SZENT ISTVN EGYETEM...Excel – kidolgozott feladatok SZIE Informatika Tanszék 1. FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS Az Excel a függvényt megadó matematikai összefüggés alapján nem tudja

SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kar

Orova Lászlóné dr.

Számítástechnika I. Tantárgyhoz

Kidolgozott Excel feladatok

Gödöllő, 2004.

SZIE Informatika Tanszék Excel - kidolgozott feladatok

Bevezető

A Számítástechnika I. tantárgy keretében a hallgatók megismerkednek az informatikai alapokkal, majd az Excel táblázatkezelő használatát sajátítják el. Ez a feladatgyűjtemény összefoglalja e tárgy keretében oktatott, Excellel kapcsolatos főbb témaköröket, ismertnek tekintve az alapvető táblázatkezelői műveleteket, mint pl. formázás, képletek bevitele, beépített függvények beszúrása. Az Excel további alkalmazási területeivel a Számítástechnika II. tárgy foglalkozik.

A példatár szerkezete: témakörönként rövid elméleti összefoglaló, kidolgozott példa, majd gyakorlásra ajánlott feladatok, melyek megoldása a példatár végén megtalálhatóak.

Jelen példatár Dr. Molnár Sándor Számítástechnika I. tárgy keretében tartott előadásaira épül. A példatár használatát megkönnyíti Dezső Ottó, Dr. Csikós Miklósné: Számítástechnika II. jegyzetének ismerete, mely a Szent István Egyetemen jelenik meg évente.

Ez a feladatgyűjtemény kézirat, lehetséges, hogy még tartalmaz hibákat. Minden egyes, először jelzett hibáért pontjutalmat ad a szerző.

Tartalomjegyzék

1. FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS 3

2. MÁTRIXMŰVELETEK 8

3. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12

4. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER MEGOLDÁSA 15

5. FELADATOK EREDMÉNYE 18

2

Excel – kidolgozott feladatok SZIE Informatika Tanszék

1. FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS

Az Excel a függvényt megadó matematikai összefüggés alapján nem tudja közvetlenül a függvény görbéjét lerajzolni, de síkbeli (térbeli) pontokat adott koordinátákkal meg tud jeleníteni. A függvényábrázolás főbb lépései:

A függvény néhány pontjának meghatározása: pontok koordinátáit tartalmazó táblázat.

A pontok ábrázolása diagramvarázsló segítségével Pont (xy), vagy a Felület típusú diagrammal, attól függően, hogy a függvény egy-, vagy kétváltozós.

Függvényábrázolás Descartes-féle koordinátarendszerben

Kidolgozott feladat

Ábrázolja az függvényt az [1;5] intervallumon 0.2-es lépésközzel! (Trigonometrikus függvény radiánt használ az Excelben.)

2sinln2)( xxxf +=

Kidolgozás

3


Függvényábrázolás polárkoordináta rendszerben

A polárkoordináta rendszerben megadott függvényt először át kell írni Descartes-féle koordináta rendszerbe, majd azt az előzőekhez hasonlóan lehet ábrázolni:

Kidolgozott példa

Ábrázolja az ϕ=r függvényt a [0;2ϕ ] intervallumon!

Kidolgozás

4


Kétváltozós függvény ábrázolása

Kidolgozott feladat: Ábrázolja f(x,y)=x2+y2 függvényt a [-2;2] intervallumon!

Kidolgozás Felület típusú diagram alkalmazásával:

Egyenlet megoldása grafikusan

Feladat: f(x)=g(x) meghatározása

Egy diagramon ábrázolva f(x) és g(x) függvényeket a görbék metszéspontjának leolvasásával az egyenlet közelítő megoldása meghatározható.

Kidolgozott példa 3sinx=2x, x=? a [-4;4] intervallumon.

5


Kidolgozás

Az egyenlet megoldása x ±1,4 ≅

Egyenlet megoldása Célérték-kereséssel Egyenlet megoldására az Excel beépített lehetősége a Célérték-keresés.

Főbb lépések

• Az egyenlet konstansra rendezése

• Az egyenlet ismeretlent tartalmazó oldalának cellába vitele Excel képletként, kezdeti érték felvételével

• Eszközök menü Célérték-keresés

Csak a kezdeti értékhez legközelebbi gyököt találja meg, a többit más kezdeti értékhez tartozó Célérték-kereséssel lehet meghatározni. Érdemes ezért először grafikusan meghatározni a gyökök számát és körülbelüli értékét.

