mortalité entre 5 et 10 ans.
aqx = Probabilité de décéder entre l�âge x et l�âge x+a
Ex : 1q0 = quotient de mortalité entre 0 et 1an
= probabilité de décéder entre 0 et 1 an
aqx = d(x, x + a)
Sx
Ex : 1q0 = d(0,1)
S0
5
= 5 000
100 000 = 0,05 = 50 °/∞
Le quotient de mortalité s�exprime généralement pour 1 000.
1q0 = 50 °/∞Cela signifie qu�un individu a 50 « chances » sur 1 000 de décéder entre 0 et 1 an.
La probabilité de survie
apx = probabilité de survie entre l�âge x et l�âge x+a
Même notation que pour le quotient de mortalité
Ex : 1p5 = probabilité de survie entre 5 et 6 ans
La probabilité de survie est le complément du quotient de mortalité.
apx + aqx = 1
D�où, apx = 1 - aqx
= 1 - d(x, x + a)
Sx
= 1 - S S
Sx x+a
x
−
=1 - SS
x
x +
SSx+a
x
apx = SS
x+a
x
Ex : 1p0 = SS
1
0 =
95 000100 000
= 0,95 = 950 °/∞
Cela signifie qu�un individu a 950 chances sur 1 000 de survivre entre 0 et 1 an.
6
LLL���EEESSSPPPÉÉÉRRRAAANNNCCCEEE DDDEEE VVVIIIEEE
Notation : ex = espérance de vie à l�âge x
e0 = espérance de vie à la naissance
ex est une moyenne : c�est le nombre moyen d�années qui restent à vivre à unepersonne qui a atteint l�âge x
Difficulté : il n�existe pas de « formule magique » toute prête qui nous donne l�espérance
de vie à un âge quelconque x. En fait, la formule de l�espérance de vie dépend de la
présentation de la table de survie (des classes d�âges) et de l�âge x auquel on veut
calculer l�espérance de vie.
Concrètement, il existe 3 méthodes pour calculer l�espérance de vie.
7
PPPRRREEEMMMIIIÈÈÈRRREEE MMMÉÉÉTTTHHHOOODDDEEE
=méthode intuitive, expression littérale.
On sait que ex est une moyenne, donc la formule est du type : 1N
n xi i∑
Age x Sx d(x,x+1)0 S0 d(0,1)1 S1 d(1,2)2 S2 d(2,3)...
.
.
.
.
.
.x Sx d(x,x+1)...
.
.
.
.
.
.99 S99 d(99,100)
Dans le cas de l�espérance de vie :
N = somme des décès
ni = effectif de décès
xi = âge au décès
Mais, en réalité : 1N
n xi i∑ = âge moyen au décès.
Or, ex = nombre moyen d�années qui restent à vivre quand on a atteint l�âge x. Par
conséquent, il faut retrancher l�âge atteint.
ex = 1N
n xi i∑ - âge atteint
N et ni sont donnés par la table de mortalité.
8
xi est l�âge au décès. Par commodité, on considère généralement que des individus qui
décèdent entre un âge x et un âge x+a décèdent tous à l�âge x (x a)
2+ +
. xi est le centre de
classe : on considère que tout le monde meurt au milieu.
Ex : on considère que les individus qui décèdent entre 0 et 1 an décèdent à
02+ 1
= 0,5 an
Calcul de eo
On a :
ex = 1N
n xi i∑ - âge atteint
e0 = 1
d(0,99)n xi i∑ - 0
Or, d(0,99) = S0
e0 = 1S
n x0
i i∑
Dans le cas de la table de survie précédente :
e0 =1
100 000[0,5 d(0,1) + 1,5 d(1,2) + 2,5 d(2,3) + ... + (x + 0,5) d(x,x+1) + ... +
99,5 d (99,100)]
Cette méthode n�est en fait jamais utilisée pour calculer e0 (calculs trop lourds) ; elle sert
seulement pour des calculs ponctuels simples.
9
Exemple :
Age x Sx d(x,x+1)...
.
.
.
.
.
.97 1 000 30098 700 50099 200 200100 0 -
Calculer l�espérance de vie à 97 ans.
ex = 1N
n xi i∑ - âge atteint
e97 = 1N[97,5 d(97,98) + 98,5 d(98,99) + 99,5 d(99,100)] - âge atteint
e97 = 1
1 000 [97,5 x 300 + 98,5 x 500 + 99,5 x 200] - 97
e97 = 1,4 ans
Un individu qui a atteint 97 ans a encore 1,4 ans en moyenne à vivre (son âge moyen au
décès est de 97 + 1,4 = 98,4 ans).
