Symmetries　and　vanishing　Symmetries　and　vanishing　couplings　couplings　　　　　　　　　in　string-derived　low-energy　　　　　　　　　in　string-derived　low-energy　　　　　　　　effective　field　theory　　　　　　　　　effective　field　theory　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 Tatsuo　Tatsuo　KobayashiKobayashi１．１． IntroductionIntroduction

2.　　Abelian　Discrete　Symmetries2.　　Abelian　Discrete　Symmetries

33 ． ． Non-Abelian　Discrete　SymmetriesNon-Abelian　Discrete　Symmetries

44 ． ． AnomaliesAnomalies

5.　　Explicit　stringy　computations5.　　Explicit　stringy　computations

6.　　Summary6.　　Summary

　　　　

1.　Introduction1.　IntroductionNow,　we　have　lots　of　4D　string　models　leading　to　Now,　we　have　lots　of　4D　string　models　leading　to　　　(semi-)realistic　massless　spectra　such　as　　(semi-)realistic　massless　spectra　such　as　　 　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 SU(3)xSU(2)xU(1)　gauge　groups,SU(3)xSU(2)xU(1)　gauge　groups,　　　　　　　　　　three　chiral　genenations,　three　chiral　genenations,　　　　　　　　　　　vector-like　matter　fields　and　lots　of　singlets　vector-like　matter　fields　and　lots　of　singlets　　　　　　　 with　and　without　chiral　exotic　fields,　with　and　without　chiral　exotic　fields,　 　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　 e.g.　in　e.g.　in　　　　　　　　　　　　　heterotic　models,　heterotic　models,　　　 　　 type　II　intersecting　D-brane　models,type　II　intersecting　D-brane　models,　　　　　　　　　　　　type　II　magnetized　D-brane　models,　type　II　magnetized　D-brane　models,　　　　　　　　　　　　　etc.etc.　　What　about　their　4D　low-energy　effective　theories　?What　about　their　4D　low-energy　effective　theories　?　　Are　they　realistic　?Are　they　realistic　?　　What　about　the　quark/lepton　masses　and　mixing　angles　?What　about　the　quark/lepton　masses　and　mixing　angles　?

4D　low-energy　effective　field　4D　low-energy　effective　field　theorytheory　　We　have　to　control　couplings　in　4D　LEEFT.We　have　to　control　couplings　in　4D　LEEFT.

　　　　　　realization　of　quark/lepton　mass　and　mixingrealization　of　quark/lepton　mass　and　mixing

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　including　the　neutrino　sector,　including　the　neutrino　sector,　

　　　　　　avoiding　the　fast　proton　decay,avoiding　the　fast　proton　decay,

　　　　　　　　stability　of　the　LSP,　suppressing　FCNC,　etc　　stability　of　the　LSP,　suppressing　FCNC,　etc　　　　　　

　　Abelian　and　non-Abelian　discrete　symmetries　Abelian　and　non-Abelian　discrete　symmetries　　　　　　　

　　are　useful　in　low-energy　model　building　are　useful　in　low-energy　model　building　

　　to　control　them.to　control　them.

Abelian　discrete　symmetriesAbelian　discrete　symmetries　　ZN　symmetry　ZN　symmetry　

R-symmetric　and　non-R-symmetric　R-symmetric　and　non-R-symmetric　

　　Flavor　symmetryFlavor　symmetry

R-parity,　matter　parity,　R-parity,　matter　parity,　

　　baryon　triality,　proton　hexalitybaryon　triality,　proton　hexality

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

Non-Abelian　discrete　flavor　Non-Abelian　discrete　flavor　symm.symm.Recently,　in　field-theoretical　model　building,　Recently,　in　field-theoretical　model　building,　

　　several　types　of　discrete　flavor　symmetries　have　several　types　of　discrete　flavor　symmetries　have　

　　been　proposed　with　showing　interesting　results,　been　proposed　with　showing　interesting　results,　

　　e.g.　S3,　D4,　A4,　S4,　Q6,　Δ(27),Δ(54),　......e.g.　S3,　D4,　A4,　S4,　Q6,　Δ(27),Δ(54),　......

