SVEUČILIŠTE U RIJECI

TEHNIČKI FAKULTET

Sveučilišni diplomski studij elektrotehnike

Diplomski rad

RAČUNALNI MODEL ZA ANALIZU BEŽIČNOG PRIJENOSA

SNAGE

Rijeka, ožujak 2015. Boris Štih

0069046392

SVEUČILIŠTE U RIJECI

TEHNIČKI FAKULTET

Sveučilišni diplomski studij elektrotehnike

Diplomski rad

RAČUNALNI MODEL ZA ANALIZU BEŽIČNOG PRIJENOSA

SNAGE

Mentor: Izv. prof. dr. sc. Miroslav Joler, dipl. ing.

Rijeka, ožujak 2015. Boris Štih

0069046392

SVEUČILIŠTE U RIJECI

TEHNIČKI FAKULTET

Sveučilišni diplomski studij elektrotehnike

I Z J A V A

U skladu s člankom 9. Pravilnika o diplomskom radu, diplomskom ispitu i završetku

diplomskih studija na diplomskim sveučilišnim studijima Tehničkog fakulteta u Rijeci,

izjavljujem da sam samostalno izradio diplomski rad prema zadatku br. 602-04/14-07/47 od

17.03.2014.

Rijeka, ožujak 2015. _______________________

Boris Štih

Zahvaljujem se mentoru izv. prof. dr. sc. Miroslavu Joleru na pruženoj prilici za izradu ovog

diplomskog rada te na konstruktivnim savjetima i usmjeravanju pri izradi istoga. Zahvaljujem

se kolegama, prijateljima i posebno svojim roditeljima na pomoći i potpori tijekom studija.

SADRŽAJ

1. Uvod ................................................................................................................................... 1

1.1 Nikola Tesla – pionir bežičnog prijenosa električne snage ......................................... 1

1.2 Bežični prijenos električne snage danas ...................................................................... 2

2. Osnovni pojmovi ................................................................................................................ 3

2.1 Elektromagnetsko polje ............................................................................................... 3

2.1.1 Električni tok ........................................................................................................ 3

2.1.2 Magnetski tok ....................................................................................................... 3

2.2 Maxwellove jednadžbe ................................................................................................ 4

2.2.1 Gaussov zakon za električno polje ....................................................................... 5

2.2.2 Gaussov zakon za magnetsko polje ...................................................................... 5

2.2.3 Faradeyev zakon ................................................................................................... 5

2.2.4 Poopćeni Amperov zakon .................................................................................... 6

2.3 Energija i snaga ........................................................................................................... 8

2.4 Raspršni parametri ....................................................................................................... 8

2.5 Relevantni parametri antena ...................................................................................... 11

2.5.1 Električna veličina antene i zone zračenja ......................................................... 11

2.5.2 Otpor zračenja i otpor gubitaka antene............................................................... 14

2.6 Međuindukcija i samoindukcija ................................................................................. 15

2.7 Rezonancija i sprezanje ............................................................................................. 18

2.8 Koeficijent magnetske sprege .................................................................................... 19

2.9 Samorezonancija ........................................................................................................ 20

2.10 Q-faktor (faktor kvalitete) ...................................................................................... 21

2.11 Teorija spregnutih modova (Coupled Mode Theory) ............................................ 23

2.12 Razdvajanje frekvencije ......................................................................................... 25

2.13 Kritično sprezanje .................................................................................................. 25

2.14 Prilagođavanje impedancije ................................................................................... 25

2.15 Računanje induktiviteta spiralne i helikoidalne zavojnice ..................................... 26

3. Različite metode bežičnog prijenosa energije .................................................................. 29

3.1 Bežični prijenos energije korištenjem mikrovalova .................................................. 29

3.2 Bežični prijenos energije korištenjem lasera ............................................................. 29

3.3 Bežični prijenos energije korištenjem radiovalova u dalekom polju ........................ 29

3.4 Bežični prijenos energije magnetskom indukcijom ................................................... 29

3.5 Bežični prijenos energije korištenjem magnetske rezonancije u bliskom reaktivnom

polju ……….……………………………………………………………………………...31

4. Analize pomoću računalnih programa ............................................................................. 35

4.1 Rezonantno spregnute spiralne zavojnice .................................................................. 37

4.1.1 Analiza prijenosne funkcije sustava ................................................................... 37

4.1.2 Veličina sustava .................................................................................................. 38

4.1.3 Vrsta vodiča ........................................................................................................ 41

4.1.4 Pojave pri malim udaljenostima rezonatora ....................................................... 41

4.1.5 Promjena kapaciteta ........................................................................................... 42

4.1.6 Promjena vanjskog promjera rezonatora ............................................................ 44

4.1.7 Promjena udaljenosti petlji i rezonatora ............................................................. 47

4.1.8 Promjena promjera petlje izvora i trošila ........................................................... 48

4.1.9 Promjena broja zavoja rezonatora i promjena debljine korištene žice ............... 49

4.1.10 Različiti odašiljač i prijemnik ............................................................................ 51

4.1.11 Različite rezonantne frekvencije rezonatora ...................................................... 53

4.2 Rezonantno spregnute helikoidalne zavojnice .......................................................... 53

4.2.1 Promjena broja zavoja ........................................................................................ 55

4.2.2 Promjena visine zavojnice .................................................................................. 55

4.2.3 Promjena promjera petlji izvora i trošila ............................................................ 56

4.3 Usporedba različitih sustava bežičnog prijenosa snage ............................................. 57

5. Zaključak .......................................................................................................................... 62

Literatura .................................................................................................................................. 64

Popis slika i tablica ................................................................................................................... 69

Popis slika ..................................................................................................................... 69

Popis tablica .................................................................................................................. 71

Prilozi ....................................................................................................................................... 72

1

1. UVOD

Bežični prijenos električne energije je postupak prenošenja energije između dvaju električnih

krugova koji nisu povezani vodičem nego se između njih nalazi zrak ili neki drugi dielektrik.

Moguće ga je postići bez pretvorbe oblika energije, no u tom slučaju dolazi do stvaranja

električne iskre kojom struja teče kroz zrak. Za realizaciju ovakvog prijenosa potrebno je

korištenje vrlo velikih snaga, zbog čega je ovakva metoda opasna i nepraktična. Stoga se za

prijenos električne snage električna energija pretvara u neki drugi oblik, poput

elektromagnetskog zračenja. Do ideje za realizaciju ovakvog sustava prvi je došao Nikola Tesla

[1] još početkom prošlog stoljeća.

1.1 Nikola Tesla – pionir bežičnog prijenosa električne snage

Jedno od prvih otkrića Nikole Tesle na području elektromagnetizma je dokaz kako Zemljina

kora električki oscilira. Do toga je došao korištenjem vrlo snažnog transformatora i preciznih

mjernih uređaja. Korištenjem tih uređaja zapazio je i kako katkad udar groma na većim

udaljenostima uzrokuje jači signal na površini Zemlje nego udar jednake jačine na manjim

udaljenostima, iz čega je zaključio kako je elektromagnetski val prouzročen udarom groma širi

Zemljinom korom kao stojni val. Ovo otkriće navelo je Teslu da svoja istraživanja u mjestu

Colorado Springs u Sjedinjenim Američkim Državama usmjeri prema projektiranju sustava za

bežični prijenos električne energije, koji je kasnije i patentirao. Ideja mu je bila izgraditi visoki

toranj sa snažnim transformatorom temeljenim na njegovom prijašnjem izumu, Teslinoj

zavojnici [2] s visokom samoindukcijom i malim otporom, koji bi elektrizirao i povećao

vodljivost ionosfere [3]. Za realizaciju bila bi potrebna vrlo velika snaga, odnosno visok napon

i struja, te visoka frekvencija. Osim toga, toranj je trebao biti uzemljen, čime bi se Zemljina

površina dovela u stanje električnog osciliranja [4] što bi omogućilo prijemnom tornju koji ima

jednaku rezonantnu frekvenciju da uđe u rezonanciju s odašiljačkim tornjem. Sustav se u

rezonanciji ponaša kao veliko njihalo, izmjenjuje energiju, pa je stoga zračenje zanemarivo, a

gubici minimalni. Iako je ovakav toranj izgrađen (toranj Wardenclyffe), projekt nikada nije

dovršen, primarno zbog pomanjkanja novaca, ali i zbog straha javnosti od mogućih negativnih

posljedica. Toranj je srušen 1917. godine.

2

1.2 Bežični prijenos električne snage danas

Tesla je radio na prijenosu električne energije na velike udaljenosti, dok danas, kada je veći dio

svijeta opskrbljen žičanom električnom mrežom, mnogo je veća potreba za bežičnim

prijenosom energije na manje udaljenosti, od utičnice do potrošačkog uređaja. Posljednjih

nekoliko godina ovo postaje sve popularnija tema zbog povećanja broja mobilnih elektroničkih

uređaja koje koristimo u svakodnevnici i čije je baterije potrebno puniti. Takvi uređaji su npr.

mobilni telefoni, prijenosna računala, medicinski implantati, kućanski elektronički uređaji,

električna prijevozna sredstva, pa i cijeli industrijski pogoni.

U ovom radu opisani su osnovni principi bežičnog prijenose električne snage, kao i neka od

dosadašnjih postignuća na ovom području. Provedene su računalne analize različitih sustava

bežičnog prijenosa energije i uspoređen je utjecaj ključnih parametara na učinkovitost

prijenosa, kako bi se utvrdila praktičnost i primjenjivost bežičnog prijenosa električne energije

u poboljšanju svakodnevnog života.

3

2. OSNOVNI POJMOVI

Tema ovog rada temelji se na znanjima iz različitih područja elektrotehnike, pa su stoga u ovom

poglavlju, radi lakšeg razumijevanja principa koji stoje iza bežičnog prijenosa električne snage,

pojašnjeni neki od bitnih pojmova.

2.1 Elektromagnetsko polje

Električno polje je pojava koja nastaje u blizini električki nabijenih čestica ili objekata, a na

svoj okoliš ima magnetski, toplinski i kemijski učinak. Kretanje ili ubrzavanje električnog

naboja stvara magnetsko polje koje ima električki i mehanički učinak. Međusobna interakcija

ova dva polja stvara elektromagnetsko polje, i može se reći da je ono svojstvo prostora u kojem

se kreće električni naboj [5]. Elektromagnetsko polje se može širiti poput vala, teoretski do

beskonačnosti, neovisno od izvornih struja ili naboja.

2.1.1 Električni tok

Električni tok predstavlja brzinu prolaza električnog polja kroz neku površinu, a računa se kao

površinski integral jakosti električnog polja po nekoj površini [6]:

∅𝐸 = ∬�⃗� 𝑑𝐴

𝑆

[𝑉𝑚] (2.1)

gdje je:

�⃗� − 𝑗𝑎𝑘𝑜𝑠𝑡 𝑒𝑙𝑒𝑘𝑡𝑟𝑖č𝑛𝑜𝑔 𝑝𝑜𝑙𝑗𝑎 [𝑉

𝑚]

𝐴 − 𝑢𝑠𝑚𝑗𝑒𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑝𝑜𝑣𝑟š𝑖𝑛𝑎 𝑘𝑟𝑜𝑧 𝑘𝑜𝑗𝑢 𝑝𝑟𝑜𝑙𝑎𝑧𝑖 𝑒𝑙𝑒𝑘𝑡𝑟𝑖č𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑙𝑗𝑒 [𝑚2]

Jedinica za električni tok je volt metar.

2.1.2 Magnetski tok

Magnetski tok odnosi se na brzinu prolaza magnetskog polja kroz neku površinu i može se reći

da je proporcionalan broju magnetskih silnica kroz tu površinu. Računa se kao površinski

integral gustoće magnetskog polja po površini [7]:

4

∅𝑀 = ∬�⃗� 𝑑𝐴

𝑆

[𝑊𝑏 = 𝑉𝑠] (2.2)

gdje je:

�⃗� − 𝑔𝑢𝑠𝑡𝑜ć𝑎 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑒𝑡𝑠𝑘𝑜𝑔 𝑝𝑜𝑙𝑗𝑎 [𝑇 =𝑊𝑏

𝑚2]

Jedinica za električni tok je Weber. Na slici 2.1 prikazane su silnice magnetskog toka kroz

strujnu petlju.

Slika 2.1 Silnice magnetskog polja kroz strujnu petlju

2.2 Maxwellove jednadžbe

Maxwellove jednadžbe čine četiri fundamentalne jednadžbe koje opisuju elektromagnetizam,

odnosno opisuju kako magnetska i električna polja nastaju, kako se šire, u kakvom su

međusobnom odnosu i kako na njih utječe okolina [8]. James Clerk Maxwell je upotpunio i

ujedinio u 19. stoljeću već poznate zakone fizike, Faradeyev, Amperov i Gaussov zakon. Na

Maxwellovim jednadžbama temelji se većina numeričkih proračuna i simulacija u

elektromagnetizmu, pa je stoga u nastavku ukratko opisana svaka jednadžba zasebno.

5

2.2.1 Gaussov zakon za električno polje

Gaussov zakon za električno polje odnosi se na električni tok kroz Gaussovu zatvorenu plohu,

a govori kako je električni tok kroz tu plohu proporcionalan ukupnom broju naboja unutar

plohe. Dan je izrazom [9]:

∯�⃗� 𝑑𝐴

𝑆

= ∑ 𝑞

𝜀 (2.3)

gdje je:

�⃗� − 𝑗𝑎𝑘𝑜𝑠𝑡 𝑒𝑙𝑒𝑘𝑡𝑟𝑖č𝑛𝑜𝑔 𝑝𝑜𝑙𝑗𝑎 [𝑉

𝑚]

∑𝑞 − 𝑢𝑘𝑢𝑝𝑎𝑛, 𝑛𝑒𝑡𝑜 𝑛𝑎𝑏𝑜𝑗 𝑢𝑛𝑢𝑡𝑎𝑟 𝑧𝑎𝑡𝑣𝑜𝑟𝑒𝑛𝑒 𝑝𝑙𝑜ℎ𝑒 [𝐶]

𝜀 = −𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑛𝑜𝑠𝑡 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑗𝑎

𝜀0 = 8.85419 × 10−12 − 𝑑𝑖𝑒𝑙𝑒𝑘𝑡𝑟𝑖č𝑛𝑎 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎 𝑣𝑎𝑘𝑢𝑢𝑚𝑎 [𝐹

𝑚=

𝐴𝑠

𝑉𝑚]

2.2.2 Gaussov zakon za magnetsko polje

Ovaj zakon govori kako magnetski tok kroz zatvorenu površinu je uvijek jednak nuli zbog

činjenice da ne postoje magnetski naboji, odnosno sav tok koji izađe iz zatvorene površine i

zatvara se unutar iste površine, pa stoga vrijedi izraz [10]:

∯�⃗� 𝑑𝐴

𝑆

= 0 (2.4)

gdje je:

�⃗� − 𝑔𝑢𝑠𝑡𝑜ć𝑎 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑒𝑡𝑠𝑘𝑜𝑔 𝑝𝑜𝑙𝑗𝑎 [𝑇 =𝑊𝑏

𝑚2]

2.2.3 Faradeyev zakon

Faradeyev zakon opisuje kruženje električnog polja po zatvorenoj konturi [10]:

6

∮ �⃗� 𝑑𝑙 = −𝑑

𝑑𝑡∬�⃗� 𝑑𝐴

𝑆𝐶

(2.5)

gdje je

𝑙 − 𝑧𝑎𝑡𝑣𝑜𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑘𝑟𝑖𝑣𝑢𝑙𝑗𝑎 𝑝𝑜 𝑘𝑜𝑗𝑜𝑗 𝑘𝑟𝑢ž𝑖 𝑒𝑙𝑒𝑘𝑡𝑟𝑖č𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑙𝑗𝑒 [𝑚]

𝐴 − 𝑢𝑠𝑚𝑗𝑒𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑝𝑜𝑣𝑟š𝑖𝑛𝑎 𝑘𝑟𝑜𝑧 𝑘𝑜𝑗𝑢 𝑝𝑟𝑜𝑙𝑎𝑧𝑖 𝑒𝑙𝑒𝑘𝑡𝑟𝑖č𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑙𝑗𝑒 [𝑚2]

Budući da je magnetski tok jednak (2.2), vrijedi:

∮ �⃗� 𝑑𝑙 = −𝑑∅𝑀

𝑑𝑡 (2.6)

što znači da promjena magnetskog toka uzrokuje kruženje električnog polja po zatvorenoj

krivulji, odnosno, u slučaju zavojnice, indukciju napona u zavojnici. Drugim riječima,

Faradeyev zakon govori da ukoliko postoji električno polje mora postojati i magnetsko polje

koje se mijenja u vremenu, a i obrnuto [8].

