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Symmetrie in dynamischen Systemen
Inhalt
Symmetrie
Symmetrie in Bewegungen:• Gekoppelte Pendel• Schwingungen in
– Molekülen– Gasen bei unterschiedlichen Drucken– Festkörpern
• Verwandtschaft zur Form der Orbitale
Gekoppelte Pendel
Symmetrie des Aufbaus
Spiegelebene
Erste Eigenschwingung
Spiegelebene
Zweite Eigenschwingung
„Umfärbende“ Spiegelebene
„Umfärbend“ bezeichnet die Eigenschaft, dass die Auslenkung des Pendels links aus der Spiegelung der des Pendels rechts folgt, wenn das Spiegelbild „umgefärbt“, d. h. das Vorzeichen der gespiegelten Auslenkung mit „ -1“ multipliziert wird
SchwingungsartSymmetrie bei
SpiegelungMuster
Erste
EigenschwingungSymmetrisch
Zweite Eigenschwingung
„Antisymmetrisch“
Beliebig, das ist eine Überlagerung beider
Eigenschwingungen
Unsymmetrisch
Gekoppelte Pendel
Effekt der Kopplung
• Ohne Kopplung: Beide Oszillatoren zeigen die gleiche Eigenfrequenz
• Mit Kopplung: Zwei „Schwingungsmoden“ mit – unterschiedlichen Eigenfrequenzen und– unterschiedlichen Symmetrie Eigenschaften
Gekoppelte Schwingungen in der Materie
• Alle durch Wechselwirkungskräfte verbundenen Teile sind – bei entsprechender Anregung – „gekoppelte Pendel“
• Bei Teilchenzahl n wächst - im dreidimensionalen Raum - die Zahl der „Freiheitsgrade“ auf 3n
• Es gibt deshalb 3n Eigenschwingungen mit unterschiedlichen– Symmetrie-Eigenschaften– Energie-Werten
• An jeder Eigenschwingung sind immer alle Oszillatoren beteiligt
Beispiele
• „Gekoppelte Pendel“• Kopplung zwischen Gas-Molekülen• Orbitale des Elektronensystems• Molekülschwingungen• Schwingungen im Festkörper, „Phononen“
Molekülschwingungen, Beispiel CO2, erste Streckschwingung, symmetrisch
z
x
Beispiel CO2, zweite Streckschwingung antisymmetrisch
z
x
Beispiel CO2, erste Deformationsschwingung
z
x
Beispiel CO2, erste Deformationschwingungen, Ansicht von der Längs-Seite
z
y
Beispiel CO2, zweite Deformationschwingung, Ansicht von der Längs-Seite
z
y
1
ja ja ja ja
ja nein nein ja
ja nein ja nein
Symmetrieeigenschaften dieser Schwingungen bei der Einheitsoperation, Drehung und Spiegelung
Ist die Schwingung invariant gegenüber der Symmetrieoperation?
Verbreiterung der Emissionslinien von Hg-Gas durch Kopplung der Atome bei Druck-Erhöhung
Kopplung durch Druck erzeugt neben den Linie der freien Atome neue Zustände mit benachbarten Frequenzen
Zu wenig Stoß-Anregung bei zu niederem
Druck
5 10-6 atm 0,5 atm 1 atm
10 atm 50 atm 200 atm
Linienverbreiterung durch starke
Kopplung zwischen den Elektronen während des Übergangs
Quelle: http://www.lti.uni-karlsruhe.de/rd_download/Plasmastrahlungsquellen_20071207.pdf
Kristalline Festkörper
• Bei n Teilchen gibt es n „Schwingungsmoden“ mit Auslenkungsmuster unterschiedlicher Symmetrie
• Die n Eigenfrequenzen der Moden liegen zum Teil sehr dicht beisammen, es entstehen Energiebänder
• Normalschwingungen der Teilchen in kristallinen Festkörpern werden „Phononen“ genannt
Modell für die Einheitszelle eines Kristalls mit zwei Atomen in der Elementarzelle mit Federn anstelle der Coulomb-Kräfte
Freiheitsgrade eines Kristallgitters mit 2 Atomen in der Elementarzelle
Translation Innere Schwingung
Beispiel für die Eigenschwingungen eines Kristalls mit zwei Atomen in der Elementarzelle
Freiheitsgrade eines Kristallgitters mit 2 Atomen in der Elementarzelle
Beispiel für eine Eigenschwingung
Symmetrie in der Atomphysik
Orbital (1) eines s-Elektrons, (2) eines p-Elektrons, (3) Orbitale von drei d-Elektronen. Gezeichnet sind die Gebiete, in denen die Teilchen bei vielen Beobachtungen in mindestens 95% aller Beobachtungen angetroffen werden („mit 95%iger Wahrscheinlichkeit“).
Bohr- und Orbital Modell für He, zwei Elektronen, Bahn s
•Von gleicher Energie sind maximal zwei Elektronen (z.B. in He), die sich ihrem Eigendrehimpuls, dem „Spin“ unterscheiden
•Links: Bohrs Modell
•Rechts: Orbital-Modell, zwei Elektronen mit Hauptquantenzahl 1, s Orbital mit Drehimpuls 0, diese Elektronen haben nur potentielle Energie
•Zwei weitere Elektronen (Beryllium hat 4) liegen auf einer „neuen“ Schale mit Energie zur Hauptquantenzahl 2
•Rechts: Orbital-Modell, zwei Elektronen mit Hauptquantenzahl 1, s Orbital mit Drehimpuls 0, zwei weitere mit Hauptquantenzahl 2, s Orbital mit Drehimpuls 0. Alle Elektronen haben nur potentielle Energie
Bohr- und Orbital Modell für Be, vier Elektronen, Bahn s
Be in angeregtem Zustand
•Das Orbitalmodell zeigt die zwei weiteren Elektronen in einem „angeregten Zustand“ mit Energie zur Hauptquantenzahl 2, aber dem Orbital p mit Drehimpulsquantenzahl 1: Diese Elektronen haben neben potentieller auch kinetische Energie
Bahnen und Orbitale
Orbitale zeigen Aufenthalts-Wahrscheinlichkeiten. Die Animationen sind Versuche, die Verwandtschaft bzw. Unterschiede zum Bohr-Modell darzustellen. Die im Orbitalmodell gezeigte „Bahnen“ variieren in Wirklichkeit ständig, fest ist nur die Aufenthaltswahrscheinlichkeit mit Form und Symmetrie der Orbitale
Zusammenfassung• Alle durch Wechselwirkungskräfte verbundenen Teile
sind – bei entsprechender Anregung – „gekoppelte Pendel“
• Bei Teilchenzahl n im R3 wächst deshalb die Zahl der „Freiheitsgrade“ auf 3n
• In Molekülen und Kristallen gibt es 3n Eigenschwingungen mit unterschiedlichen– Symmetrie-Eigenschaften– Energie-Werten
• Die Elektronen um einen Atomkern auf einer Schale bilden ein gekoppeltes System: Die Formen der Orbitale unterscheiden sich deshalb in ihren Symmetrie-Eigenschaften
finis