SYSTEMATIC RANDOM SAMPLING - … · • N unit dalam populasi diberi nomor urut 1 s/d N ... 88 10 z ... Jika kriteria yang dijadikan dasar pengurutan mempunyai korelasi yang kuat

SYSTEMATIC

RANDOM SAMPLING

Oleh: Adhi Kurniawan

METODE PENARIKAN SAMPEL

Pengantar

• Pada penarikan sampel acak sederhana (SRS) setiap unit dipilih dengan menggunakan angka random.

• Dengan demikian kita harus menarik sampel sebanyak n kali.

• Untuk memperingan penarikan sampel ini maka diterapkan penarikan sampel secara sistematik, dengan hanya mengambil satu angka random saja dan lainnya akan mengikuti dengan menghitung interval-nya.

Jadi, systematic sampling adalah suatu teknik sampling di mana hanya unit pertama dipilih dengan bantuan angka random dan untuk mendapatkan sampel sisanya dipilih secara otomatis menurut interval yang ditentukan sebelumnya.

SRS vs Systematic

Prinsip

• N unit dalam populasi diberi nomor urut 1 s/d N

• Ada interval (k) antar unit sampel: 𝑘 =𝑁

𝑛

• Unit sampel pertama 𝐴𝑅1 dipilih secara acak/random

Cara 1: antara 1-k (Linear Systematic Sampling)

Cara 2: antara 1-N (Circular Systematic Sampling)

• Unit sampel berikutnya ditentukan oleh interval (k), yaitu dengan menambahkan angka random unit terpilih sebelumnya dengan interval.

𝐴𝑅𝑛 = 𝐴𝑅𝑛−1 + 𝑘

• Pemilihan unit pertama akan menentukan sampel secara keseluruhan

Misal: N=60; n=10; maka 𝑘 =60

10= 6

Jika 𝐴𝑅1 yang terpilih adalah 2 maka sampel terpilihnya:

no: 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56

No Mhs 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 60

Tinggi (cm) 165 162 155 176 160 180 176 173 154 … 166

Linear Systematic Sampling a. Hitung interval, yaitu

𝑘 =𝑁

𝑛

b. Tentukan satu angka random yang lebih kecil atau sama dengan intervalnya (pilih AR≤ 𝑘) dari tabel angka random Angka random ini selanjutnya disebut angka random pertama 𝐴𝑅1 . Unit yang nomor urutnya sama dengan AR ini terpilih sebagai sampel pertama.

c. Angka random selanjutnya dihitung dengan interval: 𝐴𝑅2 = 𝐴𝑅1 + 𝑘 𝐴𝑅3 = 𝐴𝑅2 + 𝑘 = 𝐴𝑅1 + 2𝑘 𝐴𝑅4 = 𝐴𝑅3 + 𝑘 = 𝐴𝑅1 + 3𝑘 … 𝐴𝑅𝑛 = 𝐴𝑅𝑛−1 + 𝑘 = 𝐴𝑅1 + 𝑛 − 1 𝑘 Unit yang nomor urutnya sama dengan AR di atas terpilih sebagai sampel.

d. Jika N tidak dapat dinyatakan dalam bentuk N=nk, maka k diambil sebagai bilangan bulat yang paling dekat dengan N/n.

Contoh: Populasi N=10 akan diambil sampel n=3 secara linear systematic

Baris Kolom

(1-5)

1 8 8 3 4 7

2 5 7 1 40

3 7 4 6 8 6

4 6 8 0 1 3

5 5 7 4 7 7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Langkah 1: Menghitung interval

𝑘 =𝑁

𝑛=10

3= 3.33 ≈ 3

Langkah 2: Menentukan sampel pertama dengan bantuan

angka random

Misal: 𝐴𝑅1 diambil secara independent choice of digits

dengan permulaan pembacaan TAR baris 1 kolom 4, maka

ambil 𝐴𝑅1 ≤ 𝑘 → 𝐴𝑅1 = 1

Langkah 3: menentukan sampel kedua sampai ketiga

dengan bantuan interval

𝐴𝑅2 = 𝐴𝑅1 + 𝑘 = 1 + 3 = 4

𝐴𝑅3 = 𝐴𝑅2 + 𝑘 = 4 + 3 = 7

Circular Systematic Sampling a. Hitung interval, yaitu

𝑘 =𝑁

𝑛

b. Tentukan satu angka random yang lebih kecil atau sama dengan populasi (pilih

AR≤ 𝑁) dari tabel angka random. Angka random ini selanjutnya disebut angka

random pertama 𝐴𝑅1 . Unit yang nomor urutnya sama dengan AR ini terpilih

sebagai sampel pertama.

c. Angka random selanjutnya dihitung dengan interval:

𝐴𝑅2 = 𝐴𝑅1 + 𝑘

𝐴𝑅3 = 𝐴𝑅2 + 𝑘 = 𝐴𝑅1 + 2𝑘

𝐴𝑅4 = 𝐴𝑅3 + 𝑘 = 𝐴𝑅1 + 3𝑘

…

𝐴𝑅𝑛 = 𝐴𝑅𝑛−1 + 𝑘 = 𝐴𝑅1 + 𝑛 − 1 𝑘

Unit yang nomor urutnya sama dengan AR di atas terpilih sebagai sampel.

e. Jika setelah ditambahkan dengan interval, didapatkan AR yang lebih besar dengan

nilai populasi (N) maka kurangkan AR tsb dengan nilai N. Unit yang nomor urutnya

sama dengan AR setelah dikurangi N adalah unit yang terpilih sebagai sampel

Contoh: Populasi N=10 akan diambil sampel n=3 secara circular systematic

Baris Kolom

(1-5)

1 8 8 3 4 7

2 5 7 1 40

3 7 4 6 8 6

4 6 8 0 1 3

5 5 7 4 7 7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Langkah 1: Menghitung interval

𝑘 =𝑁

𝑛=10

4= 3.33 ≈ 3

Langkah 2: Menentukan sampel pertama dengan bantuan

angka random

Misal: 𝐴𝑅1 diambil secara remainder approach dengan

permulaan pembacaan TAR baris 1 kolom 1, maka 𝑁′ = 90,

ambil 𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚 ≤ 𝑁′ → 𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚 = 88 →88

10 𝑠𝑖𝑠𝑎 8 → 𝐴𝑅1 = 8

Langkah 3: menentukan sampel kedua sampai ketiga

dengan bantuan interval

𝐴𝑅2 = 𝐴𝑅1 + 𝑘 = 8 + 3 = 11 − 10 = 1

𝐴𝑅3 = 𝐴𝑅2 + 𝑘 = 1 + 3 = 4

Latihan 1

• Seorang manajer perusahaan ingin mengetahui tingkat loyalitas pegawainya. Untuk itu, dari 11 pegawai dilakukan penarikan 4 sampel secara sistematik.

No Nama

1 Bima

2 Yudhistira

3 Pandhu

4 Larasati

5 Joseph

6 Rukmini

7 Sinta

8 Haris

9 Indra

10 Wisnu

11 Krisna

Baris Kolom

(1-5)

1 88347

2 57140

3 74686

4 68013

5 57477

TAR Tentukan pegawai yang terpilih sampel jika penarikan sampel dilakukan dengan 1. Sistematik linear a. Penelusuran 𝐴𝑅1 dari TAR baris 1 kolom

4, independent choice of digits b. Penelusuran 𝐴𝑅1 dari TAR baris 3 kolom

4, remainder approach c. Penelusuran 𝐴𝑅1 dari TAR baris 1 kolom

4, quotient approach 2. Sistematik sirkuler a. Penelusuran 𝐴𝑅1 dari TAR baris 1 kolom

3, independent choice of digits b. Penelusuran 𝐴𝑅1 dari TAR baris 1 kolom

2, remainder approach c. Penelusuran 𝐴𝑅1 dari TAR baris 1 kolom

1, quotient approach

Ilustrasi Perbandingan Sistematik Linear dan Sirkuler untuk N=nk

Sistematik linear

Jika diambil sampel dengan interval k=2, maka kemungkinan sampelnya: 1,3 2,4

Sistematik Sirkuler

Jika diambil sampel dengan interval k=2, maka kemungkinan sampelnya: 1,3 2,4

1 2 3 4

1

2

3

4

Ilustrasi Perbandingan Sistematik Linear dan Sirkuler untuk N≠nk

Sistematik linear

Jika k=3, maka kemungkinan sampelnya: 1,4 2,5 3

Sistematik Sirkuler

Jika k=3, maka kemungkinan sampelnya: 1,4 4,2 2,5 5,3 3,1

1 2 3 4 5

1

2

3 4

5

Problem With Intervals (1)

• If the population size N is not an integral multiple of k, a problem arises. It can be solved in several ways and the sampler should choose the most convenient.

1. Permit the sample size to be either n or (n+1). Choose k so that N is greater than nk, but less than (n+1)k. Then, the random start will determine whether the sample size will be n or n+1.

2. Eliminate with epsem enough units to reduce the listings to exactly nk before selection with the interval k. The probability of selection over the two procedures is n/N. Instead of elimination, it may be convenient to select some listings with epsem, then add these duplicates to the end of the list

Problem With Intervals (2)

3. Consider the list to be circular, so that the last unit is followed by the first. Choose a random start from 1 to N. Now add the intervals k until exactly n elements are choosen, going to the end of the list and then continuing to the beginning.

4. Using fractional intervals is simple with a decimal fraction. For example, suppose that to select a sample of n=100 units from a population of N=925 units, the interval k=N/n=925/100=9,25 is applied.

Implicit Stratification • Selain untuk mempermudah penarikan sampel, penarikan sampel sistematik

juga dapat meningkatkan efisiensi desain, misal dengan mengadakan pengaturan unit-unit (systematic arrangement).

• Pengaturan unit-unit berdasarkan karakteristik tertentu memungkinkan sampel yang terpilih akan memiliki berbagai karakteristik sehingga lebih representatif.

• Pengaturan unit-unit berdasarkan karakteristik tertentu, kemudian dilakukan penarikan sampel sistematik ini disebut implicit stratification.

• Pengurutan biasanya didasarkan pada kriteria geografis seperti urban-rural, administrative region, ethnics subpopulations, atau socioeconomic groups, dsb.

• Keuntungan implicit stratification:

1. Tidak perlu membangun explicit stratification, sampel otomatis akan teralokasi secara proporsional.

2. Sederhana, hanya memerlukan pengaturan unit-unit dan penggunaan interval untuk penarikan secara sistematik sampling.

3. Jika kriteria yang dijadikan dasar pengurutan mempunyai korelasi yang kuat dengan variabel yang diteliti maka akan meningkatkan presisi hasil estimasi

Dari kerangka sampel di samping (N=12) akan diambil sampel secara sistematik sebanyak n=6. Misalkan 𝐴𝑅1 = 2 maka sampel yang terpilih:

Tanpa pengurutan

1. Shofyan Firdaus (SMA-Diploma)-2

2. Ahmad Rofi’ih (SMP ke bawah)-4

3. Ainur Rosyadi (SMA-Diploma)-6

4. Moh. Mashudi (Universitas)-8

5. Abd Gani (Universitas)-10

6. Moh Faisol (SMA-Diploma)-12

Populasi diurutkan terlebih dahulu menurut tingkat pendidikan

1. Ahmad Rofi’ih (SMP ke bawah)-2

2. Subaidi (SMP ke bawah) -4

3. Cholish (SMP ke bawah) -6

4. Shofyan Firdaus (SMA-Diploma) -8

5. Moh. Faisol (SMA-Diploma) -10

6. Abd Gani (Universitas) -12

No

urut

rumah

tangga

Kepala Rumah

Tangga (KRT)

Pendidikan tertinggi KRT

SMP

ke

bawah

SMA-

Diploma

Universi

tas

(1) (2) (3) (4) (5)

1 JUNAIDI √ 7

2 SHOFYAN FIRDAUS √ 8

3 RAHMAD √ 1

4 AHMAD ROFI'IH √ 2

5 ANDI CAHYADI

ALFARIS √ 3

6 AINUR ROSYADI √ 9

7 SUBAIDI √ 4

8 MOH MASHUDI √ 11

9 QUDZI A SPD I √ 5

10 ABD GANI √ 12

11 CHOLISH √ 6

12 MOH FAISOL BASRI √ 10

KOMPOSISI K SAMPEL SISTEMATIK

Nomor

sampel

Nomor Gugus Sampel (Class)

1 2 … i … k

1 𝑦1 𝑦2 … 𝑦𝑖 … 𝑦𝑘

2 𝑦𝑘+1 𝑦𝑘+2 … 𝑦𝑘+𝑖 … 𝑦2𝑘

… … … … … … …

𝑛 𝑦 𝑛−1 𝑘+1 𝑦 𝑛−1 𝑘+2 … 𝑦 𝑛−1 𝑘+𝑖 … 𝑦𝑛𝑘

Rata-rata 𝑦 1 𝑦 2 … 𝑦 𝑖 … 𝑦 𝑘

Hubungan dengan Stratified Sampling • Systematic sampling menstratifikasi populasi menjadi n strata yang

terdiri dari:

k unit pertama,

k unit kedua, dst.

• Sampel sistematik sama precisenya dengan stratified random sampling dengan satu unit per strata yang bersesuaian

Perbedaan:

• Systematic Sample:

Unit-unit terletak pada posisi yang relatif sama dalam strata

• Stratified Random Sample:

Posisi dalam strata ditentukan secara terpisah berdasarkan pengacakan di dalam masing-masing strata.

= systematic sample

= stratified random sample

k 2k 3k 4k

Ilustrasi Strata dalam Systematic Sampling

Nomor sampel


1 2 … i … k

1 𝑦1 𝑦2 … 𝑦𝑖 … 𝑦𝑘

2 𝑦𝑘+1 𝑦𝑘+2 … 𝑦𝑘+𝑖 … 𝑦2𝑘

… … … … … … …

𝑛 𝑦 𝑛−1 𝑘+1 𝑦 𝑛−1 𝑘+2 … 𝑦 𝑛−1 𝑘+𝑖 … 𝑦𝑛𝑘

Strata 1

Strata 2

Strata n

Hubungan dengan Cluster Sampling

• Dengan N=nk, populasi dibagi menjadi k unit sampling yang besar, yang masing-masing mengandung n unit original.

• Pelaksanaan pemilihan sampel sistematik adalah pelaksanaan pemilihan satu dari unit-unit sampling yang besar ini secara acak.

• Sebuah sampel sistematik adalah sebuah sampel acak sederhana dari satu unit cluster dari suatu populasi sebanyak k unit cluster.

Nomor sampel


1 2 … i … k

1 𝑦1 𝑦2 … 𝑦𝑖 … 𝑦𝑘

2 𝑦𝑘+1 𝑦𝑘+2 … 𝑦𝑘+𝑖 … 𝑦2𝑘

… … … … … … …

𝑛 𝑦 𝑛−1 𝑘+1 𝑦 𝑛−1 𝑘+2 … 𝑦 𝑛−1 𝑘+𝑖 … 𝑦𝑛𝑘

Cluster 1

Cluster 2

Cluster i

Cluster k

Penduga Rata-rata Populasi

• Linear Systematic Sampling

Jika N=nkrata-rata sampel dari sebuah sampel sistematik merupakan penduga unbiased dari rata-rata populasi

Jika N ≠ nkrata-rata sampel dari sebuah sampel sistematik merupakan penduga biased dari rata-rata populasi

• Circular Systematic Sampling

(N=nk maupun N≠nk)

Rata-rata sampel akan selalu merupakan penduga unbiased

Sistematik

Kondisi

N=nk N≠nk

Linear Unbiased Biased

Sirkuler Unbiased Unbiased

Penduga Rata-rata Populasi

𝑦 𝑖 =1

𝑛 𝑦𝑖𝑗rata-rata untuk sampel sistematik ke-i

𝐸 𝑦 𝑠𝑦 =1

𝑘 𝑦 𝑖

𝑘

𝑖=1

=1

𝑘𝑦 1 + 𝑦 2 +⋯+ 𝑦 𝑘

=1

𝑘

1

𝑛𝑦1 + 𝑦1 +⋯+ 𝑦𝑁 … (𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑁 = 𝑛𝑘)

=1

𝑁𝑦1 + 𝑦1 +⋯+ 𝑦𝑁

=1

𝑁 𝑦𝑖

𝑁

𝑖=1

= 𝑌

Latihan 2 • Diketahui populasi mahasiswa sebanyak N=9 dengan jumlah buku

sampling yang dimiliki sebagai berikut:

Buktikan secara empiris bahwa penarikan sampel secara sistematik linear maupun sirkuler (n=3) akan menghasilkan penduga rata-rata yang unbiased !