2.2.4 Poopćeni Amperov zakon

Originalnom Amperovom zakonu, koji je povezivao magnetsko polje koje prolazi kroz

zatvorenu petlju sa strujom koja protječe tom petljom, Maxwell je pridodao pomačnu struju te

time upotpunio ovaj zakon i za slučaj električnog polja u vakuumu [10].

Maxwell je došao do zaključka kako bi Amperov zakon trebao vrijediti i onda kada električna

energija prolazi kroz kondenzator, iako njime ne teče kondukcijska struja nego dolazi do

promjene gustoće električnog polja [8]. Derivacijom Gaussovog zakona za električno polje

(2.3) po vremenu može se izvesti izraz za promjenu količine naboja u nekom polju :

𝜀0

𝑑

𝑑𝑡∬�⃗� 𝑑𝐴

𝑆

=𝑑

𝑑𝑡∑𝑞 (2.7)

gdje je:

𝑑

𝑑𝑡∑𝑞 = 𝐼 − 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑗𝑒𝑛𝑎 𝑢𝑘𝑢𝑝𝑛𝑒 𝑘𝑜𝑙𝑖č𝑖𝑛𝑒 𝑛𝑎𝑏𝑜𝑗𝑎, 𝑜𝑑𝑛𝑜𝑠𝑛𝑜 𝑡𝑜𝑘 𝑒𝑙𝑒𝑘𝑡𝑟𝑖č𝑛𝑒

7

𝑠𝑡𝑟𝑢𝑗𝑒 [𝐴]

Dakle, električna struja koja ulazi u kondenzator, proporcionalna je promjeni električnog toka

unutar kondenzatora (ili bilo kojeg prostora gdje nema kondukcijske struje), odnosno pomačnoj

struji. Budući da vrijedi �⃗⃗� = 𝜀�⃗� pomačna struja može se zapisati kao u (2.8).

𝜀0

𝑑

𝑑𝑡∬�⃗� 𝑑𝐴

𝑆

=𝜕

𝜕𝑡∬ �⃗⃗� 𝑑𝐴

𝑆

(2.8)

gdje je:

�⃗⃗� − 𝑔𝑢𝑠𝑡𝑜ć𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑘𝑡𝑟𝑖č𝑛𝑜𝑔 𝑝𝑜𝑙𝑗𝑎 [𝐶

𝑚2]

Sada se može zapisati izraz za Amperov zakon s dodanom pomačnom strujom, koja je istaknuta

plavom bojom [10]:

∮ �⃗⃗� 𝑑𝑙 = ∬𝐽 𝑑𝐴

𝑆

+𝜕

𝜕𝑡𝐶

∬�⃗⃗� 𝑑𝐴

𝑆

(2.9)

gdje je:

�⃗⃗� =𝐵

𝜇0− 𝑗𝑎𝑘𝑜𝑠𝑡 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑒𝑡𝑠𝑘𝑜𝑔 𝑝𝑜𝑙𝑗𝑎 [

𝐴

𝑚]

𝐽 − 𝑔𝑢𝑡𝑜ć𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑘𝑡𝑟𝑖č𝑛𝑒 𝑠𝑡𝑟𝑢𝑗𝑒 [𝐴

𝑚2]

𝜕

𝜕𝑡∬ �⃗⃗� 𝑑𝐴

𝑆− 𝑔𝑢𝑠𝑡𝑜ć𝑎 𝑝𝑜𝑚𝑎č𝑛𝑒 𝑠𝑡𝑟𝑢𝑗𝑒 [

𝐴

𝑚2]

Integral gustoće električne struje kroz neku površinu (iz (2.9)) zapravo predstavlja

kondukcijsku struju 𝐼𝑐, odnosno [8]:

𝐼𝑐 = ∬𝐽 𝑑𝐴

𝑆

[𝐴] (2.10)

8

Površinski integral gustoće električnog polja (2.8) proporcionalan je električnom toku prema

(2.1).

Iz navedenog se može zaključiti kako je cirkulacija magnetnog polja jednaka zbroju

kondukcijske i pomačne struje:

∮ �⃗⃗� 𝑑𝑙 = 𝐼𝑐 + 𝜀0

𝜕∅𝐸

𝜕𝑡𝐶

(2.11)

Pojednostavljeno, ovaj zakon govori kako ukoliko postoji zatvorena petlja po kojoj kruži

magnetsko polje, onda mora postojati i električna struja koja prolazi kroz tu petlju.

2.3 Energija i snaga

Energija koja se utroši za izvršavanje nekog zadatka predstavlja rad, neovisno o tome koliko je

vremena za to potrebno. Snaga je brzina kojom se izvršava rad, odnosno kada govorimo o

električnoj snazi to je brzina kojom se energija prenosi električnim krugom, tj. može se reći da

je snaga utrošena energija u vremenu (2.12).

𝑃 =𝑑𝐸

𝑑𝑡 [𝑊] (2.12)

gdje je:

𝐸 − 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑗𝑎 [𝐽]

𝑡 − 𝑣𝑟𝑖𝑗𝑒𝑚𝑒 [𝑠]

U kontekstu teme ovog rada se često koriste obje veličine, jer je cilj prenijeti određenu količinu

energije, ali je bitno i hoće li se ta energija prenijeti odgovarajućom brzinom, odnosno osigurati

snagu koja je potrebna potrošaču.

2.4 Raspršni parametri

Na visokim frekvencijama teško je mjeriti impedancije sustava, budući da se one uobičajeno

određuju pomoću pokusa kratkog spoja i praznog hoda, što je u mikrovalnom i

9

radiofrekvencijskom području nemoguće savršeno realizirati zbog pojave utjecaja impedancije

slobodnog prostora [11]. Osim toga, mjerni uređaji uglavnom ne mogu mjeriti napone i struje

s tako visokim frekvencijama. Iz tog razloga, za opis visokofrekventnih sustava koriste se

raspršni parametri (eng. scattering parameters - S-parametri). To su bezdimenzijski parametri

koji matematički opisuju raspršivanje energije unutar linearnih električkih struktura s više

priključaka i time omogućuju predstavljanje ponašanja i svojstava kompleksnih sustava u

obliku raspršne matrice [12].

Upadni val ili signal se u nekom sustavu na visokim frekvencijama raspršuje na način da se

jedan dio energije reflektira na ulaznoj priključnici, a ostatak ovisno o sustavu izlazi kroz neki

od preostalih priključnica [12]. Svaki S-parametar označava se s dva indeksa, brojem izlazne i

brojem ulazne priključnice. Pri određivanju pojedinog parametra neutraliziraju se signali na

svim priključnicama osim onih na koje se promatrani S-parametar odnosi. Vrijednosti S-

parametara su kompleksne što znači da sustav utječe i na magnitudu i na fazu vala, a ovisne su

o impedanciji sustava i frekvenciji upadnog vala. S-parametar može se definirati izrazom:

𝑆𝑖𝑗 =𝑉𝑖

−

𝑉𝑗+|

𝑉𝑘+=0

, 𝑧𝑎 𝑘 ≠ 𝑗 (2.13)

gdje je:

𝑆𝑖𝑗 − 𝑟𝑎𝑠𝑝𝑟š𝑛𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑎𝑟 𝑧𝑎 𝑢𝑙𝑎𝑧 𝑛𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑘𝑙𝑗𝑢č𝑘𝑢 𝑗 𝑎 𝑖𝑧𝑙𝑎𝑧 𝑛𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑘𝑙𝑗𝑢č𝑘𝑢 𝑖

𝑉𝑖− − 𝑛𝑎𝑝𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑘𝑡𝑖𝑟𝑎𝑛𝑜𝑔 𝑣𝑎𝑙𝑎 𝑛𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑘𝑙𝑗𝑢č𝑘𝑢 𝑖 [𝑉]

𝑉𝑗+ − 𝑛𝑎𝑝𝑜𝑛 𝑢𝑝𝑎𝑑𝑛𝑜𝑔 𝑣𝑎𝑙𝑎 𝑛𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑘𝑙𝑗𝑢č𝑘𝑢 𝑗 [𝑉]

𝑉𝑘+ = 0 − 𝑢𝑙𝑎𝑧𝑖 𝑛𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑘𝑙𝑗𝑢č𝑐𝑖𝑚𝑎 𝑜𝑠𝑖𝑚 𝑝𝑟𝑖𝑘𝑙𝑗𝑢č𝑘𝑎 𝑗 𝑠𝑢 𝑗𝑒𝑑𝑛𝑎𝑘𝑖 𝑛𝑢𝑙𝑖 [𝑉]

Raspršna matrica uključuje sve S-parametre, odnosno N2 članova za sustav s N priključaka, a

ima sljedeći oblik [13]:

[

𝑉1−

𝑉2−

⋮𝑉𝑁

−

] = [

𝑆11

𝑆21⋯

𝑆1𝑁

𝑆2𝑁

⋮ ⋱ ⋮𝑆𝑁1 ⋯ 𝑆𝑁𝑁

] [

𝑉1+

𝑉2+

⋮𝑉𝑁

+

] (2.14)

10

Na slici 2.2 je prikazan primjer sustava s dva priključka opisan raspršnom matricom. Svaki

priključak ima pripadajući upadni i reflektirani val.

Slika 2.2 Sustav opisan raspršnom matricom

Za postizanje vrijednosti nula na ulazima potrebno je isključiti izvore na tim priključcima i

prilagoditi impedanciju. Kada su ti uvjeti zadovoljeni, S-parametri s istoimenim indeksima

(npr. S11, S22) predstavljaju koeficijente refleksije na priključcima koje označava indeks, a S-

parametri s različitim indeksima predstavljaju spregu između navedenih priključnica [11].

Budući da se impedancija sustava mijenja s frekvencijom, mijenjaju se i raspršni parametri [12].

Raspršni parametri sustava s jednim ili dva priključka se mogu relativno lako mjeriti

korištenjem analizatora mreže, a potom se po potrebi mogu preračunati u ostale matrične

parametre sustava, poput impedancijskih, admintancijskih ili hibridnih parametara [13].

Prikazane formule vrijede za slučaj kada su karakteristične impedancije svih priključaka

jednake, obično Z0 = 50 Ω [13]. Pojam karakteristične impedancije odnosi se na impedanciju

koju ima sustav gledajući s njegovog i-tog priključka, a definira se kao:

𝑍0𝑖 =𝑉𝑖

+

𝐼𝑖+ =

𝑉𝑖−

𝐼𝑖− [Ω] (2.15)

U slučaju kada karakteristične impedancije svih priključaka nisu jednake koriste se

generalizirani S-parametri, koji su definirani kao:

𝑆𝑖𝑗 =𝑉𝑖

−√𝑍0𝑗

𝑉𝑗+√𝑍0𝑖

(2.16)

11

što ponovno vrijedi za slučaj da su naponi na svim preostalim priključcima jednaki nuli,

odnosno 𝑉𝑘+ = 0, 𝑘 ≠ 𝑗.

Parametar S21 od posebnog je značaja budući da predstavlja naponsko pojačanje sustava, a u

slučajevima kada je 𝑍01 = 𝑍02 predstavlja i korijen pojačanja snage, odnosno korijen omjera

iskorištene snage i snage unesene u sustav. Iz tog razloga u analizama provedenim u poglavlju

4 ovaj parametar je najčešće korišten za prikaz efikasnosti sustava.

2.5 Relevantni parametri antena

U ovom radu proučen je fenomen bežičnog prijenosa električne energije koji se uglavnom

odvija između dviju antena koje su u većini slučajeva izvedene u obliku spiralnih ili

helikoidalnih zavojnica. U ovoj sekciji opisani su neki parametri koji se odnose na antene u

širem smislu.

2.5.1 Električna veličina antene i zone zračenja

Električna veličina antene se odnosi na dimenzije antene u odnosu na valnu duljinu signala za

koji je namijenjena. Poznato je da za učinkovito zračenje antena mora biti reda veličine pola

valne duljine, 𝐿~𝜆

2 [10]. Električki mala antena prema najčešće korištenoj definiciji je ona čiji

je promjer (ili najveća linearna dimenzija) manji od 1

2𝜋𝜆 (𝜆 je valna duljina zračenja kojeg

odašilje) [14]. U suprotnom radi se o električki velikoj anteni. S druge strane, zavojnica se može

smatrati električki malom ukoliko ukupna duljina vodiča kojeg sadrži ne prelazi desetinu valne

duljine na radnoj frekvenciji [15]. Dodavanjem kapacitivne ili induktivne reaktancije anteni,

može joj se virtualno promijeniti električna veličina [16].

Zračenje svake antene može se podijeliti u tri zone – reaktivna i radijacijska zona koje spadaju

u blisko poje te Fraunhoferova zona odnosno daleko polje (slika 2.3). U svakom polju zračenje

ima različita svojstva, pa se svako polje na drugačiji način iskorištava kod bežičnog prijenosa

snage.

12

Slika 2.3 Zone zračenja antene ( [17] s prevedenim nazivima )

a) Blisko reaktivno polje

U bliskom polju apsorpcija radijacije utječe na opterećenje izvora i moguća je pojava refleksije.

Osim toga električno i magnetsko polje mogu postojati nezavisno. U bliskom reaktivnom polju,

koje se nalazi u neposrednoj blizini antene, ne postoji zračenje nego postoji reaktivno područje

u kojem su električno i magnetsko polje pomaknuti za 90° u fazi. U ovom području energija

titra između polja i antene, ukoliko je ne pokupi prijemnik koji se nađe u polju. Tada se, gledano

od izvora, impedancija antene mijenja. Energija koja je predana prijemniku ne vraća se u

antenu. U ovom polju moguće je prenijeti velike snage do udaljenosti koja je ograničena

dosegom ovog polja, a iznosi:

𝑅1 = 0.62√𝐷3

𝜆 [𝑚] (2.17)

gdje je:

𝐷 − 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑗𝑒𝑟 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑒 𝑖𝑙𝑖 𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙𝑛𝑎 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑧𝑖𝑗𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑒 [𝑚]

𝜆 − 𝑣𝑎𝑙𝑛𝑎 𝑑𝑢𝑙𝑗𝑖𝑛𝑎 [𝑚]

13

b) Blisko radijacijsko polje

U ovom području dominira radijacijsko nad reaktivnim poljem. Kutna raspodjela zračenja ovisi

o udaljenosti od antene i zato je odnos električnog i magnetskog polja kompleksan. Granica ove

zone i dalekog polja dana je s (2.18) [10].

𝑅2 = 2𝐷2

𝜆 [𝑚] (2.18)

Osim toga u bliskom radijacijskom polju vrijedi i [18]:

𝑅2 ≫ 𝐷 𝑖 𝑅2 ≫ 𝜆 (2.19)

c) Daleko polje

Kod dalekog polja kutna raspodjela zračenja ne ovisi o udaljenosti od antene jer se valovi šire

kao ravni val, a amplituda polja opada proporcionalno porastu udaljenosti. Ovo polje je

najvažnije kod tradicionalnih antena koje služe za prijenos signala radi velikih udaljenosti koje

doseže.

Navedena razmatranja vrijede za električki velike antene. Za električki male antene uglavnom

je dovoljna aproksimacija granica ovih zona na osnovi valne duljine (slika 2.4), a sama fizička

veličina antene nije relevantna [18]. Za ovakve antene ne mora postojati blisko radijacijsko

polje (ukoliko je promjer antene mnogo manji od valne duljine - što se može i zaključiti

usporedbom (2.18) i (2.19)) i u tom slučaju antene imaju prijelazno područje na udaljenosti od

antene od otprilike λ - 2λ.

