ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

1. Έχω x 2

2y 3x 2y 3x 0y 3

.

Άρα K 0 (σωστό το (Δ)).

2. Έχω 2

2

2

1 1 1 1x 4 x 16 x 2 x 16

x x x x

2

2

1x 14

x (σωστό το (Γ)).

3. Έχω: 2

2

2 x2x 10xx 3

x 5x

x 5

x x 5x 3

x 0

x 5x 3 2 x 5 απορρίπτεται.

(σωστό το (Α)).

4. Έχω 43 81α 2 2 ,

2 93 2 18β 4 2 2

2 164 3 48γ 8 2 2

164 64δ 2 2 .

Άρα μεγαλύτερος όλων ο α.

(σωστό το (Α)).

5. Έχω 2

2α 2 3 α 2 3 4 3 4 3 7 4 3

και 2

2 2β 1 5 β 1 5 β 1 5 2 5 6 2 5 .

Άρα αρκεί να συγκρίνω ακόμα τους 1 4 3 και 2 5 .

Προφανώς 1 4 3 7 ενώ 2 5 6 .

άρα 2 2α β α β (αφού α, β θετικοί).

(σωστό το (Δ)).

6. Έχω 2

2Κ 9 4 5 5 2 2 2 5

2

5 2 5 2 5 2 .

(Άρα σωστό το (Γ)).

7. Έχω 1 1 1 yz xz xy

0 0x y z xyz

xy yz zx 0 .

Οπότε έχω: 2 2 2 2x y z x y z 2 xy yz zx

2 2 2 2 2 2x y z 2 0 x y z .

(Άρα σωστό το (Δ)).

8. Αρχικά έχω E α β ενώ μετά έχω:

Ε 1,1α 0,9β 0,99αβ 0,99Ε .

Άρα 99

Ε Ε 99%Ε100

.

Επομένως το εμβαδό μειώθηκε κατά 1%.

(Σωστό το (Δ)).

9. Παρατηρώ ότι: 0 0 1, 2 1 2 , 6 2 3 , 12 3 4 ,

20 4 5 , 30 5 6 κ.τ.λ. άρα ο 50κοστός αριθμός θα είναι 49 50 2450 .

(Σωστό είναι το (Β)).

10. Είναι 2y x x 1 (επαληθεύει όλες τις αντιστοιχίσεις.

(Σωστό είναι το (Δ)).

11. Έχω: 12345 678 9 13032 .

12. Έχω EBΓ 90 60 30 και ΒΓΖ 45 .

Άρα από το Β ΖΓ έχω Ζ 180 75 105 .

(Σωστό είναι το (Γ)).

A B

Δ Γ Ε

φ Z

13. Έχω ΒΔ Γ ισοσκελές άρα 2x φ

2 1ΒΔ Α 2φ 2φ ΒΑΔ (αφού Α ΒΔ ισοσκελές).

Έτσι στο ισοσκελές Α ΒΔ το άθροισμα όλων των

γωνιών του είναι 1 1 1 15φ 2φ 2φ φ .

Άρα 1 15φ 180 φ 36 .

(Σωστό είναι το (Γ)).

14. (i) Αρκεί να θεωρήσουμε την υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες

πλευρές (μία οριζόντια και μία κατακόρυφη) ίσες με 3 και 2 οπότε αν α η

υποτείνουσα, έχω:

2 2 2α 3 2 α 9 4 α 13 .

(ii) Η διαγώνιος πλευράς α είναι πάντα ίση με α 2 . Άρα θεωρούμε τετράγωνο

πλευράς 3 και έτσι τα άκρα της διαγωνίου του ορίζουν τμήμα μήκους 3 2 .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

15. Το άθροισμα 16 17

1 2 3 ... 16 8 17 1362

.

Άρα κάθε γραμμή έχει άθροισμα 136

344

.

Άρα α 34 16 2 7 34 25 9 .

Οπότε γ 34 15 6 9 34 30 4 .