• Diketahui populasi mahasiswa sebanyak N=10 dengan jumlah buku ekonomi yang dimiliki sebagai berikut:

Buktikan secara empiris bahwa penarikan sampel (n=3) secara sistematik linear akan menghasilkan penduga rata-rata yang biased, tetapi penarikan sampel secara sistematik sirkuler akan menghasilkan penduga yang unbiased !

No 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Jumlah Buku 1 2 2 3 3 4 5 7 9

No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Jumlah Buku 1 1 2 3 3 4 4 5 6 8

• Penghitungan 𝑣(𝑦 𝑠𝑦) membutuhkan informasi dari seluruh k

sampel sistematik.

• 𝑣 𝑦 𝑠𝑦 =1

𝑘 𝑦 𝑖 − 𝑌 2𝑘𝑖=1 … (1)

• 𝑣 𝑦 𝑠𝑦 =𝑁−1

𝑁𝑆2 −

𝑘(𝑛−1)

𝑁𝑆𝑤𝑠𝑦

2 … (2)

• 𝑆2 =1

𝑁−1 (𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 )2𝑛

𝑗=1𝑘𝑖=1

Varians Penduga Rata-rata

Varians within dari k sampel sistematik

Varians within sampel sistematis yang besar

mengindikasikan bahwa sampel tsb

adalah HETEROGEN

𝑆𝑤𝑠𝑦2 =

1

𝑘(𝑛 − 1) 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦 𝑖

2

𝑛

𝑗

𝑘

𝑖

• Misal populasi:

1,2,3,4,5 | 1,2,3,4,5 | 1,2,3,4,5 periodicity

• Misal 2 terpilih sampel dan k=5, sehingga sampel

sistematik: 2,2,2 homogen dan tidak representatif

• Varians within=0 dan 𝑣(𝑦 𝑠𝑦) akan besar.

Bagaimana mengukur kehomogenan atau keheterogenan ini ?

INTRACLASS CORRELATION COEFFICIENT


• Ukuran yang menyatakan tingkat kehomogenan

dalam sebuah sampel sistematik di antara

pasangan unit dalam sampel sistematik yang sama

adalah intraclass correlation coefficient (𝜌)

• 𝜌 =𝐸(𝑦𝑖𝑗−𝑌 )(𝑦𝑖𝑗′−𝑌

)

𝐸(𝑦𝑖𝑗−𝑌 )2

• 𝑣 𝑦 𝑠𝑦 =𝑆2

𝑛

𝑁−1

𝑁1 + (𝑛 − 1)𝜌


• Ketika ada n unit sampling dalam sebuah sampel sistematik,

maka ada 𝑛2

=𝑛(𝑛−1)

2 pasangan unit sampling yang

berbeda yang bisa kita pilih

• Karena keseluruhan ada k sampel sistematis, ada 𝑘𝑛(𝑛−1)

2

pasangan yang berbeda, sehingga:

𝐸 𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 𝑦𝑖𝑗′ − 𝑌 =2

𝑘𝑛(𝑛 − 1) 𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 𝑦𝑖𝑗′ − 𝑌

𝑛

𝑗<𝑗′

𝑘

𝑖=1

𝐸(𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 )2=1

𝑁 (𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 )2

𝑛

𝑗=1

𝑘

𝑖=1

=𝑁 − 1

𝑁

1

𝑁 − 1 (𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 )2

𝑛

𝑗=1

𝑘

𝑖=1

=𝑁 − 1

𝑁𝑆2


• 𝜌 =2

𝑘𝑛(𝑛−1) 𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 𝑦𝑖𝑗′ − 𝑌 .

𝑁

(𝑁−1)𝑆2𝑛𝑗<𝑗′

𝑘𝑖=1

𝑉 𝑦 𝑠𝑦 =𝑆2

𝑛

𝑁 − 1

𝑁1 + (𝑛 − 1)𝜌

• Jika 𝜌 besar dan positif 𝑣(𝑦 𝑠𝑦) besar (unit-unit

homogen dalam sampel sistematik)

• Jika 𝜌 kecil dan (+/-) 𝑣(𝑦 𝑠𝑦) kecil (unit-unit

heterogen dalam sampel sistematik)

Pembuktian (1)

Varians cara 1:

𝑽 𝒚 𝒔𝒚 = 𝐸 𝑦 𝑖 − 𝐸 𝑦 𝑖2 = 𝐸 𝑦 𝑖 − 𝑌 2 =

𝟏

𝒌 𝒚 𝒊 − 𝒀 𝟐

𝒌

𝒊=𝟏

Varians cara 2:

𝑉 𝑦 𝑠𝑦 =1

𝑘 𝑦 𝑖 − 𝑌 2

𝑘

𝑖=1

𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 2= 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦 𝑖 + 𝑦 𝑖 − 𝑌

2𝑛

𝑗=1

𝑘

𝑖=1

𝑛

𝑗=1

𝑘

𝑖=1

= 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦 𝑖2+ 𝑦 𝑖 − 𝑌 2 + 2 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦 𝑖 𝑦 𝑖 − 𝑌

𝑛

𝑗=1

𝑘

𝑖=1

= 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦 𝑖2

𝑛

𝑗=1

+

𝑘

𝑖=1

𝑦 𝑖 − 𝑌 2

𝑛

𝑗=1

+

𝑘

𝑖=1

2 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦 𝑖 𝑦 𝑖 − 𝑌

𝑛

𝑗=1

𝑘

𝑖=1

Pembuktian (2)

𝑦 𝑖 − 𝑌 2

𝑛

𝑗=1

= 𝑛 𝑦 𝑖 − 𝑌 2

𝑘

𝑖=1

𝑘

𝑖=1

2 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦 𝑖 𝑦 𝑖 − 𝑌

𝑛

𝑗=1

𝑘

𝑖=1

= 2 𝑦 𝑖 − 𝑌 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦 𝑖

𝑛

𝑗=1

𝑘

𝑖=1

= 0

Sehingga:

𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 2= 𝑛 𝑦 𝑖 − 𝑌 2

𝑘

𝑖=1

+ 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦 𝑖2

𝑛

𝑗=1

𝑘

𝑖=1

𝑛

𝑗=1

𝑘

𝑖=1


𝑘𝑛 𝑦𝑖𝑗 − 𝑌

2−

1

𝑘𝑛 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦 𝑖

2𝑛

𝑗=1

𝑘

𝑖=1

𝑛

𝑗=1

𝑘

𝑖=1

Karena:

𝑆𝑤𝑠𝑦2 =

1

𝑘(𝑛 − 1) 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦 𝑖

2

𝑛

𝑗

𝑘

𝑖

𝑆2 =1

𝑁 − 1 (𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 )2

𝑛

𝑗=1

𝑘

𝑖=1

Sehingga:

𝑉 𝑦 𝑠𝑦 =𝑁 − 1

𝑁𝑆2 −

𝑘(𝑛 − 1)


2

Pembuktian (3): Koefisien korelasi intraklass:

𝜌 =𝐸(𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 )(𝑦𝑖𝑗′ − 𝑌 )

𝐸(𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 )2

Karena terdapat sebanyak 𝑛 unit sampling untuk setiap gugus sampel, maka akan terdapat

𝑛2

=𝑛(𝑛−1)

2 pasangan unit sampling yang berbeda yang dapat

dipilih. Oleh karena itu, untuk 𝑘 gugus sampel sistematik akan terdapat 𝑘𝑛(𝑛−1)

2

pasangan yang berbeda, sehingga:

𝐸 𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 𝑦𝑖𝑗′ − 𝑌 =2

𝑘𝑛(𝑛 − 1) (𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 )(𝑦𝑖𝑗′ − 𝑌 )

𝑛

𝑗<𝑗′

𝑘

𝑖=1

𝐸(𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 )2=1

𝑁 (𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 )2

𝑛

𝑗=1

𝑘

𝑖=1

=𝑁 − 1

𝑁

1

𝑁 − 1 (𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 )2

𝑛

𝑗=1

𝑘

𝑖=1

=𝑁 − 1

𝑁𝑆2

Pembuktian (4) Sehingga:

𝜌 =2

𝑘𝑛(𝑛 − 1) 𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 𝑦𝑖𝑗′ − 𝑌 .

𝑁

(𝑁 − 1)𝑆2

𝑛

𝑗<𝑗′

𝑘

𝑖=1

Varians cara 3:


𝑘 𝑦 𝑖 − 𝑌 2 =

1

𝑘

1

𝑛 𝑦𝑖𝑗 − 𝑌

𝑛

𝑗=1

2𝑘

𝑖=1

𝑘

𝑖=1

=1

𝑘

1

𝑛2 𝑦𝑖𝑗 − 𝑌

𝑛

𝑗=1

2𝑘

𝑖=1

=1

𝑘

1


2+ 2 𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 𝑦𝑖𝑗′ − 𝑌

𝑛

𝑗<𝑗′

𝑘

𝑖=1

𝑛

𝑗=1

𝑘

𝑖=1

=1

𝑘

1


2+ 2

𝑛 − 1

2∙ 𝑁 − 1 𝑆2𝜌

𝑛

𝑗=1

𝑘

𝑖=1

Pembuktian (5)


𝑘∙1

𝑛2∙ 𝑦𝑖𝑗 − 𝑌

2+ 𝑛 − 1 ∙ 𝑁 − 1 𝑆2𝜌

𝑛

𝑗=1

𝑘

𝑖=1

=1

𝑘∙1

𝑛2∙ 𝑁 − 1 𝑆2 + 𝑛 − 1 ∙ 𝑁 − 1 𝑆2𝜌

=1

𝑛𝑁(𝑁 − 1)𝑆2 1 + (𝑛 − 1)𝜌


𝑛

𝑁 − 1

𝑁1 + (𝑛 − 1)𝜌

EFISIENSI

• 𝑣 𝑦 𝑠𝑟𝑠 =𝑆2

𝑛

𝑁−𝑛

𝑁

• 𝑣 𝑦 𝑠𝑦𝑠 =𝑆2

𝑛

𝑁−1

𝑁1 + (𝑛 − 1)𝜌

•𝑣(𝑦 𝑠𝑦𝑠)

𝑣(𝑦 𝑠𝑟𝑠)=

(𝑁−1) 1+(𝑛−1)𝜌

𝑛(𝑘−1)

Agar systematic sampling memiliki presisi yang sama dengan SRS, maka:

(𝑁 − 1) 1 + (𝑛 − 1)𝜌

𝑛(𝑘 − 1)= 1

𝜌 =−1

𝑛𝑘 − 1=

−1

𝑁 − 1

EFISIENSI

• Karena N biasanya besar, 𝜌 seharusnya kecil agar systematic sampling memiliki presisi yang sama dengan SRS.

• Nilai 𝜌 akan kecil jika unit-unit sampling dalam populasi didistribusikan secara random, sehingga 𝑣 𝑦 𝑠𝑟𝑠 bisa digunakan untuk sistematic sampling

Penduga Rata-rata Populasi dan Varians (Ringkasan)

Penduga Rumus

Rata-rata 𝑌 =1

𝑘 𝑦 𝑖.

𝑘

𝑖=1

Varians


𝑘 𝑦 𝑖 − 𝑌 2

𝑘

𝑖=1

𝑉 𝑦 𝑠𝑦 =𝑁 − 1

𝑁𝑆2 −

𝑘(𝑛 − 1)


2


𝑛

𝑁 − 1

𝑁1 + (𝑛 − 1)𝜌

Keterangan:

𝑆𝑤𝑠𝑦2 =

1

𝑘(𝑛 − 1) 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦 𝑖

2

𝑛

𝑗

𝑘

𝑖

𝑆2 =1

𝑁 − 1 (𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 )2

𝑛

𝑗=1

𝑘

𝑖=1

𝜌 =2


𝑁


𝑘𝑖=1

Contoh:

Misalkan populasi N=9 dengan nilai karakteristik 𝑌𝑖 sebagai berikut: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 diambil sampel n=3 secara sistematik sampling.

Maka komposisi sampel sistematiknya:

𝑌 =1

𝑘 𝑦 𝑖 =

1

34 + 5 + 6 = 5

𝑘

𝑖=1

No urut

sampel

Gugus Sampel 1 Gugus Sampel 2 Gugus Sampel 3

𝑌1𝑗 𝑌1𝑗2 𝑌2𝑗 𝑌2𝑗

2 𝑌3𝑗 𝑌3𝑗2

1 1 1 2 4 3 9

2 4 16 5 25 6 36

3 7 49 8 64 9 81

Total 12 66 15 93 18 126

Rata-rata 4 22 5 31 6 42

Penghitungan varians (cara 1):


𝑘 𝑦 𝑖 − 𝑌 2

𝑘

𝑖=1

=1

34 − 5 2 + 5 − 5 2 + 6 − 5 2 =

2

3


𝑆𝑤𝑠𝑦2 =

1

𝑘(𝑛 − 1) 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦 𝑖

2

𝑛

𝑗

𝑘

𝑖

=1

3 ∙ 218 + 18 + 18 =

54

6

𝑆2 =1

𝑁 − 1 (𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 )2

𝑛

𝑗=1

𝑘

𝑖=1

=60

8

𝑉 𝑦 𝑠𝑦 =𝑁 − 1

𝑁𝑆2 −

𝑘 𝑛 − 1


2 =8

9∙60

8−3 ∙ 2

9∙54

6=2

3


𝜌 =2


𝑁


𝑘𝑖=1

Untuk 𝑖 = 1:

𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 𝑦𝑖𝑗′ − 𝑌 = 𝑛𝑗<𝑗′ Penghitungan varians (cara 3):

𝜌 =2


𝑁


𝑘𝑖=1

Untuk 𝑖 = 1:

𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 𝑦𝑖𝑗′ − 𝑌 = 𝑦11 − 𝑌 𝑦12 − 𝑌 + 𝑦11 − 𝑌 𝑦13 − 𝑌 + 𝑦12 − 𝑌 𝑦13 − 𝑌

𝑛

𝑗<𝑗′

= 1 − 5 4 − 5 + 1 − 5 7 − 5 + 4 − 5 7 − 5 = −6

Dengan cara yang sama, untuk 𝑖 = 2 diperoleh hasil -9 dan untuk 𝑖 = 3 diperoleh hasil -6.

Maka:

𝜌 =2

𝑘𝑛(𝑛 − 1) 𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 𝑦𝑖𝑗′ − 𝑌 .

𝑁

(𝑁 − 1)𝑆2

𝑛

𝑗<𝑗′

𝑘

𝑖=1

=2

3∙3∙2−6 − 9 − 6 ∙

9

8∙8

60= −

21

60


𝑛

𝑁 − 1

𝑁1 + (𝑛 − 1)𝜌 =

60/8

3∙8

9∙ 1 + 3 − 1

−21

60=2

3

Latihan 3

No

Ruta

Kepala Rumah

Tangga (KRT)

Pendidikan tertinggi

KRT Pengeluaran

perbulan

(000 rupiah)

SMP

ke

bawah

SMA-

Diploma

Univer

-sitas

(1) (2) (3) (4) (5) (7)

1 JUNAIDI √ 1825

2 SHOFYAN FIRDAUS √ 2345

3 RAHMAD √ 1167

4 AHMAD ROFI'IH √ 752

5 ANDI CAHYADI √ 1222

6 AINUR ROSYADI √ 1935

7 SUBAIDI √ 1441

8 MOH MASHUDI √ 3402

9 QUDZI A SPD I √ 1458

10 ABD GANI √ 4046

11 CHOLISH √ 1067

12 MOH FAISOL BASRI √ 2505

Dari populasi di samping, dilakukan pengambilan sampel sebanyak 4 rumah tangga secara sistematik. Hitunglah rata-rata, sampling variance populasi untuk rata-rata pengeluaran, koefisien korelasi intraklasnya , dan RE terhadap SRS jika: a. Populasi tidak

diurutkan. b. Populasi

diurutkan berdasarkan tingkat pendidikan.