　　　　　　　　　　　　Review:　e.g　Review:　e.g　

　　　　　　Ishimori,　T.K.,　Ohki,　Okada,　Shimizu,　Tanimoto　Ishimori,　T.K.,　Ohki,　Okada,　Shimizu,　Tanimoto　‘‘1010　　

　　　　⇒　　　　　⇒　large　mixing　angles　large　mixing　angles　

　　　　　　　　　　　　　　　　in　the　lepton　sectorin　the　lepton　sector

　　one　Ansatz:　tri-bimaximalone　Ansatz:　tri-bimaximal

2/13/16/1

2/13/16/1

03/13/2

String-derived　4D　LEEFTString-derived　4D　LEEFT　　Can　we　derive　these　Abelian　and　non-Abelian　Can　we　derive　these　Abelian　and　non-Abelian　

　　　　　　discrete　symmetries　from　string　theory　?discrete　symmetries　from　string　theory　?

　　　　Which　symmetires　can　appear　in　4D　LEEFT　Which　symmetires　can　appear　in　4D　LEEFT　

　　　　　　derived　from　string　theory　?derived　from　string　theory　?

　　　　One　can　compute　couplings　of　4D　LEEFT　One　can　compute　couplings　of　4D　LEEFT　

　　in　string　theory.in　string　theory.

　　　　(These　are　functions　of　moduli.)(These　are　functions　of　moduli.)

Control　on　anomalies　is　one　of　stringy　features.Control　on　anomalies　is　one　of　stringy　features.

　　What　about　anomalies　of　discrete　symmetries　?What　about　anomalies　of　discrete　symmetries　?

　　In　this　talk,　we　study　heterotic　orbifold　models.In　this　talk,　we　study　heterotic　orbifold　models.

2.　Abelian　discrete　symmetries2.　Abelian　discrete　symmetriescoupling　selection　rulecoupling　selection　rule　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A　string　can　be　A　string　can　be　specified　by　specified　by　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　its　boundary　its　boundary　condition.condition.

　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Two　strings　can　be　connected　Two　strings　can　be　connected　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　to　become　a　string　if　their　to　become　a　string　if　their　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　boundary　conditions　fit　each　boundary　conditions　fit　each　other.other.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　coupling　selection　rulecoupling　selection　rule

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　symmetrysymmetry

)0( X

)( X

　　　　　　Heterotic　orbifold　modelsHeterotic　orbifold　models

S1/Z2　OrbifoldS1/Z2　Orbifold

　　

　　 There　are　two　singular　points,　There　are　two　singular　points,　

　　　　　　which　are　called　fixed　points.which　are　called　fixed　points.

　　　　　　)2/(~2/

~

eXeX

XX

OrbifoldsOrbifolds

T2/Z3　OrbifoldT2/Z3　Orbifold

There　are　three　fixed　points　on　Z3There　are　three　fixed　points　on　Z3 　　 orbifoldorbifold

　　　　(0,0),　　(2/3,1/3),　(1/3,2/3)　　　su(3)　root　(0,0),　　(2/3,1/3),　(1/3,2/3)　　　su(3)　root　latticelattice

　　Orbifold　=　D-dim.　Torus　/twistOrbifold　=　D-dim.　Torus　/twist

　　Torus　=　D-dim　flat　space/　lattice　Torus　=　D-dim　flat　space/　lattice　

Closed　strings　on　orbifoldClosed　strings　on　orbifold

UntwistedUntwisted　and　　and　twistedtwisted　strings　strings

　　　　　　Twisted　strings　are　associated　with　fixed　Twisted　strings　are　associated　with　fixed　points.points.

““Brane-worldBrane-world””　terminology:　terminology:　　untwisted　sector　　　　bulk　modesuntwisted　sector　　　　bulk　modes　　twisted　sector　　　　　　　　brane　(localized)　modestwisted　sector　　　　　　　　brane　(localized)　modes

Heterotic　orbifold　modelsHeterotic　orbifold　models

S1/Z2　OrbifoldS1/Z2　Orbifold

　　

　　

