Syllabus IO GRAL 1-12

F A C U L T A D D E C I E N C I A S E C O N Ó M I C A S Y F I N A N C I E R A S

RED NACIONAL UNIVERSITARIA

SYLLABUS

INVESTIGACIÓN OPERATIVA

Facultad de Ciencias Económicas y Financieras

ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS

AUDITORIA

INGENIERÍA COMERCIAL

SEXTO SEMESTRE

Gestión Académica I/2012

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UDABOLUNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA

Acreditada como PLENA mediante R. M. 288/01

VISION DE LA UNIVERSIDAD

Ser la Universidad líder en calidad educativa.

MISION DE LA UNIVERSIDAD

Desarrollar la Educación Superior Universitaria con calidad y competitividad al servicio de la sociedad.

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SYLLABUS GENÉRICO

Asignatura: Investigación Operativa

Código: MAT – 212B

Requisito: MAT- 111C

Carga Horaria: 100 horas

Créditos: 8

I. OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA.

Analizar, evaluar y calcular las diferentes relaciones de los diferentes métodos, reglas y soluciones que se estudian dentro de la asignatura.

Analizar y evalúa la aplicabilidad de los instrumentos que nos provee la asignatura, en al búsqueda de soluciones de los problemas detectados, relativos al perfil profesional.

Ejercitar el pensamiento crítico alternativo y reflexivo como rasgo cualitativo y cuantitativo del perfil profesional.

Resolver problemas de la actividad de alguna empresa en particular, lo cual permite que el estudiante conozca y utilice estas herramientas.

Detectar una situación o problema a través del análisis y el cálculo de una actividad productiva en particular.

II. PROGRAMA ANALÍTICO DE LA ASIGNATURA.

UNIDAD I: ORIGEN PRIMITIVO

TEMA 1. INTRODUCCÍON A LA INVESTIGACÍON OPERATIVA

1.1 Introducción1.2 ¿Que es la investigación de operaciones?1.3 Historia de la investigación de operaciones1.4 Beneficios de un proyecto de investigación operativa1.5 Fases de un proyecto de investigación operativa1.6 Tipos de problemas y modelos1.7 Formulación de los problemas

TEMA 2 LA PROGRAMACION LINEAL

2.1 Definición2.2 Métodos gráficos2.3. El método simplex2.4. Reglas del método simplex2.5. Problemas de minimización2.6. Método de penalización2.7. Método de doble fase

UNIDAD II. ANALISIS DE POST OPTIMALIDAD

TEMA 3 EL DUAL

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3.1 Introducción3.2 El motivo del uso del dual3.3 Solución de problemas duales3.4 Método de dual simplex

TEMA 4 ANALISIS DE SENSIBILIDAD4.1 Utilidad4.2 Cambios del vector b4.3 Cambios en el vector c4.4 Cambios en coeficientes tecnológicos4.5 Adición de nuevas actividades4.6 Adición de nuevas restricciones

UNIDAD III. PROBLEMAS ESPECIALES DE PROGRAMACIÓN LINEAL

TEMA 5 PROBLEMAS DE TRANSPORTE5.1 Introducción 5.2 Estructura y algoritmo de transportes5.3 Método simplex simplificado5.4 Método de extremo noroeste5.5 Método de aproximación de Vogel5.6 Método de aproximación de Russell5.7 Criterio de optimalidad

UNIDAD IVTEMA 6 ANÁLISIS DE REDES6.1 Análisis de redes6.2 Planeación y control de proyectos6.3. Problema de flujo máximo6.4 Problema de flujo a costo mínimo6.5. Problema de flujo máximo a costo mínimo

III. BIBLIOGRAFÍA.

Eva Foronda Franco “Introducción a la Investigación Operativa para estudiantes de Ciencias Empresariales” Juan Prawda Witenberg. “Métodos y modelos de investigación de operaciones”. Editorial Limusa F. S. Hillier y G. J. Lieberman. “Introducción a la Investigación operativa”. Editorial Mc Graw-Hill. H. A. Taha. “Investigación Operativa”. Editorial Servicios de Ingeniería. Gould FLJ y Eppen G. D. “Investigación de Operaciones” en la Ciencia Administrativa” Davis McKeown, “Modelos Cuantitativos en la Ciencia Administrativa”. Editorial Limusa, http://www.ms.unimelb.edu.au/encyclopedia/topindex.html

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WORK PAPER # 1

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD

No. DE PROCEDIMIENTO: No. DE HOJAS: 9

ELABORÓ: M. Sc. Ing. Eva Foronda Franco CÓDIGO: MAT-212B

TÍTULO DEL WORK PAPER: INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA

DPTO.: Facultad de Ciencias Económicas y Financieras

DESTINADO A:

DOCENTES ESTUDIANTES X ADMINIST. OTROS

OBSERVACIONES:

FECHA DE DIFUSIÓN: Marzo 2012

FECHA DE ENTREGA:

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“Aprender es importante; aprender a aprender lo es aún más, pero saber para que se aprende, eso si que es esencial”.

R. Suarez DiazORIGEN DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

En 1759, Quesnay empieza a utilizar modelos primitivos de programación matemática. A partir de allí se empezaron a utilizar varios modelos de investigación de operaciones, pero la I.O. empieza a tener éxito a partir de la segunda guerra mundial.Debido a los esfuerzos bélicos, existía una necesidad urgente de asignar recursos escasos a las distintas operaciones militares y a las actividades dentro de cada operación, en la forma más efectiva.Por esto, las administraciones militares de los EE.UU. e inglesa hicieron un llamado a un gran número de científicos para que aplicaran el método científico a éste y a otros problemas estratégicos y tácticos.De hecho, se les pidió que hicieran investigación sobre operaciones (militares).Con el desarrollo de métodos efectivos para el uso del nuevo radar, estos equipos contribuyeron al triunfo del combate aéreo inglés.Al terminar la guerra, el éxito de la investigación de operaciones en las actividades bélicas generó un gran interés en sus aplicaciones fuera del campo militar.Como la explosión industrial seguía su curso, los problemas causados por el aumento en la complejidad y especialización dentro de las organizaciones pasaron de nuevo a primer plano.Comenzó a ser evidente para un gran número de personas, incluyendo a los consultores industriales que habían trabajado con o para los equipos de IO durante la guerra, que estos problemas eran básicamente los mismos que los enfrentados por la milicia, pero en un contexto diferente.Cuando comenzó la década de 1950, estos individuos habían introducido el uso de la investigación de operaciones en la industria, los negocios y el gobierno.Un ejemplo sobresaliente es el método simplex para resolver problemas de programación lineal, desarrollado en 1947 por George Dantzig.Muchas de las herramientas características de la investigación de operaciones, como programación lineal, programación dinámica, líneas de espera y teoría de inventarios, fueron desarrolladas casi por completo antes del término de la década de 1.950.

FASES DE UN PROYECTO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONESEn particular, el proceso comienza por la observación cuidadosa y la formulación del problema incluyendo la recolección de los datos pertinentes.El siguiente paso es la construcción de un modelo científico (por lo general matemático) que intenta abstraer la esencia del problema real.En este punto se propone la hipótesis de que el modelo es una representación lo suficientemente precisa de las características esenciales de la situación como para que las conclusiones (soluciones) obtenidas sean válidas también para el problema real.Después, se llevan a cabo los experimentos adecuados para probar esta hipótesis, modificarla si es necesario y eventualmente verificarla. (Con frecuencia este paso se conoce como validación del modelo.)

Formulación del problema: es la etapa más importante, mientras trata de comprender el problema, formúlese las siguientes preguntas generales:

1. ¿Cuáles son las variables de decisión? Es decir, ¿cuáles con las entradas controlables? Defina las variables de decisión con precisión utilizando nombres descriptivos. Recuerde que las entradas controlables también se conocen como actividades controlables, variables de decisión y actividades de decisión.

2. Cuáles son los parámetros? Vale decir ¿cuáles son las entradas no controlables? Por lo general, son los valores numéricos constantes dados. Defina los parámetros con precisión utilizando nombres descriptivos.

3. ¿Cuál es el objetivo? ¿Cuál es la función objetivo? Es decir, ¿qué quiere el dueño del problema? ¿De qué manera se relaciona el objetivo con las variables de decisión del dueño del problema? ¿Es un problema de maximización o minimización? El objetivo debe representar la meta del decisor.

4. ¿Cuáles son las restricciones? Es decir, ¿qué requerimientos se deben cumplir? ¿Debería utilizar un tipo de restricción de desigualdad o igualdad? ¿Cuáles son las conexiones entre las variables? Escríbalas con palabras antes de volcarlas en forma matemática.

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Para complementar este punto es necesario indicar que dentro del marco de la I.O. se utilizan 3 tipos de problemas: Determinísticos Con riesgo Bajo Incertidumbre

Construcción del modelo

Derivación de soluciones del modelo

Prueba del modelo y sus soluciones

Diseño de controles asociados a las soluciones

Implantación de las soluciones al sistema

EJEMPLOS DE CASOS REALES

La siguiente tabla muestra algunos casos reales de organizaciones que han hecho uso de la Investigación Operativa y las ganancias y/o ahorros conseguidos a raíz de ello.

Organización Aplicación Año Ahorros anuales

The Netherlands Rijkswaterstaat

Desarrollo de la política nacional de administración del agua, incluyendo mezcla de nuevas instalaciones, procedimientos de operaciones y costeo

1985 $15 millones

Monsanto Corp. Optimización de las operaciones de producción para cumplir metas con un costo mínimo 1985 $2 millones

Weyerhauser Co. Optimización del corte de árboles en productos de madera para maximizar su producción 1986 $15 millones

Electrobas/CEPAL Brasil Asignación óptima de recursos hidráulicos y térmicos en el sistema nacional de generación de energía 1986 $43 millones

United AirlinesProgramación de turnos de trabajo en oficinas de reservaciones y aeropuertos para cumplir con las necesidades del cliente a un costo mínimo

1986 $6 millones

Citgo Petroleum Corp. Optimización de las operaciones de refinación y de la oferta, distribución y comercialización de productos

1987 $70 millones

SANTOS, Ltd., Australia Optimización de inversiones de capital para producir gas natural durante 25 años 1987 $3 millones

Electric Power Research Institute Administración de inventarios de petróleo y carbón para el servicio eléctrico con el fin de equilibrar los costos de inventario y los riesgos de faltantes.

1989 $59 millones

San Francisco Police Department

Optimización de la programación y asignación de oficiales de patrulla con un sistema computerizado 1989 $11 millones

Texaco Inc.