14

Slika 2.4 Zone zračenja električki male antene ( [18] s prevedenim nazivima )

2.5.2 Otpor zračenja i otpor gubitaka antene

Otpor zračenja (RR) i otpor gubitaka (RL) su svojstva svake antene odnosno objekta koji zrači

neki oblik energije, a zajedno čine otpor antene, 𝑅𝐴 = 𝑅𝑅 + 𝑅𝐿. Otpor zračenja posljedica je

fizičke strukture antene i zračenja koje proizvodi, odnosno gubitka energije koja iz električne

struje prijeđe u energiju elektromagnetskog zračenja [19]. Za helikoidalnu zavojnicu dan je

izrazom [20]:

𝑅𝑅 = 20 (2𝜋𝑓

𝑐)4

(𝜋𝑟2𝑁)2 [Ω] (2.20)

gdje je:

𝑓 − 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑣𝑒𝑛𝑐𝑖𝑗𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑎𝑙𝑎 𝑢𝑛𝑢𝑡𝑎𝑟 𝑧𝑎𝑣𝑜𝑗𝑛𝑖𝑐𝑒 [𝐻𝑧]

𝑐 = 3 × 108 − 𝑏𝑟𝑧𝑖𝑛𝑎 𝑠𝑣𝑗𝑒𝑡𝑙𝑜𝑠𝑡𝑖 𝑢 𝑣𝑎𝑘𝑢𝑢𝑚𝑢 [𝑚

𝑠]

𝑟 − 𝑝𝑜𝑙𝑢𝑚𝑗𝑒𝑟 𝑧𝑎𝑣𝑜𝑗𝑛𝑖𝑐𝑒 [𝑚]

𝑁 − 𝑏𝑟𝑜𝑗 𝑧𝑎𝑣𝑜𝑗𝑎 𝑧𝑎𝑣𝑜𝑗𝑛𝑖𝑐𝑒

Otpor gubitaka je zapravo unutarnji ohmski otpor antene (ovisi o dimenzijama i materijalu), a

uzrokuje prelazak električne energije u toplinu.

15

2.6 Međuindukcija i samoindukcija

Ukoliko se dvije zavojnice nalaze dovoljno blizu, tako da dio magnetskog toka jedne zavojnice

zahvaća drugu, tada dolazi do pojave međuindukcije. Prema Faradeyevom zakonu, iz (2.5),

može se zaključiti da promjena magnetskog toka uzrokuje kruženje električnog polja po

zatvorenoj krivulji, odnosno, u slučaju zavojnice, indukciju napona u zavojnici. Na slici 2.5

prikazana su dva svitka, gdje je svitak 1 protjecan strujom koja stvara magnetski tok.

Slika 2.5 Prostorni raspored magnetskih silnica dvaju magnetski povezanih svitaka ( [21] s

prevedenim nazivima)

Vidljivo je kako većina toka koji stvara prvi svitak prolazi kroz drugi svitak, što je tok

međuindukcije i označen je s ∅12 jer povezuje svitak 1 i 2. Manji dio toka ne zatvara se kroz

susjedni svitak i taj tok se naziva rasipni tok (∅1𝜎). Ukupni magnetski tok koji stvara prvi svitak

izražen je sljedećom formulom

∅11 = ∅12 + ∅1𝜎 [𝑊𝑏]

(2.21)

Ulančani tok koji predstavlja tok cijele zavojnice s N1 zavoja izražen je kao umnožak toka kroz

jedan svitak i broja zavoja:

16

Ψ11 = ∅11𝑁1 [𝑊𝑏] (2.22)

Ulančani tok međuindukcije Ψ12 proporcionalan je struji kroz zavojnicu:

Ψ12 = 𝑀12𝑖1 [𝑊𝑏] (2.23)

gdje je M12 koeficijent međuindukcije ili međuinduktivitet i ima mjernu jedinicu henri [H].

Međuinduktivitet ovisi o dimenzijama zavojnica, njihovom međusobnom položaju i

frekvenciji.

Ukoliko je struja i1 promjenjiva u vremenu, zbog promjenjivog magnetskog toka koji stvara,

inducirat će se napon samoindukcije na prvoj zavojnici i napon međuindukcije na drugoj

zavojnici. Samoindukcija je svojstvo vodiča ili zavojnice kojim se inducira magnetsko polje

takvog smjera da se protivi promjeni struje kroz nju i time se stvara napon samoindukcije i to

suprotnog polariteta od narinutog napona. Matematički, napon samoindukcije kroz zavojnicu

ovisi o magnetskom toku kroz zavojnicu [21]:

e𝐿 = −𝑁𝑑∅𝑀,𝑛𝑎𝑣𝑜𝑗

𝑑𝑡= −𝐿

𝑑𝑖

𝑑𝑡 (2.24)

gdje je:

𝑁 − 𝑏𝑟𝑜𝑗 𝑛𝑎𝑣𝑜𝑗𝑎 𝑧𝑎𝑣𝑜𝑗𝑛𝑖𝑐𝑒

∅𝑀,𝑛𝑎𝑣𝑜𝑗 − 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑒𝑡𝑠𝑘𝑖 𝑡𝑜𝑘 𝑗𝑒𝑑𝑛𝑜𝑔 𝑛𝑎𝑣𝑜𝑗𝑎 [𝑊𝑏]

𝑖 − 𝑠𝑡𝑟𝑢𝑗𝑎 𝑘𝑟𝑜𝑧 𝑧𝑎𝑣𝑜𝑗𝑛𝑖𝑐𝑢 [𝐴]

𝐿 − 𝑠𝑎𝑚𝑜𝑖𝑛𝑑𝑢𝑘𝑡𝑖𝑣𝑖𝑡𝑒𝑡 [𝐻]

Iz ovog izraza može se zaključiti kako je samoinduktivitet omjer između magnetskog toka kroz

zavojnicu i struje koja protječe zavojnicom, odnosno predstavlja svojevrstan otpor zavojnice

promjeni struje. Kada promjenjiva struja protječe zavojnicom stvara se magnetsko polje. To

promjenjivo magnetsko polje dovodi do induciranja električnog polja i samoindukcijskog

napona na zavojnici. S druge strane, razlika potencijala na zavojnici uzrokuje stvaranje

17

električnog polja suprotnog smjera, pa je zato električno polje oko zavojnice zanemarivog

iznosa [21].

Polaritet napona međuindukcije ovisi i o smjeru namatanja zavoja, što određuje smjer

magnetskog toka. Koeficijenti međuindukcije između dvije zavojnice, M12 i M21, uvijek su

međusobno jednaki i iznose:

𝑀 = 𝑀12 = 𝑀21 = 𝑘√𝐿1𝐿2 [𝐻] (2.25)

gdje je:

𝐿1, 𝐿2 − 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑘𝑡𝑖𝑣𝑖𝑡𝑒𝑡𝑖 𝑧𝑎𝑣𝑜𝑗𝑛𝑖𝑐𝑎 [𝐻]

𝑘 − 𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑗𝑒𝑛𝑡 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑒𝑡𝑠𝑘𝑒 𝑠𝑝𝑟𝑒𝑔𝑒 (𝑣𝑖š𝑒 𝑢 𝑠𝑒𝑘𝑐𝑖𝑗𝑖 2.8)

Ukupni inducirani napon na krajevima svitka 2 jednak je umnošku broja zavoja svitka 2 i

promjeni međuinduktivnog magnetskog toka, a zato što je promjena magnetskog toka

proporcionalna promjeni struje vrijedi [21]:

e12 = −𝑁2

𝑑∅12

𝑑𝑡= −𝑀12

𝑑𝑖1𝑑𝑡

(2.26)

Iz ovog izraza je moguće zaključiti kako je međuinduktivitet zapravo omjer induciranog napona

na sekundaru i promjene struje primara. Sada se može izvesti i drugi izraz za međuinduktivitet

koji se odnosi na konfiguraciju zavojnica prikazanih na slici 2.5:

𝑀12 =𝑁2∅12

𝐼1 [𝐻] (2.27)

U [22] je izveden izraz za međuinduktivitet M između dvije helikoidalne zavojnice, polumjera

r1 i r2, s N1 odnosno N2 zavoja, na udaljenosti l:

𝑀12 =𝜇𝜋𝑁1𝑁2𝑟1

2𝑟22

√(𝑟1 + 𝑟2)2 + 𝑙2 [(𝑟1 − 𝑟2)2 + 𝑙2] (2.28)

18

2.7 Rezonancija i sprezanje

Rezonancija je pojava do koje dolazi kada vanjska pobudna sila djeluje na sustav frekvencijom

koja odgovara vlastitoj (prirodnoj) frekvenciji sustava. Vlastita frekvencija sustava je

frekvencija kojom sustav titra bez utjecaja okoline, a kod idealnog električnog titrajnog (L-C)

kruga iznosi:

𝜔0 =1

√𝐿𝐶 [𝑟𝑎𝑑] (2.29)

To je frekvencija na kojoj se kapacitivna reaktancija (𝑋𝐶 =1

𝑗𝜔𝐶) i induktivna reaktancija (𝑋𝐿 =

𝑗𝜔𝐿) izjednače, a ukupna impedancija sustava postaje čisto rezistivna. U ovim uvjetima kod

idealnog sustava, koji nema prigušenja, amplituda titranja bi linearno rasla u beskonačnost s

vremenom, ali u praksi svaki sustav u rezonanciji posjeduje neki otpor koji stabilizira sustav.

U rezonanciji obično dolazi do naizmjenične promjene oblika energije, npr. iz električne u

magnetsku energiju između kapaciteta i induktiviteta. Rezonanciju kao fenomen, osim

navedenog, pronalazimo u različitim drugim fizičkim sustavima poput rezonancije titranja mase

na opruzi, rezonancije u akustici ili rezonancije koja se pojavljuje kod građevina i može imati

razoran učinak. Jednadžba koja opisuje ovu pojavu je diferencijalna jednadžba drugog reda

[23]. Rezonantna frekvencija ovisi o karakteristikama sustava, poput strukture, materijala i

rubnih uvjeta, a svaki sustav može imati više rezonantnih frekvencija.

Za bežični prijenos električne energije zanimljiva je interakcija između dvaju rezonatora koja

se analitički opisuje sprezanjem modova1 (eng. coupling of modes). Mod u kojem se nalazi

sustav u rezonanciji naziva se normalni mod. U tom modu cijeli sustav titra istom frekvencijom.

Općenito gibanje sustava se sastoji od superpozicije normalnih modova. Kada se dvije

rezonirajuće strukture nalaze dovoljno blizu dolazi do sprezanja i izmjene energije između

njihovih modova. Spregnute strukture čine novi sustav koji ima nova dva normalna moda

oscilacija – parni i neparni [24]. Kod parnog moda vektori polja su u svakom trenutku identični

oko oba rezonatora, pa kažemo da su usklađeni, a kod neparnog moda vektori polja su

pomaknuti za 180° (slika 2.6). Rezonantne frekvencije ovog sustava nalaze se iznad i ispod

1 Elektromagnetski mod je dio elektromagnetske energije koji je donekle neovisan o drugim modovima (npr.

različito polarizirani valovi, različiti redovi rezonancije, različite frekvencije ili oblici titranja i sl.) [39]

19

rezonantne frekvencije pojedinog rezonatora. Umnožak razlike između više i niže rezonantne

frekvencije s koeficijentom magnetske sprege naziva se pojas sprezanja.

Slika 2.6 Parni i neparni mod spregnutih oscilatora ( [24] s prevedenim nazivima )

2.8 Koeficijent magnetske sprege

Ovo je bezdimenzionalna veličina koja zajedno s faktorom kvalitete i rezonantnom

frekvencijom čini osnovne parametre rezonantne strukture. Općeniti izraz za koeficijent

magnetske sprege glasi [25]:

𝑘 =𝑓𝑛

2 − 𝑓𝑝2

𝑓𝑛2 + 𝑓𝑝2 (2.30)

gdje je:

𝑓𝑛 − 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑣𝑒𝑛𝑐𝑖𝑗𝑎 𝑛𝑒𝑝𝑎𝑟𝑛𝑖ℎ 𝑠𝑝𝑟𝑒𝑔𝑛𝑢𝑡𝑖ℎ 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑗𝑎 [𝐻𝑧]

𝑓𝑝 − 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑣𝑒𝑛𝑐𝑖𝑗𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑛𝑖ℎ 𝑠𝑝𝑟𝑒𝑔𝑛𝑢𝑡𝑖ℎ 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑗𝑎 [𝐻𝑧]

Može se zaključiti da, ovisno o odnosu ove dvije frekvencije, koeficijent magnetske sprege

može biti pozitivna ili negativna veličina. Sprezanje rezonantnih struktura magnetskim poljem

opisano je koeficijentom induktivnog sprezanja (kL), a sprezanje električnim poljem opisano je

koeficijentom kapacitivnog sprezanja (kC). Vrijednosti ovih koeficijenata opadaju s

udaljenošću rezonatora [25].

20

Koeficijent magnetske sprege ovisi o međusobnom položaju dvije zavojnice i njihovoj veličini.

Ukoliko se radi o dva različita rezonatora, s različitim rezonantnim frekvencijama, potrebno je

razmatrati koeficijent magnetske sprege kao funkciju frekvencija (2.30), a ne kao vrijednost u

točkama rezonancije. U [26] dan je izraz za frekvencijsku ovisnost koeficijenta induktivnog

sprezanja između dva različita rezonatora, koji predstavlja poopćenje (2.25):

𝑘𝐿(𝑓) =𝑀12

√𝐿1𝐿2

2

√(1 + 𝑓1−2𝑓2)(1 + 𝑓2

−2𝑓2) (2.31)

gdje je:

𝑓1, 𝑓2 − 𝑟𝑒𝑧𝑜𝑛𝑎𝑛𝑡𝑛𝑒 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑣𝑒𝑛𝑐𝑖𝑗𝑒 𝑝𝑜𝑗𝑒𝑑𝑖𝑛𝑖ℎ 𝑟𝑒𝑧𝑜𝑛𝑎𝑡𝑜𝑟𝑎 [𝐻𝑧]

𝑓 − 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑎𝑡𝑟𝑎𝑛𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑣𝑒𝑛𝑐𝑖𝑗𝑎

2.9 Samorezonancija

Samorezonancija je pojava svojstvena svakoj realnoj zavojnici, do koje dolazi na visokim

frekvencijama zbog povećanja utjecaja parazitnog kapaciteta. Realna zavojnica zbog svojih

dimenzija, fizičke konstrukcije i ne-idealnog materijala od kojeg je izrađena posjeduje određeni

parazitni kapacitet i parazitni otpor. Parazitni kapacitet nastaje kao posljedica razmaka između

zavoja, a parazitni otpor je posljedica otpora žice i skin efekta koji ima sve veći utjecaj s

porastom frekvencije [27]. Na slici 2.7 je prikazan osnovni model realne helikoidalne zavojnice.

Ovaj model je star preko 90 godina i dobro opisuje zavojnicu na frekvencijama nižim od

samorezonantne frekvencije. U [28] su predloženi precizniji modeli zavojnice, ali za potrebe

ovog rada i prikazani model je dostatan. Potrebno je jedino uzeti u obzir kako prikazani

kondenzator, otpornik i zavojnica nisu idealni elementi nego se mijenjaju s frekvencijom.

Slika 2.7 Osnovni model realne zavojnice

21

Vrijednosti parazitnih elemenata su obično vrlo male, za kapacitet reda veličine pikofarada, pa

je stoga, prema (2.29), rezonantna frekvencija vrlo visoka. Na slici 2.8 je vidljivo kako u

rezonanciji većina energije ostaje unutar sustava jer je parametar S21 vrlo nizak iz razloga što

se energija izmjenjuje između kapaciteta i induktiviteta, a samo mali dio energije dolazi do

drugog priključka [29].

Slika 2.8 Primjer S21-parametra zavojnice u samorezonanciji

2.10 Q-faktor (faktor kvalitete)

Faktor kvalitete je parametar koji opisuje kvalitetu zavojnice (antene), a njegovim povećanjem

raste učinkovitost prijenosa energije u reaktivnom bliskom polju [30]. On predstavlja omjer

energije pohranjene u zavojnici i energije koja se izgubi u jednom periodu, odnosno predstavlja

prigušivanje zavojnice. Što je Q-faktor veći, veći dio energije ostaje pohranjen u zavojnici, a

manji dio se izgubi na otporu zračenja i omskom otporu zavojnice [31]. Kod samorezonantnih

zavojnica faktor kvalitete je obično malen [32].

Q-faktor utječe na jačinu rezonancije, odnosno koliko dugo će sustav doveden u stanje

rezonancije nastaviti oscilirati. To se na frekvencijskoj karakteristici sustava očituje kao oštrina

rezonantnog vrha (slika 2.9).

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

0 20 40 60 80 100

S21

[dB

]

f [MHz]

22

Slika 2.9 Snaga u rezonanciji ( [33]s prevedenim nazivima )

Zavojnice s većim Q-faktorom imaju viši i uži frekvencijski odziv u rezonanciji. Najkvalitetnije

zavojnice imaju Q-faktor reda veličine nekoliko tisuća.

