Mala škola elektrotehnike cacafaca@galeb.etf.bg.ac.yu

1

LAPLASOVA TRANSFORMACIJA

∫+∞

−==

0

)()}({)( dtetftfLsF st

∫+

−

− ==

ωσ

ωσπ

j

j

st dsesFj

sFLtf )(2

1)}({)( 1

FURIJEOVA TRANSFORMACIJA

∑∞

=

++=1

0 )sincos(21

)(

n

nn nxbnxaaxf

∫=

π

π

2

0

)cos()(1

dxnxxfan

∫=

π

π

2

0

)sin()(1

dxnxxfbn

MILEROVA TEOREMA Za napone:

�

2

1

V

Vk = ,

k

ZZ

11

1

−= ,

12 −=

k

ZZ .

Za struje:

2

1II

k = ,

+=k

ZZ1

11 , )1(2 += kZZ .

TEOREMA DODATNOG ELEMENTA

ili

)()(

1

)()(

1)()(

)()(

)(

sZsZ

sZsZ

sAsAsVsV

D

N

sZg

i

+

+⋅== ∞→ .

MOSFET

−++= FBSFTT VVV φφγ 220 ,

ox

aSi

C

Nqεγ

2= , ( ) ( )DSTGSD vVv

Bi λ+−= 1

22 ,

( )( )222 DSDSTGSD vvVvB

i −−= .

JFET

( )DSP

GSDSSD v

Vv

Ii λ+

−= 11

2

,

−

−

−=

2

12P

DS

P

DS

P

GSDSSD V

vVv

Vv

Ii .

METODA POTENCIJALA ÈVOROVA Za svaki èvor (sem za nulti) treba napisati prvi Kirhofov Zakon.

METODA KONTURNIH STRUJA

BISEKCIONA TEOREMA Važi za kola sa osnom simetrijom. Simetrièni signali:

Protivfazni signali:

RAÈUNANJE POJAÈANJA PO âA KRUGU

a

aa

β−=

1

*

*a - pojaèanje kada je 0=aβ

Raèunaje aβ : 1. Ukinu se svi nezavisni generatori. 2. Uoèi se petlja i smer toka signala 3. Na proizvoljnom mestu raskinuti petlju 4. U smeru toka signala na jednom kraju prekida

vezati tv ili ti .

5. Na drugom kraju prekida vezati impedansu koju vidi tv .

t

r

vv

a =β

BLACKMAN-OVA FORMULA

ov

ks

A

AZZ

ββ

−−

=1

1* , *Z je otpornost pri 0=Aβ .

DIFERENCIJALNE JEDNAÈINE Rešavanje nekih dif. jed. prvog reda ü Jednaèina koja razdvaja promenljive

0)()( =+ dyygdxxf Ova jednaèina se rešava direktnom integracijom.

ü Homogena jednaèina

=x

yf

dx

dy

smenom x

yz = , gde je z nova funkcija, svodi

se na jednaèinu koja razdvaja promenljive. ü Linearna jednaèina prvog reda

)()()()(' xQxyxPxy =+ ima opšte rešenje dato sa

+= ∫ ∫∫−

dxexQCexydxxPdxxP )()(

)()( .

ü Bernoullijeva jednaèina

)()()()()(' xyxQxyxPxy a=+ ,

1,0, ≠≠∈ aaRa

smenom ayz −= 1 , gde je z nova f'ja, svodi se na linearnu jed.

ü Lagrangeova jednaèina (1) )'()'( yyxfy ϕ+=

rešava se smenom py =' i diferenciranjem, pri èemu se dobija linearna jednaèina:

(2) dx

dpppxfpfp ))(')('()( ϕ++= .

Iz (2) se dobija )( pxx = ; zamenom u jedan

dobijamo )( pyy = , što daje rešenje u parametarskom obliku.