Optimización de la mezcla de ingredientes disponibles para que los productos de gasolina cumplieran con los requerimientos de ventas y calidad

1989 $30 millones

IBM Integración de una red nacional de inventario de refacciones para mejorar el apoyo al servicio 1990

$20 millones + $250 millones en menor inventario

U.S. Military Airlift Command Rapidez en la coordinación de aviones, tripulación, 1992 Victoria

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carga y pasajeros para manejar la evacuación por aire en el proyecto "Tormenta del Desierto" en el Medio Oriente

American Airlines Diseño de un sistema de estructura de precios, sobreventas y coordinación de vuelos para mejorar las utilidades

1992 $500 millones más de ingresos

Yellow Freight System, Inc. Optimización del diseño de una red nacional de transporte y la programación de rutas de envío 1992 $17.3 millones

New Haven Health Dept. Diseño de un programa efectivo de cambio de agujas para combatir el contagio del SIDA 1993 33% menos

contagios

AT&TDesarrollo de un sistema basado en PC para guiar a los clientes del negocio en el diseño del centro de llamadas

1993 $750 millones

Delta Airlines Maximización de ganancias a partir de la asignación de los tipos de aviones en 2.500 vuelos nacionales 1994 $100 millones

Digital Equipment Corp. Reestructuración de toda la cadena de proveedores entre proveedores, plantas, centros de distribución, sitios potenciales y áreas de mercado

1995 $800 millones

ChinaSelección y programación óptima de proyectos masivos para cumplir con las necesidades futuras de energía del país

1995 $425 millones

Cuerpo de defensa de Sudáfrica Rediseño óptimo del tamaño y forma del cuerpo de defensa y su sistema de armas 1997 $1.100 millones

Procter and GambleRediseño del sistema de producción y distribución norteamericano para reducir costos y mejorar la rapidez de llegada al mercado

1997 $200 millones

Taco BellProgramación óptima de empleados para proporcionar el servicio a clientes deseado con un costo mínimo

1998 $13 millones

Hewlett-PackardRediseño de tamaño y localización de inventarios de seguridad en la línea de producción de impresoras para cumplir metas de producción

1998 $280 millones de ingreso adicional

Fuente: www.phpsimplex.com

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Ejemplos de aplicación.

1) Cítricos Bolivia., procesa jugo de naranja y lo transforma en concentrado congelado en tres plantas localizadas en Yungas A Yungas B y Yungas C. De cualquiera de los dos huertos (H1 y H2), se pueden enviar naranjas hacia cualquier planta. Dado el costo de embarque y el precio de venta del concentrado, el objetivo, sujeto a ciertas restricciones de oferta y demanda, es determinar como embarcar estas naranjas desde los dos huertos a las tres plantas procesadoras para maximizar la ganancia total. El huerto H1 tiene 20000 tn de naranjas y el huerto H2 tiene 12000 tn de naranjas. La planta de Yungas A requiere al menos 8000 tn de naranjas para cumplir su cuota de producción. Las plantas de Yungas B y Yungas C requieren cada una al menos 11000 tn de naranjas. a) Identifique un conjunto de variables de decisión apropiadas para este caso. Proporcione nombres simbólicos

relevantes y una descripción completa de cada variable. No necesita formular el modelo. b) Expresar la función objetivo de maximización de ganancias dados los siguientes datos de costo e ingresos:

COSTO DE EMBARQUE (Bs/Ton) DESDE/A Yungas A Yungas B Yungas CH1 50 75 60H2 60 90 45INGRESOS (Bs./ton de naranjas procesadas) Yungas A 550, Yungas B 750, Yungas C 600Identifique todos los grupos de restricciones.

2) Una compañía de alimentos utiliza diariamente por lo menos 800 libras de cierto alimento especial. El alimento especial es una mezcla de maíz y semilla de soya, con las siguientes composiciones:Los requerimientos dietéticos diarios del alimento especial estipulan por lo menos un 30% de proteínas y cuando mucho un 5% de fibra. La compañía desea determinar el costo mínimo diario de la mezcla de alimento.

Libra/ libra de alimento para ganadoAlimento para ganado Proteínas Fibra Costo ($/lb)Maíz 0.09 0.02 0.30Semilla de soya 0.6 0.06 0.90

3) Una pequeña empresa de productos químicos debe consumir máximo de 40 M3/mes de un determinado alcohol, debido a restricciones de importación. Produce dos tipos de fertilizantes: A y B. En la tabla siguiente se da la información básica:

FERTILIZANTEA B

Consumo alcohol 3 m3/unidad 5/2 m3/unidadConsumo ciclohexano 1 tn/unidad 3/2 tn./unidad

Disponibilidad de ciclohexano: 20 tn. por mes.

Con estas restricciones, y sabiendo que la contribución marginal es 120 Bs/u para el Fertilizante A y 40 Bs./u para el Fertilizante B. Construya el modelo que permita determinar el plan óptimo de producción.

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CUESTIONARIO WORK PAPER Nº1

1) Una casa de modas tiene las siguientes materias primas a su disposición: 32 m de algodón, 24 m de seda y 30 m de lana. Un traje requiere: 1.5 m de algodón, 1m de seda y 1 m de lana. Un abrigo requiere: 1m de algodón, 2m de seda y 2.5m de lana. De acuerdo con el comportamiento de compra de los clientes habituales la demanda de abrigos es por lo menos la mitad de la demanda de trajes. Si el traje se vende en Bs 370 y el abrigo en Bs.550. El dueño necesita saber cuantas prendas de cada tipo debe confeccionar para obtener la máxima cantidad de dinero.

2) Una fábrica produce camionetas y autos. Los requerimientos de materia prima y mano de obra para la producción, se especifica en la siguiente tabla:

M P (lb.) M O (hr.)Camionetas 200 20Autos 150 22Costo unitario ($) 15 75Total disponible 85000 8600

La división de comercialización ha estimado que a lo sumo 300 camionetas pueden venderse a $ 9 000 cada una, los autos no tienen restricción de mercado y pueden venderse a $ 8000 cada uno. Formule un modelo para determinar la cantidad a fabricar de cada tipo de carro para maximizar la ganancia total (ingresos menos gastos). Costo de un auto compacto: cant Materia Prima*costo + cant Mano de Obra*costo= 200*10 + 18*70 = $3260Costo de un auto subcompacto: cant Materia Prima*costo + cant Mano de Obra*costo = 150*10 + 20*70 = $2900

3) La compañía Star Oil está considerando 5 diferentes oportunidades de inversión. En la siguiente tabla se dan desembolsos y el VAN (valor actual neto) en millones de dólares para cada inversión:

Se dispone de 40 millones de $us para invertir en el momento actual (T=0) y se estima que en 1 año (T=1) se dispondrá de 20 millones de $us. La compañía puede comprar cualquier fracción de cualquier inversión. En este caso las salidas de caja y VAN se ajustan en forma correspondiente. Si la compañía compra un quinta parte de la inversión 3, entonces necesitará un desembolso de efectivo de 1/5 (5) = 1 millón al T=0. La quinta parte de la inversión 3 producirá 1/5(16) = 3.2 millones de $us. Star oil quiere maximizar el VAN que se puede obtener mediante las inversiones 1 a 5. Formule un modelo matemático que ayude a seleccionar la mejor alternativa.

4) World Oil Company puede comprar dos tipos de petróleo crudo: crudo ligero a un costo de $25 por barril, y petróleo pesado a $22 por barril. Cada barril de petróleo crudo, ya refinado, produce tres productos: gasolina, turbosina y queroseno. La siguiente tabla indica las cantidades en barriles de gasolina, turbosina y queroseno producidos por barril de cada tipo de petróleo crudo:

GASOLINA TURBOSINA QUEROSENOCrudo ligero 0.20 0.20 0.30Crudo pesado 0.36 0.40 0.20

La refinería se ha comprometido a entregar 1250000 barriles de gasolina, 950000 barriles de turbosina y 320000 barriles de queroseno. a) Como gerente de producción, formule un modelo para determinar la cantidad de cada tipo de petróleo crudo

por comprar para minimizar el costo total al tiempo que se satisfaga la demanda apropiada. b) Si cada barril de petróleo crudo refinado produce un desecho de 0.07 de barril que se tira a un costo de $1 por

barril de desecho. De manera similar, cada barril de petróleo crudo pesado produce un desecho de 0.09 de barril y su eliminación cuesta $1.50 por barril. Formule un nuevo modelo para incorporar estos costos adicionales.

5) Una Fábrica de alimentos tiene dos máquinas distintas para procesar leche pura y producir leche descremada, mantequilla o queso. La cantidad de tiempo requerido en cada máquina para producir cada unidad de producto resultante y las ganancias netas se proporcionan en la siguiente tabla:

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Inv. 1 Inv. 2 Inv. 3 Inv. 4 Inv. 5Salida de dinero en T=0 15 53 5 5 29Salida de dinero en T=1 3 6 5 1 34VAN 13 16 16 14 39


LECHE DESC. MANTEQUILLA QUESOMáquina 1 0.2 min/gal 0.5 min/lb 1.5 min/lbMáquina 2 0.3 min/gal 0.7 min/lb 1.2 min/lbGanancia neta Bs. 2.2/gal Bs. 3.8/lb Bs 7.2/lb

Suponiendo que se dispone de 8 horas en cada máquina diariamente, como gerente del departamento de producción, formule un modelo para determinar un plan de producción diaria que maximice las ganancias corporativas netas y produzca un mínimo de 300 galones de leche descremada, 200 libras de mantequilla y 100 libras de queso.

6) Cada galón de leche, libra de queso y libra de manzanas proporciona un número conocido de miligramos de proteínas y vitaminas A, B y C. La siguiente tabla incluye esos datos junto con los requerimientos diarios de los ingredientes nutricionales, según lo recomendado por el Departamento de Agricultura de los EE.UU. La tabla también incluye la cantidad mínima de cada alimento que debe incluirse en la comida y su costo.

LECHE QUESO MANZANAS REQUERIMIENTOS(mg/gal) (mg/lb) (mg/lb) MÍN. DIARIOS (mg)

Proteínas 40 30 10 80Vitamina A 5 50 30 60Vitamina B 20 30 40 50Vitamina C 30 50 60 30Cantidad mínima 0.5gal 0.5lb 0.5lbCosto unitario (Bs.) 8.00 6.00 12.00

Como dietista de una escuela pública, formule un modelo para determinar la comida de costo mínimo que reúna todos los requerimientos nutricionales.