𝑄 =𝜔0𝐿

𝑅𝑃=

1

𝑅𝑃

√𝐿

𝐶 (2.32)

gdje je:

𝜔0 − 𝑟𝑒𝑧𝑜𝑛𝑎𝑛𝑡𝑛𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑣𝑒𝑛𝑐𝑖𝑗𝑎 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑎𝑣𝑎 [rad]

𝑅𝑃 − 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑧𝑖𝑡𝑛𝑖 𝑜𝑡𝑝𝑜𝑟 𝑧𝑎𝑣𝑜𝑗𝑛𝑖𝑐𝑒 [Ω]

𝐿, 𝐶 − 𝑣𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑡𝑖 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑘𝑡𝑖𝑣𝑖𝑡𝑒𝑡 𝑖 𝑘𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑒𝑡 𝑧𝑎𝑣𝑜𝑗𝑛𝑖𝑐𝑒 [𝐻, 𝐹]

Iz (2.32) se može uočiti kako teoretski Q-faktor raste linearno s rezonantnom frekvencijom, ali

u praksi to nije slučaj zbog frekvencijske ovisnosti induktiviteta [32]. Iz tog razloga na

frekvencijama višim od samorezonancije parazitni kapacitet realne zavojnice počne

23

prevladavati nad induktivitetom. Za zavojnice koje imaju visok Q faktor često se koristi i

sljedeća aproksimacija [31]:

𝑄 ≈𝑓0∆𝑓

(2.33)

gdje je:

𝑓0 − 𝑟𝑒𝑧𝑜𝑛𝑎𝑛𝑡𝑛𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑣𝑒𝑛𝑐𝑖𝑗𝑎 𝑧𝑎𝑣𝑜𝑗𝑛𝑖𝑐𝑒 [𝐻𝑧]

∆𝑓 =𝐿

2𝜋𝑅− š𝑖𝑟𝑖𝑛𝑎 𝑝𝑜𝑗𝑎𝑠𝑎 𝑜𝑘𝑜 𝑟𝑒𝑧𝑜𝑛𝑎𝑛𝑡𝑛𝑒 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑣𝑒𝑛𝑐𝑖𝑗𝑒 𝑢 𝑘𝑜𝑗𝑒𝑚 𝑗𝑒 𝑠𝑚𝑎𝑛𝑗𝑒𝑛𝑗𝑒

𝑠𝑛𝑎𝑔𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑗𝑒 𝑜𝑑 3 𝑑𝐵 𝑢 𝑜𝑑𝑛𝑜𝑠𝑢 𝑛𝑎 𝑖𝑧𝑛𝑜𝑠 𝑢 𝑟𝑒𝑧𝑜𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑗𝑖 [𝐻𝑧]

Širina frekvencijskog pojasa može se uočiti i na slici 2.9, a jednaka je omjeru induktiviteta i

otpora zavojnice, pa se faktor kvalitete može izraziti i sljedećim izrazom [33]:

𝑄 =𝜔0𝐿

𝑅𝑃 (2.34)

2.11 Teorija spregnutih modova (Coupled Mode Theory)

Teorija spregnutih modova je perturbacijski 2 pristup analitičkom opisu sprezanja rezonirajuće

strukture u prostoru i vremenu [34, 35]. Pogodna je za analizu rezonantnih elektromagnetskih

struktura jer upola smanjuje red diferencijalnih jednadžbi u odnosu na teoriju električnih

krugova [36]. Temelji se na razvijanju rješenja elektromagnetskog problema u modove. Ovom

teorijom dokazano je kako je izmjena energije između modova približno jednako u oba smjera,

odnosno koeficijenti magnetske sprege su jednaki:

𝑘12 ≅ 𝑘21 (2.35)

2 Teorija perturbacije bavi se ocjenom koliko se najviše promijeni rješenje nekog sustava (x) ako se promijene

(perturbiraju) elementi tog sustava (A i/ili b), npr. Ax=b [54]. Drugim riječima ovo je metoda traženja približnog

rješenja nekog sustava, počevši od poznatog rješenja sličnog sustava.

24

Ova jednakost vrijedi uz uvjet da su propagacijske konstante vezane za oba moda jednake i uz

pretpostavku da modovi oscilacija dvaju objekata ne utječu jedan na drugi, što vrijedi ako

udaljenost nije jako mala [37]. Uz navedene pretpostavke koriste se pojednostavljene jednadžbe

spregnutih modova [23, 38]:

𝑑𝐴

𝑑𝑧= −𝑗𝑘𝐵(𝑧)𝑒−𝑗(𝛽2−𝛽1)𝑧 (2.36)

𝑑𝐵

𝑑𝑧= −𝑗𝑘𝐴(𝑧)𝑒+𝑗(𝛽2−𝛽1)𝑧 (2.37)

gdje je:

𝐴 − amplituda prvog moda u 𝑧 − smjeru

𝐵 − amplituda drugog moda u 𝑧 − smjeru

𝛽1,2 − 𝑓𝑎𝑧𝑛𝑒 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑗𝑒𝑑𝑖𝑛𝑖ℎ 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙𝑖𝑡𝑒𝑡𝑎

Iz ovih jednadžbi vidljivo je kako promjena amplitude jednog moda ovisi o amplitudi drugog

moda s kojim je u sprezi. Osim prostorne raspodjele modova, važna je i vremenska raspodjela

[37, 39]:

𝑑𝐴

𝑑𝑡= −(𝑗𝜔1 − Γ1)𝐴 + 𝑗𝑘𝐵 (2.38)

𝑑𝐵

𝑑𝑡= −(𝑗𝜔2 − Γ2)𝐴 + 𝑗𝑘𝐴 (2.39)

gdje je:

𝜔1, 𝜔2 − 𝑟𝑒𝑧𝑜𝑛𝑎𝑛𝑡𝑛𝑒 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑣𝑒𝑛𝑐𝑖𝑗𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙𝑖𝑡𝑒𝑡𝑎 [𝑟𝑎𝑑]

Γ1, Γ2 −

š𝑖𝑟𝑖𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑧𝑜𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑗𝑒, 𝑢𝑛𝑢𝑡𝑎𝑟𝑛𝑗𝑖 𝑔𝑢𝑏𝑖𝑐𝑖 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑒, 𝑎𝑝𝑠𝑜𝑟𝑝𝑐𝑖𝑗𝑒 𝑖 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑗𝑎𝑐𝑖𝑗𝑒 [𝑟𝑎𝑑]

𝑘 − 𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑗𝑒𝑛𝑡 𝑚𝑒đ𝑢𝑠𝑜𝑏𝑛𝑒 𝑠𝑝𝑟𝑒𝑔𝑒

25

2.12 Razdvajanje frekvencije

Kada se rezonantni sustav sastoji od 2 identična rezonantna kruga u sprezi tada posjeduje dvije

rezonantne frekvencije. Razmak između te dvije frekvencije ovisi o međuindukciji, a do nje

dolazi zbog zrcaljenja impedancije sekundara na primar [38]. Na frekvencijama nižim od

rezonantne frekvencije primara, reflektirana impedancija je induktivnog karaktera, pa primar

rezonira na nižoj frekvenciji. Analogno tome, kako frekvencija raste, zrcalna impedancija je

kapacitivna, a kako u zavojnici iznad rezonantne frekvencije prevladava induktivna

komponenta, dolazi do pojave rezonancije u točki kada se izjednače induktivna komponenta sa

zbrojem kapacitivne komponente primara i reflektirane kapacitivne komponente. Ovakav

sustav dviju spregnutih zavojnica može se analogno usporediti s njihalima međusobno

povezanim oprugom [30]: takva dva njihala mogu se njihati na 2 načina: ili višom ili nižom

frekvencijom od njihove pojedinačne temeljne frekvencije, a energija će oscilirati između dvaju

njihala. Frekvencija kojom će se njihati njihala odnosno rezonantna frekvencija rezonatora će

se mijenjati kao funkcija međuindukcije odnosno sprezanja (koje ovisi o udaljenosti zavojnica

ili o koeficijentu elastičnosti opruge). Dakle, promjenom udaljenosti između zavojnica

mijenjaju se iznosi dvaju rezonantnih frekvencija sustava. Ukoliko želimo sustav održati u

rezonanciji nakon promjene udaljenosti zavojnica, potrebno je prilagoditi frekvenciju sustava

[30].

2.13 Kritično sprezanje

Kritično sprezanje predstavlja vrijednost koeficijenta magnetske sprege na udaljenosti između

zavojnica na kojoj više nije moguće postići maksimalnu učinkovitost prijenosa energije

prilagodbom frekvencije [30]. Koeficijent sprezanja za dvije zavojnice u rezonanciji s faktorima

kvalitete 𝑄1 i 𝑄2 dan je izrazom [38]:

𝑘𝑘𝑟𝑖𝑡𝑖č𝑛𝑜 =1

√𝑄1𝑄2

(2.40)

2.14 Prilagođavanje impedancije

Impedancija je kompleksna vrijednosti i sastoji se od rezistivne (R) komponente, koja čini realni

dio impedancije, i reaktivne komponente (X) koja čini imaginarni dio impedancije (𝑍 = 𝑅 +

𝑗𝑋). Prilagođavanje impedancije se vrši kako bi se neželjena refleksija na priključcima sustava

26

svela na minimum i povećao prijenos snage. To se postiže kada je impedancija trošila jednaka

impedanciji sustava, odnosno izvora. U slučaju da impedancija sustava ima reaktivnu

komponentu tada je za postizanje maksimalnog prijenosa snage potrebno za impedanciju trošila

izabrati kompleksno konjugiranju vrijednost impedancije sustava. Danas se najčešće koriste

sustavi i kabeli standardizirani na impedancije od 50 Ω ili 75 Ω. Za primjer jednostavnog

sustava na slici 2.10, prikazana je promjena snage na trošilu s promjenom otpora trošila.

Vidljivo je kako je maksimalna snaga postignuta u točki kada je 𝑅 = 𝑅𝑖 = 50 Ω.

Slika 2.10 Ovisnost snage o prilagođenosti impedancije

gdje je:

𝑅𝑖 = 50 Ω − unutarnji otpor izvora

𝑈𝑖 = 5 𝑉 − 𝑛𝑎𝑝𝑜𝑛 𝑖𝑧𝑣𝑜𝑟𝑎

𝑅 − otpor trošila

2.15 Računanje induktiviteta spiralne i helikoidalne zavojnice

Kako je već navedeno u sekciji 2.5, najčešće korišteni oblici antena za bežični prijenos

električne snage su helikoidalne i spiralne zavojnice. U simulacijama provedenim u 4. poglavlju

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

X: 50

Y: 0.125

Promjena snage na trošilu s promjenom otpora trošila

R [ ]

P [

W]

27

korištene su Wheelerove aproksimacijske formule za računanje njihovog vlastitog induktiviteta

[40] koje su se pokazale dovoljno preciznim za potrebne proračune.

Wheelerova aproksimacijska foruma za induktivitet spiralne zavojnice glasi:

𝐿 = 0.03937𝑟2𝑁2

8 𝑟 + 11 𝑤 [𝜇𝐻]

(2.41)

gdje je:

𝑟 − 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑗𝑢𝑠 𝑑𝑜 𝑠𝑟𝑒𝑑𝑖𝑛𝑒 𝑛𝑎𝑣𝑜𝑗𝑎 𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎𝑙𝑒 (𝑠𝑙𝑖𝑘𝑎 2.11) [𝑚𝑚]

𝑁 − 𝑏𝑟𝑜𝑗 𝑛𝑎𝑚𝑜𝑡𝑎𝑗𝑎

𝑤 − š𝑖𝑟𝑖𝑛𝑎 𝑗𝑒𝑑𝑛𝑒 𝑠𝑡𝑟𝑎𝑛𝑒 𝑛𝑎𝑚𝑜𝑡𝑎𝑗𝑎 (𝑠𝑙𝑖𝑘𝑎 2.11)[𝑚𝑚]

Slika 2.11 Spiralna zavojnica s naznačenim veličinama za Wheelerovu aproksimacijsku

formulu

Induktivitet helikoidalne zavojnice izračunat je prema izrazu:

𝐿 = 0.03937𝑟2𝑁2

9 𝑟 + 10ℎ [𝜇𝐻]

(2.42)

gdje je:

28

𝑟 − 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑗𝑢𝑠 𝑧𝑎𝑣𝑜𝑗𝑛𝑖𝑐𝑒 (𝑠𝑙𝑖𝑘𝑎 2.12) [𝑚𝑚]

𝑁 − 𝑏𝑟𝑜𝑗 𝑛𝑎𝑚𝑜𝑡𝑎𝑗𝑎

ℎ − 𝑣𝑖𝑠𝑖𝑛𝑎 ℎ𝑒𝑙𝑖𝑘𝑜𝑖𝑑𝑎𝑙𝑛𝑒 𝑧𝑎𝑣𝑜𝑗𝑛𝑖𝑐𝑒 (𝑠𝑙𝑖𝑘𝑎 2.12)[𝑚𝑚]

Slika 2.12 Helikoidalna zavojnica s naznačenim veličinama za Wheelerovu aproksimacijsku

formulu

29

3. RAZLIČITE METODE BEŽIČNOG PRIJENOSA ENERGIJE

U referencama [27, 30, 35, 41] dan je pregled različitih metoda bežičnog prijenosa energije, a

neke od njih su opisane u nastavku ovog poglavlja.

3.1 Bežični prijenos energije korištenjem mikrovalova

Mikrovalovi predstavljaju zračenja s valnim duljinama od oko 1 mm do 1 m [42]. Korištenjem

snažnih mikrovalnih generatora mogu se postići prijenosi velikih snaga na vrlo velike

udaljenosti i stoga se ova metoda koristi za prijenos energije iz zemljine orbite. Razlog vrlo

uske primjene ove metode je potreba kontinuiranog praćenja i održavanja usmjerenosti i

vidljivosti između antena, a i prirode zračenja koje je opasno za žive organizme koji se nađu na

putu.

3.2 Bežični prijenos energije korištenjem lasera

Slično kao i kod mikrovalova, i za prijenos energije laserom potrebno je održavanje vidljivosti

i moguće je prenijeti velike snage na velike udaljenosti te se zato također koristi za prijenos

energije u orbitu i iz orbite.

3.3 Bežični prijenos energije korištenjem radiovalova u dalekom polju

Ovom metodom se najčešće prenose signali (malih snaga) na velike udaljenosti, sa širokom

laticom zračenja. Kod takvog širokokutnog prijenosa, snaga prijenosa opada najmanje s

kvadratom udaljenosti. Prenesena snaga proporcionalna je promjeru antene [35]. Moguće je

prenijeti i veće snage, ali je za to potrebno ponovno koristiti usmjerene antene s visokim

dobitkom i kompleksne sustave regulacije za održavanje usmjerenosti i vidljivosti između

antena. Za prijenos većih snaga na veće udaljenosti koriste se tzv. rektene, usmjerene

ispravljačke antene koje pojačavaju zračenje i pretvaraju ga u istosmjernu struju [43].

3.4 Bežični prijenos energije magnetskom indukcijom

Ovaj tip prijenosa energije u bliskom polju danas je popularan zbog široke primjene u RFID-u

(radio-frekvencijska identifikacija, eng. radio frequency identification), gdje nema potrebe za

30

prenošenjem velikih snaga [44]. Efikasnost opada s trećom potencijom udaljenosti [30], pa je

na malim udaljenostima moguće postići visoku efikasnost i prenijeti velike snage. Razlog tome

je što se princip prijenosa energije temelji na indukciji napona u sekundarnoj zavojnici

prouzročenoj silnicama magnetskog polja koje stvara primar kroz koji protječe struja. Ovo je

princip koji se kvalitetno primjenjuje kod transformatora, ali kako za provođenje magnetskih

silnica u slučaju bežičnog prijenosa električne energije nije praktično koristiti željeznu jezgru,

nego se silnice prenose zrakom, efikasnost brzo opada s udaljenošću. Osim kod RFID-a, ovaj

princip prijenosa energije koristi se za napajanje bežičnih telefona, četkica za zube, brijača te

kod podloge za punjenje mobilnih uređaja [30]. Svaka od ovih primjena ne zahtijeva udaljenost

veću od 1 cm te stoga ova metoda ima zadovoljavajuću učinkovitost, a nudi napajanje bez

galvanskog kontakta kao prednost nad konvencionalnim konektorima. Princip rada najlakše je

predočiti slikom 3.1. Struja koja protječe kroz antenu, odnosno zavojnicu čitača, stvara

magnetsko polje koje inducira napon u beskontaktnoj kartici. Uz odašiljačku zavojnicu se često

dodaje i kondenzator koji dovodi sustav u rezonanciju na 13.56 MHz. Rezonancija pojačava

snagu polja oko zavojnice i omogućuje povećanje dosega čitača. Kada se prijemnik, odnosno

RFID kartica nađe unutar magnetskog polja, inducirani napon napaja sklop koji mijenja otpor

tereta na prijemnoj zavojnici, što se na RFID čitaču očituje kao promjena otpora zračenja

antene. Ovaj način prijenosa podataka zove se modulacija tereta [44] .