10
DDDEEEUUUXXXIIIÈÈÈMMMEEE MMMÉÉÉTTTHHHOOODDDEEE
On ne s�intéresse qu�à ceux qui meurent.
C�est la meilleure méthode pour le calcul de l�espérance de vie à la naissance.
Soit la table de survie suivante :
Age x Sx d(x,x+1)0 S0 d(0,1)1 S1 d(1,2)2 S2 d(2,3)...
.
.
.
.
.
.x Sx d(x,x+1)...
.
.
.
.
.
.99 S99 d(99,100)
11
Calcul de l�espérance de vie à la naissance :
Pour calculer e0, on repart de la formule :
e0 = 1S
n x0
i i∑
On adopte la disposition de calcul suivante :
Age xi ni nixi nixi0
0,5 d(0,1) 0,5 . d(0,1) 0,5 . d(0,1)1
1,5 d(1,2) 1,5 . d(1,2) 0,5 . d(1,2) + 1. d(1,2)2
2,5 d(2,3) 2,5 . d(2,3) 0,5 . d(2,3) + 1. d(2,3) + 1. d(2,3)3
3,5 d(3,4) 3,5 . d(3,4) 0,5 . d(3,4) + 1. d(3,4) + 1. d(3,4) + 1. D(3,4)4
n xi i∑ = 0,5 S0 + 1. S1 + 1. S2 + 1. S3 .....
En effet : d(0,1) + d(1,2) + d(2,3) + ... + d(99,100) = S0
d(1,2) + d(2,3) + ... + d(99,100) = S1
d(2,3) + ... + d(99,100) = S2
ETC.
D�où, e0 = 1S
n x0
i i∑ = 0,5 S + S + S + ... + S
S0 1 2 99
0
e0 = 0,5 + S + S + ... + S
S1 2 99
0
12
Calcul de l�espérance de vie à un âge quelconque x si les classes sont égalesA partir de la formule de l�espérance de vie à la naissance, on peut déduire toutes les
formules d�espérance de vie à un âge x quelconque. Soit a l�intervalle entre l�âge x et l�âge
suivant (x + a), on utilise la formule :
ex = a2
+ suite de la formule à partir de S
Sx+a
x
Exemples :
Soit : e0 = 0,5 + S + S + ... + S
S1 2 99
0
La formule de e25 sera :
e25 = 0,5 + S + S + ... + S
S26 27 99
25
Soit des classes quinquennales et e0 = 2,5 + 5(S + S + ... + S
S5 10 95
0
)
La formule de e25 sera :
e25 = 2,5 + 5 30 95
25
( .... )S SS+ +
13
Technique si les classes sont inégalesAge des
survivantsEffectif dessurvivants
Centre declasse
Différenceentre lesbornes
S0 10000,5
S1 990 55,5
S10 980 19,525
S40 900 2550
S60 850 2070
S80 700 2090
S100 0
0
8060401010
)(20255,1955,0S
SSSSSe +++++=
e0 = 0,5+[[(5x990)+(19,5x980)+(25x900)+(20x(850+700))]/1000]
e0 =
14
Technique pour un âge quelconque et une table construite avec des classes inégales.
Age dessurvivants
Effectif dessurvivants
Différence entre le centrede classe et l�âge de
l�espérerance à calculer
Différenceentre lesbornes
S40 90050-40 = 10
S60 850 2070-40 = 30
S80 700 2090-40 = 50
S100 0
40
806040
)(2010S
SSe ++=
e40 = 10+[[20x(850+700)]/900]e40 =
15
TTTRRROOOIIISSSIIIÈÈÈMMMEEE MMMÉÉÉTTTHHHOOODDDEEE
On ne s�intéresse qu�à ceux qui survivent.On utilise alors la formule :
e Total des Années Vécues entre x et xSx
r
x
= , xr correspond à la fin de la table de mortalité.
On note :
e TAV x xSx
i r
x
=( , )
e TAV x xS
r0
0
0
=( , )
On calcule le TAV de la façon suivante :
Soit xi et xi+n deux âges quelconques :
TAV (xi,xi+n) = (nombre d�années vécues par ceux qui meurent entre xi et xi+n) + (nombre
d�années vécues par ceux qui survivent jusqu'à xi+n)
TAV (x, xi+n) = durée de vie moyenne * d(x, xi+n) + intervalle (x, xi+n)*Sxi+n
On considère que les individus qui décèdent le font au milieu de l�intervalle. Par ailleurs,
on sait que d(x, xi+n) = Sxi - Sxi+n. Par conséquent :
TAV (xi, xi+n) = intervalle( , )x xi i n+
2. (Sxi - Sxi+n) + intervalle (xi,xi+n)*Sy
16
Exemples :
TAV (x, x+1) = 0,5 (Sx - Sx+1) + 1. Sx+1 = 0,5 Sx + 0,5 Sx+1
TAV (x, x+5) = 2,5 (Sx - Sx+5) + 5 . Sx+5
Calcul de eo :
e TAV x xS
r0
0
0
=( , )
Soit une table de mortalité qui va d�une année en une année. On a la série des survivants
suivante : S0, S1, S2, .... , S99.