7) Un estudio a establecido las necesidades semanales mínimas de una persona en proteínas, hidratos de carbono y grasas son las que aparecen en la siguiente tabla:

Proteínas Hidratos GrasasUnidades 16 24 18

En el mercado existen dos productos A y B cuyos contenidos y costos por kilo son:

Proteínas Hidratos Grasas Costo Bs.A 2 6 1 36B 1 2 3 24

Formule un modelo matemático que permita determinar la mezcla de productos A y B de costo mínimo

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WORK PAPER # 2


No. DE PROCEDIMIENTO: No. DE HOJAS: 5

ELABORÓ: M. Sc. Ing. Eva Foronda Franco CODIGO: MAT 212 B

TÍTULO DEL WORK PAPER: PROGRAMACIÓN LINEAL. MÉTODO GRÁFICO


DESTINADO A:


OBSERVACIONES:


FECHA DE ENTREGA:

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1. PROGRAMACIÓN LINEAL

Utiliza modelos matemáticos lineales para describir el problema, la estructura general de un modelo de programación lineal es:

Función Objetivo Max. Z = cX ó Min. Z = cXRestricciones técnicas s.a. AX b s.a. AX bRestricciones no negatividad X 0 X 0

Los métodos utilizados por la programación lineal son: Método Gráfico Método Simplex


1) En un taller metalúrgico se fabrican dos tipos de piezas: A y B, que deben seguir los siguientes procesos: estampado en hojas metálicas, soldado y finalmente pintado.La operación de estampado consiste en preparar partes idénticas, que luego serán soldadas de a pares formando la pieza tipo A. La pieza B sigue exactamente el mismo proceso.Los tiempos estándar, dados en min por u, para cada operación, son los siguientes:

OPERACIÓN A B TIEMPO DISPONIBLE POR SEMANAEstampado 3 8 48.000 minSoldado 12 6 42.000 minPintado 9 4 36.000 min

La utilidad unitaria es 4 UM para la pieza A y 3 UM para la pieza B. Dicha utilidad es constante para todas las unidades vendidas. Se desea establecer el programa semanal que maximice la ganancia.

2) Retomar el ejemplo 2) del wp1 y resolver gráficamente.3) Retomar el ejemplo 3) del wp1 y resolver gráficamente

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CUESTIONARIO WORK PAPER Nº 2

1) Encuentre la región de factibilidad en los siguientes casos (considere x1 y x2 0):a) x1+ x2 3

x1- 2x2 = 8b) x2 – 3x1 1

x1 + x2 2c) 5x1 – 6x2 30

x1 + x2 -1d) x1 1

2x1 + 3x2 18

2) Dados los siguientes modelos de programación lineal, Resuelva estos modelos gráficamente. Identifique las soluciones factibles en los vértices e indique la solución factible óptima para cada caso, considerando variables no negativas

a) Max Z = 6X1 + 7X2S.A. 4X1 – 3X2 12

4X1 + 3X2 24X2 4

b) MAX Z = 5X1 + 9X2S.A. 3X1 + 2X2 20

-X1+4X2 4 X1 + 2X2 8 4X1 +4X2 36

c) MAX Z = 4X1 + 5X2S.A. -2X1 +X2 0

2X1 - 5X2 3 4X1 + 3X2 12

3) Un taller puede producir dos modelos diferentes de un mecanismo. Cada modelo emplea distintas cantidades de materia prima y mano de obra directa. Para el modelo A se usa, por u de ese modelo, 1 Kg de fundición de hierro y 3 HH (horas hombre); para el modelo B se usan 2 Kg de fundición y 2 HH.Para la elaboración de dichas piezas se dispone de 12 HH y de 8 Kg de fundición de hierro.Se gana Bs. 2 por cada mecanismo A y Bs. 3 por cada mecanismo B. Se vende toda la producción. Programar la producción de manera que la ganancia sea máxima.

4) Un artesano debe completar 100 disfraces para cumplir un contrato con un importante cliente. Cada disfraz dama requiere material de bordado que cuesta Bs.65 e implica 80 horas de trabajo. Cada disfraz varón requiere material de bordado que cuesta Bs. 40 e implican 95 horas de trabajo. El artesano dispone de un presupuesto de Bs. 5,000 para material. El número de disfraces para damas tendrá que ser mayor o igual a 35. El número de disfraces para varones deberá ser mayor o igual que 45. a) Formule el modelo de programación linealb) ¿Cual es la mejor combinación de disfraces de mujer y varón que minimizaría el número total de horas

de trabajo?

5) En un campo se desea comprar un máximo de 30 vacas y 100 ovejas. Cada vaca necesita una hectárea de campo, 200 HH/año y brinda una utilidad de 250 UM. Cada oveja necesita 0,5 hectáreas de campo, 40 HH/año y brinda una utilidad de 90 UM.Si se poseen 75 hectáreas de campo y 10.000 HH/año disponibles, ¿cuál es el beneficio máximo que puede obtenerse del campo y qué cantidad de vacas y ovejas deben comprarse?.

6) Se desea definir las cantidades a fabricar de dos productos, A y B cuyo procesamiento se realiza en dos centros de máquinas: conociéndose los datos referentes a los tiempos de proceso y disponibilidades en los centros. Se sabe

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además que debe cumplirse con un pedido mínimo de 50 unidades de A. Al mismo tiempo, la producción de B debe ser por lo menos dos veces superior a la producción de A.Se conocen los márgenes brutos de beneficio de cada producto.

Producto DisponibilidadA BTIEMPOS Máquina I 1 0,4 200UNITARIOS Máquina II 1/2 2/3 200Margen bruto unitario 12 8

7) La empresa Cubiertas SRL se dedica a la fabricación de manteles de mesa. Fabrica dos modelos que se adaptan al 90% de las mesas bolivianas: el redondo y el rectangular. Cada uno de estos modelos consume 2 y 3 m de tela, respectivamente. Además deben ser cortados y cosidos a mano, tarea que lleva 1 hora para los manteles rectangulares y 2 para los redondos (es más complejo el corte). Por último, a los manteles rectangulares se les deben colocar cuatro esquineros de refuerzo. Semanalmente se pueden conseguir 600 m de tela, 600 esquineros y 500 horas de corte y costura. Los márgenes de ganancias son de Bs.16 para los manteles redondos y Bs.20 para los rectangulares. ¿Cuántos manteles se deben producir semanalmente para maximizar la ganancia total?

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WORK PAPER # 3


No. DE PROCEDIMIENTO: Nº PAGINAS: 6 (incluida ésta)

ELABORÓ: M. Sc. Ing. Eva Foronda Franco CODIGO: MAT 212 B

TÍTULO DEL WORK PAPER: PROGRAMACIÓN LINEAL. MÉTODO SIMPLEX


DESTINADO A:


OBSERVACIONES:


FECHA DE ENTREGA:

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METODO SIMPLEX

Es un algoritmo, esto es un procedimiento iterativo de solución.

La aplicación del método simplex a un modelo de programación lineal, requiere que el mismo este expresado en forma canónica, esto es:

Max. Z = cXs.a. AX b

X 0Es importante distinguir los siguientes elementos asociados al modelo de PL:- c: vector (fila) de precios o costos- X: vector (columna) de actividades o variables de decisión- A: matriz de coeficientes tecnológicos- b: vector (columna) de disponibilidad de recursos

Si el modelo de PL no responde a esta estructura general es necesario convertirlo a esta forma utilizando “Reglas de Equivalencias”.

A continuación se ilustran las reglas del método simplex, descubierto por el Dr. George Dantzing:

a) Dado cualquier modelo de PL transformar por medio de reglas de equivalencia a la forma canónicab) Reescribir la función objetivo de la forma: Z – cX = 0c) Convertir todas las desigualdades en igualdades, usando variables de holgurad) Construir la tabla del método simplex, cuya estructura condensada es de la siguiente forma:

Variables originales Variables de holgura

CBB-1*a - c CBB-1 CB*XB

Vectores que integran la base

B-1*A B-1 XB=B-1*b

e) Seleccionar la variable entrante a la basef) Con la columna de la variable entrante seleccionar la variable que sale de la baseg) La intersección de la columna que entra y que sale de la base, determina el elemento pivote. Aplicando

operaciones matriciales elementales en el elemento pivote, convertir su columna en el vector unitario. Volver al paso e).

2. PROBLEMAS ESPECIALES DE PROGRAMACIÓN LINEALExisten modelos de PL que presentan soluciones especiales a saber:- Solución óptima no acotada- Soluciones óptimas múltiples- Solución óptima degenerada


1) Para comenzar veremos un problema sencillo: considérese que una empresa fabrica dos productos y .Para fabricar esos productos la empresa utiliza: Mano de obra; Materia prima y Equipos.Estos insumos se disponen en forma limitada. Además sabemos los beneficios unitarios de la venta de y .

Disponibilidad

Mano de obra 20 10 100.000

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Materia prima 10 30 180.000Equipos 5 1 40.000Beneficios 8 5

La cifra 100.000 puede ser directamente en unidades de Mano de obra o las UM equivalente a esa Mano de obra.20 es un coeficiente tecnológico o insumo específico.Dado que tenemos unas disponibilidades decidimos usarlas.¿Cuántas unidades se deben producir cada una de los dos productos para maximizar los beneficios?Vamos a formular un plan de producción (también llamado un mix de producción), o sea vamos a determinar cuáles son las cantidades que debemos producir a fin de maximizar los beneficios.

2) Una empresa fabrica ropa fina para hombres. Recientemente, una consultora sugirió que la compañía evaluara de nuevo su línea y asignara sus recursos a productos capaces de maximizar la contribución a las ganancias como son las camisas, shorts y pantalones. La ruta de fabricación de cada prenda pasa por 2 departamentos de procesamiento, A y B.

Cada camisa que consume 2 mt. de material, requiere 2 hr. de procesamiento en el dpto. A y 1 hr. en el dpto. B. Cada short que utiliza 1 mt. de material requiere 2 hr. de procesamiento en el dpto. A y 3 hr. en el dpto. B. Y por ultimo cada pantalón que utiliza 4 mt. de tela requiere 3 hr. de procesamiento en el dpto. A y 4 hr. en el dpto. B.El departamento A dispone de 120 horas/semana de capacidad, el departamento B tiene 160 horas/semana de capacidad y se dispone de 90 metros de material para la producción. Cada camisa contribuye con Bs.7 a las ganancias; cada short con Bs.10; y cada pantalón con Bs.20.Construir el modelo de programación lineal y determinar la solución óptima.