Slika 3.1 Prijenos električne energije magnetskom indukcijom kod RFID čitača ( [44] s

prevedenim nazivima )

31

3.5 Bežični prijenos energije korištenjem magnetske rezonancije u bliskom reaktivnom

polju

Ova metoda se temelji na korištenju dvaju jakih rezonatora koji rezoniraju na istoj frekvenciji

i međusobno izmjenjuju energiju u bliskom reaktivnom polju [45, 46]. Pokazala se

najučinkovitijom za prijenos energije na srednjim udaljenostima (do nekoliko puta većim od

antene) i zato je najpraktičnija za primjenu u bežičnom napajanju uređaja u kućanstvu ili npr. u

industrijskom pogonu.

Za učinkovit prijenos energije, osim rezonantne frekvencije, potrebna je jaka međusobna sprega

rezonatora te visok faktor kvalitete. To je moguće postići korištenjem samorezonantnih

zavojnica odvojenih od ostatka električnog kruga. Za pozicioniranje rezonantne frekvencije u

višem radiofrekvencijskom i nižem mikrovalnom području ili se koriste zavojnice

dimenzionirane za visok parazitni kapacitet (izrađene od debele bakrene žice [27]) ili se u seriju

zavojnici dodaje diskretni kondenzator čiji je kapacitet jednostavno ugoditi [20]. Osim

ugađanja frekvencije, dodavanje kondenzatora omogućava i korištenje odašiljačkih i prijemnih

zavojnica različitih dimenzija, što je u praksi vrlo pogodno jer omogućuje korištenje malih

prijemnika u mobilnim uređajima. Jedna od prednosti ove metode je i to što se reaktivno polje

u rezonanciji širi u svim smjerovima, a ima vrlo mali utjecaj na okolne objekte koji ne rezoniraju

istom frekvencijom.

Na slici 3.2 prikazana je realizacija sustava korištenjem spiralnih zavojnica kao rezonatora. Na

izvor snage spojena je zavojnica sa samo jednim zavojem, tzv. pogonska petlja. Kroz nju prolazi

struja frekvencijom koja odgovara rezonantnoj frekvenciji rezonatora s kojim je magnetski

spregnuta. U seriju s odašiljačkom zavojnicom je spojen kondenzator. Jednaka konfiguracija je

i na prijemnoj strani, koja se sastoji od prijemnog rezonatora i jedne petlje spojene na teret.

Dimenzije antene u odnosu na rezonantnu frekvenciju moraju biti tako odabrane da antena bude

električki mala.

32

Slika 3.2 Sustav dvaju spiralnih rezonatora za bežični prijenos snage

Prijenos energije ostvaruje se magnetskim poljem jer je većina električne energije koncentrirana

u kondenzatoru. Sprezanje je ovisno o udaljenosti između rezonatora i o frekvenciji [41], pa je

ovaj sustav moguće držati u stanju optimalne učinkovitosti podešavanjem frekvencije sve do

točke kritičnog sprezanja. Izraz za kritično sprezanje ovakvog sustava također je izveden [30]:

𝑘𝑘𝑟𝑖𝑡𝑖č𝑛𝑜 =1

𝑄𝑧𝑎𝑣𝑜𝑗𝑛𝑖𝑐𝑒+ 𝑘12

2 𝑄𝑝𝑒𝑡𝑙𝑗𝑒 (3.1)

gdje se 𝑄𝑧𝑎𝑣𝑜𝑗𝑛𝑖𝑐𝑒 i 𝑄𝑝𝑒𝑡𝑙𝑗𝑒 računaju prema (2.32), a 𝑘12 je koeficijent magnetske sprege

između zavojnice i petlje te ovisi o njihovom međusobnom položaju.

Koeficijent sprezanja opada s udaljenošću između rezonatora, a sve do točke kritičnog

sprezanja moguće je ostvariti maksimalnu učinkovitost prijenosa. Stoga iznos koeficijenta u

točki kritičnog sprezanja treba biti što niži kako bi sustav na većoj udaljenosti mogao raditi u

uvjetima optimalnog prijenosa. Iz (3.1) vidljivo je da to možemo postići povećanjem Q-faktora

zavojnica ili smanjenjem Q-faktora petlji. Na kritično sprezanje najviše utječe sprezanje između

petlje i zavojnice zahvaljujući kvadratnoj ovisnosti. S druge strane, smanjenje sprezanja

smanjuje i učinkovitost prijenosa, pa je potrebno pronaći optimalni odnos ova dva faktora.

33

Za svaki teret postoji minimalna potrebna količina sprezanja za osiguravanje optimalne

efikasnosti sustava, što se može usporediti s potrebnom elastičnosti opruge kako bi se gibanjem

jednog njihala omogućilo gibanje drugog koje je spojeno na prigušnicu (analogija teretu).

Važno je napomenuti kako koeficijent sprezanja između odašiljačke i prijemne zavojnice opada

s trećom potencijom udaljenosti [30].

U [30] ostvaren je prijenos električne energije sa 70% učinkovitosti korištenjem ovakvog

sustava na udaljenostima od 0 do 70 cm, nezavisno od orijentacije antena. Pri mjerenju korišten

je vektorski analizator mreže kako bi se izmjerile vrijednosti S21 parametra. U [30] je dana i

nadomjesna shema ovakvog sustava (slika 3.3). Vidljivo je kako su kapaciteti i induktiviteti

kod svih petlji spojeni serijski, tako da se radi o serijskoj rezonanciji pri kojoj je impedancija

sustava minimalna. Petlje napajanja i tereta predstavljene su serijskim spojem induktiviteta (𝐿1

i 𝐿4) i parazitnog otpora (𝑅𝑝1 i 𝑅𝑝4), a u seriju su dodani i kondenzatori (𝐶1 i 𝐶4) kako bi se

postigla rezonancija na željenoj frekvenciji (8 – 12 MHz). Što se tiče odašiljačke i prijemne

antene odnosno spiralne zavojnice, njihova fizička struktura određuje parazitne otpore (𝑅𝑝2 i

𝑅𝑝3), parazitne kapacitete (𝐶2 i 𝐶3) i vlastite induktivitete (𝐿2 i 𝐿3). Udaljenosti između izvora

i odašiljačke antene te prijemne antene i tereta se obično drže fiksnima, pa su i k12 te k34 fiksni.

Pokazano je kako prijenosna funkcija ovisi o koeficijentu magnetske sprege k23 između

zavojnica, vrijednostima induktiviteta, kapaciteta i otpora u sustavu te frekvenciji. Iz ove

nadomjesne sheme može se dobiti prijenosna funkcija sustava. Iz prijenosne funkcije izračunat

je raspršni parametar S21 (3.2) koji govori o učinkovitosti prijenosa energije, a pogodan je jer

ga je moguće eksperimentalno izmjeriti analizatorom mreže.

Slika 3.3 Nadomjesna shema sustava dvaju rezonatora za bežični prijenos energije ( [30] s

prevedenim nazivima)

34

𝑆21 = 2𝑉𝑇𝑒𝑟𝑒𝑡

𝑉𝐼𝑧𝑣𝑜𝑟√

𝑅𝐼𝑧𝑣𝑜𝑟

𝑅𝑇𝑒𝑟𝑒𝑡 (3.2)

U [20] je prikazano magnetsko rezonantno sprezanje između helikoidalnih zavojnica različitih

dimenzija (slika 3.4). Uočeno je razdvajanje rezonantnih frekvencija uzrokovano korištenjem

dvaju odvojenih prijemnika. Postignut je prijenos snage na 2 prijemnika s preko 50%

učinkovitosti. Korištene su prijemne zavojnice koje su mnogo manje od odašiljačkih. Kreiran

je nadomjesni model ovakvog sustava koji uzima u obzir sprezanje između svih zavojnica u

sustavu. Pokazano je kako je visoki Q faktor najvažnije svojstvo sustava za postizanje visoke

učinkovitosti. Shema ovakvog sustava odgovara onoj sa slike 3.3. Ugađanje rezonantne

frekvencije od 8.3 MHz je postignuto podešavanjem pojedinih kondenzatora, budući da su

korištene zavojnice različitog promjera i s različitim brojem zavoja. Time je postignuta jednaka

rezonantna frekvencija svih rezonatora (2.29), premda su induktiviteti zavojnica različiti.

Slika 3.4 Sustav helikoidalnih rezonatora za bežični prijenos snage

35

4. ANALIZE POMOĆU RAČUNALNIH PROGRAMA

Prema razmatranjima iz prethodnih poglavlja, u ovom radu su provedene simulacije i analize

pomoću različitih računalnih programa. Za proračune vezane za prijenosne funkcije korišten je

programski paket MATLAB [47].

Glavni dio analiza su elektromagnetske simulacije koje su izvedene uporabom CST Microwave

Studio softvera [48] (CST MWS) u kojem je konstruiran trodimenzionalni model sustava

bežičnog prijenosa energije. CST MWS omogućuje modeliranje, simulaciju i analizu

elektromagnetskog polja oko 3D strukture. Za rješavanje kompleksnih problema ima ugrađene

različite rješavače, od kojih je u radu korišten rješavač u vremenskoj domeni budući da je

najpogodniji za najširi spektar primjena. Ovaj rješavač daje širokopojasni prikaz S-parametara

u jednom izračunu korištenjem diskretne Fourierove transformacije na vremenskom signalu.

Stoga prilikom sužavanja frekvencijskog raspona dolazi do porasta vremena potrebnog za

provođenje simulacije jer se sužavanjem frekvencijskog prozora povećava prozor u vremenu.

Objekti su u prostoru podijeljeni u domene korištenjem heksahedralne ili tetrahedralne mreže.

U simulacijama je korištenja heksahedralna mreža jer se pokazala pogodnijom.

Korištenjem rješavača u vremenskoj domeni za simuliranje visoko-rezonantnih struktura dolazi

do pojave valovitosti u rezultatima. Ova pojava dokumentirana je u pomoćnoj literaturi CST

Microwave Studia, a prouzročena je zadržavanjem energije unutar sustava u rezonanciji [49].

Zbog toga se pri računanju S-parametara korištenjem Fourierove transformacije izračun prekida

prije nego sva energija napusti sustav, a to uzrokuje valovitost kao što je vidljivo na slici 4.1.

Moguća rješenja su korištenje nekog drugog od ponuđenih rješavača ili korištenje auto-

regresijskog filtra, koji zahtjeva provedbu zasebnog automatskog ugađanja za svaki sustav koji

se simulira. U [49] je također navedeno kako su točke ekstrema, odnosno rezonancije, točno

pozicionirane u frekvenciji, dok su moguće blage oscilacije u iznosu S-parametara. Budući da

je rješavač u vremenskoj domeni najpogodniji za analize provođene u ovom radu, ukoliko se

pokazala potreba korišten je auto-regresijski filtar. Na slici 4.1 prikazana je usporedba rezultata

simulacije s i bez korištenja AR filtra.

36

Slika 4.1 Primjer utjecaja auto-regresijskog filtra na rezultat simulacije

Simulacije su uglavnom provođene u frekvencijskom području reda veličine 10 MHz, što se

često pokazalo vrlo pogodnim zahvaljujući valnoj duljini koja prema (4.1) na ovoj frekvenciji

iznosi 30 m.

𝜆 =𝑐

𝑓 [𝑚] (4.1)

gdje je:

𝑐 = 3 × 108 𝑚

𝑠− 𝑏𝑟𝑧𝑖𝑛𝑎 𝑠𝑣𝑗𝑒𝑡𝑙𝑜𝑠𝑡𝑖 𝑢 𝑣𝑎𝑘𝑢𝑢𝑚𝑢

Kao što je i u [20] navedeno, jedna od glavnih prednosti korištenja frekvencija u nižem

megahertznom području nad korištenjem viših frekvencija je što su valne duljine dovoljno

velike da ne utječu i ne ulaze u interakciju s okolnim predmetima i preprekama. Osim toga,

gotovo svaka praktična antena bit će električki mala (𝐷 <1

2𝜋𝜆 ≈ 4.8 𝑚), što za frekvenciju od

npr. 1 GHz (𝜆 = 30 𝑐𝑚 ) nije slučaj. Električki male antene su pogodne zato što raspon

reaktivnog bliskog polja ovisi isključivo o valnoj duljini (slika 2.4) i radi se o kvazi-statičkom

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

S21

[dB

]

f [MHz]

AR filtar uključen Bez AR filtra

37

režimu rada u kojem je blisko polje uglavnom pokriveno magnetskim zračenjem, a većina

električne energije je koncentrirana u kondenzatoru. Potonja karakteristika je vrlo značajna jer

većina predmeta u svakodnevnici nema interakciju s magnetskim poljem, a ljudsko tijelo može

podnijeti viske razine magnetskog zračenja bez rizika [37].

U ovom poglavlju izneseni su rezultati simulacija različitih rezonantnih sustava bežičnog

prijenosa snage u bliskom reaktivnom polju. U sekcijama 4.1 i 4.2 dan je prikaz utjecaja

promjene različitih fizičkih parametara rezonantnih sustava na vrijednost S21 parametra i

učinkovitost prijenosa snage. Sekcija 4.1 se bavi sustavom sa spiralnim rezonatorima, a sekcija

4.2 sustavom s helikoidalnim rezonatorima. U sekciji 4.3 dana usporedba ovih dvaju sustava s

optimiziranim parametrima te trećeg sustava bežičnog prijenosa snage temeljenog na

magnetskoj indukciji.

4.1 Rezonantno spregnute spiralne zavojnice

Spiralne zavojnice koriste se u nekim verzijama Teslinih zavojnica, u RFID-u i kod detektora

blizine. Mogu pronaći vrlo širok spektar primjene budući da se spirale mogu jednostavno

izraditi u planarnoj tehnologiji na tiskanim pločicama [50]. Model ovog sustava izrađen u

programu CST MWS prikazan je na slici 3.2. Struktura je parametrizirana, odnosno moguće je

mijenjati različite parametre poput broja zavoja, promjera zavojnice ili udaljenosti među njima.

4.1.1 Analiza prijenosne funkcije sustava

Kako je već navedeno u sekciji 3.5, u [30] je izvedena prijenosna funkcija ovakvog sustava. Tu

prijenosnu funkciju smo unijeli u MATLAB skriptu (prilog 1) kako bi se mogao proučiti utjecaj

parametara na sprezanje, učinkovitost prijenosa i rezonantnu frekvenciju.

Na slici 4.2 prikazan je parametar S21, s parametrima sustava iz [30], a u ovisnosti o frekvenciji

(f) i koeficijentu magnetske sprege (k). Vidljivo je kako porastom koeficijenta magnetske

sprege raste vrijednost S21 parametra sve do točke kritičnog sprezanja (𝑓 ≈ 10 MHz, 𝑘 ≈ 10−2)

kada doseže maksimalnu vrijednost. Daljnjim porastom koeficijenta magnetske sprege dolazi

do razdvajanja frekvencije, zbog čega S21 parametar opada pri frekvenciji od 10 MHz, a postaje

visok pri dvije novonastale razdvojene rezonantne frekvencije (više u sekcijama 2.12 i 2.13).

38

Slika 4.2 S21 parametar u ovisnosti o frekvenciji i koeficijentu sprezanja

4.1.2 Veličina sustava

Prvi parametar koji je razmotren u CST MWS je fizička veličina sustava. Ovo je važna značajka

sustava budući da je poželjno imati što manje antene koje stanu u mobilne uređaje. S druge

strane simulacija malih struktura zahtjeva mnogo duže vrijeme izračuna jer je potrebno koristiti

mnogo gušću mrežu s malim prostornim korakom. Stoga je provedena usporedba dvaju

proporcionalnih sustava različitih dimenzija. Izabrana je rezonantna frekvencija od 10 MHz.

Parazitni kapacitet rezonatora je zanemaren, kapaciteti kondenzatora su podešeni prema (2.29),

a induktivitet je izračunat prema (2.41). Izvor i trošilo modelirani su u softveru u vidu

priključnica impedancije 50 Ω.

Na slici 4.3 prikazane su fizičke veličine koje opisuju dimenzije rezonatora i petlje, a u tablici

4.1 dan je pregled parametara manjeg i većeg sustava. Veliki sustav je dimenzioniran

proporcionalno da bude trostruko veći od malog sustava.