Latihan 4 No Jenis pohon

Harga jual

hasil panen

setahun (000

Rp)

1 Pepaya 198

2 Pepaya 197

3 Pepaya 233

4 Pepaya 206

5 Pepaya 276

6 Durian 822

7 Durian 839

8 Durian 707

9 Durian 826

10 Durian 725

11 Jambu 379

12 Jambu 494

13 Jambu 382

14 Jambu 339

15 Jambu 323

16 Jeruk 486

17 Jeruk 515

18 Jeruk 590

19 Jeruk 521

20 Jeruk 417

• Seorang pemilik kebun buah memiliki 4 jenis pohon buah, yaitu pepaya, durian, jambu, dan jeruk yang masing-masing jenis terdiri dari 4 pohon. Berdasarkan populasi di samping, jika dilakukan penarikan sampel sebanyak 4 pohon, maka:

a. Hitunglah rata-rata dan varians populasi beserta koefisien korelasi intraklass dari harga jual hasil panen setahun jika penarikan sampel secara sistematik.

b. Jika jenis pohon dianggap sebagai strata, buatlah tabel annovanya kemudian hitunglah rata-rata dan varians populasinya.

c. Hitunglah rata-rata dan varians populasinya jika dilakukan penarikan sampel secara SRS WOR.

d. Bandingkan efisiensi antara poin (a), poin (b), dan poin (c).

Latihan 5 • In a directory of 13 houses on a street the persons are listed as follow: 𝑀 = 𝑚𝑎𝑙𝑒 𝑎𝑑𝑢𝑙𝑡, 𝐹 = 𝑓𝑒𝑚𝑎𝑙𝑒 𝑎𝑑𝑢𝑙𝑡,𝑚 = 𝑚𝑎𝑙𝑒 𝑐ℎ𝑖𝑙𝑑, 𝑓 = 𝑓𝑒𝑚𝑎𝑙𝑒 𝑐ℎ𝑖𝑙𝑑.

• Compare the variances given by a systematic sample of one in five persons and a 20% simple random sample for estimating: (a) the proportion of males, (b) the proportion of children, (c) the proportion of persons living in professional households (households 1,2,3,12, and 13 are described as professional). For the systematic sample, number down each column, then go to the top of the next column.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

M M M M M M M M M M M M M

F F F F F F F F F F F F F

f f m m f f m m m f f

m m f m m f f f m

f f f m

HOUSEHOLD

JENIS-JENIS POPULASI

• Populasi dengan susunan acak (random population)

• Populasi terurut (ordered population)

• Populasi dengan variasi periodik

• Populasi alami (natural population)

• Populasi yang berautokorelasi

Populasi dengan Susunan Acak

• Jika unit-unit sampling di dalam populasi tersusun secara acak, unit-unit sampling di dalam sampel juga akan tersusun secara acak.

• Oleh karena itu, sampel sistematik bisa diperlakukan seolah-olah adalah sampel acak.

• Sampel yang tersusun secara acak ini akan menjadi heterogen dan akan memiliki 𝜌 yang kecil maka 𝑣(𝑦 𝑠𝑦) kurang lebih akan

sama dengan 𝑣(𝑦 𝑠𝑟𝑠) .

• Misal, sampling dari sebuah frame yang disusun secara alfabetik menurut nama. Jika item yang diukur tidak memiliki hubungan dengan nama individu, kita bisa mengharapkan systematic sampling benar-benar equivalent dengan SRS dan memiliki varians yang hampir sama.

Populasi Terurut

• Dalam sebuah populasi terurut, pemilihan sampel sistematik akan memberikan sampel yang heterogen dan 𝑣(𝑦 𝑠𝑦) biasanya

akan lebih kecil daripada 𝑣(𝑦 𝑠𝑟𝑠).

• Contoh: menduga produksi jagung dari populasi petani dengan luas lahan. Petani diurutkan terlebih dahulu menurut luas lahan, kemudian dipilih sampel secara sistematik. Sampel yang terpilih akan heterogen dan menghindari kesempatan memilih sampel yang mengandung terlalu banyak petani besar/kecil sehingga lebih mewakili populasi daripada ketika masih tersusun secara acak.

Perbandingan Systematic Sampling, Stratified Sampling, dan SRS dalam Populasi Trend Linear

• Ilustrasi populasi dengan trend linear:

𝒚𝒊

𝒊

𝒚𝒊 = 𝒂 + 𝒃𝒊

𝒂

:systematic sample

:stratified sample

Perbandingan Systematic Sampling, Stratified Sampling, dan SRS dalam Populasi Trend Linear

𝑌 =1

𝑁 𝑦𝑖 =

𝑁

𝑖=1

1

𝑁 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑎 + 𝑏(𝑁 + 1)/2

𝑁

𝑖=1

𝑆2 =1

𝑁 − 1 𝑦𝑖 − 𝑌 2 =

𝑏2

(𝑁 − 1)𝑖 −

𝑁 + 1

2

2𝑁

𝑖=1

𝑁

𝑖=1

=𝑁(𝑁 + 1)𝑏2

12=𝑛𝑘(𝑛𝑘 + 1)𝑏2

12

𝑉𝑠𝑟𝑠 =(𝑁 − 𝑛)

𝑁𝑛∙ 𝑆2 =

𝑘 − 1

𝑛𝑘∙𝑛𝑘 𝑛𝑘 + 1

12∙ 𝑏2 = 𝑘 − 1

𝑛𝑘 + 1

12𝑏2

𝑉𝑠𝑡𝑟 =𝑁 − 𝑛

𝑁𝑛∙ 𝑆𝑤

2 =𝑘 − 1

𝑛𝑘∙𝑘 𝑘 + 1

12∙ 𝑏2 = (𝑘 − 1)

(𝑘 + 1)

12𝑛𝑏2

𝑉𝑠𝑦𝑠 =1

𝑘 𝑦 𝑖 − 𝑌 2 =

1

𝑘∙𝑘 𝑘 + 1 𝑘 − 1

12∙ 𝑏2 = 𝑘 − 1

𝑘 + 1

12𝑏2

𝑘

𝑖=1

Sehingga:

𝑉𝑠𝑡𝑟 ∶ 𝑉𝑠𝑦𝑠 ∶ 𝑉𝑠𝑟𝑠 =(𝑘 + 1)

𝑛: 𝑘 + 1 : 𝑛𝑘 + 1 ≅

1

𝑛: 1: 𝑛 = 1: 𝑛: 𝑛2

Populasi dengan Variasi Periodik

• Jika populasi mengandung trend periodik (misalkan kurva sinus), keefektifan sampel sistematik tergantung pada nilai interval.

• Contoh populasi hipotetik:

1,2,3,4,5| 1,2,3,4,5| 1,2,3,4,5

Jika diambil 3 sampel dan dengan random start 2 dan k=5, maka sampel sistematiknya: (2,2,2)homogen, 𝜌 besar

• Contoh praktis:

Penjualan tinggihari Jumat dan Sabtu

Penjualan rendahhari Senin dan Selasa

Sampel-sampel bisa dipilih dengan mengubah posisi unit-unit sampling setiap waktu.

Natural Population dan Autocorrelated Population

• Systematic sampling secara operasional sangat mudah dan efisien digunakan dalam populasi alami (natural population), misalnya pada populasi di area hutan untuk mengestimasi produksi kayu, karet, dsb

• Pada beberapa populasi alami, unit-unit yang berdekatan akan mempunyai korelasi yang kuat daripada unit-unit yang saling berjauhan. Populasi semacam ini disebut autocorrelated population.

• Misalnya, 𝑦𝑖 dan 𝑦𝑗 (𝑖 = 1,2, … , 𝑁) adalah nilai observasi dari dari dua

unit yang berkorelasi positif dan serial correlation coefficient 𝜌𝑑 adalah fungsi dari jarak antara keduanya: 𝑑 = 𝑦𝑖 − 𝑦𝑗 .

• Misalkan 𝑦𝑖 diambil dari infinite population (superpopulation) dengan rata-rata 𝜇 dan varians 𝜎2 maka:

𝐸 𝑦𝑖 = 𝜇 dan 𝐸 𝑦𝑖 − 𝜇 2 = 𝜎2

𝜌𝑑 =𝐸 𝑦𝑖 − 𝜇 𝑦𝑗 − 𝜇

𝜎2

Untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑁 dan 𝑑 = 1,2, … , (𝑁 − 1)

Latihan 6

• Grafik di bawah ini menunjukkan nilai output( 𝑦𝑖 ) untuk setiap perusahaan(𝑖). Hitunglah nilai koefisien korelsi intraklaster dan varians jika dari populasi sebanyak N=12 perusahaan dilakukan pengambilan 4 sampel secara sistematik, kemudian bandingkan efisiensinya dengan SRS WOR !

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 2 4 6 8 10 12 14

Ou

tpu

t

Perusahaan

Populasi dengan Trend Linear

𝒚𝒊 = 𝟒 + 𝟑𝒊

Estimasi Varians Sistematik dari Single Sample

• Pada prinsipnya, varians systematic sampling yang unbiased sulit didapatkan dari sampel sistematik tunggal. Untuk itu, systematic sampling dapat diasumsikan ke dalam model tertentu sehingga bisa dilakukan pendekatan dalam penghitungan estimasi sampling varians.

• Ada beberapa pendekatan untuk menghitung estimasi varians berdasarkan sampel sistematik tunggal yaitu:

1. Simple Random Sampling

2. Stratified Random Sampling

3. Paired Selection Models

4. Succesive Difference Models

5. Interpenetrating (Repeated) Systematic Sampling

Pendekatan SRS dan Stratified Sampling

• Pendekatan SRS:

Jika populasi tersusun secara acak, maka unit-unit yang terpilih dalam pengambilan sampel sistematik juga akan tersusun acak sehingga dalam kasus ini estimasi variansnya bisa dilakukan dengan pendekatan SRS, yaitu:

𝑣 𝑦 𝑠𝑦 = (1 − 𝑓) ∙𝑠2

𝑛

• Pendekatan Stratified Random Sampling:

Jika populasi tersusun terurut berdasarkan kategori tertentu (misalkan: wilayah geografis seperti urban-rural, desa, kecamatan, dsb, karakteristik demografi seperti jenis kelamin, kelompok umur, dsb, karakteristik sosial ekonomi seperti kategori pengeluaran, tingkat pendidikan, dsb), maka jumlah sampel sistematik yang terpilih untuk setiap kategori akan proporsional terhadap jumlah populasi pada kategori yang bersangkutan. Untuk kasus seperti ini, varians sampling sistematik bisa didekati dengan rumus varians proportional stratified sampling, yaitu:

𝑣 𝑦 𝑠𝑦 = 𝑁ℎ

𝑁

2

1 − 𝑓ℎ𝑠ℎ

2

𝑛ℎ

𝐿

ℎ=1

Paired Selection Model (PSM)

• Mengelompokkan N unit populasi ke dalam 𝑛

2 kelompok.

• Masing-masing kelompok terdiri dari 2𝑘 unit.

• Melakukan penarikan sampel 2 unit dari tiap kelompok dengan prosedur:

a. Hitung interval 𝑘′ = 2𝑘 =2𝑁

𝑛

b. Ambil dua angka random (𝐴𝑅1dan 𝐴𝑅2) yang kurang dari atau sama dengan 𝑘′ untuk menentukan dua unit yang terpilih sebagai sampel pertama

c. Sampel selanjutnya ditentukan dengan interval 𝑘′

𝐴𝑅3 = 𝐴𝑅1 + 2𝑘 𝐴𝑅4 = 𝐴𝑅2 + 2𝑘

𝐴𝑅5 = 𝐴𝑅3 + 2𝑘 𝐴𝑅6 = 𝐴𝑅4 + 2𝑘

𝐴𝑅7 = 𝐴𝑅5 + 2𝑘 𝐴𝑅8 = 𝐴𝑅6 + 2𝑘

… …

Paired Selection Model (PSM)

Penghitungan varians:

1 2 3 4 5 6 … n-1 n

a. Jika n genap

𝑣 𝑦 𝑠𝑦 =1 − 𝑓

𝑛2 𝑦2𝑖 − 𝑦2𝑖−1

2

𝑛/2

𝑖=1

b. Jika n ganjil

Pilih satu unit secara acak dan menggunakannya dua kali.

𝑣 𝑦 𝑠𝑦 =1 − 𝑓

𝑛(2𝑚) 𝑦2𝑖 − 𝑦2𝑖−1

2

𝑛/2

𝑖=1

Keterangan: 𝑚 =𝑛+1

2

𝑦2 − 𝑦12 𝑦4 − 𝑦3

2 𝑦6 − 𝑦52 𝑦𝑛 − 𝑦𝑛−1

2

Succesive Difference Model (SDM) • Metode ini menggunakan semua succesive difference yaitu sebanyak

(n-1) succesive difference, sehingga penghitungan dengan metode ini variansnya cenderung meningkat.

• Penghitungan varians:

1 2 3 4 5 6 … n-1 n

𝑣 𝑦 𝑠𝑦 =1 − 𝑓

2𝑛(𝑛 − 1) 𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖

2

𝑛−1

𝑖=1

𝑦2 − 𝑦12 𝑦4 − 𝑦3

2 𝑦6 − 𝑦52 𝑦𝑛 − 𝑦𝑛−1

2

𝑦3 − 𝑦22 𝑦5 − 𝑦4

2

Interpenetrating (Replicated) Systematic Sampling

• Misalnya, suatu sampel sebanyak 𝑛 akan diambil dari populasi sebanyak 𝑁 secara sistematik. Proses pengambilan sampel yaitu dengan mengambil subsample sistematik sebanyak 𝑚 gugus sampel dengan independent random starts, masing-

masing memuat 𝑛/𝑚 unit untuk menjaga total sampel sebanyak 𝑛. Anggap 𝑛′ =𝑛

𝑚

dan 𝑘′ = 𝑚𝑘 maka komposisi sampel sistematiknya:

Nomor sampel


1 2 … i … 𝑘′

1 𝑦1 𝑦2 … 𝑦𝑖 … 𝑦𝑘′

2 𝑦𝑘′+1 𝑦𝑘′+2 … 𝑦𝑘′+𝑖 … 𝑦2𝑘′

… … … … … … …

𝑛′ 𝑦 𝑛′−1 𝑘′+1 𝑦 𝑛′−1 𝑘′+2 … 𝑦 𝑛′−1 𝑘′+𝑖 … 𝑦𝑛′𝑘′

𝑦 𝑠𝑦 =1

𝑚 𝑦 𝑖

𝑚

𝑖=1

𝑣 𝑦 𝑠𝑦 =𝑘′ −𝑚

𝑘′𝑚(𝑚 − 1) 𝑦 𝑖 − 𝑦 𝑠𝑦

2𝑚

𝑖=1

Stratified Systematic Sampling

• Populasi terlebih dahulu dikelompokkan menjadi beberapa strata, kemudian dari masing-masing strata dilakukan penarikan sampel secara sistematik.

• Jika 𝑦 𝑠𝑦ℎ adalah rata-rata dari sampel sistematik di strata ke-h, estimasi

rata-rata populasi beserta variansnya adalah:

𝑦 𝑠𝑡𝑠𝑦 = 𝑊ℎ𝑦 𝑠𝑦ℎ

𝐿

ℎ=1

𝑉 𝑦 𝑠𝑡𝑠𝑦 = 𝑊ℎ2 𝑣 𝑦 𝑠𝑦ℎ

𝐿

ℎ=1

TERIMA KASIH Have A Nice Sampling

PROBABILITY PROPORTIONAL TO

SIZE (PPS SAMPLING)



Pengertian

• Pada acak sederhana penarikan sampel hanya didasarkan pada nomor urut unit dalam populasi.

• Penarikan acak sederhana ini menjadi kurang baik bila unit dalam populasi ukurannya bervariasi. Oleh karena itu digunakan variabel pendukung (auxiliary variable) sebagai dasar pertimbangan di dalam penarikan sampel agar diperoleh estimator yang lebih efisien.

• Variabel pendukung yang digunakan sebagai dasar penarikan sampel adalah variabel yang memiliki korelasi yang erat dengan variabel yang akan diteliti.

• Variabel pendukung yang dipertimbangkan sebagai dasar penarikan sampel selanjutnya disebut ukuran (size).