)2/)0((2/)(

)0()(

eXeX

XX

2) (mod 1 ,0 , )0()( nenXX

Heterotic　orbifold　modelsHeterotic　orbifold　modelsS1/Z2　OrbifoldS1/Z2　Orbifold

　　

　　twisted　stringtwisted　string

　　untwisted　string　untwisted　string　

　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

)0()( XX

2) (mod 1 ,0 , )0()( nenXX

2) (mod 1 ,0 ,

, )0()1()(

nm

enXX m

Z2　x　Z2　in　Heterotic　orbifold　Z2　x　Z2　in　Heterotic　orbifold　modelsmodelsS1/Z2　OrbifoldS1/Z2　Orbifold

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　two　Z2two　Z2’’s　s　

　　twisted　stringtwisted　string

　　

untwisted　string　untwisted　string　

　　　　　　　　　　　　　　　　Z2　even　for　both　Z2Z2　even　for　both　Z2

10

01 ,

10

01

2) (mod 1 ,0 ,

, )0()1()(

nm

enXX m

Closed　strings　on　orbifoldClosed　strings　on　orbifold

UntwistedUntwisted　and　　and　twistedtwisted　strings　strings

Twisted　strings　(first　twisted　sector)Twisted　strings　(first　twisted　sector)　　　　　　

　　second　twisted　sectorsecond　twisted　sector　　untwisted　sector　　　untwisted　sector　　　　　

)(e3 lattice toup twist,120

3) (mod 2 ,1 ,0 , )0()(

211

1

eenm

nenXX

3) (mod 2 ,1 ,0 , )0()( 12 nenXX

)0()( XX

Z3　x　Z3　in　Heterotic　orbifold　Z3　x　Z3　in　Heterotic　orbifold　modelsmodelsT2/Z3　OrbifoldT2/Z3　Orbifold

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　two　Z3two　Z3’’s　s　

　　twisted　string　(first　twisted　sector)twisted　string　(first　twisted　sector)

　　

untwisted　string　untwisted　string　

　　　　　　　　　　　　　　　　vanishing　Z3　charges　for　both　Z3vanishing　Z3　charges　for　both　Z3

)3/2exp( ,

00

00

001

,

00

00

00

2

i

3) (mod ,2 1 ,0 ,

, )0()(

nm

enXX m

　　3.　Non-Abelian　discrete　3.　Non-Abelian　discrete　symmetriessymmetries　　　　Heterotic　orbifold　models　　　　Heterotic　orbifold　modelsS1/Z2　OrbifoldS1/Z2　Orbifold

　　

　　 String　theory　has　two　Z2String　theory　has　two　Z2’’s.s.

　　In　addition,　the　Z2　orbifold　has　the　geometrical　In　addition,　the　Z2　orbifold　has　the　geometrical　

　　symmetry,　i.e.　　Z2　permutation.symmetry,　i.e.　　Z2　permutation.

　　

　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2) (mod 1 ,0 ,

, )0()1()(

nm

enXX m

D4　Flavor　SymmetryD4　Flavor　SymmetryStringy　symmetries　require　that　　Lagrangian　has　the　Stringy　symmetries　require　that　　Lagrangian　has　the　

permutation　symmetry　between　1　and　2,　and　each　permutation　symmetry　between　1　and　2,　and　each　coupling　is　controlled　by　two　Z2　symmetries.　coupling　is　controlled　by　two　Z2　symmetries.　

Flavor　symmeties:　closed　algebra　S2　U(Z2xZ2)　Flavor　symmeties:　closed　algebra　S2　U(Z2xZ2)　

D4　elementsD4　elements　　

　　modes　on　two　fixed　points　⇒modes　on　two　fixed　points　⇒ 　　 doublet　doublet　　　untwisted　(bulk)　modes　⇒untwisted　(bulk)　modes　⇒ 　　 singletsingletGeometry　of　compact　space　Geometry　of　compact　space　　　　　　　origin　of　finite　flavor　symmetry　origin　of　finite　flavor　symmetry　　　Abelian　part　(Z2xZ2)　:　coupling　selection　ruleAbelian　part　(Z2xZ2)　:　coupling　selection　rule　　S2　permutation　　:　　one　coupling　is　the　same　as　another.S2　permutation　　:　　one　coupling　is　the　same　as　another.　　　　　　　　　　T.K.,　Raby,　Zhang,　T.K.,　Raby,　Zhang,　‘‘05　T.K.,　Nilles,　Ploger,　Raby,　Ratz,　05　T.K.,　Nilles,　Ploger,　Raby,　Ratz,　