β 34 16 3 5 34 24 10 .

δ=34-(6+3+13)=12

ε 34 8 β 15 34 8 10 15

34 33 1.

ζ 34 14 5 γ 34 14 5 4

34 23 11.

A

B Γ

Δ

φ1

φ2 x

7 2 16 α=9

δ=24 13 3 6

ε=1 8 β=10 15

14 ζ=11 5 γ=4

16. Ολόκληρο το τετράγωνο έχει πλευρά α β άρα

εμβαδό 2

α β .

Αλλά το εμβαδό αυτό αποτελείται από δύο τετράγωνα,

ένα με πλευρά α άρα εμβαδό 2α , ένα με πλευρά β άρα

εμβαδό 2β και από δύο ορθογώνια με διαστάσεις α και

β άρα εμβαδό το καθένα α β .

Έτσι τελικά 2 2 2α β α β αβ αβ

2 2α β 2αβ .

17. Έστω ν 1 , ν, ν 1 οι τρεις διαδοχικοί ακέραιοι. Τότε:

ν 1 ν 1 ν 8 ν 14ν ν 1

2 2ν 1 ν 8 3ν ν 1 ν 24ν

2ν 1 ν 24ν 0

2ν ν 1 24 0 ν 0 ή 2ν 25

ν 0 ή ν 5 ή ν 5 .

Άρα οι ακέραιοι μπορεί να είναι οι:

1, 0, 1 ή 6 , 5 , 4 ή 4, 5, 6.

18. «Περικυκλώνουμε» το ΑΒΓΔ με ένα ορθογώνιο που οι

κατακόρυφες πλευρές του διέρχονται από τα Α και Γ και

οι οριζόντιες από τα Β και Δ. Τότε αυτό έχει διαστάσεις 4,

3. Άρα εμβαδό 3 4 12 τ.μ.ε.

Απ’ αυτό αφαιρούμε τέσσερα τρίγωνα με εμβαδά:

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

1 1 1 11 2 2 2 3 1 1 2

2 2 2 2

3 3 1 111 2 1 4 5

2 2 2 2.

άρα Εμβ.11 24 11 13

ΑΒΓΔ 122 2 2 2

τ.μ.ε.

α

α

β

β

β

β

α

α

A

Δ

Γ

Β

19. (i) Έχω ρ 3 2 η οποία είναι και διαγώνιος

του τετραγώνου. Άρα αν α η πλευρά του

τετραγώνου θα είναι:

22 2 2α α 3 2 2α 2 9

2α 9 α 3 .

(ii) Το ζητούμενο εμβαδό είναι το εμβαδό του

τετραγώνου 23 9 μείον το εμβαδό του τεταρτοκυκλίου με ακτίνα r α 3 που

είναι:

21 9π 3 π

4 4.

άρα ζητ.

9 πΕ 9 π 9 1

4 4

ζητ.

9 4 πΕ

4.

20. Τα δυνατά ζεύγη με το 1 είναι 4 οπότε με το 2 είναι 3, με το 3 είναι 2 και με το

4 1 .

Άρα τα δυνατά ζεύγη αριθμών είναι 4 3 2 1 10.

Ο δειγματοχώρος, λοιπόν, έχει 10 στοιχεία - ζεύγη.

(i) Πολλαπλάσια του 3 είναι το 3, το 6 και το 9.

Το 3 1 2 , το 6 4 2 5 1 και το 9 5 4 .

Άρα, το ενδεχόμενο να έχουμε ζεύγος με άθροισμα ενδείξεων πολλαπλάσιο του 6,

αποτελείται από 4 ζεύγη στο 10.

Άρα έχει πιθανότητα 4

40%10

.

Δυνάμεις είναι το 22 4 1 3 , το 32 8 6 2 5 3 και το 9 5 4 .

Άρα πάλι 40% η ζητούμενη πιθανότητα.

A

B

Δ Γ

Ο Ε

ρ