39

Slika 4.3 Dimenzije sustava

Tablica 4.1 Parametri sustava

Mali

sustav

Veliki

sustav

Promjer pogonske petlje i petlje trošila (D1 = D4 = D) 4 cm 12 cm

Unutarnji promjer spiralnih zavojnica (DU2 = DU3 = DU) 2 cm 6 cm

Vanjski promjer spiralnih zavojnica (DV2 = DV3 = DV) 6 cm 18 cm

Promjer žice (DŽ) 0.066 cm 0.2 cm

Broj zavoja zavojnica (N1 = N2 = N) 5 5

Razmak između petlje i zavojnice (d1 = d2 = d) 0.25 cm 0.75 cm

Izabrana rezonantna frekvencija (f0) 10 MHz 10 MHz

Izračunati induktivitet zavojnice (L) 1.0361 µH 3.1082 µH

Izračunati kapacitet kondenzatora (C) 0.2445 nF 81.495 pF

40

Na slici 4.4 prikazani su rezultati simulacija ovih dvaju sustava za različite udaljenosti između

rezonatora. Vidljivo je da se rezonancija ne pojavljuje točno na proračunatoj frekvenciji, no ovi

rezultati su zadovoljavajući, a odstupanje se može pripisati činjenicama da je zanemaren

parazitni kapacitet, da se radi o širokopojasnoj simulaciji te da je korištena aproksimacijska

formula za induktivitet (2.41). Udaljenost između antena (l) izražena je u odnosu na vanjski

promjer zavojnica (DV). Iz rezultata se može zaključiti kako se sustav koji je proporcionalno

veći (crvene krivulje) ponaša približno jednako manjem sustavu (plave krivulje). Uočava se

bolji prijenos kod sustava s manjim dimenzijama, što se može pripisati manjoj apsolutnoj

udaljenosti između rezonatora. Pri promjeni udaljenosti rezonatora efikasnost prijenosa opada

skoro jednakom brzinom kod oba sustava.

Ovakvi rezultati dozvoljavaju da se daljnje simulacije provode na sustavu većih dimenzija kao

referentnom, a zaključci koji će biti izvučeni primjenjivi su i na proporcionalno manje sustave.

Slika 4.4 Vrijednosti parametra S21 sustava s malim spiralama u rezonanciji

-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

S2

1[d

B]

f [MHz]

Mali sustav, l = Dv Mali sustav, l = 2 Dv Veliki sustav, l = Dv Veliki sustav, l = 2 Dv

41

4.1.3 Vrsta vodiča

CST MWS posjeduje veliku bazu materijala, a karakteristike poput vodljivosti je moguće i

proizvoljno definirati. Na slici 4.5 prikazani su usporedni rezultati simulacije sustava s istim

parametrima, ali različitim materijalima vodiča - idealni vodič i aluminij. Rezultati pokazuju

kako je utjecaj materijala zanemariv. Iz tog razloga, kao i radi smanjenja vremena simulacije,

sve simulacije su provedene korištenjem savršenog vodiča (PEC – eng. Perfect Electric

Conductor) kao materijala od kojeg je izrađena zavojnica.

Slika 4.5 Usporedba karakteristike idealnog vodiča i aluminija

4.1.4 Pojave pri malim udaljenostima rezonatora

Pri malim udaljenostima između rezonatora (mali l) koeficijent magnetske sprege je većeg

iznosa od kritičnog, pa stoga dolazi do razdvajanja rezonantne frekvencije. Zbog ove pojave se

u sustavima podešenim za rad na konstantnoj frekvenciji zapaža pad efikasnosti prijenosa

prilikom približavanja rezonatora. Na slici 4.6 prikazani su rezultati simulacija za udaljenosti

od 0.1 DV do 0.5 DV. Može se uočiti nelinearnost razdvajanja frekvencija pri vrlo malim

udaljenostima, odnosno kako se viša frekvencija brže udaljava od ishodišne.

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

11 11.5 12 12.5 13 13.5 14

S2

1[d

B]

f [MHz]

Al PEC

42

Budući da ne postoji jednostavan analitički izraz koji povezuje koeficijent magnetske sprege s

udaljenošću, direktna usporedba rezultata dobivenih 3D elektromagnetskom simulacijom i

teorijske prijenosne funkcije nije moguća. Ipak, moguća je usporedba karakteristika na slici 4.2

s rezultatima sa slike 4.6. U teorijskom modelu uočava se nelinearnost pri visokom koeficijentu

sprezanja, što odgovara pojavama na malim udaljenostima u simulacijama. Zanimljivo je

primijetiti kako teoretski model pokazuje da je učinkovitost prijenosa vrlo mala u

frekvencijskom području između razdvojenih frekvencija pri velikom sprezanju, što nije toliko

izraženo kod rezultata 3D simulacija.

Slika 4.6 Učinkovitost prijenosa pri malim udaljenostima rezonatora

4.1.5 Promjena kapaciteta

Provedena je analiza utjecaja promjene vrijednosti diskretnog kapaciteta C na učinkovitost

prijenosa energije, a rezultantne karakteristike su prikazane na slici 4.7. Očito je kako

povećanjem kapaciteta u sustavu, odnosno smanjenjem rezonantne frekvencije f0 (prema

(2.29)), dolazi do povećanja učinkovitosti prijenosa energije. Zanimljiv je položaj rezonantnih

vrhova – kod najvećeg kapaciteta rezonancija se pojavljuje skoro točno na proračunatih 5 MHz

jer parazitni kapacitet nema prevelikog utjecaja. Smanjenjem vrijednosti diskretnog kapaciteta

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5 7 9 11 13 15 17

S2

1[d

B]

f [MHz]

l = 0.1 Dv l = 0.2 Dv l = 0.3 Dv l = 0.4 Dv l = 0.5 Dv

43

dolazi do porasta utjecaja parazitnog kapaciteta. Iz poznatog induktiviteta zavojnice i

rezonantne frekvencije sustava bez spojenog diskretnog kapaciteta proračunata je vrijednost

parazitnog kapaciteta: 𝐶𝑃 = 2.426 𝑝𝐹. U tablici 4.2 su prikazane izračunate vrijednosti

ukupnog kapaciteta i očekivane rezonantne frekvencije sa i bez uzimanja u obzir utjecaja

parazitnog kapaciteta. Ove vrijednosti odgovaraju rezultatima analize.

Slika 4.7 Vrijednosti parametra S21 pri promjeni diskretnog kapaciteta

Tablica 4.2 Utjecaj parazitnog kapaciteta na rezonantnu frekvenciju

C [pF] C+CP [pF] f0 (s CP / bez CP)

[MHz]

325.6 328.03 5 / 4.98

81.495 83.92 10 / 9.85

36.22 38.65 15 / 14.52

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 5 10 15 20 25

S21

[dB

]

f [MHz]

C = 36.22 pF C = 81.495 pF C = 325.6 pF

44

4.1.6 Promjena vanjskog promjera rezonatora

Vanjski promjer rezonatora (DV) vrlo je bitan parametar budući da definira veličinu samog

sustava bežičnog prijenosa snage. Primjena vanjskog promjera izvršena je na dva načina. Prvi

je promjenom omjera unutarnjeg i vanjskog promjera zavojnice. Ovo je veličina koju je u CST

MWS jednostavno modelirati, a uz vanjski promjer spirale mijenja i zračni razmak između žica

unutar spirale, dok unutarnji promjer (6 cm), debljina žice i broj zavoja ostaju jednaki. Na slici

4.8 prikazane su dvije spiralne zavojnice različitih vanjskih promjera, a radi jednostavnosti

prikaza naznačen je polumjer umjesto promjera (R = D/2).

Slika 4.8 Omjer unutarnjeg i vanjskog polumjera spiralne zavojnice

Iz rezultata simulacije prikazanih na slici 4.9 može se zaključiti kako povećanjem ovog omjera

raste S21 parametar, ali i koeficijent magnetske sprege. Pri korištenju omjera RV/RU = 6 sustav

dolazi u točku kritičnog sprezanja, a daljnjim povećanjem omjera dolazi do razdvajanja

frekvencije.

45

Slika 4.9 Vrijednosti parametra S21 pri promjeni omjera polumjera rezonatora

Osim toga može se uočiti i smanjenje rezonantne frekvencije s porastom omjera RV/RU. Do toga

dolazi jer prema (2.41) induktivitet spirale raste s porastom ovog omjera, odnosno porastom

dimenzija zavojnice, kao što je prikazano u tablici 4.3. Može se uočiti kako iznosi rezonantnih

frekvencija f0 sa slike 4.9 odstupaju od izračunatih vrijednosti, a odstupanje se povećava s

veličinom zavojnice. Odstupanje je negativnog predznaka, a razlog tome je zanemarivanje

parazitnog kapaciteta. Može se zaključiti kako se s povećanjem spiralne zavojnice njegov iznos

povećava jer izračunate vrijednosti rezonantne frekvencije sve više odstupaju.

Tablica 4.3 Vrijednosti induktiviteta i rezonantne frekvencije

RV/RU L [µH] f0 [MHz]

4 3.482 9.448

6 4.358 8.445

8 5.291 7.664

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5 6 7 8 9 10 11 12 13

S21

[dB

]

f [MHz]

Rv/Ru = 4 Rv/Ru = 6 Rv/Ru = 8

46

Drugi način promjene vanjskog promjera rezonatora je povećanjem unutarnjeg promjera

spiralne zavojnice uz zadržavanje konstantnog omjera vanjskog i unutarnjeg promjera. Pri tome

se mijenja razmak između zavoja, a broj zavoja i debljina žice ostaju isti. Rezultati su prikazani

na slici 4.10. Ponovno se uočava povećanje sprezanja pri povećanju promjera, kao i promjena

rezonantne frekvencije koja se pripisuje promjeni induktiviteta i zanemarenom parazitnom

kapacitetu. U tablici 4.4 prikane su izračunate vrijednosti induktiviteta prema (2.41) i

rezonantne frekvencije. Zanemaren je utjecaj parazitnog kapaciteta što je ponovno razlog ne

podudaranja izračunatih vrijednosti rezonantnih frekvencija s rezultatima simulacije. Može se

zaključiti da povećanje vanjskog promjera zavojnice na oba načina daje podjednake rezultate.

Slika 4.10 Vrijednosti parametra S21 pri promjeni unutarnjeg promjera spirale

Tablica 4.4 Vrijednosti induktiviteta i rezonantne frekvencije

DU [cm] L [µH] f [MHz]

6 3.108 10

8 4.144 8.66

10 5.18 7.75

12 6.22 7.07

-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5 6 7 8 9 10 11 12 13

S2

1[d

B]

f [MHz]

Du = 6 cm Du = 8 cm Du = 10 cm Du = 12 cm

47

4.1.7 Promjena udaljenosti petlji i rezonatora

Promjenom udaljenosti rezonatora i petlji (d) možemo odrediti količinu njihovog međusobnog

sprezanja. Rezultati simulacija za različite udaljenosti prikazani na slici 4.11 pokazuju kako se

učinkovitost ukupnog prijenosa energije između priključka 1 i priključka 2 povećava s

udaljavanjem petlji od zavojnica, sve do određene udaljenosti (d = 5 cm) kada efikasnost

prijenosa energije počinje opadati.

Slika 4.11 Vrijednosti parametra S21 pri promjeni razmaka petlji i rezonatora

Ovakav rezultat nije intuitivno očekivan budući da efikasnost prijenosa opada s udaljenošću,

pa je za pojašnjenje ove pojave na slici 4.12 dan prikaz magnetskih silnica u slučaju kada su

petlja i zavojnica blizu (lijevo) i kada su daleko (desno) iz kojih je moguće vidjeti uzrok

ovakvim rezultatima. Pri većem razmaku silnice magnetskog polja petlje izvora slobodno

prolaze kroz petlju te dolaze do spiralne zavojnice. Pri malom razmaku jače magnetsko polje

rezonirajuće spiralne zavojnice prigušuje magnetsko polje petlje izvora te ono gubi na utjecaju.

Iz tog razloga povećanjem udaljenosti do određene točke pospješujemo ukupnu efikasnost

prijenosa snage.

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

8.5 9 9.5 10 10.5 11

S2

1[d

B]

f [MHz]

d = 2 cm d = 3 cm d = 5 cm d = 7 cm d = 9 cm

48

Slika 4.12 Prikaz magnetskih silnica između spiralne zavojnice i petlje izvora: (a) mali

razmak petlje i rezonatora; (b) velik razmak petlje i rezonatora

4.1.8 Promjena promjera petlje izvora i trošila

Promjenom promjera petlji izvora i trošila (D) utječemo na induktivno sprezanje između petlji

i pripadajućih rezonatora, a time i na učinkovitost prijenosa sustava. Iz rezultata na slici 4.13 je

vidljivo kako se povećanjem petlje smanjuje ukupna učinkovitost prijenosa i opada koeficijent

magnetske sprege između rezonatora. Ovakav rezultat nas dovodi do zaključka kako se

induktivna sprega između petlje i spiralne zavojnice pospješuje pri smanjenju dimenzija petlje.

Kao i kod prethodne simulacije, može se pretpostaviti da je ova pojava posljedica negativnog

utjecaja jačeg magnetskog polja rezonatora na magnetsko polje petlje. Također dolazimo do

zaključka kako kvaliteta induktivne sprege između petlji i zavojnice direktno utječe na

koeficijent magnetske sprege između rezonatora.

49

Slika 4.13 Vrijednosti parametra S21 pri promjeni polumjera petlji

4.1.9 Promjena broja zavoja rezonatora i promjena debljine korištene žice

Iz rezultata analize utjecaja broja zavoja rezonatora prikazanih na slici 4.14 može se zaključiti

kako se smanjenjem broja zavoja neznatno smanjuje sprezanje, a raste rezonantna frekvencija.

Porast frekvencije može se pripisati padu parazitnog kapaciteta koji je uzrokovan povećanjem

razmaka između žica (može se pronaći analogija s pločastim kondenzatorom - poznato je da je

kapacitet kondenzatora obrnuto proporcionalan razmaku između ploča kondenzatora [51]).

Zahvaljujući poznatoj činjenici kako povećanjem broja zavoja helikoidalne zavojnice raste

induktivitet, istu pretpostavku možemo primijeniti i na spiralnu zavojnicu.

Mijenjanje debljine žice bez promjene unutarnjeg i vanjskog polumjera rezonatora ne utječe na

induktivitet izračunat po aproksimacijskoj formuli (2.41). Iz rezultata simulacije na slici 4.15

vidljivo je kako povećanje debljine žice dovodi do blagog povećanja rezonantne frekvencije i

neznatne promjene učinkovitosti prijenosa.

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

9 9.2 9.4 9.6 9.8 10 10.2 10.4 10.6 10.8

S21

[dB

]

f [MHz]

D = 6 cm D = 8 cm D =10 cm D = 12 cm

50

Slika 4.14 Vrijednosti parametra S21 pri promjeni broja zavoja rezonatora

Slika 4.15 Vrijednosti parametra S21 pri promjeni debljine žice

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

5 7 9 11 13 15

S21

[dB

]

f [MHz]

N = 4 N = 5 N = 6

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

8.5 9 9.5 10 10.5 11

S2

1[d

B]

f [MHz]

Dž = 0.1 cm Dž = 0.2 cm Dž = 0.3 cm

51

4.1.10 Različiti odašiljač i prijemnik

U dosadašnjim simulacijama korišten je simetričan sustav, s jednakom odašiljačkom i

prijemnom stranom. Kod korištenja bežičnog prijenosa snage u svakodnevnici najčešće će

prijemna antena biti mnogo manja od odašiljačke. Npr. odašiljačka bi mogla biti ugrađena u

strop ili površinu stola, a prijemna bi morala stati u neki od kućanskih ili mobilnih uređaja. Iz

tog razloga provedena je analiza sustava s velikim odašiljačem i malim prijemnikom. U tablici

4.5 dani su početni parametri prijemne i odašiljačke strane.

Tablica 4.5 Parametri nesimetričnog sustava

Odašiljač Prijemnik

Promjer pogonske petlje i petlje trošila (D1 = D4 = D) 8 cm 1 cm

Unutarnji promjer spiralnih zavojnica (DU2 = DU3 = DU) 6 cm 1.5 cm

Vanjski promjer spiralnih zavojnica (DV2 = DV3 = DV) 18 cm 4.5 cm

Promjer žice (DŽ) 0.2 cm 0.2 cm

Broj zavoja zavojnica (N1 = N2 = N) 5 5

Razmak između petlje i zavojnice (d1 = d2 = d) 1 cm 0.5 cm

Izabrana rezonantna frekvencija (f0) 10 MHz 10 MHz

Induktivitet zavojnice (L) 3.1082 µH 0.777 µH

Kapacitet kondenzatora (C) 81.495 pF 32.598 nF

Prvo je analiziran utjecaj promjene broja zavoja prijemnog rezonatora N2 (slika 4.16).