‘‘0707

10

01

10

011,

01

1031

321 ,,,1 i

Explicit　Heterotic　orbifold　Explicit　Heterotic　orbifold　modelsmodels　　　　　　　　　　T.K.　Raby,　Zhang　’05,　Buchmuller,　Hamaguchi,　Lebedev,　Ratz,　T.K.　Raby,　Zhang　’05,　Buchmuller,　Hamaguchi,　Lebedev,　Ratz,　’06’06

Lebedev,　Nilles,　Raby,　Ramos-Sanchez,　Ratz,　Lebedev,　Nilles,　Raby,　Ramos-Sanchez,　Ratz,　Vaudrevange,Wingerter,　Vaudrevange,Wingerter,　‘‘0707

2D　Z2　orbifold2D　Z2　orbifold

　　　　　　　　　　

　　　　　　　　 　　　　　　　　 1　generation　in　bulk1　generation　in　bulk

　　　　

　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　two　generations　on　two　fixed　pointstwo　generations　on　two　fixed　points

　　

Heterotic　orbifold　modelsHeterotic　orbifold　modelsT2/Z3　OrbifoldT2/Z3　Orbifold

　　　　　　two　Z3two　Z3’’s　s　

　　

　　

　　Z3　orbifold　has　the　S3　geometrical　symmetry,　　Z3　orbifold　has　the　S3　geometrical　symmetry,　　

　　　　　　　　　　　　　　　　

　　Their　closed　algebra　is　Δ(54).Their　closed　algebra　is　Δ(54).

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　T.K.,　Nilles,　Ploger,　Raby,　Ratz,　T.K.,　Nilles,　Ploger,　Raby,　Ratz,　‘‘0707

)3/2exp( ,

00

00

001

,

00

00

00

2

i

010

100

001

,

001

100

010

Heterotic　orbifold　modelsHeterotic　orbifold　models

T2/Z3　OrbifoldT2/Z3　Orbifold

　　

　　has　Δ(54)　symmetry.has　Δ(54)　symmetry.

　　　　　　

　　　　localized　modes　on　three　fixed　points　localized　modes　on　three　fixed　points　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Δ(54)　tripletΔ(54)　triplet

　　　　bulk　modes　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Δ(54)　singletbulk　modes　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Δ(54)　singlet

　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　T.K.,　Nilles,　Ploger,　Raby,　Ratz,　T.K.,　Nilles,　Ploger,　Raby,　Ratz,　‘‘0707

　　　　4.　Discrete　anomalies4.　Discrete　anomalies　4-1.　Abelian　discrete　　4-1.　Abelian　discrete　anomalies　anomalies　Symmetry　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　violatedSymmetry　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　violated　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　quantum　effectsquantum　effects　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　U(1)-G-G　　anomaliesU(1)-G-G　　anomalies　　 anomaly　free　condition　anomaly　free　condition　　　　　ZN-G-G　anomalies　　ZN-G-G　anomalies　　　　　　anomaly　free　conditionanomaly　free　condition　　　　　　 　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

0)( 2 RTq

) (mod 0)( 2 NRTq

　　　　Abelian　discrete　anomalies:Abelian　discrete　anomalies:　　path　integral　　　path　integral　　　Zn　transformation　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Zn　transformation　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　path　integral　measurepath　integral　measure　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　ZN-G-G　anomalies　　ZN-G-G　anomalies　　　　　　anomaly　free　conditionanomaly　free　condition　　　　　　 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

'

) (mod 0)( 2 NRTq

integer )~

( tr

)( 1

)]~

( trexp[

4

321

2

4

32

2

2

FFxd

RTqN

A

FFxdAJ

DDJDD

i

Heterotic　orbifold　modelsHeterotic　orbifold　modelsThere　are　two　types　of　Abelian　discrete　There　are　two　types　of　Abelian　discrete　symmetries.symmetries.

　　　　　　T2/Z3　OrbifoldT2/Z3　Orbifold

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　two　Z3two　Z3’’s　s　

　　　　One　is　originated　from　twists,　One　is　originated　from　twists,　

　　　　the　other　is　originated　from　shifts.the　other　is　originated　from　shifts.