Kidolgozott példa

Oldja meg egyenletet az [1;5] intervallumon, 5,1sinln2 2 =+ xx

• Az egyenlet bal oldalának ábrázolása a megadott intervallumon → gyökök száma: 3,

• a gyökök közelítő helye ; 3,11 ≅x 6,12 ≅x ; 6,23 ≅x ld. a 3. oldalon a görbét.

6


• A három különböző gyökre külön-külön Célérték-keresés:

◦ Célcella: képletet tartalmazó cella (egyenlet bal oldala)

◦ Célérték: milyen értéke legyen a képletnek (egyenlet jobb oldala). Mindig egy valós szám!

◦ Módosuló cella: ahol a változó van. (Az x értékét tartalmazó cella, amire a képletben hivatkozunk.)

Eredmény a módosuló cellában olvasható le: A28= 1,287

A másik két kezdeti értékre is lefuttatva a Célérték-keresést:

x2= 1,59216997, x3= 2,44725069

Feladatok 1.1 Ábrázolja az függvény görbéjét a [0;5] intervallumon! 2)( 1 += −xexf

1.2 Ábrázolja az )cos()( xxexg −= függvényt a [0;15] intervallumon 0,5-es lépésközzel!

1.3 Ábrázolja az 1sin1)3cos()( 4

2

+++

=xx

xxh függvény görbéjét a [-5;5] intervallumon!

1.4 Ábrázolja az ϕϕ sin3)( =r függvény görbéjét a [0;2π ] intervallumon!

1.5 Ábrázolja az függvény görbéjét a [0;22)2/sin()( ϕϕ =r π ] intervallumon

1.6 Ábrázolja függvényt a [-2;2] intervallumon! yxyxf cossin),( +=

7


2. MÁTRIXMŰVELETEK Összeadás, kivonás Mátrixok összeadása, kivonása: megfelelő elemek összege (különbsége), csak azonos méretű mátrixokkal végezhető műveletek.

Kidolgozott példa

?=+ BA , ha ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

103410

312A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

150213301

B

Főbb lépések

• A kiindulási mátrixok Excel táblázatba, tömbbe írása, a mátrix minden egyes eleme külön cellába kerül.

• Az eredmény mátrix helyének kijelölése: B5:D7 tömb.

• Szerkesztőlécen a képlet beírása: a két tömb összege (a tömbök megfelelő celláinak összege)

• Az eredménynek több cellában kell megjelennie (többértékű függvényt alkalmaztunk), ezért nem Enter-rel, hanem Ctrl + Shift + Enter együttes lenyomásával zárjuk a szerkesztést. (Érdemes az Enter-t utoljára lenyomni, miközben a másik két billentyűt benyomva tartjuk.) Az eredmény:

Mátrix szorzása konstanssal Kidolgozott példa:

Határozza meg AcB = mátrixot, ha 5=c !

A megoldás menete az összevonáshoz hasonló:

• A kiindulási adatok bevitele.

• Az eredmény mátrix helyének kijelölése: B5:D7 tömb.

• Szerkesztőlécen a képlet beírása: =G2*B1:D3

• Ctrl + Shift + Enter

Az eredmény:

8


Mátrixok szorzása Két mátrix összeszorozható, ha méretükre igaz: az első mátrix oszlopainak száma megegyezik a második mátrix sorainak számával. Az eredménymátrix sorainak száma az első mátrix sorainak számával, az oszlopainak száma a második mátrix oszlopainak számával egyenlő.

A fentiekből következik, hogy a tényezők sorrendje csak speciális esetben cserélhető fel.

Mátrixszorzás lépései Excelben:

• A mátrixok táblázatra vitele.

• Eredménymátrix tömbjének kijelölése.

• Beépített függvény használata =mszorzat(tömb1;tömb2)


Kidolgozott példa

?=AB , ha

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

110011001121201

A ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−112031

B

Lépések:

• A mátrixok táblázatba vitele után:

• Eredménymátrix tömbjének kijelölése,

• =mszorzat(B2:D6;G3:H5),


•

Eredmény:

9


Mátrix transzponálása A mátrix transzponálása a megfelelő sorok és oszlopok felcserélése.

Kidolgozott példa Állítsa elő az A mátrix transzponáltját!

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

110011001121201

A

Megoldás menete a mátrixok táblázatba vitele után:


• =transzponálás(B1:D5)


Mátrix determinánsa Az A négyzetes mátrix determinánsa: Adet , egy valós szám.

Ha 0det ≠A , akkor az A mátrix sorai, oszlopai lineárisan függetlenek, azaz egyik sor (oszlop) sem állítható elő a többi sor(ok) (oszlop(ok)) valamelyikeinek lineáris kombinációjaként. (Pl. másik két sor összegeként, különbségeként, az egyik oszlop 3-szorosaként, stb…).