Povećanje broja zavoja dovodi do neznatnog smanjenja učinkovitosti prijenosa. Na slici 4.17

može se uočiti velik porast parametra S21 prilikom smanjivanja udaljenosti između rezonatora

(l), što je i očekivano budući da je sustav dimenzioniran prema većem rezonatoru, a polumjer

rezonatora na strani trošila je mnogo manji.

Iz provedenih simulacija može se zaključiti kako učinkovitost prijenosa uvelike ovisi i o veličini

prijemnog rezonatora budući da mali rezonator ne može pohraniti dovoljno energije i

ravnopravno izmjenjivati energiju s odašiljačem. Iz tog razloga pri korištenju malog prijemnika

moguće je postići dobru učinkovitost prijenosa samo pri malim udaljenostima, reda veličine

malog rezonatora.

52

Slika 4.16 Vrijednosti parametra S21 pri promjeni broja zavoja malog rezonatora

Slika 4.17 Vrijednosti parametra S21 pri promjeni udaljenosti između rezonatora

-100

-95

-90

-85

-80

-75

-70

-65

-60

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

S21

[dB

]

f [MHz]

N₂ = 4 N₂ = 5 N₂ = 6

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

S2

1[d

B]

f [MHz]

l = 0.5 Dv₁ l = 1.25 Dv₁ l = 2 Dv₁

53

4.1.11 Različite rezonantne frekvencije rezonatora

U svim dosadašnjim analizama korištene su prijemne i odašiljačke strane s istom rezonantnom

frekvencijom. U ovoj sekciji je razmotren slučaj kada je rezonantna frekvencija odašiljačkog

rezonatora različita od prijemnog. Frekvencija je podešena korištenjem različitih vrijednosti

kapaciteta kondenzatora na odašiljačkoj i prijemnoj strani. Odašiljački rezonator je ostao

podešen na 10 MHz, dok je prijemni rezonator podešen za različite frekvencije (5, 10 i 15 MHz).

Na slici 4.18 su prikazani rezultati. Vidljivo je da su obje rezonantne frekvencije zastupljene,

no učinkovitost prijenosa je slaba jer nije došlo do snažnog sprezanja na zajedničkoj

rezonantnoj frekvenciji.

Slika 4.18 Vrijednosti parametra S21 kod sustava s 2 različite rezonantne frekvencije

4.2 Rezonantno spregnute helikoidalne zavojnice

Helikoidalne zavojnice su najčešće korišten oblik zavojnica. Proveden je niz simulacija kako

bi se ispitala njihova primjenjivost za bežični prijenos električne snage. Proučen je utjecaj

fizičkih veličina koje su svojstvene helikodalnoj zavojnici, a to su broj zavoja i visina zavojnice.

Sustav koji je korišten analogan je sustavu sa spiralnim zavojnicama, sastoji se od 2 rezonatora

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 5 10 15 20 25

S2

1[d

B]

f [MHz]

fo₂ = 5 MHz fo₂ = 10 MHz fo₂ = 15 MHz

54

s pripadajućim petljama izvora odnosno tereta. Skica sustava prikazana je na slici 4.19, a

početni parametri sustava su prikazani u tablici 4.6. Induktivitet je izračunat prema (2.42).

Slika 4.19 Sustav bežičnog prijenosa energije s helikoidalnim rezonatorima

Tablica 4.6 Parametri sustava s helikoidalnom zavojnicom

Promjer pogonske petlje i petlje trošila (D1 = D4 = D) 18 cm

Promjer helikoidalnih zavojnica (DV2 = DV3 = DV) 18 cm

Visina zavojnica (h1 = h2 = h) 10 cm

Promjer žice (DŽ) 0.2 cm

Broj zavoja zavojnica (N1 = N2 = N) 5

Razmak između petlje i zavojnice (d1 = d2 = d) 0.75 cm

Rezonantna frekvencija (f0) 10 MHz

Induktivitet zavojnice (L) 4.4 µH

Kapacitet kondenzatora (C) 57.57 pF

Razmak između rezonatora (l) 2 D2

55

4.2.1 Promjena broja zavoja

Promjenom broja zavoja helikoidalne zavojnice (N) pri konstantnoj visini zavojnice mijenja se

razmak između zavoja. Posljedica toga je promjena parazitnog kapaciteta i induktiviteta što

uzrokuje promjenu rezonantne frekvencije. Povećanjem broja zavoja, kao i kod spiralnih

rezonatora, smanjuje se razmak između zavoja i rezonantna frekvencija, a može se primijetiti

blagi porast učinkovitosti prijenosa snage, kao što je vidljivo na slici 4.20.

Slika 4.20 Vrijednosti parametra S21 pri promjeni broja zavoja helikoidalnog rezonatora

4.2.2 Promjena visine zavojnice

Promjenom visine zavojnice s konstantnim brojem zavoja također se mijenja razmak između

zavoja. Iz rezultata simulacije na slici 4.21 vidljivo kako su potvrđeni rezultati prethodne

simulacije, odnosno da se povećanjem razmaka između zavoja pri povećanju visine povećava

rezonantna frekvencija. No povećanjem visine zavojnice se povećava ukupna veličina sustava,

pa stoga s ovim parametrom, za razliku od prethodne simulacije, raste i učinkovitost prijenosa.

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

3 5 7 9 11 13 15

S2

1[d

B]

f [MHz]

N = 4 N = 5 N = 6 N = 8 N = 10

56

Slika 4.21 Vrijednosti parametra S21 pri promjeni visine helikoidalne zavojnice

4.2.3 Promjena promjera petlji izvora i trošila

Kako bi se provjerilo vrijede li iste zakonitosti vezane za međuodnos petlji i rezonatora,

izvršena je simulacija za različite polumjere petlji izvora i trošila. Rezultat je prikazan na slici

4.22. Vidljivo je kako se ponovno smanjenjem polumjera petlji povećava sprezanje. No također

se može uočiti kako je kod petlje promjera 10 cm učinkovitost prijenosa počela opadati.

-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

S21

[dB

]

f [MHz]

h = 5 cm h = 10 cm h = 15 cm

57

Slika 4.22 Vrijednosti parametra S21 pri promjeni promjera petlji izvora i trošila

4.3 Usporedba različitih sustava bežičnog prijenosa snage

U ovoj sekciji dva jako rezonirajuća sustava opisana u sekcijama 4.2 i 4.3 uspoređena su s

trećim potencijalnim oblikom sustava bežičnog prijenosa snage koji nije zasebno obrađen jer

se pokazao najmanje učinkovitim. On se sastoji od dvije spiralne zavojnice (odašiljačke i

prijemne) na čijim su krajevima direktno spojeni kodenenzaotor i izvor odnosno trošilo (slika

4.23). Glavna prednost prethodno opisanih sustava nad ovim je postojanje zasebnih petlji izvora

i trošila. Razlog tome je što je galvanskim odvajanjem izvora i trošila od rezonatora omogućeno

nesmetano izmjenjivanje energije između magnetskog polja zavojnice i električnog polja unutar

kondenzatora, čime su gubici rezonatora svedeni na gubitke unutar vodiča i gubitke zračenja i

postiže se jaka rezonancija.

-15

-13

-11

-9

-7

-5

-3

-1

1

8.9 9.1 9.3 9.5 9.7 9.9

S21

[dB

]

f [MHz]

D = 10 cm D = 14 cm D = 18 cm

58

Slika 4.23 Sustav bežičnog prijenosa energije s direktno pobuđenom spiralnom zavojnicom

Sva tri sustava realizirana korištenjem rezonatora odnosno zavojnica promjera 18 cm s 5 zavoja.

Ostali parametri odabrani su optimalno na temelju niza provedenih simulacija, u kombinaciji

koja je rezultirala najvećom učinkovitošću prijenosa. Parametri svih triju sustava prikazani su

u tablici 4.7.

Tablica 4.7 Optimalni parametri triju uspoređenih sustava

Direktno

pobuđena

spiralna

zavojnica

Spiralne

zavojnice u

jakoj

rezonanciji

Helikoidalne

zavojnice u jakoj

rezonanciji

Vanjski promjer rezonatora (DV) 18 cm 18 cm 18 cm

Promjer žice (DŽ) 0.2 cm 0.2 cm 0.2 cm

Broj zavoja zavojnica (N) 5 5 5

Rezonantna frekvencija (f0) 10 MHz 10 MHz 10 MHz

Induktivitet zavojnice (L) 3.11 µH 3.11 µH 4.4 µH

Kapacitet kondenzatora (C) 81.495 pF 81.495 pF 57.57 pF

Promjer petlji izvora i trošila (D) / 7 cm 15 cm

Razmak između petlje i zavojnice (d) / 4 cm 3 cm

Visina zavojnice (h) / / 10 cm

59

Provedene su simulacije ovih triju sustava na različitim udaljenostima i proučena je brzina

smanjenja sprezanja i učinkovitosti prijenosa s povećanjem udaljenosti između rezonatora. Na

slici 4.24 prikazane su krivulje S21 parametara svih sustava, za sustav s rezonatorima na

udaljenosti od jednog promjera odnosno l = DV = 18 cm. Kod sustava s jakom rezonancijom

(koji koriste odvojene petlje izvora i trošila) može se uočiti razdvajanje frekvencije, što znači

da se sustavi nalaze u području u kojem je koeficijent sprezanja veći od kritičnog sprezanja. Pri

navedenoj udaljenosti kod ovih sustava moguće je postići gotovo 100% učinkovitosti prijenosa

električne snage (prigušenje od -0.16 dB i -0.1 dB). Sustav s pobudom direktno spojenom na

spiralni rezonator pokazao se već pri relativno malim udaljenostima slabo učinkovit, s

prigušenjem prenesene snage od oko -12 dB.

Slika 4.24 Vrijednosti parametra S21 parametra za sustave na udaljenosti l = 18 cm

Na slici 4.25 prikazani su rezultati simulacija za udaljenosti između rezonatora l = 36 cm

odnosno 2 promjera rezonatora (200 % DV). Vidljivo je da je sa sustavima u jakoj rezonanciji i

dalje moguće postići zadovoljavajuću učinkovitost prijenosa. Sustav sa spiralnim zavojnicama

u rezonanciji ima prigušenje od -3.37 dB, a sustav s helikoidalnim zavojnicama ima prigušenje

od -1.47 dB, što odgovara prijenosu od 46.03 % odnosno 71.28 % snage s izvora na trošilo.

Potonji rezultat pokazao je veću učinkovitost sustava nego sličan fizički realiziran sustav u

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

S2

1[d

B]

f [MHz]

Direktno pobuđena spiralna zavojnica Spiralne zavojnice u jakoj rezonanciji

Helikoidalne zavojnice u jakoj rezonanciji

60

referenci [30] gdje je na udaljenosti od 118 % promjera spiralnog rezonatora postignuta

učinkovitost prijenosa od 70%. Sustav s direktno pobuđenom spiralnom zavojnicom ponovno

se pokazao daleko najlošijim rješenjem.

Slika 4.25 Vrijednosti parametra S21 parametra za sustave na udaljenosti 36 cm

Na slici 4.26 prikazani su rezultati simulacija za udaljenosti rezonatora l = 72 cm odnosno 4

promjera rezonatora. Na ovoj udaljenosti sustavi više nisu u mogućnosti učinkovito prenositi

energiju. U rezonanciji sustav sa spiralnim zavojnicama ima prigušenje od -15.9 dB što

odgovara prijenosu snage od 2.57 %. Sustav s helikoidalnim zavojnicama ima prigušenje od

oko -15 dB odnosno prijenos snage od 3.16 %. Sustav s direktnom pobudom ponovno se

pokazao najneučinkovitijim, s prigušenjem u od -46 dB što odgovara prijenosu snage od 0.0025

%.

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

S21

[dB

]

f [MHz]

Direktno pobuđena spiralna zavojnica Spiralne zavojnice u jakoj rezonanciji

Helikoidalne zavojnice u jakoj rezonanciji

61

Slika 4.26 Vrijednosti parametra S21 parametra za sustave na udaljenosti 72 cm

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

S21

[dB

]

f [MHz]

Direktno pobuđena spiralna zavojnica Spiralne zavojnice u jakoj rezonanciji

Helikoidalne zavojnice u jakoj rezonanciji

62

5. ZAKLJUČAK

Tehnike bežičnog prijenosa električne snage koje se temelje na elektromagnetskom zračenju

nisu pogodne za primjenu u svakodnevnici jer imaju vrlo malu učinkovitost ukoliko se

primjenjuju za više smjerova. Ukoliko se koriste usmjereno, zahtijevaju sustave za održavanje

usmjerenosti i vidljivosti, no omogućuju prijenos velikih snaga na velike udaljenosti. Metode

bežičnog prijenosa energije koje koriste reaktivno polje antene u kombinaciji s jakim

sprezanjem u rezonanciji pokazale su se kao optimalan izbor za srednje udaljenosti (~1 m).

Stoga su simulacije provedene u 4. poglavlju ovog rada temeljene na ovakvoj metodi bežičnog

prijenosa snage.

U sekciji 4.1 pomoću računalnog softvera provedene su analize sustava dviju rezonantno

spregnutih spiralnih zavojnica te je proučen utjecaj vrste korištenog vodiča, fizičke veličine

rezonatora, broja zavoja, međuodnosa rezonatora s petljama izvora i trošila te utjecaj promjene

kapaciteta na učinkovitost prijenosa snage i rezonantnu frekvenciju sustava. Pokazalo se da

najveći utjecaj na učinkovitost prijenosa ima fizička veličina antene i međuodnos rezonatora s

petljama. To dovodi do zaključka kako je za pokrivanje većeg prostora potrebno koristiti

proporcionalno velike antene. U sekciji 4.1.10 pokazano je da smanjenje prijemnog rezonatora

uvelike smanjuje učinkovitost prijenosa.

U sekciji 4.2 analiziran je sustav s helikoidalnim rezonatorima. Pokazano je kako primjenom

broja zavoja i visine zavojnice dolazi do pomaka rezonantne frekvencije, zbog mijenjanja

induktiviteta i parazirnog kapaciteta zavojnice. I kod ovog tipa rezonatora na koeficijent

sprezanja između rezonatora utječe međuodnos rezonatora s petljama izvora i trošila. Što je

petlja manja u odnosu na rezonator, to je koeficijent sprezanja veći.

Računalne analize u sekciji 4.3 pokazale su da je korištenjem bilo kojeg tipa zavojnica (spiralne

i helikoidalne) i jake rezonancije, postignute galvanski odvojenim krugovima izvora i trošila,

moguće postići prijenos snage sa zadovoljavajućom učinkovitošću na udaljenost od 2 promjera

antene. Sustav s helikoidalnim rezonatorima na ovoj udaljenosti ostvaruje prijenos od čak 71.28

% snage s izvora na trošilo, dok je sustav sa spiralnim rezonatorima nešto lošiji, no s druge

strane je radi fizičke izvedbe pogodniji za primjenu. U ovoj sekciji također je dana usporedba

ovih sustava s trećim potencijalnim sustavom bežičnog prijenosa snage koji se temelji na

magnetski spregnutim spiralnim zavojnicama koje imaju direktnu galvansku vezu s izvorom

63

odnosno trošilom. Pokazalo se kako je ovaj sustav mnogo neučinkovitiji od dvaju detaljno

obrađenih sustava.

Problem koji se javlja kod metode bežičnog prijenosa snage korištenjem jake magnetske

rezonancije je promjena rezonantne frekvencije s promjenom različitih fizičkih parametara

sustava. Neka istraživanja već su predložila posebne sklopove za prilagodbu impedancije u

realnom vremenu [30] koji bi trebali riješiti ovaj problem no potrebno je provesti detaljnija

istraživanja kako bi se ispitali i optimizirali svi aspekti sustava i time poboljšala upotrebljivost

ovakvih sustava bežičnog prijenosa električne snage u praksi.

64

LITERATURA

[1] N. Tesla, „The Transmission of Electrical Energy Without Wires,“ Electrical World

and Engineer, 1904.

[2] Wikipedia, „Tesla coil,“ s Interneta, Wikipedia, The Free Encyclopedia,

http://en.wikipedia.org/wiki/Tesla_coil, 20.12.2014.

[3] A. Bellows, „Tesla's Tower of Power,“ s Interneta, Damn interesting,

http://www.damninteresting.com/teslas-tower-of-power/, 20.12.2014.

[4] A. Waser, „Nikola Tesla's Wireless Systems,“ 2000.

[5] J. Šimunić, Predavanja iz kolegija Osnove elektrotehnike 1, Tehnički fakultet u Rijeci,

Rijeka, 2009/2010.

