4 Superficies regulares

Una superficie en R3 se puede decir que es, de forma intuitiva, un subcon-junto en R3 donde en cada punto podemos encontrar una porcin de planoque ha sido deformada de forma suave. Por lo general, una superficie puededefinirse como la contraimagen de una aplicacion de clase C∞ bajo ciertaspropiedades.

Sea U ⊆ R3 un abierto de R2 y F : U → R una funcion cuyas com-ponentes son todas de clase C∞ en U . Consideramos c ∈ R, tal que elconjunto

S = {(x, y, z) ∈ R3 : F (x, y, z) = c}

no es vacıo y ademas verifica que para todo P = (x0, y0, z0) ∈ S,(∂F∂x

(P ),∂F

∂y(P ),

∂F

∂z(P ))6= (0, 0, 0).

Entonces S es una superficie regular.Ejemplo: El conjunto

S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1}

es la superficie dada por la esfera de centro (0, 0, 0) y radio 1. Para compro-barlo, basta tener en cuenta que S no es un conjunto vacıo pues el punto(1, 0, 0) ∈ S. Ademas, si P = (x0, y0, z0) es un punto en S y llamamosF (x, y, z) = x2 + y2 + z2, para que ocurriera que(∂F

∂x(P ),

∂F

∂y(P ),

∂F

∂z(P ))

= (2x0, 2, y0, 2z0) = (0, 0, 0),

debera ser (x0, y0, z0) = (0, 0, 0), pero esto no puede ocurrir cuando P ∈ Sya que x20 + y20 + z20 = 1.

Otra forma forma de definir una superficie es a partir de parametriza-ciones. Una superficie, desde el punto de vista de las parametrizaciones, esun conjunto S ⊆ R3 que verifica que para cada punto P ∈ S, ciertos puntosen S que ”rodean” a P vienen dados por la imagen de una parametrizacion

X : U → R3,

(u, v) 7→ X(u, v) ∈ S

1

que cumple que X(U) es homeomorfo a U (moldeando adecuadamente Uobtenemos X(U)) y ademas que si

X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),

entonces

rango

∂x∂u

(u0, v0)∂x∂v

(u0, v0)∂y∂u

(u0, v0)∂y∂v

(u0, v0)∂z∂u

(u0, v0)∂z∂v

(u0, v0)

= 2,

para cada punto P = X(u0, v0) en S.Ejemplo:Los puntos en la esfera x2 + y2 + z2 = 1 con ultima coordenada positiva

pueden parametrizarse de esta forma:

X : {(u, v) ∈ R2 : u2 + v2 < 1} → R3

(u, v) 7→ (u, v,+√

1− u2 − v2).

Se puede comprobar que, si

x(u, v) = u , y(u, v) = v y z(u, v) = +√

1− u2 − v2, (1)

entonces en un punto P = X(u0, v0) se cumple que

rango

∂x∂u

(u0, v0)∂x∂v

(u0, v0)∂y∂u

(u0, v0)∂y∂v

(u0, v0)∂z∂u

(u0, v0)∂z∂v

(u0, v0)

= rango

1 00 1−u0√

1−u20−v20

−v0√1−u2

0−v20

= 2.

Dada una superficie regular S y un punto P en ella, se llama plano tan-gente a S en P al plano que pasa por P y, si X = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) esuna parametrizacion que contiene al punto P = (x(u0, v0), y(u0, v0), z(u0, v0)),entonces el plano tangente esta generado por los vectores(

∂x

∂u(P ),

∂y

∂u(P ),

∂z

∂u(P )

)y

(∂x

∂v(P ),

∂y

∂v(P ),

∂z

∂v(P )

).

Ejemplo: Considerando la parametrizacion dada en (1) para el hemis-ferio norte de la esfera, vamos a calcular el plano tangente por cada uno desus puntos. Sea P = X(u0, v0) un punto en esta superficie. Por un lado,(

∂x

∂u(P ),

∂y

∂u(P ),

∂z

∂u(P )

)= (1, 0,

−u0√1− u20 − v20

)

2

y por otro, (∂x

∂v(P ),

∂y

∂v(P ),

∂z

∂v(P )

)= (0, 1,

−v0√1− u20 − v20

).

El plano tangente a S por P viene dado, de forma parametrica por

(x, y, z) = (u0, v0,√

1− u20 − v20)+t(1, 0,−u0√

1− u20 − v20)+s(0, 1,

−v0√1− u20 − v20

),

t, s ∈ R; o tambien:∣∣∣∣∣∣∣∣x− u0 y − v0 z −

√1− u20 − v20

1 0 −u0√1−u2

0−v200 1 −u0√

1−u20−v20

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0,

que, simplificando, corresponde al plano de ecuacion

u0x+ v0y +√

1− u20 − v20z = 1.

Por ejemplo, para el punto (0, 0, 1) = X(0, 0) se tiene u0 = v0 = 0 y el planotangente es z = 1, como era esperado.