3) Demuestre por el método simplex que el siguiente problema no tiene una solución óptima acotada.Maximizar Z = 6x1 – 2x2 sujeta a 2x1 – x2 4

x1 4 x1 0 x2 0

4) Encuentre una expresión matemática de todas las soluciones óptimas al problemaMax Z = 3x1 + 2x2s.a: 5x1 + 2x2 <= 140 3x1 + 2x2 <= 120 x1,x2 >= 0

5) Muestre por el método simplex que el siguiente modelo de programación lineal tiene una solución degenerada:

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1) Dados los siguientes modelos de PL, en cada caso exprese en forma canónica:Maximizar Z = 3x1 - 2x2 + 6x3 Minimizar Z = 4x1 + x2 – 2x3Sujeto a: 2x1 + x2 – 9x3 4 Sujeto a:4x1 –x2 – 5x3 ≥ 4

-5x1 -2 x2 + 4x3 = 8 2x1 + 3x2 + 2x3 = 7x1 0, x2 , no restringida x3 0 x1 0, x2, x3 no restringida

2) Considere los siguientes modelos de programación lineal y resuelva por el método simplex:a) Max Z = 5*X1 + 5*X2

s.a. 4*X1 + 3*X2 <= 24 4*X1 - 3*X2 <= 12 X2 <= 4 X1 >= 0 X2 >= 0

b) Max Z = 40*X1 + 60*X2s.a. 2*X1 + 1*X2 <= 70

1*X1 + 1*X2 <= 40 1*X1 + 3*X2 <= 90 X1 >= 0 X2 >= 0

3) Una compañía de zapatos puede producir tres tipos de zapatos a su máxima capacidad: zapatos de vestir, de trabajo y de deporte, la utilidad neta es de Bs. 100, Bs.85 y Bs. 50 respectivamente. El mercado de zapatos ha bajado como consecuencia de las dificultades económicas existentes en el país de tal manera que la capacidad actual de la planta es de 90; 150 y 200 unidades por día de cada tipo.Existen dificultades de almacenamiento y de abastecimiento de materia prima. La planta tiene 1000 mt.2 de espacio disponible y 400 unidades de materia prima. Los zapatos de vestir requieren de 5 mt.2 para almacén y 2 unid de MP, 8 mt.2 y 3/2 unidades de MP para el de trabajo y 3 metros cuadrados y 1 unidad de MP para los de deporte. La compañía debe producir por lo menos 20 pares de trabajo y 90 pares de zapatos deportivos.

a) ¿Cuál es el modelo que maximiza la utilidad neta?b) ¿Cuántos zapatos de cada tipo debe producir?

4) Cierta fábrica elabora dos tipos de telas, usando lana de tres colores distintos. Se necesita la siguiente materia prima por cada m de tela:

TELA A TELA B DISPONIBLE PARA FABRICACIÓNLana roja 120 g 150 g 20 kg

Lana verde 150 g 60 g 40 kgLana amarilla 90 g 240 g 45 kg

El cuadro indica también cuánta lana existe disponible en un momento dado. El fabricante desea saber de qué manera usar este material, bajo la suposición de que puede obtener un beneficio de Bs. 15 por cada metro de tela A y de Bs. 9 por cada metro de tela B. Desea maximizar sus beneficios.

5) Muestre por el método simplex que el siguiente modelo de programación lineal tiene una solución degenerada:Maximizar Z = 3x1 + 2x2Sujeto a: 4x1 + 3x2 12

4x1 + x2 84x1 – x2 8x1 0, x2 0

19


6) Encuentre una expresión matemática de todas las soluciones óptimas al problema:Maximizar Z = x1 + 2x2 + 3x3sujeto a: x1 + 2x2 + 3x3 10

x1 + x2 5x1 1 x1 0, x2 0 y x3 0

7) Demuestre por el método simplex que el siguiente problema no tiene una solución óptima acotada.Maximizar Z = 4x1 + x2+ 3x3 + 5x4Sujeto a -2x1 + 3x2 + 5/2x3 – 2x4 10

6x1 – 4x2 + 8x3 + 2x4 20-16x1 + 6x2 –6x3 – 4x4 -40x1 0, x2 0, x3 0 y x4 0

8) Resuelva e identifique algún caso especial en tabla simplex:

20


WORK PAPER # 4



ELABORÓ: M. Sc. Eva Foronda Franco CODIGO: MAT 212 B

TÍTULO DEL WORK PAPER: PROBLEMAS DE MINIMIZACION


DESTINADO A:


OBSERVACIONES:


FECHA DE ENTREGA:

21


PROBLEMAS DE MINIMIZACIÓN

En esta etapa se presentarán modelos de programación lineal de minimización, excepto aquellos problemas de minimización triviales, que son aquellos que pueden representarse como:

Min. Z = cXs.a. AX b

X 0Este tipo de problema tiene como solución el vector (0 0 0 0.....0), la solución óptima es no hacer nada.Nos interesa lo problemas de minimización que se presentan bajo la siguiente estructura:

Min. Z = cXs.a. AX b

X 0

Para este tipo de problemas de minimización no triviales el simplex no es aplicable en forma directa, por lo que es necesario el uso de métodos auxiliares que nos permitan salvar algunos inconvenientes. Estos métodos son:

- Método de Penalización- Método de Doble Fase

Ejemplos de aplicaciónMAX Z= 2X1 + X2s.a. 10X1 + 10X2 9

10X1 + 5X2 1 x1 0, x2 0

22



1) Considere los siguientes problemas:i) Maximizar Z = 10x1 + 4x2 ii) Minimizar Z = -10x1 - 12x2S.a: x1 + x2 5 S. a: -x1-2x2 -2

x2 = 2 -2x1 + 3x2 2x1 0, x2 0 x1 0, x2 0

a) Resuelva gráficamenteb) Use el método de penalización para construir la primera tabla simplex completa e identificar la solución básica

factible artificial inicial correspondiente.c) Determine e indique la solución óptima en cada caso.

2) Resuelva por el método de penalización:Minimizar Z = 5x1 - 6x2 - 7x3Sujeto a 2x1 + 10x2 - 6x3 30

5/2x1 - 3x2 + 5x3 102x1 + 2x2 + 2X3 = 5x1 0, x2 0 y x3 0

3) Resuelva por el método de Doble Fase:Minimizar Z = 2x1 + 3x2 + 5x3Sujeto a 6x1 + 20x2 + 10x3 30

33x1 - 10x2 + 9x3 332x1 + 4x2 + 2X3 8

x1 0, x2 0 y x3 0

4) Demuestre por el método de doble fase que el siguiente problema no tiene una solución factible:Maximizar Z = 2x1 + 5x2Sujeto a: 3x1 + 2x2 6

2x1 + x2 2x1 0, x2 0

5) Una compañía fabrica y vende dos tipos de bombas hidráulicas: normal y extra grande. El proceso de manufactura asociado con la fabricación de las bombas implica tres actividades: ensamblado, pintado y control de calidad. Los requerimientos de recursos para ensamble, pintura y control de calidad de las bombas se muestran en la tabla. La contribución a las utilidades por la venta de una bomba normal es Bs. 50 en tanto que la utilidad por una bomba extra grande es de Bs. 75. Existen disponibles por semana 4800 horas de tiempo para ensamble,1980 horas de tiempo de pintura y 400 horas de tiempo de control de calidad. Las experiencias anteriores de ventas señalan que la compañía puede esperar vender cuando menos 300 bombas normales y 180 de las extra grandes por semana. A la compañía le gustaría determinar la cantidad de cada tipo de bomba que debe fabricar semanalmente con el objeto de maximizar sus: utilidades. Tabla de datos técnicos:

Tipo de bomba Tiempo de ensamble Tiempo de pintura Tiempo de control decalidad

Normal 3.6 1.6 0.6Extra grande 4.8 1.8 0.6

6) Nos proponemos realizar la alimentación diaria más económica para ganado, que debe contener

obligatoriamente cuatro tipos de componentes nutritivos A, B, C y D. La industria alimenticia produce precisamente dos alimentos, M y N, que contienen estos componentes. Un kilogramo de alimento N contiene 100 g de A, 100 g de C y 200 g de D; un kilogramo de alimento M contiene 100 g de B, 200 g de C y 100 g de D.

23


Un animal debe consumir al menos 0,4 Kg de A; 0,6 Kg de B; 2 Kg de C y 1,7 Kg de D. El alimento M cuesta 10 UM/Kg y el N 4 UM/Kg ¿Qué cantidad de alimentos M y N se deben utilizar diariamente para alimentar al ganado en la forma más económica?.La tabla que resume lo enunciado es:

N M Necesidad diariaA 0,1 0 0,4B 0 0,1 0,6C 0,1 0,2 2D 0,2 0,1 1,7

Costo 4 10

8) Un estudio a establecido las necesidades semanales mínimas de una persona en proteínas, hidratos de carbono y grasas son las que aparecen en la siguiente tabla:

Proteínas Hidratos GrasasUnidades 16 24 18

En el mercado existen dos productos A y B cuyos contenidos y costos por kilo son:

Proteínas Hidratos Grasas Costo Bs.A 2 6 1 36B 1 2 3 24

¿Cuántos kilos de cada producto debe consumir una persona al costo mínimo?

24


WORK PAPER # 5




TÍTULO DEL WORK PAPER: EL DUAL


DESTINADO A:


OBSERVACIONES:


FECHA DE ENTREGA:

25


EL DUALAsociada a cualquier estructura canónica de programación lineal

Max. Z = cXs.a. AX b

X 0Que se denomina problema primario, se define la siguiente estructura:

Min. G = bTYs.a. ATY cT

Y 0Que se denomina PROBLEMA DUAL

La siguiente tabla proporciona la descripción de cada uno de los elementos del problema primario y dual.