TAV (0,xr) = TAV (0,1) + TAV (1,2) + TAV (2,3) + .... + TAV (98,99)
TAV (0,1) = 0,5 (S0 - S1) + S1
TAV (1,2) = 0,5 (S1 - S2) + S2
TAV (2,3) = 0,5 (S2 - S3) + S3 etc.
En simplifiant de proche en proche, on trouve :
TAV (0, xr) = 0,5 S0 + S1 + S2 + S3 + .... + S99
D�où : e TAV x xS
r0
0
0
=( , ) =
0,5 S + S + S + ... + SS
0 1 2 99
0 = 0,5 +
S + S + ... + SS
1 2 99
0
Cette troisième méthode est utilisée pour des calculs intermédiaires et pour les exercices
où l�on déduit des espérances de vie d�autres espérances de vie.
17
Exemple de calculs quand on connaît l�espérance de vie :
On dispose des données suivantes :
S0 = 10 000
S1 = 9 600
e1 = 69,08 ans
Calculer l�espérance de vie à la naissance.
e TAV x xS
r0
0
0
=( , ) e
TAV x xS
r1
1
1
=( , )
Or, TAV (0,xr) = TAV (0,1) + TAV (1, xr)
TAV (1, xr) = e1. S1
TAV (0,1) = 0,5 (S0 - S1) + S1 = 0,5 (S0 + S1)
TAV (0, xr) = 0,5 (S0 + S1) + e1. S1
D�où : e0 = 0,5 (S + S ) + e .S
S0 1 1 1
0
e0 = 0,5 (10 000 + 9 600) + 69,08 x 9 600
10 000 = 67,3 ans
18
LLLEEE TTTEEEMMMPPPSSS EEETTT LLL���AAAGGGEEE
On a vu que la démographie pouvait se définir comme l�étude des phénomènesdémographiques, sachant qu�un phénomène démographique se manifeste par un
événement démographique.
Exemples d�événements démographiques :
- naissance
- décès
- mariage
- divorce
Les événements démographiques ont une particularité : ils sont toujours précédés d�un
autre événement démographique.
Exemples :
- on ne peut pas divorcer avant d�être marié
- on ne peut pas mourir avant d�être né
- on ne peut pas avoir un second enfant avant d�en avoir eu un premier, etc..
Un événement démographique est donc toujours précédé d�un événement antérieur. Ce
qui est intéressant, c�est de considérer la durée écoulée depuis cet événement antérieur.
En effet, cette durée est un facteur d�hétérogénéité.
Exemples :
La probabilité de décéder dépend de l�âge.
La probabilité de divorcer dépend de la durée du mariage.
Pour étudier un événement démographique dans une population homogène, il est
nécessaire de prendre une population ayant une même durée écoulée depuis l�événement
nécessairement antérieur. On étudie donc un phénomène démographique dans un même
groupe. On prend tous ceux qui ont vécu l�événement antérieur à une même date.
19
Une population ayant vécu l�événement antérieur à une même date est une cohorte.
Cas particuliers :
Une cohorte de personnes nées une même année = une générationUne cohorte de personnes mariées une même année = une promotion de mariage
LLLEEE DDDIIIAAAGGGRRRAAAMMMMMMEEE DDDEEE LLLEEEXXXIIISSS
En démographie, on repère un événement par 3 coordonnées :
- la date d�occurrence (date de survenue) de l�événement
- la durée écoulée depuis l�événement antérieur
- la cohorte dans laquelle il survient
20
Présentation générale
Sur un diagramme de Lexis, on groupe tous les points dans des figures, au lieu de faire
des points à chaque fois.
On peut par ailleurs inscrire des chiffres sur les segments. Ainsi :
a = constitution de la cohorte = nombre d�individus ayant connu l�événement antérieur sur
une période donnée.
b = nombre d�individus, à une date donnée, ayant connu l�événement antérieur entre 1 et
2 ans plus tôt.
c = nombre d�individus, sur une période donnée, ayant « fêté » le deuxième anniversaire
de l�événement antérieur.