Dif. jed. drugog reda ü Riccatijeva jednaèina

)()()(' 2 xRyxQyxPy ++= . U opštem sluèaju ova jednaèina nema rešenja pomoæu kvadratura. Ako je poznato jedno partikularno rešenje 1y ove jednaèine, tada se uvoðenjem nove zavisne promenljive z pomoæu

smene z

yy1

1 += , dobija linearna dif. jed. Ako

su poznata dva partikularna rešenja 21, yy Riccatijeve jed., opšte rešenje y se dobija direktno iz

∫ −=

=− dxyyxP

Ceyy

yy ))((

2

1 21.

Linearne diferencijalne jednaèine višeg reda Diferencijalna jednaèina oblika

(1) )()(')(...)( 1)1(

1)( xFyxfyxfyxfy nn

nn =++++ −−

je linearna diferancijalna jednaèina reda n. Pretpostaviæemo da su funkcije nff ,...,1

neprekidne u oblasti u kojoj tražimo rešenje ove dif. jed. Funk. F je slobodni èlan dif. jed. (1). Ako je

0)( ≡xF , tada je ova jednaèina homogena, i protivnom je nehomogena. Svakoj nehomogenoj jednaèini (1) može se pridružiti homogena jed.

(2) 0)(')(...)( 1)1(

1)( =++++ −

− yxfyxfyxfy nnnn .

ü Homogena jednaèina (2) uvek ima rešenje 0≡y .

ü Neka su nyy ,...,1 rešenja hom. jed. )ž(2).

Funkcije nyy ,...,1 su linearno nezavisne ako i

samo ako je deterninanta

)()()(

)(...)()(

)(...)()(

)(

)1()1(2

)1(1

''2

'1

21

xyxyxy

xyxyxy

xyxyxy

xW

nn

nn

n

n

−−−

=

L

MOMM

Mala škola elektrotehnike cacafaca@galeb.etf.bg.ac.yu

2

razlièita od nule u bar jednoj taèki x. Determinanta W se naziva Wronskijanom jednaèine (2). Ako je 0)( =xW za neko x iz

oblasti u kojoj su funkcije if neprekidne, tada

je 0)( =xW u svakoj taèki te oblasti.

ü Ako su nyy ,...,1 linearno nezavisna rešenja

hom. jed., tada je njeno opšte rešenje dato sa (3) nnh yCyCyCy +++= L2211 ,

gde su nCC ,...,1 proizvoljne konstante.

ü Liouvilleova formula za dif. jed. drugog reda. Ako je 1y partikularno rešenje homogene dif. jed. drugog reda

0)(')('' 21 =++ yxfyxfy , ü tada je

∫ ∫−= dxe

xyxyxy

dxxf )(

21

121

)(

1)()(

takodje partikularno rešenje date jednaèine, linearno nezavisno od 1y . Ako je jedno

partikularno rešenje 1y date jednaèine, tada se

drugo rešenje 2y , linearno nezavisno od 1y , može naæi primenom navedene formule, i time se dobija opšte rešenje 2211 yCyC + . Prema tome, u ovom sluèaju je dovoljno poznavati samo jedno partikularno rešenje da bi se dobilo opšte rešenje.

ü Metod varijacije konstanti za rešavanje nehomogene jednaèine. Ako je poznato opšte rešenje hom. jed. (2), u obliku (3), tada je opšte rešenje odgovarajuæe nehomogene jed. (1) dato sa

nn yxCyxCyxCy )()()( 2211 +++= L ,

gde su nCC ,...,1 funkcije koje se odreðuju iz

sistema jednaèina

)(

0

0

0

0

)1(')1(2

'2

)1(1

'1

)2(')2(2

'2

)2(1

'1

'''2

'2

'1

'1

'2

'21

'1

xFyCyCyC

yCyCyC

yCyCyC

yCyCyC

nnn

nn

nnn

nn

nn

nn

=+++

=+++

==+++

=+++

−−−

−−−

L

L

LLLLLLLLLLLLLL

L

L

Iz ovog sistema se dobijaju f-je ''1,..., nCC , pa se

zatim funkcije nCC ,...,1 nalaze integracijom.

ü Pored metoda varijacije konstanti, opšte rešenje nehomogene jednaèine može se naæi i ako se poznaje jedno partikularno rešenj py te

jednaèine i opšte rešenje (3) hom. jed. Tada je opšte rešenje nehom. jed. dato sa

pnnph yyCyCyCyyy ++++=+= L2211 .