Problema Elemento Dimensión CaracterísticaPRIMARIO X

c

b

AZ

Vector columna con n componentes

Vector fila con n componentes

Vector columna con m componentes

Matriz de m por nEscalar

Vector de variables de actividad primariaVector precios unitarios primariosVector de disponibilidad de recursos primariosMatriz coeficientes tecnológicosFunción objetivo primaria

DUAL Y

cT

bT

AT

G

Vector columna con m componentes

Transpuesta de c, vector columna con n componentesTranspuesta de b, vector fila con m componentesTranspuesta de A, matriz de n x m

Escalar

Vector de variables de actividades dualesVector de disponibilidad de recurso dualesVector de precios unitarios dualesMatriz de coeficientes tecnológicosFunción objetivo dual

Ejemplos de aplicaciónPara los siguientes modelos de PL, muestre la estructura DUAL correspondiente:

a) Min. Z = x1 - 2x2sujeta a: x1 + x2 2, x1 - x2 -1, x2 3, x1, x2 0.

b) Max. Z = 3X1 + 2X2S.A. X1 + 5X2 10

X1 + 3X2 82X1+ 2X2 12 X1 0, x2 0

26



1) Escriba en forma dual los siguientes problemas:a) Min Z = 4x1 - 7x2 c) Min Z = 3x1 – 2x2 – 6x3

s.a. 6x1 – 3 x2 + x3 4 s.a. 3x1 – x2 + 2x3 43x1 + 4x2 + x3 = 10 2x1 – 4x2 -25x1 0, x2 0 y x3 0 X1 0, x2 0 y x3 0

2) Para cada modelo proporcione recomendaciones para obtener la solución óptima de manera eficiente: aplicando simplex directamente a este problema primario o aplicando simplex directamente al dual. Explique su respuesta:Max Z = 10x1 - 4x2 + 7x3 Maz Z = 2x1 + 5x2+ 3x3 + 4x4 + x5

s.a. 3x1 - x2 + 2x3 25 s.a. x1 + 3x2+ 2x3 + 3x4 +x5 6x1 – 2x2 + 3x3 25 4x1 + 6x2 + 5x3 + 7x4+ x5 155x1 + x2 +2x3 40 xi 0 para i = 0,5x1 + x2 + x3 902x1 – x1 + x3 20x1 0, x2 0 y x3 0

3) Considere nuevamente el ejercicio Nº 6) del WP 1, (pag. 15), determine la solución óptima por el método dual simplex y explique la decisión óptima.

4) Considere nuevamente el ejercicio Nº 8) del WP 4, (pag. 24), determine la solución óptima por el método dual simplex y explique la decisión óptima.

5) Un granjero cría cerdos para venta y desea determinar qué cantidades de los distintos tipos de alimento debe dar a cada cerdo para cumplir ciertos requisitos nutricionales a un costo mínimo. En la siguiente tabla se dan las unidades de cada clase de ingrediente nutritivo básico contenido en un kilogramo de cada tipo de alimento, junto con los requisitos nutricionales diarios y los costos de los alimentos:

IngredienteNutricional

Kg. maíz Kg. grasa Kg. alfalfa RequisitoMin. día

Carbohidratos 90 20 40 200Proteínas 30 80 60 180Vitaminas 10 20 60 150Costo 42 36 30

a) Formule el modelo de programación lineal para este problemab) ¿Qué cantidad de alimento debe dar a cada animal a fin de minimizar los costos?

27


WORK PAPER # 6



ELABORÓ:M- Sc. Eva Foronda Franco CODIGO: MAT 212 B

TÍTULO DEL WORK PAPER: ANALISIS DE SENSIBILIDAD


DESTINADO A:


OBSERVACIONES:


FECHA DE ENTREGA:

28


ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

“En general el análisis de Sensibilidad consiste en cambiar los datos originales para ver la incidencia en los resultados”.

Para analizar estos cambios partiendo de la solución óptima del problema original es necesario considerar la estructura general de una tabla simplex:

CBB-1*a - c CBB-1 CB*XB

B-1*A B-1 XB=B-1*b

A partir de esta estructura general se investigan los efectos que producen en la solución óptima los cambios en los parámetros del modelo.

Los cambios a considerar a través del análisis de sensibilidad son:

- Cambios en el vector de disponibilidad de recursos “b”- Cambios en el vector de precios o costos “c”- Cambios en la matriz de coeficientes tecnológicos “A”- Adición de nuevas actividades Xr, columna adicional en la tabla.- Adición de nuevas restricciones, fila adicional en la tabla.

Ejemplo de aplicación

1) Considere nuevamente el ejemplo 3 del WP Nº 1, (pag. 13). A partir de la solución óptima del problema analice los siguientes cambios:

a) En el nivel máximo de producción ¿existe recursos sobrantes?, ¿cuánto?b) ¿Cuál debería ser el precio del Fertilizante B para que su producción sea redituable?c) Calcule el incremento en Z si se dispone de 5m3 /mes adicionales de alcohold) Si se reduce la disponibilidad de alcohol a 29 m3/mes, ¿cual será la nueva solución óptima?e) Determine el intervalo de variación de los recursos disponibles dentro del cual la solución mantiene la factibilidadf) Si se incrementa el precio del Fertilizante A tal que produzca una utilidad de Bs. 95, ¿cual será el nuevo nivel

óptimo de producción?g) Determine el intervalo de variación de precios dentro del cual la solución mantiene la optimalidad.h) Un análisis de procesos produjo cambios en los coeficientes tecnológicos del Fertilizante B, en consecuencia

serán: 3, 2.5. ¿Qué cambios se producen en la solución óptima?.i) Se esta considerando introducir un nuevo tipo de Fertilizante (C), cuya contribución a las ganancias será de Bs

140 por unidad. Requiere 3 m3/mes. de alcohol y 2tn/mes de ciclohexanol. ¿Cuál será el nivel óptimo de producción de este nuevo producto?.

j) El departamento de Marketing indica que la demanda de Fertilizante A ha quedado limitada a 6 unidades/mes. Analizar los efectos en la solución óptima.

29



1) Considere el caso de la casa de modas del WP Nº 1 y calcule el intervalo de variación de los recursos disponibles dentro del cual la solución se mantiene factible.

2) Para el caso de la fábrica de autos del WP Nº 1, determine el intervalo de variación de lo los recursos dentro del cual la solución mantiene factibilidad.

3) En una carpintería se fabrican mesas y sillas, la carpintería cuenta con dos departamentos en paralelo con capacidad de 40 horas semanales respectivamente. Cada mesa deja una ganancia de Bs.150 y requiere de 4 horas de trabajo en el departamento I y 2 horas en el departamento II. Mientras que una silla deja ganancia de Bs. 200 y requiere 2 horas de trabajo del departamento I y 4 horas del departamento II. Obtener:

a) La solución optima, empleando el método simplex. b) Si la capacidad de los departamentos cambian ambos de 40 a 48 horas semanales. ¿afecta a la solución optima

el cambio de los recursos?c) Si la capacidad del departamento I cambia de 40 a 24 horas semanales y la capacidad del 48 departamento II,

cambia de 40 a 60 horas semanales. ¿afecta a la solución optima el cambio de los recursos disponibles? d) En una de las semanas en la misma empresa un cliente importante pidió a la carpintería que fabricara mínimo 4

sillas. ¿puede la carpintería satisfacer el pedido del cliente?, en caso de que no, ¿qué debe de hacer la carpintería para poder satisfacer la orden del cliente?.

e) Supongamos que en una de las semanas el cliente pidió la producción mínima de 7 sillas. ¿podría la carpintería satisfacer la petición del cliente? En caso de que no. ¿qué debe hacer la carpintería para satisfacer la orden del cliente?.

4) La Calesita produce 3 tipos de barras de Golosinas. Cada barra está hecha totalmente de azúcar y de chocolate. En la siguiente tabla se muestran las composiciones y el precio de venta de cada barra:

Cantidad de Azúcar (Gramos)

Cantidad de Chocolate (Gramos)

Precio Bs.

Barra 1 1 2 3Barra 2 1 3 7Barra 3 1 1 5

Se dispone de 50 gramos de Azúcar y 100 gramos de Chocolate. El objetivo de La Calesita es maximizar las ventas totales.

a) Plantee el modelo matemático.b) ¿Cuál es la ganancia de La Casita? ¿Cuántas barras de cada tipo se producen?c) Suponga que la ganancia al producir una barra de tipo 1 aumenta en un 50% ¿Cambia la solución óptima para

este problema? Justifique brevemente.d) ¿Para que valores de ganancia de la barra de tipo 2 permanece la misma solución?e) Si se dispone de 60 gramos de azúcar, ¿Cuál sería la ganancia de La Casita? ¿Se podría contestar esta

pregunta si se dispone de 30 gramos de azúcar?f) Si se disponen de 15 gramos más de Chocolate, ¿Cuál sería la ganancia de La Casita? ¿Se podría contestar

esta pregunta si se dispone de 60 gramos más de Chocolate?g) ¿Cuáles son los valores, significado y unidades de las variables del problema dual?

5) La empresa JONAS fabrica bolsos, mochilas y estuches. En la fabricación de los 3 productos la piel es la materia prima limitante. El proceso de fabricación utiliza dos tipos de mano de obra calificada: costura y acabado. La siguiente tabla proporciona la disponibilidad de los recursos, su utilización en los tres productos y los precios de venta por unidad:

30


RecursoRequerimiento de recursos por unidad Disponibilidad

diariaBolso Estuche MochilaPiel (mt) 3/2 1 3 50Costura (horas) 3/2 1 2 40Acabado (horas) 1 1/2 1 45Precio de venta (Bs./u) 45 35 70

Formule el problema como un programa lineal y encuentre la solución óptima. Después indique los efectos que se producen ante los siguientes cambios.a) La piel disponible se incrementa a 65 mt.b) Las horas de costura disponibles se incrementan a 55 horas.c) ¿Recomendaría la contratación de un trabajador adicional de costura a 15 Bs./ hora?.d) Calcule e interprete los intervalos de variación para el vector de disponibilidad de recursos.e) Si la fábrica quiere introducir un nuevo modelo de estuche que requiere 2 mt de piel y 1.5, 2 horas

respectivamente en las operaciones de costura y acabado. Determine la solución óptima cuando la utilidad por unidad es de: i) Bs. 35. ii) Bs. 40

31


WORK PAPER # 7




TÍTULO DEL WORK PAPER: MODELOS DE TRANSPORTE


DESTINADO A:


OBSERVACIONES:


FECHA DE ENTREGA:

32


MODELOS DE TRANSPORTE

El problema de transporte es un problema especial de programación lineal. Se caracteriza fundamentalmente por:

- Son problemas que requieren un número muy grande de variables y restricciones- La mayor parte de los coeficiente aij en las restricciones son cero y los coeficientes distintos de cero siguen un

patrón determinado.Estas características han permitido desarrollar versiones simplificadas del simplex basadas en la matriz A de coeficientes tecnológicos.

Definición: El problema de transporte se refiere a la distribución de cualquier bien desde cualquier centro de abastecimiento llamados orígenes hasta cualquier centro de recepción llamados destinos, de forma tal que se minimicen los costos totales de transporte.

Terminología:

- Xij: Unidades a transportar desde el origen i al destino j- m: número de orígenes o centros de distribución- n: número de destinos o centros de consumo- si: recursos disponibles en el origen i- dj: demanda en el destino j- cij: costo unitario de distribución desde el origen i al destino j

Los costos asociados al transporte desde cada origen a cada destino se resumen en la tabla de costos y requerimientos, cuya estructura es la siguiente:

DESTINOSRecursos

1 2 ............... n

ORIGENES

1 c11 c12 c1n s1

2 c21 c22 c2n s2

.