Both　types　of　discrete　anomalies　Both　types　of　discrete　anomalies　

　　are　universal　for　different　groups　G.are　universal　for　different　groups　G.

　　　　　　Araki,　T.K.,　Kubo,　Ramos-Sanches,　Ratz,Vaudrevange,　Araki,　T.K.,　Kubo,　Ramos-Sanches,　Ratz,Vaudrevange,　‘‘0808

)( 2 RTq

3) (mod ,2 1 ,0 ,

, )0()(

nm

enXX m

Heterotic　orbifold　modelsHeterotic　orbifold　modelsU(1)-G-G　anomalies　U(1)-G-G　anomalies　　　are　universal　for　different　groups　G.are　universal　for　different　groups　G.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4D　Green-Schwarz　mechanism　4D　Green-Schwarz　mechanism　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　due　to　a　single　axion　(dilaton),　due　to　a　single　axion　(dilaton),　　　　　　　　　　　　　　　which　couples　universally　with　gauge　sectors.which　couples　universally　with　gauge　sectors.ZN-G-G　anomalies　may　also　be　cancelled　ZN-G-G　anomalies　may　also　be　cancelled　　　　　　　　　　　　　　　　　by　4D　GS　mechanism.by　4D　GS　mechanism.There　is　a　certain　relations　between　There　is　a　certain　relations　between　　　　　　　U(1)-G-G　and　ZN-G-G　anomalies,U(1)-G-G　and　ZN-G-G　anomalies,　　anomalous　U(1)　generator　is　a　linear　combination　anomalous　U(1)　generator　is　a　linear　combination　　　of　anomalous　ZN　generators.of　anomalous　ZN　generators.　　　　　　　　　　　　　　Araki,　T.K.,　Kubo,　Ramos-Sanches,　Ratz,Vaudrevange,　Araki,　T.K.,　Kubo,　Ramos-Sanches,　Ratz,Vaudrevange,　‘‘0808

)( 2 RTq

4-2.　Non-Abelian　discrete　4-2.　Non-Abelian　discrete　anomalies　anomalies　

　　　　　　　　　　　　　　Araki,　T.K.,　Kubo,　Ramos-Sanches,　Ratz,　Vaudrevange,　Araki,　T.K.,　Kubo,　Ramos-Sanches,　Ratz,　Vaudrevange,　‘‘0808

Non-Abelian　discrete　groupNon-Abelian　discrete　group　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　finite　elementsfinite　elements　　Each　element　generates　an　Abelian　symmetry.Each　element　generates　an　Abelian　symmetry.

We　check　　ZN-G-G　anomalies　for　each　element.　We　check　　ZN-G-G　anomalies　for　each　element.　

　　All　elements　are　free　from　ZN-G-G　anomalies.All　elements　are　free　from　ZN-G-G　anomalies.　　　　 　　　　　　　　　　 The　full　symmetry　G　is　anomaly-free.The　full　symmetry　G　is　anomaly-free.　　Some　ZN　symmetries　for　elements　gSome　ZN　symmetries　for　elements　gkk　are　　are　anomalous.anomalous.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　The　remaining　symmetry　corresponds　to　The　remaining　symmetry　corresponds　to　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 the　closed　algebra　without　such　the　closed　algebra　without　such　elements.elements. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

},,,{ 21 MgggG

) (mod 0)( 2 kk NRTq

1)( kNkg

Non-Abelian　discrete　anomalies　Non-Abelian　discrete　anomalies　　　matter　fields　　　　=　　multiplets　under　non-Abelian　matter　fields　　　　=　　multiplets　under　non-Abelian　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　discrete　symmetry　discrete　symmetry　　　　　Each　element　is　represented　by　a　matrix　on　Each　element　is　represented　by　a　matrix　on　the　multiplet.the　multiplet.