ü Linearna diferencijalna jednaèina sa konstantnim koeficijentima. Jednaèina oblika (1) u kojoj su funkcije nff ,...,1 konstante, tj.

(4) )('1)1(

1)( xFyayayay nn

nn =++++ −− L .

naziva se linearna diferencijalna jednaèina sa konstantnim koeficijentima. Odgovarajuæa homogena jednaèina

(5) 0'1)1(

1)( =++++ −

− yayayay nnnn L .

može se rešiti ako se njeno rešenje potraži u

obliku xey λ= . konstanta ë se odreðuje zmenom u (5), pri èemu se dobija karakteristièna jednaèina diferencijalne jed. (5):

(6) 011 =+++ −

nnn aa Lλλ .

Ova algebarska jednaèina ima n korena i svakom korenu odgovara jedno partikularno rešenje dif. jed. (5), po sledeæem pravilu: � Ako je ë realan prost koren karak. jed. (6),

tada je xey λ= jedno part. reš. hom. dif. jed

(5). � Ako je ë realan koren reda k kar. jed., tada su

xkxxx exexxee λλλλ 12 ,...,,, − partikularna rešenja hom. jed. � Ako je βαλ i+= prost kompleksan koren

jed. (6), tada je i βαλ i−= takoðe koren ove jednaèine, i ovom paru korena odgovaraju dva partikularna reš. dif. jed. (5):

xexe xx ββ αα sin,cos .

� Ako su βαλ i+= i βαλ i−= kompleksni koreni reda k jed. (6), tada su

xexxxexe

xexxxexexkxx

xkxx

βββ

βββααα

ααα

sin,...,sin,sin

,cos,...,cos,cos1

1

−

−

partikularna rešenja homogene jed. (5). Opšte rešenje homogene jed. (5) dobija se kao linearna konbinacija partikularnih reðšenja naðenih po izloženom postupku.

ü Rešavanje nehomogene jednaèine sa konstantnim koeficijentima. Ako je poznato opšte rešenje homogene jed. (5), opšte rešenje nehomogene jed. (4) može se naæi metodom varijacije konstanti. Alternativno, ako je poznato jedno partikularno rešenje py nehomogene jed., njeno opšte

rešenje je ph yyy += , gde je hy opšte

rešenje homogene jednaèine. Za neke specifiène oblike slobodnog èlana F, partikularno rešenje nehomogene jed. može se odrediti metodom neodreðenih koeficijenata, po sledeæem pravilu: � Ako je F(x) polinom stepena m i ako je 0 nije koren karakteristiène jed., tada se partikularno reš. traži u obliku polinoma istog stepena, èiji se koeficijenti nalaze metodom neodreðenih koeficijenata iz jednaèine (4). Ako je 0 koren reda k karak. jed., tada se partikularno rešenje

traži u obliku )(xQxy kp = , gde je Q polinom

stepena m.

� Ak oje )()( xPexF xα= , gde je P polinom stepena m i ako á nije koren karakteristiène

jednaèine, tada je )(xQey xp

α= , gde je Q

polinom stepena m. Ako je á koren reda k

karakteristiène jed., tada je )(xQexy xkp

α= .

� U najopštijem sluèaju, ako je

)sin)(cos)(()( 21 xxPxxPexF x ββα += ,

gde su 21, PP polinomi stepena 21,mm

respektivno, i ako βα i+ nije koren kar. jed.,

tada se py traži u obliku

)sin)(cos)(( 21 xxQxxQey xp ββα += ,

gde su 21,QQ polinomi stepena

),max( 21 mmm = . Ako je βα i+ koren reda k kar. jed., tada se uzima da je

)sin)(cos)(( 21 xxQxQexy xkp ββα += .

� Ako se f-ja F može predstaviti kao zbir

kFFF +++ L21 , gde svaka od funkcije iF

ima jedan od navedenih oblika, tada se metod neodreðenih koeficijenata primenjuje posebno na svaku funkciju iF i uzima zbir tako naðenih

partikularnih rešenja.