.

m cm1 cm2 cm3 cmn sm

Demanda d1 d2 dn

A partir de esta tabla de costos y requerimientos se establece la estructura general del modelo de transporte.

Ejemplo de aplicación

Suponga la empresa encargada de la distribución del desayuno escolar en la ciudad de La Paz, debe llevar el alimento desde dos almacenes distintos hasta 3 colegios. Cada almacén tiene una capacidad limitada y cada colegio requiere cierta cantidad de unidades para cumplir con la alimentación de los niños.Los costos de transporte en Bs./unidad desde cada almacén a cada colegio se muestran en la siguiente tabla:

ColegioAlmacén

1 2 3 Capacidad disponible

1 3 4 7 9002 2 5 6 700Demanda 700 500 400

¿Cómo se debe distribuir el alimento para el costo total de transporte sea el mínimo?

33


PROCESO DE SOLUCION DE MODELOS DE TRANSPORTE

NO

SI

NO

SI

34

INICIO

CONSTRUIR TABLA DE COSTOS Y REQUERIMIENTOS

¿ESTA BALANCEADO?

DETERMINAR SOLUCION INICIAL BÁSICA Y FACTIBLE

¿ES ÓPTIMA?

FIN

AGREGAR ORIGEN O DESTINO FICTICIO

SIMPLEX DE TRANSPORTE


Solución ejemplo 1I) SOLUCIÓN INICIAL BASICA FACTIBLEa) METODO DE ESQUINA NOROESTE

3 4 7 900

2 5 6 700

700 500 400

3 4 7 900

2 5 6 700

700 500 400

b) MÉTODO DE VOGUEL

3 4 7 900

2 5 6 700

700 500 400

3 4 7 900

2 5 6 700

700 500 400

3 4 7 900

2 5 6 700

700 500 400

II) CRITERIO DE OPTIMALIDADcij – ui – vj = 0 para toda Xij Básica

cij – ui – vj ≥ 0 para toda Xij NO Básica

ui

3 4 7

2 5 6

vj

35


ui

3 4 7

2 5 6

vj

Ejemplo 2Considere la siguiente tabla de costos y requerimientos y determine el plan de distribución al costo mínimo:

Destino 1 2 3 4 OfertaFuente 1 10 4 20 11 15

X11 X12 X13 X14

2 12 7 9 20 25 X21 X22 X23 X24

3 - 14 16 18 20 X31 X32 X33 X34

Demanda 5 15 15 10

I) Dada la tabla de costos y Requerimientos

10 4 20 11 15

12 7 9 20 25

- 14 16 18 20

5 15 15 10

II) Balance

10 4 20 11 15

12 7 9 20 25

- 14 16 18 20

5 15 15 10

36


III) Solución inicial básica factible

10 4 20 11 15

12 7 9 20 25

- 14 16 18 20

5 15 15 10

10 4 20 11 15

12 7 9 20 25

- 14 16 18 20

5 15 15 10

IV) Criterio de Optimalidad

10 4 20 11

12 7 9 20

- 14 16 18

10 4 20 11

12 7 9 20

14 16 18

10 4 20 11

12 7 9 20

14 16 18

37



1) Compare las soluciones iniciales obtenidas por los métodos de esquina NO y Voguel en los siguientes modelos:

0 4 2 152 3 4 71 2 0 810 11 9

2) Una Empresa que se dedica a la producción de motores para maquinaria petrolera, tiene la siguiente matriz de costos unitarios de transporte desde sus fábricas hasta sus centros de distribución:

Distribuidores Fábricas 1 2 3 4 Producción

1 356 420 673 520 152 248 437 585 461 203 411 396 317 468 25

Dem. 11 9 18 8 a) Determine las variables de decisión y plantee el problema de minimización, determinando la distribución

eléctrica para cada ciudad, utilizando el método SIMPLEX analítico. b) ¿Cuántos motores se debe transportar desde cada fábrica hasta cada centro de distribución para minimizar el

costo total del transporte?

3) Una empresa dedicada a la fabricación de componentes de ordenador tiene dos fábricas que producen, respectivamente, 800 y 1500 piezas mensuales. Estas piezas han de ser transportadas a tres tiendas que necesitan 1000, 800 y 700 piezas, respectivamente. Los costes de transporte, en Bs. por pieza son los que aparecen en la tabla adjunta. ¿Cómo debe organizarse el transporte para que el coste sea mínimo?

Tienda A Tienda B Tienda CFábrica I 3 7 1Fábrica II 2 2 6

4) Cuatro fábricas envían sus productos a igual número de almacenes. Las capacidades de las fábricas y los costos de producción por unidad de producto en cada una de ellas se indican en la siguiente tabla:

Fábrica Capacidad Costo: UM/u1 140 602 260 723 360 484 220 60

Los costos de transporte de cada fábrica a cada almacén se dan en la siguiente tabla en UM/u

AlmacenesFábrica 1 2 3 4

1 28 40 36 382 18 28 24 303 42 54 52 544 36 48 10 46

Requerimientos 180 280 150 200¿Cómo debe distribuir la fábrica sus productos para minimizar el costo total reproducción y transporte?

38

- 3 5 77 4 9 81 8 6 1713 7 12


WORK PAPER # 8



ELABORÓ: Ing. Eva Foronda Franco CODIGO: MAT 212 B

TÍTULO DEL WORK PAPER: ANALISIS DE REDES PERT- CPM


DESTINADO A:


OBSERVACIONES:


FECHA DE ENTREGA:

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1. INTRODUCCIONExisten una gran variedad de problemas que se pueden representar a través de redes. La representación a través de redes se utiliza ampliamente en áreas como: - Planeación y control de proyectos- Problemas de flujo máximo- Problemas de Costo mínimo- Problema de la ruta más cortaLa representación en redes proporciona un panorama general y ayuda a visualizar las relaciones entre los componentes del sistema a analizar.Los modelos de redes son casos particulares de la programación lineal que disponen de métodos propios que resultan más eficientes que el simples.

2. TERMINILOGIA- RED: conjunto de nodos conectados entre si por líneas o arcos- NODOS: se representan con círculos

llamado nodo “i”

- ARCOS: líneas que se usan para unir 2 nodos. Los arcos pueden ser dirigidos o no dirigidos

Ai j

A cada arco Aij se asocia una variable Xij que indica el flujo de i hacia j y cij es el costo por unidad de flujo. La siguiente tabla resume algunos ejemplos de redes representativas:

NODOS ARCOS FLUJOS

Ciudades Camino Vehículos o personasAeropuertos Rutas aéreas Aviones

Puntos de Conmutación

Cables o Canales Mensajes

Estaciones de Bombeo

Tuberías Fluidos

Centros de Trabajo

Rutas de manejo de materiales Trabajo

3. PLANEACIÓN Y CONTROL DE PROYECTOSUn proyecto define una combinación de actividades interrelacionadas que deben ejecutarse en un cierto orden antes que el trabajo completo pueda terminarse. Las actividades están interrelacionadas en una secuencia lógica en el sentido que algunas de ellas no pueden comenzar hasta que otras se hayan terminado. Una actividad en un proyecto, usualmente se ve como un trabajo que requiere tiempo y recursos para su terminación. En general, un proyecto es esfuerzo de un solo periodo; esto es, la misma sucesión de actividades puede no repetirse en el futuro. El objetivo de la programación de proyectos es establecer la duración del proyecto y de algunas etapas. La administración de proyectos a gran escala requiere una coordinación cuidadosa de las actividades interrelacionadas, esto es posible mediante la construcción de “Redes de Actividades”.

Se llama red de actividad a la representación gráfica de las actividades que muestran sus eventos, secuencias, interrelaciones y el camino critico. No solamente se llama camino critico al método sino también a la serie de actividades contadas desde la iniciación del proyecto hasta su terminación, que no tienen flexibilidad en su tiempo de ejecución, por lo que cualquier retraso que sufriera alguna de las actividades de la serie provocaría un retraso en todo el proyecto.

3.1. METODO DEL CAMINO CRITICODefinición.

40

i

ij


El método del camino crítico es un proceso administrativo de planeación, programación, ejecución y control de todas y cada una de las actividades componentes de un proyecto que debe desarrollarse dentro de un tiempo crítico y al costo óptimo.

Dos son los orígenes del método del camino crítico: el método PERT(Program Evaluation and Review Technique) desarrollo por la Armada de los Estados Unidos de América, en 1957, para controlar los tiempos de ejecución de las diversas actividades integrantes de los proyectos espaciales, por la necesidad de terminar cada una de ellas dentro de los intervalos de tiempo disponibles. Fue utilizado originalmente por el control de tiempos del proyecto Polaris y actualmente se utiliza en todo el programa espacial.El método CPM (Crítical Path Method), el segundo origen del método actual, fue desarrollado también en 1957 en los Estados Unidos de América, por un centro de investigación de operaciones para la firma Dupont y Remington Rand, buscando el control y la optimización de los costos de operación mediante la planeación adecuada de las actividades componentes del proyecto.Ambos métodos aportaron los elementos administrativos necesarios para formar el método del camino crítico actual, utilizando el control de los tiempos de ejecución y los costos de operación, para buscar que el proyecto total sea ejecutado en el menor tiempo y al menor costo posible.

Dentro del ámbito aplicación, el método se ha estado usando para la planeación y control de diversas actividades, tales como construcción de presas, apertura de caminos, pavimentación, construcción de casas y edificios, reparación de barcos, investigación de mercados, movimientos de colonización, estudios económicos regionales, auditorias, planeación de carreras universitarias, distribución de tiempos de salas de operaciones, ampliaciones de fábrica, planeación de itinerarios para cobranzas, planes de venta, censos de población, etc.

El Método del Camino Critico consta de dos ciclos:1. Planeación y Programación.

1.1.- Definición del proyecto1.2.- Lista de Actividades1.3.- Matriz de Secuencias y Tiempos1.4.- Red de Actividades1.5.- Costos y pendientes1.7.- Compresión de la red

2. Ejecución y Control. 2.1.- Aprobación del proyecto2.2.- Ordenes de trabajo2.3.- Gráficas de control2.4.- Reportes y análisis de los avances

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http://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtml#ANALIT

http://www.monografias.com/trabajos4/costos/costos.shtml

http://www.monografias.com/Computacion/Redes/

http://www.monografias.com/trabajos10/macroecon/macroecon.shtml

http://www.monografias.com/Computacion/Programacion/


4. EJEMPLO DE APLICACIÓNA continuación se presenta una tabla con las tareas necesarias para inaugurar una Guardería en una zona de la Ciudad de La Paz:

Id# Nombre de la Tarea Duración(días) Predecesoras

1 Alquiler del local. 22 Acondicionar local. 15 13 Distribuir, ordenar y decorar sala 2 24 Tramitar habilitación municipal 20 25 Elaborar proyecto educativo 216 Diseñar objetivos y contenidos 1 57 Seleccionar recursos técnicos 5 68 Organizar y capacitar Docentes 3 79 Comprar material didáctico 2 710 Seleccionar actividades extra curriculares 1 511 Inscripción en la Dirección General de

Escuelas1 5; 6

12 Fijar fechas de inscripción 113 Organizar acto inaugural 214 Promocionar 4

Fije la fecha de entrega del proyecto como fecha límite.