Date de calendrier1 segment = 1 période1 point = 1 date exacte
Durées exactes
0
1
2
3
4
5
6
a
b
c
Date del�événement
Cohorte
Duréeévénementantérieur
21
Exemple de la mortalité
a = constitution de la génération = nombre d�individus nés entre le 1er janvier 1940 et le 1er
janvier 1941.
b = nombre d�individus, au 1er janvier 1942, âgés de 1 an exactement.
c = nombre d�individus, ayant « fêté » leur deuxième anniversaire entre le 1er janvier 1942
et le 1er janvier 1943.
a
b
c
Age exact
0
1
2
3
4
5
6
Age exact
Génération
Date du décès
Date de calendrier01/01/1940
01/01/1941
01/01/1942
01/01/1943
Généra-tion
22
Exemple de la divortialité
a = constitution de la promotion de mariage = on a 1 000 mariages qui se sont effectués
entre le 1er janvier 1940 et le 1er janvier 1941.
b = au 1er janvier 1942, on a 900 couples dont la durée de mariage se situe entre 1 et 2
ans.
c = 870 couples ont « fêté » leur deuxième anniversaire de mariage entre le 1er janvier
1942 et le 1er janvier 1943.
a=1000
b=900
c=870
0
1
2
3
4
5
6
Durée exacte du mariage
01/011940
01/011941
01/011942
01/011943
Dates de calendrier
Duréeexacte
dumariage
Promotionde
mariage
Date du divorce
Promo-tion
23
Schéma général de signification des figures
· Tous les événements dans un couloir vertical surviennent une année donnée, dans
toutes les cohortes possibles et selon toutes les durées depuis l�événement antérieur.
· Tous les événements dans un couloir horizontal concernent une seule durée depuis
l�événement antérieur, mais toutes les années et toutes les cohortes.
A = une année, une cohorte, mais deux durées en années révolues
B = une cohorte, une durée, mais deux années de calendrier
C = une durée, une année de calendrier, mais deux cohortes
D = une année, une duré en une cohorte
Durée exacte
Date de calendrier
A
B
C
D
24
Age atteint et âge révolu.
En démographie, il y a au moins deux façons de calculer l�âge.
- l�âge atteintCalculer l�âge en âge atteint, c�est utiliser un classement selon la génération. L�âge est
exprimé par la différence de millésime entre année de naissance et année civile en cours.
Il correspond à l�âge atteint dans l�année.
- l�âge révoluCalculer l�âge en années révolues, c�est considérer l�âge qu�a eu l�individu à son dernier
anniversaire.
Exemple :
Soit un individu né le 30 août 1906. Si il décède le 1er juillet 1921, on considèrera qu�il est
âgé de 15 ans (1921 - 1906) si l�on définit l�âge en âge atteint, et de 14 ans si l�on définit
l�âge en années révolues (en effet, au 1er juillet 1921, il n�a pas encore fêté son 15ème
anniversaire).
15 ans révolus
14 ans révolus
01/07/1921
25
Exemple de signification sur la mortalitéSur un diagramme de Lexis :
- les effectifs sont représentés sur des segments.
- les événements sont représentés dans des figures.
En France, en 1980, on dispose des données suivantes :
Effectifs au 1er janvier 1980
Age en années révolues Effectifs
0 750 910
1 728 885
Naissances
Année Naissances
1979 757 354
1980 800 376
Décès en 1980
Génération Age Décès
1980 0 6 810
1979 0 1 200
1979 1 344
1978 1 315
Placer ces données sur un diagramme de Lexis et compléter
26
793566
728885
750910
749366315344
1200
6810
728570
749710
80037675735401/01/1979
01/011980
01/011981
0
1
2
3
27
LLLEEESSS PPPYYYRRRAAAMMMIIIDDDEEESSS DDDEEESSS ÂÂÂGGGEEESSSLes pyramides des âges ne sont pas d�une autre nature que les histogrammes. Ellesnécessitent donc que l�on fasse particulièrement attention à l�étendue des classes.
LLLEEESSS TTTAAAUUUXXX EEENNN DDDEEEMMMOOOGGGRRRAAAPPPHHHIIIEEELe taux est un indice à base empirique.2 types de taux :1° ceux qui représentent la fréquence d'un évènement dans une population.2° ceux qui représentent le rapport entre une sous population et une population.
Calculer un taux c'est rapporter les événements considérés à l'effectif de la population quien est à l'origine.
Les évènements démographiques se produisent sur un intervalle de temps (année le plussouvent). Le problème des taux est souvent celui du dénominateur c'est à dire celui de la populationde référence.