Ha 0det =A , akkor éppen ellenkezőleg, az A mátrix sorai, oszlopai lineárisan összefüggők. (Pl. egyik sor előállítható másik két sor különbségének 5-szöröseként, stb…)

Kidolgozott példa

?det =A , ha ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

035370121

A

Megoldás menete a mátrix táblázatba vitele után:

• Eredmény cellájának kijelölése,

• =mdeterm(tömb),

• Enter, mivel az eredményt egyetlen cellában kell kiíratni.

10


Mátrix inverze Az A mátrix inverze az a mátrix, mellyel bármely oldalról megszorozva az eredmény egységmátrix:

EAAAA == −− ** 11

Fontos tudnivalók

• Csak négyzetes mátrixnak van inverze, ha a determináns nem nulla.

• Az inverz mátrix az eredeti mátrixszal azonos méretű.

• Az egységmátrix mindig négyzetes, főátlóban egyeseket, másutt nullákat tartalmaz. (Jelen esetben mérete a mátrix méretével azonos.)

Kidolgozott példa:

?1 =−A , ha

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

035370121

A

Megoldás menete A mátrix táblázatba vitele után:


• =inverz.mátrix(tömb),


Eredmény:

Feladatok: 2.1 Adottak a következő mátrixok:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

413810

A ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

102027351

B ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

212420002

C ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

012462

D

Végezze el az alábbiak közül az elvégezhető műveleteket Excel segítségével!

a) DA∗ b) CB ∗ c) TDA +

d) BA + e) )det()( 1 BCB ∗+−

f) 1−∗CD

11


3. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK A síkbeli lineáris transzformációk (eltolás, tükrözés, nagyítás, forgatás) megvalósíthatók egy-egy alkalmasan megválasztott transzformációs mátrix és a síkbeli alakzat jellemző pontjaiból alkotott mátrix szorzataként.

Az eltolás mátrixa miatt szükséges a z=1-es síkban levő síkidomokat transzformálni.

Kidolgozott példa Forgassa el az ABC háromszöget 30 fokkal, ábrázolja az eredeti és a transzformált alakzatot ugyanabban a koordináta-rendszerben, ha A(2,1), B(6,3), C(4,7).

A háromszöget akkor tudjuk ábrázoltatni, ha feltüntetjük az összekötendő pontokat, ezért az A pont koordinátái kétszer szerepelnek a mátrixban. Az Excel szögfüggvényei radiánt használnak a szögek mértékegységeként.

12


Kidolgozás

13


Az eredeti és az elforgatott háromszög:

Forgatás 30 fokkal

2, 1

6, 3

4, 7

2, 1

1,232050808, 1,866025404

3,696152423, 5,598076211

-0,035898385, 8,062177826

1,232050808, 1,866025404

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

Adatsor1

Adatsor3

Feladatok 3.1 Forgassa el az ABCD négyszöget az A csúcsa körül, ha A(1;2;1), B(3;1;1), C(6;4;1), D(5;7;1)!

3.2 Tükrözze az ABC háromszöget az AB oldal egyenesére, ha A(-2;3;1), B(3;3;1), C(1;5;1)

14


4. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER MEGOLDÁSA Lineáris egyenletrendszer általános alakja

nmnmnn

mm

mm

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=++

=++=++

.....

......

2211

22222121

11212111

Feladat: adott aij és bi i=1, 2, …n, j=1, 2, ….m esetén xj meghatározása b≠0 esetén.

Lineáris egyenletrendszer megoldása az együtthatómátrix inverzének segítségével A fenti egyenletrendszer átírható a mátrixszorzás szabályainak megfelelően az alakban:

Ax=b, ahol

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nmnn

m

m

aaa

aaaaaa

A

...:

...

...

21

22221

11211

az együtthatómátrix ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

mx

xx :

1

az ismeretlenek

oszlopvektora, ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

nb

bb :

1

az egyenletrendszer jobb oldalából képzett oszlopvektor.

Az inhomogén egyenletrendszer ( 0≠b ) megoldható az alábbi alakban, ha az egyenletek lineárisan függetlenek egymástól, azaz, ha 0det ≠A :

x=A-1*b

A lineáris egyenletrendszer megoldásához szükséges műveletek:

• 0det ≠A érvényességének megvizsgálása

• A-1 meghatározása

• a szükséges mátrixszorzás elvégzése (sorrend fontos!)

15


Kidolgozott példa

Oldja meg az alábbi egyenletrendszert:

835737

12

21

32

321

=−−=+

−=−+

xxxx

xxx

A már megismert műveletekkel az Excelben a megoldás:

Egyenletrendszer megoldására az Excel beépített lehetősége a SOLVER.