[6] Wikipedia, „Electric flux,“ s Interneta, Wikipedia, The Free Encyclopedia,

http://en.wikipedia.org/wiki/Electric_flux, 13.5.2014.

[7] Wikipedia, „Magnetic flux,“ s Interneta, Wikipedia, The Free Encyclopedia,

http://en.wikipedia.org/wiki/Magnetic_flux, 12.12.2014.

[8] Maxwells-Equations.com, „Maxwell's Equations,“ s Interneta, http://maxwells-

equations.com/, 1.10.2014.

[9] Wikipedia, „Gauss's law,“ s Interneta, Wikipedia, The Free Encyclopedia,

http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss's_law, 29.12.2014.

[10] M. Joler, Predavanja iz kolegija Radiokomunikacije, Tehnički fakultet u Rijeci, Rijeka,

2012/2013.

[11] Wikipedia, „Scattering parameters,“ s Interneta, Wikipedia, The Free Encyclopedia,

http://en.wikipedia.org/wiki/Scattering_parameters, 7.11.2014

[12] Microwaves101, „S-parameters,“ s Interneta,

http://www.microwaves101.com/encyclopedias/s-parameters, 5.12.2014

65

[13] D. M. Pozar, „Microwave Engineering“, Wiley, New York, 1998.

[14] H. A. Wheeler, „Fundamental Limitations of Small Antennas,“ Proceedings of the

I.R.E., br. 12, str. 1479 - 1484, 1947.

[15] B. W. Flynn i K. Fotopoulou, „Rectifying Loose Coils,“ IEEE microwace magazine,

str. 48-54, Ožujak/Travanj 2013.

[16] R. S. Howard i H. D. Vaughan, „Navy Electricity and Electronics Training Series“,

Naval Education and Training Center, US Navy, 1998.

[17] T. Christiansen i J. Reed, „The ABC’s of RFID: physics, oilfield usage,“ s Interneta

Drilling Contractor, http://www.drillingcontractor.org/the-abcs-of-rfid-physics-oilfield-

usage-14030, 2.12.2014.

[18] Wikipedia, „Near and far field,“ s Interneta, Wikipedia, The Free Encyclopedia,

http://en.wikipedia.org/wiki/Near_and_far_field, 15.11.2014.

[19] Wikipedia, „Radiation resistance,“ s Interneta, Wikipedia, The Free Encyclopedia,

http://en.wikipedia.org/wiki/Radiation_resistance, 20.10.2014.

[20] C. Cannon i dr., „Magnetic resonant coupling as a potential means for wireless power

transfer to multiple small receivers,“ Power Electronics, IEEE Transactions on, 24, str.

1819-1825, 7.2009.

[21] John Belcher i dr., „Chapter 11: Inductance and Magnetic Energy,“ u This Physics II:

Electricity and Magnetism textbook, Massachusetts , MIT OpenCourseware, 2007

[22] R. Mendes Duarte i G. Klarić Felić, „Analysis of the Coupling Coefficient in Inductive

Energy Transfer Systems,“ Active and Passive Electronic Components, 2014.

[23] H. A. Haus, „Coupling of modes - resonators and couplers,“ u Waves and fields in

optoelectronics, New Jersey, Prentice-Hall, str. 197-233, 1984.

66

[24] D. Pelz, „Eigenmodes and Eigenmode Solvers,“ s Interneta, rfcurrent.com,

http://www.rfcurrent.com/eigenmode-solvers, 25.11.2014.

[25] Wikipedia, „Coupling coefficient of resonators,“ s Interneta, Wikipedia, The Free

Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Coupling_coefficient_of_resonators,

22.10.2014.

[26] V. V. Tyurnev, „Coupling coefficients of resonators in microwave filter theory“,

Progress In Electromagnetics Research 21, str. 47-67, 2010.

[27] Héctor Vázquez-Leal i dr., „Chapter 1 - The Phenomenon of Wireless Energy Transfer:

Experiments and Philosophy,“ u Wireless Power Transfer - Principles and Engineering

Explorations, D. K. Y. Kim, Ur., InTech, str. 1-19., 2012.

[28] L. Green, „RF-inductor modeling for the 21st century,“ EDN, str. 67-74, 11.2011.

[29] Microwaves101, „Self Resonant Frequency,“ s Interneta

http://www.microwaves101.com/encyclopedias/self-resonant-frequency, 5.12.2014.

[30] A. P. Sample, D. A. Meyer i J. R. Smith, „Analysis, experimental results, and range

adaptation of magnetically coupled resonators for wireless power transfer,“ IEEE

Transactions on Industrial Electronics 58(2), str. 544-554, 2011.

[31] Wikipedia, „Q factor,“ s Interneta, Wikipedia, The Free Encyclopedia,

http://en.wikipedia.org/wiki/Q_factor, 22.12.2014.

[32] R. Clarke, „Producing wound components,“ University of Surrey,

http://info.ee.surrey.ac.uk/Workshop/advice/coils/, 28.12.2014.

[33] HyperPhysics, „Resonance,“ s Interenta, Department of Physics and Astronomy,

Georgia State University, http://hyperphysics.phy-

astr.gsu.edu/hbase/electric/serres.html, 10.12.2014.

67

[34] Wikipedia, „Coupled mode theory,“ s Interneta, Wikipedia, The Free Encyclopedia,

http://en.wikipedia.org/wiki/Coupled_mode_theory, 24.11.2014.

[35] H. J. Liang i E. Cheever, „Wireless Energy Transfer Through Strongly Coupled

Resonances,“ 2013.

[36] M. Kiani i M. Ghovanloo, „The circuit theory behind coupled-mode magnetic

resonance-based wireless power transmission,“ IEEE Transactions on Circuits and

Systems , svez. 59, br. 9, str. 2065-2074, 2012.

[37] A. Karalis, J. Joannopoulos i M. Soljačić, „Efficient wireless non-radiative mid-range

energy transfer,“ Annals of physics, br. 323, str. 34-48, 2008.

[38] „Two inductively coupled RLC circuits,“ Department of Electrical & Computer

Engineering, Ben-Gurion University of the Negev, 2014.

[39] R. C. Rumpf, „Coupled-Mode Theory, Lecture 5“, The University of Texas, El Paso,

USA, 2014.

[40] Microwaves101, „Inductor Mathematics,“

http://www.microwaves101.com/encyclopedias/inductor-mathematics, 15.12.2014.

[41] H. Hirayama, „Chapter 6 - Equivalent Circuit and Calculation of Its Parameters of

Magnetic-Coupled-Resonant Wireless Power Transfer,“ u Wireless Power Transfer -

Principles and Engineering Explorations, K. Y. Kim, Ur., InTech, str. 117-132, 2012.

[42] Microwaves101, „Basic Concepts,“ s Interneta

http://www.microwaves101.com/encyclopedias/basic-concepts#frequencybands,

5.12.2014.

[43] H. Visser, „Microwave Energy Harvesting“, CST Webinar Series, 2013.

[44] K. Finkenzeller, „Introduction to RFID - Inductive coupling,“ s Interneta, RFID-

handbook, http://rfid-handbook.de/about-rfid.html?showall=&start=1, 1.12.2014.

68

[45] Y. Park, J. Kim i K.-H. Kim, „Magnetically coupled resonance wireless power transfer

(MR-WPT) with multiple self-resonators,“ u Wireless Power Transfer-Principles and

Engineering Explorations, InTech, str. 51-64, 2012.

[46] A. Kurs, A. Karalis, R. Moffatt, J. D. Joannopoulos, P. Fisher, M. Soljačić, „Wireless

Power Transfer via Strongly Coupled Magnetic Resonances,“Wireless Power Transfer-

Principles and Engineering Explorations“, br. 317, str. 83-86, 2007.

[47] Mathworks, „Matlab“, http://www.mathworks.com/products/matlab/ .

[48] Computer Simulation Technology, „CST MICROWAVE STUDIO,“

https://www.cst.com/Products/CSTMWS

[49] CST Support, „CST STUDIO SUITE™ Help“, 2010.

[50] T. S., „Flat spiral coil inductor calculator,“ s Interneta, Circuits,

http://www.circuits.dk/calculator_flat_spiral_coil_inductor.htm, 3.1.2015.

[51] Wikipedia, „Capacitance,“ s Interneta, Wikipedia, The Free Encyclopedia,

http://en.wikipedia.org/wiki/Capacitance, 10.2.2015.

[52] L. Peng, O. Breinbjerg i N. A. Mortensen, „Wireless energy transfer through non-

resonant magnetic coupling,“ Journal of Electromagnetic Waves and Applications, br.

24, str. 1587-1598, 2010.

[53] J. Šimunić, Predavanja iz kolegija Osnove elektrotehnike 2, Tehnički fakultet u Rijeci,

2009.

[54] S. Singer, „Rješavanje linearnih sustava, Predavanja iz Numeričke matematike“, PMF -

Matematički odjel, Zagreb, 2009.

69

POPIS SLIKA I TABLICA

Popis slika

Slika 2.1 Silnice magnetskog polja kroz strujnu petlju............................................................................................ 4

Slika 2.2 Sustav opisan raspršnom matricom ....................................................................................................... 10

Slika 2.3 Zone zračenja antene ( [17] s prevedenim nazivima ) ........................................................................... 12

Slika 2.4 Zone zračenja električki male antene ( [18] s prevedenim nazivima ) ................................................... 14

Slika 2.5 Prostorni raspored magnetskih silnica dvaju magnetski povezanih svitaka ( [21] s prevedenim nazivima)

.............................................................................................................................................................................. 15

Slika 2.6 Parni i neparni mod spregnutih oscilatora ( [24] s prevedenim nazivima ) .......................................... 19

Slika 2.7 Osnovni model realne zavojnice ............................................................................................................ 20

Slika 2.8 Primjer S21-parametra zavojnice u samorezonanciji ............................................................................. 21

Slika 2.9 Snaga u rezonanciji ( [33]s prevedenim nazivima ) ............................................................................... 22

Slika 2.10 Ovisnost snage o prilagođenosti impedancije ...................................................................................... 26

Slika 2.11 Spiralna zavojnica s naznačenim veličinama za Wheelerovu aproksimacijsku formulu ...................... 27

Slika 2.12 Helikoidalna zavojnica s naznačenim veličinama za Wheelerovu aproksimacijsku formulu ............... 28

Slika 3.1 Prijenos električne energije magnetskom indukcijom kod RFID čitača ( [44] s prevedenim nazivima) 30

Slika 3.2 Sustav dvaju spiralnih rezonatora za bežični prijenos snage ................................................................. 32

Slika 3.3 Nadomjesna shema sustava dvaju rezonatora za bežični prijenos energije ( [30] s prevedenim nazivima)

.............................................................................................................................................................................. 33

Slika 4.1 Primjer utjecaja auto-regresijskog filtra na rezultat simulacije ............................................................ 36

Slika 4.2 S21 parametar u ovisnosti o frekvenciji i koeficijentu sprezanja ............................................................. 38

Slika 4.3 Dimenzije sustava ................................................................................................................................... 39

Slika 4.4 Vrijednosti parametra S21 sustava s malim spiralama u rezonanciji ...................................................... 40

Slika 4.5 Usporedba karakteristike idealnog vodiča i aluminija .......................................................................... 41

70

Slika 4.6 Učinkovitost prijenosa pri malim udaljenostima rezonatora ................................................................. 42

Slika 4.7 Vrijednosti parametra S21 pri promjeni diskretnog kapaciteta ............................................................... 43

Slika 4.8 Omjer unutarnjeg i vanjskog polumjera spiralne zavojnice .................................................................. 44

Slika 4.9 Vrijednosti parametra S21 pri promjeni omjera polumjera rezonatora .................................................. 45

Slika 4.10 Vrijednosti parametra S21 pri promjeni unutarnjeg promjera spirale .................................................. 46

Slika 4.11 Vrijednosti parametra S21 pri promjeni razmaka petlje i rezonatora ................................................... 47

Slika 4.12 Prikaz magnetskih silnica između spiralne zavojnice i petlje izvora: (a) mali razmak petlje i rezonatora;

(b) velik razmak petlje i rezonatora ...................................................................................................................... 48

Slika 4.13 Vrijednosti parametra S21 pri promjeni polumjera petlji ...................................................................... 49

Slika 4.14 Vrijednosti parametra S21 pri promjeni broja zavoja rezonatora ......................................................... 50

Slika 4.15 Vrijednosti parametra S21 pri promjeni debljine žice ........................................................................... 50

Slika 4.16 Vrijednosti parametra S21 pri promjeni broja zavoja malog rezonatora .............................................. 52

Slika 4.17 Vrijednosti parametra S21 pri promjeni udaljenosti između rezonatora ............................................... 52

Slika 4.18 Vrijednosti parametra S21 kod sustava s 2 različite rezonantne frekvencije ......................................... 53

Slika 4.19 Sustav bežičnog prijenosa energije s helikoidalnim rezonatorima ...................................................... 54

Slika 4.20 Vrijednosti parametra S21 pri promjeni broja zavoja helikoidalnog rezonatora .................................. 55

Slika 4.21 Vrijednosti parametra S21 pri promjeni visine helikoidalne zavojnice ................................................. 56

Slika 4.22 Vrijednosti parametra S21 pri promjeni promjera petlji izvora i trošila ............................................... 57

Slika 4.23 Sustav bežičnog prijenosa energije s direktno pobuđenom spiralnom zavojnicom .............................. 58

Slika 4.24 Vrijednosti parametra S21 parametra za sustave na udaljenosti 18 cm................................................ 59

Slika 4.25 Vrijednosti parametra S21 parametra za sustave na udaljenosti 36 cm................................................ 60

Slika 4.26 Vrijednosti parametra S21 parametra za sustave na udaljenosti 72 cm................................................ 61

71

Popis tablica

Tablica 4.1 Parametri sustava .............................................................................................................................. 39

Tablica 4.2 Utjecaj parazitnog kapaciteta na rezonantnu frekvenciju.................................................................. 43

Tablica 4.3 Vrijednosti induktiviteta i rezonantne frekvencije .............................................................................. 45

Tablica 4.4 Vrijednosti induktiviteta i rezonantne frekvencije .............................................................................. 46

Tablica 4.5 Parametri nesimetričnog sustava ....................................................................................................... 51

Tablica 4.6 Parametri sustava s helikoidalnom zavojnicom ................................................................................. 54

Tablica 4.7 Optimalni parametri triju uspoređenih sustava ................................................................................. 58

72

PRILOZI

Prilog 1: MATLAB skripta prijenosne funkcije sustava iz literature [30]

Rsource = 50; Rload = 50; L1 = 10^-6; L4 = 10^-6; C1 = 235 * 10^-12; C4 = 235 * 10^-12; Rp1 = 0.25; Rp4 = 0.25; k12 = 0.1; k34 = 0.1; L2 = 20*10^-6; L3 = 20*10^-6; C2 = 12.6 * 10^-12; C3 = 12.6 * 10^-12; Rp2 = 1; Rp3 = 1; K = linspace(0.001,1,1000); f0 = 10^7; f = linspace(1*10^6,20*10^6,1000); W = 2*pi*f;

[k23,w]=meshgrid(K,W); Z1 = Rp1+Rsource+1j*w*L1-1j./(w*C1); Z2 = Rp2+1j*w*L2-1j./(w*C2); Z3 = Rp3+1j*w*L3-1j./(w*C3); Z4 = Rp4+Rload+1j*w*L4-1j./(w*C4); A = 1i*w.^3*k12.*k23*k34*L2*L3*sqrt(L1*L4)*Rload; B = k12.^2*k34.^2*L1*L2*L3*L4*w.^4; C = Z1.*Z2.*Z3.*Z4; D = k12.^2.*L1.*L2.*Z3.*Z4; E = Z1.*Z4.*k23.^2*L2*L3; F = k34.^2.*L3.*L4.*Z1.*Z2; G = A./(B+C+w.^2.*(D+E+F)); S21=2*G*sqrt(Rsource/Rload); surf(abs(w/(2*pi)),abs(k23),abs(S21),'EdgeColor','none','LineStyle','none',

'FaceLighting','phong') xlim([1E6 20E6]); set(gca, 'YScale', 'log') ylim([0.001 1]); xlabel('f'); ylabel('k'); zlabel('S21'); view(0,90) colorbar Qcoil=sqrt(L2/C2)/Rp2; Qloop=sqrt(L1/C1)/Rp1; Kcritical=1/Qcoil+k12^2*Qloop; figure S21critical= max(max(abs(S21)))-0.05; [x,y] =find(abs(S21)>S21critical); y=y(1); plot(ab(w(:,y)/(2*pi)),abs(S21(:,y)))