Prosedur penarikan sampel dimana peluang terpilihnya suatu unit sampel sebanding dengan ukuran disebut sebagai sampling berpeluang sebanding dengan ukuran unit atau sampling with probability proportional to size atau disingkat pps sampling

Variabel yang diteliti Variabel pendukung/bantu

Penduduk sekarang Penduduk tahun sebelumnya

Jumlah kelahiran sekarang Jumlah WUS tahun sebelumnya

Total panen Luas lahan yang ditanami

Total output Total input

Produksi pabrik Jumlah pekerja

Beberapa contoh variabel yang diteliti dan variabel pendukung

Keuntungan

1. Memberikan penduga rata-rata populasi yang unbiased.

2. Mempunyai ketepatan yang lebih tinggi daripada metode-metode yang lain.

3. Memberikan penduga rata-rata dan varians populasi yang sangat sederhana.

Prosedur Pemilihan Sampel

PPS

PPS WR PPS WOR

PPS

Pemilihan dari suatu

daftar (list)

Pemilihan dari peta

(map)

Berdasarkan cara pengambilan Berdasarkan kerangka sampel

yang digunakan

Cumulative Method Lahiri Method PPS Systematic

Method Random Group

Method

Hansen and Hurwitz Lahiri Madow Rao, Hartley, and Cochran

Cumulative Method (1)

Metode Kumulatif

No Nama KRT

Size jumlah

ART(𝑿𝒊)

Kumulatif 𝑿𝒊

1 Danu 3 3

2 Hananto 1 4

3 Wisnu 11 15

4 Pandhu 6 21

5 Krisna 4 25

6 Yudha 2 27

7 Bima 3 30

Jumlah 𝑿 =30

Langkah 1: Buat

kumulatif dari size


Metode Kumulatif

No Nama KRT

Size jumlah

ART(𝑿𝒊)

Kumulatif 𝑿𝒊

Range

1 Danu 3 3 1-3

2 Hananto 1 4 4

3 Wisnu 11 15 5-15

4 Pandhu 6 21 16-21

5 Krisna 4 25 22-25

6 Yudha 2 27 26-27

7 Bima 3 30 28-30

Jumlah 𝑋 =30

Langkah 1: Buat

kumulatif dari size

Langkah 2: Buat range dari

kumulatif untuk tiap unit


Metode Kumulatif

No Nama KRT

Size jumlah

ART(𝑿𝒊)

Kumulatif 𝑿𝒊

Range

1 Danu 3 3 1-3

2 Hananto 1 4 4

3 Wisnu 11 15 5-15

4 Pandhu 6 21 16-21

5 Krisna 4 25 22-25

6 Yudha 2 27 26-27

7 Bima 3 30 28-30

Jumlah 𝑿 =30

Langkah 3: Ambil angka random

(AR) yang tidak lebih dari 𝑋. Langkah 4:

Lakukan sebanyak n kali Langkah 5: Unit yang range-nya

memuat AR adalah unit yang terpilih sampel

Misal: n=2, AR1=10 AR2=25

Langkah 1: Buat

kumulatif dari size



Latihan 1 • Berikut ini adalah daftar nama desa/kelurahan beserta muatan jumlah

penduduk (dalam 00) di Kecamatan Umbulharjo(040) dan Kotagede(050), Kota Yogyakarta

No

Desa/Kelurahan Jumlah Penduduk Kode Nama

1 3471040001 Giwangan 83 2 3471040002 Sorosutan 160 3 3471040003 Pandeyan 143 4 3471040004 Warungboto 115 5 3471040005 Tahunan 98 6 3471040006 Mujamuju 114 7 3471040007 Semaki 52 8 3471050001 Prenggan 106 9 3471050002 Purbayan 89

10 3471050003 Rejowinangun 114

Lakukan penarikan sampel sebanyak 4 desa secara PPS WR dengan metode kumulatif Gunakan TAR halaman 1 baris 1 kolom 1, independent choice of digits

Lahiri Method

Metode Lahiri

No Nama KRT

Size jumlah

ART(𝑿𝒊)

1 Danu 3

2 Hananto 1

3 Wisnu 11

4 Pandhu 6

5 Krisna 4

6 Yudha 2

7 Bima 3

Jumlah 𝑿 =30

Langkah 1: Ambil dua angka random (AR1 dan AR2) sekaligus dengan syarat: 𝐴𝑅1 ≤ 𝑁 dan 𝐴𝑅2 ≤ 𝑋𝑖(𝑚𝑎𝑘𝑠)

Untuk contoh di samping: 𝐴𝑅1 ≤ 7 dan 𝐴𝑅2 ≤ 11 Langkah 2: Jika 𝐴𝑅1 = 𝑖 dan 𝐴𝑅2 ≤ 𝑋𝑖 maka unit ke-i terpilih sebagai sampel. Langkah 3: Ulangi langkah 1 dan langkah 2 sehingga didapatkan sampel sebanyak n. Misal: AR1=6, AR2=3 tolak, karena AR2> 𝑋2 AR1=4, AR2=5 unit ke-4 terpilih sampel AR1=4, AR2=6tolak jika PPS WOR, unit ke-4 terpilih kembali sebagai sampel jika PPS WR dst…



Lakukan penarikan sampel sebanyak 4 desa secara PPS WR dengan metode Lahiri. Gunakan TAR halaman 1 baris 1 kolom 1, remainder approach.

No Desa/Kelurahan Jumlah

Penduduk Kode Nama 1 3471040001 Giwangan 83 2 3471040002 Sorosutan 160 3 3471040003 Pandeyan 143 4 3471040004 Warungboto 115 5 3471040005 Tahunan 98 6 3471040006 Mujamuju 114 7 3471040007 Semaki 52 8 3471050001 Prenggan 106 9 3471050002 Purbayan 89


PPS Systematic(1)

PPS Systematic

No Nama KRT

Size jumlah

ART(𝑿𝒊)

Kumulatif 𝑿𝒊

1 Danu 3 3

2 Hananto 1 4

3 Wisnu 11 15

4 Pandhu 6 21

5 Krisna 4 25

6 Yudha 2 27

7 Bima 3 30

Jumlah 𝑿 =30

Langkah 1: Buat

kumulatif dari size

PPS Systematic(2)

PPS Systematic

No Nama KRT

Size jumlah

ART(𝑿𝒊)

Kumulatif 𝑿𝒊

Range

1 Danu 3 3 1-3

2 Hananto 1 4 4

3 Wisnu 11 15 5-15

4 Pandhu 6 21 16-21

5 Krisna 4 25 22-25

6 Yudha 2 27 26-27

7 Bima 3 30 28-30

Jumlah 𝑿 =30

Langkah 1: Buat

kumulatif dari size



PPS Systematic(3)

PPS Systematic

No Nama KRT

Size jumlah

ART(𝑿𝒊)

Kumulatif 𝑿𝒊

Range

1 Danu 3 3 1-3

2 Hananto 1 4 4

3 Wisnu 11 15 5-15

4 Pandhu 6 21 16-21

5 Krisna 4 25 22-25

6 Yudha 2 27 26-27

7 Bima 3 30 28-30

Jumlah 𝑿 =30

Langkah 3:Hitung interval

𝑘 =𝑋

𝑛

Langkah 4: Ambil angka random pertama (AR1) yang tidak lebih dari 𝑘. Langkah 5: Unit yang terpilih sampel adalah yang range-nya memuat: AR1, AR1+k, AR1+2k,…

Misal: n=3, 𝑘 =30

3= 10

AR1=7 AR2=7+10=17 AR3=7+2*10=27

Langkah 1: Buat

kumulatif dari size





Lakukan penarikan sampel sebanyak 4 desa secara PPS WOR dengan metode PPS Systematic. Gunakan TAR halaman 1 baris 1 kolom 1, quotient approach.

No Desa/Kelurahan Jumlah

Penduduk Kode Nama 1 3471040001 Giwangan 83 2 3471040002 Sorosutan 160 3 3471040003 Pandeyan 143 4 3471040004 Warungboto 115 5 3471040005 Tahunan 98 6 3471040006 Mujamuju 114 7 3471040007 Semaki 52 8 3471050001 Prenggan 106 9 3471050002 Purbayan 89


Pemilihan dari Suatu Peta (MAP)

• Prosedur ini digunakan jika kerangka sampel berupa peta (map)

• Peluang unit-unit wilayah geografis dari sebuah peta untuk

terpilih sebagai sampel sebanding dengan luas (area) dari unit-

unit tersebut Probability Proportional to Area.

• Prosedur:

1. Ambil dua angka random sekaligus, yaitu:

AR1: antara 1 sampai panjang peta

AR2: antara 1 sampai lebar peta

2. Sepasang angka random terpilih akan menempatkan suatu titik

pada peta, dan wilayah dimana titik itu jatuh adalah wilayah

yang terpilih sebagai sampel

3. Ulangi langkah ke-1 dan ke-2 hingga n unit sampel terpilih.

Contoh: Pemilihan sampel dari suatu peta

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2

3

4

5

6

7

8

F G

H

E

C A

D

I

J

Ambil 𝐴𝑅1 ≤ 9 dan 𝐴𝑅2 ≤ 8. Misalkan angka random yang terambil: 𝐴𝑅1 = 4, 𝐴𝑅2 = 3, maka wilayah B terpilih sebagai sampel

Random Group Method

• Random group method merupakan salah satu cara

pengambilan sampel PPS secara wor yang disarankan oleh

Rao, Hartley, dan Cochran (RHC).

• Populasi sebanyak N dibagi menjadi n kelompok, kemudian

dari masing-masing kelompok diambil satu unit sebagai

sampel.

• Dengan demikian, akan terdapat jumlah sampel sebanyak n

unit.

Contoh: Random Group Methods • Berikut adalah daftar 10 kota dilengkapi dengan jumlah

penduduk (dalam ribu jiwa). Akan dipiliih 2 kota sebagai sampel secara PPS size jumlah penduduk dengan random group method

No Kota Penduduk

1 A 127

2 B 130

3 C 139

4 D 141

5 E 149

6 F 150

7 G 155

8 H 159

9 I 169

10 J 189

No Kota Penduduk

2 B 130

1 A 127

5 E 149

8 H 159

3 C 139

4 D 141

6 F 150

7 G 155

9 I 169

10 J 189

Randomisasi Group 1

Group 2

Contoh: Random Group Methods

No Kota 𝒙 Kumulatif

4 D 141 141

6 F 150 291

7 G 155 446

9 I 169 615

10 J 189 804

No Kota 𝒙 Kumulatif

2 B 130 130

1 A 127 257

5 E 149 406

8 H 159 565

3 C 139 704

Group 1 Group 2

Ambil 1 Angka Random yang tidak

lebih dari 704.

Misal; angka random yang

terambil 526, maka kota H terpilih

sampel

Ambil 1 Angka Random yang tidak

lebih dari 804.

Misal; angka random yang

terambil 259, maka kota F terpilih

sampel

Sampel terpilih: Kota F dan Kota H

Prosedur Estimasi

Estimator untuk PPS Sampling

Estimator untuk PPS WR

Hansen Hurwitz

Estimator (HH)

Horvitz Thompson Estimator

(HT)

Estimator untuk

PPS WOR

Horvitz Thomson Estimator

(HT)

Murthy’s Unordered Estimator

Des Raj’s Ordered

Estimator

Rao, Hartley, and Cochran

Estimator (RHC)

untuk random group

method

Estimator untuk PPS WR (Hansen Hurwitz Estimator)

• Jika pengambilan sampel dilakukan dengan PPS WR, maka peluang terpilihnya unit ke-i adalah:

𝑝𝑖 =𝑋𝑖

𝑋𝑖𝑁𝑖=1

=𝑋𝑖𝑋

Keterangan:

𝑋𝑖 : nilai dari variabel pendukung (ukuran/size)

• Fraksi sampling/inclusion probability merupakan perkalian antara 𝑝𝑖 dengan jumlah sampel (𝑛)

𝑓 = 𝜋𝑖 = 𝑝𝑖 ∙ 𝑛 =𝑋𝑖𝑋𝑛

• Sampling weight (penimbang sampling) merupakan kebalikan (invers) dari fraksi sampling:

𝑤 =1

𝑓=

𝑋

𝑛𝑋𝑖


• Unbiased estimator untuk total karakteristik Y adalah:

𝑌 𝑝𝑝𝑠 = 𝑤 ∙ 𝑦𝑖 = 𝑋

𝑛𝑋𝑖∙ 𝑦𝑖 =

1

𝑛

𝑦𝑖𝑝𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

Bukti:

Misal 𝑡𝑖 menunjukkan berapa kali unit ke-i akan terpilih dari pengambilan sampel sebanyak n (i=1,2,…,n)

Maka, joint distribution dari 𝑡𝑖 mengikuti sebaran multinomial: 𝑛!

𝑡1! 𝑡2! … 𝑡𝑁!𝑝1𝑡1𝑝2

𝑡2 …𝑝𝑁𝑡𝑁

Untuk sebaran multinomial, properties sebaran dari 𝑡𝑖 diketahui, yaitu:

𝐸 𝑡𝑖 = 𝑛𝑝𝑖 𝑉 𝑡𝑖 = 𝑛𝑝𝑖 1 − 𝑝𝑖 𝐶𝑜𝑣 𝑡𝑖𝑡𝑗 = −𝑛𝑝𝑖𝑝𝑗


• Sehingga rumus estimasi total tersebut bisa dijabarkan:

𝑌 𝑝𝑝𝑠 =1

𝑛

𝑦𝑖𝑝𝑖

𝑛

𝑖=1

=1

𝑛𝑡1𝑦1𝑝1

+ 𝑡2𝑦2𝑝2

+⋯+ 𝑡𝑁𝑦𝑁𝑝𝑁

=1

𝑛 𝑡𝑖

𝑦𝑖𝑝𝑖

𝑁

𝑖=1

𝐸 𝑌 𝑝𝑝𝑠 =1

𝑛 𝑛𝑝𝑖

𝑦𝑖𝑝𝑖

= 𝑦𝑖 = 𝑌

𝑁

𝑖=1

𝑁

𝑖=1

(𝑢𝑛𝑏𝑖𝑎𝑠𝑒𝑑)


• Varians populasi untuk total karakteristik:

𝑉 𝑌 𝑝𝑝𝑠 =1

𝑛 𝑝𝑖

𝑦𝑖𝑝𝑖− 𝑌

2𝑁

𝑖=1

Bukti:

𝑉 𝑌 𝑝𝑝𝑠 =1

𝑛2

𝑦𝑖𝑝𝑖

2

𝑉 𝑡𝑖 + 2 𝑦𝑖𝑝𝑖

𝑦𝑗

𝑝𝑗𝐶𝑜𝑣(𝑡𝑖𝑡𝑗)

𝑁

𝑗>𝑖

𝑁

𝑖=1

𝑁

𝑖=1

=1

𝑛

𝑦𝑖𝑝𝑖

2

𝑝𝑖 1 − 𝑝𝑖 − 2 𝑦𝑖𝑝𝑖

𝑦𝑗

𝑝𝑗𝑝𝑖𝑝𝑗

𝑁

𝑗>𝑖

𝑁

𝑖=1

𝑁

𝑖=1

=1

𝑛

𝑦𝑖2

𝑝𝑖− 𝑌2

𝑁

𝑖=1

=1

𝑛 𝑝𝑖

𝑦𝑖𝑝𝑖− 𝑌

2𝑁

𝑖=1

(𝑡𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖)


• Unbiased estimator varians untuk total karakteristik:

𝑣 𝑌 𝑝𝑝𝑠 =1

𝑛(𝑛 − 1)

𝑦𝑖𝑝𝑖− 𝑌 𝑝𝑝𝑠

2𝑛

𝑖=1

Bukti:


𝑛(𝑛 − 1)

𝑦𝑖𝑝𝑖− 𝑌 𝑝𝑝𝑠

2𝑛

𝑖=1

𝑛(𝑛 − 1)𝑣 𝑌 𝑝𝑝𝑠 = 𝑦𝑖𝑝𝑖− 𝑌 𝑝𝑝𝑠

2𝑛

𝑖=1

𝑛 𝑛 − 1 𝐸 𝑣 𝑌 𝑝𝑝𝑠 = 𝐸 𝑦𝑖𝑝𝑖− 𝑌 𝑝𝑝𝑠

2𝑛

𝑖=1

𝑛 𝑛 − 1 𝐸 𝑣 𝑌 𝑝𝑝𝑠 = 𝐸 𝑦𝑖𝑝𝑖− 𝑌

2

− 𝑛 𝑌 𝑝𝑝𝑠 − 𝑌2

𝑛

𝑖=1


• Unbiased estimator varians untuk total karakteristik:

Bukti (lanjutan):

𝑛 𝑛 − 1 𝐸 𝑣 𝑌 𝑝𝑝𝑠 = 𝐸 𝑦𝑖𝑝𝑖− 𝑌

2


𝑛

𝑖=1

𝑛 𝑛 − 1 𝐸 𝑣 𝑌 𝑝𝑝𝑠 = 𝐸 𝑡𝑖𝑦𝑖𝑝𝑖− 𝑌

2


𝑁

𝑖=1

𝑛 𝑛 − 1 𝐸 𝑣 𝑌 𝑝𝑝𝑠 = 𝐸 𝑡𝑖𝑦𝑖𝑝𝑖− 𝑌

2𝑁

𝑖=1

− 𝑛 ∙ 𝑉 𝑌 𝑝𝑝𝑠

𝑛 𝑛 − 1 𝐸 𝑣 𝑌 𝑝𝑝𝑠 = 𝑛 𝑝𝑖𝑦𝑖𝑝𝑖− 𝑌

2𝑛

𝑖=1

− 𝑛 ∙ 𝑉 𝑌 𝑝𝑝𝑠

𝑛 𝑛 − 1 𝐸 𝑣 𝑌 𝑝𝑝𝑠 = 𝑛(𝑛 − 1) ∙ 𝑉 𝑌 𝑝𝑝𝑠

𝐸 𝑣 𝑌 𝑝𝑝𝑠 = 𝑉 𝑌 (𝑢𝑛𝑏𝑖𝑎𝑠𝑒𝑑)

Latihan 4

• Dari data hipotetik di bawah ini, buktikan secara empirik bahwa penduga total dan penduga varians dari penarikan sampel PPS WR adalah unbiased ! (ambil n=2).