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1) Se tiene la siguiente red relacionada con un proyecto:

Con base en la gráfica anterior marque con una (X) la opción correcta:a. La holgura del evento 3 es: ( ) 0; ( ) 17; ( ) 5; ( ) 22b. La ruta crítica es: ( ) 1, 4; ( ) 1, 2, 4; ( ) 1, 3, 4; ( ) 1, 2, 3, 4c. El tiempo esperado del proyecto:

( ) 30; ( ) 25; ( ) 34;

2) Con base en la siguiente lista de actividades construya una red y conteste las preguntas que vienen a continuación:

Actividad sucesora

Actividad predecesora

Duración actividad (días)

A - 3B A 3C A 2D B,C 4E B 7F C 2G E 1H G,D,F 5I F 8J I 3K H 6

a. Construya la red de este problema e indique cual sería la duración de proyecto.b. Ud. Diría que esta es la duración de proyecto o si en promedio sería lo que se demoraría en terminarse dicho

proyecto? Porque?

3) La siguiente tabla muestra las tareas para realizar el proyecto de “inauguración de una panadería”.

Id# Nombre de la Tarea Duración Predecesoras1 Buscar local.2 Alquilar local.3 Diseñar local.4 Realizar plomería y gas.5 Instalación Eléctrica.6 Yesos7 Pisos8 Carpintería9 Vidrios10 Pintura11 Instalación Equipamiento12 Limpieza13 Habilitación municipal

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Id# Nombre de la Tarea Duración Predecesoras14 Puesta a punto detalles finales15 Contratar empleados16 Publicidad17 Apertura

a) Determine las predecesoras.b) Establezca la duración de las tareas.c) Fije fecha de finalización del proyecto.

3) Antes de poder introducir un nuevo producto al mercado se deben realizar todas las actividades que se muestran en la tabla (todos los tiempos están en semanas).

Actividad Descripción Predecesores a b m

A Diseño del producto - 2 10 6

B Estudio del mercado - 4 6 5

C Emitir órdenes materiales A 2 4 3

D Recibir materiales C 1 3 2

E Construir prototipo A, D 1 5 3

F Desarrollo y promoción B 3 5 4

G Puesta en marcha planta para producción masiva E 2 6 4

H Distribuir productos a almacenes. G, F 0 4 2

Dibuje la malla del proyecto y determine la ruta crítica. Interprete sus resultados.

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PROGRAMA DE CALIDAD UDABOLDif Nº 1

FORMULACIÓN DE UN PROBLEMA

Busque un problema de la vida real, su trabajo o una microempresa de la que tenga información general para formular el problema de investigación de operaciones. Utilice como guía el cuadro de la pag. 10.

Para esto debe considerar el caso como un sistema el cual está sometido a variables externas sobre las cuales no se puede influir y variables internas las cuales se pueden regular a fin de modificar las condiciones del sistema.

En base a los datos disponibles del sistema defina los parámetros del modelo y si es que los datos no son disponibles indique cuales son los requerimientos y que acciones debe realizar el equipo de investigación de operaciones para determinar estos datos.

En conclusión el grupo debe presentar el modelo matemático que permita tomar decisiones sobre el sistema planteado.

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DIF Nº 2

EL MODELO DE PROGRAMACION LINEAL

La empresa MULTICOLOR produce 3 tipos de pinturas: Normal, Calidad y Premium. Las instalaciones actuales pueden producir un máximo de 18000 lt de Normal, 10000 lt de Calidad y 5000 lt de Premium al día. Debido a la economía de escala, el costo de producir cada tipo de pintura disminuye al aumentar el número de litros producidos. Por ejemplo si se producen X lt de pintura Norma, entonces el costo por lt es a-b*x. La siguiente tabla proporciona los valores de a y b; el precio de venta por lt, y la demanda diaria mínima por cada tipo de pintura.

VALORES DE VALORES DETIPO DE PINT. a b Precio de venta Demanda

(Bs/lt) mínima (lt)Standard 3 0.0001 8.0 10000Quality 4 0.0002 10.0 6000Premiun 5 0.0003 15.00 2500

La compañía puede producir un total combinado de hasta 25000 lt. de pintura al día. Como supervisor de producción, formule un modelo para determinar la cantidad de pintura a producir para maximizar la ganancia (ingreso menos costo).

Cátedra: Investigación Operativa Universidad Tecnológica NacionalFacultad Regional Mendoza

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DIF Nº 3

ANALISIS DE PROBLEMAS DE MINIMIZACION

World Airlines reabastece sus aeronaves regularmente en los cuatro aeropuertos en donde da servicio. La turbosina puede comprarse a tres vendedores posibles en cada aeropuerto. La tabla indica (1) el costo de entrega (compra mas embarque) por mil galones de cada vendedor a cada aeropuerto, (2) el número disponible de miles de galones que cada vendedor puede suministrar cada mes y (3) el requerimiento mensual de turbosina (en miles de galones) en cada aeropuerto.

COSTO ENTREGA CANTIDADCOMB. REQUERIDO

AEROPUERTO Vendedor 1 Vendedor 2 Vendedor 31 900 800 900 1502 900 1200 1300 2503 800 1300 500 3504 1000 1400 1000 480

ProvisiónMáxima 300 600 700Formule un modelo para determinar las cantidades que se deben comprar y enviar por parte de cada vendedor a cada aeropuerto para minimizar el costo total, satisfaciendo al mismo tiempo por lo menos la demanda mensual a cada aeropuerto y no excediendo el suministro de cualquier vendedor.

Resolución:LP OPTIMUM FOUND AT STEP 5OBJECTIVE FUNCTION VALUE1) 869000.0VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 0.000000 1200.000000X2 170.000000 0.000000X3 0.000000 200.000000X4 130.000000 0.000000X5 0.000000 800.000000X6 80.000000 0.000000X7 0.000000 400.000000X8 0.000000 1400.000000X9 350.000000 0.000000X10 0.000000 500.000000X11 350.000000 0.000000X12 0.000000 100.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 0.000000 00.0000003) 520.000000 0.0000004) 0.000000 400.0000005) 200.000000 0.0000006) 0.000000 -1200.0000007) 0.000000 -900.0000008) 0.000000 -1300.000000

NO.ITERATIONS=5Cátedra: Investigación Operativa Universidad Tecnológica Nacional

Facultad Regional Mendoza

DIF Nº 4

ANÁLISIS DE LOS CAMBIOS DEL MODELO DE PROGRAMACION LINEAL

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La empresa JTK fabrica: trenes, camiones y automóviles de juguetes, utilizando 3 operaciones. Los limites diarios sobre los tiempos disponibles para las 3 operaciones son de 430, 460 y 420 minutos respectivamente, y las utilidades por cada tren, camión y automóvil son 3,2 y 5 dólares respectivamente. Los tiempos de ensamble por tren en las 3 operaciones son de 1, 3 y 1 minuto respectivamente. Los tiempos correspondientes por camión y por automóvil son ( 2,0,4) y (1,2,0) minutos.La solución óptima se presenta a continuación:

X1 X2 X3 X4 X5 X64 1 2 1,350

X2 -1/4 1/2 1/4 100X3 3/2 0 1/2 230X6 2 -2 1 20

Esto significa que de acuerdo a la actual economía de escala, los trenes de juguete no dejan utilidades, Sin embargo la competencia dicta que JTK también produzca trenes1. ¿Cómo se puede lograr esto?

La empresa esta estudiando la posibilidad de introducir un cuarto juguete: camiones de bomberos. El ensamble no utiliza la operación 1. Sus tiempos de ensamble por unidad en las operaciones 2 y 3 son de 1 y 3 minutos, respectivamente. La utilidad es de 4 $us.2. ¿Le aconsejaría a JTK que introdujera el nuevo producto? Fundamente su respuesta.

Si la empresa planea ampliar sus líneas de ensamble incrementando en 40% la capacidad diaria de cada línea, con estos incrementos.3. ¿Resulta factible la nueva solución?

Existe la posibilidad de incrementar 25 minutos de capacidad en la operación 1 a un costo de 30 dólares.4. ¿Aceptaría el costo del incremento?

Aun cuando la solución obtenida en el punto 3 resulta atractiva desde el punto de vista del incremento en la utilidad la empresa reconoce que su puesta en práctica llevará tiempo. Por consiguiente, se hizo otra propuesta para cambiar la capacidad de holgura en la operación 3 ( x6 = 20 Minutos) a la capacidad de la operación 1, que cambia la capacidad de las 3 operaciones a 450, 460 y 400 minutos.5. ¿Resulta ventajoso el cambio propuesto?

6. ¿Sería mas ventajoso asignarle el exceso de capacidad de 20 minutos de la operación 3 a la operación 2, en vez de la operación 1?.

Si JTK cambia el diseño de sus juguetes, ese cambio requerirá la adición de una cuarta operación en las líneas de producción. La capacidad diaria de la nueva operación es de 500 minutos y los tiempos por unidad para los 3 productos en esta operación son 3, 3 y 1 minuto, respectivamente.7. Analice la nueva solución óptima.

Si la compañía cambia su política de determinación de precios para satisfacer o igualar a la competencia, las utilidades por unidad bajo la nueva política son de 6, 3 y 4 dólares por los trenes, camiones y automóviles de juguete respectivamente8. ¿Qué efecto produce la nueva política?.