Lineáris egyenletrendszer megoldása Solver segítségével

Az előbbi feladat megoldása Eszlözök /Solver segítségével:

(Ha a menüben a SOLVER nem jelenik meg, rá kell keresni a Solver.xla-ra, majd el kell indítani, vagy Eszközök/Bővíménykezelő menüpontban be kell jelölni a Solvert. A Solver alkalmas szélsőéték-feladatok megoldására, lineáris és nemlineáris egyenletrendszerek megoldására, lineáris programozási feladat megoldására ld. később.)

Szükséges lépések:

• Az egyenletrendszert alkotó egyenletek konstansra rendezése.

• Az ismeretlenek számára egy-egy cella kijelölése, célszerűen egy tömbben, kezdeti értékek megadásával. Pl.: 1.

• Az egyes egyenletek ismeretlen tartalmazó oldalának egy-egy cellába vitele képlet formájában.

• Solver párbeszédablak kitöltése:

◦ Célcella: egyik egyenlet bal oldala,

◦ Célérték: az előbbi egyenlet jobb oldala (konstans!!!),

◦ Módosuló cella: Ismeretlenek tömbje,

◦ Korlátozó feltételek: a többi egyenlet.

16


Kidolgozás

Megoldás gomb megnyomása után a Solver eredményeket az eredeti táblázatban kérve az egyenletrendszer megoldása azB5:D5 tömbben jelenik meg. (1; -1; 0)

Feladatok

4.1 Oldja meg az alábbi egyenletrendszereket az ismertetett módszerekkel:

a) b)

8642

4322

=+++=+++

=++−=++

dcbadcba

dcbcba

34232

32

=+=++

=+−

zyzyx

yx c)

14355123

=++−=+−=+

wvuwuvu

17


5. FELADATOK EREDMÉNYE

1.1 Ábrázolja az függvény görbéjét a [0,5] intervallumon! 2)( 1 += −xexf

f(x)

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4 5 6

1.2 Ábrázolja az )cos()( xxexg −= függvényt a [0;15] intervallumon 0,5-es lépésközzel!

g(x)

0

20

40

60

80

100

120

0 5 10 15 20

1.3 Ábrázolja az 1sin1)3cos()( 4

2

+++

=xx

xxh függvényt a [-5;5] intervallumon!

h(x)

-0,50

0,51

1,52

2,53

3,5

-6 -4 -2 0 2 4 6

18


1.4 Ábrázolja az ϕϕ sin3)( =r függvény görbéjét a [0;2π ] intervallumon!

r=3sin(fi)

-0,50

0,51

1,52

2,53

3,5

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

1.5 Ábrázolja az függvény görbéjét a [0;22)2/sin()( ϕϕ =r π ] intervallumon

r=sin(fi/2)^2

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

-1,5 -1 -0,5 0 0,5

1.6 Ábrázolja függvényt a [-2;2] intervallumon! xxyxf cossin),( +=

1 5 9

13 17 21

S1

S11

S21

-1,5-1

-0,50

0,5

1

1,5

2

f(x,y)=sin x+cos x

19


2.1

3.1 Forgassa el az ABCD négyszöget az A csúcsa körül, ha A(1;2;1), B(3;1;1), C(6;4;1), D(5;7;1)!

A forgatás mátrixa O körül forgat, így a feladat csak több lépésben oldható meg:

Az alakzat eltolása úgy, hogy az A csúcsa az origóba kerüljön, majd a transzformált alakzat elforgatása, s végül az elforgatott alakzat visszatolása, hogy az A csúcs az eredeti helyére kerüljön.

20


3.2 Tükrözze az ABC háromszöget az AB oldal egyenesére, ha A(-2,3,1), B(3,3,1), C(1,5,1)

Tükrözés mátrixai koordináta-tengelyre tükröznek, ezért több transzformációs lépésben oldható meg a feladat.

4.

a) b)

8642

4322

=+++=+++

=++−=++

dcbadcba

dcbcba

34232

32

=+=++

=+−

zyzyx

yx c)

14355123

=++−=+−=+

wvuwuvu

a) a=1 b=0 c=1 d=1

b) Nincs egyértelmű megoldás, mert az együtthatómátrix determinánsa nulla.

c) u= -1 v=1 w=0

21

Documents

SZENT ISTVN EGYETEM...Excel – kidolgozott feladatok SZIE Informatika Tanszék 1. FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS Az Excel a függvényt megadó matematikai összefüggés alapján nem tudja