Unit 𝑿𝒊 𝒀𝒊

A 6 3

B 12 4

C 15 3


• Estimasi total: Estimasi total berdasarkan unit ke-i:

𝑌 𝑖 =𝑦𝑖𝑝𝑖

Estimasi total berdasarkan 𝑛 sampel:

𝑌 𝑝𝑝𝑠 =1

𝑛 𝑌 𝑖

𝑛

𝑖=1

Estimasi varians sampling:


𝑛(𝑛 − 1) 𝑌 𝑖 − 𝑌 𝑝𝑝𝑠

2𝑛

𝑖=1

• Estimasi rata-rata:

𝑦 𝑝𝑝𝑠 =𝑌 𝑝𝑝𝑠𝑁

Estimasi varians sampling :

𝑣 𝑦 𝑝𝑝𝑠 =1

𝑁2𝑣(𝑌 𝑝𝑝𝑠)

Relative Eficiency PPS WR terhadap SRS WR

• Varians SRS WR: 𝑉 𝑌 𝑠𝑟𝑠 =𝑁2

𝑛𝑆2 =

𝑁

𝑛 𝑦𝑖

2 − 𝑁𝑌 2𝑁𝑖=1

Unbiased estimator untuk: 𝑦𝑖2 adalah

1

𝑛

𝑦𝑖2

𝑝𝑖

𝑛𝑖=1

𝑁𝑖=1 dan

Unbiased estimator untuk: 𝑁𝑌 2 adalah 𝑌 𝑝𝑝𝑠2− 𝑣 𝑌 𝑝𝑝𝑠

Dengan demikian, unbiased estimator dari varians SRS WR berdasarkan sampel PPS WR dapat dinyatakan dengan rumus:

𝑣𝑝𝑝𝑠 𝑌 𝑠𝑟𝑠 =𝑁

𝑛2

𝑦𝑖2

𝑝𝑖−1

𝑛𝑌 𝑝𝑝𝑠

2− 𝑣 𝑌 𝑝𝑝𝑠

𝑛

𝑖=1

=1

𝑛2𝑁

𝑦𝑖2

𝑝𝑖− 𝑛𝑌 𝑝𝑝𝑠

2𝑛

𝑖=1

+1

𝑛𝑣 𝑌 𝑝𝑝𝑠

• Relative Eficiency (RE) PPS WR terhadap SRS WR:

𝑅𝐸 =𝑣 𝑌 𝑝𝑝𝑠

𝑣𝑝𝑝𝑠 𝑌 𝑠𝑟𝑠× 100%

Latihan 5 • Untuk meneliti total produksi jagung di suatu desa, dilakukan pengambilan sampel

petak ladang secara PPS WR dengan size luas tanam. Jumlah petak ladang yang ditanami jagung sebanyak 160 petak dengan rata-rata luas tanam per petak adalah 250 𝑚2. Jumlah sampel yang diambil adalah 12 petak dengan data sebagai berikut:

No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Luas tanam 𝑚2

214 315 343 165 195 270 406 227 270 255 380 335

Produksi (kg)

321 378 343 264 351 216 609 454 459 408 912 737

a. Perkirakan total produksi jagung di desa tsb dan rata-rata produksi jagung per petak beserta standar error, RSE, Relative Efficiency terhadap SRS dan confidence interval-nya. Beri interpretasi.

b. Perkirakan rata-rata produktivitas ladang per 𝒎𝟐 di desa tsb beserta standar error, RSE, dan confidence interval-nya. Beri interpretasi.

c. Jika petak ladang yang produktivitasnya kurang dari rata-rata produktivitas ladang per 𝑚2 di desa tsb dikategorikan sebagai lahan kurang produktif, perkirakan jumlah petak dan luas tanam yang kurang produktif. Lengkapi dengan nilai standar error, RSE, dan confidence interval-nya. Beri interpretasi.

Latihan 6

• Dari total populasi sebanyak 624 perusahaan di suatu provinsi dilakukan pengambilan sampel sebanyak 15 perusahaan secara PPS WR dengan size jumlah pekerja tahun lalu kemudian dilakukan pencacahan ke perusahaan terpilih untuk meneliti pengeluaran perusahaan untuk pembayaran upah pekerja. Diketahui jumlah pekerja tahun lalu di provinsi tersebut adalah 1600 orang.

a. Perkirakan rata-rata pengeluaran perusahaan untuk pembayaran upah pekerja, lengkapi dengan standar error, RSE, dan 95% Confidence Interval-nya !

b. Jika diasumsikan jumlah pekerja pada tahun survei tidak mengalami perubahan dari jumlah pekerja tahun lalu, perkirakan rata-rata upah pekerja di provinsi tsb beserta standar error, RSE, dan 95% Confidence Interval-nya !

c. Hitung relative efficiency nya terhadap SRS !

No Jumlah Pekerja

tahun lalu

Pengeluaran untuk upah

pekerja (000 rp) tahun survei

1 40 75240

2 36 54036

3 64 110016

4 24 63144

5 32 57216

6 20 39180

7 16 30912

8 64 189056

9 48 85584

10 52 141388

11 28 81424

12 36 90216

13 60 127740

14 44 76472

15 20 53980

Stratified PPS Sampling

• Populasi sebanyak N dibagi menjadi L strata (𝑁1, 𝑁2, … , 𝑁ℎ , … , 𝑁𝐿), kemudian dari masing-masing strata dilakukan penarikan sampel secara PPS.

• Probability selection unit ke-i pada strata ke-h adalah:

𝑝ℎ𝑖 =𝑋ℎ𝑖𝑋ℎ

• Fraksi sampling (inclusion probability) unit ke-i strata ke-h adalah:

𝑓ℎ𝑖 = 𝜋ℎ𝑖 = 𝑝ℎ𝑖 ∙ 𝑛ℎ =𝑋ℎ𝑖𝑋ℎ

∙ 𝑛ℎ

• Estimasi total karakteristik di strata ke-h:

𝑌 ℎ = 𝑦ℎ𝑖𝜋ℎ𝑖

=1

𝑛ℎ

𝑦ℎ𝑖𝑝ℎ𝑖

𝑛ℎ

𝑖=1

𝑛ℎ

𝑖=1

• Estimasi varians total karakteristik di strata ke-h:

𝑣 𝑌 ℎ =1

𝑛ℎ(𝑛ℎ − 1)


− 𝑌 ℎ

2𝑛ℎ

𝑖=1

Stratified PPS Sampling

• Estimasi total karakteristik populasi:

𝑌 = 𝑌 ℎ

𝐿

ℎ=1

= 𝑦ℎ𝑖𝜋ℎ𝑖

= 1

𝑛ℎ


𝑛ℎ

𝑖=1

𝐿

ℎ=1

𝑛ℎ

𝑖=1

𝐿

ℎ=1

• Estimasi varians total karakteristik populasi:

𝑣 𝑌 = 𝑣 𝑌 ℎ

𝐿

ℎ=1

= 1

𝑛ℎ(𝑛ℎ − 1)


− 𝑌 ℎ

2𝑛ℎ

𝑖=1

𝐿

ℎ=1

• Estimasi rata-rata karakteristik populasi:

𝑦 =𝑌

𝑁

• Estimasi varians rata-rata karakteristik populasi:

𝑣 𝑦 =1

𝑁2𝑣(𝑌 )

Latihan 7

• Populasi sebanyak 40 perusahaan di kota X dibagi menjadi 2 strata, yaitu industri mikro (strata 1) dan industri kecil (strata 2). Kemudian dari tiap strata dilakukan penarikan sampel secara PPS WR dengan size jumlah tenaga kerja. Data yang diperoleh:

Ket: Output dalam juta rupiah

Perkirakan total output perusahaan di kota X beserta standar error , rse, dan 95% Confidence Interval-nya !

Strata Jumlah

perusahaan Jumlah pekerja

Sampel

1 25 160 Pekerja 5 4 3 4 2 6

Output 20 18 12 16 6 18

2 15 240 Pekerja 15 20 25 16 18

Output 90 96 120 72 117

PPS WOR

• Pada prinsipnya, PPS WOR akan menghasilkan estimator yang lebih efisien daripada PPS WR.

• Hal ini dikarenakan effective sample size dari PPS WOR akan lebih besar daripada effective sample size dari PPS WR.

• Namun, PPS WOR memerlukan prosedur yang kompleks sehingga kadangkala sulit diterapkan pada survei skala besar.

• Pada survei skala besar, fraksi sampling biasanya kecil sehingga efisiensi dari PPS WOR dan PPS WR perbedaannya tidak terlalu signifikan.

• Jika fraksi sampling besar, lebih baik menggunakan PPS WOR

Des Raj’s Ordered Estimator

• Jika sampel sebanyak n unit (𝑦𝑖 , 𝑦2, … , 𝑦𝑛) diambil secara PPS WOR dari populasi sebanyak N unit, maka:

𝑧𝑖 = 𝑦𝑘 + 1 − 𝑝𝑘

𝑖−1

𝑘=1

𝑦𝑖𝑝𝑖

𝑖−1

𝑘=1

, 𝑖 = 2,3,… , 𝑛

• Estimator total karakteristiknya:

𝑌 𝐷 =1

𝑛 𝑧𝑖

𝑛

𝑖=1

• Estimator varians total karakteristiknya:

𝑣 𝑌 𝐷 =1

𝑛(𝑛 − 1) 𝑧𝑖 − 𝑌 𝐷

2𝑛

𝑖=1

Latihan 8

• Sampel berukuran 3 diambil dari populasi sebanyak 10 unit secara PPS WOR. Jika total size adalah 100 dan data yang diperoleh sebagai berikut:

Perkirakan total karakteristik populasi dengan Des Raj’s Ordered Estimator beserta standar error dan rse-nya !

No 1 2 3

𝑥𝑖 6 20 10

𝑦𝑖 3 10 7

Horvitz Thompson Estimator (HT)

• Horvitz Thompson Estimator adalah general estimator untuk estimasi total karakteristik populasi yang dapat digunakan untuk berbagai desain sampling, baik WR maupun WOR.

• Sebuah sampel sebanyak n unit diambil secara PPS, dan:

𝜋𝑖 menyatakan peluang unit ke-i masuk dalam sampel

𝜋𝑖𝑗 menyatakan peluang unit ke-i dan unit ke-j keduanya

masuk dalam sampel


• Jika penarikan sampel dilakukan dengan PPS WR, nilai 𝜋𝑖

dan 𝜋𝑖𝑗 diperoleh dari persamaan:

𝜋𝑖 = 𝑃(𝑢𝑛𝑖𝑡 𝑖 𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙)

𝜋𝑖 = 1 − 𝑃(𝑢𝑛𝑖𝑡 𝑖 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙)

𝝅𝒊 = 𝟏 − 𝟏 − 𝒑𝒊𝒏

𝝅𝒊𝒋 = 𝝅𝒊 + 𝝅𝒋 − 𝟏 − 𝟏 − 𝒑𝒊 − 𝒑𝒋𝒏


• Jika penarikan sampel dilakukan dengan PPS WOR (n=2),

nilai 𝜋𝑖 dan 𝜋𝑖𝑗 diperoleh dari persamaan:

𝜋𝑖 = 𝑝𝑖 + 𝑝𝑗𝑝𝑖

(1 − 𝑝𝑗)= 𝑝𝑖 1 +

𝑝𝑗

(1 − 𝑝𝑗)

𝑁

𝑗≠𝑖

𝑁

𝑗≠𝑖

= 𝒑𝒊 𝟏 + 𝑨 −𝒑𝒊

𝟏 − 𝒑𝒊

𝜋𝑖𝑗 =𝑝𝑖𝑝𝑗

(1 − 𝑝𝑖)+

𝑝𝑗𝑝𝑖

(1 − 𝑝𝑗)= 𝒑𝒊𝒑𝒋

𝟏

(𝟏 − 𝒑𝒊)+

𝟏

(𝟏 − 𝒑𝒋)

Keterangan:

𝑨 = 𝒑𝒊

𝟏 − 𝒑𝒊

𝑵

𝒊=𝟏


• Estimator total karakteristik:

𝑌 𝐻𝑇 = 𝑦𝑖𝜋𝑖

𝑣

𝑖=1

• Estimasi varians total karakteristik:

𝑣 𝑌 𝐻𝑇 = 1

𝜋𝑖2−

1

𝜋𝑖𝑦𝑖

2 + 2 1

𝜋𝑖𝜋𝑗−

1

𝜋𝑖𝑗𝑗>𝑖

𝑣

𝑖=1

𝑣

𝑖=1

𝑦𝑖𝑦𝑗

Keterangan:

𝑣 : effective sample size (jumlah unit yang berbeda dalam sampel)

Contoh:

• Dari area sawah seluas 100 ℎ𝑎 dibagi menjadi beberapa sub-area, dan diambil 4 sub-area sebagai sampel secara PPS WR (proporsional terhadap luas sub-area)untuk meneliti produksi padi di area tersebut. Sub-area A terpilih 2 kali. Data yang diperoleh:

No urut sampel

No urut effective

sample size (i)

Sub-Area 𝒙𝒊 𝒚𝒊

1 1

A 5 60

2 A 5 60

3 2 G 2 14

4 3 K 1 1

• Hitung selection probability (𝑝𝑖)

𝑝1 =𝑥1𝑋=

5

100= 0,05

𝑝2 =𝑥2𝑋=

2

100= 0,02

𝑝3 =𝑥3𝑋=

1

100= 0,01

• Hitung inclusion probability 𝜋𝑖 𝜋𝑖 = 1 − (1 − 𝑝𝑖)

𝑛 𝜋1 = 1 − 1 − 0,05 4 = 0.1855 𝜋2 = 1 − 1 − 0,02 4 = 0.0776 𝜋3 = 1 − 1 − 0,01 4 = 0.0394

Hitung Joint Inclusion Probability 𝝅𝒊𝒋

• Rumus:

𝜋𝑖𝑗 = 𝜋𝑖 + 𝜋𝑗 − 1 − 1 − 𝑝𝑖 − 𝑝𝑗𝑛

𝜋12 = 𝜋1 + 𝜋2 − 1 − 1 − 𝑝1 − 𝑝24

= 0,1855 + 0,0776 − 1 − 1 − 0,05 − 0,02 4 = 0,0112

𝜋13 = 𝜋1 + 𝜋3 − 1 − 1 − 𝑝1 − 𝑝34

= 0,1855 + 0,0394 − 1 − 1 − 0,05 − 0,01 4 = 0,0056

𝜋23 = 𝜋2 + 𝜋3 − 1 − 1 − 𝑝2 − 𝑝34

= 0,0776 + 0,0394 − 1 − 1 − 0,02 − 0,01 4 = 0,0023

Hitung estimasi total

• Estimasi total:

𝑌 𝐻𝑇 = 𝑦𝑖𝜋𝑖

=60

0,1855+

14

0,0776+

1

0,0394= 529

𝑣

𝑖=1

• Estimasi varians:

𝑣 𝑌 𝐻𝑇 = 1

𝜋𝑖2−

1

𝜋𝑖𝑦𝑖

2 + 2 1

𝜋𝑖𝜋𝑗−

1

𝜋𝑖𝑗𝑗>𝑖

𝑣

𝑖=1

𝑣

𝑖=1

𝑦𝑖𝑦𝑗

=1

0,18552−

1

0,1855602 +

1

0,07762−

1

0,0776142

+1

0,03942−

1

0,039412 + 2

1

0,1855 ∙ 0,0776−

1

0,011260 14

+21

0,1855 ∙ 0,0394−

1

0,005660 1 + 2

1

0,0776 ∙ 0,0394−

1

0,002314 1

= 74.538

𝑠𝑒 𝑌 𝐻𝑇 = 𝑣 𝑌 𝐻𝑇 = 273

Latihan 9

• Sampel berukuran 2 diambil dari populasi sebanyak 5 unit secara PPS. Data populasi sebagai berikut:

Jika unit ke-2 dan ke-5 terpilih sebagai sampel, perkirakan total karakteristik populasi dengan Horvitz Thompson Estimator beserta standar error dan rse-nya:

a. Jika sampel tersebut diambil secara PPS WR

b. Jika sampel tersebut diambil secara PPS WOR

No 1 2 3 4 5

𝑥𝑖 6 20 10 5 9

𝑦𝑖 - 10 - - 6

Unordered Murthy’s Method

• Dalam PPS WOR, jika unit yang terpilih pertama mempunyai probability selection 𝑝𝑖 , maka

probability selection untuk terpilihnya unit sampel yang kedua adalah

𝑝𝑗

1 − 𝑝𝑖

probability selection untuk terpilihnya unit sampel yang ketiga adalah

𝑝𝑘1 − 𝑝𝑖 − 𝑝𝑗

probability selection untuk terpilihnya unit sampel yang keempat adalah

𝑝𝑙1 − 𝑝𝑖 − 𝑝𝑗 − 𝑝𝑘

dst


• Estimator total:

𝑌 𝑀 = 𝑃 𝑠|𝑖 𝑦𝑖𝑛𝑖=1

𝑃(𝑠)

𝑃 𝑠|𝑖 : conditional probability untuk mendapatkan suatu set sampel jika unit ke-i terpilih sebagai sampel pertama

𝑃(𝑠) : unconditional probability untuk mendapatkan suatu set sampel

𝑦𝑖 : nilai karakteristik untuk unit ke-i

• Estimasi varians total:

𝑣 𝑌 𝑀 =1

𝑃(𝑠) 2 𝑃 𝑠 𝑃 𝑠 𝑖𝑗 − 𝑃 𝑠 𝑖 𝑃(𝑠|𝑗) 𝑝𝑖𝑝𝑗

𝑦𝑖𝑝𝑖−𝑦𝑗

𝑝𝑗

2𝑛

𝑗>𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑃 𝑠|𝑖𝑗 : conditional probability untuk mendapatkan suatu set sampel jika unit ke-i terpilih sebagai sampel pertama dan unit ke-j terpilih sebagai sampel kedua


• Untuk n=2 (sampel terdiri dari unit ke-i dan ke-j):

𝑃 𝑠|𝑖 =𝑝𝑗

1 − 𝑝𝑖

𝑃 𝑠|𝑗 =𝑝𝑖

1 − 𝑝𝑗

𝑃 𝑠 = 𝑝𝑖 ∙ 𝑃 𝑠 𝑖 + 𝑝𝑗 ∙ 𝑃 𝑠 𝑗 =𝑝𝑖𝑝𝑗(2 − 𝑝𝑖 − 𝑝𝑗)

(1 − 𝑝𝑖)(1 − 𝑝𝑗)

Estimator total:

𝒀 𝑴 =𝟏

𝟐 − 𝒑𝒊 − 𝒑𝒋𝟏 − 𝒑𝒋

𝒚𝒊𝒑𝒊

+ (𝟏 − 𝒑𝒊)𝒚𝒋

𝒑𝒋

Varians sampling:

𝒗 𝒀 𝑴 =(𝟏 − 𝒑𝒊)(𝟏 − 𝒑𝒋)(𝟏 − 𝒑𝒊 − 𝒑𝒋)

𝟐 − 𝒑𝒊 − 𝒑𝒋𝟐

𝒚𝒊𝒑𝒊

−𝒚𝒋

𝒑𝒋

𝟐

Latihan 10

• Sampel berukuran 2 diambil dari populasi sebanyak 5 unit secara PPS WOR. Data yang populasi sebagai berikut:

Jika unit ke-2 dan ke-5 terpilih sebagai sampel, perkirakan total karakteristik populasi dengan Murthy’s Estimator beserta standar error dan rse-nya !

No 1 2 3 4 5

𝑥𝑖 6 20 10 5 9

𝑦𝑖 - 10 - - 6

Rao, Hartley, Cochran Estimator (RHC)

• Estimator ini digunakan jika pengambilan sampel dilakukan dengan

random group method.

• Dalam random group method, populasi sebanyak N dibagi menjadi n

group secara random, kemudian dari masing-masing group diambil satu

unit sebagai sampel

• Dengan demikian, akan terdapat sampel sebanyak n unit.

Rao, Hartley, Cochran Estimator (RHC)

• Misalkan 𝑥𝑔 menyatakan nilai variabel pendukung untuk unit yang

terpilih sampel pada strata ke-g, dan 𝑋𝑔 menyatakan total nilai variabel

pendukung untuk strata ke-g, maka estimator totalnya:

𝑌 𝑅𝐻𝐶 = 𝑋𝑔𝑦𝑔

𝑥𝑔

𝑛

𝑔=1

• Estimasi variansnya:

𝑣 𝑌 𝑅𝐻𝐶 = 𝑁𝑔

2 − 𝑁𝑛𝑔=1

𝑁2 − 𝑁𝑔2𝑛

𝑔=1

𝑋𝑔𝑦𝑔

𝑥𝑔− 𝑌 𝑅𝐻𝐶

2𝑛

𝑔=1

Latihan 11

• Untuk memperkirakan banyaknya tangkapan ikan di kabupaten A, dilakukan pengambilan sampel secara PPS WOR Random group method dengan size jumlah perahu yang datang di tempat pelelangan ikan (TPI). Jumlah populasi TPI sebanyak 12 dan diambil 4 TPI sebagai sampel. Data yang diperoleh:

Perkirakan total tangkapan ikan di Kabupaten A beserta standar error dan rse-nya !

Group Nama TPI Jumlah

perahu

Sampel terpilih

Nama

TPI

Jumlah

Perahu

Jumlah

ikan

(kwintall)

1 A, G, L 16 G 8 12

2 B, E, I 20 B 10 16

3 C, H, J 10 H 4 8

4 D, F, K 24 K 8 10


RATIO ESTIMATOR



Deskripsi

• Selain variabel yang diteliti 𝑦 , satu atau lebih variabel pendukung 𝑥 bisa dikaji

korelasinya dari setiap unit populasi.

• Pada tahap estimasi, korelasi antara variabel yang diteliti 𝑦 dan variabel pendukung

𝑥 bisa digunakan untuk menghasilkan estimasi-estimasi yang lebih tepat daripada

yang diperoleh dari variabel 𝑦 itu sendiri.

• Salah satu metode estimasi yang dipakai untuk menghubungkan variabel 𝑦 dan 𝑥

adalah dengan menggunakan rasio 𝑅 = 𝑟 =𝑦

𝑥 dari dua rata-rata sampel 𝑦 dan 𝑥 .

• Rasio ini digunakan sebagai estimator dari rasio rata-rata variabel 𝑦 dan 𝑥 dalam

populasi 𝑅 =𝑌

𝑋

• Rasio ini juga dapat digunakan untuk memperoleh suatu estimasi tentang total populasi

yang lebih akurat daripada estimasi yang ditentukan dengan perkalian sederhana

antara total karakteristik sampel (𝑦) dengan invers dari fraksi sampling.

Definisi

Ratio estimator adalah suatu metode estimasi yang memanfaatkan perbandingan/rasio antara variabel yang diteliti (𝑦) dengan variabel bantu/pendukung 𝑥 untuk meningkatkan efisiensi pendugaan parameter populasi.

Mengapa menggunakan Estimasi Rasio ? (1)

1. Seringkali kita ingin melakukan estimasi rasio suatu

variabel terhadap variabel lainnya.

Misalkan:

Estimasi rasio produksi padi terhadap luas lahan

Estimasi rasio penduduk laki-laki terhadap penduduk

perempuan

Estimasi pendapatan per kapita

Estimasi rasio hutang terhadap asset perusahaan


2. Kadang kala kita ingin melakukan estimasi total, namun ukuran

populasi (N) tidak diketahui

Kita tidak dapat menggunakan rumus 𝑌 = 𝑁𝑦 seperti yang telah

dipelajari sebelumnya. Namun, kita mempunyai nilai total

karakteristik untuk variabel lain, misalkan 𝑋 . Dengan demikian,

ukuran populasi bisa diestimasi dengan rumus:

𝑁 =𝑋

𝑥

Dan estimasi total karakteristik untuk variabel yang diteliti (y) adalah:

𝑌 =𝑋

𝑥 𝑦


3. Estimasi rasio seringkali digunakan untuk meningkatkan presisi dari

estimasi rata-rata dan estimasi total

Contoh:

Laplace ingin melakukan estimasi total penduduk Prancis. Dia bisa

mendapatkan estimasi total penduduk dengan mengalikan rata-rata jumlah

penduduk 𝑦 di 30 komunitas dengan jumlah komunitas di Prancis (𝑁).

Namun, dia menggunakan informasi lain yaitu jumlah catatan kelahiran (𝑥)

untuk meningkatkan presisi.

Dia beralasan bahwa jumlah kelahiran akan sebanding dengan jumlah

penduduk. Wilayah yang penduduknya banyak, jumlah kelahirannya juga

banyak, sehingga korelasi antara kedua variabel tersebut positif.


4. Estimasi rasio bisa digunakan untuk melakukan adjustment dari data

sampel sehingga akan diperoleh estimasi total yang lebih akurat.

Contoh:

Sampel SRS sebanyak n=400 mahasiswa (240 wanita, 160 pria)

diambil dari populasi sebanyak N=4000 mahasiswa di sebuah

universitas.

Dari data sampel diketahui bahwa sebanyak 84 wanita dan 40 pria

ingin berkarir di bidang riset.

Dengan menggunakan informasi hanya dari SRS, maka estimasi

total mahasiswa yang ingin berkarir di bidang riset adalah:

𝑌 =4000

400× 124 = 1240


Jika diketahui bahwa jumlah populasi mahasiswa wanita adalah 2700 orang

dan populasi mahasiswa pria adalah 1300 orang maka estimasi yang lebih

akurat mengenai total mahasiswa yang ingin berkarir di bidang riset adalah:

𝑌 =84

240× 2700 +

40

160× 1300 = 1270

Pada kasus di atas, estimasi rasio digunakan berdasarkan jenis kelamin.

Berdasarkan data sampel 60% mahasiswa adalah wanita, tetapi dari data

populasi diketahui bahwa persentase mahasiswa perempuan adalah 67,5%,

Dengan informasi ini kita bisa melakukan adjustment terhadap estimasi total

mahasiswa yang ingin berkarir di bidang riset.

Penggunaan estimasi rasio dalam kasus ini disebut poststratification.


5. Estimasi rasio bisa digunakan untuk adjustment nonrespon.

Contoh:

Untuk meneliti jumlah upah yang dikeluarkan perusahaan, diambil

beberapa perusahaan sebagai sampel.

Misalkan 𝑦𝑖 adalah jumlah upah yang dikeluarkan oleh perusahaan ke-i,

dan 𝑥𝑖 adalah jumlah karyawan di perusahaan ke-i dan jumlah karyawan

untuk semua perusahaan dalam populasi (𝑋) diketahui.

Kita juga mengasumsikan bahwa jumlah upah yang dikeluarkan

perusahaan akan berhubungan erat dengan jumlah karyawan.

Misalkan, ada beberapa perusahaan yang nonrespon.

Adjustment estimasi total upah dengan mengalikan rasio upah terhadap

pekerja dari data sampel 𝑦 /𝑥 dengan total pekerja 𝑋 :

𝑌 =𝑦

𝑥 𝑋

Ratio Estimator

Ratio estimator dibedakan menjadi 3 kondisi:

a. Rasio berupa karakteristik yang sama atau berhubungan dengan periode sebelumnya.

𝑋 adalah jenis karakteristik yang sama dengan 𝑌 tetapi berasal dari periode sebelumnya.

Contoh:

Suatu survei rumahtangga yang dilakukan tahun 2012 menggunakan hasil Sensus Penduduk 2010 sebagai dasar rasio dan menggunakan blok sensus sebagai unit sampling.

𝑦 adalah jumlah rumahtangga hasil updating tahun 2012 dari blok sensus terpilih.

𝑥 adalah jumlah rumahtangga hasil Sensus Penduduk 2010 dari blok sensus terpilih.

Dengan demikian 𝑅 =𝑦

𝑥 merupakan perubahan banyaknya

rumahtangga saat survei dibandingkan saat sensus.

Ratio Estimator

b. Rasio dari dua karakteristik berbeda yang berkorelasi kuat pada

periode yang sama.

𝑋 dan 𝑌 merupakan dua buah karakteristik berbeda yang berasal

dari periode yang sama dan diketahui berkorelasi positif.

Contoh:

Dari Survei Konsumsi/Pengeluaran rumah tangga diperoleh:

𝑦 adalah total konsumsi beras dari rumah tangga sampel

𝑥 adalah total anggota rumah tangga (ART) dari rumah tangga sampel

Dengan demikian 𝑅 =𝑦

𝑥 merupakan konsumsi beras per kapita

Ratio Estimator

c. Modifikasi lain dalam penggunaan estimasi rasio adalah menggunakan

sumber lain dan data sampel untuk variabel yang sama sebagai faktor

pengali.

Contoh:

Misalkan, telah ditentukan data proyeksi penduduk merupakan data yang

disepakati untuk berbagai perencanaan dan kajian, maka dengan estimator

rasio, berarti faktor pengali dari survei adalah:

𝐹 = 𝑅 =𝑦

𝑥

𝑦 adalah jumlah penduduk pada tahun tertentu dari hasil proyeksi penduduk

𝑥 adalah jumlah penduduk sampel

Sifat-sifat Ratio Estimator

• Secara umum, ratio estimator adalah estimator yang bias

konsisten. Maksudnya, semakin besar ukuran sampel maka

biasnya akan semakin kecil.

• Ratio estimator akan bersifat best linear unbiased estimator

jika memenuhi 2 kondisi:

a. Hubungan (korelasi) antara 𝑦𝑖 dan 𝑥𝑖 berupa garis lurus

(linear), positif, dan melalui titik origin (0,0)

b. Varians 𝑦𝑖 pada garis lurus bersifat proportional terhadap

𝑥𝑖

Sifat-sifat Ratio Estimator

• Jika jumlah sampel (𝑛) besar, limiting distribution dari ratio estimate akan

mengikuti distribusi normal.

• Jika jumlah sampel (𝑛) moderate, ratio estimate mempunyai

kecenderungan mengikuti positive skewness distribution.