　　

　　Such　a　multiplet　does　not　contribute　to　Such　a　multiplet　does　not　contribute　to　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ZN-G-G　anomalies.ZN-G-G　anomalies.　　String　models　lead　to　certain　combinations　of　String　models　lead　to　certain　combinations　of　multiplets.multiplets.

　　　　 　　　　 limited　pattern　of　non-Abelian　limited　pattern　of　non-Abelian　discrete　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　discrete　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　anomaliesanomalies 　　　　　　　　

) (mod 0)( 2 kk NRTq 1)( det kg

Heterotic　string　on　Z2　orbifold:Heterotic　string　on　Z2　orbifold:　D4　Flavor　Symmetry　D4　Flavor　SymmetryFlavor　symmeties:　closed　algebra　S2　U(Z2xZ2)　Flavor　symmeties:　closed　algebra　S2　U(Z2xZ2)　modes　on　two　fixed　points　⇒modes　on　two　fixed　points　⇒ 　　 doublet　doublet　　　untwisted　(bulk)　modes　⇒untwisted　(bulk)　modes　⇒ 　　 singletsinglet

　　The　first　Z2　is　always　anomaly-free,　while　the　The　first　Z2　is　always　anomaly-free,　while　the　others　can　be　anomalous.others　can　be　anomalous.

However,　it　is　simple　to　arrange　models　such　However,　it　is　simple　to　arrange　models　such　that　that　

　　the　full　D4　remains.the　full　D4　remains.e.g.　left-handed　and　right-handed　e.g.　left-handed　and　right-handed　quarks/leptons　quarks/leptons　

　　　　　　　　　　1　+　21　+　2Such　a　pattern　is　realized　in　explicit　models.Such　a　pattern　is　realized　in　explicit　models.

10

01

10

011,

01

1031

Heterotic　models　on　Z3　Heterotic　models　on　Z3　orbifoldorbifold　　　　　　two　Z3two　Z3’’s　s　

　　

　　

　　Z3　orbifold　has　the　S3　geometrical　symmetry,　　Z3　orbifold　has　the　S3　geometrical　symmetry,　　

　　　　　　　　　　　　　　　　

　　Their　closed　algebra　is　Δ(54).Their　closed　algebra　is　Δ(54).

The　full　symmetry　except　Z2　is　always　anomaly-The　full　symmetry　except　Z2　is　always　anomaly-free.free.

That　is,　the　Δ(27)　is　always　anomaly-free.That　is,　the　Δ(27)　is　always　anomaly-free.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Abe,　et.　al.　work　in　progressAbe,　et.　al.　work　in　progress

)3/2exp( ,

00

00

001

,

00

00

00

2

i

010

100

001

,

001

100

010

　　　　5.　Explicit　stringy　5.　Explicit　stringy　computationcomputation　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　T.K.,　Parameswaran,Ramos-Sanchez,　Zavala　‘11T.K.,　Parameswaran,Ramos-Sanchez,　Zavala　‘11

Explicit　string　computations　tell　something　more.Explicit　string　computations　tell　something　more.

　　Heterotic　string　on　orbifold:Heterotic　string　on　orbifold:　　　　　　　　　　　　　　4D　string,　E8xE8　gauge　part,　4D　string,　E8xE8　gauge　part,　　　　　　　　　　　　　　　r-moving　fermionic　string,r-moving　fermionic　string,　　　　　　　　　　　　　　6D　string　on　orbifold,　ghost　6D　string　on　orbifold,　ghost　

　　A　mode　has　　a　definite　“quantum　number”　　　　　　　　　　　　A　mode　has　　a　definite　“quantum　number”　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　in　each　part.in　each　part.　　

　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　Vertex　operatorsVertex　operators　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Boson　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Boson　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

FermionFermion

　　　　 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

IImsm

iL

iL

IImm

iL

iL

XiPHiqiN

iN

i

i

m

I

XiPHiqiN

iN

i

i

eeXXe

q

P

eeXXe

V

vector)(spinor, tion,representa Lorentz D10:

roots) (weights, groups gaugeunder numbers quantum :

gauge RNS string 6D ghost

V

)(3

1

2/1/2-

3

11-

　　　　3-pt　correlation　function3-pt　correlation　function　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Vertex　operators:　Vertex　operators:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