Una superficie se dice que es reglada si por cada punto de S pasa unarecta, llamada generatriz, que esta toda ella contenida en S. Ejemplos desuperficies regladas son el plano, el cilindro y el cono. Una parametrizacionde una superficie reglada S es la siguiente:

X(u, v) = α(u) + ve(u), u ∈ I, v ∈ R,

siendo I el intervalo de definicion de una curva alabeada (I, α) cumpliendoque α(I) ⊆ S y que tiene un unico punto en comun con cada una de lasgeneratrices. A esta curva se le llama directriz; ademas, e : I → R3 escierta curva alabeada con e(I) contenido en la esfera de radio 1 y centroel origen de coordenadas que indica la direccion de la recta contenida en Sdesde cada punto en la generatriz.

Ejemplos:

1. α(t) = (t, 0, 0), e(t) = (0, 1, 0) produce el plano {z = 0}.

2. α(t) = (cos(t), sin(t), 0), e(t) = (0, 0, 1) produce el cilindro {x2 + y2 =1}.

3

3. α(t) = (0, 0, 0), e(t) = 1√2(cos(t), sin(t), 1) produce el cono {x2 + y2 =

z2}.

Destacamos tres tipos de superficies regladas:

1. Superficie conica: cuando la curva α se reduce a un unico punto P .En este caso, la superficie viene dada por la parametrizacion X(u, v) =P + ve(u).

2. Superficie cilındrica: cuando el vector de direccion e(u) es con-stante, e. En este caso, la superficie viene dada por la parametrizacionX(u, v) = α(u) + v ∗ e.

3. Superficie tangencial: Viene dada por X(u, v) = α(u) + vα′(u).

Ejemplos:

• La superficie conica de directriz el punto P = (0, 0, 1) que contiene lospuntos en la circunferencia C = {x2 + y2 = 1, z = 0} viene dada porlas ecuaciones parametricas

(x, y, z) = (0, 0, 1) + v ∗ e(u),

siendo e(u) la curva parametrica dada por el vector desde P hasta lacircunferencia C, es decir, e(u) = (cos(u), sin(u),−1). Las ecuacionesparametricas son:

x(u, v) = v cos(u), y(u, v) = v∗sin(u), z(u, v) = 1−v, v ∈ R, u ∈ (0, 2π).

• La superficie cilındrica de directriz la elipse x2

4+ y2

9= 1, z = 0 con

vector de direccion e = (0, 1, 1) viene dada por

(x, y, z) = (2 cos(u), 3 sin(u), 0) + v ∗ (0, 1, 1), u ∈ (0, 2π), v ∈ R.

• La superficie tangencial asociada a la generatriz α(t) = (1, t, t2) parat ∈ R viene dada por

X(u, v) = (1, u, u2) + v ∗ (0, 1, 2u) = (1, u, u2 + 2uv), u ∈ R, v ∈ R.

4

Dadas una curva α : I → R3, a la que llamaremos directriz, y otracurva β : J → R3, a la que conocemos como generatriz, de forma quetienen un punto P = (x0, y0, z0) en comun, se llama superficie de traslacionde directriz α y generatriz β a la superficie S generada por el movimientode la generatriz de forma paralela a sı misma, mientras el punto P describela trayectoria de la directriz. Las ecuaciones parametricas vendran dadaspor

(x, y, z) = α(u) + β(v)− P, (u, v) ∈ I × J.Ejemplo: Si se considera la curva α(u) = (u, cos(u), 0), u ∈ (0, 2π)

como directriz y la curva β(v) = (0, 0, v), v ∈ (0, 1) como generatriz, elpunto en comun de ambas es P = (0, 0, 0). La superficie de traslacion a laque dan lugar es

(x, y, z) = (u, cos(u), v), u ∈ (0, 2π), v ∈ (0, 1).

4.1 Ejercicios:

1. Sea f : R2 → R3 una funcion verificando que sus componentes sonfunciones de clase C∞ en R2. Comprobar que el grafo de f , es decir

Gr(f) = {(x, y, z) ∈ R3 : z = f(x, y)}

es una superficie regular.

Nota: Toda superficie puede siempre parametrizarse a partir de grafosde funciones.

2. Se considera la superficie helicoidal dada por

S = {(v cos(u), v sin(u), u) : v ∈ (0, 1), u ∈ (0, 2π)}.

Se pide:

- Comprobar que la helicoide es una superficie regular.

- Calcular el plano tangente en cada punto de S.

3. Hallar la ecuacion de la superficie cilındrica de directriz d y generatri-ces paralelas a la recta r, siendo

d ≡{y3 = x4

z = 0r ≡

{2x+ y = 0x− y + z = 0

.

5

4. Hallar la ecuacion de la superficie conica, S, de vertice el punto P = (1, 1, 1)y directriz la curva de ecuaciones

d ≡{

z = 4x2

4+ y2

9= 1

Escribir su correspondiente ecuacion implıcita.

5. Hallar la superficie tangencial asociada a la curva α(t) = (et, e−t, t), t ∈ R.

6. Hallar el paraboloide engendrado por la parabola z = by2, x = 0, altrasladarse paralelamente a sı misma a lo largo de la parabola z = ax2,y = 0.

6