• Dalam penghitungan bias, terdapat rumus untuk berbagai ukuran sampel,

tetapi perkiraan varians hanya berlaku untuk jumlah sampel berukuran

besar

• Sebagai aturan praktis, Cochran menyatakan bahwa pendekatan large-

sample untuk penghitungan varians dapat digunakan jika:

a. Ukuran sampel lebih dari 30

b. Koefisien variasi (CV) dari variabel x dan variabel y, keduanya kurang

dari 10%

Notasi 𝑦𝑖 : nilai karakteristik yang diteliti dari unit sampel ke-i 𝑥𝑖 : nilai variabel pendukung dari unit sampel ke-i 𝑦 : total nilai karakteristik yang diteliti dari data sampel

𝑦 = 𝑦𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑥 : total nilai variabel pendukung dari data sampel

𝑥 = 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑌 : total nilai karakteristik yang diteliti untuk populasi

𝑌 = 𝑦𝑖

𝑁

𝑖=1

𝑋 : total nilai variabel pendukung untuk populasi

𝑋 = 𝑥𝑖

𝑁

𝑖=1

Estimator

Jika penarikan sampel dilakukan secara simple random sampling, dan nilai karakteristik 𝒚 dan 𝒙 tersedia untuk setiap unit dalam sampel dengan nilai populasi 𝑿 diketahui, maka:

• Estimator rasio

𝑅 =𝑦

𝑥

• Estimator rata-rata 𝑦 𝑅 = 𝑅 𝑋

• Estimator total 𝑌 𝑅 = 𝑅 𝑋

Estimasi varians

• Varians rata-rata:

𝑣 𝑦 𝑅 =1 − 𝑓

𝑛(𝑛 − 1) 𝑦𝑖 − 𝑅 𝑥𝑖

2𝑛

𝑖=1

Rumus di atas dapat dijabarkan menjadi:

𝑣 𝑦 𝑅 =1 − 𝑓

𝑛(𝑛 − 1) 𝑦𝑖

2 − 2𝑅 𝑦𝑖𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

+ 𝑅 2 𝑥𝑖2

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

=1 − 𝑓

𝑛𝑠𝑦2 − 2𝑅 𝑠𝑦𝑥 + 𝑅 2𝑠𝑥

2

Keterangan:

𝑠𝑦𝑥 =1

𝑛 − 1 𝑦𝑖 − 𝑦 𝑥𝑖 − 𝑥 → 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑐𝑒

𝑛

𝑖=1

Bukti:

𝑣 𝑦 𝑅 =1 − 𝑓

𝑛(𝑛 − 1) 𝑦𝑖 − 𝑅 𝑥𝑖

2𝑛

𝑖=1

Rumus di atas dapat dijabarkan menjadi:

𝑣 𝑦 𝑅 =1 − 𝑓

𝑛(𝑛 − 1) 𝑦𝑖 − 𝑦 + 𝑦 − 𝑅 𝑥𝑖

2𝑛

𝑖=1

=1 − 𝑓

𝑛(𝑛 − 1) 𝑦𝑖 − 𝑦 2 + 2 𝑦𝑖 − 𝑦 𝑦 − 𝑅 𝑥𝑖 + 𝑦 − 𝑅 𝑥𝑖

2𝑛

𝑖=1

=1 − 𝑓

𝑛(𝑛 − 1) 𝑦𝑖 − 𝑦 2 + 2𝑅 𝑦𝑖 − 𝑦 𝑥 − 𝑥𝑖 + 𝑅 2 𝑥 − 𝑥𝑖

2

𝑛

𝑖=1

=1 − 𝑓

𝑛(𝑛 − 1) 𝑦𝑖 − 𝑦 2 − 2𝑅 𝑦𝑖 − 𝑦 𝑥𝑖 − 𝑥 + 𝑅 2 𝑥𝑖 − 𝑥 2𝑛

𝑖=1

=1 − 𝑓

𝑛

1

𝑛 − 1 𝑦𝑖 − 𝑦 2

𝑛

𝑖=1

− 2𝑅 1

𝑛 − 1 𝑦𝑖 − 𝑦 𝑥𝑖 − 𝑥

𝑛

𝑖=1

+1

𝑛 − 1 𝑥𝑖 − 𝑥 2𝑛

𝑖=1

𝑣 𝑦 𝑅 =1 − 𝑓


2

=(1 − 𝑓)

𝑛𝑠𝑦2 − 2𝑅 𝜌𝑠𝑦𝑠𝑥 + 𝑅 2𝑠𝑥

2

Estimasi varians

• Varians rasio:

𝑣 𝑅 =𝑣(𝑦 𝑅)

𝑋 2

=1 − 𝑓

𝑛𝑋 2𝑠𝑦2 − 2𝑅 𝑠𝑦𝑥 + 𝑅 2𝑠𝑥

2

• Varians total:

𝑣 𝑌 𝑅 = 𝑁2𝑣 𝑦 𝑅

=𝑁2(1 − 𝑓)


2

Latihan 1 • Berikut ini adalah data sampel dari 30 perusahaan yang diambil secara SRS WOR dari

325 perusahaan di Kota A. x menyatakan jumlah pekerja dan y adalah jumlah pekerja

yang absen. Diketahui jumlah pekerja di kota A 25000 orang.

a. Perkirakan persentase pekerja yang absen beserta standar error ,rse dan 95%CI-nya !

b. Perkirakan rata-rata pekerja yang absen per perusahaan beserta standar error , rse,

dan 95%CI-nya !

c. Perkirakan total pekerja yang absen di Kota A beserta standar error dan rse, dan

95%CI-nya

No x y No x y No x y No x y No x y

1 95 9 7 125 9 13 57 5 19 103 9 25 63 5

2 79 7 8 81 10 14 132 13 20 52 8 26 83 7

3 30 3 9 43 6 15 47 4 21 67 14 27 124 13

4 45 2 10 53 2 16 43 9 22 64 6 28 31 2

5 28 3 11 148 16 17 116 12 23 75 6 29 96 23

6 142 8 12 89 4 18 65 8 24 69 8 30 42 13

Latihan 2 • Dari data Sensus Ternak tahun lalu diperoleh informasi bahwa jumlah peternak sapi di suatu

wilayah sebanyak 75.308 rumah tangga peternak dan rata-rata jumlah sapi untuk tiap peternak

sebanyak 12 ekor. Sebuah sampel acak sederhana sebanyak 2.055 peternak diambil dari

populasi tersebut untuk memperkirakan produksi susu yang dihasilkan. Jumlah sapi yang

diperoleh dari hasil observasi adalah 25.071 ekor dan rata-rata produksi susu untuk tiap

peternak sebanyak 300 liter per hari. Informasi lain yang diperoleh sebagai berikut:

𝑠𝑦 = 29,4

𝑠𝑥 = 0,96

𝜌 = 0,825

Dengan menggunakan ratio estimator,

a. Perkirakan rata-rata produksi susu per hari yang dihasilkan oleh satu ekor sapi beserta

standar error, rse, dan 95% Confidence Interval-nya !

b. Perkirakan rata-rata produksi susu per hari yang dihasilkan oleh rumah tangga peternak

beserta standar error, rse, dan 95% Confidence Interval-nya !

c. Perkirakan total produksi susu per hari di wilayah tersebut beserta standar error, rse, dan

95% Confidence Interval-nya !

BIAS PADA RATIO ESTIMATOR

• Tidak seperti estimator 𝑦 dan 𝑌 pada SRS, ratio estimator merupakan estimator yang bias dalam menduga nilai 𝑌 𝑅 dan 𝑌𝑅 .

• Bias pada ratio estimator disebabkan karena 𝑦 kita kalikan

dengan 𝑋

𝑥 sehingga 𝐸 𝑦 𝑅 ≠ 𝑌 𝑅 .

• Misalkan:

𝑌 𝑅 =𝑌

𝑋 ∙ 𝑋 = 𝑌 1 −

𝑋 − 𝑋

𝑋

Maka

𝑌 𝑅 − 𝑌 =𝑌

𝑋 ∙ 𝑋 − 𝑌 = 𝑌 1 −

𝑋 − 𝑋

𝑋 − 𝑌


Karena 𝐸 𝑌 = 𝑌, maka:

𝐸 𝑌 𝑅 − 𝑌 = 𝐸 𝑌 − 𝑌 − 𝐸𝑌

𝑋 𝑋 − 𝑋

= −𝐸 𝑅 𝑋 − 𝑋

= −𝑐𝑜𝑣 𝑅 , 𝑋

𝐸 𝑅 − 𝑅 =𝐸 𝑌 𝑅 − 𝑌

𝑋=−𝑐𝑜𝑣(𝑅 , 𝑥 )

𝑋

𝐵𝑖𝑎𝑠 𝑅

𝑣 𝑅 1/2

=𝜌 𝑅 ,𝑥

𝑋 ∙𝑣 𝑅 ∙ 𝑣 𝑥

𝑣 𝑅

12

≤𝑣 𝑥

12

𝑋 = 𝐶𝑉 𝑥


Pada desain SRS:

𝐸 𝑅 − 𝑅 ≈ 1 −𝑛

𝑁

1

𝑛𝑋2𝑅𝑠𝑥

2 − 𝜌(𝑥,𝑦)𝑠𝑥𝑠𝑦

=1

𝑋2𝑅 𝑣 𝑥 − 𝑐𝑜𝑣 𝑥 , 𝑦

Kesimpulan:

Bias dari 𝑅 akan kecil jika:

1) Sample size (𝑛) besar

2) Fraksi sampling 𝑛

𝑁 besar

3) 𝑋 besar

4) 𝑠𝑥 kecil

5) Correlation coefficient antara x dan y 𝜌(𝑥,𝑦) mendekati 1

MSE PADA RATIO ESTIMATOR

𝑀𝑆𝐸 𝑅 = 𝐸 𝑅 − 𝑅2

= 𝐸𝑦 − 𝑅𝑥

𝑥

2


𝑋 1 −

𝑥 − 𝑋

𝑥

2


𝑋

2

+𝑦 − 𝑅𝑥

𝑋

2 𝑥 − 𝑋

𝑥

2

− 2𝑥 − 𝑋

𝑥

Dengan asumsi 𝑥 ≈ 𝑋 maka:

𝐸𝑦 − 𝑅𝑥

𝑥

2

≈ 𝐸𝑦 − 𝑅𝑥

𝑋

2

=1

𝑋 2𝐸 𝑦 − 𝑅𝑥 2

MSE PADA RATIO ESTIMATOR

𝑀𝑆𝐸 𝑅 =1

𝑋 2𝐸 𝑦 − 𝑅𝑥 2

Untuk desain SRS:

𝑀𝑆𝐸 𝑅 = 1 −𝑛

𝑁

1

𝑛𝑋 2𝑠𝑦2 − 2𝑅 𝜌(𝑥,𝑦) 𝑠𝑥𝑠𝑦 + 𝑅2𝑠𝑥

2

Kesimpulan:

MSE akan kecil jika:

1) Ukuran sampel n besar

2) Fraksi sampling besar

3) Deviasi di sekitar garis 𝑦 = 𝑅𝑥 kecil

4) Koefisien korelasi 𝜌(𝑥,𝑦) mendekati 1

5) Nilai X besar

POPULASI KECIL YANG MENGILUSTRASIKAN BIAS

• Bias dan MSE dari ratio estimator pada desain SRS bisa diilustrasikan dengan membayangkan sampel yang diambil dari suatu populasi yang sangat kecil dan melihat sample space, yaitu sekumpulan dari all possible samples.

• Misalkan kita ingin mengestimasi jumlah total dari ikan yang ditangkap pada suatu lokasi penangkapan.

• Misalkan N=4 lokasi sepanjang sungai dan jumlah jaring 𝑥𝑖 pada setiap lokasi dalam populasi.

i Lokasi 1 2 3 4

𝑥𝑖 Jumlah Jaring 4 5 8 5

𝑦𝑖 Jumlah Ikan 200 300 500 400

• Total populasi sebenarnya adalah1400 ikan.

• Total populasi untuk variabel tambahan adalah 22 jaring

• Simple random sample sebanyak n=2 lokasi dipilih dan estimasi rasio digunakan untuk mengestimasi total jumlah ikan yang ditangkap.

• Misalkan sampel terpilih adalah 𝑆 = 1,2 yang terdiri dari lokasi pertama dan kedua.

• Ratio estimate

𝑌 𝑅 =(22)(200 + 300)

(4 + 5)= 1222

• Jumlah all possible sample adalah𝑁𝑛

=42

= 6

Sampel (1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (2,4) (3,4)

𝑌 𝑅 1222 1283 1467 1354 1540 1523

• Oleh karena itu setiap sampel mempunyai peluang yang

sama yaitu P(s)=1/6

𝐸 𝑌 𝑅 = 𝑌 𝑅 𝑃 𝑠 = 1398,17

𝑌 = 1400

𝑀𝑆𝐸 𝑌 𝑅 = (𝑌 𝑅𝑠 − 𝑌)2𝑃 𝑠 = 14451,2

6

𝑠=1

𝑀𝑆𝐸 𝑌 𝑅 = 14451,2 = 120

𝐵𝑖𝑎𝑠 = 1398,17 − 1400 = −1,83

𝐵𝑖𝑎𝑠2 = 3,4

𝑉 𝑌 𝑅 = 14487,8

Efisiensi Ratio Estimator Terhadap SRS

• Varians SRS

𝑣 𝑌 𝑠𝑟𝑠 = 𝑁2(1 − 𝑓) ∙𝑠𝑦2

𝑛

• Varians ratio estimator

𝑣 𝑌 𝑅 =𝑁2(1 − 𝑓)

𝑛∙ 𝑠𝑦

2 − 2𝑅 𝜌𝑠𝑦𝑠𝑥 + 𝑅 2𝑠𝑥2

• Efisiensi:

𝑣 𝑌 𝑅

𝑣 𝑌 𝑠𝑟𝑠=𝑠𝑦2 − 2𝑅 𝜌𝑠𝑦𝑠𝑥 + 𝑅 2𝑠𝑥

2

𝑠𝑦2

• Ratio estimator akan lebih efisien daripada SRS jika:

𝑣 𝑌 𝑅

𝑣 𝑌 𝑠𝑟𝑠< 1

𝑠𝑦2 − 2𝑅 𝜌𝑠𝑦𝑠𝑥 + 𝑅 2𝑠𝑥

2

𝑠𝑦2 < 1

𝑠𝑦2 − 2𝑅 𝜌𝑠𝑦𝑠𝑥 + 𝑅 2𝑠𝑥

2 < 𝑠𝑦2

−2𝑅 𝜌𝑠𝑦𝑠𝑥 + 𝑅 2𝑠𝑥2 < 0

2𝑅 𝜌𝑠𝑦𝑠𝑥 > 𝑅 2𝑠𝑥2

𝜌 >𝑅 𝑠𝑥2𝑠𝑦

𝝆 >𝑪𝑽(𝒙)

𝟐𝑪𝑽(𝒚)

Ratio Estimator Pada Stratified Sampling

Ratio Estimator untuk Stratified

Sampling

Separate Ratio estimator

Combined Ratio Estimator

Separate Ratio Estimator Penghitungan rasio dilakukan untuk masing-masing strata

𝑅 ℎ =𝑦 ℎ𝑥 ℎ

=𝑌 ℎ

𝑋 ℎ

Estimasi total:

𝒀 𝑹𝒔 = 𝒚 𝒉𝒙 𝒉

𝑳

𝒉=𝟏

∙ 𝑿𝒉 = 𝑹 𝒉𝑿𝒉

𝑳

𝒉=𝟏

𝒗 𝒀 𝑹𝒔 = 𝑵𝒉

𝟐 𝟏 − 𝒇𝒉𝒏𝒉

𝒔𝒚𝒉𝟐 − 𝟐𝑹 𝒉𝝆𝒉𝒔𝒚𝒉𝒔𝒙𝒉 + 𝑹 𝒉

𝟐𝒔𝒙𝒉𝟐

𝑳

𝒉=𝟏

Formula di atas akan valid jika jumlah sampel di setiap strata cukup besar sehingga

aproksimasi rumus varians bisa diterapkan untuk masing-masing strata.

Di samping itu, jika jumlah sampel tiap strata kecil dan jumlah strata besar, biasnya

akan besar.

Latihan 3 • Suatu survei stratified random sampling dilakukan di suatu desa untuk mengetahui

pendapatan per kapita di desa tersebut. RW dianggap sebagai strata dan setiap RW diambil

sampel sebanyak 8 rumah tangga. Data yang diperoleh:

a. Perkirakan pengeluaran rata-rata perkapita di desa tsb beserta standar error, RSE, dan

95%CI-nya dengan metode separate ratio estimator.

b. Perkirakan pengeluaran rata-rata per rumah tangga di desa tsb beserta standar error, RSE, dan 95%CI-nya dengan metode separate ratio estimator.

c. Perkirakan pengeluaran total di desa tsb beserta standar error, RSE, dan 95%CI-nya dengan metode separate ratio estimator.

Strata

Populasi Sampel

Ruta Penduduk Variabel Ruta

1 Ruta

2 Ruta

3 Ruta

4 Ruta

5 Ruta

6 Ruta

7 Ruta

8

RW 1 62 217 Pengeluaran 1000 1250 1400 1325 1174 1100 1450 1549

ART 3 4 4 3 2 4 5 3

RW 2 90 288 Pengeluaran 2250 1846 2094 2400 2350 1975 2000 2125

ART 4 2 3 3 3 2 3 4

RW 3 88 352 Pengeluaran 1500 1650 1742 1725 1792 1575 1850 1450

ART 4 5 5 6 5 3 6 2


Penghitungan rasio berdasarkan estimasi rata-rata atau total

populasi, dan rasio tersebut digunakan untuk semua strata.