The　correlation　function　vanishes　unlessThe　correlation　function　vanishes　unless 　　　　That　is　the　momentum　conservation　in　the　string　of　That　is　the　momentum　conservation　in　the　string　of　　　the　gauge　part,　i.e.　the　gauge　invariance.the　gauge　part,　i.e.　the　gauge　invariance. 　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　

iXiPHiqN

iN

i

i

iXiPHiqN

iN

i

i

IImsm

iL

iL

IImm

iL

iL

eeXXe

eeXXe

)(3

1

2/1/2-

3

11-

V

V

1/2-1/2-1- VVV

.0 IP

　　　　String　on　6D　orbifoldString　on　6D　orbifoldThe　6D　part　is　quite　non-trivial.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　The　6D　part　is　quite　non-trivial.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　

　　　　　　　　world-sheet　instanton　　+　quantum　partworld-sheet　instanton　　+　quantum　part 　　　　　 　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

.0 with case heconsider t we,simplicityFor LN

1/2-1/2-1- VVV

SNNeXXDX

LL

SNeXDX

L

Classical　solution　The　world-sheet　instanton,　which　　　corresponds　to　string　moving　from　a　fixed　point

　　to　others.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　symmetries　of　torus　symmetries　of　torus　(sub)lattice(sub)lattice　　Suppose　that　only　holomorphic　instanton　can　appear.　　　　　　　　　　　　　　　　　Suppose　that　only　holomorphic　instanton　can　appear.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Example:　T2/Z3Example:　T2/Z3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　different　fixed　pointsdifferent　fixed　points

Z3　symmetries　(twist　invariance)Z3　symmetries　(twist　invariance)

　　　　　　twist　invariance　twist　invariance　+　H-momentum　conservation　+　H-momentum　conservation　　　　　=>　　　discrete　R-symmetry=>　　　discrete　R-symmetry

　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

lattice (sub) torus points fixed of difference

)(

a

zahX cl

latticeadjoint weight SU(3) a

　　symmetries　of　torus　symmetries　of　torus　(sub)lattice(sub)lattice　　Suppose　that　only　holomorphic　instanton　can　appear.　　　　　　　　　　　　　Suppose　that　only　holomorphic　instanton　can　appear.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Example:　T2/Z3Example:　T2/Z3　　　　　　　　three　strings　on　the　same　fixed　pointsthree　strings　on　the　same　fixed　points

Z6　symmetries　Z6　symmetries　　　　　　　　　　　enhanced　symmetries　enhanced　symmetries　　　　　　　　　　　　　for　certain　couplingsfor　certain　couplings　　 Rule　4Rule　4　　Font,　Ibanez,　Nilles,　Quevedo,　’88Font,　Ibanez,　Nilles,　Quevedo,　’88　　T.K.,　Parameswaran,Ramos-Sanchez,　Zavala　‘11T.K.,　Parameswaran,Ramos-Sanchez,　Zavala　‘11

　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

ce(sub)latti torus points fixed of difference

)(

a

zahX cl

latticeadjoint a

　　　　T2/Z3　orbifoldT2/Z3　orbifold　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Higher　order　couplings　　Higher　order　couplings　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　The　situation　is　the　same.The　situation　is　the　same.

　　Z3　symmetries　among　localized　strings　on　different　fixed　Z3　symmetries　among　localized　strings　on　different　fixed　pointspoints

　　Z6　symmetries　among　localized　strings　on　a　fixed　pointZ6　symmetries　among　localized　strings　on　a　fixed　point

　　　　　　　　　　Z6　enhanced　symmetries　only　for　the　couplings　Z6　enhanced　symmetries　only　for　the　couplings　　　　　　　　　of　the　same　fixed　points.of　the　same　fixed　points.　　　　　　　　　　=>　　Z3　twist　invarince　if　the　matter　on　the　different　fixed　=>　　Z3　twist　invarince　if　the　matter　on　the　different　fixed　points　is　includedpoints　is　included

　　　　 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

SNeXDX

L

　　Classical　solutionClassical　solution　　T2/Z2　T2/Z2　

　　Similarly,　the　classical　solution　corresponding　to　Similarly,　the　classical　solution　corresponding　to　　　couplings　on　the　same　fixed　points　has　enhanced　couplings　on　the　same　fixed　points　has　enhanced　　　symmetires,　e.g.　Z4　and　Z6,　depending　the　torus　symmetires,　e.g.　Z4　and　Z6,　depending　the　torus　　　　　lattice,　SO(5)　torus　and　SU(3)　torus.lattice,　SO(5)　torus　and　SU(3)　torus.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　T.K.,　Parameswaran,Ramos-Sanchez,　Zavala　‘11T.K.,　Parameswaran,Ramos-Sanchez,　Zavala　‘11