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DIF Nº 5

REDES DE PROYECTO. METODOS CPM – PERT

Esta es una lista de los responsables en un proyecto de ampliación de una fábrica.

a. Jefes de mantenimiento y producción.1. Elaboración del proyecto parcial de ampliación.2. Calculo del costo y preparación de presupuestos.3. Aprobación del proyecto.4. Desempaque de las maquinas nuevas.5. Colocación de las maquinas viejas y nuevas.6. Instalación de las maquinas.7. Pruebas generales.8. Arranque general.9. Revisión y limpieza de maquinas viejas.10. Pintura de maquinas viejas.11. Pintura y limpieza del edificio.b. Ingeniero electricista.12. Elaboración del proyecto eléctrico.13. Calculo de los costos y presupuestos.14. Aprobación del proyecto.15. Instalación de un transformador nuevo.16. Instalación de nuevo alumbrado.17. Instalación de interruptores y arrancadores.c. Ingeniero contratista.18. Elaboración del proyecto de obra muerta.19. Cálculo de los costos y presupuestos.20. Aprobación del proyecto.21. Cimentación de las máquinas.22. Pisos nuevos.23. Colocación de ventanas nuevas.

Por antecedentes, se les preguntará a los responsables de los procesos cuales actividades deben quedar terminadas para ejecutar cada una de las que aparecen en la lista. Debe tenerse especial cuidado que todas y cada una de las actividades tenga por lo menos una antecedente excepto en el caso de ser actividades iniciales, en cuyo caso su antecedente será cero(0). La duración de las actividades esta dada en días.

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Actividad Predecesor a m b t1 0 1 2 12 1 1 1 13 2 0 0 04 3 2 2 25 4, 21 4 6 86 5 2 4 57 6,22 2 5 118 7 0 0 09 3,14,20 5 7 810 9 2 2 211 10 10 12 1412 0 1 2 413 12 1 1 114 13 0 0 015 14 1 2 416 15 4 6 817 16 1 2 318 0 1 2 419 18 1 1 120 19 0 0 021 20 5 6 722 23 3 4 523 21 2 3 4

Con base en esa información:a) Calcule el tiempo esperado y la varianza de cada actividad.b) Construya la red de actividades tipo CPM.c) Identifique la ruta crítica.d) ¿Cuántos días se requiere para ejecutar el proyecto?

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PRACTICA COMPLEMENTARIA

1) Se producen dos clases de fertilizante distinguidos por contenido químico, disponibilidad del mismo y costo de ingredientes como se muestra aquí:

Contenido de fertilizanteTn.

DisponibleCosto $/Tn

Contribución del contenido al costo del fertilizante $/tn.

Componente F1 F2 F1 F2

Nitrato N 0.05 0.05 1100 200 0.05*200 = 10 0.05*200 = 10

Fosfato P 0.05 0.10 1800 800.05*80 = 4

0.10*80 = 8

Potasio K 0.10 0.05 2000 1600.10*160 = 16

0.05*160 = 8

Barro 0.80 0.80 100.80*10 = 8

0.80*10 = 8

Costo mezcla$/tn 15 15 15 16

Precio venta$/tn 71.50 69 Costo total $/tn

Formule un modelo de PL. para obtener la combinación de fertilizantes a producir que maximice la utilidad.

2) Una papelería recibe un pedido de 500, 300 y 100 rollos de papel de cierta calidad en ancho de 30, 45 y 56 pulgadas, respectivamente. En almacén se tienen rollos de papel de la calidad solicitada pero con un ancho de 108 pulgadas. Si la papelería desea satisfacer el pedido del cliente deberá someter a corte longitudinal los rollos en existencia pero se tendrá obligadamente un desperdicio de papel.Formule un modelo de programación lineal que minimice el desperdicio.Antes de iniciar la formulación del modelo de PL de este problema, se pueden revisar las varias alternativas convenientes para realizar el corte, desde un ancho de 108 pulgadas que tienen los rollos existentes en almacén hasta los anchos del pedido. Para ello se presenta la siguiente tabla que facilita el análisis de cuántos rollos en 30, 45 y 56 pulgadas se pueden obtener en cada proceso de corte, cuidando que las diferentes combinaciones sean posibles y con un desperdicio menor a 30 pulgadas.

Tipos de corte conveniente para ajustar anchos solicitados en ejemplo CORTEPAPEL.3) Resuelva e identifique algún caso especial en tabla simplex:

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KIWI COMPUTERKiwi Computer de Australia fabrica dos tipos de computadoras personales: un modelo portátil y uno para escritorio. Kiwi ensambla los gabinetes y las tarjetas de los circuitos impresos en su única planta, que también fabrica los gabinetes y monta los componentes en las tarjetas de circuitos. La producción mencionada está limitada por las siguientes capacidades: Capacidad mensual OPERACIÓN PORTATIL PARA ESCRITORIO Producción de cajas 4000 2000 Montaje de circuitos (tarjetas) 2500 3000 Ensamblado de portátiles 2000 - Ensamblado para escritorio - 1800Por ejemplo, en un mes se pueden producir 4000 gabinetes para portátiles y ninguno para escritorio, o se pueden producir 2000 para escritorio y ninguno para portátil, o si se dedica el mismo tiempo a cada uno, se pueden producir 2000 gabinetes para portátiles y 1000 para escritorio. Para que sea factible la producción de computadoras portátiles y para escritorio de un mes, tiene que satisfacer, en forma simultánea, todas las restricciones. El grupo de planes de producción factibles es el área sombreada de la gráfica. Los precios para las tiendas de computadoras son $1500 para la de escritorio y $1400 para la portátil. Con el fin de ser competitiva, Kiwi tiene que fijar el precio de sus computadoras varios cientos de dólares por debajo de los de un fabricante de computadoras muy grande y con prestigio.La participación de este fabricante ha ocasionado un auge en la industria, mientras el mercado ha dejado de estar integrado principalmente por “aficionados” a la computación y se desplaza hacia los profesionales de los negocios. En la actualidad, Kiwi vende todas lascomputadoras que produce de cualquiera de los modelos. Durante el primer trimestre del año, Kiwi produjo 2000 portátiles y 600 para escrotorio cada mes. Tanto el montaje de los circuitos como el ensamblado de las portátiles operaron a toda su capacidad, pero hubo retraso en la producción de los gabinetes y en el ensamblado de las computadoras de escritorio. Los contadores de costos determinaron los costos estándar y los gastos indirectos fijos que se muestran en las tablas 2 y 3. Los datos de los gastos indirectos fijos de la tabla 2 se derivaron de los totales de gastos indirectos fijos de la tabla 3.

TABLA 2 __________________________________________________________ PARA ESCRITORIO PORTATIL ____________________________________________________________ Materiales directos $ 800 $ 690 Mano de obra directa Producción de cajas externas $ 20 $ 15 Montaje de tarjetas $ 100 $ 90 Ensamblado final $ 5 $ 10 $ 125 $ 115 Gastos indirectos fijos Producción de cajas externas $ 95 $ 95

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Llenado de tarjetas (montaje) $ 205 $ 205 Montaje final $ 415 $ 115 $ 715 $ 415 TOTAL $ 1640 $ 1220

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TABLA 3 _________________________________________________________ GASTOS GASTOS INDIRECTOS INDIRECTOS FIJOS TOTALES FIJOS UNITARIOS (MILES) _______________________________________________________________ Producción de cajas externas $ 247 $ 95 Montaje de tarjetas $ 533 $ 205 Ensamblado comp. escritorio $ 249 $ 415 Ensamblado portátiles. $ 230 $ 115 Total $ 1259 ________________________________________________________ Sobre la base de una producción mensual de 600 computadoras de escritorio y 2000 portátiles.

1. En la tabla 2 el costo estándar de gastos indirectos asignados a las computadoras de escritorio para el ensamblado final es de $ 415. Muestre con claridad cómo se obtuvo esta cifra.

2. (a) ¿ Las unidades para escritorio hacen una aportación a las utilidades? En otras palabras, sabiendo que los costos de gastos indirectos son fijos a corto plazo, ¿es más alta la utilidad de la compañía si no se produjeran unidades para escritorio?(b) Un cálculo correcto de las utilidades por unidad mostrará que la portátil es más rentable que la de escritorio. ¿Significa esto que se deben producir más portátiles (o sólo portátiles)? ¿Por qué?

3. Al contestar esta pregunta suponga que no es posible que se monten los circuitos con un subcontratista. Formule un programa lineal para determinar la mezcla óptima de productos.

4. Señale la mezcla óptima de computadoras de escritorio y portátiles. Para este problema se aceptan respuestas no enteras.

5. Determine la mejor respuesta factible entera que se pueda lograr redondeando la respuesta de la pregunta 4 a los números enteros más cercanos.

6. Retroceda y vuelva a calcular los “costos estándar” de la compañía usando las respuestas enteras obtenidas en la pregunta 5 y compárelos con la tabla 2.

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PROYECTO DE INSTALACION DE UN SISTEMA DE TELEFONIA SATELITAL EN ZONAS RURALES

Tiempo dado en semanas

ACT DESRIPCION

ACTIVIDADES

PRECEDENTES

TIEMPO OPTIMIST

TIEMPO MAS

PROB

TIEMPO PESIM

A Selección de personal calificado para trabajos. 1 2 3B Recepción de información del cliente (OSIPTEL) 1 2 3C Financiamiento para el proyecto. 2 4 6D Capacitación técnica del personal en estudio de campo. A 1 2 3E Cálculo de costos para el trabajo de estudio de campo. C 1 2 3F Logística – Búsqueda de proveedores. C 2 3 5G Desarrollo de estrategias estudio de campo. Ingeniería. B, D, E 1 2 3H Entrega de dinero para gastos de todo el proyecto. C 1 2 3

I Medidas para garantizar la seguridad del personal y la calidad del trabajo. A 1 2 3

J Compra de materiales, equipos, herramientas, alquiler de vehículos para el proyecto. F 1 2 4

K Ejecución de los trabajos de estudio de campo. G, H, I, J 2 3 5L Elaboración y entrega del informe de estudio de campo al cliente. K 1 2 3M Capacitación técnica del personal para la instalación de equipos. L 1 2 3N Cálculo de costos para el trabajo de instalación de equipos. L 1 2 3O Diseño de las estaciones: infraestructura, energía, etc. Ingeniería M 2 3 4P Entrega de equipos satelitales por parte del cliente. F 8 10 11

Q Elaboración y entrega, al cliente, del informe previo de la instalación de equipos. N, O 1 2 3

R Desarrollo de estrategias instalación de equipos. Ingeniería. M 1 2 3

S Medidas para garantizar la seguridad del personal y la calidad del trabajo. M 1 2 3

T Aprobación del trabajo de instalación por parte del cliente – toma de decisiones. P, Q, R 1 2 3

U Ejecución de los trabajos de instalación de equipos. S, T 6 8 9

V Elaboración y entrega del informe de instalación de equipos al cliente. U 1 2 3

W Levantamiento de observaciones técnicas en campo. V 1 2 4X Liquidación de obra. W 2 3 4Y Informe final del cierre de obra. X 1 2 3

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Syllabus IO GRAL 1-12