𝑅 ℎ = 𝑅 =𝑦 𝑠𝑡𝑥 𝑠𝑡

= 𝑊ℎ𝑦 ℎ𝐿ℎ=1

𝑊ℎ𝑥 ℎ𝐿ℎ=1

atau

𝑅 ℎ = 𝑅 =𝑌 𝑠𝑡

𝑋 𝑠𝑡= 𝑌 ℎ𝐿ℎ=1

𝑋 ℎ𝐿ℎ=1

.


Estimasi total:

𝑌 𝑠𝑡 = 𝑁ℎ𝑦 ℎ

𝐿

ℎ=1

→ 𝑦 𝑠𝑡 =𝑌 𝑠𝑡𝑁

𝑋 𝑠𝑡 = 𝑁ℎ𝑥 ℎ

𝐿

ℎ=1

→ 𝑥 𝑠𝑡 =𝑋 𝑠𝑡𝑁

𝒀 𝑹𝒄 = 𝑹 𝑿 =𝒀 𝒔𝒕

𝑿 𝒔𝒕∙ 𝑿 =

𝒚 𝒔𝒕𝒙 𝒔𝒕

∙ 𝑿

𝒗 𝒀 𝑹𝒄 = 𝑵𝒉

𝟐 𝟏 − 𝒇𝒉𝒏𝒉

𝒔𝒚𝒉𝟐 − 𝟐𝑹 𝝆𝒉𝒔𝒚𝒉𝒔𝒙𝒉 + 𝑹 𝟐𝒔𝒙𝒉

𝟐

𝑳

𝒉=𝟏

Estimator 𝑌 𝑅𝑐 tidak memerlukan informasi mengenai 𝑋ℎ , hanya membutuhkan

informasi 𝑋.

Bias dari combined ratio estimator pada umumnya lebih kecil daripada separate ratio

estimator.

Jika jumlah sampel di setiap strata kecil, combined estimator lebih direkomendasikan

untuk digunakan.

Latihan 4 Suatu survei stratified random sampling dilakukan di suatu desa untuk mengetahui pengeluaran untuk bidang pendidikan di desa tersebut. RW dianggap sebagai strata dan setiap RW diambil sampel sebanyak 8 rumah tangga. Jika diketahui proporsi penduduk usia sekolah di desa tersebut sebesar 44%, maka perkirakan pengeluaran rata-rata per rumah tangga di desa tsb beserta standar error, RSE, dan 95%CI-nya dengan metode combined ratio estimator.

Strata

Populasi Sampel

Ruta Penduduk Variabel Ruta

1

Ruta

2

Ruta

3

Ruta

4

Ruta

5

Ruta

6

Ruta

7

Ruta

8

RW 1 62 210

Pengeluaran (000 ) 1000 1250 1400 1325 1174 1100 1450 1549

ART usia sekolah 2 2 3 2 1 3 4 2

RW 2 90 288

Pengeluaran

(000) 2250 1846 2094 2400 2350 1975 2000 2125


RW 3 88 352

Pengeluaran

(000 ) 1500 1650 1742 1725 1792 1575 1850 1450


Perbandingan Efisiensi Combined dan Separate Ratio Estimator

• Selisih varians: 𝑣 𝑌 𝑅𝑐 − 𝑣 𝑌 𝑅𝑠

= 𝑁ℎ

2 1 − 𝑓ℎ𝑛ℎ

𝑅 2 − 𝑅 ℎ2

𝑠𝑥ℎ2 − 2 𝑅 − 𝑅 ℎ 𝜌ℎ𝑠𝑦ℎ𝑠𝑥ℎ

𝐿

ℎ=1

= 𝑁ℎ

2 1 − 𝑓ℎ𝑛ℎ

𝑅 2 − 𝑅 ℎ2

𝑠𝑥ℎ2 + 2 𝑅 ℎ − 𝑅 𝜌ℎ𝑠𝑦ℎ𝑠𝑥ℎ

𝐿

ℎ=1

Jika jumlah sampel di setiap strata besar dan 𝑅 ℎ perbedaannya signifikan

antarstrata, pada umumnya separate estimator lebih efisien daripada

combined estimator.

Bivariate Ratio Estimator

• Bivariate ratio estimator adalah estimasi rasio yang

memanfaatkan dua variabel pendukung untuk

memaksimalkan ketelitian (presisi) dari estimasi nilai

karakteristik yang diteliti.

• Jika 𝑦 menunjukkan variabel yang diteliti, dan 𝑥1 dan 𝑥2

merupakan variabel pendukung, penduga 𝑦 𝐵𝑅 adalah

𝑦 𝐵𝑅 = 𝑤1𝑦 𝑅1 +𝑤2𝑦 𝑅2

𝑣 𝑦 𝐵𝑅 = 𝑤12𝑣(𝑦 𝑅1) + 𝑤2

2𝑣 𝑦 𝑅2 + 2𝑤1𝑤2 𝑐𝑜𝑣(𝑦 𝑅1, 𝑦 𝑅2)

Bivariate Ratio Estimator

• Keterangan:

𝑣 𝑦 𝑅1 = 𝑣 𝑦 − 2𝑅 1 𝑐𝑜𝑣 𝑦 , 𝑥 1 + 𝑅 12 𝑣(𝑥 1)

𝑣 𝑦 𝑅2 = 𝑣 𝑦 − 2𝑅 2 𝑐𝑜𝑣 𝑦 , 𝑥 2 + 𝑅 22 𝑣(𝑥 2)

𝑐𝑜𝑣 𝑦 𝑅1, 𝑦 𝑅2 = 𝑣 𝑦 + 𝑅 1𝑅 2 𝑐𝑜𝑣 𝑥 1, 𝑥 2 − 𝑅 1 𝑐𝑜𝑣 𝑦 , 𝑥 1 − 𝑅 2 𝑐𝑜𝑣 𝑦 , 𝑥 2

Dengan substitusi 𝑤2 = 1 − 𝑤1 dan melakukan formulasi bahwa diferensiasi

varians 𝑣(𝑦 𝐵𝑅) terhadap 𝑤1 sama dengan nol , didapatkan penimbang yang

meminimumkan varians:

Nilai 𝑤1 dan 𝑤2 yang meminimumkan varians adalah:

𝑤1 =𝑣 𝑦 𝑅2 − 𝑐𝑜𝑣 𝑦 𝑅1, 𝑦 𝑅2

𝑣 𝑦 𝑅1 + 𝑣 𝑦 𝑅2 − 2𝑐𝑜𝑣(𝑦 𝑅1, 𝑦 𝑅2)

𝑤2 = 1 − 𝑤1

Soal-Soal Latihan

1. Buktikan bahwa varians dari penduga rata-rata berdasarkan ratio estimator dari penarikan sampel secara SRS WOR:

𝑣 𝑦 𝑅 =1 − 𝑓


2

dapat dinyatakan dalam bentuk:

𝑣 𝑦 𝑅 =1 − 𝑓

𝑛𝑦 2 𝐶𝑦

2 − 2𝜌𝐶𝑦𝐶𝑥 + 𝐶𝑥2

Keterangan: Cy adalah koefisien variasi dari variabel y

Cx adalah koefisien variasi dari variabel x

2. Berikut ini adalah data populasi hipotetis:

a. Hitung nilai rasio populasi 𝑅

b. Lakukan penarikan sampel secara srs wor dengan n=3

c. hitunglah estimasi rasio 𝑅 𝑖 untuk all possible sample

d. Hitung bias 𝐸(𝑅 − 𝑅)

e. Hitung varians 𝑉 𝑅

f. Hitung 𝑀𝑆𝐸 𝑅

No 𝒙𝒊 𝒚𝒊

1 3 1

2 1 2

3 2 3

4 5 4

5 4 5

Soal-Soal Latihan

3. Varians dari ratio estimator bisa dinyatakan dengan:

𝑆𝑅𝑆 𝑊𝑅 → 𝑣 𝑅 =1

𝑥 2∙𝑠𝑑2

𝑛0

𝑆𝑅𝑆 𝑊𝑂𝑅 → 𝑣 𝑅 =1

𝑥 2∙1 − 𝑓

𝑛∙ 𝑠𝑑

2

Keterangan:

𝑠𝑑2 =

1

𝑛 − 1 𝑦𝑖 − 𝑅 𝑥𝑖

2𝑛

𝑖=1

Dengan mensubstitusikan rumus di atas ke dalam rumus presisi

𝑑 = 𝑧𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑅 , buktikan bahwa ukuran sampel minimum yang diperlukan

dapat dinyatakan dengan:

𝑆𝑅𝑆 𝑊𝑅 → 𝑛0 =𝑧𝛼/22 𝑠𝑑

2

𝑑2𝑥 2

𝑆𝑅𝑆 𝑊𝑂𝑅 → 𝑛 =𝑛0

1 + 𝑛0/𝑁

Soal-Soal Latihan 4. Berikut ini adalah data yang diperoleh dari pilot survei:

Jika untuk survei yang akan datang dikehendaki presisi relatif sebesar 2,5% dari nilai rasionya 𝑅 , berapakah jumlah sampel yang dibutuhkan: a. Jika penarikan sampel secara SRS WR 𝛼 = 5% b. Jika penarikan sampel secara SRS WOR 𝛼 = 5%,𝑁 = 500

5. Untuk meneliti kondisi pendidikan para penyandang cacat, dilakukan suatu survei

disabilitas di pulau Jawa. Dari 118 kabupaten/kota diambil sampel sebanyak 30 kabupaten/kota secara SRS WOR, kemudian dilakukan pencacahan ke semua SLB yang ada di kabupaten/kota terpilih. Untuk setiap SLB yang dikunjungi, dilakukan tes terhadap para penyandang cacat yang belajar di sekolah tersebut. Misalkan, 𝑥𝑖 merupakan jumlah guru yang mengajar di SLB untuk kabupaten/kota ke-i, 𝑦𝑖 merupakan jumlah penyandang cacat yang nilai tesnya berada di atas standar nilai minimal yang ditetapkan. Ringkasan data yang diperoleh sebagai berikut:

𝑥𝑖 = 225

𝑛

𝑖=1

, 𝑦𝑖 = 1127

𝑛

𝑖=1

, 𝑥𝑖𝑦𝑖 = 14977

𝑛

𝑖=1

, 𝑥𝑖2 = 3005

𝑛

𝑖=1

, 𝑦𝑖2 = 75281

𝑛

𝑖=1

Dengan ratio estimator, perkirakan total penyandang cacat di pulau Jawa yang nilainya berada di atas standar minimal beserta standar error, RSE, dan 95% Confidence Interval.

No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 𝑥𝑖 20 10 30 40 20 15 25 30 20 20 𝑦𝑖 4 2 6 8 5 2 5 6 4 4

Soal-Soal Latihan

6. Berikut ini adalah data yang diperoleh dari penarikan sampel industri mikro di suatu kecamatan.

Jika sampel di atas diambil secara SRS WOR dari populasi N=80 industri dan diketahui jumlah tenaga kerja industri mikro di kecamatan tersebut sebanyak 264 orang, serta jumlah input industri mikro sebanyak 1200, maka:

a. Perkirakan rata-rata output dengan metode ratio estimator berdasarkan variabel pendukung jumlah tenaga kerja, beserta standar error, dan RSE-nya.

b. Perkirakan rata-rata output dengan metode ratio estimator berdasarkan variabel pendukung jumlah input, beserta standar error, dan RSE-nya.

c. Perkirakan rata-rata output dengan metode bivariate ratio estimator berdasarkan variabel pendukung jumlah tenaga kerja dan jumlah input, beserta standar error, dan RSE-nya.

d. Bandingkan efisiensi dari ketiga metode di atas.

No 1 2 3 4 5 6 7 8

Pekerja 2 3 5 4 2 3 4 1 Input 12 14 15 15 10 12 10 12 Output 14 14 24 16 10 15 11 16

Soal-Soal Latihan

7. Sampel sebanyak 50 kota diambil dari populasi sebanyak 200 kota. 𝑦 menyatakan jumlah penduduk tahun 2012, 𝑥1 menyatakan jumlah penduduk tahun 2002, 𝑥2 menyatakan jumlah penduduk tahun 1992 Dari data populasi diperoleh:

𝑌 = 1699 𝑋 1 = 1482 𝑋 2 = 1420

Dari data sampel diperoleh:

𝑦 = 1896 ; 𝑥 1 = 1693 ; 𝑥 2 = 1643 𝐶𝑦2 = 1,213 ; 𝐶𝑥1

2 = 1,302 ; 𝐶𝑥22 = 1,381

𝜌𝑦,𝑥1𝐶𝑦𝐶𝑥1 = 1,241

𝜌𝑦,𝑥2𝐶𝑦𝐶𝑥2 = 1,256

𝜌𝑥1,𝑥2𝐶𝑥1𝐶𝑥2 = 1,335

Soal-Soal Latihan

Keterangan: 𝐶𝑦, 𝐶𝑥1, 𝐶𝑥2 masing-masing merupakan koefisien variasi dari

𝑦 , 𝑥1, dan 𝑥2

Pertanyaan:

a. Perkirakan rata-rata jumlah penduduk per kota tahun 2012 dengan menggunakan rata-rata sampel acak sederhana, lengkapi dengan standar error dan RSE-nya.

b. Perkirakan rata-rata jumlah penduduk per kota tahun 2012 dengan menggunakan ratio estimator berdasarkan variabel pendukung jumlah penduduk tahun 2002, lengkapi dengan standar error dan RSE-nya.

c. Perkirakan rata-rata jumlah penduduk per kota tahun 2012 dengan menggunakan ratio estimator berdasarkan variabel pendukung jumlah penduduk tahun 1992, lengkapi dengan standar error dan RSE-nya.

d. Perkirakan rata-rata jumlah penduduk per kota tahun 2012 dengan menggunakan bivariate ratio estimator, lengkapi dengan standar error dan RSE-nya.

Soal-Soal Latihan

8. Suatu pilot survei dengan sampel sebanyak 21 rumah tangga digunakan untuk meneliti jumlah anggota rumah tangga 𝑥 , anak usia sekolah 𝑦1 , mobil yang dimiliki 𝑦2 , dan TV yang dimiliki 𝑦3 . Statistik

deskriptif yang diperoleh:

𝑥 = 3,9 𝑠𝑥 = 1,3

𝑦 1 = 1,8 𝑠𝑦1 = 1,2 𝜌 𝑦1,𝑥 = 0,97

𝑦 2 = 1,2 𝑠𝑦2 = 0,6 𝜌 𝑦2,𝑥 = 0,26

𝑦 3 = 0,9 𝑠𝑦3 = 0,6 𝜌 𝑦3,𝑥 = 0,10

Jika diasumsikan jumlah anggota rumah tangga dari seluruh populasi 𝑋 diketahui, bagaimana pendapat anda jika untuk memperkirakan

total anak usia sekolah, total mobil yang dimiliki, dan total TV yang dimiliki, ratio estimator lebih dipilih daripada menggunakan estimasi berdasarkan sampel acak sederhana ?

Soal-Soal Latihan 9. Survei Industri Tekstil dan Pengolahan Tekstil (TPT) dilakukan di salah satu provinsi di

Indonesia. Populasi industri TPT di provinsi tersebut dikelompokkan menjadi 2 strata:

Strata 1: Industri TPT yang berorientasi pasar ekspor

Strata 2: Industri TPT yang berorientasi pasar domestik.

Untuk strata 1 dilakukan pendataan secara sensus. Untuk strata 2 dilakukan survei dengan pengambilan sampel secara SRS WOR.

a. Dengan menggunakan metode combined ratio estimator, perkirakan rasio output tahun 2012 terhadap output tahun 2011 beserta standar error dan RSE-nya.

b. Berdasarkan selang kepercayaan 95%, apakah sudah cukup bukti untuk menyimpulkan terjadi penurunan nilai output industri tekstil di provinsi tersebut dari tahun 2011 ke tahun 2012 ? Berikan penjelasan.

c. Perkirakan total nilai output tahun 2011 beserta standar error, RSE, dan 95% Confidence Interval-nya

Strata

Populasi Sampel

Jumlah

Industri

Nilai

Output

2011

Tahun

Nilai Output (juta Rp)

1 2 3 4 5 6 7 8

1 4 352 2011 96 64 120 72 - - - -

2012 84 72 114 60 - - - -

2 20 348 2011 16 24 8 12 4 32 28 12

2012 15 20 10 9 4 36 30 8


Documents

SYSTEMATIC RANDOM SAMPLING - … · • N unit dalam populasi diberi nomor urut 1 s/d N ... 88 10 z ... Jika kriteria yang dijadikan dasar pengurutan mempunyai korelasi yang kuat