　　　　 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

)(zahX cl

　　　　String　on　6D　orbifoldString　on　6D　orbifoldThe　6D　part　is　quite　non-trivial.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　The　6D　part　is　quite　non-trivial.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　

　　world-sheet　instanton　　+　quantum　partworld-sheet　instanton　　+　quantum　part 　　

　　Only　instantons　with　fine-valued　action　contribute.Only　instantons　with　fine-valued　action　contribute.

　　That　leads　to　certain　conditions　on　combinations　That　leads　to　certain　conditions　on　combinations　among　among　

　　　　　　twists.twists.　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

1/2-1/2-1- VVV

SNeXDX

L

T.K.,　Parameswaran,Ramos-Sanchez,　Zavala　‘11

　　　　(anti-)　Holomorphic　(anti-)　Holomorphic　instantoninstanton　　Condition　for　fine-valued　action　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Condition　for　fine-valued　action　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Vertex　operators:　Vertex　operators:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

stringth theof twist : k

10for 01

:appearsinstanton cholomorphi-anti

10for 011

:appearsinstanton cholomorphi

kk

kk

k

Summary　　Summary　　We　have　studied　discrete　symmetries　We　have　studied　discrete　symmetries　　　and　their　anomalies.and　their　anomalies.Explicit　stringy　computations　tell　something　Explicit　stringy　computations　tell　something　more.more.

　　String-derived　massless　spectra　are　(semi-)　String-derived　massless　spectra　are　(semi-)　realistic,　but　their　4D　LEEFT　are　not　so,　realistic,　but　their　4D　LEEFT　are　not　so,　

e.g.　derivation　of　quark/lepton　masses　and　e.g.　derivation　of　quark/lepton　masses　and　mixing　angles　are　still　challenging.mixing　angles　are　still　challenging.

Applications　of　the　above　discrete　symmetires　Applications　of　the　above　discrete　symmetires　　　and　explicit　stringy　computations　would　be　and　explicit　stringy　computations　would　be　important.important.

　　

　　　　5.　Something　else5.　Something　else　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　T.K.,　Parameswaran,Ramos-Sanchez,　T.K.,　Parameswaran,Ramos-Sanchez,　Zavala　‘11Zavala　‘11

　　Explicit　stringy　calculations　would　tell　us　something　Explicit　stringy　calculations　would　tell　us　something　more.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　more.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　Vertex　operators:　Vertex　operators:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

1-

3

10

3

1

2/1/2-

3

11-

V V

V

V

)(

j

jHiqjHiq

iXiPHiqN

iN

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iXiPHiqN

iN

i

i

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eeXXe

eeXXe

mjvm

mjvm

IImsm

iL

iL

IImm

iL

iL

001/2-1/2-1- VVVVV

),1,0,0,0,0( ),0,1,0,0,0( ),0,0,1,0,0( 321 vm

vm

vm qqq

　　　　3-pt　　correlation　function3-pt　　correlation　function　　Explicit　stringy　calculations　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Explicit　stringy　calculations　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Vertex　operators:　Vertex　operators:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

321

00

s

qur

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1/2-1/2-1- VVV

321

321

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quclLL

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SNN

eXXXXDX

eXXDX

　　　　Rule　5Rule　5　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　T.K.,　Parameswaran,Ramos-Sanchez,　T.K.,　Parameswaran,Ramos-Sanchez,　Zavala　‘11Zavala　‘11

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

Rule　5:　Rule　5:　　　　　 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

321

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LL

LL

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LLL

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NNsN

instanton No

instanton cholomorphi-antiOnly

instanton cholomorphiOnly

0 :instanton cholomorphi-anti No

0 :instanton cholomorphi No

cl

cl

X

X

srsqu

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　　　　Z3　twist　invarianceZ3　twist　invariance　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　Z3　twist　invarianceZ3　twist　invariance　　　　 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

321

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3 mod 0 sNrN LL

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